ΜΔΛΔΣΖ ΑΡΥΑΗΩΝ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΩΝ ΚΔΗΜΔΝΩΝ ΚΑΗ ΔΝΣΑΞΖ ΣΟΤ ΣΖΝ ΓΗΓΑΚΑΛΗΑ ΣΖ ΓΔΩΜΔΣΡΗΑ

Transcript

1 ΜΛΣΖ ΡΥΗΩΝ ΜΘΖΜΣΗΚΩΝ ΚΗΜΝΩΝ ΚΗ ΝΣΞΖ ΣΟΤ ΣΖΝ ΗΚΛΗ ΣΖ ΩΜΣΡΗ Κώζηο Μιιηάθο Κζεεηήο.., ν Λ Ρόδνπ, Σάζνο σηεξάθεο, Κζεεηήο.., ν Λ Ρόδνπ, ΘΜΣΗΚΖ ΝΟΣΖΣ ηδθηηθέο πξνηάζεηο δηδζθιίο Μζεκηηθώλ ηεο /ζκηο θπίδεπζεο ΠΡΗΛΖΦΖ ηελ εξζί πηή πξνζπζήζκε λ επηιέμνπκε δξζηεξηόηεηεο κέζ πό θείκελ ξρίσλ ιιήλσλ εσκεηξώλ πνπ θνξνύλ θπξίσο ηελ έλλνη ηνπ εκδνύ θη λ πνηππώζνπκε η ζρεηηθά μηώκη θη ζεσξήκη, λ δηθξίλνπκε νκνηόηεηεο θη δηθνξέο ζηελ θηινζνθί ησλ ζπξθέσλ ηνπο θη λ λδείμνπκε ηελ ρξεζηκόηεη ηεο Ηζηνξίο ησλ Μζεκηηθώλ εηδηθόηεξ ζηελ δηδζθιί ηνπ θεθιίνπ ησλ εκδώλ ζην κάζεκ ηεο εσκεηξίο ηεο Λπθείνπ. ABSTRACT In this project we tried to select activities from texts of Ancient Greek Geometers which especially concern the concept of area and to depict the relative axioms and theorems, to distinguish the similarities and differences in the philosophy of the writers and to show the usefulness of the History of Maths, especially in teaching the chapter of Area in the lesson of Geometry in the nd Grade of Lyceum. ΗΧΖ Ζ έλλνη ηνπ εκδνύ ήηλ πνιύ ζεκληηθή πό η ξρί ρξόλη. Πνιινί Έιιελεο Μζεκηηθνί όπσο ν πθιείδεο, ν ξρηκήδεο, ν Ήξσλο θη άιινη πνπ θηάθεξλ κε δηθνξεηηθέο πξνζείζεηο ιιά θη θνηλά ζεκεί λ λπηύμνπλ ζεκληηθέο ζεσξίεο, ηερληθέο θη κεζόδνπο κε άζε η εκδά. ηόρνο ηεο εξζίο κο είλη λ ίλεη ε πθιείδεη εσκεηξί πην ειθπζηηθή θη επράξηζηε ζηνπο κζεηέο όισλ ησλ ηάμεσλ θη εηδηθόηεξ ζηνπο κζεηέο ηεο Λπθείνπ πνπ πηζηεύνπκε όηη είλη ε ηάμε ζηελ νπνί έρεη ππνζκηζηεί πεξηζζόηεξν πό νπνηδήπνηε άιιε ηάμε η πξνθλείο ιόνπο ην κάζεκ ηεο εσκεηξίο. Οη ζηθνί άμνλεο πνπ

2 πξνηείλνπκε λ θηλεζεί ν «άζθινο ησλ Μζεκηηθώλ» η λ πεηύρεη πηό ηνλ ζηόρν πεξλνύλ κέζ πό ηζηνξηθά εσκεηξηθά πξνιήκη πνπ ζ δείμνπλ ηνλ ηξόπν ζθέςεο θη ηελ θηινζνθί ησλ ξρίσλ. ΘΧΡΖΣΗΚΟ ΠΛΗΗΟ Οη ζεκειηώδεηο έλλνηεο ηεο εσκεηξίο είλη ε ηζόηεη, ε νκνηόηεη, ην εκδόλ θη ν όθνο. Ζ εσκεηξί είλη ε κειέηε ησλ ζρεκάησλ κέζσ ησλ ηεξξρεκέλσλ ηδηνηήησλ ηνπο. Τ ζρήκη κπνξεί λ είλη ίζ. Όηλ δελ είλη ίζ κπνξεί λ κνηάδνπλ νπόηε είλη όκνη θη όηλ δελ κνηάδνπλ, κπνξεί λ κεηξεζνύλ θη λ νπλ ίζ, δειδή λ είλη ηζεκδηθά. η λ ίλεη πηή ε κειέηε πξέπεη λ κπνπλ η μηώκη, πξέπεη πηέο νη έλλνηεο λ ζεσξεηηθνπνηεζνύλ θη κεηά λ ξνύκε θη εξιεί ώζηε λ ππόθεηληη ζε ινηζκό. ειδή ζθνπεύνπκε ζην εκδόλ; Πξέπεη λ ξεζνύλ εξιεί η νπνί λ ππνινίδνπλ ην εκδόλ. Ο ππνινηζκόο δελ είλη θη λάθε ξηζκεηηθόο. Μπνξεί λ είλη ινξηζκηθόο. ειδή ην εκδόλ είλη ζεσξεηηθή έλλνη. Είλη ην δηκεξηζηηθό εκδόλ. Τν εκδόλ ηνπ ηξηώλνπ δελ είλη θη λάθε ν ηύπνο έλ δεύηεξν, άζε επί ύςνο. Είλη κη νιόθιεξε δηδηθζί, πνπ κπνξεί λ ζπθξίλεη η ζρήκη ηεκρίδνληο η θη ζπθξίλνληο η ζπζηηηθά ηνπο (Λάππο., 009). Η επθή κε πξσηόηππεο πεέο, ε ελζρόιεζε κε εξζίεο πνπ έρνπλ πξνζληνιηζκό πξνο ηελ ηζηνξί θη ε πξνζπάζεη λθηζθεπήο κηο κεζόδνπ ή ιύζεο ελόο πξνιήκηνο άζεη πξσηόηππσλ ή θη δεπηεξνελώλ πεώλ, πξνζνκνηώλεη ηελ δηδηθζί δεκηνπξίο ζηνλ ρώξν ησλ Μζεκηηθώλ κε επεξεηηθά πνηειέζκη ηόζν η ηνλ δηδάζθνλη, όζν θη η ηνλ δηδζθόκελν. Μέζσ ηεο Ιζηνξίο ησλ Μζεκηηθώλ ν δάζθινο ησλ Μζεκηηθώλ κπνξεί λ έρεη κη επξεί δεμκελή πξνιεκάησλ, εξσηεκάησλ, θηζηάζεσλ θιπ η ηνλ εκπινπηηζκό ηεο δηδζθιίο ηνπ θη ηελ θηλεηνπνίεζε ησλ κζεηώλ ηνπ (Τδλάθεο Κ., 009) Ο δηδάζθσλ έρεη ηελ δπληόηεη λάιν κε ηελ ηάμε θη ην επίπεδν ησλ κζεηώλ λ επηιέεη ηηο δξζηεξηόηεηεο πνπ ζ θέξνπλ ην έιηηζην πνηέιεζκ. ΣΟ ΜΟ Μ ΡΥΗ ΚΗΜΝ η «ηνηρεί» ηνπ ν πθιείδεο ρξεζηκνπνηνύζε ηελ ιέμε «πεξηερόκελν» ληί η «εκδό» ζρήκηνο θη κάιηζη ηελ ζεσξνύζε πνιύ λσζηή θη πξνθλή έλλνη νπόηε δελ ρξεηάζηεθε λ ηελ νξίζεη, όπσο επίζεο δελ όξηζε ηελ ηζόηεη εκδώλ θη ηηο ηδηόηεηεο ηεο λ θη ηηο ρξεζηκνπνηεί (Κ.Κ.Κ., 00). πίζεο δελ ελδηθεξόηλ η ηνλ ξηζκεηηθό ππνινηζκό ησλ εκδώλ ιιά η ηελ λσή ησλ εκδώλ

3 ζε εκδά λσζηώλ ζρεκάησλ όπσο η πξάδεηκ ζε εκδά ηεηξώλσλ (ηεηξσληζκόο). Ζ λσή πηή ηλόηλ κε ζύθξηζε ησλ εκδώλ ελώ η θκππιόξκκ ζρήκη ηλόηλ κε κη ζύλζεζε ζύθξηζεο θη ππνινηζκνύ πνπ ρξεζηκνπνηνύζε θη ν ξρηκήδεο. Σ εκδά δύν επζπξάκκσλ ζρεκάησλ ζεσξνύληλ ίζ λ ην θζέλ πό πηά κπνξνύζε λ δηηξεζεί ζε ππν-ζρήκη η νπνί ήηλ δπληό λ ληηζηνηρεζνύλ έηζη ώζηε η ληίζηνηρ κεημύ ηνπο ππν-ζρήκη λ είλη ίζ (ηζεκδηθά) (ηξάληδινο Υ., 987). Οη ζρεηηθέο κε η εκδά «θνηλέο έλλνηεο - μηώκη» πνπ ρξεζηκνπνηνύζε ν πθιείδεο ζη «ηνηρεί» θη ρξεζηκνπνηνύληη λιόσο ζήκεξ ζηελ εθπίδεπζε είλη:. ύν ίζ ζρήκη είλη ηζεκδηθά.. Σν άζξνηζκ θη ε δηθνξά ηζεκδηθώλ ζρεκάησλ νξίδεη ηζεκδηθά ζρήκη. 3. Σ κηζά ηζεκδηθώλ ζρεκάησλ είλη ηζεκδηθά ζρήκη. 4. Σν εκδόλ ζρήκηνο είλη κειύηεξν πό ην εκδόλ κέξνπο ηνπ ζρήκηνο. 5. ύν ηζεκδηθά ηεηξάσλ έρνπλ ίζεο πιεπξέο. 6. Σν εκδόλ ηεηξώλνπ πιεπξάο είλη ηεηξσληθή κνλάδ. δώ κπνξνύκε θη πξέπεη λ ηνλίζνπκε όηη δύν ηζεκδηθά ζρήκη δελ είλη πξίηεη ίζ θη κάιηζη ζ θνινπζήζνπκε θπξίσο ηελ ηερληθή κεηηξνπήο ελόο ζρήκηνο ζε άιιν ηζνδύλκν λσζηνύ ηύπνπ η ηελ πόδεημε ησλ ηύπσλ ησλ εκδώλ ζηθώλ πνιπώλσλ μηνπνηώληο θη ηηο πξπάλσ έλλνηεο. Πηζηεύνπκε όηη ε πξνπζίζε κεξηθώλ πξνηάζεσλ ησλ «ηνηρείσλ» ζ θηλήζεη ην ελδηθέξνλ ησλ κζεηώλ θη ζ δηεπθνιύλεη ηελ θηλόεζε ηερληθώλ η πνδείμεηο ζεσξεκάησλ ή ηελ επίιπζε λάινσλ ζθήζεσλ. ηδηθά ε ινηθή ηεο ιιεινπρίο ησλ πξνηάζεσλ 34 έσο 4 είλη εληππσζηθή θη ρξήζηκε ζε κη πόδεημε ηνπ ππζνξείνπ ζεσξήκηνο πνπ ππάξρεη θη ζε ηζηνξηθό ζεκείσκ ζην ζρνιηθό ηιίν ηεο πθιείδεηο εσκεηξίο. ηδηθόηεξ νη πξνηάζεηο πηέο ησλ «ηνηρείσλ» λθέξνπλ. Π.34: Σ εκδά ηξηώλσλ ζη νπνί δηηξείηη έλ πξιιειόξκκν πό κη δηώλην ηνπ είλη ίζ. Π.35-36: ύν πξιιειόξκκ πνπ έρνπλ ίδη άζε (ίζεο άζεηο ζηελ ίδη επζεί) θη ηηο πξάιιειεο ζε πηή πιεπξέο ζηελ ίδη επζεί, έρνπλ ίζ εκδά. Π.37-38: ύν ηξίσλ πνπ έρνπλ ίδη άζε (ίζεο άζεηο ζηελ ίδη επζεί) θη θνξπθέο ζε επζεί πξάιιειε ζηελ επζεί ηεο άζεο, έρνπλ ίζ εκδά.

4 Π : ληίζηξνθεο ησλ Π4: λ έλ πξιιειόξκκν θη έλ ηξίσλν έρνπλ ίδη άζε θη ξίζθνληη κεημύ πξιιήισλ ηόηε ην εκδόλ ηνπ πξιιεινξάκκνπ είλη δηπιάζην πό ην εκδόλ ηνπ ηξηώλνπ. 3 4 πηέο νη πξνηάζεηο ρξθηεξίδνληη πό ηνλ Πξόθιν, ζρνιηζηή ησλ ηνηρείσλ ηνπ πθιείδε, σο ζεσξήκη «ηόπνπ» θη ζλ «πξάδνμ» ζεσξήκη θνύ η πξάδεηκ κπνξεί έλ ηξίσλν λ έρεη πεξίκεηξν πνπ λ «ηείλεη ζην άπεηξν» θη ην εκδόλ ηνπ λ πξκέλεη «λιινίσην». Ν ηνλίζνπκε εδώ θη ηελ πξνζηηζέκελε μί ησλ ελλνηώλ «όξην», «άπεηξν», «λιινίσηε». πίζεο ε πόδεημε ηεο πξνηάζεσο 35 πνπ ρξεζηκνπνίεζλ ν πθιείδεο θη ν ξρηκήδεο πεξηέρεη ζηθέο έλλνηεο ηεο ζεσξίο ησλ ηζνδηρσξίζηκσλ ζρεκάησλ (Θεώξεκ Bolyai Gerwin: λ δύν επίπεδ ζρήκη είλη ηζνδηρσξίζηκ ηόηε είλη ηζεκδηθά θη ληηζηξόθσο (Κ.Κ.Κ.,00). Οη πξνηάζεηο πό ηελ 43 κέρξη θη ηελ 45 είλη εμηξεηηθά ρξήζηκεο ζηε ζεσξί ησλ εκδώλ. πηέο νη πξνηάζεηο έδσζλ ηελ δπληόηεη ζηνπο ξρίνπο Έιιελεο Μζεκηηθνύο θη θπξίσο ζηνπο Ππζνξείνπο λ δεκηνπξήζνπλ πηό πνπ νλνκάζζεθε «εσκεηξηθή Άιεξ». ηδηθόηεξ ε πξόηζε 44 πνπ λθέξεηη ζηελ θηζθεπή ελόο πξιιεινξάκκνπ κε δνζείζ πιεπξά, κη σλί δνζείζ θη εκδόλ ίζν κε ην εκδόλ δνζέληνο ηξηώλνπ, ρξθηεξίζηεθε πό πνιινύο κειεηεηέο (πρ. Heath) σο ε εληππσζηθόηεξε ηεο εσκεηξίο. Ο Πξόθινο λθέξεη όηη ν ύδεκνο θη νη κζεηέο ηνπ (νη πεξί ηνλ ύδεκνλ) πέδηδλ ηελ πξόηζε πηή ζηελ «Ππζόξεη Μνύζ» θη λθέξεη όηη ε ηζόηεη εκδώλ (πξνιή) θη ε ληζόηεη εκδώλ (ππεξνιή ή έιιεηςε), ζηάζεθλ ε θνξκή η ηελ νλνκζί ησλ ληίζηνηρσλ θσληθώλ ηνκώλ. (Κ.Κ.Κ.,00). η έξ ηνπ Ήξσλ πό ηελ ιεμάλδξεη «Ολόκη εσκεηξηθώλ όξσλ εσκεηξηθά Μεηξηθά ηόπηξ» (Κεπνπξόο Υ., 995) ν Ήξσλο λθέξεη όηη η ληηθείκελ ηεο κεηξήζεσο επηθλεηώλ είλη η ηεηξάσλ, ηξίσλ, ξόκνη, ηξπέδη θη θύθινη. Ηζρύνπλ η πηά 8 ζεσξήκη πό

5 η νπνί λθέξνληη ζε ηεηξάπιεπξ (ην ηζόπιεπξν νξζνώλην θη ην νξζνώλην πξιιειόξκκν), 6 ζε ηξίσλ (ηζόπιεπξν, ηζνζθειέο, ζθιελό, νξζνώλην, νμπώλην, κιπώλην), ζε ξόκνπο (ξόκνο θη ξνκνεηδέο), 4 ζε ηξπέδη (νξζνώλην ηξπέδην, ηζνζθειέο, νμπώλην, κιπώλην) θη 4 ζε θύθινπο (θύθινο, ςίο, εκηθύθιην θη ηκήκη κηθξόηεξ ή κειύηεξ ηνπ εκηθπθιίνπ). η έξ πηά πξνπζηάδεη ιύζεηο δηθόξσλ ππνινηζηηθώλ πξνιεκάησλ κέηξεζεο εκδώλ ησλ πξπάλσ ζρεκάησλ επηιεκέλσλ όκσο κε θηάιιειεο δηζηάζεηο η πξθηηθνύο ιιά θη πηδσηθνύο ιόνπο πνπ κπνξνύκε θη εκείο λ μηνπνηήζνπκε ζηελ δηδζθιί κο. ην ζεκείν πηό λ πξηεξήζνπκε ηελ δηθνξά λάκεζ ζηνλ πθιείδε πνπ δελ ελδηθεξόηλ ηόζν η ξηζκεηηθνύο ππνινηζκνύο θη ζηνλ Ήξσλ πνπ θπξίσο ππνιόηδε εκδά. λ κειεηήζνπκε πξνζεθηηθά ηελ ινηθή ηεο επηινήο ησλ δηζηάζεσλ ησλ ζρεκάησλ πηώλ κπνξνύκε λ πξνζδώζνπκε ζηελ δηδζθιί κο λθιππηηθό ιιά θη δηζεκηηθό ρξθηήξ. Ο Ήξσλο επηιέεη η ζρήκη ζπλήζσο κε ηέηνην ηξόπν ώζηε νη δηζηάζεηο ιιά θη άιι ζηνηρεί ηνπο θη ην εκδό ηνπο λ είλη θέξηνη, εθκεηιιεπόκελνο πνιύ ηηο 5 5 ππζόξεηεο ηξηάδεο θη 4 ζπλδπζκνύο ηξηώλσλ πνπ 3 3 ηθλνπνηνύλ ην Ππζόξεην Θεώξεκ όπσο η πξθάησ ζρήκη. Ο Ήξσλο ξρηθά ππνινίδεη ην ύςνο ηνπ ηξηώλνπ ρξεζηκνπνηώληο 30 6 πηό πνπ νλνκάδνπκε εκείο ζήκεξ ελίθεπζε ηνπ ππζνξείνπ 5 ζεσξήκηνο η λ ππνινίζεη ηελ πξννιή κηο πιεπξάο θη θηόπηλ ην ππζόξεην ζεώξεκ η λ ππνινίζεη ην ύςνο θη κεηά ην εκδόλ. ε επόκελ όκσο πξνιήκη ηνπ, δείρλεη ηνλ ππνινηζκό ηνπ εκδνύ ρσξίο λ ππνινίδεη ην ύςνο, δειδή ην λσζηό ηύπν ηνπ

6 Ήξσλ πνπ ππνινίδεη ην εκδό κόλν πό ηηο πιεπξέο. δώ ππάξρεη ε δπληόηεη λ εθκεηιιεπηνύκε θη ηελ νκνηόηεη θη λ πξθηλήζνπκε ηνπο κζεηέο λ ρξεζηκνπνηήζνπλ η πνηειέζκη εκδώλ ελόο ζρήκηνο ώζηε λ ππνινίζνπλ θάπνηνπ όκνηνπ κε πηό κε ιόν εκδώλ νκνίσλ ηξηώλσλ. Πξηεξνύκε όηη ηξίσλ κε ίδηεο δηζηάζεηο ρξεζηκνπνηεί θη ζη πξιιειόξκκ θη ζη ηξπέδη πνπ επηιέεη. πίζεο ρξεζηκνπνηείηη θη ε κέζνδνο ηεκρηζκνύ η ηνλ ππνινηζκό ηνπ εκδνύ πό η ππνζρήκη ζη νπνί δηηξείηη πηό Ζ επηινή πηώλ ησλ ζρεκάησλ λ ηνπνζεηεζνύλ ζε πιέκ επλνεί επίζεο ηελ πιεξνθόξεζε ησλ κζεηώλ η ην ζεώξεκ ηνπ Pick πνπ ιέεη όηη ην εκδόλ ελόο πνιπώλνπ πνπ νη θνξπθέο ηνπ είλη ζεκεί ελόο πιέκηνο εμξηάηη πό ην πιήζνο ησλ ζεκείσλ ηνπ πιέκηνο πνπ ππάξρνπλ θελόο ζην εζσηεξηθό ηνπ πνιπώλνπ θη θεηέξνπ πάλσ ζηελ πεξίκεηξν ηνπ πνιπώλνπ. πθεθξηκέλ λ Μ ην πιήζνο ησλ ζεκείσλ ζην εζσηεξηθό ηνπ πνιπώλνπ θη Ν ην πιήζνο ησλ ζεκείσλ ζηελ πεξίκεηξν ηνπ, ηόηε ην εκδόλ ηνπ πνιπώλνπ δίλεηη πό ηελ ζρέζε = Μ + Ν/ -. πλήθος ζημείων πλέμηος ζε πλεσρές = 7 πλήθος εζωηερικών ζημείων πλέμηος = 8 εμδό (με Θ. Pick) = 8 + 7/ - = 94,5 εμδό με ηεμτιζμό Ο () = () + () = (9+5) ,5 = 94,5 =

7 πηζεκίλνπκε εδώ θη ηελ πηζλή δηζύλδεζε ηηο δηδζθιίο κε έλλνηεο ηεο ζεσξίο ξηζκώλ, κε άζε ηελ εσκεηξηθή πόδεημε ησλ ζρέζεσλ λ = λ(λ+)/ θη (λ ) = λ πνπ θίλνληη ζη πξθάησ ζρήκη (Κνιέδ., νύξιο Κ., 990) ή ηελ εσκεηξηθή πόδεημε ηεο ληζόηεηο Cauchy η λ = (λλώζηνπ Κ., 990). ρμ. = ορθο = 5 (5 + ) = 3 45 o (Ε) + () > () 45 o οπόηε + > x + y κι ν θέζοσμε = x κι = y ηόηε > x y Ε Μεηά ηελ δηδζθιί ησλ ηύπσλ ππνινηζκνύ εκδώλ ζηθώλ ζρεκάησλ ζηελ Λπθείνπ θνινπζνύλ νη δηάθνξνη ηύπνη ππνινηζκνύ εκδνύ ηξηώλνπ πνπ πξνθλώο είλη πό η ζεκληηθόηεξ εσκεηξηθά ζρήκη κε η νπνί ζρνινύκζηε. Σν κάζεκ εδώ ίλεηη ξθεηά ιεξηθό θνύ ρσξίο λ ππάξρεη ζρήκ κπνξνύκε λ ξνύκε δηάθνξνπο ζπκκεηξηθνύ θη θνκςνύο ηύπνπο πνπ ζπλδένπλ ζηνηρεί ελόο ηξηώλνπ θη πξνθύπηνπλ κε θηάιιειν ζπλδπζκό ησλ ηύπσλ πηώλ. Τπάξρνπλ θη ζη ζρνιηθά ηιί λάινεο ζθήζεηο ιιά πηζηεύνπκε όηη ράλεηη ιίν ε νεηεί ηεο εσκεηξίο ζε πηέο θη πξέπεη λ ρξεζηκνπνηνύληη κε κέηξν. λδεηθηηθά λθέξνπκε ηνπο πξθάησ ηύπνπο ζθήζεηο. 3 ) κ κ κ ( ) ) =4ηξR 4 η(η ) 3) δ 4) π π π ξ Σν επόκελν κέξνο είλη η ζεσξήκη ζρεηηθά κε ιόνπο εκδώλ η ηξίσλ θπξίσο, πνπ έρνπλ είηε κη πιεπξά ίζε ή έλ ίζν ύςνο ή είλη όκνη ή έρνπλ κη σλί ηνπο ίζε ή πξπιεξσκηηθή. ίλη κη πνιύ ελδηθέξνπζ ελόηεη λ ζθεθηνύκε θηόιο όηη ν πθιείδεο ζη «ηνηρεί» θπξίσο ελδηθέξεηη η ζύθξηζε εκδώλ πνπ ίλεηη κε ιόνπο θη όρη η ππνινηζκό εκδώλ. πίζεο κη ζεηξά εσκεηξηθώλ πξνιεκάησλ θη ζηνλ πθιείδε θη ζηνλ Ήξσλ θη ζε άιινπο λθέξεηη ζηνλ ρσξηζκό ζρήκηνο ζε κέξε πνπ ηθλνπνηνύλ κη λινί

8 πξνθλώο ηηί θη η πξθηηθνύο ιόνπο πνιινί ινί ρξεηάδνληλ λ δηκεξίζνπλ εθηάζεηο κε δίθην θη όρη ηπρίν ηξόπν. δώ επηάιιεηη λ ηνλίζνπκε ηελ ρξεζηκόηεη ηεο πξόηζεο όηη ε δηάκεζνο ηξηώλνπ ην ρσξίδεη ζε δύν ηζνδύλκ ηξίσλ πνπ είλη λθί η ηελ επίιπζε ξθεηώλ ζθήζεσλ. Μη ελδηθέξνπζ ζρεηηθή δξζηεξηόηεη είλη θη ε δηεξεύλεζε δηκέξηζεο ελόο ηξηώλνπ ζε ή 3 ή 4 ή 6 ηζνδύλκ ρσξί κε δηάθνξνπο ηξόπνπο. Πξνιήκη ρσξηζκνύ ελόο ηξηώλνπ ζε κέξε κε ζπθεθξηκέλν ιόν θη κε δηάθνξνπο ηξόπνπο ζπλληάκε πάιη ζηνλ Ήξσλ (Κεπνπξόο Υ., 000). Πρόλημ: Ν δηηξεζεί ηξησληθό ρσξίν ζε δύν ηξησληθά ρσξί η νπνί έρνπλ θνηλή θνξπθή θη η εκδά ηνπο έρνπλ δνζέλη ιόν. Ο Ήξσλο ιύλεη επίζεο ην πξόιεκ δηίξεζεο ηνπ ίδηνπ ηξηώλνπ ζε δύν ρσξί κε δνζέλη ιόν κε επζεί πξάιιειε ηεο άζεο ή κε επζεί πνπ ηέκλεη δύν πιεπξέο. B ην πξώην πξόιεκ ν Ήξσλο επηιέεη πάιη ηξίσλν κε πιεπξέο 3, 4, 5 (ην νπνίν έρεη θη θέξην εκδό 84) θη ιόν 5/3. Ζ ηερληθή ηνπ, ζίδεηη θη ζε κη ηδηόηεη λινηώλ (πνπ θιεί ζύλζεζε) ε νπνί κεηηξέπεη ην ιόν ζε ζρέζε κε ην ξρηθό ηξίσλν δειδή θάλεη ηελ κεηηξνπή: ( ) 5 ( ) 5 ( ) 5 5 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) 3 5 ( ) 8 8 πίζεο ρξεζηκνπνηεί η ηελ εύξεζε ησλ ζεκείσλ, ηελ ηερληθή δηίξεζεο ηκήκηνο ζε δνζέλη ιόν. δώ πξέπεη λ ηνλίζνπκε ηελ μί θη ηελ ινηθή ηεο πξπάλσ ηδηόηεηο λινηώλ ζε πηά η πξνιήκη πνπ ρξεζηκνπνηεί ζπρλά ν Ήξσλο θη ν πθιείδεο ε νπνί δηθηνινεί θη ηελ ύπξμε ηνπο ζλ θεθάιην ηεο πθιείδεηο εσκεηξίο λ θη θίλεηη ζλ Άιεξ. ξζηεξηόηεηεο πνπ νεζνύλ ζηελ θηλόεζε ηεο ζεσξίο ησλ ιόσλ εκδώλ είλη θη άιιε Ε πόδεημε ηνπ Ππζνξείνπ Ε Θεσξήκηνο ή ηνπ ζεσξήκηνο A

9 Θ Η Λ Ζ Ε 3 Κ = + 3 = ( + ) - 4 ( ) () = (ΛΚ) + (ΛΚ) = (ΗΘ) + (ΕΖ) οπόηε = + εζσηεξηθήο δηρνηόκνπ, ην ν Θεώξεκ Πηνιεκίνπ, η Θεσξήκη Μελειάνπ θη Ceva, ν λώκνλο ηνπ λμίκλδξνπ, ε εξθή ηξηώλνπ ή ηεηξώλνπ ζε ηξίσλν κε ζεκεί πνπ δηηξνύλ ηηο πιεπξέο εζσηεξηθά εμσηεξηθά ζε δνζκέλν ιόν θη ν ππνινηζκόο ηνπ εκδνύ ηνπ θη άιιεο λάινεο κε πηέο. λδηθέξνπζεο δξζηεξηόηεηεο πνπ κπνξνύλ λ πξκηνπνηεζνύλ θη κε πηληώδε κνξθή είλη επίζεο ην «ηάλθξκ» θη ην «ζηνκάρηνλ». Σν «Σάλθξκ» είλη έλ Κηλέδηθν πηλίδη πνπ πίδεηη σο εμήο: Πίξλνπκε έλ ηεηξάσλν θη ην ρσξίδνπκε όπσο ζην ζρήκ ηε ζπλέρεη ζπλδπάδνληο ηηο 7 επηθάλεηεο πξνζπζνύκε λ ζρεκηίζνπκε δηάθνξεο κνξθέο λζξώπσλ, δώσλ ή πξκάησλ. Σν πηρλίδη «ζηνκάρηνλ» ήηλ επηλόεζε ηνπ ξρηκήδε θη ζεσξείηη ν πξόνλνο ηνπ 6 «Σάλθξκ». πνηειείηη πό 4 4 δηθνξεηηθνύ ζρήκηνο θνκκάηη θη ν ζηόρνο 48 ήηλ ε άζθεζε ηεο πξηεξεηηθόηεηο, ηεο κλήκεο θη ηεο ληίιεςεο ησλ κζεηώλ ηνπ ξρηκήδε, σο εμήο: θνύ πξώη ν ίδηνο έθηηρλε θάπνη ζρέδη κε όι η θνκκάηη ηνπ «ζηνκρίνπ», έδε ηνπο κζεηέο ηνπ λ 4 η λζπλζέζνπλ ιέπνληο όκσο κόλν ην πεξίξκκά ηνπο. Έλο δεύηεξνο ηξόπνο πημίκηνο είλη θη ην λσζηό πξόιεκ (εσκεηξίο θη κζεκηηθώλ) ηνπ ξρηκήδε, δειδή πόζεο θνξέο κπνξεί θάπνηνο λ ζρεκηίζεη ην ζπθεθξηκέλν ηεηξάσλν

10 ηνπνζεηώληο η θνκκάηη ηνπ κε δηθνξεηηθή δηάημε. λδηθέξνπζ δξζηεξηόηεη είλη θη ε πεξηξθή θη ε θηζθεπή ηνπ «ζηνκρίνπ» θζώο θη ν ππνινηζκόο ηνπ κέξνπο ηνπ ηεηξώλνπ πνπ πνηειεί ην θζέλ πό η θνκκάηη ηνπ (Κηζηηάλλεο Κ., 00). ΤΜΠΡΜ Πηζηεύνπκε όηη ε Ηζηνξί ησλ Μζεκηηθώλ θη ε θηάιιειε επηινή δξζηεξηνηήησλ κέζ πό ξρί θείκελ κπνξεί λ νεζήζεη ηνλ δηδάζθνλη ζηελ δεκηνπξί επράξηζηνπ θιίκηνο ζηελ ηάμε θη λ σζήζεη ηνπο κζεηέο ζε κη πην θηινζνθεκέλε ληηκεηώπηζε ηνπ κζήκηνο ηεο εσκεηξίο, όπσο ηεο μίδεη, νεζώληο ηνπο πξάιιει θη ζηνλ εξεπλεηηθό ηνκέ. ΗΛΗΟΡΦΗ λλώζηνπ Κ., (990). ληζόηεηεο θη εσκεηξί. πθιείδεο, Σόκνο 7, Σεύρνο 7,.Μ.., ζήλ. Κηζηηάλλεο Κ., (00). πό ην «ζηνκάρην» ηνπ ξρηκήδε κέρξη ην Θεώξεκ ηνπ Pick.Μη ηζηνξηθή δηδξνκή θη δηδθηηθέο πξνεθηάζεηο. ηπισκηηθή εξζί, ηπλεπηζηεκηθό ηηκεκηηθό Πξόξκκ Μεηπηπρηθώλ πνπδώλ, «ηδθηηθή θη Μεζνδνινί ησλ Μζεκηηθώλ», πηιέπσλ: Λάππο., ζήλ. Κέληξν Έξεπλο πηζηήκεο θη θπίδεπζεο (Κ.Κ.Κ.), (00). πθιείδε «ηνηρεί». ύρξνλε πόδνζε κε εηζσή, επεμεήζεηο θη ζρνιηζκό. Σόκνο, ηιί I, II, III, IV, V, VI, ζήλ. Κεπνπξόο Υ., (995). Ήξσλνο ιεμλδξέσο, Ολόκη εσκεηξηθώλ όξσλ εσκεηξηθά,.μ.., ζήλ. Κεπνπξόο Υ., (000). Ήξσλνο ιεμλδξέσο, Μεηξηθά - ηόπηξ,.μ.., ζήλ. Κνιέδ., νύξιο Κ., (990). ζθήζεηο θη πξνιήκη. Μη ιεηηνπξηθή ημηλόκεζε. πθιείδεο, Σόκνο 7, Σεύρνο 7,.Μ.., ζήλ. Λάππο., (009). Θεκειηώδεηο εσκεηξηθέο Έλλνηεο (Μη ελεηηθή πξνζέηζε). πηζηεκνληθή Έλσζε η ηελ ηδθηηθή ησλ Μζεκηηθώλ, θδόζεηο Εήηε, Θεζζινλίθε. Σδλάθεο Κ., (009). Ζ μηνπνίεζε ησλ ζρέζεσλ κεημύ Ηζηνξίο ησλ Μζεκηηθώλ κη Μζεκηηθήο θπίδεπζεο: πδήηεζε ζρεηηθά κε η ππέξ θη η θηά, άζεη ηεο δηεζλνύο εκπεηξίο. πηζηεκνληθή Έλσζε η ηελ ηδθηηθή ησλ Μζεκηηθώλ, θδόζεηο Εήηε, Θεζζινλίθε. ηξάληδινο Υ., (987). Ζ εμέιημε ησλ πθιείδεησλ θη ησλ κε πθιείδεησλ εσκεηξηώλ (Μέξνο πξώην). θδόζεηο Κξδκίηζ, ζήλ.