Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B"

Transcript

1 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου

2 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής. Μονάδες 6 β. Η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής ψ = pχ, στο σημείο της (χ 1, ψ 1 ) είναι... Μονάδες 6 Αν α =, β =3 διανύσματα α β και ( α, β ) = π να υπολογίσετε την τιμή του χ R ώστε τα 3 και χ α + β να είναι κάθετα. Μονάδες 5 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(, 6), Β(1, 1) και Γ(3, ). Να βρείτε: α. Την εξίσωση της ΒΓ και την εξίσωση της ευθείας του ύψους ΑΔ. Μονάδες 1 β. Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. Μονάδες.13 Δίνεται η έλλειψη με εξίσωση 9χ + 16ψ = 144. Να βρείτε α. Το μήκος του μεγάλου και του μικρού άξονα, καθώς και τις εστίες Ε,Ε της έλλειψης. Μονάδες 9 β. Την εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης που είναι παράλληλη με την ευθεία ε: 9χ +16ψ = 0. Μονάδες 8 γ. Την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο την εστία Ε και εφάπτεται της ευθείας ε: 9χ + 16ψ = 0 Μονάδες 8

3 153 Α. Έστω α, β, γ ακέραιοι αριθμοί. Να αποδείξετε ότι: a. Αν α/β και β/α τότε α = β ή α = β. b. α/β και α/γ τότε α /( β + γ ). Μονάδες 13 Β 1. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω προτάσεις ορθά συμπληρωμένες. a. Ο κύκλος x + y = ρ έχει κέντρο.. και στο σημείο του Μ(x 1, y 1 ) εφαπτομένη την.. Μονάδες b. Η έλλειψη με εξίσωση x α y + =1 β έχει εστίες τα σημεία Ε(.....) και Ε (...) και β =.. Μονάδες c. Η υπερβολή με εξίσωση y x =1 έχει ως ασύμπτωτες τις ευθείες με εξισώσεις.. α β και και εστίες τα σημεία Ε(...) και Ε (...) Μονάδες Β. Αν 7/(α+3) και 7/(4 β) να δείξετε ότι : 7/(α+β) Μονάδες Αν ισχύουν : α =1, β = ( β, π α ) = 3 να βρεθούν : a. Το εσωτερικό γινόμενο α β. Μονάδες 7 b. Αν δ =(α β)β +α 3β να βρεθεί το διάνυσμα δ ως γραμμικός συνδυασμός των α, β, καθώς και το δ. c. Να δειχθεί ότι : δ α. Μονάδες 8 Δίνονται ο κύκλος C:x +y+6x+1=0 και η παραβολή 1 C :y = 4x. a. Για τον κύκλο C 1 να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του και για την παραβολή C την εστία και την διευθετούσα της. Μονάδες 7 b. Να βρείτε τα κοινά σημεία Α και Β των C 1 και C. Μονάδες 9 c. Να βρείτε τις εφαπτομένες ε 1 και ε της C στα Α και Β αντίστοιχα και να αποδείξετε ότι οι ε 1 και ε εφάπτονται και στον κύκλο C 1 Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 4 Ο Δίνεται η εξίσωση: λχ λψ + 3χ + 6λ ψ = 0 με λ R. ( 1 ) a. Να δείξετε ότι η (1) είναι εξίσωση ευθείας για κάθε λ R. Μονάδες 7 b. Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζει η εξίσωση (1) διέρχονται από σταθερό σημείο για κάθε λ R Μονάδες 8 c. Να βρεθεί ο λ > 0 ώστε οι ευθείες που ορίζει η εξίσωση (1) να σχηματίζουν με τους άξονες συντεταγμένων τρίγωνο με εμβαδόν Ε = τ.μ

4 154 Α. Δίνονται τα διανύσματα α και β που είναι παράλληλα προς τον άξονα ψ ψ και έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ 1 και λ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι α β λ 1 λ = 1. Μονάδες 15 Β. Έστω δύο σημεία Ε και Ε ενός επιπέδου. Τι ονομάζεται υπερβολή με εστίες Ε και Ε στο συγκεκριμένο επίπεδο. Δίνονται τα σημεία Α( 1, 0), Β(3, 0), Γ( 3, 4). Να βρείτε: a. Την εξίσωση του ύψους ΑΔ. Μονάδες 13 b. Την εξίσωση της διαμέσου ΒΜ. Μονάδες 1 a. Αν 11/(α +) και 11/(35 β), να δείξετε ότι 11/( α + β) Μονάδες 13 b. Αν α = 7κ 5 να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του α με το 7 ( κ 1) Μονάδες 1 Δίνεται η εξίσωση: χ + ψ 4χ + 4ψ + 3 = 0 ( 1 ) a. Να δείξετε ότι η ( 1 ) παριστάνει εξίσωση κύκλου ( c ) του οποίου να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του. Μονάδες 8 b. Να δείξετε ότι το σημείο Μ(1, 3) είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου ( c ) και να βρεθεί η εξίσωση της χορδής του η οποία να έχει μέσο το σημείο Μ(1, 3) Μονάδες 8 c. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου ( c ) που άγεται από το σημείο Ν(0 6) Μονάδες 9

5 155 Α. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις επόμενες προτάσεις. Μονάδες 8 Αν α 0 και λ >0 τότε λα α Αν αβ = α γ και α 0 τότε β = γ Αν αβ = 0 τότε α = 0 ή β = 0 Για κάθε λ R η εξίσωση (λ )x +(λ 4)y + (λ+) =0 Κάθε ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α(1, 3) έχει εξίσωση y + 3 = λ(x 1), λ R Οι ευθείες ψ = x και x +ψ 3 = 0 είναι παράλληλες Η εξίσωση x = y + 4x+ 8y 10 = 0 παριστάνει εξίσωση κύκλου. Ο κύκλος (x 1) + (y +) = 1 εφάπτεται του άξονα y y. Β. Μονάδες x y. Η εκκεντρότητα της έλλειψης + k 4 k =1 3 α: ε = 3, β: ε =, γ: ε = 3 3, δ: ε = 1, ε: ε =. 3. Η εφαπτομένη της παραβολής y = px στο σημείο Α(p, p) έχει εξίσωση: α: x+y+p = 0, β: x y +p = 0, γ: x+y p = 0, δ: x y p = 0, ε: py=p(x +p) x y 4. Η εξίσωση της υπερβολής με εστίες αυτές της έλλειψης + = 1 και ε = είναι: 5 16 x y x y x y x y x y α: =1, β: =1, γ: =1, δ: =1, ε: =1. 9 Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x + y = ρ στο σημείο Α(x 1, y 1 ) είναι xx 1 + yy 1 = ρ Αν για τα διανύσματα α π, β ισχύουν οι σχέσεις, (α, β)=, 3 ( α β) ( α+ β) και α 3β = να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων α και β. Μονάδες 5 Α. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Α(0, 1) και είναι παράλληλη προς το διάνυσμα u = (4, ). Β. Αν Μ είναι το σημείο τομής της παραπάνω ευθείας με τον άξονα x x, να βρείτε την εξίσωση της μεσοκάθετης του τμήματος ΑΜ. Μονάδες 15 y x x y Έστω οι γραμμές C 1, C με εξισώσεις C 1 : = 1, C : + = 1. Αν η C 1 διέρχεται k λ από τα σημεία Α(0, 8) και Β(1, 3), να βρείτε: a. Τις τιμές των k, λ, τις εξισώσεις των ασύμπτωτων και την εκκεντρότητα της υπερβολής. b. Την εξίσωση της έλλειψης που έχει τις ίδιες εστίες με την υπερβολή και είναι όμοια με την έλλειψη C. c. Τις κορυφές του ορθογωνίου βάσης της υπερβολής d. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της υπερβολής στο σημείο της Α( 1, 3) εφάπτεται του κύκλου με εξίσωση x + y =

6 156 Α. Αν α = (χ 1, ψ 1 ) και β = (χ, ψ ) να αποδείξετε την ιδιότητα: α β λ λ = 1 εφόσον τα διανύσματα α, β δεν είναι παράλληλα προς τον ψ ψ. α β Β. Να δώσετε τον ορισμό της παραβολής. Μονάδες 9 Γ. Να συμπληρώσετε τις προτάσεις a. Η εξίσωση χ + ψ + Αχ + Βψ + Γ = 0 παριστάνει κύκλο όταν... b. Η εφαπτομένη της παραβολής ψ = pχ στο σημείο της Μ(χ 1, ψ 1 ) έχει εξίσωση... c. Η εξίσωση Αχ + Βψ + Γ = 0 παριστάνει ευθεία όταν... Μονάδες 6 Αν α =, β = 3 και ( α, β) = π, να υπολογίσετε τη γωνία των διανυσμάτων: 3 u = 3α β και V = 3α + β Μονάδες 5 a. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(3, ), Β( 1, 0) και Γ( 3, 4) Μονάδες 8 b. Την εξίσωση του ύψους που άγεται από την κορυφή Β. Μονάδες 8 c. Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ Μονάδες 9 Κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων Ο, διέρχεται από το σημείο Α(1, 3) a. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου. Μονάδες 5 b. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου που είναι παράλληλη προς την ευθεία ΟΑ. c. Αν ο κύκλος τέμνει τον άξονα χ χ στα σημεία Ε και Ε, να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει εστίες τα σημεία Ε και Ε και μεγάλο άξονα 8.

7 157 Α. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου χ + ψ = ρ στο σημείο Α(χ 1, ψ 1 ) είναι: χχ 1 + ψψ 1 = ρ Β. Τι ονομάζεται εσωτερικό διανυσμάτων α και β ; Μονάδες 5 Γ. 1. Ο κύκλος ( C ): χ + ψ χ + 4ψ 7 = 0 έχει κέντρο: α: (1, ), β: (1, ) γ: ( 1, ) δ: (, 4). Αν για μία ευθεία ( ε ): αχ + βψ + γ = 0 είναι d(κ, ε) τότε η ( ε ) εφάπτεται στον κύκλο με κέντρο Κ και ακτίνα ρ. Σ ή Λ 3. Ο κύκλος με εξίσωση (χ ) + (ψ ) = 9 έχει το κέντρο του στην ευθεία ψ = χ Σ ή Λ 4. Οι κύκλοι με εξισώσεις (χ ) + (ψ+3) = 16 και χ + ψ 4χ + 6ψ +7 = 0 είναι ομόκεντροι. Σ ή Λ 5. Ο κύκλος (χ 1) + (ψ 1) = 1 είναι μοναδιαίος Σ ή Λ Δίνονται τα διανύσματα α, β με α. α β =... β. ( α + 3β ) ( 4α 5β) α + ( α, β) = π 6, α = και β = να βρεθούν: α+ β β =... γ. ( ) =... δ. α+ β =... =... Μονάδες 5 Δίνεται η εξίσωση (χ + ψ 5) + λ(χ + ψ 7) = 0 όπου λ R. Να αποδείξετε ότι: a. Η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθεία για κάθε λ R. b. Η ευθεία με εξίσωση τη δοσμένη διέρχεται από σταθερό σημείο για κάθε λ R. Δίνεται η παραβολή με εξίσωση ψ = 16χ. Να βρείτε: Μονάδες 15 a. Την εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο Α(1, 4) b. Το σημείο που η εφαπτομένη τέμνει τον άξονα χ χ. Μονάδες 5 c. Την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής που είναι κάθετη στο διάνυσμα u = (1, )

8 158 Α. Έστω α, β, γ ακέραιοι αριθμοί. Να αποδείξετε τις επόμενες ιδιότητες: a. Αν α / β και β / α, τότε α = β ή α = β b. Αν α / β και α / γ, τότε α /(β + γ) Μονάδες: 1 Β. Έστω δύο σημεία Ε και Ε ενός επιπέδου. Τι ονομάζεται έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε και Ε στο συγκεκριμένο επίπεδο; Μονάδες: 5 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας τη λέξη Σωστό ή Λάθος, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. a. Αν α β τότε α β = 0 και αντιστρόφως. b. Η εξίσωση της μορφής χ + ψ + Αχ + Βψ + Γ = 0 με Α + Β 4Γ < 0 παριστάνει κύκλο. c. Η εκκεντρότητα ε της υπερβολής είναι μικρότερη της μονάδας. d. Δύο ευθείες είναι παράλληλες όταν έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης. Δίνονται τα διανύσματα α = (, 5 ) και β = ( 1, 3) Μονάδες 8 Α. Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος γ = 3α 4β Μονάδες 1 Β. Να βρείτε τον αριθμό λ R, ώστε το διάνυσμα δ = ( λ + λ, λ) να είναι παράλληλο στο α Έστω α άρτιος ακέραιος και β περιττός ακέραιος Μονάδες 13 α + β 1 Α. Να αποδείξετε ότι ο είναι ακέραιος. Μονάδες 1 8 Β. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός Α = (α + 1) (β 1) είναι πολλαπλάσιο του 3. Μονάδες 13 Δίνεται η εξίσωση χ + ψ 4ψ + 3 = 0 Α. Να δειχθεί ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο, του οποίου να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα. Μονάδες 6 Β. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ψ = λχ, ώστε να αποτελεί εφαπτομένη του κύκλου. Μονάδες 8 χ ψ Γ. Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής = 1, που έχει ως ασύμπτωτες τις ευθείες α β του προηγούμενου ερωτήματος, όταν β = α + Μονάδες 11

9 159 Α. Αν α, v είναι δύο διανύσματα του επιπέδου με α 0 και η προβολή του v στο α συμβολίζεται με προβ v, τότε να αποδείξετε ότι α v = α προβ v α α a. Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου που έχει εξίσωση: χ +y χ +4y+1=0 Μονάδες 5 b. Η παραβολή που έχει εστία Ε (0, 4) και κορυφή το Ο (0, 0), έχει εξίσωση Α. y = 8x Β. y = 8x Γ. y = 16x Δ. x = 16y Ε. x = 8y Μονάδες 5 c. Πότε η εξίσωση Αχ +Βy + Γ = 0 παριστάνει ευθεία; Μονάδες d. Δίνονται τα σημεία Α(4, ) και Β( 1, 4). Να βρείτε τις συντεταγμένες του AB. Μονάδες 3 a. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ= 3 και απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με 3 μονάδες. Μονάδες 15 b. Αν Α και Β είναι τα σημεία τομής της ευθείας με τους θετικούς ημιάξονες να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ. Δίνεται η έλλειψη χ +4y =4. Να βρείτε τα μήκη των αξόνων, τις εστίες και την εκκεντρότητα της έλλειψης. Μονάδες 5 Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων του κύκλου χ +y =10 οι οποίες είναι: a. Παράλληλες στην ευθεία χ + y = 0 Μονάδες 8 b. Διέρχονται από το σημείο (0, 10) Μονάδες 9 c. Κάθετες στην ευθεία χ + y = 0. Μονάδες 8

10 Α 1. Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο K(x 0, y 0 ) και ακτίνα ρ. Μονάδες Α. Πότε η εξίσωση x + y + Ax + Βy + Γ παριστάνει κύκλο; Ποιο είναι το κέντρο του και ποια η ακτίνα του ; Μονάδες 3 Α 3. Να αποδείξετε ότι η εφαπτόμενη ε του κύκλου c: x + y = ρ σε ένα σημείο του Α(x 1, y 1 ) έχει εξίσωση xx 1 + yy 1 = ρ Μονάδες 8 Β 1. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Δίνεται κύκλος x + y = 10 και το σημείο του Μ(1, 3). Η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Μ έχει εξίσωση : Α. x + 3y = 10 Β. 5x y = 8, Γ. x 3y = 10, Δ. 3x + y = 3 Ε. 1 x+y=5 Μονάδες 3 Β. Στη στήλη Α δίνονται οι εξισώσεις κωνικών τομών και στη στήλη Β η ονομασία τους και οι εστίες τους. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα της στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράμμα τον αριθμό της στήλης Β που αντιστοιχεί στη σωστή εξίσωση. Στήλη Α Στήλη B α. x y 3 =1 x β. y + =1 4 9 γ. y = 8x 1. Έλλειψη με E (0, 5) E(0, 5). Έλλειψη με E ( 5,0) E( 5,0) 3. Υπερβολή με E (0, 5) E(0, 5) 4. Υπερβολή με E ( 5,0) E( 5,0) 5. Παραβολή με E(, 0) 6. Παραβολή με E(0, ) Μονάδες 9 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Το εσωτερικό γινόμενο δυο διανυσμάτων δίνεται από τη σχέση: α β = α β συν( α,β) β. Ο κύκλος x + y = 4 και η ευθεία y = x εφάπτονται. γ. Ευθεία ε: Ax + Βy + Γ = 0 και σημείο Μ(x 0, y 0 ) τότε η απόσταση του Μ από την ευθεία ε δίνεται από τη σχέση: d(m, ε) = Ax + By + Γ o o o Β. Αν α περιττός ακέραιος να δειχθεί ότι: Α Μονάδες 15 + Β α + (α + ) + (α + 4) + 1 i) α = 4ρ +1 ii) 1 είναι ακέραιος αριθμός Να βρείτε την εξίσωση ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο Α(, 3) και είναι κάθετη στην ευθεία x 3y = 0. Ποιο είναι το σημείο τομής των δύο ευθειών; Μονάδες 5 ( ) π Αν α = β =1και α, β =, και τα διανύσματα u=α +4β 3 υπολογίσετε i) α β =?, ii) u v =?, iii) v =? και v=α β. Να

11 161 Α. Δίνεται κύκλος x + y = ρ και ένα σημείο του Α ( x 1, y 1 ). Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο Α είναι xx 1 + yy 1 = ρ. Β. Τι ονομάζεται έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε και Ε του επιπέδου; Μονάδες 5 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση : a. Οι αριθμοί ν και ν + είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. b. Κάθε ακέραιος αριθμός κ μπορεί να πάρει την μορφή κ = 3ρ ή κ = 3ρ + 1 ή κ = 3ρ +, ρ Ζ. c. Η εκκεντρότητα της έλλειψης 4x + y = 4 είναι ε = 3. 3 d. Υπάρχουν x R τέτοια ώστε τα διανύσματα α = (x + 1, 3) β = (x, 1) να είναι κάθετα. e. Αν οι ευθείες y = 3 κ x +1 και y = λx + είναι παράλληλες, τότε κ = 3λ. Δίνονται τα διανύσματα α και β με ( α, β ) = π 3. Αν α = και β = 4 να βρεθούν: α) α β, β) α + β, γ) ( α + β ), δ), α +β ε) ( α + 3 β ) (4 α - 5 β ) Μονάδες 5 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α (, ) Β ( 1, 1 ) και Γ ( 3, 1 ). Α. Να βρεθεί η εξίσωση του ύψους ΑΔ. Μονάδες 15 Β. Να βρεθεί το μήκος του ΑΔ. Α. Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής που έχει άξονα συμμετρίας τον x x και διέρχεται από το σημείο Α ( 1, 3 ). Β. Να βρεθεί η εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο Α Γ. Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από την παραπάνω εφαπτομένη, την διευθετούσα της παραβολής και τον άξονα x x Μονάδες

12 16 A. Αν α, β ακέραιοι αριθμοί να δείξετε ότι ισχύει η ιδιότητα: Αν α / β και β / α τότε α = β ή α = β B. Να σημειώσετε αν είναι σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις i. Αν α = (χ, ψ ) και β = (χ ψ ) δύο διανύσματα του επιπέδου, τότε το εσωτερικό τους 1 1, γινόμενο ισούται με: αβ = χχ ψψ 1 1 ii. Η ευθεία με εξίσωση Αχ + Βψ + Γ= 0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ = (Β, Α) iii. Οι ασύμπτωτες της υπερβολής με εξίσωση χ ψ =1 είναι οι α β ψ = α χ β και α ψ= χ β iv. Η εξίσωση της έλλειψης με εστίες τα σημεία Ε ( γ, 0), Ε(γ, 0) και σταθερό άθροισμα α χ ψ είναι + =1 με β = α γ α β v. Η εφαπτομένη της παραβολής ψ = pχ στο σημείο Μ(χ 1,ψ 1 ) έχει εξίσωση ψψ 1 = p(χ + χ 1 ) Μονάδες 5 3=15 Δίνονται τα διανύσματα α και β με α =, β = και ( α,β ) = π 4 1. Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο αβ Μονάδες 8. Να δείξετε ότι α β = 8 Μονάδες 8 3. Να υπολογίσετε την γωνία των διανυσμάτων α, ν = α β Μονάδες 9 Δίνεται η εξίσωση (μ 1)χ + (μ 1)ψ μ +1 = 0 (1) 1. Για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού μ η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθεία; Μονάδες 1. Για ποιες τιμές του μ η ευθεία αυτή είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση χ + 5ψ = 0 Μονάδες 13 Δίνεται η εξίσωση χ 6χ + ψ + ψ + 1 = 0 1. Να δείξετε ότι παριστάνει κύκλο και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του. Μονάδες 9. Να δείξετε ότι το Μ(4, ) είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου Μονάδες 8 3. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Μ και τέμνει τον κύκλο στα σημεία Α, Β ώστε το Μ να είναι το μέσο του ΑΒ. Μονάδες 8

13 163 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο γραπτό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν ο αριθμός κ είναι ακέραιος τότε ο αριθμός κ (κ +1) είναι άρτιος. Μονάδες 5 ψ χ β. Η υπερβολή με εξίσωση = 1 έχει εκκεντρότητα ε = Μονάδες 5 Β. Να γράψετε στο τετράδιο σας το γράμμα που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση. 1. Αν ο αριθμός κ είναι ακέραιος, το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού Α=005κ 1989 με τον 005 είναι: α γ. 005 ε. 19 β. 16 δ. 16 Μονάδες 5. Η παραβολή με διευθετούσα x= και εστία στον άξονα x x έχει εξίσωση: α. ψ = 6χ β. ψ = 8χ γ. ψ = 4χ δ. ψ = χ Μονάδες 5 3. Στην έλλειψη με εξίσωση x² + 4y² = 4 το μήκος του μεγάλου άξονα είναι: α., β. 1, γ. 4, δ. 8, Μονάδες 5 Α. Δίνονται τα διανύσματα α = (x 1, y 1 ) και β = (x, y ) τα οποία δεν είναι παράλληλα προς τον άξονα y y και έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ 1 και λ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α β λ 1 λ = 1 Β. Δίνονται τα σημεία Α(1, ), Β(4, 1) και το σημείο Γ(x 0, y 0 ) το οποίο ανήκει στην ευθεία (ε): x + y = 14. Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου Γ ώστε ΒΑΓ = 90º Μονάδες 15 Δίνονται τα σημεία Α(5, ), Β(11, 0) και Γ( 1, 6). Να βρείτε: α. την εξίσωση του ύψους ΑΔ του τριγώνου ΑΒΓ Μονάδες 8 β. την εξίσωση της διαμέσου ΒΕ του τριγώνου ΑΒΓ Μονάδες 8 γ. το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ Μονάδες 9 Δίνεται η εξίσωση x + y 8x + 6y = 0 ( 1 ) α. Να δειχθεί ότι η εξίσωση ( 1 ) παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο του κ και την ακτίνα του ρ. β. Να δειχθεί ότι ο κύκλος διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο (0, 0) γ. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόμενης του κύκλου στο σημείο του Ο (0, 0) δ. Έστω τα σημεία Α(x 1, y 1 ) και Β(x, y ) με x 1, x, y 1, y ανήκουν στο R και ικανοποιούν τις ισότητες x 1 + y 1 = 8x 1 6y 1 και x + y = 8x 6y. Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης Π = (x 1 x ) + (y 1 y ) Μονάδες

14 164 Α. Να αποδειχθεί ότι η εφαπτομένη του κύκλου x + y = ρ στο σημείο του Α(x 1, y 1 ) έχει εξίσωση : x 1 x + y 1 y = ρ. Μονάδες 9 Β. i) Να δοθεί ο ορισμός του εσωτερικού γινομένου αβ δύο διανυσμάτων α και β. Μονάδες 5 ii) Nα συμπληρωθούν τα κενά. α. α β αβ =.. β. α β αβ =.. γ. α β αβ =.. δ. α = (x 1, y 1 ), β = (x, y ) αβ =.. Μονάδες 4 Γ) Να συμπληρωθούν τα κενά του πίνακα. Κωνική τομή Εστίες Εξίσωση εφαπτομένης Εκκεντρότητα Ασύμπτωτες x α y y + = 1, α >β>0 β x =1 α α, β> 0 β Μονάδες 7 Α. Για τα διανύσματα α β π ισχύει: α = 1, β = και ( α, β) =.Έστω τα διανύσματα 3 u = α + 3 β, v = α β. Να υπολογισθούν : α. Το εσωτερικό γινόμενο αβ β. Τo μέτρo τoυ διανύσματος u γ. Το εσωτερικό γινόμενο u v. Μονάδες 15 α (α +1) Β. Αν ο αριθμός α είναι ακέραιος, τότε και ο αριθμός είναι ακέραιος. Δίνονται οι εξισώσεις λx y +1= 0 (1) και (λ + 1)x (1 λ)y + 4=0 (). α. Να δείξετε ότι οι εξισώσεις (1) και () παριστάνουν ευθείες,τις (ε 1 ) και ( ε ) αντίστοιχα, για κάθε λ R. Μονάδες 5 β. Να υπολογισθεί το λ R ώστε η (ε ) να είναι κάθετη στην ευθεία ζ: x 3y + 4 = 0. Μονάδες 5 γ. Να δείξετε ότι οι ε 1 και ε τέμνονται για κάθε λ R. Μονάδες 7 δ. Να δείξετε ότι η ε διέρχεται από σταθερό σημείο για κάθε λ R. Μονάδες 8 Δίνεται η εξίσωση x + y λ x +λy λ 3 = 0 (1). α. Για ποιες τιμές του λ R η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο; Μονάδες 8 β. Να δείξετε ότι τα κέντρα των παραπάνω κύκλων βρίσκονται σε μια παραβολή. Μονάδες 8 γ. Αν η ευθεία x y + 1 = 0 εφάπτεται της παραβολής στο σημείο Κ(x 0, y 0 ), να βρείτε την α- κτίνα του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Κ(x 0, y 0 ). Μονάδες 9

15 165 A. Αν α, β, γ ακέραιοι με α 0, να δείξετε ότι αν α / β και α / γ τότε α / ( β + γ ). Β. Να κάνετε τη σωστή αντιστοίχηση 1. χ ψ =9 a. Αν α = ( x, ψ 1 1) και β = ( x, ψ ) Μονάδες 11 χ ψ. + =1 Α. κύκλος 3 Β. έλλειψη 3. ψ χ =1 Γ. παραβολή ψ Δ. υπερβολή = χ 5.( ) χ 1 + ψ =1 Ε. ευθείες 6. ψ = 4χ Μονάδες 6 Γ. να απαντήσετε με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) στις παρακάτω προτάσεις : τότε α // β det α, β =1. Μονάδες ( ) b. Η καμπύλη ψ = 4χ έχει εστία Ε(1, 0). Μονάδες c. Η εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο Α(,3) και έχει συντελεστή λ = 4 είναι η ψ = 4(χ 3). Μονάδες d. Η γωνία του διανύσματος α = (, ) με τον άξονα χ χ είναι 45. Μονάδες Δίδονται τα διανύσματα α = (, 3) και β = ( 3, 3) a. Να βρεθούν τα μέτρα τους. Μονάδες 8 b. Να βρεθεί το εσωτερικό γινόμενο Μονάδες 8 c. Να βρεθεί η γωνία α, β. Μονάδες 9 ( ) Δίνεται η έλλειψη c : 4χ + 9ψ = 36. a. Να βρεθούν οι ημιάξονες, οι εστίες και να γίνει μια πρόχειρη γραφική παράσταση της. b. Να δείξετε ότι το σημείο Μ 3, 3 ανήκει στην έλλειψη. Μονάδες 5 c. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης στο σημείο Μ. Στο ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων ΧΟΨ παίρνουμε τα σημεία Α(4, ) και Β(, 4). a. Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ. Μονάδες 6 b. Να βρεθούν οι εξισώσεις των μεσοκαθέτων των πλευρών ΟΑ και ΟΒ. Μονάδες 9 c. Να βρεθούν οι συντεταγμένες του περικέντρου και η εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο ΟΑΒ.

16 166 «Τα θεμέλια των μαθηματικών και ένα μεγάλο μέρος του περιεχομένου τους είναι ελληνικά. Οι Έλληνες έθεσαν τις πρώτες επιστημονικές βάσεις, επινόησαν τις μεθόδους ab inito και καθόρισαν την ορολογία. Με λίγα λόγια τα Μαθηματικά είναι μια ελληνική επιστήμη, οποιαδήποτε και αν είναι ή ανάπτυξη που επέφερε ή θα επιφέρει ή σύγχρονη έρευνα» Τ. L. Heath

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004 Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999.......................................... 3 Θέµατα 000..........................................

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 000 Ζήτηµα ο Α.. Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο Κ(x 0,y 0 ) και ακτίνα ρ. (Μονάδες ) Α.. Πότε η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ 0

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ε, που σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία: π 3 α) ω = β) ω = γ) ω = π 3. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα.

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1 1 ο Αχαρνών 197 Αγ Νικόλαος 10865196 ο Αγγ Σικελιανού 4 Περισσός 10718688 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1 1 Α ίνονται τα διανύσµατα á, â, x, y 1 για τα οποία ισχύουν: x+ â = y+ á και 11 y+ 11 â = á x Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 1-14 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = e ημ + ln. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = τοξημ( ) d y y = ημ θ. Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του R, του συνόλου των πραγματικών αριθμών, στο οποίο ισχύουν: Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης του πολλαπλασιασμού έτσι ώστε, να έχουν τις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ [7] ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Κύκλος µε κέντρο Κ και ακτίνα ρ λέγεται ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν από το Κ απόσταση ίση µε ρ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Αν ο κύκλος έχει κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Μια συνάρτηση f λέγεται: α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν για οποιαδήποτε χ,χ Δ με χ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΠΥΡΟΣ ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΠΥΡΟΣ ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΠΥΡΟΣ ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΘΗΝΑ 009 1. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία µμου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μιγαδικοί Αριθμοί Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος Τηλ. 40598 Κεφ. ο ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ. Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÅÐÉËÏÃÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÅÐÉËÏÃÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 01 Ε_ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Μαΐου 01 ιάρκεια Εξέτασης:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel. 361653-3617784 - Fax: 364105 ΣΑΒΒΑΤΟ, 19 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 013 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0.

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0. Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση Α= ν 2 3ν 1 2 1. 2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά,

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης

Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Η εξίσωση αx+βy = γ Λύση της εξίσωσης α x + β y = γ ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΙΕΑΣ, ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΙΕΑΣ, ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦ 1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΙΕΑΣ, ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦ. Δ/ΝΣΗ Α/ΘΜΙΑΣ & Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΤΙΟΥ ΑΙΓΑΙΟΥ Δ/ΝΣΗ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑ/ΣΗΣ ΔΩΔ/ΣΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ: ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ!

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! - Κύριε, πόσο μας χρειάζονται αυτά που μάθαμε πέρσι στα μαθηματικά της κατεύθυνσης; - Σοφία, αν όχι όλα, αρκετά από αυτά. - Για πείτε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) x - + y = - + - y β) y + = 3 - ( + ) x γ) 4y - 3y - x = - 5x + 9 δ) (x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς 6/0/0 Θέματα από τους μιγαδικούς Μπάμπης Στεργίου Σεπτέμβριος 0 Θέμα ο ***Οι λύσεις έγιναν από τον Αλέξη Μιχαλακίδη Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τηλ. 0 36653-0367784 - Fax: 0 36405 Tel. 0 36653-0367784 - Fax: 0 36405 ΣΑΒΒΑΤΟ, ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 3 5 Αν a = 4 και b = 5 +, να υπολογίσετε την τιμή παράστασης: 5 A = a: b b. 5a ΘΕΜΑ ο Έστω α θετικός

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 5 Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός 867 (Αναρτήθηκε 8 4 ) ίνονται τα διανύσµατα a και b µε µέτρα, 6 αντίστοιχα και ϕ [, π] a b+ x+ a b y 5= () δίνεται η εξίσωση ( ) ( ) α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997. 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν. για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0.

Αρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997. 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν. για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0. Αρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν = 1 4 για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0. ii) α n 1 α n Να αποδείξετε: α ν 1 =1 για κάθε n - ν 1 α ν α) ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα