4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115"

Transcript

1 4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115

2 2 / 115 Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Povijesno su dva po prirodi različita problema bila glavna motivacija za razvoj diferencijalnog računa. Jedan od njih je fizikalni problem definiranja pojma brzine. Drugi problem je geometrijske naravi, a odnosi se na pitanje postojanja jedinstvene tangente u nekoj točki grafa Γ f funkcije f.

3 3 / 115 Brzina. Isac Newton ( ) Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Neka je s(t), t 0, funkcija koja mjeri put koji je prošla materijalna točka u vremenskom intervalu [0, t]. Prosječna brzina te materijalne točke u vremenskom intervalu [t 0, t] definira se kao v(t 0, t) = s(t) s(t 0) t t 0. Kako definirati pojam brzine u trenutku t 0.

4 4 / 115 Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente To je nešto što nije moguće mjeriti, jer mi znamo mjeriti prosječnu brzinu na nekom intervalu, a točka predstavlja vremenski interval [t 0, t 0 ] duljine 0. Moguće je promatrati ponašanje prosječne brzine na intervalima oko točke t 0 čija duljina se smanjuje. Taj proces opisujemo pomoću limesa funkcije, tj. možemo reći da je brzina u točki ako taj limes postoji. v(t 0 ) = lim t t0 v(t 0, t) = lim t 0 s(t) s(t 0 ) t t 0,

5 5 / 115 Tangenta. G.W. Leibniz ( ) Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Drugi problem je geometrijske naravi, a odnosi se na pitanje postojanja jedinstvene tangente u nekoj točki grafa Γ f funkcije f.

6 Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente y f d s t f f c 0 c d x Sekanta kroz točke C = (c, f (c)) i D = (d, f (d)) ima koeficijent smjera f (d) f (c) k s =. d c Ako d c, odnosno, ako se točka D po grafu Γ f približava točki C, onda sekanta s postaje tangenta t. 6 / 115

7 7 / 115 Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Dakle, koeficijent smjera sekante prelazi u koeficijent smjera tangente: f (d) f (c) k t = lim. d c d c

8 8 / 115 Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Definicija Kažemo da je funkcija f : I R, diferencijabilna ili derivabilna u točki c otvorenog intervala I R, ako postoji f (x) f (c) lim. x c x c Taj broj zovemo derivacija (izvod) funkcije f u točki c i pišemo Još se koriste oznake Df (c) ili f f (x) f (c) (c) = lim. (1) x c x c df dx (c).

9 9 / 115 Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Kažemo da je f diferencijabilna na intervalu I ako je ona diferencijabilna u svakoj točki iz I. Tada je na I dobro definirana funkcija x f (x) koju prirodno označavamo s f i tako der zovemo derivacija od f na I.

10 10 / 115 Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Ako je f diferencijabilna u nekoj točki c I, onda njenu derivaciju (f ) (c) zovemo druga derivacija od f u c i označavamo s f (c) ili f (2) (c), tj. f f (x) f (c) (c) = lim. x c x c Analogno se definira treća derivacija itd. Općenito, ako postoji n-ta derivacija od f na I, tj. f (n) : I R onda možemo definirati uz uvjet da navedeni limes postoji. f (n+1) f (n) (x) f (n) (c) (c) = lim, x c x c

11 11 / 115 Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Primjer Naći derivaciju konstantne funkcije f (x) = α, x R u točki c R. Rješenje. Vrijedi Dakle, Ponekad to skraćeno pišemo f f (x) f (c) α α (c) = lim = lim x c x c x c x c = 0. f (x) = 0, x R. (α) = 0.

12 12 / 115 Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Primjer Naći derivaciju funkcije f (x) = x, x R u točki c R. Rješenje. Vrijedi f f (x) f (c) x c (c) = lim = lim x c x c x c x c = 1. Dakle, (x) = 1.

13 13 / 115 Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Primjer Naći derivaciju funkcije f (x) = x 2, x R u točki c R. Rješenje. Vrijedi f f (x) f (c) x 2 c 2 (c) = lim = lim x c x c x c x c Dakle, ( x 2) = 2x. = lim (x + c) = 2 c. x c

14 14 / 115 Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Primjer Funkcija f (x) = x, x R, je neprekidna na R, a diferencijabilna na R \ {0}. No, f nije diferencijabilna u 0. Naime, x x lim = 1 i lim x c x x c+ x = 1. lijevi i desni limes kvocijenta diferencija su različiti, pa derivacija ne postoji.

15 15 / 115 Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Teorem (4.1.) Ako je funkcija f : I R diferencijabilna u točki c otvorenog intervala I, onda je f neprekidna u c. Dokaz: Zbog diferencijabilnosti funkcije f u točki c je funkcija f (x) f (c) f ω(x) = (c), za x c x c. 0, za x = c neprekidna u c.

16 16 / 115 Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Naime, ( ) f (x) f (c) lim ω(x) = lim f (c) = 0 = ω(c). x c x c x c Sada je f (x) = f (c) + (f (c) + ω(x))(x c), x I, Funkcija na desnoj strani jednakosti je neprekidna u c = f neprekidna u c. Q.E.D.

17 17 / 115 Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Napomena. Od svih linearnih polinoma, tj. polinoma oblika P(x) = ax + b, polinom P(x) = f (c) (x c) + f (c) najbolje aproksimira funkciju f u okolini točke c. Tvrdnja. Neka je funkcija f : I R diferencijabilna u točki c otvorenog intervala I i neka je g(x) = f (c)(x c) + f (c), x R. Ako je h polinom, st h 1, i h g, onda postoji δ h > 0 tako da vrijedi x I, (0 < x c < δ h ) ( f (x) g(x) < f (x) h(x) ). Drugim riječima, polinom g je me du svim polinomima stupnja 1 lokalno oko c najbolja aproksimacija funkcije f.

18 18 / 115 Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Primjeri računanja pomoću diferencijala Na osnovu prethodne napomene možemo koristiti f (x) f (c) + f (c) (x c), za x c.

19 19 / 115 Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Primjer Približno izračunajte 1 1.1, Rješenje. f (x) = 1 x, f (x) = 1 x 2, c = 1 f (c) = 1, f (c) = 1, f (1.1) f (1) + f (1) (1.1. 1) = = 0.9, f (1.01) f (1) + f (1) ( ) = = = 0.99, f (1.001) f (1) + f (1) ( ) = = =

20 20 / 115 Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Primjer Izračunajte , e 0.2, tg 44 o.

21 21 / 115 Diferencijabilnost i operacije s funkcijama Diferencijabilnost i operacije s funkcijama Teorem (4.3.) Neka su funkcije f, g : I R diferencijabilne u točki c otvorenog intervala I. 1. Funkcija f + g je diferencijabilna u točki c i (f + g) (c) = f (c) + g (c). 2. Funkcija fg je diferencijabilna u točki c i (fg) (c) = f (c)g(c) + f (c)g (c). 3. Ako je funkcija f g definirana na I, onda je i diferencijabilna u točki c i ( ) f (c) = f (c)g(c) f (c)g (c) g g(c) 2.

22 22 / 115 Diferencijabilnost i operacije s funkcijama Dokaz: 1. Za funkciju h = f + g je h(x) h(c) x c = f (x) + g(x) f (c) g(c) x c = = f (x) f (c) x c + g(x) g(c). x c Odatle je h(x) h(c) f (x) f (c) g(x) g(c) lim = lim + lim, x c x c x c x c x c x c = Vrijedi tvrdnja 1.

23 23 / 115 Diferencijabilnost i operacije s funkcijama 2. Za funkciju h = f g je Odatle je h(x) h(c) x c = = f (x)g(x) f (c)g(c) x c f (x) f (c) g(x) g(c) g(x) + f (c). x c x c = h(x) h(c) lim = x c x c = lim x c f (x) f (c) x c lim g(x) + f (c) lim x c x c što zbog neprekidnosti funkcije g u c daje tvrdnju 2. g(x) g(c), x c

24 Diferencijabilnost i operacije s funkcijama 3. Uzmimo prvo h = 1 g pa je h(x) h(c) x c = 1 g(x) 1 g(c) x c Zbog neprekidnosti funkcije g u c slijedi odnosno Sada na funkciju h(x) h(c) lim x c x c h (c) = g(x) g(c) x c = g(c)g(x). = lim x c g(x) g(c) x c g(c) lim x c g(x), ( ) 1 (c) = g (c) g g(c) 2. f g = f 1 g primijenimo pravilo za deriviranje produkta funkcija i dobivamo tvrdnju 3. Q.E.D. 24 / 115

25 25 / 115 Diferencijabilnost i operacije s funkcijama Korolar (4.1.) Neka su funkcije f, g : I R diferencijabilne u točki c otvorenog intervala I. Tada je za sve λ, µ R funkcija λf + µg diferencijabilna u točki c i (λf + µg) (c) = λf (c) + µg (c). Skup svih funkcija s I u R koje su diferencijabilne u točki c je vektorski prostor (uz operacije zbrajanja i množenja sa skalarom definiranim po točkama), a pridruživanje f f (c) je linearan funkcional na tom prostoru.

26 26 / 115 Diferencijabilnost i operacije s funkcijama Dokaz: Uzmimo konstantnu funkciju h(x) = λ, x R. Tada je h (c) = 0 u svakoj točki c R. Sada formula za deriviranje produkta daje (λf ) (c) = (hf ) (c) = h (c)f (c) + h(c)f (c) = = h(c)f (c) = λf (c). Primjenom prethodnog rezultata i formule za deriviranje sume dobivamo tvrdnju korolara. Q.E.D.

27 27 / 115 Diferencijabilnost i operacije s funkcijama Derivacija kompozicije funkcija Teorem (4.4.,Derivacija kompozicije funkcija) Neka su f : I R, g : J R i neka je f (I) J, tj. kompozicija g f : I R je dobro definirana na I. Ako je funkcija f diferencijabilna u točki c I i funkcija g diferencijabilna u točki d = f (c) J, onda je kompozicija g f diferencijabilna u c i vrijedi (g f ) (c) = g (d)f (c).

28 28 / 115 Diferencijabilnost i operacije s funkcijama Dokaz: Definirajmo funkciju ω f (x) f (c) f ω(x) = (c), za x c x c 0, za x = c. Vrijedi: f (x) = f (c) + (f (c) + ω(x))(x c), x I, Neka je ω 1 definirana s g(y) g(d) g (d), za y d ω 1 (x) = y d 0, za y = d, tako da vrijedi g(y) = g(d) + (g (d) + ω 1 (y))(y d), y J.

29 29 / 115 Neka je h = g f, pa je Diferencijabilnost i operacije s funkcijama h(x) = g[f (x)] = g(d) + [g (d) + ω 1 (f (x))][f (x) f (c)], što daje (h(c) = g(d)) h(x) h(c) x c = [g (d) + ω 1 (f (x))] f (x) f (c). x c Zbog neprekidnosti funkcije f u točki c i neprekidnosti ω 1 u d = f (c), funkcija ω 1 f je neprekidna u c i Sada je (ω 1 f )(c) = ω 1 [f (c)] = ω 1 (d) = 0. h h(x) h(c) (c) = lim = lim [g f (x) f (c) (d) + ω 1 (f (x))] lim, x c x c x c x c x c odakle slijedi tvrdnja teorema. Q.E.D.

30 30 / 115 Derivacija inverzne funkcije Diferencijabilnost i operacije s funkcijama Teorem (4.5.,Derivacija inverzne funkcije) Neka je f : I J, I, J R otvoren interval, bijekcija i neka su f i f 1 neprekidne na I, odnosno J. Ako f ima derivaciju u točki c I i ako je f (c) 0, onda je f 1 diferencijabilna u točki d = f (c) i vrijedi (f 1 ) (d) = 1 f (c).

31 31 / 115 Diferencijabilnost i operacije s funkcijama Dokaz: Iz diferencijabilnosti funkcije f u točki c slijedi f (x) f (c) = (x c)[f (c) + ω(x)], gdje je ω funkcija neprekidna u c definirana s: f (x) f (c) f ω(x) = (c), za x c x c 0, za x = c. Stavimo d = f (c) i y = f (x) pa dobivamo Odatle dobivamo y d = [f 1 (y) f 1 (d)][f (c) + ω(f 1 (y))]. f 1 (y) f 1 (d) y d = 1 f (c) + ω(f 1 (y)).

32 Diferencijabilnost i operacije s funkcijama Jer je f 1 neprekidna u d: a ω je neprekidna u c vrijedi To daje jednakost lim f 1 (y) = f 1 (d) = c y d lim ω(f 1 (y)) = ω(f 1 (d)) = ω(c) = 0. y d (f 1 ) f 1 (y) f 1 (d) (d) = lim = 1 y d y d f (c). Q.E.D. Prethodnu formulu često koristimo u obliku (f 1 ) (x) = 1 f (f 1 (x)). 32 / 115

33 33 / 115 Derivacije elementarnih funkcija Potencije i korijeni Derivacije elementarnih funkcija Neka je n N i f (x) = x n, x R. Indukcijom pomoću formule za deriviranje produkta funkcija lako se dobije f (x) = nx n 1, x R. Baza (n = 1): (x 1 ) = 1 = x 1 1.

34 34 / 115 Pretpostavka indukcije: (x n ) = nx n 1. Derivacije elementarnih funkcija Korak indukcije: (x n+1 ) = (x x n ) = = (x) x n + x (x n ) = = 1 x n + x nx n 1 = = (n + 1)x n. Slično, neka je n N i f (x) = x n, x R \ {0}. Iz prethodnog i formule za deriviranje kvocijenta dobijemo (x n ) = ( ) 1 x n = nx n 1 x 2n = nx n 1.

35 35 / 115 Derivacije elementarnih funkcija Za n neparan f 1 : R R ili za n paran f 1 : 0, + 0, + je definirana s f 1 (x) = n x = x 1 n. Tada vrijedi tj. (f 1 ) (x) = 1 f (f 1 (x)) = 1 n( n x) n 1 = 1 ( ) x 1 1 n = n x 1 n 1. nx n 1 n = 1 n x 1 n 1.

36 36 / 115 Derivacije elementarnih funkcija Neka je q Q \ {0} i f : 0, + 0, + definirana s f (x) = x q. Pokažimo da vrijedi formula (x q ) = qx q 1. Naime, za q = m n, m Z i n N je (x m n ) = [(x m ) 1 n ] = = 1 n (x m ) 1 n 1 mx m 1 = = m n x m n m+m 1 = m n x m n 1.

37 37 / 115 Derivacije elementarnih funkcija Trigonometrijske i arcus funkcije Za 0 < x < π 2 vrijedi sin x < x i tg x > x. Odatle, za x π 2, π 2 \ {0} vrijedi nejednakost = lim x 0 sin x x = 1. cos x < sin x x < 1.

38 38 / 115 Derivacije elementarnih funkcija Sada za c R vrijedi sin x sin c x c = x c 2 sin 2 cos x+c 2 x c = sin x c 2 x c 2 cos x + c 2, što daje Odatle je za sin x sin c lim x c x c sin x c 2 x c x c 2 = lim (sin x) = cos x. lim cos x + c x c 2 = cos c.

39 39 / 115 Derivacije elementarnih funkcija Nadalje, iz dobivamo Dakle, cos x = sin(x + π 2 ) (cos x) = cos(x + π ) 1 = sin x. 2 (cos x) = sin x.

40 Derivacije elementarnih funkcija Pomoću formule za deriviranje kvocijenta imamo (tg x) = ( ) sin x = cos x cos x cos x sin x( sin x) cos 2 x = 1 cos 2 x. Analogno slijedi (ctg x) = ( cos x ) = sin x sin x sin x cos x cos x sin 2 x = 1 sin 2 x. (tg x) = 1 cos 2 x, (ctg x) = 1 sin 2 x. 40 / 115

41 41 / 115 Derivacije elementarnih funkcija Za f (x) = Sin x je f 1 (x) = Sin 1 x ( Sin 1 x) = 1 cos(sin 1 x) = 1 1 [sin(sin 1 x)] 2 = 1 1 x 2. Za f (x) = Cos x je f 1 (x) = Cos 1 x (Cos 1 x) = 1 sin(cos 1 x) = 1 1 [cos(cos 1 x)] 2 = 1 1 x 2.

42 Derivacije elementarnih funkcija (Tg 1 x) = 1 1 cos 2 (Tg 1 x) = = [tg (Tg 1 x)] 2 = x 2, (Ctg 1 x) = 1 1 sin 2 (Ctg 1 x) = = = [ctg (Ctg 1 x)] 2 = x / 115

43 43 / 115 Eksponencijalna funkcija Derivacije elementarnih funkcija Vrijedi e x 1 lim = 1. x 0 x Za x 0 definirali smo f 0 (x) = lim n (1 + x n )n. Sada je eksponencijalna funkcija definirana s f (x) = e x = f 0 (x), za x 0 1 f 0 ( x), za x < 0.

44 44 / 115 Derivacije elementarnih funkcija Za x > 0 vrijedi (1 + x n )n 1 = x = 1 [(1 + x n n )n 1 + (1 + x n )n (1 + x ] n ) + 1. Odatle imamo 1 (1 + x n )n 1 x c Prelaskom na limes po n dobivamo ( 1 + x ) n 1 n 1 f 0(x) 1 x f 0 (x). Funkcija f 0 je neprekidna u 0 pa za x 0+ slijedi f 0 (x) 1 1 lim f 0 (0) = 1. x 0+ x

45 45 / 115 Za x < 0 je f (x) = 1, pa je f 0 ( x) Derivacije elementarnih funkcija f (x) 1 x = 1 f 0 ( x) 1 x = 1 f 0 ( x) 1 f 0 ( x). x Sada za x 0 slijedi f (x) 1 lim x 0 x 1 1 f 0 ( x) = lim = x 0 f 0 ( x) x 1 = lim x 0 f 0 ( x) lim f 0 ( x) 1 = x 0 x = 1. Postoje lijevi i desni limes u 0 i jednaki su = postoji limes u 0 i e x 1 lim = 1. x 0 x

46 46 / 115 Derivacije elementarnih funkcija Sada je e x e c lim x c x c = lim e c (e x c 1) = e c e y 1 lim = e c. x c x c y 0 y (e x ) = e x

47 47 / 115 Derivacije elementarnih funkcija Za logaritamsku funkciju f 1 (x) = ln x kao inverznu funkciju od eksponencijalne imamo (ln x) = 1 e ln x = 1, x > 0. x

48 Primjer. Neka je za x 0. f (x) = ln x Derivacije elementarnih funkcija Tada za x > 0 imamo pa je f (x) = ln x, f (x) = 1 x. Za x < 0 je pa je f (x) = ln( x), f (x) = 1 x ( 1) = 1 x. 48 / 115

49 49 / 115 Derivacije elementarnih funkcija Dakle x 0 je (ln x ) = 1 x.

50 50 / 115 Derivacije elementarnih funkcija Primjer Opća eksponencijalna funkcija za x > 0 i α R \ {0} definirana je s x α = e α ln x. Odatle je (x α ) = e α ln x α 1 x = αx α 1.

51 51 / 115 Derivacije elementarnih funkcija Primjer Eksponencijalna funkcija s bazom a > 0 definira se kao a x = e x ln a, x R. Odatle je (a x ) = e x ln a ln a = a x ln a. Njena inverzna funkcija log a x ima derivaciju (log a x) = 1 a log a x ln a = 1 x ln a.

52 52 / 115 Derivacije elementarnih funkcija Hiperbolne i area funkcije (sh x) = ( e x e x ) = 2 = ex + e x 2 = = ch x, x R, (ch x) = ( e x + e x ) = 2 = ex e x 2 = = sh x, x R,

53 Derivacije elementarnih funkcija (th x) = ( ) sh x = ch x = ch2 x sh 2 x (ch x) 2 = = 1 ch 2, x R, x (cth x) = ( ) ch x = sh x = sh2 x ch 2 x (sh x) 2 = = 1 sh 2 x, x R \ {0}, 53 / 115

54 Derivacije elementarnih funkcija (sh 1 x) = = 1 ch(sh 1 x) = (sh(sh 1 x)) 2 = = x 2, (Ch 1 x) = = = 1 sh(ch 1 x) = 1 = (ch(ch 1 x)) x 2 1, 54 / 115

55 Derivacije elementarnih funkcija (th 1 x) = = = (cth 1 x) = = = 1 1 ch 2 (th 1 x) = 1 1 [th(th 1 x)] 2 = 1 1 x 2, 1 1 sh 2 (cth 1 x) = 1 1 [cth(cth 1 x)] 2 = 1 1 x / 115

56 56 / 115 Derivacije elementarnih funkcija Primjer (Logaritamsko deriviranje) Neka su f : I 0, +, g : I R, I R otvoren interval, diferencijabilne funkcije. Tada je i funkcija h : I R, definirana s diferencijabilna. Naime, h(x) = f (x) g(x), x I, ln(h(x)) = g(x) ln(f (x)), pa deriviranjem lijeve i desne strane ove jednakosti imamo: Odatle je h (x) h(x) = g (x) ln(f (x)) + g(x) f (x) f (x). [ h (x) = f (x) g(x) g (x) ln(f (x)) + g(x) f ] (x). f (x)

57 57 / 115 Teoremi srednje vrijednosti i primjene Teoremi srednje vrijednosti i primjene Lema (4.1.) Neka je f : I R, diferencijabilna u točki c otvorenog intervala I R. Ako je f (c) > 0 onda δ > 0 takav da vrijedi x c δ, c = f (x) < f (c), x c, c + δ = f (c) < f (x). Ako je f (c) < 0 onda δ > 0 takav da vrijedi x c δ, c = f (x) > f (c), x c, c + δ = f (c) > f (x).

58 Teoremi srednje vrijednosti i primjene Dokaz: Slično kao u dokazu teorema 4.1, iz diferencijabilnosti funkcije f u c slijedi neprekidnost u c funkcije g : I R definirane s g(x) = { f (x) f (c) x c, za x c f (c), za x = c. Zbog g(c) = f (c) > 0, prema lemi 3.3., δ > 0 takav da x I x c < δ = g(x) 1 g(c) > 0. 2 To daje x c δ, c x c, c + δ f (x) f (c) x c f (x) f (c) x c > 0 f (x) f (c) < 0, > 0 f (x) f (c) > 0. Q.E.D. 58 / 115

59 59 / 115 Teoremi srednje vrijednosti i primjene Definicija Za funkciju f : I R kažemo da u c otvorenog intervala I R ima a) lokalni maksimum f (c), ako δ > 0 takav da x I x c < δ = f (x) f (c), b) strogi lokalni maksimum f (c), ako δ > 0 takav da x I 0 < x c < δ = f (x) < f (c), c) lokalni minimum f (c), ako δ > 0 takav da x I x c < δ = f (x) f (c), d) strogi lokalni minimum f (c), ako δ > 0 takav da x I 0 < x c < δ = f (x) > f (c).

60 60 / 115 Teoremi srednje vrijednosti i primjene Takve točke zovemo točkama lokalnih ekstrema, odnosno, strogih lokalnih ekstrema.

61 61 / 115 Teoremi srednje vrijednosti i primjene Lema (4.2.,Fermat) Neka f : I R u točki c otvorenog intervala I R ima lokalni ekstrem. Ako je f diferencijabilna u c, onda je f (c) = 0. Dokaz: Neka f ima u c lokalni maksimum. Kada bi bilo f (c) > 0 onda bi postojao δ > 0 takav da x c, c + δ = f (c) < f (x), tj. f ne bi imala lokalni maksimum u c. U slučaju f (c) < 0 δ > 0 takav da x c δ, c = f (x) > f (c), pa f opet ne bi imala lokalni maksimum u c. Dakle, mora biti f (c) = 0. Q.E.D.

62 62 / 115 Teoremi srednje vrijednosti i primjene Uvjet da je derivacija u točki jednaka nuli nije dovoljan da bi u toj točki funkcija imala lokalni ekstrem. Točke iz otvorenog intervala u kojima je derivacija jednaka nuli nazivamo stacionarnim točkama. Primjer Za funkciju f (x) = x 3 je f (x) = 3x 2, tj. f (0) = 0, ali f nema lokalni ekstrem u 0 jer je f strogo rastuća na R.

63 Teoremi srednje vrijednosti i primjene Teorem (Rolle) Neka je f : I R, diferencijabilna na otvorenom intervalu I R i neka za a, b I, a < b, vrijedi f (a) = f (b) = 0. Tada c a, b takav da je f (c) = 0. Dokaz: Budući da je funkcija f neprekidna na segmentu [a, b] \ I,onda ona poprima minimum m i maksimum M na tom segmentu (B-W teorem). Ako je m = M onda je f konstantna funkcija na tom segmentu, pa je f (c) = 0, c a, b. Pretpostavimo da je m < M. Onda se barem jedna od tih vrijednosti poprima unutar intervala a, b, i pretpostavimo da je to M, tj. x M a, b, M = f (x M ). Sada prema lemi 4.2 je f (x M ) = 0, tj. c = x M je tražena točka. Q.E.D. 63 / 115

64 64 / 115 Teoremi srednje vrijednosti i primjene Geometrijska interpretacija Rolleovog teorema

65 65 / 115 Teoremi srednje vrijednosti i primjene Geometrijska interpretacija Rolleovog teorema

66 Teoremi srednje vrijednosti i primjene Teorem (4.7.,Lagrange) Neka je f : I R, diferencijabilna na otvorenom intervalu I R i neka su a, b I, a < b. Tada c a, b takav da je f (b) f (a) = f (c)(b a). Dokaz: Neka je funkcija g : I R zadana s g(x) = f (x) f (a) Funkcija g je diferencijabilna na I i f (b) f (a) (x a). b a g (x) = f f (b) f (a) (x), x I. b a Tako der je g(a) = g(b) = 0, pa g zadovoljava sve uvjete Rolleovog teorema, tj. c a, b takva da je 0 = g (c) = f (c) f (b) f (a). b a Q.E.D. 66 / 115

67 67 / 115 Teoremi srednje vrijednosti i primjene Geometrijska interpretacija Lagrangeovog teorema srednje vrijednosti kaže da za svako a, b I i sekantu koja prolazi točkama (a, f (a)) i (b, f (b)) na grafu Γ(f ) funkcije f postoji tangenta s diralištem (c, f (c)) na grafu Γ(f ) koja je paralelna s tom sekantom. Naime, jednakost iz Lagrangeovog teorema može se pisati kao f (c) = f (b) f (a), b a a to je upravo jednakost koeficijenata smjera tangente i sekante.

68 68 / 115 Teoremi srednje vrijednosti i primjene y f b s t f f c f a 0 a c b x

69 69 / 115 Teoremi srednje vrijednosti i primjene Postoji nekoliko sličnih, ali u nekim detaljima različitih, formulacija Lagrangeovog teorema. Ako je f : [a, b] R, onda se pretpostavlja njena neprekidnost na [a, b] i diferencijabilnost na a, b. Tako der, nekada se točka c a, b piše u obliku c = a + σ(b a), σ 0, 1. Sada ćemo dokazati da za funkciju diferencijabilnu na otvorenom intervalu I R, njena derivacija f : I R definirana s (f )(x) = f (x), x I, ne može biti bilo kakva funkcija.

70 70 / 115 Teoremi srednje vrijednosti i primjene Teorem (4.8.) Neka je f : I R diferencijabilna na otvorenom intervalu I R i neka funkcija f : I R ima u točki c I limes slijeva (limes zdesna). Tada je f neprekidna slijeva (zdesna) u c. Dokaz: Neka je x I, x < c, pa po Lagrangeovom teoremu srednje vrijednosti postoji točka c x x, c takva da vrijedi f (x) f (c) = f (c x )(x c). Odatle je f (x) f (c) x c = f (c x ).

71 71 / 115 Teoremi srednje vrijednosti i primjene Po pretpostavci postoji lim x c f (x). No, tada je lim f (x) = lim f (c x ), x c x c odnosno, zbog postojanja f (c) vrijedi lim f f (x) f (c) f (x) f (c) (x) = lim = lim = f (c). x c x c x c x c x c Q.E.D.

72 72 / 115 Teoremi srednje vrijednosti i primjene Korolar (4.2.) Ako realna funkcija f ima derivaciju f na otvorenom intervalu I R, onda funkcija f nema prekida prve vrste na I. Dokaz. Kada bi f imala prekid prve vrste u c tada Postoji limes slijeva od f. Zbog Tm-a je f neprekidna slijeva u c. Postoji limes sdesna od f. Zbog Tm-a je f neprekidna sdesna u c. Neprekidna slijeva i neprekidna sdesna u c = f neprekidna u c. Kontradikcija. Q.E.D.

73 73 / 115 Teoremi srednje vrijednosti i primjene Primjer Derivacija ne treba biti neprekidna funkcija. Neka je f (x) = Ispitajte neprekidnost funkcije f. { x 2 sin 1 x, za x 0, 0, za x = 0. Rješenje. Za x 0 je f (x) = 2 x sin 1 x + x 2 ( 1 x 2 ) cos 1 x = = 2 x sin 1 x cos 1 x.

74 74 / 115 Teoremi srednje vrijednosti i primjene Za x = 0 je f f (x) f (0) (0) = lim = x 0 x 0 x 2 sin 1 x = lim 0 = x 0 x 0 = lim x 0 x 2 sin 1 x x = = lim x 0 x sin 1 x = = 0.

75 75 / 115 Teoremi srednje vrijednosti i primjene ne postoji jer Uočite da je dok ne postoji. lim f (x) x 0 f (x) = 2 x sin 1 x cos 1 x. lim 2 x sin 1 x 0 x = 0 lim x 0 cos 1 x

76 76 / 115 Monotonost i derivacija funkcije Monotonost i derivacija funkcije Teorem (4.9.) Neka je f : I R, diferencijabilna na otvorenom intervalu I R. Funkcija f raste na I ako i samo ako je f (x) 0, x I. Funkcija f pada na I ako i samo ako je f (x) 0, x I. Dokaz: Neka f raste na I, tj. x 1, x 2 I, x 1 < x 2 = f (x 1 ) f (x 2 ). Kada bi postojala točka c I takva da je f (c) < 0, onda bi prema lemi 4.1. postojao δ > 0 takav da vrijedi x c δ, c = f (x) > f (c), a to je u suprotnosti s rastom funkcije. = f (x) 0, x I.

77 77 / 115 Monotonost i derivacija funkcije Neka je f (x) 0, x I. Neka su x 1, x 2 I, x 1 < x 2. Prema Lagrangeovom teoremu srednje vrijednosti x x 1, x 2 tako da je f (x 2 ) f (x 1 ) = f (c)(x 2 x 1 ) 0, tj. f (x 1 ) f (x 2 ). Druga tvrdnja, za padajuću funkciju, dobije se tako da se prva tvrdnja primijeni na funkciju f. Q.E.D.

78 78 / 115 Monotonost i derivacija funkcije Napomena. Uvjet da je f (x) > 0, x I, je dovoljan za strogi rast funkcije f na I, ali taj uvjet nije nužan. To pokazuje primjer funkcije f (x) = x 3, x R. Naime, ta je funkcija strogo rastuća, ali f (0) = 0. Nužan i dovoljan uvjet dan je u sljedećem teoremu. Teorem (4.10.) Neka je f : I R, diferencijabilna na otvorenom intervalu I R i neka je S = {x I; f (x) = 0}. Funkcija f strogo raste (pada) na I ako i samo ako skup S ne sadrži otvoreni interval i f (x) > 0 (f (x) < 0), x I \ S.

79 Monotonost i derivacija funkcije Teorem (4.11.) Neka je f : I R, diferencijabilna na otvorenom intervalu I R. 1. Ako je c I, f (c) = 0 i ako δ > 0, c δ, c + δ I, tako da x c δ, c = f (x) > 0 i x c, c + δ = f (x) < 0, onda f ima u točki c strogi lokalni maksimum. 2. Ako je c I, f (c) = 0 i ako δ > 0, c δ, c + δ I, tako da x c δ, c = f (x) < 0 i x c, c + δ = f (x) > 0, onda f ima u točki c strogi lokalni minimum. Napomena. Teorem kaže da derivacija mijenja predznak u lokalnom ekstremu. 79 / 115

80 80 / 115 Dokaz: 1. Neka je f (c) = 0 i Monotonost i derivacija funkcije x c δ, c = f (x) > 0 i x c, c + δ = f (x) < 0, Prema Lagrangeovom teoremu srednje vrijednosti x c δ, c + δ t izme du c i x tako da vrijedi f (c) f (x) = f (t)(c x). x c δ, c = x < t < c = f (t) > 0 = f (c) f (x) = f (t)(c x) > 0 = f (c) > f (x) x c, c + δ = c < t < x = f (t) < 0 = f (c) f (x) = f (t)(c x) > 0 = f (c) > f (x) Dakle, x c δ, c + δ, x c, je f (x) < f (c), = f u c ima strogi lokalni maksimum. Slučaj 2. slijedi iz 1. zamjenom f s f. Q.E.D.

81 81 / 115 Monotonost i derivacija funkcije Primjer Ispitati lokalne ekstreme i naći intervale monotonosti funkcije f (x) = x 1 + x 2. Rješenje. Funkcije f i f su definirane na R i f (x) = 1 x 2 (1 + x 2 ) 2. Stacionarne točke su x 1 = 1 i x 2 = 1. Zbog f ( 2) < 0 funkcija pada na, 1, zbog f (0) = 1 f raste na 1, 1 i zbog f (2) < 0 f pada na 1, +. Stoga imamo lokalne ekstreme: min( 1, 1 2 ) i max(1, 1 2 )., 1 1, 1 1, f + f

82 82 / 115 Monotonost i derivacija funkcije , 1 1, 1 1, f + f

83 Monotonost i derivacija funkcije Primjer Ispitati lokalne ekstreme i naći intervale monotonosti funkcije f (x) = 1 4 x 4 x 3 2x Rješenje. Funkcije f i f su definirane na R i f (x) = x 3 3x 2 4x = (x 2 3x 4)x. Stacionarne točke su x 1 = 1, x 2 = 0 i x 3 = 4. Vrijednosti derivacije izme du stacionarnih točaka su f ( 2) = 12, f ( 1 2 ) = 9 8, f (1) = 6. Lokalni ekstremi su: min( 1, 1 4 ), max(0, 1), min(4, 31). 83 / 115

84 84 / 115 Monotonost i derivacija funkcije, 1 1, 0 0, 4 4, f + + f

85 85 / 115 Taylorov teorem srednje vrijednosti i primjene Taylorov teorem srednje vrijednosti i primjene Definicija Neka je I R otvoren interval i f : I R ima n-tu derivaciju na I. Za c I polinom T n (x) = f (c) + n k=1 f (k) (c) (x c) k, x R, k! zovemo Taylorov polinom n-tog reda za funkciju f u točki c, a funkciju zovemo n-ti ostatak funkcije f u c. R n (x) = f (x) T n (x), x I,

86 86 / 115 Taylorov teorem srednje vrijednosti i primjene Lagrangeov teorem srednje vrijednosti ima sljedeće uopćenje. Teorem (4.12., Taylor) Neka je I R otvoren interval i neka f : I R, ima derivaciju n + 1-vog reda na I. Neka je c I i T n Taylorov polinom za f u točki c. Tada x I, c x izme du c i x, tako da je (Lagrangeov oblik ostatka) R n (x) = f (n+1) (c x ) (n + 1)! (x c)n+1.

87 87 / 115 Taylorov teorem srednje vrijednosti i primjene Dokaz: Za čvrsto x I, x c, definirajmo funkciju F : I R formulom gdje je F(t) = f (x) f (t) A = n k=1 [ (n + 1)! (x c) n+1 f (x) f (c) f (k) (t) (x t) k (x t)n+1 A k! (n + 1)! n k=1 ] f (k) (c) (x c) k k!., Lako je provjeriti da je F(x) = 0 i F(c) = 0. Nadalje, [ ] n F (t) = f f (k+1) (t) (t) (x t) k f (k) (t) (x t)n (x t)k 1 +A k! (k 1)! n! k=1 = (x t)n n! [ ] A f (n+1) (t).

88 88 / 115 Taylorov teorem srednje vrijednosti i primjene Iz Rolleovog teorema srednje vrijednosti zaključujemo da c x strogo izme du c i x takav da vrijedi F (c x ) = 0. = A = f (n+1) (c x ). Q.E.D. Napomena Ako je f (n+1) lokalno ograničena oko c, onda je funkcija ω n definirana s ω n (x) = { Rn(x) (x c) n, za x c 0, za x = c neprekidna u točki c i vrijedi f (x) = T n (x) + ω n (x)(x c) n, x I.

89 89 / 115 Taylorov teorem srednje vrijednosti i primjene Odre divanje ekstrema pomoću derivacija višeg reda U prošlom teoremu pokazali smo da je f (c) = 0 nužan uvjet za postojanje lokalnog ekstrema diferencijabilne funkcije f u točki c. Sada ćemo dati dovoljan uvjet za lokalne ekstreme pomoću derivacija višeg reda u točki c.

90 90 / 115 Taylorov teorem srednje vrijednosti i primjene Teorem (4.13.) Neka je I R otvoren interval, f : I R, f C (n+1) (I). Neka je c I stacionarna točka, tj. f (c) = 0. Ako postoji n N, takav da k {1,..., n} vrijedi tada je u slučaju f (k) (c) = 0 i f (n+1) (c) 0, I. ako je n + 1 paran broj i f (n+1) (c) > 0, f ima strogi lokalni minimum u c, II. ako je n + 1 paran broj i f (n+1) (c) < 0, f ima strogi lokalni maksimum u c, III. ako je n + 1 neparan broj, f nema lokalni ekstrem u c (ima horizontalnu infleksiju).

91 Taylorov teorem srednje vrijednosti i primjene Dokaz: Pretpostavimo da je nastupio I. slučaj. Tada zbog neprekidnosti f (n+1) u točki c, δ > 0 takav da x c δ, c + δ vrijedi f (n+1) (x) > 0. Taylorov teorem srednje vrijednosti: x c δ, c + δ c x izme du c i x tako da je f (x) = f (c) + f (n+1) (c x ) (n + 1)! (x c)n+1 > f (c) (zbog parnosti eksponenta n + 1). = f ima u c strogi lokalni minimum. Slučaj II. se dokazuje analogno. U slučaju III., zbog neparnosti eksponenta n + 1, na različitim stranama od c vrijednost od f (n+1) (c x )(x c) n+1 ima različite predznake, tj. u c nije lokalni ekstrem funkcije f. Q.E.D. 91 / 115

92 Taylorov teorem srednje vrijednosti i primjene Primjer Ispitati lokalne ekstreme funkcije f (x) = 1 4 x 4 x 3 2x Rješenje. Funkcije f, f i f su definirane na R. f (x) = x 3 3x 2 4x = (x 2 3x 4)x Stacionarne točke su x 1 = 1, x 2 = 0 i x 3 = 4. f (x) = 3x 2 6x 4 i vrijedi f ( 1) = 5 > 0, f (0) = 4 < 0, f (4) = 20 > 0, pa su točke lokalnih ekstrema: ( min 1, 1 ), 4 max(0, 1), min(4, 31). 92 / 115

93 Taylorov teorem srednje vrijednosti i primjene Primjer Ispitati lokalne ekstreme funkcije f (x) = x 4 e x 2. Rješenje. Funkcije f, f i f su definirane na R. f (x) = e x 2 (4x 3 2x 5 ) Stacionarne točke su x 1 = 2, x 2 = 0 i x 3 = 2. f (x) = e x 2 (4x 6 18x x 2 ) Vrijedi f ( 2) = f ( 2) = 16 e 2 < 0, f (0) = 0, f (x) = e x 2 ( 8x x 5 96x x) f (0) = 0, f (4) (x) = e x 2 (16x 8 176x x x ) f (4) (0) = 24 > 0, 93 / 115

94 94 / 115 Taylorov teorem srednje vrijednosti i primjene Lokalni estremi: max( 2, 4e 2 ), min(0, 0), max( 2, 4e 2 )

95 95 / 115 Konveksne funkcije, infleksija Taylorov teorem srednje vrijednosti i primjene Definicija Za realnu funkciju f kažemo da je konveksna na intervalu I R, ako ( ) x1 + x 2 ( x 1, x 2 I) (x 1 < x 2 ) = f f (x 1) + f (x 2 ). 2 2 Funkcija f je strogo konveksna ako u definiciji vrijedi stroga nejednakost. Funkcija f je konkavna ako vrijedi ( ) x1 + x 2 ( x 1, x 2 I) (x 1 < x 2 ) = f 2 f (x 1) + f (x 2 ) 2, a strogo konkavna ako u definiciji vrijedi stroga nejednakost.

96 96 / 115 Taylorov teorem srednje vrijednosti i primjene f x 2 f x 1 f x 2 2 f x 1 f x 1 x 2 2 O x 1 x 1 x 2 x 2 2

97 97 / 115 Taylorov teorem srednje vrijednosti i primjene Teorem (4.14., Jensenova nejednakost) Ako je f neprekidna i konveksna funkcija na intervalu I R, onda vrijedi ( x 1, x 2 I), ( t [0, 1]), f ((1 t) x 1 + t x 2 ) (1 t) f (x 1 ) + t f (x 2 ). Ako jednakost vrijedi za neko t 0, 1, onda jednakost vrijedi t [0, 1].

98 98 / 115 Taylorov teorem srednje vrijednosti i primjene f x 2 f x 1 f x 2 2 f x 1 f x 1 x 2 2 O x 1 x 1 x 2 x 2 2

99 99 / 115 Taylorov teorem srednje vrijednosti i primjene Teorem (4.15.) Neka je f : I R diferencijabilna funkcija na otvorenom intervalu I R. Funkcija f je konveksna na I, ako i samo ako je njena derivacija f rastuća funkcija na I. Korolar (4.3.) Neka je f : I R dva puta diferencijabilna funkcija na otvorenom intervalu I R. Funkcija f je konveksna na I ako i samo ako je f (x) 0, x I. Dokaz: Po prethodnom teoremu f je konveksna na I ako i samo ako je f rastuća na I, a to vrijedi onda i samo onda ako je f (x) 0, x I. Q.E.D.

100 100 / 115 Taylorov teorem srednje vrijednosti i primjene Definicija Neka je I R otvoren interval i f : I R. Točka c I je točka infleksije ili prijevojna točka, ako postoji δ > 0 takav da je na intervalu c δ, c funkcija f strogo konveksna, a na intervalu c, c + δ je f strogo konkavna ili obratno. Još kažemo da je točka (c, f (c)) točka infleksije grafa funkcije f.

101 101 / 115 Taylorov teorem srednje vrijednosti i primjene Teorem (4.16.) Neka je f : I R dva puta diferencijabilna funkcija na otvorenom intervalu I R. Točka c I je točka infleksije funkcije f ako i samo ako je f (c) = 0 i funkcija f ima u c strogi lokalni ekstrem. Dokaz: Neka je f strogo konveksna na c δ, c i strogo konkavna na c, c + δ. Tada f strogo raste na c δ, c i strogo pada na c, c + δ, = f ima strogi lokalni maksimum u c. Neka f ima u c strogi lokalni maksimum. = f (c) = 0 i δ > 0 takav da f strogo raste na c δ, c i strogo pada na c, c + δ. = f je strogo konveksna na c δ, c i strogo konkavna na c, c + δ. Q.E.D.

102 Taylorov teorem srednje vrijednosti i primjene Primjer Ispitati lokalne ekstreme i točke infleksije funkcije f (x) = e x 2. Rješenje. Funkcije f, f i f su definirane na R. f (x) = 2 x e x 2, f (x) = (4x 2 2) e x 2 Stacionarna točka je x 1 = 0. Moguće točke infleksije su x 2 = 2 2 i x 3 = Vrijednosti f ( 1) = f (1) = 2 e 1 > 0, f (0) = 2 e 1 < 0, = max(0, 1) / 115

103 103 / 115 Taylorov teorem srednje vrijednosti i primjene, , 0 0, , f + + f + + f s. konv. s.konkav. s. konkav. s. konv x 2 x 1 x

104 104 / 115 Taylorov teorem srednje vrijednosti i primjene Primjer Ispitati lokalne ekstreme i točke infleksije funkcije f (x) = x 1 + x 2. Rješenje. Funkcije f, f i f su definirane na R. f (x) = 1 x 2 (1 + x 2 ) 2 f (x) = 2x(x 2 3) (1 + x 2 ) 3 Stacionarne točke su x 1 = 1 i x 2 = 1. Moguće točke infleksije su x 3 = 3, x 4 = 0 i x 5 = 3. Vrijednosti druge derivacije izme du točaka infleksije su: f ( 2) > 0, f (0) < 0, f (1) > 0 a jedini lokalni ekstrem je max(0, 1).

105 105 / 115 Taylorov teorem srednje vrijednosti i primjene, 3 3, 1 1, 0 0, 1 1, 3 3, f f + + f s. konkav. s. konvek. s. konvek. s. konkav. s. konkav. s. konvek. 0.4 x 4 x x x 3 x

106 106 / 115 Taylorov teorem srednje vrijednosti i primjene Okomite i kose asimptote na graf funkcije Definicija Neka je I R otvoren skup i f : I R funkcija čiji je graf Γ f R R. Kažemo da je pravac p asimptota na graf funkcije Γ f, ako udaljenost izme du pravca i točke T Γ f teži k 0 kako se točka T beskonačno udaljava od ishodišta.

107 107 / 115 Taylorov teorem srednje vrijednosti i primjene Graf Γ f ima okomitu asimptotu u rubnoj točki područja definicije c R ako je lim f (x) = ±. x c± Graf Γ f funkcije f : I R ima kosu ili horizontalnu asimptotu y = kx + l u ±, ako je 1. a, + I za neko a I, f (x) 2. lim = lim x + x f (x) = k R, x + 3. lim (f (x) kx) = l R x + 1., a I za neko a I, f (x) 2. lim = lim x x f (x) = k R, x 3. lim (f (x) kx) = l R x

108 108 / 115 Taylorov teorem srednje vrijednosti i primjene Primjer Ispitaj tok i na di asimptote funkcije f (x) = x + 1. x Rješenje. Prirodna domena funkcije je D(f ) = [ 1, 0 > 0, +. f (x) = x + 2 2x 2, x D(f ). x + 1 x + 1 x + 1 =, lim x x 0+ x lim x 0 Dakle, f ima asimptotu u 0. = +. [ 1, 0 0, f f

109 Taylorov teorem srednje vrijednosti i primjene [ 1, 0 0, f f / 115

110 Taylorov teorem srednje vrijednosti i primjene Primjer Ispitaj tok i na di asimptote funkcije f (x) = x 2 3 x 2. Rješenje. Prirodna domena funkcije je D(f ) = R \ {2} f (x) = x 2 4x + 3 (x 2) 2, x D(f ). Stacionarne točke su x 1 = 1 i x 2 = 3. Vertikalna asimptota: x 2 1 lim x 2 x 2 =, lim x 2 1 x 2+ x 2 = +. = f ima okomitu asimptotu u 2. lim x ± x 2 1 x(x 2) = 1, = y = x + 2 je kosa asimptota u ±. lim x 2 1 x ± x 2 x = lim 2x 1 x ± x 2 = 2, 110 / 115

111 Taylorov teorem srednje vrijednosti i primjene, 1 1, 2 2, 3 3, + f + + f / 115

112 112 / 115 L Hospitalovo pravilo Taylorov teorem srednje vrijednosti i primjene Teorem o limesu kvocijenta funkcija f g u točki c R podrazumijeva postojanje limesa obje funkcije u toj točki i lim x c g(x) 0. Slijedeći teorem predstavlja uopćenje tog rezultata, ali uz odre dene uvjete na derivacije funkcija f i g.

113 113 / 115 Taylorov teorem srednje vrijednosti i primjene Teorem (4.17.,L Hospitalovo pravilo) Neka su f i g funkcije definirane na I \ {c} R i neka su diferencijabilne na tom skupu. Neka vrijedi lim f (x) = 0, x c lim g(x) = 0, x c g (x) 0, x I \ {c}, f (x) lim x c g (x) = L. Tada je f (x) lim x c g(x) = L.

114 114 / 115 Taylorov teorem srednje vrijednosti i primjene Dokaz: Dokaz provodimo uz jače pretpostavke: funkcije f i g imaju neprekidne derivacije na I, te da je f (c) = g(c) = 0 i g (c) 0. Taylorov teorem srednje vrijednosti = f (x) = f (c)(x c) + ω(x)(x c), g(x) = g (c)(x c) + ω 1 (x)(x c), gdje su ω i ω 1 neprekidne funkcije u c i ω(c) = ω 1 (c) = 0. = f (x) g(x) = f (c) + ω(x) g (c) + ω 1 (x), x I \ {c}. Desna strana jednakosti zadovoljava uvjete teorema o limesu kvocijenta jer limesi brojnika i nazivnika postoje u točki c i limes nazivnika je 0.

115 Taylorov teorem srednje vrijednosti i primjene f (x) lim x c g(x) f (c) + ω(x) = lim x c g (c) + ω 1 (x) = = lim x c(f (c) + ω(x)) lim x c (g (c) + ω 1 (x)) = = f (c) g (c) = lim f (x) x c g (x). Napomena. Ako su funkcije f, g C (n+1) (I), te vrijedi f (c) = f (c) = = f (n) (c) = 0, i g(c) = g (c) = = g (n) (c) = 0, g (n+1) (c) 0, tada iz Taylorovog teorema srednje vrijednosti slijedi Q.E.D. lim x c f (x) g(x) = lim x c f (n+1) (x) g (n+1) (x). 115 / 115

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum 16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni

Διαβάστε περισσότερα

Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije

Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije Osnovni teoremi diferencijalnog računa L Hospitalovo pravilo Derivacije višeg reda Derivacija

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni teoremi diferencijalnog računa

Osnovni teoremi diferencijalnog računa Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tena Pavić Osnovni teoremi diferencijalnog računa Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI

1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI 6.. Definicija reda Promatrajmo niz Definicija reda ( ) n 2 :, 2 2 3 2 4 2,... Postupno zbrajajmo elemente niza: = + 2 2 = 5 4 + 2 2 + 3 2 = 49 36 + 2 2 + 3 2 + 4 2 =

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009 November 24, 2009 Homogena funkcija Parcijalna elastičnost Eulerov teorem Druge parcijalne derivacije Interpretacija Lagrangeovog množitelja Ako je (x, y) R 2 uredjeni par realnih brojeva, onda je s (x,

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom 6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim.

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim. 1 Diferencijabilnost 11 Motivacija Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji es f f(x) f(c) (c) x c x c Najbolja linearna aproksimacija funkcije f je funkcija l(x) = f(c)

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA

5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA 5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 8 5 poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA U ovom poglavlju: Derivacija po definiciji, tablica deriviranja Derivacija zbroja, razlike, produkta i kvocijenta

Διαβάστε περισσότερα

PRVI IZVOD. f x0 x f x0. y x. ) lim lim ( ) ( ) x. Neka je y f(x) funkcija definisana na intervalu [a,b], x 0

PRVI IZVOD. f x0 x f x0. y x. ) lim lim ( ) ( ) x. Neka je y f(x) funkcija definisana na intervalu [a,b], x 0 . y PRVI IZVOD Neka je y f() funkcija definisana na intervalu [a,b], 0 unutrašnja tačka tog intervala, Δ ( 0) priraštaj argumenta i Δy odgovarajući priraštaj funkcije. Ako postoji granična vrijednost količnika

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )

( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( ) Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u diferencijalni račun

Uvod u diferencijalni račun Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je to uopće tangenta?

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E

3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E . Funkcije (sa svim korekcijama) 5. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E U ovom poglavlju: Elementarne unkcije Inverzne unkcije elementarnih unkcija Domena složenih unkcija Inverz složenih unkcija Ispitivanje

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 11 (Ispitivanje domene i globalnih svojstava funkcije)

Seminar 11 (Ispitivanje domene i globalnih svojstava funkcije) Seminar 11 (Ispitivanje domene i globalnih svojstava funkcije) Prvo ponoviti/nau iti sadrºaje na sljede oj stani, a zatim rije²iti zadatke na ovoj stranici. Priprema Ove zadatke moºete rije²iti koriste

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije

3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije 3 Funkcije 3.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010.

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Verba volant, scripta manent. [Riječi odlijeću, pisano ostaje. Ono što se kaže lako je zaboraviti, ali ono što je napisano ne može se poreći.] ( Latinska izreka

Διαβάστε περισσότερα

Redovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler

Redovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler Franka Miriam Brückler Redovi funkcija 1 + (x 2) + 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 +... = (x 2)2 2! + (x 2)3 3! + +... = sin(x) + sin(2x) + sin(3x) +... = x n, + + n=1 (x 2) n, n! sin(nx). Redovi funkcija 1 +

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016.

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016. Funkcije Helena Kmetić 6. srpnja 016. Sadržaj 1 Uvod 1.1 Klasifikacija realnih funkcija pomoću grafa............. 3 1. Apsolutna vrijednost i udaljenost.................. 4 Funkcije 6.1 Linearne funkcije...........................

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada) Eksponencijalna funkcija (baze a) f() a, a > 0, a domena D(f) R; slika funkcije f(d) (0,+ ); nema nultočaka, jer je a > 0, za sve R; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() a, 0

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :

k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n : 4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

3. DIFERENCIJALNI RAČUN I PRIMJENE

3. DIFERENCIJALNI RAČUN I PRIMJENE 3. DIFERENCIJALNI RAČUN I PRIMJENE 1. DERIVIRANJE Derivacije elementarnih funkcija jedne varijable dane su u tablicama: Pravila deriviranja funkcija jedne varijable su: 1. DERIVIRANJE ZBROJA/RAZLIKE 2.

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije Sadržaj REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE 7. Elementarne funkcije....................... 7. Primjeri ekonomskih funkcija.................. 78.3 Limes funkcije........................... 8.4 Neprekidnost

Διαβάστε περισσότερα

Predavanje osmo: Uvod u diferencijalni račun

Predavanje osmo: Uvod u diferencijalni račun Predavanje osmo: Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Granične vrednosti funkcija

3.1. Granične vrednosti funkcija 98 3. FUNKCIJE: GRANIČNE VREDNOSTI I NEPREKIDNOST 3.1. Granične vrednosti funkcija 3.1.1. Definicija i osnovne osobine Da bismo motivisali definiciju granične vrednosti funkcija, dajemo dva primera. Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα