3. REPREZENTAREA PLANULUI
|
|
- Υπάτιος Αγγελόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 3.1. GENERALITĂŢI 3. REPREZENTAREA PLANULUI Un plan este definit, în general, prin trei puncte necoliniare sau prin o dreaptă şi un punct exterior, două drepte concurente sau două drepte paralele (fig.3.1). a b c d Fig. 3.1
2 48 Geometrie descriptivă-indrumar de laborator şi teme Urmele planului. Urmele unui plan [P] sunt dreptele sale de intersecţie cu planele de proiecţie(fig.3.2): -urma orizontală: (Ph) [P] [H], -urma verticală: (Pv) [P] [V], -urma laterală: (Pl) [P] [L]. Fig. 3.2
3 Planul Dreaptă şi punct în plan. O dreaptă aparţine unui plan dacă urmele sale aparţin urmelor de acelaşi fel ale planului (fig.3.3): (D) [P] v' (Pv ) h (Ph ). Un punct aparţine unui plan dacă aparţine unei drepte conţinute în plan (fig.3.3). Fig. 3.3
4 50 Geometrie descriptivă-indrumar de laborator şi teme Plane particulare. a. Plane paralele cu planele de proiecţie (fig ). -Planul de nivel [N] [H].(fig.3.4) Fig. 3.5
5 Planul 51 -Planul frontal [F] [V] (fig.3.5). Fig. 3.5
6 52 Geometrie descriptivă-indrumar de laborator şi teme -Planul de profil [P] [L] (fig.3.6). Fig. 3.6
7 Planul 53 a. Plane perpendiculare pe planele de proiecţie (fig ). -Planul vertical [P] [H] (fig.3.7) Fig. 3.7
8 54 Geometrie descriptivă-indrumar de laborator şi teme -Planul de capăt [P] [V] (fig.3.8). Fig. 3.8
9 Planul 55 -Planul fronto-orizontal [P] [L] (fig.3.9) Fig. 3.9
10 56 Geometrie descriptivă-indrumar de laborator şi teme Poziţiile relative ale planelor. Două plane pot fi concurente atunci când urmele lor sunt concurente (fig.3.10) şi paralele urmele lor de acelaşi fel sunt paralele (fig.3.11). Fig Fig. 3.11
11 Planul Poziţiile relative ale dreptei faţă de plan. O dreaptă poate fi paralelă cu un plan (fig.3.12) sau concurentă cu un plan (fig.3.13). Fig Fig Dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan, proiecţiile sale vor fi perpendiculare pe urmele de acelaşi fel ale planului. Un plan [P] este perpendicular pe un plan [Q] dacă una din dreptele sale (D) este perpendiculară pe planul [Q] (fig.3.14). Fig. 3.14
12 58 Geometrie descriptivă-indrumar de laborator şi teme 3.2. VIZIBILITATEA ÎN EPURĂ În rezolvarea unor probleme de geometrie descriptivă se pune problema determinării vizibilităţii figurilor reprezentate,în special la intersecţii (dreaptă - plan, intersecţia planelor sau a corpurilor geometrice) sau la reprezentarea unor corpuri geometrice, considerate opace. Proiecţiile acestor elemente pe planele de proiecţie, considerate şi ele opace, se pot suprapune parţial sau total. Pentru stabilirea vizibilităţii în epură se consideră că observatorul priveşte după direcţii perpendiculare pe planele de proiecţie, fiind situat în primul diedru (triedru). Vizibilitatea în epură se stabileşte printr-un raţionament geometric riguros. La stabilirea vizibilităţii într-o epură în care sunt reprezentate mai multe elemente din spaţiu, este necesar a se observa, atât poziţia reciprocă a acestora cât şi poziţia pe care elementele considerate o deţin faţă de planele de proiecţie. Astfel, dacă pe o verticală (D)(d, d') sunt situate punctele distincte M 1 (m 1,m' 1 ) şi M 2 (m 2,m' 2 ) (fig.3.15 a), se observă că proiecţiile lor orizontale coincid (m 1 = m 2 ). Prin urmare în proiecţie orizontală va fi vizibil punctul M 1 întrucât acesta este mai apropiat de observator. Prin urmare, pentru determinarea vizibilităţii unor puncte ale căror proiecţii - pe unul din planele de proiecţie coincid, sunt comparate distanţele (abcisele, cotele sau depărtările) acestora faţă de planul de proiecţie. În concluzie, dacă proiecţiile - pe un plan - a două puncte coincid, atunci punctul care se află la distanţa cea mai mare faţă de acel plan de proiecţie este vizibil. Printr-un raţionament asemănător determinăm vizibilitatea dintre punctele, N 1 (n 1, n' 1 ) şi N 2 (n 2, n' 2 ), situate pe dreapta de capăt (Δ)(δ, δ')(fig b), punctul N 1 devine vizibil pe planul [V] de proiecţie. Dintre punctele M(m, m') şi N(n, n'), situate pe fronto-orizontala (D)(d, d') (fig c), pe baza aceluiaşi raţionament, punctul M devine vizibil pe planul [L] de proiecţie. Fig 3.15
13 Planul 59 Problema de vizibilitate se pune şi în cazul punctelor de concurenţă a proiecţiilor de acelaşi nume pentru două drepte disjuncte (oarecare) (D 1 )(d 1,d' 1 ) şi (D 2 )(d 2,d' 2 ) (fig.3.16). Astfel, la intersecţia proiecţiilor orizontale (d 1 ) şi (d 2 ) ale dreptelor, proiecţiile orizontale ale punctelor M (D 1 ) şi N (D 2 ) coincid (m = n), iar la intersecţia proiecţiilor verticale (d' 1 ) şi (d' 2 ), proiecţiile verticale ale punctelor P (D 1 ) şi Q (D 2 ) coincid (p' = q'). Pentru determinarea vizibilităţii acestor puncte, cu ajutorul liniilor de ordine se determină m' (d' 1 ), h' (d' 1 ) şi p (d 1 ), q (d 2 ), după care se compară cotele punctelor M şi N, respectiv depărtările punctelor P şi Q. Deoarece între coordonatele ale acestor puncte există relaţiile y m > z n şi y p > y n, rezultă că M (D 1 ) şi este vizibil pe planul [H], iar P (D 2 ) este vizibil pe planul [V] de proiecţie. Fig Fig Des întâlnită este şi problema vizibilităţii intersecţiei dintre o dreaptă şi un plan considerat opac. În fig. 3.17, se consideră planul [P] definit prin punctele : A(a, a' ), B(b, b' ) şi C(c, c' ) şi dreapta (D)(d, d'), concurentă cu acest plan. Punctul M = (D) [P] împarte dreapta (D) în două semidrepte. Pentru determinarea punctului M, prin dreapta (D)(d, d') se construieşte planul de capăt [Q](Q h,q v ) care intersectează planul [A B C] după dreapta (12)(12, 1'2'). Prin urmare, M(m, m') = (D) (12). Pentru stabilirea vizibilităţii pe planul [H] de proiecţie, se compară cotele punctelor 4 (D ) şi 5 [A B C]. Întrucât z 5 >z 4, rezultă că segmentul M 4 nu este vizibil în proiecţie orizontală. Pentru stabilirea vizibilităţii pe planul [V] de proiecţie, se compară depărtările 3 (D ) şi 1 [A B C]. Se observă că depărtările acestor puncte se află în relaţia y 3 >y 1. Rezultă că segmentul M 3 este vizibil în proiecţie verticală. Dreapta (D) este vizibilă, pe ambele plane de proiecţie, în afară proiecţiilor triunghiului[ A B C].
14 60 Geometrie descriptivă-indrumar de laborator şi teme 3.3. LUCRĂRI DE LABORATOR Plan definit de două drepte concurente. (D) (D 1 ) Enunţ: Să se reprezinte urmele planului [P] definit de două drepte concurente (D) (D 1 ); (D)= (AB) şi (D 1 )= (AC ) (tabelul 3.1). Indicaţii: 1.1. Lucrarea se execută pe un format A4( ).( fig 3.18); exemplul de rezolvare este corespunzător variantei nr Se liniază formatul A4 conform modelului (fig.3.18) Se completează enunţul problemei Se scriu coordonatele punctelor A,B,C (tabelul 3.1) şi se precizează poziţia lor în spaţiu : A(35,10,30) I 1, B(60,35,0) I 1, C(20,50,10) I Se reprezintă epurele punctelor A,B,C conform modelului(fig.3.18) Se reprezintă proiecţiile dreptei (D), definită de punctele A şi B ; (D)= (AB) Se reprezintă proiecţiile dreptei (D 1 ) definită de punctele A şi C ; (D 1 )= (AC) Se determină urmele dreptei (D); urma orizontală H (h,h ) şi urma verticală V (v, v ) Se determină urmele dreptei (D 1 ); urma orizontală H 1 (h 1,h 1, ) şi urma verticală V 1 (v 1,v 1 ) Urmele planului trebuie să treacă prin urmele de acelaşi fel ale dreptelor care-l determină, astfel (Ph) = (hh 1 ) şi (Pv) = (v v 1 ) 1.11.Se completează indicatorul conform modelului (fig.3.18).
15 Planul 61 Tabelul Punctul x A y z x B y z x C y z Punctul x A y z x B y z x C y z Punctul x A y z x B y z x C y z
16 62 Geometrie descriptivă-indrumar de laborator şi teme Fig. 3.18
17 Planul Plan definit de o dreaptă oarecare şi o frontală, (D) (F). Enunţ: Să se reprezinte urmele planului [P] definit de drepta (D)= (AB) concurentă cu dreapta frontală (F).Frontala (F) este perpendiculară pe dreapta (D) în punctul A (tabelul 3.2 ). Indicaţii: 1.1. Lucrarea se execută pe un format A4( ) ( fig 3.19); exemplul de rezolvare este corespunzător variantei nr Se liniază formatul A4 conform modelului (fig.3.19) Se completează enunţul problemei Se scriu coordonatele punctelor A,B ( tabelul 3.2) şi se precizează poziţia lor în spaţiu : A(30,5,25) I 1 ; B(10,35,0) [H] Se reprezintă epurele punctelor A,B conform modelului(fig.3.19) Se reprezintă proiecţiile dreptei (D), definită de punctele A şi B ; (D)= (AB) Se determină urmele dreptei (D): -H(h,h, ), urma orizontală, -V(v, v ), urma verticală Prin a se duce (f ) (d ) deoarece frontala (F), fiind paralelă cu planul [V], unghiul drept se proiectează în adevărată mărime în acest plan Se determină urma orizontală H 1 (h 1,h 1 ) a frontalei (F) Proiecţia orizontală a frontalei (f) va fi paralelă cu (Ox); (f) (Ox) Urmele planului trebuie să treacă prin urmele de acelaşi fel ale dreptelor care-l determină,astfel : -urma orizontală (Ph) def (hh 1 ) şi -urma verticală (Pv) ) (f ) deoarece orice frontală a unui plan este paralelă cu urma verticală a acestuia şi v (Pv) Verificarea rezolvării: -urmele (Ph) şi (Pv) trebuie să fie concurente în Px Se completează indicatorul conform modelului (fig.3.19).
18 64 Geometrie descriptivă-indrumar de laborator şi teme Tabelul Punctul x A y z x B y z Punctul x A y z x B y z Punctul x A y z x B y z
19 Planul 65 Fig. 3.19
20 66 Geometrie descriptivă-indrumar de laborator şi teme Plan definit de o dreaptă orizontală şi o dreaptă frontală. Enunţ: Să se reprezinte urmele planului [P] definit de o dreapta orizontală (O) şi concurentă cu o dreapta frontală (F);(O)= (AB)şi (F)= (AC ) (tabelul 3.3 ). Indicaţii: 1.1. Lucrarea se execută pe un format A4( ).( fig 3.20); exemplul de rezolvare este corespunzător variantei nr Se liniază formatul A4 conform modelului (fig.3.20) Se completează enunţul problemei Se scriu coordonatele punctelor A,B,C (tabelul 3.3) şi se precizează poziţia lor în spaţiu : A(70,20,15) I 1, B(10,55,15) I 1, C(50,20,35) I Se reprezintă proiecţiile dreptei (O) (o) şi (o ), definită de punctele A şi B ; (O)= (AB) Se reprezintă proiecţiile dreptei (F) (f) şi (f ), definită de punctele A şi C; (F)= (AC) Se determină urma orizontală H 1 (h 1, h 1 ) a dreptei (F) Se determină urma verticală V 2 (v 2, v 2 ) a dreptei (O) Urmele planului trebuie să treacă prin urmele de acelaşi fel ale dreptelor care-l determină,astfel - (Ph) (o) prin h 1, proiecţia orizontală a urmei orizontale H 1 a frontalei (F) - (Pv) (f ) prin v 2, proiecţia verticală a urmei verticale a orizontalei (O) Verificarea rezolvării: -urmele (Ph) şi (Pv) trebuie să fie concurente în Px Se completează indicatorul conform modelului (fig.3.20).
21 Planul 67 Tabelul Punctul A x y z x B y z x C y z Punctul x A y z x B y z x C y z Punctul x A y z x B y z x C y z
22 68 Geometrie descriptivă-indrumar de laborator şi teme Fig.3.20
23 Planul Intersecţia unei drepte cu un plan. Enunţ: Să se reprezinte intersecţia unei drepte (D)=(AB)cu un plan [P] definit de punctele necoliniare Px, H şi V. (tabelul 3.4). Indicaţii: 1.1. Lucrarea se execută pe un format A4( ) ( fig 3.21); exemplul de rezolvare este corespunzător variantei nr Se liniază formatul A4 conform modelului (fig.3.21) Se completează enunţul problemei Se scriu coordonatele punctelor date în tabelul 3.4 şi se precizează poziţia lor în spaţiu : 1.5. A(90,45,5) I 1 ; B(35,10,35) I 1 ; Px(10,0,0) (Ox); H(110,85,0) [H]; V(110,0,40) [V] Se reprezintă epurele punctelor A, B, Px, H, V conform modelului (fig.3.21) Se reprezintă proiecţiile dreptei (D)(d, d ) definită de punctele A şi B Se determină urmele dreptei (D)(d, d ), H 1 şi V Se determină urmele planului [P],(Ph) şi (Pv) definite de punctele Px, H şi V Pentru determinarea punctului de intersecţie dintre dreapta (D) şi planul [P] se foloseşte o construcţie auxiliară : -prin dreapta (D) se construieşte un plan proiectant [Q] (în varianta rezolvată s-a ales un plan de capăt) (Qv) =(d ) şi (Qh). (Ox). -se determină dreapta (Δ)(δ, δ ) de intersecţie a planelor [P] şi [Q]: (δ )(h 2 v 2 ) şi (δ) (h 2 v 2 ); ( v 2 ) se află la intersecţia (Qv) (Pv), iar h 2 la intersecţia (Qh) (Ph). -intersecţia dreptei (D)(d, d ) cu dreapta (Δ)(δ, δ ) determină punctul M(m, m ) de intersecţie a dreptei (D) cu planul [P] Se stabileşte vizibilitatea dreptei (D) în raport cu planul [P] Se completează indicatorul conform modelului (fig.3.21).
24 70 Geometrie descriptivă-indrumar de laborator şi teme Tabelul Punctul x A y z x B y z x Px y z x H1 y z x V1 y z Punctul x A y z x B y z x Px y z x H1 y z x V1 y z
25 Planul 71 Tabelul 3.4 continuare Punctul x A y z x B y z x Px y z x H1 y z x V1 y z
26 72 Geometrie descriptivă-indrumar de laborator şi teme Fig 3.21
27 Planul TEME Perpendiculara pe planul Δ[ABC] (fără urme). Enunţ: Să se construiască intersecţia dintre perpendiculara din punctul M pe planul triunghiului [ABC] fără a determina urmele planului şi să se stabilească vizibilitatea perpendicularei (MI) în raport cu triunghiul [ABC] (tabelul 3.5). Indicaţii: 1.1. Lucrarea se execută pe un format A4( ) ( fig 3.22); exemplul de rezolvare este corespunzător variantei nr Se liniază formatul A4 conform modelului (fig.3.22) Se completează enunţul problemei Se scriu coordonatele punctelor A, B, C şi M (tabelul 3.5) şi se precizează poziţia lor în spaţiu : A(100,5,25) I 1 ; B(50,50,5) I 1 ; C(40,20,60) I 1 ; M(80,60,65) I Se reprezintă proiecţiile Δ[ABC], [abc] şi [a b c ] Din punctul M se duce perpendiculara pe planul triunghiului astfel: -prin punctul A se duce o orizontală(o) în planul Δ[ABC] care va intersecta latura BC în punctul 1(1,1 ); -prin punctul C se duce o frontală (F) în planul Δ[ABC] care va intersecta latura AB în punctul 2(2,2 ); -ştiind că o perpendiculară pe un plan este perpendiculară pe toate orizontalele şi frontalele planului şi perpendiculara din M pe planul Δ[ABC] va fi perpendiculară pe (O) şi (F), deci din m se duce o perpendiculară pe (o) şi din m o perpendiculară pe (f ) Se va determina punctul I de intersecţie dintre perpendiculara din M pe planul Δ[ABC],utilizînd ca plan auxiliar un plan de capăt [Q] (lucrarea şi fig.3.22) Perpendiculara va intersecta planul Δ[ABC] în punctele 3 şi 4. Proiecţia orizontală (3,4 ) a dreptei (34) de intersecţie dintre planul Δ[ABC] şi planul [Q] se va intersecta cu proieţia orizontală a perpendicularei din M pe planul Δ[ABC] în i (proiecţia orizontală a punctului de intersecţie dintre perpendiculară şi Δ[ABC] ); proiecţia verticală i a acestui punct se obţine ducând linie de ordine pe proiecţia verticală a perpendicularei din m pe (f ) Se stabileşte vizibilitatea dreptei (MI) în raport cu planul Δ[ABC] Se completează indicatorul conform modelului (fig.3.22).
28 74 Geometrie descriptivă-indrumar de laborator şi teme Tabelul Punctul x A y z x B y z x C y z x M y z Punctul x A y z x B y z x C y z x M y z
29 Planul 75 Tabelul 3.5 continuare Punctul x A y z x B y z x C y z x M y z
30 76 Geometrie descriptivă-indrumar de laborator şi teme Fig. 3.22
31 Planul Intersecţia a două plăci triunghiulare Δ[ABC] Δ[MNP]. Enunţ: Să se determine intersecţia dintre placa Δ[ABC] şi Δ[MNP], fără a determina urmele planului şi să se stabilească vizibilitatea celor două plăci triunghiulare (tabelul 3.6 ). Indicaţii: 1.1. Lucrarea se execută pe un format A4( ) ( fig 3.23 ); exemplul de rezolvare este corespunzător variantei nr Se liniază formatul A4 conform modelului (fig.3.23) Se completează enunţul problemei Se scriu coordonatele punctelor A, B, C şi M, N, P (tabelul 3.6) şi se precizează poziţia lor în spaţiu : A(90,35,10) I 1 ; B(50,5,65) I 1 ; C(5,55,20) I 1 ; M(100,50,35) I 1 ; N (70,85,75) I 1 ; P(20,0,0) I Se reprezintă epurele punctelor A, B, C şi M, N, P conform modelului (fig.3.23) Se reprezintă proiecţiile Δ[ABC], [a,b,c] şi [a, b, c ] Se reprezintă proiecţiile Δ[MNP], [m,n,p] şi [m, n, p ] Pentru determinarea dreptei de intersecţie dintre Δ[ABC] şi Δ[MNP], se folosesc două plane de capăt auxiliare, unul care conţine latura NP şi intersectează Δ[ABC] în punctele 1 şi 2 şi unul care conţine latura MP şi intersectează Δ[MNP] în punctele 3 şi Dreapta TS de intersecţie a celor două plăci triunghiulare se obţine unind punctele T şi S situate la intersecţiile dreptelor 12 şi 34 cu laturile NP şi MP : NP 12 S MP 34 T Se obţine întâi proiecţia orizontală ts şi apoi proiecţia verticală t s Se stabileşte vizibilitatea în planul [H] cu ajutorul punctelor 1 şi 3 şi in planul [V] cu ajutorul punctelor 2 şi Se completează indicatorul conform modelului (fig.3.23).
32 78 Geometrie descriptivă-indrumar de laborator şi teme A B C M N P A B C M N P punctul punctul Tabelul x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z
33 Planul 79 Tabelul 3.6 continuare A B C M N P punctul x y z x y z x y z x y z x y z x y z
34 80 Geometrie descriptivă-indrumar de laborator şi teme Fig.3.23
35 Planul Construcţia unui triunghi isoscel [ABC]într-un plan [P]. Enunţ: Să se construiască în planul [P] (Px, Py, Pz) un triunghi isoscel [ABC] cu laturile /AB/= /AC/= 30 mm; punctul A este proiecţia punctului M pe planul [P] (tabelul 3.7). Indicaţii: 1.1. Lucrarea se execută pe un format A4( ) ( fig 3.24); exemplul de rezolvare este corespunzător variantei nr Se liniază formatul A4 conform modelului (fig.3.24) Se completează enunţul problemei Se scriu coordonatele punctelor Px, Py, Pz şi M (tabelul 3.7) şi se precizează poziţia lor în spaţiu : Px (95,0,0) (Ox) ; Py(0,75,0) (Oy) ; Pz(0,0,65) (Oz) M(65,50,60) I Se reprezintă epurele punctelor Px, Py, Pz şi M conform modelului (fig.3.24) Proiecţia punctului M pe planul [P] va fi punctul A (intersecţia perpendicularei din M cu planul [P] ) Proiecţiile punctului A se obţin utilizând ca plan auxiliar, planul de capăt [Q] (fig.3.24) Pentru a construi triunghiul isoscel [ACB] în planul [P] vom utiliza o frontală (F) şi o orizontală (O) aparţinând planului [P] şi concurente în A, deci urmele acestor drepte vor aparţine urmelor planului [P] : h 1 (Ph) şi v (Pv ) 1.9. Proiecţiile triunghiului isoscel [ABC] se vor construi astfel: -proiecţia verticală a laturii AB, (a b ) se va construi în adevărată mărime pe proiecţia verticală a frontalei (F), (f ) (Pv); -proiecţia orizontală a laturii AC, (ac ) se va construi în adevărată mărime pe proiecţia orizontală a orizontalei (O), (o ) (Ph) Fiind determinate proiecţiile punctelor A,B,C se construieşte triunghiul isoscel [ABC] unind proiecţiile de acelaşi fel ale acestor puncte Se stabileşte vizibilitatea dreptei (MA) în raport cu planul [P] Se completează indicatorul conform modelului (fig.3.24).
36 82 Geometrie descriptivă-indrumar de laborator şi teme Tabelul Punctul x Px y z x Py y z x Pz y z x M y z Punctul x Px y z x Py y z x Pz y z x M y z
37 Planul 83 Tabelul 3.7 continuare Punctul x Px y z x Py y z x Pz y z x M y z
38 84 Geometrie descriptivă-indrumar de laborator şi teme Fig. 3.24
39 Planul Intersecţia a două plane [P] [Q] 3.8). Enunţ: Să se determine intersecţia planelor ; [P] (Px, A, B) şi [Q] (Qx, M, N) (tabelul Indicaţii: 1.1. Lucrarea se execută pe un format A4( ) ( fig 3.25); exemplul de rezolvare este corespunzător variantei nr Se liniază formatul A4 conform modelului (fig.3.25) Se completează enunţul problemei Se scriu coordonatele punctelor Px, A, B şi Qx, M, N (tabelul 3.8) şi se precizează poziţia lor în spaţiu : Px (100,0,0) (Ox) ; A(70,0,50) [V]; B(85,20,0) [H]; Qx(10,0,0)) (Ox) ; M(35,0,30) [V]; N(35,40,0) [H] Se reprezintă epurele punctelor Px, A, B şi Qx, M, N conform modelului (fig.3.25) Se reprezintă urmele planelor [P] şi [Q] : (Pv) definit de (Px,a );(Ph) definit de (Px,b); (Qv) definit de (Qx,m );(Qh) definit de (Qx,n); 1.7. Dreapta (D) de intersecţie a celor două plane va trece prin punctele lor comune. Acestea vor fi la intersecţia urmelor planelor [P] şi [Q] şi anume: (Pv) (Qv) v (Ph) (Qh) h (fig.3.25) Proiecţiile dreptei de intersecţie (D) se obţin unind proiecţiile de acelaşi fel ale celor două puncte V şi H care o determină, astfel: -(d) este definită de v şi h; -(d ) este definită de v şi h Se completează indicatorul conform modelului (fig.3.25).
40 86 Geometrie descriptivă-indrumar de laborator şi teme Px A B Qx M N Px A B Qx M N punctul punctul Tabel x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z
41 Planul 87 Tabelul 3 8 continuare Px A B Qx M N punctul x y z x y z x y z x y z x y z x y z
42 88 Geometrie descriptivă-indrumar de laborator şi teme Fig. 3.25
4. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE
4. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE 4.1. GENERALITĂŢI În general corpurile geometrice sunt în poziţii oarecare faţă de planele de proiecţie. Prin metodele geometriei descriptive proiecţiile acestor corpuri
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότερα6.CONUL ŞI CILINDRUL. Fig Fig. 6.2 Fig. 6.3
6.CONUL ŞI CILINDRUL 6.1.GENERALITĂŢI Conul este corpul geometric mărginit de o suprafaţă conică şi un plan; suprafaţa conică este generată prin rotaţia unei drepte mobile, numită generatoare, concurentă
Διαβάστε περισσότερα7. PROBLEME DE SINTEZĂ (punct, dreaptă, plan, metode)
PL STZĂ 115 7. PL STZĂ (punct, dreaptă, plan, metode) 7.1 Probleme reolvate 1. Se dă forma geometrică din figura 7.1. Să se repreinte epura ei şi să se studiee tipurile de drepte, plane şi poiţiile relative
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότερα8. INTERSECŢIA CORPURILOR GEOMETRICE
8. INTERSECŢIA CORPURILOR GEOMETRICE 8.1.GENERALITĂŢI Două corpuri geometrice se intersectează după una sau două linii poligonale sau curbe închise.acestea sunt în general spaţiale şi sunt formate din
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραAlgebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότερα7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează
TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότερα3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale
3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile
Διαβάστε περισσότεραLectia VII Dreapta si planul
Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.
Διαβάστε περισσότεραDreapta in plan. = y y 0
Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραy y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =
Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραCERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON
CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON ABSTRACT. Articolul prezintă două rezultate deosebite legate de patrulaterul inscriptibil şi câteva consecinţe ce decurg din aceste rezultate. Lecţia se adresează
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότερα3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Διαβάστε περισσότεραTRIUNGHIUL. Profesor Alina Penciu, Școala Făgăraș, județul Brașov A. Definitii:
TRIUNGHIUL Profesor lina Penciu, Școala Făgăraș, județul rașov Daca, si sunt trei puncte necoliniare, distincte doua câte doua, atunci ( ) [] [] [] se numeste triunghi si se noteaza cu Δ. Orice Δ determina
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra
ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra Adevărul matematic, indiferent unde, la Paris sau la Toulouse, este unul şi acelaşi (Blaise Pascal) Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραDEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0
DEFINITIVAT 1993 TIMIŞOARA PROFESORI I 1. a) Metodica predării noţiunii de derivată a unei funcţii. b) Să se reprezinte grafic funci a sinx, dacă x (0,2π] f : [0,2π] R, f(x) = x. 0, dacă x = 0 2. Fie G
Διαβάστε περισσότεραSă se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi
GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 0, 009, Iaşi Cuprins 1 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI. STRUCTURA AFINĂ 4 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI.
Διαβάστε περισσότερα2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu
2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραCercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!)
Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!) Prof. ION CĂLINESCU,CNDG, Câmpulung Voi prezenta o abordare simplă a determinării cercului lui Euler, pe baza unei probleme de loc geometric. Preliminarii:
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραAsemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu,
Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu, Iaşi Repere metodice ale predării asemănării în gimnaziu
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere
Capitolul 9 Geometrie analitică 9.1 Repere Vom considera spaţiile liniare (X, +,, R)în careelementelespaţiului X sunt vectorii de pe odreaptă, V 1, dintr-un plan, V sau din spaţiu, V 3 (adică X V 1 sau
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραCURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR
CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραb = CA, c = AB, atunci concluzia rezultă din regula triunghiului de adunare a vectorilor:
Trei vectori a, b, c formează untriunghi a + b + c = 0 (relaţia lui Chasles). Dacă a, b, c sunt laturi ale unui triunghi ABC, a = BC, b = CA, c = AB, atunci concluzia rezultă din regula triunghiului de
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene
Geometrie liniară în spaţiu CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU 6.. Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu I. Coordonate carteziene În cele ce urmează, notăm cu E 3 spaţiul punctual tridimensional
Διαβάστε περισσότεραNote de curs "Geometrie descriptivă şi desen tehnic"
UNIVERSITATEA DE STAT BOGDAN PETRICEICU HASDEU DIN CAHUL FACULTATEA DE ECONOMIE, INGINERIE ȘI ȘTIINȚE APLICATE CATEDRA DE INGINERIE ȘI ȘTIINȚE ALICATE Note de curs "Geometrie descriptivă şi desen tehnic"
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραLUCRARE DE DIPLOMĂ CENTRE REMARCABILE ÎN TRIUNGHI
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ SPECIALIZAREA MATEMATICI APLICATE LUCRARE DE DIPLOMĂ CENTRE REMARCABILE ÎN TRIUNGHI Conducător Ştiinţific: Lect. Dr. VĂCĂREŢU
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότερα14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA SECŢIUNILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor
Διαβάστε περισσότεραGeometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
Διαβάστε περισσότεραGRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I
GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I 1. Fie f : R R definită prin f(x) = x(1+e x ). a) Să se arate că f este indefinit derivabilă şi că f (n) (x) = a n e x +b n xe x, ( ) n 3, ( ) x R. Deduceţi că a n+1
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραCum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραConice şi cercuri tangente
Conice şi cercuri tangente Ioan POP 1 Abstract It proves how to obtain the non-degenerate conics, ellipse, hyperbola and parabola, of some basic tangent problems Keywords: circle, ellipse, hyperbola, parabola
Διαβάστε περισσότεραProblema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Διαβάστε περισσότεραBREVIAR TEORETIC CU EXEMPLE CONCRETE, PENTRU PREGĂTIREA EXAMENULUI DE EVALUARE NAŢIONALĂ, clasa a VIII-a
GEOMETRIE-Evaluare Naţională 010 BREVIAR TEORETIC CU EXEMPLE CONCRETE, PENTRU PREGĂTIREA EXAMENULUI DE EVALUARE NAŢIONALĂ, clasa a VIII-a - 010 Propunător: Şcoala cu clasele I-VIII Măteşti, com. Săpoca,
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραCUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1
CURS 5 REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE (CONTINUARE) CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)...... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 5.1. Teorema lui Varignon pentru sisteme
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραAxiomatica Hilbert a spaţiului euclidian
Axiomatica Hilbert a spaţiului euclidian Mircea Crâşmăreanu Prezentare generală a sistemului axiomatic Hilbert Prin Geometrie Euclidiană se înţelege într-un sens general şi clasic acea geometrie ce are
Διαβάστε περισσότεραavem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +
Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραExemple de probleme rezolvate pentru cursurile DEEA Tranzistoare bipolare cu joncţiuni
Problema 1. Se dă circuitul de mai jos pentru care se cunosc: VCC10[V], 470[kΩ], RC2,7[kΩ]. Tranzistorul bipolar cu joncţiuni (TBJ) este de tipul BC170 şi are parametrii β100 şi VBE0,6[V]. 1. să se determine
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1996 Clasa a V-a
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1996 Clasa a V-a 1. Să se determine două numere naturale a și b astfel încât c.m.m.d.c.pa,bq 12 și c.m.m.m.c.pa, bq 216. Câte soluții are problema?
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότεραO adaptare didactica a unui sistem axiomatic
O adaptare didactica a unui sistem axiomatic Oana Constantinescu In acest document dorim sa prezentam o adaptare a unui sistem axiomatic semiformalizat pentru geometria in plan si in spatiu. Spunem adaptare
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραOANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }.
ELEMENTE DE SIMETRIE ALE UNEI HIPERCUADRICE IN SPATII AFINE EUCLIDIENE OANA CONSTANTINESCU 1. Centru de simetrie pentru o hipercuadrica afina Pentru inceput cadrul de lucru este un spatiu an real de dimensiune
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότερα1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.
Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραCUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1
CURS 2 SISTEME DE FORŢE CUPRINS 2. Sisteme de forţe.... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 2.1. Forţa...2 Test de autoevaluare 1...3 2.2. Proiecţia forţei pe o axă. Componenta forţei
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a. 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma:
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,... (pe fiecare
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Διαβάστε περισσότερα1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <
Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie
Διαβάστε περισσότερα1. Teorema lui Menelaus in plan Demonstratia teoremei in plan (clasa a VII-a). DC EC F B DB EA = 1.
TEOREMA LUI MENELAUS IN PLAN SI SPATIU OANA CONSTANTINESCU In acest material generalizam teorema lui Menelaus din planul euclidian la spatiul euclidian trei dimensional, prezentand doua metode de demonstratie,
Διαβάστε περισσότεραCUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1
CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi-seminar 1
Vectori liberi-seminar ) Determinati α R astfel incat vectorii ā = m+ n si b = m+α n sa fie coliniari, unde m, n sunt necoliniari. ) Demonstrati ca urmatorii trei vectori liberi sunt coplanari: ā = ī j
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45. Matematică de excelenţă pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă. clasa a VIII-a. mate 2000 excelenţă
Maranda Linţ Dorin Linţ Rozalia Marinescu Dan Ştefan Marinescu Mihai Monea Steluţa Monea Marian Stroe Matematică de excelenţă pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă clasa a VIII-a mate 000
Διαβάστε περισσότεραLectia III Produsul scalar a doi vectori liberi
Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
Διαβάστε περισσότεραLucian Maticiuc SEMINAR Conf. dr. Lucian Maticiuc. Capitolul VI. Integrala triplă. Teoria:
Capitolul I: Integrala triplă Conf. dr. Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Analiza Matematică II, Semestrul II Conf. dr. Lucian MATICIUC Teoria: SEMINAR 3 Capitolul I. Integrala
Διαβάστε περισσότερα