2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων
|
|
- Ξάνθη Τρικούπη
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ιαίρεση Πολυωνύμων 1 Να γίνουν οι διαιρέσεις: α) (x 5 - x + x - 9) : (x - 1) β) (x 4-7x + x - 15) : (x + 5) γ) (x - 4αx + α ) : (x - α) δ) [7x - (9α + 7α ) x + 9α ] : (x - α) Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των διαιρέσεων: α) (x - x + 5x - 6) : (x - ) β) (x 5 - x 4 + 6x + ) : (x + 1) γ) [6x - (α + 6α ) x + α ] : (x - α), α R δ) (x 6-4x 5 + x - ) : (x - 1) ε) (x λ x + λx - ) : (λx + 1), λ R* Να γίνουν οι διαιρέσεις και να γραφούν οι ταυτότητες των διαιρέσεων: i ( x + x 5x + 1) : ( x ) ii ( x x 5x 4) : ( x + 1) 4 iii ( x x 4x ) : ( x + ) 5 4 iv ( x x x + ) : ( x ) v ( x x + x 1) : ( x + 1) 6 6 vi ( x α ): ( x α) x 5 : x 1 vii 79
2 4 Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης 4 α) ( x + x + x + x + 7) : ( x + 1) 4 β) ( x x + 5x 4x + 6) : ( x x + ) 5 4 x + x + x + x + 4x + : x + x + 1 γ) 5 Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης σε κάθε περίπτωση ί) (χ +6χ -17χ+0):(χ+) ii) (x 4-81) : (χ-) iii) (4x 5 +0x -16x -15): (6χ +5) iv) (x 4 +4x -5x +x-):(x +x-) ν) χ 4 : (χ-1) vi) (x 5 +7) : (χ -1) 6 Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των διαιρέσεων: i) (-x +75x-50): (χ+10) ii) (x +51): (χ+8) iii) (x 5 +l) : (χ-1) iv) -x 4 : (χ-) ν) (4χ +16χ -χ-15): (χ + 1 ) 7 Να κάνετε τις διαιρέσεις: i) (χ -αχ-8α ): (χ-α) ii) (χ +αχ -α χ-α ): (χ+α) 8 Να βρείτε το πολυώνυμο f (x) το οποίο όταν διαιρεθεί με το x + 1, δίνει πηλίκο x - 1 και υπόλοιπο x Δίνονται τα πολυώνυμα: P x x x x = + +, Q ( x) = x + 1, R x = x + x + και υ( x) = x α) Να αποδείξετε ότι: P( x) = Q( x) R( x) + υ( x) β) Να εξετάσετε αν η παραπάνω ισότητα είναι ταυτότητα της διαίρεσης του P ( x) με το Q ( x) γ) Να εξετάσετε αν η παραπάνω ισότητα είναι ταυτότητα της διαίρεσης του διαίρεσης του P ( x) με το Q( x) P x με το Q x δ) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του διαίρεσης του 10 Θεωρούμε το πολυώνυμο 4 P x = x + 5x + 4x + x+1 i) Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P( x ) με το x 1 με το σχήμα Horner ii) Να αποδείξετε ότι το P( x) γράφεται με τη μορφή { 5 4 } P x = x+ x+ x+ x+ 1 (Ι) 80
3 iii) Με τη βοήθεια της μορφής (Ι) να βρείτε το Π(1) Τι παριστάνει η τιμή αυτή; Να τη συγκρίνετε με το αποτέλεσμα του ερωτήματος (i) iv) Έχοντας υπόψη το πηλίκο που βρήκατε στο (i), να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα: α) Τι παριστάνει η τιμή του x + 5 για x = 1; β) Τι παριστάνει η τιμή της παράστασης ( x + 5) x + 4 για x = 1; γ) Τι παριστάνει η τιμή της παράστασης { x + 5 x + 4 x + } για x = 1; 11 Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης (18χ80-6χ 50 +4χ 0 -): (χ+1) 1 Να βρείτε τις τιμές του k, για τις οποίες το χ-1 είναι παράγοντας του g(x) = k x 4 + kx -4 1 Αν Ρ(χ) = -χ - χ - χ+409, να βρείτε το Ρ(-11) 14 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ (x) = λ x + (λ - λ + 1) x - (4λ + 1) Δείξτε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ (x) : (x + ) είναι ανεξάρτητο του λ 15 Να βρείτε τα υπόλοιπα των παρακάτω διαιρέσεων χωρίς να κάνετε τις διαιρέσεις: x + 5x 6x 17 : x + 1 i [ ] 4 ii ( x x + 4x 1) : ( x ) iii ( x + 5x 10x + 100) : ( x + 10) 16 Να βρεθούν τα α, β ώστε το πολυώνυμο P ( x ) x 4 ( ) x ( 5 ) x α α + + β + ( α + β) x + 9 διαιρούμενο με το x 5x + 6, να αφήνει υπόλοιπο =, 17 Να βρεθούν οι τιμές του α για τις οποίες το P ( x ) x ( 1 ) x 5x + α + α διαιρείται δια x +1 δίνει υπόλοιπο Δίνεται το πολυώνυμο: P ( x ) x 004 x 00 x 000 = + + x α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P ( x) με το x + 1 β) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P ( x) με το x 1 =, όταν 19 Να βρεθεί ο k ώστε το υπόλοιπο της διαίρεσης P( x) : Q ( x ) να είναι το 1 όπου P( x) = x kx + ( k ) x+ k και Q( x) = x k 0 Αν τα υπόλοιπα των διαιρέσεων των πολυωνύμων: P x = a x 4β x 1 και Q x = β x + x+ a 4 + με το x + 1 είναι ίσα να βρείτε τα α και β 81
4 1 Το πολυώνυμο P (x) διαιρούμενο με x - αφήνει υπόλοιπο 10 και διαιρούμενο με x + αφήνει υπόλοιπο 5 Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ (x) με το (x - ) (x + ) ( x) Αν το πολυώνυμο P δίνει υπόλοιπο στη διαίρεσή του με x +, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Q x = P 5x + + x + x + διαιρείται με x + 1 x αφήνει υπόλοιπο 5 Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Το πολυώνυμο 4 Αν το πολυώνυμο P x διαιρούμενο με το x + 1 αφήνει υπόλοιπο 7 και διαιρούμενο με το P x με το ( x+ 1) ( x ) P x στη διαίρεσή του με τα διώνυμα x + 1 και x δίνει αντίστοιχα υπόλοιπα 4 και 164, να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης P( x) :( x x ) 5 Το πολυώνυμο P x διαιρείται με τα πολυώνυμα x 1 και x και δίνει υπόλοιπα και αντίστοιχα Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης: P( x) :( x x ) + 6 Το πολυώνυμο αφήνει υπόλοιπο P x διαιρούμενο με x + 1 αφήνει υπόλοιπο και διαιρούμενο με Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P x με το x + x 1 1 x 7 Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου P( x ) με το 1 Q x με το x + 1 είναι να βρείτε το 8 Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου x + όπου P x = x + Q x + x+ P x με το x + είναι να βρείτε το Q x = P 9x+ 7 + x 10 (1) με το x Έστω τα πολυώνυμα και είναι 5 και ισχύειq Q x να δείξετε ότι το 1 P( x ) ( + 5) = P( x+ 5) + x 14 x είναι και παράγοντας του Q x Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του Q x P x με το x 0 Να αποδείξετε ότι αν το πολυώνυμο Ρ (x) έχει παράγοντα το x - 5, τότε το πολυώνυμο P (x - ) έχει παράγοντα το x - 4 8
5 1 Αν το πολυώνυμο P(x+ ) διαιρείται με το 4x + Αν το πολυώνυμο ( x ) Q( x) P( x 6) P x διαιρείται με το x, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο P διαιρείται με x, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο: = διαιρείται με x 4 P( x ) Έστω τα πολυώνυμα και Q x Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του είναι και ισχύει: Q( x) = P( x+ 4) + 5x +8x να δείξετε ότι το x + είναι παράγοντας του Q( x ) P x με το x 1 4 Να αποδείξετε ότι τα πολυώνυμα της μορφής χ-ρ που δίνονται σε κάθε περί πτώση, είναι παράγοντες του Ρ(χ) ι) Ρ(χ) = χ 4-5χ + 144, χ + ii) Ρ(χ) = 16χ 4-8χ + 9χ +14χ-4, χ iii) P(x) = χ -χ +, χ 1-5 Στα παρακάτω ζεύγη πολυωνύμων να εξετάσετε αν τα 4 i Δ ( x) = x 11x + 18x 4x 8, δ ( x) = x ii 4 Δ ( x) = x 8x 6x + 16x, δ ( x) = x 1 iii Δ ( x) = x + 1, δ ( x ) = x + 1 iv Δ ( x) = x x + x + 1, δ ( x) = x + 1 δ είναι παράγοντες των Δ x : 6 Αν το πολυώνυμο f (x) = x + αx + βx + 4 διαιρείται ακριβώς με το x - και εάν επιπλέον f (1) = 8, να προσδιοριστούν τα α, β 7 Να βρείτε το α ώστε το πολυώνυμο P ( x ) x x + α 0x Να βρεθούν τα κ, λ ώστε το πολυώνυμο x και x + 1 = να έχει παράγοντα το x x 4 + κx + λx + x + 4 να έχει παράγοντα τα 9 Να οριστεί ο * λ R ώστε το πολυώνυμο P( x) = x 5x 6 + λ να διαιρείται δια του λ x 1 8
6 40 Να βρεθεί το λ ώστε το πολυώνυμο P ( x ) 4x 4 x λ + i Να έχει παράγοντα το x 1 ii Το υπόλοιπο της διαίρεσης του ( x) 41 Να δείξετε ότι το πολυώνυμο P = : P με το x + 1 να είναι x = x αβx + α + β έχει παράγοντα το x + α + β 4 Δίνεται το πολυώνυμο: P x x x = + + α x το οποίο έχει παράγοντα το x 1 α) Να βρείτε την τιμή του α β) Να κάνετε γινόμενο το P( x) γ) Να βρείτε τις τιμές του x, ώστε P ( x) < Το πολυώνυμο: P x x 4 1 x x = λ + + λ x + π + έχει παράγοντα το x + α) Να βρείτε την τιμή του λ και να κάνετε γινόμενο το P ( x) β) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του P ( x) με το x + 1 : i) εκτελώντας τη διαίρεση, ii) με το σχήμα Horner 44 Δίνονται τα πολυώνυμα:, φ x = P x 1 ax β Να βρεθούν οι α, β ώστε το παράγοντα το x + 1 P x = x + ax + β x 6 α, β, Q( x) = P( x+ 1) + ax+ β και Q x να έχει παράγοντα το 1 x και το ( x) φ να έχει 45 Να βρείτε το λ ώστε το πολυώνυμο: 7 7 P x x x να έχει παράγοντα το x = + λ λ + λ Αν ν είναι ένας άρτιος θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι το x + y είναι παράγοντας του χ ν - y v 47 Να αποδείξετε ότι τα παρακάτω πολυώνυμα δεν έχουν παράγοντα της μορφής χ-ρ i) Ρ(χ) = 4χ 4 +7χ +1 ii) Q(x) = -5x 6 -x Να δικαιολογήσετε ότι τα παρακάτω πολυώνυμα δεν έχουν παράγοντα της μορφής ρ α x + 5x + 4x β 4x x 1 x : 84
7 49 Να βρείτε τα κ, λ ώστε το πολυώνυμο P ( x ) = x x + κx + λ δ ( x ) = ( x 4)( x + ) Να βρείτε επίσης το πηλίκο της διαίρεσης ( x) : ( x) να διαιρείται ακριβώς με το P δ 50 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ (x) = x + αx - 1x + β Αν το Ρ (x) διαιρείται με το x - x - 6, να προσδιορίσετε τα α, β R 51 Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί κ, λ ώστε το πολυώνυμο P (x) = x - κx + (λ - 1) x + 5 να έχει για παράγοντα το (x - 1) (x + ) 4 5 Δείξετε ότι το x 4x + x + x + 6 διαιρείται δια x 5x + 6 και να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης 5 Με τη βοήθεια του σχήματος Horner μόνο, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Ρ(χ) = χ 4-6χ + 5χ -χ+ διαιρείται με το (χ-1)(χ-) και να βρείτε το πηλίκο 54 Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε το πολυώνυμο P (x) = x - x - ( + α) x + β + 10 να έχει για παράγοντα το (x - ) 55 Να βρεθούν τα α, β ώστε το πολυώνυμο P ( x ) x 4 x x + α β + α 5x + 4 με το ( x 1) = να διαιρείται 56 Να οριστούν τα α, β, ( x 1) γ R ώστε το πολυώνυμο P( x) = x 4 + αx + βx + γ να διαιρείται με β 57 Δίνεται το πολυώνυμο: P x = x x + αx + Αν το P x διαιρείται με ( x 1) : α) να βρείτε τα α και β, β) να κάνετε γινόμενο το P x + και μετά να οριστούν τα α και β ώστε η διαίρεση να είναι τέλεια 58 Να γίνει η διαίρεση ( x 4 x 7x x ) : ( x + α + β x + 5 ) 59 Να βρείτε τα α και β ώστε το πολυώνυμο ( x ) α x + x + 1 P = x 4 + αx + βx + x + να διαιρείται με το 60 Αν το πολυώνυμο P x = x + ax a+ β έχει παράγοντες του πολυωνύμου βρείτε τα α και β x x να 85
8 61 Δίνεται το πολυώνυμο: P ( x ) ( x 004 ) ( x = + ) 1 Να αποδείξετε ότι οι παράγοντες του πολυωνύμου Q( x) x x + P( x) = είναι και παράγοντες του 6 Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Ρ(χ) = (χ + 1)ν - χ ν - χ - 1, ν 0 έχει παρά γοντες όλους τους παράγοντες του x + x + x 6 Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( x ) υπόλοιπο της διαίρεσης του P( x) με τα x και x + P με το x 9 είναι x + Να βρείτε το 64 Πολυώνυμο διαιρείται με Q x = x 4x+ και δίνει υπόλοιπο ( x) x 5 βρεθούν τα υπόλοιπα των διαιρέσεων: P( x) :( x 1) και P( x) :( x ) 65 Να βρείτε τα α, β για τα οποία το πολυώνυμο x δίνει υπόλοιπο 10x Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P( x ) με το x Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( x ) βρείτε το υπόλοιπο: α) της διαίρεσης του P ( x) με το x +1, β) της διαίρεσης του P ( x) με το x υ = Να x + x + ax+ β διαιρούμενο με το P x με το x x 4 είναι x + 5, να P με το x x είναι x +, να 68 Να βρείτε τα α, β 4 για τα οποία το πολυώνυμο x x + ax+ β διαιρούμενο με το x 1 δίνει υπόλοιπο x + 69 Να βρείτε τα α, β για τα οποία το πολυώνυμο 5 P( x) = x + x + ax+ β διαιρούμενο με το x 5 δίνει υπόλοιπο 6x Δίνεται πολυώνυμο P ( x) με: P ( α) = β, P ( β) = γ και ( γ) = α Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο: Q( x) P( P( P( x) )) x f ( x) = ( x α)( x β)( x γ) P = έχει παράγοντα το πολυώνυμο: 86
9 71 Έστω τα πολυώνυμα και P( x ) Q( x ) με Q ( x ) = P P ( x ) Αν ο α είναι ρίζα του P( x) να αποδείξετε ότι ο α είναι ρίζα και του Q( x) x x, 7 Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης v v 1 v vx x x x 1 : x 1 7 Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς κ, λ ώστε αν το πολυώνυμο Ρ (x) = x διαιρεθεί με το πολυώνυμο x + κx + λ να αφήνει υπόλοιπο 0 P( x) 74 Έστω το πολυώνυμο, βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου με δύο, το οποίο ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες: i Το P( x) διαιρείται με x + 1 και δίνει υπόλοιπο ii ( x + 1) P( x) + x P( x ) = 1 Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου με x x 75 Ένα πολυώνυμο P ( x ) έχει την ιδιότητα: xp ( x + 1 ) + ( x + ) P ( x + ) = x + 10 α) Να βρείτε τα P( 1) και P() β) Να προσδιορίσετε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P ( x) με το ( x )( x + 1) 76 Το πολυώνυμο P (x) διαιρούμενο με x + αφήνει υπόλοιπο και διαιρούμενο με x - 4x + αφήνει υπόλοιπο x + 7 Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης: Ρ (x) : (x + ) (x - 4x + ) 77 Αν ο ν είναι περιττός θετικός ακέραιος, τότε το χ+1 είναι παράγοντας του χν +1 Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης (χ ν +1) : (χ+1) 78 Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες το πολυώνυμο P x = x + ημa+ xημa+ xημa 1 διαιρείται ακριβώς με το x
10 79 Το πολυώνυμο P x = a x a x + a x+ a+ 1 όπου α, έχει παράγοντα το x Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P x με το x + a 80 Αν με 4 P x = x + συνω ημω x συν ω x + ημωx ω, να βρεθεί για ποιες τιμές του θ το πολυώνυμο P x έχει παράγοντα το x Να βρεθεί ο λ ώστε το πολυώνυμο 8 Για ποιες τιμές του P x = x + λx+ 1 να διαιρείται με x + λ * v v v N το πολυώνυμο P( x) = x 1x + 7 διαιρείται δια x ; 8 Δίνεται το πολυώνυμο P( x ) με την ιδιότητα P( x) = P( x) για κάθε x i) Να αποδείξετε ότι το P x έχει ρίζα το 0 ii) Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P( x ) με το x 5 είναι, να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P( x) με το 84 Αν το πολυώνυμο: δειχθεί ότι: 4μ + 17v =0 x 5x = + μ + διαιρείται με το Q( x) ( x λ ) P x x x v =, μ, ν, λ, να 85 Αν το πολυώνυμο P (x) = αxν+1 + βx ν + 1 έχει παράγοντα το (x - 1) αποδείξτε ότι το πολυώνυμο Q (x) = (ν + 1) αx ν + νβx ν-1 έχει παράγοντα το x Αν το πολυώνυμο P (x) = (ν + 1) xν - νx ν+1 + α διαιρείται με το x - 1, τότε αποδείξτε ότι διαιρείται και με το (x - 1) 87 Να δειχθεί ότι το P ( x ) v x v+ 1 ( v 1 ) x v = πηλίκο της διαίρεσης v v 1 (Υπόδειξη: Παρατηρήστε ότι P( x) = ( x 1) ( vx x 1) διαιρείται με το ( x 1) και να βρεθεί το ) 88 Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο 4 P x = x 5x + 6x + 4x 8 έχει τριπλή ρίζα το 89 Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε το πολυώνυμο: 4 P x = x + a+ β x + ax x+, να διαιρείται με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη δύναμη του x 1 88
11 90 Να υπολογίσετε τους α, β για τους οποίους το Ρ(χ) = αχν+1 + βχ ν + 1 έχει παράγοντα το (χ-1) 91 Να δειχθεί ότι το πολυώνυμο ( x) = ( x + αx + α) ( α 1) x να βρείτε το πηλίκο π x Ρ διαιρείται με x + x + 1 και 9 Έστω P( x) x 6 x x = + x + και R( x) = x + x Να βρεθεί: i Το υπόλοιπο και το πηλίκο της διαίρεσης του P ( x) με το R ( x) P( x) x 6 1 ii Να απλοποιηθεί η παράσταση R( x) α R α R( α) 0 και ( α) > 0 iii Να δειχθεί ότι, για κάθε, έχουμε Ρ 9 ί) Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(χ) με το αχ+β, α 0 β είναι υ = Ρ α ii) Να βρείτε τις συνθήκες, για τις οποίες το πολυώνυμο αχ +β διαιρείται με το αχ+β 94 Να αποδείξετε ότι, αν το ν είναι παράγοντας του μ, τότε και το χν -α ν είναι παράγοντας του χ μ -α μ, (μ, ν θετικοί ακέραιοι) 95 Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο ( ) P x = x x + x x + x x + x x 4 διαιρείται ακριβώς με το πολυώνυμο Q x = x x + 15x 1x + 6x x Βρείτε έναν τρόπο να δικαιολογήσετε ότι το P ( x ) x x + 1 x + x + 1 (χωρίς να κάνετε τη διαίρεση) 97 Να οριστούν τα μ, R ν ώστε το P ( x ) x Αν το πολυώνυμο: P x = αx + βx + γx + με αποδείξετε ότι διαιρείται και με το γx + δ δ = δε διαιρείται ακριβώς με το = να διαιρείται με ( μx + ν) x αβγδ 0 διαιρείται με αx + β, να β 99 Έστω το πολυώνυμο P x = x + αx + α, διαιρεί το P Ρ x [ ] β R Να βρεθούν τα α ώστε το P ( x) να 89
12 P( x) 100 Να βρείτε πολυώνυμο ου βαθμού, με σταθερό όρο το 1 και συντελεστή του x ίσο με το μηδέν, το οποίο, αν διαιρεθεί με το x 1 να έχει πηλίκο x Να δείξετε ότι αν οι διαιρέσεις f ( x ) : g ( x ) και ( x) : g( x) g ( x) διαιρεί τη διαφορά f ( x) ρ( x) ρ έχουν το ίδιο υπόλοιπο, τότε το 10 Το πολυώνυμο P( x ) έχει τις ιδιότητες P ( 0 ) 0 και P( x) P( 1 x) αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του P( x ) με το x x μηδενικού βαθμού = για κάθε x Να + είναι ένα πολυώνυμο 10 Να δειχθεί ότι το πολυώνυμο: P( x) x k x 1 x Q( x) x x 1 k, λμ, = + + λ+ μ + = + + διαιρείται με το πολυώνυμο: [ ] v 1 : ( x ) 104 Να δείξετε ότι η διαίρεση ( x v ) + ( x 1 ) πηλίκο της διαίρεσης είναι τέλεια και να βρείτε το 1 v+ * 105 Έστω το πολυώνυμο P x = 1+ x + x + + x, N, και έστω υ x το υπόλοιπο της διαίρεσης του P ( x) με x ( x * 1) Να δειχθεί ότι για κάθε v N, η εξίσωση υ( x ) = 0 έχει ρίζες ρητές 106 Να βρεθεί ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης P( x) :( x 6x 8) ( 4) P P υ ( x) = x+ P P( 4) f ( x) 5 α + είναι: 107 Να οριστεί το πολυώνυμο με ρητούς συντελεστές 4ου βαθμού έτσι, ώστε, ισχύει Ρ 0 + Ρ Ρ ν = ν + 1 α Ν, να 90
13 108 Να βρεθεί το πολυώνυμο 5ου βαθμού ώστε το ( x) 1 P ( x) + 1 να διαιρείται με ( x +1) 109 Να βρεθεί το πολυώνυμο 6ου βαθμού, έτσι ώστε το ( x) 1 4 το P ( x) + να διαιρείται με x P να διαιρείται με ( x 1) και το P + να διαιρείται με ( x 1), ενώ P( x) P x 110 Να ορίσετε πολυώνυμο πρώτου βαθμού, ώστε: i) το να διαιρείται ακριβώς με το P x, ii) το P x να διαιρείται ακριβώς με το P( x ) 111 Αν το Ρ( x) = x + αx + β έχει παράγοντα το ( x ρ) α β, να δείξετε ότι + = 0 11 Να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ( x ) Ρ( α) Ρ( α) Ρ( α) Ρ( α) α x + Ρ δια x α ισούται με: 11 Να λύσετε την εξίσωση: x ( 4 ) x α + ( 4 α) x α = 0 ρίζες ανεξάρτητες του αριθμού α + αν γνωρίζουμε ότι έχει και 91
14
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος
Κεφάλαιο 2ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ 2. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος
Κεφάλαιο ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό
2.1 Πολυώνυμα. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; 3 2 ii. x iii. 3 iv. vi.
.1 Πολυώνυμα 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; i. 1 x + x ii. x + 7 x iii. 5 x + 7x x iv. 1 x + x v. 1 4 4 x + x + 4x vi. 1 x + 5x. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα
K. Μυλωνάκης Αλγεβρα B Λυκείου
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ονομάζουμε μονώνυμο του x κάθε πραγματικό αριθμό ή κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α είναι πραγμ. αριθμός και ν ένας θετικός ακέραιος. Π.χ. οι παραστάσεις 2χ 4, -3χ 2, 7 είναι μονώνυμα του
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΙΜΗ,ΠΡΑΞΕΙΣ,ΙΣΟΤΗΤΑ) P( x) ( 4) x ( 8) x ( 5 6) x 16 είναι το μηδενικό πολυώνυμο.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΙΜΗ,ΠΡΑΞΕΙΣ,ΙΣΟΤΗΤΑ) 1. Δίνονται τα πολυώνυμα: P ( x) x x, Q( x) x x 1. Να βρεθούν: a) P( x) Q( x) ) P( x) Q( x) ) P( x) Q( x). Να βρεθεί η τιμή του λ R για την οποία
( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι:
( x) Άρα το είναι ρίζα του P, οπότε το x είναι παράγοντάς του 4 Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x ) είναι: 3 π ( x) = x + x x + 3 Η ταυτότητα της προηγούμενης διαίρεσης είναι: 4 3 x 3x + 5x
1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι
_ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Αν α + β + γ = αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P () = (α - β) + (β - γ) + γ - α είναι το µηδενικό πολυώνυµο.. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο P () = (κ - ) + (λ + 6) +
4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0
1. α) Να βρείτε το υπόλοιπο και το πηλίκο της διαίρεσης (x 3 6x 2 +11x 2) : (x 3) β) Αν P(x) = x 3 6x 2 +11x + λ να βρείτε το λ R ώστε η διαίρεση P(x) : (x 3) να έχει υπόλοιπο 0. 2. Δίνονται τα πολυώνυμα:
9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων
4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε
Επαναληπτικές Ασκήσεις
Επαναληπτικές Ασκήσεις Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( x ) α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης β Να βρείτε τα 0 και Ρ γ Αν το πολυώνυμο ( x) είναι x να βρείτε: x + x είναι 3x
1. Το πολυώνυµο P (x) = 3 (x - 1) 2-3x είναι Α. µηδενικού βαθµού Β. πρώτου βαθµού Γ. δευτέρου βαθµού. το µηδενικό πολυώνυµο Ε.
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Το πολυώνυµο P (x) = 3 (x - 1) 2-3x 2 + 5 είναι Α. µηδενικού βαθµού Β. πρώτου βαθµού Γ. δευτέρου βαθµού. το µηδενικό πολυώνυµο Ε. τρίτου βαθµού 2. Αν το πολυώνυµο P (x)
Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός
4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
4.. Η ταυτότητα της διαίρεσης A. Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητα της διαίρεσης. Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι: Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x), με δ(x) 0
2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων
. ιαίρεση Πολυωνύμων 1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η διαίρεση δύο πολυωνύμων στηρίζεται στο παρακάτω θεώρημα: «Για κάθε ζεύγος Δ ( x) και δ ( x) με δ ( x)
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Έννοια του πολυωνύμου. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί να πάρει κάθε πραγματική τιμή. Μονώνυμο του x, είναι κάθε παράσταση της μορφής : x όπου α είναι
2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων
ιαίρεση Πολυωνύμων η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να διαιρέσουμε δύο πολυώνυμα Δίνονται τα πολυώνυμα: P x x x x 8x 4 = + +4 και δ ( x) = x x α) Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης
4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου
4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή). 2. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της
4.1 ΕΝΝΟΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ -ΒΑΘΜΟΣ-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΡΙΖΕΣ. ΛΥΣΗ 1 2 =κ κ κ 1+43κ κ = =0
4.1 ΕΝΝΟΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ -ΒΑΘΜΟΣ-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΡΙΖΕΣ 4.1.1 Να δειχθεί ότι για κάθε κ R το πολυώνυμο P (x) = (κ - 1) x 5 + (3κ 2 + 2) x 3 + κx δεν έχει ρίζα το 1. 2 1 2 =κ 11 2 +3κ + 2 1 + 2 1 2 =0 κ 1+43κ + 2+16κ
1 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 008 α). Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το πρωτοβάθμιο πολυώνυμο x ρ ισούται με την αριθμητική τιμή του Ρ(x) για x =
2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
1 of 79 ΘΕΜΑ 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R
1 of 79 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R α) Να αποδείξετε ότι η f γράφεται στη μορφή f(x) = (x- 2) 2 + 1. (Μονάδες 12) β) Στο σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση
ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1. Α. Να βρεθού οι κ,λ R για τους οποίους είαι ίσα τα πολυώυµα ( λ + 1) x ( κ ) x λ + 1 (x) = και Q(x) = κx λx + κ Β. Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ R για τους
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ
8. Να εξετάσετε με το σχήμα Horner αν τα πολυώνυμα x+1, x-3 είναι παράγοντες
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 1. Να γίνουν οι διαιρέσεις: α) (x 5 - x 3 + x - 9) : (x - 1) β) (x 7x 3 + x -15) : (x 3 +5) γ) (3x 3 - αx + α ) : (x - α) δ) [7x 3 - (9α + 7α )x + 9α ] : (x - α). Να γίνουν
(x) = δ(x) π(x) + υ(x)
Μάθηµα 12 Κεφάλαιο 4ο: Πολυώνυµα Πολυωνυµικές Εξισώσεις Θεµατικές Ενότητες: Α. ιαίρεση Πολυωνύµων Β. Σχήµα Horner Η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης Αν ( χ), δ ( χ) δύο πολυώνυµα µε δ ( χ) 0 και βαθµούς
β) Αν επιπλέον το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι υ(x) = - 3x + 5, τότε να βρείτε το Δ(x). (Απ. α) 5 ος β) Δ(x) = x 5 5x 4 + 6x 3 + 4x 2 11x + 5)
ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ B Λυκείου Γενικής Παιδείας Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 4ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο 2 Δ Ι Α Ι Ρ Ε Σ Η ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ένα πολυώνυμο Δ(x),
ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίνονται τα πολυώνυµα Ρ (x), Ρ (x), Ρ (x) αν τα πολυώνυµα Ρ (x) και Ρ (x) δεν έχουν κοινή ρίζα και ισχύει : ( Ρ (x)) + (Ρ (x)) = (Ρ (x)) για κάθε x R να δείξετε ότι το Ρ (x) δεν έχει πραγµατική
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός
ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΛΛΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1
ΘΕΜΑ Α ΦΥΛΛΟ 1 Α1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο υ της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x - ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = P(ρ). Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. β) x 9x. ε) (x 1) 3(x 1) 2(x 1) 0. (2x 1) x 128 0
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x x 10x 0 5 x 9x γ) x 8x 0 x x x 0 x (x ) 9(x ) ε) (x 1) (x 1) (x 1) 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: 5 α) x 0 7 γ) (x ) 1 0 (x 1)
4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου
4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή).. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής:
Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...
3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α
Πολυώνυμα. Πολυωνυμικές εξισώσεις. Athens Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης. 14/2/2012
Πολυώνυμα Πολυωνυμικές εξισώσεις Άλγεβρα 01 Β Λυκείου Athens 01 13 14//01 1. Περί πολυωνύμων (Α) Πολυώνυμα P x a x a x... a x a v v 1 Πολυώνυμο ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής: όπου a v, a v-1,,a
1.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : π α) f() = + ηµ β) g() = + συν( ) 6 π π γ) f() = ηµ( ) δ) g() = συν( ) Να γίνει η µελέτη και η γραφική παράσταση
4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Αν η εξίσωση α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +... +α 1 x+α 0 = 0 με α ν,α ν-1,...,α 1,α 0 Ζ : έχει ρίζα τον ακέραιο αριθμό ρ, τότε το ρ διαιρεί το α 0. έχει ρίζα το κλάσμα,
Πολυώνυμα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Άλγεβρα Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 2 0 / 7 /
Πολυώνυμα Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 66 99 77... 00 00... 88 88... 88 88 Kgllykos..gr 0 / 7 / 0 1 8 Άλγεβρα Κεφάλαιο 17 ασκήσεις και τεχνικές σε 1 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ.
( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x
ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Τριώνυµο λέγεται ένα πολυώνυµο της µορφής : f x = αx + βx+ γ, όπου α, β, γ R µε α. ( ) ιακρίνουσα και ρίζες του τριωνύµου f( x) = αx + βx+ γ λέγεται η διακρίνουσα και
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει
A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αν α +β +γ = αβγ και α + β + γ, να δείξετε ότι το πολυώνυμο P()=(α β) +(β γ) + γ α είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Από την ταυτότητα του Euler α +β +γ -αβγ = (α + β + γ)[(α-β)
Πολυώνυμα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Άλγεβρα Κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α
Πολυώνυμα Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 1 / 1 / 0 1 6 Άλγεβρα Κεφάλαιο 4 174 ασκήσεις και τεχνικές σε 1 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο ΓΛΥΚΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ τηλ.
4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
4 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΩΡΗΜΑ (ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ) Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων ( και ( με ( 0 υπάρχουν δυο μοναδικά πολυώνυμα ( και (, τέτοια ώστε : ( ( όπου το ( ή είναι το μηδενικό
( ) x 3 + ( λ 3 1) x 2 + λ 1
Επαναληπτικό Διαγώνισµα Άλγεβρα Β Λυκείου Θέµα Α Α1. Έστω η πολυωνυµική εξίσωσης α ν χ ν + α ν 1 χ ν 1 +... + α 1 χ + α 0 = 0, µε ακέραιους συντελεστές. Να αποδείξετε ότι αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της
ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού
ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί
- 1 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ
- ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com - ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ν Μονώνυμο του χ ονομάζουμε κάθε αλγεβρική παράσταση της μορφής α χ με χ R και ν Ν. Πολυώνυμο του χ
2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων
ιαίρεση Πολυωνύμων Ταυτότητα διαίρεσης Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητα της διαίρεσης Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι: Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ ( ) και δ ( ), με
ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΑΛΓΕΒΡΑΣ... ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑ 1 Ο
Αµυραδάκη, Νίκαια (1-493576) ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 1 Α1. Έστω P(x) ένα πολυώνυµο του x και p ένας πραγµατικός αριθµός. Αν π(χ) είναι το πηλίκο και υ(x) το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου P(x) µε το πολυώνυµο
4.2 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
. ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 9 0 A Οµάδας.i) Να κάετε τη διαίρεση ( x + 6x 7x+ 0 ) : ( x+ ) και α γράψετε τη ταυτότητα της διαίρεσης. x + 6x 7x+ 0 x+ x 9x + + x + 9x 8x+ 0 + 8x+
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab
( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει
μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,
Πολυώνυμα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Άλγεβρα Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 1 0 / 1 2 /
Πολυώνυμα Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 66 99 77... 00 00... 88 88... 88 88 Kgllykos..gr 1 0 / 1 / 0 1 8 Άλγεβρα Κεφάλαιο 4 174 ασκήσεις και τεχνικές σε 1 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο
7. α) Να λύσετε την ανίσωση x 5 <4. β) Αν κάποιος αριθμός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήματος (α). x 1. Δίνονται οι ανισώσεις: 3x 1
1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
1 1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ταυτότητα Ευκλείδειας διαίρεσης : Για δύο οποιαδήποτε πολυώνυµα (x) και δ(x) µε δ(x) µπορούµε να βρούµε δύο άλλα πολυώνυµα π(x) και υ(x) τέτοια ώστε να ισχύει (x) = δ(x)π(x)
1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή
α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων
Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις
4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1
1ο Κεφάλαιο: Συστήματα
ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.
Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4.1 πωλυωνυμα Η έννοια του πολυωνύμου Έστω x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής
Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι;
Φυσικοί, Ακέραιοι, Ρητοί, Άρρητοι, Πραγματικοί, Απόλυτη Τιμή, Ομόσημοι, Ετερόσημοι, Αντίθετοι, Αντίστροφοι. Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ακέραιοι;
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων
Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο :.2 -.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός
Ανισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 /
Ανισώσεις Κώστας Γλυκός Τράπεζα θεμάτων ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 5 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-300.88.88
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ 1. ημ x. 1 σφx 1 σφx 4 ΘΕΜΑ γ ε. 2 δ. 1
1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 1. Να αποδείξετε ότι: 1 σφ 1 σφ ΘΕΜΑ 1. Nα λύσετε την εξίσωση: ημ 1 σφ 1σφ 4 ΘΕΜΑ Α. Να βρεθούν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αριθμοί: α. συν330 ο = β. συν (-300 ο ) = γ. συν (-10 ο ) = δ.
Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - -. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Αν + y = -, να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: α A = + y + ( + y β B = ( - y -( y γ Γ = -(
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις :
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ). Να λυθούν οι εξισώσεις: α). + ( 3 ) 6 = 0 β). 4 ( 3 ) + 3 = 0 γ). + ( ) = 0 δ). 5 + 5 = 0 ε). 4( 3) + 5 + 6 6 = 0 στ).( + 3 ) ( 3 + ) ( 3 ) = 0 η). + (3 ) + (4 3 ) = 0
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ln 4 i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να δείξετε ότι η παραπάνω συνάρτηση γράφεται: ln iii Να λύσετε την εξίσωση ln 5 ln 3 4 a a1 4,, a i Να βρείτε τον αριθμό
Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B
151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.
Άλγεβρα Β Λυκείου Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ α φάση
Άλγεβρα Β Λυκείου Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ 00-08 α φάση Συναρτήσεις Θεωρούμε τη συνάρτηση Α, 6 wwwaskisopolisgr f κ, με 4,4 και κ η οποία διέρχεται από το σημείο και τμήμα της γραφικής της παράστασης φαίνεται
Α ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ. Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 1
Α ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος 014-15 ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 1 Α ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να λυθούν γραφικά τα συστήματα: y y6 y 5 1 : 1 : 3 : y 6 0 y 5
Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Α. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται; Β. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια;. Τι λέγεται πολυώνυμο; Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε την πρόταση που είναι γνωστή ως θεώρημα
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Έστω ότι για μια γωνία ω, όπου, ισχύει ότι:. 1 α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου
Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται
Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές
0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1. Τι καλούμε μονώνυμο, τι πολυώνυμο, τι όροι,τι συντελεστές
x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. ο A. Ταυτότητες, ιδιότητες δυνάμεων, διάταξη.1 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 1. 15a x 15a y 5a x 5a y. a x a x a x a x 3 3 4 3 3 3 3. x 4xy 16 4 y
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό
ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός
ςες ΤΕΤΡΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους μαθητές
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται
Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1
Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Εξίσωση πρώτου βαθμού ή πρωτοβάθμια εξίσωση με άγνωστο x ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής
ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,
Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι
2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Α. Αν α > 0 µε α 1 τότε για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς θ 1, θ 2 > 0 να αποδείξετε ότι log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 Β. Έστω το σύστηµα Σ : α1x +
θετικοί αριθμοί, να δείξετε ότι
1 Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΤΕΡΙΝΗΣ 9 /05/ 01 Προαγωγικές Εξετάσεις Β τάξης Εξεταζόμενο μάθημα : Άλγεβρα Σελίδες : (ΔΥΟ) ΘΕΜΑ 1 ο Α. Αν 0, 1 και, 1 θετικοί αριθμοί, να δείξετε ότι log a 1 log 1 log (15 μονάδες)
1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x
1. Αν είναι. 2. Να λύσετε τις εξισώσεις: 3. Αν α= 4. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση ηµα.συνβ=1+συνα.ηµβ, δείξτε
Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Ο Μ Ε Τ Ρ Ι Α Αν είναι π π α < β <
ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση)
ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Έστω ότι για μια γωνία ω, όπου, ισχύει ότι:. 1 α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα
Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 3. Ασκήσεις: -5 Θεωρία ως και την 3.3 Ασκήσεις: 6-8 Άσκηση Δίνεται η παράσταση: A= 3 5 +
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ A Α1. Να αποδείξετε ότι: αβ α β (Μονάδες 15) A. Χαρακτηρίστε ως Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις ακόλουθες προτάσεις: 1. Η εξίσωση
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ............................................
Κεφάλαιο 1 ο. Αλγεβρικές παραστάσεις.
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Αλγεβρικές παραστάσεις. Μέρος Α Θεωρία. 1. Πως προσθέτουμε δύο πραγματικούς αριθμούς; 2. Πως πολλαπλασιάζουμε δύο πραγματικούς αριθμούς; 3. Ποιες είναι οι ιδιότητες
ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.
ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β
ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού
ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού 108 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθµό, να υπολογιστεί
Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους
οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Μερικές ακόμη ταυτότητες (επιπλέον από τις αξιοσημείωτες που βρίσκονται στο σχολικό βιβλίο) ) Διαφορά δυνάμεων με ίδιο εκθέτη: ειδικά αν ο εκθέτης ν είναι άρτιος υπάρχει
1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Α. Έστω α = (x 1, y 1 ) και β = (x, y ) δύο διανύσµατα Να γράψετε την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινοµένου τους i Αν τα διανύσµατα δεν είναι παράλληλα προς τον
ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 4. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤH Α. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Εάν ζητείται να δειχθεί ισότητα ή ανίσωση
Να υπολογίζουμε τη λύση ή ρίζα ενός πολυωνύμου της μορφής. Να υπολογίζουμε τη ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού.
Ενότητα 3 Ρίζες Πραγματικών Αριθμών Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τη λύση ή ρίζα ενός πολυωνύμου της μορφής Ρ x x ν α. Να υπολογίζουμε τη ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού. Τις ιδιότητες
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια