H ΚΑΤΑΝΟΜΗ WEIBULL ΣΤΟ ΧΡΟΝΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΕΡΓΩΝ (PERT)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "H ΚΑΤΑΝΟΜΗ WEIBULL ΣΤΟ ΧΡΟΝΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΕΡΓΩΝ (PERT)"

Transcript

1 H ΚΑΤΑΝΟΜΗ WEIBULL ΣΤΟ ΧΡΟΝΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΕΡΓΩΝ (PERT) Ιωάννης Ανδρεάδης & Χρόνης Μωυσιάδης Τμήμα Μαθηματικών, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η τεχνική PERT χρησιμοποιείται για τον χρονικό προγραμματισμό μεγάλων έργων σε συνθήκες αβεβαιότητας. Τις περισσότερες φορές η κατανομή της χρονικής διάρκειας μίας δραστηριότητας είναι άγνωστη και η εκτίμηση της μέσης τιμής και της διασποράς της γίνεται με τη χρήση τριών υποκειμενικών εκτιμήσεων, οι οποίες γίνονται από το αρμόδιο πρόσωπο. Σε αυτή την εργασία προτείνουμε τη χρήση της Weibull κατανομής ως προσέγγισης της άγνωστης θεωρητικής κατανομής της χρονικής διάρκειας μιας PERT δραστηριότητας. Με τη χρήση της Weibull κατανομής επιτυγχάνεται καλύτερη εκτίμηση της χρονικής διάρκειας του συνολικού έργου. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο χρονικός προγραμματισμός έργων αποτελεί ένα από τα σοβαρότερα προβλήματα που αντιμετωπίζει όποιος ασχολείται με τη διαχείριση έργων (project management) βλ. Moder, Philips & Davis (1983). Για αυτό το σκοπό γίνεται η χρήση δικτύων δραστηριοτήτων (activity networks), όπως αυτά έχουν μελετηθεί από τον Elmaghraby (1977), με την βοήθεια των οποίων δίνεται η δυνατότητα εκτίμησης του χρόνου ολοκλήρωσης του έργου και αναγνώρισης των κρίσιμων δραστηριοτήτων του. Μία από τις τεχνικές που χρησιμοποιούνται στα δίκτυα δραστηριοτήτων είναι και η τεχνική PERT, η οποία έγινε αρχικά γνωστή από τη δημοσίευση Malcolm, Roseboom, Clark & Fazar (1959) ως αποτέλεσμα της μελέτης για το χρονικό προγραμματισμό της κατασκευής του πυραύλου POLARIS. Η τεχνική PERT δέχεται ότι ο χρόνος που θα διαρκέσει η κάθε δραστηριότητα είναι μία τυχαία μεταβλητή με άγνωστη κατανομή και συνεπώς η εκτίμηση της διάρκειάς της θα πρέπει να γίνεται με αβεβαιότητα. Η αβεβαιότητα στην εκτίμηση της διάρκειας της δραστηριότητας εκφράζεται με την υποκειμενική εκτίμηση τριών τιμών. Έτσι από τον ειδικό της κάθε δραστηριότητας ζητείται μία

2 εκτίμηση κεντρικής τάσης (επικρατούσα τιμή ή διάμεσος), καθώς επίσης και μία αισιόδοξη και μία απαισιόδοξη εκτίμηση για τη διάρκεια της δραστηριότητας. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Οι Keefer και Verdini (1993) έχουν συγκρίνει διάφορες προσεγγίσεις της μέσης τιμής και της διασποράς της διάρκειας T μίας PERT δραστηριότητας και έχουν παρουσιάσει αριθμητικά αποτελέσματα, τα οποία δείχνουν ότι το μοντέλο P-T (extended Pearson-Tukey) που προτείνουν, είναι αυτό που δίνει τις πιο ακριβείς προσεγγίσεις ανάμεσα σε αυτές που συγκρίνουν. Οι προσεγγίσεις του μοντέλου P-T είναι οι παρακάτω: όπου p ( ) ˆ μ PT = 0, 630t0,50 + 0,185 t0,95 + t0,05 (1) ( t ) 0,50 ( t0,95 ) ( t0,05 ) ˆ = 0, 630 ˆ 0,185 ˆ ˆ PT PT + PT + PT σ μ μ μ t είναι τέτοιο ώστε Pr ( p ) (2) T t = p. Οι Pearson και Tukey (1965) ήταν οι πρώτοι που πρότειναν την προσέγγιση (1) και οι Keefer και Verdini την εφάρμοσαν στη μέθοδο PERT και εισήγαγαν την προσέγγιση (2). Εφόσον οι θεωρούμενες ως πιο ακριβείς προσεγγίσεις μέχρι σήμερα, δηλαδή οι προσεγγίσεις (1) και (2), απαιτούν την υποκειμενική εκτίμηση των τριών ποσοστιαίων σημείων ( 0,05, 0,50, 0,95 ) t t t, σε αυτό το εδάφιο και εμείς θα υποθέσουμε ότι ο ειδικός που κάνει τις εκτιμήσεις σχετικά με τη διάρκεια της κάθε δραστηριότητας θα μας δώσει εκτιμήσεις για τα ίδια ποσοστιαία σημεία. Έχοντας αυτές τις τρεις υποκειμενικές εκτιμήσεις που γίνονται από τον ειδικό της δραστηριότητας, προτείνουμε μία νέα μέθοδο για την προσέγγιση της μέσης τιμής και της διασποράς του χρόνου της δραστηριότητας. Ο μέθοδος που προτείνουμε ξεκινά με την εκτίμηση πρώτα των παραμέτρων μίας θεωρητικής κατανομής που προσεγγίζει την άγνωστη κατανομή. Στη συνέχεια με δεδομένες τις παραμέτρους της προσεγγιστικής κατανομής, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους θεωρητικούς τύπους για την μέση τιμή και διασπορά αυτής της προσεγγιστικής

3 κατανομής, για να προσεγγίσουμε τη μέση τιμή και τη διασπορά της άγνωστης κατανομής. Έτσι οδηγούμαστε στην χρήση κατανομών τριών παραμέτρων με τη βοήθεια εκτιμητών ποσοστιαίων σημείων. Οι εκτιμητές ποσοστιαίων σημείων (percentile estimators) μπορούν να θεωρηθούν ως υποκατηγορία των εκτιμητών ελαχίστων αποστάσεων (minimum distance estimators, Parr (1981)). Μία χρήσιμη κατανομή για το συγκεκριμένο πρόβλημα είναι η Weibull. Η ποικιλομορφία της Weibull την έχει καταστήσει εδώ και χρόνια ως την πιο κατάλληλη κατανομή για την περιγραφή μοντέλων διάρκειας ζωής. Εφαρμογές της βρίσκουμε στα πεδία της μετεωρολογίας, της ιατρικής, των οικονομικών, της βιολογίας κλπ. Επιπλέον η κατανομή αυτή έχει όλες τις ιδιότητες που σήμερα είναι αποδεκτές για την κατανομή της διάρκειας μιας PERT δραστηριότητας. Η κατανομή της τ.μ. Y ονομάζεται Weibull τριών παραμέτρων, αν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τ.μ. Y είναι της μορφής: c 1 c c y ξ y ξ fy ( y) = exp y > ξ, b, c> 0 b b b Με το σύμβολο W (, b, c) ξ θα συμβολίζουμε αυτή την κατανομή. (3) i Αν γ i είναι τέτοιο ώστε γ i =Γ 1 +, i = 1, 2,3... όπου με Γ συμβολίζεται η c Γάμα συνάρτηση, τότε η μέση τιμή της τ.μ. Y δίνεται από: και η διασπορά δίνεται από: W ( ) γ 1 E Y = b+ ξ (4) W ( ) ( γ 2 γ1 ) 2 2 Var Y = b (5) Οι παράμετροι της Weibull μπορούν να εκτιμηθούν με την εξίσωση των τριών σημείων με τα αντίστοιχα θεωρητικά και απαιτείται η χρήση αριθμητικής μεθόδου για την εκτίμηση της παραμέτρου θέσης.

4 Aν η τ.μ. Y W(, b, c) Pr ( p ) ξ, τότε το ποσοστιαίο σημείο y p για το οποίο Y y = p δίνεται από την εξίσωση: p [ log(1 )] 1/ c y = b p + ξ (6) Αν υποθέσουμε ότι ο ειδικός κάνει υποκειμενική εκτίμηση των τριών ποσοστιαίων σημείων ( 0,05, 0,50, 0,95 ) y y y, μπορούμε να εκτιμήσουμε τις παραμέτρους της Weibull κατανομής από το παρακάτω σύστημα εξισώσεων: y y y 1/ c 0.05 = ba + 1/ c 0.50 = bb + 1/ c 0.95 = bc + όπου και A = log ( 20 /19), B = log ( 2) και log ( 20) ξ ξ ξ C =. (7) Σύμφωνα με τους Cheng και Amin (1983), οι εκτιμητές μέγιστης πιθανοφάνειας για τις παραμέτρους της Weibull κατανομής παρουσιάζουν προβλήματα (η πιθανοφάνεια σε ορισμένες περιπτώσεις τείνει στο άπειρο). Αυτό έχει ωθήσει αρκετούς ερευνητές στην εξερεύνηση εκτιμητών ποσοστιαίων σημείων για τη Weibull κατανομή (π.χ. Zanakis και Mann (1982)). Μάλιστα, σύμφωνα με το Schmid (1997), ένα σύστημα εξισώσεων σαν το παραπάνω λύνεται αναλυτικά εφόσον το μεσαίο ποσοστιαίο σημείο ισούται με την τετραγωνική ρίζα του γινομένου των άλλων δύο ποσοστιαίων σημείων, δηλαδή αν τα τρία ποσοστιαία σημεία είναι y1 < y2 < y3, θα πρέπει να ισχύει y2 = yy 1 3. Εμείς έχουμε y1 = y0,05 και y3 y0,95 = άρα για να λυθεί αναλυτικά το σύστημα θα έπρεπε να ισχύει y2 y 0,32 αντί y 0,50. Συνεπώς το σύστημα εξισώσεων (7) δεν μπορεί να λυθεί αναλυτικά. Μπορούμε όμως να καταλήξουμε σε μία εξίσωση της μορφής ψ( ξ ) = 0 και να βρούμε μία αριθμητική προσέγγιση αυτής της συνάρτησης. Παρόμοιες προσεγγίσεις με χρήση αριθμητικών μεθόδων για την εύρεση εκτιμητών ποσοστιαίων σημείων της κατανομής Weibull έχουν χρησιμοποιηθεί και από τους Carmody, Eubank &

5 Lariccia (1984). Η εξίσωση (8) προκύπτει από το σύστημα εξισώσεων (7) και εξαρτάται μόνο από το ξ : ( ξ)( ) ( ) y0.50 ξ y0.95 B/ C φξ = 0 (8) όπου φ( ξ) = log ( y ξ) ( y ξ) log ( C A) 0,95 0,05 Από τη σχέση (8) και χρησιμοποιώντας την μέθοδο του Newton με ένα κατάλληλο αρχικό σημείο μπορούμε να βρούμε μία προσεγγιστική αριθμητική λύση ˆN ξ του ξ. Στην συνέχεια μπορούμε να εκτιμήσουμε τις παραμέτρους της Weibull κατανομής από τους παρακάτω τύπους: ˆ ξ = ˆ ξ N cˆ = log ˆ y b = C ( C) log ( A) ( y0,95 ˆ ξ ) log ( y ˆ 0,05 ξ ) 0,95 1/ cˆ log ˆ ξ Με αυτό τον τρόπο η άγνωστη κατανομή της τ.μ. T μπορεί να προσεγγιστεί από την Weibull κατανομή W ( ˆ, bˆ, cˆ ). ξ και μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους τύπους (4) και (5) προκειμένου να εκτιμήσουμε αντίστοιχα την μέση τιμή και τη διασπορά της τ.μ. T. Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΟΥ ΣΥΝΟΛΙΚΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Τα τελευταία χρόνια, λόγω της συνεχόμενης αύξησης της υπολογιστικών δυνατοτήτων των Η/Υ, οι μέθοδοι προσομοίωσης προβάλουν, όλο και περισσότερο, σαν ο καλύτερος τρόπος εκτίμησης της κατανομής του συνολικού χρόνου ενός έργου. Στις περισσότερες περιπτώσεις θεωρείται ότι η κατανομή της διάρκειας της δραστηριότητας είναι γνωστή. Στην πράξη όμως αυτό συμβαίνει σπάνια και η συνολική πληροφορία που έχουμε για τις δραστηριότητες είναι οι τρεις υποκειμενικές εκτιμήσεις που γίνονται από τον ειδικό υπεύθυνο της κάθε δραστηριότητας. (9)

6 Άρα προκύπτει η αναγκαιότητα της εκτίμησης των παραμέτρων της κατανομής της διάρκειας των PERT δραστηριοτήτων από τις τρεις εκτιμήσεις για το χρόνο της δραστηριότητας. Η λύση που κυρίως προτείνεται μέχρι σήμερα είναι να κάνουμε προσαρμογή τριγωνικής κατανομής σε αυτές τις τρεις εκτιμήσεις. Σαν εναλλακτική βελτιωμένη λύση στην παρούσα πρακτική προτείνουμε την χρήση της Weibull κατανομής με τον τρόπο που παρουσιάσαμε στο προηγούμενο εδάφιο. Προκειμένου να διαπιστώσουμε την συμπεριφορά του μοντέλου μας όσον αφορά την προσέγγιση της κατανομής του συνολικού χρόνου αλλά και για να τη συγκρίνουμε με τη συμπεριφορά του άλλου μοντέλου (Τριγωνική) χρησιμοποιήσαμε τεχνικές προσομοίωσης (Monte Carlo). Η διαδικασία έχει ως εξής: Αρχικά θεωρούμε ότι η κατανομή του χρόνου της διάρκειας της κάθε δραστηριότητας είναι μία γνωστή Βήτα κατανομή. Αυτό το κάνουμε για να χρησιμοποιήσουμε αυτή τη «γνωστή» κατανομή σε ένα μοντέλο προσομοίωσης του δικτύου έτσι ώστε να υπάρχει μία βάση σύγκρισης για τις προσεγγιστικές κατανομές. Εκτελούμε τη διαδικασία της προσομοίωσης και θεωρούμε τα αποτελέσματα από την προσομοίωση αυτή ως τα «πραγματικά» αποτελέσματα. Στη συνέχεια κάνουμε προσαρμογή α) Τριγωνικής κατανομής, και β)weibull κατανομής, σύμφωνα με όσα έχουν αναπτυχθεί στο προηγούμενο εδάφιο. Για κάθε μία από τις κατανομές που προκύπτουν εκτελούμε ξανά τη διαδικασία προσομοίωσης. Στο τέλος μετράμε την ακρίβεια της κάθε προσεγγιστικής κατανομής συγκρίνοντας τα αποτελέσματά της με αυτά της «γνωστής» Βήτα κατανομής. Το δίκτυο που χρησιμοποιούμε για τη διαδικασία της σύγκρισης είναι ένα απλό δίκτυο PERT με επτά δραστηριότητες σαν αυτό της παρακάτω εικόνας. 2 Πρόσληψη 4 Εκπαίδευση 1 Σχεδιασμός 3 Κατάρτιση 5 Εκτύπωση 7 Διεξαγωγή 6 Επιλογή

7 Ολόκληρη η διαδικασία της σύγκρισης των προσεγγιστικών δραστηριοτήτων επαναλήφθηκε τρεις φορές. Την πρώτα φορά όλες οι δραστηριότητες είχαν σχεδόν συμμετρικές κατανομές της μορφής beta [ 10,70,9,10], την δεύτερη φορά πήραμε κατανομές με μέτριο συντελεστή λοξότητας beta [ 10,70, 3,5,10] και τη τρίτη με σημαντικό συντελεστή λοξότητας beta [ 10, 70,1,5,10], έτσι ώστε να μπορέσουμε να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της κάθε προσεγγιστικής κατανομής κάτω από διαφορετικές συνθήκες. Για όλες τις προσομοιώσεις που χρησιμοποιήθηκαν, για μεγαλύτερη ακρίβεια χρησιμοποιήθηκε η τεχνική του αρνητικού συντελεστή συσχέτισης η οποία με το ίδιο αριθμό δειγμάτων δίνει πιο ακριβή αποτελέσματα από την κλασική προσομοίωση Monte Carlo. Η λογική της τεχνικής προσομοίωσης με χρήση μεταβλητών με αρνητικό συντελεστή συσχέτισης (antithetic variates) όπως αυτή προτείνεται από τους Sullivan, Hayya, & Schaul, (1982), βασίζεται στο ότι αν έχουμε δύο αμερόληπτους εκτιμητές t και t A του συνολικού χρόνου του έργου, οι οποίοι έχουν αρνητικό συντελεστή συσχέτισης, τότε ο εκτιμητής ( t t ) 12 + A είναι αμερόληπτος εκτιμητής του συνολικού χρόνου του έργου και επιπλέον έχει μικρότερη διασπορά. Σε όλες τις προσομοιώσεις που δοκιμάσαμε η συμπεριφορά του μοντέλου που προτείνουμε (Weibull) έδωσε πιο ακριβείς εκτιμήσεις από τη χρήση του μοντέλου της Τριγωνικής κατανομής. Μάλιστα όσο περισσότερο λοξές είναι οι κατανομές από τις οποίες αποτελείται το δίκτυο τόσο πιο αισθητή γίνεται η βελτίωση του μοντέλου που προτείνουμε έναντι του μοντέλου της Τριγωνικής κατανομής. ABSTRACT PERT is a network-oriented technique for planning large projects. In most of the cases the distributions of PERT activity durations are unknown. Hence, three time estimates are required as a means of eliciting information about the activity duration. These three estimates are utilized to obtain approximations of the mean and the variance of the activity duration. What we attempt to do in this paper is to fit Weibull distribution to these three time estimates and propose the theoretical mean and variance of this distribution as new approximations of the mean and variance of the unknown distribution. Simulation results indicate that the use of the Weibull distribution provides a more accurate estimation of the time of the project.

8 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Carmody, T.J., Eubank, R.L., & Lariccia, V. N. (1984). A family of minimum quantile distance estimators for the three parameter Weibull distribution. Statistical Papers, 25: Cheng, R.C.H. & Amin, R.C.H. (1983). Estimating parameters in continuous univariate distributions with a shifted origin. Journal of the Royal Statistical Society. Series B, Methodological, 45(3): Elmaghraby, Salah E. (1977). Activity Networks. Wiley, New York. Keefer, D. L. & Verdini, W. A. (1993). Better estimation of PERT activity time parameters. Management Science, 39(9): Malcolm, D. G., Roseboom, J. H., Clark, C. E., & Fazar, W. (1959). Application of a technique for research and development program evaluation. Operations Research, 7: Moder, J. J., Philips, C. R., & Davis, E. W. (1983). Project Management with CPM, PERT and Precedence Diagramming. Van Nostrand Reinhold, New York, 3rd edition. Parr, W.C. (1981). Minimum distance estimation: a bibliography. Communications in Statistics-Theory and Methods, 10: Pearson, E. S. & Tukey, J. W. (1965). Approximate means and standard deviations based on distances between percentage points of frequency curves. Biometrika, 52(3): Schmid, Uve (1997). Percentile estimators for the three-parameter Weibull distribution for use when all parameters are unknown. Communications in Statistics-Theory and Methods, 26(3): Sullivan, R.S., Hayya, J.C. & Schaul, R. (1982). Efficiency of the antithetic variate method for simulating stochastic networks. Management Science, 28(5): Zanakis, S.H., & Mann, N.R. (1982). A good simple percentile estimator of the Weibull shape paremeter for use when all three parameters are unknown. Naval Research Logistics Quarterly, 29:

ΒΕΛΤΙΣΤΕΣ ΙΑ ΡΟΜΕΣ ΣΕ ΙΚΤΥΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ

ΒΕΛΤΙΣΤΕΣ ΙΑ ΡΟΜΕΣ ΣΕ ΙΚΤΥΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ ΒΕΛΤΙΣΤΕΣ ΙΑ ΡΟΜΕΣ ΣΕ ΙΚΤΥΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ Μωυσιάδης Πολυχρόνης, Ανδρεάδης Ιωάννης Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή παρουσιάζεται μία μελέτη για την ελάχιστη διαδρομή σε δίκτυα μεταβλητού

Διαβάστε περισσότερα

Q- ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ p ΤΗΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

Q- ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ p ΤΗΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 20 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (2007), σελ 249-258 Q- ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ p ΤΗΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Μανώλης Μανατάκης Τμήμα Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΣΗ ΜΗ-ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΚΤΙΜΗΤΡΙΩΝ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΟΝ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ ΤΩΝ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΧΡΗΣΗ ΜΗ-ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΚΤΙΜΗΤΡΙΩΝ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΟΝ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ ΤΩΝ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 0 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (007), σελ 393-400 ΧΡΗΣΗ ΜΗ-ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΚΤΙΜΗΤΡΙΩΝ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΟΝ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ ΤΩΝ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 5 Κατανομές πιθανότητας και εκτίμηση παραμέτρων δυαδικές τυχαίες μεταβλητές Bayesian decision Minimum misclassificaxon rate decision: διαλέγουμε την κατηγορία Ck για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 10, σελ. 119. Για τη μεταβλητή x (άτυπος όγκος) έχουμε: x censored_x 1 F 3 F 3 F 4 F 10 F 13 F 13 F 16 F 16 F 24 F 26 F 27 F 28 F

Άσκηση 10, σελ. 119. Για τη μεταβλητή x (άτυπος όγκος) έχουμε: x censored_x 1 F 3 F 3 F 4 F 10 F 13 F 13 F 16 F 16 F 24 F 26 F 27 F 28 F Άσκηση 0, σελ. 9 από το βιβλίο «Μοντέλα Αξιοπιστίας και Επιβίωσης» της Χ. Καρώνη (i) Αρχικά, εισάγουμε τα δεδομένα στο minitab δημιουργώντας δύο μεταβλητές: τη x για τον άτυπο όγκο και την y για τον τυπικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΡΟΣΩΠΙΚΗ ΟΡΙΟΘΕΤΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΩΝ CHAT ROOMS

Η ΠΡΟΣΩΠΙΚΗ ΟΡΙΟΘΕΤΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΩΝ CHAT ROOMS ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ Ι Ο Ν Ι Ω Ν Ν Η Σ Ω Ν ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ Ταχ. Δ/νση : ΑΤΕΙ Ιονίων Νήσων- Λεωφόρος Αντώνη Τρίτση Αργοστόλι Κεφαλληνίας, Ελλάδα 28100,+30

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή επενδύσεων κάτω από αβεβαιότητα

Επιλογή επενδύσεων κάτω από αβεβαιότητα Επιλογή επενδύσεων κάτω από αβεβαιότητα Στατιστικά κριτήρια επιλογής υποδειγμάτων Παράδειγμα Θεωρήστε τον παρακάτω πίνακα ο οποίος δίνει τις ροές επενδυτικών σχεδίων λήξης μιας περιόδου στο μέλλον, όταν

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

A research on the influence of dummy activity on float in an AOA network and its amendments

A research on the influence of dummy activity on float in an AOA network and its amendments 2008 6 6 :100026788 (2008) 0620106209,, (, 102206) : NP2hard,,..,.,,.,.,. :,,,, : TB11411 : A A research on the influence of dummy activity on float in an AOA network and its amendments WANG Qiang, LI

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς

Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς Διασπορά Μέτρηση Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς ομάδες έχουν μέση βαθμολογία 6. συνέχεια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 4-4-1 Εισαγωγή Όσο το n αυξάνει, η διωνυμική κατανομή προσεγγίζει... n = 6 n = 1 n = 14 Binomial Distribution:

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC

Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC Περιεχόμενα Μαθήματος Εισαγωγή στο Πρόβλημα. Monte Carlo Εκτιμητές. Προσομοίωση. Αλυσίδες Markov. Αλγόριθμοι MCMC (Metropolis Hastings & Gibbs Sampling).

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας)

Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: Προσοµοίωση (Simulation) και Τυχαίες µεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

Certified Project Manager (CPM) Εξεταστέα Ύλη (Syllabus) Έκδοση 1.0

Certified Project Manager (CPM) Εξεταστέα Ύλη (Syllabus) Έκδοση 1.0 Certified Project Manager (CPM) Εξεταστέα Ύλη (Syllabus) Πνευµατικά ικαιώµατα Το παρόν είναι πνευµατική ιδιοκτησία της ACTA Α.Ε. και προστατεύεται από την Ελληνική και Ευρωπαϊκή νοµοθεσία που αφορά τα

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κατανομές Απώλειας. Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος

Κατανομές Απώλειας. Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Κατανομές Απώλειας Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Απαγορεύεται η αναδημοσίευση, η αναπαραγωγή, ολική ή περιληπτική του περιεχομένου αυτού με οποιονδήποτε τρόπο χωρίς προηγούμενη γραπτή άδεια του

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ. Λέκτορας στο Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Ιανουάριος 2012-Μάρτιος 2014.

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ. Λέκτορας στο Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Ιανουάριος 2012-Μάρτιος 2014. ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ 1. Γενικά στοιχεία Όνομα Επίθετο Θέση E-mail Πέτρος Μαραβελάκης Επίκουρος καθηγητής στο Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων με αντικείμενο «Εφαρμογές Στατιστικής

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Τα γνωστικά επίπεδα των επαγγελματιών υγείας Στην ανοσοποίηση κατά του ιού της γρίπης Σε δομές του νομού Λάρισας

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Τα γνωστικά επίπεδα των επαγγελματιών υγείας Στην ανοσοποίηση κατά του ιού της γρίπης Σε δομές του νομού Λάρισας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΙΑΤΡΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΦΡΟΝΤΙΔΑ ΥΓΕΙΑΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Τα γνωστικά επίπεδα των επαγγελματιών υγείας Στην ανοσοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

η πιθανότητα επιτυχίας. Επομένως, η συνάρτηση πιθανοφάνειας είναι ίση με: ( ) 32 = p 18 1 p

η πιθανότητα επιτυχίας. Επομένως, η συνάρτηση πιθανοφάνειας είναι ίση με: ( ) 32 = p 18 1 p ΑΣΚΗΣΗ 1 ΣΕΜΦΕ 14-15 i. Έστω yi ο αριθμός των προσπαθειών κάθε μαθητή μέχρι να πετύχει τρίποντο. Ο αριθμός των προσπαθειών πριν ο μαθητής να πετύχει τρίποντο θα είναι xi = yi - 1, i = 1,,18. 2 2 3 2 1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ. Ενότητα 4: Δειγματοληψία και Κβάντιση Εικόνας

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ. Ενότητα 4: Δειγματοληψία και Κβάντιση Εικόνας ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ Ενότητα 4: Δειγματοληψία και Κβάντιση Εικόνας Ιωάννης Έλληνας Τμήμα Υπολογιστικών Συστημάτων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Exercises to Statistics of Material Fatigue No. 5

Exercises to Statistics of Material Fatigue No. 5 Prof. Dr. Christine Müller Dipl.-Math. Christoph Kustosz Eercises to Statistics of Material Fatigue No. 5 E. 9 (5 a Show, that a Fisher information matri for a two dimensional parameter θ (θ,θ 2 R 2, can

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕ ΤΟ SPSS To SPSS θα: - Κάνει πολύπλοκη στατιστική ανάλυση σε δευτερόλεπτα -

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Διπλωµατική Εργασία Της Φοιτήτριας του Τµήµατος Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

6 η Δραστηριότητα στο MicroWorlds Pro (1)

6 η Δραστηριότητα στο MicroWorlds Pro (1) 6 η Δραστηριότητα στο MicroWorlds Pro (1) Προχωρημένος Προγραμματισμός με Logo Δομή επιλογής Αν & ΑνΔιαφορετικά Στην δραστηριότητα που ακολουθεί, θα προσπαθήσουμε να βρούμε την απόλυτη τιμή ενός αριθμού,

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Το 1965, από τον Conover και πάλι προτάθηκε ένας άλλος έλεγχος τύπου Smirnov για k ανεξάρτητα δείγματα. Ο έλεγχος αυτός διαφέρει από τον προηγούμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Στις ενότητες που ακολουθούν εξετάζουμε συνεχείς κατανομές με ευρεία χρήση στις εφαρμογές. Σε αυτές περιλαμβάνονται η ομοιόμορφη, η εκθετική, η Γάμμα και η

Διαβάστε περισσότερα

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή 4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapro-Wlk για την Κανονική Κατανομή Ένας άλλος πολύ γνωστός έλεγχος καλής προσαρμογής για την κανονική κατανομή, ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην θέση του ελέγχου Lllefors, είναι

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη

Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Ένα πρόβλημα Πρόβλημα: Ένας μαθητής είχε επίδοση στο τεστ Μαθηματικών 18 και στο τεστ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL. , και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL. , και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL Το πακέτο Excel είναι ένα πρόγραμμα φύλλου εργασίας (spreadsheet) με το οποίο μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς και διαγράμματα που είναι χρήσιμοι στα οικονομικά. Στο Excel το φύλλο εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΔΟΤΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ OLAP Η ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ. Υποβάλλεται στην

ΑΠΟΔΟΤΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ OLAP Η ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ. Υποβάλλεται στην ΑΠΟΔΟΤΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ OLAP Η ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ Υποβάλλεται στην ορισθείσα από την Γενική Συνέλευση Ειδικής Σύνθεσης του Τμήματος Πληροφορικής Εξεταστική Επιτροπή από την Χαρά Παπαγεωργίου

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Πειραιώς Τµήµα Πληροφορικής

Πανεπιστήµιο Πειραιώς Τµήµα Πληροφορικής oard Πανεπιστήµιο Πειραιώς Τµήµα Πληροφορικής Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Πληροφορική» Μεταπτυχιακή ιατριβή Τίτλος ιατριβής Masters Thesis Title Ονοµατεπώνυµο Φοιτητή Πατρώνυµο Ανάπτυξη διαδικτυακής

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΥΘΥΝΤΗΣ: Καθηγητής Γ. ΧΡΥΣΟΛΟΥΡΗΣ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ

ΙΕΥΘΥΝΤΗΣ: Καθηγητής Γ. ΧΡΥΣΟΛΟΥΡΗΣ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ / ΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΗΧΑΝΩΝ ΙΕΥΘΥΝΤΗΣ: Καθηγητής Γ. ΧΡΥΣΟΛΟΥΡΗΣ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

Λήψη αποφάσεων κατά Bayes

Λήψη αποφάσεων κατά Bayes Λήψη αποφάσεων κατά Bayes Σημειώσεις μαθήματος Thomas Bayes (1701 1761) Στυλιανός Χατζηδάκης ECE 662 Άνοιξη 2014 1. Εισαγωγή Οι σημειώσεις αυτές βασίζονται στο μάθημα ECE662 του Πανεπιστημίου Purdue και

Διαβάστε περισσότερα

CRAMER-RAO ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑ - ΑΠΟ ΟΤΙΚΟΙ ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ

CRAMER-RAO ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑ - ΑΠΟ ΟΤΙΚΟΙ ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ CRAMER-RAO ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑ - ΑΠΟ ΟΤΙΚΟΙ ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Θεώρηµα Cramer-Rao Θεώρηµα Cramer-Rao Εστω X = (X 1, X,...,X n ) ένα δείγµα µε από κοινού πυκνότητα πιθανότητας f X

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας κυρίως τρεις μεθόδους:. Αναλυτικές Μέθοδοι: πραγματοποιείται κατάλληλη μαθηματική μοντελοποίηση του στοχαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Διερεύνηση και αξιολόγηση μεθόδων ομογενοποίησης υδροκλιματικών δεδομένων ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Διερεύνηση και αξιολόγηση μεθόδων ομογενοποίησης υδροκλιματικών δεδομένων ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΕΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Εύα- Στυλιανή Στείρου Διερεύνηση και αξιολόγηση μεθόδων ομογενοποίησης υδροκλιματικών δεδομένων ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Αναγνώριση Προτύπων. Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αναγνώριση Προτύπων Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ Χριστόδουλος Χαμζάς Τα περιεχόμενο της παρουσίασης βασίζεται στο βιβλίο: Introduction to Pattern Recognition A Matlab Approach, S. Theodoridis,

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη των Αποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη 5 ο Εξάµηνο. Τµήµα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη των Αποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη 5 ο Εξάµηνο. Τµήµα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη των Αποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη 5 ο Εξάµηνο ηµήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τµήµα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών Ορισµός

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Λυκείου. Γενικής. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Λυκείου. Γενικής. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Λυκείου Γενικής Μαρίνος Παπαδόπουλος Πίνακας Περιεχοµένων Τίτλος Θεµατικές Ενότητες Σελίδες Προλογικό Σηµείωµα υο λόγια προς τους µαθητές 5-6 Μάθηµα Έννοια συνάρτησης Πεδίο ορισµού 7-4 Μάθηµα

Διαβάστε περισσότερα

x π 1 i n Το παραμετρικό μοντέλο πιθανότητας (η

x π 1 i n Το παραμετρικό μοντέλο πιθανότητας (η Η Στατιστική συμπερασματολογία (statstcal ferece είναι η επιστήμη που σκοπό έχει την εξαγωγή συμπερασμάτων για τις παραμέτρους ενός πληθυσμού, δηλαδή την εκτίμηση των παραμέτρων του, μελετώντας δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 7: Παρουσίαση δεδομένων-περιγραφική στατιστική Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΙΜΟΣ ΜΕΙΝΤΑΝΗΣ, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών, ΕΚΠΑ ΓΙΑΝΝΗΣ Κ. ΜΠΑΣΙΑΚΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

Βιογραφικό Σημείωμα. Τόπος γέννησης: Τηλέφωνα: 2610 996745 costas@math.upatras.gr

Βιογραφικό Σημείωμα. Τόπος γέννησης: Τηλέφωνα: 2610 996745 costas@math.upatras.gr Βιογραφικό Σημείωμα Προσωπικά Στοιχεία Επώνυμο: Πετρόπουλος Όνομα: Κωνσταντίνος Τόπος γέννησης: Πάτρα Τηλέφωνα: 2610 996745 E-mail: costas@math.upatras.gr Σπουδές 1995: Πτυχίο Μαθηματικού, Τμήμα Μαθηματικών,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑ, 22 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 201 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Λογαριθμικά Γραμμικά Μοντέλα Poisson Παλινδρόμηση Παράδειγμα στο SPSS

Λογαριθμικά Γραμμικά Μοντέλα Poisson Παλινδρόμηση Παράδειγμα στο SPSS Λογαριθμικά Γραμμικά Μοντέλα Poisson Παλινδρόμηση Παράδειγμα στο SPSS Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει θανάτους από καρδιακή ανεπάρκεια ανάμεσα σε άνδρες γιατρούς οι οποίοι έχουν κατηγοριοποιηθεί κατά ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

Βιογραφικό Σημείωμα. Διεύθυνση επικοινωνίας: Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών

Βιογραφικό Σημείωμα. Διεύθυνση επικοινωνίας: Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Βιογραφικό Σημείωμα Προσωπικά στοιχεία Όνομα: Σταύρος Επώνυμο: Κουρούκλης Έτος γέννησης: 1952 Τόπος γέννησης: Ληξούρι Κεφαλλονιάς Στρατιωτική θητεία: Φεβρουάριος 2002 Οκτώβριος 2003 Οικογενειακή κατάσταση:

Διαβάστε περισσότερα

Η πολυπλοκότητα και η αβεβαιότητα ως διαστάσεις ενός έργου

Η πολυπλοκότητα και η αβεβαιότητα ως διαστάσεις ενός έργου Διοίκηση Έργων Τι είναι έργο Με τον όρο έργο, εκτός από κάθε μεγάλη και μοναδική τεχνική κατασκευή, εννοούμε προϊόντα συστημάτων παραγωγής, που δεν έχουν όλα αυτά τα βασικά χαρακτηριστικά των τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Να δοθούν οι βασικές αρχές των µη παραµετρικών ελέγχων (non-parametric tests). Να παρουσιασθούν και να αναλυθούν οι γνωστότεροι µη παραµετρικοί έλεγχοι Να αναπτυχθεί η µεθοδολογία των

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

Ζημιοκατανομές και Θεωρία Ακραίων Τιμών

Ζημιοκατανομές και Θεωρία Ακραίων Τιμών Ζημιοκατανομές και Θεωρία Ακραίων Τιμών Χατζηκωνσταντής Παναγιώτης ΜΑΕ/07023 Τμήμα Στατιστικής Επιστήμης και Ασφαλίσεων Υγείας M.Sc. Aναλογιστικής Επιστήμης και Risk Mgemet Πανεπιστήμιο Πειραιώς (2007)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΔΙΚΤΥΩΝ ΔΙΑΝΟΜΗΣ. Η εργασία υποβάλλεται για τη μερική κάλυψη των απαιτήσεων με στόχο. την απόκτηση του διπλώματος

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΔΙΚΤΥΩΝ ΔΙΑΝΟΜΗΣ. Η εργασία υποβάλλεται για τη μερική κάλυψη των απαιτήσεων με στόχο. την απόκτηση του διπλώματος ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΔΙΚΤΥΩΝ ΔΙΑΝΟΜΗΣ Η εργασία υποβάλλεται για τη μερική κάλυψη των απαιτήσεων με στόχο την απόκτηση του διπλώματος «Οργάνωση και Διοίκηση Βιομηχανικών Συστημάτων με εξειδίκευση στα Συστήματα Εφοδιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη Επίδοσης Συστημάτων Πολλαπλών Εισόδων Πολλαπλών Εξόδων

Μελέτη Επίδοσης Συστημάτων Πολλαπλών Εισόδων Πολλαπλών Εξόδων Μελέτη Επίδοσης Συστημάτων Πολλαπλών Εισόδων Πολλαπλών Εξόδων Γεώργιος Χ. Αλεξανδρόπουλος Διπλ. Μηχανικός Η/Υ & Πληροφορικής MSc Συστήματα Επεξεργασίας Σημάτων & Εικόνων Εργαστήριο Ασυρμάτων Επικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΙΣΧΥΟΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Κεραυνοπληξία πλοίου: Πειραματική διερεύνηση, μέσω δοκιμών σε μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Πιθανότητες 1.1 Πιθανότητες και Στατιστική... 5 1.2 ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 7 1.3 Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων... 10 1.4 εσμευμένη πιθανότητα Ολική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής. Pr T T0

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής. Pr T T0 ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής Δεσμευμένη αξιοπιστία Η δεσμευμένη αξιοπιστία R t είναι η πιθανότητα το σύστημα να λειτουργήσει για χρονικό

Διαβάστε περισσότερα