ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Παρασκευή ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ lisari team ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ

Transcript

1 ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Παρασκευή :00 πµ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ lsar team ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΓΚΡΙΜΠΑΒΙΩΤΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΜΠΕΛΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΑΚΑΝΟΣ ΗΜΗΤΡΗΣ ΜΠΑ ΕΜΗΣ ΗΜΗΤΡΗΣ ΠΑΠΑΜΙΚΡΟΥΛΗΣ ΘΩΜΑΣ ΠΟ ΗΜΑΤΑΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΙΣΚΑΣ ΤΑΚΗΣ ΤΣΑΚΑΛΑΚΟΣ ΜΑΚΗΣ ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 06

2 Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των μελών της lsar team η έκδοση: (συνεχής ανανέωση) Οι λύσεις διατίθεται αποκλειστικά και ελεύθερα από το μαθηματικό blog

3 Πρόλογος Στο παρόν αρχείο περιλαμβάνονται οι λύσεις των Πανελλαδικών Εξετάσεων στο μάθημα Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής. Η παρουσίαση των λύσεων είναι πλήρης και αναλυτική στο μέγιστο δυνατό, προκειμένου οι μαθητές να μπορούν να μελετήσουν και να επεξεργαστούν εύκολα το αρχείο. Η εργασία αυτή εκπονήθηκε αποκλειστικά από τη γνωστή διαδικτυακή ομάδα Μαθηματικών από διάφορα μέρη της Ελλάδος, τη lsar team. Προσπάθησαν και τα κατάφεραν να δώσουν πρώτοι διαδικτυακά τις πλήρεις λύσεις σε ένα αρχείο pdf!! Μετά από την αρχική επιμέλεια των λύσεων ακολούθησαν ενδελεχείς έλεγχοι, διορθώσεις και βελτιώσεις με στόχο μια πληρέστερη και πιο ποιοτική παρουσίαση. Ζητούμε συγνώμη για τυχόν παραλείψεις, λάθη ή αστοχίες που ενδεχομένως θα έχουν διαφύγει της προσοχής μας, γεγονός αναπόφευκτο δεδομένων των στενών χρονικών περιθωρίων. Θα ακολουθήσουν επόμενες εκδόσεις, όπου η εν λόγω παρουσίαση θα βελτιωθεί, ίσως εμπλουτιστεί και με εναλλακτικές λύσεις. Οποιαδήποτε σχόλια, παρατηρήσεις, διορθώσεις και βελτιώσεις επί των λύσεων είναι ευπρόσδεκτα στην ηλεκτρονική διεύθυνση Με εκτίμηση lsar teaμ

4 lsar team. Αντωνόπουλος Νίκος (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίου "Κατεύθυνση" - Άργος). Αυγερινός Βασίλης (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίου "ΔΙΑΤΑΞΗ" - Ν. Σμύρνη και Νίκαια) 3. Βελαώρας Γιάννης (Φροντιστήριο "ΒΕΛΑΩΡΑΣ" - Λιβαδειά Βοιωτίας). Βοσκάκης Σήφης (Φροντιστήριο "Ευθύνη" - Ρέθυμνο) 5. Γιαννόπουλος Μιχάλης ( Θεσσαλονίκη - Αμερικάνικη Γεωργική Σχολή) 6. Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης (Φροντιστήριο "Αστρολάβος" - Άρτα) 7. Δούδης Δημήτρης (3ο Λύκειο Αλεξανδρούπολης) 8. Ζαμπέλης Γιάννης (Φροντιστήρια "Πουκαμισάς" Γλυφάδας) 9. Ηλίας Ζωβοΐλης (Μαθηματικός - Χαϊδάρι) 0. Κακαβάς Βασίλης (Φροντιστήριο "Ώθηση" - Μαρούσι). Κάκανος Γιάννης (Φροντιστήριο "Παπαπαναγιώτου Παπαπαύλου" - Σέρρες). Κανάβης Χρήστος (Διδακτορικό στο ΕΜΠ ο ΣΔΕ φυλακών Κορυδαλλού) 3. Καρδαμίτσης Σπύρος (Πρότυπο Λύκειο Αναβρύτων). Κοπάδης Θανάσης (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίων "9+" - Πολύγωνο) 5. Κουλούρης Ανδρέας (3ο Λύκειο Γαλατσίου) 6. Κουστέρης Χρήστος (Φροντιστήριο "Στόχος" - Περιστέρι) 7. Μανώλης Ανδρέας (Φροντιστήριο "Ρηγάκης" - Κοζάνη) 8. Μαρούγκας Χρήστος (3ο ΓΕΛ Κηφισιάς) 9. Δημήτρης Μπαδέμης (Φροντιστήριο "Πουκαμισάς" - Γλυφάδας) 0. Νάννος Μιχάλης (ο Γυμνάσιο Σαλαμίνας). Νικολόπουλος Θανάσης (Λύκειο Κατασταρίου, Ζάκυνθος). Παγώνης Θεόδωρος (Φροντιστήριο "Φάσμα" - Αγρίνιο) 3. Παπαδομανωλάκη Μαρία (Συνιδιοκτήτρια Πρότυπου Κέντρου Μάθησης "ΔΙΑΚΡΙΣΙΣ" - Ρέθυμνο). Παπαμικρούλης Δημήτρης (Εκπαιδευτικός Οργανισμός "Ρόμβος") 5. Πάτσης Ανδρέας (Βόνιτσα - Μαθηματικός) 6. Ποδηματάς Θωμάς ( Σπουδαστήριο Μαθηματικών Θωμάς και Ρόζα Ποδηματά - Βόλος) 7. Ράπτης Γιώργος (6ο ΓΕΛ Βόλου) 8. Σίσκας Χρήστος (Φροντιστήριο "Μπαχαράκης" - Θεσσαλονίκη) 9. Σκομπρής Νίκος (Συγγραφέας ο Λύκειο Χαλκίδας) 30. Σπλήνης Νίκος (Φροντιστήριο "ΟΡΙΖΟΝΤΕΣ" - Ηράκλειο Κρήτης) 3. Σταυρόπουλος Παύλος (Ιδιωτικά Εκπαιδευτήρια Δούκα) 3. Σταυρόπουλος Σταύρος (Γραμματέας Ε.Μ.Ε Κορινθίας - Γυμνάσιο Λ.Τ. Λεχαίου Κορινθίας) 33. Τρύφων Παύλος (ο Εσπερινό ΕΠΑΛ Περιστερίου) 3. Τσακαλάκος Τάκης (συνταξιούχος αλλά ενεργός μαθηματικός) 35. Χαραλάμπους Σταύρος (Θεσσαλονίκη - Μουσικό Λύκειο) 36. Χατζόπουλος Μάκης (ο ΓΕΛ Πετρούπολης)

5 Γ Λυκείου lsar team / Σχολικό έτος 05 6 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΜΑΙΟΥ 06 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6) ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜΑ Α Α.Σχολικό βιβλίο σελ. 50 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 87 Α3. Σχολικό βιβλίο σελ. Α. α) Σωστό β)λάθος γ) Σωστό δ) Σωστό ε) Λάθος ΘΕΜΑ Β Β. Είναι Έχουμε οπότε 3 x 5 f x x 6x = +, x R 3 f ( x) = x 5x+ 6 με x R f ( x) = 0 x 5x+ 6= 0 5± Δ= 5 = άρα x, = x= 3 ή x= x 3 + f x + + f < > < Πανελλαδικές Εξετάσεις 06: Αναλυτικές λύσεις από τη lsar team

6 Γ Λυκείου Η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ = (,] και στο Δ3 [ 3, ) φθίνουσα στο Δ = [,3]. Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x= με τιμή f = + 6 = + = Η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x = 3 με τιμή f( 3) = = 6 = 3 Β. Η εφαπτομένη έχει εξίσωση ( ε ) : y= αx+ β () Ισχύει ότι άρα ( ε ) : y= 6x+ β Όμως Α ( ε) άρα Οπότε α= f 0 = 6 f 0 = f 0 = 6 0+ β β= ( ε ) : y= 6x Β3. Είναι f ( x) x 5x+ 6 x 5x 6 lm = lm = lm x x+ x x+ x x+ Για το x 5x 6 έχουμε 5± 7 Δ= 5+ = 9 άρα x, = x= 6 ή x= Οπότε x 5x 6= x 6 x+ Τελικά f ( x) ( x+ )( x 6) x x x lm = lm = lm x 6 = 7 x+ x+ = +, ενώ είναι γνησίως Πανελλαδικές Εξετάσεις 06: Αναλυτικές λύσεις από τη lsar team

7 Γ Λυκείου ΘΕΜΑ Γ Γ. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: α: «το παιδί είναι αγόρι» και κ: «το παιδί είναι κορίτσι» Άρα, ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι Ω = {ααα,αακ,ακα,ακκ,καα,κακ,κκα,κκκ} Γ. Τα ενδεχόμενα με αναγραφή των στοιχείων τους είναι: Α= καα, κακ, κκα, κκκ} { Β = {ακκ,κακ,κκα,κκκ} Γ = {ααα,αακ,κκα,κκκ} Γ3. α) Τα ενδεχόμενα Δ, Ε, Ζ με αναγραφή των στοιχείων τους είναι: Δ= Α B = {κακ, κκα, κκκ} E= A B = {ακκ, καα, κακ, κκα, κκ κ} Z= Γ Ε = {ααα,αακ} Άρα: Ν Ζ Ν Ω = 8 Ν( Δ) = 3, Ν(Ε) 5 Από τον κλασσικό ορισμό της πιθανότητας είναι: N( Δ) P( Δ) N Ω =, =, = άρα P( Δ) N( E) = άρα P( E) N( Ω) P E N( Z) = άρα P( Z) N( Ω) P Z 3 = 8 5 = 8 = = 8 Πανελλαδικές Εξετάσεις 06: Αναλυτικές λύσεις από τη lsar team 3

8 Γ Λυκείου β) Το ενδεχόμενο: «δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α, Β» είναι το ( Α B ). άρα = P( B) = ( B) P H P A A 5 3 P( H) = = 8 8 Το ενδεχόμενο: «πραγματοποιείται ακριβώς ένα από τα Α,Β» είναι το ( Α Β) ( B A) A B,B A ( ) ( ) + ( A) ( Α Β) P Θ = P B A = P A B P B οπότε ασυμβίβαστα = P( A) P( A B) + P( B) P( A B) = P( A B) P( A B) P Θ 5 3 = = 8 8 : ΘΕΜΑ Δ Δ. Άρα Δ. Ο πίνακας γίνεται: Χρόνος (σε λεπτά) Κεντρική τιμή x [ 8,8+ c) [ 8+ c,8+ c) 8+ c+ 8+ c 6+ 3c = = 6+ 3c= 8 3c= c= Χρόνος (σε λεπτά) Κεντρική τιμή x Συχνότητα v x v [ 8, ) [,6 ) 5 0 [ 6,0 ) [ 0, ) v v Σύνολο 5 v v Πανελλαδικές Εξετάσεις 06: Αναλυτικές λύσεις από τη lsar team

9 Γ Λυκείου Οπότε Σ x v 590 v x= = ν 5+ v = + (5+ v ) = 590+ v 630+ v = 590+ v 0= 8v v = 5 Άρα ο τελικός πίνακας γίνεται Χρόνος (σε λεπτά) Κεντρική τιμή x Συχνότητα v x v [ 8, ) [,6 ) 5 0 [ 6,0 ) [ 0, ) 5 0 Σύνολο Δ3. Πάνω από 9 λεπτά χρειάστηκαν Δ. Έχουμε Χρόνος (σε λεπτά) 3 3 v+ v+ v3+ v = = 5 υπολογιστές Κεντρική τιμή x Συχνότητα v x x ( x x) x x v [ 8, ) [,6 ) [ 6,0 ) [ 0, ) Σύνολο Πανελλαδικές Εξετάσεις 06: Αναλυτικές λύσεις από τη lsar team 5

10 Γ Λυκείου Άρα s= και Σ( x x) v = 800 s = = = 6 v 50 s CVx = = 0, 8> 0, x ή ( 8% > 0% ) άρα το δείγμα είναι ανομοιογενές Δ5. Έχουμε x : αρχικός χρόνος y : τελικός χρόνος Συνδέονται με την σχέση { } y = 0,8x,,, y = 0,8 x s y = 0,8 s x CV y s 0,8 s s y 0,8x x y x x = = = = CV x Το CV παραμένει αμετάβλητο, άρα το δείγμα είναι ανομοιογενές Πανελλαδικές Εξετάσεις 06: Αναλυτικές λύσεις από τη lsar team 6