1 Uvod i neki osnovni pojmovi
|
|
- Παναγιώτης Ανατόλιος Ράγκος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Prrodo-matematčk fakultet, Uverztet u Nšu, Srbja Matematka formatka 3 05, 5-64 Nestadard ač za sumraje ekh redova Mhalo Krstć studet matematke, PMF Uverzteta u Nšu E-mal: mhalo994@yahoo.com Uvod ek osov pojmov U ovom člaku bavćemo se zračuavajma ekh beskoačh suma, koje su zmedu ostalog jede od btjh u matematc. Stadarda rešeja problema kojma ćemo se bavt zahtevaju dobro pozavaje složeog matematčkog aparata, pa b takav prstup ovm problemma zgledao preglomaza. Težćemo tome da rešeja budu što je moguće elemetarja zamljva a prtom pazeć a matematčku strogost zlagaja. Pod elemetarm rešejem problema podrazumevamo oo rešeje problema za čje rešavaje je potreba matematčk aparat e već od oog koj je potreba za shvataje postavke problema. Vdećemo vezu zmedu ekh redova ekh problema u Teorj verovatoća, kao zašto sa pravom možemo reć da je skup prosth brojeva gradv elemet, u pravom smslu reč, skupa prrodh brojeva. Defcja. Beskoaču sumu a +a +...+a +... realh brojeva azvamo red. Korstmo ozaku a k. Zbr S = a a azvamo -ta parcjala suma reda a red azva se ostatak l rep reda. k= k=+ Defcja. Red kovergra ako kovergra z parcjalh suma ta vredost azva se suma reda. U suprotom kažemo da red dvergra. Teorema. Ako je red kovergeta tada ostatak reda tež ul kada tež beskoačost. U astavku ćemo se bavt samo redovma sa eegatvm člaovma. Defcja 3. Tačka a R {, + } je tačka agomlavaja za a N realh brojeva ako se u prozvoljoj okol te tačke alaz beskoačo mogo člaova za a N. Defcja 4. Najveća tačka agomlavaja za a N realh brojeva azva se lmes superor za a N ozačava se sa lm sup a. + 5 a k
2 Defcja 5. Najmaja tačka agomlavaja za a N realh brojeva azva se lmes feror za a N ozačava se sa lm f + a. Prmetmo da lmes superor lmes feror za uvek postoje dok grača vredost za e mora uvek postojat. Teorema. Neka za z a N realh brojeva važ lm f a = lm sup a = a R. + + Tada je z a N kovergeta važ lm a = a. + Jaso je da uvek važ lm f a lm sup a. + + Teorema 3. Ako mooto z realh brojeva ma kovergetadvergeta podz tada je sam kovergetadvergeta. U slučaju kovergecje, kovergra ka stoj grac kao podz. Teorema 4. O dva polcajca Neka za reale zove L N, S N D N za svako N važ Tada je L S D lm L = lm D = c R. lm S = c. Defcja 6. Beskoača prozvod a a... a... poztvh brojeva u ozac kažemo da kovergra ako red kovergra. + a = = l a k Teorema 5. Osova teorema artmetke Svak prroda broj > može se a jedstve ač prkazat kao = p α pα... pα k k, gde je k N α,..., α k N {0} a brojev p,..., su prost razlčt. Defcja 7. Fukcja π :, + N daje broj prosth brojeva u tervalu, x], x >. 5
3 Kovergecja sumraje Posmatrajmo red k= za eko realo x. Za oe vredost x za koje taj red kovergra, možemo uspostavt eko pravlo po kome ćemo svakom x dodelt sumu odgovarajućeg reda. Vredost x za koje pomeut red kovergra daje sledeće tvrdeje. Teorema 6. Red k= kovergra za x > a dvergra za x. k x k x Dokaz. Neka je ajpre x >. Tada za k =, 3,... važ da z parcjalh suma kovergra. Zasta, S k = + x + 3 x + S k = + x + 3 x k x 4 x + 5 x + 6 x + 7 x + k x + k x k x + 8 x x x + 4 x +...+k k x = + x k x = x x. x Odavde dobjmo da je S k x x, pa prema tome ašl smo podz za delmčh suma koj je rastuć ograče odozgo pa samm tm kovergeta, odakle sled kovergecja za parcjalh suma pa samog reda. Neka je sada x. Tada z k x k dobjamo da je k x S k = + x + 3 x x + 5 x + 6 x + 7 x + k k x + k x k x k + k k 53, pa mamo da je 8 x x k k = k +.
4 Dakle, dobl smo da je S k + k, k N kako je z k+ eograče odozgo, sled da z parcjalh suma ma k N podz koj dvergra pa oda sam z parcjalh suma dvergra, odakle sled tvrdeje teoreme. Red za x = azva se harmojsk red. Nazv ovog reda potče od čjece da su jegov člaov, počev od drugog, talase duže harmoka vbrrajuće žce muzčkh strumeata. Takode, počev od drugog člaa, svak čla reda je harmojska sreda susedh člaova. Za x > ovaj red se azva hperharmojsk. Čjeca da dvergra za x = je bla pozata još Ojleru koj je proučavao kovergecju za relae brojeve al je tek Rma posmatrao red za komplekse argumete. Napomemo da je a taj ač, pod zvesm uslovma, defsaa Rmaova Zeta fukcja. U ovom člaku će bt zračuate eke vredost te fukcje a zamljv dosta estadarda ač. Napomemo još samo da je za Rmaovu Zeta fukcju veza jeda od ajtežh matematčkh problema koj prvlač matematčare još od 859. gode kada ga je formulsao Rma u jedom svom radu koj se bavo ptajem broja prosth brojeva spod zadate grace. Taj problem se azva Rmaova hpoteza tvrd da sve etrvjale ule Rmaove Zeta fukcje maju reala deo jedak /. Do sada je za vše od 5 mljard ula Rmaove Zeta fukcje provereo aravo uz koršćeje moćh račuara da se alaze a pravoj Rez = / u kompleksoj rav. Velk broj začajh matematčara daašjce je dalo dokaz ovog tvrdeja u kojma je adea greška. Rmaova hpoteza je a lst od sedam Mlejumskh problema koje je sastavo matematčk sttut Klej Clay Mathematcs Isttute of Cambrdge, Massachusetts-CMI. Za rešavaje ovh problema je poudea agrada od mlo dolara. Prethoda teorema am daje pravo da damo sledeću defcju. Defcja 8. Fukcja ζ :, + R defsaa sa ζx = k= k x azva se reala Rmaova Zeta fukcja. Sada ćemo zračuat vredost ζ. Teorema 7. k= k = π 6. Leohard Euler , švajcarsk matematčar Georg Fredrch Berhard Rema , emačk matematčar 54
5 Dokaz. Neka je 0 x π prozvoljo. Tada z mamo da važ 0 sx x tgx + 0 tg x x s x +. Podelmo terval 0, π a, N jedakh delova ozačmo podeoe tačke x k = π k, k =,...,. Tada mamo da je pa sumrajem dobjamo da je k= tg x k x k tg x k k= x k s x k, k= s x k. Odavde elemetarm trasformacjama trgoometrjskh fukcja dobjamo k= što je ekvvaleto sa k= Defšmo z L N sa s x k k= x k s x k L = k= k= x k s x k. k= s x k, k= s x k. Ovaj z ćemo zračuat rekureto. Prmetmo ajpre da važ jedostava relacja s x + cos x = 4 0, s x, x π. Kako su podeoe tačke smetrče u odosu a tačku x dobjamo da je s x k + s π x k = s x k + cos x k = 4 s x k, k {,..., }. Odavde, sumrajem od deksa do deksa tj. do tačke koja je prva pre sredšje tačke tervala korsteć da su tačke x k tačke z prethode podele, dobjamo rekuretu relacju L = 4L +, N, 55
6 gde je sabrak dobje jer je račuata sredšja tačka x. Vredost L dobjamo trvjalo kao L = s π 4 =. Nz L N alazmo sukcesvom zameom uazad a sledeć ač: L = 4L + = 44L + + = 4 L = 4 4L =... = 4 L =... = 4 L = 4 4 = 3 4. Dakle, mamo da važ Sada smo dobl da je... L = 3 4, N. L k= π k L π k 3 4 k= π k= Odavde po teorem o dva polcajca dobjamo da je Kako je z parcjalh suma reda lm k = π 6. k= k= k k π rastuć z poztvh brojeva a ovo jeda jegov kovergeta podz sled da z parcjalh suma kovergra ka stoj gračoj vredost tj. k= k = π 6. 56
7 Dakle sada zamo da je ζ = π 6. Aalogm postupkom, uz malo vše račua možemo ać vredost ζ4. Preczje, važ sledeća teorema. Teorema 8. k= k 4 = π4 90. Dokaz. Kao u predhodoj teorem, podelmo terval 0, π a, N jedakh delova tako što ćemo defsat podeoe tačke x k = π k, k {,..., }, N. Sada mamo da za svako k {,..., } svako N važ 0 tg 4 x k x 4 k s 4 x k +. Posledja jedakost, ako elemetarh trasformacja, je ekvvaleta sa s 4 x k s x k + x 4 k s 4 x k. Sada, sumrajem od deksa do deksa dobjamo da je k= s 4 x k k= Defšmo zove L N D N sa L = k= s x k + k= s x k, D = k= Sada se predhoda ejedakost svod a π 4 D 4+ L + Dalje, za svako x 0, π važ da je k= k 4 k 4 s 4 x k. s 4 x + cos 4 x = 6 s 4 x 8 s x. k= s 4 x k. π4 4+ D, N. Odavde, sumrajem od deksa do deksa dodavajem vredost sa kojom učestvuje sredšja tačka, dobjamo uz koršćeje vredost za L N z prethode teoreme da je D + = 6D , N 57
8 D = 4. Prtom smo korstl da su tačke x k tačke z prethode podele. Nz D N, kao u prethodoj teorem dobjamo sukcesvom zameom uazad. Dakle, Odavde dobjamo da je 4π 4 45 D = , N , N. k4 k= k= k 4 4π , N. Kako z a levoj stra tež ka π4 90 kada tež beskoačost kao z da desoj stra, po teorem o dva polcajca zaključujemo da je Kako je z parcjalh suma reda lm k 4 = π 90. k= k= rastuć z poztvh brojeva a ovo jeda jegov kovergeta podz sled da z parcjalh suma kovergra ka stoj gračoj vredost tj. k= k 4 k 4 = π4 90. U astavku ćemo zračuat ζ6. Teorema 9. k= k 6 = π Dokaz. Dokaz sprovodmo aalogo. Podelmo terval 0, π a, N jedakh delova defšmo podeoe tačke x k = π k, k {,..., }, N. 58
9 Sada mamo da za svako k {,..., } svako N važ 0 tg 6 x k x 6 k s 6 x k +. Posledja jedakost, ako elemetarh trasformacja, je ekvvaleta sa s 6 x k 3 s 4 x k + 3 s x k x 6 k s 6 x k. Sada, sumrajem od deksa do deksa dobjamo da je k= s 6 x k k= 3 s 4 x k + k= Prostm sredvajem dobjamo da važ 3 s x k k= s 6 x + cos 6 x = 64 s 6 x 48 0, s 4 x, x π. Defšmo z F N sa F = k= s 6 x k. x 6 k k= s 6 x k. Odavde, sumrajem od deksa do deksa dodavajem vredst sa kojom učestvuje sredšja tačka, dobjamo uz koršćeje vredost za D N z prethode teoreme da je F + = F , N 5 F = 8. Aalogo kao u prethodm teoremama, sukcesvom zameom uazad, dobjamo uz malo vše račua z F N, eksplcto odredje sa F = , N. 945 Odavde, aalogo kao u prethodm teoremama, koršćejem zračuath zova L N D N z prethode teoreme, posle sredvaja zraza prmeom teoreme o dva polcajca, dobjamo da je k= k 6 = π
10 Izračuavaje većh vredost Rmaove Zeta fukcje zložem algortmom se zato komplkuje. Može se dokazat da važe sledeć rezultat: ζ8 = ζ0 = ζ = ζ4 = k= k= k= k= k 8 = k 0 = k = k 4 = π = , π = , 69π = , π = Postavmo zato sledeć, azgled eveza problem sa datom tematkom. Zadatak. Modfkova problem Čebševa 3 Na slučaja ač se braju dva prroda broja a b z skupa {,..., }, N. Koja je verovatoća da su o uzajamo prost? Rešeje. Korstćemo se čjecom da su dva prroda broja uzajamo prosta ako samo e postoj prost broj koj del oba broja stovremeo. Neka je m ajveć prost broj z skupa {,..., } eka su A,...,A m redom dogadaj da su dva slučajo zabraa broja z ovog skupa deljva redom sa, 3, 5,..., m. Tada mamo da je tražea verovatoća q jedaka P A C... A C m = P A C P A C m = P A P A m. Sada, z ezavsost zbora brojeva, korsteć čjecu da u skupu {,,..., } brojeva deljvh sa {, 3, 5,..., m} ma [ ] dobjamo da je [, {, 3, 5,..., m}. P A = [ ] [ ] = Tražea verovatoća je q = ] {,3,5,...,m} [ ]. Vezu zmedu dosadašje prče prethodog zadatka daje sledeća teorema. Teorema 0. + = k= p x k gde je k N z prosth brojeva x >. k= k x, 3 Pafuty Lvovch Chebyshev 8-894, rusk matematčar 60
11 Dokaz. Iz pozatog razvoja mamo da važ p x k = p x k + p k p m k x x Ozačmo sa P x N prozvod koačog broja takvh redova, koj odgovaraju svm prostm brojevma koj e prelaze N N. Tada je P N x = N. p x k Kako su ovo redov sa eegatvm člaovma tada je jhov prozvod P x N kovergeta red čja je suma jedaka prozvodu suma svakog reda pojedačo. Kombujuć proste brojeve N, medusobm možejem ovh redova, korsteć osovu teoremu artmetke, dobjamo u meocma sve prrode brojeve k N stepeovae sa x još eke koj su već od N. Preczje, mamo da je P N x = N k x k= p x k Sada mamo da je N P x N = N k= + k x + k=n+ k=p α pα N N α,...,α N N {0} + k=n+ k=p α pα N N α,...,α N N {0} k x + k=n+ k x. k x. Kako je red k kovergeta, ostatak tog reda tež ul kada N +, x prelaskom a graču vredost u prethodoj ejedakost kada N + dobjamo tražeu jedakost. Posledca. Za z prosth brojeva k N važ + k= p = 6 k π. Dokaz. Uprethodoj teorem stavmo x =. Tada po prethodo zložeom mamo da je + π = = 6 6 π. k= p k Iz jedakost sled tvrdeje. + = k= p k + k= p k 6
12 Posledca. Red k=, gde je k N z prosth brojeva, dvergra. Dokaz. Stavljajuć sada da je x = mamo da važ P N = N Sada mamo da je beskoača prozvod + k= > N k=. dvergeta tež ka + kada N +. Odavde mamo da je + k= Pretpostavmo suproto, da je red Kako je k= l lm tada z pretpostavke da red k= pk = 0. kovergeta. Posmatrajmo red l pk. =, kovergra sled kovergecja reda l pk pa po defcj kovergecje beskoačog prozvoda mamo da + pk k= kovergra, što je kotradkcja. Dakle, važ k= = +. 6
13 Prmetmo da z prethode teoreme sled da prosth brojeva ma beskoačo mogo. Zasta, ako b prosth brojeva blo koačo mogo, tada b red k= kovergrao, jer b mao samo koačo mogo člaova, što je po prethodo dokazaom etačo. Nadmo sada asmptotsko poašaje verovatoće q z modfkovaog problema Čebševa kada se egračeo uvećava. Za prozvoljo m N važ Sada, odavde mamo da važ π = p m [ m ] m. {,3,5,...,m} [ ] da važ {,3,5,...,m} [ ] {,3,5,...,m} Za prozvoljo fksrao l {,..., } eka je, kao raje, ml ajveć prost broj z skupa {,..., l}. Tada možemo zvršt proceu. 3 {,3,5,...,m} Iz posledce. dobjamo lm f ζ + Iz 3 dobjamo lm sup + lm sup + {,3,5,...,m} {,3,5,...,ml} {,3,5,...,m} {,3,5,...,m} [ ] [ ]. [ ] πl p. = 63
14 Prelaskom a graču vredost kada l tež beskoačost dobjamo, korsteć posledcu. teoremu o dva polcajca, da je [ = lm f ] = ζ + = lm sup + Odavde po teorem. mamo da je lm q = lm + + {,3,5,...,m} {,3,5,...,m} {,3,5,...,m} [ ]. [ ] = ζ = 6 π. Problem z zadatka smo azval modfkova problem Čebševa jer je orgal problem bo: Odredt verovatoću da asumčo zvučea dva prroda broja z skupa N budu uzajamo prosta. Problem zgleda jaso preczo postavlje. Al to je samo a prv pogled, jer je preczrao koja je verovatoća zvlačeja kokretog prrodog broja N. Ovakva slča ptaja su razvle aksomatsku Teorju verovatoća, koja daas predstavlja velk deo savremee matematke. Od teresa je blo ać asmptotsko poašaje verovatoće q kada eogračeo raste jer se tada vd veza ovog problema sa Rmaovom Zeta fukcjom. Ako b postojao lm q to e b začlo da je ta vredost verovatoća da asumčm brajem dva prroda broja z skupa prrodh brojeva, zaberemo uzajamo proste brojeve. U storj matematke, često su problem ovog tpa rešava a pomeut ač što je u kotradkcj sa aksomatkom Teorje verovatoća. Lteratura [] Radoslav Dmtrjevć, Aalza realh fukcja vše promeljvh, Nš, 00. [] Sežaa 04. Žvkovć Zlataovć, Marko Dkć, Matematčka aalza I, Nš, [3] Svetlaa Jakovć, Da l se može odredt verovatoća slučajog zbora parog broja z skupa prrodh brojeva?, Nastava matematke, Društvo matematčara Srbje, XLV, -, 9-6,
Aritmetički i geometrijski niz
Zadac sa prethodh prjemh spta z matematke a Beogradskom uverztetu Artmetčk geometrjsk z. Artmetčk z. 00. FF Zbr prvh dvadeset člaova artmetčkog za čj je prv čla, a razlka A) 0 B) C) D) 880 E) 878. 000.
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih nizova
Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se
Διαβάστε περισσότεραRAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA
RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA PRIBLIŽNI BROJ I GREŠKA tača vredost ekog broja X prblža vredost ekog broja X apsoluta greška Δ = X X graca apsolute greške (gorja graca) relatva greška X X
Διαβάστε περισσότεραAKSIOMATIKA TEORIJE VEROVATNOĆE
AKSIOMATIKA TEORIJE VEROVATNOĆE E Aksomatka teorje verovatoće Polaz se od osovh stavova, tzv. aksoma, a osovu kojh se sve ostale osobe mogu dokazat. Za posmatra prostor el. shoda aksomatzacja daje odgovore
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότερα3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1
Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραMetoda najmanjih kvadrata
Metoda ajmajh kvadrata Moday, May 30, 011 Metoda ajmajh kvadrata (MNK) MNK smo već uvel u proučavaju leare korelacje; gdje smo tražl da suma kvadrata odstupaja ekspermetalh točaka od pravca koj h a ajbolj
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραPolarizacija. Procesi nastajanja polarizirane svjetlosti: a) refleksija b) raspršenje c) dvolom d) dikroizam
Polarzacja Proces asajaja polarzrae svjelos: a refleksja b raspršeje c dvolom d dkrozam Freselove jedadžbe Svjelos prelaz z opčkog sredsva deksa loma 1 u sredsvo deksa loma, dolaz do: refleksje (prema
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραPOLINOMI predavač: dr Marko Petković
Gmnazja Svetozar Markovć, Nš Dodatna nastava z matematke za drug, treć četvrt razred Nedelja, 01.11.2009. POLINOMI predavač: dr Marko Petkovć 1 Osnovna teorja Defncja. Neka je R prsten. Polnom P (x) nad
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραMETODA SEČICE I REGULA FALSI
METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 26. jun Katedra za Računarsku tehniku i informatiku
Elektrotehički fakultet uiverziteta u Beogradu 6. ju 008. Katedra za Račuarku tehiku i iformatiku Performae račuarkih itema Rešeja zadataka..videti predavaja.. Kretaje Verovatoća Opi 4 4 Kretaje u itom
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραI N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Oaj koj cje praksu bez teorjskh osova slča je moreplovcu koj ulaz u brod bez krme busole e zajuć kuda se plov. ( LEONARDO DA VINCI ) P r e d a v a j a z a d r
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραEkonometrija 5. Ekonometrija, Osnovne studije. Predavač: Aleksandra Nojković
Ekoometja 5 Ekoometja, Osove studje Pedavač: Aleksada Nojkovć Stuktua pedavaja Klasč dvostuk (všestuk) lea egeso model - metod ONK. Petpostavke všestukog KLM. Koelacja u všestukom KLM. Oča kogova. Dvostuk
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα2 Skupovi brojeva 17. m n N. (m + n) + k = m + (n + k) - asocijativnost sabiranja. m + n = n + m - komutativnost sabiranja
Skupovi brojeva 17 Skupovi brojeva.1 Skup prirodih brojeva Skup N prirodih brojeva čie brojevi 1,,3,... Nad skupom prirodih brojeva defiisae su operacije sabiraja (+) i možeja ( ), čiji je rezultat takože
Διαβάστε περισσότεραtransformacija j y i x x promatramo dva koordinatna sustava S i S sa zajedničkim ishodištem z z Homogene funkcije Ortogonalne transformacije
promatramo dva oordnatna sustava S S sa zaednčm shodštem z z y y x x blo o vetor možemo raspsat u baz, A = A x + Ay + Az = ( A ) + ( A ) + ( A ) (1) sto vred za ednčne vetore sustava S = ( ) + ( ) + (
Διαβάστε περισσότεραNizovi. Definicija. Niz je funkcija. a: R. Oznake: (a n ) ili a n } Zadatak 2.1 Napišite prvih nekoliko članova nizova zadanih općim članom:
Nizovi Defiicija Niz je fukcija Ozake: (a ) ili a } a: R Zadatak Napišite prvih ekoliko člaova izova zadaih općim člaom: a = a = ( ) (c) a = Zadatak Odredite opće člaove izova: 3 5 7 9 ; 3 7 5 3 ; (c)
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 16.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnčk fakultet unverzteta u Beogradu 6.maj 8. Odsek za Softversko nžnjerstvo Performanse računarskh sstema Drug kolokvjum Predmetn nastavnk: dr Jelca Protć (35) a) () Posmatra se segment od N uzastonh
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραReverzibilni procesi
Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože
Διαβάστε περισσότεραMoguća i virtuelna pomjeranja
Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +
Διαβάστε περισσότεραCentralni granični teorem i zakoni velikih brojeva
Poglavlje 8 Cetrali graiči teorem i zakoi velikih brojeva 8.1 Cetrali graiči teorem Lema 8.1 Za 1/ x 1 vrijedi Dokaz: Stavimo log1 + x x x. fx := log1 + x x, x [ 1/, 1]. Očito f0 = 0. Nadalje, po teoremu
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα1. Numerički nizovi i redovi
. Numerički izovi i redovi Često u svakodevom govoru koristimo termie iz i red, a da pri tome i e razmišljamo o jihovom kokretom začeju. Kada kažemo iz, podrazumijevamo skupiu objekata uredeih po pricipu
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραNiz i podniz. Definicija Svaku funkciju a : N S zovemo niz u S. Za n N pišemo a(n) = a n i nazivamo n-tim članom niza.
2. NIZOVI 1 / 78 Niz i podiz 2 / 78 Niz i podiz Defiicija Svaku fukciju a : N S zovemo iz u S. Za N pišemo a() = a i azivamo -tim člaom iza. Ozaka za iz je (a ) N ili (a ) ili samo (a ). Kodomea iza može
Διαβάστε περισσότεραDruštvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija
Društvo matematičara Srbije Pripreme za Juiorske olimpijade školske 007/008 -Dord e Baralić Tel:063/706-706-6 e-mail:djolebar@ptt.yu Matematička idukcija Primer 1. Dokazati da je > za sve N. Ituitivo zamo
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραGlava 2 Nizovi i skupovi realnih brojeva
Glava Nizovi i skupovi realih brojeva Cetralo mesto u matematičkoj aalizi pripada pojmu graiče vredosti, odoso limesa. Upozaćemo se sa defiicijom limesa iza i sa tehikama alažeja graičih vredosti. Razmatraćemo
Διαβάστε περισσότερα10.1. Bit Error Rate Test
.. Bt Error Rat Tst.. Bt Error Rat Tst Zadata. Izračuat otrba broj rth formacoh bta u BER tstu za,, ogršo dttovaa bta a rjmu, tao da s u sstmu sa brzoom sgalzacj od Mbs mož tvrdt da j vrovatoća grš rosa
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραPRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET
TEORJA ETONSKH KONSTRUKCJA 1 PRESEC SA PRSLNO - VELK EKSCENTRCTET ČSTO SAVJANJE - SLOODNO DENZONSANJE Poznato: Nepoznato: - statčk tcaj za pojedna opterećenja ( ) - sračnato - kvaltet materjala (, σ v
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραJAVA APLETI ZA VIZUELIZACIJE U TEORIJI GREBNER-OVIH BAZA
Uverztet u Beogradu Elektrotehčk akultet Master rad JAVA APLETI ZA VIZUELIZACIJE U TEORIJI GREBNER-OVIH BAZA Metor: Dr. Brako Maleševć, doc. Studet: Boa Baac Br. deksa: 00/5 Beograd, septembar 0 Sadrža
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραDeljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραBroj e. Nadja Radović, Maja Roslavcev, Jelena Tomanović December 14, 2006
Broj e Nadja Radović, Maja Roslavcev, Jelea Tomaović December 4, 2006 Uvod Broj e je jeda od ajzačajijih matematičkih kostati, pozata još i kao Ojlerov broj ili Nejpirova kostata Njegova vredost, zaokružea
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότεραTeorem o prostim brojevima
Sveučilište u Rijeci - Odjel za matematiku Preddiplomski sveučiliši studij Matematika Zlatko Durmiš Teorem o prostim brojevima Završi rad Rijeka, 22. Sveučilište u Rijeci - Odjel za matematiku Preddiplomski
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραVEROVATNOĆA I STATISTIKA SA ZBIRKOM ZADATKA
UNIVERZITET SINGIDUNUM Ivaa Kovačevć VEROVATNOĆA I STATISTIKA SA ZBIRKOM ZADATKA Treće zmejeo dopujeo zdaje Beograd, 05. VEROVATNOĆA I STATISTIKA SA ZBIRKOM ZADATAKA Autor: dr Ivaa Kovačevć Recezet: dr
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku
10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku Definicija 20 Iskazni račun je deduktivni sistem H = X, F orm, Ax, R, gde je X = S {,, (, )}, gde S = {p 1, p 2,..., p n,... }, F orm je skup iskaznih
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραnepoznati parametar θ jednak broju θ 0, u oznaci H 0 (θ =θ 0 ), je primer proste hipoteze. Ako hipoteza nije prosta, onda je složena.
Testiraje parametarskih hipoteza Pretpostavka (hipoteza) o parametru raspodele se zove parametarska hipoteza. Postupak jeog potvrđivaja ili odbacivaja a osovu podataka iz uzorka je parametarski test. t
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότερα