METODE DE CALCUL ENERGETICE ŞI APROXIMATIVE ÎN REZISTENŢA MATERIALELOR

Transcript

1 3. METODE DE CALCUL ENERGETICE ŞI APROXIMATIVE ÎN REZISTENŢA MATERIALELOR 3.1. Generalităţi Scopul primordial al activităţilor inginereşti este realizarea de maşini, aparate, instalaţii etc. În istoria ingineriei sunt consemnate numeroase situaţii în care s-au creat maşini noi fără să existe o bază teoretică sau formule de calcul. Exemplul cel mai cunoscut este motorul cu ardere internă, pentru care nici în prezent nu sunt elucidate toate aspectele teoretice şi de calcul (fenomenele implicate sunt foarte diferite şi complexe: procese chimice de ardere, transmisia căldurii, dinamica gazelor, solicitările mecanice, ungerea, zgomotul, uzura etc), dovadă fiind faptul că an de an apar perfecţionări care duc la reducerea consumului de combustibil sau la creşterea performanţelor motoarelor. Pe măsură ce s-au dezvoltat matematica, fizica, metalurgia, mecanica etc a fost posibilă elaborarea de teorii şi relaţii de calcul pentru unele probleme inginereşti, din ce în ce mai complexe. Dar inginerii au înţeles că unele fenomene şi procese sunt atât de complicate încât nu este posibilă abordarea lor teoretică, iar elaborarea unor metode şi relaţii de calcul exacte, uneori, este imposibilă. Pentru a ieşi din impas s-au impus în practică teorii, metode şi relaţii de calcul aproximative, cu utilizări mai restrânse sau mai generale, bine precizate. O teorie sau o formulă de calcul aproximativă poate fi foarte utilă inginerilor, dacă este folosită cu discernământ. De fapt, orice activitate inginerească se desfăşoară în condiţiile unei precizii date, de obicei, abateri sau erori de % fiind acceptabile pentru activităţile curente. Dezvoltarea calculatoarelor numerice foarte performante a dus, în ultimele decenii, la elaborarea şi perfecţionarea unor metode 77

2 numerice energetice şi aproximative de calcul, care s-au impus în toate domeniile inginereşti prin realizări spectaculoase ca, de exemplu, cucerirea spaţiului cosmic. Acest proces de ansamblu se regăseşte şi în rezistenţa materialelor. De fapt, calculele de rezistenţă sunt în esenţă aproximative, dintr-o multitudine de considerente, metoda de calcul fiind doar o verigă a unui proces complex creativ. În rezistenţa materialelor se folosesc, chiar de la naşterea ei ca ştiinţă, metode energetice şi aproximative de calcul, dintre care, cele mai importante, se prezintă în acest capitol. Trebuie făcută precizarea că, pe de o parte, unele metodele energetice pot fi aproximative, iar pe de altă parte, că unele metode aproximative nu sunt energetice (sau nu sunt formulate în termeni energetici). Aceste metode au numeroase variante, ele constituind o familie consistentă şi un domeniu distinct al ingineriei. Metodele numerice aproximative de calcul au avantajul că sunt mult mai generale decât cele analitice şi se pretează foarte bine pentru a fi implementate pe calculatoare. Observaţie: Este relativ dificil să se facă o distincţie categorică între metode analitice şi numerice de calcul. Frecvent, cu relaţii analitice se elaborează programe de calcul numeric, sau un algoritm numeric, când se foloseşte pentru un program de calculator, trebuie să aibă o formă analitică, necesară procesului de programare, ca programul să fie cât mai general şi cât mai uşor de elaborat. Metodă energetică de calcul se numeşte, generic, cea care presupune utilizarea, sub o formă oarecare, concepte, legi sau formule de calcul privind diversele forme ale energiei mecanice: cinetică, potenţială, de deformaţie, totală, complementară etc. Practica inginerească a dovedit că aceste metode sunt simple, generale şi eficiente pentru numeroase clase de probleme de calcul. Explicaţia constă în faptul că energia este, ca şi materia, o entitate fundamentală a universului, omniprezentă, în toate procesele din natură fiind implicate aspecte energetice, guvernate de legi generale şi relativ simple. Cele mai importante teoreme generale privind procesele energetice în sistemele deformabile sunt: a reciprocităţii lucrului mecanic, a reciprocităţii deplasărilor şi a reciprocităţii forţelor. Principiul metodelor variaţionale de calcul constă în faptul că soluţia problemei se caută sub forma analitică (de regulă), a unei funcţii oarecare 78

3 v = f (a 1, a, a 3,..., x, y, z), (3.1) în care: v este funcţia căutată (de exemplu, relaţia dintre deplasări sau tensiuni şi variabilele independente x, y, z); - a 1, a, a 3,... parametri arbitrari, care se aleg - se variază - astfel încât funcţia v să se apropie (adică să aproximeze) cât mai exact soluţia exactă (necunoscută) a problemei. Se va prezenta numai problema variaţională unidimensională, aplicată la calculul barelor, adică se consideră că v depinde numai de x (variabila definită în lungul axei barei). Acest fapt simplifică explicaţiile, dar nu diminuează generalitatea metodelor prezentate. Probleme în două dimensiuni (adică v = v (x,y)) sunt cele plane şi ale plăcilor subţiri. Există o multitudine de metode variaţionale, diferenţiate de modul în care se aleg parametrii a 1, a, a 3,, în funcţie de specificul problemei care se rezolvă. Cea mai importantă, cea mai veche şi cea mai utilizată metodă variaţională este cea energetică (a lui Ritz) în care parametrii a 1, a, a 3,..., se determină din condiţia ca energia potenţială totală a sistemului să fie minimă. Ea este relativ sigură (este o metodă aproximativă) în ceea ce priveşte precizia rezultatului obţinut. Metoda implică stabilirea expresiei energiei potenţiale totale a sistemului, ceea ce nu este totdeauna uşor. Celelalte metode aproximative (metoda Galerkin, metoda reziduului ponderat, metoda abaterii pătratice minime, metoda elementelor finite, metoda diferenţelor finite etc) sunt, de fapt, metode de integrare (variaţionale sau de analiză infinitezimală) aproximativă a ecuaţiilor diferenţiale. 3.. Teorema energiei potenţiale totale minime Pentru un sistem (corp, structură) elastic în echilibru principiul deplasărilor virtuale se formulează astfel: condiţia necesară şi suficientă pentru ca un sistem elastic să fie în echilibru este ca lucrul mecanic al forţelor exterioare, P i, (sarcinilor) pe deplasările virtuale (mici), δs i, compatibile cu legăturile, să fie egal cu variaţia energiei interne, δw, (de deformaţie), pentru aceleaşi deplasări. Se presupune că pentru sistemul elastic considerat există o funcţie, U, a cărei variaţie, δu, pentru deplasările virtuale, δs i, este egală şi opusă ca semn cu lucrul mecanic, pe aceleaşi deplasări, al 79

4 forţelor exterioare, P i, care îşi păstrează valoarea constantă. Funcţia U se numeşte potenţialul forţelor exterioare. Se poate scrie U n i1 P i s. i (3.) Se presupune că variaţia lucrului mecanic al forţelor exterioare se transformă complet în energie de deformaţie a sistemului, adică cele două valori sunt egale. Aceeaşi valoare o are şi lucrul mecanic efectuat de sistemul elastic după încetarea acţiunii sarcinilor. Un astfel de proces de deformare se numeşte reversibil şi pentru el δw + δu = sau δ (W + U) =. (3.3) În concluzie, pentru un proces de deformare reversibil, variaţia energiei de deformaţie în urma încărcării şi descărcării complete a sistemului este egală cu zero. Prin urmare, pentru procesele reversibile, valoarea energiei de deformaţie nu depinde de modul în care sunt aplicate sarcinile asupra sistemului, ci numai de valoarea lor finală. În relaţia (3.3) suma energiei de deformaţie W şi a lucrului mecanic al sarcinilor U se numeşte energia potenţială totală a sistemului şi se notează Π = W + U, iar condiţia (3.3) devine δ Π =. (3.4) Consecinţa relaţiei (3.4) este că dacă, pentru un sistem elastic reversibil aflat în echilibru, variaţia funcţiei Π în cazul unei modificări foarte mici a poziţiei şi / sau formei acestuia este egală cu zero, înseamnă că funcţia Π are una din valorile extreme. Dacă Π are valoare maximă, poziţia de echilibru este instabilă. Dacă Π are valoare minimă, poziţia de echilibru este stabilă, aceasta fiind teorema energiei potenţiale totale minime. Criteriul echilibrului stabil al sistemelor elastice reversibile al valorii minime a energiei potenţiale totale, este foarte general şi permite rezolvarea unor vaste categorii de probleme ale rezistenţei materialelor. Aceasta nu însemnă că soluţiile obţinute cu metode energetice sunt totdeauna mai simple decât cele obişnuite. În numeroase cazuri, metodele curente de rezolvare, bazate pe condiţiile de echilibru static, duc mai repede la rezultat decât o metodă variaţională energetică. Totuşi, pentru probleme mai complicate ale mecanicii solidului deformabil (şi ale rezistenţei materialelor), 8

5 metodele energetice nu numai că sunt mai avantajoase, dar pot fi chiar de neînlocuit. Metodele energetice au avantaje notabile prin aceea că permit elaborarea unor algoritmi şi metodologii aproximative, relativ simple şi generale, pentru numeroase categorii de probleme inginereşti Metoda Ritz În esenţă, metoda Ritz constă în determinarea valorii extreme a unei funcţionale. Fie integrala definită b ( x,v,v', v") dx. (3.5) a Se cere să se găsească o funcţie v = v(x) care să satisfacă condiţiile la limită, iar funcţionala Φ să aibă o valoare extremă. În acest scop se alege funcţia necunoscută v(x) de forma (relaţia (3.1)) v = v (a 1, a, a 3,..., a n, x). (3.6) Această funcţie trebuie să satisfacă condiţiile la limită date, pentru orice valori ale parametrilor arbitrari a 1, a, a 3,..., a n şi să fie cât mai apropiată de funcţia reală v(x), deocamdată necunoscută, însă anticipată, într-o oarecare măsură, pe baza informaţiilor privind esenţa fizică a problemei. Înlocuind valoarea funcţiei v(x) alese sub forma (3.6) şi a derivatelor sale în (3.5), se obţine b ( a, a, a,..., a, x) dx (3.7) a 1 3 n, care, după integrarea în raport cu x, devine Φ = Φ (a 1, a, a 3,..., a n ). (3.8) Valorile constantelor a 1, a, a 3,..., a n se aleg astfel ca funcţia Φ să aibă o valoare extremă. În acest scop trebuie ca ; ; ;.... (3.1) a1 a a 3 a n Se obţin astfel n ecuaţii, din care necunoscutele a 1, a, a 3,..., a n, pot fi determinate. Funcţia aleasă, v, (3.6), va da funcţionalei Φ, cu o oarecare aproximaţie, o valoare extremă. Gradul de aproximare este determinat, în acest caz, de numărul de parametri a n aleşi şi de forma aleasă pentru funcţia v(x). 81

6 Exemplu. Să se determine săgeata şi tensiunea maximă pentru bara din figura 3.1, încastrată la un capăt şi liberă la celălalt, încărcată cu o sarcină uniform distribuită. Observaţie: Bara este raportată la sistemul uzual de coordonate oxyz, cu axa ox în lungul barei şi cu axa oz în jos. Ar trebui, conform uzanţei, ca deplasarea după direcţia oz să fie notată cu w. Dar pentru a nu se face confuzii cu energia de deformaţie, notată cu W, Figura 3.1 se va utiliza notaţia v pentru deplasarea după oz. Pentru orice bară încărcată cu sarcina uniform distribuită q, energia potenţială totală are expresia 1 W U EI y v" qv dx. (3.11) Funcţia v trebuie astfel aleasă încât expresia (3.11) să aibă o valoare extremă. Se ştie din capitolele anterioare că funcţia v este, de fapt, de gradul patru (v. cap. 4). Aşa cum s-a precizat, aici se va utiliza metoda aproximativă Ritz. Prin urmare, se va alege, pentru o primă aproximaţie, funcţia v = a (1 cos πx / l). (3.1) Pentru orice valoare a parametrului a, această funcţie satisface condiţiile geometrice la limită şi anume:pentru x = v = şi v =. Înlocuind în (3.11) funcţia (3.1) se obţine 1 x EI y a cos dx qa în care cele două integrale au valorile 4 dx ; cos dx x 1 cos dx, x x cos. Prin urmare, expresia energiei potenţiale totale este 1 EI y a qa1. Funcţia Π trebuie să aibă o valoare minimă, deci 4 8

7 EI y a q1, a din care rezultă 4 q 3 a EI y Ecuaţia axei barei deformate este 4 3 q x v 1 1 cos. 4 EI y Valoarea săgeţii maxime este: - calculată prin integrarea ecuaţiei obişnuite a axei barei v max =.15 ql 4 /EI y ; - calculată prin metoda Ritz v max = ql 4 /EI y. Comparând cele două valori se constată o eroare de 4.5 % a metodei Ritz faţă de soluţia exactă. Observaţie: De fapt şi soluţia exactă are un anumit grad de aproximare, deoarece ecuaţia diferenţială v = - M iy /EI y s-a obţinut în ipoteza că v este neglijabil comparativ cu 1 (v. cap. 4). Este util să se compare şi valorile tensiunilor maxime: - pentru soluţia obişnuită ζ max =.5 ql /W y ; - pentru soluţia Ritz M EI v" EI iy y y x a cos, W W W y pentru y x, 4 max y.9454 q / W. Comparând cele două valori eroarea este de 41%. Generalizând rezultatele obţinute, se constată că metoda Ritz dă, în general, o aproximare bună pentru funcţie şi una mai puţin bună pentru derivatele ei (ζ este proporţional cu v ), deoarece, de regulă, se caută ca funcţia aleasă să reprezinte cât mai bine curba reală nu şi derivatele ei. Dacă se fac noi aproximaţii, se pot obţine soluţii mai precise, atât pentru funcţie cât şi pentru derivatele ei. De exemplu, pentru exemplul considerat, se poate alege funcţia v sub forma unei serii, în care expresia (3.1) să fie primul termen. y 83

8 3.4. Metode pentru rezolvarea aproximativă a ecuaţiilor diferenţiale. Metoda Galerkin În unele cazuri este mai avantajos să nu se determine expresia energiei potenţiale totale, Π, a sistemului, ca la metoda Ritz, ci să se rezolve aproximativ ecuaţia diferenţială obţinută prin metodele obişnuite (frecvent, este vorba de ecuaţii de echilibru). Se presupune că soluţia problemei inginereşti care trebuie rezolvată este cea a ecuaţiei diferenţiale L(x, v, v, v,... ) =, (3.13) care se consideră de forma (3.6). Aceasta trebuie să satisfacă toate condiţiile la limită ale problemei (sau, cel puţin, cele mai importante dintre ele), pentru orice valori ale parametrilor a 1, a, a 3,..., a n. De regulă, pentru sistemele elastice, condiţiile la limită sunt de două tipuri: - geometrice, care se impun deplasărilor (unghiuri şi deplasări liniare); - de solicitare, care privesc forţele şi momentele de la capetele barelor sau de pe conturul plăcilor. Observaţie: Pentru metoda Ritz, de regulă, nu este necesară satisfacerea tuturor condiţiilor la limită, fiind suficientă doar îndeplinirea condiţiilor geometrice. De exemplu, funcţia (3.1) de la exemplul anterior, satisface toate condiţiile geometrice, dar numai una din cele de solicitare şi anume, pentru x = l, M iy =, adică v =. Cea de a doua condiţie - pentru x = l, T Z =, adică v =, nu este îndeplinită. Cu toate acestea, metoda Ritz a dus la rezultate satisfăcătoare pentru exemplul considerat. Pentru majoritatea metodelor aproximative de calcul se impune, însă, îndeplinirea tuturor condiţiilor la limită, atât geometrice cât şi de solicitare, ceea ce este de multe ori dificil de realizat, dar practic posibil. Alegerea formei soluţiei (3.6) trebuie să aibă în vedere aspectul soluţiei probabile, pe baza informaţiilor privind problema care se rezolvă. Funcţia v trebuie să fie cât mai apropiată de soluţia reală, sau să permită o apropiere cât mai mare de soluţia reală, adică să ducă la o cât mai bună aproximare a soluţiei reale, necunoscute, pentru variaţia corespunzătoare a parametrilor a 1, a, a 3,... Arta alegerii unor asemenea funcţii depinde de fantezia şi experienţa celui care face calculele. 84

9 Forma cea mai simplă şi cea mai utilizată pentru funcţia v este cea a unei serii v = a 1. θ 1 (x) + a. θ (x) + a 3. θ 3 (x) +... (3.14) în care θ 1 (x), θ (x), θ 3 (x)... sunt funcţii oarecare de x, denumite funcţii de pondere. După ce a fost aleasă funcţia v se determină valorile parametrilor a 1, a, a 3,... astfel încât v, (3.14) să aproximeze cât mai bine soluţia ecuaţiei (3.13). Dacă se înlocuieşte funcţia (3.14) în ecuaţia (3.13), acesta nu va fi egală cu zero, deoarece funcţia v nu este soluţia exactă a ecuaţiei, adică L(x, a 1, a, a 3,...) = f(x), în care f(x) este funcţia eroare, sau funcţia reziduu, care va fi mai mult sau mai puţin diferită de zero, în măsura în care expresia v a fost bine (sau mai puţin bine) aleasă. Dacă soluţia v este exactă, atunci f(x) va fi zero, pentru orice valoare a variabilei x. Deci funcţia f(x) este, într-o anumită măsură, un indice al abaterii soluţiei aproximative faţă de cea reală. Problema constă în aceea că trebuie variaţi parametrii a 1, a, a 3,... astfel ca funcţia eroare să fie cât mai apropiată de zero. Acest demers poate fi realizat prin mai multe metode, denumite, în general, metode ale reziduului ponderat, cea mai utilizată fiind metoda Galerkin. Dintre numeroasele ei variante, se prezintă doar forma de bază. Metoda Galerkin. Soluţia ecuaţiei diferenţiale (3.13) se alege de forma seriei (3.14), care trebuie să satisfacă toate condiţiile la limită ale problemei. Etapele rezolvării problemei sunt: - se înlocuieşte soluţia (3.14) în ecuaţia (3.13), care devine L(x, a 1, a, a 3,...) = f(x); (3.15) - se înmulţeşte funcţia eroare (reziduul), f(x), succesiv cu fiecare din funcţiile de pondere θ 1 (x), θ (x), θ 3 (x)... şi se integrează produsele respective pe întreg domeniul de variaţie al variabilei x; - se egalează cu zero integralele obţinute şi rezultă, astfel, un sistem de ecuaţii egal cu numărul necunoscutelor a 1, a, a 3,... 85

10 b a b f (x). 1 (x) ; f (x). (x) ; f (x). (x)... (3.16) a b a 3 ; - se rezolvă sistemul de ecuaţii (3.16) şi se obţin valorile constantelor a 1, a, a 3,...; - se înlocuiesc a 1, a, a 3,... în (3.14), obţinându-se astfel soluţia aproximativă a ecuaţiei (3.13). Concluzii şi observaţii. 1. Condiţiile (3.16) reprezintă, din punct de vedere matematic, cerinţa ca funcţia eroare, f(x), să fie ortogonală în raport cu funcţiile θ 1 (x), θ (x), θ 3 (x)... Rezolvând problema abordată aproximativ, nu este posibil ca funcţia eroare să fie ortogonală în raport cu toate funcţiile θ i (x), ci numai cu unele dintre ele. În acest mod se apropie de zero funcţia eroare nu numai pentru funcţii ortogonale, ci şi pentru orice funcţii θ i (x).. Se demonstrează că metoda Galerkin este legată de metodele energetice, fiind o variantă a acestora. 3. Spre deosebire de metoda Ritz, la metoda Galerkin nu este necesar să se scrie expresia energiei potenţiale totale, dar funcţia de aproximare trebuie să satisfacă toate condiţiile la limită, adică nu numai cele geometrice (ca la Ritz) ci şi cele de solicitare. În acest sens se spune că metoda Galerkin este mai sensibilă la gradul de aproximare al derivatelor funcţiei. 4. Ca şi metoda Ritz, metoda Galerkin dă rezultate mai puţin precise pentru tensiuni decât pentru deplasări, aceasta fiind consecinţa faptului că funcţia se alege astfel încât ea să aproximeze bine problema dată, dar derivatele ei (de care depind tensiunile), de regulă, nu. 5. În general, metodele aproximative de rezolvare a problemelor structurilor deformabile duc la soluţii care determină mai precis deplasările decât tensiunile. Această situaţie se datorează faptului că deplasările unei structuri sunt, în principiu, rezultatul comportării globale a structurii, pe când tensiunile sunt determinate de configuraţiile locale, geometrice şi de solicitare. Deci, în principiu, pentru determinarea exactă a tensiunilor trebuie elaborate modele şi metode de calcul locale. 86

11 Exemplu. Este profitabil, pentru a compara metodele Ritz şi Galerkin şi a evidenţia asemănările, deosebirile, avantajele şi dezavantajele lor, să se abordeze acelaşi exemplu, adică bara din figura 3.1 şi prin metoda Galerkin. Pentru început se va considera aceeaşi funcţie v ca şi la metoda Ritz, adică (3.1). Pentru scrierea condiţiilor (3.16) trebuie avută în vedere ecuaţia diferenţială a axei deformate a barei, care este EI y v q (l -x) / =. (3.17) Condiţiile (3.16) devin x 1 x EI y a cos q( x) 1cos dx, din care rezultă v max =.575 ql 4 /EI y, adică mai puţin de jumătate din valoarea exactă, care este v max =.15 ql 4 /EI y. Explicaţia pentru abaterea foarte mare a soluţiei obţinute, faţă de soluţia exactă, este că funcţia (3.1), aleasă pentru v, reprezintă bine ecuaţia axei deformate a barei dar mai puţin bine derivatele sale (prima şi mai ales a doua, care reprezintă momentul încovoietor). La rezolvarea problemei prin metoda Ritz acest fapt duce la abateri numai ale tensiunilor (care depind de derivatele funcţiei), pe când metoda Galerkin duce la abateri atât ale deplasărilor (funcţia) cât şi ale tensiunilor (derivatele). De asemenea funcţia v aleasă nu satisface condiţia de solicitare la limită v (x=l) =, deci condiţia ca forţa tăietoare T z să fie nulă în capătul liber al barei. În concluzie, funcţia v trebuie aleasă altfel. Este mai avantajos, pentru metoda Galerkin, să se aleagă expresia derivatei de ordinul cel mai mare care intră în ecuaţia diferenţială şi apoi să se determine funcţia. De exemplu, dacă se alege v = a (1 sin πx / l), (3.18) prin integrare se obţine funcţia x x va sin Ax B. Din condiţiile la limită: pentru x = v = şi v =, rezultă B = şi A = -l/π şi 87

12 x x va sin x. (3.19) Se înlocuieşte expresia (3.19) în ecuaţia (3.17) şi se scriu condiţiile (3.16). După efectuarea calculelor se obţine: q a. / ; EI y v max = ql 4 /EI y ; ζ max =.4317 ql /W y. Rezultatele obţinute sunt de precizie satisfăcătoare. Precizii şi mai mari se pot obţine dacă pentru (3.18) se alege o serie ca, de exemplu, v" a (1 - sin nx / pentru care volumul calculelor creşte foarte mult. n, 1,3,5, Metode pentru rezolvarea aproximativă a unor probleme dinamice. Metoda Rayleigh Se consideră bara dreaptă din figura 3., de rigiditate la încovoiere EI y, constantă şi masa m pe unitatea de lungime. În ecuaţia diferenţială a axei barei deformate, EI y 4 v/ x 4 = p(x), se consideră că p(x) este chiar forţa de inerţie a barei, conform principiului Figura 3. lui d Alambert şi astfel se obţine ecuaţia diferenţială a vibraţiilor libere ale barei sub forma EI y 4 v/ x 4 + m v/ t =, (3.) căreia i se pot asocia, de exemplu, condiţiile la limită: pentru x = şi x = l v = ; pentru x = l/ v/ x =. (3.1) Metoda Rayleigh şi Rayleigh-Ritz. Pentru a obţine pulsaţia corespunzătoare modului fundamental de vibraţie al unei bare se egalează expresia energiei cinetice maxime cu cea a energiei potenţiale de deformaţie maximă. Pentru bara considerată, energia de deformaţie, W, este 88

13 iar energia cinetică 1 W EI 1 EC m(x) y 89 v/ x dx, v / t dx. Presupunând că vibraţia este armonică, adică v(x, t) = V(x) cos ωt, din condiţia (Rayleigh) (W) max = (E C ) max, rezultă expresia pulsaţiei sub forma EI y V / x dx / m(x)v dx. (3.) Pentru a afla din (3.) valoarea ω a pulsaţiei trebuie să se considere o anumită formă pentru funcţia V(x), care să satisfacă condiţiile la limită (3.1) şi nu obligatoriu şi ecuaţia de mişcare (3.). O astfel de formă este V(x) = 1 cos (πx/l), care, înlocuită în (3.), permite obţinerea valorii aproximative a pulsaţiei k y m / fundamentale şi anume ω 1 =.79 k, ( EI ), care diferă cu 1.87% de valoarea exactă (.379 k). O variantă a acestei metode este ce cunoscută sub numele Rayleigh-Ritz, care permite determinarea, aproximativă, a mai multor pulsaţii proprii ale vibraţiilor unui sistem elastic (bară). În acest scop se consideră o formă mai generală pentru funcţia V(x), ca, de exemplu V(x) = C 1 f 1 (x) + C f (x) C n f n (x), (3.3) în care C 1, C,..., C n sunt constante şi f 1, f,..., f n funcţii care satisfac condiţiile la limită ale problemei date. Dacă se înlocuieşte funcţia (3.3) în ecuaţia pulsaţiei (3.), se obţine ω ca funcţie de constantele C 1, C,..., C n. Condiţia ca valorile aproximative ale pulsaţiilor să aibă abateri cât mai mici faţă de cele exacte duce la sistemul de ecuaţii C1 C... Cn, (3.4) a cărui rezolvare permite determinarea primelor n pulsaţii ale vibraţiilor libere. Pentru bara considerată ca exemplu (fig. 3.) se poate scrie relaţia (3.3) sub forma

14 V(x) = C 1 [1 cos (πx/l)] + C [1 cos (4πx/l)], (3.5) care se înlocuieşte în (3.). Scriind condiţiile (3.4) se obţine următoarea problemă de valori proprii: 4 16 EI y 1 C1 3 C 1 m, 3 16 C 3 C ale cărei soluţii sunt 1.35k, cu C C C C şi 1 14k, cu Metode energetice pentru calculul deplasărilor barelor şi structurilor din bare. Metoda Mohr-Maxwell Energia potenţială de deformaţie a unui sistem de bare poate fi calculată fie ca lucru mecanic al sarcinilor, fie ca lucru mecanic al eforturilor. Această constatare a permis elaborarea unor metode energetice foarte eficiente pentru calculul deplasărilor barelor şi structurilor din bare. Se consideră că este respectată ipoteza linearităţii fizice, cea a linearităţii geometrice, că principiul suprapunerii efectelor este aplicabil atât pentru eforturi cât şi pentru deplasări şi că procesul de deformare al sistemului este reversibil, sau altfel spus starea finală a sistemului nu depinde de succesiunea aplicării sarcinilor. De asemenea, se presupune că solicitarea este statică (nu există procese dinamice, vibraţii, fenomene de propagare etc). Teorema reciprocităţii lucrului mecanic (Betti). Se consideră un sistem elastic încărcat cu o forţă P 1 în punctul A şi cu o forţă P în punctul B, ca în figura 3.3.a. 9

15 Când se aplică forţa P 1 în punctul A, acesta produce deformarea sistemului şi deplasarea punctului A într-o poziţie oarecare, în cazul general. Ceea ce interesează este componenta, δ A1, a acestei deplasări pe direcţia forţei (fig. 3.3.b), deoarece lucrul mecanic produs de aceasta este U 1 =P 1 δ A1 / (factorul ½ se datorează faptului că solicitarea este statică, adică forţa P 1 se aplică lent, crescător de la zero la P 1 ). În continuare, în prezenţa forţei P 1, se aplică forţa P în punctul B, care produce deplasarea δ B (fig. 3.3.c) şi lucrul mecanic U =P δ B /, precum şi deplasarea punctului de aplicaţie al forţei P 1 cu δ A, efectuând lucrul mecanic U 1 =P 1 δ A, la calculul căruia nu se introduce factorul ½ deoarece forţa P 1 parcurge cu întreaga sa valoare deplasarea δ A. Lucrul mecanic total al sarcinilor este U tot = U 1 + U + U 1 =P 1 δ A1 / + P δ B / + P 1 δ A. (3.6) Reluând procesul, cu aplicarea mai întâi a forţei P şi apoi a lui P 1, se obţine (fig. 3.3.d şi e) U tot = U + U 1 + U 1 =P δ B / + P 1 δ A1 / + P δ B1. (3.7) Ca urmare a ipotezelor considerate, trebuie ca U tot =U tot din care rezultă U 1 =U 1 sau P 1 δ A =P δ B1. (3.8) Uzual, formularea acestei teoreme se face într-o formă generală, considerând că: - forţele P 1 şi sunt P sunt două sisteme de sarcini, denumite, sistem primar, respectiv secundar; - forţele pot fi forţe generalizate (forţe şi momente); - deplasările pot fi deplasări generalizate (deplasări lineare şi rotiri). Teorema reciprocităţii lucrului mecanic se formulează astfel: dacă asupra unui sistem elastic se aplică succesiv două sisteme de sarcini, lucrul mecanic efectuat de sarcinile primului sistem pe deplasările produse de cel de al doilea sistem, este egal cu lucrul mecanic efectuat de sarcinile celui de al doilea sistem pe deplasările produse de primul sistem. Observaţie: Teorema reciprocităţii lucrului mecanic poate fi formulată considerând, nu lucrul mecanic al sarcinilor ci energia de deformaţie, cele două entităţi fiind egale. 91

16 Teorema reciprocităţii deplasărilor (Maxwell). Dacă în ultima din relaţiile (3.8) se consideră P 1 = P = P, rezultă δ A = δ B1, (3.9) care este expresia algebrică a teoremei reciprocităţii deplasărilor, a cărei formulare este (fig. 3.4): deplasarea punctului A produsă de o forţă Figura 3.4 aplicată în punctul B este egală cu deplasarea punctului B produsă de aceeaşi forţă aplicată în punctul A. Se pot inversa rolurile deplasărilor şi forţelor în teorema reciprocităţii deplasărilor şi se obţine teorema reciprocităţii forţelor. Teorema reciprocităţii forţelor. Se reia procedura anterioară: dacă în ultima din relaţiile (3.8) se consideră δ A =δ B1 = δ = 1, rezultă P 1 = P, (3.3) care este expresia algebrică a teoremei reciprocităţii forţelor, a cărei formulare este (fig. 3.5): forţa aplicată în punctul A, care produce o deplasare δ = 1 în Figura 3.5 punctul B este egală cu forţa aplicată în punctul B pentru a produce aceeaşi deplasare δ = 1 în punctul A. Observaţie: Valoarea deplasării δ poate fi oarecare, dar, pentru simplificarea calculelor, se consideră, de obicei, egală cu unitatea. Teoremele reciprocităţii lucrului mecanic, deplasărilor şi forţelor, ca urmare a generalităţii lor, sunt foarte utile în rezistenţa materialelor, deoarece duc la simplificări considerabile pentru numeroase categorii de probleme. Metoda Mohr-Maxwell. Această metodă de calcul a fost concepută de Mohr şi ea poate fi înţeleasă ca un caz particular al teoremei reciprocităţii lucrului mecanic. Se consideră primul sistem de sarcini cel al încărcării care acţionează asupra corpului, de exemplu, forţele F 1, F,... F n din 9

17 figura 3.6.a. Al doilea sistem de sarcini se consideră numai o forţă egală cu unitatea, aplicată în punctul şi pe direcţia deplasării care trebuie calculată (punctul A Figura 3.6 şi deplasarea δ, din fig. 3.6.b) sub acţiunea sistemului de sarcini dat. Din relaţiile (3.8) rezultă 1. δ = U 1 δ = U 1 (3.31) în care U 1 este lucrul mecanic (sau energia de deformaţie) al sistemului de sarcini al corpului pe deplasările produse de sarcina unitate. Se consideră o bară dreaptă, de secţiune constantă, cu rigiditatea axială EA şi lungimea l, solicitată cu forţele axiale F 1, F, F 3, ca în figura 3.7. Să se afle deplasarea, δ, a capătului liber al barei (se neglijează efectul greutăţii barei). Se calculează energia de deformaţie, produsă de eforturile axiale. Pentru un element de lungime dx al barei, în cazul general, efortul este N, pentru prima stare Figura 3.7 de încărcare şi n, pentru cea de a doua stare (în acest caz particular n = 1). Lungirea elementului dx pentru a doua stare de încărcare este n dx Nn ( dx), iar lucrul mecanic du 1 N. (dx) dx. EA EA Nn Pentru întreaga bară U1 du1 dx, sau având în vedere EA (3.31), Nn dx. (3.3) EA În cazul general, pe lungimea l a barei eforturile N şi n pot avea valori sau expresii diferite, ceea ce înseamnă că forma generală a relaţiei (3.3) este 93

18 Nn EA dx. (3.33) Pentru celelalte solicitări, se pot stabili relaţii similare cu (3.33), forma completă a formulei lui Mohr-Maxwell, pentru calculul deplasărilor barelor (drepte şi curbe) şi structurilor din bare, fiind Nn ds EA Ty,z t y,z M M m tmt i y,z i y,z k y,z ds ds ds. (3.34) GA GI EI Pentru utilizarea corectă a relaţiei (3.34) sunt necesare următoarele precizări: - δ este deplasarea generalizată (deplasare liniară sau rotire); - sarcina unitate se aplică în punctul şi pe direcţia deplasării care se calculează şi este o sarcină generalizată: forţă sau moment egal cu 1; - N, T y,z, M t, M iy,z sunt eforturile, într-o secţiune curentă, produse de sarcinile care încarcă structura; - n, t y,z, m t, m iy,z sunt eforturile, în aceeaşi secţiune curentă, produse de sarcina unitate; - k y,z este un factor care ţine seama că tensiunile tangenţiale datorate forfecării nu se distribuie uniform pe secţiunile barelor (pentru dreptunghi k = 6/5; pentru cerc k = 1/9); - sumele se efectuează pentru diverse intervale în lungul unei bare (dacă este cazul) şi pentru toate barele structurii; -termenii corespunzători solicitărilor de forfecare şi încovoiere se scriu separat pentru direcţiile y şi z din planul secţiunii curente a fiecărei bare (y şi z trebuie să fie direcţiile principale de inerţie a secţiunii); -în cazul cel mai general, variabila în raport cu care se calculează integralele din relaţia (3.34) este s, definită pe o curbă; pentru o dreaptă s x. Calculele cu ajutorul relaţiei (3.34) se pot efectua manual pentru cazuri simple şi cu un program adecvat pe calculator pentru structuri complexe. În această situaţie, deşi metoda este analitică, rezolvarea problemei este numerică. Această simbioză între esenţa analitică a unei metode şi utilizarea ei pentru rezolvări numerice pe calculator este frecvent întâlnită pentru calculele inginereşti, fiind deosebit de eficientă. t y,z 94

19 În practica inginerească forma generală a relaţiei (3.34) are numeroase forme, mai simple, pentru cazuri particulare, ca de exemplu: - efectele solicitărilor de forfecare şi/sau axiale pot fi neglijabile comparativ cu cele de încovoiere, când încovoierea este solicitarea principală (sau alte variante similare); - pentru structuri din bare drepte articulate, încărcate numai în noduri, solicitarea este numai axială în toate barele şi relaţia (3.34) devine Nn. (3.35) EA 3.7. Structuri continue şi structuri discrete. Conceptul de discretizare Unele tipuri de structuri sunt alcătuite dintr-un element constituent (modul) care se repetă de un număr mare de ori, ca, de exemplu, structurile din bare. Astfel de structuri se numesc discrete. Dar marea majoritate a structurilor mecanice sunt continue, ca, de exemplu, recipientele, batiurile, carcasele, rotoarele, barajele, fundaţiile etc. Structurile continue sunt compuse din plăci plane şi curbe, subţiri sau groase, blocuri masive (blocurile fundaţiilor) etc, combinate în diverse moduri spaţiale şi complexe. Inginerii au constatat că pentru structurile discrete se pot elabora metode şi modele de calcul relativ simple (inclusiv metode grafice) şi eficiente. Pentru structurile continue situaţia era total diferită, deoarece nu se puteau calcula decât structuri continue relativ simple, pentru unele cazuri particulare, cu un volum de muncă considerabil. Aşa a apărut ideea ca o structură continuă să se înlocuiască, în vederea calculului, cu o structură discretă, un model idealizat, care să aproximeze cât mai bine structura originară. Esenţa ideii este că, din punct de vedere ingineresc, nu este necesară cunoaşterea, de exemplu, a deplasărilor şi tensiunilor, în infinitatea de puncte a structurii ci sunt suficiente informaţiile dintr-un număr finit de puncte, acest număr putând fi mai mic sau mai mare (la nevoie, chiar foarte mare), funcţie de scopul calculului, tipul structurii, configuraţia ei geometrică, tipul solicitării etc. 95

20 Procesul prin care se obţine structura discretă, pornind de la structura continuă, care să o aproximeze pe aceasta, se numeşte discretizare. Discretizarea. Discretizarea unei structuri este un proces complex, de elaborare a unui model discret de calcul, care trebuie să aproximeze cât mai bine structura continuă reală, din diverse puncte de vedere, ca, de exemplu, al geometriei, al sarcinilor, al rezemărilor, al rigidităţilor, al maselor, al constantelor elastice, al caracteristicilor fizice şi mecanice ale materialelor etc. Figura În esenţă, discretizarea structurii date se realizează cu o reţea de linii drepte sau curbe sau (dacă este cazul) cu o reţea spaţială de suprafeţe plane şi / sau curbe. Un exemplu se prezintă în figura 3.8. Punctele de intersecţie ale liniilor sau suprafeţelor reţelei de discretizare se numesc nodurile reţelei şi în acestea se definesc mărimile necunoscute, deplasări sau eforturi, care urmează să se determine prin metoda numerică de calcul respectivă. Prin această procedură studiul mulţimii infinite de puncte a structurii continue date se aproximează prin studiul mulţimii finite de puncte (noduri) ale reţelei de discretizare a modelului de calcul. În principiu, cu cât reţeaua de discretizare are un număr mai mare de noduri, adică este mai fină, cu atât este mai bună aproximarea structurii date şi rezultatele obţinute prin calcul vor fi mai precise. Metodele de calcul care folosesc discretizarea şi anume metoda diferenţelor finite, metoda elementelor finite şi metoda elementelor de frontieră, nu conţin în ele însele principii, restricţii sau indicaţii cum să se facă discretizarea. Alegerea reţelei de noduri a modelului de calcul discretizat (sau discret) trebuie să sintetizeze, într-o formă convenabilă, toate informaţiile disponibile despre structura ce se

21 calculează, să aibă în vedere funcţiile pe care trebuie să le îndeplinească aceasta, particularităţile ei şi să corespundă cât mai bine scopului calculului. Rezultă că discretizarea are un anumit grad de arbitrar, care implică riscul comiterii unor erori, acesta fiind tributul plătit acestor metode pentru avantajele lor. Astfel apare ca evidentă importanţa elaborării judicioase a unui model de calcul corect, precis, sigur şi eficient. Nodul. Punctele definite prin reţeaua de discretizare se numesc noduri. În noduri se definesc necunoscutele nodale primare, ale căror valori sunt rezultatele calculelor. Necunoscutele asociate nodurilor pot fi deplasările, caz în care metoda de calcul se numeşte model deplasare, sau eforturile, când se numeşte model echilibru. Relativ rar se foloseşte şi modelul mixt. Pentru modelul deplasare se admite că forma deformată a structurii, ca urmare a unei solicitări oarecare, este definită de deplasările tuturor nodurilor în raport cu reţeaua nodurilor înainte de deformare, fiecare nod putând avea maximum şase componente ale deplasării, denumite deplasări nodale, în raport cu un reper global (la care este raportată structura în ansamblu): trei componente u, v, w ale deplasării liniare şi trei rotiri x, y, z. Componentelor nenule ale deplasărilor pe care le poate avea un nod al modelului structurii în procesul de deformaţie li se asociază un versor denumit grad de libertate geometrică DOF (Degrees Of Freedom) al nodului, care are valoarea DOF=, dacă pe direcţia respectivă componenta deplasării este nulă sau cunoscută şi valoarea DOF=1, dacă deplasarea este necunoscută. Se pot defini gradele de libertate geometrică ale structurii în totalitate. Rezultă că numărul total al necunoscutelor care trebuie determinate prin calcul este egal cu numărul gradelor de libertate geometrică cărora le sunt ataşate necunoscute (care au DOF=1), pentru toate nodurile modelului structurii. Unele din gradele de libertate ale modelului trebuie eliminate deoarece unele noduri sunt legate, reprezentând reazeme şi deci deplasările lor sunt nule sau au valori cunoscute, impuse şi nu mai trebuie calculate. 97

22 3.8. Metoda diferenţelor finite Metoda diferenţelor finite este o metodă generală de integrare a ecuaţiilor diferenţiale şi constă, în esenţă, în înlocuirea diferenţialelor (care sunt infinit mici) cu diferenţe mici (sau foarte mici), finite. Deci, pentru a putea utiliza această metodă, trebuie să se cunoască ecuaţia diferenţială corespunzătoare problemei care se rezolvă. Aplicarea metodei implică abordarea a două aspecte ale calculului propriu-zis: - aspectul matematic, care constă în transformarea (scrierea) ecuaţiei (sau ecuaţiilor) diferenţiale respective într-un sistem de ecuaţii cu diferenţe finite; - aspectul fizic, care constă în înlocuirea structurii reale cu un model discret, aproximativ, convenabil pentru calcul. De exemplu, suprafaţa mediană a unei plăci curbe subţiri se aproximează cu o reţea de triunghiuri, dreptunghiuri, patrulatere oarecare etc de discretizare. Se obţine un sistem de ecuaţii algebrice liniare, în care necunoscutele sunt, de exemplu, deplasările în nodurile reţelei cu diferenţe finite. Avantajele metodei diferenţelor finite sunt: - suportul matematic este bine definit şi anume ecuaţia diferenţială sau sistemul de ecuaţii diferenţiale; - metoda permite estimarea preciziei de aproximare a soluţiei numerice obţinute. Dezavantajele metodei diferenţelor finite sunt: - generalitatea este drastic limitată de faptul că trebuie cunoscută ecuaţia diferenţială a problemei. Ori pentru numeroase probleme inginereşti nu a fost posibilă determinarea ecuaţiilor care guvernează, de exemplu, comportarea structurilor spaţiale complexe la diferite solicitări; - supleţea metodei este redusă de faptul că este dificil de definit diferenţe finite de valori diferite; - elaborarea de programe generale de calcul, bazate pe această metodă nu este posibilă, deoarece fiecare program trebuie să aibă în vedere tipul ecuaţiei diferenţiale. S-au elaborat programe care 98

23 folosesc module specializate de uz general, ca, de exemplu, pentru rezolvarea sistemului de ecuaţii algebrice liniare; - în practica inginerească nu se află în uz programe performante care să se fi impus, bazate pe metoda diferenţelor finite Metoda elementelor de frontieră Spre deosebire de majoritatea metodelor numerice de calcul al structurilor, care se bazează pe teoreme de staţionaritate a energiei potenţiale totale, metoda elementelor de frontieră este fundamentată pe teorema reciprocităţii lucrului mecanic (Betti). Această teoremă este valabilă numai pentru structuri linear elastice (aşa cum s-a menţionat la 3.6) şi constă în egalitatea lucrului mecanic produs de un sistem de sarcini pe deplasările altui sistem, cu lucrul mecanic produs de cel de al doilea sistem de sarcini pe deplasările produse de primul sistem. Se presupune că în cele două stări de încărcare legăturile structurii au fost eliminate (s-au înlocuit cu sarcini sau deplasări cunoscute), că deplasările sunt mici şi că cele două sisteme de încărcare au fiecare torsor nul (condiţia de echilibru a structurii). Deoarece legăturile structurii au fost eliminate, rezultă că pentru cele două stări de încărcare structura poate avea legături diferite. Ideea fundamentală a metodei elementelor de frontieră este că se cunoaşte soluţia fundamentală a problemei care se rezolvă, adică sunt cunoscute deplasările produse de o forţă concentrată unitate aplicată în origine, pentru un spaţiu elastic de acelaşi tip cu problema, care poate fi bară, placă plană sau curbă, volum etc (se poate vorbi - prin extensie - şi de problema fundamentală, asociată problemei date). Cu relaţiile dintre deformaţii şi deplasări şi apoi cu cele ale lui Hooke, dintre deformaţii şi tensiuni, se determină tensiunile corespunzătoare deplasărilor respective. Elaborarea modelului de calcul pentru rezolvarea unei probleme cu metoda elementelor de frontieră cere ca din spaţiul elastic al problemei fundamentale (solicitat cu o forţă concentrată unitate în origine) să se decupeze domeniul D, al corpului care se studiază. Pe frontiera domeniului D acţionează tensiuni, care pot fi privite ca încărcare exterioară a corpului. Se presupune că domeniul D este închis, frontiera sa fiind Γ, pentru care se cunosc: 99

24 - pe o porţiune Γ 1 a frontierei se cunosc deplasările u i ; - pe o porţiune Γ a frontierei se cunoaşte încărcarea exterioară t i. Teorema reciprocităţii lucrului mecanic (Betti) se aplică astfel: - prima încărcare este încărcarea reală t i (necunoscută pe Γ 1 ), care produce deplasările u i (necunoscute pe Γ ); - a doua încărcare este o forţă concentrată unitate aplicată într-un punct al frontierei, pentru care se cunosc, din soluţia fundamentală, în toate punctele, deplasările şi tensiunile. Frontiera Γ, a domeniului D, a corpului care se studiază, se discretizează, adică se împarte în porţiuni, definite prin noduri. Între două sau mai multe noduri se definesc elemente de frontieră, în lungul cărora se consideră că deplasările şi încărcarea exterioară au variaţii cunoscute. În acest scop se folosesc funcţii de interpolare. Astfel se obţin elemente de frontieră de diverse tipuri, pentru aproximarea conturului corpului în plan (elemente liniare) sau în spaţiu (elemente de suprafaţă sau de volum). Frecvent se folosesc aceleaşi funcţii de interpolare [N (k) i ] atât pentru deplasările u i cât şi pentru încărcarea t i, astfel încât, pentru elementul de frontieră k, se scriu u i = [N (k) i ]{u (k) }, t i = [N (k) i ]{t (k) }, în care {u (k) } şi {t (k) } sunt valorile nodale (de pe frontieră) ale deplasărilor, respectiv ale încărcărilor. Metoda elementelor de frontieră duce la obţinerea unui sistem de ecuaţii algebrice lineare de forma [A] {u}=[b] {t}, (3.36) în care: {u} şi {t} sunt vectorii deplasărilor, respectiv încărcărilor nodale (de pe frontieră); [A] matricea de influenţă a deplasărilor; [B] matricea de influenţă a încărcărilor. Sistemul de ecuaţii (3.36) are o configuraţie oarecare, adică este nesimetric şi plin, iar necunoscutele sale sunt definite în nodurile reţelei prin care a fost discretizată frontiera: în unele noduri deplasările u i, iar în altele încărcarea t i. Dacă ecuaţiile se grupează convenabil, sistemul (3.36) se poate scrie sub forma n c n c u c n t A A B B c n, u t 1

25 în care indicele n înseamnă necunoscut, iar c cunoscut. Rezultă sistemul n c n n u c c t A B B A n c, t u prin rezolvarea căruia se determină deplasările şi tensiunile în toate nodurile frontierei. Pentru calculul deplasărilor în puncte din interiorul domeniului D al corpului, se aplică teorema reciprocităţii lucrului mecanic între perechi de puncte, unul de pe frontieră şi unul din interiorul corpului. Determinarea tensiunilor în anumite puncte din interiorul domeniului D se face cu relaţiile cunoscute ale teoriei elasticităţii. Avantajele metodei elementelor de frontieră sunt: - comparativ cu alte metode numerice aproximative de calcul, are o precizie mai bună, consecinţă a faptului că metoda foloseşte soluţia fundamentală a problemei date, care este, în principiu exactă; - relativa simplitate a modelului de calcul şi volumul redus de informaţii necesare pentru elaborarea acestuia, deoarece trebuie discretizată doar frontiera structurii (pentru structuri spaţiale, cu o geometrie complexă, acest avantaj se diminuează considerabil); - comparativ cu alte metode numerice aproximative, volumul calculelor este mai mic, deoarece numărul necunoscutelor (de pe frontieră) este, de regulă, mic; - principiul metodei este raţional, deoarece după determinarea necunoscutelor de pe frontieră, se calculează deplasările şi / sau tensiunile din interiorul domeniului numai în punctele dorite, adică se oferă numai informaţiile strict necesare. Dezavantajele metodei elementelor de frontieră sunt: - generalitatea este limitată de faptul că trebuie cunoscută soluţia fundamentală a problemei. Pentru structuri spaţiale complexe (de exemplu, structuri din plăci) problema fundamentală nu este rezolvată, sau este foarte dificil de rezolvat. De asemenea, sunt restricţii privind aplicabilitatea teoremei reciprocităţii lucrului mecanic: structura trebuie să aibă o comportare linear elastică; - în practica inginerească nu se află în uz curent programe performante care să se fi impus, bazate pe metoda elementelor de frontieră. 11

26 3.1. Metoda elementelor finite - MEF În prezent, MEF este metoda numerică aproximativă de succes, cea mai utilizată pentru calculul structurilor oricât de complexe, solicitate static, dinamic, termic, la stabilitate, la durabilitate, în regim linear elastic, sau în diverse condiţii nelineare. Generalitatea şi supleţea metodei, simplitatea conceptelor de bază, stabilitatea în timp a algoritmilor de calcul, utilizarea calculatoarelor şi existenţa a numeroase programe performante explică extinderea şi interesul generalizat pentru MEF. Formularea MEF se poate face în numeroase modalităţi, mai abstracte sau mai concrete, preponderent matematice sau preponderent practic - inginereşti. Inginerii sunt utilizatori ai MEF (şi ai programelor elaborate pe baza ei), aspectele teoretice şi matematice fiind necesare pentru ei doar pentru înţelegerea principiilor şi subtilităţilor metodei în vederea unei folosiri corecte şi eficiente a procedurilor şi programelor respective. În programele MEF actuale este implementat mai ales modelul deplasare, pentru care necunoscutele sunt deplasările nodale. O cale simplă şi intuitivă pentru a-i defini conceptele şi a formula MEF este aceea de o privi ca o generalizare a metodei deplasărilor pentru structuri din bare drepte, expusă în cap. 8. Generalizarea constă în aceea că elementul de bară dreaptă din metoda deplasărilor devine elementul finit din MEF, acest fapt implicând şi procesul de discretizare. Elementul finit. Ca o structură să fie calculată cu MEF trebuie să fie discretizată ( 3.7). Pe reţeaua de discretizare se definesc elementele finite ale modelului MEF. Un element finit este o componentă de mici dimensiuni a structurii care se calculează, obţinut printr-un proces de decupare realizat prin discretizare aşa cum, de exemplu, zidul unei clădiri poate fi privit ca fiind format din cărămizile utilizate la construcţia sa. De exemplu, un recipient executat din table asamblate prin sudură, poate fi descompus sau discretizat într-un număr de elemente de placă patrulatere şi triunghiulare - denumite elemente finite, ca în figura 3.9. Elementele finite se leagă între ele prin nodurile reţelei de discretizare. 1

27 Procesul de elaborare a unui model MEF are două etape distincte: - prin discretizare structura se descompune într-un număr oarecare de elemente finite; - elementele finite se asamblează, fiind legate în nodurile reţelei de discretizare, pentru Figura 3.9 a recompune structura dată, acesta fiind modelul ei de calcul cu elemente finite. Elementele finite trebuie concepute astfel încât modelul (sau structura idealizată, discretă) să aproximeze cât mai exact structura reală (continuă), cel puţin, din următoarele puncte de vedere: al geometriei, al sarcinilor, al rezemărilor, al rigidităţilor, al maselor, al constantelor elastice, al caracteristicilor fizice şi mecanice ale materialelor şi al tuturor funcţiilor şi cerinţelor pe care structura trebuie să le îndeplinească. Este evidentă legătura dintre procesul de discretizare şi definirea elementelor finite, în general, cele două procese fiind intim asociate. Deci nu se poate preciza ce se face mai întâi: stabilirea parametrilor procesului de discretizare sau definirea tipurilor de elemente finite. Adesea este necesar ca procesul să se realizeze prin încercări succesive, pentru a găsi varianta cea mai bună a modelului MEF. Pentru a putea modela cât mai bine funcţiile pe care structura dată trebuie să le realizeze, utilizatorul dispune de mai multe tipuri fundamentale de elemente finite şi anume: definite într-un punct, pe o linie, pe o suprafaţă sau pe un volum, fiecare dintre acestea având numeroase variante. Un element finit poate fi privit ca o piesă de sine stătătoare, interacţionând cu celelalte elemente numai în noduri. Studiul structurii reale se înlocuieşte cu studiul ansamblului de elemente finite obţinut prin discretizare, care devine astfel o idealizare a structurii originare şi este un model de calcul al structurii date. Pentru ca rezultatele analizei să fie cât mai precise trebuie ca procesul de idealizare al structurii date să fie cât mai performant, ceea ce implică respectarea unor reguli şi exigenţe privind discretizarea, elaborarea modelului de calcul şi - printre altele - 13

28 utilizarea unor elemente finite adecvate. În principiu, dimensiunile elementelor finite pot fi oricât de mici, dar trebuie totdeauna să fie finite, adică nu poate fi făcută o trecere la limită prin care dimensiunile acestora să tindă spre zero. Din nefericire, nu se poate concepe un element finit general, care să aibă o utilitate universală. Pentru a putea fi implementat într-un program MEF şi utilizat pentru un model de calcul, elementul finit trebuie în prealabil proiectat în toate detaliile, adică trebuie definit din punct de vedere geometric, fizic, matematic etc şi stabilite, pentru aceste condiţii, relaţiile proprii de calcul. Privit din punct de vedere informaţional, un element finit este un dispozitiv - sau un model - care trebuie să poată prelucra cât mai precis un volum cât mai mare de informaţii, pentru un set de condiţii impuse. Aceasta presupune ca elementul de o anumită formă geometrică, de exemplu triunghiulară, să aibă un număr cât mai mare de noduri, fiecare nod să aibă un număr cât mai mare de grade de libertate geometrică, iar funcţiile de interpolare să fie cât mai complexe, adică să aibă un număr cât mai mare de parametri. Desigur că menţiunile anterioare sunt de principiu, deoarece cu cât creşte complexitatea elementului finit cresc şi dificultăţile de calcul, astfel încât pentru fiecare situaţie concretă în parte, când se concepe un element finit de un anumit tip se caută o soluţie de compromis. O consecinţă nefastă a acestei situaţii este că programele MEF au biblioteci cu un număr relativ mare de tipuri de elemente finite, pentru a satisface un număr cât mai mare de cerinţe, cât mai diverse, ceea ce produce dificultăţi utilizatorului. Ideea de bază a MEF este că, pentru un element de un tip oarecare, trebuie făcută ipoteza că deplasările din interiorul elementului variază după o lege cunoscută, aleasă apriori, determinată de o funcţie de interpolare. Consecinţa acestui demers este că, local, acolo unde se va afla plasat elementul finit, în urma procesului de discretizare, acesta va aproxima starea de deplasări a structurii prin legea de interpolare implementată în elementul respectiv. În concluzie, comparativ cu alte metode aproximative de calcul (ca, de exemplu, Ritz sau Galerkin), care utilizau ipoteze globale privind comportarea structurii în ansamblu (se alegea un 14

29 anumit tip de funcţie), MEF face ipoteze locale, ceea ce îi asigură o generalitate şi supleţe remarcabile. Figura 3.1 Funcţiile de interpolare au frecvent forma unor polinoame, deoarece sunt continue şi mai simple, comparativ cu alte funcţii. Alegerea gradului polinomului şi determinarea valorilor coeficienţilor acestora trebuie să asigure o cât mai bună aproximare a soluţiei exacte necunoscute a problemei date. În figura 3.1 se prezintă schematic modul în care polinoamele de gradul zero, unu şi doi respectiv cu unu, doi şi trei termeni - pot aproxima o stare de deplasări oarecare. Elementele care au aceleaşi tipuri de funcţii (de obicei polinoame), atât pentru definirea geometriei elementului (de exemplu, pentru laturile sale), cât şi pentru definirea deplasărilor în interiorul său (funcţia de interpolare), se numesc elemente izoparametrice şi sunt cele mai eficiente şi folosite elemente finite în practica MEF. Elementele finite se pot clasifica după diverse criterii, dintre care cele mai importante sunt: Tipul de analiză. Pe o reţea de discretizare se pot defini elemente finite care au incluse diverse proceduri matematice destinate unor analize diverse, ca, de exemplu: liniar elastică, neliniară, transfer de căldură, mecanica fluidelor, electromagnetism, electromagnetism de înaltă frecvenţă etc. Rolul funcţional. Elementele finite utilizate pentru modelarea unei structuri trebuie să poată asigura cât mai bine rolul funcţional al structurii date, adică, de exemplu, o grindă cu zăbrele trebuie modelată cu elemente de tip bară, un capac din tablă subţire trebuie modelat prin elemente de tip placă, o fundaţie prin elemente de tip cărămidă etc. Din aceste considerente elementele sunt de tip punct 15

30 (element de masă sau de tip arc), de tip linie (elemente de bare drepte sau curbe, în plan sau în spaţiu) de tip suprafaţă (elemente de plăci plane sau curbe, groase sau subţiri, în plan sau în spaţiu, elemente axial simetrice, de membrană etc) sau de tip volum (elemente spaţiale, - 3D - pentru structuri solide, compozite, cu număr variabil de noduri, pentru fluide, piezoelectrice, magnetice etc). Fiecare din categoriile de elemente enumerate au mai multe variante, numărul acestora putând ajunge la câteva zeci. De asemenea, categoriile prezentate includ şi elemente cu rol funcţional special, ca de exemplu: rigid, de contact, de frecare, de legătură, definit prin matricea de rigiditate etc. Forma geometrică. Elementele finite au, în general, forme simple ca, de exemplu, linie dreaptă sau arc de cerc, triunghi, patrulater oarecare, tetraedru, hexaedru etc. De asemenea, unele caracteristici geometrice pot fi constante sau variabile, ca secţiunile barelor sau grosimile plăcilor. Numărul nodurilor. Pentru unele dintre elemente, o formă geometrică dată, de exemplu un triunghi, poate avea mai multe variante în ceea ce priveşte numărul de noduri, deoarece în afara nodurilor din vârfuri mai pot exista noduri şi pe laturi şi (sau) în interior. De asemenea se pot utiliza noduri şi în interiorul elementului, pentru rezultate. Se utilizează şi elemente cu număr variabil de noduri, ca, de exemplu, pentru plăci groase elementul poate avea între 8 şi 48 de noduri. Numărul gradelor de libertate ale fiecărui nod. Nodurile elementelor au ataşate, implicit, unele DOF din cele şase posibile, deci se poate opera şi cu numărul total de DOF pentru un element, care este numărul nodurilor înmulţit cu numărul DOF pe nod. Gradul polinomului de interpolare. Fiecare element finit are implementate polinoame de interpolare de un anumit grad, începând cu gradul întâi. Cu cât gradul polinoamelor este mai ridicat cu atât creşte cantitatea de informaţii cu care elementul operează şi deci el este, în general, mai performant. Caracteristicile materialului. În practica analizei cu elemente finite, materialul elementului finit poate fi omogen şi izotrop sau cu o anizotropie de un anumit tip. De asemenea, constantele elastice şi 16

31 fizice ale materialului pot fi dependente de temperatură sau solicitare. Trebuie făcută precizarea că descrierea de mai sus a elementelor finite nu este exhaustivă, ci că ea doar semnalează unele aspecte importante din practica MEF. În concluzie, se menţionează că fiecare tip de element finit este un ansamblu de condiţii şi ipoteze şi el trebuie privit ca un întreg şi folosit ca atare, numai după ce s-a studiat temeinic documentaţia care îl însoţeşte. De exemplu, din parametrii care definesc elementul rezultă comportarea sa la solicitare, tipul stării de tensiuni, interacţiunea sa cu celelalte elemente etc. Programele MEF care se folosesc în analiza structurilor au biblioteci cu un număr impresionant de tipuri de elemente finite, la care se adaugă periodic elemente noi. Pentru a ilustra dinamica dezvoltării MEF, se menţionează că în anul 1984 se identificaseră 88 de variante ale elementelor finite de placă. Determinarea matricei de rigiditate a unui element finit. Etapele determinării matricei de rigiditate a unui element finit sunt, în general, următoarele: 1. Elementul finit trebuie să fie conceput sau proiectat, adică să se stabilească, a priori, toţi parametrii săi şi anume: forma geometrică, numărul de noduri, numărul de DOF/nod, tipul stării de tensiuni, gradul polinoamelor de interpolare, caracteristicile materialului. Pentru exemplificare se consideră un element finit triunghiular, cu trei noduri, cu DOF/nod, plan, de grosime constantă t (placă subţire), polinoame de interpolare de gradul întâi, supus unei stări de tensiune constantă, materialul fiind izotrop. Figura

32 Elementul este raportat la un reper local oxy şi este definit de nodurile i, j, k (de coordonatele lor), în care acţionează forţele X şi Y, ca în figura Acesta este unul dintre cele mai simple tipuri de elemente finite.. Relaţia care defineşte comportarea elastică a unui element finit este de forma (similară cu (8.4), pentru o bară dreaptă) {R} = [k] {u}, (3.37) în care: {u}este vectorul deplasărilor nodale, {R} vectorul eforturilor nodale (sau al forţelor nodale generalizate) şi [k] matricea de rigiditate elementului finit. 3. Se defineşte vectorul 4. Se defineşte vectorul deplasărilor nodale: eforturilor nodale: u i nodul i X i v nodul i i Yi u j X j u v nodul j. R j Y nodul j. j u k X k nodul k v nodul k k Y k Observaţie: Vectorii {R} şi {u} pentru un element finit sunt similari cu cei corespunzători ai elementului de bară dreaptă (cap. ), cu menţiunea că pentru elementele finite vectorul {R} nu mai are o semnificaţie specială, ca pentru bare (la bare {R} era vectorul eforturilor de la capete). Relaţia (3.37) trebuie interpretată astfel: deplasările nodale {u} produc în mod unic eforturile nodale {R}. Reciproca nu este adevărată, deoarece pentru anumite valori ale eforturilor {R} se pot obţine o infinitate de vectori {u} ai deplasărilor nodale, diferiţi prin deplasările de corp rigid ale elementului. Spre deosebire de deplasările nodale care sunt independente, eforturile trebuie să satisfacă ecuaţiile de echilibru ale elementului finit. 5. Se scriu ecuaţiile de echilibru ale elementului finit: - ecuaţia forţelor pe direcţia ox: X i + X j + X k = ; - ecuaţia forţelor pe direcţia oy: Y i + Y j + Y k = ; - ecuaţia momentelor în raport cu originea: -X i * y i + -X j * y j + -X k * y k + Y i * x i + Y j * x j + Y k * x k =. Observaţie: Rezultă că trei forţe nodale independente nu pot determina univoc şase deplasări nodale. În consecinţă, matricea de rigiditate, [k], a elementului finit considerat este singulară, adică nu poate fi inversată, rangul ei fiind trei. 18

33 6. Expresiile deplasărilor, u şi v, într-un punct oarecare din interiorul elementului finit sunt: u (x, y) = α 1 + α x + α 3 y ; v (x, y) = α 4 + α 5 x + α 6 y, (3.38) în care α i sunt parametri independenţi, ceea ce este în acord cu considerentele de la etapa 1şi anume: - polinoamele sunt de gradul întâi; - deformaţiile şi tensiunile sunt constante în interiorul elementului: 7. Se calculează, în interiorul elementului finit, deformaţiile: ε x = u/ x= α ; ε y = v/ y= α 6 ; γ xy = u/ y+ v/ x= α 3 + α 5. (3.39) 8. Se calculează, în interiorul elementului finit, tensiunile: ζ x = E (α + υ α 6 ) / (1 υ ) ; ζ y = E (α 6 + υ α ) / (1 υ ) ; η xy = E (α 3 + α 5 ) / [*(1 + υ)]. (3.4) 9. Deplasările în noduri trebuie să fie componentele vectorului {u}, adică u i =α 1 +α x i +α 3 y i ; u j =α 1 +α x j +α 3 y j ; u k =α 1 +α x k +α 3 y k ; (3.41 ) v i =α 4 +α 5 x i +α 6 y i ; v j =α 4 +α 5 x j +α 6 y j ; v k =α 4 +α 5 x k +α 6 y k. (3.41 ) 1. Relaţiile (3.41) pot fi privite ca un sistem de ecuaţii în care necunoscutele sunt parametrii α i. În urma rezolvării sistemului rezultă: α 1 = (a i u i + a j u j + a k u k ) / Δ ; α = (b i u i + b j u j + b k u k ) / Δ ; α 3 = (c i u i + c j u j + c k u k ) / Δ ; (3.4 ) α 4 = (a i v i + a j v j + a k v k ) / Δ ; α 5 = (b i v i + b j v j + b k v k ) / Δ ; α 6 = (c i v i + c j v j + c k v k ) / Δ, (3.4 ) în care s-au notat: a i = x j y k x k y j ; a j = x k y i x i y k ; a k = x i y j x j y i ; b i = y j - y k ; b j = y k y i ; b k = y i y j ; (3.4 ) c i = x k - x j ; c j = x i x k ; c k = x j x i, şi Δ este determinantul x x x i j k y y y i j k 19, a cărui valoare absolută este dublul ariei triunghiului ijk. Volumul elementului finit este V = Δ t /, în care t este grosimea. 11. Funcţiile de interpolare se obţin prin înlocuirea valorilor (3.4) în expresiile (3.38): u (x, y) = N i (x, y) u i + N j (x, y) u j + N k (x, y) u k ; (3.43 ) v (x, y) = N i (x, y) v i + N j (x, y) v j + N k (x, y) v k, (3.43 )

34 în care N(x, y) sunt funcţiile de interpolare: N i =(a i +b i x+c i y)/δ ; N j =(a j +b j x+c j y)/δ; N k =(a k +b k x+c k y)/δ. (3.44) Cu relaţiile (3.43) se pot calcula componentele deplasărilor unui punct oarecare din interiorul elementului finit, în funcţie de deplasările nodale. Este remarcabil faptul că în nodurile elementului funcţiile de interpolare au valorile: N i (x i, y i ) = 1; N i (x j, y j ) = ; N i (x k, y k ) = ; N j (x i, y i ) = ; N j (x j, y j ) = 1; N j (x k, y k ) = ; N k (x i, y i ) = ; N k (x j, y j ) = ; N k (x k, y k ) = Energia de deformaţie a elementului finit este 1 W [ x y x y (1) xy] dv, E V sau W = Δ t [ (1 ) ] /E, x y în care valorile (constante) ale tensiunilor sunt (3.4). 13. Lucrul mecanic al eforturilor nodale este: U = - X i u i X j u j X k u k Y i v i Y j v j Y k v k = - {u} T {R}. 14. Minimul energiei potenţiale totale Π = W + U se realizează când sunt îndeplinite condiţiile: Π/ u i =; Π/ u j =; Π/ u k =; Π/ v i =; Π/ v j =; Π/ v k =. (3.45) În calculul derivatelor (3.45) se va avea în vedere că: x E u 1 i 6 Ebi ; ui u i (1 ) x 11 y x E v 1 i xy 6 Eci ;... vi v i (1 ) După efectuarea calculelor, condiţiile (3.45) pot fi scrise explicit sub forma sistemului de ecuaţii k 11 u i + k 1 v i + k 13 u j + k 14 v j + k 15 u k + k 16 v k = X i k 1 u i + k v i + k 3 u j + k 4 v j + k 5 u k + k 6 v k = Y i k 31 u i + k 3 v i + k 33 u j + k 34 v j + k 35 u k + k 36 v k = X j k 41 u i + k 4 v i + k 43 u j + k 44 v j + k 45 u k + k 46 v k = Y j k 51 u i + k 5 v i + k 53 u j + k 54 v j + k 55 u k + k 56 v k = X k k 61 u i + k 6 v i + k 63 u j + k 64 v j + k 65 u k + k 66 v k = Y k ai cărui coeficienţi k ij (pentru i = 1,,...6 şi j = 1,,...6) sunt chiar elementele matricei de rigiditate, [k], din relaţia (3.37), a elementului.

35 Matricea de rigiditate a elementului finit de tipul considerat este: Nodul i j k Direcţia x y x y x y X i y x j y x k y în care s-au folosit notaţiile: 1 1 Et K ; β =(1- υ)/ şi γ=(1+ υ) /. Formularea matriceală a MEF. Relaţiile de bază ale MEF pot fi scrise în formă matriceală, ceea ce oferă metodei mai multă claritate, concizie şi generalitate. Astfel relaţiile (3.4) se scriu. B sau, * xy y x De asemenea relaţiile (3.4) devin {α} = [B 1 ] {u}, de unde {ε} = [B 1 ] [C]{u}, sau {ε} = [B] {u}, (3.47) în care s-a notat {ε} = [B 1 ] [C] şi. b c b c b c c c c b b b B k k j j i i k j i k j i Legea lui Hooke (3.4) capătă forma (3.46)

36 x 1 x E y 1 y, sau {ζ} = [D] {ε}, 1 xy (1) xy în care se poate înlocui relaţia (3.47) şi rezultă {ζ} = [D] [B] {u}. (3.48) Expresia energiei de deformaţie a elementului finit considerat capătă forma 1 T W dv, V în care se înlocuiesc expresiile (3.47) şi (3.48) şi rezultă 1 T T W u B DB dv * u, (3.49) V deoarece ( B u) T u T B T. Cu notaţia T k B D B, (3.5) V dv expresia energiei potenţiale totale este 1 T T W U u ku u R, (3.51) pentru care se pune condiţia de minim π/ u = [k]{u} - {R} =, din care rezultă că (3.5) este chiar expresia matricei de rigiditate a elementului finit. Scrise în forma matriceală, expresiile (3.49), (3.5) şi (3.51) sunt generale, valabile pentru orice tip de element finit. În relaţiile de mai sus trebuie remarcat că: - matricea [B] este matricea geometrică a elementului, deoarece defineşte legătura dintre vectorul deformaţiilor specifice {ε} şi vectorul deplasărilor nodale, {u}; - matricea [D] este matricea de elasticitate, a materialului, care intervine în expresia legii lui Hooke. În cazul general, poate fi dificil calculul analitic al integralei din expresia matricei de rigiditate (3.5), situaţii în care valorile respective se determină prin integrare numerică. 11

37 Pentru tipul de element finit considerat, expresia de sub operatorul integrală este constantă, ceea ce duce la [k] = Δ t [B] T [D] [B] /, (3.46 ) care este forma matriceală a expresiei, (3.46), a matricei de rigiditate a elementului finit. Celelalte aspecte ale MEF. Următoarele concepte, definiţii şi semnificaţii ale mărimilor, proceselor şi noţiunilor din metoda deplasărilor pentru bare drepte rămân valabile şi în MEF, motiv pentru care nu vor mai fi reluate în acest capitol: - nodul şi gradele de libertate geometrică, DOF, asociate; - matricea de rigiditate a elementului (se schimbă doar metodologia de calcul şi ceea ce rezultă din ea, adică relaţiile de calcul); - transformarea matricei de rigiditate a elementului la trecerea de la reperul local la cel global; - procesul de asamblare a matricelor de rigiditate ale elementelor în matricea de rigiditate a structurii; - formarea sistemului de ecuaţii al structurii; - scrierea condiţiilor în legături; - etapele de rezolvare a unei probleme. Verificarea modelelor de calcul cu elemente finite. Modelul de calcul şi rezultatele obţinute cu ajutorul său trebuie supuse unor teste şi verificări. Scopul acestora este de a valida modelul, adică de a determina dacă acesta satisface exigenţele impuse şi dacă rezultatele obţinute cu ajutorul lui permit formularea unor răspunsuri neechivoce la întrebările clare puse de beneficiarul analizei cu elemente finite. Unele teste şi verificări sunt calitative şi globale, altele cantitative şi de detaliu. Dacă testele şi verificările duc la concluzii nefavorabile, modelul trebuie îmbunătăţit şi procesul de verificare-îmbunătăţire-verificare se continuă până când se obţine un model satisfăcător, adică valid. În figura 3.1 este prezentată schema generală a procesului de verificare-îmbunătăţire a modelului de calcul cu elemente finite. 113

38 Figura 3.1 O enumerare a celor mai importante şi utilizate metode şi procedee de verificare a modelelor pentru calculul cu elemente finite este următoarea: - verificările experimentale pe structura reală. De obicei acestea sunt ulterioare calculului (după ce structura s-a executat. Se pot face şi verificări experimentale pe modele fizice reduse la scară; - efectuarea calculelor pe două sau mai multe modele şi compararea rezultatelor obţinute. Modelele pot fi de acelaşi tip, adică elaborate pe baza aceleiaşi metode de calcul (de exemplu, MEF) sau de tipuri diferite, adică elaborate pe baza unor metode de calcul diferite; - preprocesarea geometriei modelului este cea mai utilizată şi cea mai eficientă metodă de verificare a geometriei modelului, a corectitudinii definirii condiţiilor de rezemare şi a aplicării sarcinilor. Se poate spune că este totdeauna obligatorie. Figura