Hard decision Soft decision

Transcript

1 Ψηφιακές ιαµορφώσεις ιέλευσης Ζώνης Καθηγητής Γεώργιος Ευθύµογλου October 1, 2017

2 Εισαγωγή Σύµβολα εκποµπής M-PSK, M-QAM Αντιστοίχιση (mapping) bits σε σύµβολα εκποµπής Αποδιαµόρφωση (demodulation) Hard decision Soft decision Σχεδιασµός σηµάτων εκποµπής Ψηφιακές ιαµορφώσεις Γεωµετρική αναπαράσταση σηµάτων Επίδοση ψηφιακών διαµορφώσεων σε κανάλι µε θόρυβο 2

3 M-ary orthogonal signalling - Correlator-Type Receiver Έστω ότι έχουµε Mπιθανά σήµαταεκποµπής s i (t), i = 0, 1,.., M-1. Tο σήµα λήψης µπορεί να συσχετιστεί µε µία bank από correlators µε το καθένα προσαρµοσµένο (matched) σε µία από τις δυνατές κυµατοµορφέςκαι επιλέγοντας αυτό που δίνει τη µεγαλύτερη έξοδο αποφασίζουµε για την κυµατοµορφή εκποµπής! x zt () dt 0 t= T z ( 0 T ) s ( t ) 0 r( t) x s t 1 ( ) zt () dt 0 z T 1 ( ) Selects s i (t) with the max z i (t) s ( t) i x zt () dt 0 zm 1( T) sm 1( t)

4 Matched Filter Receiver για Μ-ary orthogonal Το Matched filter είναι το φίλτρο ανίχνευσης που βελτιστοποιεί το SNRτης µεταβλητής απόφασηςκαι είναι ισοδύναµο µε τον correlator receiver (προηγούµενη διαφάνεια). Και τα δύο είναι διαφορετικές υλοποιήσεις του βέλτιστου φίλτρου!!! h ( t ) = s ( T t ) 0 b z t 0 ( ) z ( T ) 0 r( t) h ( t ) = s ( T t ) 1 b z t 1 ( ) z T 1 ( ) Selects s i (t) with the max z i (t) s ( t) i h( t) = s ( T t) M 1 b zm 1( t) t = zm 1( T) T

5 Orthogonal basis functions for Μ-ary orthogonal M=4 Γενίκευση σε M-αδικά Ορθογώνια Σήµατα TimeDomain Signal Space s0( t) = Aφ1( t) s0 = ( A, 0, 0, 0) s1( t) = Aφ2( t) s1 = ( 0, A, 0, 0) s2( t) = Aφ3( t) s2 = ( 0, 0, A, 0) s ( t) = Aφ ( t) s = ( 0, 0, 0, A) όπου {φ 1 (t), φ 2 (t), φ 3 (t) φ 4 (t)} είναι sένα j ( t) set s j ( από t) φ j ( t) = = ορθοκανονικές A Ebasis functions M=8 TimeDomain Signal Space s0( t) = Aφ1( t) s0 = ( A, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) s1( t) = Aφ2( t) s1 = ( 0, A, 0, 0, 0, 0, 0, 0) s2( t) = Aφ3( t) s2 = ( 0, 0, A, 0, 0, 0, 0, 0) s3( t) = Aφ4( t) s3 = ( 0, 0, 0, A, 0, 0, 0, 0) s4( t) = Aφ5( t) s4 = ( 0, 0, 0, 0, A, 0, 0, 0) s5( t) = Aφ6( t) s5 = ( 0, 0, 0, 0, 0, A, 0, 0) s6( t) = Aφ7( t) s6 = ( 0, 0, 0, 0, 0, 0, A, 0) s ( t) = Aφ ( t) s = ( 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, A) όπου {φ 1 (t), φ 2 (t), φ 3 (t) φ 4 (t), φ 5 (t), φ 6 (t), φ 7 (t) φ 8 (t)} είναι ένα set από ορθοκανονικές basis functions

6 Orthogonal basis functions for Μ-ary orthogonal General M (M is a power of 2) Time Domain Signal Space s ( t) = Aφ ( t) s = ( A, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) s ( t) = Aφ ( t) s = (0, A, 0, 0, 0, 0, 0, 0) s ( t) = Aφ ( t) s = (0, 0, A, 0, 0, 0, 0, 0) s ( t) = Aφ ( t) s = (0, 0, 0, A, 0, 0, 0, 0) s ( t) = Aφ ( t) s = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,, A) M 1 M M 1 όπου {φ 1 (t), φ 2 (t), φ 3 (t) φ M-1 (t)} είναι ένα set απόορθοκανονικές basis functions

7 Αποδιαµόρφωση Ορθογώνιων Σηµάτων Συσχέτιση του σήµατος εισόδου µε το set από ορθοκανονικές basis functions {φ 1 (t), φ 2 (t), φ 3 (t) φ M-1 (t)} Αποτέλεσµα είναι η προβολή του εισερχοµένου στο set από ορθοκανονικές basis functions {φ 1 (t), φ 2 (t), φ 3 (t) φ M-1 (t)} Π.χ. Αν το λαµβανόµενο είναι r( t) = s ( t) + n( t) = Aφ ( t) + n( t) 0 1 η έξοδος του 1 ου correlatorθα είναι και όλων των υπολοίπων Detector : select symbol that gives maximum z0( T )= A+ n0 zi ( T ) = ni, i= 1,..., M 1 z ( T ) i 7

8 Phase Shift Keying (PSK) Στην PSK, η φάση του φέροντος µεταλλάσσεται µεταξύ 2 (για BPSK) ή περισσοτέρων (για MPSK) τιµών. Με PSK η πληροφορία περιέχεται στην στιγµιαία αρχική φάση του διαµορφωµένου φέροντος. Συνήθως αυτή η φάση µετριέται σε σχέση µε ένα συγκεκριµένο φέρον µε γνωστή φάση Coherent PSK Γιαδυαδική PSK, οι καταστάσεις φάσειςείναι 0 o και 180 o Κυµατοµορφή: Page 453

9 Αναλυτική µαθηµατική περιγραφή έχει ως εξής: s ( t) = Ag( t)cos ω t+ θ, t< T, i=,,..., M όπου b g i c i b g(t) = εκπεµπόµενος µορφοποιηµένος παλµός A = πλάτος του σήµατος θ = φάση φέροντος Το εύρος της φάσης του φέροντος υπολογίζεται από 2 π ( i 1) 2π i θi = or θi = M M Για τετραγωνικούς παλµούς, έχουµε: 2 g( t) =, 0 t Tb ; and assume A= E T b b Page 454

10 Μπορούµε να γράψουµε µε µαθηµατικά: 2 E ( 2 ( 1 ) ) b π i ω T M s ( t ) = cos t +, 0 t < T, i = 1, 2,..., M i c b b Constant envelope Η φάση του φέροντος αλλάζει απότοµαστην αρχή κάθε διαστήµατος συµβόλου 180-phase shift 0-phase shift -90-phase shift t 0 T 2T 3T 4T Page 455

11 Επίσης µπορούµε να γράψουµε: 2E T s ( t) = cos + i 2E T ( 2π( i 1) ω ) ct M 2 π ( i 1) 2 π ( i 1) ω M ct M = cos cos sin sinωct Επιπλέον, s i (t)µπορεί να αναπαρασταθεί σαν γραµµικός συνδυασµός δύο ορθοκανονικώνσυναρτήσεωνψ 1 (t)καιψ 2 (t)ως εξής: s( t) = E cos ψ ( t) Esin ψ ( t) i 2π( i 1) 2π( i 1) M M 1 2 όπου 2 2 T T ψ ( t) = cos ω t andψ ( t) = sinω t 1 c 2 c Page 456

12 Χρησιµοποιώντας την αρχή των ορθοκανονικώνσυναρτήσεων βάσης, µπορούµε να απεικονίσουµε PSK σήµατα σαν διδιάστατο vector s = F H E 2π( i 1) 2π( i 1) cos ψ 1, E sin ψ 2 M M i b b Για M-αδικά phase modulation M = 2 k, όπου kείναι ο αριθµός των information bits ανά transmitted symbol Σε ένα M-αδικόσύστηµα, ένα από M 2πιθανά σύµβολα, s 1 (t),, s m (t), εκπέµπεται κατά τη διάρκεια κάθε T s -second διαστήµατος Ο ρυθµός (rate)κατά τον οποίο M-αδικάµηνύµαταεκπέµπονταιµέσα στο κανάλι λέγεται Baud Rate Η απεικόνιση ή αντιστοίχιση των k information bits σε M = 2 k δυνατές φάσεις µπορούν να συµβούν µε πολλούς τρόπους, π.χ. για M = 4 I K Page 457

13 M_ary Constellations E E E E M=8 M=4 01 M k MPSK BPSK QPSK PSK PSK = E M=8 E M=4 10 Page 459

14 Power Spectral Density της 2-PSK af F a f P f E sin f f T b c b = + 2 π f f T L NM HG a f c b I KJ F HG a f sin f fc T π f f T a f c b b I KJ 2 2 O QP ή ( ){ } ( A 2 T 2 A 2 T ){ b b 2 } 2 2 P( f ) = sin c ( f f ) T + sin c ( f + f ) T C C b b Bandwidth = 2R = s 2 T s Το εύρος φάσµατος ενός BPSK σήµατος είναι διπλάσιο από αυτό του baseband σήµατος µε του ίδιο pulse shaping. Page 470

15 Γεωµετρική αναπαράσταση σηµάτων διαµόρφωσης φάσης Τα σήµατα MPSK µπορούν να εκφραστούν ως γραµµικός συνδυασµόςτων δύο ορθοκανονικών κυµατοµορφώνφ 1 (t), φ 2 (t), ως εξής µε s m s ( t) = s ϕ ( t) + s ϕ ( t) m m1 1 m2 2 2 ϕ1( t) = gt ( t)cos 2 fct E g ( π ) 2 ϕ2( t) = gt ( t)sin 2 fct E g ( π ) Τα ανύσµατα, για m = 1,2,...,M,αντιστοιχούν σε Μ διαφορετικές κυµατοµορφές εκποµπής, που δίνονται από τις προβολές s = s s 1, 2] m m m Για MPSK π π sm = Es cos ( 2m 1 ), Es sin ( 2m 1) M M 15

16 Γεωµετρική αναπαράσταση σηµάτων διαµόρφωσης φάσης Οι προβολές s m1 και s m2 προκύπτουν ως οι προβολές στα φ 1 (t) και φ 2 (t): T s s = s ( t) ϕ ( t) dt= E cosθ m1 m 1 s m 0 T s s = s ( t) ϕ ( t) dt= E sinθ m2 m 2 s m 0 10 Q Q E s I I 2E s 01 π 3π θ= π, π, π, π θ = 0,, π, θ m =2π(m 1)/4, m = 1, 2, 3, 4 θ m =(2m 1 )π/4, m = 1, 2, 3, 4 16

17 Παράδειγµα: QPSK (Μ=4) s 1 E s 0 11 s 2 s 3 10 { (2 m 1) (2 m 1) } E π π φ1 E φ2 s ( t ) = cos ( ) sin ( ) QPSK s s t + t M M 17

18 έκτης συσχετισµού µε συναρτήσεις βάσης r( t) = s ( t) + n( t), m= 1,2,..., M m x r( t) φ 1 ( t) x φ ( t ) 2 z T ( ) dt 0 z T ( ) dt 0 r t 1 ( ) r2 ( t ) t = T r T 1 ( ) r2 ( T ) t Ts [ ] 1 1 m1 1 m s ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( θ ) Maximum Likelihood Detector r ( T ) = r( t) ϕ ( t) dt= s ϕ ( t) + s ϕ ( t) + n( t) ϕ ( t) dt T s T = Es cos θm ϕ1( t) Es sin θm ϕ2( t) n( t) + + ϕ1( t) dt T T T s s s s m 1 s m s m 1 m1 1 ( ) s t m = E cos θ ϕ ( t) dt+ E sin θ ϕ ( t) ϕ ( t) dt+ n( t) ϕ ( t) dt = E cos + n ( T ) = s + n ( T ) 18

19 Επίδραση θορύβου στην έξοδο του δέκτη Αποδεικνύεται ότι ο όρος T s n ( T ) n( t) ϕ ( t) dt = είναι τυχαία µεταβλητή Gaussian (όπως ο θόρυβος n(t)) µε µέση τιµή T s [ s ] [ ] 1 E n( T ) = E n( t) ϕ ( t) dt= 0 και διακύµανση = = [ ] 0 Ts Ts n s σ E n ( T ) E n( τ ) n( t) ϕ ( τ ) dtdτ Ts Ts Ν0 = 2 Ν = 2 = N T s ( t ) δ τ ϕ ( τ ) dtdτ ϕ ( τ ) dt

20 Κανόνας απόφασης maximum a-posteriori probability Με τον δέκτη συσχετισµού µε τις συναρτήσεις (σήµατα) βάσης και µε βάση το receive vector r = [r 1, r 2 ] ο ανιχνευτής (φωρατής) πρέπει να επιλέξει το σύµβολα µε τη µεγαλύτερη εκ των υστέρων πιθανότητα s with max p( s transmitted r) m= 1,..., M m Χρησιµοποιώντας όµως τον κανόνα του Bayesέχουµε m p( s r) = m p ( r sm ) p ( sm ) p( r) οπότε για ισοπίθανασύµβολα p( s m ) = και αφού το pr ( ) M είναι κοινό σε όλες τις εκ των υστέρων πιθανότητες, το παραπάνω κριτήριο απόπφασης ισοδυναµείµε το κριτήριο µέγιστης πιθανοφάνεις (Maximum Likelihood (ML) criterion) s with max p( r s transmitted ) m= 1,..., M m m 1 20

21 Στατιστική δειγµάτων εξόδου του δέκτη Εποµένως ( r s ) 2 1 k mk p( rk sm transmitted) = exp, k = 1, 2 2 σ 2 2σ n π n και επειδή οι όροι nk ( T ), k = 1, 2 είναι στατιστικά ανεξάρτητοι µε την ίδια 2 διακύµανση σ n, αν θεωρήσουµε το vector r = (r 1, r 2 ), η συνάρτηση πιθανοφάνειας θα είναι 2 1 p( r sm transmitted) = exp k= 1σ n 2π ( r s ) ( r s ) Εποµένως ο maximum likelihood estimator θα επιλέξει το σύµβολο µε τη µεγαλύτερη πιθανοφάνεια s with max p( r s transmitted) 2σ mk 2 n k= 1 k mk = exp 2 σ 2 2σ n π n m k m 2 21

22 Maximum Likelihood Estimator (MLE) Για να απλοποιήσουµε τους υπολογισµούς, αν πάρουµε τον λογάριθµο της συνάρτησης πιθανοφάνειας έχουµε 1 ln ( p( r sm transmitted) ) = 2 ln σ n 2π ( r s ) 2 2 Οπότε εύκολα προκύπτει ότι η µέγιστη πιθανοφάνειαισοδυναµεί µε την επιλογή ηλαδή η Ευκλείδεια απόσταση µεταξύ του vector r = [r 1, r 2 ] και του s = s s 1, 2] m m m ελαχιστοποιείται. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ: επιλέγεται το σύµβολο µε τη µικρότερη Ευκλείδεια απόσταση µε την έξοδο του δέκτη συσχετισµού. ( ) 2 2 s with min r s m k= 1 k mk k= 1 k 2σ 2 n mk 22

23 MCS based on received SNR Example of QPSK with SNR = 14 db Receiver detection obtain Euclidean distance between received signal z and all tx symbols ( ) 2 d z, sq = z sq 2 Maximum likelihood detector selects ( ) 2 sˆ = si = min d z, s i i 23

24 Digital Modulation at Passband If the modulated signal has the waveform ( π ) ( π ) I ( t) cos 2 f t Q( t)sin 2 f t c c where f c is the carrier frequency, then a baseband simulation recognizes that this equals to ( + ) { j 2 f t I t jq t e π } c Re ( ) ( ) and models only the part inside the square brackets. The modulated signal at baseband is given by sampling the complex signal I( t) + jq( t) 24

25 Digital Modulation at Passband Example QPSK: analyze tx signal to basis functions: a 1 = {-1, +1} / 2 b 1 = {-1, +1}/ 2 Tx: { cos ( ωct), sin( ωct) } a1 cos( ωct) + b1 sin( ωct) = a1 + b1 cos ωct+ tan b a ( ) 25

26 Baseband and Passband signals M-PSK: σύµβολα εκποπµής j (2m 1)/ M j2 fct s ( t) Re[ Ag ( t) e π = e π ] m T π = Ag T( t) cos 2 π fct+ (2m 1) M π π = A g T ( t )cos (2 m 1) c os 2 c Ag T( t)sin (2m 1) sin 2 M M = I( t) cos 2π f t Q( t) sin 2π f t I(t)+ j Q(t) g Τ (t) ( c ) ( c ) j2 fct ( I t + jq( t) ) e π = Re [ ( ) ] ( π f t ) Ag ( t)sin (2m 1) ( π f t ) signal σε βασική ζώνη (baseband) κρουστική απόκριση φίλτρου για µορφοποίηση παλµού Στην προσοµοίωση µοντελοποιούµε το σήµα σε βασική ζώνη (low-pass equivalent) I(t) + j Q(t) (µιγαδικοί αριθµοί) c

27 Bit level end-to-end system model e j7π/4, e jπ/4,

28 Bit level end-to-end system model bitseq =[ ] Find modulation symbols for BPSK at baseband (carrier freq. =0) for QPSK at baseband (carrier freq. =0) i e j7π/ i e jπ/ i e j5π/ i e j3π/4 28

29 Digital modulations at baseband function [mod_symbols, sym_table, M] = modulator(bitseq,b) if b==2 % QPSK modulation N_bits=length(bitseq); sym_table=exp(j*pi/4*[ ]); sym_table=sym_table([ ]+1); inp=reshape(bitseq,b,n_bits/b); mod_symbols=sym_table([2 1]*inp+1); M=4; 29

30 Digital modulations at baseband sym_table = i i i i >>xsym=[0:3]; >> scatterplot(sym_table); >> text(real(sym_table)+0.1, imag(sym_table), dec2bin(xsym)); >> axis([ ]); Quadrature Scatter plot In-Phase 30

31 Modulation and Coding Schemes (MCS) 4-PSK transmits π If cos( 2π fct) ( sin( 2π fct) ) = cos 2π fct+ 4 If 01 If 00 3π cos( 2π fct) ( sin( 2π fct) ) = cos 2π fct+ 4 5π cos( 2π fct) 0.707( sin( 2π fct) ) = cos 2π fct+ 4 If 10 The transmit signal is written as linear combination of 2 orthogonal functions 7π cos( 2π fct) 0.707( sin( 2π fct) ) = cos 2π fct+ 4 { cos ( ωct), sin( ωct) }. Coefficients in the linear combination determine the transmit modulation symbol. 31

32 BPSK Binary Phase Shift Keying (BPSK) 32

33 QPSK (2 orthogonal 2-PAM) 33

34 Baseband and passband signals Example: QPSK σε βασική ζώνη ιάγραµµα Αστερισµού I+ j Q where I & Q takes values {0.707, } 34

35 16-QAM (Quadrature Amplitude Modulation) Αποτελείται από 2 ορθογώνιες 4-PAM (Pulse Amplitude Modulation) 35

36 Μ-QAM (1/3) ( 2π ) ( 2π ) s ( t) = Re[( A + ja ) g ( t) e ] = A g ( t)cos f t A g ( t)sin f t j2π fct m m1 m2 T m1 T c m2 T c m = 1, 2,..., M όπου, g Τ (t) είναι ένας παλµός µε ενέργεια Ε g, A m1 και A m2 είναι τα πλάτη των ορθογωνίων σηµάτων που εξαρτώνται από τα δεδοµένα. Εναλλακτικά ένα σήµα QAM µπορεί να παρασταθεί ως άνυσµα: s t V e g t e V g t π f t ϑ m M jϑm 2π fct m( ) = Re[ m T ( ) ] = m T ( )cos(2 c + m ), = 1, 2,.., A m2 όπου Vm = Am 1+ Am 2, θm = tan Am 1 είναι το πλάτος και η φάση, αντίστοιχα, του m-οστού σήµατος από το Μ-αδικό signal set. 36

37 Μ-QAM (2/3) Από την έκφραση αυτή είναι προφανές ότι οι κυµατοµορφές που προκύπτουν από τη διαµόρφωση αυτή µπορούν να θεωρηθούν ως συνδυασµός διαµόρφωσης πλάτους και φάσης. Η απόσταση του κάθε σηµείου από το κέντρο των αξόνων δηλώνει το πλάτος ενώ η γωνία που σχηµατίζει µε τον οριζόντιο άξονα καθορίζει τη φάση του εκπεµπόµενου σήµατος. Από τις παραπάνω σχέσεις επίσης προκύπτει ότι: 2E A = V cos = a ( θ ) min m1 m m m Eg 2E A = V sin = b ( θ ) min m2 m m m Eg όπου Ε min είναι η ενέργεια του σήµατος µε το µικρότερο πλάτος, και (α m, b m ) είναι το ζευγάρι των ανεξάρτητων ακεραίων ανάλογα µε τη θέση του συγκεκριµένου signal point. 37

38 Μ-QAM (3/3) Όπως στην περίπτωση των σηµάτων Μ-PSK, έτσι και στο QAM, οι κυµατοµορφές µπορούν να παρασταθούν ως ένας γραµµικός συνδυασµός δύο ορθογώνιων κυµατοµορφών φ 1 (t) και φ 2 (t), s ( t) = s ϕ ( t) + s ϕ ( t) m m1 1 m 2 2 Οι προβολές στη βάση δίνονται από τη σχέση E E E E θ θ [ ] ( ) ( ) g g g g sm= sm 1 sm 2 = Am 1, Am 2 = Vm cos m, Vm sin m = Emin am, Emin bm όπου τα (α m, b m ) είναι στοιχεία ενός L L πίνακα που δίνεται ως: µε L= ( L+ 1, L 1) ( L+ 3, L 1)... ( L 1, L 1) ( L 1, L 3) ( L 3, L 3)... ( L 1, L 3) + +, =.... m m.... ( L+ 1, L+ 1) ( L+ 3, L+ 1)... ( L 1, L+ 1) { a b } M 38

39 16-QAM (1/3) Είναι φανερό ότι το εισερχόµενο bit stream χωρίζεται σε δύο παράλληλα µέρη µε ρυθµό R b /2 το καθένα. Στη συνέχεια, για 16-QAM, κάθε 2 bits στo I και 2 bits στο Q µετατρέπονται σε 4 = 2 2 διαφορετικά πλάτη, έστω [-3, -1, 1, 3] (ανάλογα µε το συνδυασµό 2 bit). Αυτή η διαδικασία λαβαίνει µέρος και στο inphase και στο quadrature µέρος. 39

40 16-QAM (2/3) Κατά το άθροισµά τους, παίρνουµε τα εξής σύµβολα µετάδοσης, τα οποία δίνονται παρακάτω από τις προβολές τους (α m, b m ) στα I και Q: { a, b } m m ( 3,3) ( 1,3) (1,3) (3,3) ( 3,1) ( 1,1) (1,1) (3,1) = ( 3, 1) ( 1, 1) (1, 1) (3, 1) ( 3, 3) ( 1, 3) (1, 3) (3, 3) Η Ευκλείδια απόσταση µεταξύ δύο σηµείων στο διάγραµµα αστερισµού M-QAM είναι: ( ) ( ) d s s E a a b b ( e) 2 2 mn = m n = min m n + m n 40

41 16-QAM (3/3) 16-QAM transmits If 1010 If 1011 π 3cos( 2π fct) + 3( sin( 2π fct) ) = 18 cos 2π fct+ 4 π 3cos( 2π fct) + 1( sin( 2π fct) ) = 10 cos 2π fct+ 6 If 1111 π 1cos( 2π fct) + 1( sin( 2π fct) ) = 2 cos 2π fct+ 4 The transmit signals differ in phase and/ or amplitude. Bit Rate is given R b 4( bit / symbol) = = 4R T s s 41

42 Bit level end-to-end system model e j7π/4, e jπ/4,

43 Convolutional channel encoder 43

44 Modulation & Coding Schemes (MCS) based on received SNR The MCS used depends on the received SNR at the receiver side. Example for 3.5MHz bandwidth: ID MCS Received SNR (db) power (dbm) 1 BPSK 1/ QPSK 1/ QPSK 3/ QAM ½ QAM 3/ QAM 2/ QAM 3/

45 Data Rates based on MCS selection Bit rate depends on the modulation and coding scheme, as follows R b = (# bit / symbol) T (# / ) s coding rate = bit symbol coding rate R s In all cases, the transmitted bandwidth is given by BW R ( Hz) s 45

46 Modulation using Gray encoding Decimal Binary Gray Gray-code values code code values

47 Modulation using Gray encoding Conversion from natural Binary to Gray code Consider a bit binary number b n 1: 0 with j representing the index of the binary number. Let g( n 1: 0) be the equivalent Gray code. 1. For j= n 1, ( ) ( ) n ( ) g n 1 = b n 1 i.e, the most significant bit (MSB) of the Gray code is same as the MSB of original binary number. 2. For j= n 2 : 0, ( ) ( ) g j = b j+ 1 b( j) i.e, j bit of the Gray code is the exclusive-or (XOR) of of the j+1 bit of the binary number and of the j bit of the binary number. 47

48 Example of binary to Gray-code conversion Example: a binary becomes a in Gray. g(1) = b(1) g(2) = b(1) xor b(2) g(3) = b(2) xor b(3) g(4) = b(3) xor b(4) g(5) = b(4) xor b(5) The xor operation produces a 1 if the bits are different, and produces a 0 if the bits are equal. 48

49 Modulation using Gray encoding Conversion from Gray code to natural Binary ( ) Let g n 1: 0 be the n bit Gray code of a binary number with j representing the index of the binary number. 1. For j= n 1, ( 1) = g( n 1) b n b( n 1: 0) i.e, the most significant bit (MSB) of the Gray code is same as the MSB of original binary number. 2. For j= n 2 : 0, ( ) ( ) b j = b j+ 1 g( j) i.e, j bit of the binary number is the exclusive-or (XOR) of the j+1 bit of the binary number and of the j bit of the Gray code number. 49

50 Convert a Gray number to a binary number conversion from Gray to its binary equivalent. b(1) = g(1) b(2) = b(1) xor g(2) b(3) = b(2) xor g(3) b(4) = b(3) xor g(4) b(5) = b(4) xor g(5) 50

51 Binary to Gray conversion in matlab Simulation % Binary to Gray code conversion clear; ipbin = [0:7]; % decimal equivalent of a 3-bit binary word opgray = bitxor(ipbin, floor(ipbin/2)); % decimal equivalent of the >> opgray = % 3-bit Gray word % Gray to Binary conversion [tt ind] = sort(opgray); % sorting Gray code elements to form % the lookup table opbin = ind(opgray+1)-1; % picking elements from the array >> opbin =

52 16-QAM without Gray coding >>ipbin=[0:15]; >>y = qammod(ipbin, 16); >> scatterplot(y); scatter plot of 16-QAM without Gray-coding Quadratu ure text(real(y)+0.1, imag(y), dec2bin(ipbin)); In-Phase axis([ ]); 52

53 16-QAM with Gray coding >>ipbin=[0:15]; >>mapping = [ ].'; >>sym = mapping(ipbin+1); >>y = qammod(sym, 16); >> scatterplot(y); text(real(y)+0.1, imag(y), axis([ ]); dec2bin(ipbin)); Quadrature scatter plot of 16-QAM with Gray-coding b0b1 b2b In-Phase 53

54 Αντιστοίχιση (mapping) bits σε σύµβολα εκποµπής M=16; k=log2(m); N_bits = 200; msg_orig = randsrc(n_bits, 1, 0:1); mapping = [ ].'; xsym = bi2de(reshape(msg_orig, k, length(msg_orig)/k).', 'left-msb'); sym = mapping(xsym+1); y = qammod(sym, M); y_hat = y/sqrt(10) % normalize average tx power to 1 scatterplot(y); % Plot the constellation. % Include text annotations that number the points. text(real(y)+0.1, imag(y), dec2bin(xsym)); axis([ ]); % Change axis so all labels fit in plot. 54

55 Αντιστοίχιση (mapping) bits σε σύµβολα εκποµπής b0b1 b2b3 Scatter plot for 16-QAM 55

56 De-modulation of M-ary signals There are two distinct methods for bit recovery from modulation symbols 1. Hard decision: the receiver estimates the received symbol and then de-maps it to the gray code bits and finally to the binary code bits (original transmitted bits). 2. Soft decision: from the received symbols, the receiver is able to obtain soft estimates for the received bits. In this case, information about the reliability of the estimate is preserved. Soft bit values for M-ary modulations are used in soft decision Viterbi decoders, which have better bit error rate (BER) performance compared to hard decision decoders (where we first estimate the symbol and then obtain log 2 (M) bit values, which are input to the decoder). 56

57 Soft decision bits for 16-QAM symbols y_hat = y_hat*sqrt(10); % approximate soft value for b0 b1 b2 b3 b0_soft = real(y_hat'); b1_soft = 2 - abs(real(y_hat')); b2_soft = -imag(y_hat'); b3_soft = 2 - abs(imag(y_hat')); b0 = b0_soft > 0; b1 = b1_soft > 0; b2 = b2_soft > 0; b3 = b3_soft > 0; BitHat = [b0 b1 b2 b3]; BitHatSoft = [b0_soft b1_soft b2_soft b3_soft]; 57

58 Soft decision bits for 16-QAM symbols Example for symbol (ideal case without noise) y_hat = i BitHatSoft = BitHat = Quadrature scatter plot of 16-QAM with Gray-coding In-Phase 58

59 Soft decision demodulation Similarly, soft decision estimates for various modulation schemes are given as follows: BPSK b = y 0 R QPSK 0 R b b = = y y 1 I 16-QAM b0 = yr / sqrt(10) b1 = 2 yr / sqrt(10) b2 = yi / sqrt(10) b3 = 2 yi / sqrt(10) 59

60 Soft decision demodulation 64-QAM b0 = yr / sqrt(42) b1 = 2 yr / sqrt(42) b2 = 2 4 yr / sqrt(42) b3 = yi / sqrt (42) b4 = 2 yi / sqrt(42) b5 = 2 4 yi / sqrt(42) 60

61 Αποδιαµόρφωση µε διάλειψη καναλιού Έστω ότι rείναι το σύµβολο λήψης (έξοδος matched filter), το οποίο δίνεται ως r = a s + n όπου αείναι ο συντελεστής του καναλιού (µιγαδικός αριθµός), sείναι το εκπεµπόµενο σύµβολο και nείναι ο θόρυβος. Η επίδραση του καναλιού διορθώνεται µε το να πολλαπλασιάσουµε το λαµβανόµενο σύµβολο µε α* και να κανονικοποιήσουµε διαιρώντας µε την ισχύ του καναλιού * 2 * * a r a s+ a n a n y= = = s a a a Υπάρχουν δύο µέθοδοι αποδιαµόρφωσης: hard και soft 61

62 Αποδιαµόρφωση µε διάλειψη καναλιού Η hard decision µέθοδος δίνει απευθείας hard bits +1 και -1, τα οποία αντιστοιχούν στη maximum likelihood decisionπου επιλέγει το constellation pointµε την µικρότερη απόσταση από ένα δυνατό σύµβολο s= arg min y s m 2 όπου m = 1,, M, Μείναι το µέγεθος της διαµόρφωσης. Στη soft decision µέθοδο, ο αποδιαµορφωτής δίνει soft information για κάθε bitστην έξοδο του αποδιαµορφωτή. Για κάθε output bit, αντί να δίνει τιµές +1 και -1 για το bit, δίνει µία soft decision variable η οποία αν συγκριθεί µε το zero threshold level, δίνει τη σωστή hard decisionτιµή για το συγκεκριµένο bit. 62