Diferencijalni račun

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Diferencijalni račun"

Transcript

1 ni račun October 28, 2008 ni račun

2 Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun

3 Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo jedan element y R, onda kažemo da je definirana ili zadana funkcija f sa skupa X u R. Funkcije označavamo slovima f, g, h, F, G,... i pišemo f : X R da bi označili da postupkom f skup X preslikavamo u skup R. Još pišemo y = f (x) ili x y = f (x) ni račun

4 Skup X zovemo područje definicije ili domena funkcije f i označavamo ga još s D(f ). Kažemo da je y = f (x) slika od x pri preslikavanju f a x je original od y = f (x). Element x X zovemo nezavisna varijabla ili argument, a y zavisna varijabla. Skup f (X ) = {f (x) : x X } svih slika elemenata x zove se slika skupa X pri preslikavanju f i označava se još R(f ). Vrijedi R(f ) R. Funkcije mogu biti dane formulom, tabelarno i grafički. ni račun

5 Funkcije zadane formulom Promatramo funkcije zadane analitički- formulom ili postupkom računanja. Ovdje područje definicije odredit ćemo na slijedeći način: X = D(f ) su svi realni brojevi za koje se nakon naznačenih operacija dobiva realan broj. Takvo područje definicije zovemo prirodno područje definicije. 1. f (x) = x 2 7x g(x) = 1 x 8 3. h(x) = 1 x. Primjer: Odredite područje definicije Odgovori ni račun

6 1. D(f ) = R 2. D(g) = R \ {8} 3. D(h) = (, 1] može biti zadana s više formula, na primjer { x, x 0 x = x, x < 0 ni račun

7 Graf funkcije Graf funkcije je skup G = {(x, y) : y = f (x), x D(x)} R 2 Graf realne funkcije jedne varijable je krivulja u ravnini. No, nije svaka krivulja u ravnini graf funkcije. Graf funkcije y = ax + b za parametre a, b R je pravac u ravnini. Graf funkcije y = ax 2 + bx + c za parametre a, b, c R, a 0 je parabola u ravnini. Graf funkcije y = ax+b cx+d za parametre a, b, c, d R, c 0 i a 0 ili b 0 je hiperbola u ravnini. f je parna, ako je ni račun

8 x D(f ) = x D(f ) i f (x) = f ( x), x D(f ). f je neparna, ako je x D(f ) = x D(f ) i f (x) = f ( x), x D(f ). ni račun

9 Monotone funkcije je monotona na X ako raste ili pada na X. f raste na X ako (x 1, x 2 X, x 1 > x 2 ) = (f (x 1 ) f (x 2 )). f pada na X ako (x 1, x 2 X, x 1 > x 2 ) = (f (x 1 ) f (x 2 )). ni račun

10 potražnje potražnje q za nekom robom ovisi o cijeni te robe p 1, o cijenama nekih drugih roba (konkurentnih ili komplementarnih) p 2,..., p n, o dohotku potrošača k i trenutku t razmatranja. potražnje u užem smislu ovisi samo o cijeni te robe, tj q = q(p). Područje definicije je D(q) = {p : p 0, q(p) 0}. ni račun

11 Primjeri funkcije potražnje, za a, b > q = a p b 2. q = 1 ap+b 3. q = a p2 4. q = b a p b 5. q = a p 2 + c 6. q = ae bp ni račun

12 Granična vrijednost funkcije ili limes funkcije Neka je funkcija f definirana na otvorenom intervalu (a, b) osim eventualno u x 0 (a, b). Postavlja se pitanje koja bi bila prirodna vrijednost funkcije f u x 0. Pogledajmo primjer slijedeće funkcije, f (x) = x 2 1 x 1. Ova funkcija je definirana za sve realne brojeve, osim za x 0 = 1,pa je možemo zapisati f (x) = x + 1, x R \ {1}. Graf ove funkcije su sve točke pravca osim točke (1, 2), G = {(x, x + 1) : x R \ {1}}. ni račun

13 Vidimo da je x 1 = f (x) = x te što je x bliži vrijednosti 1, f (x) je bliži vrijednosti 2, tj. x 1, f (x) 2. Kažemo da je 2 granična vrijednost ili limes funkcije kada se x približava (teži) 1 i pišemo x 2 1 lim x 1 x 1 = 2. ni račun

14 Definicija: Neka je funkcija f definirana na otvorenom intervalu (a, b) osim eventualno u x 0 (a, b). Granična vrijednost ili limes funkcije f u x 0 je L i pišemo ako za ε > 0, δ > 0 takav da lim f (x) = L x x 0 x (a, b) \ {x 0 }, x x 0 < δ = f (x) L < ε. A.L.Cauchy (1821), B.Bolzano(1817) Primjetimo da δ = δ(ε) i x x 0 < δ = x (x 0 δ, x 0 + δ) f (x) L < ε = f (x) (L ε, L + ε). ni račun

15 U našem primjeru to znači f (x) L = x = x 1 < ε pa je δ = ε. Ako uzmemo ε = 0.01 onda imamo x (1 0.01, ) = f (x) = x + 1 (2 0.01, ) Za vježbu: Ako je f (x) = 2x 2 x x odredite limes funkcije kada x 0 po definiciji. ni račun

16 Postupak za limes razlomljene racionalne funkcije Ako je f razlomljena racionalna funkcija f (x) = P n(x) Q m (x) gdje je P n polinom stupnja n, Q m polinom stupnja m i x 0 nultočka oba polinoma dobivamo neodredjeni izraz Računamo lim f (x) = lim x x 0 x x0 f (x 0 ) = 0 0. P n (x) Q m (x) = lim P n (x) : (x x 0 ) x x 0 Q m (x) : (x x 0 ) ni račun

17 i dobivamo ponovo polinome u brojniku i nazivniku sa stupnjem za jedan manjem nego što su bili. Primjer: x 2 5x + 6 lim = lim (x 3) = 1. x 2 x 2 x 2 ni račun

18 Jednostrani limes Možemo promatrati limes funkcije ako x pada prema x 0, približava se vrijednosti x 0 s desna, tj. lim = L. x x 0 + Pretpostavljamo da je funkcija f definirana na otvorenom intervalu (x 0, b). f s desna u x 0 je L ako za ε > 0, δ > 0 takav da iz x > x 0, x x 0 < δ = f (x) L < ε. ni račun

19 ako x raste prema x 0, približava se vrijednosti x 0 s lijeva, tj. lim x x 0 = G. Ako je L = G onda je Primjer: lim = L. x x 0 1 lim x 0+ x = 1 lim x 0 x = ni račun

20 Račun s limesima Ako je lim f (x) = L, lim g(x) = K x x 0 x x0 onda vrijedi lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x) = L + K. x x 0 x x0 x x0 lim (f (x)g(x)) = lim f (x) lim g(x) = LK. x x 0 x x0 x x0 ni račun

21 Ako je K 0, g(x) 0 za x blizu x 0 onda vrijedi lim f (x) f (x) lim x x 0 g(x) = x x0 lim g(x) = L K. x x 0 ni račun

22 lim (f (x)) m = ( lim f (x)) m = L m x x 0 x x0 lim (log x x b f (x)) = log b lim f (x) = log 0 x x0 b L ako x neograničeno raste Definicija : Neka je funkcija f definirana na otvorenom intervalu (a, ). f ako x neograničeno raste je L i pišemo lim f (x) = L x ni račun

23 ako za ε > 0, M > 0 takav da iz x > M = f (x) L < ε. Primjer: Važniji limesi lim x e x = 0 ( lim ) x = e x x sin x lim x 0 x = 1 ni račun

24 Neprekidna funkcija je neprekidna u x 0 (a, b) ako je f : (a, b) R lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 ni račun

25 Derivacija Uvod i motivacija Neka je (a, b) R otvoreni interval i f i g realne funkcije definirane na otvorenom intervalu (a, b), tj. f, g : (a, b) R. Definiramo funkciju h = f g s h(x) = f (x) g(x), x (a, b) ni račun

26 i zovemo je razlika ili diferencija funkcija f i g. U diferencijalnom računu izučavamo može li se funkcija f aproksimirati polinomom n tog stupnja oko točke x = x 0 (a, b). Polinom biramo tako da je ili g(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 f (x 0 ) = g(x 0 ) (1) f (x) g(x)za svako x dovoljno blizux 0 (2) h(x) = f (x) g(x) 0 malo za svako x dovoljno blizu x 0. (3) ni račun

27 Ako su ispunjeni uvjeti (1) i (2) kažemo da je funkcija f lokalno aproksimirana oko x 0 funkcijom g. Prvo ćemo promatrati aproksimaciju funkcije f oko x 0 polinomom prvog stupnja, g(x) = a 1 x + a 0 = kx + l, odnosno lokalnu linearnu aproksimaciju. Matematički pojam koji to omogučuje naziva se derivacija funkcije a postupak traženja derivacije zove se diferenciranje. Dakle, potrebno je odrediti funkciju g(x) = kx + l za koju vrijedi f (x 0 ) = g(x 0 ) = kx 0 + l i f (x) g(x) = kx + l za x x 0. ni račun

28 Vidimo iz Outline f (x) f (x 0 ) g(x) g(x 0 ) = k(x x 0 ), x x 0 proizlazi f (x) f (x 0 ) x x 0 k, x x 0. ni račun

29 Izraz Outline K = f (x) f (x 0) x x 0 naziva se kvocjent diferencija. Pogledajmo sada sliku 1. ni račun

30 Primjetimo da je kvocjent diferencija K = f (x) f (x 0) x x 0 koeficijent smjera sekante krivulje {(x, f (x)) : x (a, b)}. Sekanta je pravac koji prolazi točkama P(x 0, f (x 0 )) i T (x, f (x)). Kada se točka T približava točki P, odnosno kada x x 0 promatramo f (x) f (x 0 ) lim. x x 0 x x 0 ni račun

31 Ako ova granična vrijednost postoji i jednaka je realnom broju k, onda kažemo da funkcija f u točki x 0 ima derivaciju ili da je f diferencijabilna u x 0. Broj f (x) f (x 0 ) k = lim (4) x x0 x x 0 je koeficijent smjera pravca. Pravac prolazi kroz točku P(x 0, f (x 0 )) i s poznatim koeficijentom smjera k danim s (4) jednoznačno je odredjen. Nazivamo ga tangenta krivulje {(x, f (x)) : x (a, b)}. Broj k označavamo f (x 0 ) ili Df (x 0 ) ili df (x 0) ili d dx dx f (x 0) ni račun

32 i nazivamo ga derivacija funkcije f u točki x 0. ni račun

33 Primjer: Neka je f (x) = x 2 i x 0 = 1. Odredimo tangentu parabole {(x, x 2 ) : x R} u točki P(1, f (1)) = (1, 1). Koeficijent smjera dane parabole u točki (1, 1) je f (x) f (x 0 ) f (x) f (1) k = lim = lim = x x0 x x 0 x 1 x 1 x 2 1 = lim x 1 x 1 = lim (x + 1) = 2. x 1 Tangenta parabole f (x) = x 2 u točki P(1, 1) je pravac zadan jednadžbom y = 2x 1, odnosno g(x) = 2x 1 je polinom prvog stupnja za koji vrijedi x 2 2x 1 za x 1. ni račun

34 Provjerimo za neke vrijednosti varijable x u okolini x = 1 x x x ni račun

35 Ako funkcija f u x 0 ima derivaciju f (x 0 ), onda za polinom g(x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) prvog stupnja kažemo da je tangencijalan funkciji f u točki x 0, a pravac y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) je tangenta na krivulju G = {(x, f (x)) : x I } u točki (x 0, f (x 0 )). ni račun

36 Ako je f (x 0 ) 0, normala na krivulju G = {(x, f (x)) : x I } u točki (x 0, f (x 0 )) je pravac y f (x 0 ) = 1 f (x 0 ) (x x 0) ni račun

37 Odredite jednadžbu tangente i normale na krivulju G = {(x, f (x)) : x R}, ako je f (x) = x 3 i x = 1 Prvo ćemo odrediti koeficijent smjera k tangente f (x) f (x 0 ) f (x) f (1) k = lim = lim = x x0 x x 0 x 1 x 1 x 3 1 = lim x 1 x 1 = lim (x 2 + x + 1) = 3. x 1 Kako je P(1, 1) i k = 3, tangenta je pravac zadan jednadžbom Normala je y = 3x 2. y = 1 3 x ni račun

38 Primjer: Odredite jednadžbu tangente i normale na krivulju G = {(x, f (x)) : x R + } ako je f (x) = x i x = 1. Prvo ćemo odrediti koeficijent smjera k tangente f (x) f (x 0 ) k = lim x x0 x x 0 x 1 = lim == lim x 1 x 1 x 1 Jednadžba tangente je y = 1 2 x + 1 2, f (x) f (1) = lim = x 1 x 1 x 1 (x 1)( x + 1) = 1 2. a normale y = 2x + 3. ni račun

39 Neke funkcije nemaju derivaciju u svim točkama u kojima su definirane, pa i ako su u njima neprekidne. Sada ćemo promotriti jednu takvu funkciju, na primjer neka je { x, x 0 f (x) = x = x, x < 0 u x = 0. Pogledajmo graničnu vrijednost s desna f (x) f (0) x lim = lim x 0 + x 0 x 0 + x = lim x x 0 + x = 1. S druge strane granična vrijednost s lijeva je f (x) f (0) x lim = lim x 0 x 0 x 0 x = lim x x 0 x = 1. ni račun

40 Kako je 1 1, granična vrijednost funkcije F (x) = x x kada x 0 ne postoji, pa funkcija f (x) = x nema derivaciju za x = 0. ni račun

41 Teorem: Ako je funkcija f : (a, b) R diferencijabilna u točki x 0 (a, b) onda je ona neprekidna u x 0. Dokaz: Kako je lim x x 0 (f (x) f (x 0 )) = = lim x x0 (f (x) f (x 0 )) x x 0 x x 0 = f (x) f (x 0 ) = lim lim (x x 0 ) = x x0 x x 0 x x0 = f (x 0 ) 0 = 0. ni račun

42 Posljedica ovog teorema je: Ako funkcija ima derivaciju u svakoj točki x (a, b) = I onda je x neprekidna na tom intervalu. ni račun

43 Ako funkcija f, f : (a, b) R, ima derivaciju za svako x 0 (a, b) definiramo novu funkciju x f (x) i f zovemo derivacija funkcije f na (a, b). Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0 (a, b), označavamo je f (x 0 ) i kažemo da je f (x 0 ) druga derivacija funkcije f u x 0. Analogno uvodimo f treću, f IV četvrtu,...,f (n) n-tu derivaciju funkcije f. ni račun

44 Sada ćemo odrediti funkciju f za neke jednostavne funkcije i stoga uvodimo novi zapis derivacije funkcije f u točki x, f (x) = lim x 0 f (x + x) f (x). x Označimo li promjenu funkcije f s y = f (x + x) f (x) imamo f (x) = y lim x 0 x. ni račun

45 Derivacija potencije Ako je f (x) = x, onda Dakle, f (x) = f (x + x) f (x) x + x x lim = lim x 0 x x 0 x x = lim x 0 x = lim 1 = 1 x 0 (x) = 1. = ni račun

46 Ako je f (x) = x 2, onda f (x) = f (x + x) f (x) (x + x) 2 x 2 lim = lim x 0 x x 0 x = Dakle, 2x x + ( x) 2 = lim x 0 x (2x + x) x = lim x 0 x = = lim (2x + x) = 2x. x 0 (x 2 ) = 2x. ni račun

47 Ako je f (x) = x n, n N, onda f (x) = f (x + x) f (x) (x + x) n x n lim = lim x 0 x x 0 x (x + x x)((x + x) n 1 + (x + x) n 2 x + + x n 1 ) = lim = x 0 x x((x + x) n 1 + (x + x) n 2 x + + x n 1 ) = lim = x 0 x = lim x 0 ((x+ x)n 1 +(x+ x) n 2 x+ +(x+ x)x n 2 +x n 1 ) = nx n 1. Dakle, (x n ) = nx n 1. = ni račun

48 Ako je f (x) = x, onda = lim x 0 f f (x + x) f (x) (x) = lim = x 0 x x + x x = lim = x 0 x x + x x x x + x + x x + x + x = x + x x = lim x 0 x( x + x + x) = x = lim x 0 x( x + x + x) = ni račun

49 Dakle, 1 = lim = 1 x 0 x + x + x 2 x = 1 2 x 1 2. ( x) = 1 2 x 1 2. Može se pokazati da općenito vrijedi (x p ) = px p 1. ni račun

50 Derivacija zbroja funkcija Ako je f = u + v tj. f (x) = u(x) + v(x), x (a, b) i u, v funkcije koje na intervalu I imaju poznatu derivaciju u i v, onda je f (x) = (u(x) + v(x)) = f (x + x) f (x) lim = x 0 x u(x + x) + v(x + x) u(x) v(x) lim = x 0 x ni račun

51 Dakle u(x + x) u(x) v(x + x) v(x) = lim + lim = x 0 x x 0 x = u (x) + v (x). (u + v) = u + v. ni račun

52 Derivacija produkta funkcije i konstante Ako je f = Cu tj. f (x) = Cu(x), x (a, b), onda je Naime f (x) = (Cu(x)) = (Cu) = Cu. f (x + x) f (x) lim = x 0 x = lim Cu(x + x) Cu(x) = x x 0 ni račun

53 = C lim x 0 u(x + x) u(x) x = Cu (x). ni račun

54 Derivacija polinoma Ako je n P n (x) = a i x i = a n x n + + a 1 x + a 0 onda je tj. Takodjer vrijedi n P n (x) = i=0 P (i) n i=0 P n(x) = na n x n a 1 P n(x) = n i=1 ia ix i 1. i! (0)x i = P n (0) + P n(0)x + + P(n) n (0) n! ni račun x n

55 što je razvoj polinoma oko nule. Naime, lako vidimo da je a 0 = P n (0) a 1 = P n(0). i!a i = P (i) n (0). n!a n = P (n) n (0) Možemo razviti polinom oko x 0 (što ćemo pokazati kasnije) pa imamo n P n (i) (x 0 ) P n (x) = (x x 0 ) i. i! i=0 ni račun

56 Derivacija produkta Pretpostavimo da je funkcija f produkt dviju funkcija u i v, f = uv tj. f (x) = u(x)v(x), x (a, b) kojima su poznate derivacije u i v pa je Naime (uv) = u v + uv. f = y = f (x + x) f (x) = = u(x + x)v(x + x) u(x)v(x) = = (u(x + x) u(x))v(x + x) + u(x)(v(x + x) v(x)) ni račun

57 Prelazimo sada na slijedeće f (x) = (u(x)v(x)) = y lim x 0 x = u(x + x) u(x) = lim lim v(x + x)+ x 0 x x 0 v(x + x) v(x) +u(x) lim = x 0 x = u (x)v(x) + u(x)v (x). ni račun

58 Derivacija kvocijenta funkcija Ako je f = u v tj. onda je f (x) = u(x), x (a, b), v(x) ( u v ) = u v uv v 2. ni račun

59 Derivacija logaritamske funkcije Ako je f (x) = log b x, onda log b f (x) = f (x + x) f (x) lim = x 0 x log = lim b (x + x) log b x x 0 x lim x 0 = lim x 0 ( 1 + x x 1 x log b x + x x = = ) 1 x = logb e 1 x = 1 x log b e. ni račun

60 Dakle, Outline (log b x) = log b e 1 x = 1 x log b e. Specijalno, ako je b = e, onda (ln x) = 1 x. ni račun

61 Derivacija složene funkcije Neka je funkcija f složena funkcija, f (x) = v(u(x)), te funkcije u i v funkcije kojima su poznate derivacije u i v. Dakle f (x) = v(u(x)) = v(u), u = u(x). Ako se varijabla x promijeni za x, onda će se funkcija u = u(x) promijeniti za u = u(x + x) u(x). Promjena u izaziva promjenu funkcije v = v(u) v = v(u + u) v(u). ni račun

62 Izračunajmo sada derivaciju f. f (x) = f (x + x) f (x) lim = x 0 x v(u(x + x)) v(u(x)) = lim = x 0 x v(u(x) + u)) v(u(x)) = lim x 0 x v(u + u) v(u) = lim x 0 u u u = u x Kako je u neprekidna funkcija, kada x 0 takodjer u 0. ni račun

63 Zato Outline v(u + u) v(u) lim x 0 u v(u + u) v(u) = lim u 0 u u x = u lim x 0 x = = dv du du dx = v (u(x)) u (x). ni račun

64 Dakle, Outline ((v(u(x)) = dv du du dx = v (u) u (x). Ako je f (x) = (u(x)) n = u n, onda je f (x) = v (u)u (x) = nu n 1 u (x). Primjer: Ako je f (x) = (x 2 + 1) 4, onda je f (x) = (v(u)) = (u 4 ) = 4u 3 u (x) = 4(x 2 +1) 3 2x = 8x(x 2 +1) 3. Primjer: Ako je f (x) = 2(x 2 x + 1) 2, onda je f (x) = (v(u)) = (u 2 ) = 4u 3 u (x) = ni račun

65 = 4(x 2 x + 1) 3 2x 1 (2x 1) = 4 (x 2 x + 1) 3. ni račun

66 Sada možemo razviti polinom oko x 0. Naime, ako je P n (x) = b n (x x 0 ) n + + b 1 (x x 0 ) + b 0 onda b 0 = P n (x 0 ) b 1 = P n(x 0 ). i!b i = P (i) n (x 0 ). n!b n = P n (n) (x 0 ) ni račun

67 pa je Outline P n (x) = n i=0 P (i) n (x 0 ) (x x 0 ) i. i! ni račun

68 Derivacija inverzne funkcije g je inverzna funkciji f ako je g(f (x)) = x, x D(f ). Sada je ili odnosno g (f (x))f (x) = 1 g (y) = 1 f (x) f (x) = dy dx, g (y) = dx dy. ni račun

69 Derivacija eksponencijalne funkcije Ako je f (x) = b x, onda je njoj inverzna funkcija g(x) = log b x, pa imamo f (x) = d 1 dx bx = d dy log b y = 1 1 y log b e = y log b e = Dakle, = bx log b e = bx ln b. (b x ) = bx log b e = bx ln b. Specijalno, ako je b = e, onda je (e x ) = e x. ni račun

70 Derivacija trigonometrijskih funkcija Dakle (sin x) = sin(x + x) sin x lim x 0 x 2 cos 2x+ x 2 sin x 2 = lim x 0 x x = lim cos(x + x 0 2 ) lim x 0 (sin x) = cos x. 2 sin x 2 x = = = cos x. ni račun

71 Dakle (cos x) = cos(x + x) cos x lim x 0 x 2 sin 2x+ x 2 sin x 2 = lim x 0 x x = lim sin(x + x 0 2 ) lim x 0 (cos x) = sin x. 2 sin x 2 x = = = sin x. ni račun

72 (tgx) = ( ) sin x = cos x cos x cos x + sin x sin x = cos 2 = 1 x cos 2. ( cos x ) (ctgx) = = sin x sin x sin x cos x cos x = sin 2 = 1 x sin 2. ni račun

73 Derivacija ciklometrijskih funkcija Za funkciju y = arcsin x, x < 1, 1 > inverzna je funkcija x = sin y, y < π 2, π 2 > čiju derivaciju znamo. Stoga je d dx arcsin x = 1 d dy sin y = 1 cos y = 1 1 sin 2 y = = 1 1 x 2 ni račun

74 Za funkciju y = arccos x, x < 1, 1 > inverzna je funkcija x = cos y, y < 0, π > čiju derivaciju znamo. Stoga je d dx arccos x = 1 d dy cos y = 1 sin y = 1 1 cos 2 y = 1 = 1 x 2 ni račun

75 Za funkciju y = arctgx, x <, > inverzna je funkcija x = tgy, y < π 2, π 2 > čiju derivaciju znamo. Stoga je d dx arctgx = 1 d dy tgy = 1 1 cos 2 y = cos 2 y = = tg 2 y = x 2. ni račun

76 Nagib tangente u točki P = (x 0, f (x 0 )) krivulje G = {(x, f (x)) : x (a, b)} funkcije f : (a, b) R je i jednadžba tangenteje k = f (x 0 ) y = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Tangenta u točki P aproksimira krivulju u okolini točke P, to bolje što je točka T = (x, f (x)) bliže točki P, odnosno linearna funkcija g(x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) aproksimira funkciju f u okolini od x 0, dakle f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + r(x) ni račun

77 gdje je r(x) greška aproksimacije i ni račun

78 lim x x 0 Stavimo li uobičajene oznake r(x) x x 0 = 0. y = f (x) f (x 0 ), x = x x 0 imamo Staviti ćemo i izraz y = f (x 0 ) x + r(x). x = dx dy = f (x 0 )dx ni račun

79 zovemo diferencijal funkcije f u x 0. Ekvivalentno, dy je prirast tangente (tangenta je kroz P = (x 0, f (x 0 )) grafa G) u točki T = (x, f (x)). ni račun

80 Primjer: Koristeći se aproksimacijom oko x 0 = 9, izračunajte 10 i 8. Funkciju f (x) = x aproksimiramo linearnom funkcijom oko x 0 = 9 i dobivamo f (x) = f (9) + f (9)(x 9) + r(x) ili f (x) = (x 9) + r(x) 6 odnosno 1 10 = 3 + (10 9) + r(10) = 3, r(x) 6 ni račun

81 Kako je 10 = 3, možemo izračunati i grešku aproksimacije. Analogno 1 8 = 3 + (8 9) + r(8) = 2, r(x) 6 i zbog 8 = 2, vidimo kolika je točnost dobivenog računa. ni račun

82 funkcije y = f (x) u x je dy = f (x)dx ili te vrijedi dy = y dx y dy. ni račun

83 Teorem o srednjoj vrijednosti: Neka je f neprekidna funkcija na [a, b] i derivabilna na otvorenom intervalu (a, b). Tada postoji barem jedan c (a, b) takav da vrijedi f (c) = f (b) f (a). b a Lagrange ( ) je pokazao da postoji točka (c, f (c)), c (a, b) krivulje G = {(x, f (x)) : x D(f )} u kojoj je tangenta paralelna sekanti kroz točke (a, f (a)) i (b, f (b)) ili ekvivalentno, postoji 0 < ϑ < 1 takav da je f (b) f (a) = f (a + ϑ(b a))(b a) ni račun

84 Pišemo li a = x 0 i b = x, dobivamo f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 + ϑ(x x 0 ))(x x 0 ). Posljedice teorema o srednjoj vrijednosti; 1. Neka je f (x) = 0, x [a, b]. Onda je f (x) = const. 2. Neka je f 1 (x) = f 2 (x), x [a, b]. Onda je f 2 (x) = f 1 (x) + const. 3. Cauchyjeva formula ni račun

85 Neka su f 1, f 2 neprekidne funkcije na intervalu [a, b] i postoje derivacije f 1, f 2 na otvorenom intervalu < a, b >, te f 1 (x) 0 za svako x < a, b >. Onda postoji c < a, b > takav da vrijedi f 2 (b) f 2 (a) f 1 (b) f 1 (a) = f 2 (c) f 1 (c). ni račun

86 4. L Hospitalovo pravilo Neka su f 1, f 2 neprekidne funkcije na intervalu [a, b], f 1 (x 0 ) = 0, f 2 (x 0 ) = 0 za neko x 0 (a, b), postoje derivacije f 1 (x), f 2 (x) 0 za svako x (x 0 δ, x 0 + δ). Onda je f 1 (x) lim x x 0 f 2 (x) = lim f x x 0 f 1 (x) 2 (x). ni račun

87 Primjer: Izračunat ćemo Kako je imamo lim x 1 lim x 1 x 4 + x 3 + x 2 + x 4 x 4 + 3x 3 + 2x 2 + x 7. f 1 (1) f 2 (1) = 0 0 x 4 + x 3 + x 2 + x 4 x 4 + 3x 3 + 2x 2 + x 7 = lim 4x 3 + 3x 2 + 2x + 1 x 1 4x 3 + 9x 2 + 4x + 1 = = ni račun

88 L Hospital-ovo pravilo vrijedi i ako je f 1 (x 0 ) f 2 (x 0 ) =. Izračunajmo lim x ln x x 0 ni račun

89 Proširenje teorema o srednjoj vrijednosti je: Teorem: Ako je f : [a, b] R neprekidna na [a, b] i postoji derivacija f funkcije f za svako x [a, b] i druga derivacija f funkcije f za svako x < a, b >, onda postoji ϑ < 0, 1 > takav da vrijedi f (b) = f (a) + f (a)(b a) + f (a + ϑ(b a)) (b a)2. 2 ni račun

90 Dokaz: Konstruiramo pomoćnu funkciju ϕ(x) = f (b) f (x) (b x)f (x) (b x)2 2! za koju je ϕ(b) = 0. konstantu C ćemo odrediti iz pretpostavke da je ϕ(a) = 0 i dobivamo C = 2 f (b) f (a) (b a)f (a) (b a) 2. No kako je ϕ(a) = ϕ(b) = 0 po Rollovom teoremu ili po teoremu o srednjoj vrijednosti postoji c < a, b > takav da je ϕ (c) = 0. No sada je C = f (c) ni račun C

91 i time je teorem dokazan. ni račun

92 Pišemo li a = x 0 i b = x, dobivamo f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 + ϑ(x x 0 )) (x x 0) 2. 2 Primjetimo da smo ovim dobili kako se aproksimira derivabilna funkcija polinomom prvog reda i kako izgleda greška ako funkcija ima drugu derivaciju. Stoga ćemo označiti grešku aproksimacije s R 2 (x x 0 ) = f (x 0 + ϑ(x x 0 )) (x x 0) 2. 2 ni račun

93 Ako funkcija ima dovoljan broj derivacija u okolini točke x 0, onda ćemo funkciju f aproksimirati polinomom P n n-tog stupnja koji ima svojstvo f (x 0 ) = P n (x 0 ) f (x 0 ) = P n(x 0 ). f (n) (x 0 ) = P n (n) (x 0 ) i f (x) P n (x) ni račun

94 za x blizu x 0. Kako je P n (x) = k=0 n k=0 P n (k) (x 0 ) (x x 0) k k! imamo Taylorovu formulu n f (x) = f (k) (x 0 ) (x x 0) k + R n+1 (x x 0 ) k! gdje je R n+1 (x x 0 ) = f (n+1) (x 0 + ϑ(x x 0 )) (x x 0) n+1 Lagrangeov oblik ostatka. ni račun (n + 1)!

95 Ako funkcija f ima derivaciju f (n) za svako n N i lim R n+1 = 0 n imamo Taylorov red ili razvoj funkcije f oko x 0 f (x) = k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0) k. k! ni račun

96 Primjer: Ako je f (x) = e x, onda je f (n) (x) = e x za svako n R. Ako ovu funkciju razvijamo oko x 0 = 0 imamo odnosno e x = n k=0 f (x) = n f (k) (0) x k k! + R n+1(0) k=0 x k k! + R n+1(0) = 1 + x + x x 3 3! + x 4 4! + i R n+1 (0) = f (n+1) x n+1 (ϑx) (n + 1)! = x n+1 e(ϑx) (n + 1)!. ni račun

97 Kako je Outline lim R x n+1 n+1 = lim n n e(ϑx) (n + 1)! = x n+1 e(ϑx) lim n (n + 1)! = 0 Imamo Taylorov razvoj funkcije e x oko nule. Pogledajmo sada kako ćemo izračunati e 0.1. Imamo e Za n = 0 imamo e i R 1 = 0.1e 0.1ϑ. Za n = 1 imamo e i R 2 = e0.1ϑ. Za n = 2 imamo e i R 3 = e0.1ϑ. ni račun

98 Za n = 3 imamo e i R 4 = e0.1ϑ. Za n = 4 imamo e Za n = 5 imamo e Za n = 6 imamo e Možemo takodjer izračunati e razvojem oko nule pa je x = 1 i imamo e ! + 1 2! + 1 3! ! ! = ni račun

99 f raste u točki x 0 ako postoji okolina O(δ) = (x 0 δ, x 0 + δ), δ > 0, točke x 0 takva da vrijedi f (x) < f (x 0 ), x (x 0 δ, x 0 ) f (x 0 ) < f (x), x (x 0, x 0 + δ). Takodjer kažemo da funkcija f prolazi kroz točku x 0 rastući. f pada u točki x 0 ako postoji okolina (x 0 δ, x 0 + δ) točke x 0 takva da vrijedi f (x) > f (x 0 ), x (x 0 δ, x 0 ) f (x 0 ) > f (x), x (x 0, x 0 + δ). ni račun

100 Teorem: Ako je f (x 0 ) > 0, onda funkcija f raste u x 0. Ako je f (x 0 ) < 0, onda funkcija f pada x 0. Dokaz: Ako je f (x 0 ) > 0, onda za x dovoljno blizu x 0 vrijedi f (x) f (x 0 ) x x 0 > 0. Ako je Ako je x > x 0 f (x) > f (x 0 ). x < x 0 f (x) < f (x 0 ). ni račun

101 Primjer: Imamo funkciju Kako prolazi ova funkcija kroz Kako je f (x) = x 3 3x 2 x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 4. f (x) = 3x 2 6x i f ( 1) = 9 > 0 kroz x 1 = 1 prolazi rastući, f (1) = 3 < 0 kroz x 2 = 1 prolazi padajući f (4) = 24 > 0 kroz x 3 = 4 prolazi rastući. ni račun

102 Teorem: Ako je f (x) > 0, x (a, b), onda funkcija f raste na (a, b). Ako je f (x) < 0, x (a, b), onda funkcija f pada na (a, b). Dokaz izvodimo pomoću teorema o srednjoj vrijednosti. Ako je x 1, x 2 (a, b) postoji x (x 1, x 2 ), takav da je f (x) = f (x 2) f (x 1 ) x 1 x 2. Ako je f (x) > 0 onda je za x 2 > x 1 f (x 2 ) > f (x 1 ). Ako je f (x) 0 i f (x) = 0 na konačnom skupu točaka, onda funkcija f raste na intervalu (a, b). ni račun

103 Primjeri: 1.Za f (x) = x 2, f (x) = 2x > 0, x > 0. Za f (x) = x 2, f (x) = 2x < 0, x < Za f (x) = x 2, f (x) = 2x > 0, x < 0. Za f (x) = x 2, f (x) = 2x < 0, x > Za f (x) = x 3, f (x) = 3x 2 > 0, x Za f (x) = x 1 x, f (x) = > 0, funkcija raste x 2 x (, 0), x (0, ). 5. Za f (x) = e x, f (x) = e x > 0, x R. ni račun

104 Neprekidna funkcija f dostiže svoju najveću i najmanju vrijednost na zatvorenom intervalu [a, b], tj. postoji x, x [a, b] takvi da je f (x ) f (x), x [a, b], f ( x) f (x), x [a, b]. Kažemo da je x globalni maksimum funkcije f na intervalu [a, b], a x globalni minimum funkcije f na intervalu [a, b]. Jedno ime za globalni maksimum i globalni minimum je globalni ekstrem. ni račun

105 Definicija: x [a, b] je lokalni maksimum funkcije f ako postoji δ > 0 takav da je f (x ) f (x), x (x δ, x + δ) [a, b]. x [a, b] je lokalni minimum funkcije f ako postoji δ > 0 takav da je f ( x) f (x), x ( x δ, x + δ) [a, b]. Jedno ime za lokalni maksimum i lokalni minimum je lokalni ekstrem. ni račun

106 Teorem: Neka je x (a, b) lokalni ekstrem funkcije f i postoji f (x ). Onda je f (x ) = 0. Dokaz: Ako je x lokalni maksimum, onda postoji okolina (x δ, x + δ) oko točke x takva da za svako x (x δ, x + δ) = O(δ) vrijedi f (x ) f (x). Mi biramo x (x δ, x + δ). Ako je x < x, tj. x (x δ, x ), onda je f (x) f (x ) x x 0 pa je ni račun

107 Ako je x > x, onda je Dakle imamo f (x ) = 0. f (x) f (x ) lim x x x x 0. f (x) f (x ) x x 0 f (x) f (x ) lim x x + x x 0. ni račun

108 Teorem: Ako je funkcije f definirana na intervalu [a, b] i f C 2 (a, b) postoje prva i druga derivacija za neko x, x (a, b) takve da je (i) f (x ) = 0, f (x ) < 0, onda je x lokalni maksimum (ii) f ( x) = 0, f ( x) > 0, onda je x lokalni minimum. ni račun

109 Dokaz: Dokazati ćemo drugu tvrdnju teorema. Prva se dokazuje analogno. Ako je f (x 0 ) > 0 zbog neprekidnosti funkcije f postoje i druge vrijednosti varijable iz neke dovoljno male okoline oko x 0 osim vrijednosti x 0 u kojima je druga derivacija pozitivna. Zato pri korištenju proširenog teorema o srednjoj vrijednosti f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 + ϑ(x x 0 )) (x x 0) 2. 2 biramo x takav da za dobiveni ϑ je f (x 0 + ϑ(x x 0 )) 0. Ako je x = x 0 i f ( x) = 0 imamo f (x) f ( x) za svako x dovoljno blizu x pa je u x dostignut lokalni minimum. Komentirajmo prvu tvrdnju teorema (i) Ako je f (x ) < 0, onda je ni račun

110 za svako x dovoljno blizu x 0 f (x) f (x ) x x = f (x) x x < 0 zbog f (x ) = 0. Za x < x 0 f (x) > 0 pa funkcija f do točke x raste. Za x > x f (x) < 0 pa funkcija f od točke x pada. Dakle, x je lokalni maksimum. Analogno komentiramo (ii). ni račun

111 Takodjer možemo lagano pokazati slijedeće: ako je f ( x) = 0 i f ( x) > 0 onda postoji okolina oko točke x u kojoj je funkcija f konveksna. ni račun

112 Definicija: f : [a, b] R je konveksna ako za svako x 1, x 2 [a, b], x 1 x 2 i α [0, 1] vrijedi f ((1 α)x 1 + αx 2 ) (1 α)f (x 1 ) + αf (x 2 ). Teorem: Ako je funkcija konveksna na [a, b] onda je neprekidna na (a, b). Derivabilna funkcija je konveksna ako i samo ako tangenta u bilo kojoj točki grafa funkcije leži na grafu ili ispod njega. ni račun

113 Teorem: Ako funkcija f ima derivaciju na (a, b), ona je konveksna na intervalu (a, b) ako i samo ako f (x) f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ), x, x 0 < a, b >. Dokaz: Neka je funkcija f konveksna na intervalu (a, b), tj. za svako x 1, x 2 (a, b) i α (0, 1) vrijedi f ((1 α)x 1 + αx 2 ) (1 α)f (x 1 ) + αf (x 2 ). (x 1, f (x 1 ) i Označimo s x 0 = (1 α)x 1 + αx 2 ), gdje je α (0, 1). Možemo onda lako vidjeti da je x 0 x 1 = α(x 2 x 1 ). ni račun

114 Sada imamo f (x 0 ) f (x 1 ) α(f (x 2 ) f (x 1 )). Uz x 1 x 2 pretpostavimo da je x 1 < x 2 a zbog konstrukcije x 0 je To znači da je x 1 < x 0 < x 2. f (x 0 ) f (x 1 ) x 0 x 1 f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1. Ako sada pustimo da x 1 x 0 s lijeve strane dobivamo derivaciju funkcije f u x 0. S desne strane je neprekidna funkcija i dobivamo f (x 0 ) f (x 2) f (x 0 ) x 2 x 0 ni račun

115 odnosno i Outline f (x 2 ) f (x 0 ) + f (x 0 )(x 2 x 0 ). f (x 2 ) f (x 0 ) + f (x 0 )(x 2 x 0 ), x 2, x 0 < a, b >. Prvu nejednakost množimo s (1 α), drugu s α, pa ih potom zbrojimo i dobivamo (1 α)f (x 1 )+αf (x 2 ) f (x 0 )+f (x 0 )((1 α)(x 1 x 0 )+α(x 2 x 0 )) =, = f (x 0 ). ni račun

116 Ako funkcija f ima prvu derivaciju na (a, b) i ona je neprekidna funkcija, te drugu derivaciju na (a, b) i ona je neprekidna na (a, b), kažemo da je ona klase C 2 na (a, b) i pišemo f C 2 (a, b). Teorem: Neka je f C 2 (a, b). Onda je f konveksna ako i samo ako f (x) 0, x (a, b). Takodjer funkcija f C 2 (a, b) je konkavna na (a, b) ako i samo ako je f (x) 0 za svako x (a, b). ni račun

117 Točka infleksije Kažemo da je x 0 točka infleksije funkcije f ako u njoj iz konveksnog prelazi u konkavni ili konkavnog u konveksni oblik. Ako je funkcija f C 2 (a, b) ona u točki x 0 ima točku infleksije ako druga derivacija u x 0 mijenja predznak. Na primjer ako je lijevo od x 0 konveksna, tj. f (x) > 0 za x < x 0, a desno od x 0 konkavna, tj. tj. f (x) < 0 za x > x 0, onda ona ima točku infleksije u x 0. No zbog neprekidnosti druge derivacije f funkcije f mora biti f (x 0 ) = 0. ni račun

118 Teorem: Ako je f C 2 (a, b), x 0 (a, b), f (x 0 ) = 0 i postoji f (x 0 ) 0, onda je u x 0 točka infleksije. Dokaz: Ako je f (x 0 ) = 0 i f (x) < 0, x < x 0 te onda je pa i f (x) > 0, x > x 0 f (x) x x 0 > 0 f (x 0 ) > 0. ni račun

119 Teorem: Ako funkcija f ima sve derivacije u x 0 koje su nam potrebne tj. f C n (a, b) i ako je i f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0 f (n) (x 0 ) 0 onda je za (i) n paran broj i f (n) (x 0 ) > 0 u x 0 strogi lokalni minimum (ii) n paran broj i f (n) (x 0 ) < 0 u x 0 strogi lokalni maksimum (iii) n neparan broj u x 0 točka infleksije. ni račun

120 Komentar: Funkciju aproksimiramo u okolini točke x 0 polinomom n 1 stupnja i kako su otpali mnogi člavovi dobivamo za x blizu x 0 i ϑ (0, 1) f (x) = f (x 0 ) + f (n) (x 0 + ϑ(x x 0 )) (x x 0) n. n! Član f (n) (x 0 + ϑ(x x 0 )) (x x 0) n n! odredjuje ponašanje funkcije u okolini od x 0, njegov predznak i potencija n. Kako smo uzeli samo one vrijednosti varijable x blizu x 0 za koje je n-ta derivacija istog predznaka kao i f (n) (x 0 ) imamo slijedeće : (i) (x x 0 ) n > 0 za svako x x 0 pa je f (x) > f (x 0 ) (ii) (x x 0 ) n < 0 za svako x x 0 pa je f (x) < f (x 0 ) (iii)recimo da je f (n) > 0 onda je (x x 0 ) n > 0 za svako x > x 0 pa ni račun

121 je f (x) > f (x 0 ) desno od x 0 i tu je funkcija konveksna. Lijevo od x 0 funkcija je konkavna i za x < x 0 je f (x) < f (x 0 ). Kroz točku x 0 funkcija prolazi rastući. Analogno ako je n neparan broj i f (n) (x 0 ) < 0 onda funkcija f kroz točku x 0 prolazi padajući i lijevo od te točke je konkavana a desno konveksna. ni račun

122 Pretpostavimo da imamo dvije medjusobno zavisne ekonomske veličine, na primjer potražnju za nekom robom i cijenu te robe. Elastičnost je sposobnost ekonomske veličine da reagira, više ili manje intenzivno, na promjenu neke druge ekonomske veličine o kojoj zavisi. Recimo, ako je q = q(p), p je cijena robe a q količina potražnje koja ovisi o cijeni. Što je relativna promjena funkcije prema relativnoj promjeni varijable veća, to je funkcija elastičnija. Ovo je opisao Marshal 1885 godine u studiju potražnje. je mjera elastičnosti ekonomske veličine y u odnosu na promjenu od x, ili preciznije koeficijent elastičnosti je ni račun

123 omjer relativne promjene od y i x i pišemo ni račun

124 E y,x y y x x za x dovoljno malo. Ako je x x = 1%, onda je E y,x y y 100. Definiramo koeficijent elastičnosti u točki x E y,x = lim x x 0 y y x x = x y dy dx = x y y. ni račun

125 Takodjer Outline E q,p = d(log q) d(log p). ni račun

126 Elastičnost zbroja Ako je y = u + v tj. onda je E y,x = y(x) = u(x) + v(x) x u(x) + v(x) (u (x) + v (x)). ni račun

127 Elastičnost produkta Ako je y = u v tj. onda je E y,x = y(x) = u(x) v(x) x u(x)v(x) (u (x)v(x) + u(x)v (x)) = E u,x + E v,x. ni račun

128 Elastičnost kvocijenta Ako je y = u v tj. onda je y(x) = u(x) v(x) E y,x = xv(x) u(x) u (x)v(x) u(x)v (x) v 2 = E u,x E v,x. (x) ni račun

129 Ako je y(x) = ax n onda je E y,x = n. ni račun

130 Ako je Outline E y,x > 1 kažemo da je y elastična u x. Ako je E y,x < 1 kažemo da je y neelastična u x. Ako je E y,x = 0 kažemo da je y savršeno neelastična u x. Ako je E y,x = ni račun

131 kažemo da je y perfektno elastična u x. Takodjer vrijedi E y,x E x,y = 1. ni račun

132 Primjer: Poznata je funkcija potražnje q neke robe u ovisnosti o cijeni te robe p 32 p q(p) = 2 117, 5. Odredite koeficijent elastičnosti potražnje prema promjeni cijene na razini p = 2NJ i interpretirajte rezultat. Odredite područje elastičnosti te funkcije. Kako je to je p2 E q,p = 32 p 2 E q,2 = 1 7. ni račun

133 Ako cijena s vrijednosti p = 2 raste za 1% i dodje na vrijednost p = 2, 02 količina potražnje će približno pasti za 1 7 % = 0, 24%. Na danoj razini cijene potražnja je neelastična. Sada ćemo odrediti područje elastičnosti. Kao prvo ova funkcija je definirana za p 0 i q(p) 0 tj. D(q) = [0, 32]. No za p > 4, pa je E q,p = p2 32 p 2 > 1 P el = {p D(q) : E q,p > 1} =< 4, 32]. ni račun

134 Ako je Q 0 razina (količina) proizvodnje neke robe, njeni troškovi proizvodnje ovise o razini Q, T = T (Q). troškova je rastuća funkcija, pa je T 0. graničnih (marginalnih) troškova je T = T (Q) = t(q). ni račun

135 Ako je razina prizvodnje Q > 0, onda je funkcija prosječnih troškova A(Q) = T Q = T Q (Q). Za razinu priozvodnje Q = 0, T (0) su fiksni troškovi. Imamo ukupni troškovi= varijabilni troškovi + fiksni troskovi ni račun

136 Primjer: Poznata je funkcija ukupnih troškova T (Q) = Q 3 12Q Q. Ova funkcija je rastuća, jer je T = 3Q 2 24Q + 60 > 0 i ima točku infleksije za Q = 4, T (4) = 112. graničnih troškova je T = 3Q 2 24Q + 60 i ova funkcija dostiže najmanju vrijednost za Q = 4, T (4) = 12. prosječnih troškova je T Q = Q2 12Q + 60 i ona dostiže najmanju vrijednost za Q = 6, T Q (6) = 24. ni račun

137 Primjetimo da na razini proizvodnje Q = 6 funkcije prosječnih i graničnih troškova su jednake. Naime ( T Q ) = 1 Q (T T Q ) = T = T Q. funkcije prosječnih troškova je E T Q,Q = E T,Q 1. ni račun

138 Interpretacija : Na razini proizvodnje Q = 6 E T Q,Q(6) = 0 = E T,Q 1 = T = T Q. Ako na razini Q = 6 proizvodnja raste za 1% tj. naraste na Q = 6.06 prosječni troškovi približno se ne mijenjaju, a ukupni troškovi približno rastu za 1%. Takodjer pa E T,Q = T A = T T Q E T,Q = 1 T = T Q. ni račun

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije Sadržaj REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE 7. Elementarne funkcije....................... 7. Primjeri ekonomskih funkcija.................. 78.3 Limes funkcije........................... 8.4 Neprekidnost

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable Sadržaj 1 DIFERENCIJALNI RAČUN 3 1.1 Granična vrijednost i neprekidnost funkcije........... 3 1.2 Derivacija realne funkcije jedne varijable............ 4 1.2.1 Pravila deriviranja....................

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03. UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Matematika 1 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Skupovi; brojevi Skupovi osnovni pojam u matematici (ne svodi

Διαβάστε περισσότερα

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE 9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna

Διαβάστε περισσότερα

( pol funkcije), horizontalna ili kosa.

( pol funkcije), horizontalna ili kosa. 4. ANALIZA TOKA FUNKCIJE, EKSTREMI 4. Opci pojmovi Nultocke funkcije - su tocke u kojima je funkcija jednak nula. Za razlomljenu racionalnu funkciju, je kada je brojnik nula. Polovi funkcije - su tocke

Διαβάστε περισσότερα

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 Uvod u numeričku matematiku Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 1 Odjel za matematiku Sveučilište u Rijeci Numerička integracija O problemima integriranja

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. kolokviji. Sadržaj

Matematika 1. kolokviji. Sadržaj Matematika kolokviji Sadržaj. kolokvij, 2..2004.............................................. 2. kolokvij, 2..2004.............................................. 3 2. kolokvij, 7.2.2004..............................................

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

Ekstremi funkcije jedne varijable

Ekstremi funkcije jedne varijable maksimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) < f(x 0 ) (1) za po volji male vrijednosti h minimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) > f(x

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler Nizovi i redovi Franka Miriam Brückler Nabrajanje brojeva poput ili 1, 2, 3, 4, 5,... 1, 2, 4, 8, 16,... obično se naziva nizom, bez obzira je li to nabrajanje konačno (do nekog zadnjeg broja, recimo 1,

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella Uvod u teoriju brojeva (skripta) Andrej Dujella PMF - Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Sadržaj. Djeljivost.... Kongruencije... 3. Kvadratni ostatci... 9 4. Kvadratne forme... 38 5. Aritmetičke funkcije...

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMETARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINATAMA

5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMETARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINATAMA 5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMEARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINAAMA 5. Funkcije zadane u paametaskom obliku Ako se koodinate neke tocke,, zadaju u obliku funkcije neke tece pomjenjive, koja se tada naziva paameta,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Definicija funkcije

1.1 Definicija funkcije . Definicija funkcije Realna funkcija predstavlja osnovni pojam u matematičkoj analizi i centralni objekat svih njenih razmatranja. Definicija Neka je dat skup D R. Ako je svakom x D po nekom zakonu (pravilu)

Διαβάστε περισσότερα

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivan Krijan, Sara Muhvić MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA Zagreb, 2013. Ovaj rad izraden je na Zavodu

Διαβάστε περισσότερα

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4. Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine

Διαβάστε περισσότερα

Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016. Tomislav Berić

Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016. Tomislav Berić Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016 Tomislav Berić tberic@math.hr Sadržaj 1 Operatori na Hilbertovim prostorima 1 1.1 Normalni operatori..................................... 3 1.2 Unitarni

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2 š.g. 2010./2011.

MATEMATIKA 2 š.g. 2010./2011. MATEMATIKA 2 š.g. 2010./2011. Matematika 2 1. Funkcije više varijabli 2. Višestruki integral 3. Vektorska Analiza 4. Obi cne diferencijalne jednadbe MATEMATIKA 2 1 Literatura: Petar Javor, Matematicka

Διαβάστε περισσότερα

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014 Nermin Okičić Vedad Pašić MATEMATIKA II 014 Sadržaj 1 Funkcije više promjenljivih 1 1.1 Pojam funkcije više promjenljivih................ 1.1.1 Osnovni elementi preslikavanja.............. 1.1. Grafičko

Διαβάστε περισσότερα

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,

Διαβάστε περισσότερα

I. dio. Zadaci za ponavljanje

I. dio. Zadaci za ponavljanje I. dio Zadaci za ponavljanje ZADACI ZA PONAVLJANJE. BROJEVI: Prirodni, cijeli, racionalni i realni brojevi. Izgradnja skupova N, Z, Q, R.. Odredi najveću zajedničku mjeru M(846, 46).. Napiši broj u sustavu

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα

5. Aproksimacija i interpolacija

5. Aproksimacija i interpolacija APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA 56 5. Aproksimacija i interpolacija 5.. Opći problem aproksimacije Što je problem aproksimacije? Ako su poznate neke informacije o funkciji f, definiranoj na nekom skupu X

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto?

Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto? Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto? Franka Miriam Brückler Igor Pažanin Zagreb, 2012. Sadržaj 1 Uvod 7 1.1 Varijable i konstante............................

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija i linearna algebra

Analitička geometrija i linearna algebra 1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije 9 i 10 Elementarne funkcije. Funkcije važne u primjenama Vjeºbe iz Matematike 1. 9. i 10. Elementarne funkcije. Funkcije vaºne u primjenama

Διαβάστε περισσότερα

Program za tablično računanje Microsoft Excel

Program za tablično računanje Microsoft Excel Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je

Διαβάστε περισσότερα

TEOREME O SREDNJOJ VRIJEDNOSTI

TEOREME O SREDNJOJ VRIJEDNOSTI TEOREME O SREDNJOJ VRIJEDNOSTI Rolova teorema: Ako je y f(x) fnkcija neprekidna na interval [a,b] i diferencijabilna na interval (a,b) i ako je f(a) f(b) 0, onda postoji bar jedna tačka c (a,b) takva da

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

Dr. Miljenko Crnjac, Mr. Dragan Jukić, Dr. Rudolf Scitovski MATEMATIKA. Osijek, 1994.

Dr. Miljenko Crnjac, Mr. Dragan Jukić, Dr. Rudolf Scitovski MATEMATIKA. Osijek, 1994. Dr. Miljenko Crnjac, Mr. Dragan Jukić, Dr. Rudolf Scitovski MATEMATIKA Osijek, 994. M. Crnjac, D. Jukić, R. Scitovski Matematika Udžbenik U-6 Recenzenti: Prof.dr.sc. Hrvoje Kraljević Prof.dr.sc. Harry

Διαβάστε περισσότερα

U teoriji vjerojatnosti razmatraju se događaji koji se mogu, ali ne moraju dogoditi. Takvi se događaji zovu slučajnim događajima.

U teoriji vjerojatnosti razmatraju se događaji koji se mogu, ali ne moraju dogoditi. Takvi se događaji zovu slučajnim događajima. Sažetak vjerojatnost Skup ishoda U teoriji vjerojatnosti razmatraju se događaji koji se mogu, ali ne moraju dogoditi. Takvi se događaji zovu slučajnim događajima. Jednostavne događaje u nekom pokusu zvat

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić.

Matematika 1 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić. Ivan Slapničar Marko Matić Matematika 1 PODSJETNIK ZA UČENJE http://www.fesb.hr/mat1 Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split, 2001. Sadržaj 1 Osnove matematike 3 2 Linearna algebra 4

Διαβάστε περισσότερα

Parcijalne diferencijalne jednadžbe Skripta radna verzija

Parcijalne diferencijalne jednadžbe Skripta radna verzija Parcijalne diferencijalne jednadžbe Skripta radna verzija Saša Krešić-Jurić Odjel za matematiku Prirodoslovno-matematički fakultet Split 214 Napomena: poglavlje 6 nije korigirano Sadržaj 1 Uvodna razmatranja

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru

Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Darija Brajković 2. prosinca 2013. Sadržaj 1 Uvod 2 2 Operacije s vektorima 4 2.1 Zbrajanje vektora...............................

Διαβάστε περισσότερα

Matrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola) smještenih u redove i kolone.

Matrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola) smještenih u redove i kolone. Matrice Uvod u matrice i vektore Pretpostavite da ste odgovorni za iznajmljivanje automobila zaposlenicima svoje firme Sedmični najmovi za različite veličine automobila su: kompaktni 9KM, srednji 60KM,

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) x y

( ) ( ) ( ) ( ) x y Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

Nikola Sandrić MATEMATIKA 1. Gradevinski fakultet Sveučilište u Zagrebu

Nikola Sandrić MATEMATIKA 1. Gradevinski fakultet Sveučilište u Zagrebu Tomislav Došlić Nikola Sandrić MATEMATIKA 1 Gradevinski fakultet Sveučilište u Zagrebu Predgovor Poštovani čitatelji, u rukama imate nastavni materijal koji izlaže gradivo kolegija Matematika 1 za studente

Διαβάστε περισσότερα

Obi ne diferencijalne jednadºbe

Obi ne diferencijalne jednadºbe VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 1 Obične diferencijalne jednadžbe 1. reda Obi ne diferencijalne jednadºbe Uvodni pojmovi Diferencijalne jednadºbe su jednadºbe oblika: f(,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE Nada Miličić Miloš Miličić ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE II deo II izdanje Akademska misao Beograd, 2011 Dr Nada Miličić, redovni profesor Dr Miloš Miličić, redovni profesor ELEMENTI VIŠE MATEMATIKE II DEO

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 64 Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA 4 Osnovni pojmovi Činjenica da se mnogi zakoni fizike i drugih nauka iskazuju uz pomoć diferencijalnih jednačina

Διαβάστε περισσότερα