ΓΕΝΕΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΠΛΕΓΜΑΤΩΝ Κ.Χ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Επ. Καθηγητής, Τοµέας Ρευστών, Τµήµα Μηχανολόγων Ε.Μ.Π.

Transcript

1 ΥΠΟΛΟΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΕΝΕΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΠΛΕΜΑΤΩΝ Κ.Χ. ΙΑΝΝΑΚΟΛΟΥ, Επ. Καθγτής, Τοµέας Ρευστών, Τµήµα Μχανολόγων Ε.Μ.Π. ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΥΠΟ ΕΙΞΗ ΛΥΣΗΣ Άσκσ : είτε ότι ένα δοµµένο πλέγµα τύπου Ο µεταύ δύο οµόκεντρων κύκλων ακτίνας R και R (έστω R R ), που σχµατίεται από πλεγµατικές γραµµές τους ακτινικά ισαπέχοντες κύκλους (είναι οι γραµµές σταθερό) και περιφερειακά ισαπέχοντα τµήµατα ακτίνων (είναι οι γραµµές σταθερό) δεν ικανοποιεί, τν είσωσ Laplace ( 0). Στ συνέχεια, προτείνετε µιά ακτινική κατανοµή των πλεγµατικών γραµµών σταθερό (λ.χ. κατά µήκος τς διαχωριστικής γραµµής - splt lne AB) ώστε το προκύπτον πλέγµα (δλ. ο συνδυασµός οµόκεντρων κύκλων που δεν ισαπέχουν και περιφερειακά οµοιόµορφα κατανεµµένων ακτίνων) να ικανοποιεί τν είσωσ Laplace. Υπόδει Λύσς: (α) Υποθέστε λ.χ. ότι (, ) R cos( φ ) (, ) R sn( φ ) αφού προσέετε τι θα συµβολίσετε µε R και φ, βρείτε τις µερικές,,, ( R sn( φ )) A R, και Β, τα,,, ( 0) και δείτε ότι: βρείτε τους συντελεστές ( ) 3 A Β R φ cos( φ ) 0.,

2 ΠΜΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΣΚ- (β) Υποθέστε ότι (, ) R( ) cos( φ ) (, ) R( ) sn( φ ) όπου πρέπει να υπολογίσουµε τ συνάρτσ R ( ) (ας µ µπερδευτεί µε το προγούµενο R!). Υπολογίστε (όπως πριν). είτε ότι A Β R R R R 0 Ζτάµε νά ναι µδέν και συνεπώς πρέπει να λύσετε τ διαφορική είσωσ. Η λύσ είναι κάτι µε n e, (µόνο;). Προσοχή να καταλάβετε τι ακριβώς µοιράεται εκθετικά (είναι ακτίνα R, το διάστµα dr ). Άσκσ : Η µέθοδος των Thomas-Mddleco (µε τις παραδοχές κ.λ.π. που έρετε ) καταλήγει να υπολογίει τ συνάρτσ Φ (.5) κατά µήκος τς πλεγµατικής γραµµής (ή βέβαια και τς ma ). είτε ότι αυτό ισοδυναµεί µε τν είσωσ s Φs 0 (*) στ γραµµή. λαδή, µε το να χρσιµοποιούµε τ (.5) για να βρούµε το Φ σε κάθε κόµβο του ορίου αυτού ισοδυναµεί µε το να κάνουµε µιά εκθετική προσαρµογή καµπύλς (cuvet) µεταύ των οριακών σµείων. Εγείστε το εκθετική. Υπόδει Λύσς: (α) Χρσιµοποιείστε ότι ds d d, (β) είτε ότι για Φ σταθερό, ή είσωσ ( ) έχει λύσεις εκθετικής µορφής. Άσκσ 3:

3 ΠΜΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΣΚ-3 Στ µέθοδο των Thomas-Mddleco οι παραδοχές (.) και (.) στο όριο, οδήγσαν στο να διατυπωθεί εκεί σχέσ (.5). Αν (για οποιαδήποτε λόγο) τήσετε τ γωνία που σχµατίει εγκάρσια πλεγµατική γραµµή στο όριο να µν είναι ορθή αλλά να έχει µια τυχαία τιµή θ, δείτε ότι στο όριο, αντί τς (.5) θα είχατε τν είσωσ Φ ( snθ ) [( cotθ ) ( cotθ ) ] snθ ( ) Προσοχή : To θ µπορεί να αλλάει από κόµβο σε κόµβο (είναι δλαδή θ ( ) Υπόδει Λύσς: Αντί τς (.), γράψτε και αναπτύτε τ σχέσ cosθ θ ). Άσκσ 4: Στ θεωρία δείαµε (δεν περιέχεται στις σµειώσεις σας) ότι µπορούµε να χρσιµοποιήσουµε τις ελλειπτικές µ.δ.ε. για προσαρµογή δοµµένου πλέγµατος στ λύσ. Ένας τρόπος είναι να ονοµάσουµε P, P και να προκύψει το σύστµα ( P ) ( P ) 0 (το ίδιο και για το ) (α) Κάντε τις πράεις για να βγει το παραπάνω σύστµα. (β) Ασχολθείτε µε το µονοδιάστατο παράδειγµα του ισοκατανοµής (Equdstbuton Law, w 0 ) αν P και P. Υπόδει Λύσς: P και δείτε ότι µοιάει µε το νόµο w, άρα προτείνετε εκφράσεις για τα w P (β) P w / w P w / w Προσέτε ότι w είναι ο δείκτς δεν είναι παράγωγος!) και w είναι το αισθτήριο κατά.

4 ΠΜΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΣΚ-4 Άσκσ 5: ουλεύτε στ γένεσ 3 δοµµένων πλεγµάτων µε 3 (,, z) (,, ) ή απλούστερα (,, z) (,, ) να τήσετε:,,, 3 όπου. Σε µια από τις έι έδρες, τν θέλετε (α) ορθογωνιόττα τς ( µεταβλτό) γραµµής που φτάνει σε κάθε σµείο τς έδρας (β) συγκεκριµέν απόστασ () του πρωτου κόµβου από τν έδρα. ιατυπώστε σύστµα που να υλοποιεί τα παραπάνω. Ποιές ποσόττες θα υπολογίει ένα τέτοιο σύστµα; Τι πρέπει να προσεχτεί στν επίλυσή του; Υπόδει Λύσς: είτε ότι z z z z 0 0 υ z Από το σύστµα θα υπολογίονται τα (, z ),. Πρόσµα τέτοια ώστε 0!!! Άσκσ 6: µιουργήστε ένα σύστµα µ.δ.ε. για γένεσ - οριόδετων δοµµένων πλεγµάτων τώντας ( ) 0 και ( ) 0 είτε ότι το σύστµα αυτό θα είναι το 0 0 Σχολιάστε καλά και κακά στοιχεία του νέου συστήµατος ως προς το γνωστό 0. Άσκσ 7: Υπολογίστε τις τιµές των συµβόλων Chstoel για το επίπεδο πλέγµα µε κυψέλες τετραγωνικής µορφής και πλευράς. Αν αυτό το (απλό) πλέγµα προέκυψε από τ λύσ εισώσεων Posson

5 ΠΜΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΣΚ-5 δείτε ότι προφανώς 0, εκµεταλλευόµενοι τις εκφράσεις για τα που βρήκαµε. Υπόδει Λύσς: Συγκρίνετε τις εισώσεις m m κ 0 m m κ 0 και παραττείστε ότι. Κάνετε τις λίγες πράεις που χρειάεται. Άσκσ 8: ( εν πρόκειται ακριβώς για άσκσ αλλά για βοήθµα κατανόσς τς σχετικής θεωρίας). Κατανοήστε ότι για να δµιουργήσετε ένα δοµµένο πλέγµα (,) πάνω σε µια επιφάνεια στο χώρο που σε κάθε σµείο τς έρετε το κάθετο µοναδιαίο διάνυσµα N και τ µέσ καµπυλόττα µ πρέπει να λύσετε το σύστµα ( ) N, L ( ) µ N, L ( z) µ N z L µ µε τον τελεστή L () () () () ( ) ( ) όπου ( N, Ν ), είναι οι συνιστώσες του N, και επιφανειακή Ιακωβιανή ορίουσα, µε N z όπου είναι τα επιφανειακά σύµβολα Chstoel. Υπόδει Λύσς: (α) Κατανοείστε ότι θεωρείτε το επιφανειακό πλέγµα που δµιουργείτε ως µιά πλεγµατική επιφάνεια σταθερό, ενός τριδιάστατου εικονικού πλέγµατος (,,).

6 ΠΜΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΣΚ-6 (β) Είναι ιδιαίτερα σµαντικό να εχάσετε ότι τα που βλέπετε είναι τα Chstoel smbols και να τα θεωρήσετε ως Όρους Πγής που θα τους χειριστείτε όπως στο Επίπεδο - πρόβλµα (Thoman-Mddleco, oenson κλπ). (γ) Το ερώτµα (β) ισοδυναµεί µε το να τάτε να ισχύει κλ [BELTRAMI OPERATOR] ( ) κλ όπου πάλι τα κλ είναι όροι πγής. Αν προτιµάτε, αρχίστε να τα γράφετε ως P κλ αντί κλ!!! (δ) Τι θα χρειαόσασταν για να υλοποιήσετε τα παραπάνω σε κώδικα υπολογιστή; Καταλάβετε το διάγραµµα ροής ενός τέτοιου προβλήµατος. Άσκσ 9: µιουργείστε ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Χωρίστε κάθε πλευρά του σε τρία ισαπέχοντα τµήµατα, ώστε ουσιαστικά να έχετε ένα περίγραµµα από 9 κόµβους, που ο καθένας απέχει απόστασ ίσ µε τ µονάδα από τον προγούµενο και τον επόµενο. Με τ µέθοδο του προελαύνοντος µετώπου σχµατίστε τ µορφή του µ-δοµµένου πλέγµατος τριγωνικών στοιχείων στο σχήµα αυτό. Καταλάβετε γιατί το αποτέλεσµα δεν εαρτάται από τ σειρά που σαρώνουµε το µέτωπο. Άσκσ 0: Αν προγραµµατίατε τ µέθοδο του προελαύνοντος µετώπου για 3- πλέγµατα θα χρειόσασταν µιά υπορουτίνα που να ελέχγει αν το τρίγωνο 3 τέµνεται µε το ευθύγραµµο τµήµα 45 (κάντε ένα σχετικό σχήµα). Με ποιο αλγόριθµο θα το κάνετε ; Υπόδει Λύσς: Αν, 3, 4 45, δµιουργείστε το σύστµα ( ) ( 3 ) ( 4 4) β 4 ( ) ( 3 ) ( 4 5) β 4 3 ( z z) ( z3 z) ( z4 z5) β z4 z επεκτείνοντας ότι µάθατε για τν εύρεσ τς τοµής δύο ευθυγράµµων τµµάτων. Πότε το παραπάνω σύστµα δεν λύνεται ; Τι θα τήσετε από τα β για τοµή ή όχι-τοµή; (Προσέτε τα AND ή OR στις σχέσεις σας!!!). Άσκσ : Σκεφτείτε τν υλοποίσ σε κώδικα τς προσαρµογής µ-δοµµένου πλέγµατος στ λύσ µε Προσοµοίωσ Ελατρίων. Έστω ο εκάστοτε κεντρικός κόµβος (κάθε κόµβος µε τ σειρά του γίνεται κεντρικός σε µιά ρτή µέθοδο) και κ (κ,κ) οι κόµβοι γέιτονες του (φτιάτε ένα σχήµα). Η αλλαγή τς θέσς του -κόµβου θα διέπεται από τν είσωσ

7 ΠΜΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΣΚ-7 new K C old ω K ( ) C όπου ω είναι ένας συντελεστής χαλάρωσς και C µε τ φυσική ποσόττα, λ.χ. πίεσ, που κανονίει τν προσαρµογή και, σταθερές. (α) Εγείστε πως καταλαβαίνετε το προτεινόµενο σχήµα (β) Ποιός ο ρόλος των,. Άσκσ : είτε ότι σε κάθε - (επίπεδο,,) ή 3- (,,3) δοµµένο πλέγµα ισχύει ότι Υπόδει Λύσς: Αναπτύτε και βρείτε ότι α a a a ( ) α a Χρσιµοποιείστε-αποδείτε-(γενικεύστε σχέσεις που µάθατε για επιφανειακά πλέγµατα) όπως οι a a a a και αντικαταστείστε (προσέχοντας τους δείκτες) και προκύπτει το τούµενο. Άσκσ 3: είτε ότι σε ένα 3- ορθογώνιο δοµµένο πλέγµα ισχύει ότι ( ) ( )

8 ΠΜΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΣΚ-8 ( ) ( ) ( ) ( ) Υπόδει Λύσς: Χρσιµοποιείστε : (α) ότι (προγούµεν άσκσ) (β) εκφράσεις τς µορφής l l (γ) χρσιµοποιείστε 0 για (ορθογωνιόττα) στις προγούµενες εκφράσεις. Άσκσ 4: είτε ότι σε ένα - επίπεδο δοµµένο πλέγµα ισχύουν οι εισώσεις Υπόδει Λύσς: 0 0 ράψτε τν προγούµεν άσκσ για - πλέγµατα (λ.χ. µε, 0 ) και αναπτύτε. Άσκσ 5: Ότι ακολουθεί δεν είναι ακριβώς άσκσ, αλλά βοθά στν κατανόσ τς θεωρίας ένεσς Επιφανειακών Πλεγµάτων και εκαθαρίει τις εισώσεις που διαθέτουµε και το πως υλοποιούνται σε πρόγραµµα (αν κάποιος έρει καλά το - πρόβλµα) (α) Μαθαίνω να αποδεικνύω ότι δ αβ δ αβ µε (β) Κατανοώ το τι σµαίνουν οι εισώσεις Gauss

9 ΠΜΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΣΚ-9, Ω N (γ) Πολλαπλασιάω τις εισώσεις Gauss µε, κ ι µ N και δείχνω ότι (δ) Κατανοώ πως µπορώ να βρίσκω τα ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΑ µ και N όταν µου δίνουν µιά επιφάνεια,,, z z, αναλυτικά, λ.χ. ως F ( ) 0 ή ( ) (ε) Ο συνδυασµός (α) και (γ) µπορεί να γράφεται ως ( ) µ Ν,, οπότε αυτό, από τα - θυµίει... δ (στ) Αν επιβάλω όρους πγής ( δ, ) P ώστε δ P δ θα «βλέπω» τν είσωσ του (ε) ως P,, µ Ν