Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου

Transcript

1 Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου

2 Περιεχόµενα 1 Θέµατα Θέµατα Θέµατα Σεπτεµβρίου Θέµατα Θέµατα Επαναληπτικών Θέµατα Σεπτεµβρίου Θέµατα Θέµατα Σεπτεµβρίου Θέµατα Θέµατα Σεπτεµβρίου Θέµατα Θέµατα Σεπτεµβρίου

3 Θέµατα 1999 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 1999 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ 1 ο 1.Α. Έστω P(x) ένα πολυώνυµο του x και ρ ένας πραγµατικός αριθµός. Αν π(x) είναι το πηλίκο και υ(x) το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου P(x) µε το πολυώνυµο (x-ρ), τότε : α) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του P(x) µε το (x-ρ). Μονάδες,5 β) Το υπόλοιπο υ(x) είναι : Α. Πάντοτε πολυώνυµο ίδιου βαθµού µε το P(x). Β. Πολυώνυµο πρώτου βαθµού. Γ. Σταθερό πολυώνυµο.. Πάντοτε το µηδενικό πολυώνυµο. Μονάδες 5 γ) Να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου P(x) µε το (x-ρ) είναι ίσο µε την τιµή του πολυωνύµου για x=ρ. Είναι δηλαδή υ=ρ(ρ). Μονάδες 5 1.Β. Έστω το πολυώνυµο Ρ(x) = k x 3 3kx + kx + 1, όπου k πραγµατικός αριθµός. Για ποια από τις παρακάτω τιµές του k το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) µε το (x-1) είναι ίσο µε το µηδέν. 3

4 Θέµατα 1999 Α. k = 0, B. k = -1, Γ. k = 1,. k =, Ε. k = - Μονάδες 1,5 4

5 Θέµατα 1999 ΘΕΜΑ o Έστω γεωµετρική πρόοδος της οποίας ο τρίτος όρος είναι ίσος µε 16 και ο έκτος όρος είναι ίσος µε. α) Ο πρώτος όρος α 1 και ο λόγος λ της γεωµετρικής προόδου είναι : Α. α 1 = 64 και λ = - 1/ Β. α 1 = - και λ = - 1/ 64 Γ. α 1 = 64 και λ = 1/. α 1 = 3 και λ = 1/ Μονάδες 9 β) Να βρείτε τον δέκατο όρο της γεωµετρικής προόδου. Μονάδες 9 γ) Να βρείτε το άθροισµα των άπειρων όρων της γεωµετρικής προόδου. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 3 ο α) Να αποδείξετε ότι : ηµ6x + ηµ4x =ηµ5xσυνx Mονάδες 10 β) Να λύσετε την εξίσωση: ηµ6x + ηµ4x + 4ηµ5x = 0 Mονάδες 15 5

6 Θέµατα 1999 ΘΕΜΑ 4 ο Η τιµή αγοράς ενός ηλεκτρονικού υπολογιστή είναι µεγαλύτερη από 60 χιλιάδες δραχµές και µικρότερη από 640 χιλιάδες δραχµές. Κατά την αγορά συµφωνήθηκαν τα εξής : Να δοθεί προκαταβολή 10 χιλιάδες δραχµές. Η εξόφληση του υπόλοιπου ποσού να γίνει σε 10 µηνιαίες δόσεις. Κάθε δόση να είναι µεγαλύτερη από την προηγούµενη κατά ω χιλιάδες δραχµές, όπου ω θετικός ακέραιος. Η τέταρτη δόση να είναι 48 χιλιάδες δραχµές. α) Να εκφράσετε το ποσό της πρώτης δόσης ως συνάρτηση του ω. Μονάδες 5 β) Να εκφράσετε την τιµή αγοράς ως συνάρτηση του ω. Μονάδες 5 γ) Να βρείτε την τιµή του ω. Μονάδες 5 δ) Να βρείτε το ποσό της τελευταίας δόσης. Μονάδες 5 ε) Να βρείτε την τιµή αγοράς του ηλεκτρονικού υπολογιστή. 6

7 Θέµατα 1999 Μονάδες 5 Σηµείωση : Για τις ερωτήσεις 1.Α.β), 1.Β. και.α) να γράψετε τον αριθµό της κάθε ερώτησης στο τετράδιό σας και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 7

8 Θέµατα 000 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΙΟΥΝΙΟΥ 000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ 1ο Α.1.Να γράψετε τον τύπο που δίνει το νιοστό όρο α ν µιας αριθµητικής προόδου (α ν ), που έχει πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω. Μονάδες 3 Α..Να γράψετε τη σχέση µεταξύ των πραγµατικών αριθµών α,β,γ έτσι, ώστε οι αριθµοί αυτοί, µε τη σειρά που σας δίνονται, να είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου. Μονάδες 3 A.3.Nα αποδείξετε ότι το άθροισµα S ν των πρώτων ν όρων µιας γεωµετρικής προόδου (α ν ), που έχει πρώτο όρο α 1 και λόγο λ 1, είναι: λ ν 1 S ν =α 1 λ 1 Μονάδες 6,5 Β.1.Στη Στήλη Α δίνεται ο πρώτος όρος α 1 και η διαφορά ω τριών αριθµητικών προόδων και στη Στήλη Β ο νιοστός όρος α ν τεσσάρων αριθµητικών προόδων. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράµµα τον αριθµό της Στήλης Β που αντιστοιχεί στο σωστό νιοστό όρο. 8

9 Θέµατα 000 Στήλη Α Στήλη Β α. α 1 =1, ω=- 1. α ν =-ν β. α 1 =0, ω=3. α ν =4ν-3 γ. α 1 =-1,ω=-1 3. α ν =3-ν 4. α ν =3ν-3 Μονάδες 6 Β..Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Oι αριθµοί -5,5,15, µε τη σειρά που σας δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου. β. Ο εικοστός όρος της αριθµητικής προόδου 10, 7, 4,... είναι ίσος µε 0. γ. Σε κάθε αριθµητική πρόοδο (α ν ) για τους όρους της α,α 4,α 6 ισχύει η σχέση α 4 =α +α 6. Μονάδες 4,5 Β.3.Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Aν σε µια γεωµετρική πρόοδο ο πρώτος όρος είναι ίσος µε 1 και ο λόγος ίσος µε, τότε το άθροισµα των πρώτων ν όρων της είναι ίσο µε: ν 1 Α., Β. ν -1, Γ. ν-1,. 1- ν, Ε. Κανένα από τα προηγούµενα. Μονάδες 9

10 Θέµατα 000 ΘΕΜΑ ο ίνεται το πολυώνυµο P(x)=αx 3 +(β-1)x -3x-β+6, όπου α,β πραγµατικοί αριθµοί. α) Αν ο αριθµός 1 είναι ρίζα του πολυωνύµου P(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) µε το x+1 είναι ίσο µε, τότε να δείξετε ότι α= και β=4. Μονάδες 15 β) Για τις τιµές των α και β του ερωτήµατος α), να λύσετε την εξίσωση P(x)=0. Μονάδες 10 ΘΕΜΑ 3ο ίνεται η συνάρτηση f(x)=ηµxσυνx-ηµ x-4συν x, όπου x πραγµατικός αριθµός. α) Να µετατρέψετε τη συνάρτηση f στη µορφή f(x)=ρηµ(x+φ)+k, όπου ρ,φ,k πραγµατικοί αριθµοί και ρ>0. Μονάδες 9 β) Να βρείτε για ποιες τιµές του x η συνάρτηση f παίρνει τη µέγιστη τιµή και ποια είναι αυτή. Μονάδες 6 π γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) - f x + = στο 4 διάστηµα [0,π]. Μονάδες 10 ΘΕΜΑ 4ο Ένας πληθυσµός βακτηριδίων τριπλασιάζεται σε αριθµό κάθε µια ώρα. 10

11 Θέµατα 000 A. Αν αρχικά υπάρχουν 10 βακτηρίδια, να βρείτε το πλήθος των βακτηριδίων ύστερα από 6 ώρες. Μονάδες 9 B. Στο τέλος της έκτης ώρας ο πληθυσµός των βακτηριδίων ψεκάζεται µε µια ουσία, η οποία σταµατά τον πολλαπλασιασµό τους και συγχρόνως προκαλεί την καταστροφή βακτηριδίων κάθε ώρα. B.1. Να βρείτε το πλήθος των βακτηριδίων που αποµένουν 0 ώρες µετά τον ψεκασµό. Μονάδες 8 B..Μετά από πόσες ώρες από τη στιγµή του ψεκασµού θα καταστραφούν όλα τα βακτηρίδια; Μονάδες 8 KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ! 11

12 Θέµατα Σεπτεµβρίου 000 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 9 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε ότι ένα πολυώνυµο P(x) έχει παράγοντα το x-ρ αν και µόνον αν το ρ είναι ρίζα του P(x), δηλαδή αν και µόνον αν P(ρ) = 0. Μονάδες 1,5 Β.1. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράµµα τον αριθµό της Στήλης Β που περιέχει έναν παράγοντα του πολυωνύµου της Στήλης Α. Στήλη Α Στήλη Β α. x 3-3x+ 1. x - α β. x -9. x + α γ. x 3 -αx +α 3 3. x x - 1 Mονάδες 7,5 1

13 Θέµατα Σεπτεµβρίου 000 B.. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Αν το πολυώνυµο P(x) = x λx -, όπου λ πραγµατικός αριθµός, έχει παράγοντα το x-1, τότε το λ είναι : Α: -1 Β: 1 Γ: 0 : Ε: - Μονάδες 5 ΘΕΜΑ ο α. Να βρείτε τις τιµές του πραγµατικού αριθµού x για τις οποίες οι αριθµοί x - 4, x + 4 και 3x - 4 είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου. Μονάδες 10 β. Αν ο αριθµός x + 4 είναι ο έκτος όρος της αριθµητικής προόδου του α. ερωτήµατος, να βρείτε τον πρώτο όρο της. Μονάδες 7 γ. Να βρείτε το άθροισµα των 10 πρώτων όρων της αριθµητικής προόδου του α. ερωτήµατος. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 3ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = -ηµx-συνx, όπου x πραγµατικός αριθµός. α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f παίρνει τη 5π µορφή: f(x)= ηµ x + 4 Μονάδες 15 13

14 Θέµατα Σεπτεµβρίου 000 β. Να λυθεί η εξίσωση -ηµx - συνx = Μονάδες 10 ΘΕΜΑ 4ο Στους δίσκους Α και Β µιας ζυγαριάς υπάρχουν βάρη 40 και 0 γραµµαρίων αντίστοιχα. Α. Στο δίσκο Α τοποθετούµε διαδοχικά βάρη των 0 γραµµαρίων το καθένα. Στο δίσκο Β τοποθετούµε τριπλάσιο βάρος του αρχικού και συνεχίζουµε προσθέτοντας βάρη, καθένα από τα οποία είναι τριπλάσιο του βάρους που είχε τοποθετηθεί την αµέσως προηγούµενη φορά. α. Αν το συνολικό βάρος στο δίσκο Β είναι 40 γραµµάρια, να βρείτε πόσες φορές χρειάστηκε να τοποθετήσουµε βάρη στο δίσκο αυτό. Μονάδες 10 β. Πόσα βάρη των 0 γραµµαρίων πρέπει να τοποθετήσουµε στο δίσκο Α ώστε να ισορροπήσει η ζυγαριά; Μονάδες 5 Β. Θεωρούµε την αρχική κατάσταση µε τα βάρη των 40 και 0 γραµµαρίων που υπήρχαν στους δίσκους Α και Β αντίστοιχα. Στο δίσκο Β τοποθετούµε βάρος ίσο µε το µισό του αρχικού βάρους και συνεχίζουµε τη διαδικασία προσθέτοντας βάρη καθένα από τα οποία είναι ίσο µε το µισό του βάρους που είχε τοποθετηθεί την αµέσως προηγούµενη φορά. Αν η διαδικασία αυτή µπορεί να συνεχιστεί επ' άπειρον, να δείξετε ότι το 14

15 Θέµατα Σεπτεµβρίου 000 συνολικό βάρος στο δίσκο Β δεν υπερβαίνει το αρχικό βάρος στο δίσκο Α. Μονάδες 10 KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 15

16 Θέµατα 001 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Έστω η πολυωνυµική εξίσωση α ν x ν + α ν-1 x ν α 1 x + α 0 = 0, µε ακέραιους συντελεστές. Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, να αποδείξετε ότι ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α 0. Μονάδες 6,5 Α.. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Έστω πολυώνυµο Ρ(x) και ρ ένας πραγµατικός αριθµός. Αν το Ρ(x) έχει παράγοντα το x ρ και π(x) είναι το πηλίκο της διαίρεσης του Ρ(x) µε το x ρ, τότε: α. Ρ(x) = (x ρ) π(x) + 1 β. π(x) = (x ρ) P(x) γ. ο βαθµός του υπολοίπου της διαίρεσης του Ρ(x) µε το x-ρ είναι ίσος µε µηδέν δ. Ρ(ρ) = 0. Μονάδες 6 16

17 Θέµατα 001 Β.1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Η εξίσωση 3x 3 5x + 6 = 0 έχει ρίζα το 4. β. Η εξίσωση 4x 4 + 5x + 7x + 4 = 0 έχει ρίζα το. γ. Η εξίσωση 6x 6 3x 3 + x x + = 0 δεν έχει ρίζα το 3. Μονάδες 6 Β.. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Το πολυώνυµο P(x) = (4x + 5) x 001 έχει παράγοντα το: α. x + 1 β. x 1 γ. x δ. x Μονάδες 6,5 ΘΕΜΑ ο Για τη γωνία α ισχύει ότι 5 συνα 14 συνα 7 = 0. α. Να δείξετε ότι συνα = 5 3. Μονάδες 10 3π β. Αν επιπλέον ισχύει π α, να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς ηµα, συνα και εφα. Μονάδες 15 17

18 Θέµατα 001 ΘΕΜΑ 3ο Ο τρίτος όρος µιας αριθµητικής προόδου (α ν ) είναι ίσος µε α 3 = log15 και η διαφορά της είναι ίση µε ω = log5. α. Να δείξετε ότι ο πρώτος όρος α 1 της προόδου είναι ίσος µε τη διαφορά ω. Μονάδες 8 β. Να υπολογίσετε το άθροισµα Α = α 1 + α α 9. Μονάδες 8 γ. Έστω (β ν ) µία γεωµετρική πρόοδος µε β 1 = α 1 και β = α, όπου α 1 και α ο πρώτος και ο δεύτερος όρος της παραπάνω αριθµητικής προόδου αντίστοιχα. Να υπολογίσετε το άθροισµα Β = β 1 + β 3 + β β β 001. Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 4ο Έστω Q(t) η τιµή ενός προϊόντος (σε εκατοντάδες χιλιάδες δραχµές), t έτη µετά την κυκλοφορία του προϊόντος στην αγορά. Η αρχική τιµή του προϊόντος ήταν δραχµές, ενώ µετά από 6 µήνες η τιµή του είχε µειωθεί στο µισό της αρχικής του τιµής. Αν είναι γνωστό ότι ισχύει ln Q(t) = αt + β, t 0 όπου α, β ΙR, τότε: α. να δείξετε ότι Q(t) = 3 4 t, t 0, Μονάδες 10 β. να βρείτε σε πόσο χρόνο η τιµή του προϊόντος θα γίνει ίση µε 1/16 της αρχικής του τιµής, Μονάδες 8 γ. να βρείτε τον ελάχιστο χρόνο για τον οποίο η τιµή του προϊόντος δεν υπερβαίνει το 1/9 της αρχικής του τιµής. Μονάδες 7 18

19 Θέµατα Επαναληπτικών 001 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 3 ΙΟΥΛΙΟΥ 001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι: ηµ(α+β)=ηµα συνβ+ συνα ηµβ Μονάδες 6,5 Α.. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράµµα τον αριθµό της στήλης Β, που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Στήλη Α α. ηµα 1. Στήλη Β 1 συνα β. συν(α+β). ηµα συνα γ. ηµ α συνα δ. συνα 4. ηµ α-1 5. συν α-1 6. συνα συνβ-ηµα ηµβ 7. συνα συνβ+ηµα ηµβ Μονάδες 6 19

20 Θέµατα Επαναληπτικών 001 Β.1. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση Αν Α=ηµ π π π π x συν + x + ηµ + x συν x , τότε η τιµή της Α είναι: α. 0 β. γ. -1 δ. 1 ε. - Μονάδες 4,5 Β.. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. π + 3 α. ηµ = 1 4 π π 3 β. ηµ συν = γ. συνx συν3x-ηµ3x ηµx=συνx π 1 δ. συν 1 = 3 Μονάδες 8 ΘΕΜΑ ο Αν α =συνθ, α 3 = ηµθ, α 4 = 3 εφθ µε θ (0, π ) είναι ο δεύτερος, τρίτος και τέταρτος όρος µιας γεωµετρικής προόδου (α ν ): 0

21 Θέµατα Επαναληπτικών 001 α. να δείξετε ότι θ= 3 π Μονάδες 8 β. να βρείτε το λόγο λ και τον πρώτο όρο α 1 της γεωµετρικής προόδου (α ν ) Μονάδες 10 γ. να βρείτε το άθροισµα των τεσσάρων πρώτων όρων της γεωµετρικής προόδου (α ν ). Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 3ο ίνεται το πολυώνυµο f(x), όπου 1 λ+ f(x)=x 4 +5 λ-1 x 3-3 x +5 λ x-1, λ ΙR,. Α. Αν x-1 είναι παράγοντας του f(x), τότε να βρείτε το λ. Μονάδες 13 1 Β. Για λ = α. να δείξετε ότι το (x-1) είναι παράγοντας του 1 λ+ f(x)=x 4 +5 λ-1 x 3-3 x +5 λ x-1 Μονάδες 6 β. να βρείτε τα διαστήµατα, στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυµικής συνάρτησης 1 λ+ f(x)=x 4 +5 λ-1 x 3-3 x +5 λ x-1 βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x. Μονάδες 6 1

22 Θέµατα Επαναληπτικών 001 ΘΕΜΑ 4ο 3 x ίνεται η συνάρτηση f(x)= ln. 3+ x α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή. 1 γ. Να συγκρίνετε τους αριθµούς f(0) και f. 3 δ. Να λύσετε την εξίσωση: f(x)+f(x+1)=0. Μονάδες 5 Μονάδες 8 Μονάδες 5 Μονάδες 7 KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

23 Θέµατα Σεπτεµβρίου 001 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 14 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ 1ο Α.α) Αν α,β είναι δύο γωνίες για τις οποίες ισχύει συνα 0, συνβ 0 και συν(α+β) 0 να αποδείξετε ότι: εφα + εφβ εφ(α+β)=. 1 εφα εφβ Μονάδες 6,5 β) Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράµµα τον αριθµό της Στήλης Β, που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Στήλη Α Στήλη Β α. ηµα 1. ηµα συνα β. συνα. 1-ηµ α γ. συν(α+β) 3. ηµ α α συν 4. 1-συν α 5. συνα συνβ-ηµα ηµβ 6. συνα ηµβ+ηµα συνβ Μονάδες 6 3

24 Θέµατα Σεπτεµβρίου 001 Β.1. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Αν Α= συν π 15π π 15π συν ηµ ηµ, τότε η τιµή της παράστασης Α είναι α. 1 β. 1 γ. 0 δ. 1 ε. 1 Μονάδες 6,5 Β.. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις (ισότητες) που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. 1-ηµ π 1 = 4 β. ηµ γ. π π συν = 8 8 π π εφ + εφ 3 4 = π π 1 εφ εφ 3 4 7π εφ 1 Μονάδες 6 ΘΕΜΑ ο ίνεται το πολυώνυµο: f(x)=x 4 -x 3 -x -x-, x ΙR. α. Να αποδείξετε ότι το x+1 είναι παράγοντας του f(x) και να βρείτε το πηλίκο π(x) της διαίρεσης του f(x) µε το x+1. Μονάδες 9 4

25 Θέµατα Σεπτεµβρίου 001 β. Να αποδείξετε ότι το x- είναι παράγοντας του π(x) και να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του π(x) µε το x-. Μονάδες 9 γ. Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυµικής συνάρτησης f(x) βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 3ο ίνεται η συνάρτηση f(x)=α(logx) 4 +8(logx). log(100x), x>0 όπου α ΙR. Α. Αν f(10)=5, να δείξετε ότι α=1. Μονάδες 5 Β. Για την τιµή α=1 να: α. δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη µορφή f(x)=(log x+4 logx) Μονάδες 10 β. λύσετε την εξίσωση f(x)=0. Μονάδες 10 ΘΕΜΑ 4ο Σε ένα θέατρο, η πρώτη σειρά έχει 70 καθίσµατα και η τελευταία έχει 50 καθίσµατα. Το πλήθος των καθισµάτων κάθε σειράς σχηµατίζει αριθµητική πρόοδο. Η προτελευταία σειρά έχει 140 καθίσµατα περισσότερα από τη δεύτερη σειρά. 5

26 Θέµατα Σεπτεµβρίου 001 α. Να αποδείξετε ότι κάθε σειρά καθισµάτων του θεάτρου έχει 0 καθίσµατα περισσότερα από την προηγούµενη σειρά. Μονάδες 10 β. Να υπολογίσετε το πλήθος των καθισµάτων του θεάτρου. Μονάδες 7 γ. Την πρώτη παράσταση ενός θεατρικού έργου παρακολούθησαν 100 θεατές, ενώ σε κάθε επόµενη παράσταση ο αριθµός των θεατών διπλασιαζόταν. Ποια είναι η παράσταση στην οποία για πρώτη φορά θα γεµίσει το θέατρο; Μονάδες 8 KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ 6

27 Θέµατα 00 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο υ της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P(x) µε το x - ρ είναι ίσο µε την τιµή του πολυωνύµου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = P(ρ). Μονάδες 9 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. e x = θ lnθ = x, θ>0 β. Αν α>0 µε α 1, τότε για οποιουσδήποτε θ 1, θ > 0 ισχύει: log α (θ 1 θ ) = log α θ 1 log α θ γ. εφα = εφα 1+ εφ α δ. ηµ α = ε. εφ(α -β) = 1- συνα εφα + εφβ 1 εφα εφβ. Μονάδες 10 Γ. Πότε µία ακολουθία λέγεται: α. αριθµητική πρόοδος; β. γεωµετρική πρόοδος; Μονάδες 6 7

28 Θέµατα 00 ΘΕΜΑ ο ίνονται οι αριθµοί α 1 = συνα, α = συν α, α 3 = 1, όπου η π γωνία α ικανοποιεί τη σχέση 0 < α <. α. Να αποδείξετε ότι αυτοί οι αριθµοί, µε τη σειρά που δίνονται, αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου. Μονάδες 7 β. Να βρείτε τη διαφορά ω αυτής της προόδου. Μονάδες 8 γ. Να βρείτε το άθροισµα των πέντε πρώτων όρων της προόδου. Μονάδες 10 ΘΕΜΑ 3ο ίνεται το πολυώνυµο P(x) = kx 3 - (k + λ)x + λx α. Αν P - = 7 και λ = -5. και P(-1) = 3, να αποδείξετε ότι k = -6 Μονάδες 8 β. Να γίνει η διαίρεση του P(x), για k = -6 και λ = -5, µε το πολυώνυµο x + 1 και να γραφεί το P(x) µε την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης. Μονάδες 8 γ. Να λυθεί η ανίσωση P(x) > 7 για k = -6 και λ = -5. Μονάδες 9 8

29 Θέµατα 00 ΘΕΜΑ 4ο ίνεται η συνάρτηση x e -1 f(x) = ln x e 5 +. α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f(x). β. Να λύσετε την εξίσωση f(x) = ln. γ. Να λύσετε την ανίσωση f(x) > 0. Μονάδες 5 Μονάδες 10 Μονάδες 10 KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ 9

30 Θέµατα Σεπτεµβρίου 00 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ 1ο Α. Αν α>0 µε α 1, τότε για οποιουσδήποτε αριθµούς θ 1, θ >0, να αποδείξετε ότι ισχύει: log α (θ 1 θ ) = log α θ 1 + log α θ. Μονάδες 9 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Τρεις µη µηδενικοί αριθµοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου, αν και µόνο αν ισχύει α = βγ. β. Τρεις αριθµοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου, αν και µόνο αν ισχύει α + γ β =. γ. Ο ν ος όρος µιας αριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω είναι α ν = α 1 + (ν 1)ω. δ. Το άθροισµα των πρώτων ν όρων µιας γεωµετρικής λ ν προόδου (α ν ) µε λόγο λ 1 είναι S ν = α 1. λ 1 Μονάδες 8 30

31 Θέµατα Σεπτεµβρίου 00 Γ. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράµµα τον αριθµό της Στήλης Β, που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Στήλη Α α. ηµ(α β) 1. ηµασυνα Στήλη Β β. ηµα. εφα + εφβ 1 εφαεφβ γ. εφα 3. ηµασυνβ ηµβσυνα δ. εφ(α β) 4. εφα 1 εφ α 5. συνασυνβ ηµαηµβ 6. εφα εφβ 1+ εφαεφβ Μονάδες 8 ΘΕΜΑ ο ίνεται το πολυώνυµο: P(x) = x 3 6x + 11x 6. α. Να βρείτε την αριθµητική τιµή του πολυωνύµου P(x) για x = 1. Μονάδες 5 β. Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του πολυωνύµου P(x) µε το πολυώνυµο x 1. Μονάδες 10 γ. Να λύσετε την ανίσωση P(x) < 0. Μονάδες 10 31

32 Θέµατα Σεπτεµβρίου 00 ΘΕΜΑ 3ο x α 1 ίνεται η συνάρτηση f(x) =. 5 ΘΕΜΑ 4ο α. Να βρείτε τις τιµές του α ΙR, για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το ΙR. Μονάδες 7 β. Να βρείτε τις τιµές του α ΙR, για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Μονάδες 8 γ. Εάν α = 11, να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(x+1) = 6. Μονάδες 10 Εστω δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β. Αν συµβολίσουµε µε Α 0 τον αρχικό πληθυσµό της κοινωνίας Α και µε Β 0 τον αρχικό πληθυσµό της κοινωνίας Β, τότε 9Α 0 =10 11 Β 0. Ο πληθυσµός της κοινωνίας Α µειώνεται κάθε ώρα κατά το 1 του αρχικού πληθυσµού της, ενώ ο πληθυσµός της 100 κοινωνίας Β αυξάνεται ανά ώρα µε γεωµετρική πρόοδο µε λόγο λ. Οι δύο πληθυσµοί γίνονται ίσοι 10 ώρες µετά την αρχική στιγµή. α. Να δείξετε ότι ο λόγος της γεωµετρικής προόδου που αναφέρεται στον πληθυσµό Β είναι λ = 10. Μονάδες 10 β. Πέντε ώρες µετά την αρχική στιγµή ο πληθυσµός της κοινωνίας Β είναι βακτηρίδια. Να δείξετε ότι ο αρχικός πληθυσµός της κοινωνίας Β ήταν 10 5 βακτηρίδια. Μονάδες 8 3

33 Θέµατα Σεπτεµβρίου 00 γ. Να βρείτε τον πληθυσµό της κοινωνίας Α, 99 ώρες µετά την αρχική στιγµή. Μονάδες 7 KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ 33

34 Θέµατα 003 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΜΑΪΟΥ 003 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε ότι ο ν ος όρος µιας αριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω είναι α ν = α 1 + (ν-1)ω. Μονάδες 7 Β. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Αν log α θ = x, τότε: α. α θ = x β. x α = θ γ. α x = θ Μονάδες 3 Γ. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Αν S ν συµβολίζει το άθροισµα των πρώτων ν όρων µιας γεωµετρικής προόδου α ν µε λόγο λ 1 και πρώτο όρο α 1, τότε είναι: λ 1 α. S ν = α 1 β. S λ ν ν = α λ ν ν 1 1 γ. S ν = α 1 λ 1 1 λ 1 λ 1 Μονάδες 3. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Ο τύπος που εκφράζει την εφαπτοµένη της γωνίας α είναι: εφα εφα α. εφα = β. εφα = 1 εφ α 1+ εφ α εφα γ. εφα = 1 εφ α Μονάδες 3 34

35 Θέµατα 003 Ε. Να γράψετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω προτάσεις ορθά συµπληρωµένες: α. Ο βαθµός του γινοµένου δύο µη µηδενικών πολυωνύµων είναι ίσος µε το... των βαθµών των πολυωνύµων αυτών. β. Τρεις µη µηδενικοί αριθµοί α,β,γ είναι διαδοχικοί όροι... προόδου, αν και µόνο αν ισχύει β = αγ. γ. Αν α είναι ένας θετικός αριθµός και α 1, τότε η συνάρτηση f(x) = α x έχει σύνολο τιµών το διάστηµα... Μονάδες 9 ΘΕΜΑ ο Για κάθε πραγµατικό αριθµό x να αποδείξετε ότι: συνx(ηµx+4ηµx)=(συνx+4συνx+1)ηµx Μονάδες 1 και να βρείτε εκείνους τους πραγµατικούς αριθµούς x για τους οποίους συνx+4συνx+1 = 0. Μονάδες 13 ΘΕΜΑ 3ο ίνεται η ακολουθία µε γενικό όρο α ν = -11+ν µε πρώτο όρο α 1 καθώς και το πολυώνυµο P(x) = x 3-3x -x+3. α. Να αποδείξετε ότι η ακολουθία α ν είναι αριθµητική πρόοδος και έχει πρώτο όρο α 1 = -9 και διαφορά ω =. Μονάδες 9 β. Να βρείτε το άθροισµα S = α 1 +α α 1, όπου α 1, α 13,..., α 1 είναι διαδοχικοί όροι της προόδου α ν. Μονάδες 7 35

36 Θέµατα 003 γ. Να αποδείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης P(x)=0 είναι διαδοχικοί όροι της παραπάνω προόδου α ν. Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 4ο ίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e x -e x +3) και g(x) = ln3+ln(e x -1). α. Να βρείτε τα πεδία ορισµού των f(x) και g(x). Μονάδες 6 β. Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x). Μονάδες 10 γ. Να λύσετε την ανίσωση f(x) > g(x). Μονάδες 9 KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ 36

37 Θέµατα Σεπτεµβρίου 003 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 003 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ 1ο 1. Να αποδείξετε ότι τρεις µη µηδενικοί αριθµοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου, αν και µόνο αν ισχύει β = αγ. Μονάδες 9. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. Αν α>0 µε α 1, για οποιουσδήποτε θ 1,θ,θ>0 και k ΙR ισχύουν: α. ( θ + θ ) logα 1 = logαθ1 + logαθ θ β. log 1 α = log θ log θ θ α 1 α k γ. logα θ = αlogkθ. Μονάδες 6 3. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στο σωστό τύπο. Ο τύπος που εκφράζει το συνα είναι: α. συνα = συν α ηµ α β. συνα = 1 συν α γ. συνα = ηµ α 1. Μονάδες 4 37

38 Θέµατα Σεπτεµβρίου Να γράψετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω προτάσεις ορθά συµπληρωµένες: α. Αν Ρ(x) = α k x k + α k 1 x k α 1 x + α 0 ένα πολυώνυµο µε α k 0, τότε ο αριθµός k λέγεται... του πολυωνύµου Ρ(x). β. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης δύο πολυωνύµων είναι το µηδενικό πολυώνυµο, τότε η διαίρεση λέγεται.... Μονάδες 6 ΘΕΜΑ ο Έστω η συνάρτηση f(x) = (α+1)συν(βπx), όπου α και β είναι θετικοί πραγµατικοί αριθµοί. α. Αν η µέγιστη τιµή της f(x) είναι 3 και η περίοδός της είναι 1 4, να αποδείξετε ότι α = και β =. Μονάδες 13 β. Για τις τιµές α = και β = f(x) = 3. 1, να λύσετε την εξίσωση Μονάδες 1 ΘΕΜΑ 3ο Έστω Ρ(x) πολυώνυµο 3 ου βαθµού, το οποίο διαιρείται µε το πολυώνυµο x + 1, έχει ρίζα το 0 και του οποίου το άθροισµα των συντελεστών είναι ίσο µε. α. Να αποδείξετε ότι Ρ(x) = x 3 + x. Μονάδες 14 38

39 Θέµατα Σεπτεµβρίου 003 β. Να λύσετε την ανίσωση: (Ρ(x) ) 3 + (Ρ(x) ) + Ρ(x) >. Μονάδες 11 ΘΕΜΑ 4ο 1. Για ποιες τιµές του x ΙR οι αριθµοί log(3. x 1), log(4. x 1), log(8. x ) µε τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου; Μονάδες 13. Εάν ο τέταρτος όρος της παραπάνω αριθµητικής προόδου είναι α 4 = log, να βρείτε τον πρώτο όρο της προόδου. Μονάδες 1 KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ 39

40 Θέµατα 004 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Αν α>0 µε α 1, θ>0 και k IR, να δείξετε ότι ισχύει: og α θ k = k og α θ. Μονάδες 9 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α) Για οποιουσδήποτε θετικούς αριθµούς x 1,x ισχύει 1 ogx1 x x og =. ogx β) Το άθροισµα των πρώτων ν όρων αριθµητικής προόδου (α ν ) είναι S ν = α1 + αν ν. γ) Αν υ(x) είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου (x) δια του δ(x), όπου δ(x) και υ(x) είναι µη µηδενικά πολυώνυµα, τότε ο βαθµός του υ(x) είναι µικρότερος από τον βαθµό του δ(x). δ) Εάν α,β,γ είναι διαδοχικοί όροι οποιασδήποτε αριθµητικής προόδου, τότε ισχύει β =αγ. Μονάδες 4 40

41 Θέµατα 004 Γ. Να συµπληρώσετε στο τετράδιό σας στις παρακάτω ισότητες, τα κενά που σηµειώνονται µε α. ν α µ = α β. όπου α>0, µ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος og α θ α =... όπου θ>0 και α>0 µε α 1 x γ. og α α =... όπου α>0 µε α 1 και x IR Μονάδες 6. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα και να τον συµπληρώσετε µε το είδος της µονοτονίας των συναρτήσεων ηµx και συνx. ηµx x 0 π π 3π π συνx Μονάδες 6 ΘΕΜΑ ο α) Να λύσετε την εξίσωση ηµx- 3 συνx=0. β) Να αποδείξετε ότι 1 συνα = ηµα + ηµα α εφ για όλες τις τιµές του α που ορίζεται η ισότητα. Μονάδες 13 Μονάδες 1 41

42 Θέµατα 004 ΘΕΜΑ 3ο ίνεται το πολυώνυµο Ρ(x) = x 4-8x 3 +(5α-1)x +8x-3α-6, όπου α IR. α. Να κάνετε την διαίρεση του Ρ(x) δια του x -1 και να γράψετε τη σχετική ταυτότητα. Μονάδες 9 β. Να βρείτε την τιµή του α, ώστε η παραπάνω διαίρεση να είναι τέλεια. Μονάδες 4 γ. Για α=3, να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης Ρ(x)=0 καθώς και τα διαστήµατα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυµικής συνάρτησης Ρ(x) είναι κάτω από τον άξονα x x. Μονάδες 1 ΘΕΜΑ 4ο Α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης x 1 1 f(x)= x Μονάδες 13 Β. ίνεται η συνάρτηση g(x)=5 x. Να λύσετε την εξίσωση: 15(5 50 1) g(x)+g(x+1)+g(x+)+...+g(x+49)=. 4 Μονάδες 1 4

43 Θέµατα Σεπτεµβρίου 004 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ 1ο 1. Αν συνα 0, συνβ 0, συν(α+β) 0, να δείξετε ότι: εφα + εφβ εφ(α+β)=. 1 εφαεφβ Μονάδες 9. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Η συνάρτηση f(x)=ρηµωx έχει περίοδο Τ=ωπ για οποιοδήποτε ω>0, ρ>0. β. Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου Ρ(x) µε το x ρ είναι υ=ρ(ρ). γ. Το άθροισµα των πρώτων ν όρων µιας γεωµετρικής προόδου (α ν ) µε λόγο λ 1 είναι: S ν ν λ 1 = α1. 1 λ δ. Αν α>0 µε α 1, τότε για οποιοδήποτε θ 1 >0, θ >0 ισχύει: log α (θ 1 +θ )=log α θ 1 log α θ. Μονάδες 8 3. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στον σωστό τύπο. Αν γνωρίζουµε το συνα (συνα 1), ο τύπος που εκφράζει την εφ α είναι: 43

44 Θέµατα Σεπτεµβρίου 004 α. εφ α= 1 + συνα. β. εφ α= 1 συνα 1 + συνα. γ. εφ α= 1 συνα. Μονάδες 4 4. ίνεται η εκθετική συνάρτηση f(x)=α x µε α>0 και α 1. α. Για ποιες τιµές του α η f(x) είναι γνησίως αύξουσα στο ΙR ; β. Για ποιες τιµές του α η f(x) είναι γνησίως φθίνουσα στο ΙR ; Μονάδες 4 ΘΕΜΑ ο ίνεται η εξίσωση 3 συνx ηµx=0. α. Να λύσετε την εξίσωση στο ΙR. Μονάδες 15 β. Ποιες από τις λύσεις της παραπάνω εξίσωσης ανήκουν στο διάστηµα (0,3π); Μονάδες 10 ΘΕΜΑ 3ο ίνεται η γεωµετρική πρόοδος (α ν ) µε α 4 =4 και α 7 =3 και το πολυώνυµο Ρ(x)=x 4 +k 3 x 3 6k x (k+)x-4k, k ΙR. 44

45 Θέµατα Σεπτεµβρίου 004 α. Nα βρείτε τον πρώτο όρο α 1 και το λόγο λ της προόδου. Μονάδες 1 β. Αν ο τρίτος όρος α 3 της γεωµετρικής προόδου είναι µία ρίζα της εξίσωσης Ρ(x)=0, να βρείτε τις τιµές του k. ΘΕΜΑ 4ο Μονάδες Για ποιες τιµές του x ΙR ισχύει κάθε µία από τις παρακάτω ισότητες; logx 4 =4log( x), logx =logx, logx logx 4 =. Μονάδες 1. Να λυθεί η εξίσωση logx4 (x ) 1+ =10 6. Μονάδες 13 KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ 45