Θευπήμαηα με αποδείξειρ
|
|
- Αργυρός Καλαμογδάρτης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Θευπήμη με ποδείξειρ λ i θη i δ γ είλη δπ κηγδηθί ξηζκί, ηόηε: 4 Οη ηδηόηεηεο πηέο κπξύλ λ πδεηρηύλ κε εθηέιεζε ηωλ πξάμεωλ Γη πξάδεηγκ έρπκε: i δ γ δi γ i δi γ i i δ γ Οη πξπάλω ηδηόηεηεο θη ηζρύπλ θη γη πεξηζζόηεξπο πό δπ κηγδ ηθύο ξηζκύο Δίλη δειδή: θη Ιδηίηεξ, λ είλη, ηόηε ε ηειεπηί ηζόηεη γίλεηη: λ, είλη κηγδηθί ξηζκί, ηόηε Πξάγκηη, έρπκε: θη, επεηδή ε ηειεπηί ηζόηεη ηζρύεη, ζ ηζρύεη θη ε ηζδύλκε ξρηθή λάιγ πδεηθλύεηη θη ε δεύηεξε ηδηόηεη Έζηω ηώξ η πιπώλπκ P θη Σύκθωλ κε ηηο πξπάλω ηδηόηεηεο έρπκε: P
2 Δπκέλωο, P P P 4 Έζηω ε ξεηή ζπλάξηεζε Q Τόηε, P, όππ P, Q πιπώλπκ ηπ θη κε Q Δπκέλωο, P P P Q Q Q P P Q Q, εθόζλ Q 5 ΘΕΩΡΗΜ εδιάμεζυ ηιμώ Έζηω κη ζπλάξηεζε, ε πί είλη ξηζκέλε ζε έλ θιεηζηό δηάζηεκ [, ] λ: ε είλη ζπλερήο ζη [, ] θη ηόηε, γη θάζε ξηζκό ε κεημύ ηωλ θη ππάξρεη έλο, ηπιάρηζηλ, ηέηηο, ώζηε η ΠΟΓΔΙΞΗ ο ππζέζπκε όηη Τόηε ζ ηζρύεη η Σρ 67 λ ζεωξήζπκε ηε ζπλάξηεζε g η, [, ], πξηεξύκε όηη: ε g είλη ζπλερήο ζη [, ] θη g g, θύ g η θη g η Δπκέλωο, ζύκθωλ κε η ζεώξεκ ηπ Bolano, ππάξρεη, ηέηη, ώζηε g η, πόηε η 6 ΘΕΩΡΗΜ λ κη ζπλάξηεζε είλη πξγωγίζηκε ζ έλ ζεκεί, ηόηε είλη θη ζπλερήο ζη ζεκεί πηό ΠΟΔΕΙΞΗ Γη έρπκε, πόηε
3 ] [, θύ ε είλη πξγωγίζηκε ζη Δπκέλωο,, δειδή ε είλη ζπλερήο ζη 7 Δζηω ε ζηζεξή ζπλάξηεζε c, c Η ζπλάξηεζε είλη πξγωγίζηκε ζη θη ηζρύεη, δειδή c Πξάγκηη, λ είλη έλ ζεκεί ηπ, ηόηε γη ηζρύεη: c c Δπκέλωο,, δειδή c 8 Έζηω ε ζπλάξηεζε Η ζπλάξηεζε είλη πξγωγίζηκε ζη θη ηζρύεη, δειδή Πξάγκηη, λ είλη έλ ζεκεί ηπ, ηόηε γη ηζρύεη: Δπκέλωο,, δειδή 9 Έζηω ε ζπλάξηεζε, } {, Η ζπλάξηεζε είλη πξγωγίζηκε ζη θη ηζρύεη, δειδή Πξάγκηη, λ είλη έλ ζεκεί ηπ, ηόηε γη ηζρύεη:, πόηε, δειδή
4 Έζηω ε ζπλάξηεζε ηζρύεη, δειδή Η ζπλάξηεζε είλη πξγωγίζηκε ζη, θη Πξάγκηη, λ είλη έλ ζεκεί ηπ,, ηόηε γη ηζρύεη: πόηε, δειδή, Όπωο είδκε ζηελ πξάγξθ ε δε είι ππγυγίζιμη ζηο Έζηω ζπλάξηεζε εκ ζπλ, δειδή εκ ζπλ Η ζπλάξηεζε είλη πξγωγίζηκε ζη θη ηζρύεη Πξάγκηη, γη θάζε θη ηζρύεη εκ εκ εκ ζπλ ζπλ εκ εκ Δπεηδή έρπκε ζπλ εκ εκ ζπλ εκ ζπλ θη, εκ ζπλ ζπλ Γειδή, εκ ζπλ Έζηω ε ζπλάξηεζε ζπλ εκ, δειδή ζπλ εκ Η ζπλάξηεζε είλη πξγωγίζηκε ζη θη ηζρύεη Πξάγκηη, γη θάζε θη ηζρύεη: ζπλ ζπλ ζπλ ζπλ εκ εκ ζπλ πόηε ζπλ εκ ζπλ εκ,
5 ζπλ εκ ζπλ ζπλ εκ εκ ζπλ εκ εκ Γειδή, ΘΕΩΡΗΜ λ η ζπλξηήζεηο πξγωγίζηκε ζη θη ηζρύεη:, g είλη πξγωγίζηκεο ζη, ηόηε ε ζπλάξηεζε g είλη g g ΠΟΓΔΙΞΗ Γη, ηζρύεη: g g g g g g Δπεηδή η ζπλξηήζεηο, g είλη πξγωγίζηκεο ζη, έρπκε: δειδή g g g g g, g g 4 Έζηω ε ζπλάξηεζε θη ηζρύεη,, δειδή * Η ζπλάξηεζε είλη πξγωγίζηκε ζη * Πξάγκηη, γη θάζε * έρπκε: Δίδκε, όκωο, πη πξηλ όηη ηόηε, γη θάζε θπζηθό Δπκέλωο, λ κ {,}, 5 Έζηω ε ζπλάξηήζε εθ { ζπλ } θη ηζρύεη Πξάγκηη, γη θάζε έρπκε: κ κ κ Η ζπλάξηεζε είλη πξγωγίζηκε ζη, δειδή ζπλ εθ ζπλ εκ εκ ζπλ εκζπλ ζπλζπλ εκεκ ζπλ εκ εθ ζπλ ζπλ ζπλ ζπλ ζπλ
6 6 Η ζπλάξηεζε, δειδή, είλη πξγωγίζηκε ζη, θη ηζρύεη Πξάγκηη, λ ln e θη ζέζπκε u ln, ηόηε έρπκε u e u u ln e e u e Δπκέλωο, 7 Η ζπλάξηεζε δειδή Πξάγκηη, λ, 8 Η ζπλάξηεζε ln είλη πξγωγίζηκε ζη θη ηζρύεη ln, ln e θη ζέζπκε u ln, ln, ηόηε έρπκε u u ln e e u e ln ln * είλη πξγωγίζηκε ζη ln u e Δπκέλωο, * θη ηζρύεη Πξάγκηη λ, ηόηε ln ln, ελώ λ, ηόηε ln ln, πόηε, λ ζέζπκε ln θη u, έρπκε ln u Δπκέλωο, ln u u θη άξ u 9 ΘΕΩΡΗΜ Έζηω κη ζπλάξηεζε ξηζκέλε ζε έλ δηάζηεκ Δ λ ε είλη ζπλερήο ζη Δ θη γη θάζε ε ζ ω η ε π ι κ ό ζεκεί ηπ Δ, ηόηε ε είλη ζηζεξή ζε όι η δηάζηεκ Δ ln ΠΟΓΔΙΞΗ ξθεί λ πδείμπκε όηη γη πηδήπηε, Δ ηζρύεη Πξάγκηη λ, ηόηε πξθλώο λ, ηόηε ζη δηάζηεκ [, ] ε ηθλπηεί ηηο ππζέζεηο ηπ ζεωξήκηο κέζεο ηηκήο Δπκέλωο, ππάξρεη ξ, ηέηη, ώζηε ξ Δπεηδή η ξ είλη εζωηεξηθό ζεκεί ηπ Δ, ηζρύεη ξ,πόηε, ιόγω ηεο, είλη λ, ηόηε κίωο πδεηθλύεηη όηη Σε όιεο, ιηπόλ, ηηο πεξηπηώζεηο είλη
7 ΠΟΡΙΜ Έζηω δπ ζπλξηήζεηο, g ξηζκέλεο ζε έλ δηάζηεκ Δ λ η, g είλη ζπλερείο ζη Δ θη g γη θάζε ε ζ ω η ε π ι κ ό ζεκεί ηπ Δ, ηόηε ππάξρεη ζηζεξά c ηέηη, ώζηε γη θάζε Δ λ ηζρύεη: ΠΟΓΔΙΞΗ Η ζπλάξηεζε g c g είλη ζπλερήο ζη Δ θη γη θάζε εζωηεξηθό ζεκεί Δ ηζρύεη g g Δπκέλωο, ζύκθωλ κε η πξπάλω ζεώξεκ, ε ζπλάξηεζε Άξ, ππάξρεη ζηζεξά C ηέηη, ώζηε γη θάζε g c g είλη ζηζεξή ζη Δ Δ λ ηζρύεη g c, πόηε ΘΕΩΡΗΜ Έζηω κη ζπλάξηεζε, ε πί είλη ζ ς ε σ ή ρ ζε έλ δηάζηεκ Δ λ ζε θάζε ε ζ ω η ε π ι κ ό ζεκεί ηπ Δ, ηόηε ε είλη γλεζίωο ύμπζ ζε όι η Δ λ ζε θάζε ε ζ ω η ε π ι κ ό ζεκεί ηπ Δ, ηόηε ε είλη γλεζίωο θζίλπζ ζε όι η Δ ΠΟΓΔΙΞΗ πδεηθλύπκε η ζεώξεκ ζηελ πεξίπηωζε ππ είλη Έζηω, Δ κε Θ δείμπκε όηη Πξάγκηη, ζη δηάζηεκ [, ] ε ηθλπηεί ηηο πξϋπζέζεηο ηπ ΘΜΤ Δπκέλωο, ππάξρεη ξ, ηέηη, ώζηε ξ, πόηε έρπκε ξ Δπεηδή ξ θη, έρπκε, πόηε Σηελ πεξίπηωζε ππ είλη εξγδόκζηε λιόγωο ΘΕΩΡΗΜ Fermat Έζηω κη ζπλάξηεζε ξηζκέλε ζ έλ δηάζηεκ Δ θη έλ εζυηεπικό ζεκεί ηπ Δ λ ε πξπζηάδεη ηοπικό κπόηηο ζη θη είλη ππγυγίζιμη ζη ζεκεί πηό, ηόηε: ΠΟΓΔΙΞΗ ο ππζέζπκε όηη ε πξπζηάδεη ζη ηπηθό κέγηζη Δπεηδή η είλη εζωηεξηθό ζεκεί ηπ Δ θη ε πξπζηάδεη ζ πηό ηπηθό κέγηζη, ππάξρεη δ ηέηη, ώζηε δ, δ Δ θη, γη θάζε δ, δ
8 Δπεηδή, επηπιέλ, ε είλη πξγωγίζηκε ζη, ηζρύεη Δπκέλωο, λ δ,, ηόηε, ιόγω ηεο, ζ είλη, πόηε ζ έρπκε λ, δ, ηόηε, ιόγω ηεο, ζ είλη, πόηε ζ έρπκε Έηζη, πό ηηο θη έρπκε Η πόδεημε γη ηπηθό ειάρηζη είλη λάιγε ΘΕΩΡΗΜ Έζηω κη ζπλάξηεζε ξηζκέλε ζε έλ δηάζηεκ Δ λ F είλη κη πξάγπζ ηεο ζη Δ, ηόηε όιεο η ζπλξηήζεηο ηεο κξθήο είλη πξάγπζεο ηεο ζη Δ θη G F c, c, θάζε άιιε πξάγπζ G ηεο ζη Δ πίξλεη ηε κξθή ΠΟΔΕΙΞΗ Κάζε ζπλάξηεζε ηεο κξθήο ζη Δ, θύ G F c, c G F c, όππ c, είλη κη πξάγπζ ηεο G F c F, γη θάζε Δ Έζηω G είλη κη άιιε πξάγπζ ηεο ζη Δ Τόηε γη θάζε Δ ηζρύπλ F θη G, πόηε G F, γη θάζε Δ Άξ, ζύκθωλ κε η πόξηζκ ηεο 6, ππάξρεη ζηζεξά c ηέηη, ώζηε 4 ΘΕΩΡΗΜ G F c, γη θάζε Δ λ είλη κη ζπλερήο ζπλάξηεζε ζε έλ δηάζηεκ Δ θη είλη έλ ζεκεί ηπ Δ, ηόηε ε ζπλάξηεζε F t dt, Δ, είλη κη πξάγπζ ηεο ζη Δ Γειδή ηζρύεη:
9 t dt, γη θάζε Δ a ΧΟΛΙA Δππηηθά η ζπκπέξζκ ηπ πξπάλω ζεωξήκηο πξθύπηεη Σρ 4 ωο εμήο: F F t dt Άξ, γη κηθξά είλη πόηε Δκδόλ ηπ ρωξίπ Ω, γη κηθξά F F, F F F O F = 4 5 ΘΕΩΡΗΜ Θεμελιώδερ θεώπημ ηος ολοκληπυηικού λογιζμού Έζηω κη ζπλερήο ζπλάξηεζε ζ έλ δηάζηεκ [, ] λ G είλη κη πξάγπζ ηεο ζη [, ], ηόηε t dt G G ΠΟΓΔΙΞΗ Σύκθωλ κε η πξεγύκελ ζεώξεκ, ε ζπλάξηεζε F t dt είλη κη πξάγπζ ηεο ζη [, ] Δπεηδή θη ε G είλη κη πξάγπζ ηεο ζη [, ], ζ ππάξρεη c ηέηη, ώζηε G F c πό ηελ, γη Δπκέλωο,, έρπκε G F c t dt c c, πόηε c G G F G, πόηε, γη, έρπκε θη άξ G F G t dt G t dt G G
10 Σ ΥΟΛΙ ΣΟΤ ΥΟΛΙΚΟΤ ΒΙΒΛΙΟΤ ΓΙ ΔΠΝΛΗΦΗ ΧΟΛΙΟ Σηελ πξπάλω εθξκγή πξηεξύκε όηη go og Γεληθά, λ, g είλη δύ ζπλξηήζεηο θη ξίδληη η go θη og, ηόηε πηέο δ ε ε ί ι ς π ο σ π ε ω η ι κ ά ίζεο λ, g, είλη ηξεηο ζπλξηήζεηο θη ξίδεηη ε o go, ηόηε ξίδεηη θη ε og o θη ηζρύεη o go og o Τε ζπλάξηεζε πηή ηε ιέκε ζύλζεζε ηωλ, g θη θη ηε ζπκιίδπκε κε ogo Η ζύλζεζε ζπλξηήζεωλ γεληθεύεηη θη γη πεξηζζόηεξεο πό ηξεηο ζπλξηήζεηο ΧΟΛΙΟ πό ηλ πξπάλω ξηζκό πξθύπηεη όηη κη ζπλάξηεζε είλη, λ θη κόλ λ: Γη θάζε ζηηρεί ηπ ζπλόιπ ηηκώλ ηεο ε εμίζωζε έρεη θξηώο κη ιύζε ωο πξο Γελ ππάξρπλ ζεκεί ηεο γξθηθήο ηεο πξάζηζεο κε ηελ ίδη ηεηγκέλε πηό ζεκίλεη όηη θάζε ξηδόληη επζεί ηέκλεη ηε γξθηθή πξάζηζε ηεο η πιύ ζε έλ ζεκεί Σρ A B O συάρτηση - O συάρτηση όχι -
11 λ κη ζπλάξηεζε είλη γλεζίωο κλόηλε, ηόηε πξθλώο, είλη ζπλάξηεζε " " Έηζη, η ζπλξηήζεηο,,,,, θη 4 log,, είλη ζπλξηήζεηο Υπάξρπλ, όκωο, ζπλξηήζεηο ππ είλη ιιά δελ είλη γλεζίωο κλόηλεο, όπωο γη πξάδεηγκ ε, ζπλάξηεζε g Σρ 4, =g 4 O ΧΟΛΙΟ πό η πξπάλω ζρήκη πξηεξύκε όηη: Γη λ λδεηήζπκε η όξη ηεο ζη, πξέπεη ε λ ξίδεηη όζ ζέιπκε θληά ζη, δειδή ε λ είλη ξηζκέλε ζ έλ ζύλι ηεο κξθήο,, ή, ή, Τ κπξεί λ λήθεη ζη πεδί ξηζκύ ηεο ζπλάξηεζεο Σρ 9, 9 ή λ κελ λήθεη ζ πηό Σρ 9γ Η ηηκή ηεο ζη, όηλ ππάξρεη, κπξεί λ είλη ίζε κε η όξηό ηεο ζη Σρ 9 ή δηθξεηηθή πό πηό Σρ 9 ΧΟΛΙΟ 4 πό η ζεώξεκ ηπ Bolano πξθύπηεη όηη: λ κη ζπλάξηεζε είλη ζπλερήο ζε έλ δηάζηεκ Δ θη δε κεδελίδεηη ζ πηό, ηόηε πηή ή είλη ζεηηθή γη θάζε Δ ή είλη ξλεηηθή γη θάζε Δ, δειδή δηηεξεί πξόζεκ ζη δηάζηεκ Δ Σρ > O a O a < ΧΟΛΙΟ 5 λ κη ζπλάξηεζε δελ είλη ζπλερήο ζη δηάζηεκ [, ], ηόηε, όπωο θίλεηη θη ζη δηπιλό ζρήκ, δελ πίξλεη ππρξεωηηθά όιεο ηηο ελδηάκεζεο ηηκέο ΧΟΛΙΟ 6 πό η πξπάλω ζεώξεκ θη η ζεώξεκ ελδηάκεζωλ ηηκώλ πξθύπηεη όηη η ζύολο ηιμώ κηο ζπλερύο ζπλάξηεζεο κε πεδί ξηζκύ η [, ] είλη η θιεηζηό δηάζηεκ [ m, M ], όππ m ε ειάρηζηε ηηκή θη Μ ε κέγηζηε ηηκή ηεο ΧΟΛΙΟ 7
12 S t S t Οηλ έλ θηλεηό θηλείηη πξο η δεμηά, ηόηε θληά ζη t ηζρύεη, πόηε t t είλη ς t, ελώ, όηλ η θηλεηό θηλείηη πξο η ξ ηζηεξά θληά ζη t ηζρύεη S t S t, πόηε είλη ς t t t ΧΟΛΙ 8 Σύκθωλ κε ηλ πξπάλω ξηζκό: Η ζηηγκηί ηρύηεη ελόο θηλεηύ, ηε ρξληθή ζηηγκή t, είλη ε πξάγωγο ηεο ζπλάξηεζεο ζέζεο St ηε ρξληθή ζηηγκή t Γειδή, είλη υ S t t Ο ζπληειεζηήο δηεύζπλζεο ηεο εθπηκέλεο ε ηεο C κηο πξγωγίζηκεο ζπλάξηεζεο, ζη ζεκεί A, είλη ε πξάγωγο ηεο ζη Γειδή, είλη λ, πόηε ε εμίζωζε ηεο ε θ π η ο μ έ η ρ ε είλη: Τελ θιίζε ηεο εθπηκέλεο ε ζη A, ζ ηε ιέκε θη κλίζη ηηρ C ζηο ή κλίζη ηηρ ζηο ΧΟΛΙΟ 9 λ κη ζπλάξηεζε δελ είλη ζπλερήο ζ έλ ζεκεί, ηόηε, ζύκθωλ κε η πξεγύκελ ζεώξεκ, δελ κπξεί λ είλη πξγωγίζηκ ε ζη ΧΟΛΙΟ Τ πξπάλω ζεώξεκ θζώο θη η πόξηζκά ηπ ηζρύπλ ζε δηάζηεκ θη όρη ζε έλωζε δηζηεκάηωλ Γη πξάδεηγκ, έζηω ε ζπλάξηεζε,, Πξηεξύκε όηη, λ θη γη θάζε,,, εληύηηο ε δελ είλη ζηζεξή ζη,, ΧΟΛΙΟ Τ ληίζηξθ ηπ πξπάλω ζεωξήκηο δε ιζσύει Γειδή, λ ε είλη γλεζίωο ύμπζ ληηζηίρωο γλεζίωο θζίλπζ ζη Δ, ε πξάγωγόο ηεο δε είι ςποσπευηικά ζεηηθή ληηζηίρωο ξλεηηθή ζη εζωηεξηθό ηπ Δ Γη πξάδεηγκ, ε ζπλάξηεζε, λ θη είλη γλεζίωο ύμπζ ζη, εληύηηο έρεη πξάγωγ όκωο γη θάζε ΧΟΛΙΟ ε πί δελ είλη ζεηηθή ζε όι η, θύ i Έλ ηπηθό κέγηζη κπξεί λ είλη κηθξόηεξ πό έλ ηπηθό ειάρηζη Σρ Ιζρύεη
13 4 O a ma min a O 4 ii λ κη ζπλάξηεζε πξπζηάδεη κέγηζη, ηόηε πηό ζ είλη η κεγιύηεξ πό η ηπηθά κέγηζη, ελώ λ πξπζηάδεη, ειάρηζη, ηόηε πηό ζ είλη η κ ηθξόηεξ πό η ηπηθά ειάρηζη Σρ Τ κεγιύηεξ όκωο πό η ηπηθά κέγηζη κίο ζπλάξηεζεο δελ είλη πάληηε κέγηζη πηήο Δπίζεο η κηθξόηεξ πό η ηπηθά ειάρηζη κίο ζπλάξηεζεο δελ είλη πάληηε ειάρηζη ηεο ζπλάξηεζεο Σρ ΧΟΛΙΟ Σύκθωλ κε η πξεγύκελ ζεώξεκ, η εζωηεξηθά ζεκεί ηπ Δ, ζη πί ε είλη δηθξεηηθή πό η κεδέλ, δελ είλη ζέζεηο ηπηθώλ θξηάηωλ Δπκέλωο, όπωο θίλεηη θη ζη ζρήκη 9 θη, η π ι θ έ ρ θ έ ζ ε ι ρ η ω η ο π ι κ ώ κ π ο η ά η ω κηο ζπλάξηεζεο ζ έλ δηάζηεκ Δ είλη: Σ εζυηεπικά ζημεί ηος Γ ζη οποί η ππάγυγορ ηηρ μηδείζεηι Σ εζυηεπικά ζημεί ηος Γ ζη οποί η δε ππγυγίζεηι Σ άκπ ηος Γ λ λήθπλ ζη πεδί ξηζκύ ηεο Τ ε ζ ω η ε π ι κ ά ζεκεί ηπ Δ ζη πί ε δελ πξγωγίδεηη ή ε πξάγωγόο ηεο είλη ίζε κε η κεδέλ, ιέγληη κπίζιμ ζημεί ηεο ζη δηάζηεκ Δ ΧΟΛΙΟ 4 πδεηθλύεηη όηη, λ κη ζπλάξηεζε είλη θπξηή ληηζηίρωο θίιε ζ έλ δηάζηεκ Δ, ηόηε ε εθπηκέλε ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο ζε θάζε ζεκεί ηπ Δ ξίζθεηη θάηω ληηζηίρωο πάλω πό ηε γξθηθή ηεο πξάζηζε Σρ 9, κε εμίξεζε η ζεκεί επθήο ηπο ΧΟΛΙΟ 5 Τ ληίζηξθ ηπ ζεωξήκηο δελ ηζρύεη Γη πξάδεηγκ, έζηω ε ζπλάξηεζε Σρ 4 Δπεηδή ε είλη γλεζίωο ύμπζ ζη, ε 4 Δληύηηο, ε δελ είλη ζεηηθή ζη, θύ ΧΟΛΙ 6-7 πδεηθλύεηη όηη: 4 είλη θπξηή ζη Οη πιπωλπκηθέο ζπλξηήζεηο ζκύ κεγιύηεξπ ή ίζ π ηπ δελ έρπλ ζύκπηωηεο P Οη ξεηέο ζπλξηήζεηο, κε ζκό ηπ ξηζκεηή P κεγιύηεξ ηπιάρηζηλ Q θηά δύ ηπ ζκύ ηπ πξλκζηή, δελ έρπλ πιάγηεο ζύκπηωηεο Σύκθωλ κε ηπο πξπάλω ξηζκύο, ζύκπηωηεο ηεο γξθηθήο πξάζηζεο κηο ζπλάξηεζεο λδεηύκε: Ση άθξ ηωλ δηζηεκάηωλ ηπ πεδίπ ξηζκύ ηεο ζη πί ε δελ ξίδεηη Ση ζεκεί ηπ πεδίπ ξηζκύ ηεο, ζη πί ε δελ είλη ζπλερήο Ση,, εθόζλ ε ζπλάξηεζε είλη ξηζκέλε ζε δηάζηεκ ηεο κξθήο,, ληηζηίρωο, 4
14 ΧΟΛΙ 8-9 Τ ζεώξεκ ηζρύεη θη γη ηηο κξθέο,, Τ πξπάλω ζεωξήκη ηζρύπλ θη γη πιεπξηθά όξη θη κπξύκε, λ ρξεηάδεηη, λ η εθξκόζπκε πεξηζζόηεξεο θξέο, ξθεί λ πιεξύληη η πξϋπζέζεηο ηπο ΧΟΛΙ - Όπωο είλη γλωζηό, λ κη ζπλάξηεζε κε πεδί ξηζκύ η είλη ά π η ι, ηόηε ε C έρεη άμλ ζπκκεηξίο ηλ άμλ, ελώ λ είλη π ε π ιη η ή, ε C έρεη θέληξ ζπκκεηξίο ηελ ξρή ηωλ μόλωλ Ο Δπκέλωο, γη ηε κειέηε κηο ηέηηο ζπλάξηεζεο κπξύκε λ πεξηξηζηύκε ζη A, κε λ κη ζπλάξηεζε είλη π ε π ι ο δ ι κ ή κε πεξίδ Τ, ηόηε πεξηξίδπκε ηε κειέηε ηεο C ζ έλ δηάζηεκ πιάηπο Τ ΧΟΛΙΟ ΠΡΜΠΟΜΠΗ! πδεηθλύεηη όηη θάζε ζπλερήο ζπλάξηεζε ζε δηάζηεκ Δ έρεη πξάγπζ ζη δηάζηεκ πηό ΧΟΛΙΟ Σύκθωλ κε η πξπάλω η d είλη ίζ κε η άζξηζκ ηωλ εκδώλ ηωλ ρωξίωλ ππ ξίζθληη πάλω πό ηλ άμλ κείλ η άζξηζκ ηωλ εκδώλ ηωλ ρωξίωλ ππ ξίζθληη θάηω πό ηλ άμλ Σρ 5 Ο a ΔΡΧΣΗΔΙ ΚΣΝΟΗΗ-ΜΙΓΓΙΚΟΙ Ν άιεηε ζε θύθι ηε ζωζηή πάληεζε: i λ ζη ζύλι ηωλ κηγδηθώλ ξηζκώλ ηζρύεη u v, ηόηε : u Β v Γ u v Γ Τίπη πό η πξεγύκελ 5 ii Ο ξηζκόο 5i i είλη: Φληζηηθόο Β Μεδέλ Γ Πξγκηηθόο Γ Τίπη πό η πξεγύκελ Πηεο πό ηηο επόκελεο ηζόηεηεο ιεζεύπλ γη θάζε κηγδηθό : Β Γ Δ Γ Σύκθωλ κε ηε ζπλζήθε ππ ηθλπηύλ η κηγδηθί θη λθέξεηη ζηελ πξώηε ζηήιε, λ ηπο ληηζηηρίζεηε ζηελ επζεί ηεο δε ύηεξε ζηήιεο ππ λήθεη ε εηθόλ ηπο:
15 ςθήκη Ευθεί A i i B Γ i γ δ Γ i ε
16 ΔΡΧΣΗΔΙ ΚΣΝΟΗΗ-ΤΝΡΣΗΔΙ-ΟΡΙΟΤΝΔΥΔΙ ε κθεμιά πό ηιρ ππκάηυ πεπιπηώζειρ κςκλώζεηε ηο γπάμμ, ο ιζσςπιζμόρ είι ληθήρ κι ηο γπάμμ, ο ιζσςπιζμόρ είι τεςδήρ, ιηιολογώηρ ζςγσπόυρ ηη πάηηζή ζρ λ ln θη g e, ηόηε * g, g, λ l, ηόηε A Δίλη A Ι 4 λ γη θάζε θη ππάξρεη η, ηόηε θη λάγθε 5 Ιζρύεη: ημ ημ 6 λ θληά ζη, ηόηε 7 λ,,, ηόηε θη λάγθε ζ είλη 8 λ ππάξρεη η g, ηόηε είλη ίζ κε 6 g6 6 9 λ, ηόηε θη λάγθε ζ είλη ή λ, ηόηε λ ε είλη ζπλερήο ζη θη γη 4 ηζρύεη 7, ηόηε η 4 είλη ίζ κε 4 λ ε είλη ζπλερήο ζη [,] θη 4,, ηόηε ππάξρεη πξγκηηθόο ξηζκόο, ηέηηο, ώζηε π
17 ΙΙ Ν κςκλώζεηε ηη ζυζηή πάηηζη ζε κθεμιά πό ηιρ ππκάηυ πεπιπη ώζειρ λ l, g m λάγθε ζ είλη:, l, m θη g l m Β l m Γ l m Γ l m Δ m l θληά ζη, ηόηε θη Τ όξη είλη ίζ κε: 8 Β Γ Γ Δ 8 Τ είλη ίζ κε: Β Γ Γ Δ 4 λ η δελ ππάξρεη, ηόηε: Β Γ Γ ΙΙΙ Γίλληη η ζπλξηήζεηο θη πό ηπο Πξθάηω ηζρπξηζκύο ιάζο είλη : g ε g είλη ζπλερήο ζη Β ε είλη ζπλερήο ζη Γ ε g έρεη δπ ζεκεί ζη πί δελ είλη ζπλερήο Γ Πη πό η πξθάηω όξη είλη θιώο ξηζκέλ; 9 Γ Δ [ln ] Β 9 Γ ΣΤ [ln ] Γίλεηη ε ζπλάξηεζε ε πί είλη ζπλερήο ζη δηάζηεκ Γ [,], κε, θη Πηο πό ηπο πξθάηω ηζρπξηζκύο δελ πξθύπηεη θη λάγθε πό ηηο ππζέζεηο; Υπάξρεη, ηέηηο, ώζηε Β
18 Γ Γ [, ] Γ Δ Η κέγηζηε ηηκή ηεο ζη [,] είλη η θη ε ειάρηζηε ηηκή ηεο η ΔΡΧΣΗΔΙ ΚΣΝΟΗΗ -ΠΡΓΧΓΟΙ ε κθεμιά πό ηιρ ππκάηυ πεπιπηώζειρ κςκλώζεηε ηο γπάμμ, ο ιζσςπιζμόρ είι ληθήρ κι ηο γπάμμ, ο ιζσςπιζμόρ είι τεςδήρ δικιολογώηρ ζςγσπόυρ ηη πάηηζη ζρ Ι λ ε ζπλάξηεζε είλη ζπλερήο ζη [,], πξγωγίζηκε ζη, θη γη όι η,, ηόηε λ ε ζπλάξηεζε πξγωγίδεηη ζη [, ] κε, ηόηε ππάξρεη, ηέηη, ώζηε λ η, g είλη ζπλξηήζεηο πξγωγίζηκεο ζη [, ], κε g θη g, ηόηε ππάξρεη, ηέηη, ώζηε ζη ζεκεί A, θη B, g η εθπηόκελεο λ είλη πξάιιειεο 4 λ γη θάζε, ηόηε: η είλη ηπηθό κέγηζη ηεο A η είλη ηπηθό ειάρηζη ηεο 5 Η γξθηθή πξάζηζε κηο πιπωλπκηθήο ζπλάξηεζεο άξηηπ ζκύ έρεη πάληηε ξηδόληη εθπηκέλε Η γξθηθή πξάζηζε κηο πιπωλπκηθήο ζπλάξηεζεο πεξηηηύ ζκύ έρεη πάληηε ξηδόληη εθπηκέλε 6 Η ζπλάξηεζε γ δ κε,, γ, δ θη έρεη πάλη έλ ζεκεί θκπήο 7 λ η ζπλξηήζεηο, g έρπλ ζη ζεκεί θκπήο, ηόηε θη ε g έρεη ζη ζεκεί θκπήο 8 Γίλεηη όηη ε ζπλάξηεζε πξγωγίδεηη ζη θη όηη ε γξθηθή ηεο πξάζηζε είλη πάλω πό ηλ άμλ λ ππάξρεη θάπη ζεκεί A, ηεο C ηπ πίπ ε πόζηζε πό ηλ άμλ είλη κέγηζηε ή ειάρηζηε, ηόηε ζε πηό η ζεκεί ε εθπηκέλε ηεο C είλη ξηδόληη 9 Η επζεί είλη θηθόξπθε ζύκπηωηε ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο ζπλάξηεζεο:
19 g λ γξθηθή πξάζηζε ηεο ζπλάξηεζεο δίλεηη πό η πξθάηω ζρήκ, ηόηε: O 4 i η πεδί ξηζκύ ηεο είλη η, 4 ii η πεδί ξηζκύ ηεο είλη η [, 4 ] iii γη θάζε, 4 iv ππάξρεη, 4 : Η ζπλάξηεζε έρεη: κη, ηπιάρηζηλ, ξίδ ζη, κη, θξηώο, ξίδ ζη, γ ηξεηο πξγκηηθέο ξίδεο λ γη ηηο πξγωγίζηκεο ζη ζπλξηήζεηο, g ηζρύπλ 4,, 5 6, g 5, g, g 4, ηόηε g g ΙI ε κθεμιά πό ηιρ ππκάηυ πεπιπηώζειρ κςκλώζεηε ηη ζυζηή πάηηζη Τ π π εθ εθ 6 6 Β 4 ηζύηη κε: Γ Γ Δ 4 Τ ηζύηη κε: Β Γ Γ Δ λ Γ 5 ηόηε ε 5 Β ηζύηη κε: 5 Δ 5 ln 5 5 Γ ln λ ζπλ ηόηε ε π ηζύηη κε: ζπλ π εκ π Β ζπλ π
20 Γ ζπλ π εκ π Γ π ζπλ π 5 λ ηόηε ε έδκε πξάγωγο πηήο ζη ηζύηη κε: Β Γ Γ 7 Δ δελ ππάξρεη 6 λ η εθπηόκελεο ηωλ ζπλξηήζεωλ ln θη ηεηκεκέλε είλη πξάιιειεο, ηόηε η είλη: Β 4 Γ Γ Δ g ζη ζεκεί κε 7 λ e, g e θη ηζύηη κε: Γ Β Δ g, ηόηε η ωο ζπλάξηεζε ηπ g Γ 8 λ γη θάζε [,] θη, ηόηε: Β Γ Γ ΙΙΙ Ν ληηζηηρίζεηε θζεκηά πό ηηο ζπλξηήζεηο,, γ, δ ζε εθείλε πό ηηο ζπλξηήζεηο, Β, Γ, Γ, Δ, Z ππ λκίδεηε όηη είλη ε πξάγωγόο ηεο a γ O δ O O
21 Β Γ O O O - Γ Δ Ε O O O Κζεκηά πό ηηο πξθάηω ζπλξηήζεηο λ ληηζηηρίζεηε ζηελ επζεί ππ είλη ζύκπηωηε ηεο γξθηθήο ηεο πξάζηζεο ζη ΤΝΡΣΗΗ ΤΜΠΣΩΣΗ e Β Γ Γ Δ ΔΡΧΣΗΔΙ ΚΣΝΟΗΗ -ΟΛΟΚΛΗΡΧΜ Ι ε κθεμιά πό ηιρ ππκάηυ πεπιπηώζειρ κςκλώζεηε ηο γπάμμ, ο ιζσςπιζμόρ είι ληθήρ κι ηο γπάμμ Φ, ο ιζσςπιζμόρ είι τεςδήρ δικιολογώηρ ζςγσπόυρ ηη πάηηζή ζρ Ιζρύεη g d d g d Ιζρύεη g d d g d λ, ηόηε d
22 4 λ d, ηόηε θη λάγθε ζ είλη γη θάζε [, ] 5 λ γη θάζε [, ], ηόηε d 6 λ d, ηόηε θη λάγθε ζ είλη γη θάζε [, ] 4 7 d 4 d / 4 8 ln εκ d 9 d / 4, γη θάζε ln ζπλ d d e ln d ln e t dt λ d θη ε δελ είλη πληύ κεδέλ ζη [, ], ηόηε ε πίξλεη δπ, ηπιάρηζηλ, εηεξόζεκεο ηηκέο Τ ιθιήξωκ d πξηζηάλεη η εκδόλ ηπ ρωξίπ ππ πεξηθιείεηη πό ηε γξθηθή πξάζηζε ηεο ζπλάξηεζεο θη ηλ άμλ ηωλ ΙΙ Σε θζεκηά πό ηηο πξθάηω πεξηπηώζεηο λ θπθιώζεηε ηε ζωζηή πάληεζε λ εκπ θη, ηόηε η ηζύηη κε, Β, Γ, Γ π π π π To ιθιήξωκ d 4 ζη 4, είλη ίζ κε ln 4 c, Β ln 4 c, Γ ln 4 c, Γ ln 4 c Τ ιθιήξωκ d ζη, είλη ίζ κε
23 c, Β, ln Γ c, Γ c, Δ c 4 Τ ιθιήξωκ d είλη ίζ κε 4 4 5, Β, Γ, Γ, Δ 5 Τ ιθιήξωκ ln d είλη ίζ κε c, Β ln c, Γ ln ln, Γ c 6 Έζηω, g δπ πξγωγίζηκεο ζπλξηήζεηο κε ζπλερείο πξγώγπο ζη [, ] λ g γη θάζε [, ], ηόηε θη λάγθε ζ ηζρύεη: g, [, ], Β d g d Γ d g d, [, ], Γ d g d 7 Τ εκδόλ ηπ γξκκζθηζκέλπ ρωξίπ ηπ δηπιλύ ζρήκηο είλη ίζ κε - O 5 5 d, Β d 5 5 Γ d d, Γ d d 8 Aλ g γη θάζε [,] θη g, ηόηε γη θάζε [,] ηζρύεη: g, Β g d 4 Γ g, [,] Γ Οη C, C g έρπλ θηλό ζεκεί ζη [,] 5
24 9 Έζηω ε ζπλάξηεζε F t dt όππ ε ζπλάξηεζε ηπ δηπιλύ ζρήκηο Τόηε ε F είλη ίζε κε C, Β, Γ, Γ O Έζηω ε ζπλάξηεζε ηπ δηπιλύ ζρήκηο Aλ E Ω, Ε Ω θη Ε Ω ηόηε η d είλη ίζ κε O γ δ Ω Ω Ω 6, Β 4, Γ 4, Γ, Δ Έζηω ε ζπλάξηεζε F t dt, όππ ε ζπλάξηεζε ηπ δηπιλύ ζρήκηο Τόηε Β F,, F,, O Γ, F,, Γ, F, ΙΙΙ Πη πό η πξθάηω ζρήκη ληηπξζωπεύεη ηε γξθηθή πξάζη ζε κηο ιύζεο ηεο δηθξηθήο εμίζωζεο, κε, O O O Β Γ O O Γ Δ Πη πό η πξθάηω ιθιεξώκη είλη θιώο ξηζκέλ;
25 π d, Β εκ / d, Γ π εθ d Γ ln d, Δ d, Γ d Ν εληπίζεηε η ιάζο ζηηο πξθάηω πξάμεηο: Άξ d d d d d, πόηε! d 4 Ν εληπίζεηε η ιάζο ζηηο πξθάηω πξάμεηο I d ξ u u du u d du I Θέζκε πόηε d u u du I I πόηε I πηό, όκωο, είλη άηπ, θύ I d, επεηδή 5 Θεωξύκε ηε ζπλάξηεζε γη θάζε [,] F t dt, όππ ε ζπλάξηεζε ηπ δηπιλύ ζρήκηο Ν ζπκπιεξώζεηε η πξθάηω θελά 4 O 4 C 6 F, F, F, F 4, F 6
26
Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πανελλαδικών εξεηάζεων Σςναπηήζειρ
Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πνελλδικών εξεηάζεων 2-27 Σςνπηήζειρ Η γξθηθή πξάζηζε ηεο ζπλάξηεζεο f είλη ζπκκεηξηθή, σο πξνο ηνλ άμνλ, ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο f 2 Αλ f, g είλη δύν ζπλξηήζεηο κε πεδί νξηζκνύ
Διαβάστε περισσότερα3ο Δπαναληπηικό διαγώνιζμα ζηα Μαθημαηικά καηεύθσνζης ηης Γ Λσκείοσ Θέμα A Α1. Έζησ f κηα ζπλερήο ζπλάξηεζε ζ έλα δηάζηεκα
wwwaskisopolisgr 3ο Δπνληπηικό διγώνιζμ ζη Μθημηικά κηεύθσνζης ηης Γ Λσκείοσ 17-18 Θέμ A Α1 Έζησ κη ζπλερήο ζπλάξηεζε ζ έλ δηάζηεκ β λ πνδείμεηε όηη: t dt G β G Α Πόηε κη ζπλάξηεζε ιέγεηη 1-1; Α3 Πόηε
Διαβάστε περισσότεραΤο παρόν τεύχος δημιουργήθηκε για να διευκολύνει τους μαθητές στην AΜΕΣΗ κατανόηση των απαιτήσεων των Πανελληνίων Εξετάσεων.
ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το πρόν τεύχος δημιουργήθηκε γι ν διευκολύνει τους μθητές στην AΜΕΣΗ κτνόηση των πιτήσεων των Πνελληνίων Εξετάσεων. Περιέχει: Στην ρχή κάθε κεφλίου τη θεωρί (με ποδείξεις) τονίζοντς τ θέμτ ΘΕΩΡΙΑΣ
Διαβάστε περισσότεραΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013
ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 13 ΘΔΜΑ Α : (Α1) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 33-335 (Α) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 6 (Α3) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα (Α) α) Λάζνο β) Σωζηό γ) Σωζηό
Διαβάστε περισσότεραf '(x)g(x)h(x) g'(x)f (x)h(x) h'(x) f (x)g(x)
ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 54 Υλη: Παράγωγοι Γ Λσκείοσ Ον/μο:.. 6--4 Θεη-Τετν. ΘΔΜΑ Α.. Αλ f, g, h ηξεηο παξαγωγίζηκεο ζπλαξηήζεηο ζην λα απνδείμεηε όηη : f () g() h() ' f '()g()h() g'()f ()h() h'() f ()g()
Διαβάστε περισσότεραΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 2017
α: κολάδα β: κολάδες Σειίδα από 8 ΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 7 ΘΔΜΑ Α Α Έζηω, κε Θα δείμνπκε όηη f ( ) f ( ) Πξάγκαηη, ζην δηάζηεκα [, ] ε f ηθαλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ ΘΜΤ Επνκέλωο,
Διαβάστε περισσότεραΕπανάληψη Τελευταίας Στιγμής
Επάληψη Τελευτίς Στιγμής kanellopoulos@otmailcom 5/4/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θεωρί γι τις εξετάσεις Ορισμοί εοιώ & Θεωρήμτ χωρίς πόδειξη Μ Ι Γ Α Δ Ι Κ Ο Ι Πότε δύο μιγδικοί ριθμοί i κι γ δi είι
Διαβάστε περισσότεραiii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη
ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΣΟ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ Μάρτιος 0 ΘΔΜΑ Να ππνινγίζεηε ηα όξηα: i ii lim 0 0 lim iii iv lim e 0 lim e 0 ΘΔΜΑ Γίλεηαη ε άξηηα ζπλάξηεζε '( ) ( ) γηα θάζε 0 * : R R γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:
Διαβάστε περισσότεραf x 2xln x x x 2ln x 1 x f x 0 x 2ln x 1 0 2ln x 1 0 ln x ln e x e
8 9 6. Θ Ε Μ Α B 4 Β. Τν πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο είλαη Α,. Ζ πξώηε παξάγωγνο ηεο ζπλάξηεζεο είλαη : ln ln ln ln e ln ln ln ln e e To πξόζεκν ηεο ', ε κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα ηεο θαίλνληαη ζηνλ παξαθάηω
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα 11 Ηουνίου 2018 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα Ηουνίου 08 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α Α. Απόδεημε ζεωξήκαηνο ζει. 99 ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α. α.
Διαβάστε περισσότεραΜηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε:
1 ΟΡΙΜΟΙ MONOTONIA AKΡOTATA Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε: Σν ιέγεηαη ζέζε ή ζεκείν ηνπ ηνπηθνύ κεγίζηνπ θαη ην ( ηνπηθό κέγηζην.
Διαβάστε περισσότεραΜΔΣΡΙΚΔ ΥΔΔΙ ΣΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΣΡΙΓΩΝΑ
1 ν ΔΛ ΠΤΟΛΔΜΪΣ / users.flo.sch.gr/nikpol 1 ΜΔΣΡΙΚΔ ΥΔΔΙ Σ ΟΡΘΟΩΝΙ ΣΡΙΩΝ = 90 ν Τν ηεηξάγσλν κηο θάζεηεο πιεπξάο είλη ίζν κε ηελ ππνηείλνπζ επί ηελ πξννιή ηεο πιεπξάο ζηελ ππνηείλνπζ. = ή = Σε θάζε νξζνγώλην
Διαβάστε περισσότερα(Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α. Α1. Βιέπε απόδεημε Σει. 262, ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α2. Βιέπε νξηζκό Σει. 141, ζρνιηθνύ βηβιίνπ
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β ) ΣΔΣΑΡΣΖ 18 ΜΑΪΟΤ 16 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ΝΔΟ ΤΣΖΜΑ) ΚΑΣΔΤΘΤΝΖ (ΠΑΛΑΗΟ ΤΣΖΜΑ) (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,10,10
ΟΝΟΜΑΣΔΠΩΝΤΜΟ ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,1,1 ΓΙΑΓΩΝΙΜΑ 1 ου ΜΔΡΟΤ ΣΗ ΑΝΑΛΤΗ Α Γώζηε ηνλ νξηζκό ηεο αληίζηξνθεο ζπλάξηεζεο Β Γείμηε όηη αλ κηα ζπλάξηεζε είλαη αληηζηξέςηκε ηόηε νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο
Διαβάστε περισσότεραΓ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano) ΘΔΜΑ Α
Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano). Να δηαηππώζεηε ην Θ.Bolzano. 5 ΘΔΜΑ Α μονάδες A. Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε πνιπωλπκηθή
Διαβάστε περισσότεραΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο :
ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ Ον/μο:.. Γ Λσκείοσ Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη. 11-1-11 Εήηημα 1 ο : Α. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f, λα βξείηε ην δηάζηεκα ζην νπνίν είλαη παξαγσγίζηκε θαζώο θαη
Διαβάστε περισσότεραΟ γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ εηθόλωλ ηωλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ z είλαη ν θύθινο κε θέληξν ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ θαη αθηίλα ξ=2.
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΚΑΗ Γ ΣΑΞΖ ΔΠΔΡΗΝΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β ) ΓΔΤΣΔΡΑ 5 ΜΑΪΟΤ 5 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ:ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΖ & ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΚΖ ΚΑΣΔΤΘΤΝΖ ΑΠΑΝΣΖΔΗ ΘΔΜΑ Α Α. Σρνιηθό βηβιίν
Διαβάστε περισσότεραMaster Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1.
ΘΕΜΑ. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη + f() f(- ) = γηα θάζε IR. Να δείμεηε όηη f() =, ΙR. Να βξείηε ηελ εθαπηόκελε (ε) ηεο C f πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν (-,-) 3. Να βξείηε ην εκβαδόλ Δ(α) ηνπ ρωξίνπ
Διαβάστε περισσότεραόπου R η ακηίνα ηου περιγεγραμμένου κύκλου ηου ηριγώνου.
ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΕΜΔ ΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ Ι ΤΗΝ ΛΥΣΗ ΣΚΗΣΕΩΝ ΕΜΔ Πρόηζε Ίζ πολυγωνικά χωρί έχουν ίζ εμβδά Το νηίζηροθο δεν ιζχύει ηλδή δύο ιζοεμβδικά χωρί δεν είνι κηά νάγκη ίζ Εκβδόλ ηεηργώλοσ πιεσράς Εκβδόλ
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 3 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ
Διαβάστε περισσότεραBAΙΚΑ ΘΔΩΡΗΜΑΣΑ ΤΝΔΥΔΙΑ
BAΙΚΑ ΘΔΩΡΗΜΑΣΑ ΤΝΔΥΔΙΑ Α. ΘΔΩΡΗΜΑ BOLZANO (Θ.Β) Έζηω κηα ζπλάξηεζε f,νξηζκέλε ζε έλα θιεηζηό δηάζηεκα [α,β].αλ: Ζ f είλαη ζπλερήο ζην [α,β] θαη, επηπιένλ, ηζρύεη f a f 0 Σόηε ππάξρεη ένα, τοσλάτιστον,
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα 10 Ηοσνίοσ 2019 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα Ηοσνίοσ 9 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α Α.α) Οξηζκόο ζρνιηθνύ βηβιίνπ ζει 5. Έζησ Α έλα ππνζύλνιν ηνπ.
Διαβάστε περισσότεραP A B P A P B P A B. f f f 0, , 2 f 0, 4 f 0, 3 f. f 0, 3
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣOΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5 / 0 / 05 ΘΕΜΑ Α Α. Έστω A και Β τα εδεχόμεα εός δειγματικού χώρου Ω. Να αποδείξετε ότι: P A B P A P B P A B
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/2014
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 204-205 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/204 A ΟΜΑΓΑ Οδηγία: Να γράυεηε ζηο ηεηράδιο ζας ηον αριθμό κάθε μιας από ηις παρακάηφ ερφηήζεις Α.-Α.8 και
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. (iv) (ii) (ii) (ii) 5. Γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ι λα ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : x 6 3 9x
Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : ( ) 4 ( ) 7 ( )( ) (ii) 5 7 9 4 (iv) 5 6 4 9 6 0 9 6 8 Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : 7 5 8 (ii) 4 6 8 5 8 ( 6) 4 4 5 (iv) 7 5 4 7 0 7 ( ) 4 8 4 5 8 Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : ( ) 0 5
Διαβάστε περισσότεραP A B P A P B P A B. f f f 0, , 2 f 0, 4 f 0, 3 f. f 0, 3
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣOΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5 / 0 / 05 ΘΕΜΑ Α Α. Έστω A και Β τα εδεχόμεα εός δειγματικού χώρου Ω. Να αποδείξετε ότι: P A B P A P B P A B
Διαβάστε περισσότεραB1. Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε ζην 0,, σο πειίθν παξαγσγίζηκσλ. 1 x ln x ln x x ln x. x x x x. f x ln x 0 ln x 1 x e
8 45 38. Θ Ε Μ Α Β B. Η ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε ζην,, σο πειίθν παξαγσγίζηκσλ ζπλαξηήζεσλ κε παξάγσγν: ln ln ln ln ln (),. ln ln ln ln ln ln ln ln ln () () ()= Από ηνλ παξαπάλσ πίλαθα
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦ. 2.3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ
ΚΕΦ..3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ Οπιζμόρ απόλςηηρ ηιμήρ: Σηνλ άμνλα ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ ζεσξνύκε έλαλ αξηζκό α πνπ ζπκβνιίδεηαη κε ην ζεκείν Α. Η απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Α από ηελ αξρή Ο, δειαδή
Διαβάστε περισσότεραΒ. Να δώσετε τον ορισμό του τοπικού ελαχίστου μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. ΜΟΝΑΔΕΣ 5
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΡΙΑΚΗ ΜΑΡΤΙΟΥ 5 ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () > σε κάθε
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ - ΦΥΕ 0 7 Ινπλίνπ 009 Απαντήσειρ στιρ ασκήσειρ τηρ τελικήρ εξέτασηρ στιρ Σςνήθειρ Διαυοπικέρ Εξισώσειρ Αγαπηηέ θοιηηηή/ηπια,
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 1 0,3x 0,1y x 3 3x 4y 2 4x 2y ( x 1) 6( y 1) (i) (ii)
. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα.,, 6 4 4 4 5( ) 6( ). Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα.,,,6 7. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 5 ( )( ) ( ) 4. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 5 4 6 7 4. 5. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 59 ( )( ) ()( 5) 7 6.
Διαβάστε περισσότεραΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΟ ΓΗΑΓΧΝΗΜΑ Γ' ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ. ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ζε όλη ηην ύλη) ΓΗΑΡΚΔΗΑ ΔΞΔΣΑΖ: 3 ΧΡΔ
ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΟ ΓΗΑΓΧΝΗΜΑ Γ' ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ζε όλη ηην ύλη) ΘΔΜΑ Α Α. Έζησ ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζην, ΓΗΑΡΚΔΗΑ ΔΞΔΣΑΖ: ΧΡΔ α) Πόηε ε είλαη ζπλερήο
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Α. Πρωτοβάθμιεσ Εξιςώςεισ. Β. Διερεφνηςη Εξιςώςεων. 1x είναι αδφνατθ. x 1 x 1. Άλγεβρα Α Λυκείου
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α. Πρωτοβάθμιεσ Εξιςώςεισ. 1. Να λυκεί θ εξίςωςθ (x - 4) (x +5) x -5 5(x +1) - - = - - x 4 6. Να λυκεί θ εξίςωςθ x (x+1)+x(x+1)+x+1=0. Να λυκεί θ εξίςωςθ x(x -4)-x +x =0 4. Να λυκεί θ εξίςωςθ
Διαβάστε περισσότεραx x x x tan(2 x) x 2 2x x 1
ΘΕΡΙΝΟ ΣΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ ΜΕΡΟ Ι 1. Να γίλνπλ νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ. t ( i) e ( ii) ln( ) ( iii). Να βξεζεί ην Π.Ο., ν ηύπνο ηεο αλίζηξνθεο θαη ην Π.Τ. ησλ
Διαβάστε περισσότεραΘέμαηα Καγκοσρό 2009 Δπίπεδο: 3 (γηα καζεηέο ηεο Α' θαη Β' ηάμεο Γπκλαζίνπ)
Μιτάλης Λάμπροσ Νίκος Κ. Σπαοσδάκης Θέμαηα Καγκοσρό 009 Δπίπεδο: (γηα καζεηέο ηεο Α' θαη Β' ηάμεο Γπκλαζίπ) Δξσηήζεηο βαζκώλ: ) Πηο από ηπο παξαθάησ αξηζκύο είλαη δπγόο (δειαδή άξηηο); 009 9 Β) 008 009
Διαβάστε περισσότεραΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα 1 από 18 ΛΥΣΔΙΣ ΑΣΚΗΣΔΩΝ ΣΤΗΝ ΔΙΣΑΓΩΓΗ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΔΩΝ
ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα από 8 ΛΥΣΔΙΣ ΑΣΚΗΣΔΩΝ ΣΤΗΝ ΔΙΣΑΓΩΓΗ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΔΩΝ ) Να γπάτεηε με μοπθή διαζηήμαηορ ή ένυζηρ διαζηημάηυν ηα ζύνολα: i) {R/-
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη: Εσθύγραμμη Κίνηζη
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Είμαζηε ηυχεροί που είμαζηε δάζκαλοι Ον/μο:.. A Λσκείοσ Ύλη: Εσθύγραμμη Κίνηζη 8-11-2015 Θέμα 1 ο : 1. Η εμίζωζε θίλεζεο ελόο θηλεηνύ πνπ θηλείηαη επζύγξακκα είλαη ε x = 5t. Πνηα
Διαβάστε περισσότεραΚεθάιαην 6: Οινθιεξσηηθόο Λνγηζκόο
Κεθάιην 6: Οινθιεξσηηθόο Λνγηζκόο ύλνςε Σην θεθάιην πηό εηζάγεηη ν νξηζκόο ηνπ όξηζηνπ νινθιεξώκηνο θη πξηίζεηη λιπηηθή κεζνδνινγί ζπλθώλ ζθήζεωλ κε πξνζληνιηζκό ζε πξνβιήκη κερληθώλ. Εηζάγεηη, επίζεο,
Διαβάστε περισσότεραΦςζική Πποζαναηολιζμού Γ Λςκείος. Αζκήζειρ Ταλανηώζειρ 1 ο Φςλλάδιο
Φςζική Πποζαναηολιζμού Γ Λςκείος Αζκήζειρ Ταλανηώζειρ 1 ο Φςλλάδιο Επιμέλεια: Αγκανάκηρ Α. Παναγιώηηρ Επωηήζειρ Σωζηό- Λάθορ Να χαπακηηπίζεηε ηιρ παπακάηω πποηάζειρ ωρ ζωζηέρ ή λάθορ: 1. Η ηαιάλησζε είλαη
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΤΝΕΥΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ
Οη ζπλερείο ζπλαξηήζεηο είλαη κία ζεκαληηθή θιάζε ηωλ πξαγκαηηθώλ ζπλαξηήζεωλ κηάο πξαγκαηηθήο κεηαβιεηήο Τα βαζηθά ζεωξήκαηα ηωλ ζπλερώλ ζπλαξηήζεωλ ζε ζπλδπαζκό κε ηε κνλνηνλία, καο βνεζνύλ λα βγάινπκε
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ ΣΔΣΑΡΣΖ 25 ΜΑΨΟΤ 2016 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΑΡΥΔ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΖ ΘΔΧΡΗΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ - ΔΠΗΛΟΓΖ
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ ΣΔΣΑΡΣΖ 25 ΜΑΨΟΤ 2016 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΑΡΥΔ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΖ ΘΔΧΡΗΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ - ΔΠΗΛΟΓΖ (Δλδεηθηηθέο Απαληήζεηο) ΘΔΜΑ Α Α1. α. Σωζηό β. Λάζνο
Διαβάστε περισσότεραx x 15 7 x 22. ΘΔΜΑ Α 3x 2 9x 4 3 3x 18x x 5 y 9x 4 Α1. i. . Η ιύζε είλαη y y x 3y y x 3 2x 6y y x x y 6 x 2y 1 y 6
ΑΠΑΝΣΗΔΙ ΜΑΘΗΜΑ ΑΛΓΔΒΡΑ Β ΛΤΚΔΙΟΤ ΗΜ/ΝΙΑ 4 ΟΚΣΩΒΡΙΟΤ 08 ΓΙΑΡΚΔΙΑ ΩΡΔ ΘΔΜΑ Α Α i 9 4 8 8 5 5 9 4 9 4 9 4 9 4 9 4 4 Η ύζε είλαη,, 6 6 6 5 7 0 5 Γηα 5 ε εμίζωζε 7 Η ύζε είλαη,, 5 γίλεηαη : 5 7 5 7 i 4 4 4
Διαβάστε περισσότεραΓΙΑΙΡΔΣΟΣΗΣΑ. Οπιζμόρ 1: Έζηω d,n. Λέκε όηη ν d δηαηξεί ηνλ n (ζπκβνιηζκόο: dn) αλ. ππάξρεη c ηέηνην ώζηε n. Θεώπημα 2: Γηα d,n,m,α,b ηζρύνπλ:
ΓΙΑΙΡΔΣΟΣΗΣΑ Οπιζμόρ 1: Έζηω,. Λέκε όηη ν δηαηξεί ηνλ (ζπκβνιηζκόο: ) αλ ππάξρεη c ηέηνην ώζηε c. Θεώπημα : Γηα,,m,α,b ηζρύνπλ: i), (άξα ) ii) 1, 1 iii) 0 iv) 0 0 v) m m m vi) α bm vii) α (άξα ) viii)
Διαβάστε περισσότεραΑιγόξηζκνη Γνκή επηινγήο. Πνιιαπιή Δπηινγή Δκθωιεπκέλεο Δπηινγέο. Δηζαγωγή ζηηο Αξρέο ηεο Δπηζηήκεο ηωλ Η/Υ. introcsprinciples.wordpress.
Αιγόξηζκνη 2.2.7.3 Γνκή επηινγήο Πνιιαπιή Δπηινγή Δκθωιεπκέλεο Δπηινγέο Δηζαγωγή ζηηο Αξρέο ηεο Δπηζηήκεο ηωλ Η/Υ 1 Πνιιαπιή Δληνιή Δπηινγήο Αν ζπλζήθε_1 ηόηε εληνιέο_1 αλλιώς_αν ζπλζήθε_2 ηόηε εληνιέο_2...
Διαβάστε περισσότεραΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ζμεπομηνία: 18/12/10 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤ ΕΙ 1. Δίλεηαη ην πνιπώλπκν Αλ θαη., λα βξείηε ην ηειεπηαίν ςεθίν ηνπ αξηζκνύ έρνπκε:
Διαβάστε περισσότερα66. Ομογενής ράβδος ποσ περιζηρέθεηαι
1 66. Ομογενής ράβδος ποσ περιζηρέθεηαι Λεπηή νκνγελήο ξάβδνο Α κήθνπο L=1 θαη κάδαο Μ=Kg, κπνξεί λα ζηξέθεηαη ζε θαηαθόξπθν επίπεδν ρωξίο ηξηβέο γύξω από νξηδόληην άμνλα πνπ πεξλά από ην άθξν ηεο Α. Σην
Διαβάστε περισσότεραΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000.
ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Σσνάρηηζη Κόζηοσς C(), μέζο κόζηος C()/. Παράδειγμα 1 Μηα εηαηξεία δαπαλά γηα θάζε πξντόλ Α πνπ παξάγεη 0.0 λ.κ. Τα πάγηα έμνδα ηεο εηαηξείαο είλαη 800 λ.κ. Ζεηείηαη 1) Να πεξηγξάςεηε
Διαβάστε περισσότεραΣήκαηα Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) ΕΙΣΑΓΨΓΗ ΣΤΙΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΨΝΙΕΣ
Σήκαηα 1 Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) Σήκαηα Οξηζκόο ζήκαηνο Ταμηλόκεζε ζεκάησλ Σεηξέο Fourier Μεηαζρεκαηηζκόο Fourier Σπλέιημε Σπζρέηηζε θαη Φαζκαηηθή Ππθλόηεηα 2 Οξηζκόο Σήκαηνο
Διαβάστε περισσότεραΤν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Δθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δωξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ψεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr
Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνηηζηεξηαθήο Δθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαέκεηαη δωξεά απνθιεηζηηθά από ην ψεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr Η έα ηζηνζειίδα καο : www. Μ ΑΘΗΜ ΑΤΙΚΑ α x +β< 0 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ α.(β +γ )α.
Διαβάστε περισσότεραEL Eνωμένη στην πολυμορυία EL A8-0046/319. Τροπολογία
8.3.2016 A8-0046/319 319 Άρθρο 34 παράγραθος 1 ζηοιχείο δ (δ) 14 έηε γηα θηεληαηξηθά θάξκαθα πνπ πξννξίδνληαη γηα άιια είδε δώωλ από απηά πνπ αλαθέξνληαη ζηελ παξάγξαθν 1 ζηνηρεία α) θαη γ). (δ) 10 έηε
Διαβάστε περισσότεραΚευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση
Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση Πώς πρέπει να τιμολογεί ένα μονοπώλιο; Μέρξη ζηηγκήο ην κνλνπώιην έρεη ζεσξεζεί ζαλ κηα επηρείξεζε ε νπνία πσιεί ην πξντόλ ηεο ζε θάζε πειάηε ζηελ
Διαβάστε περισσότεραΑ Ρ Η Θ Μ Ο : ΠΡΑΞΗ ΣΡΟΠΟΠΟΙΗΗ ΠΡΑΞΗ ΚΑΣΑΘΕΗ ΟΡΩΝ
Α Ρ Η Θ Μ Ο : 6.984 ΠΡΑΞΗ ΣΡΟΠΟΠΟΙΗΗ ΠΡΑΞΗ ΚΑΣΑΘΕΗ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟΤ η ε λ Π ά η ξ α ζ ή κ ε ξ α ζ η η ο ε ί θ ν ζ η κ ί α ( 2 1 ) η ν π κ ή λ α Μ α ξ η ί ν π, ε κ έ ξ α Γ ε π η έ ξ α, η ν π έ η ν π ο δ
Διαβάστε περισσότεραx-1 x (x-1) x 5x 2. Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα, έηζη ώζηε λα κελ ππάξρνπλ ξηδηθά ζηνπο 22, 55, 15, 42, 93, 10 5, 12
ΑΚΖΔΗ ΤΜΝΑΗΟΤ - ΚΤΚΛΟ ΠΡΩΣΟ - - ηα πνηεο ηηκέο ηνπ ηα παξαθάησ θιάζκαηα δελ νξίδνληαη ; (Τπόδεημε : έλα θιάζκα νξίδεηαη αλ ν παξνλνκαζηήο είλαη δηάθνξνο ηνπ κεδελόο) - (-) - (-) - Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ
ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ Εδώ ζα ππνινγίζνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier κεξηθώλ αθόκα ζεκάησλ, πξνζπαζώληαο λα μεθηλήζνπκε από ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier γλσζηώλ ζεκάησλ
Διαβάστε περισσότεραΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΒΑΙΚΓ ΓΝΩΓΙ ΣΡΙΓΩΝΟΜΓΣΡΙΑ ΑΠΟ Α ΛΤΚΓΙΟΤ. 1. Σπιγωνομεηπικοί απιθμοί οξείαρ γωνίαρ ζε οπθοκανονικό ζύζηημα αξόνων.
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΒΑΙΚΓ ΓΝΩΓΙ ΣΡΙΓΩΝΟΜΓΣΡΙΑ ΑΠΟ Α ΛΤΚΓΙΟΤ. Σπιγωνομεηπικοί απιθμοί οξείαρ γωνίαρ ζε οπθοκανονικό ζύζηημα αξόνων. y ημω= y π M(,y) ζςνω= π ξ σ εθω= y, 0 ζθω=, y 0 y.σπιγωνομεηπικοί απιθμοί γωνίαρ
Διαβάστε περισσότεραΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ. Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ Πρόβλημα 1: α) Να δείμεηε όηη αλ ζεηηθνί πξαγκαηηθνί αξηζκνί ηζρύεη: β) Αλ είλαη
Διαβάστε περισσότεραΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) =
ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 9. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(,y) = y.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) ln b) a) 3cos b) e sin 4. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: S ( y) 3
Διαβάστε περισσότεραΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο 1 ε Δξαζηεξηόηεηα Αλνίμηε ην αξρείν «Μεηαηόπηζε παξαβνιήο.ggb». Με ηε καύξε γξακκή παξηζηάλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f(x)=αx 2 πνπ ζα ηελ
Διαβάστε περισσότεραΑπαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ.
Απαντήσεις θέματος 2 Απηά πνπ έπξεπε λα γξάςεηε (δελ ρξεηαδόηαλ δηθαηνιόγεζε εθηόο από ην Γ) Α return a*b; Β 0:acegf2, 1: acegf23, 2: acegf234, 3:acegf2345, 4:acegf23456, 5:acegf234567, 6:acegf2345678,
Διαβάστε περισσότεραΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη:Γςνάμειρ μεταξύ ηλεκτπικών φοπτίων
ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ον/μο:.. Ύλη:Γςνάμειρ μεταξύ ηλεκτπικών φοπτίων Είμαζηε ηυχεροί που είμαζηε δάζκαλοι 58 Β Λςκείος Γεν. Παιδείαρ 9-11-2014 Θέμα 1 ο : 1. Γύν ζεηηθά θνξηία πνπ βξίζθνληαη ζε απόζηαζε
Διαβάστε περισσότεραΣΟ ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕ. Σν απιό εθθξεκέο απνηειείηαη από κηα κάδα m ζηελ άθξε αβαξνύο. λήκαηνο κήθνπο L,ηνπ νπνίνπ ην άιιν άθξν είλαη εμαξηεκέλν ζε αθιόλεην
ΣΟ ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕ Σν απιό εθθξεκέο απνηειείηαη από κηα κάδα m ζηελ άθξε αβαξνύο λήκαηνο κήθνπο,ηνπ νπνίνπ ην άιιν άθξν είλαη εμαξηεκέλν ζε αθιόλεην ζεκείν. Εθηξέπνληαο θαηά γωλία θ θαη ζηε ζπλέρεηα αθήλνληαο
Διαβάστε περισσότερα1. Να ζεκεηώζεηε πνηα από ηηο επόκελεο ηαρύηεηεο είλαη κεγαιύηεξε. Α. π 1 = 30m/s Β. π 2 = 0.02km/s Γ. π 3 = 36000m/h Γ. π 4 = 144km/h.
ΦΤΙΚΗ A ΛΤΚΔΙΟΤ ΓΙΑΡΚΔΙΑ: 10min ΣΜΗΜΑ:. ONOMA:. ΔΠΩΝΤΜΟ: ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ: ΜΟΝΑΓΔ ΘΔΜΑ 1 ο ΘΔΜΑ ο ΘΔΜΑ 3 ο ΘΔΜΑ 4 ο ΤΝΟΛΟ ΘΔΜΑ A: 1. Να ζεκεηώζεηε πνηα από ηηο επόκελεο ηαρύηεηεο είλαη κεγαιύηεξε. Α. π 1 = 30m/s
Διαβάστε περισσότεραΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ
ΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ. Μία αθηίλα θωηόο πξνζπίπηεη κε κία γωλία ζ ζηε επάλω επηθάλεηα ελόο θύβνπ από πνιπεζηέξα ν νπνίνο έρεη δείθηε δηάζιαζεο ε =,49 (ζρήκα ). Βξείηε πνηα ζα είλαη ε κέγηζηε γωλία
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: έζησ
ΜΙΓΑΔΙΚΙ ΑΡΙΘΜΙ: έζησ έλαο κηγαδηθόο αξηζκόο. αληίζηξνθνο ηνπ κηγαδηθνύ αξηζκνύ a b είλαη ν αξηζκόο Παπάδειγμα: έζησ.αληίζηξνθνο ηνπ αξηζκνύ : Μέηπο μιγαδικού απιθμού: αλ κέηξν δηαλύζκαηνο OM. b ή απόιπηε
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ
ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΘΔΜΑ Α Α1. α. Σ β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Λ ζη. Σ Α2. Γ Α3. 1. γ 2. ε 3. δ 4. α Β1. ΘΔΜΑ Β Οη ηειηθνί ππνινγηζηέο παίξλνπλ απνθάζεηο δξνκνιόγεζεο κόλν γηα ηα δηθά ηνπο απηνδύλακα
Διαβάστε περισσότεραΠ Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α
Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ
Διαβάστε περισσότεραΑζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14
.1.10 ζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14 Ερωηήζεις Καηανόηζης 1. ύν δηαθνξεηηθέο επζείεο κπνξεί λα έρνπλ θαλέλα θνηλό ζεκείν Έλα θνηλό ζεκείν i ύν θνηλά ζεκεία iλ) Άπεηξα θνηλά ζεκεία ηηηνινγήζηε ηελ απάληεζε
Διαβάστε περισσότεραΤΝΟΠΣΙΚΗ ΜΔΘΟΓΟΛΟΓΙΑ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ
ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΜΔΘΟΓΟΛΟΓΙΑ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ ΜΙΓΑΓΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Γηα λα βξνύκε ηε δύλακε i (θ αθέξαηνο) δηαηξνύκε ην θ κε ην 4 θαη ζύκθσλα κε ηελ ηαπηόηεηα ηεο δηαίξεζεο
Διαβάστε περισσότερα1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη
ΛΤΜΔΝΔ ΑΚΖΔΗ ΣΖΝ ΔΤΡΔΖ ΑΡΥΗΚΖ ΦΑΖ 1. Η αιή αξκνληθή ηαιάλησζε ν εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη ιάηνο Α = cm θαη ζρλόηεηα f = 5 Hz. Τε ρξνληθή ζηηγκή = ην κηθξό ζώκα δηέξρεηαη αό ηε ζέζε ανκάθξλζεο
Διαβάστε περισσότεραΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο
Διαβάστε περισσότερα1 ορ ΣΚΟΠΟΣ (1 Ο μάθημα) Αλάπηπμε θηλεηηθώλ δεμηνηήησλ θαη ηθαλνπνηεηηθή εθηέιεζε νξηζκέλσλ από απηέο Σηόχορ :1 ορ και 4 ορ
1 ΣΚΟΠΟΣ (1 Ο μάθημα) Αλάημε θηλεηηθώλ δεμηηήησλ θαη ηθαληεηηθή εθηέιεζε ξηζκέλσλ α αηέ Σηχ :1 και 4 Γλώζε ηε άζα κε δάηια ζηελ εηζθαίξηζε. Ειδιώξει Πειεχμεα Χ 1. Τα αηδηά λα κάζλ ηελ άζα κε δάηια. 1.
Διαβάστε περισσότεραΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗΣ. Εναλλάκτης Θερμότητας Νερού - Νερού. Περίπτωση Αντιρροής
ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗΣ Ενλλάκτης ερμότητς Νερού - Νερού Περίπτωση Αντιρροής ΚΥΡΙΑΚΟΣ ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ ΚΥΡΙΑΚΟΣ ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ Οκτώβριος 2011 ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΕΡΜΟΔΤΝΑΜΙΚΗ Περίπηωζη
Διαβάστε περισσότεραΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 133. Ύλη: Σσναρηήζεις-Σηαηιζηική Θέμα 1
ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1 Ον/μο:.. Γ Λσκείοσ Ύλη: Σσναρηήζεις-Σηαηιζηική Γεν. Παιδείας 9-1-1 Θέμα 1 Α. Αο ππνζέζνπκε όηη x 1,x,...,x k είλαη νη ηηκέο κηαο κεηαβιεηήο x πνπ αθνξά ηα άηνκα ελόο δείγκαηνο
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. z2. Να απνδεηρζεί όηη:
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΑΚΖΖ Γύν κηθξέο κύγεο Α θαη Β θηλνύληαη πάλω ζην κηγαδηθό επίπεδν θαη είλαη εηθόλεο ηωλ κηγαδηθώλ θαη αληίζηνηρα, ώζηε λα ηζρύεη ζπλερώο 4. Να απνδεηρζεί όηη: 5 α).
Διαβάστε περισσότεραΑ. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2
ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΔ EΞΙΩΔΙ Πνηα παξαδείγκαηα εμηζώζεσλ ή θαη πξνβιεκάησλ πηζηεύεηαη όηη είλαη θαηάιιεια γηα ηελ επίιπζε ηνπο θαηά ηελ δηάξθεηα ηεο δηδαθηηθήο δηαδηθαζίαο κέζα ζηελ ηάμε; 1 ε ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΩΡΑ Α.
Διαβάστε περισσότεραΓΦΑΡΜΟΓΓ ΣΟΤ ΔΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Γ ΓΓΩΜΓΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ
ΓΦΑΡΜΟΓΓ ΣΟΤ ΔΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Γ ΓΓΩΜΓΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ Γιζήηζη Νικ. Ιωζηθίδη ζηημ η Μθημηική Γβδομάδ Πρζκευή 7 Μρηίου 008 Ξεμοδοχείο Porto Palace, Θεζζλομίκη Νικ. Ιωζηθίδης. ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΓΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ
Διαβάστε περισσότεραΚεθάλαιο 7. Πξνζθνξά ηνπ θιάδνπ Μ. ΨΥΛΛΑΚΗ
Κεθάλαιο 7 Πξνζθνξά ηνπ θιάδνπ 1 Προζθορά ανηαγωνιζηικού κλάδοσ Πώο πξέπεη λα ζπλδπαζηνύλ νη απνθάζεηο πξνζθνξάο ησλ πνιιώλ επηκέξνπο επηρεηξήζεσλ ελόο αληαγσληζηηθνύ θιάδνπ γηα λα βξνύκε ηελ θακπύιε πξνζθνξάο
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ 31. Ύλη:Εσθύγραμμη Κίνηζη
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ 31 Ον/μο:.. A Λσκείοσ Ύλη:Εσθύγραμμη Κίνηζη 9-11-2014 Θέμα 1 ο : 1. Έλα ζώκα θηλείηαη ζε επζεία γξακκή θαη κεηαηνπίδεηαη από ηε ζέζε ρ 1 = +2m ζηε ζέζε ρ 2 = -2m. Πνηα από ηηο επόκελεο
Διαβάστε περισσότεραΤν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Δθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr
Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνηηζηεξηαθήο Δθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαέκεηαη δσξεά απνθιεηζηηθά από ην ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr Η έα ηζηνζειίδα καο : www. Μ ΑΘΗΜ ΑΤΙΚΑ α x +β< 0 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ α.(β +γ )α.
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Διάρκεια: 3 ώρες Ημερομηνία: 12/5/2019 Έκδοση: 1 η. Τα sites blogs που συμμετέχουν (σε αλφαβητική σειρά):
Τα sites blogs που συμμετέχουν (σε αλφαβητική σειρά): blogsschgr/iordaniskos/ Επιμελητής: Ιορδάνης Κόσογλου blogsschgr/pavtryfon/ Επιμελητής: Παύλος Τρύφων eisatoponblogspotgr/ Επιμελητής: Σωκράτης Ρωμανίδης
Διαβάστε περισσότεραΆζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ
Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική Δίζηε μησανικόρ διοίκηζηρ μεγάληρ καηαζκεςαζηικήρ εηαιπείαρ και καλείζηε να ςλοποιήζεηε ηο έπγο πος πεπιγπάθεηαι από ηον Πίνακα 1. Κωδ.
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΓΙΑ 1 Ο α. i. Δίκεηαη ε ζοκάνηεζε. Ακ μη ζοκανηήζεηξ είκαη παναγωγίζημεξ, κα απμδείλεηε όηη:. ii. Πόηε μηα ζοκάνηεζε ζε έκα δηάζηεμα ημο πεδίμο ανηζμμύ ηεξ ιέγεηαη
Διαβάστε περισσότεραΈωρ και 28% η αύξηζη ηων ειζθοπών από ηο 2019!
Έωρ και 28% η αύξηζη ηων ειζθοπών από ηο 2019! A. Πίνακερ απεικόνιζηρ μεηαβολών Ι. Πίνακαρ απεικόνιζηρ μεηαβολών για ειζόδημα 10.000,00 Με ηο Υθιζηάμενο ζύζηημα Κζρδη 10,000.00 10,000.00 10,000.00 10,000.00
Διαβάστε περισσότεραΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ
ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ ΝΚΑΓΑ Α ΔΡΩΣΖΔΗ ΩΣΟΤ- ΙΑΘΟΤ 1. Γηα έλα αγαζό όηαλ ε ζηαζεξά γ είλαη ίζε κε ην κεδέλ ηόηε ε θακπύιε πξνζθνξάο δηέξρεηαη από ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ.
Διαβάστε περισσότεραΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ
ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ Σε όια ηα πξνβιήκαηα πνπ ζα αληηκεηωπίζνπκε, ην ειαηήξην ζα είλαη αβαξέο θαη ζα ηθαλνπνηεί ην λόκν ηνπ Hooke (ηδαληθό ειαηήξην), δειαδή ε δύλακε πνπ αζθεί έλα ηδαληθό ειαηήξην έρεη
Διαβάστε περισσότεραΚΔΦ. 2.4 ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ
ΚΔΦ.. ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ Οξηζκόο ηεηξαγσληθήο ξίδαο: Αλ 0 ηόηε νλνκάδνπκε ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ ηελ κε αξλεηηθή ιύζε ηεο εμίζσζεο:. Γειαδή ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ 0 ιέγεηαη ν αξηζκόο 0 πνπ όηαλ πςσζεί
Διαβάστε περισσότεραΕξετάςεισ περιόδου Μαΐου Ιουνίου Εξεταςτζα Ύλη Άλγεβρασ Β Λυκείου ( όλα τα τμήματα )
Εξετάςεισ περιόδου Μαΐου Ιουνίου 016 Εξεταςτζα Ύλη Άλγεβρασ Β Λυκείου ( όλα τα τμήματα ) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Βϋ Γενικοφ Λυκείου» Κεφ. 1ο: Γραμμικά Συςτήματα 1.1 Γραμμικά υςτιματα (χωρίσ τισ αποδείξεισ
Διαβάστε περισσότεραΝα ζρεδηάζεηο ηξόπνπο ζύλδεζεο κηαο κπαηαξίαο θαη ελόο ιακπηήξα ώζηε ν ιακπηήξαο λα θσηνβνιεί.
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: Απλό ηλεκτπικό κύκλυμα Η δηδαζθαιία ηνπ απινύ ειεθηξηθνύ θπθιώκαηνο ππάξρεη ζην κάζεκα «Φπζηθά» ηεο Ε ηάμεο ηνπ δεκνηηθνύ θαη επαλαιακβάλεηαη ζην κάζεκα ηεο Φπζηθήο ζηε Γ ηάμε ηνπ Γπκλαζίνπ.
Διαβάστε περισσότεραΔΠΙΣΡΟΠΗ ΓΙΑΓΩΝΙΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΔΛΛΗΝΙΟ ΜΑΘΗΣΙΚΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ο ΘΑΛΗ 19 Οκηωβρίοσ Δνδεικηικές λύζεις
ΔΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ Παλεπηζηεκίνπ (Διεπζεξίνπ Βεληδέινπ) 34 06 79 ΑΘΖΝΑ Τει. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Δleftheriou
Διαβάστε περισσότεραΓΗΜΟΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΟΜΟ Γ
1 ΓΗΜΟΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΟΜΟ Γ Μάθημα 19: Φόροι ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΑ ΤΣΗΜΑΣΑ: Προοδεσηικό, Αναλογικά και ανηίζηροθα προοδεσηικό θορολογικό ζύζηημα Μέζος και οριακός θορολογικός ζσνηελεζηής Ο κέζνο θνξνινγηθόο ζπληειεζηήο
Διαβάστε περισσότερα12. Ηζσύει : 0 θ,όπος θ η γυνία δςο μη μηδενικών διανςζμάηυν.
Α ΔΡΩΣΖΔΗ ΚΛΔΗΣΟΤ ΣΤΠΟΤ 1 Ηζσύει : 0 ι κάθε διάνςζμ Ηζσύει : ΑΒ = ΧΒ - ΧΑ 3 Ηζσύει : ΑΒ - BΑ 0,ι διθοπεηικά ζημεί Α,Β 4 Ηζσύει : ΑΒ 0, ι διθοπεηικά ζημεί Α,Β,Γ,Γ 5 Ηζσύει : 6 Ηζσύει : // 7 Ηζσύει : λ λ
Διαβάστε περισσότεραΑνάπηςξη Δθαπμογών ζε Ππογπαμμαηιζηικό Πεπιβάλλον
Μάθημα 10 ( 2.4.2, 8.1, 8.1.1) Ανάπηςξη Δθαπμογών ζε Ππογπαμμαηιζηικό Πεπιβάλλον Δπγαζία 9 Α. Να βπεθεί η ηιμή πος θα έσει η μεηαβληηή Φ μεηά ηην εκηέλεζη καθεμιάρ από ηιρ παπακάηυ ενηολέρ εκσώπηζηρ. Οι
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 9 Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: ευτέρα, Ιουνίου 9 7: : ΤΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ
Διαβάστε περισσότερα3 ΑΠΙΔ ΑΘΖΔΗ ΘΟΚΟΙΟΓΗΑ ΠΟΤ ΑΛΣΗΚΔΣΩΠΗΕΟΛΣΑΗ ΚΔ ΦΤΗΘΖ ΘΑΗ ΚΑΘΖΚΑΣΗΘΑ ΙΤΘΔΗΟΤ
3 ΑΠΙΔ ΑΘΖΔΗ ΘΟΚΟΙΟΓΗΑ ΠΟΤ ΑΛΣΗΚΔΣΩΠΗΕΟΛΣΑΗ ΚΔ ΦΤΗΘΖ ΘΑΗ ΚΑΘΖΚΑΣΗΘΑ ΙΤΘΔΗΟΤ ΘΔΩΡΖΣΗΘΟ ΤΠΟΒΑΘΡΟ: Γηα ηελ ιύζε ηωλ αζθζεωλ πνπ αθνινπζνύλ ζα ρξεηαζζνύκε: 1. Σελ (δηάζεκε) εμίζωζε ηνπ ΔΗΛΣΔΗΛ: E c. Σνλ λόκν
Διαβάστε περισσότεραζρήκα 1 β τπόπορ (από σύγκπιση τπιγώνων):
o Λύκειο Εακύνθος Γεσκεηξία Α Λπθείνπ Κεθάιαην 3ν Άζθεζε Α Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ 90 0 θαη ΓΓ δηρνηόκνο ηεο γσλίαο. Να δείμεηε όηη:. Τν ζεκείν Γ απέρεη ηελ ίδηα απόζηαζε από ηηο πιεπξέο ΑΓ θαη ΒΓ.
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤ ΕΠΙΠΕΔ Άξοναρ Άξονα κε απσή ηο θαη μοναδιαίο διάνςζμα ηο OI i θαη ηνλ ζπκβνιίδνπκε κε νλνκάδνπκε κηα επζεία πάλσ ζηελ νπνία έρνπκε επηιέμεη ζεκεία θαη Ι έηζη ώζηε ην δηάλπζκα OI λα έρεη
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ(1) ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ() ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΔΜΑ : Αλ ηζρύεη 3 3, λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Μ, Ν ηαπηίδνληαη. ΘΔΜΑ : Α Β Μ Γ Σην παξαπάλσ ζρήκα είλαη 3. α) Γείμηε όηη
Διαβάστε περισσότεραΤΡΙΓΩΝΟΜΔΤΡΙΚΔΣ ΔΞΙΣΩΣΔΙΣ
1.1 Μονάδερ μέηπηζηρ ηόξων (γωνιών) ΤΡΙΓΩΝΟΜΔΤΡΙΚΔΣ ΔΞΙΣΩΣΔΙΣ Ωο κνλάδα κέηξεζεο ησλ ηόμσλ εθηόο από ηελ κνίξα (1 ν ) πνπ είλαη ην 1/360 ηνπ θύθινπ ρξεζηκνπνηνύκε θαη ην αθηίλην (1rad). Τν αθηίλην είλαη
Διαβάστε περισσότεραΣύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο:
Σύνθεζη ηαλανηώζεων Α. Σύλζεζε δύν α.α.η ηεο ίδιας ζστνόηηηας Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Η απνκάθξπλζε
Διαβάστε περισσότεραΔιαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα. Κώδικες 28, 78 και 84
Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα Κώδικες 28, 78 και 84 Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα Οη Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα εθαξκόδνληαη γηα ηελ απνξξνθνύκελε ελέξγεηα από Αηνιηθά Πάξθα πνπ είλαη ζπλδεδεκέλα ζην
Διαβάστε περισσότερα