Diferencijalni račun
|
|
- Χθόνιος Μάγκας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ni račun October 28, 2008 ni račun
2 Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun
3 Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo jedan element y R, onda kažemo da je definirana ili zadana funkcija f sa skupa X u R. Funkcije označavamo slovima f, g, h, F, G,... i pišemo f : X R da bi označili da postupkom f skup X preslikavamo u skup R. Još pišemo y = f (x) ili x y = f (x) ni račun
4 Skup X zovemo područje definicije ili domena funkcije f i označavamo ga još s D(f ). Kažemo da je y = f (x) slika od x pri preslikavanju f a x je original od y = f (x). Element x X zovemo nezavisna varijabla ili argument, a y zavisna varijabla. Skup f (X ) = {f (x) : x X } svih slika elemenata x zove se slika skupa X pri preslikavanju f i označava se još R(f ). Vrijedi R(f ) R. Funkcije mogu biti dane formulom, tabelarno i grafički. ni račun
5 Funkcije zadane formulom Promatramo funkcije zadane analitički- formulom ili postupkom računanja. Ovdje područje definicije odredit ćemo na slijedeći način: X = D(f ) su svi realni brojevi za koje se nakon naznačenih operacija dobiva realan broj. Takvo područje definicije zovemo prirodno područje definicije. 1. f (x) = x 2 7x g(x) = 1 x 8 3. h(x) = 1 x. Primjer: Odredite područje definicije Odgovori ni račun
6 1. D(f ) = R 2. D(g) = R \ {8} 3. D(h) = (, 1] može biti zadana s više formula, na primjer { x, x 0 x = x, x < 0 ni račun
7 Graf funkcije Graf funkcije je skup G = {(x, y) : y = f (x), x D(x)} R 2 Graf realne funkcije jedne varijable je krivulja u ravnini. No, nije svaka krivulja u ravnini graf funkcije. Graf funkcije y = ax + b za parametre a, b R je pravac u ravnini. Graf funkcije y = ax 2 + bx + c za parametre a, b, c R, a 0 je parabola u ravnini. Graf funkcije y = ax+b cx+d za parametre a, b, c, d R, c 0 i a 0 ili b 0 je hiperbola u ravnini. f je parna, ako je ni račun
8 x D(f ) = x D(f ) i f (x) = f ( x), x D(f ). f je neparna, ako je x D(f ) = x D(f ) i f (x) = f ( x), x D(f ). ni račun
9 Monotone funkcije je monotona na X ako raste ili pada na X. f raste na X ako (x 1, x 2 X, x 1 > x 2 ) = (f (x 1 ) f (x 2 )). f pada na X ako (x 1, x 2 X, x 1 > x 2 ) = (f (x 1 ) f (x 2 )). ni račun
10 potražnje potražnje q za nekom robom ovisi o cijeni te robe p 1, o cijenama nekih drugih roba (konkurentnih ili komplementarnih) p 2,..., p n, o dohotku potrošača k i trenutku t razmatranja. potražnje u užem smislu ovisi samo o cijeni te robe, tj q = q(p). Područje definicije je D(q) = {p : p 0, q(p) 0}. ni račun
11 Primjeri funkcije potražnje, za a, b > q = a p b 2. q = 1 ap+b 3. q = a p2 4. q = b a p b 5. q = a p 2 + c 6. q = ae bp ni račun
12 Granična vrijednost funkcije ili limes funkcije Neka je funkcija f definirana na otvorenom intervalu (a, b) osim eventualno u x 0 (a, b). Postavlja se pitanje koja bi bila prirodna vrijednost funkcije f u x 0. Pogledajmo primjer slijedeće funkcije, f (x) = x 2 1 x 1. Ova funkcija je definirana za sve realne brojeve, osim za x 0 = 1,pa je možemo zapisati f (x) = x + 1, x R \ {1}. Graf ove funkcije su sve točke pravca osim točke (1, 2), G = {(x, x + 1) : x R \ {1}}. ni račun
13 Vidimo da je x 1 = f (x) = x te što je x bliži vrijednosti 1, f (x) je bliži vrijednosti 2, tj. x 1, f (x) 2. Kažemo da je 2 granična vrijednost ili limes funkcije kada se x približava (teži) 1 i pišemo x 2 1 lim x 1 x 1 = 2. ni račun
14 Definicija: Neka je funkcija f definirana na otvorenom intervalu (a, b) osim eventualno u x 0 (a, b). Granična vrijednost ili limes funkcije f u x 0 je L i pišemo ako za ε > 0, δ > 0 takav da lim f (x) = L x x 0 x (a, b) \ {x 0 }, x x 0 < δ = f (x) L < ε. A.L.Cauchy (1821), B.Bolzano(1817) Primjetimo da δ = δ(ε) i x x 0 < δ = x (x 0 δ, x 0 + δ) f (x) L < ε = f (x) (L ε, L + ε). ni račun
15 U našem primjeru to znači f (x) L = x = x 1 < ε pa je δ = ε. Ako uzmemo ε = 0.01 onda imamo x (1 0.01, ) = f (x) = x + 1 (2 0.01, ) Za vježbu: Ako je f (x) = 2x 2 x x odredite limes funkcije kada x 0 po definiciji. ni račun
16 Postupak za limes razlomljene racionalne funkcije Ako je f razlomljena racionalna funkcija f (x) = P n(x) Q m (x) gdje je P n polinom stupnja n, Q m polinom stupnja m i x 0 nultočka oba polinoma dobivamo neodredjeni izraz Računamo lim f (x) = lim x x 0 x x0 f (x 0 ) = 0 0. P n (x) Q m (x) = lim P n (x) : (x x 0 ) x x 0 Q m (x) : (x x 0 ) ni račun
17 i dobivamo ponovo polinome u brojniku i nazivniku sa stupnjem za jedan manjem nego što su bili. Primjer: x 2 5x + 6 lim = lim (x 3) = 1. x 2 x 2 x 2 ni račun
18 Jednostrani limes Možemo promatrati limes funkcije ako x pada prema x 0, približava se vrijednosti x 0 s desna, tj. lim = L. x x 0 + Pretpostavljamo da je funkcija f definirana na otvorenom intervalu (x 0, b). f s desna u x 0 je L ako za ε > 0, δ > 0 takav da iz x > x 0, x x 0 < δ = f (x) L < ε. ni račun
19 ako x raste prema x 0, približava se vrijednosti x 0 s lijeva, tj. lim x x 0 = G. Ako je L = G onda je Primjer: lim = L. x x 0 1 lim x 0+ x = 1 lim x 0 x = ni račun
20 Račun s limesima Ako je lim f (x) = L, lim g(x) = K x x 0 x x0 onda vrijedi lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x) = L + K. x x 0 x x0 x x0 lim (f (x)g(x)) = lim f (x) lim g(x) = LK. x x 0 x x0 x x0 ni račun
21 Ako je K 0, g(x) 0 za x blizu x 0 onda vrijedi lim f (x) f (x) lim x x 0 g(x) = x x0 lim g(x) = L K. x x 0 ni račun
22 lim (f (x)) m = ( lim f (x)) m = L m x x 0 x x0 lim (log x x b f (x)) = log b lim f (x) = log 0 x x0 b L ako x neograničeno raste Definicija : Neka je funkcija f definirana na otvorenom intervalu (a, ). f ako x neograničeno raste je L i pišemo lim f (x) = L x ni račun
23 ako za ε > 0, M > 0 takav da iz x > M = f (x) L < ε. Primjer: Važniji limesi lim x e x = 0 ( lim ) x = e x x sin x lim x 0 x = 1 ni račun
24 Neprekidna funkcija je neprekidna u x 0 (a, b) ako je f : (a, b) R lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 ni račun
25 Derivacija Uvod i motivacija Neka je (a, b) R otvoreni interval i f i g realne funkcije definirane na otvorenom intervalu (a, b), tj. f, g : (a, b) R. Definiramo funkciju h = f g s h(x) = f (x) g(x), x (a, b) ni račun
26 i zovemo je razlika ili diferencija funkcija f i g. U diferencijalnom računu izučavamo može li se funkcija f aproksimirati polinomom n tog stupnja oko točke x = x 0 (a, b). Polinom biramo tako da je ili g(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 f (x 0 ) = g(x 0 ) (1) f (x) g(x)za svako x dovoljno blizux 0 (2) h(x) = f (x) g(x) 0 malo za svako x dovoljno blizu x 0. (3) ni račun
27 Ako su ispunjeni uvjeti (1) i (2) kažemo da je funkcija f lokalno aproksimirana oko x 0 funkcijom g. Prvo ćemo promatrati aproksimaciju funkcije f oko x 0 polinomom prvog stupnja, g(x) = a 1 x + a 0 = kx + l, odnosno lokalnu linearnu aproksimaciju. Matematički pojam koji to omogučuje naziva se derivacija funkcije a postupak traženja derivacije zove se diferenciranje. Dakle, potrebno je odrediti funkciju g(x) = kx + l za koju vrijedi f (x 0 ) = g(x 0 ) = kx 0 + l i f (x) g(x) = kx + l za x x 0. ni račun
28 Vidimo iz Outline f (x) f (x 0 ) g(x) g(x 0 ) = k(x x 0 ), x x 0 proizlazi f (x) f (x 0 ) x x 0 k, x x 0. ni račun
29 Izraz Outline K = f (x) f (x 0) x x 0 naziva se kvocjent diferencija. Pogledajmo sada sliku 1. ni račun
30 Primjetimo da je kvocjent diferencija K = f (x) f (x 0) x x 0 koeficijent smjera sekante krivulje {(x, f (x)) : x (a, b)}. Sekanta je pravac koji prolazi točkama P(x 0, f (x 0 )) i T (x, f (x)). Kada se točka T približava točki P, odnosno kada x x 0 promatramo f (x) f (x 0 ) lim. x x 0 x x 0 ni račun
31 Ako ova granična vrijednost postoji i jednaka je realnom broju k, onda kažemo da funkcija f u točki x 0 ima derivaciju ili da je f diferencijabilna u x 0. Broj f (x) f (x 0 ) k = lim (4) x x0 x x 0 je koeficijent smjera pravca. Pravac prolazi kroz točku P(x 0, f (x 0 )) i s poznatim koeficijentom smjera k danim s (4) jednoznačno je odredjen. Nazivamo ga tangenta krivulje {(x, f (x)) : x (a, b)}. Broj k označavamo f (x 0 ) ili Df (x 0 ) ili df (x 0) ili d dx dx f (x 0) ni račun
32 i nazivamo ga derivacija funkcije f u točki x 0. ni račun
33 Primjer: Neka je f (x) = x 2 i x 0 = 1. Odredimo tangentu parabole {(x, x 2 ) : x R} u točki P(1, f (1)) = (1, 1). Koeficijent smjera dane parabole u točki (1, 1) je f (x) f (x 0 ) f (x) f (1) k = lim = lim = x x0 x x 0 x 1 x 1 x 2 1 = lim x 1 x 1 = lim (x + 1) = 2. x 1 Tangenta parabole f (x) = x 2 u točki P(1, 1) je pravac zadan jednadžbom y = 2x 1, odnosno g(x) = 2x 1 je polinom prvog stupnja za koji vrijedi x 2 2x 1 za x 1. ni račun
34 Provjerimo za neke vrijednosti varijable x u okolini x = 1 x x x ni račun
35 Ako funkcija f u x 0 ima derivaciju f (x 0 ), onda za polinom g(x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) prvog stupnja kažemo da je tangencijalan funkciji f u točki x 0, a pravac y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) je tangenta na krivulju G = {(x, f (x)) : x I } u točki (x 0, f (x 0 )). ni račun
36 Ako je f (x 0 ) 0, normala na krivulju G = {(x, f (x)) : x I } u točki (x 0, f (x 0 )) je pravac y f (x 0 ) = 1 f (x 0 ) (x x 0) ni račun
37 Odredite jednadžbu tangente i normale na krivulju G = {(x, f (x)) : x R}, ako je f (x) = x 3 i x = 1 Prvo ćemo odrediti koeficijent smjera k tangente f (x) f (x 0 ) f (x) f (1) k = lim = lim = x x0 x x 0 x 1 x 1 x 3 1 = lim x 1 x 1 = lim (x 2 + x + 1) = 3. x 1 Kako je P(1, 1) i k = 3, tangenta je pravac zadan jednadžbom Normala je y = 3x 2. y = 1 3 x ni račun
38 Primjer: Odredite jednadžbu tangente i normale na krivulju G = {(x, f (x)) : x R + } ako je f (x) = x i x = 1. Prvo ćemo odrediti koeficijent smjera k tangente f (x) f (x 0 ) k = lim x x0 x x 0 x 1 = lim == lim x 1 x 1 x 1 Jednadžba tangente je y = 1 2 x + 1 2, f (x) f (1) = lim = x 1 x 1 x 1 (x 1)( x + 1) = 1 2. a normale y = 2x + 3. ni račun
39 Neke funkcije nemaju derivaciju u svim točkama u kojima su definirane, pa i ako su u njima neprekidne. Sada ćemo promotriti jednu takvu funkciju, na primjer neka je { x, x 0 f (x) = x = x, x < 0 u x = 0. Pogledajmo graničnu vrijednost s desna f (x) f (0) x lim = lim x 0 + x 0 x 0 + x = lim x x 0 + x = 1. S druge strane granična vrijednost s lijeva je f (x) f (0) x lim = lim x 0 x 0 x 0 x = lim x x 0 x = 1. ni račun
40 Kako je 1 1, granična vrijednost funkcije F (x) = x x kada x 0 ne postoji, pa funkcija f (x) = x nema derivaciju za x = 0. ni račun
41 Teorem: Ako je funkcija f : (a, b) R diferencijabilna u točki x 0 (a, b) onda je ona neprekidna u x 0. Dokaz: Kako je lim x x 0 (f (x) f (x 0 )) = = lim x x0 (f (x) f (x 0 )) x x 0 x x 0 = f (x) f (x 0 ) = lim lim (x x 0 ) = x x0 x x 0 x x0 = f (x 0 ) 0 = 0. ni račun
42 Posljedica ovog teorema je: Ako funkcija ima derivaciju u svakoj točki x (a, b) = I onda je x neprekidna na tom intervalu. ni račun
43 Ako funkcija f, f : (a, b) R, ima derivaciju za svako x 0 (a, b) definiramo novu funkciju x f (x) i f zovemo derivacija funkcije f na (a, b). Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0 (a, b), označavamo je f (x 0 ) i kažemo da je f (x 0 ) druga derivacija funkcije f u x 0. Analogno uvodimo f treću, f IV četvrtu,...,f (n) n-tu derivaciju funkcije f. ni račun
44 Sada ćemo odrediti funkciju f za neke jednostavne funkcije i stoga uvodimo novi zapis derivacije funkcije f u točki x, f (x) = lim x 0 f (x + x) f (x). x Označimo li promjenu funkcije f s y = f (x + x) f (x) imamo f (x) = y lim x 0 x. ni račun
45 Derivacija potencije Ako je f (x) = x, onda Dakle, f (x) = f (x + x) f (x) x + x x lim = lim x 0 x x 0 x x = lim x 0 x = lim 1 = 1 x 0 (x) = 1. = ni račun
46 Ako je f (x) = x 2, onda f (x) = f (x + x) f (x) (x + x) 2 x 2 lim = lim x 0 x x 0 x = Dakle, 2x x + ( x) 2 = lim x 0 x (2x + x) x = lim x 0 x = = lim (2x + x) = 2x. x 0 (x 2 ) = 2x. ni račun
47 Ako je f (x) = x n, n N, onda f (x) = f (x + x) f (x) (x + x) n x n lim = lim x 0 x x 0 x (x + x x)((x + x) n 1 + (x + x) n 2 x + + x n 1 ) = lim = x 0 x x((x + x) n 1 + (x + x) n 2 x + + x n 1 ) = lim = x 0 x = lim x 0 ((x+ x)n 1 +(x+ x) n 2 x+ +(x+ x)x n 2 +x n 1 ) = nx n 1. Dakle, (x n ) = nx n 1. = ni račun
48 Ako je f (x) = x, onda = lim x 0 f f (x + x) f (x) (x) = lim = x 0 x x + x x = lim = x 0 x x + x x x x + x + x x + x + x = x + x x = lim x 0 x( x + x + x) = x = lim x 0 x( x + x + x) = ni račun
49 Dakle, 1 = lim = 1 x 0 x + x + x 2 x = 1 2 x 1 2. ( x) = 1 2 x 1 2. Može se pokazati da općenito vrijedi (x p ) = px p 1. ni račun
50 Derivacija zbroja funkcija Ako je f = u + v tj. f (x) = u(x) + v(x), x (a, b) i u, v funkcije koje na intervalu I imaju poznatu derivaciju u i v, onda je f (x) = (u(x) + v(x)) = f (x + x) f (x) lim = x 0 x u(x + x) + v(x + x) u(x) v(x) lim = x 0 x ni račun
51 Dakle u(x + x) u(x) v(x + x) v(x) = lim + lim = x 0 x x 0 x = u (x) + v (x). (u + v) = u + v. ni račun
52 Derivacija produkta funkcije i konstante Ako je f = Cu tj. f (x) = Cu(x), x (a, b), onda je Naime f (x) = (Cu(x)) = (Cu) = Cu. f (x + x) f (x) lim = x 0 x = lim Cu(x + x) Cu(x) = x x 0 ni račun
53 = C lim x 0 u(x + x) u(x) x = Cu (x). ni račun
54 Derivacija polinoma Ako je n P n (x) = a i x i = a n x n + + a 1 x + a 0 onda je tj. Takodjer vrijedi n P n (x) = i=0 P (i) n i=0 P n(x) = na n x n a 1 P n(x) = n i=1 ia ix i 1. i! (0)x i = P n (0) + P n(0)x + + P(n) n (0) n! ni račun x n
55 što je razvoj polinoma oko nule. Naime, lako vidimo da je a 0 = P n (0) a 1 = P n(0). i!a i = P (i) n (0). n!a n = P (n) n (0) Možemo razviti polinom oko x 0 (što ćemo pokazati kasnije) pa imamo n P n (i) (x 0 ) P n (x) = (x x 0 ) i. i! i=0 ni račun
56 Derivacija produkta Pretpostavimo da je funkcija f produkt dviju funkcija u i v, f = uv tj. f (x) = u(x)v(x), x (a, b) kojima su poznate derivacije u i v pa je Naime (uv) = u v + uv. f = y = f (x + x) f (x) = = u(x + x)v(x + x) u(x)v(x) = = (u(x + x) u(x))v(x + x) + u(x)(v(x + x) v(x)) ni račun
57 Prelazimo sada na slijedeće f (x) = (u(x)v(x)) = y lim x 0 x = u(x + x) u(x) = lim lim v(x + x)+ x 0 x x 0 v(x + x) v(x) +u(x) lim = x 0 x = u (x)v(x) + u(x)v (x). ni račun
58 Derivacija kvocijenta funkcija Ako je f = u v tj. onda je f (x) = u(x), x (a, b), v(x) ( u v ) = u v uv v 2. ni račun
59 Derivacija logaritamske funkcije Ako je f (x) = log b x, onda log b f (x) = f (x + x) f (x) lim = x 0 x log = lim b (x + x) log b x x 0 x lim x 0 = lim x 0 ( 1 + x x 1 x log b x + x x = = ) 1 x = logb e 1 x = 1 x log b e. ni račun
60 Dakle, Outline (log b x) = log b e 1 x = 1 x log b e. Specijalno, ako je b = e, onda (ln x) = 1 x. ni račun
61 Derivacija složene funkcije Neka je funkcija f složena funkcija, f (x) = v(u(x)), te funkcije u i v funkcije kojima su poznate derivacije u i v. Dakle f (x) = v(u(x)) = v(u), u = u(x). Ako se varijabla x promijeni za x, onda će se funkcija u = u(x) promijeniti za u = u(x + x) u(x). Promjena u izaziva promjenu funkcije v = v(u) v = v(u + u) v(u). ni račun
62 Izračunajmo sada derivaciju f. f (x) = f (x + x) f (x) lim = x 0 x v(u(x + x)) v(u(x)) = lim = x 0 x v(u(x) + u)) v(u(x)) = lim x 0 x v(u + u) v(u) = lim x 0 u u u = u x Kako je u neprekidna funkcija, kada x 0 takodjer u 0. ni račun
63 Zato Outline v(u + u) v(u) lim x 0 u v(u + u) v(u) = lim u 0 u u x = u lim x 0 x = = dv du du dx = v (u(x)) u (x). ni račun
64 Dakle, Outline ((v(u(x)) = dv du du dx = v (u) u (x). Ako je f (x) = (u(x)) n = u n, onda je f (x) = v (u)u (x) = nu n 1 u (x). Primjer: Ako je f (x) = (x 2 + 1) 4, onda je f (x) = (v(u)) = (u 4 ) = 4u 3 u (x) = 4(x 2 +1) 3 2x = 8x(x 2 +1) 3. Primjer: Ako je f (x) = 2(x 2 x + 1) 2, onda je f (x) = (v(u)) = (u 2 ) = 4u 3 u (x) = ni račun
65 = 4(x 2 x + 1) 3 2x 1 (2x 1) = 4 (x 2 x + 1) 3. ni račun
66 Sada možemo razviti polinom oko x 0. Naime, ako je P n (x) = b n (x x 0 ) n + + b 1 (x x 0 ) + b 0 onda b 0 = P n (x 0 ) b 1 = P n(x 0 ). i!b i = P (i) n (x 0 ). n!b n = P n (n) (x 0 ) ni račun
67 pa je Outline P n (x) = n i=0 P (i) n (x 0 ) (x x 0 ) i. i! ni račun
68 Derivacija inverzne funkcije g je inverzna funkciji f ako je g(f (x)) = x, x D(f ). Sada je ili odnosno g (f (x))f (x) = 1 g (y) = 1 f (x) f (x) = dy dx, g (y) = dx dy. ni račun
69 Derivacija eksponencijalne funkcije Ako je f (x) = b x, onda je njoj inverzna funkcija g(x) = log b x, pa imamo f (x) = d 1 dx bx = d dy log b y = 1 1 y log b e = y log b e = Dakle, = bx log b e = bx ln b. (b x ) = bx log b e = bx ln b. Specijalno, ako je b = e, onda je (e x ) = e x. ni račun
70 Derivacija trigonometrijskih funkcija Dakle (sin x) = sin(x + x) sin x lim x 0 x 2 cos 2x+ x 2 sin x 2 = lim x 0 x x = lim cos(x + x 0 2 ) lim x 0 (sin x) = cos x. 2 sin x 2 x = = = cos x. ni račun
71 Dakle (cos x) = cos(x + x) cos x lim x 0 x 2 sin 2x+ x 2 sin x 2 = lim x 0 x x = lim sin(x + x 0 2 ) lim x 0 (cos x) = sin x. 2 sin x 2 x = = = sin x. ni račun
72 (tgx) = ( ) sin x = cos x cos x cos x + sin x sin x = cos 2 = 1 x cos 2. ( cos x ) (ctgx) = = sin x sin x sin x cos x cos x = sin 2 = 1 x sin 2. ni račun
73 Derivacija ciklometrijskih funkcija Za funkciju y = arcsin x, x < 1, 1 > inverzna je funkcija x = sin y, y < π 2, π 2 > čiju derivaciju znamo. Stoga je d dx arcsin x = 1 d dy sin y = 1 cos y = 1 1 sin 2 y = = 1 1 x 2 ni račun
74 Za funkciju y = arccos x, x < 1, 1 > inverzna je funkcija x = cos y, y < 0, π > čiju derivaciju znamo. Stoga je d dx arccos x = 1 d dy cos y = 1 sin y = 1 1 cos 2 y = 1 = 1 x 2 ni račun
75 Za funkciju y = arctgx, x <, > inverzna je funkcija x = tgy, y < π 2, π 2 > čiju derivaciju znamo. Stoga je d dx arctgx = 1 d dy tgy = 1 1 cos 2 y = cos 2 y = = tg 2 y = x 2. ni račun
76 Nagib tangente u točki P = (x 0, f (x 0 )) krivulje G = {(x, f (x)) : x (a, b)} funkcije f : (a, b) R je i jednadžba tangenteje k = f (x 0 ) y = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Tangenta u točki P aproksimira krivulju u okolini točke P, to bolje što je točka T = (x, f (x)) bliže točki P, odnosno linearna funkcija g(x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) aproksimira funkciju f u okolini od x 0, dakle f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + r(x) ni račun
77 gdje je r(x) greška aproksimacije i ni račun
78 lim x x 0 Stavimo li uobičajene oznake r(x) x x 0 = 0. y = f (x) f (x 0 ), x = x x 0 imamo Staviti ćemo i izraz y = f (x 0 ) x + r(x). x = dx dy = f (x 0 )dx ni račun
79 zovemo diferencijal funkcije f u x 0. Ekvivalentno, dy je prirast tangente (tangenta je kroz P = (x 0, f (x 0 )) grafa G) u točki T = (x, f (x)). ni račun
80 Primjer: Koristeći se aproksimacijom oko x 0 = 9, izračunajte 10 i 8. Funkciju f (x) = x aproksimiramo linearnom funkcijom oko x 0 = 9 i dobivamo f (x) = f (9) + f (9)(x 9) + r(x) ili f (x) = (x 9) + r(x) 6 odnosno 1 10 = 3 + (10 9) + r(10) = 3, r(x) 6 ni račun
81 Kako je 10 = 3, možemo izračunati i grešku aproksimacije. Analogno 1 8 = 3 + (8 9) + r(8) = 2, r(x) 6 i zbog 8 = 2, vidimo kolika je točnost dobivenog računa. ni račun
82 funkcije y = f (x) u x je dy = f (x)dx ili te vrijedi dy = y dx y dy. ni račun
83 Teorem o srednjoj vrijednosti: Neka je f neprekidna funkcija na [a, b] i derivabilna na otvorenom intervalu (a, b). Tada postoji barem jedan c (a, b) takav da vrijedi f (c) = f (b) f (a). b a Lagrange ( ) je pokazao da postoji točka (c, f (c)), c (a, b) krivulje G = {(x, f (x)) : x D(f )} u kojoj je tangenta paralelna sekanti kroz točke (a, f (a)) i (b, f (b)) ili ekvivalentno, postoji 0 < ϑ < 1 takav da je f (b) f (a) = f (a + ϑ(b a))(b a) ni račun
84 Pišemo li a = x 0 i b = x, dobivamo f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 + ϑ(x x 0 ))(x x 0 ). Posljedice teorema o srednjoj vrijednosti; 1. Neka je f (x) = 0, x [a, b]. Onda je f (x) = const. 2. Neka je f 1 (x) = f 2 (x), x [a, b]. Onda je f 2 (x) = f 1 (x) + const. 3. Cauchyjeva formula ni račun
85 Neka su f 1, f 2 neprekidne funkcije na intervalu [a, b] i postoje derivacije f 1, f 2 na otvorenom intervalu < a, b >, te f 1 (x) 0 za svako x < a, b >. Onda postoji c < a, b > takav da vrijedi f 2 (b) f 2 (a) f 1 (b) f 1 (a) = f 2 (c) f 1 (c). ni račun
86 4. L Hospitalovo pravilo Neka su f 1, f 2 neprekidne funkcije na intervalu [a, b], f 1 (x 0 ) = 0, f 2 (x 0 ) = 0 za neko x 0 (a, b), postoje derivacije f 1 (x), f 2 (x) 0 za svako x (x 0 δ, x 0 + δ). Onda je f 1 (x) lim x x 0 f 2 (x) = lim f x x 0 f 1 (x) 2 (x). ni račun
87 Primjer: Izračunat ćemo Kako je imamo lim x 1 lim x 1 x 4 + x 3 + x 2 + x 4 x 4 + 3x 3 + 2x 2 + x 7. f 1 (1) f 2 (1) = 0 0 x 4 + x 3 + x 2 + x 4 x 4 + 3x 3 + 2x 2 + x 7 = lim 4x 3 + 3x 2 + 2x + 1 x 1 4x 3 + 9x 2 + 4x + 1 = = ni račun
88 L Hospital-ovo pravilo vrijedi i ako je f 1 (x 0 ) f 2 (x 0 ) =. Izračunajmo lim x ln x x 0 ni račun
89 Proširenje teorema o srednjoj vrijednosti je: Teorem: Ako je f : [a, b] R neprekidna na [a, b] i postoji derivacija f funkcije f za svako x [a, b] i druga derivacija f funkcije f za svako x < a, b >, onda postoji ϑ < 0, 1 > takav da vrijedi f (b) = f (a) + f (a)(b a) + f (a + ϑ(b a)) (b a)2. 2 ni račun
90 Dokaz: Konstruiramo pomoćnu funkciju ϕ(x) = f (b) f (x) (b x)f (x) (b x)2 2! za koju je ϕ(b) = 0. konstantu C ćemo odrediti iz pretpostavke da je ϕ(a) = 0 i dobivamo C = 2 f (b) f (a) (b a)f (a) (b a) 2. No kako je ϕ(a) = ϕ(b) = 0 po Rollovom teoremu ili po teoremu o srednjoj vrijednosti postoji c < a, b > takav da je ϕ (c) = 0. No sada je C = f (c) ni račun C
91 i time je teorem dokazan. ni račun
92 Pišemo li a = x 0 i b = x, dobivamo f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 + ϑ(x x 0 )) (x x 0) 2. 2 Primjetimo da smo ovim dobili kako se aproksimira derivabilna funkcija polinomom prvog reda i kako izgleda greška ako funkcija ima drugu derivaciju. Stoga ćemo označiti grešku aproksimacije s R 2 (x x 0 ) = f (x 0 + ϑ(x x 0 )) (x x 0) 2. 2 ni račun
93 Ako funkcija ima dovoljan broj derivacija u okolini točke x 0, onda ćemo funkciju f aproksimirati polinomom P n n-tog stupnja koji ima svojstvo f (x 0 ) = P n (x 0 ) f (x 0 ) = P n(x 0 ). f (n) (x 0 ) = P n (n) (x 0 ) i f (x) P n (x) ni račun
94 za x blizu x 0. Kako je P n (x) = k=0 n k=0 P n (k) (x 0 ) (x x 0) k k! imamo Taylorovu formulu n f (x) = f (k) (x 0 ) (x x 0) k + R n+1 (x x 0 ) k! gdje je R n+1 (x x 0 ) = f (n+1) (x 0 + ϑ(x x 0 )) (x x 0) n+1 Lagrangeov oblik ostatka. ni račun (n + 1)!
95 Ako funkcija f ima derivaciju f (n) za svako n N i lim R n+1 = 0 n imamo Taylorov red ili razvoj funkcije f oko x 0 f (x) = k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0) k. k! ni račun
96 Primjer: Ako je f (x) = e x, onda je f (n) (x) = e x za svako n R. Ako ovu funkciju razvijamo oko x 0 = 0 imamo odnosno e x = n k=0 f (x) = n f (k) (0) x k k! + R n+1(0) k=0 x k k! + R n+1(0) = 1 + x + x x 3 3! + x 4 4! + i R n+1 (0) = f (n+1) x n+1 (ϑx) (n + 1)! = x n+1 e(ϑx) (n + 1)!. ni račun
97 Kako je Outline lim R x n+1 n+1 = lim n n e(ϑx) (n + 1)! = x n+1 e(ϑx) lim n (n + 1)! = 0 Imamo Taylorov razvoj funkcije e x oko nule. Pogledajmo sada kako ćemo izračunati e 0.1. Imamo e Za n = 0 imamo e i R 1 = 0.1e 0.1ϑ. Za n = 1 imamo e i R 2 = e0.1ϑ. Za n = 2 imamo e i R 3 = e0.1ϑ. ni račun
98 Za n = 3 imamo e i R 4 = e0.1ϑ. Za n = 4 imamo e Za n = 5 imamo e Za n = 6 imamo e Možemo takodjer izračunati e razvojem oko nule pa je x = 1 i imamo e ! + 1 2! + 1 3! ! ! = ni račun
99 f raste u točki x 0 ako postoji okolina O(δ) = (x 0 δ, x 0 + δ), δ > 0, točke x 0 takva da vrijedi f (x) < f (x 0 ), x (x 0 δ, x 0 ) f (x 0 ) < f (x), x (x 0, x 0 + δ). Takodjer kažemo da funkcija f prolazi kroz točku x 0 rastući. f pada u točki x 0 ako postoji okolina (x 0 δ, x 0 + δ) točke x 0 takva da vrijedi f (x) > f (x 0 ), x (x 0 δ, x 0 ) f (x 0 ) > f (x), x (x 0, x 0 + δ). ni račun
100 Teorem: Ako je f (x 0 ) > 0, onda funkcija f raste u x 0. Ako je f (x 0 ) < 0, onda funkcija f pada x 0. Dokaz: Ako je f (x 0 ) > 0, onda za x dovoljno blizu x 0 vrijedi f (x) f (x 0 ) x x 0 > 0. Ako je Ako je x > x 0 f (x) > f (x 0 ). x < x 0 f (x) < f (x 0 ). ni račun
101 Primjer: Imamo funkciju Kako prolazi ova funkcija kroz Kako je f (x) = x 3 3x 2 x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 4. f (x) = 3x 2 6x i f ( 1) = 9 > 0 kroz x 1 = 1 prolazi rastući, f (1) = 3 < 0 kroz x 2 = 1 prolazi padajući f (4) = 24 > 0 kroz x 3 = 4 prolazi rastući. ni račun
102 Teorem: Ako je f (x) > 0, x (a, b), onda funkcija f raste na (a, b). Ako je f (x) < 0, x (a, b), onda funkcija f pada na (a, b). Dokaz izvodimo pomoću teorema o srednjoj vrijednosti. Ako je x 1, x 2 (a, b) postoji x (x 1, x 2 ), takav da je f (x) = f (x 2) f (x 1 ) x 1 x 2. Ako je f (x) > 0 onda je za x 2 > x 1 f (x 2 ) > f (x 1 ). Ako je f (x) 0 i f (x) = 0 na konačnom skupu točaka, onda funkcija f raste na intervalu (a, b). ni račun
103 Primjeri: 1.Za f (x) = x 2, f (x) = 2x > 0, x > 0. Za f (x) = x 2, f (x) = 2x < 0, x < Za f (x) = x 2, f (x) = 2x > 0, x < 0. Za f (x) = x 2, f (x) = 2x < 0, x > Za f (x) = x 3, f (x) = 3x 2 > 0, x Za f (x) = x 1 x, f (x) = > 0, funkcija raste x 2 x (, 0), x (0, ). 5. Za f (x) = e x, f (x) = e x > 0, x R. ni račun
104 Neprekidna funkcija f dostiže svoju najveću i najmanju vrijednost na zatvorenom intervalu [a, b], tj. postoji x, x [a, b] takvi da je f (x ) f (x), x [a, b], f ( x) f (x), x [a, b]. Kažemo da je x globalni maksimum funkcije f na intervalu [a, b], a x globalni minimum funkcije f na intervalu [a, b]. Jedno ime za globalni maksimum i globalni minimum je globalni ekstrem. ni račun
105 Definicija: x [a, b] je lokalni maksimum funkcije f ako postoji δ > 0 takav da je f (x ) f (x), x (x δ, x + δ) [a, b]. x [a, b] je lokalni minimum funkcije f ako postoji δ > 0 takav da je f ( x) f (x), x ( x δ, x + δ) [a, b]. Jedno ime za lokalni maksimum i lokalni minimum je lokalni ekstrem. ni račun
106 Teorem: Neka je x (a, b) lokalni ekstrem funkcije f i postoji f (x ). Onda je f (x ) = 0. Dokaz: Ako je x lokalni maksimum, onda postoji okolina (x δ, x + δ) oko točke x takva da za svako x (x δ, x + δ) = O(δ) vrijedi f (x ) f (x). Mi biramo x (x δ, x + δ). Ako je x < x, tj. x (x δ, x ), onda je f (x) f (x ) x x 0 pa je ni račun
107 Ako je x > x, onda je Dakle imamo f (x ) = 0. f (x) f (x ) lim x x x x 0. f (x) f (x ) x x 0 f (x) f (x ) lim x x + x x 0. ni račun
108 Teorem: Ako je funkcije f definirana na intervalu [a, b] i f C 2 (a, b) postoje prva i druga derivacija za neko x, x (a, b) takve da je (i) f (x ) = 0, f (x ) < 0, onda je x lokalni maksimum (ii) f ( x) = 0, f ( x) > 0, onda je x lokalni minimum. ni račun
109 Dokaz: Dokazati ćemo drugu tvrdnju teorema. Prva se dokazuje analogno. Ako je f (x 0 ) > 0 zbog neprekidnosti funkcije f postoje i druge vrijednosti varijable iz neke dovoljno male okoline oko x 0 osim vrijednosti x 0 u kojima je druga derivacija pozitivna. Zato pri korištenju proširenog teorema o srednjoj vrijednosti f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 + ϑ(x x 0 )) (x x 0) 2. 2 biramo x takav da za dobiveni ϑ je f (x 0 + ϑ(x x 0 )) 0. Ako je x = x 0 i f ( x) = 0 imamo f (x) f ( x) za svako x dovoljno blizu x pa je u x dostignut lokalni minimum. Komentirajmo prvu tvrdnju teorema (i) Ako je f (x ) < 0, onda je ni račun
110 za svako x dovoljno blizu x 0 f (x) f (x ) x x = f (x) x x < 0 zbog f (x ) = 0. Za x < x 0 f (x) > 0 pa funkcija f do točke x raste. Za x > x f (x) < 0 pa funkcija f od točke x pada. Dakle, x je lokalni maksimum. Analogno komentiramo (ii). ni račun
111 Takodjer možemo lagano pokazati slijedeće: ako je f ( x) = 0 i f ( x) > 0 onda postoji okolina oko točke x u kojoj je funkcija f konveksna. ni račun
112 Definicija: f : [a, b] R je konveksna ako za svako x 1, x 2 [a, b], x 1 x 2 i α [0, 1] vrijedi f ((1 α)x 1 + αx 2 ) (1 α)f (x 1 ) + αf (x 2 ). Teorem: Ako je funkcija konveksna na [a, b] onda je neprekidna na (a, b). Derivabilna funkcija je konveksna ako i samo ako tangenta u bilo kojoj točki grafa funkcije leži na grafu ili ispod njega. ni račun
113 Teorem: Ako funkcija f ima derivaciju na (a, b), ona je konveksna na intervalu (a, b) ako i samo ako f (x) f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ), x, x 0 < a, b >. Dokaz: Neka je funkcija f konveksna na intervalu (a, b), tj. za svako x 1, x 2 (a, b) i α (0, 1) vrijedi f ((1 α)x 1 + αx 2 ) (1 α)f (x 1 ) + αf (x 2 ). (x 1, f (x 1 ) i Označimo s x 0 = (1 α)x 1 + αx 2 ), gdje je α (0, 1). Možemo onda lako vidjeti da je x 0 x 1 = α(x 2 x 1 ). ni račun
114 Sada imamo f (x 0 ) f (x 1 ) α(f (x 2 ) f (x 1 )). Uz x 1 x 2 pretpostavimo da je x 1 < x 2 a zbog konstrukcije x 0 je To znači da je x 1 < x 0 < x 2. f (x 0 ) f (x 1 ) x 0 x 1 f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1. Ako sada pustimo da x 1 x 0 s lijeve strane dobivamo derivaciju funkcije f u x 0. S desne strane je neprekidna funkcija i dobivamo f (x 0 ) f (x 2) f (x 0 ) x 2 x 0 ni račun
115 odnosno i Outline f (x 2 ) f (x 0 ) + f (x 0 )(x 2 x 0 ). f (x 2 ) f (x 0 ) + f (x 0 )(x 2 x 0 ), x 2, x 0 < a, b >. Prvu nejednakost množimo s (1 α), drugu s α, pa ih potom zbrojimo i dobivamo (1 α)f (x 1 )+αf (x 2 ) f (x 0 )+f (x 0 )((1 α)(x 1 x 0 )+α(x 2 x 0 )) =, = f (x 0 ). ni račun
116 Ako funkcija f ima prvu derivaciju na (a, b) i ona je neprekidna funkcija, te drugu derivaciju na (a, b) i ona je neprekidna na (a, b), kažemo da je ona klase C 2 na (a, b) i pišemo f C 2 (a, b). Teorem: Neka je f C 2 (a, b). Onda je f konveksna ako i samo ako f (x) 0, x (a, b). Takodjer funkcija f C 2 (a, b) je konkavna na (a, b) ako i samo ako je f (x) 0 za svako x (a, b). ni račun
117 Točka infleksije Kažemo da je x 0 točka infleksije funkcije f ako u njoj iz konveksnog prelazi u konkavni ili konkavnog u konveksni oblik. Ako je funkcija f C 2 (a, b) ona u točki x 0 ima točku infleksije ako druga derivacija u x 0 mijenja predznak. Na primjer ako je lijevo od x 0 konveksna, tj. f (x) > 0 za x < x 0, a desno od x 0 konkavna, tj. tj. f (x) < 0 za x > x 0, onda ona ima točku infleksije u x 0. No zbog neprekidnosti druge derivacije f funkcije f mora biti f (x 0 ) = 0. ni račun
118 Teorem: Ako je f C 2 (a, b), x 0 (a, b), f (x 0 ) = 0 i postoji f (x 0 ) 0, onda je u x 0 točka infleksije. Dokaz: Ako je f (x 0 ) = 0 i f (x) < 0, x < x 0 te onda je pa i f (x) > 0, x > x 0 f (x) x x 0 > 0 f (x 0 ) > 0. ni račun
119 Teorem: Ako funkcija f ima sve derivacije u x 0 koje su nam potrebne tj. f C n (a, b) i ako je i f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0 f (n) (x 0 ) 0 onda je za (i) n paran broj i f (n) (x 0 ) > 0 u x 0 strogi lokalni minimum (ii) n paran broj i f (n) (x 0 ) < 0 u x 0 strogi lokalni maksimum (iii) n neparan broj u x 0 točka infleksije. ni račun
120 Komentar: Funkciju aproksimiramo u okolini točke x 0 polinomom n 1 stupnja i kako su otpali mnogi člavovi dobivamo za x blizu x 0 i ϑ (0, 1) f (x) = f (x 0 ) + f (n) (x 0 + ϑ(x x 0 )) (x x 0) n. n! Član f (n) (x 0 + ϑ(x x 0 )) (x x 0) n n! odredjuje ponašanje funkcije u okolini od x 0, njegov predznak i potencija n. Kako smo uzeli samo one vrijednosti varijable x blizu x 0 za koje je n-ta derivacija istog predznaka kao i f (n) (x 0 ) imamo slijedeće : (i) (x x 0 ) n > 0 za svako x x 0 pa je f (x) > f (x 0 ) (ii) (x x 0 ) n < 0 za svako x x 0 pa je f (x) < f (x 0 ) (iii)recimo da je f (n) > 0 onda je (x x 0 ) n > 0 za svako x > x 0 pa ni račun
121 je f (x) > f (x 0 ) desno od x 0 i tu je funkcija konveksna. Lijevo od x 0 funkcija je konkavna i za x < x 0 je f (x) < f (x 0 ). Kroz točku x 0 funkcija prolazi rastući. Analogno ako je n neparan broj i f (n) (x 0 ) < 0 onda funkcija f kroz točku x 0 prolazi padajući i lijevo od te točke je konkavana a desno konveksna. ni račun
122 Pretpostavimo da imamo dvije medjusobno zavisne ekonomske veličine, na primjer potražnju za nekom robom i cijenu te robe. Elastičnost je sposobnost ekonomske veličine da reagira, više ili manje intenzivno, na promjenu neke druge ekonomske veličine o kojoj zavisi. Recimo, ako je q = q(p), p je cijena robe a q količina potražnje koja ovisi o cijeni. Što je relativna promjena funkcije prema relativnoj promjeni varijable veća, to je funkcija elastičnija. Ovo je opisao Marshal 1885 godine u studiju potražnje. je mjera elastičnosti ekonomske veličine y u odnosu na promjenu od x, ili preciznije koeficijent elastičnosti je ni račun
123 omjer relativne promjene od y i x i pišemo ni račun
124 E y,x y y x x za x dovoljno malo. Ako je x x = 1%, onda je E y,x y y 100. Definiramo koeficijent elastičnosti u točki x E y,x = lim x x 0 y y x x = x y dy dx = x y y. ni račun
125 Takodjer Outline E q,p = d(log q) d(log p). ni račun
126 Elastičnost zbroja Ako je y = u + v tj. onda je E y,x = y(x) = u(x) + v(x) x u(x) + v(x) (u (x) + v (x)). ni račun
127 Elastičnost produkta Ako je y = u v tj. onda je E y,x = y(x) = u(x) v(x) x u(x)v(x) (u (x)v(x) + u(x)v (x)) = E u,x + E v,x. ni račun
128 Elastičnost kvocijenta Ako je y = u v tj. onda je y(x) = u(x) v(x) E y,x = xv(x) u(x) u (x)v(x) u(x)v (x) v 2 = E u,x E v,x. (x) ni račun
129 Ako je y(x) = ax n onda je E y,x = n. ni račun
130 Ako je Outline E y,x > 1 kažemo da je y elastična u x. Ako je E y,x < 1 kažemo da je y neelastična u x. Ako je E y,x = 0 kažemo da je y savršeno neelastična u x. Ako je E y,x = ni račun
131 kažemo da je y perfektno elastična u x. Takodjer vrijedi E y,x E x,y = 1. ni račun
132 Primjer: Poznata je funkcija potražnje q neke robe u ovisnosti o cijeni te robe p 32 p q(p) = 2 117, 5. Odredite koeficijent elastičnosti potražnje prema promjeni cijene na razini p = 2NJ i interpretirajte rezultat. Odredite područje elastičnosti te funkcije. Kako je to je p2 E q,p = 32 p 2 E q,2 = 1 7. ni račun
133 Ako cijena s vrijednosti p = 2 raste za 1% i dodje na vrijednost p = 2, 02 količina potražnje će približno pasti za 1 7 % = 0, 24%. Na danoj razini cijene potražnja je neelastična. Sada ćemo odrediti područje elastičnosti. Kao prvo ova funkcija je definirana za p 0 i q(p) 0 tj. D(q) = [0, 32]. No za p > 4, pa je E q,p = p2 32 p 2 > 1 P el = {p D(q) : E q,p > 1} =< 4, 32]. ni račun
134 Ako je Q 0 razina (količina) proizvodnje neke robe, njeni troškovi proizvodnje ovise o razini Q, T = T (Q). troškova je rastuća funkcija, pa je T 0. graničnih (marginalnih) troškova je T = T (Q) = t(q). ni račun
135 Ako je razina prizvodnje Q > 0, onda je funkcija prosječnih troškova A(Q) = T Q = T Q (Q). Za razinu priozvodnje Q = 0, T (0) su fiksni troškovi. Imamo ukupni troškovi= varijabilni troškovi + fiksni troskovi ni račun
136 Primjer: Poznata je funkcija ukupnih troškova T (Q) = Q 3 12Q Q. Ova funkcija je rastuća, jer je T = 3Q 2 24Q + 60 > 0 i ima točku infleksije za Q = 4, T (4) = 112. graničnih troškova je T = 3Q 2 24Q + 60 i ova funkcija dostiže najmanju vrijednost za Q = 4, T (4) = 12. prosječnih troškova je T Q = Q2 12Q + 60 i ona dostiže najmanju vrijednost za Q = 6, T Q (6) = 24. ni račun
137 Primjetimo da na razini proizvodnje Q = 6 funkcije prosječnih i graničnih troškova su jednake. Naime ( T Q ) = 1 Q (T T Q ) = T = T Q. funkcije prosječnih troškova je E T Q,Q = E T,Q 1. ni račun
138 Interpretacija : Na razini proizvodnje Q = 6 E T Q,Q(6) = 0 = E T,Q 1 = T = T Q. Ako na razini Q = 6 proizvodnja raste za 1% tj. naraste na Q = 6.06 prosječni troškovi približno se ne mijenjaju, a ukupni troškovi približno rastu za 1%. Takodjer pa E T,Q = T A = T T Q E T,Q = 1 T = T Q. ni račun
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραVVR,EF Zagreb. November 24, 2009
November 24, 2009 Homogena funkcija Parcijalna elastičnost Eulerov teorem Druge parcijalne derivacije Interpretacija Lagrangeovog množitelja Ako je (x, y) R 2 uredjeni par realnih brojeva, onda je s (x,
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότερα4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότερα4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115
4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115 2 / 115 Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Povijesno su dva po prirodi različita
Διαβάστε περισσότεραDerivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1
Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότερα2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije
Sadržaj REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE 7. Elementarne funkcije....................... 7. Primjeri ekonomskih funkcija.................. 78.3 Limes funkcije........................... 8.4 Neprekidnost
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραGeodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA
Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραOsnovni teoremi diferencijalnog računa
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tena Pavić Osnovni teoremi diferencijalnog računa Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραSadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije
Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije Osnovni teoremi diferencijalnog računa L Hospitalovo pravilo Derivacije višeg reda Derivacija
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότερα2 Elastičnost funkcije Elastičnost funkcija u ekonomiji Formula za koeficijent elastičnosti funkcije zadane algebarski
Sadržaj 1 Diferencijalni račun funkcija više varijabli 2 1.1 Funkcije više varijabli....................... 2 1.1.1 Parcijalni i ukupni prirast funkcije više varijabli.... 3 1.1.2 Parcijalne derivacije...................
Διαβάστε περισσότερα3. DIFERENCIJALNI RAČUN I PRIMJENE
3. DIFERENCIJALNI RAČUN I PRIMJENE 1. DERIVIRANJE Derivacije elementarnih funkcija jedne varijable dane su u tablicama: Pravila deriviranja funkcija jedne varijable su: 1. DERIVIRANJE ZBROJA/RAZLIKE 2.
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραUVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima
UVOD Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima u svrhu lakšeg praćenja i boljeg razumijevanja predavanja iz kolegija matematika. Ovi materijali čine suštinu nastavnog gradiva pa, uz obaveznu literaturu,
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA
5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 8 5 poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA U ovom poglavlju: Derivacija po definiciji, tablica deriviranja Derivacija zbroja, razlike, produkta i kvocijenta
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότερα9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA
9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost
Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ
Διαβάστε περισσότεραUvod u diferencijalni račun
Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je to uopće tangenta?
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότερα1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI
/ 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI 6.. Definicija reda Promatrajmo niz Definicija reda ( ) n 2 :, 2 2 3 2 4 2,... Postupno zbrajajmo elemente niza: = + 2 2 = 5 4 + 2 2 + 3 2 = 49 36 + 2 2 + 3 2 + 4 2 =
Διαβάστε περισσότερα1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable
Sadržaj 1 DIFERENCIJALNI RAČUN 3 1.1 Granična vrijednost i neprekidnost funkcije........... 3 1.2 Derivacija realne funkcije jedne varijable............ 4 1.2.1 Pravila deriviranja....................
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότερα4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije
4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga
Διαβάστε περισσότεραx + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x
Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t
Διαβάστε περισσότερα4 Elementarne funkcije
4 Elementarne funkcije 4. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότεραf(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)
Eksponencijalna funkcija (baze a) f() a, a > 0, a domena D(f) R; slika funkcije f(d) (0,+ ); nema nultočaka, jer je a > 0, za sve R; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() a, 0
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότερα3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E
. Funkcije (sa svim korekcijama) 5. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E U ovom poglavlju: Elementarne unkcije Inverzne unkcije elementarnih unkcija Domena složenih unkcija Inverz složenih unkcija Ispitivanje
Διαβάστε περισσότεραRedovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler
Franka Miriam Brückler Redovi funkcija 1 + (x 2) + 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 +... = (x 2)2 2! + (x 2)3 3! + +... = sin(x) + sin(2x) + sin(3x) +... = x n, + + n=1 (x 2) n, n! sin(nx). Redovi funkcija 1 +
Διαβάστε περισσότερα3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije
3 Funkcije 3.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016.
Funkcije Helena Kmetić 6. srpnja 016. Sadržaj 1 Uvod 1.1 Klasifikacija realnih funkcija pomoću grafa............. 3 1. Apsolutna vrijednost i udaljenost.................. 4 Funkcije 6.1 Linearne funkcije...........................
Διαβάστε περισσότεραFunkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne
Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne funkcije Iracionalne funkcije Potencije Eksponencijalne
Διαβάστε περισσότεραMatematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.
Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i
Διαβάστε περισσότεραPRVI IZVOD. f x0 x f x0. y x. ) lim lim ( ) ( ) x. Neka je y f(x) funkcija definisana na intervalu [a,b], x 0
. y PRVI IZVOD Neka je y f() funkcija definisana na intervalu [a,b], 0 unutrašnja tačka tog intervala, Δ ( 0) priraštaj argumenta i Δy odgovarajući priraštaj funkcije. Ako postoji granična vrijednost količnika
Διαβάστε περισσότερα