και y και κατά συνέπεια SST=SSE. Μονάδες 2.5 (i) Δείξτε ότι το άθροισμα τετραγώνων λόγω παλινδρόμησης είναι SSR=y'(H- J

Transcript

1 ΣΕΜΦΕ- ΕΜΠ- Ανάλυση Παλινδρόμησης- Εξετάσεις Χειμερινού Εξαμήνου !! Επιλέξτε 4 θέματα από τα 7!! Διάρκεια εξέτασης : 1/ ώρες Καλή Επιτυχία! ΘΕΜΑ 1 ο (α) Στο γενικό γραμμικό μοντέλο y=xβ+ε, ε ~ Ν (0,σ I ) ισχύει ότι η ε.ε.τ. ˆ -1 β=(χ'χ) Χ'y ~ -1 N(β,σ p (Χ'Χ) ), και SSE ~χ σ -p τετραγώνων λόγω σφάλματος. Δεδομένου ότι, όπου Χ ο πίνακας σχεδιασμού και SSE το άθροισμα SSE σ ˆβ και διάστημα εμπιστοσύνης για τον άγνωστο συντελεστή β μιας μεταβλητής (β) Έστω y=β 0+ε-Ν β 0,σ είναι ανεξάρτητα, βρείτε για γ- x του μοντέλου., χωρίς επεξηγηματικές μεταβλητές, τότε με βάση τ.δ. y 1, y,..., y, ανεξαρτήτων παρατηρήσεων από την κατανομή αυτή, δείξτε με τη μέθοδο μέγιστης πιθανοφάνειας ότι ˆ 0 y και κατά συνέπεια SST=SSE. Μονάδες.5 ΘΕΜΑ ο Έστω το γενικό γραμμικό μοντέλο y=χβ+ε. 1 (i) Δείξτε ότι το άθροισμα τετραγώνων λόγω παλινδρόμησης είναι SSR=y'(H- J )y, όπου -1 H=X(X'X) X'ο πίνακας προβολής και J ο πίνακας του οποίου όλα τα στοιχεία είναι 1. (ii) Δώστε τον ορισμό του συντελεστή προσδιορισμού R. Τι εκφράζει; (iii) Γράψτε το δειγματικό συντελεστή συσχέτισης r μεταξύ των παρατηρήσεων y και ŷ. yy, ˆ Όταν η σταθερά β0 περιλαμβάνεται στο μοντέλο παλινδρόμησης, ισχύει ei =0. Στην i1 περίπτωση αυτή δείξτε ότι r =R. y,yˆ (iv) Έστω k ο αριθμός των επεξηγηματικών μεταβλητών. Δείξτε ότι η ελεγχοσυνάρτηση για τον έλεγχο H:β 0 1=β =...=β k=0 έναντι H1: τουλ. ένα β 0, γράφεται ως R /k F= (1-R )/(-k-l). Μονάδες.5

2 ΣΕΜΦΕ- ΕΜΠ- Ανάλυση Παλινδρόμησης- Εξετάσεις Χειμερινού Εξαμήνου ΘΕΜΑ 3 ο (α) Έστω το γενικό γραμμικό μοντέλο E(y)=X1β 1+Χβ (ο πρώτος όρος συμπεριλαμβάνει τη σταθερά β0 και q1 μεταβλητές, ο δεύτερος q μεταβλητές). Δείξτε πότε η ε.ε.τ. β ˆ 1 είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της β1 στην περίπτωση που ο δεύτερος όρος Χβ παραλείπεται από το μοντέλο, ενώ χρειάζεται. (β) Έστω υπόλοιπα e=y-y~n ˆ (0,σ (I-H)) ενός γενικού γραμμικού μοντέλου. Δώστε τον ορισμό δύο περιπτώσεων τυποποιημένων υπολοίπων. Πως μας χρησιμεύουν; Μονάδες.5 ΘΕΜΑ 4 ο (α) Ερευνάται η σχέση μεταξύ y και x1 και έστω δείκτρια μεταβλητή x (x= 0 αν τα δεδομένα είναι της κατηγορίας Α και x =1, αν είναι της κατηγορίας Β). Περιγράψτε πως μέσω αυτής της x στο μοντέλο y=β 0 +β1x 1+βx +β3x 3+ε, μπορούμε να ελέγξουμε αν χρειάζεται να προσαρμοστούν (Ι) δύο διαφορετικές ευθείες (ΙΙ) δύο παράλληλες ευθείες ή (ΙΙΙ) μια κοινή ευθεία και για δύο κατηγορίες, όπου x3=x1x, η μεταβλητή που εκφράζει την αλληλεπίδραση μεταξύ των μεταβλητών x1 και x. (β) Να γίνουν αυτοί οι έλεγχοι στην περίπτωση που y= ρυθμός φωτοσύνθεσης x1= ηλιακή ακτινοβολία και x= διαθεσιμότητα του νερού, x= 0 (αν χαμηλή), ενώ x= 1(αν υψηλή), με βάση τα ακόλουθα αποτελέσματα: Regressio Aalysis: y με x1, x, x3 The regressio equatio is y = x1-5.9x - 0.6x 3 Predictor Coef SE Coef T P Costat x x x S= R-Sq=96.8% R-Sq(ad)= 95.8%

3 ΣΕΜΦΕ- ΕΜΠ- Ανάλυση Παλινδρόμησης- Εξετάσεις Χειμερινού Εξαμήνου Aalysis of Variace Source DF SS Regressio Residual Error 1106 Total Regressio Aalysis: y με x1, x The regressio equatio is Y= x1-4 x Predictor Coef SE Coef T P Costat <0.001 x x R-Sq=89.0% R-Sq(ad)= 87.0% Aalysis of Variace Source DF SS Regressio Residual Error Total Regressio Aalysis: y με x1 The regressio equatio is Y= x1 Predictor Coef SE Coef T P Costat x S= R-Sq=44.9% R-Sq(ad)= 43.0%

4 ΣΕΜΦΕ- ΕΜΠ- Ανάλυση Παλινδρόμησης- Εξετάσεις Χειμερινού Εξαμήνου Aalysis of Variace Source DF SS Regressio Residual Error Total Μονάδες,5 ΘΕΜΑ 5 ο Κατασκευαστής λάστιχων αυτοκινήτου θέλει να εξετάσει αν υπάρχουν διαφορές μεταξύ των τεσσάρων θέσεων τροχού ενός οχήματος ως προς τη φθορά των λάστιχων, για την ίδια απόσταση. Σε κάθε θέση χρησιμοποιήθηκαν 5 τυχαία επιλεγμένα λάστιχα αυτοκινήτου από συνολικά 0 κομμάτια, επίσης τυχαία επιλεγμένα. Θέση 1 Θέση Θέση 3 Θέση Υιοθετώντας την κωδικοποίηση

5 ΣΕΜΦΕ- ΕΜΠ- Ανάλυση Παλινδρόμησης- Εξετάσεις Χειμερινού Εξαμήνου , αν θέση 1 x= 1 0, αλλιώς 1, αν θέση x= 0, αλλιώς 1, αν θέση 3 x= 3 0, αλλιώς προσαρμόζεται στα δεδομένα το μοντέλο παλινδρόμησης Ε(y)=β 0 +β1x 1+βx +β3x 3. (i) Να γίνει ο έλεγχος H:β 0 1=β =β 3=0 με εναλλακτική H1: τουλάχιστον ένα β0. [Δίνονται c i yi =1176.7, S=5.368, S= SSE 1/ i1 1 k l ]. (ii) Να συμπληρωθεί και να ερμηνευτεί ο παρακάτω πίνακας Μεταβλητές ˆβ se( ˆβ ) t p- τιμή Σταθερά X X X Μονάδες,5 ΘΕΜΑ 6 ο Για τη λειτουργία μιας μονάδας παραγωγής επί 1 ημέρες, εξετάζεται η γραμμική εξάρτηση της διαρροής αμμωνίας Y (σε log), από τις μεταβλητές X1 (ταχύτητα λειτουργίας της μονάδας) και Χ (θερμοκρασία νερού, ο C). (i) Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα. Σχολιάστε τα αποτελέσματά σας. [Δίνεται S r 0.17, xx 0.78, SST 5.48, AIC ˆ l + d = l(π)+ + + l(sse / + p] 1 Μεταβλητές ˆβ ˆ se( ˆβ ) t p- τιμή VIF Σταθερά Χ Χ R = %, C p = SSE(p) +p-=, AIC= SSE /(-p') πλήρες

6 ΣΕΜΦΕ- ΕΜΠ- Ανάλυση Παλινδρόμησης- Εξετάσεις Χειμερινού Εξαμήνου (ii) Για το παραπάνω μοντέλο δίνεται ότι h1.1=0.76. Αποτελεί η παρατήρηση 1 σημείο επιρροής του μοντέλου; (iii) Δεδομένου ότι στο μοντέλο υπάρχουν οι μεταβλητές Χ1 και Χ θεωρείται ότι το μοντέλο βελτιώνεται με την προσθήκη της X ; SSE =0.3858, R = %, Cp=,AIC= 1 πλήρες (iv) Εξετάστε εκ νέου αν η παρατήρηση 1 αποτελεί σημείο επιρροής για το μοντέλο (iii) (h1,1=0.88). Μονάδες.5

7 ΣΕΜΦΕ- ΕΜΠ- Ανάλυση Παλινδρόμησης- Εξετάσεις Χειμερινού Εξαμήνου ΘΕΜΑ 7 ο Έστω μοντέλο παλινδρόμησης Poisso ν exp(-μ)μ f(y)=, y=0,1,,..., με y! συνάρτηση σύνδεσης g(μ x)=lμ x=β'x και με ελεγχοσυνάρτηση Deviace= lˆ ˆ ˆ ˆ 0 l [ yi l( yi / i) ( yi i) ]. i1 (α) Δώστε τον ορισμό των υπολοίπων Pearso και Deviace για το μοντέλο αυτό. Πως τα χρησιμοποιούμε; (β) Προσαρμόζοντας μοντέλα της παλινδρόμησης Poisso σε δεδομένα 44 ορυχείων μιας περιοχής, εξετάζεται η σχέση του αριθμού ρωγμών σε οροφή ορυχείου (Y), με τις συμμεταβλητές Χ1 και Χ (χαρακτηριστικά των στρωμάτων του ορυκτού) καθώς και με τη X3 (έτη λειτουργία του ορυχείου). Αφού συμπληρωθούν οι παρακάτω πίνακες να ερμηνευτούν οι εκτιμημένες ποσότητες exp ( 1 ˆ ) και η γραφική παράσταση των υπολοίπων Deviace του τελικού μοντέλου. Συμφωνούν οι έλεγχοι Wald, Deviace και τα κριτήρια AIC; ΜΟΝΤΕΛΟ: 3 Μεταβλητές ˆ se( ˆ ) z p-τιμή exp( ˆ ) Σταθερά < Χ Χ Χ Ελεγχοσυνάρτηση deviace δίνεται ως D3=41.39 και η τιμή του κριτηρίου AIC3= ΜΟΝΤΕΛΟ: Μεταβλητές ˆ se( ˆ ) z p-τιμή exp( ˆ ) Σταθερά < Χ Χ Ελεγχοσυνάρτηση deviace δίνεται ως D=41.95 και η τιμή του κριτηρίου AIC= 144.

8 ΣΕΜΦΕ- ΕΜΠ- Ανάλυση Παλινδρόμησης- Εξετάσεις Χειμερινού Εξαμήνου ΜΟΝΤΕΛΟ: 1 Μεταβλητές ˆ se( ˆ ) z p-τιμή exp( ˆ ) Σταθερά < Χ Ελεγχοσυνάρτηση deviace δίνεται ως D=48.60 και η τιμή του κριτηρίου ACI1= Μονάδες.5