Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 2 Μαΐου 2019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

Transcript

1 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Μαΐου 019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου c: x + y = ρ στο σημείο του Α(x1,y1) έχει εξίσωση xx1 + yy1 = ρ. Α. Τι ονομάζεται εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων α και β ; Μονάδες 5 Α3. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ). 1. Αν μια ευθεία και ένα διάνυσμα είναι παράλληλα, δεν έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης.. Η εξίσωση (x + y) 4 = xy παριστάνει κύκλο. 3. Αν α β, τότε α β = α β. 4. Οι ευθείες y = 4x + και 1x 3y + 3 = 0 είναι παράλληλες. Μονάδες 1 ΘΕΜΑ Β Β1. Δίνονται τα διανύσματα α = (1,3) και β = (μ,1), όπου μ R. Να βρείτε την τιμή του μ για την οποία ισχύει η σχέση: Α. α // β Β. α β Μονάδες 4 Μονάδες 4 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 1 ΑΠΟ

2 Β. Δίνονται τα σημεία Α(4, - 3), Β(10, 5), Γ(1, 5) και Δ( -, 1). Α. Να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο με ΑΒ//ΓΔ. Μονάδες 7 Β. Να εκφραστεί το διάνυσμα ΜΝ, ως προς το διάνυσμα ΑΒ, όπου Μ και Ν μέσα των πλευρών ΑΔ και ΒΓ αντίστοιχα. Μονάδες 10 ΘΕΜΑ Γ Δίνονται οι ευθείες (ε1): 3x y = και (ε) : x + y = 10. Γ1. Nα βρεθεί το σημείο τομής τους. Μονάδες 6 Γ. Nα βρεθεί η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο τομής των (ε1) και (ε) και όπου είναι γνωστό ότι η (ε) είναι παράλληλη στην ευθεία (η): x + y = 1. Γ3. Να αποδειχθεί ότι τα σημεία Α(0,8) και Β(1,6) ανήκουν στην ευθεία (ε) και να βρεθεί η εξίσωση της μεσοκαθέτου του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. Μονάδες 11 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η εξίσωση x + y +4κx - (κ )y + 4κ 4κ + 4 = 0, με κ R {0}. (1) Δ1. Να αποδειχθεί ότι για κάθε επιτρεπτή τιμή του κ, η (1) παριστάνει κύκλο. Δ. Να βρεθεί ο Γεωμετρικός Τόπος των κέντρων των παραπάνω κύκλων, για κ R {0}. Μονάδες 10 Δ3. Να εξετασθεί, αν κάποιος από τους παραπάνω κύκλους εφάπτεται σε κάποιον από τους άξονες συντεταγμένων. Μονάδες 7 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ

3 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Ημερομηνία: Πέμπτη Μαΐου 019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1. Θεωρία. Σελίδα 83 από σχολικό βιβλίο. Α. Θεωρία. Σελίδα 41 από σχολικό βιβλίο. Α3. 1. Λάθος. Σωστό 3. Σωστό 4. Σωστό ΘΕΜΑ Β Β1. Α. Επειδή α // β τότε det(α,β ) = 0 δηλαδή 1 3 μ 1 = 0 1 3μ = 0 μ = 1 3. Β. Επειδή α β τότε α β = 0 δηλαδή 1 μ = 0 μ = 3. Β. Α. ΑΒ = (6, 8) και ΔΓ = (3, 4), άρα ΑΒ = (3, 4) = ΔΓ, οπότε ΑΒ ΓΔ, άρα το ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο. Β. Θα είναι Μ( 4, 3+1 ) άρα Μ(1, - 1) και όμοια Ν( 11, 5) επομένως ΜΝ = ( 9, 6). Έχω ότι det(ab, ΜΝ ) = = = = 0 δηλαδή ΜΝ // ΑΒ. 9 Αν ΜΝ = λαβ, τότε πρέπει: { = 6λ λ = 3 4, δηλαδή ΜΝ = 3 ΑΒ 4,άρα τότε κοινή λύση αυτών είναι η 6 = 8λ άρα ΜΝ ΑΒ, αφού λ = 3 > 0. 4 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 1 ΑΠΟ 3

4 ΘΕΜΑ Γ Γ1. Το σημείο τομής των ευθειών (ε1): 3x y = και (ε) : x + y = 10 προκύπτει από την επίλυση του συστήματος { 3x y = x + y = 10. Λύνοντας το παραπάνω σύστημα προκύπτει ότι το σημείο τομής έχει συντεταγμένες (,4). Γ. Η ευθεία (η) έχει εξίσωση x + y = 1 δηλαδή (η): y = -x + 1. Εφόσον η ευθεία (ε) είναι παράλληλη με την ευθεία (η) τότε θα έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης. Άρα λε = λη = -. Ακόμη, η (ε) διέρχεται από το σημείο (,4) οπότε θα έχει εξίσωση της μορφής: Οπότε, (ε): y = -x + 8. y 4 = -(x ) Γ3. Οι συντεταγμένες των σημείων Α(0,8) και Β(1,6) επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας (ε), οπότε ανήκουν στην ευθεία. Έστω το σημείο Μ(xM,yM) μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. Τότε, το σημείο Μ θα έχει συντεταγμένες ( 0+1, 8+6 ), δηλαδή Μ(1, 7). Ακόμη, λ ΑΒ = 6 8 =. Η μεσοκάθετος του 1 0 ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ θα έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο με 1 = 1 = 1. Οπότε, η μεσοκάθετος θα έχει εξίσωση της μορφής : y 7 = 1 (x 1 ). Άρα, η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ θα έχει εξίσωση y = 1 x ΘΕΜΑ Δ Δ1. Η (1) (x + κ) +(y (κ )) = κ, άρα παριστάνει κύκλο με κέντρο Κ(- κ,κ ) και ακτίνα ρ = κ. Δ. Έστω x = - κ () και y = κ,άρα κ = y +, οπότε η () δίνει ότι x = -(y + ) x + y + 4 = 0. Παρατηρούμε λοιπόν ότι το κέντρο Κ(x, y) κινείται πάνω στην ευθεία (ε): x+y+4 = 0, που είναι και ο ζητούμενος Γεωμετρικός Τόπος. λ ΑΒ Δ3. Γνωρίζουμε ότι ένας κύκλος : (x xο) + (y yο) = ρ, εφάπτεται: κ = κ, αδύνατη ή α) στον άξονα x x, όταν yο = ρ, δηλ. κ = κ, άρα { κ = κ κ = 1, οπότε ο κύκλος που εφάπτεται στον x x είναι ο: (x + ) + (y + 1) = 1. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 3

5 β) στον άξονα y y, όταν χο = ρ, δηλ. - κ = κ, άρα τότε έχουμε ότι κ = 0, που όμως απορρίπτεται από τα δεδομένα της σχέσης (1),άρα δεν υπάρχει κύκλος που να εφάπτεται στον άξονα y y. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 3