Author : Πιθανώς έχει κάποιο λάθος Supervisor : Πιθανώς έχει καποιο λάθος.
|
|
- Βλάσιος Ασπάσιος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Τμήμα Φυσικής 1ο Σετ Ασκήσεων Γενικών Μαθηματικών ΙΙ Author : Βρετινάρης Γεώργιος Πιθανώς έχει κάποιο λάθος Supervisor : Χ.Τσάγκας 19 Φεβρουαρίου 217 ΑΕΜ: Πιθανώς έχει καποιο λάθος.
2 2 Άσκηση. Να προσδιοριστούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων fx, y) = x 2 y 2 + x 2 + y 2 1 fx, y) = arccosxy) fx, y) = lnx 2 + y) fx, y) = arcsinx) + xy fx, y) = lna x 2 + y 2 ) + x 2 + y 2 b) όπου οι a, b είναι πραγματικές σταθερές fx, y, z) = x 2 + y 2 z + lnx 2 + y 2 + z 2 ) fx, y, z) = lnxyz) 1. fx, y) = x 2 y 2 + x 2 + y 2 1 x 2 y 2 y 2 x 2 x 2 + y 2 1 x 2 + y 2 1 D = { x, y) R 2 : y 2 x 2, x 2 + y 2 1 } 2. fx, y) = arccosxy) xy 1 D = { x, y) R 2 : xy 1 } 3. fx, y) = lnx 2 + y) x 2 + y > y > x 2 D = { x, y) R 2 : y > x 2}
3 fx, y) = arcsinx) + xy x 1 & xy D = { x, y) R 2 : xy & x 1 } fx, y) = lna x 2 + y 2 ) + x 2 + y 2 b) a x 2 + y 2 y 2 x 2 a D = { x, y) R 2 : y 2 > x 2 a } fx, y, z) = x 2 + y 2 z + lnx 2 + y 2 + z 2 ) x 2 + y 2 z x 2 + y 2 z D = { x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 z } fx, y, z) = lnxyz) xyz > D = { x, y, z) R 3 : xyz > }
4 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Τμήμα Φυσικής 2ο Σετ Ασκήσεων Γενικών Μαθηματικών ΙΙ Συντάκτης Βρετινάρης Γεώργιος Καθηγητής Χ.Τσάγκας 13 Μαρτίου 217 ΑΕΜ: 14638
5 2 Άσκηση 1 Να προσδιοριστούν τα όρια στο σημείο,). 1. Με διαδοχικά όρια προκύπτει: Άρα το όριο. fx, y) = x4 + 3x 2 y 2 + 2xy 3 x 2 + y 2 ) 2 x y y y 4 = x 4 x x 4 = Με διαδοχικά όρια προκύπτει: x fx, y) = 2x5 + 4x 2 y 3 2y 5 x 2 + y 2 ) 2 y Με μετατροπή σε πολικές προκύπτει: 2y 5 y y 4 2x 5 x x 4 2r 5 cos 5 θ + 4r 5 cos 2 θ sin 3 θ 2r 5 sin 5 θ r r 4 Με μετατροπή σε πολικές προκύπτει: Μελετάω ξεχωριστά τα όρια μετατροπή σε πολικές γίνεται: fx, y) = r 3 cos 3 θ r r 2 = y 2y = = y 2x = = r r2 cos 5 θ+4 cos 2 θ sin 3 θ 2 sin 5 θ) = x 3 x 2 + y 2 ) = r r cos 3 θ = fx, y) = x sinxy) x 2 + y 2 x sinxy) x 2 + y 2 = x2 y sinxy) x 2 + y 2 xy x,y),) r 3 cos 2 θ sin θ r r 2 Το δεύτερο θέτοντας xy = z προκύπτει: Άρα συνολικά: x 2 y x 2 και + y2 x,y),) sin z z z = r r cos 2 θ sin θ = = 1 x,y),) fx, y) = 1 = sinxy), όπου το πρώτο με xy
6 Με διαδοχικά όρια προκύπτει: fx, y) = x x 4 y 4 x 4 + y 2 ) 3 y y 6 = y x x 12 = Ακολουθώντας την διαδρομή y = x 2 προκύπτει: Άρα το όριο. x x 4 x 8 x 4 + x 4 ) 3 = x x 12 8x 12 = 1 8 ) 1 fx, y) = x 2 + y 2 ) sin xy Αντικαθιστώντας το sin1/xy) με το ανάπτυγμά πρώτης τάξης του προκύπτει: ) 1 x 2 + y 2 ) sin = x2 + y 2 xy xy Άρα το όριο. y = mx x 2 m 2 + 1) x mx 2 = 1 + m2 m 7. x 2 y 2 ) fx, y) = xy x 2 + y 2 Με μετατροπή σε πολικές προκύπτει: Άσκηση 2 r r2 cos θ sin θ r2 cos 2 θ r 2 sin 2 θ r 2 Να αποδειχθεί ότι το όριο της συνάρτησης fx, y) = x2 y 2 x 2 + y 2 = r = r 2 cos 2 θ sin 2 θ) sin θ cos θ = με πεδίο ορισμού το D = { x, y) R 2 : y < x 2}, στο σημείο,) είναι μονάδα. fx, y) 1 = x 2 y 2 x 2 + y 2 x2 + y 2 x 2 + y 2 = 2y 2 x 2 + y 2 2y 2 x 2 + y 2 = 2y2 x 2 + y 2 < x4 x 2 + y 2 x2 + y 2 ) 2 x 2 + y 2 = x 2 + y 2 < δ 2 fx, y) 1 < δ 2 = ɛ
7 4 Άσκηση 3 Να αποδειχθεί ότι το όριο της συνάρτησης στο, ) είναι το μηδέν. fx, y) = Με μετατροπή σε πολικές προκύπτει r. Άρα: x + y x 2 + y 2 Άσκηση 4 r cos θ + r sin θ r r 2 = r cos θ + sin θ r = Να προσδιοριστεί το όριο της συνάρτησης στο σημείο,2). fx, y) = sinxy) x sinxy) y sinxy) = = 2 1 = 2 x,y),2) x x,y),2) xy Άσκηση 5 Να προσδιοριστεί το όριο της συνάρτησης όταν x + και y k. fx, y) = ln 1 + y ) x x Αρχικά θέτω x = 1/z με z +. fx, y) = ln 1 + y ) x fz, y) = ln1 + zy) 1/x = e ln1+zy) z x Μελετάω μόνο το ln1+zy) z Θέτω zy = a όπου a.άρα: ln1 + zy) ln1 + zy) = y z,y) +,k) z z,y) +,k) zy ln1 + a) ln1 + a) y = y = k a,y),k) a y k a a a Συνεπώς το όριο για k ισούται με: fx, y) = e k 1 1+a 1 = k
8 5 Άσκηση 6 Να προσδιοριστούν τα επαναλαμβανόμενα όρια και το όριο αν υπάρχει) των συναρτήσεων, στο σημείο,) Άρα το όριο. Άρα το όριο. x y fx, y) = x2 y 2 + x 3 + y 3 x 2 + y 2 y 3 y 2 y y 2 x 3 + x 2 x x 2 fx, y) = x y y = x = y y 1 = 1 = x x + 1 = 1 x 2 y 2 x 2 y 2 + x y) 2 y y 2 = x x 2 = x 4 x x 4 = 1 3. Άρα το όριο. x y fx, y) = sin x + 2 sin y 2 tan x + tan y 2 sin y y tan y = 2 cos y = 2 y x sin x 2 tan x = x cos x 2 = ) ) 1 1 fx, y) = x + y) sin sin x y ) 1 x yk sin = y y ) 1 y x sin l = x x Οπου k, l [ 1, 1]. Αντικαθιστώντας τα ημίτονα με τα αναπτύγματά πρώτης τάξης τους προκύπτει: ) ) 1 1 x + y) sin sin = x + y x y xy Άρα το όριο. y = x 2 = + x + x x 2x x x 2 = 2 x x 2 x =
9 6 Άσκηση 8 Να εξεταστεί η συνέχεια της συνάρτησης x 2 y fx, y) = x 4 + y 2 ανx, y), ) ανx, y) =, ) y = mx 2 mx 4 x x m 2 ) = m 1 + m 2 Άρα το όριο,συνεπώς και η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο,). Άσκηση 9 Να εξεταστεί η συνέχεια της συνάρτησης xy x2 y 2 fx, y) = x 2 + y 2 ανx 2 + y 2 > ανx 2 + y 2 = fx, y) = xy x2 y 2 x 2 + y 2 = x y x2 y 2 x 2 + y 2 x2 + y 2 ) x2 y 2 x 2 + y 2 = x2 y 2 fx, y) x 2 y 2 Άρα η συνάρτηση είναι συνεχής. fx, y) x,y),) x,y),) x2 y 2 fx, y) = x,y),) fx, y) x,y),)
10 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Τμήμα Φυσικής 3ο Σετ Ασκήσεων Γενικών Μαθηματικών ΙΙ Συντάκτης Βρετινάρης Γεώργιος Καθηγητής Χ.Τσάγκας 3 Μαρτίου 217 ΑΕΜ: 14638
11 2 Άσκηση 1 Να υπολογιστούν οι μερικές παράγωγοι των συναρτήσεων fx, y) = 1 + xy) y = y1 + xy)y 1 y = y xy) y 1 = ey ln1+xy) ) = e y ln1+xy) 1 [ln1 + xy) + y 1 + xy x] = ey ln1+xy) [ln1 + xy) + xy 1 + xy ] fx, y) = x xy = xxy ln xx y ln x = x xy +y ln 2 x = exy ln x ) = e xy ln x [yx y 1 ln x + x y 1 x ] = exy ln x x y 1 y ln x + 1) fx, y) = arctan = 1 x+y ) x y ) x + y x y x y x + y)) x y) 2 x y)2 = 2x 2 + y 2 ) 2x x y) 2 = x x 2 + y 2 = 1 x+y ) x y x y x + y) x y) 2 x y)2 = 2x 2 + y 2 ) 2y x y) 2 = y x 2 + y 2 [ )] x fx, y) = ln tan y = 1 tan 2 x y sec 2 x y 1 y = sec x y y sin x y = 1 tan 2 x y sec 2 x y x y 2 = x sec x y y 2 sin x y 5. fx, y, z, v) = xyz + yzv + zvx + vxy = yz + zv + vy = xy + yv + vx = xz + zv + vx = yz + zx + xy
12 3 Άσκηση 2 Αν η ολική πυκνότητα, ρ = ρt, x, y, z), ενός κινούμενου ρευστού παραμένει σταθερή, να προσδιοριστεί η μεταβολή της ως προς τον χρόνο. Άσκηση 3 ήdρ = ρ t dt + ρ ρ t = ρ ρ dx + dy + z dz = dρ dt = = ρ t + ρ u x + ρ u y + ρ z u z ρ t = ρ u x ρ u y ρ z u z Να προσδιορισθεί το ολικό διαφορικό 1ης τάξης της fx, y) = x y. Άσκηση 4 yxy 1 = xy ln x df = yx y 1 dx + x y ln xdy Δίνονται οι συναρτήσεις fx, y, z) = z/x) lny/z) και fx, y, z) = lnx 3 + y 3 + z 3 3xyz). Να αποδειχθεί ότι ικανοποιούν τις σχέσεις αντίστοιχα. x + y + z z = και + + z = 3 x + y + z α) fx, y, z) = z/x) lny/z) = z ) y x 2 ln z = z 1 x y y z y z z = 1 x ln x + y + z z = z x ln ) 1 x ) + z x + z ) y x ln z z x =
13 4 β) fx, y, z) = lnx 3 + y 3 + z 3 3xyz) = 1 x 3 + y 3 + z 3 3xyz 3x2 3yz) = 1 x 3 + y 3 + z 3 3xyz 3y2 3xz) z = 1 x 3 + y 3 + z 3 3xyz 3z2 3xy) + + z = 1 x + y + z 1 x 3 + y 3 + z 3 3xyz 3x2 + 3y 2 + 3z 2 3xy 3xz 3yz) x + y + z x + y + z = = 3x3 + y 3 + z 3 3xyz) x 3 + y 3 + z 3 3xyz 1 x + y + z = 3 x + y + z Άσκηση 5 Δίνονται οι συναρτήσεις fx, y) = sinxy) + cosxy) και fx, y) = xe y + ye x. Να αποδειχθεί ότι ικανοποιούν τις σχέσεις f 2 = x2 + y 2 )fx, y) και f = fx, y) 2 αντίστοιχα. α) β) = y cosxy) y sinxy) = x cosxy) x sinxy) fx, y) = sinxy) + cosxy) 2 f 2 = y2 sinxy) y 2 cosxy) 2 f 2 = x2 sinxy) x 2 cosxy) f 2 = sinxy)x2 + y 2 ) cosxy)x 2 + y 2 ) = x 2 + y 2 )fx, y) fx, y) = xe y + ye x = ey ye x = xey e x 2 = yex 2 = xey f 2 = yex + xe y = fx, y) Άσκηση 6
14 5 Να προσδιορισθεί το ολικό διαφορικό 2ης τάξης της fx, y) = e xy. Άσκηση 7 df = ye xy dx + xe xy dy) 2 d 2 f = y 2 e xy dx 2 + x 2 e xy dy 2 + 2xye xy dxdy Να αποδειχθεί ότι οι σχέσεις ) x + e x/y dx + 1 x ) e x/y dy y και 3x 2 + 3y 1)dx + z 2 + 3x)dy + 2yz + 1)dz παριστάνουν ολικά διαφορικά 1ης τάξης) συναρτήσεων. Στην συνέχεια να προσδιοριστούν οι αντίστοιχες συναρτήσεις. α) ) 1 x y )e x/y + e x/y ) = e x/y x y 2 = 1 y ex/y + 1 x ) e x/y 1 y y = x y 2 ex/y Αφού οι μικτές παράγωγοι είναι ίσες τότε η παράσταση παριστάνει ολικό διαφορικό 1ης τάξης. y=ct = x + ex/y df = x + e x/y dx = ex/y + ye x/y fx, y) = x2 2 + yex/y + Ry) dry) dy xy ) 2 + dry) = e x/y x dy y ex/y = Ry) = c β) fx, y) = x2 2 + yex/y + c 3x2 + 3y 1) = 3 z z2 + 3x) = 2z 2yz + 1) = 3 3 z = 2z = =
15 6 Αφού οι μικτές παράγωγοι είναι ίσες τότε η παράασταση παριστάνει ολικό διαφορικό 1ης τάξης. = 3x2 + 3y 1 y=ct df = 3x 2 + 3y 1dx Άσκηση 8 z=ct fx, y, z) = x 3 + 3xy + x + Ry, z) R = 3x + = z2 + 3x R = z2 dr = z 2 dy R = z 2 y + P z) fx, y, z) = x 3 + 3xy + x + yz 2 + P z) z = 2zy + P z = 2zy + 1 P z) = z + c fx, y, z) = x 3 + 3xy + x + yz 2 + z + c Να υπολογισθεί προσεγγιστικά η ποσότητα 3 ln ) 1, 3 + 4, fx, y) = ln 3 x + 4 y 1) x = 1 x = 1, 3 x =.3 y = 1 y =, 98 y =.2 = x,y = x,y 1 3 x + 4 y x + 4 y 1 x 2/3 3 y 3/4 4 = 1 x,y 3 = 1 x,y 4 f = fx, y) fx, y ) fx, y) = fx, y ) + x + x,y y x,y 3 ln ) 1, 3 + 4, 98 1 = +, 1, 5 =, 5
16 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Τμήμα Φυσικής 4ο Σετ Ασκήσεων Γενικών Μαθηματικών ΙΙ Συντάκτης Βρετινάρης Γεώργιος Καθηγητής Χ.Τσάγκας 31 Μαρτίου 217 ΑΕΜ: 14638
17 2 Άσκηση 1 Εστω η συνάρτηση f = fx, y, z) = x 2 + y 2 + z 2, με x = ue v, y = ue v και z = u/v. Να προσδιορισθούν οι / u, / v και / u 2. Ομοίως και για v. Άρα προκύπτει: u = u + u u = 2ue2v + 2u + 2 u v 2 v = 2uev ) 2 2ue v ) 2 2 u2 v 3 v 2 = 4uev ) 2 + 4ue v ) u2 v 4 Άσκηση 2 Εστω η συνάρτηση f = fu, r) = u ln r, με u = x 3 3xy 2 και r = x 2 + y 2.Να προσδιοριστεί η Λαπλασιανή 2 f = / 2 ) + / 2 ), ως προς τις u και r. = ln r3x2 3y 2 ) + u x r x 2 + y 2 = 1 2 lnx2 + y 2 )3x 2 3y 2 ) + x4 3x 2 y 2 x 2 + y 2 2 = 3x3 3xy 2 x 2 + y 2 + lnx 2 + y 2 )3x + 4x3 6xy 2 x 2 + y 2 2x5 6x 3 y 2 x 2 + y 2 ) 2 = ln r 6xy) + u y r x 2 + y 2 = 1 2 lnx2 + y 2 ) 6xy) + x3 y 3xy 3 x 2 + y 2 2 = 6xy2 x 2 + y 2 3x lnx2 + y 2 ) + x3 9xy 2 x 2 + y 2 2x3 y 2 6xy 4 x 2 + y 2 ) 2 2 f = 2 f f 2 2 f = 3x2 3y 2 x 2 + y 2 x + 4x3 6xy 2 x 2 + y 2 2x5 6x 3 y 2 x 2 + y 2 ) 2 + 6xy2 x 2 + y 2 + x3 9xy 2 x 2 + y 2 2x3 y 2 6xy 4 x 2 + y 2 ) 2
18 3 2 f = 4 8x3 24xy 2 x 2 + y 2 2x5 4x 3 y 2 6xy 4 x 2 + y 2 ) 2 = 8x5 16x 3 y 2 24xy 4 x 2 + y 2 ) 2 2x5 4x 3 y 2 6xy 4 x 2 + y 2 ) 2 Άσκηση 3 2 f = 2 3x5 1x 3 y 2 15xy 4 x 2 + y 2 ) 2 Να προσδιοριστεί το ολικό διαφορικό 2ης τάξης της συνάρτησης fu, v) = u+v, όπου u = x 2 y 2 και v = e xy. [ u df = u + v ) v u dx + u + v df = 2x + ye xy )dx + 2y + xe xy )dy ) ] v dy f Άσκηση 4 d 2 f = dx + ) dy df d 2 f = 2 + y 2 e xy )dx 2 + 2e xy xy + 1))dxdy x 2 e xy )dy 2 Αν f = φ 1 x at) + φ 2 x + at), με a = σταθερό, να αποδειχθεί ότι / t 2 = a 2 / 2 ). = φ 1 at) + φ 2 + at) = at) + at) 2 = 2 φ 1 at) φ 2 + at) 2 φ 1 at) + φ 2 + at) Άσκηση 5 t = φ 1 at) + φ 2 + at) at) t + at) t 2 φ 1 t 2 = a2 2 φ 1 at) 2 + a2 2 φ 2 + at) 2 = a2 φ 1 = a at) + a φ 2 + at) ) = a 2 2 f 2 at) φ 2 + at) 2 Αν οι u = x, y) και v = vx, y) είναι ομογενείς συναρτήσεις βαθμού m και η f = fu, v) είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση, τότε x + y [ ) )] = m u + v u v
19 4 ) ) x + y = u u x + v v x + u u y + v v y u x + u ) y + v v x + v ) [ ) )] y = m u + v u v Άσκηση 6 Να γραφεί το ανάπτυγμα T aylor 2ης τάξης της συνάρτησης fx, y) = e x cos y στο σημείο,). fx, y) = fx, y )+ 1 1! [ x x ) +y y ) ] + 1 [ ] x x ) 2 2 f 2! 2 +y y ) 2 f 2 +2x x )y y ) 2 f Άσκηση 7 fx, y) = 1 + x x2 1 2 y2 Αν fx, y) = x 3 + y 3, να προσδιορισθεί η συνάρτηση fx + 1, y + 2) με χρήση του αναπτύγματος T aylor. Εστω M 1, 2).Τότε ισχύει: = 3 M = 12 M 2 = 6 M 2 = 12 M = fx, y) = 9 + 3x + 1) + 12y + 2) 3x + 1) 2 6y + 2) 2 + x + 1) 3 + y + 2) 3 Άσκηση 8 Να αναπτυχθεί η fx, y) = sinxy) κατά τις δυνάμεις των x και y. fx, y) = + 2xy 1 3 x3 y x5 y ) k xy) 2k+1 fx, y) = 1 + 2k)! k=
20 5 Άσκηση 9 Να αναπτυχθεί σε σειρά T aylor η συνάρτηση fx, y, z) = x 2 + 2xy + yz + z 2 στο σημείο Μ1,1,). = M 2 = 2 M = 2 M Από τα παραπάνω προκύπτει: = 2 M 2 = M z = M z = 1 M z 2 = 2 M z = 1 M Άσκηση 1 fx, y, z) = 1 + 2y 1) + z x 1) 2 + z 2 + 2x 1)y 1) + y 1)z Να προσδιορισθεί το ανάπτυγμα McLaurin τρίτης τάξης της συνάρτησης fx, y) = xy/5 3x). fx, y) = f, ) + x + y x2 2 f y2 2 f 2 + xy 2 f x3 3 f y x2 y 3 f xy2 3 f 3 Από τα παραπάνω προκύπτει: = = = = 3 f 2 = 2 = 6 3 f f 3 f 3 = 3 = fx, y) = xy 5 + 3x2 y 25
21 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Τμήμα Φυσικής 5ο Σετ Ασκήσεων Γενικών Μαθηματικών ΙΙ Συντάκτης Βρετινάρης Γεώργιος Καθηγητής Χ.Τσάγκας 22 Απριλίου 217 ΑΕΜ: 14638
22 Άσκηση 1 Να προσδιοριστεί η παράγωγος dy/dx όταν y = 1 + y x και y x = x y. Άσκηση 3 Για f 1 Για f 2 f 1 = y x y + 1 = f 2 = y x x y = dy dx = = yx ln y xy x 1 dy dx = yx ln y yx y 1 xy x 1 x y lnx Εστω η καμπύλη C, με παραμετρικές εξισώσεις της μορφής x = x,y = yx) και z = zx), η οποία ορίζεται από την τομή των επιφανειών x + y + z = και x 2 + y 2 + z 2 = a 2. Να προσδιοριστεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο P a 2,, a/ 2). f 1 = x + y + z = f 2 = x 2 + y 2 + z 2 a 2 = 1 = 1 1 z = 1 2 = 2y 2 z = 2z Df 1, f 2 ) = Dy, z) 1 1 2y 2z = 2z 2y P = 2a Οι συναρτήσεις f 1, f 2 όπως και οι μερικές παράγωγοι τους ώς προς y, z είναι συνεχείς. f 1 x, y, z ) = a 2 + a 2 = f 2 x, y, z ) = a a2 2 a2 = Άρα ορίζονται από το παραπάνω σύστημα οι πεπλεγμένες y = yx) και z = zx).άρα: dy dx = dz dx = Df 1,f 2 ) Dx,z) Df 1,f 2 ) Dy,z) Df 1,f 2 ) Dy,x) Df 1,f 2 ) Dy,z) 1 1 2x 2z 2a = 2a = 2 2a = y 2x 2a = 2a = 2a = 1 Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης C είναι: x x 1 = y y dy/dx = z z dz/dx x a 2 = y 2 = z + a 2 1 x a 2 = y 2 = z + a 2 1
23 Άσκηση 4 Αν x = u 2 + 3v, y = 3u + v 3 και ln z = u 2 + v 2, να υπολογιστούν οι μερικές παράγωγοι z/ και z/. Άσκηση 6 x = u 2 + 3v 1) y = 3u + v 3 2) ln z = u 2 + v 2 3) 1) 1 = 2u u v Να αποδείξετε ότι η συνθήκη fx, y) = x 3 + y 3 2x y = ορίζει μια πεπλεγμένη συνάρτηση της μορφής y = yx) σε μια περιοχή του σημείου M, 1). Στη συνέχεια, να προσδιορίσετε τη πρώτη και δεύτερη παράγωγο της y = yx) στο σημείο M. = 3y2 1 για M, 1) Τόσο η συνάρτηση όσο και η παράγωγος είναι συνεχείς, και ισχύει ότι η συνάρτηση μηδενίζεται στο σημείο M και η παράγωγος είναι διάφορη του μηδενός. Συνεπώς ορίζεται πεπλεγμένη της μορφής y = yx). Άσκηση 7 d 2 y dx 2 = dy dx = d 2 y dx 2 = d dx d 2 y dx 2 = = 3x2 2 M 2 = 3y = 1 dy dx == d dx 3x 2 ) 2 3y 2 1 6x 3y 2 1 6y 3x2 2 dy 3y 2 1) 2 dx 6x 3y y 3x2 2 3x 2 2 M 3y 2 1) 2 3y = = 3 Θεωρούμε μετασχηματισμό x = r cos θ και y = r sin θ, από πολικές r, θ) σε καρτεσιανές x, y) συντεταγμένες. Να αποδειχτεί ότι ικανοποιείται η σχέση Dx, y)/dr, θ) = 1/[Dr, θ)/dx, y)]. 2
24 Dx, y) Dr, θ = cos θ sin θ r sin θ r cos θ = r cos2 θ + r sin 2 θ = rcos 2 θ + sin 2 θ) = r Γνωρίζοντας ότι ο αντίστροφος μετασχηματισμός χρησιμοποιεί τις σχέσεις r = x 2 + y 2 και θ = tan 1 y x, προκύπτει: Dr, θ Dx, y) = x/r tan θ/x 1 + tan 2 θ y/r 1/x 1 + tan 2 θ = 1 r 1 θ 1 + tan 2 θ +tan2 r tan 2 θ = 1 r tan 2 θ + tan2 θ 1 + tan 2 θ ) = 1 r Άρα ικανοποιείται η σχέση Dx, y)/dr, θ) = 1/[Dr, θ)/dx, y)]. 3
25 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Τμήμα Φυσικής 6ο Σετ Ασκήσεων Γενικών Μαθηματικών ΙΙ Συντάκτης Βρετινάρης Γεώργιος Καθηγητής Χ.Τσάγκας 21 Ιουνίου 217 Οι απαντήσεις Κάποιες απαντήσεις αυτού του αυτού σετ δεν του ειναι σετ δεν ολοκληρωμένες είναι ολοκληρωμένες. ΑΕΜ: 14638
26 Άσκηση 1 α) Αν rt) = cos t e 1 + sin t e 2 + κ e 3, με κ= σταθερό, είναι το διάνυσμα θέσης ενός κινητού, να αποδείχθεί ότι είναι πάντοτε κάθετο στο διάνυσμα της ταχύτητας του. Άσκηση 2 u = d r dt = sin t e 1 + cos t e 2 u r = cos t sin t) + sin t cos t + κ = Να υπολογισθούν η απόκλιση και η στροφή της συνάρτησης fx, y, z) = x 3 z e 1 2x 2 yz e 2 +2yz 4 e 3 στο σημείο P 1, 1, 1). Άσκηση 3 f = z 3 2x 2 z + 8yz 3 P = = 9 Να προσδιοριστεί η παράγωγος της φx, y, z) = 4x 2 y + y 2 z στο σημείο P, 1, 2) κατά την διεύθυνση της εφαπτομένης της καμπύλης r 1 t) = 3 cos t e sin t e 2 + 4t e 3 στο σημείο rπ/2) της τελευταίας. Άσκηση 4 n = d r dt = 3 sin t) e cos t e e 3 t=π/2 = 3 e e 3 n = = 5 ˆn = n n Dˆn f = 3 5 8xy y2 P = 4 5 Να αποδειχθεί ότι η μέγιστη παράγωγος της φ = φx, y, z) λαμβάνεται κατά την διεύθυνση του διανύσματος φ και ισούται προς φ. φ = φ = φ e 1 + φ e 2 + φ z e 3 φ ) 2 + φ ) 2 φ ) 2 + z ˆ φ = φ φ 1
27 D ˆ φ φ = = φ φ φ ) 2 + φ ) 2 + φ ) 2 ) 2 + φ z ) 2 + φ z ) 2 ) 2 φ ) 2 φ ) = φ z Άσκηση 5 Να υπολογισθεί η κλίση της απόκλισης της fx, y, z) = 2e x cos y e 1 + e x sin y e 2 + e z e 3. Άσκηση 6 f = 2e x cos y + e x cos x + e z = 3e x cos y + e z f) = 3e x cos y e 1 3e x sin y e 2 + e z e 3 Να προσδιοριστεί η εξίσωση του εφαπτόμενου επιπέδου και το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα της επιφάνειας 2xz 2 3xy 4x = 1 στο σημείο P 1, 1, 1). Συνεπώς το κάθετο διάνυσμα θα είναι: fx, y, z) = 2xz 2 3xy 4x 1 = x x ) + y y ) + z z ) z x 1 3y + 1) + 4z 1) = n = e 1 3 e e 3 Λύση Άσκησης 8 e 1 e 2 e 3 E = u 1 B 2 = u 1B 2 e 3 E = u 1 B 2 e 3 B t = e 1 e 2 e u 1 B 2 B t = u 1B 2 ) e 1 u 1B 2 ) e B t = u1 B ) 2 u1 B ) 2 B 2 + u 1 e 1 B 2 + u 1 e Η άσκηση 7 είναι η ίδια με την άσκηση 3 του προηγούμενου σετ ασκήσεων. Για τις ασκήσεις 8-11 δεν θα παραθέτονται οι εκφωνήσεις για λόγους εξοικονόμησης χώρου και χρόνου. 2
28 B = B 2 2 = B t = u 1 u1 B ) 2 B 2 e 1 B 2 + u 1 e Λύση Άσκησης 9 ω B = u J ω B u J = u) B u B) = u B) = E = που ισχύει Λύση Άσκησης 1 Λύση Άσκησης 11 ω t = u ω) = u ω) ω u) + ω ) u u ) ω ω t = ω ux + u y ω t = ω u) ) ux = + u y ) ω z e 3 u = dx dt e 1 + dy dt e 2 + dz dt e 3 u = u 1 + u 2 + u 3 z dh = H t dt + H H H dx + dy + z dz dh dt = H t + H u 1 + H u 2 + H z u 3 d u = u t dh dt = H t dt + u + u )H u u dx + dy + z dz d u dt = u t + u u 1 + u u 2 + u z u 3 d u dt = u + u ) u t 3
29 u ) [ u = u ) ] u 1 ) 2 u 3 3 u ) H = [ d u dt u ] 3H 2 dt u ) H = 1 3 [ Φ u ] H 2 t u ) H = u t H2 dh dt = 1 3 ρ H2 + H t 1 u) 3 t dh dt = 1 3 ρ H2 + H t 1 3 dh dt = 1 3 ρ H2 3H) t 4
30 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Τμήμα Φυσικής 7ο Σετ Ασκήσεων Γενικών Μαθηματικών ΙΙ Συντάκτης Βρετινάρης Γεώργιος Καθηγητής Χ.Τσάγκας 27 Μαΐου 217 ΑΕΜ: 14638
31 1) fx, y) = 3axy x 3 y 3 με a = ct = = 3ay 3x2 = = 3ax 3y2 ay x 2 = ax y 2 = x = y M, ) and M 1 a, a) A = 2 f 2 = 6x stationary points B = 2 f = 3aΓ = 2 f 2 = 6y M, ) = B 2 > σαγματικό { M 1 a, a) = 9a 2 6 6a 2 = 3 9a 2 αν a < A > M 1 < αν a > A < M 1 ελάχιστο μέγιστο 2) 3) fx, y) = y 2 + 2yx 2 + 4x 3 = με πεπλεγμένη y = yx) { xy = 1 dy dx = = 2xy + 2 y + x 2 = y x 2 fx, y) x= 1/y = y y 4 y 3 = y3 3y 2 y + 1) 2 y 2) = y = 1 ή y = 2 { y = 1 x = 1 y = x 2 d 2 y dx 2 = απορριπτεται y = 2 x = 1/2 y x 2 δεκτή η M 1/2, 2) ) 2 f 2 = /2 < μέγιστο fx, y) = 1 x + 1 y με 1 x y 2 = 1 a 2 a > F x, y, g) = 1 x + 1 y + g x 2 + g y 2 g a 2 F = 1 x 2 2g x 3 = x = 2g F = 1 y 2 2g y 3 = y = 2g F g = 1 x y 2 1 a 2 = 1 4g g 2 = 1 a 2 g = ± a 2 { x = 2a και y = 2a M 1 2a, 2a) x = 2a και y = 2a M 2 2a, 2a) A = 2 f 2 = 2 x 3 + 6g x 4 B = 2 f = Γ = 2 f 2 = 2 y 3 + 6g y 4 = AΓ < σε κάθε περιπτωσή καθώς τα Α και Γ είναι πάντα ομόσημα. { M 1 A > ελάχιστο M 2 A < μέγιστο 1
32 4) Σημείωση: δεν ψαχνουμε εμβαδόν αλλά το γινομενο των πλευρων) fx, y, z) = x y z με x + y + z = 2s s = ct fx, y, z) φx, y) φx, y) = x y 2s x y) φ = y2s x y) xy = x = y φ = x2s x y) xy = φx, y) = x y 2s x y) gy) = y 2 2s 2y) g = 2y2s 2y) 2y2 = 2y2s 3y) = y = 2s 3 x = y = z = 2s 3 M 2s 3, 2s 3, 2s 3 ) A = 2 φ 2 = 4s 3 < B = 2 φ = 2s 3 Γ = 2 φ 2 = 4s 3 < = 4s2 9 16s2 9 < μέγιστο το ισόπλευρο 5) fx, y, z) = sin x sin y sin z με x + y + z = π fx, y, z) φx, y) = sin x sin y sinπ x y) = sin x sin y sinx + y) φ = cos x sin y sinx + y) + sin x sin y cosx + y) = sin2x + y) = 2x + y = π sinx + 2y) = x + 2y = π φ = sin x cos y sinx + y) + sin x sin y cosx + y) = x = y x = π/3 x+2y=π y = π/3 = z A = 2 φ 2 = ) 2 sin x sin y sinx + y) + 2 cos x sin y cosx + y) = B = 2 φ = cos x cos y sinx+y)+cos x sin y cosx+y)+sin x cos y cosx+y) sin x sin y sinx+y) Γ = 2 φ 2 = ) 2 sin x sin y sinx + y) + 2 sin x cos y cosx + y) = = < A < μέγιστο το ισόπλευρο ) =.866 2
Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης.
Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο 2016-17. Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. 1. Για καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις ελέγξτε βάσει του ορισμού της παραγωγισιμότητας αν είναι παραγωγίσιμη στο αντίστοιχο
Διαβάστε περισσότεραb proj a b είναι κάθετο στο
ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.
Διαβάστε περισσότερα< F ( σ(h(t))), σ (h(t)) > h (t)dt.
ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ IV, /6/9 Θέμα 1. Εστω : a 1, β 1 ] R μια C 1 καμπύλη. Μια C 1 καμπύλη ρ : a, β] R λέγεται αναπαραμετρικοποίηση της αν υπάρχει h : a, β] a 1, β 1 ], 1 1 επί και
Διαβάστε περισσότερα(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b)
1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Μερική Παράγωγος Μερικές Παράγωγοι Ορισμός 1: a) Εστω f(x y) : U R R μία συνάρτηση δύο μεταβλητών και (a b) ένα σημείο του U. Θεωρούμε ότι μεταβάλλεται μόνο το x ένω το y παραμένει σταθερό
Διαβάστε περισσότερα2. Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f(x, y, z) έχει f(x 0, y 0, z 0 ) (0, 0, 0) και μηδενικό στιγμιαίο
1. Έστω E το εφαπτόμενο επίπεδο στο γράφημα της f(x, y) = x 2 + 3xy στο σημείο (1, 1, 4). Σε ποιά σημεία της η επιφάνεια με καρτεσιανή εξίσωση 5x 2 + 3y 2 + z 2 = 9 έχει μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα το οποίο
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y
ΛΥΣΕΙΣ 6. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - romba. 7.5. Θεωρούμε την παραμετρικοποίηση rx, y = x, y, a 2 x 2 y 2, όπου το x, y διατρέχει τον δίσκο στο xy-επίπεδο που ορίζεται από την x 2 +y 2 a 2.
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις στο Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2
Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Λύσεις στο Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2 Για τυχόν παρατηρήσεις, απορίες ή λάθη που θα βρείτε, στείλτε μου
Διαβάστε περισσότεραds ds ds = τ b k t (3)
Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πρώτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Γνωρίζουμε ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα ( t), ορίζεται ως: t = r = d r ds (1) και επιπλέον το διάνυσμα της καμπυλότητας ( k), ορίζεται ως: d t k
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικός Λογισµός ΙΙ
Μαθηµατικός Λογισµός ΙΙ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ 2 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Ορια και Συνέχεια 1.1 Ορια Παράδειγµα 1.1. Να υπολογίσετε το x+y lim (x,y) (0,0) x y. Απάντηση: Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Έστω r rx, y, z, I a, b συνάρτηση C τάξης και r r r x y z Nα αποδείξετε ότι: d dr r (α) r r, I r r r d dr d r (β) r r, I dr (γ) Αν r 0, για κάθε I κάθε I d (δ)
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :
Διαβάστε περισσότερα2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y)
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εστω f : R R η συνάρτηση με τύπο y + x sin 1, για y 0, f(x, y) = y 0, για y = 0. (α) Να αποδειχθεί οτι lim f(x, y) = 0. (x,y) (0,0) (β) Να αποδειχθεί οτι το lim(lim f(x, y)) δεν
Διαβάστε περισσότεραcos t dt = 0. t cos t 2 dt = 1 8 f(x, y, z) = (2xyz, x 2 z, x 2 y) (2xyz) = (x2 z) (x 2 z) = (x2 y) 1 u du =
ΛΥΣΕΙΣ. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - Tromba. 1. 7.1.()(b) σ (t) (cos t sin t 1) οπότε σ (t) και σ f(x y z) ds π (c) σ (t) i + tj οπότε σ (t) 1 + 4t και σ f(x y z) ds 1 t cos 1 + 4t dt 1 8 cos
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να
Διαβάστε περισσότεραΜιχάλης Παπαδημητράκης. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις
Μιχάλης Παπαδημητράκης Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Περιεχόμενα 1 Γενικά. 1 1.1 Μερικές διαφορικές εξισώσεις............................ 1 1.2 Διαφορικοί τελεστές................................. 2 1.3
Διαβάστε περισσότερα(x(x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2,y(x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2,z(x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2) =0 x y z. div A =0
1 Pìblhma 1 α) gad = (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 = (x(x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2,y(x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2,z(x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2) β) = div = x x + y y + z z =3 cul = x y z γ) Εχουμε A = ω x ω y ω z x y z =(ω yz
Διαβάστε περισσότεραΑθ.Κεχαγιας. v. 0.95. Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων. Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας.
Σηµειωσεις : Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων v..95 Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 1 Περιεχόµενα Προλογος 1 Οριο και Συνεχεια 1 1.1 Θεωρια....................................
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017
Πανεπιστηµιο Πατρων Πολυτεχνικη Σχολη Τµηµα Μηχανικων Η/Υ & Πληροφορικης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 217 Θ1. Θεωρούµε την συνάρτηση f(x, y, z) = 1 + x 2 + 2y 2 z. (αʹ) Να ϐρεθεί
Διαβάστε περισσότερασ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.
Ασκήσεις από το Διανυσματικός Λογισμός των Marsden - romba και από το alculus του Apostol. 1. Βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και την εξίσωση της εφαπτομένης για κάθε μία από τις
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4. bt (γιατί;).
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 1 Τμήμα Α Ακ.Έτος: 6-7 Διδάσκων Σ.Ε.Π. : Τρύφων Δάρας ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4 ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Μία συνάρτηση της μορφής r ():[ aβ, ] (αντίστοιχα r ():[, ] aβ ) λέμε ότι παριστάνει
Διαβάστε περισσότεραa ) a ) = lim f( a + h u ) f( a ) = lim (2) h = 0 f( a + h u ) f( a ) hdf( a )( u ) lim = 0 lim u ) f( a + h lim = 0 u ) = 0 lim = Df( a )( u ) lim
1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Κατευθυνόμενη Παράγωγος Κατευθυνόμενη Παράγωγος: Ορισμός 1: Εστω f : U R 2 R μία πραγματική συνάρτηση δύο μεταβλητών με U ανοικτό, a = (a, b) U και u = (u, v) μία κατεύθυνση του R 2 (δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραk = j + x 3 j + i + + f 2
1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Διανυσματική Ανάλυση Κλίση-Απόκλιση-Στροβιλισμός Εστω f : D R 3 R μία βαθμωτή συνάρτηση και f : D R 3 R 3 μία διανυσματική συνάρτηση. Εισάγουμε τον διαφορικό τελεστή : = x 1 i + x 2 j + x
Διαβάστε περισσότερα0.8 Επικαµπύλια ολοκληρώµατα
0.8 Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. Έστω η καµπύλη = ( r = r( t) = ( t, t,ln t), t > 0). Να ευρεθεί το µήκος της µεταξύ των σηµείων A = (,, 0) και B = (4,4,ln ). Έχουµε r () t = (,, t ) ( t > 0). Άρα το µήκος
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα 3
Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Λύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα Διπλά Ολοκληρώματα Άσκηση (Υπολογισμός διπλού ολοκληρώματος- Αλλαγή
Διαβάστε περισσότεραΟ Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α
Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 1. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: Ι ΑΠ. 36 2. Να δείξετε ότι: i) Για κάθε x (0, + ), 2x e x + e x -1 > 0 ii) Θεωρώ την συνάρτηση f(x) = 2x e x + e x - 1 iii. Αρκεί
Διαβάστε περισσότερα(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x
ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Να βρεθούν τα όρια, αν υπάρχουν: lim i) (,) (0,0) + ii) lim (,) (0,0) + iii) 3 lim 3 (,) (0,0) 6 + lim iv) (,) (0,0) + + lim sin + sin v) (,) (0,0)
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γράφημα μιας πραγματικής συνάρτησης : ή ( )/ σύνολο: f Οι θέσεις του κινητού σημείου G ( x, y)/ y f( x), xa. f A y f x A είναι το M x, y, ώστε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2013
ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 0 ΘΕΜΑ α) Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα x Ox για την απωστική δύναµη F x, > 0 και για ενέργεια Ε. β) Υλικό σηµείο µάζας m µπορεί να κινείται
Διαβάστε περισσότερα1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων
3 1.1 Διανύσματα 1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων ΑΣΚΗΣΗ 1.1 Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα î + ĵ + ˆk και î + ĵ ˆk. z k i j y x Τα δύο διανύσματα που προκύπτουν από
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος 18/4/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος 8/4/8 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να εξετάσετε ως προς τα τοπικά ακρότατα τη συνάρτηση: f x x x (,
Διαβάστε περισσότεραHomework#13 Trigonometry Honors Study Guide for Final Test#3
Homework#13 Trigonometry Honors Study Guide for Final Test#3 1. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ο μοναδιαίος κύκλος: Να γράψετε τις συντεταγμένες του σημείου ή το όνομα του άξονα: 1. (ε 1) είναι ο άξονας 11.
Διαβάστε περισσότερα( () () ()) () () ()
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /011 1 Έστω r = r( t = ( x( t ( t z( t t I = [ a b] συνάρτηση C τάξης και r = r( t = r ( t = x ( t + ( t z ( t είναι μία διανυσματική + Nα αποδείξετε ότι: d 1 1
Διαβάστε περισσότερα( () () ()) () () ()
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /011 1 Έστω r = r( t = ( x( t, ( t, z( t, t I = [ a, b] συνάρτηση C τάξης και r = r( t = r ( t = x ( t + ( t z ( t είναι μία διανυσματική + Nα αποδείξετε ότι:
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ Ακρότατα Δρ. Ιωάννης Ε. Λιβιέρης Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. TEI Δυτικής Ελλάδας 2 Ακρότατα συνάρτησης Έστω συνάρτηση f A R 2 R και ένα σημείο P(x, y ) A. Η τιμή f(x, y )
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικές Εξισώσεις.
Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Ανάλυση ΙI
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 6: Παράγωγος κατά κατεύθυνση, κλίση, εφαπτόμενα επίπεδα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 9: Ασκήσεις. Άδειες Χρήσης
Μηχανική των Ρευστών Ενότητα 9: Ασκήσεις Βασίλειος Λουκόπουλος, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΚανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2)
8 Κανόνας της αλυσίδας Από τον Απειροστικό Λογισμό για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι: Αν g : I R R και f : J R R είναι συναρτήσεις ( όπου I, J ανοικτά διαστήματα ώστε, g( τότε η : I g I J
Διαβάστε περισσότεραϑανασησ ΚΕΧΑΓΙΑΣ Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας
Σηµειωσεις : Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων Θ. Κεχαγιας Μαρτης 2009 Περιεχόµενα 1 Επιφανειες 1 1.1 Θεωρια.................................... 1 1.2 Αλυτα Προβληµατα..............................
Διαβάστε περισσότεραEPIKAMPULIA KAI EPIFANEIAKA OLOKLHRWMATA
Kefˆlaio 9 EPIKAMPULIA KAI EPIFANEIAKA OLOKLHRWMATA Σημειώσεις Γ. Γεωργίου, ΜΑΣ 1. 9.1 EpikampÔlia oloklhr mata Ορισμός Εστω f : R R βαθμωτό πεδίο συνεχές στη 1 καμπύλη σ : [a, b] R. ολοκλήρωμα α είδους
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y.
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (/7/ 203) ΘΕΜΑ. (α) Δίνεται η συνάρτηση f : R 2 R με f(x, y) = xy x + y, αν (x, y) (0, 0) και f(0, 0) = 0. Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο (0, 0). (β) Εξετάστε αν
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών :
Διαβάστε περισσότεραΕργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες
Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε
Διαβάστε περισσότεραΔ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ
Κλίση συνάρτησης f Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ Αν σε κάθε σημείο Px, y,z ενός τμήματος Δ του χώρου μία τιμή, ορίζεται μια συνάρτηση. f x, y,z : Δ, Δ αντιστοιχίσουμε την οποία ονομάζουμε σημειακή
Διαβάστε περισσότερα1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων
Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε τις βασικές έννοιες και ορισμούς των Διαφορικών Εξισώσεων. Στο εδάφιο 1.1 παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες και ορισμοί των διαφορικών εξισώσεων
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικές εξισώσεις 302.
Διαφορικές εξισώσεις 32. Μαθηματικό Αθήνας Συλλογή ασκήσεων 1 Λύτες: Βουλγαρίδου Εύα Ορμάνογλου Στράβων Παπαμικρούλη Ελένη Παπανίκου Μυρτώ Καθηγητές: Αθανασιάδου - Μπαρμπάτης Επιμέλεια L A TEX: Βώβος Μάριος
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά ΙΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6 η : Μερική Παράγωγος ΙΙ Λουκάς Βλάχος Καθηγητής Αστροφυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 2ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Ποιες από τις επόμενες καμπύλες παριστάνουν ευθείες γραμμές; r ( ) 8,, ˆ ˆ r ˆ () i 7 j+ k r ( )
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διπλά Ολοκληρώματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Ορθογώνια Χωρία Ορισμός n f( x, y) da lim f( x, y ) = Α Α 0 k
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης
Κεφάλαιο 2 Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης και θα διατυπώσουμε χωρίς απόδειξη βασικά θεωρήματα αυτών. Το εδάφιο 2.1 ασχολείται με γραμμικές
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών :
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτημα Αʹ. Ασκησεις. Αʹ.1 Ασκήσεις Κεϕαλαίου 1: Εισαγωγή στη κβαντική ϕύση του ϕωτός.
Παράρτημα Αʹ Ασκησεις Αʹ.1 Ασκήσεις Κεϕαλαίου 1: Εισαγωγή στη κβαντική ϕύση του ϕωτός. Άσκηση 1. Συμβατικά στην περιοχή του ηλεκτρομαγνητικού ϕάσματος μακρινό υπέρυθρο (far infrared, FIR) έχουμε μήκος
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,
Διαβάστε περισσότεραΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ
ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της
Διαβάστε περισσότερα5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών
Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει
Διαβάστε περισσότερα1 3 (a2 ρ 2 ) 3/2 ] b V = [(a 2 b 2 ) 3/2 a 3 ] 3 (1) V total = 2V V total = 4π 3 (2)
Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Δεύτερο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Για την επίλυση της άσκησης και την εύρεση του ζητούμενου όγκου, αρχικά αναγνωρίζουμε ότι ο τόπος ολοκλήρωσης, είναι ο κύκλος x + y = b, ο οποίος
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικές Εξισώσεις.
Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 2015-16. Λύσεις του τρίτου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Λύστε τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις. Αν προκύψει αλγεβρική σχέση ανάμεσα στις μεταβλητές x, y η οποία δεν λύνεται
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ 0/04/018 ΕΩΣ 14/04/018 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη 1 Απριλίου 018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη ε του κύκλου
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 11 Ιανουαρίου 21 Η δεσµευµένη µέση τιµή µιας τυχαίας µεταβλητής Y σε δεδοµένο σηµείο µιας άλλης τυχαίας µεταϐλητής X = x, συµϐολιϲόµενη
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισμός. Αν τα και είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων και αντίστοιχα η συνάρτηση που ορίζεται από τη σχέση όπου (συνιστώσες) είναι
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων
Διαβάστε περισσότερα(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ (ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ) 6 Νοεμβρίου 07 Αναλυτικές συναρτήσεις Άσκηση (i) Δείξτε ότι η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική σε χωρίο D του μιγαδικού επιπέδου εάν και μόνο εάν η if(z) είναι αναλυτική
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/017 Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης dx y + x y. x Παρατηρούμε ότι η δ.ε. είναι ομογενής. Πράγματι, dx y x + 1 x y x y x + 1 (
Διαβάστε περισσότεραwebsite:
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ρευστών Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 31 Μαρτίου 2019 1 Δυνάμεις μάζας και επαφής Δυνάμεις μάζας ή δυνάμεις όγκου ονομάζονται οι δυνάμεις που είναι
Διαβάστε περισσότεραx y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. ο A. Ταυτότητες, ιδιότητες δυνάμεων, διάταξη.1 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 1. 15a x 15a y 5a x 5a y. a x a x a x a x 3 3 4 3 3 3 3. x 4xy 16 4 y
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 2015
Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 215 Άσκηση 1: (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα (ax+b)(x 2 +1) αν το a είναι ϑετικός αριθµός. (ϐ) Το µεσηµέρι, ένα σαλιγκάρι που ϐρίσκεται στο κέντρο ενός
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών f
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Έννοια συνάρτησης Παραγώγιση Ακρότατα Ασκήσεις Βασικές έννοιες Στην Οικονομία, τα περισσότερα από τα μετρούμενα μεγέθη, εξαρτώνται από άλλα μεγέθη. Π.χ η ζήτηση από την τιμή,
Διαβάστε περισσότεραΑνασκόπηση-Μάθημα 12 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών-καμπύλες-πολικές συντεταγμένες
Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Ανασκόπηση-Μάθημα 12 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών-καμπύλες-πολικές συντεταγμένες Στο δωδέκατο μάθημα (24/10/2018)
Διαβάστε περισσότεραΜέγιστα & Ελάχιστα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ
ΗΥ-111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Μέγιστα & Ελάχιστα 1 μεταβλητή: Τύπος Taylor Aν y=f(x) είναι καλή συνάρτηση f '( a) f ''( a) f ( a) f x f a x a x a x a R x 1!! n! n + 1 f ( c) n + 1 Rn ( x) = ( x a), a
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις
Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 28 Δεκεμβρίου 211 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 1 1.1 Ορισμοί.........................................
Διαβάστε περισσότεραΠραγματικοί Αριθμοί 2
Διαφορικός Λογισμός Συναρτήσεις μίας μεταβλητής Όριο και συνέχεια Συνάρτησης Παράγωγος Συνάρτησης o Ιδιότητες παραγώγων o Κανόνες παραγώγισης o Διαφορικό συνάρτησης o Συναρτήσεις με παραμετρική μορφή Βασικά
Διαβάστε περισσότεραX v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q)
Κεφάλαιο 2 Κανονικές επιφάνειες Σύνοψη Προκειμένου να ορίσουμε την έννοια της επιφάνειας στον R 3, έχουμε δύο δυνατές προσεγγίσεις. Με την πρώτη μπορούμε να ορίσουμε μια επιφάνεια ως ένα υποσύνολο του
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων.
Ανάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων. 1. Ποιά από τα παρακάτω σύνολα είναι συμπαγή; Μία κλειστή μπάλα, μία ανοικτή μπάλα, ένα ανοικτό ορθ. παραλληλεπίπεδο, ένα ευθ. τμήμα (στον R n ), μία
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός εφαπτομένης καμπύλης Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(x, f(x )) την
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα συντεταγμένων
Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Τμήμα Φαρμακευτικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις & Λυμένα Θέματα Εξετάσεων
ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τμήμα Φαρμακευτικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Λυμένες Ασκήσεις & Λυμένα Θέματα Εξετάσεων ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 014 ΘΕΜΑ 1 Δίνεται ο πίνακας: 1) Να
Διαβάστε περισσότεραΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων
Διαβάστε περισσότεραf f 2 0 B f f 0 1 B 10.3 Ακρότατα υπό συνθήκες Πολλαπλασιαστές του Lagrange
Μέγιστα και ελάχιστα 39 f f B f f yx y x xy Οι ιδιοτιμές του πίνακα Β είναι λ =-, λ =- και οι δυο αρνητικές, άρα το κρίσιμο σημείο (,) είναι σημείο τοπικού μεγίστου. Εφαρμογή 6: Στο παράδειγμα 3 ο αντίστοιχος
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις στα Ολοκληρώματα, Αόριστο Ολοκλήρωμα, Ορισμένο Ολοκλήρωμα, Πολλαπλά Ολοκηρώματα για τα Γενικά Μαθηματικά ΙΙ, Τμήματος Χημείας Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : menos@cc.uoi.gr Μαρτίου. Να υπολογιστούν
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ Παραδείγματα Στις Μερικές Παραγώγους Και τον Κανόνα Αλυσιδωτής Παραγώγισης
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ Παραδείγματα Στις Μερικές Παραγώγους Και τον Κανόνα Αλυσιδωτής Παραγώγισης Άσκηση Αν t ( ) < cos t,sin( t) > δύο τρόπους και gt () 3t 4 d gt να υπολογισθεί η παράγωγος ( ()) με Λύση 1 ος
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι
Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Εισαγωγικές έννοιες και ταξινόμηση Σ.Δ.Ε. Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΙ 1ο Φύλλο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΙ 1ο Φύλλο 1. Δίνονταιτασημεία A = ( 1,2), = (3, 1)και Γ = (5,1)στο R 2. Να ευρεθούν οι συντεταγμένες της τέταρτης κορυφής του παραλληλογράμμου AΓ μεπλευρές Aκαι AΓ. 2.Νααποδειχθείοτιταμη-μηδενικάδιανύσματα
Διαβάστε περισσότερα6. Κεφάλαιο Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Διανυσματικά Πεδία.
6. Κεφάλαιο Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Διανυσματικά Πεδία. 6.1 Διανύσματα στον χώρο. 6.1.1 Ορισμοί Οι μαθηματικές ποσότητες μπορεί να είναι βαθμωτές, όταν είναι αριθμοί οι οποίοι ανήκουν σε ένα
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Η ανάλυση προβλημάτων δύο διαστάσεων με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων περιλαμβάνει τα ίδια βήματα όπως και στα προβλήματα μιας διάστασης. Η ανάλυση γίνεται λίγο πιο πολύπλοκη
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Ανάλυση ΙI
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 7: Ακρότατα, τύπος Taylor Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών
Διαβάστε περισσότεραΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6. Συντηρητικες Δυναμεις {Ανεξαρτησία του Εργου από τη Διαδρομή, Εννοια του Δυναμικού, Δυναμικό και Πεδίο Συντηρητικών Δυνάμεων}
Κεφάλαιο 6 ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Εννοια του Εργου { Εργο και Κινητική Ενέργεια, Εργο Μεταβλητής Δύναμης, Ισχύς} Συντηρητικες Δυναμεις {Ανεξαρτησία του Εργου από τη Διαδρομή, Εννοια του Δυναμικού, Δυναμικό
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 5/9/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να δειχθεί ότι το πεδίο F( x, y) = y cos x + y,sin x
Διαβάστε περισσότεραk ) 2 P = a2 x 2 P = 2a 2 x y 2 Q = b2 y 2 Q = 2b 2 y z 2 R = c2 z 2 R = 2c 2 z P x = 2a 2 Q y = 2b 2 R z = 2c 2 3 (a2 +b 2 +c 2 ) I = 64π
Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πέμπτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Το θεώρημα Gauss γενικά διατυπώνεται ως: F dv = ( F η)dσ (1) V Για την άσκηση όπου μας δίνεται η σφαίρα x + y + z 4 = Φ, το κάθετο διάνυσμα η,
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότεραΑριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Λογισμός 4. Ασκήσεις. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ.
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Λογισμός 4 Ασκήσεις Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 23 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 10 Ιουνίου 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις)
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα Ιουνίου 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α Αα) Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ 5 Έστω Α ένα υποσύνολο
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η ανασκόπηση βασικών μαθηματικών εργαλείων που αφορούν τη μελέτη διανυσματικών συναρτήσεων [π.χ. E(, t) ]. Τα εργαλεία αυτά είναι
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις
Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική
Διαβάστε περισσότεραΚλασικη ιαφορικη Γεωµετρια
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Πρώτη Εργασία, 2018-19 1 Προαπαιτούµενες γνώσεις και ϐασική προετοιµασία
Διαβάστε περισσότερα