Diferencijalni račun

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Diferencijalni račun"

Transcript

1 ni račun October 28, 2008 ni račun

2 Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun

3 Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo jedan element y R, onda kažemo da je definirana ili zadana funkcija f sa skupa X u R. Funkcije označavamo slovima f, g, h, F, G,... i pišemo f : X R da bi označili da postupkom f skup X preslikavamo u skup R. Još pišemo y = f (x) ili x y = f (x) ni račun

4 Skup X zovemo područje definicije ili domena funkcije f i označavamo ga još s D(f ). Kažemo da je y = f (x) slika od x pri preslikavanju f a x je original od y = f (x). Element x X zovemo nezavisna varijabla ili argument, a y zavisna varijabla. Skup f (X ) = {f (x) : x X } svih slika elemenata x zove se slika skupa X pri preslikavanju f i označava se još R(f ). Vrijedi R(f ) R. Funkcije mogu biti dane formulom, tabelarno i grafički. ni račun

5 Funkcije zadane formulom Promatramo funkcije zadane analitički- formulom ili postupkom računanja. Ovdje područje definicije odredit ćemo na slijedeći način: X = D(f ) su svi realni brojevi za koje se nakon naznačenih operacija dobiva realan broj. Takvo područje definicije zovemo prirodno područje definicije. 1. f (x) = x 2 7x g(x) = 1 x 8 3. h(x) = 1 x. Primjer: Odredite područje definicije Odgovori ni račun

6 1. D(f ) = R 2. D(g) = R \ {8} 3. D(h) = (, 1] može biti zadana s više formula, na primjer { x, x 0 x = x, x < 0 ni račun

7 Graf funkcije Graf funkcije je skup G = {(x, y) : y = f (x), x D(x)} R 2 Graf realne funkcije jedne varijable je krivulja u ravnini. No, nije svaka krivulja u ravnini graf funkcije. Graf funkcije y = ax + b za parametre a, b R je pravac u ravnini. Graf funkcije y = ax 2 + bx + c za parametre a, b, c R, a 0 je parabola u ravnini. Graf funkcije y = ax+b cx+d za parametre a, b, c, d R, c 0 i a 0 ili b 0 je hiperbola u ravnini. f je parna, ako je ni račun

8 x D(f ) = x D(f ) i f (x) = f ( x), x D(f ). f je neparna, ako je x D(f ) = x D(f ) i f (x) = f ( x), x D(f ). ni račun

9 Monotone funkcije je monotona na X ako raste ili pada na X. f raste na X ako (x 1, x 2 X, x 1 > x 2 ) = (f (x 1 ) f (x 2 )). f pada na X ako (x 1, x 2 X, x 1 > x 2 ) = (f (x 1 ) f (x 2 )). ni račun

10 potražnje potražnje q za nekom robom ovisi o cijeni te robe p 1, o cijenama nekih drugih roba (konkurentnih ili komplementarnih) p 2,..., p n, o dohotku potrošača k i trenutku t razmatranja. potražnje u užem smislu ovisi samo o cijeni te robe, tj q = q(p). Područje definicije je D(q) = {p : p 0, q(p) 0}. ni račun

11 Primjeri funkcije potražnje, za a, b > q = a p b 2. q = 1 ap+b 3. q = a p2 4. q = b a p b 5. q = a p 2 + c 6. q = ae bp ni račun

12 Granična vrijednost funkcije ili limes funkcije Neka je funkcija f definirana na otvorenom intervalu (a, b) osim eventualno u x 0 (a, b). Postavlja se pitanje koja bi bila prirodna vrijednost funkcije f u x 0. Pogledajmo primjer slijedeće funkcije, f (x) = x 2 1 x 1. Ova funkcija je definirana za sve realne brojeve, osim za x 0 = 1,pa je možemo zapisati f (x) = x + 1, x R \ {1}. Graf ove funkcije su sve točke pravca osim točke (1, 2), G = {(x, x + 1) : x R \ {1}}. ni račun

13 Vidimo da je x 1 = f (x) = x te što je x bliži vrijednosti 1, f (x) je bliži vrijednosti 2, tj. x 1, f (x) 2. Kažemo da je 2 granična vrijednost ili limes funkcije kada se x približava (teži) 1 i pišemo x 2 1 lim x 1 x 1 = 2. ni račun

14 Definicija: Neka je funkcija f definirana na otvorenom intervalu (a, b) osim eventualno u x 0 (a, b). Granična vrijednost ili limes funkcije f u x 0 je L i pišemo ako za ε > 0, δ > 0 takav da lim f (x) = L x x 0 x (a, b) \ {x 0 }, x x 0 < δ = f (x) L < ε. A.L.Cauchy (1821), B.Bolzano(1817) Primjetimo da δ = δ(ε) i x x 0 < δ = x (x 0 δ, x 0 + δ) f (x) L < ε = f (x) (L ε, L + ε). ni račun

15 U našem primjeru to znači f (x) L = x = x 1 < ε pa je δ = ε. Ako uzmemo ε = 0.01 onda imamo x (1 0.01, ) = f (x) = x + 1 (2 0.01, ) Za vježbu: Ako je f (x) = 2x 2 x x odredite limes funkcije kada x 0 po definiciji. ni račun

16 Postupak za limes razlomljene racionalne funkcije Ako je f razlomljena racionalna funkcija f (x) = P n(x) Q m (x) gdje je P n polinom stupnja n, Q m polinom stupnja m i x 0 nultočka oba polinoma dobivamo neodredjeni izraz Računamo lim f (x) = lim x x 0 x x0 f (x 0 ) = 0 0. P n (x) Q m (x) = lim P n (x) : (x x 0 ) x x 0 Q m (x) : (x x 0 ) ni račun

17 i dobivamo ponovo polinome u brojniku i nazivniku sa stupnjem za jedan manjem nego što su bili. Primjer: x 2 5x + 6 lim = lim (x 3) = 1. x 2 x 2 x 2 ni račun

18 Jednostrani limes Možemo promatrati limes funkcije ako x pada prema x 0, približava se vrijednosti x 0 s desna, tj. lim = L. x x 0 + Pretpostavljamo da je funkcija f definirana na otvorenom intervalu (x 0, b). f s desna u x 0 je L ako za ε > 0, δ > 0 takav da iz x > x 0, x x 0 < δ = f (x) L < ε. ni račun

19 ako x raste prema x 0, približava se vrijednosti x 0 s lijeva, tj. lim x x 0 = G. Ako je L = G onda je Primjer: lim = L. x x 0 1 lim x 0+ x = 1 lim x 0 x = ni račun

20 Račun s limesima Ako je lim f (x) = L, lim g(x) = K x x 0 x x0 onda vrijedi lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x) = L + K. x x 0 x x0 x x0 lim (f (x)g(x)) = lim f (x) lim g(x) = LK. x x 0 x x0 x x0 ni račun

21 Ako je K 0, g(x) 0 za x blizu x 0 onda vrijedi lim f (x) f (x) lim x x 0 g(x) = x x0 lim g(x) = L K. x x 0 ni račun

22 lim (f (x)) m = ( lim f (x)) m = L m x x 0 x x0 lim (log x x b f (x)) = log b lim f (x) = log 0 x x0 b L ako x neograničeno raste Definicija : Neka je funkcija f definirana na otvorenom intervalu (a, ). f ako x neograničeno raste je L i pišemo lim f (x) = L x ni račun

23 ako za ε > 0, M > 0 takav da iz x > M = f (x) L < ε. Primjer: Važniji limesi lim x e x = 0 ( lim ) x = e x x sin x lim x 0 x = 1 ni račun

24 Neprekidna funkcija je neprekidna u x 0 (a, b) ako je f : (a, b) R lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 ni račun

25 Derivacija Uvod i motivacija Neka je (a, b) R otvoreni interval i f i g realne funkcije definirane na otvorenom intervalu (a, b), tj. f, g : (a, b) R. Definiramo funkciju h = f g s h(x) = f (x) g(x), x (a, b) ni račun

26 i zovemo je razlika ili diferencija funkcija f i g. U diferencijalnom računu izučavamo može li se funkcija f aproksimirati polinomom n tog stupnja oko točke x = x 0 (a, b). Polinom biramo tako da je ili g(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 f (x 0 ) = g(x 0 ) (1) f (x) g(x)za svako x dovoljno blizux 0 (2) h(x) = f (x) g(x) 0 malo za svako x dovoljno blizu x 0. (3) ni račun

27 Ako su ispunjeni uvjeti (1) i (2) kažemo da je funkcija f lokalno aproksimirana oko x 0 funkcijom g. Prvo ćemo promatrati aproksimaciju funkcije f oko x 0 polinomom prvog stupnja, g(x) = a 1 x + a 0 = kx + l, odnosno lokalnu linearnu aproksimaciju. Matematički pojam koji to omogučuje naziva se derivacija funkcije a postupak traženja derivacije zove se diferenciranje. Dakle, potrebno je odrediti funkciju g(x) = kx + l za koju vrijedi f (x 0 ) = g(x 0 ) = kx 0 + l i f (x) g(x) = kx + l za x x 0. ni račun

28 Vidimo iz Outline f (x) f (x 0 ) g(x) g(x 0 ) = k(x x 0 ), x x 0 proizlazi f (x) f (x 0 ) x x 0 k, x x 0. ni račun

29 Izraz Outline K = f (x) f (x 0) x x 0 naziva se kvocjent diferencija. Pogledajmo sada sliku 1. ni račun

30 Primjetimo da je kvocjent diferencija K = f (x) f (x 0) x x 0 koeficijent smjera sekante krivulje {(x, f (x)) : x (a, b)}. Sekanta je pravac koji prolazi točkama P(x 0, f (x 0 )) i T (x, f (x)). Kada se točka T približava točki P, odnosno kada x x 0 promatramo f (x) f (x 0 ) lim. x x 0 x x 0 ni račun

31 Ako ova granična vrijednost postoji i jednaka je realnom broju k, onda kažemo da funkcija f u točki x 0 ima derivaciju ili da je f diferencijabilna u x 0. Broj f (x) f (x 0 ) k = lim (4) x x0 x x 0 je koeficijent smjera pravca. Pravac prolazi kroz točku P(x 0, f (x 0 )) i s poznatim koeficijentom smjera k danim s (4) jednoznačno je odredjen. Nazivamo ga tangenta krivulje {(x, f (x)) : x (a, b)}. Broj k označavamo f (x 0 ) ili Df (x 0 ) ili df (x 0) ili d dx dx f (x 0) ni račun

32 i nazivamo ga derivacija funkcije f u točki x 0. ni račun

33 Primjer: Neka je f (x) = x 2 i x 0 = 1. Odredimo tangentu parabole {(x, x 2 ) : x R} u točki P(1, f (1)) = (1, 1). Koeficijent smjera dane parabole u točki (1, 1) je f (x) f (x 0 ) f (x) f (1) k = lim = lim = x x0 x x 0 x 1 x 1 x 2 1 = lim x 1 x 1 = lim (x + 1) = 2. x 1 Tangenta parabole f (x) = x 2 u točki P(1, 1) je pravac zadan jednadžbom y = 2x 1, odnosno g(x) = 2x 1 je polinom prvog stupnja za koji vrijedi x 2 2x 1 za x 1. ni račun

34 Provjerimo za neke vrijednosti varijable x u okolini x = 1 x x x ni račun

35 Ako funkcija f u x 0 ima derivaciju f (x 0 ), onda za polinom g(x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) prvog stupnja kažemo da je tangencijalan funkciji f u točki x 0, a pravac y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) je tangenta na krivulju G = {(x, f (x)) : x I } u točki (x 0, f (x 0 )). ni račun

36 Ako je f (x 0 ) 0, normala na krivulju G = {(x, f (x)) : x I } u točki (x 0, f (x 0 )) je pravac y f (x 0 ) = 1 f (x 0 ) (x x 0) ni račun

37 Odredite jednadžbu tangente i normale na krivulju G = {(x, f (x)) : x R}, ako je f (x) = x 3 i x = 1 Prvo ćemo odrediti koeficijent smjera k tangente f (x) f (x 0 ) f (x) f (1) k = lim = lim = x x0 x x 0 x 1 x 1 x 3 1 = lim x 1 x 1 = lim (x 2 + x + 1) = 3. x 1 Kako je P(1, 1) i k = 3, tangenta je pravac zadan jednadžbom Normala je y = 3x 2. y = 1 3 x ni račun

38 Primjer: Odredite jednadžbu tangente i normale na krivulju G = {(x, f (x)) : x R + } ako je f (x) = x i x = 1. Prvo ćemo odrediti koeficijent smjera k tangente f (x) f (x 0 ) k = lim x x0 x x 0 x 1 = lim == lim x 1 x 1 x 1 Jednadžba tangente je y = 1 2 x + 1 2, f (x) f (1) = lim = x 1 x 1 x 1 (x 1)( x + 1) = 1 2. a normale y = 2x + 3. ni račun

39 Neke funkcije nemaju derivaciju u svim točkama u kojima su definirane, pa i ako su u njima neprekidne. Sada ćemo promotriti jednu takvu funkciju, na primjer neka je { x, x 0 f (x) = x = x, x < 0 u x = 0. Pogledajmo graničnu vrijednost s desna f (x) f (0) x lim = lim x 0 + x 0 x 0 + x = lim x x 0 + x = 1. S druge strane granična vrijednost s lijeva je f (x) f (0) x lim = lim x 0 x 0 x 0 x = lim x x 0 x = 1. ni račun

40 Kako je 1 1, granična vrijednost funkcije F (x) = x x kada x 0 ne postoji, pa funkcija f (x) = x nema derivaciju za x = 0. ni račun

41 Teorem: Ako je funkcija f : (a, b) R diferencijabilna u točki x 0 (a, b) onda je ona neprekidna u x 0. Dokaz: Kako je lim x x 0 (f (x) f (x 0 )) = = lim x x0 (f (x) f (x 0 )) x x 0 x x 0 = f (x) f (x 0 ) = lim lim (x x 0 ) = x x0 x x 0 x x0 = f (x 0 ) 0 = 0. ni račun

42 Posljedica ovog teorema je: Ako funkcija ima derivaciju u svakoj točki x (a, b) = I onda je x neprekidna na tom intervalu. ni račun

43 Ako funkcija f, f : (a, b) R, ima derivaciju za svako x 0 (a, b) definiramo novu funkciju x f (x) i f zovemo derivacija funkcije f na (a, b). Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0 (a, b), označavamo je f (x 0 ) i kažemo da je f (x 0 ) druga derivacija funkcije f u x 0. Analogno uvodimo f treću, f IV četvrtu,...,f (n) n-tu derivaciju funkcije f. ni račun

44 Sada ćemo odrediti funkciju f za neke jednostavne funkcije i stoga uvodimo novi zapis derivacije funkcije f u točki x, f (x) = lim x 0 f (x + x) f (x). x Označimo li promjenu funkcije f s y = f (x + x) f (x) imamo f (x) = y lim x 0 x. ni račun

45 Derivacija potencije Ako je f (x) = x, onda Dakle, f (x) = f (x + x) f (x) x + x x lim = lim x 0 x x 0 x x = lim x 0 x = lim 1 = 1 x 0 (x) = 1. = ni račun

46 Ako je f (x) = x 2, onda f (x) = f (x + x) f (x) (x + x) 2 x 2 lim = lim x 0 x x 0 x = Dakle, 2x x + ( x) 2 = lim x 0 x (2x + x) x = lim x 0 x = = lim (2x + x) = 2x. x 0 (x 2 ) = 2x. ni račun

47 Ako je f (x) = x n, n N, onda f (x) = f (x + x) f (x) (x + x) n x n lim = lim x 0 x x 0 x (x + x x)((x + x) n 1 + (x + x) n 2 x + + x n 1 ) = lim = x 0 x x((x + x) n 1 + (x + x) n 2 x + + x n 1 ) = lim = x 0 x = lim x 0 ((x+ x)n 1 +(x+ x) n 2 x+ +(x+ x)x n 2 +x n 1 ) = nx n 1. Dakle, (x n ) = nx n 1. = ni račun

48 Ako je f (x) = x, onda = lim x 0 f f (x + x) f (x) (x) = lim = x 0 x x + x x = lim = x 0 x x + x x x x + x + x x + x + x = x + x x = lim x 0 x( x + x + x) = x = lim x 0 x( x + x + x) = ni račun

49 Dakle, 1 = lim = 1 x 0 x + x + x 2 x = 1 2 x 1 2. ( x) = 1 2 x 1 2. Može se pokazati da općenito vrijedi (x p ) = px p 1. ni račun

50 Derivacija zbroja funkcija Ako je f = u + v tj. f (x) = u(x) + v(x), x (a, b) i u, v funkcije koje na intervalu I imaju poznatu derivaciju u i v, onda je f (x) = (u(x) + v(x)) = f (x + x) f (x) lim = x 0 x u(x + x) + v(x + x) u(x) v(x) lim = x 0 x ni račun

51 Dakle u(x + x) u(x) v(x + x) v(x) = lim + lim = x 0 x x 0 x = u (x) + v (x). (u + v) = u + v. ni račun

52 Derivacija produkta funkcije i konstante Ako je f = Cu tj. f (x) = Cu(x), x (a, b), onda je Naime f (x) = (Cu(x)) = (Cu) = Cu. f (x + x) f (x) lim = x 0 x = lim Cu(x + x) Cu(x) = x x 0 ni račun

53 = C lim x 0 u(x + x) u(x) x = Cu (x). ni račun

54 Derivacija polinoma Ako je n P n (x) = a i x i = a n x n + + a 1 x + a 0 onda je tj. Takodjer vrijedi n P n (x) = i=0 P (i) n i=0 P n(x) = na n x n a 1 P n(x) = n i=1 ia ix i 1. i! (0)x i = P n (0) + P n(0)x + + P(n) n (0) n! ni račun x n

55 što je razvoj polinoma oko nule. Naime, lako vidimo da je a 0 = P n (0) a 1 = P n(0). i!a i = P (i) n (0). n!a n = P (n) n (0) Možemo razviti polinom oko x 0 (što ćemo pokazati kasnije) pa imamo n P n (i) (x 0 ) P n (x) = (x x 0 ) i. i! i=0 ni račun

56 Derivacija produkta Pretpostavimo da je funkcija f produkt dviju funkcija u i v, f = uv tj. f (x) = u(x)v(x), x (a, b) kojima su poznate derivacije u i v pa je Naime (uv) = u v + uv. f = y = f (x + x) f (x) = = u(x + x)v(x + x) u(x)v(x) = = (u(x + x) u(x))v(x + x) + u(x)(v(x + x) v(x)) ni račun

57 Prelazimo sada na slijedeće f (x) = (u(x)v(x)) = y lim x 0 x = u(x + x) u(x) = lim lim v(x + x)+ x 0 x x 0 v(x + x) v(x) +u(x) lim = x 0 x = u (x)v(x) + u(x)v (x). ni račun

58 Derivacija kvocijenta funkcija Ako je f = u v tj. onda je f (x) = u(x), x (a, b), v(x) ( u v ) = u v uv v 2. ni račun

59 Derivacija logaritamske funkcije Ako je f (x) = log b x, onda log b f (x) = f (x + x) f (x) lim = x 0 x log = lim b (x + x) log b x x 0 x lim x 0 = lim x 0 ( 1 + x x 1 x log b x + x x = = ) 1 x = logb e 1 x = 1 x log b e. ni račun

60 Dakle, Outline (log b x) = log b e 1 x = 1 x log b e. Specijalno, ako je b = e, onda (ln x) = 1 x. ni račun

61 Derivacija složene funkcije Neka je funkcija f složena funkcija, f (x) = v(u(x)), te funkcije u i v funkcije kojima su poznate derivacije u i v. Dakle f (x) = v(u(x)) = v(u), u = u(x). Ako se varijabla x promijeni za x, onda će se funkcija u = u(x) promijeniti za u = u(x + x) u(x). Promjena u izaziva promjenu funkcije v = v(u) v = v(u + u) v(u). ni račun

62 Izračunajmo sada derivaciju f. f (x) = f (x + x) f (x) lim = x 0 x v(u(x + x)) v(u(x)) = lim = x 0 x v(u(x) + u)) v(u(x)) = lim x 0 x v(u + u) v(u) = lim x 0 u u u = u x Kako je u neprekidna funkcija, kada x 0 takodjer u 0. ni račun

63 Zato Outline v(u + u) v(u) lim x 0 u v(u + u) v(u) = lim u 0 u u x = u lim x 0 x = = dv du du dx = v (u(x)) u (x). ni račun

64 Dakle, Outline ((v(u(x)) = dv du du dx = v (u) u (x). Ako je f (x) = (u(x)) n = u n, onda je f (x) = v (u)u (x) = nu n 1 u (x). Primjer: Ako je f (x) = (x 2 + 1) 4, onda je f (x) = (v(u)) = (u 4 ) = 4u 3 u (x) = 4(x 2 +1) 3 2x = 8x(x 2 +1) 3. Primjer: Ako je f (x) = 2(x 2 x + 1) 2, onda je f (x) = (v(u)) = (u 2 ) = 4u 3 u (x) = ni račun

65 = 4(x 2 x + 1) 3 2x 1 (2x 1) = 4 (x 2 x + 1) 3. ni račun

66 Sada možemo razviti polinom oko x 0. Naime, ako je P n (x) = b n (x x 0 ) n + + b 1 (x x 0 ) + b 0 onda b 0 = P n (x 0 ) b 1 = P n(x 0 ). i!b i = P (i) n (x 0 ). n!b n = P n (n) (x 0 ) ni račun

67 pa je Outline P n (x) = n i=0 P (i) n (x 0 ) (x x 0 ) i. i! ni račun

68 Derivacija inverzne funkcije g je inverzna funkciji f ako je g(f (x)) = x, x D(f ). Sada je ili odnosno g (f (x))f (x) = 1 g (y) = 1 f (x) f (x) = dy dx, g (y) = dx dy. ni račun

69 Derivacija eksponencijalne funkcije Ako je f (x) = b x, onda je njoj inverzna funkcija g(x) = log b x, pa imamo f (x) = d 1 dx bx = d dy log b y = 1 1 y log b e = y log b e = Dakle, = bx log b e = bx ln b. (b x ) = bx log b e = bx ln b. Specijalno, ako je b = e, onda je (e x ) = e x. ni račun

70 Derivacija trigonometrijskih funkcija Dakle (sin x) = sin(x + x) sin x lim x 0 x 2 cos 2x+ x 2 sin x 2 = lim x 0 x x = lim cos(x + x 0 2 ) lim x 0 (sin x) = cos x. 2 sin x 2 x = = = cos x. ni račun

71 Dakle (cos x) = cos(x + x) cos x lim x 0 x 2 sin 2x+ x 2 sin x 2 = lim x 0 x x = lim sin(x + x 0 2 ) lim x 0 (cos x) = sin x. 2 sin x 2 x = = = sin x. ni račun

72 (tgx) = ( ) sin x = cos x cos x cos x + sin x sin x = cos 2 = 1 x cos 2. ( cos x ) (ctgx) = = sin x sin x sin x cos x cos x = sin 2 = 1 x sin 2. ni račun

73 Derivacija ciklometrijskih funkcija Za funkciju y = arcsin x, x < 1, 1 > inverzna je funkcija x = sin y, y < π 2, π 2 > čiju derivaciju znamo. Stoga je d dx arcsin x = 1 d dy sin y = 1 cos y = 1 1 sin 2 y = = 1 1 x 2 ni račun

74 Za funkciju y = arccos x, x < 1, 1 > inverzna je funkcija x = cos y, y < 0, π > čiju derivaciju znamo. Stoga je d dx arccos x = 1 d dy cos y = 1 sin y = 1 1 cos 2 y = 1 = 1 x 2 ni račun

75 Za funkciju y = arctgx, x <, > inverzna je funkcija x = tgy, y < π 2, π 2 > čiju derivaciju znamo. Stoga je d dx arctgx = 1 d dy tgy = 1 1 cos 2 y = cos 2 y = = tg 2 y = x 2. ni račun

76 Nagib tangente u točki P = (x 0, f (x 0 )) krivulje G = {(x, f (x)) : x (a, b)} funkcije f : (a, b) R je i jednadžba tangenteje k = f (x 0 ) y = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Tangenta u točki P aproksimira krivulju u okolini točke P, to bolje što je točka T = (x, f (x)) bliže točki P, odnosno linearna funkcija g(x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) aproksimira funkciju f u okolini od x 0, dakle f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + r(x) ni račun

77 gdje je r(x) greška aproksimacije i ni račun

78 lim x x 0 Stavimo li uobičajene oznake r(x) x x 0 = 0. y = f (x) f (x 0 ), x = x x 0 imamo Staviti ćemo i izraz y = f (x 0 ) x + r(x). x = dx dy = f (x 0 )dx ni račun

79 zovemo diferencijal funkcije f u x 0. Ekvivalentno, dy je prirast tangente (tangenta je kroz P = (x 0, f (x 0 )) grafa G) u točki T = (x, f (x)). ni račun

80 Primjer: Koristeći se aproksimacijom oko x 0 = 9, izračunajte 10 i 8. Funkciju f (x) = x aproksimiramo linearnom funkcijom oko x 0 = 9 i dobivamo f (x) = f (9) + f (9)(x 9) + r(x) ili f (x) = (x 9) + r(x) 6 odnosno 1 10 = 3 + (10 9) + r(10) = 3, r(x) 6 ni račun

81 Kako je 10 = 3, možemo izračunati i grešku aproksimacije. Analogno 1 8 = 3 + (8 9) + r(8) = 2, r(x) 6 i zbog 8 = 2, vidimo kolika je točnost dobivenog računa. ni račun

82 funkcije y = f (x) u x je dy = f (x)dx ili te vrijedi dy = y dx y dy. ni račun

83 Teorem o srednjoj vrijednosti: Neka je f neprekidna funkcija na [a, b] i derivabilna na otvorenom intervalu (a, b). Tada postoji barem jedan c (a, b) takav da vrijedi f (c) = f (b) f (a). b a Lagrange ( ) je pokazao da postoji točka (c, f (c)), c (a, b) krivulje G = {(x, f (x)) : x D(f )} u kojoj je tangenta paralelna sekanti kroz točke (a, f (a)) i (b, f (b)) ili ekvivalentno, postoji 0 < ϑ < 1 takav da je f (b) f (a) = f (a + ϑ(b a))(b a) ni račun

84 Pišemo li a = x 0 i b = x, dobivamo f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 + ϑ(x x 0 ))(x x 0 ). Posljedice teorema o srednjoj vrijednosti; 1. Neka je f (x) = 0, x [a, b]. Onda je f (x) = const. 2. Neka je f 1 (x) = f 2 (x), x [a, b]. Onda je f 2 (x) = f 1 (x) + const. 3. Cauchyjeva formula ni račun

85 Neka su f 1, f 2 neprekidne funkcije na intervalu [a, b] i postoje derivacije f 1, f 2 na otvorenom intervalu < a, b >, te f 1 (x) 0 za svako x < a, b >. Onda postoji c < a, b > takav da vrijedi f 2 (b) f 2 (a) f 1 (b) f 1 (a) = f 2 (c) f 1 (c). ni račun

86 4. L Hospitalovo pravilo Neka su f 1, f 2 neprekidne funkcije na intervalu [a, b], f 1 (x 0 ) = 0, f 2 (x 0 ) = 0 za neko x 0 (a, b), postoje derivacije f 1 (x), f 2 (x) 0 za svako x (x 0 δ, x 0 + δ). Onda je f 1 (x) lim x x 0 f 2 (x) = lim f x x 0 f 1 (x) 2 (x). ni račun

87 Primjer: Izračunat ćemo Kako je imamo lim x 1 lim x 1 x 4 + x 3 + x 2 + x 4 x 4 + 3x 3 + 2x 2 + x 7. f 1 (1) f 2 (1) = 0 0 x 4 + x 3 + x 2 + x 4 x 4 + 3x 3 + 2x 2 + x 7 = lim 4x 3 + 3x 2 + 2x + 1 x 1 4x 3 + 9x 2 + 4x + 1 = = ni račun

88 L Hospital-ovo pravilo vrijedi i ako je f 1 (x 0 ) f 2 (x 0 ) =. Izračunajmo lim x ln x x 0 ni račun

89 Proširenje teorema o srednjoj vrijednosti je: Teorem: Ako je f : [a, b] R neprekidna na [a, b] i postoji derivacija f funkcije f za svako x [a, b] i druga derivacija f funkcije f za svako x < a, b >, onda postoji ϑ < 0, 1 > takav da vrijedi f (b) = f (a) + f (a)(b a) + f (a + ϑ(b a)) (b a)2. 2 ni račun

90 Dokaz: Konstruiramo pomoćnu funkciju ϕ(x) = f (b) f (x) (b x)f (x) (b x)2 2! za koju je ϕ(b) = 0. konstantu C ćemo odrediti iz pretpostavke da je ϕ(a) = 0 i dobivamo C = 2 f (b) f (a) (b a)f (a) (b a) 2. No kako je ϕ(a) = ϕ(b) = 0 po Rollovom teoremu ili po teoremu o srednjoj vrijednosti postoji c < a, b > takav da je ϕ (c) = 0. No sada je C = f (c) ni račun C

91 i time je teorem dokazan. ni račun

92 Pišemo li a = x 0 i b = x, dobivamo f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 + ϑ(x x 0 )) (x x 0) 2. 2 Primjetimo da smo ovim dobili kako se aproksimira derivabilna funkcija polinomom prvog reda i kako izgleda greška ako funkcija ima drugu derivaciju. Stoga ćemo označiti grešku aproksimacije s R 2 (x x 0 ) = f (x 0 + ϑ(x x 0 )) (x x 0) 2. 2 ni račun

93 Ako funkcija ima dovoljan broj derivacija u okolini točke x 0, onda ćemo funkciju f aproksimirati polinomom P n n-tog stupnja koji ima svojstvo f (x 0 ) = P n (x 0 ) f (x 0 ) = P n(x 0 ). f (n) (x 0 ) = P n (n) (x 0 ) i f (x) P n (x) ni račun

94 za x blizu x 0. Kako je P n (x) = k=0 n k=0 P n (k) (x 0 ) (x x 0) k k! imamo Taylorovu formulu n f (x) = f (k) (x 0 ) (x x 0) k + R n+1 (x x 0 ) k! gdje je R n+1 (x x 0 ) = f (n+1) (x 0 + ϑ(x x 0 )) (x x 0) n+1 Lagrangeov oblik ostatka. ni račun (n + 1)!

95 Ako funkcija f ima derivaciju f (n) za svako n N i lim R n+1 = 0 n imamo Taylorov red ili razvoj funkcije f oko x 0 f (x) = k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0) k. k! ni račun

96 Primjer: Ako je f (x) = e x, onda je f (n) (x) = e x za svako n R. Ako ovu funkciju razvijamo oko x 0 = 0 imamo odnosno e x = n k=0 f (x) = n f (k) (0) x k k! + R n+1(0) k=0 x k k! + R n+1(0) = 1 + x + x x 3 3! + x 4 4! + i R n+1 (0) = f (n+1) x n+1 (ϑx) (n + 1)! = x n+1 e(ϑx) (n + 1)!. ni račun

97 Kako je Outline lim R x n+1 n+1 = lim n n e(ϑx) (n + 1)! = x n+1 e(ϑx) lim n (n + 1)! = 0 Imamo Taylorov razvoj funkcije e x oko nule. Pogledajmo sada kako ćemo izračunati e 0.1. Imamo e Za n = 0 imamo e i R 1 = 0.1e 0.1ϑ. Za n = 1 imamo e i R 2 = e0.1ϑ. Za n = 2 imamo e i R 3 = e0.1ϑ. ni račun

98 Za n = 3 imamo e i R 4 = e0.1ϑ. Za n = 4 imamo e Za n = 5 imamo e Za n = 6 imamo e Možemo takodjer izračunati e razvojem oko nule pa je x = 1 i imamo e ! + 1 2! + 1 3! ! ! = ni račun

99 f raste u točki x 0 ako postoji okolina O(δ) = (x 0 δ, x 0 + δ), δ > 0, točke x 0 takva da vrijedi f (x) < f (x 0 ), x (x 0 δ, x 0 ) f (x 0 ) < f (x), x (x 0, x 0 + δ). Takodjer kažemo da funkcija f prolazi kroz točku x 0 rastući. f pada u točki x 0 ako postoji okolina (x 0 δ, x 0 + δ) točke x 0 takva da vrijedi f (x) > f (x 0 ), x (x 0 δ, x 0 ) f (x 0 ) > f (x), x (x 0, x 0 + δ). ni račun

100 Teorem: Ako je f (x 0 ) > 0, onda funkcija f raste u x 0. Ako je f (x 0 ) < 0, onda funkcija f pada x 0. Dokaz: Ako je f (x 0 ) > 0, onda za x dovoljno blizu x 0 vrijedi f (x) f (x 0 ) x x 0 > 0. Ako je Ako je x > x 0 f (x) > f (x 0 ). x < x 0 f (x) < f (x 0 ). ni račun

101 Primjer: Imamo funkciju Kako prolazi ova funkcija kroz Kako je f (x) = x 3 3x 2 x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 4. f (x) = 3x 2 6x i f ( 1) = 9 > 0 kroz x 1 = 1 prolazi rastući, f (1) = 3 < 0 kroz x 2 = 1 prolazi padajući f (4) = 24 > 0 kroz x 3 = 4 prolazi rastući. ni račun

102 Teorem: Ako je f (x) > 0, x (a, b), onda funkcija f raste na (a, b). Ako je f (x) < 0, x (a, b), onda funkcija f pada na (a, b). Dokaz izvodimo pomoću teorema o srednjoj vrijednosti. Ako je x 1, x 2 (a, b) postoji x (x 1, x 2 ), takav da je f (x) = f (x 2) f (x 1 ) x 1 x 2. Ako je f (x) > 0 onda je za x 2 > x 1 f (x 2 ) > f (x 1 ). Ako je f (x) 0 i f (x) = 0 na konačnom skupu točaka, onda funkcija f raste na intervalu (a, b). ni račun

103 Primjeri: 1.Za f (x) = x 2, f (x) = 2x > 0, x > 0. Za f (x) = x 2, f (x) = 2x < 0, x < Za f (x) = x 2, f (x) = 2x > 0, x < 0. Za f (x) = x 2, f (x) = 2x < 0, x > Za f (x) = x 3, f (x) = 3x 2 > 0, x Za f (x) = x 1 x, f (x) = > 0, funkcija raste x 2 x (, 0), x (0, ). 5. Za f (x) = e x, f (x) = e x > 0, x R. ni račun

104 Neprekidna funkcija f dostiže svoju najveću i najmanju vrijednost na zatvorenom intervalu [a, b], tj. postoji x, x [a, b] takvi da je f (x ) f (x), x [a, b], f ( x) f (x), x [a, b]. Kažemo da je x globalni maksimum funkcije f na intervalu [a, b], a x globalni minimum funkcije f na intervalu [a, b]. Jedno ime za globalni maksimum i globalni minimum je globalni ekstrem. ni račun

105 Definicija: x [a, b] je lokalni maksimum funkcije f ako postoji δ > 0 takav da je f (x ) f (x), x (x δ, x + δ) [a, b]. x [a, b] je lokalni minimum funkcije f ako postoji δ > 0 takav da je f ( x) f (x), x ( x δ, x + δ) [a, b]. Jedno ime za lokalni maksimum i lokalni minimum je lokalni ekstrem. ni račun

106 Teorem: Neka je x (a, b) lokalni ekstrem funkcije f i postoji f (x ). Onda je f (x ) = 0. Dokaz: Ako je x lokalni maksimum, onda postoji okolina (x δ, x + δ) oko točke x takva da za svako x (x δ, x + δ) = O(δ) vrijedi f (x ) f (x). Mi biramo x (x δ, x + δ). Ako je x < x, tj. x (x δ, x ), onda je f (x) f (x ) x x 0 pa je ni račun

107 Ako je x > x, onda je Dakle imamo f (x ) = 0. f (x) f (x ) lim x x x x 0. f (x) f (x ) x x 0 f (x) f (x ) lim x x + x x 0. ni račun

108 Teorem: Ako je funkcije f definirana na intervalu [a, b] i f C 2 (a, b) postoje prva i druga derivacija za neko x, x (a, b) takve da je (i) f (x ) = 0, f (x ) < 0, onda je x lokalni maksimum (ii) f ( x) = 0, f ( x) > 0, onda je x lokalni minimum. ni račun

109 Dokaz: Dokazati ćemo drugu tvrdnju teorema. Prva se dokazuje analogno. Ako je f (x 0 ) > 0 zbog neprekidnosti funkcije f postoje i druge vrijednosti varijable iz neke dovoljno male okoline oko x 0 osim vrijednosti x 0 u kojima je druga derivacija pozitivna. Zato pri korištenju proširenog teorema o srednjoj vrijednosti f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 + ϑ(x x 0 )) (x x 0) 2. 2 biramo x takav da za dobiveni ϑ je f (x 0 + ϑ(x x 0 )) 0. Ako je x = x 0 i f ( x) = 0 imamo f (x) f ( x) za svako x dovoljno blizu x pa je u x dostignut lokalni minimum. Komentirajmo prvu tvrdnju teorema (i) Ako je f (x ) < 0, onda je ni račun

110 za svako x dovoljno blizu x 0 f (x) f (x ) x x = f (x) x x < 0 zbog f (x ) = 0. Za x < x 0 f (x) > 0 pa funkcija f do točke x raste. Za x > x f (x) < 0 pa funkcija f od točke x pada. Dakle, x je lokalni maksimum. Analogno komentiramo (ii). ni račun

111 Takodjer možemo lagano pokazati slijedeće: ako je f ( x) = 0 i f ( x) > 0 onda postoji okolina oko točke x u kojoj je funkcija f konveksna. ni račun

112 Definicija: f : [a, b] R je konveksna ako za svako x 1, x 2 [a, b], x 1 x 2 i α [0, 1] vrijedi f ((1 α)x 1 + αx 2 ) (1 α)f (x 1 ) + αf (x 2 ). Teorem: Ako je funkcija konveksna na [a, b] onda je neprekidna na (a, b). Derivabilna funkcija je konveksna ako i samo ako tangenta u bilo kojoj točki grafa funkcije leži na grafu ili ispod njega. ni račun

113 Teorem: Ako funkcija f ima derivaciju na (a, b), ona je konveksna na intervalu (a, b) ako i samo ako f (x) f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ), x, x 0 < a, b >. Dokaz: Neka je funkcija f konveksna na intervalu (a, b), tj. za svako x 1, x 2 (a, b) i α (0, 1) vrijedi f ((1 α)x 1 + αx 2 ) (1 α)f (x 1 ) + αf (x 2 ). (x 1, f (x 1 ) i Označimo s x 0 = (1 α)x 1 + αx 2 ), gdje je α (0, 1). Možemo onda lako vidjeti da je x 0 x 1 = α(x 2 x 1 ). ni račun

114 Sada imamo f (x 0 ) f (x 1 ) α(f (x 2 ) f (x 1 )). Uz x 1 x 2 pretpostavimo da je x 1 < x 2 a zbog konstrukcije x 0 je To znači da je x 1 < x 0 < x 2. f (x 0 ) f (x 1 ) x 0 x 1 f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1. Ako sada pustimo da x 1 x 0 s lijeve strane dobivamo derivaciju funkcije f u x 0. S desne strane je neprekidna funkcija i dobivamo f (x 0 ) f (x 2) f (x 0 ) x 2 x 0 ni račun

115 odnosno i Outline f (x 2 ) f (x 0 ) + f (x 0 )(x 2 x 0 ). f (x 2 ) f (x 0 ) + f (x 0 )(x 2 x 0 ), x 2, x 0 < a, b >. Prvu nejednakost množimo s (1 α), drugu s α, pa ih potom zbrojimo i dobivamo (1 α)f (x 1 )+αf (x 2 ) f (x 0 )+f (x 0 )((1 α)(x 1 x 0 )+α(x 2 x 0 )) =, = f (x 0 ). ni račun

116 Ako funkcija f ima prvu derivaciju na (a, b) i ona je neprekidna funkcija, te drugu derivaciju na (a, b) i ona je neprekidna na (a, b), kažemo da je ona klase C 2 na (a, b) i pišemo f C 2 (a, b). Teorem: Neka je f C 2 (a, b). Onda je f konveksna ako i samo ako f (x) 0, x (a, b). Takodjer funkcija f C 2 (a, b) je konkavna na (a, b) ako i samo ako je f (x) 0 za svako x (a, b). ni račun

117 Točka infleksije Kažemo da je x 0 točka infleksije funkcije f ako u njoj iz konveksnog prelazi u konkavni ili konkavnog u konveksni oblik. Ako je funkcija f C 2 (a, b) ona u točki x 0 ima točku infleksije ako druga derivacija u x 0 mijenja predznak. Na primjer ako je lijevo od x 0 konveksna, tj. f (x) > 0 za x < x 0, a desno od x 0 konkavna, tj. tj. f (x) < 0 za x > x 0, onda ona ima točku infleksije u x 0. No zbog neprekidnosti druge derivacije f funkcije f mora biti f (x 0 ) = 0. ni račun

118 Teorem: Ako je f C 2 (a, b), x 0 (a, b), f (x 0 ) = 0 i postoji f (x 0 ) 0, onda je u x 0 točka infleksije. Dokaz: Ako je f (x 0 ) = 0 i f (x) < 0, x < x 0 te onda je pa i f (x) > 0, x > x 0 f (x) x x 0 > 0 f (x 0 ) > 0. ni račun

119 Teorem: Ako funkcija f ima sve derivacije u x 0 koje su nam potrebne tj. f C n (a, b) i ako je i f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0 f (n) (x 0 ) 0 onda je za (i) n paran broj i f (n) (x 0 ) > 0 u x 0 strogi lokalni minimum (ii) n paran broj i f (n) (x 0 ) < 0 u x 0 strogi lokalni maksimum (iii) n neparan broj u x 0 točka infleksije. ni račun

120 Komentar: Funkciju aproksimiramo u okolini točke x 0 polinomom n 1 stupnja i kako su otpali mnogi člavovi dobivamo za x blizu x 0 i ϑ (0, 1) f (x) = f (x 0 ) + f (n) (x 0 + ϑ(x x 0 )) (x x 0) n. n! Član f (n) (x 0 + ϑ(x x 0 )) (x x 0) n n! odredjuje ponašanje funkcije u okolini od x 0, njegov predznak i potencija n. Kako smo uzeli samo one vrijednosti varijable x blizu x 0 za koje je n-ta derivacija istog predznaka kao i f (n) (x 0 ) imamo slijedeće : (i) (x x 0 ) n > 0 za svako x x 0 pa je f (x) > f (x 0 ) (ii) (x x 0 ) n < 0 za svako x x 0 pa je f (x) < f (x 0 ) (iii)recimo da je f (n) > 0 onda je (x x 0 ) n > 0 za svako x > x 0 pa ni račun

121 je f (x) > f (x 0 ) desno od x 0 i tu je funkcija konveksna. Lijevo od x 0 funkcija je konkavna i za x < x 0 je f (x) < f (x 0 ). Kroz točku x 0 funkcija prolazi rastući. Analogno ako je n neparan broj i f (n) (x 0 ) < 0 onda funkcija f kroz točku x 0 prolazi padajući i lijevo od te točke je konkavana a desno konveksna. ni račun

122 Pretpostavimo da imamo dvije medjusobno zavisne ekonomske veličine, na primjer potražnju za nekom robom i cijenu te robe. Elastičnost je sposobnost ekonomske veličine da reagira, više ili manje intenzivno, na promjenu neke druge ekonomske veličine o kojoj zavisi. Recimo, ako je q = q(p), p je cijena robe a q količina potražnje koja ovisi o cijeni. Što je relativna promjena funkcije prema relativnoj promjeni varijable veća, to je funkcija elastičnija. Ovo je opisao Marshal 1885 godine u studiju potražnje. je mjera elastičnosti ekonomske veličine y u odnosu na promjenu od x, ili preciznije koeficijent elastičnosti je ni račun

123 omjer relativne promjene od y i x i pišemo ni račun

124 E y,x y y x x za x dovoljno malo. Ako je x x = 1%, onda je E y,x y y 100. Definiramo koeficijent elastičnosti u točki x E y,x = lim x x 0 y y x x = x y dy dx = x y y. ni račun

125 Takodjer Outline E q,p = d(log q) d(log p). ni račun

126 Elastičnost zbroja Ako je y = u + v tj. onda je E y,x = y(x) = u(x) + v(x) x u(x) + v(x) (u (x) + v (x)). ni račun

127 Elastičnost produkta Ako je y = u v tj. onda je E y,x = y(x) = u(x) v(x) x u(x)v(x) (u (x)v(x) + u(x)v (x)) = E u,x + E v,x. ni račun

128 Elastičnost kvocijenta Ako je y = u v tj. onda je y(x) = u(x) v(x) E y,x = xv(x) u(x) u (x)v(x) u(x)v (x) v 2 = E u,x E v,x. (x) ni račun

129 Ako je y(x) = ax n onda je E y,x = n. ni račun

130 Ako je Outline E y,x > 1 kažemo da je y elastična u x. Ako je E y,x < 1 kažemo da je y neelastična u x. Ako je E y,x = 0 kažemo da je y savršeno neelastična u x. Ako je E y,x = ni račun

131 kažemo da je y perfektno elastična u x. Takodjer vrijedi E y,x E x,y = 1. ni račun

132 Primjer: Poznata je funkcija potražnje q neke robe u ovisnosti o cijeni te robe p 32 p q(p) = 2 117, 5. Odredite koeficijent elastičnosti potražnje prema promjeni cijene na razini p = 2NJ i interpretirajte rezultat. Odredite područje elastičnosti te funkcije. Kako je to je p2 E q,p = 32 p 2 E q,2 = 1 7. ni račun

133 Ako cijena s vrijednosti p = 2 raste za 1% i dodje na vrijednost p = 2, 02 količina potražnje će približno pasti za 1 7 % = 0, 24%. Na danoj razini cijene potražnja je neelastična. Sada ćemo odrediti područje elastičnosti. Kao prvo ova funkcija je definirana za p 0 i q(p) 0 tj. D(q) = [0, 32]. No za p > 4, pa je E q,p = p2 32 p 2 > 1 P el = {p D(q) : E q,p > 1} =< 4, 32]. ni račun

134 Ako je Q 0 razina (količina) proizvodnje neke robe, njeni troškovi proizvodnje ovise o razini Q, T = T (Q). troškova je rastuća funkcija, pa je T 0. graničnih (marginalnih) troškova je T = T (Q) = t(q). ni račun

135 Ako je razina prizvodnje Q > 0, onda je funkcija prosječnih troškova A(Q) = T Q = T Q (Q). Za razinu priozvodnje Q = 0, T (0) su fiksni troškovi. Imamo ukupni troškovi= varijabilni troškovi + fiksni troskovi ni račun

136 Primjer: Poznata je funkcija ukupnih troškova T (Q) = Q 3 12Q Q. Ova funkcija je rastuća, jer je T = 3Q 2 24Q + 60 > 0 i ima točku infleksije za Q = 4, T (4) = 112. graničnih troškova je T = 3Q 2 24Q + 60 i ova funkcija dostiže najmanju vrijednost za Q = 4, T (4) = 12. prosječnih troškova je T Q = Q2 12Q + 60 i ona dostiže najmanju vrijednost za Q = 6, T Q (6) = 24. ni račun

137 Primjetimo da na razini proizvodnje Q = 6 funkcije prosječnih i graničnih troškova su jednake. Naime ( T Q ) = 1 Q (T T Q ) = T = T Q. funkcije prosječnih troškova je E T Q,Q = E T,Q 1. ni račun

138 Interpretacija : Na razini proizvodnje Q = 6 E T Q,Q(6) = 0 = E T,Q 1 = T = T Q. Ako na razini Q = 6 proizvodnja raste za 1% tj. naraste na Q = 6.06 prosječni troškovi približno se ne mijenjaju, a ukupni troškovi približno rastu za 1%. Takodjer pa E T,Q = T A = T T Q E T,Q = 1 T = T Q. ni račun

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009 November 24, 2009 Homogena funkcija Parcijalna elastičnost Eulerov teorem Druge parcijalne derivacije Interpretacija Lagrangeovog množitelja Ako je (x, y) R 2 uredjeni par realnih brojeva, onda je s (x,

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije Sadržaj REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE 7. Elementarne funkcije....................... 7. Primjeri ekonomskih funkcija.................. 78.3 Limes funkcije........................... 8.4 Neprekidnost

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni teoremi diferencijalnog računa

Osnovni teoremi diferencijalnog računa Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tena Pavić Osnovni teoremi diferencijalnog računa Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima UVOD Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima u svrhu lakšeg praćenja i boljeg razumijevanja predavanja iz kolegija matematika. Ovi materijali čine suštinu nastavnog gradiva pa, uz obaveznu literaturu,

Διαβάστε περισσότερα

5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA

5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA 5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 8 5 poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA U ovom poglavlju: Derivacija po definiciji, tablica deriviranja Derivacija zbroja, razlike, produkta i kvocijenta

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016.

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016. Funkcije Helena Kmetić 6. srpnja 016. Sadržaj 1 Uvod 1.1 Klasifikacija realnih funkcija pomoću grafa............. 3 1. Apsolutna vrijednost i udaljenost.................. 4 Funkcije 6.1 Linearne funkcije...........................

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable Sadržaj 1 DIFERENCIJALNI RAČUN 3 1.1 Granična vrijednost i neprekidnost funkcije........... 3 1.2 Derivacija realne funkcije jedne varijable............ 4 1.2.1 Pravila deriviranja....................

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada) Eksponencijalna funkcija (baze a) f() a, a > 0, a domena D(f) R; slika funkcije f(d) (0,+ ); nema nultočaka, jer je a > 0, za sve R; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() a, 0

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne funkcije Iracionalne funkcije Potencije Eksponencijalne

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

3 FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI Homogene funkcije, homogenost Parcijalne derivacije Totalni diferencijal

3 FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI Homogene funkcije, homogenost Parcijalne derivacije Totalni diferencijal Sadržaj 3 FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI 34 3. Homogene funkcije, homogenost................. 34 3.2 Parcijalne derivacije........................ 38 3.3 Totalni diferencijal........................ 40 3.4 Koeficijenti

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim.

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim. 1 Diferencijabilnost 11 Motivacija Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji es f f(x) f(c) (c) x c x c Najbolja linearna aproksimacija funkcije f je funkcija l(x) = f(c)

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010.

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Verba volant, scripta manent. [Riječi odlijeću, pisano ostaje. Ono što se kaže lako je zaboraviti, ali ono što je napisano ne može se poreći.] ( Latinska izreka

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Matematika 1 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Skupovi; brojevi Skupovi osnovni pojam u matematici (ne svodi

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03. UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

( pol funkcije), horizontalna ili kosa.

( pol funkcije), horizontalna ili kosa. 4. ANALIZA TOKA FUNKCIJE, EKSTREMI 4. Opci pojmovi Nultocke funkcije - su tocke u kojima je funkcija jednak nula. Za razlomljenu racionalnu funkciju, je kada je brojnik nula. Polovi funkcije - su tocke

Διαβάστε περισσότερα

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE 9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

1. Topologija na euklidskom prostoru R n

1. Topologija na euklidskom prostoru R n 1 1. Topologija na euklidskom prostoru R n Euklidski prostor R n je okruženje u kojem ćemo izučavati realnu analizu. Kao skup R n se sastoji od svih uredenih n-torki realnih brojeva: R n = {(x 1,...,x

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb Periodične funkcije Branimir Dakić, Zagreb Periodičnost 1 je pojava koju susrećemo na svakom koraku. Periodične su mnoge prirodne pojave, primjerice izmjena dana i noći ili izmjena godišnjih doba, pojava

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012 MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Koordinatni sustav u ravnini. Funkcija

Koordinatni sustav u ravnini. Funkcija Koordinatni sustav u ravnini Koordinatni sustav u ravnini Funkcija 4. 1. Koordinatni sustav u ravnini..................... Uvod U drugom smo poglavlju opisali koordinatni sustav na pravcu. Pridruživanjem

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

y x = k = const, gde je x bilo koja promena veličine x, a y odgovarajuća promena y. Ako je = k za svako x i svako h 0.

y x = k = const, gde je x bilo koja promena veličine x, a y odgovarajuća promena y. Ako je = k za svako x i svako h 0. 73 7 Diferenciranje 7. Marginalna funkcija i izvod Ako su dve veličine, y i x, povezane linearnom funkcijom, y = f(x) = kx + n, onda se y menja ravnomerno u odnosu na x, tj. važi formula (43) y x = k =

Διαβάστε περισσότερα

Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI

Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI Sadrˇzaj Sadrˇzaj DVODIMENZIONALNI. DISKRETNI DVODIMENZIONALNI............................ KONTINUIRANI -dim tko želi znati više.............................. 5. KOVARIJANCA, KORELACIJA, PRAVCI REGRESIJE........

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LIMES NIZOVA LIMES MONOTONIH NIZOVA GEOMETRIJSKOG REDA LIMES FUNKCIJA 1 2.4. LIMES NIZA I TEOREMI O LIMESIMA 2.4.1. Definicija limesa i konvergentnog niza 2.4.1.1 Riješeni

Διαβάστε περισσότερα

UPUTSTVO: Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu

UPUTSTVO: Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu P R I P R E M N I Z A D A C I za DRUGI PARCIJALNI ISPIT IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Š.G. 005 / 006. UPUTSTVO: 1. Za svaki od prva četiri zadatka

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA I & II. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb,

MATEMATIČKA ANALIZA I & II. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb, MATEMATIČKA ANALIZA I & II Boris Guljaš predavanja Zagreb,.9.007. ii Posljednji ispravak: petak, 6. ožujak 009. Uvod Matematička analiza I. & II. su standardni jednosemestralni kolegiji koji se predaju

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 Uvod u numeričku matematiku Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 1 Odjel za matematiku Sveučilište u Rijeci Numerička integracija O problemima integriranja

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. kolokviji. Sadržaj

Matematika 1. kolokviji. Sadržaj Matematika kolokviji Sadržaj. kolokvij, 2..2004.............................................. 2. kolokvij, 2..2004.............................................. 3 2. kolokvij, 7.2.2004..............................................

Διαβάστε περισσότερα