ΚΕΦΑΛΑΙΟ Γείμηε όηη : ΡΑ ΡΒ ΡΓ 2 ΒΑ.

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Θεσξνύκε ηα κε ζπλεπζεηαθά ζεκεία Α, Β, Γ, Γ. Γείμηε όηη αλ ππάξρεη ζεκείν Ρ ηέηνην ώζηε ΡΑ ΡΓ ΡΒ ΡΓ, ηόηε ην ΑΒΓΓ είλαη παξαιιειόγξακκν.. *Αλ ΑΒΓΓ είλαη παξαιιειόγξακκν θαη Ρ έλα ζεκείν ώζηε ΡΓ ΡΒ 0. Γείμηε όηη : ΡΑ ΡΒ ΡΓ ΒΑ.. *Σα ηκήκαηα ΑΓ, ΒΔ, ΓΕ έρνπλ θνηλό κέζν Ο. Γείμηε όηη: ΑΒ ΑΓ ΑΔ ΑΕ ΑΓ 4. *Αλ ηζρύεη ε ζρέζε AB ΓΑ ΚΒ ΓΛ, λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Κ θαη Λ ζπκπίπηνπλ. 5. *ΑΒΓΓ ηεηξάπιεπξν Μ ην κέζν ηεο δηαγσλίνπ ΑΓ, δείμηε όηη : ΜΒ ΜΓ ΑΒ ΓΓ. 6. Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ζεκείν Ρ ηέηνην ώζηε BP P. Να απνδεηρζεί όηη AB A AP 5 7. *Γηα ηα ζεκεία Α, Β,Γ, ηζρύεη ε ζρέζε : k OA (1 k)ob OΓ ΟΒ,k R Να δεηρζεί όηη ηα ζεκεία : Α, Β, θαη Γ είλαη ζπλεπζεηαθά,αλ Ο ηπραίν ζεκείν αλαθνξάο.να εμεηαζζεί γηα πνηεο ηηκέο ηνπ k, ηα ζεκεία είλαη δηαθεθξηκέλα. 8. **Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ηα ζεκεία Γ, Δ, θαη Ε ηνπ επηπέδνπ ηνπ ώζηε : Nα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία : Γ, Δ θαη Ε είλαη ζπλεπζεηαθά. 9. *ηηο πιεπξέο γσλίαο x O ψ έρνπκε ηα ζεκεία : A ζηελ Οx θαη Β ζηελ Ος ώζηε : OA α. Έζησ ζεκεία Γ θαη Γ ζηηο Οx θαη Oς ώζηε : O Γ α θαη ΟΓ β. ηηο ΑΒ θαη ΓΓ 1 1 παίξλνπκε ηα ζεκεία Δ θαη Ε ώζηε : ΒΔ ΒΑ (1) και ΓΕ ΓΓ (). Nα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία Ο, Δ, θαη Ε είλαη ζπλεπζεηαθά. θαη 10. *Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα Α,Β,Γ είλαη ζπλεπζεηαθά OA,, O -5 Να δείμεηε όηη ηα ζεκεία 11. * η) Αλ θαη δύν κε ζπγγξακκηθά δηαλύζκαηα θαη ι +κ = 0 κε ι,κ ηόηε ι=κ=0 ηη) Αλ θαη δύν κε ζπγγξακκηθά δηαλύζκαηα λα απνδείμεηε όηη θαη ηα δηαλύζκαηα u = θαη v = + είλαη κε ζπγγξακκηθά

2 1. * Αλ θαη δύν κε ζπγγξακκηθά δηαλύζκαηα ηνπ επηπέδνπ θαη Ο ηπραίν ζεκείν ηνπ θαη ηα δηαλύζκαηα OA (x 1), OB x (x 1) θαη O = 5. Αλ ηα Α,Β,Γ είλαη ζπλεπζεηαθά λα βξεζεί ε ηηκή ηνπ x 1. **Θεσξώ ηα ζεκεία Α, Β, Γ. Αλ Ο, Ο ηπραία ζεκεία θαη α,β,γr κε α+β+γ0 θαη ηα δηαλύζκαηα OM θαη ζπκπίπηνπλ. 14. *Αλ ηζρύεη ε ζρέζε : α) ζπλεπζεηαθά β) λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία Μ θαη Μ 5 0 λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία Α,Β,Γ είλαη, κ+λ0, ηα ζεκεία Ρ,Α,Β είλαη ζπλεπζεηαθά 15. Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ λα βξεζεί ζεκείν Μ ώζηε ΜΑ ΜΒ ΜΓ ΑΓ 16. **α) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ, Μ ηπραίν ζεκείν. Γείμηε όηη ην δηάλπζκα δηέξρεηαη από ζηαζεξό ζεκείν MA MB M 17. Γίλνληαη ηα ζεκεία Α,Β,Γ. Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ζεκείν Μ ην δηάλπζκα 5MA 8MB M είλαη ζηαζεξό. 18. *Έζησ ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ θαη Μ, Ν ηα κέζα ησλ ΑΒ θαη ΓΓ αληίζηνηρα. Να δεηρζεί όηη: A Γ ΒΓ ΜΝ. 19. ***Έζησ ΑΒΓ ηξίγσλν, Ρ ζεκείν ηεο ΒΓ. Αλ ηόηε θ+ι=1. 0. Έζησ ΑΒΓ ηξίγσλν, ΑΓ δηάκεζνο, Δ κέζν ηεο ΑΓ. Αλ Ε είλαη ε ηνκή ηεο ΒΔ κε ηελ ΑΓ,δείμηε όηη Z AZ 1. Έζησ ΑΒΓ ηξίγσλν θαη ζηηο επζείεο ΒΓ, ΓΑ θαη ΑΒ ηα ζεκεία Γ,Δ θαη Ε αληίζηνηρα Αλ ΒΓ θ ΒΓ, ΓΔ ι ΓΑ, ΑΕ κ ΑΒ λα δείμεηε όηη ΑΓ ΓΔ ΓΕ 0 θ = ι = κ. Γίλεηαη επζύγξακκν ηκήκα ΑΒ ην νπνίν ηξηρνηνκείηαη από ηα ζεκεία Γ θαη Γ. Έζησ Ο ηπραίν ζεκείν εθηόο ηνπ ΑΒ.Αλ : α,οβ β OA λα εθθξαζζνύλ ηα ΟΓ και ΟΓ ζπλαξηήζεη ησλ,.

3 . Αλ ηα δηαλύζκαηα :, β α δελ είλαη ζπγγξακκηθά, λα δεηρζεί όηη ηα δηαλύζκαηα : u α β θαη α β w δελ είλαη ζπγγξακκηθά ελώ ηα ψ 9 α 5 β θαη x 5 α β είλαη ζπγγξακκηθά Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ηα ζεκεία Γ, Δ θαη Ε ώζηε λα ηζρύεη ΑΓ = ΑΒ, ΑΕ = ΑΓ θαη 5 ΓΔ = ΒΓ. α) Να εθθξάζεηε ηα δηαλύζκαηα ΓΔ θαη ΓΕ ζπλαξηήζεη ησλ ΑΒ θαη ΑΓ. β) Να εμεηάζεηε αλ ηα ζεκεία Γ, Δ θαη Ε είλαη ζπλεπζεηαθά Γίλεηαη ην ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ηα ζεκεία Γ, Δ, Ε ηέηνηα ώζηε A Γ = AB, Γ E = BΓ θαη AZ = AΓ.α) Αλ ΑΒ = α θαη ΑΓ = β λα εθθξάζεηε ηα ΓΔ θαη ΔΖ ζπλαξηήζεη ησλ a θαη β. 5 β) Να απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Γ, Δ, Ε είλαη ζπλεπζεηαθά. (Παλ 99) 6. ην παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ παίξλνπκε ηα ζεκεία Δ θαη Ε ηεο δηαγσλίνπ ΑΓ έηζη ώζηε: 1 ΑΔ = ΕΓ = ΑΓ 4 α) Αλ ΑΒ = α θαη ΒΓ = β λα εθθξάζεηε ηα δηαλύζκαηα ΓΔ θαη ΓΕ ζπλαξηήζεη ησλ α θαη β. β) Να δείμεηε όηη ην ΔΒΕΓ είλαη παξαιιειόγξακκν 7. Έζησ ΑΒΓΓ θπξηό ηεηξάπιεπξν Αλ Δ,Ε ηα κέζα ησλ ΑΓ θαη ΒΓ λα δεηρζεί όηη 1 η) EZ (AB ) ηη) Αλ Κ,Λ ζεκεία ΑΒ θαη ΓΓ έηζη ώζηε ΚΛ λα δεηρζεί όηη Ζ,Ε,Δ ζπλεπζεηαθά. AK ABκαι ΔΛ κε 0<ι<1 θαη Ζ ην κέζν ηνπ 8. Να βξείηε ηνπο αξηζκνύο ι, κ ώζηε ηα δηαλύζκαηα i 1 j β κ 5, 4ι κ 1 θαη λα είλαη ίζα. ηε ζπλέρεηα, λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο θαη ην κέηξν ηνπ 1 δηαλύζκαηνο a. 9. Γίλνληαη ηα ζεκεία Α(x+1, ), Β(1, ) θαη Γ(, x) Να βξεζεί ε ηηκή ηνπ x γηα ηελ νπνία ηα ζεκεία Α,Β,Γ είλαη ζπλεπζεηαθά 0. Τπνινγίζηε ην ιr ώζηε =(ι+, ι-1) θαη =(, ι-) λα είλαη ζπγγξακκηθά. 1. Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα =(x 1, ) θαη =(, x ) λα βξεζεί ην x ώζηε ηα δηαλύζκαηα λα είλαη αληίξξνπα

4 . Γίλνληαη ηα ζεκεία Α( ), Β( 5,6) θαη Γ(ι+1,). Να βξεζεί ην ι ώζηε η) A // ς ς ηη) Σα ζεκεία Α,Β,Γ είλαη ζπλεπζεηαθά. Αλ α =(ι+1, ι-1) θαη =(κ-, κ+5), λα βξείηε ηα θ,ι,κ αλ ην - = όπνπ γ =(18,-1). 4. Σν δηάλπζκα α =(,-) λα αλαιπζεί ζε δύν ζπληζηώζεο πνπ λα έρνπλ ηηο δηεπζύλζεηο ησλ =(1,) θαη γ =(-,4). 5. έλα ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ νη ηεηκεκέλεο δύν ζεκείσλ Α θαη Β είλαη ξίδεο ηεο x (ι 5ι +14 )x 7 =0, ελώ νη ηεηαγκέλεο ξίδεο ηεο ς (ι +ι+) ς 5 = 0. Να βξεζεί ν ιr ώζηε ην κέζν ηνπ ηκήκαηνο ΑΒ λα 'ρεη ζπληεηαγκέλεο. (4,6). 6. Να εμεηαζζεί αλ ηα ζεκεία Μ 1 (α + β, α - β), Μ (α, - β) θαη Μ (α + β, α - β) είλαη ζπλεπζεηαθά 7. Σν ηκήκα ΑΒ κε Α(-, 1) θαη Β(,5) ρσξίδεηαη από ηα ζεκεία Μ, Ν ζε ίζα ηκήκαηα. Να βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ ζεκείσλ απηώλ. 8. Γίλνληαη ηα ζεκεία ηνπ επηπέδνπ Α(, ), Β(,8) θαη Γ(, 4). η) Να βξεζεί ζεκείν Γ ώζηε ην ΑΒΓΓ λα είλαη παξαιιειόγξακκν. ηη) Να ππνινγίζεηε ηα κήθε ησλ δηαγσλίσλ ηνπ Γίλνληαη ηα ζεκεία Β( 1,1), Γ(,4) θαη Α ι 4, ι 9 κε ιr 4 Α. Να απνδεηρζεί όηη γηα θάζε ιr ηα Α,Β,Γ είλαη θνξπθέο ηξηγώλνπ Β Να βξεζεί ε ηηκή ηνπ ι ώζηε ην ζεκείν Κ(,/) λα είλαη ην θέληξν ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ θαη θαηόπηλ λα βξεζνύλ νη θνξπθέο ηνπ Α,Γ 9. Γίλνληαη ηα ζεκεία Α (5, - 1), Β (1, 1) θαη Γ (, ). ι) Να βξεζεί κέζν Δ ηνπ ΑΓ ιι) Να βξεζνύλ ηα κήθε ησλ 40. Γίλνληαη ηα ζεκεία (1,1), (,) θαη A θαη BE Να βξεζεί ην είδνο ηνπ ηξηγώλνπ (ι+1,ι ), ι. α) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ι ηα ζεκεία Α,Β θαη Γ απνηεινύλ θνξπθέο ηξηγώλνπ β) Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ι ην ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη νξζνγώλην ζην Α 41. Γίλεηαη ην δηάλπζκα 1. Σν u έρεη ζπληειεζηή δηεύζπλζεο 1/. Σν u είλαη νκόξξνπν ζην v = (, 5). Σν u είλαη θάζεην ζην v = (-,) 4. Σν u είλαη παξάιιειν ζηνλ άμνλα ρ ρ u κ 1, κ+1, κ R Να βξεζεί ην κ όηαλ

5 5. Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ κ ώζηε ην κέηξν ηνπ u λα είλαη. 6. Σν u είλαη παξάιιειν ζηε δηρνηόκν ηεο πξώηεο θαη ηεο ηξίηεο γσλίαο ησλ αμόλσλ 4. ε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ Οxy δίλνληαη ηα ζεκεία Β(,), Γ(4,5). α. Να βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ κέζνπ Μ ηνπ ηκήκαηνο ΒΓ. β. Να βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ δηαλύζκαηνο. γ. Να βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ δηαλύζκαηνο δ. Αλ =( 10,θ+ 1) λα βξείηε ηνλ αξηζκό θ ώζηε ηα, λα είλαη: 1. θάζεηα. ζπγγξακκηθά 4. Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα =(1,) =(,4) =(, 5). Να βξείηε : α) + + β) ( α β ) γ θαη ( β γ ) α γ) α β γ 44. Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα α =(, -5), β =(, ). Να βξείηε ηα δηαλύζκαηα x πνπ είλαη θάζεηα ζην α θαη x = Αλ α (-5, 4), β (, -) βξείηε ην x όηαλ x α = θαη x β = Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα θαη γηα ηα νπνία ηζρύνπλ νη ζρέζεηο + =(4, ) θαη =( 7,8) α) Να βξεζνύλ ηα θαη β) Να βξεζεί ν αξηζκόο θ ώζηε ηα δηαλύζκαηα θ + θαη + λα είλαη θάζεηα θαη γ) Να αλαιύζεηε ην δηάλπζκα =(, 1) ζε δύν θάζεηα δηαλύζκαηα πνπ ην έλα λα είλαη παξάιιειν ηνπ 47. Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα θαη κε =, = θαη ππνινγηζζνύλ νη γσλίεο (, ) θαη (, ) (, ). Αλ = + λα 48. Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα,, κε (, ) θαη εθθξάζεηε ην ζαλ γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ θαη (, ) Αλ =, =5 θαη =8 λα 49. Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα,, κε = = =1 θαη + + = 0 η) λα βξεζεί ε ηηκή ηεο παξάζηαζεο ηη) λα βξεζεί ε ηηκή ηεο παξάζηαζεο + + θαη ηηη) Οη γσλίεο πνπ ζρεκαηίδνπλ ηα, θαη αλά δπν

6 50. Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα α, β. Αλ π α, β θαη ( α, β ) λα βξείηε : α) β α β) (α β, α β) 51. Αλ α, β, γ δηαλύζκαηα γηα ηα νπνία ηζρύνπλ : ηα α, β, γ. αλήθνπλ ζηελ ίδηα δηεύζπλζε. 0 θαη α =4 β =1 γ δείμηε όηη 5. Αλ α, β, γ. δηαλύζκαηα γηα ηα νπνία ηζρύνπλ : α +β + γ = 0. θαη =ι, =(ι+1), ιr* λα δείμεηε όηη : α) Σα α, β, γ. έρνπλ ηελ ίδηα δηεύζπλζε β) Να βξείηε ηα β, γ ζπλαξηήζεη ηνπ 5. Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα α, β, γ. Αλ α =1, β =, γ = θαη α +β + γ = 0, λα βξείηε ηελ ηηκή ηεο αβ α γ βγ 54. Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα α, β, γ, κε α i) Σν, β 5 ii)σε γσλία α, β ζ αλ 0 ζ π iii)σελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο A αβ β γ γ α 55. Αλ α =, β =1 θαη ( α, β )= π 4 ησλ δηαλπζκάησλ α + β, α β., γ 7 λα ιπζεί ε εμίζσζε : 4ζπλx+ 0 4 θαη α β γ 0. Να ππνινγίζεηε: ζπλσεκx=1, όπνπ σ ε γσλία 56. ε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα δίλνληαη ηα δηαλύζκαηα, α, β, γ κε α =, β =4, γ =5 θαη ( α, γ )= π, (β, γ )= π 6, λα αλαιύζεηε ην γ ζε δύν ζπληζηώζεο πνπ λα έρνπλ ηηο δηεπζύλζεηο ησλ α, β. 57. Έζησ ΑΒΓ ηξίγσλν κε Α(, ), Β(-, -), Γ(, - ). Βξείηε ηελ γσλία Β. 58. Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα α =(-, 1) θαη β =(, -5). Να αλαιύζεηε ην α ζε δύν ζπληζηώζεο, πνπ λα είλαη θάζεηεο κεηαμύ ηνπο θαη ε κηα λα έρεη ηε δηεύζπλζε ηνπ β. 59. Γίδνληαη ηα δηαλύζκαηα α (4, ) θαη β (6,8). Να αλαιπζεί ην ζε δύν ζπληζηώζεο : x, y κε x α θαη y // β

7 60. Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα α =(, 4) θαη β =(1, ). Να βξεζεί ε πξνβνιή ηνπ β ζην α. 61. Αλ είλαη v // ( + ) θαη ( α + v ), όπνπ = π =1 θαη (α,β) Να πξνζδηνξηζζεί δηάλπζκα v 6. Να πξνζδηνξηζζνύλ ηα δηαλύζκαηα v αλ είλαη v =10 θαη ν θνξέαο ηνπο δηρνηνκεί ηε γσλία ησλ δηαλπζκάησλ θαη κε = (-,4) θαη = (,1). 6. Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα 1 α = i j β= εκζ i ζπλζ j θαη γ = i j., Α. Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ζ (0,π) ηα δηαλύζκαηα θαη είλαη θάζεηα Β. Αλ ε γσλία ησλ δηαλπζκάησλ β θαη γ είλαη π 4 λα απνδείμεηε όηη ημθ = 1 +συνθ (Παλ 99) 64. Γηα ηα δηαλύζκαηα ηζρύνπλ νη ζρέζεηο θαη α β ( 4, ) θαη α β ( 7, 8) α) Να δείμεηε όηη α ( 1, ) θαη β (, ) β) Να βξεζεί ν πξαγκαηηθόο αξηζκόο k, ώζηε ηα δηαλύζκαηα k α β θαη α β λα είλαη θάζεηα γ) Να αλαιπζεί ην δηάλπζκα γ =(, 1) ζε δύν θάζεηεο ζπληζηώζεο, από ηηο νπνίεο ε κία λα είλαη παξάιιειε ζην δηάλπζκα α (Παλ 000) 65. Γηα ηα δηαλύζκαηα α, β π δίλεηαη όηη α 1, β θαη ( α,β). Έζησ ηα δηαλύζκαηα u α β, v α - β. Να ππνινγίζεηε: α) Σν εζσηεξηθό γηλόκελν α β β) Σα κέηξα u, v ησλ δηαλπζκάησλ u θαη v γ) Σν εζσηεξηθό γηλόκελν u v δ. Σν ζπλεκίηνλν ηεο γσλίαο ησλ δηαλπζκάησλ u θαη v. (Παλ 001) 66. Αλ =1, = 1 θαη ( α,β) π λα βξεζεί ην 67. Έζησ δύν κε ζπγγξακκηθά δηαλύζκαηα θαη κε =1 θαη =4 θαη δηάλπζκα ώζηε //( ) θαη ( ) ( α,β) π Να βξεζεί

8 68. Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα α, β, α+β α) Να βξεζεί ην β β) Αλ β = λα βξεζνύλ ηα α β, αβ κε α, α+β 1 θαη, β,α β, πξνβ β α β α, β π Θεσξνύκε ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα α, β ώζηε λα ηζρύνπλ, α = β = α +β B1 Να απνδείμεηε όηη ε γσλία ησλ δηαλπζκάησλ α, β είλαη ακβιεία Β Να απνδείμεηε όηη α β α 70. Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα θαη γηα ηα νπνία ηζρύνπλ: =4 θαη =5 θαη α) Να απνδείμεηε όηη: =10. β) Να βξείηε ηε γσλία ησλ θαη γ) Να ππνινγίζεηε ην κέηξν ηνπ δηαλύζκαηνο u =. v= αβ, θ είλαη θάζεην ζην δηάλπζκα, λα βξείηε ηελ ηηκή ηνπ θ δ) Αλ ην δηάλπζκα 71. Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα. Αλ α = θαη β = θαη 1 1 Η) Να δεηρζεί όηη x α β 4 ΗΗ) Να βξεζεί ην x ΗΗΗ) Να βξεζεί ην ζπλ x,α α,β π θαη x πξνβ α β πξνβ β β α 7. Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα, γηα ηα νπνία ηζρύνπλ = ( 1, 8 ) θαη = (, α). Να απνδείμεηε όηη i) 5, ii) = 5 θαη = 10 β). Να ππνινγίζεηε ηε γσλία (, ) γ). i) Να απνδείμεηε όηη = ii) Nα αλαιύζεηε ην δηάλπζκα ζε δύν θάζεηεο ζπληζηώζεο από ηηο νπνίεο ε κηα λα είλαη παξάιιειε κε ην. 1 5 ) 7. Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα, θαη κε = θαη = θαη (, ) Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ΑΜ δηάκεζόο ηνπ γηα ην νπνίν ηζρύνπλ θαη A

9 α) Να βξείηε ην β) Να εθθξάζεηε ην A σο γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ θαη. γ) Να ππνινγίζεηε ην κήθνο ηεο δηακέζνπ ΑΜ. δ) Να απνδείμεηε όηη ε γσλία ησλ A θαη είλαη ίζε κε 74. Γίλεηαη ηα ζεκεία Α,Β,Γ κε Α(,-1), Β(-,), Γ(9,-0) i) Η)Να απνδείμεηε όηη ην ΑΒΓ είλαη ηξίγσλν θαη αλ ΑΜ δηάκεζνο ΑΓ ύςνο ηνπ ii) ΗΗ)Να δείμεηε ΑΜ θάζεην ζηελ ΑΒ iii) III) Να ππνινγίζεηε ηελ γσλία ΜΑΓ iv) IV) Να ππνινγίζεηε ηελ πξνβνιή ηνπ MA πάλσ ζην MB V) Να ππνινγίζεηε ην AΓ 75. ε ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη AB, όπνπ = =1 θαη, θαη i) Να ππνινγίζεηε ηηο παξαζηάζεηο: θαη + ii) Αλ Μ ην κέζν ηεο πιεπξάο ΒΓ λα εθθξάζεηε ηα δηαλύζκαηα, σο γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ δηαλπζκάησλ θαη. iii) Να βξείηε ηε γσλία ησλ δηαλπζκάησλ (, ) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα α θαη β ηέηνηα, ώζηε: α β θαη α β 1 Ζ γσλία ησλ δηαλπζκάησλ α β α β θαη α β είλαη θ=0 0 Να ππνινγίζεηε: 1) Σν εζσηεξηθό γηλόκελν αβ ) Σα α, β ) Σν ζπλθ όπνπ θ είλαη ε γσλία ησλ δηαλπζκάησλ α, β 77. Έζησ = (4x,y) θαη = (x+1,y4). Η) Να βξεζνύλ ηα x,y ώζηε = 5 ΗΗ) Αλ x= 1 θαη y= λα αλαιπζεί ην ζε δύν θάζεηεο ζπληζηώζεο εθ ησλ νπνίσλ ε κία ζα είλαη παξάιιειε ζην 78. Γηα ηα δηαλύζκαηα α, β, γ ηζρύεη α +β 8 γ = 0 θαη α = γ =1 θαη β 7 α) Να απνδεηρζεί όηηα β Αλ Ο,Α,Β,Γ,Γ ζεκεία ώζηε OA α, OB β, O γ θαη O O λα δεηρζεί όηη ηα Α,Β,Γ είλαη ζπλεπζεηαθά 79. Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα,, ηέηνηα ώζηε 7, 1 θαη 4β γ 7α.

10 α. Να βξείηε ηελ γσλία ησλ β, γ. ( ) β. Αλ ηα ηξία δηαλύζκαηα έρνπλ θνηλή αξρή λα δείμεηε όηη ηα πέξαηα ηνπο είλαη ζπλεπζεηαθά. γ. Να βξείηε δηάλπζκα x θαη ην κέηξν ηνπ αλ x / /( ), (x ). 80. Γίλεηαη ηξίγσλν κε Α(6, ), Β(5, 1), Γ(, 0) θαη ην ζεκείν Μ ώζηε 5 AAB α) Να βξείηε ζεκείν Γ ώζηε ην ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ λα είλαη παξαιιειόγξακκν β) Να απνδείμεηε όηη M γ) Να βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηεο πξνβνιήο ηνπ ΓM ζην ΓB δ). Να αλαιύζεηε ην AB ζε δύν θάζεηεο ζπληζηώζεο εθ ησλ νπνίσλ ε κία λα είλαη παξάιιειε ζην δηάλπζκα AΓ 81. Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ΑΜ δηάκεζνο θαη ΑΓ ύςνο ηνπ ΑΒΓ Αλ BΓ =(6,) θαη AM =(1,1). v) Να βξείηε AB, AΓ vi) Αλ AB =(,0) θαη AΓ =(4,) λα βξείηε ηελ πξνβ ΒA ΒΓ vii) Να βξείηε ην δηάλπζκα ΑΓ. 8. Έζησ ΑΒΓΓ θπξηό ηεηξάπιεπξν κε AB 1,0, A 0,5 θαη B,1 α) Να απνδεηρζεί όηη ην ΑΒΓΓ είλαη παξαιιειόγξακκν β) Να βξεζνύλ νη γσλίεο ηνπ γ) Αλ Μ ηπραίν ζεκείν ηνπ επηπέδνπ ηνπ MA M MB M AB A = =ζηαζεξό 8. Έζησ δύν κε ζπγγξακκηθά δηαλύζκαηα θαη θαη ην δηάλπζκα x γηα ην νπνίν ηζρύεη α x 1 x α β. Να απνδεηρζεί όηη η) α x α β θαη ηη) λα βξεζεί ην x α 84. Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα, θαη. Να βξεζεί δηάλπζκα x αλ ηζρύεη ε ζρέζε ( x ) = + x 85. Γίλεηαη ην δηάλπζκα 0. i) Αλ ηζρύεη x x x 8 λα απνδεηρζεί όηη x / /α ii) Να ιπζεί ε εμίζσζε x x x Αλ =(,) θαη i) λα απνδείμεηε όηη: ii) λα βξείηε ην δηάλπζκα =(,-)

11 87. Έζησ δύν κε ζπγγξακκηθά δηαλύζκαηα θαη θαη ζ ε γσλία ηνπο η) Να βξεζεί δηάλπζκα ώζηε // ( + ) θαη γ ηη) Να απνδεηρζεί όηη ζπλζ θαη εκζ β 88. Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα α, β, γ, δ, ε ώζηε α +β + γ = 0, α = β = γ = δ = ε =1 θαη δ ε 0 Να απνδείμεηε όηη α) α β 1 = β γ γ α β) α β α γ β γ γ) Σα δηαλύζκαηα αβ θαη α β είλαη θάζεηα δ) Αλ θ ε γσλία ησλ δηαλπζκάησλ α β 1 θαη β γ θαη σ ησλ αβ θαη β γ ηόηε ζπλθ=ζπλσ= ε) δ ε 89. Έζησ ηα ζεκεία Α(, ), Β( 1, 1) θαη Γ(x+1, y 1) κε x + y =. Να απνδεηρζεί : α) A Β BΓ x 4y β) x 4y 5 γ) Αλ x =y =1 λα βξεζεί ε πξνβ AΓ 90. Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ θαη Γ,Δ ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ΒΓ θαη ΑΓ αληίζηνηρα Αλ ηζρύεη AB B A B AB AB A λα απνδείμεηε όηη νη δηάκεζνη ΑΓ θαη ΒΔ ηέκλνληαη θάζεηα αβ 91. Έζησ ΑΒΓ ηξίγσλν. Αλ BA β, BΓ α θαη ΑΓ ην ύςνο ηνπ δείμηε όηη : ΒΓ α. α 9. Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη ΓΔ ΑΒ, ΓΕ ΒΓ Να απνδείμεηε όηη B BZ AB BE B 9. Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ΑΓ, ΒΔ δηάκεζνη ηνπ ηξηγώλνπ πνπ ηέκλνληαη ζην Θ Αλ γηα ηηο πιεπξέο ηνπ ηξηγώλνπ ηζρύεη (ΒΓ) +(ΑΓ) =5(ΑΒ) ηόηε η) Να απνδεηρζεί όηη AB A (A) (AB) ηη) Να απνδεηρζεί όηη νη ΑΓ θαη ΒΔ ηέκλνληαη θάζεηα. AB