Author : Πιθανώς έχει κάποιο λάθος Supervisor : Πιθανώς έχει καποιο λάθος.

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Τμήμα Φυσικής 1ο Σετ Ασκήσεων Γενικών Μαθηματικών ΙΙ Author : Βρετινάρης Γεώργιος Πιθανώς έχει κάποιο λάθος Supervisor : Χ.Τσάγκας 19 Φεβρουαρίου 217 ΑΕΜ: Πιθανώς έχει καποιο λάθος.

2 2 Άσκηση. Να προσδιοριστούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων fx, y) = x 2 y 2 + x 2 + y 2 1 fx, y) = arccosxy) fx, y) = lnx 2 + y) fx, y) = arcsinx) + xy fx, y) = lna x 2 + y 2 ) + x 2 + y 2 b) όπου οι a, b είναι πραγματικές σταθερές fx, y, z) = x 2 + y 2 z + lnx 2 + y 2 + z 2 ) fx, y, z) = lnxyz) 1. fx, y) = x 2 y 2 + x 2 + y 2 1 x 2 y 2 y 2 x 2 x 2 + y 2 1 x 2 + y 2 1 D = { x, y) R 2 : y 2 x 2, x 2 + y 2 1 } 2. fx, y) = arccosxy) xy 1 D = { x, y) R 2 : xy 1 } 3. fx, y) = lnx 2 + y) x 2 + y > y > x 2 D = { x, y) R 2 : y > x 2}

3 fx, y) = arcsinx) + xy x 1 & xy D = { x, y) R 2 : xy & x 1 } fx, y) = lna x 2 + y 2 ) + x 2 + y 2 b) a x 2 + y 2 y 2 x 2 a D = { x, y) R 2 : y 2 > x 2 a } fx, y, z) = x 2 + y 2 z + lnx 2 + y 2 + z 2 ) x 2 + y 2 z x 2 + y 2 z D = { x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 z } fx, y, z) = lnxyz) xyz > D = { x, y, z) R 3 : xyz > }

4 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Τμήμα Φυσικής 2ο Σετ Ασκήσεων Γενικών Μαθηματικών ΙΙ Συντάκτης Βρετινάρης Γεώργιος Καθηγητής Χ.Τσάγκας 13 Μαρτίου 217 ΑΕΜ: 14638

5 2 Άσκηση 1 Να προσδιοριστούν τα όρια στο σημείο,). 1. Με διαδοχικά όρια προκύπτει: Άρα το όριο. fx, y) = x4 + 3x 2 y 2 + 2xy 3 x 2 + y 2 ) 2 x y y y 4 = x 4 x x 4 = Με διαδοχικά όρια προκύπτει: x fx, y) = 2x5 + 4x 2 y 3 2y 5 x 2 + y 2 ) 2 y Με μετατροπή σε πολικές προκύπτει: 2y 5 y y 4 2x 5 x x 4 2r 5 cos 5 θ + 4r 5 cos 2 θ sin 3 θ 2r 5 sin 5 θ r r 4 Με μετατροπή σε πολικές προκύπτει: Μελετάω ξεχωριστά τα όρια μετατροπή σε πολικές γίνεται: fx, y) = r 3 cos 3 θ r r 2 = y 2y = = y 2x = = r r2 cos 5 θ+4 cos 2 θ sin 3 θ 2 sin 5 θ) = x 3 x 2 + y 2 ) = r r cos 3 θ = fx, y) = x sinxy) x 2 + y 2 x sinxy) x 2 + y 2 = x2 y sinxy) x 2 + y 2 xy x,y),) r 3 cos 2 θ sin θ r r 2 Το δεύτερο θέτοντας xy = z προκύπτει: Άρα συνολικά: x 2 y x 2 και + y2 x,y),) sin z z z = r r cos 2 θ sin θ = = 1 x,y),) fx, y) = 1 = sinxy), όπου το πρώτο με xy

6 Με διαδοχικά όρια προκύπτει: fx, y) = x x 4 y 4 x 4 + y 2 ) 3 y y 6 = y x x 12 = Ακολουθώντας την διαδρομή y = x 2 προκύπτει: Άρα το όριο. x x 4 x 8 x 4 + x 4 ) 3 = x x 12 8x 12 = 1 8 ) 1 fx, y) = x 2 + y 2 ) sin xy Αντικαθιστώντας το sin1/xy) με το ανάπτυγμά πρώτης τάξης του προκύπτει: ) 1 x 2 + y 2 ) sin = x2 + y 2 xy xy Άρα το όριο. y = mx x 2 m 2 + 1) x mx 2 = 1 + m2 m 7. x 2 y 2 ) fx, y) = xy x 2 + y 2 Με μετατροπή σε πολικές προκύπτει: Άσκηση 2 r r2 cos θ sin θ r2 cos 2 θ r 2 sin 2 θ r 2 Να αποδειχθεί ότι το όριο της συνάρτησης fx, y) = x2 y 2 x 2 + y 2 = r = r 2 cos 2 θ sin 2 θ) sin θ cos θ = με πεδίο ορισμού το D = { x, y) R 2 : y < x 2}, στο σημείο,) είναι μονάδα. fx, y) 1 = x 2 y 2 x 2 + y 2 x2 + y 2 x 2 + y 2 = 2y 2 x 2 + y 2 2y 2 x 2 + y 2 = 2y2 x 2 + y 2 < x4 x 2 + y 2 x2 + y 2 ) 2 x 2 + y 2 = x 2 + y 2 < δ 2 fx, y) 1 < δ 2 = ɛ

7 4 Άσκηση 3 Να αποδειχθεί ότι το όριο της συνάρτησης στο, ) είναι το μηδέν. fx, y) = Με μετατροπή σε πολικές προκύπτει r. Άρα: x + y x 2 + y 2 Άσκηση 4 r cos θ + r sin θ r r 2 = r cos θ + sin θ r = Να προσδιοριστεί το όριο της συνάρτησης στο σημείο,2). fx, y) = sinxy) x sinxy) y sinxy) = = 2 1 = 2 x,y),2) x x,y),2) xy Άσκηση 5 Να προσδιοριστεί το όριο της συνάρτησης όταν x + και y k. fx, y) = ln 1 + y ) x x Αρχικά θέτω x = 1/z με z +. fx, y) = ln 1 + y ) x fz, y) = ln1 + zy) 1/x = e ln1+zy) z x Μελετάω μόνο το ln1+zy) z Θέτω zy = a όπου a.άρα: ln1 + zy) ln1 + zy) = y z,y) +,k) z z,y) +,k) zy ln1 + a) ln1 + a) y = y = k a,y),k) a y k a a a Συνεπώς το όριο για k ισούται με: fx, y) = e k 1 1+a 1 = k

8 5 Άσκηση 6 Να προσδιοριστούν τα επαναλαμβανόμενα όρια και το όριο αν υπάρχει) των συναρτήσεων, στο σημείο,) Άρα το όριο. Άρα το όριο. x y fx, y) = x2 y 2 + x 3 + y 3 x 2 + y 2 y 3 y 2 y y 2 x 3 + x 2 x x 2 fx, y) = x y y = x = y y 1 = 1 = x x + 1 = 1 x 2 y 2 x 2 y 2 + x y) 2 y y 2 = x x 2 = x 4 x x 4 = 1 3. Άρα το όριο. x y fx, y) = sin x + 2 sin y 2 tan x + tan y 2 sin y y tan y = 2 cos y = 2 y x sin x 2 tan x = x cos x 2 = ) ) 1 1 fx, y) = x + y) sin sin x y ) 1 x yk sin = y y ) 1 y x sin l = x x Οπου k, l [ 1, 1]. Αντικαθιστώντας τα ημίτονα με τα αναπτύγματά πρώτης τάξης τους προκύπτει: ) ) 1 1 x + y) sin sin = x + y x y xy Άρα το όριο. y = x 2 = + x + x x 2x x x 2 = 2 x x 2 x =

9 6 Άσκηση 8 Να εξεταστεί η συνέχεια της συνάρτησης x 2 y fx, y) = x 4 + y 2 ανx, y), ) ανx, y) =, ) y = mx 2 mx 4 x x m 2 ) = m 1 + m 2 Άρα το όριο,συνεπώς και η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο,). Άσκηση 9 Να εξεταστεί η συνέχεια της συνάρτησης xy x2 y 2 fx, y) = x 2 + y 2 ανx 2 + y 2 > ανx 2 + y 2 = fx, y) = xy x2 y 2 x 2 + y 2 = x y x2 y 2 x 2 + y 2 x2 + y 2 ) x2 y 2 x 2 + y 2 = x2 y 2 fx, y) x 2 y 2 Άρα η συνάρτηση είναι συνεχής. fx, y) x,y),) x,y),) x2 y 2 fx, y) = x,y),) fx, y) x,y),)

11 2 Άσκηση 1 Να υπολογιστούν οι μερικές παράγωγοι των συναρτήσεων fx, y) = 1 + xy) y = y1 + xy)y 1 y = y xy) y 1 = ey ln1+xy) ) = e y ln1+xy) 1 [ln1 + xy) + y 1 + xy x] = ey ln1+xy) [ln1 + xy) + xy 1 + xy ] fx, y) = x xy = xxy ln xx y ln x = x xy +y ln 2 x = exy ln x ) = e xy ln x [yx y 1 ln x + x y 1 x ] = exy ln x x y 1 y ln x + 1) fx, y) = arctan = 1 x+y ) x y ) x + y x y x y x + y)) x y) 2 x y)2 = 2x 2 + y 2 ) 2x x y) 2 = x x 2 + y 2 = 1 x+y ) x y x y x + y) x y) 2 x y)2 = 2x 2 + y 2 ) 2y x y) 2 = y x 2 + y 2 [ )] x fx, y) = ln tan y = 1 tan 2 x y sec 2 x y 1 y = sec x y y sin x y = 1 tan 2 x y sec 2 x y x y 2 = x sec x y y 2 sin x y 5. fx, y, z, v) = xyz + yzv + zvx + vxy = yz + zv + vy = xy + yv + vx = xz + zv + vx = yz + zx + xy

12 3 Άσκηση 2 Αν η ολική πυκνότητα, ρ = ρt, x, y, z), ενός κινούμενου ρευστού παραμένει σταθερή, να προσδιοριστεί η μεταβολή της ως προς τον χρόνο. Άσκηση 3 ήdρ = ρ t dt + ρ ρ t = ρ ρ dx + dy + z dz = dρ dt = = ρ t + ρ u x + ρ u y + ρ z u z ρ t = ρ u x ρ u y ρ z u z Να προσδιορισθεί το ολικό διαφορικό 1ης τάξης της fx, y) = x y. Άσκηση 4 yxy 1 = xy ln x df = yx y 1 dx + x y ln xdy Δίνονται οι συναρτήσεις fx, y, z) = z/x) lny/z) και fx, y, z) = lnx 3 + y 3 + z 3 3xyz). Να αποδειχθεί ότι ικανοποιούν τις σχέσεις αντίστοιχα. x + y + z z = και + + z = 3 x + y + z α) fx, y, z) = z/x) lny/z) = z ) y x 2 ln z = z 1 x y y z y z z = 1 x ln x + y + z z = z x ln ) 1 x ) + z x + z ) y x ln z z x =

13 4 β) fx, y, z) = lnx 3 + y 3 + z 3 3xyz) = 1 x 3 + y 3 + z 3 3xyz 3x2 3yz) = 1 x 3 + y 3 + z 3 3xyz 3y2 3xz) z = 1 x 3 + y 3 + z 3 3xyz 3z2 3xy) + + z = 1 x + y + z 1 x 3 + y 3 + z 3 3xyz 3x2 + 3y 2 + 3z 2 3xy 3xz 3yz) x + y + z x + y + z = = 3x3 + y 3 + z 3 3xyz) x 3 + y 3 + z 3 3xyz 1 x + y + z = 3 x + y + z Άσκηση 5 Δίνονται οι συναρτήσεις fx, y) = sinxy) + cosxy) και fx, y) = xe y + ye x. Να αποδειχθεί ότι ικανοποιούν τις σχέσεις f 2 = x2 + y 2 )fx, y) και f = fx, y) 2 αντίστοιχα. α) β) = y cosxy) y sinxy) = x cosxy) x sinxy) fx, y) = sinxy) + cosxy) 2 f 2 = y2 sinxy) y 2 cosxy) 2 f 2 = x2 sinxy) x 2 cosxy) f 2 = sinxy)x2 + y 2 ) cosxy)x 2 + y 2 ) = x 2 + y 2 )fx, y) fx, y) = xe y + ye x = ey ye x = xey e x 2 = yex 2 = xey f 2 = yex + xe y = fx, y) Άσκηση 6

14 5 Να προσδιορισθεί το ολικό διαφορικό 2ης τάξης της fx, y) = e xy. Άσκηση 7 df = ye xy dx + xe xy dy) 2 d 2 f = y 2 e xy dx 2 + x 2 e xy dy 2 + 2xye xy dxdy Να αποδειχθεί ότι οι σχέσεις ) x + e x/y dx + 1 x ) e x/y dy y και 3x 2 + 3y 1)dx + z 2 + 3x)dy + 2yz + 1)dz παριστάνουν ολικά διαφορικά 1ης τάξης) συναρτήσεων. Στην συνέχεια να προσδιοριστούν οι αντίστοιχες συναρτήσεις. α) ) 1 x y )e x/y + e x/y ) = e x/y x y 2 = 1 y ex/y + 1 x ) e x/y 1 y y = x y 2 ex/y Αφού οι μικτές παράγωγοι είναι ίσες τότε η παράσταση παριστάνει ολικό διαφορικό 1ης τάξης. y=ct = x + ex/y df = x + e x/y dx = ex/y + ye x/y fx, y) = x2 2 + yex/y + Ry) dry) dy xy ) 2 + dry) = e x/y x dy y ex/y = Ry) = c β) fx, y) = x2 2 + yex/y + c 3x2 + 3y 1) = 3 z z2 + 3x) = 2z 2yz + 1) = 3 3 z = 2z = =

15 6 Αφού οι μικτές παράγωγοι είναι ίσες τότε η παράασταση παριστάνει ολικό διαφορικό 1ης τάξης. = 3x2 + 3y 1 y=ct df = 3x 2 + 3y 1dx Άσκηση 8 z=ct fx, y, z) = x 3 + 3xy + x + Ry, z) R = 3x + = z2 + 3x R = z2 dr = z 2 dy R = z 2 y + P z) fx, y, z) = x 3 + 3xy + x + yz 2 + P z) z = 2zy + P z = 2zy + 1 P z) = z + c fx, y, z) = x 3 + 3xy + x + yz 2 + z + c Να υπολογισθεί προσεγγιστικά η ποσότητα 3 ln ) 1, 3 + 4, fx, y) = ln 3 x + 4 y 1) x = 1 x = 1, 3 x =.3 y = 1 y =, 98 y =.2 = x,y = x,y 1 3 x + 4 y x + 4 y 1 x 2/3 3 y 3/4 4 = 1 x,y 3 = 1 x,y 4 f = fx, y) fx, y ) fx, y) = fx, y ) + x + x,y y x,y 3 ln ) 1, 3 + 4, 98 1 = +, 1, 5 =, 5

17 2 Άσκηση 1 Εστω η συνάρτηση f = fx, y, z) = x 2 + y 2 + z 2, με x = ue v, y = ue v και z = u/v. Να προσδιορισθούν οι / u, / v και / u 2. Ομοίως και για v. Άρα προκύπτει: u = u + u u = 2ue2v + 2u + 2 u v 2 v = 2uev ) 2 2ue v ) 2 2 u2 v 3 v 2 = 4uev ) 2 + 4ue v ) u2 v 4 Άσκηση 2 Εστω η συνάρτηση f = fu, r) = u ln r, με u = x 3 3xy 2 και r = x 2 + y 2.Να προσδιοριστεί η Λαπλασιανή 2 f = / 2 ) + / 2 ), ως προς τις u και r. = ln r3x2 3y 2 ) + u x r x 2 + y 2 = 1 2 lnx2 + y 2 )3x 2 3y 2 ) + x4 3x 2 y 2 x 2 + y 2 2 = 3x3 3xy 2 x 2 + y 2 + lnx 2 + y 2 )3x + 4x3 6xy 2 x 2 + y 2 2x5 6x 3 y 2 x 2 + y 2 ) 2 = ln r 6xy) + u y r x 2 + y 2 = 1 2 lnx2 + y 2 ) 6xy) + x3 y 3xy 3 x 2 + y 2 2 = 6xy2 x 2 + y 2 3x lnx2 + y 2 ) + x3 9xy 2 x 2 + y 2 2x3 y 2 6xy 4 x 2 + y 2 ) 2 2 f = 2 f f 2 2 f = 3x2 3y 2 x 2 + y 2 x + 4x3 6xy 2 x 2 + y 2 2x5 6x 3 y 2 x 2 + y 2 ) 2 + 6xy2 x 2 + y 2 + x3 9xy 2 x 2 + y 2 2x3 y 2 6xy 4 x 2 + y 2 ) 2

18 3 2 f = 4 8x3 24xy 2 x 2 + y 2 2x5 4x 3 y 2 6xy 4 x 2 + y 2 ) 2 = 8x5 16x 3 y 2 24xy 4 x 2 + y 2 ) 2 2x5 4x 3 y 2 6xy 4 x 2 + y 2 ) 2 Άσκηση 3 2 f = 2 3x5 1x 3 y 2 15xy 4 x 2 + y 2 ) 2 Να προσδιοριστεί το ολικό διαφορικό 2ης τάξης της συνάρτησης fu, v) = u+v, όπου u = x 2 y 2 και v = e xy. [ u df = u + v ) v u dx + u + v df = 2x + ye xy )dx + 2y + xe xy )dy ) ] v dy f Άσκηση 4 d 2 f = dx + ) dy df d 2 f = 2 + y 2 e xy )dx 2 + 2e xy xy + 1))dxdy x 2 e xy )dy 2 Αν f = φ 1 x at) + φ 2 x + at), με a = σταθερό, να αποδειχθεί ότι / t 2 = a 2 / 2 ). = φ 1 at) + φ 2 + at) = at) + at) 2 = 2 φ 1 at) φ 2 + at) 2 φ 1 at) + φ 2 + at) Άσκηση 5 t = φ 1 at) + φ 2 + at) at) t + at) t 2 φ 1 t 2 = a2 2 φ 1 at) 2 + a2 2 φ 2 + at) 2 = a2 φ 1 = a at) + a φ 2 + at) ) = a 2 2 f 2 at) φ 2 + at) 2 Αν οι u = x, y) και v = vx, y) είναι ομογενείς συναρτήσεις βαθμού m και η f = fu, v) είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση, τότε x + y [ ) )] = m u + v u v

19 4 ) ) x + y = u u x + v v x + u u y + v v y u x + u ) y + v v x + v ) [ ) )] y = m u + v u v Άσκηση 6 Να γραφεί το ανάπτυγμα T aylor 2ης τάξης της συνάρτησης fx, y) = e x cos y στο σημείο,). fx, y) = fx, y )+ 1 1! [ x x ) +y y ) ] + 1 [ ] x x ) 2 2 f 2! 2 +y y ) 2 f 2 +2x x )y y ) 2 f Άσκηση 7 fx, y) = 1 + x x2 1 2 y2 Αν fx, y) = x 3 + y 3, να προσδιορισθεί η συνάρτηση fx + 1, y + 2) με χρήση του αναπτύγματος T aylor. Εστω M 1, 2).Τότε ισχύει: = 3 M = 12 M 2 = 6 M 2 = 12 M = fx, y) = 9 + 3x + 1) + 12y + 2) 3x + 1) 2 6y + 2) 2 + x + 1) 3 + y + 2) 3 Άσκηση 8 Να αναπτυχθεί η fx, y) = sinxy) κατά τις δυνάμεις των x και y. fx, y) = + 2xy 1 3 x3 y x5 y ) k xy) 2k+1 fx, y) = 1 + 2k)! k=

20 5 Άσκηση 9 Να αναπτυχθεί σε σειρά T aylor η συνάρτηση fx, y, z) = x 2 + 2xy + yz + z 2 στο σημείο Μ1,1,). = M 2 = 2 M = 2 M Από τα παραπάνω προκύπτει: = 2 M 2 = M z = M z = 1 M z 2 = 2 M z = 1 M Άσκηση 1 fx, y, z) = 1 + 2y 1) + z x 1) 2 + z 2 + 2x 1)y 1) + y 1)z Να προσδιορισθεί το ανάπτυγμα McLaurin τρίτης τάξης της συνάρτησης fx, y) = xy/5 3x). fx, y) = f, ) + x + y x2 2 f y2 2 f 2 + xy 2 f x3 3 f y x2 y 3 f xy2 3 f 3 Από τα παραπάνω προκύπτει: = = = = 3 f 2 = 2 = 6 3 f f 3 f 3 = 3 = fx, y) = xy 5 + 3x2 y 25

21 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Τμήμα Φυσικής 5ο Σετ Ασκήσεων Γενικών Μαθηματικών ΙΙ Συντάκτης Βρετινάρης Γεώργιος Καθηγητής Χ.Τσάγκας 22 Απριλίου 217 ΑΕΜ: 14638

22 Άσκηση 1 Να προσδιοριστεί η παράγωγος dy/dx όταν y = 1 + y x και y x = x y. Άσκηση 3 Για f 1 Για f 2 f 1 = y x y + 1 = f 2 = y x x y = dy dx = = yx ln y xy x 1 dy dx = yx ln y yx y 1 xy x 1 x y lnx Εστω η καμπύλη C, με παραμετρικές εξισώσεις της μορφής x = x,y = yx) και z = zx), η οποία ορίζεται από την τομή των επιφανειών x + y + z = και x 2 + y 2 + z 2 = a 2. Να προσδιοριστεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο P a 2,, a/ 2). f 1 = x + y + z = f 2 = x 2 + y 2 + z 2 a 2 = 1 = 1 1 z = 1 2 = 2y 2 z = 2z Df 1, f 2 ) = Dy, z) 1 1 2y 2z = 2z 2y P = 2a Οι συναρτήσεις f 1, f 2 όπως και οι μερικές παράγωγοι τους ώς προς y, z είναι συνεχείς. f 1 x, y, z ) = a 2 + a 2 = f 2 x, y, z ) = a a2 2 a2 = Άρα ορίζονται από το παραπάνω σύστημα οι πεπλεγμένες y = yx) και z = zx).άρα: dy dx = dz dx = Df 1,f 2 ) Dx,z) Df 1,f 2 ) Dy,z) Df 1,f 2 ) Dy,x) Df 1,f 2 ) Dy,z) 1 1 2x 2z 2a = 2a = 2 2a = y 2x 2a = 2a = 2a = 1 Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης C είναι: x x 1 = y y dy/dx = z z dz/dx x a 2 = y 2 = z + a 2 1 x a 2 = y 2 = z + a 2 1

23 Άσκηση 4 Αν x = u 2 + 3v, y = 3u + v 3 και ln z = u 2 + v 2, να υπολογιστούν οι μερικές παράγωγοι z/ και z/. Άσκηση 6 x = u 2 + 3v 1) y = 3u + v 3 2) ln z = u 2 + v 2 3) 1) 1 = 2u u v Να αποδείξετε ότι η συνθήκη fx, y) = x 3 + y 3 2x y = ορίζει μια πεπλεγμένη συνάρτηση της μορφής y = yx) σε μια περιοχή του σημείου M, 1). Στη συνέχεια, να προσδιορίσετε τη πρώτη και δεύτερη παράγωγο της y = yx) στο σημείο M. = 3y2 1 για M, 1) Τόσο η συνάρτηση όσο και η παράγωγος είναι συνεχείς, και ισχύει ότι η συνάρτηση μηδενίζεται στο σημείο M και η παράγωγος είναι διάφορη του μηδενός. Συνεπώς ορίζεται πεπλεγμένη της μορφής y = yx). Άσκηση 7 d 2 y dx 2 = dy dx = d 2 y dx 2 = d dx d 2 y dx 2 = = 3x2 2 M 2 = 3y = 1 dy dx == d dx 3x 2 ) 2 3y 2 1 6x 3y 2 1 6y 3x2 2 dy 3y 2 1) 2 dx 6x 3y y 3x2 2 3x 2 2 M 3y 2 1) 2 3y = = 3 Θεωρούμε μετασχηματισμό x = r cos θ και y = r sin θ, από πολικές r, θ) σε καρτεσιανές x, y) συντεταγμένες. Να αποδειχτεί ότι ικανοποιείται η σχέση Dx, y)/dr, θ) = 1/[Dr, θ)/dx, y)]. 2

24 Dx, y) Dr, θ = cos θ sin θ r sin θ r cos θ = r cos2 θ + r sin 2 θ = rcos 2 θ + sin 2 θ) = r Γνωρίζοντας ότι ο αντίστροφος μετασχηματισμός χρησιμοποιεί τις σχέσεις r = x 2 + y 2 και θ = tan 1 y x, προκύπτει: Dr, θ Dx, y) = x/r tan θ/x 1 + tan 2 θ y/r 1/x 1 + tan 2 θ = 1 r 1 θ 1 + tan 2 θ +tan2 r tan 2 θ = 1 r tan 2 θ + tan2 θ 1 + tan 2 θ ) = 1 r Άρα ικανοποιείται η σχέση Dx, y)/dr, θ) = 1/[Dr, θ)/dx, y)]. 3

25 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Τμήμα Φυσικής 6ο Σετ Ασκήσεων Γενικών Μαθηματικών ΙΙ Συντάκτης Βρετινάρης Γεώργιος Καθηγητής Χ.Τσάγκας 21 Ιουνίου 217 Οι απαντήσεις Κάποιες απαντήσεις αυτού του αυτού σετ δεν του ειναι σετ δεν ολοκληρωμένες είναι ολοκληρωμένες. ΑΕΜ: 14638

26 Άσκηση 1 α) Αν rt) = cos t e 1 + sin t e 2 + κ e 3, με κ= σταθερό, είναι το διάνυσμα θέσης ενός κινητού, να αποδείχθεί ότι είναι πάντοτε κάθετο στο διάνυσμα της ταχύτητας του. Άσκηση 2 u = d r dt = sin t e 1 + cos t e 2 u r = cos t sin t) + sin t cos t + κ = Να υπολογισθούν η απόκλιση και η στροφή της συνάρτησης fx, y, z) = x 3 z e 1 2x 2 yz e 2 +2yz 4 e 3 στο σημείο P 1, 1, 1). Άσκηση 3 f = z 3 2x 2 z + 8yz 3 P = = 9 Να προσδιοριστεί η παράγωγος της φx, y, z) = 4x 2 y + y 2 z στο σημείο P, 1, 2) κατά την διεύθυνση της εφαπτομένης της καμπύλης r 1 t) = 3 cos t e sin t e 2 + 4t e 3 στο σημείο rπ/2) της τελευταίας. Άσκηση 4 n = d r dt = 3 sin t) e cos t e e 3 t=π/2 = 3 e e 3 n = = 5 ˆn = n n Dˆn f = 3 5 8xy y2 P = 4 5 Να αποδειχθεί ότι η μέγιστη παράγωγος της φ = φx, y, z) λαμβάνεται κατά την διεύθυνση του διανύσματος φ και ισούται προς φ. φ = φ = φ e 1 + φ e 2 + φ z e 3 φ ) 2 + φ ) 2 φ ) 2 + z ˆ φ = φ φ 1

27 D ˆ φ φ = = φ φ φ ) 2 + φ ) 2 + φ ) 2 ) 2 + φ z ) 2 + φ z ) 2 ) 2 φ ) 2 φ ) = φ z Άσκηση 5 Να υπολογισθεί η κλίση της απόκλισης της fx, y, z) = 2e x cos y e 1 + e x sin y e 2 + e z e 3. Άσκηση 6 f = 2e x cos y + e x cos x + e z = 3e x cos y + e z f) = 3e x cos y e 1 3e x sin y e 2 + e z e 3 Να προσδιοριστεί η εξίσωση του εφαπτόμενου επιπέδου και το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα της επιφάνειας 2xz 2 3xy 4x = 1 στο σημείο P 1, 1, 1). Συνεπώς το κάθετο διάνυσμα θα είναι: fx, y, z) = 2xz 2 3xy 4x 1 = x x ) + y y ) + z z ) z x 1 3y + 1) + 4z 1) = n = e 1 3 e e 3 Λύση Άσκησης 8 e 1 e 2 e 3 E = u 1 B 2 = u 1B 2 e 3 E = u 1 B 2 e 3 B t = e 1 e 2 e u 1 B 2 B t = u 1B 2 ) e 1 u 1B 2 ) e B t = u1 B ) 2 u1 B ) 2 B 2 + u 1 e 1 B 2 + u 1 e Η άσκηση 7 είναι η ίδια με την άσκηση 3 του προηγούμενου σετ ασκήσεων. Για τις ασκήσεις 8-11 δεν θα παραθέτονται οι εκφωνήσεις για λόγους εξοικονόμησης χώρου και χρόνου. 2

28 B = B 2 2 = B t = u 1 u1 B ) 2 B 2 e 1 B 2 + u 1 e Λύση Άσκησης 9 ω B = u J ω B u J = u) B u B) = u B) = E = που ισχύει Λύση Άσκησης 1 Λύση Άσκησης 11 ω t = u ω) = u ω) ω u) + ω ) u u ) ω ω t = ω ux + u y ω t = ω u) ) ux = + u y ) ω z e 3 u = dx dt e 1 + dy dt e 2 + dz dt e 3 u = u 1 + u 2 + u 3 z dh = H t dt + H H H dx + dy + z dz dh dt = H t + H u 1 + H u 2 + H z u 3 d u = u t dh dt = H t dt + u + u )H u u dx + dy + z dz d u dt = u t + u u 1 + u u 2 + u z u 3 d u dt = u + u ) u t 3

29 u ) [ u = u ) ] u 1 ) 2 u 3 3 u ) H = [ d u dt u ] 3H 2 dt u ) H = 1 3 [ Φ u ] H 2 t u ) H = u t H2 dh dt = 1 3 ρ H2 + H t 1 u) 3 t dh dt = 1 3 ρ H2 + H t 1 3 dh dt = 1 3 ρ H2 3H) t 4

30 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Τμήμα Φυσικής 7ο Σετ Ασκήσεων Γενικών Μαθηματικών ΙΙ Συντάκτης Βρετινάρης Γεώργιος Καθηγητής Χ.Τσάγκας 27 Μαΐου 217 ΑΕΜ: 14638

31 1) fx, y) = 3axy x 3 y 3 με a = ct = = 3ay 3x2 = = 3ax 3y2 ay x 2 = ax y 2 = x = y M, ) and M 1 a, a) A = 2 f 2 = 6x stationary points B = 2 f = 3aΓ = 2 f 2 = 6y M, ) = B 2 > σαγματικό { M 1 a, a) = 9a 2 6 6a 2 = 3 9a 2 αν a < A > M 1 < αν a > A < M 1 ελάχιστο μέγιστο 2) 3) fx, y) = y 2 + 2yx 2 + 4x 3 = με πεπλεγμένη y = yx) { xy = 1 dy dx = = 2xy + 2 y + x 2 = y x 2 fx, y) x= 1/y = y y 4 y 3 = y3 3y 2 y + 1) 2 y 2) = y = 1 ή y = 2 { y = 1 x = 1 y = x 2 d 2 y dx 2 = απορριπτεται y = 2 x = 1/2 y x 2 δεκτή η M 1/2, 2) ) 2 f 2 = /2 < μέγιστο fx, y) = 1 x + 1 y με 1 x y 2 = 1 a 2 a > F x, y, g) = 1 x + 1 y + g x 2 + g y 2 g a 2 F = 1 x 2 2g x 3 = x = 2g F = 1 y 2 2g y 3 = y = 2g F g = 1 x y 2 1 a 2 = 1 4g g 2 = 1 a 2 g = ± a 2 { x = 2a και y = 2a M 1 2a, 2a) x = 2a και y = 2a M 2 2a, 2a) A = 2 f 2 = 2 x 3 + 6g x 4 B = 2 f = Γ = 2 f 2 = 2 y 3 + 6g y 4 = AΓ < σε κάθε περιπτωσή καθώς τα Α και Γ είναι πάντα ομόσημα. { M 1 A > ελάχιστο M 2 A < μέγιστο 1

32 4) Σημείωση: δεν ψαχνουμε εμβαδόν αλλά το γινομενο των πλευρων) fx, y, z) = x y z με x + y + z = 2s s = ct fx, y, z) φx, y) φx, y) = x y 2s x y) φ = y2s x y) xy = x = y φ = x2s x y) xy = φx, y) = x y 2s x y) gy) = y 2 2s 2y) g = 2y2s 2y) 2y2 = 2y2s 3y) = y = 2s 3 x = y = z = 2s 3 M 2s 3, 2s 3, 2s 3 ) A = 2 φ 2 = 4s 3 < B = 2 φ = 2s 3 Γ = 2 φ 2 = 4s 3 < = 4s2 9 16s2 9 < μέγιστο το ισόπλευρο 5) fx, y, z) = sin x sin y sin z με x + y + z = π fx, y, z) φx, y) = sin x sin y sinπ x y) = sin x sin y sinx + y) φ = cos x sin y sinx + y) + sin x sin y cosx + y) = sin2x + y) = 2x + y = π sinx + 2y) = x + 2y = π φ = sin x cos y sinx + y) + sin x sin y cosx + y) = x = y x = π/3 x+2y=π y = π/3 = z A = 2 φ 2 = ) 2 sin x sin y sinx + y) + 2 cos x sin y cosx + y) = B = 2 φ = cos x cos y sinx+y)+cos x sin y cosx+y)+sin x cos y cosx+y) sin x sin y sinx+y) Γ = 2 φ 2 = ) 2 sin x sin y sinx + y) + 2 sin x cos y cosx + y) = = < A < μέγιστο το ισόπλευρο ) =.866 2