(Έκδοση: )

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "(Έκδοση: )"

Transcript

1 (Έκδοση: )

2 Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των συνεργατών του δικτυακού τόπου 4η έκδοση: (συνεχής ανανέωση) Το βιβλίο διατίθεται αποκλειστικά από το μαθηματικό blog

3 Περιεχόμενα Σελίδες Πρόλογος:.. 3 Η ομάδα εργασιών... 5 Κεφάλαιο ο: Διανύσματα 7 Κεφάλαιο ο: Ευθεία Κεφάλαιο 3ο: Κωνικές τομές.0 3

4 Πρόλογος Στο παρόν αρχείο δίνονται όλες οι ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων που αφορούν στα Μαθηματικά Προσανατολισμού της Β Λυκείου μαζί με τις λύσεις τους. Η παρουσίαση των λύσεων είναι κατά το δυνατόν αναλυτική έτσι, ώστε το αρχείο να μπορεί να διαβαστεί και να μελετηθεί εύκολα από τους μαθητές. Σε αρκετές περιπτώσεις οι λύσεις συνοδεύονται με αναφορές σε παρόμοιες ασκήσεις του σχολικού βιβλίου ή της τράπεζας θεμάτων καθώς και με κάποια στοιχεία θεωρίας ή ακόμα και μεθοδολογίας. Η εργασία αυτή εκπονήθηκε από μια διαδικτυακή (και όχι μόνο) ομάδα μαθηματικών από διάφορα μέρη της Ελλάδος. Η ομάδα συγκροτήθηκε από τους μαθηματικούς που ανταποκρίθηκαν στο κάλεσμα που απεύθυνε μέσα από το blog ο ακούραστος Μάκης Χατζόπουλος. Εργάστηκε με μεράκι, κάτω από πίεση χρόνου, για να προσφέρει στην εκπαιδευτική κοινότητα, μαθητές και καθηγητές, το συγκεκριμένο υλικό. Επιθυμία όλων μας είναι να συμβάλλουμε, έστω και ελάχιστα, στην βελτίωση της διδασκαλίας των μαθηματικών στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, μέσα από την παροχή υποστηρικτικού υλικού στην ελληνική εκπαιδευτική κοινότητα. Μετά την αρχική συγγραφή των λύσεων έγιναν ενδελεχείς έλεγχοι, διορθώσεις και βελτιώσεις για την όσο το δυνατό ποιοτικότερη παρουσίαση. Ζητούμε συγνώμη για τυχόν παραλείψεις, λάθη ή αστοχίες οι οποίες ενδεχομένως θα έχουν διαλάθει της προσοχής μας, κάτι αναπόδραστο στην εκπόνηση μιας εργασίας τέτοιας έκτασης σε τόσο στενά περιθώρια χρόνου. Θα ακολουθήσουν επόμενες εκδόσεις, όπου το υλικό θα βελτιωθεί. Οποιαδήποτε σχόλια, παρατηρήσεις, διορθώσεις και βελτιώσεις των λύσεων είναι ευπρόσδεκτα στην ηλεκτρονική διεύθυνση Με εκτίμηση Η ομάδα του lisari

5 lisari team Αντωνόπουλος Νίκος (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίου Κατεύθυνση - Άργος) Αυγερινός Βασίλης (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίου ΔΙΑΤΑΞΗ - Ν. Σμύρνη και Νίκαια) Βελαώρας Γιάννης (Φροντιστήριο ΒΕΛΑΩΡΑΣ - Λιβαδειά Βοιωτίας) Βοσκάκης Σήφης (Φροντιστήριο Ευθύνη - Ρέθυμνο) Γιαννόπουλος Μιχάλης (Αμερικάνικη Γεωργική Σχολή) Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης (Φροντιστήριο Αστρολάβος - Άρτα) Δούδης Δημήτρης (3 ο Λύκειο Αλεξανδρούπολης) Ζαμπέλης Γιάννης (Φροντιστήρια Πουκαμισάς Γλυφάδας) Κακαβάς Βασίλης (Φροντιστήριο Ώθηση - Αργυρούπολη) Κάκανος Γιάννης (Φροντιστήριο Παπαπαναγιώτου Παπαπαύλου - Σέρρες) Κανάβης Χρήστος (Διδακτορικό στο ΕΜΠ ο ΣΔΕ φυλακών Κορυδαλλού) Καρδαμίτσης Σπύρος (Πρότυπο Λύκειο Αναβρύτων) Κοπάδης Θανάσης (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίων 9+ - Πολύγωνο) Κουλούρης Αντρέας (3 ο Λύκειο Γαλατσίου) Κουστέρης Χρήστος (Φροντιστήριο Στόχος - Περιστέρι) Μανώλης Ανδρέας (Φροντιστήριο Ρηγάκης - Κοζάνη) Μαρούγκας Χρήστος (3 ο ΓΕΛ Κηφισιάς) Νάννος Μιχάλης ( ο Γυμνάσιο Σαλαμίνας) Νικολόπουλος Θανάσης (Λύκειο Κατασταρίου, Ζάκυνθος) Παγώνης Θεόδωρος (Φροντιστήριο Φάσμα - Αγρίνιο) Παντούλας Περικλής (Φροντιστήρια Γούλα-Δημολένη - Ιωάννινα) Παπαδομανωλάκη Μαρία (Ιδιοκτήτρια Πρότυπου Κέντρου Μάθησης ΔΙΑΚΡΙΣΙΣ - Ρέθυμνο) Παπαμικρούλης Δημήτρης (Εκπαιδευτικός Οργανισμός Ρόμβος) Πορίχης Λευτέρης (Γυμνάσιο Λιθακιάς Ζάκυνθος) Ράπτης Γιώργος (6 ο ΓΕΛ Βόλου) Σίσκας Χρήστος (Φροντιστήριο Μπαχαράκης - Θεσσαλονίκη) Σκομπρής Νίκος (Συγγραφέας ο Λύκειο Χαλκίδας) Σπλήνης Νίκος (Φροντιστήριο ΟΡΙΖΟΝΤΕΣ - Ηράκλειο Κρήτης) Σπυριδάκης Αντώνης (Γυμνάσιο Βιάννου - Λασίθι) Σταυρόπουλος Παύλος (Ιδιωτικά Εκπαιδευτήρια Δούκα) Σταυρόπουλος Σταύρος (Γραμματέας Ε.Μ.Ε Κορινθίας - Γυμνάσιο Λ.Τ. Λέχαιου Κορινθίας) Τηλέγραφος Κώστας (Φροντιστήριο Θεμέλιο - Αλεξανδρούπολη) Τρύφων Παύλος ( ο Εσπερινό ΕΠΑΛ Περιστερίου) Φιλιππίδης Χαράλαμπος (Ελληνογαλλική Σχολή Καλαμαρί) Χαραλάμπους Σταύρος (Μουσικό Σχολείο Λαμίας) Χατζόπουλος Μάκης (Υπουργείο Παιδείας και Θρησκευμάτων) 5

6 Λύτες Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Προσανατολισμού Β τάξης Επιμελητής Νίκος Αντωνόπουλος Σήφης Βοσκάκης Γιάννης Ζαμπέλης Γιάννης Κάκανος Έλεγχος Σπύρος Καρδαμίτσης Σταύρος Σταυρόπουλος Συντονιστής Γιάννης Ζαμπέλης Εξώφυλλο Μιχάλης Νάννος Μάκης Χατζόπουλος Χρήστος Κανάβης Χρήστος Κουστέρης Ανδρέας Μανώλης Θανάσης Νικολόπουλος Μαρία Παπαδομανωλάκη Κεφάλαιο Γιώργος Ράπτης Χρήστος Σίσκας Νίκος Σπλήνης Πρόλογος Ανδρέας Κουλούρης Δημήτρης Παπαμικρούλης Γιώργος Ράπτης Χρήστος Σίσκας Νίκος Σκομπρής Νίκος Σπλήνης Σταύρος Σταυρόπουλος Σταύρος Χαραλάμπους Μάκης Χατζόπουλος Κεφάλαιο Νίκος Αντωνόπουλος Ανδρέας Μανώλης Σταύρος Σταυρόπουλος Κεφάλαιο 3 Γιάννης Ζαμπέλης lisari team η καλύτερη ομάδα λόγω teαm_ής!

7 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Κεφάλαιο ο: Διανύσματα Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 7

8 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα Β Θέματα ΑΣΚΗΣΗ Β (8603) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε AΔ ΑΒ 5ΑΓ και AΕ 5ΑΒ ΑΓ α) Να γράψετε το διάνυσμα ΔΕ ως γραμμικό συνδυασμό των ΑΒ και ΑΓ Μονάδες3 β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΔΕ και ΒΓ είναι παράλληλα. Μεθοδολογία Μονάδες παρόμοια με Α ομάδα σελ. 7 Αν Ο είναι ένα σημείο αναφοράς, τότε για οποιοδήποτε διάνυσμα ΑΒ έχουμε AB OB OA Αν έχουμε να δείξουμε μια διανυσματική ισότητα τότε ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα Θεωρούμε σημείο αναφοράς ένα από τα σημεία της διανυσματικής ισότητας (πχ το Α) Εκφράζουμε όλα τα διανύσματα με αρχή το σημείο Α Κάνουμε πράξεις και καταλήγουμε σε μια σχέση που ισχύει είτε προφανώς είτε από δεδομένα α) Θεωρούμε σημείο αναφοράς το Α, οπότε: ΔΕ ΑΕ AΔ ΔΕ 5ΑΒ ΑΓ ΑΒ 5ΑΓ β) Μεθοδολογία ΔΕ 5ΑΒ ΑΓ ΑΒ 5ΑΓ ΔΕ 3ΑΒ 3ΑΓ Για να δείξουμε ότι δύο διανύσματα α, β είναι παράλληλα έχουμε τους παρακάτω τρεις τρόπους Δείχνουμε ότι α λβ, λ με β 0 (αυτή τη μέθοδο τη χρησιμοποιούμε όταν έχουμε μια διανυσματική ισότητα και δεν ξέρουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων) Αν α λβ, λ 0 τότε α β Αν α λβ, λ 0 τότε α β Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 8

9 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα Αν α x, y, β x, y ( x y det α,β xy xy x y ) Αν α x, y, β x, y δείξουμε ότι λα λ y α ) x Από τη σχέση () έχουμε, β τότε αρκεί να δείξουμε det α,β 0 και α, β μη κατακόρυφα διανύσματα αρκεί να λ (ο συντελεστής διεύθυνσης ενός διανύσματος α x, y είναι ΔΕ 3ΑΒ 3ΑΓ ΔΕ 3 ΑΒ ΑΓ ΔΕ 3ΓΒ ΔΕ 3ΒΓ ΔΕ / /ΒΓ ΑΣΚΗΣΗ Β (8604) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε, Ζ σημεία τέτοια ώστε: AE AΔ, AΖ AΓ. 5 7 α) Να γράψετε τα διανύσματα EΖ και ΖΒ ως γραμμικό συνδυασμό των ΑΒ και ΑΔ. β) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Β, Ζ και Ε είναι συνευθειακά. α) Θεωρούμε σημείο αναφοράς το Α, οπότε: EΖ ΑΖ AΕ ΕΖ AΓ AΔ 7 5 ΕΖ AΒ ΒΓ AΔ 7 5 ΕΖ AΒ ΒΓ AΔ ΒΓAΔ 0 4 ΕΖ AΒ AΔ AΔ Επίσης 4 ΕΖ AΒ AΔ 7 35 ΖΒ ΑΒ AΖ ΖΒ ΑΒ AΓ 7 ΖΒ ΑΒ AΒ ΒΓ 7 Μονάδες 3 Μονάδες παρόμοια με 4 Α ομάδα σελ. 7 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 9

10 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα ΖΒ AΒ AΒ ΒΓ 7 7 ΒΓAΔ 7 ΖΒ AΒ AΒ AΔ ΖΒ 5 AΒ AΔ β) Μεθοδολογία Για να δείξουμε ότι τρία σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά αρκεί να δείξουμε ότι ΑΒ / /ΑΓ ή ΑΒ / /ΒΓ κ.ο.κ Από σχέση () έχουμε, 5 ΖΒ AΒ AΔ 5 AΒ 5 AΔ AΒ AΔ 5 AΒ AΔ Από την σχέση () έχουμε, 5 ΖΒ ΕΖ ΖΒ / /ΕΖ Όμως το Ζ κοινό σημείο, άρα τα σημεία Β, Ζ, Ε συνευθειακά. ΑΣΚΗΣΗ Β3 (0054) Θεωρούμε τα σημεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ ΡΚ 3ΡΜ α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά. Μονάδες 0 β) Για τα παραπάνω σημεία Κ, Λ και Μ να δείξετε ότι ισχύει ΑΛ 3ΒΛ ΜΒ ΑΚ ΑΜ ΒΚ όπου Α και Β είναι σημεία του επιπέδου. Μονάδες 5 παρόμοια με 6 Α ομάδα σελ. 7 α) Έχουμε, 5ΡΛ ΡΚ 3ΡΜ ΡΛ 3ΡΛ ΡΚ 3ΡΜ ΡΛ ΡΚ 3ΡΜ 3ΡΛ 3 ΡΛ ΡΚ 3ΡΜ ΡΛ ΚΛ 3ΛΜ ΚΛ ΛΜ. Άρα ΚΛ / /ΛΜ κι επειδή έχουν κοινό σημείο το Λ θα έχουν τον ίδιο φορέα, επομένως τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά. β) Έχουμε, ΑΛ 3ΒΛ ΜΒ ΑΚ ΑΜ ΒΚ Με σημείο αναφοράς το Λ, ισοδύναμα, έχουμε: Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 0

11 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα ΛΛ ΛΑ 3ΛΛ ΛΒ ΛΒ ΛΜ ΛΚ ΛΑ ΛΜ ΛΑ ΛΚ ΛΒ ΛΑ 3ΛΒ ΛΒ ΛΜ ΛΚ ΛΑ ΛΜ ΛΑ ΛΚ ΛΒ 3 ΛΚ 3ΛΜ ΚΛ 3ΛΜ ΚΛ ΛΜ που ισχύει από το ερώτημα (α). Η ομάδα του lisari (Έκδοση: )

12 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα ΑΣΚΗΣΗ Β (8605) Β Θέματα.4 Δίνονται τα διανύσματα ΟΑ i 4 j, ΟB 3i j και ΟΓ 5i 5 j, όπου i και j είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων x x και y y αντίστοιχα. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των ΑΒ και ΒΓ. Μονάδες β) Να εξετάσετε αν τα σημεία Α, Β και Γ μπορεί να είναι κορυφές τριγώνου. Μονάδες 3 α) Μεθοδολογία Αν α xi y j τότε α x, y Αν α x, y και β x, y τότε α β x x, y y, λα λx,λy Οπότε: i 4 j, 4, B 3i j 3, και 5i 5 j 5, 5 Με σημείο αναφοράς το Ο, έχουμε, AB OB OA AB 3,, 4 AB 3, 4 AB, 3 και BΓ OΓ OΒ BΓ 5, 5 3, BΓ 5 3, 5 BΓ, 6 β) Για να σχηματίζουν τρία σημεία του επιπέδου τρίγωνο, πρέπει να μην είναι συνευθειακά, όμως, 3 det AB, B ( 6) ( 3) άρα, οπότε τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά, επομένως δεν σχηματίζουν τρίγωνο. ΑΣΚΗΣΗ Β (048) Δίνονται τα διανύσματα i j, i 5 j και 7, 3. α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα,, είναι μη συγγραμμικά ανά δύο. Μονάδες 0 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: )

13 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα β) Να γραφεί το διάνυσμα ως γραμμικός συνδυασμός των και. Μονάδες 5 Μεθοδολογία Για να δείξουμε ότι δύο διανύσματα α, β δεν είναι παράλληλα αρκεί να δείξουμε ότι det α,β 0 με την προϋπόθεση πως γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των α, β Έχουμε i j, και i 5 j, 5 α) Έχουμε det, det, det, β) Μεθοδολογία Αν θέλουμε να γράψουμε ένα διάνυσμα α ως γραμμικό συνδυασμό δύο διανυσμάτων β και γ τότε πρέπει το α να γραφεί στην παρακάτω μορφή α κβ λγ με κ,λ Το διάνυσμα γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων,, αν και μόνο αν, υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί λ, μ τέτοιοι ώστε:,, Έχουμε, 7,3,, 5 7,3, άρα 4 7 είναι ο γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων, ΑΣΚΗΣΗ Β3 (006) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α(,), Γ(4, 3) και Δ(, 3). α) Να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του ΑΒΓΔ. Μονάδες 9 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 3

14 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα β) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Κ των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ, καθώς και τις συντεταγμένες της κορυφής Β. Μονάδες 6 Έχουμε, ΑΔ x x, y y,3, Δ Α Δ Α άρα και ΒΓ,, αφού ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο. Επίσης, ΔΓ xγ x Δ, yγ yδ 4,3 3,0 άρα και ΑΒ,0. α) Τα μήκη των πλευρών του ΑΒΓΔ είναι τα μέτρα των διανυσμάτων. Έχουμε λοιπόν: AB ΑΒ 0 4 ΔΓ και AΔ ΑΔ 4 5 ΒΓ β) Επειδή οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου ΒΔ, ΑΓ διχοτομούνται, το Κ είναι μέσον του ΑΓ. xα xγ 4 5 yα yγ 3 4 Οπότε: xκ και yκ. 5 Άρα: Κ,. Το Κ είναι μέσον και της ΒΔ οπότε για τον υπολογισμό της κορυφής Β έχουμε: Άρα: Β3, x y Κ Κ x y Β Β x y Δ Δ 5 xβ 5 xβ xβ 3. yβ 3 4 y Β 3 yβ ΑΣΚΗΣΗ Β4 (0055) Α α,3,β α,4 Θεωρούμε τα σημεία και Γ 4,5α 4,α. α) Να βρείτε τα διανύσματα ΑΒ,ΒΓ. β) Να βρείτε για ποια τιμή του α, τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 8 Μονάδες 0 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 4

15 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα γ) Αν α, να βρείτε τον αριθμό λ ώστε ΑΓ λαβ. Μονάδες 7 παρόμοια με εφαρμογή σελ. 38 α) Έχουμε, και ΑΒ α α, 4 3 α α,, ΒΓ 4 α,5α 4 4 α 4,5α β) Για να είναι συνευθειακά τα Α, Β, Γ αρκεί ΑΒ / /ΒΓ, δηλαδή ΑΒ / /ΒΓ det ΑΒ, ΑΓ 0 0 α 4 5α γ) Για α Επομένως, 5α α 4 0 5α α 4 0 5α α 4 4α 4 α έχουμε Α,3, Β,4, Γ4,9 και ΑΓ 4,9 3 6,6, ΑΒ, 4 3, ΑΣΚΗΣΗ Β5 (007) ΑΓ λαβ 6,6 λ, 6,6 λ, λ 6 λ λ 6 6 λ Θεωρούμε τα σημεία,4 5,, α) Να γράψετε το συναρτήσει του α και να βρείτε το α ώστε 0 (Μονάδες ) β) Έστω α =. Να βρείτε σημείο Μ του άξονα x x ώστε το τρίγωνο ΜΑΒ να είναι ισοσκελές με βάση την ΑΒ. (Μονάδες 3) Μεθοδολογία Αν Αx Α, y Α και Β Β ΑΒ x x, y y Β x, y τότε B Α B Α ΑΒ x x y y B Α B Α παρόμοια με 8 Α ομάδα σελ. 40 α) Έχουμε : Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 5

16 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα και xb x A, yb ya 5 ), 4 5, 4 3, Οπότε, Λύνουμε το τριώνυμο Έχουμε Οπότε Δ β Δ α α , απορρίπτεται αφού α Έτσι καταλήξαμε ότι α =. β) Για α = τα σημεία είναι Α(5, 6) και Β(, - ). Το σημείο Μ ανήκει στον άξονα x x οπότε η τεταγμένη του θα είναι 0 και θα έχει την μορφή Μ(x M,0). Επειδή το τρίγωνο ΜΑΒ είναι ισοσκελές με βάση την ΑΒ θα ισχύει ότι (ΜΑ) = (ΜΒ). Έτσι έχουμε, (MA) x x y y 5 x 6 0 A M A M M 5 5x x x x 36 x 0x 6 M M M M M M (MB) x x y y x 0 άρα B M B M M x x 4 x x 4 x x 5 M M M M M M M M M M M M M M x 0x 6 x x 5 x 0x 6 x x 5 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 6

17 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα x 0x 6 x x 5 x 0x 5 6 x 64 M M M M M M M x 64 6 M xm 3 Έτσι λοιπόν το σημείο είναι το 6 M,0 3 ΑΣΚΗΣΗ Β6 (58) Θεωρούμε τα διανύσματα,, και τυχαίο σημείο Ο. Αν 5, 3 4 και 3 6 α) Να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων,,. β) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. (Μονάδες 3) (Μονάδες ) α) Έχουμε ότι : και 3 6 5, οπότε //. β) Παρατηρούμε ότι Άρα τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 7

18 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα Δ ΘΕΜΑΤΑ.4 ΑΣΚΗΣΗ Δ (56) Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι AB = α και AΔ = β. Θεωρούμε σημεία Ε, Ζ, την ΑΔ και τη διαγώνιο ΑΓ αντίστοιχα, ώστε AΕ = AΔ και 3 Να αποδείξετε ότι: α) AΖ = α +β 4 AΖ = AΓ. 4 (Μονάδες 8) β) ΕΖ = α - β 4 3 και να υπολογίσετε με τη βοήθεια των α, β το ΕΒ. (Μονάδες ) γ) Tα σημεία Ε, Ζ, Β είναι συνευθειακά. (Μονάδες 5) α) Αφού AZ A Γ 4 AZ A Β 4 AZ A Β 4 AZ 4 β) Είναι AΖ AΓ A Δ 4 3 AΖ Z β Z β Z β Z Z Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 8

19 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα Ακόμη AΒ ΑΔ β 3 3 γ) Έχουμε Z B άρα δηλαδή Ε, Β, Ζ συνευθειακά Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 9

20 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα ΑΣΚΗΣΗ Β (8556) Β Θέματα.5 Δίνονται τα διανύσματα α και β με α, β= και α = 3, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα α β και κα β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος α β. Μονάδες 8 Μονάδες 0 Μονάδες 7 παρόμοια με 5 και 7 Α ομάδα σελ. 47 Μεθοδολογία Για να βρούμε το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων που γνωρίζουμε τα μέτρα τους και τη γωνία τους χρησιμοποιούμε τον τύπο α β α β συν α, β Για να βρούμε το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων α x, y β x, y και που γνωρίζουμε τις συντεταγμένες τους χρησιμοποιούμε τον τύπο αβ xx yy Για να βρούμε το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων που γνωρίζουμε τα μέτρα τους καθώς και μια σχέση μεταξύ των διανυσμάτων τους, απομονώνουμε στο ένα μέλος τα δυο διανύσματα και υψώνουμε στο τετράγωνο ώστε να «δημιουργήσουμε» το εσωτερικό γινόμενο που ψάχνουμε. α) Έχουμε, β) Μεθοδολογία π αβ α β συν α,β α β συν 3 Αν θέλουμε να δείξουμε ότι δύο διανύσματα α και β είναι κάθετα αρκεί να δείξουμε ότι αβ 0 Αφού α β κα β έχουμε, α β κα β 0 κ α α β κα β β 0 κ α κ αβ β 0 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 0

21 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα κ κ 0 4κ 4 κ 8 0 6κ κ γ) Μεθοδολογία Αν γνωρίζουμε τα μέτρα δύο διανυσμάτων α,β και την γωνία τους α, β τότε μπορούμε να υπολογίσουμε το μέτρο οποιουδήποτε διανύσματος της μορφής u λα μβ υπολογίζοντας το u u λα μβ λα λαμβ μβ λ α λαμβ μ β λ α λμ αβ μ β. Προσοχή! Στο τέλος πρέπει να θυμόμαστε να παίρνουμε τη ρίζα της ποσότητας που έχουμε υπολογίσει. Έχουμε, άρα α β (α β) 4 α 4α β β 4 α 4α β β α β 4 6 ΑΣΚΗΣΗ Β (858) Έστω τα διανύσματα α και β για τα οποία : α β και α,β 60 α) Να αποδείξετε ότι αβ β) Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων α β και α β α) Είναι α α, οπότε β) Έχουμε Άρα Επίσης Μονάδες 0 Μονάδες 5 παρόμοια με 7 Α ομάδα σελ. 47 και θέμα 8556 αβ α β συν α,β α β συν60 α β α β α β α β α β α β 8 4 α β 4. Η ομάδα του lisari (Έκδοση: )

22 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα Άρα α β α β α β α β α β α β 8 6 α β 6. ΑΣΚΗΣΗ Β3 (0056) 5π Έστω α,β δύο διανύσματα με α, β, α,β και u α β. 6 α) Να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα α β και α u. Μονάδες 6 β) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος u. Μονάδες 9 παρόμοια με 7 Α ομάδα σελ. 47 και θέματα 8556, 858 α) Έχουμε, 5π 3 α β α β συν α,β συν 6. 6 και β u β α β β α β 6 β β) Έχουμε, u α β α β α 4α β 4 β άρα, u ΑΣΚΗΣΗ Β4 (8598) και ΑΓ,6 Δίνονται τα διανύσματα ΑΒ κ 6κ 9, κ 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο ΑΒ ΑΓ, όπου κ Μονάδες 8 β) Να βρείτε τις τιμές του κ, ώστε τα διανύσματα ΑΒ και ΑΓ να είναι κάθετα. Μονάδες 9 γ) Για κ να βρείτε το διάνυσμα ΒΓ α) Το εσωτερικό γινόμενο ΑΒ ΑΓ ισούται με, Μονάδες 8 παρόμοια με 3, Α ομάδα σελ. 47 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: )

23 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα ΑΒ ΑΓ κ 6κ 9 κ 3 6 κ 6κ 9 6κ 8 κ 9 β) Έχουμε, ΑΒ ΑΓ ΑΒ ΑΓ 0 κ 9 0 κ 3 κ 3 0 κ 3 0 ή κ 3 0 κ 3 ή κ 3 γ) Για κ έχουμε ΑΒ 4,. Επομένως, ΒΓ ΑΓ ΑB,6 4, 3,8 ΑΣΚΗΣΗ Β5 (0059) Δίνονται τα διανύσματα α,3 και β,. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος u α β Μονάδες 0 β) Να βρείτε το θετικό αριθμό x για τον οποίον τα διανύσματα u και v x, x είναι κάθετα Μονάδες 5 παρόμοια με 3 Α ομάδα σελ. 47 και θέμα 8598 α) Έχουμε, u α β,3,,3 4, 3, 4 β) Έχουμε u v u v 0 3x 4 x 0 3x 4x 4 0 Η () είναι εξίσωση δευτέρου βαθμού με Οπότε έχει λύσεις : Επειδή x > 0 δεκτή είναι μόνο η ΑΣΚΗΣΗ Β6 (0070) Δ β 4αγ x x 3 Έστω, δυο διανύσματα του επιπέδου για τα οποία ισχύουν 3 9,, 3 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 3

24 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα α) Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων, και το εσωτερικό γινόμενο β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u 3 Μονάδες Μονάδες 3 παρόμοια με 7 Α ομάδα σελ. 47 και θέματα 8556, 858, 0056, 0057 α) Έχουμε τις σχέσεις 3 9 () και (). Προσθέτουμε τις () και () κατά μέλη : Πάμε στην σχέση () και αντικαθιστούμε το. Οπότε έχουμε, 3 β 9 6 β 9 β 9 6 β 3. Για το εσωτερικό γινόμενο έχουμε : π αβ α β συν α, β 3συν β) Για να βρούμε το μέτρο ενός διανύσματος θεωρούμε το τετράγωνο του μέτρου. Έτσι έχουμε : u α 3β α 3β α α 3β 3β 4α αβ 9β 4 α αβ 9 β Άρα u 6 ΑΣΚΗΣΗ Β7 (8558) Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι: ΑΒ 4, 6, ΑΓ, 8. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΑΜ, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ. Μονάδες 7 β) Να αποδείξετε ότι η γωνία Α είναι οξεία. Μονάδες 0 γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 4

25 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα Μονάδες 8 α) Έχουμε, Άρα ΑΜ (ΑΒ ΑΓ), όμως ΑΒ ΑΓ ( 4 6) ( 8) ( 4). ΑΜ ( 4) ( 7) β) Έχουμε, οπότε, ΑΒ ΑΓ 4 ( 6) ( 8) ΑΒ ΑΓ 40 ΑΒ ΑΓ συν Α 40 συν Α 0 ΑΒ ΑΓ άρα συνα 0 δηλαδή Α 90 γ) Έστω Β(x Β, y Β), τότε ΑΒ (xβ3, yβ ) άρα, xβ 3 4 xβ ΑΒ 4, 6 (xβ 3, yβ) 4, 6 και και yβ 6 yβ 5 Επομένως, Β(, 5). Επίσης, αν Γ(x Γ, y Γ) τότε ΑΓ (xγ 3, yγ ) άρα xγ 3 xγ 5 ΑΓ, 8 (xγ 3, yγ ), 8 και και yγ 8 yγ 7 ΑΣΚΗΣΗ Β8 (0053) Δίνονται τα διανύσματα α,β με β α 4 και α β 8. α) Να υπολογίσετε τη γωνία α,β. β) Να αποδείξετε ότι β α 0. α) Έχουμε, β 4 και α, επομένως Μονάδες 0 Μονάδες 5 παρόμοια με 4 Β ομάδα σελ. 49 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 5

26 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα Άρα α β 8 8 συν α,β. α β 4 8 α,β 80 ή π rad. β) Από το (α) ερώτημα έχουμε ότι α,β 80 οπότε α β κι αφού β α, β α β α 0 ΑΣΚΗΣΗ Β9 (0057) Δίνονται τα διανύσματα α,β με α, β εξής: και α,β π. Να υπολογίσετε τα 3 α) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων α,β και κατόπιν της παράστασης α α β β) το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων α β και β α α) Είναι οπότε, β) Σύμφωνα με τη θεωρία, έχουμε : Έχουμε : Μονάδες 0 Μονάδες 5 παρόμοια με 7 Α ομάδα σελ. 47 και θέματα 8556, 858, 0056 αβ α β συν α,β α α β α αβ 3 α ββ α Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 6 συν α β,β α α β β α α β β α αβ α β 4αβ 3αβ α β 3 9 α β α β α 4αβ 4β α 4αβ 4 β Οπότε, α β 3 β α β α β 4αβ 4α β 4αβ 4 α 4 4 Οπότε,

27 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα β α 3 Αντικαθιστούμε τα αποτελέσματα που βρήκαμε στη σχέση () και έχουμε : α β β α συν α β,β α = α β β α ΑΣΚΗΣΗ Β0 (0058) Δίνονται τα διανύσματα α, 3 και β 3,3 α) τη γωνία α,β β) το διάνυσμα u α β αβ α α) Είναι συνα,β. Να υπολογίσετε Μονάδες 0 Μονάδες 5 παρόμοια με, 6 Α ομάδα σελ. 47 αβ α β Επειδή είναι 0 α,β π, τότε α,β β) Έχουμε, Επίσης οπότε, π 3 α α αβ ,, 3 4 3, 3 u α β αβ α 4β 3 α 4 3,3, 3 ΑΣΚΗΣΗ Β (005) Δίνονται τα διανύσματα α,β με α, α β β 7 και α β. α) Να υπολογίσετε τα α και β. Μονάδες 6 β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος α β. Μονάδες 9 β) Να βρείτε την προβολή του α β στο διάνυσμα β. Μονάδες 0 παρόμοια με Α ομάδα σελ. 47 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 7

28 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα α) Έχουμε, Άρα α α, α β β 7 α β β 7 β 7 β 4 β β) Έχουμε, α β α β α αβ 4β α 4α β 4 β Άρα γ) Ισχύει ότι β Όμως Άρα α β 3. προβ α β / /β δηλαδή υπάρχει λ τέτοιο ώστε: β β προβ α β λ β α β β βπροβ α β 7 βλβ 7 λβ 7 λ λ 4 7 προβ α β β. β 4 ΑΣΚΗΣΗ Β (0050) Δίνονται τα διανύσματα α (,7) και β (,4). Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 8 7 α) Να βρεθεί η προβολή του α πάνω στο β. Μονάδες 0 β) Να αναλύσετε το α σε δύο κάθετες συνιστώσες, από τις οποίες, η μία να είναι παράλληλη στο β. Μονάδες 5 παρόμοια με Α ομάδα σελ. 48 α) Γνωρίζουμε ότι, προβ α / /β δηλαδή υπάρχει λ τέτοιο ώστε: β προβ α λ β λ (,4) (λ,4λ) β Όμως: αβ βπροβ α (,7) (,4) (,4) (λ,4λ) 74 λ 44λ β λ 6λ 30 0λ λ λ Άρα προβ α,4 3,6 β.

29 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα Μεθοδολογία Για να αναλύσουμε ένα διάνυσμα β σε δυο κάθετες συνιστώσες ώστε η μια να είναι παράλληλη σε ένα α ακολουθούμε την εξής διαδικασία. Έστω β και β οι κάθετες συνιστώσες του β, oπότε β β β () Έστω β / /α β λα με λ και β α βα 0 Έχουμε, αβ α β β αβ αβ αβ αλα λα λ α αβ από όπου βρίσκουμε λ επομένως λ = γνωστός αριθμός. α Στη συνέχεια από τον τύπο β β β βυπολογίζουμε το β λα υπολογίζουμε το β, τέλος από τη σχέση β) Έστω α α α με α α και α / /β α προβ α 3,6 από α) ερώτημα β α α α α α,7 3,6 3,7 6, α ΑΣΚΗΣΗ Β3 (0069) Δίνονται τα διανύσματα, 3, α) Να βρείτε την προβολή του πάνω στο Μονάδες 0 β) Να αναλύσετε το σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη με το Μονάδες 5 παρόμοια με Α ομάδα σελ. 48 και θέμα 0050 β α) Επειδή προβ α / /β είναι β προβ α β λβ, λ, τότε: 3 α β β προβ α β (λβ) λ β, β 5 αλλά β, άρα 5 λ λ, οπότε προβ α λβ,, β α β α α Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 9

30 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα β) Έστω α α α με α α και α / /β, άρα α προβ α, β από το α) ερώτημα, τότε α α α (, 3),, ΆΣΚΗΣΗ Β4 (505) Δίνεται τα διανύσματα, και u, v 5 4 για τα οποία ισχύουν: α) Να αποδείξετε ότι u v και β) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα 3 u3v 4 α) Έχουμε, Μονάδες u v και είναι αντίρροπα και ότι Μονάδες 3 u v u v β) Έχουμε, u 3v u 3v u 6u v 9v Οπότε, Επίσης, Άρα Επίσης, u3v u 3 v Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 30

31 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα δηλαδή, Επομένως u v u3 v, u 3v 4 4 u3 v, 80 ή π rad και u3v Άσκηση Β5 (59) Έστω, δύο διανύσματα για τα οποία ισχύουν :, 7 7,7, και α) Να γράψετε το διάνυσμα ως συνάρτηση του μ. β) Αν μ =, τότε : i. να αποδείξετε ότι (3, 4) και ότι το είναι κάθετο στο 7 ii. να βρείτε την γωνία των διανυσμάτων, (Μονάδες 0) (Μονάδες 0) (Μονάδες 5) α) Έχουμε : 7,7 7,,7 7,7,7 7 7,7,7,7 (,7) (,7 7) (, ) β) i. Αν μ = τότε έχουμε : (, ) (, ) (3, 4) και 7,7 (,7 ) (4,7 4) (4,3) Για να δείξουμε ότι αρκεί να δείξουμε ότι ισχύει Οπότε 7 (3, 4)(4,3) 34 ( 4) 3 0 ii. Για να βρούμε τη γωνία των, θα χρησιμοποιήσουμε την σχέση Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 3

32 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα (, ) (). Έχουμε (3, 4), 3 ( 4) ( 4) και Από τη σχέση () έχουμε : (, ) 5 (, ) (, ) (, ) (, ) Άρα η γωνία των διανυσμάτων, είναι 3 4 ΑΣΚΗΣΗ Β6 (54) Έστω, 3 και 5, δύο διανύσματα. α) Να βρείτε το και να υπολογίσετε την παράσταση. Μονάδες 3 β) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 3. Μονάδες α) Είναι Είναι και Επομένως η παράσταση γίνεται β) Είναι Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 3

33 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα Επομένως Β τρόπος: Έχουμε, 3, 3 3 5, 4, 6 5, 3 9, Επομένως αφού 3 0 είναι ΑΣΚΗΣΗ Β7 (57) α) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε διανύσματα, ισχύει: Μονάδες β) Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ με πλευρά ίση με τη μονάδα και,. Αν η διαγώνιός του ΑΓ έχει μήκος 3, να βρείτε το μήκος της διαγώνιου ΒΔ.. Μονάδες 3 Λύση α) Είναι γνωστό ότι: οπότε : β) Από υπόθεση έχουμε και Είναι γνωστό (κανόνας του παραλληλογράμμου) ότι: και οπότε το μήκος της διαγωνίου ΒΔ θα είναι το. Από ερώτημα (α) ισχύει ότι: ή Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 33

34 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα ΑΣΚΗΣΗ Β8 (530) Θεωρούμε τα σημεία Α, Β, Γ ώστε,4 και 3,6. α) Να αποδείξετε ότι σχηματίζουν τρίγωνο και να βρείτε αν η γωνία Α του τριγώνου είναι οξεία, ορθή ή αμβλεία.. Μονάδες 5 β) Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου.. Μονάδες 0 Λύση α) Έχουμε, 4 det, οπότε τα διανύσματα, δεν είναι παράλληλα και επομένως τα τρία σημεία Α,Β, Γ σχηματίζουν τρίγωνο. 3 46, Άρα η γωνία Α του τριγώνου είναι οξεία. β) Είναι γνωστό ότι: οπότε:, 4 3, 6,0,5 και 5 6 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 34

35 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα ΑΣΚΗΣΗ Δ (8606) Δ ΘΕΜΑΤΑ.5 Δίνονται τα διανύσματα ΟΑ (4, ) και ΟΒ (,) όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων. α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα ΟΑ και ΟΒ είναι κάθετα. Μονάδες 4 β) Αν Γ(α,β) είναι σημείο της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A και Β τότε: i) να αποδείξετε ότι: AΒ ( 3,4) και AΓ (α 4,β ) ii) να αποδείξετε ότι: 4α 3β 0 Μονάδες 5 Μονάδες 6 iii) αν επιπλέον τα διανύσματα ΟΓ και ΑΒ είναι κάθετα, να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ Μονάδες 0 α) Έχουμε, β) i) Είναι ΟΓ (α,β) ΟΑ ΟΒ 4 ( ) 0, άρα ΟΑ ΟΒ. και AΒ ΟΒ ΟΑ (, ) (4, ) ( 3, 4) AΓ ΟΓ ΟΑ (α,β) (4, ) (α 4,β ) ii) Τα Α,Β,Γ συνευθειακά αν, και μόνο αν, AΒ / /AΓ det(aβ, AΓ) (β ) 4(α 4) 0 α 4 β 3β 6 4α 6 0 4α 3β 0 0 4α 3β 0 () iii) Είναι ΟΓ ΑΒ ΟΓ ΑΒ 0 3α 4β 0 () Από το σύστημα των (), () έχουμε 30 6 β β 4α 3β 0 α 9β 30 5β α 4β 0 α 6β 0 3α 4β 0 4β 8 α α 3 5 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 35

36 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα άρα 8 6 Γ, 5 5 ΑΣΚΗΣΗ Δ (866) Δίνονται τα διανύσματα, και για τα οποία ισχύουν:,,, 60 και α) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο. β) Αν ισχύει, τότε: i) να αποδείξετε ότι: ii) να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος, όπου. iii) να αποδείξετε ότι τα διανύσματα 3 και είναι κάθετα. Μονάδες 3 Μονάδες 6 Μονάδες 8 Μονάδες 8 παρόμοια με 5, 7 Α ομάδα σελ. 47 και θέματα 8556, 858, 0056, 0057, 0070 α) Το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και είναι ίσο με: β) Έχουμε,, 60. i). ii) Για είναι άρα iii) Έχουμε, 3 7 οπότε Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 36

37 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα , δηλαδή 3 0 3, 4 Άρα πράγματι τα διανύσματα 3 και είναι κάθετα. ΑΣΚΗΣΗ Δ3 (868) α) Να εξετάσετε πότε ισχύει καθεμιά από τις ισότητες: u v u v και u v u v β) Δίνονται τα διανύσματα,, για τα οποία ισχύουν: 0 και Μονάδες 0 i) Να αποδείξετε ότι: και Μονάδες 8 ii) Να αποδείξετε ότι: α) Έχουμε, u v u v Μονάδες 7 παρόμοια με 5 Α ομάδα, 4 Β ομάδα σελ και θέμα 0053 u v u v u v uv u v u v u v u v u v uv u v u v Ομοίως: uv u v u v u v u v. u v u v u v u v u v u v u v uv u v u v u v uv u v u v uv u v u v u v u v. β) Έστω ότι Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 37

38 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα τότε 3, 4 και Για να δείξουμε ότι, από α ερώτημα αρκεί να δείξουμε ότι. Από τη σχέση 0 ισοδύναμα έχουμε ότι, οπότε και επειδή 7 είναι 7. ( ) Επιπλέον είναι 3 4 7,άρα και από το α ερώτημα έχουμε ότι. Για να δείξουμε ότι, από α ερώτημα αρκεί να δείξουμε ότι. Από τη σχέση 0 ισοδύναμα έχουμε ότι, οπότε και επειδή 3 είναι 3. ( ) Επιπλέον είναι , αφού 0 Άρα και από το α ερώτημα έχουμε. ii) Α τρόπος (Σδράκας Βασίλης από τη Λάρισα) Αρκεί να δείξουμε ότι 7α 3γ 0 Έχουμε, άρα, 7α 3γ 7α 3γ 49α 4α γ 9γ 49 α 4 α γ συν α, γ 9 γ 49 9λ 4 3λ 7λ 9 49λ 0 7α 3γ 0 7α 3γ 0 Β τρόπος: Βρήκαμε ότι και άρα και, οπότε υπάρχει k, με k 0, ώστε k. Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 38

39 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα Όμως k 7 3 k Εδώ διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν 0, τότε προφανώς και η σχέση k k 0 0, οπότε το ζητούμενο γίνεται ισοδύναμα που ισχύει. Αν 0 0, τότε από τη σχέση 3 k 7 έπεται ότι και αφού k 0, άρα 7 k, τότε 3 k Άρα σε κάθε περίπτωση ισχύει ότι k 7 k 3 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 39

40 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Κεφάλαιο ο: Ευθεία Παράλληλες;; Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 40

41 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία ΑΣΚΗΣΗ Β (8575) Δίνονται τα σημεία Α, και Β5,6. Β Θέματα.. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και B. (Μονάδες 0) β) Να αποδείξετε ότι η μεσοκάθετος ε του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ έχει εξίσωση την y x 7 Μεθοδολογία : (Μονάδες 5) Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθεία που διέρχεται από δύο γνωστά σημεία δίνεται από τον τύπο λ ΑΒ y x B B y x διεύθυνσης έχει τη μορφή y yo λ ε(x x o). A A. Επίσης μια ευθεία (ε) της οποίας ορίζεται ο συντελεστής 6 α) Θα έχουμε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης της ΑΒ είναι λαβ, άρα η 5 ευθεία ΑΒ θα έχει εξίσωση ε ΑΒ : y (x ) Μεθοδολογία : Για να βρούμε την μεσοκάθετο ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ;έχουμε 3 τρόπους: xa xb Α τρόπος:, Βρίσκουμε το μέσο Μ ( χρησιμοποιώντας τους τύπους xm και y M y A y B ) και με δεδομένο ότι η ευθεία είναι κάθετη στο ευθύγραμμο τμήμα θα έχουμε το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσης τους ισούται με Β τρόπος: Ξέρουμε ότι κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ισαπέχει από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος επομένως απαιτούμε (ΜΑ)=(ΜΒ) β) Α τρόπος 5 6 Το μέσο Μ του τμήματος ΑΒ θα έχει συντεταγμένες: Μ, 3,4. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΑΒ είναι,άρα ο συντελεστής διεύθυνσης της μεσοκάθετης (ε) θα είναι λε, αφού η (ε) είναι κάθετη στην ευθεία ΑΒ. Τότε η μεσοκάθετη ευθεία (ε) του τμήματος ΑΒ θα έχει εξίσωση: ε : y 4 (x 3) y x 7 Β τρόπος Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 4

42 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία [Έστω Μ(x,y) σημείο της μεσοκαθέτου του ΑΒ τότε ισχύει (ΜΑ) (ΜΒ) (x ) (y ) (x 5) (y 6) x x y 4y 4 x 0x 5 y y 36 8x 8y 56 0 y x 7 ] Παρόμοιες Ασκήσεις Σχολικού : Παράγραφος. / Εφαρμογή, Παράγραφος. / Α Ομάδα / Άσκηση 4 Παρόμοιες Ασκήσεις Τράπεζας : 0063 ΑΣΚΗΣΗ Β (860) Δίνεται η ευθεία (ε) : y x και το σημείο Α(, 4). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α και είναι κάθετη στην (ε). Μονάδες 0 β) Να βρείτε την προβολή του σημείου Α πάνω στην (ε) Μονάδες 5 α) Ο τύπος της εξίσωσης ευθείας που διέρχεται από δοσμένο σημείο Α(x o, y o) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι: y y λ x x o Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας Ax By Γ 0 δίνεται από τον τύπο: Α λ Β Οπότε για την ευθεία (ε) : y x είναι λε λε Αν ονομάσουμε (ε) την ευθεία που αναζητούμε, τότε είναι: (ε) (ε ) λε λε άρα, ε λ λ ε y y λ (x x ) y ( 4) (x ) y 4 x y x 6 (ε ) o ε o o β) Η προβολή του Α στην ευθεία (ε) είναι το σημείο τομής των (ε), (ε). Οπότε λύνοντας το σύστημα των εξισώσεών τους, έχουμε: Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 4

43 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία άρα y x (x 6) x y x 6 y x B, 7 x x 7 y x y 6 Επομένως η προβολή του Α πάνω στην (ε) είναι το σημείο 7 5 B, Παρόμοιες Ασκήσεις Σχολικού : Παράγραφος. / Α Ομάδα / Άσκηση 3 ΑΣΚΗΣΗ Β3 (0066) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(3,), Β(,) και Γ(,4). α) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΓ. (Μονάδες 7) β) Να βρείτε τις εξισώσεις του ύψους ΒΔ και της διαμέσου ΑΜ. (Μονάδες 8) α) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ΑΓ είναι 4 3 λ 3 3 Άρα η εξίσωση της ΑΓ είναι: y - = - 3(x - 3) ή y = - 3x + 0. β) Επειδή ΒΔ ΑΓ είναι Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 43

44 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία λβδ λαγ ή 3 λβδ ή λβδ. 3 Άρα η εξίσωση του ύψους ΒΔ είναι: y (x ) ή 3y - 3 = x + ή x 3y + 4 = 0. 3 Οι συντεταγμένες του μέσου Μ της ΒΓ είναι x και y, δηλαδή Μ,. Οπότε ο συντελεστής διεύθυνσης της διαμέσου ΑΜ είναι: λ Άρα η εξίσωση της ΑΜ είναι: 3 y (x 3) ή 5y 5 = - 3x + 9 ή 3x + 5y 4 = 0. 5 Παρόμοιες Ασκήσεις Σχολικού : Παράγραφος. / Α Ομάδα / Εφαρμογή, Παράγραφος. / Α Ομάδα / Άσκηση Παρόμοιες Ασκήσεις Τράπεζας: 040 ΑΣΚΗΣΗ Β4 (007) Θεωρούμε μια ευθεία (ε) και ένα σημείο Α(6, -) εκτός της (ε). Έστω Μ(, ) η προβολή του Α στην (ε). Να βρείτε: α) Την εξίσωση της ευθείας (ε). (Μονάδες 3) β) Το συμμετρικό του Α ως προς την (ε). (Μονάδες ) α) Αρχικά έχουμε, λ y y ( ). x x 6 4 M A ΑΜ M A Εφόσον το Μ είναι η προβολή του Α στην (ε) η ΑΜ θα είναι κάθετη στην (ε) και θα ισχύει ότι AM (ε) λαμ λε λε λε. Η ευθεία (ε) έχει τη μορφή y yo λ ε(x x o). Όμως λε και το Μ(, ) ανήκει στην (ε), άρα Οπότε (ε) : y x 3 y (x ) y x 4 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 44

45 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία β) Έστω Α το συμμετρικό του Α ως προς την (ε). Το σημείο Μ θα είναι μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΑ. Οπότε : xa xa 6 xa xm 4 6 x x και A A y y y ym y y 3 A A A A A Άρα το συμμετρικό του Α ως προς την (ε) είναι το Α ( -, 3) Παρόμοιες Ασκήσεις Σχολικού: Παράγραφος. / Εφαρμογή, Παράγραφος. / Β Ομάδας / Άσκηση 6 Παρόμοιες Ασκήσεις Τράπεζας : 860 ΑΣΚΗΣΗ Β5 (0073) Δίνονται τα σημεία Α(, 3), Β(-, 5) και Γ(-, -4). α) Να αποδείξετε ότι σχηματίζουν τρίγωνο. β) Να βρείτε το συμμετρικό Δ του Β ως προς το μέσο Μ της ΑΓ. γ) Τι σχήμα είναι το ΑΒΓΔ; Να αιτιολογήσετε τον ισχυρισμό σας. (Μονάδες 8) (Μονάδες 0) (Μονάδες 7) α) Έχουμε, AB x x, y y,5 3 ( 3, ) και B A B A BΓ x x, y y ( ), 4 5 (, 9) (, 9). Γ Β Γ Β Παρατηρούμε ότι : 3 det AB, BΓ 3 ( 9) ( ) Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 45

46 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία Οπότε τα διανύσματα AB και BΓ είναι μη συγγραμμικά, δηλαδή τα Α, Β, Γ είναι μη συνευθειακά, άρα σχηματίζουν κορυφές τριγώνου. β) Το σημείο Μ είναι μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΓ. Έτσι έχουμε : xa xγ xm 0 ya yγ 3 4 ym Άρα έχουμε το μέσο Μ0, της ΑΓ. Το σημείο Μ θα είναι μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΔ. Έτσι έχουμε : xβ xδ xδ xm 0 0 x x και Δ y y 5 y ym 5 y y 6 Β Δ Δ Δ Δ Δ Οπότε το συμμετρικό του σημείου Β ως προς το Μ είναι το Δ(, - 6) γ) Παρατηρούμε ότι το σημείο Μ διχοτομεί τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΓ και ΒΔ, οπότε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Παρόμοιες Ασκήσεις Σχολικού: Παράγραφος. / Εφαρμογή, Παράγραφος. / Α Ομάδας / Άσκηση 6, Παράγραφος. / Β Ομάδας / Άσκηση 6 ΑΣΚΗΣΗ Β6 (8584) Δίνονται οι παράλληλες ευθείες ε : x y 8 0, ε : x 4y 0 0 και το σημείο Α της ε που έχει τετμημένη το 4. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α Μονάδες 5 β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε η οποία διέρχεται από το σημείο Α και είναι κάθετη στην ευθεία ε Μονάδες 0 γ) Αν Β είναι το σημείο τομής των ευθειών ε και ε, τότε να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β Μονάδες 0 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 46

47 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία Μεθοδολογία : Όταν θέλουμε να βρούμε τη σχετική θέση δύο ευθειών λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων τους. Δηλαδή : Αν το σύστημα έχει μία λύση τότε οι ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο Αν το σύστημα είναι αδύνατο τότε οι ευθείες δεν έχουν κανένα κοινό σημείο δηλαδή είναι παράλληλες Αν το σύστημα έχει άπειρες λύσεις τότε οι ευθείες έχουν άπειρα κοινά σημεία δηλαδή ταυτίζονται α) Οι συντεταγμένες του σημείου Μ επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας ε. Από την εξίσωση της ευθείας ε για x 4 παίρνουμε: 4 y 8 0 y 4 y επομένως είναι Α(4, ) β) Η ευθεία ε έχει συντελεστή διεύθυνσης άρα η ζητούμενη ευθεία ε θα έχει συντελεστή διεύθυνσης και επειδή διέρχεται από το σημείο Α(4, ) θα έχει εξίσωση: y ( ) (x 4) y x 6 γ) Θα λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων των ευθειών ε και ε. Είναι: 7 x x 4y 0 0 x 4( x 6) 0 0 0x 4 5 y x 6 y x 6 y x 6 6 y 5 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 47

48 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία Επομένως είναι 7 6 Β, 5 5. Παρόμοιες Ασκήσεις Σχολικού : Παράγραφος. / Α Ομάδα / Άσκηση ΑΣΚΗΣΗ Β7 (8587) Δίνονται οι ευθείες ε : x 8y 6 0 και ε : x y 5 0 οι οποίες τέμνονται στο σημείο Μ. Αν οι ευθείες ε και ε τέμνουν τον άξονα y' y στα σημεία Α, Β αντίστοιχα, τότε: α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Μ, Α και Β Μονάδες 0 β) Αν Κ είναι το μέσο του τμήματος ΑΒ, να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος ΜΚ Μονάδες 5 α) Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου Μ θα λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων των ευθειών ε και ε. Είναι: x 8y 6 0 x 8y 6 x 8y 6 x 8 x y 5 0 (8y 6) y 5 0 7y 7 y Επομένως είναι Μ( 8,). Από την εξίσωση της ευθείας ε για x 0 παίρνουμε 8y 6 0 y άρα η ευθεία ε τέμνει τον άξονα y' y στο σημείο Α(0,) Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 48

49 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία Από την εξίσωση της ευθείας ε για x 0 παίρνουμε y 5 0 y 5 άρα η ευθεία ε τέμνει τον άξονα y' y στο σημείο Β(0, 5) β) Το μέσο Κ του ΑΒ έχει συντεταγμένες 3 Κ 0,. Το διάνυσμα ΜΚ έχει συντεταγμένες: x x y y Κ, Α Β Α Β 3 5 ΜΚ xκ x Μ, yκ yμ 0 ( 8), 8, 5 5 Άρα ο συντελεστής διεύθυνσης του ΜΚ είναι 8 6 Παρόμοιες Ασκήσεις Σχολικού : επομένως είναι ΑΣΚΗΣΗ Β8 (8589) Δίνονται οι ευθείες ε : 8x y 8 0 και ε : x y 0 οι οποίες τέμνονται στο σημείο Μ. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ και στη συνέχεια την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Μ και είναι κάθετη στον άξονα x 'x Μονάδες 0 β) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες που διέρχονται από το Μ και έχουν συντελεστή διεύθυνσης λ έχουν εξίσωση την λx y 3λ 4 0, όπου λ Μονάδες 5 α) Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου Μ, θα λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων των ευθειών ε και ε Είναι: 8x y 8 0 8x (x ) 8 0 9x 7 x 3 x y 0 y x y x y 4 Άρα οι ευθείες ε και ε τέμνονται στο σημείο Μ(3,4). Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Μ και είναι κάθετη στον άξονα x 'x έχει εξίσωση x 3 β) Μια ευθεία δ που διέρχεται από το σημείο Μ(3,4) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ, έχει εξίσωση: y 4 λ(x 3) y 4 λx 3λ λx y 3λ 4 0 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 49

50 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία Παρόμοιες Ασκήσεις Σχολικού : Παράγραφος. / Α Ομάδα / Άσκηση 3 ΑΣΚΗΣΗ Β9 (0063) Θεωρούμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με μέσο Μ και Α,, Μ,5. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β. Μονάδες 0 β) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου ε του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, καθώς και τα κοινά σημεία αυτής με τους άξονες xx και yy. α) Το Μ είναι μέσον του τμήματος ΑΒ οπότε θα έχουμε: Μονάδες 5 x y Μ Μ x y Α Α x y Β Β x y 5 Β Β 4 xβ 0 y Β xβ 5. yβ άρα: Β 5,. β) Έχουμε, λ Β Α ΑΒ Β Α y y 4 7. x x Είναι : 7 3 εμ ΑΒ λε λ μ ΑΒ λε μ λε 3 μ 7 Γνωρίζω σημείο Μ και συντελεστή διεύθυνσης όποτε η εξίσωση της μεσοκαθέτου είναι 3 ε μ : y 5 x 7y 5 3x 7y 35 3x 6 7 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 50

51 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία ή μ ε : 3x 7y 4 0 Σημεία τομής της ε μ με τους άξονες. Για το Γ (ε μ με άξονα xx ) θέτω στην εξίσωση της ε μ όπου y 0 και λύνω ως προς x Επομένως, 4 3x x 4 x 3 4 άρα, Γ,0 3 Για το Δ ( ε μ με άξονα yy ) θέτω στην εξίσωση της ε μ όπου x 0 και λύνω ως προς y δηλαδή, άρα : Δ 0, y 4 0 7y 4 y Παρόμοιες Ασκήσεις Σχολικού : Παράγραφος. / Α Ομάδα / Εφαρμογή, Παράγραφος. / Α Ομάδα / Άσκηση 4 Παρόμοιες Ασκήσεις Τράπεζας : ΑΣΚΗΣΗ Β0 (0065) Δίνεται η ευθεία ε : x y 0 και το σημείο Α 5,. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η, η οποία διέρχεται από το Α και είναι κάθετη προς την ευθεία ε. Μονάδες 9 β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η, η οποία διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη προς τον άξονα xx. Μονάδες 7 γ) Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών η και η και την απόστασή του από την αρχή των αξόνων Μονάδες 9 α) Έχουμε: Είναι : η ε ε : x y 0 με λε. λ λ λ η ε η λη. Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 5

52 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία Γνωρίζω σημείο Α και συντελεστή διεύθυνσης όποτε η εξίσωση της ευθείας η είναι: άρα : β) Επειδή η / /x x είναι άρα : η : y x 5 y x 5. η : x y 4 0. λη 0 όποτε η εξίσωση της ευθείας η είναι: η : y 0x 5, η : y 0 γ) Το κοινό σημείο Μ θα το βρούμε από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων των δυο ευθειών η και η, δηλ.: Επομένως: Μ5,. x y 4 0 x y 4 0 x 4 0 x 5 Μ:. y 0 y y y Η απόσταση του Μ από την αρχή των αξόνων είναι: ΟΜ Παρόμοιες Ασκήσεις Σχολικού : - = 5 6 ΑΣΚΗΣΗ Β (859) Δίνονται οι ευθείες ε : x 3y 5 0 και ε : 3x y 5 0 α) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε και ε είναι κάθετες μεταξύ τους Μονάδες 9 β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών ε και ε Μονάδες 9 γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α και την αρχή Ο των αξόνων Μονάδες 7 α) Οι ευθείες ε και ε έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ αντίστοιχα. Επειδή λ λ προκύπτει ότι ε ε και λ 3 3 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 5

53 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία β) Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών ε και ε θα λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων των ευθειών αυτών. Είναι: x 3y 5 0 x 3y 5 x 3y 5 x 3x y 5 0 3(3y 5) y 5 0 0y 0 y Άρα οι ευθείες ε και ε τέμνονται στο σημείο Α(,) 0 γ) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΟΑ είναι: λ και επειδή 0 διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων η ευθεία αυτή έχει εξίσωση y x. ΑΣΚΗΣΗ Β (8595) Δίνονται οι ευθείες ε :3x y 3 0 και ε : x y 4 0 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών ε και ε (Μονάδες 8) β) Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Β και η ευθεία ε τέμνει τον άξονα x x στο σημείο Γ, τότε: i) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Β και Γ (Μονάδες 8) ii) να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Β και Γ έχει εξίσωση την 3x 4y 0 (Μονάδες 9) α) Για να βρούμε το σημείο τομής Α των ευθειών ε και ε, αρκεί να λύσουμε το σύστημα 3x y 3 0 x y 4 0 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 53

54 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία Έχουμε λοιπόν, 3x y 3 0 3x y 3 3x y 3 5y 5 x y 4 0 x y 4 3 3x 6y x y 4 y 3 y 3 x 3 4 x Συνεπώς η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος x, y,3 και άρα το σημείο τομής είναι το Α,3 β) i) Αφού η ευθεία ε τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Β, τότε αυτό θα έχει συντεταγμένες Β0, y Β και θα επαληθεύει την εξίσωση της., άρα Β0, 3 Δηλαδή3 0 yβ 3 0 yβ 3 Ομοίως αφού η ευθεία ε τέμνει τον άξονα x x στο σημείο Γ, τότε αυτό θα έχει συντεταγμένες Γx Γ,0 και θα επαληθεύει την εξίσωση της. Δηλαδή x Β x Β 4 0 x Β 4, άρα Γ4,0 ii) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Β και Γ ισούται με λ y y x x Γ Β Γ Β H ζητούμενη ευθεία διέρχεται από το σημείο Β0, 3 και έχει συντελεστή 3 διεύθυνσης λ. 4 Επομένως έχει εξίσωση, y yβ λx xβ y 3 x 0 y 3 x 4y 3x 4 4 3x 4y 0 ΑΣΚΗΣΗ Β3 (860) Έστω Μ3,5 το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ με Α, α) Να βρείτε i) τις συντεταγμένες του σημείου B (Μονάδες 6) ii) την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και B (Μονάδες 7) β) Να βρείτε τις συντεταγμένες σημείου Κ του άξονα x x έτσι, ώστε να ισχύει ΚΑ ΚΒ (Μονάδες 8) Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 54

55 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία α) i) Για τις συντεταγμένες του μέσου Μ του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ισχύει ότι xα xβ yα yβ xμ και yμ Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου B έχουμε, xα xβ xμ xμ xα xβ xβ xμ xα xβ 3 5 και yα yβ yμ yμ yα yβ yβ yμ yα yβ 5 9 Επομένως το σημείο B είναι το B5,9 ii) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β ισούται με yβ yα 9 8 λ x x 5 4 Β Α H ζητούμενη ευθεία διέρχεται από το σημείο Α, και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ. Επομένως έχει εξίσωση, y y λ x x y x y x y x A ε Α β) Αφού το σημείο Κ βρίσκεται πάνω στον άξονα x x θα έχει συντεταγμένες Κx,0. Ισχύει ότι ΚΑ ΚΒ Κ Επομένως ΚΑ ΚΒ x x y y x x y y Α Κ Α Κ Β Κ Β Κ x 0 5 x 9 0 x 0 5 x 9 0 Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ x 5 x 8 x x 5 0x x xκ 04 xκ xκ 3 8 Άρα Κ3,0. Παρόμοιες Ασκήσεις Σχολικού : Παράγραφος.3 / Α Ομάδα / Άσκηση 4 ΑΣΚΗΣΗ Β4 (8600) Θεωρούμε την ευθεία και Β0,6 αντίστοιχα. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε ε που τέμνει τους άξονες x x και y y στα σημεία Α3,0 (Μονάδες 8) Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 55

56 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία β) Αν ε είναι η ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην ε, τότε να βρείτε: i) την εξίσωση της ευθείας ε ii) τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών ε και ε (Μονάδες 9) (Μονάδες 8) α) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε που διέρχεται από τα σημεία Α και Β ισούται με H ευθεία y y Β Α λε xβxα ε διέρχεται από το σημείο λε. Επομένως έχει εξίσωση,. Α 3,0 και έχει συντελεστή διεύθυνσης y y λ x x y 0 x 3 y x 6 Α ε Α Άρα η ευθεία ε έχει εξίσωση ε : x y 6 0 β) i) Αφού η ευθεία ε διέρχεται από την αρχή των αξόνων θα έχει εξίσωση της μορφής ε : y λ x. Επίσης οι ευθείες ε και ε είναι κάθετες. Αυτό συμβαίνει αν ε και μόνο αν το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσης τους ισούται με. Δηλαδή, ε ε λε λ ε λ ε λ ε λ ε λ ε Επομένως η ευθεία ε έχει εξίσωση ii) Έστω Γ Γ ε : y λε x x Γ x, y το σημείο τομής των ευθειών ε και ε. Για να βρούμε το σημείο x y 6 0 ε τομής Γ αρκεί να λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων y x ε Έχουμε λοιπόν, x y 6 0 x x 6 0 4x x 0 x x 5 5 y x y x 6 y x y y Συνεπώς η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος x, y, 5 5 συντεταγμένες του σημείου Γ. που είναι οι Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 56

57 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία Παρόμοιες Ασκήσεις Σχολικού : - Παρόμοιες Ασκήσεις Τράπεζας : 007 ΑΣΚΗΣΗ Β5 (506) Θεωρούμε τα σημεία,0 και 0, α) Να αποδείξετε ότι : y x, όπου 0 και. β) Αν ε είναι η ευθεία που διέρχεται από το σημείο, Μονάδες 7 και είναι κάθετη προς την ευθεία ΑΒ, τότε: i) να βρείτε την εξίσωση ε Μονάδες 9 ii) αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα x x στο σημείο Κ και τον άξονα y y στο σημείο Λ, να αποδείξετε ότι, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων. 0 α) O συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΑΒ είναι: 0 Επομένως η ευθεία έχει εξίσωση : y 0 x y x β) i) άρα η ευθεία ε έχει εξίσωση : y x y x y x y x ii) Έχουμε Μονάδες 9 : y x 0 x 0 x x x x 'x : y 0 άρα Όμοια για τις συντεταγμένες του σημείου Λ.,0 : y x y 0 y y'y : x 0 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 57

58 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία Επομένως 0,. Τέλος, και άρα 0 ΑΣΚΗΣΗ B6 (57) Θεωρούμε τα σημεία Α(6, μ) και Β(μ +, μ + ), μ ϵ R α) Να αποδείξετε ότι για κάθε μ R, τα σημεία είναι διαφορετικά μεταξύ τους και να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα Α και Β. (Μονάδες 5) β) Να βρείτε για ποια τιμή του μ, το σημείο Γ(4, ) περιέχεται στην ευθεία ΑΒ. (Μονάδες 0) α) Έστω ότι τα σημεία Α και Β ταυτίζονται, τότε 6 4 0, Άύ Άρα τα σημεία Α και Β είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Η ευθεία (ε) που διέρχεται από τα ΑΒ θα έχει τη μορφή : ( ) : y y0 ( x x0) Αν 4 τότε έχουμε Α(6, μ) ϵ (ε) : y μ = 4 yb ya και x x 6 4 B A (x 6) 6 ( ) : y x 4 4 Αν 4 τότε η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α(6, 4) και Β(6, 5) θα έχει τη μορφή (ε) : x = 6. β) Αν μ 4, τότε το Γ(4, ) ανήκει στην ευθεία (ε) αν και μόνο αν Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 58

59 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία Δ = ( 6) = 36 4 =,, 3 3 Επομένως για μ = 3 3 και μ = 3 3 το σημείο Γ ανήκει στην ευθεία ΑΒ Αν μ = 4 τότε το σημείο Γ δεν ανήκει στην ευθεία (ε) : x = 6 ΑΣΚΗΣΗ Β7 (50) Έστω Α( -, ), Β(, 0) και Γ( -, 3) τρία σημεία του επιπέδου. α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x, y) ώστε : είναι η ευθεία ε: 5x 3y + = 0 Μονάδες 3 β) Να βρείτε ευθεία κάθετη στην (ε) που διέρχεται από το μέσο Κ του τμήματος ΑΓ Μονάδες α) Έχουμε : x ( ) y x y x x y y x x y y BM x y 0 x y x 4x 4 y x ( ) ( y 3) x y 3 x x y 6y 9 x x y y Οπότε : x x y y x x y x x y y x 6x 3y 6y 6 5x 0x 0 5y x 4x y y x 8y 6 0 5x 3y 0 β) Έχουμε : xa x ( ) x και y ya y 3 4 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 59

60 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία Οπότε το μέσο του ΑΓ είναι το Κ( -, ). Έστω (δ) : y y0 ( x x0) η ευθεία που είναι κάθετη στην (ε) και διέρχεται από το σημείο Κ. 5 3 Επειδή ε δ, ισχύει. 3 5 Επίσης 3 Κ( -, ) ϵ (δ) : y = (x + ) y x y x y x ΑΣΚΗΣΗ Β8 (55) Σε παραλληλόγραμμο οι πλευρές του και βρίσκονται πάνω στις ευθείες εξισώσεις ε: x + y + = 0 και ε: x y + 6 = 0 αντίστοιχα. Αν το κέντρο του είναι το σημείο Κ(, ), τότε: α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α και να αποδείξετε ότι Γ(0, 6). Μονάδες β) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς και τις συντεταγμένες της κορυφής Δ. Μονάδες 3 α) Το σημείο Α είναι το σημείο τομής των πλευρών ΑΒ και ΑΔ. Για να το βρούμε λύνουμε το σύστημα, x y 0 y x y άρα Α(-, ) x y 6 0 x 4x x Θα βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου Γ. Το κέντρο του παραλληλογράμμου είναι Κ(, ), άρα xa x x xk x 0 άρα Γ(0, - 6) y y y A yk y 6 β) Έχουμε, άρα η εξίσωση της ευθείας ΓΔ είναι y 6 x 0 y x 6 ΑΣΚΗΣΗ B9 (53) Θεωρούμε την εξίσωση (λ )x + (8 λ)y + 9λ 7 = 0,, (). α) Να αποδείξετε ότι για κάθε, παριστάνει ευθεία. Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 60

61 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία Μονάδες 0 β) Αν (ε), (ε) είναι οι ευθείες που προκύπτουν από την () για λ =, λ = αντίστοιχα, να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν. Μονάδες 5 α) Είναι : A, 8 και και Επειδή δεν υπάρχουν τιμές του ώστε να μηδενίζονται ταυτόχρονα οι συντελεστές Α και Β, η εξίσωση () είναι εξίσωση ευθείας για κάθε τιμή του. β) Για έχουμε την ευθεία και για έχουμε την ευθεία Θεωρούμε τα διανύσματα: : x 7y 8 0 :3x 4y 0. 7, / / και 4, 3 / /. Τότε η οξεία γωνία θ των ευθειών, είναι ίση ή παραπληρωματική της γωνίας των διανυσμάτων,. Οπότε: , άρα,,, o, 35 4 οπότε η οξεία γωνία των ευθειών είναι η παραπληρωματική της δηλαδή, o 4 45 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 6

62 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία Δ Θέματα.. ΑΣΚΗΣΗ Δ (86) Δίνονται οι ευθείες και ε : κx κ y 3κ 0 ζ : 3κ x κ y 6κ 0 όπου κ α) Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του κ, ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες Μονάδες 0 β) Να βρείτε την αμβλεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες (ε) και (ζ) Μονάδες 5 α) Για κ είναι λ ε Α κ κ Β κ κ Για κ είναι Α 3κ 3κ λζ Β κ κ Έτσι λοιπόν για κ και κ είναι κ 3κ (ε)//(ζ) λε λζ κ κ 3κ 3κ κ 4κ κ 0 κ κ η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι Δ άρα για κάθε κ, είναι ε / / ζ Αν κ τότε ε : x y 0 και ζ : 4x 4 0 x δηλαδή η (ζ) είναι κάθετη στον άξονα x x αλλά η (ε) δεν είναι κάθετη στον άξονα x x άρα ε / / ζ Αν κ τότε ε : x 4 0 x και ζ : x y 8 0 δηλαδή η (ε) είναι κάθετη στον άξονα x x αλλά η (ζ) δεν είναι κάθετη στον άξονα x x άρα ε / / ζ Οπότε δεν υπάρχει κ ώστε ε / / ζ β) Παίρνουμε, Είναι συν δ,δ και δ κ, 3κ με δ κ, κ δ δ κ κ κ 3κ δ / / ε και δ δ κ 4κ κ 3κ δ / / ζ Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 6

63 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία κ κ 6κ κ κ 4κ κ κ 6κ 9κ 5κ κ 5κ κ 5κ κ 0κ 4κ 5κ κ 5κ κ 5κ κ 5κ κ 5κ κ 5κ κ Οπότε ο δ,δ 45 άρα η οξεία γωνία των (ε) και (ζ) είναι γωνία τους θα είναι ο 35 ο 45 δηλαδή η αμβλεία Παρόμοιες Ασκήσεις Σχολικού: Παράγραφος. / Εφαρμογή 3, Παράγραφος., Παράγραφος. / Α Ομάδα, Άσκηση 5, Παράγραφος. / Β Ομάδα, Άσκηση 4 ΑΣΚΗΣΗ Δ (860) Δίνονται οι ευθείες ε : x y 0λ 6 0 και ε :0x y λ 4 0 όπου λ α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου λ οι ευθείες ε και ε τέμνονται και να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους Μ Μονάδες 7 β) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου λ το σημείο Μ ανήκει στην ευθεία ε :8x y 6 0 Μονάδες 7 γ) Αν η ευθεία ε τέμνει τους άξονες xx και yy στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, τότε: i) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ζ που διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων και είναι παράλληλη προς την ευθεία ΑΒ ii) αν Κ είναι τυχαίο σημείο της ευθείας ζ να αποδείξετε ότι 9 (ΚΑΒ) 4 α) Οι ε και ε έχουν συντελεστές διεύθυνσης αντίστοιχα λ και λ 0 Επειδή λ λ οι ε και ε τέμνονται. Μονάδες 5 Μονάδες 6 Οι συντεταγμένες του σημείου τομής τους Μ είναι η λύση του συστήματος x y 0λ 6 0 x y 0λ 6 x λ x λ 0x y λ 4 0 0x y λ 4 y λ 4 0x y 8λ 4 Άρα Μ(λ, 8λ 4) Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 63

64 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία β) Είναι, 8x y 6 0 8(λ ) 8λ λ 88λ που ισχύει Δηλαδή οι συντεταγμένες του Μ επαληθεύουν την εξίσωση 8x y 6 0 Συνεπώς για κάθε τιμή της παραμέτρου λ το σημείο Μ ανήκει στην ευθεία ε :8x y 6 0 γ) Για y 0 είναι Για x 0 είναι y 6 0 y x 6 0 x x συνεπώς 8 4 συνεπώς Β(0,6) 3 Α(,0) 4 i) Η ευθεία ΑΒ έχει συντελεστή διεύθυνσης λ Άρα η ευθεία ζ που διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων και είναι παράλληλη προς την ευθεία ΑΒ έχει εξίσωση y ii) Για x 8x α είναι y 8α συνεπώς Κ(α, 8α) ένα τυχαίο σημείο της ευθείας ζ τότε ΒΚ (α, 8α 6) και και 3 ΒΑ (, 6) 4 α 8α (ΚΑΒ) det(βκ, ΒΑ) 3 6α 6α ΑΣΚΗΣΗ Δ3 (86) Δίνεται η εξίσωση: x xy y 6x 6y 8 0 () α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει γεωμετρικά δύο ευθείες γραμμές ε και ε οι οποίες είναι παράλληλες μεταξύ τους. (Μονάδες 7) β) Αν ε : x y 0και ε : x y 4 0, να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης ε των ε και ε. (Μονάδες 8) γ) Αν Α είναι σημείο της ευθείας ε με τεταγμένη το και Β σημείο της ευθείας ε με τετμημένη το, τότε: i) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων A και Β (Μονάδες ) ii) να βρείτε τις συντεταγμένες δύο σημείων Γ και Δ της ευθείας ε έτσι, ώστε το τετράπλευρο ΑΓΒΔ να είναι τετράγωνο. (Μονάδες 8) Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 64

65 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία α) Θεωρούμε το πρώτο μέλος της () τριώνυμο με μεταβλητή x: Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι: x y 6 x y 6y 8 0 Δ β 4αγ y 6 4 y 6y 8 4y 4y 36 4y 4y Επομένως, η εξίσωση θα έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες: β Δ y 6 4 y 6 x, α y 6 y 8 x x x y 4 y 6 y 4 x y x x Συνεπώς, η () παριστάνει δύο ευθείες με εξισώσεις ε : y x 4 και ε : y x οι οποίες είναι παράλληλες, με συντελεστή διεύθυνσης, δηλαδή κλίση, β) Αν ε η μεσοπαράλληλος των ε : y x και ε : y x 4 εξίσωση της μορφής αφού Επιπλέον, Είναι: και Οπότε, ε ε ε y x k, k ε / /ε / /ε λ λ λ d ε,ε dε,ε d ε,ε λ λ. ε ε, τότε αυτή θα έχει Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 65 β β 4 λ d ε,ε d ε,ε k κ k d(ε,ε ) k k k k k 3 d(ε,ε ) k ή ή Για k= η εξίσωση της ε θα είναι y x Για k=3 η εξίσωση της ε θα είναι y x 3 Αν ε : y x, τότε d(ε,ε ) και

66 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία d(ε,ε ) Άρα, η ε : y x δεν είναι η μεσοπαράλληλος των ε και ε. Αν ε : y x 3,τότε 3 d(ε,ε ) 4 3 d(ε,ε ) Άρα, η ε : y x 3 είναι η ζητούμενη ευθεία. και ος τρόπος Έστω ένα σημείο Κ που ανήκει στην ε και ένα σημείο Λ που ανήκει στην ε. Για x = 0 στην ε έχουμε y = 4. Άρα το Κ(0, 4) ανήκει στην ε. Για x = 0 στην ε έχουμε y =. Άρα το Λ(0, ) ανήκει στην ε. Βρίσκουμε το μέσο Μ του ΚΛ, που είναι xκ xλ 0 0 yκ yλ 4 xm 0 και ym 3. Οπότε έχουμε το Μ(0,3) που ανήκει στην μεσοπαράλληλη των ε και ε. Επίσης ε//ε//ε λε λε λε 3. Οπότε έχουμε την ε: y 3 = - (x 0) y= - x + 3 γ) i. Για y= η εξίσωση της ε δίνει: x x 0, άρα, Α(0,). Για x= η εξίσωση της ε δίνει: y 4 y 3, άρα, Β(,3) ii. Έστω Δ (κ, λ) σημείο της ευθείας (ε), τότε λ=-κ+3 (). Το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο αν και μόνο αν είναι ορθογώνιο και ρόμβος. Αφού είναι ορθογώνιο θα ισχύει: ΑΔ ΔΒ κ, λ κ,3 λ 0 κ, κ κ, κ 0 κ κ κ κ 0 κ κ κ κ 0 κ κ 0 κ κ 0 κ κ 0 κ 0 ή κ= Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 66

67 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία Οπότε, Για κ=0 είναι λ=-0+3=3 Για κ= είναι λ=-+3= Άρα, Δ(0, 3) ή Δ(, ). Αν Δ(0, 3), τότε Γ(, ) και αντίστροφα. Επιπλέον, ΑΒ (ΒΓ) (ΓΔ) (ΔΑ), άρα το ΑΒΓΔ είναι και ρόμβος και τελικά είναι τετράγωνο. Παρόμοιες Ασκήσεις Σχολικού: Παράγραφος. / Β Ομάδα / Άσκηση, Παράγραφος.3 / Α Ομάδα / Άσκηση 6 ΑΣΚΗΣΗ Δ4 (863) Δίνεται η εξίσωση x y xy 3λx 3λy λ 0, με λ διαφορετικό του 0. α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει στο επίπεδο, δύο ευθείες παράλληλες μεταξύ τους, καθεμιά από τις οποίες έχει κλίση ίση με. (Μονάδες ) β) Αν το εμβαδόν του τετραγώνου του οποίου οι δύο πλευρές βρίσκονται πάνω στις ευθείες του ερωτήματος α) είναι ίσο με, να βρείτε την τιμή του λ. (Μονάδες 3) α) Θεωρούμε το πρώτο μέλος της () τριώνυμο με μεταβλητή x: x y 3λ x y 3λy λ 0 Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι: Δ β 4αγ y 3λ 4 y 3λy λ y 3λ 4 y 3λy λ 4y λy 9λ 4y λy 8λ λ 0,αφού λ 0 Άρα, η εξίσωση θα έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες: x, β Δ y 3λ λ y 3λ λ α Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 67

68 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία y 3λ λ y 4λ x x x y λ y 3λ λ y λ x y λ x x Συνεπώς, η () παριστάνει δύο ευθείες με εξισώσεις ε : y x λ και ε : y x λ οι οποίες είναι παράλληλες, με συντελεστή διεύθυνσης, δηλαδή κλίση, λ λ. ε ε β) Έστω ΑΒΓΔ τετράγωνο του οποίου οι πλευρές ΑΒ και ΓΔ βρίσκονται στις ευθείες ε και ε αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Τότε, ΑΒΓΔ (ΑΔ) ΑΔ και Συνεπώς, ΑΔ dε,ε ΑΔ λ λ λ λ λ λ λ λ Παρόμοιες Ασκήσεις Σχολικού: Παράγραφος. / Β Ομάδα / Άσκηση ΑΣΚΗΣΗ Δ5 (86) Δίνεται η ευθεία ε : x 4y 7 0 και τα σημεία Α(,4) και Β(,6) α) Να βρείτε τις συντεταγμένες σημείου Μ της ευθείας ε το οποίο ισαπέχει από τα σημεία Α και Β Μονάδες 7 β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ Μονάδες 8 γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ(x, y) για τα οποία ισχύει (ΚΑΒ) (ΜΑΒ) ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις τις: x y 5 0 και x y 5 0 Μονάδες 0 α) Έστω Μ(x 0, y 0) σημείο της ευθείας ε : x 4y 7 0,τότε ισχύει Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 68

69 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία x0 4y0 7 0 () Αφού το Μ ισαπέχει από τα σημεία Α και Β ισχύει ΜΑ ΜΒ (x ) (y 4) (x ) (y 6) x 4x 4 y 8y 6 x 4x 4 y y x0 4y0 0 0 x0 y0 5 0 () Λύνοντας το σύστημα των (), () έχουμε x0 4y0 7 0 x0 4y0 7 x0 4y0 7 x0 3 x0 y y0 4 y y0 9 y0 Άρα Μ(3, ) β) Είναι AM (5, 5) και AΒ (4,) τότε 5 5 (ΜΑΒ) det(aμ, ΑΒ) γ) Είναι AΚ (x, y 4) και AΒ (4,) τότε x y 4 (ΚΑΒ) det(aκ, ΑΒ) x 4 4y 6 x y 0 4 Ισχύει (ΚΑΒ) (ΜΑΒ) x y 0 5 x y 0 5 ή x y 0 5 x y 5 0 ή x y 5 0 Παρόμοιες Ασκήσεις Σχολικού: Παράγραφος.3 / Α Ομάδα / Άσκηση 4, Παράγραφος.3 / Β Ομάδα / Άσκηση 0 ΑΣΚΗΣΗ Δ6 (047) Δίνονται τα σημεία Aλ, λ, B, και Γ 4, 6, λ. α) Να βρείτε την μεσοκάθετο του τμήματος ΒΓ. (Μονάδες 7) β) Αν το σημείο Α ισαπέχει από τα σημεία Β και Γ, να βρείτε την τιμή του λ. (Μονάδες 8) γ) Για λ = 4, να βρείτε σημείο Δ ώστε το τετράπλευρο ΑΒΔΓ να είναι ρόμβος. (Μονάδες 0) α) Το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ δίνεται από τον τύπο, Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 69

70 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία x x y y Μ, 4 6 Β Γ Β Γ δηλαδή Μ, 3,4 Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΒΓ είναι, 6 4 λβγ, 4 επειδή η μεσοκάθετος και η πλευρά ΒΓ τέμνονται κάθετα ισχύει, λμ λβγ λμ λμ Η εξίσωση της μεσοκαθέτου του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ είναι, y 4 x 3 y 8 x 3 x y 0 β) Επειδή το Α ισαπέχει από τα σημεία Β, Γ, σημαίνει ότι ανήκει στην μεσοκάθετο του ΒΓ, άρα ανήκει στην ευθεία x y 0, οπότε οι συντεταγμένες του θα την επαληθεύουν, δηλαδή άρα Α5,3 γ) Έστω ΑΔ, οπότε Δ Δ λ λ 0 3λ 0 λ 4, Δ x, y οι συντεταγμένες του σημείου Δ, τότε το Μ είναι και μέσο του x x 5 x και Δ,5 ya yδ 3 y Δ ym yδ yδ 5 A Δ Δ xm 3 xδ Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 70

71 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία ΑΣΚΗΣΗ Δ7 ( 56) Θεωρούμε τα σημεία Α( t + 6, 0), B(0, 4t ), t. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ. β) Να δείξετε ότι το Μ κινείται σε ευθεία την οποία να προσδιορίσετε. (Μονάδες 5) (Μονάδες 0) γ) Αν (ΑΒ) = d, να αποδείξετε ότι d 0 και κατόπιν να βρείτε τα Α, Β ώστε η απόσταση (ΑΒ) να είναι ελάχιστη. (Μονάδες 0) α) Αφού το Μ είναι μέσο του ΑΒ έχουμε Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 7

72 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία Έτσι λοιπόν 3, xa xb t 6 xm xm xm t 3 ya yb 4t ym t ym ym M t t με t β) Έστω M x, y οπότε Έτσι λοιπόν t 3x x t 3 t 3 x y y t y t t y 3 x y x 6 y x 5 Άρα το Μ κινείται στην ευθεία ε : y x 5 γ) x x y y t 6 4t B A B A 6 t 4t 36 4t 4t 6t 6t 4 0t 40t 40 d d 0t 40t 40 Αφού Έτσι λοιπόν d t t Η d είναι συνάρτηση ως προς t Η συνάρτηση d Η ελάχιστη τιμή της Άρα d 0 με Άρα έχουμε d t 0t 40t 40 με t t έχει την ελάχιστη τιμή της για d t t είναι d 0 για 0 β 40 0 d t οπότε A 4,0, B 0, Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 7

73 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία ΑΣΚΗΣΗ Δ8 (564) Θεωρούμε τις εξισώσεις ελ: (λ )x + (λ )y λ + 3 = 0, λ α) Να αποδείξετε ότι καθεμιά από τις (ελ) παριστάνει ευθεία και κατόπιν ότι όλες οι ευθείες διέρχονται από σταθερό σημείο. Μονάδες 0 β) Έστω λ και λ. Αν η (ελ) τέμνει τους άξονες x x και y y στα σημεία Α(α,0) και Β(0, β) αντίστοιχα, τότε: i. Nα εκφράσετε τα α, β συναρτήσει του λ. ii. Nα βρείτε την ευθεία της παραπάνω μορφής ώστε να ισχύει + = α β Μονάδες 5 Μονάδες 0 α) Έχουμε, Άρα δεν υπάρχει καμία πραγματική τιμή του λ που να μηδενίζει ταυτόχρονα τα Α και Β, άρα η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθείες (οικογένεια ευθειών) για τις διάφορες τιμές του λ. Εύρεση σταθερού σημείου της ευθείας (ελ). Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 73

74 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία Για λ = βρίσκουμε την ευθεία: y 3 0 y Για λ = βρίσκουμε την ευθεία: x 3 0 x Οι ευθείες αυτές τέμνονται στο σημείο Μ(-, ). Θα αποδείξουμε ότι το σημείο αυτό ανήκει σε όλες τις ευθείες (ελ), άρα είναι το σταθερό σημείο που διέρχονται οι ευθείες. Για x = - και y = γίνεται η αρχική εξίσωση: Άρα την επαληθεύει, οπότε το σημείο Μ(-, ) είναι το σταθερό σημείο που διέρχονται όλες οι ευθείες (δέσμη ευθειών). β) i) Η εξίσωση x y 3 0 γίνεται για Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 74

75 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία ii) x 0, y 3 0 y 3 y άρα y 0, 3 x x 3 x άρα λ 3 λ 3 λ λ λ λ λ 3 λ 3 λ λ λ λ λ 3 λ 3 λ 3 λ λ 4 4 λ λ 6 5 λ Για η αρχική εξίσωση γίνεται: x y 3 0 x y 0 7x y 5 0 y 7x ΑΣΚΗΣΗ Δ9 (334) Θεωρούμε σημεία Mα,α +, α α) Να δείξετε ότι κινούνται στην ευθεία y = x + β) Να βρείτε το συμμετρικό Mα,β του Μ ως προς την ευθεία x - y = γ) Να δείξετε ότι το Μ κινείται, για τις διάφορες τιμές του α, στην ευθεία x -7y -7 = 0 (Μονάδες 5) (Μονάδες 0) (Μονάδες 5) δ) Να εξετάσετε αν οι τρεις ευθείες συντρέχουν και κατόπιν να αιτιολογήσετε το αποτέλεσμα, αφού πρώτα σχεδιάσετε τις τρεις ευθείες. (Μονάδες 5) Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 75

76 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία α) Έστω M x, y οπότε έχουμε xα xα y x y x y α y α Οπότε τα σημεία α, στην ευθεία : y x M κινούνται β) Από το M α,α φέρνουμε ευθεία (κ) κάθετη στην ευθεία : xy Βρίσκουμε την εξίσωση της ευθείας (κ) Είναι Οπότε, λ και αφού κ () y ym λ x xm y α x y x y x 3 Βρίσκουμε το σημείο τομής της (κ) με τη (ζ) λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων τους των σχέσεων () και (), 6α 4 x x 3α x 4x 6α 5x 6α 4 x 5 6α 4 Για x η () γίνεται, 5 6α 4 α 8 α α 3 y 3 y 3 y y Άρα η (κ) και η (ζ) τέμνονται στο σημείο Έτσι λοιπόν το, είναι μέσο του ΜΜ άρα 6α 4 3α 3, 5 5 θα είναι το συμμετρικό του Μ ως προς το Κ, άρα το Κ xm xm 6α 4 α xm xk 5 α 8 5α 5xM y y 3α 3 y 6α y yk 5 M M M M Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 76

77 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία 7α 8 7α 8 5 x xm 5 α 5yM α y 5 M M δηλαδή 7α 8 α, 5 5 γ) Έστω, xy άρα 7α 8 x 5 5x 7α 8 5x 8 7α α 5y α 5y α y 5 5x8 5x8 α α 7 7 5y α 5y α άρα, 5x 8 5 y 5 x 8 35 y x 35y 85 0 x 7y 7 0: δ) Βρίσκουμε το σημείο τομής των (ε) και (ζ) y x y x y x x y x x x x y x y x y 3 x 4 x 4 x 4 Άρα η (ε) και η (ζ) τέμνονται στο σημείο Α(-4,-3) Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες του Α στην εξίσωση της ευθείας (η) έχουμε Οπότε και η (η) διέρχεται από το Α Οι ε και ζ τέμνονται στο σημείο Α, το Α έχει συμμετρικό ως προς τη ζ το Α οπότε η συμμετρική ευθεία της ε ως προς τη ζ θα περνά κατ ανάγκη από το Α. Έτσι λοιπόν η (η) θα περνά κατ, ανάγκη από το Α. Για αυτό το λόγο οι τρεις ευθείες συντρέχουν. Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 77

78 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία ΑΣΚΗΣΗ Β (006) Δίνονται τα σημεία Α, και Β ΘΕΜΑΤΑ -.3 Β,3. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σημεία Α,Β Μονάδες β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΚΛ, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων και Κ, Λ είναι τα σημεία τομής της ε με τους άξονες xx και yy αντίστοιχα Μονάδες 4 Βρίσκουμε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας (ε) που διέρχεται από τα Α,Β. y y 3 3 Β Α λε λαβ 5 xβ xα Έχουμε λοιπόν συντελεστή διεύθυνσης λε 5 εξίσωση της (ε) είναι : Άρα: ε : 5x y 7 0. ε : y yα λε x xα y 5x y 5x 5 y 5x 7 και γνωστό σημείο Α, οπότε η β) Σημεία τομής της (ε) με τους άξονες. Για το Κ ((ε) με άξονα xx ) θέτω στην εξίσωση της (ε) όπου y 0και λύνω ως προς x 7 Δηλ. : 5x x 7 x. 5 7 Άρα : Κ,0 5 Για το Λ ((ε) με άξονα yy ) θέτω στην εξίσωση της (ε) όπου x 0και λύνω ως προς y δηλαδή, 50 y 7 0 y 7, άρα Λ0, 7 Εύρεση Εμβαδόν Τριγώνου ΟΚΛ Έχουμε, 7 49 ΟΚΛ ΟΚ ΟΛ 7 τ. μ. 5 0 ή Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 78

79 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία ΟΚΛ det ΟΚ, ΟΛ Παρόμοιες Ασκήσεις Σχολικού : Παράγραφος.3 / Α Ομάδα / Άσκηση 7 ΑΣΚΗΣΗ Β (040) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία A3,, B 3,, Γ 4, 0. α) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΒ. (Μονάδες 9) β) Να υπολογίσετε το μήκος του ύψους ΓΔ καθώς και την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκεται αυτό. (Μονάδες 6) α) Ο συντελεστής διεύθυνσης της πλευράς ΑΒ είναι, yβ yα λαβ x x άρα η εξίσωση της ευθείας ΑΒ είναι, y x 3 6y x 3 x 6y β) Αρχικά θα βρούμε την απόσταση του ύψους ΓΔ. Έχουμε, ΓΔ dγ, ΑΒ Β Γ Γ Εύρεση εξίσωση ευθείας του ύψους ΓΔ. Επειδή ΓΔ ΑΒ τότε A Αx Βy Γ Α Β Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 79

80 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία λγδ λαβ λγδ λγδ 6 6 άρα ο συντελεστής διεύθυνσης του ύψους ΓΔ είναι 6. Η εξίσωση της ευθείας ΓΔ είναι, y 0 6 x 4 y 6x 4 Παρόμοιες Ασκήσεις Σχολικού: Παρόμοιες Ασκήσεις Τράπεζας: 0066 ΑΣΚΗΣΗ Β3 (5) Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Oxy θεωρούμε την ευθεία : yx και τα σημεία,0 και 6, 3. α) Να προσδιορίσετε σημείο Γ της ευθείας ώστε το τρίγωνο να είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την. Μονάδες 5 β) Έστω,. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου. α) Έστω, x y. Αφού το σημείο Γ ανήκει στην ευθεία ε θα επαληθεύει την εξίσωση της επομένως y x () και άρα, Μονάδες 0 x x. Για να είναι το τρίγωνο να είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την θα πρέπει να ισχύει το πυθαγόρειο θεώρημα δηλαδή 6 x 3 y x 0 y x y x y Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 80

81 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία 36 x x 9 6y y 5 4x x y 36 x 9 6y 5 4x 4 6x 6y 0 4x 4y 5 4x 4x 5 8x 4 x. 8 3 Άρα y x. 3 Επομένως το σημείο Γ έχει συντεταγμένες,. β) Έχουμε 6, 3 0 4, 3 και, 0,. Το εμβαδόν του τριγώνου ισούται με det, ΑΣΚΗΣΗ Β4 (53) Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Oxy θεωρούμε την ευθεία : y x όπου θετικός ακέραιος μεγαλύτερος της μονάδας. α) Να βρείτε με τη βοήθεια του τα σημεία τομής της, ευθείας με τους άξονες xx, yy και το εμβαδόν του τριγώνου O. β) Αν ισχύει (OAB) < να αποδείξετε ότι κ = α) Η ευθεία : y x τέμνει τον άξονα x x για y = 0: 0 x x, άρα Α( κ, 0) Η ευθεία : y x τέμνει τον άξονα y y για x = 0: y 0 y, άρα B(0, κ ) Επομένως το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι: β) Έχουμε, k k k Μονάδες 3 Μονάδες k 4 3 Όμως ο κ είναι θετικός ακέραιος μεγαλύτερος της μονάδας, άρα κ =. ΑΣΚΗΣΗ Β5 (59) Θεωρούμε την ευθεία :3x 4y 0 και το σημείο Α(, ). α) Να αποδείξετε ότι το Α δεν ανήκει στην (ε) και να βρείτε την απόστασή του από Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 8

82 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία αυτή. Μονάδες 0 β) Να βρείτε όλες τις ευθείες που είναι παράλληλες στην (ε) και απέχουν από το Α απόσταση ίση με 3 μονάδες.. Μονάδες 5 α) Θέτω στην εξίσωση της ευθείας (ε) όπου x και y οπότε αφού οι συντεταγμένες του δεν επαληθεύουν τον τύπο της (ε) da, β) Επειδή όλες οι ευθείες (η) που είναι παράλληλες προς την (ε) έχουν και θα είναι της μορφής : : y x ή :3x 4y 0 () 4 4 Δίνεται ότι: da, 3 οπότε: da, Άρα οι ζητούμενες ευθείες είναι : :3x 4y 5 0 ή :3x 4y 5 0 ΑΣΚΗΣΗ B6 (53) Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων στο οποίο απεικονίζεται ο χάρτης του νομού Αρκαδίας. Τα χωριά Δόξα (Δ), Λευκοχώρι (Λ) και Κακουρέϊκα (Κ) έχουν αντίστοιχες συντεταγμένες Δ(, ), Λ(, ) και Κ(, 0).. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από τα χωριά Δόξα (Δ) και Λευκοχώρι (Λ). Μονάδες 8 β) Να βρείτε την απόσταση του Κ από την ευθεία (ε).. Μονάδες 8 γ) Να εξετάσετε, με βάση τα δεδομένα του προβλήματος, ποιο από τα χωριά Δόξα και Λευκοχώρι απέχει τη μικρότερη απόσταση από τα Κακουρέϊκα Μονάδες 9 α) Έχουμε, Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 8

83 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία οπότε η εξίσωση (ε) που διέρχεται από τα χωριά Δόξα και Λευκοχώρι είναι : 3 : y x 4y8 3x 6 3x 4y 0. 4 β) Έχουμε, d, γ) Έχουμε, K K Άρα το Λευκοχώρι είναι πιο κοντά στα Κακουρέϊκα από το χωριό Δόξα. ΑΣΚΗΣΗ B7 (537) Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Οxy θεωρούμε τα σημεία Α(λ-,λ+) και Β(μ+3,μ), λ, μr. α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α,Β κινούνται στις ευθείες : yx3 και : αντίστοιχα. Μονάδες β) Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ευθειών,. Μονάδες 3 Μεθοδολογία : y x και : y x δύο παράλληλες ευθείες, τότε η μεταξύ τους Αν απόσταση δίνεται από τον τύπο d, α) Για το σημείο Α έχουμε: xa x ya y. A A A A A A x y x y 3 0 Δηλαδή, το σημείο Α βρίσκεται στην ευθεία : x y 3 0. Για το σημείο Β έχουμε: Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 83

84 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία x 3 x 3 x 3 y x y 3 0 y y Δηλαδή, το σημείο Β βρίσκεται στην ευθεία : x y 3 0. β) Έστω ε η μεσοπαράλληλος των και, τότε, Συνεπώς, : y x k, k Επιπλέον, / / / / 3 d, k k 3 6 d, d, k 3 3 k 3 3 ή k-3=-3 k=6 ή k=0 Για k = 6 είναι : y x 6 και, d, και d, Δηλαδή, η : y x 6 δεν ισαπέχει από τις και άρα, δεν είναι η μεσοπαράλληλος αυτών. Για k=0 είναι : y x και, d, και d, Δηλαδή, η : y x ισαπέχει από τις και και άρα, είναι η μεσοπαράλληλος αυτών. ΑΣΚΗΣΗ B8 (538) Δίνονται τα σημεία Α(0,), Β(, 5) και Γ(t, 3t ), tr. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΑΒ. Μονάδες 7 β) Να δείξετε ότι η απόσταση του σημείου Γ από την ευθεία ΑB καθώς και τo εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι ανεξάρτητα του t. Μονάδες 8 Μεθοδολογία Ο συντελεστής διεύθυνσης ευθείας που διέρχεται από τα σημεία x, y y y B(x, y ) είναι, αν x x. x x και Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 84

85 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία Η εξίσωση ευθείας με συντελεστή διεύθυνσης λ που διέρχεται από το σημείο x 0, y0 είναι 0 0 y y (x x ). Η απόσταση σημείου x, y από ευθεία : x By 0 με Α 0 ή Β x0 y0 δίνεται από τον τύπο d(, ) Το εμβαδόν τριγώνου με κορυφές Α, Β, Γ δίνεται από τον τύπο det AB,A α) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΑΒ θα είναι yb ya x x 0 Άρα, η εξίσωση της ευθείας ΑΒ θα είναι ΑΒ: y y A AB(x x A) y 3(x 0) y 3x ή στην γενική της μορφή : 3x y 0 B β) Η απόσταση του σημείου Γ(t, 3t ) από την ευθεία ΑΒ δίνεται από τον τύπο 3 A 3x y 3 t 3t 3t 33t 0 d(, ) και είναι ανεξάρτητη του t. Είναι, t 0, 3t t,3t 4 0,5,3 και Συνεπώς, 3 det(, ) 3t 4 3t 3t 4 3t 3 t 3t-4 Και άρα, το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ θα είναι: det AB, A τετραγωνικές μονάδες. Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 85

86 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία Δ Θέματα:.3 ΑΣΚΗΣΗ Δ (864) Δίνονται οι ευθείες ε : 3x y 3 0και ε : x y 4 0 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών ε και ε (Μονάδες 5) β) Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα y' y στο σημείο Β και η ευθεία ε τέμνει τον άξονα x 'x στο σημείο Γ, τότε: i) να βρείτε εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Β και Γ (Μονάδες 5) ii) να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 5) γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ (x,y) για τα οποία ισχύει (ΚΒΓ) = (ΑΒΓ) ανήκουν σε δύο παράλληλες ευθείες, των οποίων να βρείτε τις εξισώσεις. (Μονάδες 0) α) Οι συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών ε και ε είναι η λύση του συστήματος των εξισώσεων τους: 3x y 3 3x y 3 () x y 4 3 3x 6y () Προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις () και () και έχουμε: 5y 5 y 3 Αντικαθιστούμε στην () και παίρνουμε: 3x 3 3 3x 6 x Η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος x, y,3, άρα Α(-,3) το ζητούμενο σημείο. β) (i) Για x=0 η εξίσωση της ε δίνει: y=-3 Για y=0 η εξίσωση της ε δίνει: x=4 Άρα, Β(0, -3) και Γ(4, 0). Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΒΓ είναι: λ y y x x Γ Β ΒΓ Γ Β Η εξίσωση της ευθείας ΒΓ θα είναι: y yb λβγ x xβ y 3 x 0 y 3 x y x Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 86

87 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία (ii) Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο: ABΓ det AB, AΓ όμως AB 0, 3 3, 6 και AΓ 4,0 3 6, 3-6 det AB, AΓ και μονάδες. γ) Είναι όπου και Οπότε,, άρα, ΚBΓ det ΚB, ΒΓ και BΓ 4,3 ΚΒ x, 3 y x -3-y ABΓ 30 5 τετραγωνικές det ΚB, ΒΓ 3x 4 3 y 3x 4y 3x 4y 4 3 ΚΒΓ ΑΒ Γ 3x 4y 5 3x 4y 30 3x 4y 30 ή 3x 4y 30 3x 4y 8 0 ή 3x 4y 4 0 άρα, τα σημεία Κ(x, y) ανήκουν στις ευθείες ε : 3x 4y 8 0 και ε : 3x 4y 4 0 οι οποίες είναι παράλληλες, αφού λ 3 λ 4 ε ε Παρόμοιες Ασκήσεις Σχολικού: Παράγραφος.3 / Α Ομάδα / Άσκηση 7, Παράγραφος.3 / Β Ομάδα / Άσκηση 0 ΑΣΚΗΣΗ Δ (865) Θεωρούμε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ που είναι παράλληλο προς την ευθεία ε :y = x, Α x, y, με B x, y και x x. Αν το σημείο Μ(3,5) είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και το γινόμενο των τετμημένων των σημείων Α και Β ισούται με 5, τότε: α) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β. (Μονάδες 3) β) Να αποδείξετε ότι (ΟΑΒ) = 4, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων. Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 87

88 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία (Μονάδες 5) γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ(x,y) για τα οποία ισχύει (ΚΑΒ) = (ΟΑΒ) ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις τις: x y = 0 και x y+ 6 = 0 (Μονάδες 7) α) Αφού το Μ είναι μέσον του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, θα ισχύει: x x y y 3 x x 6 και 5 y y 0 () Επιπλέον, δίνεται ότι xx 5 Αν συμβολίσουμε με S το άθροισμα των x, x και με P το γινόμενό τους, τότε τα x, x θα είναι οι λύσεις της δευτεροβάθμιας εξίσωσης Είναι: Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι: x Sx P 0 x 6x 5 0 Δ β 4αγ x Sx P 0. >0 Άρα, οι άνισες πραγματικές ρίζες της εξίσωσης θα είναι: x, 6 4 x β Δ α x 5 αφού από υπόθεση έχουμε x x. Έχουμε, AB / /ε λ λ y y y y y y y y 4 () ΑΒ ε x x 5 4 Από τις εξισώσεις () και () προκύπτει το σύστημα: y y 0 y y 4 Προσθέτοντας κατά μέλη τις εξισώσεις παίρνουμε y 4 y 7 Αντικαθιστώντας τώρα στην () έχουμε: 7 y 0 y 3 Άρα, Α(,3) και Β(5, 7) τα ζητούμενα σημεία. β) Είναι OA,3 και OB 5,7 3 det OA, OB και άρα, το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι: Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 88

89 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία ΟΑΒ det OA, OB 8 4τετραγωνικές μονάδες γ) ΚA x,3 y και AB 5,7 3 4, 4 Οπότε, x 3-y det KA, AB 4 x 4 3 y 4 4x 4y 4x 4y και 4 KΑΒ det KA, AB 4x 4y 8 4x y x y x y Συνεπώς, x y 4 x - y - = 0 KAB OAB x y 4 x y 4 ή ή x-y+=-4 x - y + 6 = 0 Άρα, τα σημεία Κ(x, y) ανήκουν στις ευθείες ε :x-y-=0 και ε :x-y+6=0. ΑΣΚΗΣΗ Δ3 (860) Δίνονται οι ευθείες : x y5 0, : 3 x y5 0 με και το σημείο Α(,-) α) Να αποδείξετε ότι, για κάθε τιμή του οι ευθείες τέμνονται Μονάδες 7 β) Αν οι ευθείες τέμνονται στο σημείο Α, να βρείτε την τιμή του Μονάδες 0 γ) Έστω και Β, Γ τα σημεία που οι και τέμνουν τον άξονα y y. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ Λύση α) Είναι : x y 5 0 x y 5 : 3 x y x y 5 3 Είναι D Έχουμε Μονάδες 8 Άρα 0 D 0 για κάθε οπότε το σύστημα των εξισώσεων των και έχει μοναδική λύση δηλαδή οι ευθείες τέμνονται Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 89

90 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία β) D y D x Οι λύσεις του συστήματος των εξισώσεων των και είναι D x 0 0 x D D y y D Αφού το σημείο Α(,-) είναι το σημείο τομής των και έχουμε 0 x y () () Για την () έχουμε άρα Για την () έχουμε άρα Η κοινή λύση των () και () είναι, 6 4, γ) Για η εξίσωση της είναι 3x y 5 0 (3) ενώ η εξίσωση της είναι 7x y 5 0 (4) Για x 0 η (3) y5 0 y 5 άρα η τέμνει τον yy στο σημείο Β(0,5). Για x 0 η (4) y5 0 y 5 άρα η τέμνει τον yy στο σημείο Γ(0,-5). Έτσι λοιπόν είναι AB,6 και A, 4 Οπότε Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 90

91 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία ΑΣΚΗΣΗ Δ4 (86) Δίνονται τα σημεία 3 Α, det AB, A, Β, 6 4 = 8 0 τ.μ. και μ 4 Γμ, όπου μ α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΒ και ΒΓ Μονάδες 8 β) Να αποδείξετε ότι για κάθε μ το σημείο Γ ανήκει στην ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Β γ) Να βρείτε την τιμή του μ έτσι, ώστε μβγ ΑΒ Μονάδες 8 Μονάδες 6 δ) Για την τιμή του μ που βρήκατε στο ερώτημα γ), να αποδείξετε ότι ΟΒΓ όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων α) Είναι Μονάδες 3 3 ΑΒ,, και μ 4 μ ΒΓ μ, μ, β) Αρχικά βρίσκουμε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από τα σημεία Α και Β. Ο συντελεστής διεύθυνσή της είναι: λ ε λ ΑΒ Οπότε ε : y yb λεx xb y x y x () μ 4 μ 4 Για y yγ και x xγ μ η () μ μ 4 μ 4 που ισχύει Άρα για κάθε μ το σημείο Γ ανήκει στην ευθεία (ε). γ) Είναι Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 9

92 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία μ μ μ μβγ ΑΒ μμ,, μ μ,, μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ 0 μ 0 μ 0 μ δ) Για μ είναι Έτσι λοιπόν Γ, οπότε ΟΒ, και 3 ΟΓ, ΟΒΓ det OB,OΓ 3 3 τ.μ. ΑΣΚΗΣΗ Δ5 (863) Δίνονται τα σημεία Α3,4, Β5,7 και Γμ,3μ, όπου μ α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΒ και ΑΓ και, στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ δεν είναι συνευθειακά για κάθε τιμή του μ Μονάδες 8 β) Να αποδείξετε ότι: i) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ δεν εξαρτάται από το μ Μονάδες 5 ii) για κάθε τιμή του μ το σημείο Γ ανήκει σε ευθεία ε, της οποίας να βρείτε την εξίσωση Μονάδες 7 γ) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά γιατί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ παραμένει σταθερό, ανεξάρτητα από την τιμή του μ; Μονάδες 5 α) Είναι AB 5 3,7 4,3 και AΓ μ 3,3μ 4 μ,3μ 6 άρα 3 det AB, ΑΓ 3μ 6 3 μ 6μ 6μ μ 3μ 6 Οπότε, AB / / ΑΓ οπότε τα σημεία Α, Β, Γ δεν είναι συνευθειακά για κάθε μ β) i) Έχουμε, Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 9

93 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία 3 ΑΒΓ det AB, ΑΓ 6 3 τ.μ. μ 3μ 6 οπότε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι ανεξάρτητο του μ. ii) Έστω Γx, y οπότε x μ x μ x μ x y y 3μ y 3μ y 3 μ 3 Άρα το Γ ανήκει στην ευθεία 3 7 3x 3 y 4 y 3x 7 y x 3 7 ε : y x 3 γ) Είναι λ λ ΑΒ ε Έτσι λοιπόν dε, εαβ κάθε περίπτωση άρα ε / / ε ΑΒ σταθερή και ανεξάρτητη από την επιλογή του Γ οπότε σε ΑΒ ΑΒΓ det AB, ΑΓ ΑΒ d ε, ε σταθερό και ανεξάρτητο του σημείου Γ άρα και του μ. ΑΣΚΗΣΗ Δ6 (563) Θεωρούμε το σημείο Μ( 3, ) και ευθεία που διέρχεται από το Μ και τέμνει τους αρνητικούς ημιάξονες στα σημεία Α, Β. α) Να αποδείξετε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης λ της ευθείας είναι αρνητικός. (Μονάδες 0) Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 93

94 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία β) Έστω Ε(λ) το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ. i. Να αποδείξετε ότι Ε(λ) για κάθε λ < 0. (Μονάδες 0) ii. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που σχηματίζει με τους ημιάξονες τρίγωνο με ελάχιστο εμβαδόν. (Μονάδες 5) α) Έστω ότι η ευθεία (ε) που διέρχεται από το Μ(-3,-) τέμνει τον αρνητικό ημιάξονα των x x στο σημείο A,0 σημείο 0, B Οπότε λ B y με y 0 B y y y x x x B A B B A A x με x 0 και τον αρνητικό ημιάξονα των y y στο yb yb Αφού y B 0 και x A 0 είναι 0 0 λ 0 x x A A β) i) Η εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το Μ(-3,-) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ (από το α) ερώτημα) είναι: ε : y y λ x x y λ x 3 y λx 3λ () M M 3λ 3λ Για y 0, () λx 3λ x x Άρα 3λ,0 Για x 0, () y 3λ Άρα 0,3λ Έτσι λοιπόν A 3λ 3λ 3λ 3λ 3λ 3λ 0 3λ 3λ 3λ 3λ Άρα Έχουμε, 3λ με 0 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 94

95 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία 3λ 9λ 4 0 9λ 4 0 3λ που ισχύει για κάθε 0 ii) Στο προηγούμενο ερώτημα δείξαμε ότι για κάθε λ 0 Για να δείξουμε ότι η ελάχιστη τιμή του εμβαδού είναι πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχει λ 0 ώστε Λύνουμε την εξίσωση 3λ 9λ 4 0 9λ 4 0 3λ 3λ Άρα min για 3 Τότε από τη σχέση () η εξίσωση της ζητούμενης ευθείας είναι y x 3 y x ΑΣΚΗΣΗ Δ7 (565) x y xy x y 3 0. Δίνεται η εξίσωση α) Να αποδείξετε ότι παριστάνει δυο ευθείες παράλληλες μεταξύ τους. (Μονάδες 8) Η ομάδα του lisari (Έκδοση: ) 95

ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Τετάρτη 20 05 15 10:15 πμ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ LISARI TEAM. ΘΕΜΑΤΑ Α + Β Βελαώρας Γιάννης Κάκανος Γιάννης ΘΕΜΑ Γ

ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Τετάρτη 20 05 15 10:15 πμ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ LISARI TEAM. ΘΕΜΑΤΑ Α + Β Βελαώρας Γιάννης Κάκανος Γιάννης ΘΕΜΑ Γ ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Τετάρτη 0 0 0: πμ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ LISARI TEAM ΘΕΜΑΤΑ Α + Β Βελαώρας Γιάννης Κάκανος Γιάννης ΘΕΜΑ Γ Βοσκάκης Σήφης Σπλήνης Νίκος ΘΕΜΑ Δ Παπαμικρούλης Δ. Σίσκας Χρήστος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04) Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556

Διαβάστε περισσότερα

(Έκδοση: 06 12 2014)

(Έκδοση: 06 12 2014) (Έκδοση: 06 04) Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των συνεργατών του δικτυακού τόπου http://lisari.blogspot.gr η έκδοση: 06 04 (συνεχής ανανέωση) Το βιβλίο διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Παρασκευή ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ lisari team ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ

ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Παρασκευή ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ lisari team ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Παρασκευή 0 05 6 :00 πµ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ lsar team ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΓΚΡΙΜΠΑΒΙΩΤΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΜΠΕΛΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΑΚΑΝΟΣ ΗΜΗΤΡΗΣ ΜΠΑ ΕΜΗΣ ΗΜΗΤΡΗΣ ΠΑΠΑΜΙΚΡΟΥΛΗΣ ΘΩΜΑΣ ΠΟ ΗΜΑΤΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ lisari team ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ η έκδοση

ΛΥΣΕΙΣ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ lisari team ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ η έκδοση ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ lisari team ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 08 ΛΥΣΕΙΣ 5η έκδοση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 06 8. :.. Αντωνόπουλος Νίκος Βελαώρας Γιάννης Βοσκάκης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α (1,1), Γ (4,3) και Δ (,3). α) Να υπολογίσετε τα μήκη

Διαβάστε περισσότερα

Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των συνεργατών του δικτυακού τόπου

Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των συνεργατών του δικτυακού τόπου Έκδοση:0 03 05 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των συνεργατών του δικτυακού τόπου http://lisari.blogspot.gr 4η έκδοση: 0 03

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Τετάρτη 10 06 15 20:10. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ LISARI TEAM ΘΕΜΑ Α Μαρία Παπαδομανωλάκη ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Γ

ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Τετάρτη 10 06 15 20:10. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ LISARI TEAM ΘΕΜΑ Α Μαρία Παπαδομανωλάκη ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Γ ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Τετάρτη 10 06 15 0:10 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ LISARI TEAM ΘΕΜΑ Α Μαρία Παπαδομανωλάκη ΘΕΜΑ Β ΑΝΔΡΕΑΣ ΜΑΝΩΛΗΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ ΘΕΜΑ Γ Θεόδωρος Παγώνης Χαράλαμπος Φιλιππίδης

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β 1 of 68 Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ lisari team ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ η έκδοση

ΛΥΣΕΙΣ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ lisari team ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ η έκδοση ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ lisari team ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΡΙΤΗ 5 9 17 : ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 17 3η έκδοση Χρήστος Κανάβης Ανδρέας Πάτσης Νίκος

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Παρασκευή 12 06 15 20:30. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ LISARI TEAM ΘΕΜΑ Α Σήφης Βοσκάκης ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Γ

ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Παρασκευή 12 06 15 20:30. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ LISARI TEAM ΘΕΜΑ Α Σήφης Βοσκάκης ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Γ ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Παρασκευή 06 5 0:0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ LISARI TEAM ΘΕΜΑ Α Σήφης Βοσκάκης ΘΕΜΑ Β Ανδρέας Μανώλης Θανάσης Νικολόπουλος Σταύρος Χαραλάμπους ΘΕΜΑ Γ Πάνος Γκριμπαβιώτης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ, ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΣΕΛΙΔΕΣ 3-36 ΜΕΡΟΣ ο ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10)

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB= ( λ, λ+ 1), AΓ = ( 3 λ, λ 1) είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ AΜ= λ, λ α) Να αποδείξετε ότι ( ), όπου λ 0 και λ, και Μ (Μονάδες 7) β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε = 5 + 2 α) Να γράψετε το διάνυσμα β) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ [TΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ] (Μονάδες 13) β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΔΕ και BΓ είναι παράλληλα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ [TΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ] (Μονάδες 13) β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΔΕ και BΓ είναι παράλληλα. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Ο 863 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε: AΔ=AB+5AΓ και AΕ =5AB+AΓ α) Να γράψετε το διάνυσμα ΔΕ ως γραμμικό συνδυασμό των AB και AΓ ) Να δείξετε ότι τα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα εξετάσεων στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Β Λυκείου παλαιοτέρων ετών

Θέματα εξετάσεων στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Β Λυκείου παλαιοτέρων ετών wwwaskisopolisgr Θέματα εξετάσεων στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Β Λυκείου παλαιοτέρων ετών Διανύσματα Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με AB, ΑΓ και ˆΑ 60 Να βρείτε: α) ΑΒ ΑΓ β) Το μέτρο της διαμέσου ΑΔ γ) Τη

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα

Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Επανάληψη Χριστουγέννων Αφού κάνετε μια επανάληψη στο πρώτο κεφάλαιο και θυμηθείτε όλους τους τύπους και τις μεθοδολογίες, να λύσετε τις παρακάτω ασκήσεις από την τράπεζα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7)

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Άσκηση Δίνονται τα διανύσματα a και με a, = 3 και a =, =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a. β) Αν τα διανύσματα a + και κ a + είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα-Ευθεία-Κύκλος Αναλυτική Θεωρία 500 Ασκήσεις Επιμέλεια : ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 2 1. Η Έννοια του Διανύσματος Ορισμός Διανύσματος Το διάνυσμα ορίζεται ως

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2 ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ! ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ 005 Θεωρούµε τα σηµεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2018 A ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2018 A ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Παρασκευή 5 Ιανουαρίου 08 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν α= ( x,y ), β= ( x,y) γ= x,y α β+ γ =

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή ή Λανθασμένη: Πράξεις διανυσμάτων

Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή ή Λανθασμένη: Πράξεις διανυσμάτων Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή ή Λανθασμένη: Πράξεις διανυσμάτων ) α β α β α//β ) α β α β α β ) α β α β α β 4)

Διαβάστε περισσότερα

Διανύσματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Διανύσματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Διανύσματα Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7 0 0 8 8 8 8 Kglykosgr / 9 / 0 1 6 Kατεύθυνση κεφάλαιο 1 44 ασκήσεις και τεχνικές σε 1 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο Τα πάντα για τα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2018 A ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2018 A ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Παρασκευή 5 Ιανουαρίου 08 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελίδα 43 Α. Ο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου wwwaskisopolisgr ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 00-018α φάση Διανύσματα 1 Σε σύστημα συντεταγμένων Oxy θεωρούμε τρία σημεία Α, Β, Γ του μοναδιαίου κύκλου, για τα οποία υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1)

Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1) 7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Απόσταση Σημείου από Ευθεία Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση M ( x, y ) ένα σημείο εκτός αυτής Θέλουμε y να υπολογίσουμε την απόσταση d( M, ε) του ε σημείου M από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ www.thetiko.gr 1. Λάθος. Λάθος 3. Σωστό. Λάθος 5. Λάθος 6. Λάθος 7. Σωστό 8. Λάθος 9. Λάθος 10. Λάθος 11. Λάθος 1. Σωστό 13. Σωστό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

Διανύσματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 7 /

Διανύσματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 7 / Διανύσματα Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 1 / 7 / 0 1 8 Kατεύθυνση κεφάλαιο 1 44 ασκήσεις και τεχνικές σε 1 σελίδες εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

44 Ευθεία Τύποι - Βασικές έννοιες Εξίσωση ευθείας EΥΘΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες α Η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο ( x,y) συντε

44 Ευθεία Τύποι - Βασικές έννοιες Εξίσωση ευθείας EΥΘΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες α Η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο ( x,y) συντε Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της ευθείας θα πρέπει να είναι σε θέση: Να βρίσκει τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας Να διατυπώνει τις συνθήκες παραλληλίας και καθετότητας δύο ευθειών, και

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12 Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H

Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H, Z,. Τα τμήματα ΑΓ και ΗΕ έχουν κοινό μέσο γ. Το κέντρο του παραλληλογράμμου είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Πέµπτη 7 Ιανουαρίου 2016 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Πέµπτη 7 Ιανουαρίου 2016 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ε_3Μλ2Θ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Πέµπτη 7 Ιανουαρίου 2016 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1 ίνονται τα διανύσµατα a= ( x1, y1)

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) ( ) λx + 2 λ y + λ + 4 = 0. Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. Ενδεικτικές Λύσεις

( ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) ( ) λx + 2 λ y + λ + 4 = 0. Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. Ενδεικτικές Λύσεις ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ : 7077 594 ΑΡΤΑΚΗΣ Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ : 99 9494 www.syghrono.gr ΕΠΩΝΥΜΟ:........................ ΟΝΟΜΑ:........................... ΤΜΗΜΑ:........................... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.....................

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΥΘΕΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΥΘΕΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑ Β.,.,. ΠΡΟΣΘΕΣΗ & ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ - ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. σελ.. ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ.. σελ. 5.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ... σελ.

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Α. Έστω α = (x 1, y 1 ) και β = (x, y ) δύο διανύσµατα Να γράψετε την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινοµένου τους i Αν τα διανύσµατα δεν είναι παράλληλα προς τον

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΗΝ ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΝΤΡΙΖΟΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ / ΘΕΜΑ Δίνεται το κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 10/4/017 ΕΩΣ /4/017 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τετάρτη 1 Απριλίου 017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Εσωτερικό Γινόμενο

1.3 Εσωτερικό Γινόμενο 1 Εσωτερικό Γινόμενο 1 Αν α = ( 1, ) i α β iii και β = ( 1, ), να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα: ii ( α )( β ) α β α + β α iv Αν α =, β = 1 και ( αβ, ) = 15 ο, να υπολογίσετε το α β Με βάση το διπλανό

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Να δίνει τον ορισμό του διανύσματος και των εννοιών που είναι κλειδιά όπως: κατεύθυνση φορά ή διεύθυνση, μηδενικό διάνυσμα,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Έστω Α, Β, Κ, Λ και Μ τυχαία σημεία του χώρου Α ισχύει η σχέση ΑΚ + ΜΑ = ΚΒ 2ΑΒ + ΒΛ, να αποδείξετε ότι: α) τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά, β) ΚΛ ΚΜ, γ) ΚΛ = ΚΜ 2 Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a.

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a. ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο (Πανελλήνιες θετικής κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999) Α. Έστω a ( x1,) y1 και ( x,) y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. α) Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ 1. Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο a δύο διανυσμάτων a και αν: ι) a a 5, 7,(, ) 5, ιι) a 5,,( a, ). 6 6. Το διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι:

1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι: Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι: α) ΑΜ = 1 2 ( ΑΒ + ΑΓ ) β) ΜΝ = 1 2 ΒΑ 2. ** ίνονται τα διανύσµατα ΑΒ και Α Β. Αν Μ και Μ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ SOS ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Θέμα ο Να γράψετε και να αποδείξετε την σχέση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου ενός τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 0/04/018 ΕΩΣ 14/04/018 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη 1 Απριλίου 018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη ε του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει :

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει : Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για τα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού της Β Λυκείου, που είναι ένα από τα σημαντικότερα μαθήματα, καθώς περιέχει χρήσιμες γνώσεις για

Διαβάστε περισσότερα

ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι.

ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. Σύγχρονο www.fasma.fro.gr ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. Μαθητικό Φροντιστήριο Κατά το πέρας της εξέτασης οι λύσεις θα αναρτηθούν στο και στο site του φροντιστηρίου. 5ης Μαρτίου 111 ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 016 Ε_.ΜλΘ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 17 Απριλίου 016 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω a, v

Διαβάστε περισσότερα

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (104903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 ο i) Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΗ Έστω x = λ-1 και y = 2λ+3, τότε λ = x+1 (1) και λ = (2). Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία y = 2x+5.

ΛΥΣΗ Έστω x = λ-1 και y = 2λ+3, τότε λ = x+1 (1) και λ = (2). Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία y = 2x+5. . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ (λ -, λ ), λ R. - Έστω λ- και λ, τότε λ () και λ (). - Από τις () και () έχουμε:. Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία.. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Λυκείου Εξεταζόμενη Ύλη: Διανύσματα Ευθεία Κύκλος Ημερομηνία: 01/03/2015. Θέμα Β. Θέμα Α. Α 1. Σχολικό Βιβλίο σελίδα 73.

Μαθηματικά Β Λυκείου Εξεταζόμενη Ύλη: Διανύσματα Ευθεία Κύκλος Ημερομηνία: 01/03/2015. Θέμα Β. Θέμα Α. Α 1. Σχολικό Βιβλίο σελίδα 73. Μαθηματικά Β Λυκείου Εξεταζόμενη Ύλη: Διανύσματα Ευθεία Κύκλος Ημερομηνία: /3/5 Θέμα Α Α. Σχολικό Βιβλίο σελίδα 73. Α.. Σχολικό Βιβλίο σελίδα 84. Α 3. i --> Σ, ii --> Σ, iii --> Λ, iv --> Λ, v --> Σ Θέμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 2ο κεφάλαιο: Ευθείες Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Μαθηµατικά Προσανατολισµού Β Λυκείου Αποστόλου Γιώργος Μαθηµατικός Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9 ΓΕΛ ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β 331 Α. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των μη μηδενικών διανυσμάτων α, β. Μονάδες 5 β. Εάν ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων α, β αντιστοίχως να δείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

(Έκδοση: )

(Έκδοση: ) (Έκδοση: 06 11-014) Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των συνεργατών του δικτυακού τόπου http://lisari.blogspot.gr η έκδοση: 06 11 014 (συνεχής ανανέωση) ( προστέθηκαν

Διαβάστε περισσότερα

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 /

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 / Ευθείες Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr / / 0 8 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 59 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο

Διαβάστε περισσότερα

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 /

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 / Ευθείες Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr / / 0 8 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 59 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος;

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) c πάνω στην οποία κινείται το σημείο Μ. M x, y. x 2λ 1 και. 3 λ Υπάρχει λ ώστε.

Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) c πάνω στην οποία κινείται το σημείο Μ. M x, y. x 2λ 1 και. 3 λ Υπάρχει λ ώστε. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) Του Κώστα Βακαλόπουλου Στο άρθρο που ακολουθεί παραθέτουμε μια σειρά από ασκήσεις στις οποίες συνυπάρχουν άλλοτε αρμονικά και άλλοτε ανταγωνιστικά οι δύο βασικές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Ευθεία ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ 1. Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε, αν αυτή έχει εξίσωση: 5x 6 i) y = x- 1 ii) y = 3 5x iii) y iv) x = y + 3 10 v) 18x-6y

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΤΕΤΑΡΤΗ : 35 π.μ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ lisari team

ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΤΕΤΑΡΤΗ : 35 π.μ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ lisari team ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕΤΑΡΤΗ 18 5 16 1 : 35.μ (edit) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ lisari team ΝΙΚΟΣ ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΒΕΛΑΩΡΑΣ ΣΗΦΗΣ ΒΟΣΚΑΚΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΓΚΡΙΜΠΑΒΙΩΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ÅÐÉËÏÃÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ÅÐÉËÏÃÇ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Σάββατο 8 Απριλίου 2017 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Α1. Θεωρία. Σχολικό βιβλίο σελίδα 83 Α2. α) Σωστό β) Λάθος γ) Σωστό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Αν Α(x 1, y 1 ) και Β(x, y ) είναι σημεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8. Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. Ασκήσεις προς λύση 1-50

Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8. Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. Ασκήσεις προς λύση 1-50 Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8 Ασκήσεις προς λύση 1-50 1. Θεωρούμε τα σημεία Α(1,2), Β(4,1). Να βρείτε σημείο Μ του άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Θέµα ο A. Αν α, β µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: i. αβ και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. 4 4 B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η

Διαβάστε περισσότερα