ΧΡΗΣΗ ΜΗ-ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΚΤΙΜΗΤΡΙΩΝ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΟΝ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ ΤΩΝ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

Transcript

1 Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 0 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (007), σελ ΧΡΗΣΗ ΜΗ-ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΚΤΙΜΗΤΡΙΩΝ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΟΝ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ ΤΩΝ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μ. Σφακιανάκης 1, Δ. Βεργίνης 1 Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς msfakian@unipi.gr Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς και Τράπεζα της Ελλάδος, dverginis@bankofgreece.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Τα Όρια Ελέγχου των Διαγραμμάτων Ελέγχου Μέσης Τιμής υπολογίζονται με βάση την υπόθεση ότι η δειγματική μέση τιμή ακολουθεί την κανονική κατανομή. Ισχυριζόμαστε ότι η προσέγγιση αυτή είναι λανθασμένη καθώς, η δειγματική μέση τιμή δεν ακολουθεί κανονική κατανομή όταν οι παρατηρήσεις δεν προέρχονται από κανονική κατανομή και το μέγεθος του δείγματος είναι μικρό. Ο ισχυρισμός αυτός υποστηρίζεται από τα αποτελέσματα προσομοίωσης Monte Carlo που διενεργήθηκε και αφορούσε σε δείγματα μεγέθους 3, 5 και 10 από 4 κατανομές ( Uniform (0, 1), Student s t με 5 βαθμούς ελευθερίας, Lognormal με μ= και σ =4 και Weibull με α=1.5 και β=). Για την αντιμετώπιση αυτού του προβλήματος προτείνεται ο καθορισμός των Ορίων Ελέγχου των Διαγραμμάτων Ελέγχου Μέσης Τιμής με τη χρήση μη-παραμετρικών εκτιμητριών ποσοστιαίου σημείου. Ειδικότερα προτείνεται η χρήση μιας εκτιμήτριας ποσοστιαίων σημείων που έχει κατασκευαστεί από τους Μ. Σφακιανάκη και Δ. Βεργίνη. Η αποτελεσματικότητα της νέας μεθόδου υπολογισμού των Ορίων Ελέγχου ελέγχεται σε αντιδιαστολή με την αποτελεσματικότητα της παραδοσιακής μεθόδου με τη χρήση προσομοίωσης Monte Carlo. Εξετάστηκαν δέκα διαφορετικές περιπτώσεις (μέγεθος δείγματος 5 και 5 και μητρική κατανομή Normal (0, 1), Uniform (0, 1), Student s t με 5 βαθμούς ελευθερίας, Lognormal με μ= και σ=4 και Weibull με α=1.5 και β=). Χρησιμοποιήθηκε το κριτήριο του Kupiec για τον έλεγχο του ποσοστού των αποτυχιών. Σε καμία από τις υπό εξέταση περιπτώσεις δεν μπορεί να απορριφθεί η υπόθεση ότι η νέα μέθοδος υπολογίζει σωστά τα Όρια Ελέγχου ακόμη και σε 90% στάθμη εμπιστοσύνης. Ενώ για τη μέθοδο που βασίζεται στην κανονική κατανομή δεν μπορεί να γίνει αποδεκτή η υπόθεση ότι υπολογίζει σωστά τα Όρια Ελέγχου σε 3 περιπτώσεις ακόμη και σε 99% στάθμη εμπιστοσύνης. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα διαγράμματα ελέγχου (Control charts) παρουσιάστηκαν από τον Walter Shewhart (194) των εργαστηρίων Bell και χρησιμοποιούνται κυρίως για την

2 ανίχνευση διαταραχών στις μεθόδους παραγωγής αλλά και την μείωση την μεταβλητότητας. Όλοι τα διαγράμματα ελέγχου έχουν τρία βασικά συστατικά μέρη: Μία κεντρική γραμμή, συνήθως το μέσο όλων των δειγμάτων που αποτυπώνονται. Άνω και κάτω στατιστικά όρια ελέγχου (Upper and lower statistical control limits, UCL and LCL). Οι τιμές μιας συνάρτησης των παρατηρήσεων των δειγμάτων αποτυπωμένες σε σχέση με το χρόνο. Η κατασκευή των διαγραμμάτων ελέγχου μέσης τιμής περιγράφεται από την ακόλουθη διαδικασία: Συλλογή δεδομένων. Χωρισμός των δεδομένων σε n υποομάδες. Υπολογισμός του μέσου X i και του εύρους R i κάθε υποομάδας (i=1,,n). Υπολογισμός της συνολικής μέσης τιμής X και του μέσου εύρους R. Εκτίμηση της τυπικής απόκλισης χρησιμοποιώντας R / d n (d n = σταθερά Hartley). Υπολογισμός των τιμών για τα όρια ελέγχου χρησιμοποιώντας τα X, και R / και κατάλληλες σταθερές. d n Η μέση τιμή ορίζει την κεντρική γραμμή των διαγραμμάτων ελέγχου. Το UCL συνήθως ορίζεται προσθέτοντας τρεις τυπικές αποκλίσεις (3-σίγμα) στη μέση τιμή ενώ το LCL ορίζεται αφαιρώντας 3-σίγμα από τη μέση τιμή. Τα όρια ελέγχου ορίζονται σε απόσταση 3-σίγμα από τη μέση τιμή για να υπάρχει ισορροπία μεταξύ των δύο τύπων λαθών: Τύπος I λάθος συμβαίνει όταν ένα σημείο πέφτει εκτός των ορίων ελέγχου παρότι δεν συντρέχει λόγος. Τύπος II λάθος συμβαίνει όταν ένα σημείο πέφτει εντός των ορίων ελέγχου παρότι έχει συμβεί διαταραχή στη διαδικασία παραγωγής. Όλοι οι έλεγχοι διαδικασιών είναι τρωτοί από τους δύο αυτούς τύπους λαθών. Ο λόγος για τον οποίο τα 3-σίγμα όρια ελέγχου ισορροπούν τον κίνδυνο των λαθών είναι το ότι, για δεδομένα προερχόμενα από κανονική κατανομή, τα σημεία θα είναι εντός των 3-σίγμα ορίων με πιθανότητα 0,9973 όταν η διαδικασία είναι σε έλεγχο. Έτσι τα όρια ελέγχου είναι: Άνω όριο ελέγχου (UCL): X + 3( R/dn )/ n Κάτω όριο ελέγχου (LCL): X 3 R/d )/ n ( n Η θεωρητική βάση της παραπάνω διαδικασίας για την κατασκευή διαγραμμάτων μέσης τιμής παρέχεται από το ότι εάν X =(X 1, X,, X n ) είναι ένα τυχαίο δείγμα με E(X i )=μ και var(x i )=σ < τότε για την κατανομή της δειγματικής μέσης τιμής έχουμε: Εάν X ~ N( μ, σ ) X ~ N( μ, σ / n) In Law Αλλιώς X N( μ, σ / n) Αυτό σημαίνει ότι η κατανομή της δειγματικής μέσης τιμής είναι είτε Κανονική ή τείνει σε Κανονική. Στην πράξη το n είναι σχετικά μικρό και παίρνει τιμές από 3 έως

3 10 έτσι εάν η κατανομή της Χ δεν είναι Κανονική η κατανομή της δειγματικής μέσης τιμής ίσως να μην είναι Κανονική και τα 3-σίγμα όρια ίσως να μην είναι τα ενδεδειγμένα. Προτείνεται μια εναλλακτική διαδικασία για τον καθορισμό των UCL και LCL που δουλεύει ακόμη και όταν τα δεδομένα δεν προέρχονται από την Κανονική κατανομή και το n είναι μικρό. Η νέα μέθοδος βασίζεται στις μη παραμετρικές εκτιμήτριες ποσοστιαίου σημείου. Στη συνέχεια στην Παράγραφο () διερευνάται με τη χρήση προσομοίωσης Monte Carlo το κατά πόσο η δειγματική μέση τιμή ακολουθεί την Κανονική κατανομή όταν το n είναι μικρό. Στην Παράγραφο (3) παρουσιάζονται οι λεπτομέρειες της νέας μεθόδου. Η τελευταία Παράγραφος (4) είναι αφιερωμένη στην σύγκριση της 3-σίγμα και της νέας μεθόδου.. ΑΚΟΛΟΥΘΕΙ ΤΗΝ «ΚΑΝΟΝΙΚΗ» ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΗ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ; Η δειγματική μέση τιμή ακολουθεί Κανονική κατανομή όταν το δείγμα προέρχεται από Κανονική κατανομή. Επιπλέον η δειγματική μέση τιμή ακολουθεί την Κανονική κατανομή εάν το μέγεθος του δείγματος είναι μεγάλο, ανεξάρτητα από την μητρική κατανομή. Αλλά όταν τα δεδομένα δεν προέρχονται από Κανονική κατανομή και το μέγεθος του δείγματος είναι μικρό ακολουθεί η δειγματική μέση τιμή Κανονική κατανομή; Χρησιμοποιήθηκε προσομοίωση Monte Carlo για να απαντηθεί το ερώτημα αυτό. Παρήχθησαν τυχαία δείγματα μεγέθους 3, 5 και 10 με παρατηρήσεις προερχόμενες από 4 διαφορετικές κατανομές: Uniform (0, 1), Student s t με 5 βαθμούς ελευθερίας, Lognormal με μ= και σ =4 και Weibull με α=1.5 και β=. Για κάθε ένα από τα δείγματα υπολογίστηκε η μέση τιμή και δημιουργήθηκαν 1 σειρές δειγματικών μέσων τιμών μεγέθους Χρησιμοποιήθηκαν διάφορες «δοκιμές» (tests) για να ελεγχθεί η κανονικότητα των σειρών. Στον πίνακα 1 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των δοκιμών. Όλες οι δοκιμές δεικνύουν ότι καθώς αυξάνει το n τα δεδομένα προσεγγίζουν την Κανονική κατανομή. Αλλά για μικρά δείγματα μεγέθους 3 ή 5 παρατηρήσεων αλλά ακόμα και για δείγματα μεγέθους 10 σε κάποιες περιπτώσεις τα δεδομένα φαίνεται να μην είναι κανονικά κατανεμημένα. Συγκεκριμένα, με βάση τη Chi-square goodness-of-fit test για όλες τις σειρές εκτός των U-5 και U-10 μπορεί να απορριφθεί η υπόθεση Η0: Οι παρατηρήσεις ακολουθούν Κανονική κατανομή σε 99% στάθμη σημαντικότητας. Την Kolmgorov- Smirnov δοκιμασία περνάνε μόνο οι σειρές T-10, U-3, U-5 και U-10 σε στάθμη σημαντικότητας 99%. Οι τιμές του συντελεστή ασυμμετρίας και της τυποποιημένης ασυμμετρίας υποδηλώνουν ότι τα δεδομένα με μητρική κατανομή την Uniform ή την Student s t έχουν ικανοποιητική συμμετρία και ότι τα δεδομένα με μητρική κατανομή την Lognormal ή την Weibull έχουν μακριά δεξιά ουρά. Τέλος οι τιμές του συντελεστή κύρτωσης και της τυποποιημένης κύρτωσης υποδηλώνουν ότι η U- 10 προσεγγίζεται ικανοποιητικά από την Κανονική κατανομή

4 Συνοψίζοντας τα ανωτέρω φαίνεται ότι όταν η μητρική κατανομή δεν είναι Κανονική τότε ή δειγματική μέση τιμή για μικρά δείγματα είναι πιθανόν να μην ακολουθεί την Κανονική κατανομή Έτσι εάν επιλέξουμε να θέσουμε τα UCL και LCL ώστε το 99.73% των δειγματικών μέσων τιμών να περιέχονται ανάμεσα τους τότε η 3-σίγμα μέθοδος μπορεί να μην είναι η κατάλληλη. Κατανομή Πίνακας 1. Αποτελέσματα δοκιμών προσαρμογής της μέσης τιμή στην Κανονική κατανομή Μέγεθος Δείγματος Chi-square goodness-of-fit test P-Value Z score for skewness P-Value Z score for Kurtosis P-Value Kolmogorov Smirnov DN P-Value Weibull Lognormal U(0,1) T(5) <1E <1E <1E <1E <1E <1E <1E <1E <1E <1E <1E <1E <1E <1E <1E <1E <1E <1E <1E <1E <1E <1E <1E <1E <1E <1E <1E <1E <1E <1E <1E <1E-3 3. ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ UCL ΚΑΙ LCL ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΩΝΤΑΣ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΤΡΙΕΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ Εάν έχουμε μία τυχαία μεταβλητή X η οποία ακολουθεί μια κατανομή και f(x) είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κατανομής, το p ποσοστιαίο σημείο της κατανομής είναι το X p που ικανοποιεί την εξίσωση 1. P(x X p X p ) = p p = f ( x) dx (1) Οι Σφακιανάκης και Βεργίνης (007) παρουσίασαν μία νέα οικογένεια μη παραμετρικών εκτιμητριών (SV) ποσοστιαίου σημείου. Οι SV προκύπτουν εάν ορίσουμε τα διαστήματα S 0 =(L,X (1) ), S 1 =[X (1),X () ), S n =[X (n),u) με U και L

5 συμβολίζουμε το άνω και κάτω όριο της Χ. Ισχύει ότι P(Q p S i ) = i;p), i=0,1,..,n. Εάν Q i είναι μία σημειακή εκτίμηση του Q p υπό τη συνθήκη Q p S i, i=0,1,,n. Μία εκτιμήτρια του Q p παράγεται υπολογίζοντας το SV p = Σ(i;p)Q i ). Η εξίσωση παρουσιάζει μία εκτιμήτρια (SV1 p ) της οικογένειας αυτής η οποία παράγεται θέτοντας Q i =(X (i) +X (i+1) )/: 0) + 1) SV1p = X n 1 i) + i 1) X i i= n) X n n) + X 1 n 1 0) + X 0) X n) + n 1) + X 3 + n () Η μέθοδος 3-σίγμα θέτει τα LCL και UCL συμμετρικά γύρω από την μέση τιμή έτσι ώστε ανάμεσα τους να περιέχονται το 99.73% των παρατηρήσεων. Με άλλα λόγια η μέθοδος 3-σίγμα θέτει το LCL στο ποσοστιαίο σημείο και το UCL στο ποσοστιαίο σημείο. Με βάση την μέθοδο 3-σίγμα τα LCL και UCL υπολογίζονται υποθέτοντας ότι η μέση τιμή ακολουθεί Κανονική κατανομή. Εάν η μέση τιμή δεν ακολουθεί Κανονική κατανομή τότε η 3-σίγμα δεν ορίζει τα σωστά τα LCL και UCL. Εναλλακτικά τα LCL και LCL θα μπορούσαν να οριστούν με τη χρήση μη παραμετρικών εκτιμητριών ποσοστιαίων σημείων. Έτσι χρησιμοποιώντας την SV1 p έχουμε UCL=SV και LCL=SV ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΤΡΙΕΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΕΝΑΝΤΙ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ 3-ΣΙΓΜΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟ ΤΩΝ UCL ΚΑΙ LCL Θα γίνει προσπάθεια να μετρηθεί η αποτελεσματικότητα της νέας μεθόδου, εκτίμησης των LCL και UCL, με χρήση της SV1 p, και της μεθόδου 3-σίγμα. Χρησιμοποιείται Monte Carlo προσομοίωση για την εξέταση των περιπτώσεων που το μέγεθος δείγματος είναι 5 και 5 και η μητρική κατανομή είναι μία εκ των: Normal (0, 1), Uniform (0, 1), Student s t με 5 βαθμούς ελευθερίας, Lognormal με μ=, σ =4 και Weibull με α=1,5 β=. Ένα εργαλείο που θα μπορούσε να βοηθήσει στον έλεγχο της ακρίβειας των δύο μεθόδων είναι ένας έλεγχος για τη βαθμίδα αποτυχίας (failure rate) που παρουσίασε ο Kupiec το Στην περίπτωση του LCL αποτυχία (failure F) έχουμε όταν η μέση τιμή ενός δείγματος είναι μικρότερη του LCL και αντίστοιχα αποτυχία για το UCL έχουμε όταν η μέση τιμή ενός δείγματος είναι μεγαλύτερη του UCL. Εάν υπολογίσουμε τις βαθμίδες αποτυχιών (FR=Sδ/Μ, Sδ είναι το πλήθος των αποτυχιών και M είναι ο πλήθος των δειγμάτων) των LCL και UCL πρέπει να είναι για το LCL και για το UCL. Ο Kupiec όρισε το στατιστικό LR (εξίσωση 3) για το p ποσοστιαίο σημείο και απέδειξε ότι το LR ασυμπτωτικά ακολουθεί Chi-square κατανομή με έναν βαθμό ελευθερίας. LR = ln[(1 p) ( M Sδ ) Sδ δ p ( M Sδ ) S ] + ln[(1-397 ( Sδ- / M )) ( Sδ / M ) ]

6 Άρα για να ελεγχθεί εάν οι τιμές για τα LCL και UCL είναι καλά ορισμένες (LCL = ποσοστιαίο σημείο και UCL = ποσοστιαίο σημείο) μπορεί να διεξαχθεί η δοκιμασία: H0: LCL (UCL) = ποσοστιαίο σημείο ( ποσοστιαίο σημείο) H1: LCL (UCL) είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από το ποσοστιαίο σημείο ( ποσοστιαίο σημείο) Στατιστικό: LR Με χρήση προσομοίωσης Monte Carlo παρήχθησαν τυχαία δείγματα μεγέθους 5 και τυχαία δείγματα μεγέθους 5, από κάθε προαναφερθείσα κατανομή. Τα δείγματα αυτά χρησιμοποιήθηκαν για τον ορισμό των UCL και LCL τόσο με τη νέα μέθοδο όσο και με την μέθοδο 3-σίγμα. Σε κάθε μία από τις 10 υπό εξέταση περιπτώσεις (10= μεγέθη δείγματος επί 5 μητρικές κατανομές) βρέθηκε το πλήθος των αποτυχιών τόσο για το LCL όσο και για το UCL και υπολογίστηκε το LR και το p-value (πίνακας ). Με βάση τα p-value παρατηρούνται τα παρακάτω: Για την νέα μέθοδο η H0 δεν μπορεί να απορριφθεί σε καμία περίπτωση ακόμη και σε 10% στάθμη σημαντικότητας. Άρα δεν μπορεί να απορριφθεί ο ισχυρισμός ότι η νέα μέθοδος θέτει σωστά τα UCL, LCL σε καμία από τις υπό εξέταση περιπτώσεις Για την μέθοδο των 3-σίγμα η H0 δεν μπορεί να γίνει αποδεκτή σε τέσσερις περιπτώσεις σε 5% σ. σ. σε εκ των οποίων σε ακόμη και σε 1% σ. σ.. Άρα η υπόθεση ότι η μέθοδος 3-σίγμα θέτει σωστά τα UCL, LCL δεν μπορεί να γίνει αποδεκτή σε 4 από τις 10 υπό εξέταση περιπτώσεις Κατανομή Πίνακας. Αποτελέσματα δοκιμών προσαρμογής της μέσης τιμής στην Κανονική κατανομή Μέγ. Δείγμ. Μέθοδος Kupiec LCL p-value Αποτυχίες LCL Kupiec UCL p-value Αποτυχίες UCL (3) LogNormal N(0,1) ( σίγμα,701 0, ,51 51,785 0, ,357 5 SV1 0,099 0, ,551 3,00 0, , σίγμα,701 0, ,819 7,655 0, ,13 5 SV1 0,099 0, ,189 3,00 0, , σίγμα 0,099 0, ,365 0,150 0,30 1,394 5 SV1 0,099 0, ,35 0,189 0, , σίγμα 0,099 0, ,607 3,00 0, ,610 5 SV1 0,7 0, ,581 0,189 0, , σίγμα 5,809 0, ,709 1,161 0, ,

7 U(0,1) Weibull 5 SV1 0,7 0, ,008 3,00 0,916 0, σίγμα 0,099 0, ,854 3,00 0, ,859 5 SV1 0,099 0, ,807 0,150 0,30 0, σίγμα,701 0, ,111 0,189 0, ,894 5 SV1 0,099 0, ,139 0,189 0, , σίγμα 11,773 0, ,358,85 0, ,64 5 SV1 0,7 0, ,335 3,00 0, , σίγμα,701 0, ,181,85 0, ,479 5 SV1 0,099 0, ,531 3,00 0, , σίγμα,701 0, ,096 0,189 0,336 1,57 5 SV1 0,7 0, ,183 0,189 0,336 1,5 Άρα η νέα μέθοδος φαίνεται να θέτει σωστά τα όρια ελέγχου σε όλες τις υπό εξέταση περιπτώσεις, ενώ η μέθοδος 3-σίγμα αποτυγχάνει να θέσει σωστά όρια ελέγχου σε κάποιες περιπτώσεις κυρίως όταν το μέγεθος του δείγματος είναι μικρό. ABSTRACT The estimations of the control limits of control charts are based on the fact that the sample mean of a distribution follows asymptotically a normal distribution. It is argued that the sample mean is not normally distributed when the data are not coming from a normal distribution and the sample size is small. This argument is supported by the findings of a Monte Carlo simulation study regarding samples of size 3, 5 and 10 with data coming from 4 distributions ( Uniform (0, 1), Student s t with 5 degrees of freedom, Lognormal with μ= and σ =4 and Weibull with α=1.5 and β=). In order to overcome this problem the use of nonparametric quantile estimators for estimating the control limits is proposed. The performance of the new method versus the performance of the traditional method is examined using Monte Carlo simulation. Ten different cases were investigated (sample size 5 and 5 and parent distribution Normal (0, 1), the Uniform (0, 1), Student s t with 5 degrees of freedom, Lognormal with μ= and σ=4 and Weibull with α=1.5 and β=). The failure rate test of Kupiec was used. In all of the cases examined the hypothesis that the new method correctly computes the control limits can not be rejected even at 90%. confidence level On the other hand the hypothesis that the traditional method correctly computes the control limits can not be accepted even at 99% confidence level for three of the cases examined. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Alwa C., L., (1995), The problem of misplaced control limits, Applied statistics, Vol 44, No. 3. Caulcutt, R., (1995), The rights and wrongs of the control charts, Applied statistics, Vol 44, No. 3. Grant, E., L., and Leavenworth, R., S., (1999), al quality control 7 th editio McGraw-Hill. Kupiec, P., (1995), Techniques for verifying the accuracy of risk measurement models, Journal of Derivatives (December)

8 Montgomery, D., C., (001), Introduction to statistical quality control 4 th editio John Wiley & Sons Mathworld.wolfram.com Sfakianakis, E., M., and Verginis, G., D., (007) A new Family of Nonparametric Quantile Estimators Communications in \s, Vol. 37, No. Shewhart, W. A. (194) Some applications of statistical methods to the analysis of physical and engineering data. Bell Technical Journal, Vol.3, pp