ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ"

Transcript

1 0 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός

2 ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία µμου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 00, δηλαδή το σύνολο των µμονάδων των προαγωγικών εξετάσεων της Β Λυκείου στα Μαθηµματικά. Φιλοδοξεί να φέρει τον µμαθητή της Β Λυκείου: Σε επαφή µμε θέµματα που έχουν δοθεί σε εξετάσεις Λυκείων. Σε κατάσταση πλήρους ετοιµμότητας πριν τις εξετάσεις του, λύνοντας τα Θέµματα Α-Β-Γ-Δ Σε επαφή µμε γενικά θέµματα,πολλά από αυτά νέα µμε υφή Πανελλαδικών Γ Λυκείου (ενότητα Ε). Έτσι του δίνεται η ευκαιρία για δυναµμική δοκιµμασία και τριβή µμε θέµματα επιπέδου, λίγο πριν την Γ Λυκείου.. Βαγγέλης Α Νικολακάκης Το τυπολόγιο είναι του εκλεκτού συναδέλφου, από τα όµμορφα Χανιά ΜΙΛΤΟΥ ΠΑΠΑΓΡΗΓΟΡΑΚΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 0. Τυπολόγιο. Θέµματα Θεωρίας από εξετάσεις Λυκείων. Ασκήσεις (Θέµμα Β) από εξετάσεις Λυκείων. Ασκήσεις (Θέµμα Γ) από εξετάσεις Λυκείων 4. Ασκήσεις (Θέµμα Δ) από εξετάσεις Λυκείων 5. ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ και ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

3 0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

4

5

6 4

7 5

8 6

9 7

10 . Α. ΤΟ ΘΕΜΑ 8 Α Αν α>0 με α τότε για οποιουσδήποτε θ, θ>0 να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θθ) = logαθ + logαθ. Α. Πότε ένα πολυώνυμο λέγεται σταθερό και πότε μηδενικό; Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο φύλλο των απαντήσεών σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που ακολουθεί σε κάθε πρόταση: α. Η συνάρτηση f(x) = ημx είναι περιοδική με περίοδο π. β. Το μηδενικό πολυώνυμο είναι μηδενικού βαθμού. γ. Η συνάρτηση f(x) = συνx έχει πεδίο ορισμού [, ]. δ. Για κάθε x>0 ισχύει elnx = x. ε. Η συνάρτηση f(x) = αx με 0<α< είναι γνησίως φθίνουσα στο IR.. Α. B. Να χαρακτηρίσετ ε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντ ας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λά θος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. Έστω 0 με. Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε log log log., 0 ισχύει ότι α)η διαίρεση ενός πολυωνύμου P x με το x μπορεί να δώσει υπόλοιπο, ένα πολυώνυμο ου βαθμού. β)η εκθετική συνάρτηση f x x με 0 και x R, είναι γνήσια φθίνουσα στο R αν και μόνο αν 0. γ)για κάθε 0 και 0 ισχύει ότι log log. δ)οι λύσεις της εξίσωσης x με x, είναι οι x με Z. ε) Η συνάρτηση f(x) = συνx είναι περιοδική με περίοδο Τ = π. Γ. Πότε ένας αριθμός ρ λέγεται ρίζα ενός πολυωνύμου P x ;

11 . Α. 9 Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο υ της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x ρ, είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου P(x), για x = ρ, δηλαδή υ = P(ρ). Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την λέξη «Σωστό» ή «Λάθος» δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α. 0x θ log x, 0 β. ln ln, θ, θ > 0 ln γ. Ένας αριθμός ρ, λέγεται ρίζα ενός πολυωνύμου (x ) αν και μόνο αν, ισχύει ( ) 0 δ. Η συνάρτηση f (x) ( x ) έχει περίοδο Γ. Να συμπληρώσετε στο τετράδιό σας τα παρακάτω : α. x x β. log x... όπου 0, α και x R γ. H συνάρτηση f (x) ex, x R είναι γνησίως. δ. loga. όπου α > 0, α, R και 0 4. Α) Να αποδείξετε ότι για κάθε γωνία ω ισχύει ότι ημω + συνω = Β) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ): α) Η ευθεία y=αx δε διέρχεται από την αρχή των αξόνων. β) Η γραφική παράσταση της παραβολής f(x) = αx+βx+γ έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία x= γ) Μια ευθεία παράλληλη στον άξονα x x σχηματίζει με τον άξονα των x γωνία 90. δ) Τα σημεία του άξονα y y έχουν τεταγμένη ίση με το μηδέν. ε) Η κλίση της ευθείας y = αx+β είναι ίση με το συντελεστή του x. β α 5. Α.Να αποδείξετε ότι αν ο ακέραιος αριθμός ρ είναι ρίζα ενός ακέραιου πολυωνύμοτ, τότε διαιρεί τον σταθρό όρο του. Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας την λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. i. Ένα πολυώνυμο P x έχει παράγοντα το x αν και μόνο αν το είναι ρίζα του P x δηλαδή αν και μόνο αν P 0. ii. iii. Αν 0 τότε για κάθε 0 ισχύει : log. Η εκθετική συνάρτηση f x x είναι πάντοτε γνησίως αύξουσα στο R. iv. Αν ο ακέραιος αριθμός ρ είναι ρίζα του πολυωνύμου P x x 0 x0 τότε και ο αριθμός είναι ρίζα του πολυωνύμου.

12 6. Α. Να δείξετε ότι, το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P x με το x είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x, δηλαδή P. Β. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισοδυναμίες, που μας δίνουν τις λύσεις των αντίστοιχων τριγωνομετρικών εξισώσεων.. x x... x..., R. x x... x..., R. x x..., R Γ. Θεωρούμε τη εκθετική συνάρτηση: f (x) ex, x R. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις γράφοντας τη λέξη «Σωστό» ή «Λάθος», δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί στην κάθε πρόταση. α. Η συνάρτηση f έχει σύνολο τιμών το 0,. β. Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο. γ. Το σημείο,0 ανήκει στην γραφική παράσταση της f. 7.. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ, δηλαδή υ = Ρ(ρ).. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολ ουθούν γρ άφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λά θος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Η συνάρτηση f(x) = αx με α > είναι γνησίως αύξουσα στο R. β. Ισχύει log, για κάθε α > 0, α και θ > 0. γ. Το άθροισμα των συντελεστών ενός πολυωνύμου,ισούται με την αριθμητική του τιμή P δ. Ο βαθμός ενός μηδενικού πολυωνύμου είναι 0. ε. Η εξισώσεις x και x έχουν την ίδια λύση x,. στ. Η συνάρτηση f (x) x, 0 είναι γνησίως αύξουσα. 8. Α.α.Αν α>0 με α,να αποδείξετε ότι για κάθε θ>0 και κєr ισχύει logαθκ=κlogαθ β.η συνάρτηση f(x)=logαχ,α>0,α είναι:.για α> γνησίως....για 0<α< γνησίως... Να συμπληρώσετε τα παραπάνω κενά Β Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με την ένδειξη (Σ) ή (Λ) αν είναι σωστές ή λάθος αντίστοιχα α.για κάθε χ>0 ισχύει elnx=χ β. Η συνάρτηση f(x)=αx, 0<α έχει σύνολο τιμών το (0,+ ) γ. Για κάθε χ 0 ισχύει :lnx=lnx δ.οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x)=lnx και g(x)= ex έχουν άξονα συμμετρίας την ευθεία y=-χ ε.αν το πολυώνυμο P(χ) είναι v βαθμού με v N*τότε το πολυώνυμο P(χ).(χ-4) έχει βαθμό v+ στ.η εξίσωση ημχ=log0+συν00 είναι αδύνατη 0

13 9. Α) Να αποδείξετε ότι : ένα πολυώνυμο Ρ(χ) έχει παράγοντα το χ ρ αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του Ρ(χ), δηλαδή αν και μόνο αν Ρ(ρ) = 0. Α) Να αντιστοιχίσετε κάθε εξίσωση της πρώτης στήλης του παρακάτω πίνακα με τη λύση της που βρίσκεται στη δεύτερη στήλη ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ημχ=ημθ χ=κπ+θ συνχ=συνθ χ=κπ+θ ή χ=κπ-θ εφχ=εφθ χ=κπ+θ ή χ=κπ+πθ σφχ=σφθ Α) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύμου Δ(χ) (διαιρετέος) δια του δ(χ) (διαιρέτης),αναφέροντας τα ονόματα των υπόλοιπων πολυωνύμων που υπάρχουν σε αυτήν, όπως και τους περιορισμούς για ένα από αυτά. 0. Α. Να αποδείξετε ότι : «Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου (x) με το x είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x.είναι δηλαδή P( )». Β. Τι ονομάζεται λογάριθμος του θ ως προς βάση α; ( log a ) Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με την έκφραση «σωστό» ή «λάθος». α. Το πεδίο ορισμού της εκθετικής συνάρτησης f (x) ax είναι το R. β. Ισχύει ln e 0. γ. Ισχύει ln x 0, αν 0<x<. δ. Η λογαριθμική συνάρτηση f (x ) ln x, έχει σύνολο τιμών το 0, ε. ln(x-ψ)=lnx-lnψ, οπου x,ψ θετικοί αριθμοί. στ. To πολυώνυμε με τύπο P(x)=5 είναι μηδενικού βαθμού ζ.η συνάρτηση f(x)=lnx είναι γνήσια φθίνουσα στο (0,+ ) θ. α log =θ και eln

14 ΤΟ ΘΕΜΑ Β. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx +βx x + 4, όπου α, β IR. Το P(x) έχει παράγοντα το x και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + είναι το 6. Β. Να δείξετε ότι α = και β =. Β. Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0. Β. Να λύσετε την ανίσωση P(x) > 0. Να λύσετε την εξίσωση συν4x συνx + ημx συνx + = 0 στο διάστημα [ Β4. π, π).. Η συνάρτηση f(x)=α+β.συνx με β>0, έχει μέγιστη τιμή το 4 και η γραφικής της παράσταση διέρχεται,-5). Β.Να βρείτε τα α και β. Β.Για α=- και β=6: i. Να βρείτε την περίοδο Τ της συνάρτησης f. ii. Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f. iii. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η συνάρτηση f παρουσιάζει τηνελάχιστη τιμή της. vi. Να βρείτε τα κοινά σημεία της συνάρτησης f με την ευθεία y=. από το σημείο Μ(. Δίνεται το πολυώνυμο : P(x) x x 4x όπου, α. Αν ο αριθμός είναι ρίζα του Ρ(x) και (), να βρείτε τους αριθμούς α και β. β. Αν και 5, να λυθεί η εξίσωση (x ) 0 4. Δίνεται το πολυώνυμο P x x 6x x. Β. Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του P x με το x. Β.Να λύσετε την ανίσωση P x 5. Δίνεται το πολυώνυμο: (x) x 6x x,. Α. Να βρεθεί το ώστε η αριθμητική τιμή του πολυωνύμου (x ) για x να είναι ίση με 4. Β. Για 6 να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου (x ) με το πολυώνυμο x. Γ. Να λυθεί η ανίσωση: (x ) Να λύσετε τις εξισώσεις : α) (x ) β) ( x) x γ) x x x

15 6. Έστω πολυώνυμο P(χ)=x+αχ+βχ+4 με α,β R το οποίο έχει παράγοντες τους χ+,χ- α. Να αποδείξετε ότι α=- και β=0 β. Για τις παραπάνω τιμές των α,β να λύσετε τηνεξίσωση P(χ)=0 γ.έστω C η γραφική παράσταση συνάρτησης f(χ)=p(χ) με α=- και β=0 να βρείτε :(i)το σημείο τομής της C με τον άξονα y y (ii) τις τιμές του χ για τις οποίες ή C είναι πάνω από τον χ χ 7. Β) Να παραγοντοποιήσετε (αναλύσετε σε γινόμενο παραγόντων) το πολυώνυμο x x x x Β) Να λύσετε την εξίσωση: Π(χ)=0 Β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)= χ+χ-χ- βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ. 8. Δίνεται η συνάρτηση f (x ) x.. β. Να βρείτε την περίοδο, την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης g(x ) f (4x ). γ. Να βρείτε για ποιες τιμές του x, ισχύει g (x ). α. Να λυθεί η εξίσωση f (x ) 9. Nα λύσετε τις παρακάτω τριγωνομετρικές εξισώσεις α) ημχ= β) συν(χ- )=γ) εφ χ- εφχ -=0 0. Δίνεται η συνάρτηση f x ημ x π α) Να γράψετε (χωρίς απόδειξη) το πεδίο ορισμού της Α f και την περίοδό της T β) να βρείτε το ελάχιστο της f καθώς και τις τιμές του x για τις οποίες παρουσιάζεται το ελάχιστο αυτό γ) Να λυθεί στο διάστημα 0, π η ανισοϊσότητα f x. Δίδεται η συνάρτηση με τύπο f(x) 5ln x ln x 5ln x ln x. Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. B. Να λύσετε την εξίσωση f(x)=0.. Να λυθεί η εξίσωση σφx συνx = συνx σφx Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x x 4x Α. Να βρείτε τις τιμές του κ αν γνωρίζετε ότι ο αριθμός ρ= είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x). Β. Αν κ= α) να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το πολυώνυμο (x-). β) να λύσετε την εξίσωση: P(x)=0. γ) Να λύσετε την ανίσωση : Ρ (x) 0. Μονάδες 7

16 . Θεωρούμε το πολυώνυμο P(x) x ( )x x Α. Αν έχει παράγοντα το x, να βρείτε τα και. Β. Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση P(x ) 0 Γ. Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση P( x ) 0 4. Δίνεται η συνάρτηση f (x ) (x ),α R Α. Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α(,) να βρείτε το α 4 Β. Αν α = τότε: α) να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f (Μον 6) β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = - log0 5. Δίνεται η συνάρτηση f x x, x R της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Α. Να βρεθεί το μέγιστο, το ελάχιστο και η περίοδος της f Β. Να λυθεί η εξίσωση f x 0 στο διάστημα 0, 6. Δίδεται η συνάρτηση x f x α). Να βρεθεί η περίοδός της. β). Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της f. γ). Να βρεθεί για ποιες τιμές x (0, π) ισχύει : f x 7. Δίνεται η συνάρτηση f (x ) 5 x, (α,β>0) Α.Αν η περίοδος της f(x) είναι ίση με και το ελάχιστο της f(x) είναι ίσο με, να βρεθούν τα α,β Β.Να γίνει γραφική παράσταση της f(x) για 0 x 4 Γ.Να βρεθεί η τιμή της f(x) για x= και για x=8 Δ.Να βρεθούν οι τετμημένες των σημείων τομής της f(x) και της g(x)=4 στο (0, 4) Δίνεται η συνάρτηση f x (x ) Α.Να λυθεί η εξίσωση f(x)+ f ( )=0 Β.Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x)= f(x) - τέμνει τον άξονα χ χ 8. 4

17 ΤΟ ΘΕΜΑ Γ Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x + x + k x + με k πραγματικό αριθμό. α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει ρίζα τον να βρεθεί ο k. β) Αν k = i. Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) :( x+) και να γραφεί η ταυτότητα της διαίρεσης. ii. Να λυθεί η εξίσωση: Ρ(x) = 0... Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x4-8x+(5α-)x+8x-α-6, όπου α ε IR. α. Να κάνετε την διαίρεση του Ρ(x) δια του x- και να γράψετε τη σχετική ταυτότητα. β. Να βρείτε την τιµή του α, ώστε η παραπάνω διαίρεση να είναι τέλεια. γ. Για α=, να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης Ρ(x)=0 καθώς και τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης Ρ(x) είναι κάτω από τονάξονα x x. Δίνεται η συνάρτηση f x x x,, R Α.Να βρεθούν οι πραγματικές τιμές κ, λ ώστε να ισχύουν οι σχέσεις Η f x έχει παράγοντα το x και. Το υπόλοιπο της διαίρεσης f x : x να είναι ίσο με 4 Β. Για και α.να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα x x β.να δείξετε ότι η συνάρτηση g x x f x 5x 4 x 0 δεν έχει παράγοντα της μορφής x με R 5. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(χ) = χ + 4χ + χ 6 Α. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(χ): (χ ) Β. Να αποδείξετε ότι το χ + είναι παράγοντας του Ρ(χ) και να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης Ρ(χ) : (χ + ). Γ. Να λυθεί η ανίσωση Ρ(χ) < 0 7. α. Δίνεται το πολυώνυμο Να λύσετε την εξίσωση P x 0 β. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης με τους άξονες και y y γ. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον άξονα. 5

18 8. Δινονται οι συναρτησεις f(x)=lnx και g(x)=logx, x 0. Γ. Av a f (e ) f ( e ) f (e ) και g(0 ) g (0 ) g ( 0 ) g (0) να δειξετε ότι α= και β=4. Γ Να βρείτε την τιμή της παράστασης 0g eg 9. Έστω πολυώνυμο Ρ(x)=αx+(β-)x-x-β+6, όπου α, β πραγματικοί αριθμοί. Α. Αν ο αριθμός είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(χ) με το x+ είναι ίσο με, να βρεθούν τα α και β. Β. Αν α= και β=4, να λύσετε την εξίσωση: Ρ(ημx)=0. 0. Γ) Γ) Γ) x Δίνεται η συνάρτηση f x. e Να αποδείξετε ότι η f είναι γνήσια φθίνουσα στο R Να λύσετε την εξίσωση x f f 0 4 e Να λύσετε την εξίσωση x f 0 0 στο διάστημα, Δίνεται η συνάρτηση f (x) ln(e ) x. Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Β. Να αποδείξετε ότι: f (ln ) ln 6. Γ. Να λύσετε την εξίσωση: f (x ) x. x.. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ( χ )=χ χ - χ i) Nα δειχθεί ότι έχει ρίζες τους αριθμούς 0, και παράγοντα το χ + ii) Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ( χ ): ( -χ + ) iii) Να λυθεί η ανίσωση Ρ( χ ) + χ 7χ iv) Να λυθεί η εξίσωση x x x 0. Θεωρούμε τη συνάρτηση f (x ) ln x x Α.Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. Β.Nα αποδείξετε ότι f ( x ) f (x ) για x Df Γ.Να λύσετε την εξίσωση f (x ) e 4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x), βαθμού v, για το οποίο ισχύει : 8(x ).P(x) x.p(x ) 5x 8x 6x 6, για κάθε x. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x- είναι : Γ. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο x 6x 5. Γ. Αν το πηλίκο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο x 6x 5 είναι το x x 4 : α)να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης P(x): i. με τον άξονα y y. ii.με την ευθεία y= β)να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης P(x) είναι πάνω από την ευθεία y=. 6

19 7 5. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) x ln( ) x ln( ) x 8, όπου 0,. i. Να αποδείξετε ότι το είναι ρίζα του (x ). ii. Αν, να λύσετε την εξίσωση (x ) 0 6. Δίνεται η συνάρτηση f(x)= α ݔ + και το σημείο Μ(,4) που ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. i) Να βρείτε την τιμή του α. ii) Nα βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. iii) Για α=, να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης f με τους άξονες x x και y y. e x f x ln 7. Δίνεται η συνάρτηση: x. e Α. Β. Γ. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f Να λυθεί η εξίσωση: f x 0. Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x ' x. 8. Έστω το πολυώνυμο P(x) = αx + βx -x + α + 7. Δίνεται ότι το x + είναι παράγοντας του P(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το (x + ) είναι ίσο με 8. Α.Να αποδείξετε ότι α = και β = -. 4π Β.Να κάνετε την Ευκλείδεια διαίρ εση P(x):(x x) και να γράψετε την ταυτότητα της. β Γ.Να λύσετε την ανίσωση P(x) < Δίνεται η συνάρτηση f(χ)=α.συν( βχ ) 4 όπου α,β. Αν γνωρίζετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(0,-) και Β( α. να αποδείξετε ότι α=- και β= β.να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f καθώς και την περίοδό της γ. Να λύσετε την εξίσωση f(χ)= 0. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) x ( )x x 6, όπου, πραγματικοί αριθμοί. i) Αν ο αριθμός είναι ρίζα του πολυωνύμου P(x ) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x ) με το x είναι ίσο με,τότε να δείξετε ότι και 4. ii) Για τις τιμές των και του παραπάνω ερωτήματος να λύσετε την εξίσωση P(x ) 0. 4π,β) τότε: β

20 . Γ) Να λύσετε την εξίσωση: συνχ-συνχ+=0 Γ) Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης που βρίσκονται στο διάστημα [0,π]. Δίνεται το πολυώνυμο (x) x x x. α. Να βρεθεί η τιμή του α ώστε το (x ) να έχει παράγοντα το β. Για 5,να λυθεί η εξίσωση (x ) 0. γ. Για 5, να κάνετε την διαίρεση P(x) (x ) και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης.. Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=χ(x +λ) +κχ +5 με παράγοντα το χ- και P(-)= A) Bρειτε τα κ,λ Β) Αν κ=- και λ 5 ) Λύστε την εξίσωση P(x)=0 ) Λύστε την ανίσωση P(x) 8 4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = kx - (k + λ)x + λx +. P - 7 α. Αν β. Να γίνει η διαίρεση του P(x), για k = -6 και λ = -5, με το πολυώνυμο x + και να γραφεί το P(x) με την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης. γ. Να λυθεί η ανίσωση P(x) > 7 για k = -6 και λ = και P(-) =, να αποδείξετε ότι k = -6 και λ = -5. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(χ) = χ + (lnα)χ + (lnβ)χ, όπου α, β σταθεροί θετικοί πραγματικοί αριθμοί. α. Να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(χ) με το χ είναι το πολυώνυμο: ( ) [ln(e )] ln. e β. Αν το Ρ(χ) έχει παράγοντα το χ τότε: > Να υπολογίσετε τις τιμές των α, β. > Να λύσετε την εξίσωση Ρ(ημχ) = 0 8

21 4 ΤΟ ΘΕΜΑ Δ. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ). Δ. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = log5. x4 6 Δ. Να λύσετε την ανίσωση 4 - x x- 4 x 6 Δ. Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f( ) = + log 4 - x Δ4. Να λύσετε την εξίσωση ημx = f( ) + f() f( )..... α) β) Έστω η συνάρτ ηση f(x) = k+log(x -), k. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Να υπολογίσετε τ ην τιμή του k ώστε f()= log00. Για k= : Nα βρείτε τα σημεία τομής τ ης γραφικής παράστασης την με την ευθεία : y log 000 Nα λυθεί η ανίσωση : f(x) >. x Δίνεται η συνάρτηση f (x ) για κάθε x R. α. Να βρείτε τις τιμές του, ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα.. β. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και f () 4, i. Nα υπολογίσετε το α. ii. Για να λύσετε την ανίσωση f (x ) 8 4. Δίνονται οι συναρτήσεις f x log x log50 και g x Δ.Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f και g. log x. Δ.Να λύσετε την εξίσωση: f x g x. 5. Δίνεται το πολυώνυμο: x ln x 4 x x x, 0, 0,, x. Αν το πολυώνυμο x είναι ου βαθμού και έχει παράγοντα το x, να βρεθούν τα,. Α. Αν x x x x, x Να λυθούν: Β. Γ. Ι) η εξίσωση να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει: x 0. 0, ό 0,. ΙΙ) η ανίσωση ln 0. 9

22 6. Έστω οι συναρτήσεις f(x) = log(x), με x > 0 και g(x) = 0f(x). ln Α.Να αποδείξετε ότι f() f(4) f() + f() + e + log0 = Β.Να εξετάσετε αν υπάρχει x τέτοιο ώστε οι αριθμοί f(x ), f(x), f(x + ) να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Γ.Αφού απλοποιήσετε τον τύπο της g(x) να λύσετε την ανίσωση eg(x) - eg(x) > 0. x χ Δίνεται η συνάρτηση f(χ)=ln(e -e -) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β.να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της γραφικής παράστασης με τετμημένη ln και να βρείτε τη θέση του σημείου ως προς τον άξονα χ χ γ.να λυθεί η εξίσωση f(χ)=χ ως προς χ 7. x Δίνεται η συνάρτηση f (x ), όπου x πραγματικός αριθμός. Α.Βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η f (x ). Β.Βρείτε για ποιες τιμές του η f (x ) είναι γνησίως αύξουσα. (ΜΟΝ.8) 8. Γ.Αν 7, να λύσετε την εξίσωση f (x ) f (x ) 9. Δίνονται οι συναρτήσεις f (x) ln(x x ) και g x ln ex. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των δύο συναρτήσεων. β. Να δείξετε ότι f () f () f () ln 4 γ. Να λυθεί η εξίσωση f (ex ) ln g(x). 0. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(e -)-ln(e -) Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β) Να αποδείξετε ότι f(x)=ln (- x ) e Γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=-ln Δ) Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει την ευθεία με εξίσωση ψ=χ. Α. Να λύσετε τις ανισώσεις: x < και x >. Β. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(4x x + ). i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii) Να αποδείξετε ότι f() f( ) = ln. iii) Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες f(x) = f() iv) Αν κ R ώστε 4 κ κ + = 0, να συγκρίνετε τους αριθμούς f( ) και f(κ).. α) β) γ) δ) x Δίνεται η συνάρτηση f (x ) ln x Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Να βρεθεί το πρόσημο του αριθμού f( ). Να λυθεί η εξίσωση f (x ) 0. Να λυθεί η ανίσωση f (ex ) f (0) f () f ( ). 0

23 . Δίνεται η συνάρτηση f x ln ex 4ex της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα Α.Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f Β.Να Να βρεθεί το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα x x. Γ.Να Να δικαιολογήσετε (αλγεβρικά) γιατί δεν υπάρχει σημείο της γραφικής παράστασης της f που να βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x x 4. Δίνεται η συνάρτηση f (x ) ln ln, με < α< β η οποία ln ln είναι γνησίως φθίνουσα στο R. Α. Να αποδείξετε ότι α < β Β. Αν α =4 και β = τότε: α) να δείξετε ότι f(x) = x x β) να λύσετε την εξίσωση f (x ) 9 5. α. β. γ Δ) Δ) Δ) 8. Δίνεται η συνάρτηση f x ln(4x 8) x ln Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της Να λυθεί η εξίσωση f x ln 7 Να λυθεί η ανίσωση f x ln 7 e x f (x ) ln x e 5 Δ. Να βρειτε το πεδιο ορισμου της f(x). Δ.Να λυσετε την εξισωση f(x)=ln. Δ.Να λυσετε την ανισωση f (x) 0. Δινεται η συναρτηση Δίνεται η συνάρτηση f x log x log x Να βρείτε το πεδίο ορισμού της Να λύσετε την εξίσωση f x Να λύσετε την ανίσωση f x χ χ Δίνεται η f( χ ) = log ( 0 0 ) i)) Να δειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=( 0 ii) Να δειχθεί ότι f( χ ) = χ + log ( 0χ iii) Να λυθεί η εξίσωση f(( χ ) = χ iv) Να λυθεί η ανίσωση f( χ ) χ + log log

24 5 ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. Δίνεται το πολυώνυμο P x x ln 5 x 5 ln 6 x 6 ln 48 με 0. Α. Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο P x έχει παράγοντα το x. Β. Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης P x : x, να λύσετε την εξίσωση P x 0. e8 Δ. Να βρείτε την τιμή του α R,ώστε P 0. Γ. Για α. Σε μια διαίρεση πολυωνύμων με διαιρετέο ένα πολυώνυμο P x,δίνονται : Ο διαιρέτης δ x x x,το πηλίκο Π x x και το υπόλοιπο Y x x λ, λ R. Α. Να αποδείξετε ότι P x x x x λ. Β. Να βρείτε την τιμή του λ R,ώστε το πολυώνυμο P x να έχει ρίζα το x. Γ. Για λ,να λύσετε : i) Την εξίσωση P x 0. ii) Την ανίσωση P x 0 0 Δίνεται το πολυώνυμο P x x x α x β 5,το οποίο έχει παράγοντα το x και η διαίρεση P x : x δίνει υπόλοιπο 6. Α. Να δείξετε ότι α β 0 Β. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης P x : x x Γ. Για α και β να λύσετε : i) την ανίσωση P x 0 4. ii) την εξίσωση P7 x x 7 0 με x R. λ x λy λ, όπου x, y άγνωστοι και λ R. λx y λ 4 Α. Να δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση για κάθε λ R. Β. Να βρείτε την μοναδική λύση x 0, y 0 του συστήματος. Δίνεται το σύστημα Γ. Να βρείτε τις τιμές του λ R λ R,ώστε να ισχύει x 0 9 λy 0.

25 λ x y 4 5. Δίνεται το σύστημα,όπου x, y άγνωστοι και λ R. x λ y λ λ Α. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ R,το σύστημα έχει μοναδική λύση. Β. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ R,το σύστημα είναι αόριστο. Γ. Να βρείτε τις άπειρες λύσεις του συστήματος. 6. Δίνεται ότι για την γωνία α ισχύει α 0, π και 8συν α 7 8ημ α. Α. Να βρείτε το συνα Β. Να βρείτε την ελάχιστη και την μέγιστη τιμή της συνάρτησης f x εφ α συνx με x R.,έχει λύση στο R. συν α Γ. Να εξετάσετε αν η εξίσωση f x 7. Δίνεται η συνάρτηση f x ημxσυν x ημ xσυνx, με x R. Α. Να δείξετε ότι f x ημx συνx για κάθε x R. Β. Να δείξετε ότι ότι για κάθε πραγματικό αριθμό κ ισχύει ότι : f 0 κ 0 π. 4 Γ. Να λύσετε την εξίσωση : f x f 8. Δίνεται η συνάρτηση f x x ln e x. Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. Β. Να λύσετε την εξίσωση f x ln Γ. Να λύσετε την ανίσωση f x x Δ. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R και στη συνέχεια να λύσετε την ανίσωση f e 9. f 0log 4 x ln x Δίνεται η συνάρτηση f x log x 7x 0 log x. Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. Β. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η Cf τέμνει τον άξονα x x. Γ. Να λύσετε την ανίσωση f x 0 0. Δίνεται ότι για την συνάρτηση f ισχύει ότι : Α. Να δείξετε ότι e f x ln e ln ln e x f x ln e x και να βρείτε το πεδίο ορισμού της. Β. Να βρείτε τις τιμές του x R,για τις οποίες η Cf τέμνει τον άξονα x x. Γ. Να λύσετε την ανίσωση f x x

26 . Δίνεται ότι το πολυώνυμο P x διαιρούμενο με το x δίνει υπόλοιπο και διαιρούμενο με το x α δίνει πηλίκο x 5x. Α. Να δείξετε ότι P α Β. Να δείξετε ότι P x x 5 α x 5αx. Γ. Αν ισχύει ακόμη ότι η διαίρεση P x : x β δίνει πηλίκο x x 8,τότε : i) να δείξετε ότι P β 8β ii) να βρείτε τις τιμές των α, β. iii) να βρείτε το πολυώνυμο. P x και να λύσετε την εξίσωση P x 0 Δίνονται οι συναρτήσεις f x ln ex και g x ln ex Α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού τους. Β. Να συγκρίνετε τις τιμές f ln και g Γ Να λύσετε την εξίσωση x f x ln g x x x x x. Δίνεται η συνάρτηση f x x x x Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. Β. Να δείξετε ότι f x x x x 6 Γ. Να δείξετε ότι η f x έχει μοναδικό πρωτοβάθμιο παράγοντα τον x. Δ. Έστω Π x το πηλίκο της διαίρεσης f x : x.να δείξετε ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός x 0, ώστε Π x Π x 0 για κάθε x R.Στην συνέχεια να βρείτε το x 0. Ε. Να λύσετε την εξίσωση f ημ x 4. π 0 Δίνεται ότι το πολυώνυμο P x είναι τρίτου βαθμού, η διαίρεση P x : x είναι τέλεια,έχει ρίζα το μηδέν και το άθροισμα συντελεστών εναι ίσο με. Α. Να δείξετε ότι P x x x. Β. Να λύσετε την εξίσωση P x P x Δ. Να λύσετε την ανίσωση ln x ln x ln x Γ. Να λύσετε την εξίσωση P x P x 4

27 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Θεωρούμε τα διανύσματα, και την εξίσωση x y 0. ) Να αποδείξετε ότι: α) Η εξίσωση παριστάνει ευθεία για κάθε διάνυσμα,. β) Όλες οι παραπάνω ευθείες διέρχονται από σταθερό σημείο, το οποίο και να βρεθεί. ) Να βρείτε: α) Πότε μία από τις παραπάνω ευθείες είναι η y x. β) Την ευθεία της παραπάνω οικογένειας, η οποία είναι κάθετη στην ευθεία y x.. Δίνεται η παραβολή C: x y ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε), η οποία τέμνει την C στα σημεία Α και Β, ώστε το σημείο, να είναι μέσο του ΑΒ. ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία (ε) διέρχεται από την εστία της παραβολής. ) Να βρείτε τα σημεία Α και Β. 4) Να αποδείξετε ότι ο κύκλος με διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ εφάπτεται στη διευθετούσα της παραβολής.. Δίνονται οι παράλληλες ευθείες ε: x+ 4y +6 = 0 και ε: x + 4y +6=0. Α. Να βρείτε την απόσταση των παράλληλων ευθειών ε και ε. Β. Να βρείτε την εξίσωση της µεσοπαράλληλης ευθείας των ε και ε. Γ. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σηµείο τοµής της ευθείας ε µε τον άξονα x x και αποκόπτει από την ευθεία ε χορδή µήκους d = 4

28 4. Δίνεται η εξίσωση 6 x y x 4y 0, α) Να αποδείξετε ότι, η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του. β) Δίνεται η παραβολή με εξίσωση y=-x ι) Να βρείτε την εστία και την διευθετούσα της παραβολής. ιι) Nα βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης παραβολής στο σημείο Α(-,). γ) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της παραπάνω παραβολής, εφάπτεται και στο κύκλο 5. Δίνεται η εξίσωση x y 4 x y 4 0 :, με R Α.Να δείξετε ότι η () παριστάνει κύκλο C για κάθε R με κέντρο του και την ακτίνα του και να βρείτε συναρτήσει του κ το Β.Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων C για τις διάφορες τιμές του R Γ.Να αποδείξετε ότι οι συντεταγμένες. 6. C διέρχονται από σταθερό σημείο Μ του οποίου να προσδιορίσετε τις Δίνεται η εξίσωση χ+ψ-κχ-κψ+κ=0. α) Να δείξετε ότι παριστάνει κύκλους για κάθε κ 0 πραγματικό αριθμό και να βρείτε τα κέντρα τους και τις ακτίνες τους συναρτήσει του κ. β) Να δείξετε ότι οι παραπάνω κύκλοι εφάπτονται στον άξονα ψ ψ για κάθε κ 0. Για ποιες τιμές του κ 0 εφάπτεται και στον άξονα χ χ; γ) Να δείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων ανήκουν στην παραβολή ψ=χ 7. Δίνεται η εξίσωση x y xln ln 4ln με 0 Α.Να βρείτε για ποιες τιμές του 0 η παριστάνει κύκλο. Β.Για τις τιμές του θ που βρήκατε στο Α ερώτημα,να βρείτε την ακτίνα και το κέντρο του κύκλου. Γ.Να εξετάσετε αν υπάρχει 0,ώστε η ευθεία y=x+4 να εφάπτεται του κύκλου.

29 8. 7 Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα, και η εξίσωση x y x y 0 () Α.Δείξτε ότι η εξίσωση () παριστάνει κύκλο ακτίνας Β. Για, και (, ), να αποδείξετε ότι ο παραπάνω κύκλος () παίρνει τη μορφή 4 C : (x ) (y ) 6 Γ.Nα εξετάσετε αν η εστία της παραβολής y 8x βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου C του προηγούμενου ερωτήματος Β 9. Δίνονται τα διανύσματα x,y και x,y. Α. Αν, να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων Μ(χ,y) είναι έλλειψη Β. Αν ισχύει ότι y 64 0, να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων M(x,y) είναι κύκλος, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. Γ. Να βρείτε τα κοινά σημεία των δύο παραπάνω γεωμετρικών τόπων C και C. Δ. Να βρείτε τις εφαπτόμενες του παραπάνω κύκλου οι οποίες άγονται από το σημείο Α(,) και στην συνέχεια να βρείτε το μήκος της χορδής που αποκόπτει η μια από αυτές από την έλλειψη. 0. Δίνεται ο κύκλος C x y 4x 0 και η παραβολή C y px. Αν οι C, C τέμνονται στο σημείο A, με 0,τότε : Α. Να βρείτε τα,. Β. Να βρείτε το δεύτερο κοινό σημείο των C, C. Γ. Να αποδείξετε ότι η εφαπτόμενη της παραβολής C στο Α,εφάπτεται και στον κύκλο C.. Έστω α, β δύο διανύσματα τέτοια ώστε α β και η συνάρτηση f x α xβ, x R. Αν θ είναι η γωνία των διανυσμάτων α, β,να αποδείξετε ότι: Α. f x x συνθ x,για κάθε x R. Β. f x ημθ, για κάθε x R. Γ. Αν ο αριθμός 0,είναι η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f,τότε α β. Έστω α, β δύο διανύσματα τέτοια ώστε α β α. π Αν η γωνία των διανυσμάτων α, α β είναι ίση με,να αποδείξετε ότι: 4 Α. α β Β. α β Γ. α 4β 5 α

30

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ςες ΤΕΤΡΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους μαθητές

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου

Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999......................................... 3 Θέµατα 000......................................... 8 3 Θέµατα Σεπτεµβρίου 000..................................

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Έστω ότι για μια γωνία ω, όπου, ισχύει ότι:. 1 α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ............................................

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Θέμα Α. Αν α>0 με α, τότε για οποιουσδήποτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log (θ θ ) log θ log θ Μονάδες 8 α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

i. Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο Σ Λ iii. Ένα πολυώνυμο P(x) διαιρείται με το x-ρ αν και μόνο αν Ρ(ρ)=0 Σ Λ

i. Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο Σ Λ iii. Ένα πολυώνυμο P(x) διαιρείται με το x-ρ αν και μόνο αν Ρ(ρ)=0 Σ Λ 1 0 ΓΕΛ ΚΑΡΔΙΤΣΑΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝ.ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ.. ΘΕΜΑ Α Α 1. Να αποδείξετε ότι ημ ω+συν ω=1 Μον 10 Α. Να σημειώσετε το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Έστω ότι για μια γωνία ω, όπου, ισχύει ότι:. 1 α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Α. Αν α > 0 µε α 1 τότε για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς θ 1, θ 2 > 0 να αποδείξετε ότι log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 Β. Έστω το σύστηµα Σ : α1x +

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α α 3y β 5 (1) Αν το (Σ) : 3 αy 5β τους α,β έχει λύση την (, y) = (1, ) να βρείτε () Να λυθούν τα συστήματα : y 4 3 y 5 6 5 6

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 16950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (4) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001

Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001 Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.. Α.. Έστω η πολυωνυµική εξίσωση α ν x ν + α ν- x ν- +... + α x + α 0 0, µε ακέραιους συντελεστές. Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 21/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 21/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα 1 Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 1/1/015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα Κεφάλαιο 1 ο : Συστήματα 3 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Μια συνάρτηση f λέγεται: α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν για οποιαδήποτε χ,χ Δ με χ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 011-01 ΝΟΜΟΣ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ-ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΡΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 01 Θέματα προαγωγικών και απολυτηρίων εξετάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li

3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να γνωρίζει: Τον ορισµό της συνάρτησης και τον τρόπο εύρεσης του πεδίου ορισµού της. Τις πράξεις µεταξύ συναρτήσεων, τις γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1);

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1); 8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ o Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων α, β. Μονάδες 4 Β. Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυμα. Πολυωνυμικές εξισώσεις. Athens Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης. 14/2/2012

Πολυώνυμα. Πολυωνυμικές εξισώσεις. Athens Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης.  14/2/2012 Πολυώνυμα Πολυωνυμικές εξισώσεις Άλγεβρα 01 Β Λυκείου Athens 01 13 14//01 1. Περί πολυωνύμων (Α) Πολυώνυμα P x a x a x... a x a v v 1 Πολυώνυμο ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής: όπου a v, a v-1,,a

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑΗΜΙΑ ΚΥΒΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 100% www.kivosacademy.gr

ΑΚΑΗΜΙΑ ΚΥΒΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 100% www.kivosacademy.gr 11 ΟΗΓΙΕΣ 1. Το ebook περιέχει εργασίες δραστηριότητες για µαθητές που θα πάνε στη Γ Λυκείου και θα επιλέξουν µαθηµατικά κατεύθυνσης ή γενικής παιδείας.. Για την επίλυση θα χρειαστούν όλα τα βιβλία µαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ xcvbnmσγqwφertyuioσδφpγρaηsόρ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις ΘΕΜΑ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις (, x R 3 f ( x) = x και g x) = x α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g τέμνονται σε τρία σημεία τα οποία και να βρείτε. (Μονάδες 13) β) Αν Α, Ο,

Διαβάστε περισσότερα

Ταυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) "διαφορά τετραγώνων" α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) "διαφορά κύβων"

Ταυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) διαφορά τετραγώνων α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) διαφορά κύβων Ταυτότητες (α β) α αβ β " αναπτύγματα τετραγώνων " (α β) αβ β (α β) α α β αβ β " αναπτύγματα κύβων " (α β) α α β αβ β " παραγοντοποίηση τριωνύμου " (α β) αβ ( α)( β) (α β) αβ ( α)( β) α β = (α β)(α + β)

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004 Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999.......................................... 3 Θέµατα 000..........................................

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (2) -2- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1. Τι καλούμε μονώνυμο, τι πολυώνυμο, τι όροι,τι συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΣΧΟΛ. ΧΡΟΝΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΣΧΟΛ. ΧΡΟΝΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟ ΑΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΣΧΟΛ. ΧΡΟΝΙΑ - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΕΡΑ. Να λύσετε τα πιο κάτω συστήματα: α) χ+ψ=7 β)3κ+λ=4 γ) +y= δ)χ+ψ= χ-ψ=- 5κ=+3λ -y-y =7 4χψ=3.Να γίνουν οι πράξεις: α)

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 4.. Η ταυτότητα της διαίρεσης A. Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητα της διαίρεσης. Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι: Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x), με δ(x) 0

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της x x x x β Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν γ Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο x x f ( x), να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ i) Να αποδείξετε την ταυτότητα α β γ αββγγα α β βγ γα ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους αβγ,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; α β γ αβ βγ γα Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων β,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 009 ΤΑΞΗ: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 Ο : α) Ποια μονώνυμα λέγονται αντίθετα; Γράψτε ένα παράδειγμα δύο αντίθετων μονωνύμων. β) Ποια αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0%. Να βρείτε: i. Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 6 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 6 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 6 Θέμα Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 6.3 Ασκήσεις: όλες Άσκηση 1 Δίνεται η συνάρτηση f, με x 5x+ 6 f ( x) =. x 3 α) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ Α. ΘΕΩΡΙΑ. i. η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ είναι η

201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ Α. ΘΕΩΡΙΑ. i. η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ είναι η 201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ - 1-1. Να αποδείξετε ότι: Α. ΘΕΩΡΙΑ i. η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ είναι η C : x 2 y 2 ρ 2. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου C: χ 2 + ψ 2 = ρ 2

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι ισχύει α + β α + β, για κάθε α, β R. Α. Τι ονομάζουμε νιοστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α; Α. Να χαρακτηρίσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) 3 1 0 011 ΘΕΡΙΝΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) ΘΕΜΑ 1 Α. Έστω η συνάρτηση F()=f()+g(). Aν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι F

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Σκοπός: Σκοπός του κεφαλαίου είναι αρχικά η υπενθύμιση βασικών εννοιών που αφορούν τον ορισμό, τις πράξεις και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αφ ενός και η μελέτη της

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Νδο ηµ α Α) = εφα +συνα Β) π συνα εφ α = +ηµ α Γ) ηµ α= ηµ α συνα+ συν α ηµα ) συν α+ηµ α εφα= + εφα εφα Ε) ( + συνα) εφα=ηµ α Ζ) =εφα εφα+σφα. Νδο

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. ii) f(x) = δ) f (x) = ζ) f (x) =

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. ii) f(x) = δ) f (x) = ζ) f (x) = ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) () = 4 6 6 ii) () = iii) () = log ( ) iv) () = log ( log4(- )) v) vii) () 5 4 viii) () 5 log

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα συστήματα: (Σ 1 ): { (Σ 2 ): { (Σ 3 ): { (Σ 4 ): { με εκείνη από τις απαντήσεις Α, Β, Γ που νομίζετε ότι είναι η σωστή.

Διαβάστε περισσότερα