ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

Transcript

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο A. α) Αν α>0 και α 1,τότε για οποιουσδήποτε θ 1, θ >0 να δείξετε ότι log α (θ 1. θ )=log α θ 1 +log α θ ( μον. 9 ) β)να συμπληρώσετε τις ισότητες : log α α χ =. log α 1=. log α (θ 1 : θ )= α log α θ =.. ( μον. 8 ) Β. Να γράψετε το σωστό ή το λάθος στα παρακάτω: ( μον. 8 ) 1. το μηδενικό πολυώνυμο είναι μηδενικού βαθμού. το Ρ(χ)=χ 3 +5χ +6χ είναι πολυώνυμο του χ 3. Αν εφχ=θ τότε χ=κπ+θ 4. ln+ln3=ln6 ΘΕΜΑ ο Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(χ) = αχ 3-5χ + 8χ + β Α. Να βρείτε τα α, β αν το Ρ(χ) έχει παράγοντα το χ-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(χ):χ είναι το -4. ( μον. 1 ) Β. Για α=1 και β= να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαἰρεσης Ρ(χ):(χ -3χ) ( μον. 8 ). να λυθεί η ανίσωση Ρ(χ)>0 ( μον. 5 ) ΘΕΜΑ 3 ο Έστω f()=(α-) και g()=ln(3-1) α) Να βρεθούν οι τιμές του α ώστε η f() να είναι εκθετική ( μον. 6 ) β) Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των f,g ( μον. 8 ) γ) Για α=5 να λυθεί η εξίσωση g(χ)=ln[f () 3lne] ( μον. 11 ) ΘΕΜΑ 4 ο Ένα ξενοδοχείο με 15 ορόφους έχει αποκλειστικά μονόκλινα δωμάτια. Ο αριθμός των δωματίων κάθε ορόφου αυξάνεται πάντα κατά τον ίδιο σταθερό αριθμό. Ο 1 ος όροφος έχει 15 δωμάτια και ο 7 ος έχει 33 δωμάτια. Α. πόσα δωμάτια έχει ο 10 ος όροφος; ( μον. 9 ) Β.Αν στον 1 ο όροφο υπάρχουν 5 κενά δωμάτια, στον ο όροφο υπάρχουν 9 κενά δωμάτια, στον 3 ο όροφο υπάρχουν 13 κενά δωμάτια, α) από ποιόν όροφο και μετά θα υπάρχουν μόνο κενά δωμάτια; ( μον. 8 ) β) πόσοι είναι όλοι οι πελάτες του ξενοδοχείου; ( μον. 8 )

2 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να αποδείξετε ότι: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Ο εφα + εφβ εφ( α + β ) = 1 όπου συν(α+β),συνα,συνβ 0 (μον.16) εφαφεβ Β. Να αντιστοιχίσετε στον παρακάτω πίνακα κάθε εξίσωση της 1 ης στήλης με τη λύση της στη η στήλη. (μον.9) 1 η στήλη η στήλη Α. ημχ=1/ 1. χ=κπ+π/6 ή χ=κπ+π-π/6. χ=κπ-π/4 ή χ=κπ+π/4 Β. συνχ=1 3. χ=κπ ± π/ 4. χ=κπ Γ. εφχ=0 5. χ=κπ+π/4 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση (μον. 10) 1. η εξίσωση 3χ 3-5χ+6=0 έχει ρίζα το 4. συνχ.συν3χ-ημχ.ημ3χ=συνχ 3. η f()=ln έχει σύνολο τιμών το (0,+οο) 4. Αν α, β, γ διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε: β =α.γ 5. Κάθε μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό μηδέν ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι αριθμοί α 1 =-3, α =3 χ, α 3 =3 χ Α. Να βρεθεί το χ ώστε με τη σειρά που δίνονται να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου (μον. 10) Β. Για χ=1 να βρείτε τη διαφορά ω της παραπάνω προόδου (μον. 5) Γ. Να βρείτε τον 10 ο όρο της (μ0ν. 10) ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται το πολυώνυμο Π(χ)=αχ 3 +3χ +βχ+α+1 Α. Αν το Π(χ) έχει ρίζα το -3 και παράγοντα το χ-1,να βρείτε τις τιμές των α,β. (μ0ν. 10) Β. Για α= και β=-8 να λυθεί η ανίσωση Π(χ)>0 (μον. 15)

3 3 ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η συνάρτηση f()=log,>0 Α. Να βρείτε το πρόσημο της παράστασης Α=f(1/100).f(100) (μον.. 5) Β. Να αποδείξετε ότι : f (3) + 3 f () f (6) + 1 = 1 f (0) (μον.. 5) Γ. Να λυθεί η εξίσωση: (f()) 4 -(f()) 3 -(f()) -f()-=0 (μον.. 5) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3 Ο Θέμα 1 Ο Α) Να αποδείξετε ότι: συνα = συν α 1 Μον. 10 Β) Αν 0 < α 1 και θ > 0 τότε τι ονομάζουμε λογάριθμο του θ με βάση το α; Μον. 5 Γ) Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις: Μον. 10 α) 1 ln 1 e =. β) Αν για το πολυώνυμο Ρ() είναι Ρ(ρ) 0 τότε το Ρ() δεν έχει παράγοντα το -ρ. γ) Η εξίσωση συνχ=α με a >1, έχει άπειρες ρίζες. ln( θ θ ) = lnθ lnθ, με θ1, θ > 0. δ) 1 1 ε) Αν ο διαιρέτης σε μια διαίρεση πολυωνύμων είναι δευτέρου βαθμού τότε το υπόλοιπο έχει βαθμό το πολύ 1. Θέμα Ο Δίνεται το πολυώνυμο Ρ() = (λ+1) 3 + ( -1) ημλ + -1, όπου λ R. α) Να βρεθεί η τιμή του λ για την οποία το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ() με το -1 να είναι ίσο με το. Μον. 8 β) Να βρεθούν οι τιμές του λ R, ώστε το Ρ() να έχει ρίζα το μηδέν. Μον. 8 γ) Για λ=0 να λυθεί η εξίσωση: Ρ() = 1. Μον. 9

4 4 Θέμα 3 Ο Δίνεται η συνάρτηση f()=4, R. α) Να τοποθετήσετε σε μια σειρά από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο, αιτιολογώντας την απάντηση, τους αριθμούς: f(1/), f( ), 1, f(-1). Μον.8 β) Να λύσετε την εξίσωση: f ( ) 3 f ( ) 4 = 0. Μον.10 γ) Να λύσετε την ανίσωση: f ( ) > f (4). Μον. 7 Θέμα 4 Ο Δίνεται η συνάρτηση ln(3 11) f ( ) = ln( 5). α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Μον. 8 β) Να δείξετε ότι το σημείο Α (7,f(7)) βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ χ. Μον. 7 γ) Να λύσετε την εξίσωση f()=. Μον. 10 ΘΕΜΑ 1 Ο : ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4 Ο Α) Ένα πολυώνυμο P() έχει παράγοντα χ-ρ αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του P(). (9 μονάδες) Β) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις που ακολουθούν,γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή και Λάθος αν η πρόταση είναι λάθος, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Η συνάρτηση f()=συνχ είναι γ.αύξουσα στο [, ] π 3π. β. Η συνάρτηση f()= εφχ παίρνει τιμές από όλο το R. γ. Η ακολουθία ( αν ) με αν + 1 = αν + 3 είναι αρ.πρόοδος. δ. Η εξίσωση εφχ=-1 έχει ως λύση χ= κπ - 4 π, κ Ζ ε. Σε μια γεωμετρική πρόοδο με α 1 =4 και λ= το αν =ν+. (5Χ=10 μονάδες) Γ) Πότε δύο πολυώνυμα είναι ίσα;tι ονομάζουμε βαθμό ενός πολυωνύμου; (Χ3=6 μονάδες)

5 ΘΕΜΑ Ο : 4 3 Δίνεται το πολυώνυμο P() = + συν θ 3συνθ + 1.Αν το πολυώνυμο P() έχει παράγοντα -1, α. Να δείξετε ότι το πολυώνυμο P(-7) διαιρείται δια -4. (1μονάδες) β. Να βρείτε το θ ( 0,π] (13 μονάδες) 5 ΘΕΜΑ 3 Ο : α. Nα σχηματιστεί η Γεωμετρική πρόοδος που έχει πρώτο όρο τη μικρότερη ρίζα της εξίσωσης = 0 και λόγο τη μεγαλύτερη ρίζα της. (10 μονάδες) β. Να βρεθεί το άθροισμα των όρων που έχει πλήθος το διπλάσιο της τρίτης ρίζας της. (15 μονάδες) ΘΕΜΑ 4 Ο : ln( 3 11) Δίνεται η συνάρτηση f()= ln( 5) α. Nα βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f() (8 μονάδες) β. Να λυθεί η εξίσωση f()= (9 μονάδες) γ. Αν g()=1 με χ>6 να λύσετε την ανίσωση f()> g() (8μονάδες) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5 Ο ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες με την προϋπόθεση ότι ορίζονται. 1. ηµ α = ηµασυνα. εϕα. εϕ α =, Μονάδες 5+5=10 1 εϕα Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. ν α. Αν ( α ν ) γεωμετρική πρόοδος με λόγο λ τότε ισχύει αν = α 1 λ, ν = 1,,3,... ν β. Αν ( α ν ) αριθμητική πρόοδος τότε ισχύει S ν = ( α 1 + αν ), ν = 1,,3,..., όπου α. Μονάδες 3=6 S ν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της ( ) ν

6 6 Γ. Να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράμματα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράμμα τον αριθμό της Στήλης Β, που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. A. Στήλη Α log 4 log + log y Β. ln ( 5 + ) e Γ. ln1+ log10 Στήλη Β 4y 1. log ln ( 5 + ) log 4 y ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι παραστάσεις ( ) π π Α = ηµ + + ηµ και 4 4 ( ) π π Β = ηµ + ηµ 4 4, R. 1. Να αποδείξετε ότι Α ( ) = ηµ και ( ) συν Β =. Μονάδες 33=9. Να αποδείξετε ότι π π 4 4 ηµ + ηµ = ηµ 6 3. Να λύσετε την εξίσωση Β ( ) =.. Μονάδες 8+8+9=5 ΘΕΜΑ 3ο 1 = κ + κ + + κ κ + λ, 4 3 P( ) Θεωρούμε το πολυώνυμο ( ) ( ) ( ) κ, λ R. 1. Αν το ( ) είναι 4. Αν κ = 1 και P είναι πολυώνυμο 3 ου βαθμού και το υπόλοιπο της διαίρεσης P( ) : ( 1) να υπολογίσετε τα κ και λ. λ = τότε : α. Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης P( ) : ( 1). β. Να λυθεί η εξίσωση P( ) = 0. γ. Να λυθεί η ανίσωση P( ) < 4. Μονάδες =5

7 ΘΕΜΑ 4ο Δίνεται η συνάρτηση f ( ) = ln + ln Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της f.. Να αποδείξετε ότι f ( ) = ln (ln + 1) Να λυθεί η εξίσωση f ( ) = f e. f ( ) > f e. Μονάδες =5 4. Να λυθεί η ανίσωση ( ) 7 ΘΕΜΑ 1ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6 Ο Α. Με την προϋπόθεση ότι ορίζεται, να αποδειχθεί η ισότητα εϕα + εϕβ εϕ ( α + β ) =. Μονάδες 15 1 εϕα εϕβ B. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Έστω η πολυωνυμική εξίσωση ν α + α α + α = 0, με ακέραιους ν ν 1 ν συντελεστές. Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α 0. β. Η εκθετική συνάρτηση f ( ) = α με α > 1 είναι γνησίως φθίνουσα στο R. γ. Για κάθε α R, συν α + 1= συν α δ. Αν για δύο πολυώνυμα δεν ορίζεται βαθμός, τότε είναι ίσα. ε. Αν 0 < α 1, τότε για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς θ 1 και θ ισχύει θ θ =. Μονάδες 5=10 1 log a loga θ1 loga θ ΘΕΜΑ ο 3 Δίνεται το πολυώνυμο P() = + a + b - 0 το υπόλοιπο της διαίρεσης με το +1 είναι -16. Αν το Ρ() έχει παράγοντα το + και

8 α. Να υπολογίσετε τα α, β. β. Αν α=1 και β= 6, να λυθεί η εξίσωση Ρ() =0. 8 Μονάδες 10+15=5 ΘΕΜΑ 3ο Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) log ( 10 1) f =. α. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της f. ( ) ( ) ( ) f 1 f 3 β. Να αποδείξετε ότι f log101 = 009. γ. Να λυθεί η εξίσωση f ( ) f ( ) = + log11. Μονάδες =5 ΘΕΜΑ 4ο Δίνονται οι παραστάσεις συν 010 α = ηµ 1005 συν και 4 ( ) β συν ηµ = Α. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f ( ) Β. Αν φθίνουσα. 1 α = και β = 1 : 4 α = β 1. Να λυθεί η ανίσωση f ( 3 ) f ( 3 ) + <.. Να λυθεί η εξίσωση f ( συν θ ηµθ ) f ( 1) + =. και να δείξετε ότι η f είναι γνησίως Μονάδες 10+(8+7)=5

9 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7 Ο 9 ΘΕΜΑ 1 ο εφα + εφβ Α. Να αποδείξετε ότι εφ( α + β ) = 1 εφαεφβ με την προϋπόθεση ότι ορίζονται οι εφ(α+β), εφα και εφβ. Μονάδες 10 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας την λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. Μονάδες 10 i) συν(α + β) = συνασυνβ - ημαημβ ii) Αν σε ένα πολυώνυμο Ρ() ο αριθμός ρ είναι ρίζα του πολυωνύμου τότε το + ρ είναι παράγοντας του Ρ(). iii) Ο τύπος α ν = α 1 + (ν 1)ω μας δίνει τον ν-οστό όρο σε μια αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω. iv) Η συνάρτηση f() = α με 0<α<1 είναι γνησίως φθίνουσα στο. v) Αν α>0 με α 1, τότε για οποιουσδήποτε θ 1, θ > 0 ισχύει: log α (θ 1 +θ ) = log α θ 1 + log α θ Γ. Πότε μια ακολουθία α ν λέγεται γεωμετρική πρόοδος. Μονάδες 5 ΘΕΜΑ ο Αν ισχύει ότι:3συνχ+10συνχ-1=0, Να δείξετε ότι: i) συνχ= 1. Μονάδες 13 3 ii)αν 0<χ< π, να υπολογισθούν τα ημχ, συνχ, εφχ. Μονάδες 1 ΘΕΜΑ 3 ο Δύο πρόοδοι, μία αριθμητική (α ν )με διαφορά ω και μία γεωμετρική (β ν ) με λόγο λ, έχουν ακέραιους όρους. Αν ισχύει α 1 =β 1 =α, α =β και ο τέταρτος όρος της αριθμητικής προόδου είναι μεγαλύτερος του δευτέρου κατά 10 ενώ ο τέταρτος όρος της γεωμετρικής προόδου είναι μεγαλύτερος του δευτέρου κατά 30, να βρεθούν:

10 Α.i) Η διαφορά ω της αριθμητικής προόδου Μονάδες 5 10 ii).για ω=5 ο λόγος λ της γεωμετρικής προόδου και ο πρώτος όρος και των δύο προόδων. Μονάδες 10 B. Πόσοι από τους πρώτους όρους της γεωμετρικής προόδου έχουν άθροισμα ίσο με 175 Μονάδες 10 ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η συνάρτηση f()= ln i. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της. Μον. 8 ii. Να λύσετε την εξίσωση f()= ln μον. 8 iii. Να λύσετε την ανίσωση f(e )<. Μον. 9 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8 Ο ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να δείξετε ότι: i. ηµ α = ηµα συνα. Μονάδες 5 ii. συν α συν α ηµ α =. Μονάδες 5 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας την λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. 1. = κπ + θ ηµ ή= ηµθ = ( κ + 1) π θ εϕα εϕα =. 1 εφ α. 3. Κάθε σταθερό και μη μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό 1.

11 11 4. Το άθροισμα των ν πρώτων όρων αριθμητικής προόδου είναι: S ν ν = α 1+ ( ν 1 ) ω 5. log θ log θ log ( θ θ ) = Μονάδες 10 α 1 α α 1 Γ. Τι ονομάζουμε λογάριθμο του θ ως προς βάση α, όταν α > 0, α 1 και θ > 0. ΘΕΜΑ ο Δίνεται το πολυώνυμο ( ) 3 P = + α + β 0 με α, β R. Μονάδες 5 i. Αν το πολυώνυμο P( ) έχει παράγοντα το + και το υπόλοιπο της διαίρεσης με το + 1 είναι -16 να βρείτε τα α και β. Μονάδες 15 ii. Για α = 1 και β = 16 να λυθεί η εξίσωση P( ) = 0. Μονάδες 10 ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται η παράσταση συν + 4συν + 3 συν 4συν + 3 Α = + 1+ συν 1 συν i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. Μονάδες 7 ii. Να δείξετε ότι Α = 4. Μονάδες 10 iii. Να λύσετε την εξίσωση 8ηµ = Α Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ( lnα ) =. 1 α. Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες ορίζεται η εκθετική συνάρτηση f για κάθε. Μονάδες 8 β. Αν e+ 1 α = e : i) να δείξετε ότι f ( ) e =. Μονάδες 8 ii) να λύσετε την ανίσωση f ( ) f ( ) < + Μονάδες 9

12 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9 Ο ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ() με το - ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για = ρ. Είναι δηλαδή υ =Ρ(ρ). Μονάδες 10 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας την λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. i. Αν α, β, γ διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε β =α + γ ii. συνα =1 ημ α iii. log α θ= α = θ. iv. εφαεφβ 1 εφ(α + β)= εφα + εφβ v. ημ = ημα τότε =κπ ± α Μονάδες 10 Γ. Πότε μια ακολουθία α ν λέγεται αριθμητική πρόοδος Μονάδες 5 ΘΕΜΑ ο Δίνεται η παράσταση Α=ημ( π 3 ) 3 συν( π + 6 ) +συν( π 3 3 ) ημ( π + 6 ). i. Να δείξετε ότι Α =συν. Μονάδες 7 ii. Αν ημ = 4 5 με 0 < < π να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης Α. Μονάδες 8 iii. Να λυθεί η εξίσωση Α συν = 0. Μονάδες 10 ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται το πολυώνυμο Ρ() = 4 + α 3 (6 α) + β + β -3α + 1, το οποίο έχει παράγοντα το -1. Α. Να βρεθούν οι οι τιμές των α και β. Μονάδες 9 Β. Αν α = -1 και β =1 i. Να λυθεί η εξίσωση Ρ() = 0. Μονάδες 8 ii. Nα βρεθεί το πηλίκο π() και το υπόλοιπο υ() της διαίρεσης του Ρ() με το Μονάδες 8

13 13 ΘΕΜΑ 4 ο Δίνονται οι συναρτήσεις f() = ln( + 5) και g() = ln( +1). i. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f και g. Μονάδες 9 ii.να δείξετε ότι οι αριθμοί g(0), g() και f () αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. Μονάδες 8 iii. Να λυθεί η ανίσωση f() + g() >ln + ln3. Μονάδες 8 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 10 Ο ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να δείξετε ότι: συνα=συν α-1 (μον. 6) Β. Να συμπληρώσετε τους τύπους ημα=. εφα=.. (μον. 6) Γ. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του τόξου α/ αν Συνα=3/5 και 3π/<α<π (μον. 13) ΘΕΜΑ ο Α. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση από τα παρακάτω (μον. 16) 1. Αν loga= τότε log(a 3 ) ισούται με : Α: -1 Β: Γ: 3a Δ: 10 Ε: 7. Αν το πολυώνυμο Π(χ)=χ 005 +λχ+ έχει παράγοντα το χ-1 τότε το λ ισούται με: Α: -1 Β: 1 Γ: 0 Δ: 3 Ε: Αν οι αριθμοί 5, 10, χ με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε το χ ισούται με: Α: 5 Β: 0 Γ: 1,5 Δ: 100 Ε: Μία ακολουθία (α ν ) με πρώτο όρο α 1 0 είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο λ 0, όταν για κάθε ν φυσικό αριθμό ισχύει: Α: α ν+1 =α ν +λ Β: α ν+1 =α ν λ Γ: α ν =α 1 λ Δ: α ν+1 =α 1 λ ν-1 Β. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα της στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράμμα τον αριθμό της στήλης Β που περιέχει έναν παράγοντα του πολυωνύμου της στήλης Α. Στήλη Α Στήλη Β α. χ 3-3χ+ 1. χ-α β. χ -9. χ+α γ. χ 3 -αχ +α 3 3. χ-3 4. χ-1

14 14 ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται η εξίσωση χ 3 -χ -5χ+50=0 (1) Α. Αν η (1) έχει ρίζα το,να βρείτε τις άλλες δύο ρίζες της. (μον. 8) Β. Αν η μικρότερη ρίζα της (1) είναι ο πρώτος μιας αριθμητικής προόδου και η μεγαλύτερη ρίζα είναι η διαφορά της προόδου, να υπολογίσετε τον 10 ο όρο της (μον. 8) Γ. Αν σαν ν πάρετε το πενταπλάσιο της τρίτης ρίζας της (1), να υπολογίσετε το άθροισμα των ν πρώτων όρων της. ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η συνάρτηση f()=log( -1)+log-log(4-1) Α. Για ποιες τιμές του χ ορίζεται η f(); (μον. 8) Β. Να αποδείξετε ότι f(3/)=0 (μον. 7) Γ. Να λύσετε την εξίσωση f()=log1 (μον. 10) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 11 Ο ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να αποδείξετε ότι : log α θ κ =κ.log α θ,α>0, α 1, θ>0 Β. Πότε μια ακολουθία λέγεται α) αριθμητική πρόοδος β) γεωμετρική πρόοδος Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας την λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. 1. Αν χ 1, χ θετικοί αριθμοί τότε: log log = log 1 1. Το μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό 0 3. Αν α, β, γ διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε: β =α.γ 4. Η εξίσωση εφχ=εφα έχει λύση : χ=κπ+α,κεζ ΘΕΜΑ ο Ο ος όρος μιας αριθμητικής προόδου (α ν ) είναι ίσος με λογ5 και η διαφορά ω είναι ίση με log5. Α. Να δείξετε ότι α 1 =ω

15 Β. Να αποδείξετε ότι S 0 =10.log5 ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται το πολυώνυμο Π(χ)=3χ 3 +αχ +βχ+4 Α. Αν το Π(χ) έχει παράγοντα το χ-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης Π(χ):(χ-) είναι 30, να αποδείξετε ότι α=8 και β= -15 Β. Να λυθεί η ανίσωση Π(χ)>0 15 ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η συνάρτηση f()=1/.log-log4-log(+1)+1 Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f() Β. Να δείξετε ότι f(4)=0 Γ. Να λύσετε την εξίσωση f()=0 ΘΕΜΑ 1 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 13 Ο Α. Να αποδείξετε ότι : συνα = συν α- ημ α = συν α- 1 = 1- ημ α. (Μονάδες 10) Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α) lnθ = e = θ, θ > 0 log( θ θ ) = logθ logθ, όπου θ 1, θ > 0 β) 1 1 γ) Αν α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι μιας οποιασδήποτε γεωμετρικής προόδου τότε ισχύει β = α γ δ) συν ( α β ) = συνα συνβ ηµα ηµβ ε) α 1 συνα ηµ = (Μονάδες 5) Γ. Να συμπληρώσετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω ισότητες: α) εφα= β) ln e =... γ) ημ(α+β)= δ) θ θ = όπου θ 1, θ > 0 1 ln...

16 ε) S v =... όπου S v παριστάνει το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω. (Μονάδες 10) 16 ΘΕΜΑ Ο Α. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό, ώστε οι αριθμοί :, +, 10 να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. (Μονάδες 10) Β. Δίνεται αριθμητική πρόοδος (α ν ) με α 1 = 6 και α 3 = 10. Να βρείτε : i) Την διαφορά ω της αριθμητικής προόδου (α ν ). (Μονάδες 5) ii) Τον έκτο όρο της αριθμητικής προόδου (α ν ). (Μονάδες 5) iii) Το άθροισμα των 16 πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (α ν ). (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 3 Ο Δίνεται το πολυώνυμο : Ρ() = 3 - κ Α. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ, ώστε το διώνυμο +3 να είναι παράγοντας του πολυωνύμου Ρ(). (Μονάδες 1) Β. Αν κ = 3 τότε : i) Να λύσετε την εξίσωση Ρ() = 0. (Μονάδες 7) ii) Να λύσετε την ανίσωση Ρ() < 0. (Μονάδες 6) ΘΕΜΑ 4 Ο Δίνεται η συνάρτηση f με f () = ln(4 ) ln(4 ). Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. (Μονάδες 8) B. Να λύσετε την εξίσωση f () = 0. (Μονάδες 8) Γ. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ισχύει : f () ln3 (Μονάδες 9)

17 17 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14 Ο ΘΕΜΑ 1 Ο Α. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ() με το ρ, είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για = ρ.είναι δηλαδή υ = Ρ(ρ). (Μονάδες 13) Β. Πότε μια ακολουθία λέγεται : (Μονάδες 4) α. αριθμητικής πρόοδος. β. γεωμετρική πρόοδος. Γ. Χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με τις λέξεις «Σωστό» ή «Λάθος». 1. Το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας γεωμετρικής προόδου (α ν ) με λόγο λ 1, είναι S ν 1 ν =α λ 1 λ Αν θ 1, θ > 0 και 0 < α 1, τότε ισχύει : 3. συν α = 1+συνα. θ log θ loga θ logθ =. 1 a 1 a 4. Τρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου Στήλη Α Στήλη Β α. εφα 1. 1συνα εφα 1εφ α β. συν α ημ α. γ. ημα.συν α 3. συνα αν και μόνο αν ισχύει : β = α + γ. (Μονάδες 4) Δ. Να αντιστοιχίσετε κάθε γράμμα της στήλης Α, με ένα αριθμό της στήλης Β δ. ημ α 4. 1+συνα 5. ημα (Μονάδες 4)

18 18 ΘΕΜΑ Ο Δίνεται το πολυώνυμο : Ρ() = α. Να βρείτε την αριθμητική τιμή του πολυωνύμου Ρ(), για = 1. β. Να αποδείξετε ότι το διώνυμο +, είναι παράγοντας του Ρ(). (Μονάδες 8) γ. Να λύσετε την εξίσωση Ρ() = 0. (Μονάδες 9) (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ 3 Ο Έστω α, β > 0 και ότι οι αριθμοί : α, 17αβ, β είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Να αποδείξετε ότι : α. 34αβ = α + β. (Μονάδες 1) α + β β. ln = lnα + ln β 6. (Μονάδες 13) ΘΕΜΑ 4 Ο Δίνεται το πολυώνυμο P( ) ημθ 3 συνθ = +, θ 0,π α. Να αποδείξετε ότι το ημθ είναι παράγοντας του P( ). (Μονάδες 8) β. Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του P( ) με το γ. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P( ) με το 1 είναι το 1, ημθ. (Μονάδες 8) να βρείτε τη γωνία θ. (Μονάδες 9)

19 ΘΕΜΑ 1 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 15 Ο Α. Έστω θ 1, θ > 0 και 0<α 1.Να αποδειχθεί ότι : log a( θ1 θ) = logaθ1 + logaθ (Μονάδες 14) Β. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις. α. Αν - ρ παράγοντας του πολυωνύμου Ρ() τότε. β. ημα =. γ. Αν (α ν ) ακολουθία με α ν+1 = α ν + ω τότε η (α ν ) είναι (Μονάδες 3=6) Γ. Να δώσετε τον ορισμό της γεωμετρικής προόδου (Μονάδες 5) 19 ΘΕΜΑ Ο Σε αριθμητική πρόοδο (α ν ) ο πρώτος όρος α 1 ισούται με 3 και η διαφορά της ω ισούται με 7. α. Να βρείτε τον εικοστό όρο της προόδου (Μονάδες 13) β. Να βρείτε το άθροισμα των είκοσι πρώτων όρων της (Μονάδες 1) ΘΕΜΑ 3 Ο Έστω f() = ln, με > 0 α. Να αποδείξετε ότι αν οι αριθμοί f(α), f(β), f(γ) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε οι θετικοί αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου (Μονάδες 10) β. Να λυθεί η εξίσωση : 3 f ( ) + f ( ) = 10 (Μονάδες 8) π γ. Να λυθεί η εξίσωση : f(-ημ) f(συν) = f(3), με 0, 4 (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 4 Ο 3 α. Να λύσετε την εξίσωση 3 + 1= 0. (Μονάδες 10) 1 β. Αν οι αριθμοί :, ηµθ, 1 3 συνθ, θ (0, π ) είναι διαδοχικοί ηµθ όροι γεωμετρικής προόδου, να βρείτε το θ. (Μονάδες 8)

20 γ. Να λύσετε την ανίσωση : ln e < 1 ln (Μονάδες 7) 3 0 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 16 Ο ΘΕΜΑ 1 Ο Α. Να αποδείξετε ότι : συνα = συν α- ημ α = συν α- 1 = 1- ημ α. (Μονάδες 10) Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α) lnθ = e = θ, θ > 0 log( θ θ ) = logθ logθ, όπου θ 1, θ > 0 β) 1 1 γ) Αν α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι μιας οποιασδήποτε γεωμετρικής προόδου τότε ισχύει β = α γ δ) συν ( α β ) = συνα συνβ ηµα ηµβ ε) α 1 συνα ηµ = (Μονάδες 5) Γ. Να συμπληρώσετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω ισότητες: α) εφα= β) ln e =... γ) ημ(α+β)= δ) θ θ = όπου θ 1, θ > 0 1 ln... ε) S v =... όπου S v παριστάνει το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο α 1 και λόγο λ. (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ Ο Α. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό, ώστε οι αριθμοί : + 13, + 6, 4 11 να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. (Μονάδες 8) Β. Δίνεται αριθμητική πρόοδος (α ν ) με α 1 = και α 4 = 11. Να βρείτε : α) Την διαφορά ω της αριθμητικής προόδου (α ν ). (Μονάδες 5)

21 β) Τον ενδέκατο όρο της αριθμητικής προόδου (α ν ). (Μονάδες 5) γ) Το άθροισμα των 11 πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (α ν ). (Μονάδες 7) 1 ΘΕΜΑ 3 Ο 3 Δίνεται το πολυώνυμο : P( ) = 3 κ + 3. Α. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ, ώστε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου P( ) με το να είναι -3. (Μονάδες 8) Β. Αν κ = 1 τότε : α) Να λύσετε την εξίσωση P( ) = 0. (Μονάδες 9) β) Να λύσετε την ανίσωση P( ) < 0. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ 4 Ο Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με τύπους: f ( ) = ln(3 ) ln( + 3) και 1 1 g( ) = + 3. α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f, g. (Μονάδες 5) β) Να λύσετε την εξίσωση f ( ) = ln. (Μονάδες 7) γ) Να λύσετε την ανίσωση g( ) >. (Μονάδες 8) δ) Να αποδείξετε ότι: g (0) f (1) + f () + e = 1 ln 50 (Μονάδες 5)