ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ
|
|
- Ἠλύσια Κοσμόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ÌÜèçìá 18 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ 18.1 ÅéóáãùãÞ 1 Óôï ìüèçìá áõôü äßíïíôáé ïé âáóéêýò Ýííïéåò ôïõ Äéáíõóìáôéêïý Äéáöïñéêïý Ëïãéóìïý, ðïõ åßíáé ó åôéêýò ìå ôéò âáèìùôýò Þ ôéò äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò ìéáò Þ ðåñéóóüôåñùí ìåôáâëçôþí êáé ïé ïðïßåò óå ïñéóìýíåò ðåñéðôþóåéò èåùñïýíôáé ùò ìéá ãåíßêåõóç ôùí ìý ñé ôþñá Þäç ãíùóôþí óôïí áíáãíþóôç áíôßóôïé ùí êáíüíùí ôïõ Äéáöïñéêïý Ëïãéóìïý ÂáèìùôÜ êáé äéáíõóìáôéêü ðåäßá óôù üôé óå ôõ üí óçìåßï, Ýóôù M, ôïõ þñïõ ðïõ ìáò ðåñéâüëëåé áíôéóôïé- ïýí: 5]. - Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò, Ýóôù T, ðïõ óõìâïëßæåé ôçí ôéìþ ôçò èåñìïêñáóßáò êáé (Ó a) 1Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá [1,, 3, 4, 865
2 866 Äéáíõóìáôéêüò Äéáöïñéêüò Ëïãéóìüò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò - Ýíá äéüíõóìá, Ýóôù v, ðïõ óõìâïëßæåé ôçí ôá ýôçôá ôïõ áíýìïõ óôï óçìåßï áõôü (Ó b). 1 y z z x 10 5 y 10 (a) x 3 (b) Ó Þìá : (á) Ç èåñìïêñáóßá T (âáèìùôü ðåäßï) êáé (b) ç ôá ýôçôá v óôá äéüöïñá óçìåßá M ôïõ þñïõ (äéáíõóìáôéêü ðåäßï). óôù ôï óýíïëï ôùí ìåôñþóåùí ôçò èåñìïêñáóßáò, áíôßóôïé á ôçò ôá ýôçôáò óôá ðáñáðüíù óçìåßá M ôïõ þñïõ. Ôüôå, üðùò åßíáé ãíùóôü áðü ôç ÖõóéêÞ, åðåéäþ ïé ôéìýò ôçò èåñìïêñáóßáò êáé ôçò ôá ýôçôáò Þ èá ìåôáâüëëïíôáé Þ èá åßíáé óôáèåñýò óå ïñéóìýíá áðü ôá óçìåßá ôïõ M, ôï óýíïëï èá áðïôåëåßôáé áðü äéáöïñåôéêü åí ãýíåé óôïé åßá, ðïõ åßíáé óôçí ðñþôç ðåñßðôùóç áñéèìïß êáé óôç äåýôåñç äéáíýóìáôá. Ôüôå ïé ôéìýò óôï åßíáé äõíáôüí íá èåùñçèïýí ùò ïé ôéìýò (ðåäßï ôéìþí) ìéáò óõíüñôçóçò Þ áêñéâýóôåñá âáèìùôþò óõíüñôçóçò f(x; y; z) ãéá ôçí ðñþôç, ìéáò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò F(x; y; z) ãéá ôç äåýôåñç ðåñßðôùóç. Óýìöùíá ìå ôá ðáñáðüíù, üôáí ðåñéãñüöåôáé Ýíá âáèìùôü ìýãåèïò, üðùò åßíáé ç èåñìïêñáóßá, èá ëýãåôáé üôé Ý ïõìå Ýíá âáèìùôü ðåäßï (scalar eld) 3 Ç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç äýï ìåôáâëçôþí, áíôßóôïé á ôñéþí ìåôáâëçôþí, èåùñåßôáé ùò åðýêôáóç ôçò Þäç ãíùóôþò óõíüñôçóçò ìéáò ìåôáâëçôþò áðü ôï ÌÜèçìá ÄéáíõóìáôéêÝò óõíáñôþóåéò ìéáò ìåôáâëçôþò. Ç ðáñáãþãéóç ôùí äéáíõóìáôéêþí óõíáñôþóåùí ðïëëþí ìåôáâëçôþí ãßíåôáé üìïéá ìå åêåßíùí ôçò ìéáò ìåôáâëçôþò, ìüíïí ðïõ ç ïëéêþ ðáñüãùãïò F (t) áíôéêáèßóôáôáé óôçí ðåñßðôùóç áõôþ áðü ôç ìåñéêþ ðáñüãùãï ãéá êáèåìéü áðü ôéò ìåôáâëçôýò. 3ÂëÝðå âéâëéïãñáößá êáé http : ==en:wikipedia:org=wiki=scalar field
3 ÂáèìùôÜ êáé äéáíõóìáôéêü ðåäßá 867 êáé ç óõíüñôçóç ðïõ ôï ðåñéãñüöåé âáèìùôþ óõíüñôçóç Þ áðëü ãéá åõêïëßá óôï åîþò óõíüñôçóç, ðïõ èá óõìâïëßæåôáé ìå f, g ê.ëð. åíþ, üôáí ðåñéãñüöåôáé äéáíõóìáôéêü ìýãåèïò, üðùò åßíáé ç ôá ýôçôá, èá ëýãåôáé üôé Ý ïõìåäéáíõóìáôéêü ðåäßï (vector eld) 4 êáé ç óõíüñôçóç ðïõ ôï ðåñéãñüöåé äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç êáé èá óõìâïëßæåôáé ìå F, G ê.ëð. Áí ôþñá Oxyz åßíáé Ýíá ïñèïãþíéï óýóôçìá áîüíùí ôïõ þñïõ R 3, ôüôå ç óõíüñôçóç f ãñüöåôáé óõíáñôþóåé ôùí ìåôáâëçôþí x, y êáé z ùò f = f(x; y; z), åíþ ç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç ùò F(x; y; z), ðïõ óå áíôéóôïé ßá ìå ôçí áíáëõôéêþ Ýêöñáóç ôïõ äéáíýóìáôïò a = a 1 i+a j+a 3 k ôçò ÐáñáãñÜöïõ 18.1 èá ãñüöåôáé ùò åîþò: F = F(x; y; z) = P (x; y; z) i + Q(x; y; z) j + R(x; y; z) k; ( ) üôáí P, Q êáé R åßíáé ïé óõíéóôþóåò ùò ðñïò ôïí x, y êáé z-üîïíá. Èá ðñýðåé íá óçìåéùèåß óôï óçìåßï áõôü üôé ïé ôéìýò ôüóï ôïõ âáèìùôïý üóï êáé ôïõ äéáíõóìáôéêïý ðåäßïõ åßíáé áíåîüñôçôåò áðü ôçí åêëïãþ ôïõ óõóôþìáôïò ôùí áîüíùí. Ç áíôßóôïé ç Ýêöñáóç ôçò (18:1:1 1) óôï R åßíáé F = F(x; y) = P (x; y) i + Q(x; y) j: ( ) Ôï ìýôñï Þ ç áðüëõôç ôéìþ ôçò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò (18:1:1 1) ïñßæåôáé ôüôå áðü ôç ó Ýóç åíþ ôçò (18:1:1 ) áðü ôçí ÐáñÜäåéãìá Ôï Þäç ãíùóôü äéüíõóìá èýóçò F = ( P + Q + R ) 1= ; F = ( P + Q ) 1= : r = x i + y j + z k = F(x; y; z); 4ÂÝðå âéâëéïãñáößá êáé http : ==en:wikipedia:org=wiki=v ector field
4 868 Äéáíõóìáôéêüò Äéáöïñéêüò Ëïãéóìüò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò åßíáé ìéá äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç ôñéþí ìåôáâëçôþí, åíþ ôï ìýôñï ôïõ r = ( x + y + z ) 1= = f(x; y; z) ìéá âáèìùôþ óõíüñôçóç. ëëá ðáñáäåßãìáôá äéáíõóìáôéêþí óõíáñôþóåùí èá äïèïýí óôç óõíý åéá ôïõ ìáèþìáôïò. 18. Êáôåõèõíüìåíç ðáñüãùãïò ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Åßíáé Þäç ãíùóôü óôïí áíáãíþóôç üôé ç ðáñüãùãïò ìéáò óõíüñôçóçò ìéáò ìåôáâëçôþò Þ êáé ãåíéêüôåñá ðïëëþí ìåôáâëçôþí, Ýóôù f(x; y), áíôßóôïé á f(x; y; z), ïñßæåé ôïí óõíôåëåóôþ ìåôáâïëþò ôçò f ùò ðñïò ôïí áíôßóôïé ï Üîïíá óõíôåôáãìýíùí, äçëáäþ ç f x ùò ðñïò ôïí x-üîïíá, ê.ëð. Óôçí ðáñüãñáöï áõôþ èá ãßíåé ìéá ãåíßêåõóç ôçò ìåôáâïëþò áõôþò, èåùñþíôáò üôé ïé ìåôáâëçôýò x; y, áíôßóôïé á x; y; z ìåôáâüëëïíôáé ôáõôü ñïíá. Ç Ýííïéá ôçò ôáõôü ñïíçò ìåôáâïëþò äåí óçìáßíåé áðáñáßôçôá üôé ç ìåôáâïëþ åßíáé ç ßäéá ãéá êüèå ìåôáâëçôþ, äçëáäþ åßíáé äõíáôüí íá Ý ïõìå äéáöïñåôéêýò ìåôáâïëýò ùò ðñïò x, y êáé z. ÐáñÜäåéãìá óôù Ýíá õëéêü óçìåßï ðïõ êéíåßôáé óôïí þñï áðü ôï óçìåßï óôï Ôüôå A (x 0 ; y 0 ; z 0 ) = A (1; ; 0) B (x 1 ; y 1 ; z 1 ) = B (x 0 + x; y 0 + y; z 0 + z) = B (; 0; 6) : x = x 1 x 0 = 1 = 1; y = y 1 y 0 = 0 ( ) = êáé z = z 1 z 0 = 6 3 = 3; äçëáäþ x y z:
5 Êáôåõèõíüìåíç ðáñüãùãïò 869 Óýìöùíá ìå ôçí ÐáñÜãñáöï 18.1, ç ìåôáâïëþ ôçò èýóçò ôïõ óçìåßïõ áðü ôï A óôï B èá ïñßæåôáé áðü ôç äéåýèõíóç ôïõ äéáíýóìáôïò a = i + j + 3k = 1; ; 3 : ÅðåéäÞ üìùò õðüñ ïõí Üðåéñá äéáíýóìáôá ðïõ Ý ïõí ôçí ßäéá äéåýèõíóç ìå ôï äéüíõóìá a, ï áêñéâþò êáèïñéóìüò ôçò äéåýèõíóçò ôçò ðáñáðüíù ìåôáâïëþò ãßíåôáé áðü ôï áíôßóôïé ï ìïíáäéáßï äéüíõóìá, Ýóôù n ôïõ a, äçëáäþ óôç óõãêåêñéìýíç ðåñßðôùóç áðü ôï äéüíõóìá n = = 1 1 (i + j + 3 k) = (i + j + 3 k) ( 1 14 ; 14 ; ) 3 1 = ; ; 3 14 = n 1 ; n ; n 3 : Óçìåßùóç Óýìöùíá ìå ôï ÐáñÜäåéãìá , áí A (x 0 ; y 0 ), B (x 1 ; y 1 ) áíôßóôïé á A (x 0 ; y 0 ; z 0 ), B (x 1 ; y 1 ; z 1 ) åßíáé äýï äéáöïñåôéêü óçìåßá ôïõ R, áíôßóôïé á ôïõ R 3 ðïõ âñßóêïíôáé óå áðüóôáóç s, ôüôå, áí a = AB, ôï ìïíáäéáßï äéüíõóìá n êáôü ôç äéåýèõíóç AB èá ïñßæåôáé áðü ôç ó Ýóç 18.. Ïñéóìüò AB n = AB = a a = a s : ïíôáò ôþñá õðüøç êáé ôïõò áíôßóôïé ïõò ïñéóìïýò ôùí ðáñáãþãùí óõíüñôçóçò ìéáò Þ ðåñéóóüôåñùí ìåôáâëçôþí, ç ðáñüãùãïò ôçò óõíüñôçóçò f óôï óçìåßï A êáôü ôç äéåýèõíóç ôïõ ìïíáäéáßïõ äéáíýóìáôïò n ïñßæåôáé ùò åîþò: Ïñéóìüò (êáôåõèõíüìåíç ðáñüãùãïò). óôù ç óõíüñôçóç f(x; y) S R ; áíôßóôïé á f(x; y; z) S R 3
6 870 Äéáíõóìáôéêüò Äéáöïñéêüò Ëïãéóìüò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ìå S áíïéêôü óýíïëï, ðïõ õðïôßèåôáé üôé Ý åé 1çò ôüîçò ìåñéêýò ðáñáãþãïõò óôï S. Áí A (x 0 ; y 0 ), B (x 1 ; y 1 ) áíôßóôïé á A (x 0 ; y 0 ; z 0 ), B (x 1 ; y 1 ; z 1 ) åßíáé äýï äéáöïñåôéêü óçìåßá ôïõ S, ðïõ âñßóêïíôáé óå áðüóôáóç s = AB = a êáé n = n 1 ; n, áíôßóôïé á n = n 1 ; n ; n 3 ôï ìïíáäéáßï äéüíõóìá êáôü ôç äéåýèõíóç AB = a, ç êáôåõèõíüìåíç ðáñüãùãïò (directional derivative) 5 ôçò f óôï óçìåßï A óõìâïëßæåôáé ìå (D n f) A êáé ïñßæåôáé áðü ôçí ðáñáêüôù ïñéáêþ ôéìþ f (x 0 + s n 1 ; y 0 + s n ) f (x 0 ; y 0 ) (D n f) A = lim ; s 0 s áíôßóôïé á ( ) f (x 0 + s n 1 ; y 0 + s n ; z 0 + s n 3 ) f (x 0 ; y 0 ; z 0 ) (D n f) A = lim ; s 0 s åöüóïí õðüñ åé. Éóïäýíáìá ï ðáñáðüíù ïñéóìüò ãñüöåôáé: Ïñéóìüò (êáôåõèõíüìåíç ðáñüãùãïò). óôù ç óõíüñôçóç f(x; y) S R ; áíôßóôïé á f(x; y; z) S R 3 ìå S áíïéêôü óýíïëï, ðïõ õðïôßèåôáé üôé Ý åé ðñþôçò ôüîçò ìåñéêýò ðáñáãþãïõò óôï S. Áí A (x 0 ; y 0 ), B (x 1 ; y 1 ) áíôßóôïé á A (x 0 ; y 0 ; z 0 ), B (x 1 ; y 1 ; z 1 ) åßíáé äýï äéáöïñåôéêü óçìåßá ôïõ S, ðïõ âñßóêïíôáé óå áðüóôáóç s = AB = a êáé n ôï ìïíáäéáßï äéüíõóìá êáôü ôç äéåýèõíóç AB = a, ç êáôåõèõíüìåíç ðáñüãùãïò ôçò f óôï óçìåßï A óõìâïëßæåôáé ìå (D n f) A = d f ïñßæåôáé áðü ôçí ðáñáêüôù ïñéáêþ ôéìþ: (D n f) A = d f åöüóïí õðüñ åé. n; A f (x 1 ; y 1 ) f (x 0 ; y 0 ) = lim ; s 0 s n; êáé A áíôßóôïé á ( ) (D n f) A = d f f (x 1 ; y 1 ; z 1 ) f (x 0 ; y 0 ; z 0 ) = lim ; s 0 s n; A 5ÂëÝðå http : ==en:wikipedia:org=wiki=directional derivative
7 Êëßóç óõíüñôçóçò 871 Ïñéóìüò óôù ç óõíüñôçóç f(x; y) S R, áíôßóôïé á f(x; y; z) S R 3 ìå S áíïéêôü óýíïëï, ðïõ õðïôßèåôáé üôé Ý åé ðñþôçò ôüîçò ìåñéêýò ðáñáãþãïõò óôï S. Áí ç êáôåõèõíüìåíç ðáñüãùãïò ôçò f õðüñ åé óå êüèå óçìåßï A (x 0 ; y 0 ), áíôßóôïé á A (x 0 ; y 0 ; z 0 ) ôïõ S, ôüôå ëýãåôáé üôé õðüñ åé ç êáôåõèõíüìåíç ðáñüãùãïò (directional derivative) ôçò f óôï S êáé óõìâïëßæåôáé áõôü ìå D n f = ( ) d f : ( ) n ÐáñáôçñÞóåéò i) Ç (18:: ) ïñßæåé ôïí óõíôåëåóôþ ìåôáâïëþò ôçò f óôï óçìåßï A êáôü ôç äéåýèõíóç ôïõ ìïíáäéáßïõ äéáíýóìáôïò n. ii) Ï ôåëåóôþò d óôçí ðåñßðôùóç áõôþ Ý åé åñìçíåßá áíüëïãç ôùí ôåëåóôþí, åíþ ôï áðåéñïóôü, üðùò ôï áíôßóôïé ï d x, ïñßæåôáé áðü d d x ôï üñéï lim s 0 s (âëýðå ãåùìåôñéêþ åñìçíåßá ðáñáãþãïõ óõíüñôçóçò ìéáò ìåôáâëçôþò). iii) Ç (18:: 1), áíôßóôïé á ç (18:: ) åßíáé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß, åíþ ç (18:: 3) óõíüñôçóç (âëýðå ÐáñÜäåéãìá ). Óôçí åðüìåíç ðáñüãñáöï èá ãßíåé ï õðïëïãéóìüò ôçò êáôåõèõíüìåíçò ðáñáãþãïõ Êëßóç óõíüñôçóçò Ó åôéêïß ïñéóìïß Áí r A = x 0 i + y 0 j + z 0 k = x 0 ; y 0 ; z 0 ôï äéüíõóìá èýóçò ôïõ óçìåßïõ A (x 0 ; y 0 ; z 0 ), ôüôå Ý ïíôáò õðüøç êáé ôïí êáíüíá ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ ãéá ôçí ðñüóèåóç äéáíõóìüôùí ôï äéüíõóìá èýóçò r B ôïõ óçìåßïõ  (x 1 ; y 1 ; z 1 ) èá äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç r B = r A + s n
8 87 Äéáíõóìáôéêüò Äéáöïñéêüò Ëïãéóìüò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò.0 y x Ó Þìá : Ç Åîßóùóç (18:3:1 ) óôï R üðïõ r A ôï êüêêéíï, n ôï ðñüóéíï êáé a ôï ìðëå äéüíõóìá. üôáí n = n 1 ; n ; n 3 ôï ìïíáäéáßï äéüíõóìá êáôü ôç äéåýèõíóç AB = a êáé s = AB. ñá (âëýðå Ó ãéá ôçí áíôßóôïé ç ðåñßðôùóç óôï R ) r = r A + s n ( ) = (x 0 + s n 1 ) i + (y 0 + s n ) j + (z 0 + s n 3 ) k = x(s) i + y(s) j + z(s) k = r(s): Ôüôå áðü ôçí (18:3:1 1) ðñïêýðôåé üôé d r = d (r A + s n) = =0 {}}{ d r A +d (s n) = n =1 {}}{ = n: ( ) Õðåíèõìßæåôáé ãéá åõêïëßá óôï óçìåßï áõôü ôï Èåþñçìá 14::5, ðïõ áöïñïýóå ôïí áëõóéäùôü êáíüíá ðáñáãþãéóçò óýíèåôçò óõíüñôçóçò ôïõ ÌáèÞìáôïò ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí:
9 Êëßóç óõíüñôçóçò 873 Èåþñçìá óôù ç óõíüñôçóç f (x; y) S R, áíôßóôïé á f (x; y; z) S R 3 êáé x = x(s); y = y(s), áíôßóôïé á x = x(s); y = y(s); z = z(s) ãéá êüèå s A R, üðïõ A áíïéêôü óýíïëï ìå ôéò áíôßóôïé åò ôéìýò ôçò f íá áíþêïõí óôï S ãéá êüèå s A êáé åðéðëýïí üôé õðüñ åé ç ðáñüãùãïò ôçò f óôï (x(s); y(s)), áíôßóôïé á (x(s); y(s); z(s)) ãéá êüèå s A. Ôüôå ç óõíüñôçóç f = f(s) ðáñáãùãßæåôáé óôï s êáé éó ýåé d f(t) dx = f x + f dy y ; ( ) áíôßóôïé á d f(t) dx = f x + f dy y + f dz z : ( ) Óýìöùíá ìå ôï Èåþñçìá , ôïí ôýðï õðïëïãéóìïý ôïõ åóùôåñéêïý ãéíïìýíïõ äýï äéáíõóìüôùí âüóåé ôïõ ïðïßïõ áí a = a 1 ; a ; a 3 êáé b = a 1 ; a ; a 3 ; ôüôå a b = a 1 b 1 + a b + a 3 b 3 êáé õðïèýôïíôáò üôé ç f Ý åé ôïõëü éóôïí 1çò ôüîçò ìåñéêýò ðáñáãþãïõò óôï
10 874 Äéáíõóìáôéêüò Äéáöïñéêüò Ëïãéóìüò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò S óýìöùíá êáé ìå ôéò (18:3:1 1) êáé (18:3:1 ) Ý ïõìå ( ) d f d x(s) d y(s) @z n j ) k d x(s) i + d y(s) j + d z(s) ) k j ) ] (18:3:1 k f d {}}{ (x(s) i + y(s) j + z(s) k) (18:3:1 ) {}}{ d r(s) = ( f) = ( f) n; ( ) üðïõ ôï óýìâïëï ïñßæåôáé ùò åîþò: Ïñéóìüò (äéáöïñéêüò ôåëåóôþò). Ïñßæåôáé ùò äéáöïñéêüò ôåëåóôþò 6 (del) óôï R ; áíôßóôïé á óôï R @y : Áðü ôçí (18:3:1 5) êáé ôéò (18:3:1 6), áíôßóôïé á (18:3:1 7) Ý ïõìå ôïí ðáñáêüôù ôýðï õðïëïãéóìïý ôçò êáôåõèõíüìåíçò ðáñáãþãïõ: ( ) d f D n f = = ( f) n = f x ; f y n 1 ; n n = f x n 1 + f y n ; ( ) 6ÂëÝðå D n f = áíôßóôïé á ( ) d f = ( f) n = f x ; f y ; f z n 1 ; n ; n 3 n = f x n 1 + f y n + f z n 3 : ( ) http : ==en:wikipedia:org=wiki=del
11 Êëßóç óõíüñôçóçò 875 Ôï áíüäåëôá (nabla), åßíáé Ýíá óõìâïëéêü äéüíõóìá ìå ðïëëýò åöáñìïãýò óôçí ðåñéãñáöþ ôùí åîéóþóåùí äéáöüñùí ðñïâëçìüôùí üðùò ôïõ çëåêôñïìáãíçôéêïý ðåäßïõ (åîéóþóåéò ôïõ Maxwell), 7 õäñïäõíáìéêþò, êõìáôéêþò, ê.ëð. êáé Ý åé éäéüôçôåò áíüëïãåò ìå åêåßíåò ôùí ãíùóôþí äéáíõóìüôùí. Óýìöùíá ôþñá êáé ìå ôïõò ôýðïõò (18:3:1 8), áíôßóôïé á (18:3:1 9) ç êëßóç åíüò âáèìùôïý ðåäßïõ ïñßæåôáé óôç óõíý åéá ùò åîþò: Ïñéóìüò (êëßóç). óôù ç óõíüñôçóç f(x; y) S R, áíôßóôïé á f(x; y; z) S R 3 ìå S áíïéêôü óýíïëï, ðïõ Ý åé ôïõëü éóôïí 1çò ôüîçò ìåñéêýò ðáñáãþãïõò óôï S. Ôüôå ïñßæåôáé ùò êëßóç (gradient) 8 ôçò f ç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç áíôßóôïé á grad f = f = f x i + f y j = f x ; f y ; ( ) grad f = f = f x i + f y j + f z k = f x ; f y ; f z : ( ) ÐáñáôçñÞóåéò i) Óýìöùíá ìå ôïí Ïñéóìü ç êëßóç åöáñìüæåôáé óå âáèìùôþ óõíüñôçóç, äçëáäþ óõíüñôçóç ðïõ ðåñéãñüöåé âáèìùôü ðåäßï êáé äçìéïõñãåß ôç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç f, äçëáäþ óõíüñôçóç ðïõ ðåñéãñüöåé äéáíõóìáôéêü ðåäßï. Åßíáé ðñïöáíýò üôé ç êëßóç óå óçìåßï f A åßíáé äéüíõóìá. ii Ìå ôç âïþèåéá ôçò êëßóçò ïé áíáãêáßåò óõíèþêåò f x = f y = 0 ãéá ôçí ýðáñîç áêñüôáôùí ôçò óõíüñôçóçò f(x; y), áíôßóôïé á ïé f x = f y = f z = 0 7ÂëÝðå âéâëéïãñáößá êáé âéâëßï Á. ÌðñÜôóïò [1] Êåö. 4. 8ÂëÝðå http : ==en:wikipedia:org=wiki=gradient
12 876 Äéáíõóìáôéêüò Äéáöïñéêüò Ëïãéóìüò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ãéá ôçí f(x; y; z), ãñüöïíôáé f = f x ; f y = 0; áíôßóôïé á f = f x ; f y ; f z = 0: Éäéüôçôåò êáé åöáñìïãýò óôù f; g S R, áíôßóôïé á f; g S R 3 êáé ë R óôáèåñü. Ôüôå: Êáôåõèõíüìåíçò ðáñáãþãïõ Êëßóçò 1. D n f = 0 f = 0, üôáí f óôáèåñü. D n (f + g) = D n f + D n g (f + g) = f + g 3. D n (f g) = f D n g + g D n f (f g) = f g + g f 4. D n (ëf) = ëd n f (ëf) = ë f 5. D n ( f g ) = gd n f fd n g g ( ) f g f f g = g g, üôáí g (x) 0. Ç áðüäåéîç ôùí éäéïôþôùí áöþíåôáé ùò Üóêçóç. ÐáñÜäåéãìá Áí f(x; y; z) = 3x y y 3 z ; íá õðïëïãéóôåß ç êëßóç óôï óçìåßï P (1; ; 1). Ëýóç. Åßíáé f x = 6xy; f y = 3x 3y z êáé f z = y 3 z:
13 Êëßóç óõíüñôçóçò 877 ñá (Ó a) f = 6xy i + 3 ( x y z ) j y 3 z k; ïðüôå (Ó b) f P (1; ; 1) = 1 i 9 j 16 k = 1; 9; 16 : 1.0 y y x z z x (a) (b) Ó Þìá : (a) Ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò êëßóçò f = 6xy i + 3 ( x y z ) j y 3 z k, üôáí x; y; z [ 1; 1] êáé (b) ôï äéüíõóìá f P (1; ; 1) = 1 i 9 j 16 k = 1; 9; 16. ÐáñÜäåéãìá ¼ìïéá, áí f(x; y; z) = ln r ; üðïõ r äéüíõóìá èýóçò, íá õðïëïãéóôåß ç êëßóç ôçò f. Ëýóç. ÅðåéäÞ r = r = ( x + y + z ) 1= åßíáé f(x; y; z) = 1 ln ( x + y + z ) :
14 878 Äéáíõóìáôéêüò Äéáöïñéêüò Ëïãéóìüò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ôüôå x {}}{ ( x + y + z ) x x + y + z = x x + y + z ; f x = 1 åíþ ëüãù ôçò óõììåôñßáò ôçò f áíüëïãïé ôýðïé õðïëïãßæïíôáé ãéá ôéò ðáñáãþãïõò f y êáé f z. ñá f = f x i + f y j + f z k = x i + y j + z k x + y + z = r r : ÐáñÜäåéãìá Íá õðïëïãéóôåß ç êáôåõèõíüìåíç ðáñüãùãïò ôçò óõíüñôçóçò f(x; y; z) = x + y + 3z óôï óçìåßï P (; 1; 3) êáôü ôç äéåýèõíóç ôïõ äéáíýóìáôïò á = i j. Ëýóç. Áñ éêü õðïëïãßæåôáé ç êëßóç ôçò f ùò åîþò: f = f x i + f y j + f z k = x i + 4y j + 6z k; (1) ïðüôå óôï óçìåßï P (; 1; 3) èá Ý ïõìå f P (;1;3) = i j k = 4 i + 4 j + 18 k = 4; 4; 18 : () Ôï ìïíáäéáßï äéüíõóìá n êáôü ôç äéåýèõíóç ôïõ äéáíýóìáôïò á åßíáé n = á á = i j 1 + = 1 5 i 5 j = 1 5 ; : (3) 5 ÅðïìÝíùò óýìöùíá êáé ìå ôç ãíùóôþ éäéüôçôá ôïõ åóùôåñéêïý ãéíïìýíïõ áðü ôéò () êáé (3) ðñïêýðôåé ( 1 (D n f) P (;1;3) = (4i + 4j + 18k) 5 i ) j 5 1 = 4; 4; 18 5 ; ; 0 = ( ) = 4 5 1:78885;
15 Êëßóç óõíüñôçóçò 879 äçëáäþ óýìöùíá êáé ìå ôéò ÐáñáôçñÞóåéò (iii) ðñáãìáôéêüò áñéèìüò. óôù ôþñá üôé æçôåßôáé ç êáôåõèõíüìåíç ðáñüãùãïò êáôü ôç äéåýèõíóç ôïõ äéáíýóìáôïò á = i j ãåíéêü êáé ü é óå óõãêåêñéìýíï óçìåßï. Ôüôå áðü ôçí (1) êáé ôçí (3) Ý ïõìå D n f = (x i + 4y j + 6z k) ( 1 5 i ) j 5 1 = x; 4y; 6z 5 ; ; 0 = x 1 4y ( ) + + 6z = 5 (x 4y) ; äçëáäþ üìïéá óýìöùíá ìå ôéò ÐáñáôçñÞóåéò (iii) ìéá âáèìùôþ óõíüñôçóç. ÐáñÜäåéãìá ¼ìïéá ôçò óõíüñôçóçò f(x; y) = x e xy + y óôï óçìåßï P (; 0) êáôü ôç äéåýèõíóç ôçò ãùíßáò è = =3. Ëýóç. Ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôçò êëßóçò ôçò f Ý ïõìå f x = 1 y {}}{{}}{ (x) x e xy + x (xy) x e xy = (1 + xy) e xy ; f y = x x {}}{ (xy) y e xy + 1 = x e xy + 1; ïðüôå f = (1 + xy) e xy i + ( x e xy + 1 ) j; ïðüôå óôï óçìåßï P (; 0) èá åßíáé f P (;0) = (1 + 0)e 0 i + ( 1 + e 0) j = i + 5 j = 1; 5 : Ôï äéüíõóìá êáôü ôç äéåýèõíóç ôçò ãùíßáò è = =3 åßíáé a = cos è i + sin è j = cos 3 i + sin 3 j = 1 i 3 + j = 1 3 ;
16 880 Äéáíõóìáôéêüò Äéáöïñéêüò Ëïãéóìüò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò üðïõ ðñïöáíþò a = ( 1 ) + ( ) 3 = 1: Ôüôå ôï ìïíáäéáßï äéüíõóìá n êáôü ôç äéåýèõíóç ôïõ a åßíáé n = á á = 1 i 3 + j = 1 3 ; : ÅðïìÝíùò (D n f) P (;0) = (i + 5 j) ( 1 ) i 3 + j = 1; 5 1 ; 3 ( = 1 1 ) + 5 ( ) 3 = :830 17: Óçìåßùóç Ãåíéêüôåñá ôï äéüíõóìá a êáôü ôç äéåýèõíóç ôçò ãùíßáò è åßíáé a = cos è i + sin è j = cos è ; sin è ; üðïõ ðñïöáíþò a = 1, ïðüôå ôï ìïíáäéáßï äéüíõóìá óôçí ðåñßðôùóç áõôþ èá åßíáé n = a. Ðñüôáóç Ç ìýãéóôç ôéìþ ôçò êáôåõèõíüìåíçò ðáñáãþãïõ D n f ìéáò óõíüñôçóçò f êáôü ôç äéåýèõíóç n éóïýôáé ìå f êáé óõìâáßíåé, üôáí ôá f êáé n Ý ïõí ôçí ßäéá äéåýèõíóç. Áðüäåéîç. óôù è ç ãùíßá ôùí f êáé n. Ôüôå áðü ôçí (18:3:1 5), óýìöùíá êáé ìå ôïí ïñéóìü ôïõ åóùôåñéêïý ãéíïìýíïõ Ý ïõìå D n f = f n = f n cos = f cos è: ( ) ñá ôï ìýãéóôï óõìâáßíåé, üôáí cos è = 1, äçëáäþ è = 0, ðïõ óçìáßíåé üôé ôá f êáé n Ý ïõí ôçí ßäéá äéåýèõíóç, åíþ ç ìýãéóôç ôéìþ óôçí ðåñßðôùóç áõôþ éóïýôáé ìå f.
17 Êëßóç óõíüñôçóçò 881 ÐáñÜäåéãìá Áí ôï ýøïò h åíüò ëüöïõ äßíåôáé áðü ôïí ôýðï h = :01x 0:0y ; íá õðïëïãéóôåß ç äéåýèõíóç ôçò ìýãéóôçò ìåôáâïëþò óôï óçìåßï (60; 100) êáé ç ôéìþ ôïõ. Ëýóç. óôù f(x; y) = :01x 0:0y : Ôüôå óýìöùíá ìå ôçí Ðñüôáóç ç ìýãéóôç ìåôáâïëþ ãßíåôáé óôç äéåýèõíóç f = f x i + f y j = f x ; f y = 0:0 x; 0:04 y ; ïðüôå óôï óçìåßï (60; 100) ç äéåýèõíóç åßíáé f (60;100) = f(60; 100) = 1: i 4 j = 1:; 4 ìå ôéìþ f(60; 100) = ( 1:) + ( 4) 4:176. ÐáñÜäåéãìá ¼ìïéá ôçò óõíüñôçóçò f(x; y; z) = (x + y) + (y + z) + (z + x) óôï óçìåßï (; 1; ). Ëýóç. ïõìå f x = 4x + y + z êáé ëüãù ôçò óõììåôñßáò ôçò f üìïéá f y = 4y + z + x êáé f z = 4z + x + y: ñá f = f x i + f y j + f z k = 4x + y + z; 4y + z + x; 4z + x + y ;
18 88 Äéáíõóìáôéêüò Äéáöïñéêüò Ëïãéóìüò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ó Þìá : Ôï äéüíõóìá ôçò êëßóçò åßíáé êüèåôï óôçí åðéöüíåéá êáé óôï åöáðôüìåíï åðßðåäï. ïðüôå óôï óçìåßï (; 1; ) ç äéåýèõíóç åßíáé f(; 1; ) = 10 i + 4 j + 10 k = 10; 4; 10 ìå ôéìþ f(; 1; ) = : : Áðü ôçí Ðñüôáóç ðñïêýðôåé üôé: Ðñüôáóç Ôï äéüíõóìá ôçò êëßóçò f (x 0 ; y 0 ) åßíáé êüèåôï óôçí åðéöüíåéá f (x; y) k = 0 óôï óçìåßï (x 0 ; y 0 ), áíôßóôïé á ôï f (x 0 ; y 0 ; z 0 ) óôçí f (x; y; z) k = 0 óôï (x 0 ; y 0 ; z 0 ). (Ó ) ìåóç óõíýðåéá ôçò Ðñüôáóçò åßíáé ôï ðáñáêüôù ðüñéóìá: Ðüñéóìá Ôï åöáðôüìåíï åðßðåäï óôçí åðéöüíåéá f (x; y) k = 0 óôï óçìåßï (x 0 ; y 0 ), áíôßóôïé á óôçí f (x; y; z) k = 0 óôï (x 0 ; y 0 ; z 0 ) åßíáé êüèåôï óôï äéüíõóìá ôçò êëßóçò f (x 0 ; y 0 ), áíôßóôïé á f (x 0 ; y 0 ). Óýìöùíá ìå ôï ðáñáðüíù ðüñéóìá áðïäåéêíýåôáé üôé:
19 Êëßóç óõíüñôçóçò 883 Ðüñéóìá óôù ôï åðßðåäï ð ìå åîßóùóç f(x; y; z) = Ax + By + Cy + D = 0: Ôüôå ôï äéüíõóìá f = A; B; C åßíáé êüèåôï óôï ð. ÐáñÜäåéãìá Íá äåé èåß üôé ç êáôåõèõíüìåíç ðáñüãùãïò ôçò óõíüñôçóçò g(x; y) = y üôáí x 0 x êáôü ôç äéåýèõíóç ôïõ ìïíáäéáßïõ äéáíýóìáôïò, ðïõ åßíáé êüèåôï óôçí Ýëëåéøç x + y = 1, åßíáé ßóç ìå ìçäýí. Ëýóç. óôù P = P (x 0 ; y 0 ) ôõ üí óçìåßï ôçò Ýëëåéøçò ìå åîßóùóç f(x; y) = x + y 1: Ôüôå óýìöùíá ìå ôçí Ðñüôáóç ôï äéüíõóìá ôçò êëßóçò f (x 0 ; y 0 ) åßíáé êüèåôï óôçí Ýëëåéøç óôï óçìåßï (x 0 ; y 0 ). ÅðåéäÞ f (x 0 ; y 0 ) = f x ; f y = 4 x 0 ; y 0 ; ôï áíôßóôïé ï ìïíáäéáßï n = n 1 ; n èá éóïýôáé ìå n = 4 x 0 i + y 0 j = 4 x 0 i + y 0 j 16 x y0 4 x 0 + y 0 = x 0 y ; 0 = n 4 x 0 + y0 4 x 0 + y0 1 ; n (1) Ç êëßóç ôçò óõíüñôçóçò g(x; y) óôï óçìåßï (x 0 ; y 0 ) åßíáé g (x 0 ; y 0 ) = g x ; g y = y 0 x ; y 0 : () 0 x 0 Áðü ôéò (1) êáé () óýìöùíá êáé ìå ôçí (18:3:1 8) - ôýðïò õðïëïãéóìïý - ðñïêýðôåé üôé (D n g) P (x0 ;y 0 ) = g x n 1 + g y n äçëáäþ ç áðïäåéêôýá. = ( ) x 0 y 0 y 4 x 0 + y0 x x 0 + y0 y 0 x 0 = 0;
20 884 Äéáíõóìáôéêüò Äéáöïñéêüò Ëïãéóìüò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Óõíôçñïýìåíá äéáíõóìáôéêü ðåäßá Ôá ðåäßá áõôü óõíáíôþíôáé óôç ÖõóéêÞ êáé åöáñìïãýò ôùí èá äïèïýí óôï ÌÜèçìá Åðéêáìðýëéá êáé ÅðéöáíåéáêÜ Ïëïêëçñþìáôá. Ïñéóìüò (óõíôçñçôéêü ðåäßï). Ôï äéáíõóìáôéêü ðåäßï ðïõ ðåñéãñüöåôáé áðü ôç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç F èá ëýãåôáé óõíôçñçôéêü (conservative eld), 9 üôáí F = ö: ( ) Óôéò ðåñéðôþóåéò áõôýò ç âáèìùôþ óõíüñôçóç ö ïñßæåôáé ùò ôï äõíáìéêü (potential) ôïõ äéáíõóìáôéêïý ðåäßïõ. ÐáñÜäåéãìá óôù ôï äéáíõóìáôéêü ðåäßï ðïõ ðåñéãñüöåôáé áðü ôç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç F(x; y; z) = xi + yj + zk: Æçôåßôáé íá õðïëïãéóôåß ôï äõíáìéêü ôïõ, åöüóïí õðüñ åé. Ëýóç. óôù üôé ôï äõíáìéêü ôïõ ðåäßïõ õðüñ åé êáé åßíáé ôï ö(x; y; z). Ôüôå óýìöùíá ìå ôïí Ïñéóìü èá ðñýðåé F = x i + y j + z k = ö = ö x i + ö y j + ö z k; ïðüôå ö x = x; ö y = y êáé ö z = z: Ôüôå, åðåéäþ åßíáé ãíùóôü üôé, áí f = f(x; y; z), ôüôå 10 df = f x dx + f y dy + f z dz; 9ÂëÝðå http : ==en:wikipedia:org=wiki=conservative field 10ÂëÝðå ÌÜèçìá ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí - Ç Ýííïéá ôïõ äéáöïñéêïý.
21 Êëßóç óõíüñôçóçò 885 èá ðñýðåé êáé ãéá ôï äéáöïñéêü ôçò óõíüñôçóçò ö íá éó ýåé üôé: dö = ö x dx + ö y dy + ö z dz = x dx + y dy + z dz = 1 ( x + y + z ) x dx + 1 ( x + y + z ) y dy ñá üôáí c óôáèåñü. + 1 ÐáñÜäåéãìá ( x + y + z ) z dz = 1 d ( x + y + z ) : ö(x; y; z) = 1 ( x + y + z ) + c; óôù ôï ðåäßï Coulomb (Ó ), ðïõ ðåñéãñüöåôáé áðü ôç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç F = qq r 4ðå 0 r 3 = qq x i + y j + z k 4ðå 0 (x + y + z ) 3= : Ôüôå ç F åßíáé äõíáôüí íá èåùñçèåß ùò ç êëßóç ôçò âáèìùôþò óõíüñôçóçò ö = ö(x; y; z) = qq 4ðå 0 1 r = qq 4ðå 0 ( x + y + z ) 1= ; ïðüôå ç ö ïñßæåé óôçí ðåñßðôùóç áõôþ ôï äõíáìéêü ôïõ ðåäßïõ Coulomb. 11 Åßíáé ðñïöáíýò üôé õðüñ ïõí êáé äéáíõóìáôéêü ðåäßá ðïõ äåí åßíáé ïé êëßóåéò âáèìùôþí ðåäßùí. Ôïõ åßäïõò áõôïý ôá ðåäßá ëýãïíôáéìç óõíôçñïýìåíá. ÁóêÞóåéò 1. Íá õðïëïãéóôåß ç êëßóç ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí: i) e x sin y iii) ln ( x + y z ) ii) e x y 1= iv) sin ( x + y ) z. Íá õðïëïãéóôåß ç äéåõèõíüìåíç ðáñüãùãïò ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí f óôï óçìåßï P êáôü ôç äéåýèõíóç ôïõ äéáíýóìáôïò a, üôáí 11ÂëÝðå http : ==en:wikipedia:org=wiki=coulomb%7s law]electric field
22 886 Äéáíõóìáôéêüò Äéáöïñéêüò Ëïãéóìüò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò False Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá : ç ìïñöþ ôïõ ðåäßïõ Coulomb. i) f = x + y + z, P (1; ; 3), a = i + j k ii) f = e x y, P (0; 1), a = i + j iii) f = e x cos y, P (1; ), á = i + j. 3. Íá âñåèåß ç óôáèåñü, Ýôóé þóôå óå êüèå óçìåßï ôïìþò ôùí äýï óöáéñþí (x ) + y + z = 3; x + (y 1) + z = 1 ôá áíôßóôïé á åöáðôüìåíá åðßðåäá íá åßíáé êüèåôá ìåôáîý ôïõò. 4. Íá âñåèåß ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò ôùí óçìåßùí ôçò åðéöüíåéáò (y + z) + (z x) = 16, óôá ïðïßá ç åõèåßá ðïõ åßíáé êüèåôç óôçí åðéöüíåéá íá åßíáé ðáñüëëçëç óôï yz-åðßðåäï. 5. Íá âñåèïýí ôá a; b; c, Ýôóé þóôå ïé óöáßñåò (x a) + (y b) + (z c) = 1 êáé x + y + z = 1 íá ôýìíïíôáé êüèåôá. 6. Íá õðïëïãéóôåß ôï äõíáìéêü ôùí äéáíõóìáôéêþí ðåäßùí ðïõ ðåñéãñüöïíôáé áðü ôéò ðáñáêüôù äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò F:
23 Áðüêëéóç 887 i) xi + yj iv) (y + z)i + (z + x)j + (x + y)k ii) 6xi + 4yj + zk v) (xi + yj) (x + y ) 1= (xi iii) e xyz + yj + zk) (yzi + zxj + xyk) vi) (x + y + z ) 3= : ÁðáíôÞóåéò 1. (i) f = e x sin y; e x cos y, (ii) f = (iii) f = x x +y z ; y x +y z ; z x +y z, xe x ; 1 y, (iv) f = x cos ( x + y ) ; y cos ( x + y ) ; z.. (i) f P = ; 4; 6, n = (ii) f P = e; e, n = 1 5 ; 1 3 ; 1 3 ; 1 3, D nf = 0, 5, D nf = e 5, 1 (iii) f P = e; 0, n = 1 ; 0, D nf = e. ( x + y ), (ii) 3x + y + z, (iii) e xyz, (iv) xy + yz + zx, (v) ( x + y ) 1=, 6. 1 (vi) ( x + y + z ) 1= Áðüêëéóç Ïñéóìüò êáé éäéüôçôåò Ïñéóìüò (áðüêëéóç). óôù Ýíá äéáíõóìáôéêü ðåäßï ðïõ ðåñéãñüöåôáé áðü ôç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç F = Pi + Qj + Rk, üôáí P, Q êáé R ïé óõíéóôþóåò ôçò F ùò ðñïò ôï ïñèïãþíéï óýóôçìá áîüíùí Oxyz êáé üôé ç F Ý åé ôïõëü éóôïí 1çò ôüîçò ìåñéêýò ðáñáãþãïõò óå êüèå óçìåßï (x; y; z) ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý ôçò. Ôüôå ïñßæåôáé ùò áðüêëéóç (divergence) 1 ôçò F êáé óõìâïëßæåôáé ìå div F Þ F, ç âáèìùôþ óõíüñôçóç div F = @y : Áíôßóôïé ïò ïñéóìüò äßíåôáé, üôáí F = Pi + Qj. 1ÂëÝðå http : ==en:wikipedia:org=wiki=divergence
24 888 Äéáíõóìáôéêüò Äéáöïñéêüò Ëïãéóìüò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Óçìåßùóç Åßíáé F F, äéáöïñåôéêü ôï F åßíáé óõìâïëéóìüò êáé äåí Ý åé ôçí Ýííïéá ôïõ åóùôåñéêïý ãéíïìýíïõ. Ïñéóìüò Áí F = 0, ôüôå ôï äéáíõóìáôéêü ðåäßï F ëýãåôáé óùëçíïåéäýò. Éäéüôçôåò ôçò áðüêëéóçò i) (ëf + ìg) = ë F + ì G ãéá êüèå ë; ì R, ii) (fg) = ( f) G + f ( G) ; üôáí ç f åßíáé âáèìùôþ óõíüñôçóç. ÐáñÜäåéãìá Áí F = x zi + y j z 3 k; íá õðïëïãéóèåß ç áðüêëéóç óôï óçìåßï (1; 1; ). Ëýóç. Åßíáé ïðüôå P (x; y; z) = x z; Q(x; y; z) = y êáé R(x; y; z) = z 3 ; Ôüôå F (1; 1;) = ÔåëåóôÞò Laplace F = xz + y 3z : óôù üôé ç óõíüñôçóç f(x; y; z) Ý åé ìåñéêýò ðáñáãþãïõò ôïõëü éóôïí çò ôüîçò óå êüèå óçìåßï ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý ôçò. Ôüôå ç êëßóç ôçò åßíáé k; ïðüôå ãéá ôçí áðüêëéóç ôçò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò f Ý ïõìå ( f) ( ( @y f : (
25 Äßíïíôáé óôç óõíý åéá ïé ðáñáêüôù ïñéóìïß: ÔåëåóôÞò Laplace 889 Ïñéóìüò (ôåëåóôþò Laplace). Ï ôåëåóôþò Laplace (Laplacian operator) 13 åßíáé Ýíáò äéáöïñéêüò ôåëåóôþò çò ôüîçò êáé ïñßæåôáé óôï R ùò áíôßóôïé á óôï R 3 ùò ; ( @y : ( Óýìöùíá êáé ìå ôçí (18:4: 1) Ý ïõìå ôïí ðáñáêüôù ïñéóìü: Ïñéóìüò (Laplacian óõíüñôçóçò). óôù ç óõíüñôçóç f(x; y) S R, áíôßóôïé á f(x; y; z) S R 3 ìå S áíïéêôü óýíïëï, ðïõ Ý åé ôïõëü éóôïí çò ôüîçò ìåñéêýò ðáñáãþãïõò óôï S. Ôüôå ç Laplacian ôçò f ïñßæåôáé ùò áíôßóôïé á ( f) = f = f f ; ( ( f) = f = f f : ( ÅéäéêÜ, üôáí f = 0 ( ) ç f ëýãåôáé áñìïíéêþ êáé ç (18:4: 6) ïñßæåé ôçí åîßóùóç ôïõ Laplace (Laplace's equation) ÂëÝðå 14ÂëÝðå http : ==en:wikipedia:org=wiki=laplacian operator http : ==en:wikipedia:org=wiki=laplace%7s equation
26 890 Äéáíõóìáôéêüò Äéáöïñéêüò Ëïãéóìüò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ÁóêÞóåéò 1. Íá õðïëïãéóôåß ç áðüêëéóç ôùí äéáíõóìáôéêþí ðåäßùí ðïõ ðåñéãñüöïíôáé áðü ôéò ðáñáêüôù äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò F: ( i) x + yz ) i + ( y + zx ) j + ( z + xy ) k, ii) (xi + yj + zk) = ( x + y + z ) 3=, iii) e xy i + cos xy j + cos xz k, iv) x sin y i + y sin xz j + xy sin(cos z) k:. Áí F = yz i 3xz j + xyz k; G = 3x i + 4z j xy k êáé f = xyz, íá õðïëïãéóèïýí ôá (F + G) ; (fg) êáé G ( f) : 3. Äåßîôå üôé ïé ðáñáêüôù äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò ðåñéãñüöïõí óùëçíïåéäþ ðåäßá: i) F = 3y 4 z i + 4x 3 z j 3x y k, ii) G = (x + 3y)i + (y z)j + (x z)k. 4. Ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí f = f(x; y; z) íá õðïëïãéóôåß ôï f, üôáí i) f = 3x z y z 3 + 4x 3 y + x 3y 5 óôï óçìåßï P (1; 1; ), ii) f = ln r üôáí r = r äéüíõóìá èýóçò, iii) f = r n ; n = 1; ; : : : ; iv) ( r ) f = r. 5. Íá äåé èåß üôé ç óõíüñôçóç f = r 1, üôáí r = r äéüíõóìá èýóçò åßíáé áñìïíéêþ.
27 Óôñïâéëéóìüò 891 ÁðáíôÞóåéò 1. (i) (x + y + z), (ii) 0, (iii) ye xy x(sin xy + sin xz), (iv) (x sin y + y sin xz) xy cos(cos z) sin z.. (F + G) = 3 + xy, (fg) = y z 3 + x z ( 4y 3z ), G ( f) = x [ xy + z (3y + 4z) ]. 3. ÐñïöáíÞò. 4. (i) f P = [ 4xy + 6z 6y z z 3] P = 40, (ii) ( x + y + z ) 1, (iii) n(1+n) ( x + y + z ) n 1, (iv) f = ( x + y + z ) 1, f = ( x + y + z ). 6. ÓõììåôñéêÞ ùò ðñïò x; y; z ðñïöáíþò Óôñïâéëéóìüò Ïñéóìüò êáé éäéüôçôåò Ïñéóìüò (óôñïâéëéóìüò). óôù Ýíá äéáíõóìáôéêü ðåäßï ðïõ ðåñéãñüöåôáé áðü ôç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç F = P i + Q j + R k, üðïõ P, Q êáé R ïé óõíéóôþóåò ôçò F ùò ðñïò Ýíá ïñèïãþíéï óýóôçìá áîüíùí Oxyz êáé ãéá ôçí ïðïßá õðïôßèåôáé üôé õðüñ ïõí ôïõëü éóôïí ïé 1çò ôüîçò ìåñéêýò ðáñüãùãïé óå êüèå óçìåßï ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý ôçò. Ôüôå ïñßæåôáé ùò óôñïâéëéóìüò (curl) 15 ôçò F êáé óõìâïëßæåôáé ìå curl F Þ rot F Þ êáé F, ç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç F = i Áðü ôçí (18:5:1 1) ðñïêýðôåé üôé P Q R : ( ) F = (R y Q z ) i + (P z R x ) j + (Q x P y ) k: ( ) Éäéüôçôåò ôïõ óôñïâéëéóìïý Ïé ðåñéóóüôåñï ñçóéìïðïéïýìåíåò åßíáé: i) (F + G) = F + G, 15ÂëÝðå http : ==en:wikipedia:org=wiki=curl (mathematics)
28 89 Äéáíõóìáôéêüò Äéáöïñéêüò Ëïãéóìüò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ii) (ëf) = ë F ãéá êüèå ë R, iii) ( f) = 0, äçëáäþ ï óôñïâéëéóìüò ôçò êëßóçò åßíáé ìçäýí, iv) ( F) = 0 ç áðüêëéóç ôïõ óôñïâéëéóìïý åßíáé ìçäýí. Ç áðüäåéîç áöþíåôáé ùò Üóêçóç. ÐáñÜäåéãìá óôù F = yzi + zxj + xyk. Ôüôå ïðüôå P (x; y; z) = yz; Q(x; y; z) = zx êáé R(x; y; z) = xy; F = i yz xz xy äçëáäþ ôï äéüíõóìá F áíþêåé óôï xy-åðßðåäï Áóôñüâéëá äéáíõóìáôéêü ðåäßá = xi yj; Ïñéóìüò (áóôñüâéëï ðåäßï). óôù Ýíá äéáíõóìáôéêü ðåäßï ðïõ ðåñéãñüöåôáé áðü ôç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç F. Ôüôå ôï ðåäßï èá ëýãåôáé áóôñüâéëï (irrotational vector eld), 16 üôáí éó ýåé F = 0: ( ) Óå ïðïéáäþðïôå Üëëç ðåñßðôùóç ôï ðåäßï èá ëýãåôáé óôñïâéëü (vortex eld). 16ÂëÝðå http : ==en:wikipedia:org=wiki=irrotational field]irrotational vector fields
29 Óôñïâéëéóìüò 893 ÐáñÜäåéãìá Ôï äéáíõóìáôéêü ðåäßï F = 4x 3 y 3 z i + 3x 4 y z j + x 4 y 3 z k åßíáé áóôñüâéëï, åðåéäþ F = i 4x 3 y 3 z 3x 4 y z x 4 y 3 z = 0: Áðïäåéêíýåôáé üôé éó ýåé ôï ðáñáêüôù èåþñçìá: Èåþñçìá íá äéáíõóìáôéêü ðåäßï åßíáé áóôñüâéëï, üôáí åßíáé óõíôçñçôéêü êáé áíôßóôñïöá. ÅöáñìïãÝò ôïõ èåùñþìáôïò èá äïèïýí óôï ÌÜèçìá ôùí Åðéêáìðýëéùí êáé Åðéöáíåéáêþí ÏëïêëçñùìÜôùí. ÁóêÞóåéò 1. Íá õðïëïãéóôåß ï óôñïâéëéóìüò ôùí äéáíõóìáôéêþí ðåäßùí ðïõ ðåñéãñüöïíôáé áðü ôéò ðáñáêüôù äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò F: i) x i + y j + z k, ii) x i + yz j ( x + z ) k.. Äåßîôå üôé ôï ðáñáêüôù ðåäßï åßíáé áóôñüâéëï ÁðáíôÞóåéò 1. (i) 0, (ii) y i + x j.. ÐñïöáíÞò. F = 6xy i + ( 3x 3y z ) j y 3 z k:
30
31 18.6 Âéâëéïãñáößá [1] ÌðñÜôóïò, Á. (011). ÅöáñìïóìÝíá ÌáèçìáôéêÜ. Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç. ISBN 978{960{351{874{7. [] ÌðñÜôóïò, Á. (00). Áíþôåñá ÌáèçìáôéêÜ. Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç. ISBN 960{351{453{5/978{960{351{453{4. [3] Finney, R. L. & Giordano, F. R. (004). Áðåéñïóôéêüò Ëïãéóìüò ÉÉ. ÐáíåðéóôçìéáêÝò Åêäüóåéò ÊñÞôçò. ISBN 978{960{54{184{1. [4] Marsden, J.E. & Tromba, A.J. (011). Äéáíõóìáôéêüò Ëïãéóìüò. ÐáíåðéóôçìéáêÝò Åêäüóåéò ÊñÞôçò. ISBN 978{960{730{945{7. [5] Spiegel, M. (009). Vector Anaysis. McGraw{Hill Education (nd Ed.). ISBN 978{007{161{545{7. ÌáèçìáôéêÝò âüóåéò äåäïìýíùí Page
ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 17 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 17.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 17.1.1 Ïñéóìüò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò 1 Õðåíèõìßæåôáé ï ïñéóìüò ôçò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò, ðïõ ãéá åõêïëßá óôç
Διαβάστε περισσότερα3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim
3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x (i) f(x, y) = sin 1 2 (x + y) (ii) f(x, y) = y 2 + 3 (iii) f(x, y, z) = 25 x 2 y 2 z 2 (iv) f(x, y, z) = z +ln(1 x 2 y 2 ) 3.2 (i) óôù f(x, y, z) =
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότερα2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr
2.1 i) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = 2 + t)i + 1 2t)j + 3tk ôýìíåé ôï åðßðåäï xz. ii) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = ti + 1 + 2t)j 3tk ôýìíåé
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß
ÌÜèçìá 8 ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÏñéáêÞ ôéìþ óõíüñôçóçò, äßíïíôáé ðåñéëçðôéêü ïé âáóéêüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óõíý åéá ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò, åíþ ï
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ)
44 ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) Óå äéüöïñåò öõóéêýò åöáñìïãýò õðüñ ïõí ìåãýèç ôá ïðïßá ìðïñïýí íá áñáêôçñéóèïýí ìüíï ìå Ýíá áñéèìü. ÔÝôïéá ìåãýèç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá, ç èåñìïêñáóßá
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ
ÌÜèçìá 7 ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèåß ç Ýííïéá ôïõ ïñßïõ ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìå ôñüðï ðñïóáñìïóìýíï óôéò áðáéôþóåéò ôùí äéáöüñùí åöáñìïãþí, ðïõ áðáéôïýíôáé óôçí åðéóôþìç ôïõ.
Διαβάστε περισσότεραÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 5 ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 5.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé âáóéêüôåñåò Ýííïéåò ôùí ìéãáäéêþí óõíáñôþóåùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá ôïõ ìáèþìáôïò
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÅéóáãùãÞ 1Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ôçò åßíáé áäýíáôïò ï èåùñçôéêüò õðïëïãéóìüò
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ
55 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 5.1 ÅéóáãùãÞ Ïñéóìüò: íá óýíïëï V êáëåßôáé äéáíõóìáôéêüò þñïò Þ ãñáììéêüò þñïò ðüíù óôïí IR áí (á) ôï V åßíáé êëåéóôü ùò ðñïò ôç ðñüóèåóç,
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραSPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá
ÌÜèçìá 4 SPLINES 4.1 ÓõíÜñôçóç spline 4.1.1 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôùí ðïëõùíýìùí ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ðïëõùíýìùí ðïõ óõíýðéðôáí
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ
66 ÊåöÜëáéï 3 ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.1 ÅéóáãùãÞ óôù üôé S åßíáé Ýíá óýíïëï áðü óçìåßá óôïí n äéüóôáôï þñï. Ìéá óõíüñôçóç (ðïõ ïñßæåôáé óôï S) åßíáé ìéá ó Ýóç ç ïðïßá ó åôßæåé êüèå óôïé åßï ôïõ
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Âáóéêïß ïñéóìïß
ÌÜèçìá 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ôá êõñéüôåñá óôïé åßá ôùí äéáíõóìüôùí, ðïõ åßíáé áðáñáßôçôá ãéá ôçí êáôáíüçóç ôùí åðüìåíùí ìáèçìüôùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá ðëçñýóôåñç
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότεραÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ
ÌÜèçìá 9 ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ 9. ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá 9.. ÅéóáãùãÞ Ãéá ôçí êáëýôåñç êáôáíüçóç ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ìéáò óõíüñôçóçò äýï ìåôáâëçôþí, äçëáäþ ôïõ äéðëïý ïëïêëçñþìáôïò, êñßíåôáé áðáñáßôçôï
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 8 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 8.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Åßíáé Þäç ãíùóôü óôïí áíáãíþóôç üôé ç åðßëõóç ôùí ðåñéóóüôåñùí ðñïâëçìüôùí ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí ïäçãåß óôç ëýóç ìéáò äéáöïñéêþò
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá Üñôéá óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ôéò ôåëåõôáßåò
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò
Διαβάστε περισσότερα1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï
ÊåöÜëáéï 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï óôù ç ôñéüäá (a, b, c). Ôï óýíïëï ôùí ôñéüäùí êáëåßôáé 3-äéÜóôáôïò þñïò êáé óõìâïëßæåôáé ìå IR 3. Åéäéêüôåñá ç ôñéüäá (a, b, c) ïñßæåé
Διαβάστε περισσότερα1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.)
ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Ìç áíïëïãßáò ÌáèçìáôéêÜ ÉI, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 24/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) (3x 2 + 6xy 2 )dx + (6x 2 y + 4y 3 )dy = 2. Íá
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότερα( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ
. Äßíåôáé ç óõíüñôçóç : [, + ) R óõíå Þò óôï äéüóôçìá [,+ ) êáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá (,+ ), ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé ( ) = α. óôù üôé õðüñ åé κî R, þóôå íá éó ýåé ( ) κ ãéá êüèå Î (,+ ). Íá äåßîåôå üôé
Διαβάστε περισσότεραÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ
ÌÜèçìá 3 ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ 3.1 ÅéóáãùãÞ Åßíáé ãíùóôü üôé óôá äéüöïñá ðñïâëþìáôá ôùí åöáñìïãþí ôéò ðåñéóóüôåñåò öïñýò ðáñïõóéüæïíôáé óõíáñôþóåéò ðïõ ðåñéãñüöïíôáé áðü ðïëýðëïêïõò ôýðïõò, äçëáäþ ôýðïõò
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ
28 ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ 3.1 ÅéóáãùãÞ Ãéá êüèå ôåôñáãùíéêü ðßíáêá A áíôéóôïé åß Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ï ïðïßïò êáëåßôáé ïñßæïõóá êáé óõíþèùò óõìâïëßæåôáé ìå A Þ det(a). ÌåôáèÝóåéò: Ìéá áðåéêüíéóç ôïõ
Διαβάστε περισσότεραÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç
ÌÜèçìá 0 ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ 0. ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé êáíüíåò ïëïêëþñùóçò, ðïõ êýñéá åìöáíßæïíôáé óôéò ôå íïëïãéêýò åöáñìïãýò. Äéåõêñéíßæåôáé üôé áêïëïõèþíôáò ìßá áõóôçñü
Διαβάστε περισσότεραÌáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò
50. Βήµα ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ã) Ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, áí êáé ìüíï áí Ý ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìýíåò. ÄçëáäÞ: á = á êáé â = â ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò ä) Ùò ðñïò ôç äé ïôüìï ôçò çò êáé
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ
ÌÜèçìá 5 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ 5.1 ÄéáêñéôÞ ðñïóýããéóç 5.1.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôïõ ðïëõùíýìïõ ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ôïõ ðïëõùíýìïõ ðïõ
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα : Αόριστο Ολοκλήρωμα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότερα[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.
ÐÁÑÁÑÔÇÌÁÔÁ 76 77 ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ f( (Á. üôáí ãéá êüèå êáíïíéêü ïñèïãþíéï ôáíõóôþ Q éó
Διαβάστε περισσότερα16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò.
55 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. A ÌÝñïò 1. Íá êáôáóêåõüóåéò óôï Function Probe ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y=çìx. Óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá íá ïñßóåéò êëßìáêá áðü ôï -4ð
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Προσέγγιση παραγώγων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé óôéò ðáñáêüôù êõñßùò ðåñéðôþóåéò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ìéáò óõíüñôçóçò åßíáé áäýíáôïò
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â
ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â 464 ÅÊÙÓ 000 - Ó ÏËÉÁ ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ Â.1 ÁÓÕÌÌÅÔÑÏ ÓÕÓÔÇÌÁ Η N / ( 0. + 0.1 η) 0.6 ν ν, η 3, η > 3...
Διαβάστε περισσότεραÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 3 ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 3.1 Ïñéóìüò êáé ëãåâñá óõíáñôþóåùí 3.1.1 Ïñéóìïß Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ãéá ôéò ðñáãìáôéêýò óõíáñôþóåéò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò,
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ
ÌÜèçìá 7 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ ÅéóáãùãÞ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÐñïóÝããéóç Ðáñáãþãùí, ç ðñïóåããéóôéêþ ôéìþ ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò, üôáí I(f) = f(x) dx i) ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÅÓ. ÌÜèçìá Áêïëïõèßåò áñéèìþí Ïñéóìüò áêïëïõèßáò
ÌÜèçìá 2 ÓÅÉÑÅÓ 2. Áêïëïõèßåò áñéèìþí Êñßíåôáé óêüðéìï íá äïèåß ðåñéëçðôéêü ðñéí áðü ôç ìåëýôç ôùí óåéñþí ç Ýííïéá ôçò áêïëïõèßáò áñéèìþí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÁ FOURIER. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò
ÌÜèçìá 13 ÓÅÉÑÁ FOURIER 13.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Ïé ðåñéïäéêýò óõíáñôþóåéò óõíáíôþíôáé óõ íü óå äéüöïñá ðñïâëþìáôá åöáñìïãþí. Ç ðñïóðüèåéá íá åêöñáóôïýí ïé óõíáñôþóåéò áõôýò ìå üñïõò áðëþí ðåñéïäéêþí óõíáñôþóåùí,
Διαβάστε περισσότεραÁóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí
Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Çëßáò Ê. Óôáõñüðïõëïò Ïêôþâñéïò 006 1 Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß ÎåêéíÜìå äéáôõðþíïíôáò ôïõò ïñéóìïýò ôùí ðýíôå ãíùóôþí áóõìðôùôéêþí óõìâïëéóìþí: Ïñéóìüò
Διαβάστε περισσότεραÓ ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X
V X A B+24 AEROGRAMÌI Ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò Å öáßíïíôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá. Áíôßóôïé á, ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò ÂÔ öáßíïíôáé óôï Ó Þìá Å. Ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò ðáñáããåëßáò
Διαβάστε περισσότεραÍá èõìçèïýìå ôç èåùñßá...
ÇËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá....1 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí þñï ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß Ýíá çëåêôñéêü öïñôßï èá äå èåß äýíáìç. Ãéá íá åîåôüóïõìå áí óå êüðïéï
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
30 ÊåöÜëáéï 2 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 2.1 ÅéóáãùãÞ ¼ðùò êáé óôïí IR 2, Ýôóé êáé óôïí IR 3 ìðïñïýìå íá ïñßóïõìå ìéá êáìðýëç ðáñáìåôñéêü. ÄçëáäÞ, íá Ý åé ôç ìïñöþ x = x(t), y = y(t), z = z(t), üðïõ t åßíáé
Διαβάστε περισσότεραÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò
ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr ÌáÀïõ óêçóç (Ross, Exer. 4.8) Áí E[X] êáé V ar[x] 5 íá âñåßôå. E[( + X) ],. V ar[4 + X]. óêçóç (Ross, Exer. 4.64)
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 11: Προσέγγιση μερικών διαφορικών εξισώσεων - Παραβολικές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Διαβάστε περισσότεραå) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ.
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ ÃÅÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ Ã ËÕÊÅÉÏÕ È Å Ì Á 1 ï 3 ï Ä É Á Ã Ù Í É Ó Ì Á á êéçôü êéåßôáé ðüù óôï Üîïá x~x. Ç èýóç ôïõ êüèå ñïéêþ óôéãìþ t äßåôáé áðü ôç 3 óõüñôçóç x(t) = t 1t + 60t + 1, üðïõ ôï t ìåôñéýôáé
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 1 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 11 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 111 Ïñéóìïß Êñßíåôáé áñ éêü áðáñáßôçôï íá ãßíåé óôïí áíáãíþóôç õðåíèýìéóç ôùí ðáñáêüôù âáóéêþí ìáèçìáôéêþí åííïéþí: Ïñéóìüò 111-1 (åîßóùóçò) ËÝãåôáé
Διαβάστε περισσότεραEstimation Theory Exercises*
Estimation Theory Exercises* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr December 22, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô. ÐáðáúùÜííïõ, ôéò óçìåéþóåéò
Διαβάστε περισσότεραÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ñþóôïò ÊïíáîÞò, A.M. 200416 ìðë 30-06-2005 óêçóç 1. óôù R N n ; n 1. ËÝìå üôé ç R åßíáé "áñéèìçôéêþ" áí õðüñ åé ôýðïò ö(x 1 ; : : : ; x n ) ôçò Ã1 èá ôýôïéïò ðïõ
Διαβάστε περισσότεραΣχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αναδρομικές Συναρτήσεις.
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Αναδρομικές Συναρτήσεις Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí
165 KåöÜëáéï 8 ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí 1. Ïñéóìüò êáé óõíý åéá óõíáñôþóåùò ðåñéóóïôýñùí ìåôáâëçôþí * ÌåôñéêÝò óå ìåôñéêïýò þñïõò Åðß ôïõ Rïñßæïõìå ôçí ìåôñéêþ d(, = - 1 1 Åðß ôïõ R ïñßæïõìå ôéò åðüìåíåò
Διαβάστε περισσότεραÐñïêáôáñêôéêÝò ÌáèçìáôéêÝò ííïéåò
ÊåöÜëáéï 1 ÐñïêáôáñêôéêÝò ÌáèçìáôéêÝò ííïéåò 1.1 Äéáíýóìáôá Áò èõìçèïýìå ëïéðüí îáíü ôçí Ýííïéá ôïõ äéáíýóìáôïò. Áðü ôï Ëýêåéï ãíùñßæïõìå üôé ôï äéüíõóìá åßíáé ìéá ðïóüôçôá ðïõ Ý åé ìýôñï, äéåýèõíóç êáé
Διαβάστε περισσότερα3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ
.1 Ç Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò 55.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò Åñþ ôçóç 1 Ôé ëýãåôáé óõíüñôçóç; ÁðÜíôçóç Ç ó Ýóç åêåßíç ðïõ êüèå ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò x, áíôéóôïé ßæåôáé óå ìéá ìüíï ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò y ëýãåôáé
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 8: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του
Διαβάστε περισσότεραΣυντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Συντακτική ανάλυση (μέρος 3ον) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 7: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική του Συνεχούς Μέσου
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μηχανική του Συνεχούς Μέσου Τανυστικός Λογισμός Διδάσκων : Καθηγητής Β. Καλπακίδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 2. Ôáíõóôéêüò Ëïãéóìüò. 2.1 Ôé åßíáé ôï äéüíõóìá;
ÊåöÜëáéï 2 Ôáíõóôéêüò Ëïãéóìüò ¼ðùò èá äéáðéóôþóïõìå óôá åðüìåíá êåöüëáéá, ç Ýííïéá ôïõ ôáíõóôþ åßíáé áðáñáßôçôç ãéá íá ðåñéãñüøïõìå ìåñéêýò, íýåò ãéá ìáò, Ýííïéåò ôçò Ìç áíéêþò ôïõ Óõíå ïýò, ïðùò ãéá
Διαβάστε περισσότερα10. ÃÑÁÖÉÊÅÓ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÉÓ Ðùò êáôáóêåõüæïõìå ìéá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç
0. ÃÑÁÖÉÊÅÓ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÉÓ 0. Ðùò êáôáóêåõüæïõìå ìéá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ÊáôÜ ôç ìåëýôç åíüò öáéíïìýíïõ óôï åñãáóôþñéï êáôáãñüöïõìå ôá áðïôåëýóìáôá ôùí ðáñáôçñþóåùí êáé ôùí ìåôñþóåþí ìáò óå ðßíáêåò. Ïé ðßíáêåò
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 13: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 13: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραÁÓÊÇÓÅÉÓ ÓÔÏÕÓ ÌÉÃÁÄÉÊÏÕÓ ÁÑÉÈÌÏÕÓ.
ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÓÔÏÕÓ ÌÉÃÁÄÉÊÏÕÓ ÁÑÉÈÌÏÕÓ. ÄçìÞôñçò Ðáíáãüðïõëïò ÂáóéêÝò éäéüôçôåò - óõíáñôþóåéò - ôïðïëïãßá. ÅéóáãùãÞ óôïõò ìéãáäéêïýò óêçóç.. Íá ãñáöïýí óôç ìïñöþ a + bi ìå a; b R ïé áñéèìïß: (3 + 3i) + (4
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT
ÊåöÜëáéï 7 ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT 7. Áêïëïõèßåò ¼ðùò êáé ãéá ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò, ìéá (Üðåéñç) áêïëïõèßá ìðïñåß íá èåùñçèåß ùò óõíüñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôïõò èåôéêïýò áêýñáéïõò. ÄçëáäÞ, ìéá
Διαβάστε περισσότεραÐÉÍÁÊÅÓ ÔÉÌÙÍ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÙÍ ÁÎÉÙÍ
ÕÐÏÕÑÃÅÉÏ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ÏÉÊÏÍÏÌÉÊÙÍ ÃÅÍÉÊÇ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÄÇÌÏÓÉÁÓ ÐÅÑÉÏÕÓÉÁÓ & ÅÈÍÉÊÙÍ ÊËÇÑÏÄÏÔÇÌÁÔÙÍ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÔÅ ÍÉÊÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ & ÓÔÅÃÁÓÇÓ ÔÌÇÌÁ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÏÕ ÐÑÏÓÄÉÏÑÉÓÌÏÕ ÖÏÑÏËÏÃÇÔÅÁÓ ÁÎÉÁÓ ÁÊÉÍÇÔÙÍ
Διαβάστε περισσότεραÐñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá.
ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ãéá Ýíá óþìá ðïõ åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëü ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç éó ýïõí ïé ôýðïé: õ=õ ï +á. t x=õ. ï t+ át. ÅÜí ôï óþìá îåêéíüåé áðü ôçí çñåìßá, äçëáäþ ç áñ éêþ ôá ýôçôá åßíáé õ ï =0, ôüôå ïé
Διαβάστε περισσότεραÅñùôÞóåéò ÓõìðëÞñùóçò êåíïý
ÅñùôÞóåéò ÓõìðëÞñùóçò êåíïý Çëåêôñéêü ðåäßï.10 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí.. ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß..... öïñôßï äý åôáé......11 íá óçìåéáêü çëåêôñéêü öïñôßï äçìéïõñãåß
Διαβάστε περισσότεραΠροτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ
Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης 2o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ 1.1. ÓùóôÞ áðüíôçóç åßíáé ç Ä. ΘΕΜΑ 1ο 1.2. ñçóéìïðïéïýìå ôçí êáôáíïìþ ôùí çëåêôñïíßùí óå áôïìéêü ôñï éáêü óýìöùíá
Διαβάστε περισσότεραΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ. Εικονογράφηση ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ Εικονογράφηση ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Ï ðéï ìåãüëïò êáé ï ðéï óçìáíôéêüò ðáéäáãùãéêüò êáíüíáò äåí åßíáé ôï íá
Διαβάστε περισσότεραCel animation. ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí
ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí Cel animation Ç ôå íéêþ áõôþ óõíßóôáôáé óôçí êáôáóêåõþ ðïëëþí ó åäßùí ðïõ äéáöýñïõí ìåôáîý ôïõò óå óõãêåêñéìýíá óçìåßá. Ôá ó Ýäéá áõôü åíáëëüóóïíôáé ôï Ýíá ìåôü ôï Üëëï äßíïíôáò ôçí
Διαβάστε περισσότεραÓÔÁÔÉÊÏÓ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÓ Ðåñéå üìåíá
ÓÔÁÔÉÊÏÓ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÓ Ðåñéå üìåíá Íüìïò ôïõ Coulomb Çëåêôñéêü Ðåäßï - íôáóç ÄõíáìéêÝò ÃñáììÝò Äõíáìéêü - ÄéáöïñÜ Äõíáìéêïý ÐõêíùôÝò ÃéÜííçò Ãáúóßäçò - ÅÊÖÅ ßïõ Äéáôýðùóç ôïõ Íüìïõ F F - F r F Ç HëåêôñïóôáôéêÞ
Διαβάστε περισσότεραÅðåéäÞ ïé äõíüìåéò F 1 êáé F 2 åßíáé ïìüññïðåò (ó Þìá) èá éó ýåé: F ïë = F 1 + F 2. ÔåëéêÜ: F ïë = 1.500Í.
ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ç äýíáìç áëëçëåðßäñáóçò äýï çëåêôñéêþí öïñôßùí ìðïñåß íá õðïëïãéóôåß ìå âüóç ôïí íüìï ôïõ Coulomb. Óôï ðáñüäåéãìá ìáò âñßóêåôáé ç óõíéóôáìýíç äýíáìç ðïõ åíåñãåß óôï öïñôßï q áðü äýï Üëëá öïñôßá
Διαβάστε περισσότεραÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò
ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò Ç åðßëõóç áíáäñïìéêþí åîéóþóåùí åßíáé Ýíá áðïëýôùò áðáñáßôçôï åñãáëåßï ãéá ôçí åýñåóç åêöñüóåùí ðïõ ðåñéãñüöïõí ôçí ðïëõðëïêüôçôá ðïëëþí áëëü êáé âáóéêþí áëãïñßèìùí. Ãåíéêþò,
Διαβάστε περισσότεραΣχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αποδεικτικό Σύστημα.
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Αποδεικτικό Σύστημα Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ 1. Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ -
ΜΑΘΗΜΑ 1 Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑΤΩΝ- ΟΡΥΚΤΩΝ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ - ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΣΤΡΕΠΤΟΣ ΖΥΓΟΣ- ΕΚΚΡΕΜΕΣ
Διαβάστε περισσότερα3524 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)
F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 3523 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 252 28 Öåâñïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 19306/Ã2 ÐñïãñÜììáôá Óðïõäþí Ôå íéêþí Åðáããåëìáôéêþí Åêðáéäåõôçñßùí (Ô.Å.Å.).
Διαβάστε περισσότερα1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï
5. ÐÑÏÏÄÏÉ 7 5. ÁñéèìçôéêÞ ðñüïäïò Á ÏìÜäá. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 7 êáé äéáöïñü ù = 3. Óõíåðþò
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική του Συνεχούς Μέσου
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μηχανική του Συνεχούς Μέσου Κινηματική Διδάσκων : Καθηγητής Β. Καλπακίδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραÈåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email:
Διαβάστε περισσότεραÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ ÔÏ ÌÁÈÇÌÁ: ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ. ÅðéìïñöùôÞò: Â. Á. ÄÏÕÃÁËÇÓ
Åðéìïñöùôéêü Ðñüãñáììá Ãéá ôïõò Åêðáéäåõôéêïýò-Ìáèçìáôéêïýò óôï Ìáèçìáôéêü ôìþìá ôïõ Ðáíåðéóôçìßïõ Áèçíþí êáôü ôçí ðåñßïäï Äåêåìâñßïõ 2000-Éïõíßïõ 200 ìå Õðåýèõíï ôïí êáèçãçôþ Ð. ÓôñÜíôæáëï ÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ
Διαβάστε περισσότεραÅîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 00 7 Åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Ç åîßóùóç áx + â = 0 áx = â (ìå á 0) (ìå á = â = 0) â Ý åé áêñéâþò ìßá ëýóç, ôç x =. á áëçèåýåé ãéá êüèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x (ôáõôüôçôá
Διαβάστε περισσότεραΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ. 27 Μαΐου (Εαρινό εξάμηνο 2002) ΚΑΝΟΝΕΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΚΥΠΡΟΥ ΜΑΣ 121- ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 27 Μαΐου 2002 (Εαρινό εξάμηνο 2002) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΑΡ ΦΟΙΤΗΤΙΚΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΟΣ ΚΑΝΟΝΕΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ
Διαβάστε περισσότεραÜóêçóç 15. ÕëéêÜ - åîáñôþìáôá äéêôýïõ ðåðéåóìýíïõ áýñá êáé ðíåõìáôéêýò óõóêåõýò
ÕëéêÜ - åîáñôþìáôá äéêôýïõ ðåðéåóìýíïõ áýñá êáé ðíåõìáôéêýò óõóêåõýò Óôü ïé ôçò Üóêçóçò äéüñêåéá Üóêçóçò: 6 äéäáêôéêýò þñåò Óôï ôýëïò ôçò Üóêçóçò ïé ìáèçôýò èá åßíáé éêáíïß: é íá áíáãíùñßæïõí ôá åîáñôþìáôá
Διαβάστε περισσότερα245/Á/1977). 2469/1997 (ÖÅÊ 36/Á/1997). 1484/Â/ ).
ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ F 661 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 72 28 Éáíïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. Ä14/48529 ãêñéóç Ôéìïëïãßïõ Åñãáóôçñéáêþí êáé åðß Ôüðïõ Äïêéìþí ôïõ ÊÅÄÅ. OI ÕÐÏÕÑÃÏÉ
Διαβάστε περισσότεραÖÅÊ 816 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) ÏÄÇÃÉÅÓ ÐÁ ÔÇ ÓÕÌÐËÇÑÙÓÇ ÔÇÓ ÁÉÔÇÓÇÓ ÅÃÊÅÊÑÉÌÅÍÏÕ ÁÐÏÈÇÊÅÕÔÇ Ï ÇÌÁÔÙÍ 1. ÇÌÅÑÏÌÇÍÉÁ: ÁíáãñÜöåô
11544 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) ÖÅÊ 816 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) 11545 ÏÄÇÃÉÅÓ ÐÁ ÔÇ ÓÕÌÐËÇÑÙÓÇ ÔÇÓ ÁÉÔÇÓÇÓ ÅÃÊÅÊÑÉÌÅÍÏÕ ÁÐÏÈÇÊÅÕÔÇ Ï ÇÌÁÔÙÍ 1. ÇÌÅÑÏÌÇÍÉÁ: ÁíáãñÜöåôáé
Διαβάστε περισσότερα4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò
4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò Óôéò áóêþóåéò ìå åðßäñáóç óôç èýóç ìéáò éóïññïðßáò ãßíåôáé áíáöïñü óå ðåñéóóüôåñåò áðü ìßá èýóåéò éóïññïðßáò. Ïé èýóåéò éóïññïðßáò åßíáé äéáäï
Διαβάστε περισσότεραÇëåêôñéêü Ðåäßï - Íüìïé & ÂáóéêÜ ÌåãÝèç
êåöüëáéï Çëåêôñéêü Ðåäßï - Íüìïé & ÂáóéêÜ ÌåãÝèç Ç ëýîç çëåêôñéóìüò óõíþèùò ìáò ìåôáöýñåé óå åéêüíåò ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óýã ñïíç ôå íïëïãßá, üðùò öþò êáé çëåêôñéêþ åíýñãåéá, êéíçôþñåò, çëåêôñïíéêü êõêëþìáôá
Διαβάστε περισσότεραΙ. Τσαλαµέγκας Ι. Ρουµελιώτης. Μάρτιος 2017
Συνοπτική παρουσίαση επιλεγµένων τµηµάτων των ενοτήτων 5-9 του κεφαλαίου 1 (σελ. 89-19) του βιβλίου: Ι. Τσαλαµέγκα Ι. Ρουµελιώτη, Ηλεκτροµαγνητικά Πεδία Τόµος Α Ι. Τσαλαµέγκας Ι. Ρουµελιώτης Μάρτιος 17
Διαβάστε περισσότεραÌÜèçìá 10ï: ÁËÃÏÑÉÈÌÏÉ ÄÅÍÄÑÙÍ
ÌÜèçìá 0ï: ÁËÃÏÑÉÈÌÏÉ ÄÅÍÄÑÙÍ Ç ðëçèþñá ôùí äåíäñéêþí äïìþí åßíáé ãíùóôþ áðü ôï ìüèçìá ôùí Äïìþí ÄåäïìÝíùí. Óôï ìüèçìá áõôü èá ðñïóåããßóïõìå êáé ðüëé ìåñéêýò äïìýò äýíäñùí ìå óêïðü ìßá ôõðéêüôåñç áíüëõóç
Διαβάστε περισσότεραUnion of Pure and Applied Chemistry).
.5 Ç ãëþóóá ôçò çìåßáò Ãñáö çìéêþí ôýðùí êáé åéóáãùã óôçí ïíïìáôïëïãßá ôùí áíüñãáíùí åíþóåùí..5.1 ÃåíéêÜ. Ç çìåßá Ý åé ôç äéê ôçò äéåèí ãëþóóá, ç ïðïßá êáèïñßæåôáé áðü êáíüíåò ðïõ Ý ïõí ðñïôáèåß êáé ðñïôåßíïíôáé
Διαβάστε περισσότεραΠΕΙΡΑΜΑ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΥ. 2. Βασικοί Ορισμοί. P / A o. Ονομαστική ή Μηχανική Τάση P / A. Πραγματική Τάση. Oνομαστική ή Μηχανική Επιμήκυνση L o
ΠΕΙΡΑΜΑ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΥ 1. Εισαγωγή Σε ένα πείραμα εφελκυσμού, ένα δοκίμιο μήκους L και εγκάρσιας διατομής A υφίσταται συνεχώς αυξανόμενη μονοαξονική επιμήκυνση [συνήθως χρησιμοποιώντας σταθερή ταχύτητα v (crss-head
Διαβάστε περισσότεραB i o f l o n. Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí
B i o f l o n Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí Ç åôáéñåßá Aflex, ç ïðïßá éäñýèçêå ôï 1973, Þôáí ç ðñþôç ðïõ ó åäßáóå ôïí åýêáìðôï óùëþíá PTFE ãéá ôç ìåôáöïñü çìéêþí õãñþí ðñßí áðü 35 ñüíéá. Ï åëéêïåéäþò
Διαβάστε περισσότεραÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009
ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009 Ïíïìáôåðþíõìï : Á.Ì : ÈÝìá 1: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 2: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 3: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 4: Âáèìüò [ ] èñïéóìá
Διαβάστε περισσότεραÇ íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ!
ΑΞΕΣΟΥΑΡ Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ! ÅããõÜôáé ôçí áóöüëåéá êáé õãåßá ôïõ ìùñïý êáôü ôç äéüñêåéá ôïõ ýðíïõ! AP 1270638 Õðüóôñùìá Aerosleep, : 61,00 AP 125060 ÊÜëõììá Aerosleep, : 15,30 ÁóöáëÞò, ðüíôá áñêåôüò
Διαβάστε περισσότερα6936 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)
F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 6935 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 432 17 Áðñéëßïõ 2001 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 91496 Áíþôáôá ¼ñéá ÕðïëåéììÜôùí, MRLs, Öõôïðñïóôáôåõôéêþí Ðñïúüíôùí åðß êáé åíôüò
Διαβάστε περισσότεραËáíèÜíïõóá ÓçìáóéïëïãéêÞ ÁíÜëõóç
8 ËáíèÜíïõóá ÓçìáóéïëïãéêÞ ÁíÜëõóç Ðåñéå üìåíá Êåöáëáßïõ 8.1 ÅéóáãùãÞ......................... 162 8.2 ÂáóéêÝò ííïéåò ÃñáììéêÞò ëãåâñáò........ 163 8.2.1 Ðßíáêåò êáé Äéáíýóìáôá................ 163 8.2.2
Διαβάστε περισσότεραιαδικασία åãêáôüóôáóçò MS SQL Server, SingularLogic Accountant, SingularLogic Accountant Ìéóèïäïóßá
1.1 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí Express Ýêäïóç ôïõ SQL Server... 3 1.2 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí åãêáôüóôáóç... 3 2.1 ÅãêáôÜóôáóç Microsoft SQL Server 2008R2 Express Edition... 4 2.1 Åíåñãïðïßçóç ôïõ
Διαβάστε περισσότερα