(Έκδοση: )

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "(Έκδοση: 06 12 2014)"

Transcript

1 (Έκδοση: 06 04)

2 Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των συνεργατών του δικτυακού τόπου η έκδοση: (συνεχής ανανέωση) Το βιβλίο διατίθεται αποκλειστικά από το μαθηματικό blog

3 Περιεχόμενα Σελίδες Πρόλογος:.. 3 Η ομάδα εργασιών... 5 Κεφάλαιο ο: Διανύσματα 6 Κεφάλαιο ο: Ευθεία... 3

4 Πρόλογος Στο παρόν αρχείο δίνονται όλες οι ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων που αφορούν στα Μαθηματικά Προσανατολισμού της Β Λυκείου μαζί με τις λύσεις τους. Η παρουσίαση των λύσεων είναι κατά το δυνατόν αναλυτική έτσι, ώστε το αρχείο να μπορεί να διαβαστεί και να μελετηθεί εύκολα από τους μαθητές. Σε αρκετές περιπτώσεις οι λύσεις συνοδεύονται με αναφορές σε παρόμοιες ασκήσεις του σχολικού βιβλίου ή της τράπεζας θεμάτων καθώς και με κάποια στοιχεία θεωρίας ή ακόμα και μεθοδολογίας. Η εργασία αυτή εκπονήθηκε από μια διαδικτυακή (και όχι μόνο) ομάδα μαθηματικών από διάφορα μέρη της Ελλάδος. Η ομάδα συγκροτήθηκε από τους μαθηματικούς που ανταποκρίθηκαν στο κάλεσμα που απεύθυνε μέσα από το blog ο ακούραστος Μάκης Χατζόπουλος. Εργάστηκε με μεράκι, κάτω από πίεση χρόνου, για να προσφέρει στην εκπαιδευτική κοινότητα, μαθητές και καθηγητές, το συγκεκριμένο υλικό. Επιθυμία όλων μας είναι να συμβάλλουμε, έστω και ελάχιστα, στην βελτίωση της διδασκαλίας των μαθηματικών στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, μέσα από την παροχή υποστηρικτικού υλικού στην ελληνική εκπαιδευτική κοινότητα. Μετά την αρχική συγγραφή των λύσεων έγιναν ενδελεχείς έλεγχοι, διορθώσεις και βελτιώσεις για την όσο το δυνατό ποιοτικότερη παρουσίαση. Ζητούμε συγνώμη για τυχόν παραλείψεις, λάθη ή αστοχίες οι οποίες ενδεχομένως θα έχουν διαλάθει της προσοχής μας, κάτι αναπόδραστο στην εκπόνηση μιας εργασίας τέτοιας έκτασης σε τόσο στενά περιθώρια χρόνου. Θα ακολουθήσουν επόμενες εκδόσεις, όπου το υλικό θα βελτιωθεί. Οποιαδήποτε σχόλια, παρατηρήσεις, διορθώσεις και βελτιώσεις των λύσεων είναι ευπρόσδεκτα στην ηλεκτρονική διεύθυνση Με εκτίμηση Η ομάδα του lisari

5 lisari team Αντωνόπουλος Νίκος (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίου Κατεύθυνση - Άργος) Αυγερινός Βασίλης (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίου ΔΙΑΤΑΞΗ - Ν. Σμύρνη και Νίκαια) Βελαώρας Γιάννης (Φροντιστήριο ΒΕΛΑΩΡΑΣ - Λιβαδειά Βοιωτίας) Βοσκάκης Σήφης (Φροντιστήριο Ευθύνη - Ρέθυμνο) Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης (Φροντιστήριο Αστρολάβος - Άρτα) Δούδης Δημήτρης (3 ο Λύκειο Αλεξανδρούπολης) Ζαμπέλης Γιάννης (Φροντιστήρια Πουκαμισάς Γλυφάδας) Κακαβάς Βασίλης (Φροντιστήριο Ώθηση - Αργυρούπολη) Κάκανος Γιάννης (Φροντιστήριο Παπαπαναγιώτου Παπαπαύλου - Σέρρες) Κανάβης Χρήστος (Διδακτορικό στο ΕΜΠ ο ΣΔΕ φυλακών Κορυδαλλού) Καρδαμίτσης Σπύρος (Πρότυπο Λύκειο Αναβρύτων) Κοπάδης Θανάσης (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίων 9+ - Πολύγωνο) Κουλούρης Αντρέας (3 ο Λύκειο Γαλατσίου) Κουστέρης Χρήστος (Φροντιστήριο Στόχος - Περιστέρι) Μανώλης Ανδρέας (Φροντιστήριο Ρηγάκης - Κοζάνη) Μαρούγκας Χρήστος (3 ο ΓΕΛ Κηφισιάς) Νάννος Μιχάλης ( ο Γυμνάσιο Σαλαμίνας) Νικολόπουλος Θανάσης (Λύκειο Κατασταρίου, Ζάκυνθος) Παγώνης Θεόδωρος (Φροντιστήριο Φάσμα - Αγρίνιο) Παντούλας Περικλής (Φροντιστήρια Γούλα-Δημολένη - Ιωάννινα) Παπαδομανωλάκη Μαρία (Ιδιοκτήτρια Πρότυπου Κέντρου Μάθησης ΔΙΑΚΡΙΣΙΣ - Ρέθυμνο) Παπαμικρούλης Δημήτρης (Εκπαιδευτικός Οργανισμός Ρόμβος) Πορίχης Λευτέρης (Γυμνάσιο Λιθακιάς Ζάκυνθος) Ράπτης Γιώργος (6 ο ΓΕΛ Βόλου) Σίσκας Χρήστος (Φροντιστήριο Μπαχαράκης - Θεσσαλονίκη) Σκομπρής Νίκος (Συγγραφέας ο Λύκειο Χαλκίδας) Σπλήνης Νίκος (Φροντιστήριο ΟΡΙΖΟΝΤΕΣ - Ηράκλειο Κρήτης) Σπυριδάκης Αντώνης (Γυμνάσιο Βιάννου - Λασίθι) Σταυρόπουλος Παύλος (Ιδιωτικά Εκπαιδευτήρια Δούκα) Σταυρόπουλος Σταύρος (Γραμματέας Ε.Μ.Ε Κορινθίας - Γυμνάσιο Λ.Τ. Λέχαιου Κορινθίας) Τηλέγραφος Κώστας (Φροντιστήριο Θεμέλιο - Αλεξανδρούπολη) Τρύφων Παύλος ( ο Εσπερινό ΕΠΑΛ Περιστερίου) Χαραλάμπους Σταύρος (Μουσικό Σχολείο Λαμίας) Χατζόπουλος Μάκης (Υπουργείο Παιδείας και Θρησκευμάτων) 4

6 Λύτες Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Προσανατολισμού Β τάξης Επιμελητής Νίκος Αντωνόπουλος Σήφης Βοσκάκης Γιάννης Κάκανος Χρήστος Κανάβης Χρήστος Κουστέρης Ανδρέας Μανώλης Θανάσης Νικολόπουλος Μαρία Παπαδομανωλάκη Δημήτρης Παπαμικρούλης Γιώργος Ράπτης Χρήστος Σίσκας Νίκος Σκομπρής Σταύρος Σταυρόπουλος Έλεγχος Κεφάλαιο Γιώργος Ράπτης Χρήστος Σίσκας Νίκος Σπλήνης Κεφάλαιο Νίκος Αντωνόπουλος Ανδρέας Μανώλης Σταύρος Σταυρόπουλος 30 Νοεμβρίου 04 Συντονιστής Γιάννης Ζαμπέλης Εξώφυλλο Μιχάλης Νάννος Πρόλογος Ανδρέας Κουλούρης Μάκης Χατζόπουλος lisari team η καλύτερη ομάδα λόγω teαm_ής!

7 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Κεφάλαιο ο: Διανύσματα Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 6

8 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα ΑΣΚΗΣΗ (8603) B Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε AΔ ΑΒ 5ΑΓ και AΕ 5ΑΒ ΑΓ α) Να γράψετε το διάνυσμα ΔΕ ως γραμμικό συνδυασμό των ΑΒ και ΑΓ Μονάδες3 β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΔΕ και ΒΓ είναι παράλληλα. Μονάδες παρόμοια με Α ομάδα σελ. 7 Μεθοδολογία Αν Ο είναι ένα σημείο αναφοράς, τότε για οποιοδήποτε διάνυσμα ΑΒ έχουμε AB OB OA Αν έχουμε να δείξουμε μια διανυσματική ισότητα τότε ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα Θεωρούμε σημείο αναφοράς ένα από τα σημεία της διανυσματικής ισότητας (πχ το Α) Εκφράζουμε όλα τα διανύσματα με αρχή το σημείο Α Κάνουμε πράξεις και καταλήγουμε σε μια σχέση που ισχύει είτε προφανώς είτε από δεδομένα α) Θεωρούμε σημείο αναφοράς το Α, οπότε: ΔΕ ΑΕ AΔ ΔΕ 5ΑΒ ΑΓ ΑΒ 5ΑΓ ΔΕ 5ΑΒ ΑΓ ΑΒ 5ΑΓ ΔΕ 3ΑΒ 3ΑΓ β) Μεθοδολογία Για να δείξουμε ότι δύο διανύσματα α, β τρεις τρόπους Δείχνουμε ότι α λβ, λ με β 0 είναι παράλληλα έχουμε τους παρακάτω (αυτή τη μέθοδο τη χρησιμοποιούμε όταν έχουμε μια διανυσματική ισότητα και δεν ξέρουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων) Αν α λβ, λ 0 τότε α β Αν α λβ, λ 0 τότε α β Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 7

9 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα Αν α x, y, β x, y ( x y det α,β xy x y ) x y α x, y β x, y Αν, δείξουμε ότι λα λ λ y α ) x β και α, β det α,β 0 τότε αρκεί να δείξουμε μη κατακόρυφα διανύσματα αρκεί να α x, y είναι (ο συντελεστής διεύθυνσης ενός διανύσματος Από τη σχέση () έχουμε, ΔΕ 3ΑΒ 3ΑΓ ΔΕ 3 ΑΒ ΑΓ ΔΕ 3ΓΒ ΔΕ 3ΒΓ ΔΕ / /ΒΓ ΑΣΚΗΣΗ (8604) B Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε, Ζ σημεία τέτοια ώστε: AE AΔ, AΖ AΓ. 5 7 α) Να γράψετε τα διανύσματα EΖ και ΖΒ ως γραμμικό συνδυασμό των ΑΒ και ΑΔ. Μονάδες 3 β) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Β, Ζ και Ε είναι συνευθειακά. Μονάδες α) Θεωρούμε σημείο αναφοράς το Α, οπότε: EΖ ΑΖ AΕ ΕΖ AΓ AΔ 7 5 ΕΖ AΒ ΒΓ AΔ 7 5 ΕΖ AΒ ΒΓ AΔ ΒΓAΔ 0 4 ΕΖ AΒ AΔ AΔ ΕΖ AΒ AΔ 7 35 Επίσης ΖΒ ΑΒ AΖ ΖΒ ΑΒ AΓ 7 παρόμοια με 4 Α ομάδα σελ. 7 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 8

10 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα ΖΒ ΑΒ AΒ ΒΓ 7 ΖΒ AΒ AΒ ΒΓ 7 7 ΒΓAΔ 7 ΖΒ AΒ AΒ AΔ ΖΒ AΒ AΔ 7 7 β) Μεθοδολογία Για να δείξουμε ότι τρία σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά αρκεί να δείξουμε ότι ΑΒ / /ΑΓ ή ΑΒ / /ΒΓ κ.ο.κ Από σχέση () έχουμε, ΖΒ AΒ AΔ AΒ AΔ AΒ AΔ 5 AΒ AΔ Από την σχέση () έχουμε, 5 ΖΒ ΕΖ ΖΒ / /ΕΖ Όμως το Ζ κοινό σημείο, άρα τα σημεία Β, Ζ, Ε συνευθειακά. ΑΣΚΗΣΗ 3 (0054) B Θεωρούμε τα σημεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ ΡΚ 3ΡΜ α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά. Μονάδες 0 β) Για τα παραπάνω σημεία Κ, Λ και Μ να δείξετε ότι ισχύει ΑΛ 3ΒΛ ΜΒ ΑΚ ΑΜ ΒΚ όπου Α και Β είναι σημεία του επιπέδου. Μονάδες 5 παρόμοια με 6 Α ομάδα σελ. 7 α) Έχουμε, 5ΡΛ ΡΚ 3ΡΜ ΡΛ 3ΡΛ ΡΚ 3ΡΜ ΡΛ ΡΚ 3ΡΜ 3ΡΛ 3 ΡΛ ΡΚ 3ΡΜ ΡΛ ΚΛ 3ΛΜ ΚΛ ΛΜ. Άρα ΚΛ / /ΛΜ κι επειδή έχουν κοινό σημείο το Λ θα έχουν τον ίδιο φορέα, επομένως τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά. β) Έχουμε, ΑΛ 3ΒΛ ΜΒ ΑΚ ΑΜ ΒΚ Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 9

11 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα Με σημείο αναφοράς το Λ, ισοδύναμα, έχουμε: ΛΛ ΛΑ 3ΛΛ ΛΒ ΛΒ ΛΜ ΛΚ ΛΑ ΛΜ ΛΑ ΛΚ ΛΒ ΛΑ 3ΛΒ ΛΒ ΛΜ ΛΚ ΛΑ ΛΜ ΛΑ ΛΚ ΛΒ 3 ΛΚ 3ΛΜ ΚΛ 3ΛΜ ΚΛ ΛΜ που ισχύει από το ερώτημα (α). Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 0

12 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα.4 ΑΣΚΗΣΗ (8605) B Δίνονται τα διανύσματα ΟΑ i 4 j, ΟB 3i j και ΟΓ 5i 5 j, όπου i και j είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων x x και y y αντίστοιχα. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των ΑΒ και ΒΓ. Μονάδες β) Να εξετάσετε αν τα σημεία Α, Β και Γ μπορεί να είναι κορυφές τριγώνου. Μονάδες 3 α) Μεθοδολογία Αν α x i y j τότε α x, y Αν α x, y και β x, y τότε α β x x, y y Οπότε: i 4 j, 4 5i 5 j 5, 5 Με σημείο αναφοράς το Ο, έχουμε, AB OB OA AB 3,, 4, λα λx,λy, B 3i j 3, AB 3, 4 και BΓ OΓ OΒ BΓ 5, 5 3, BΓ 5 3, 5 και AB, 3 BΓ, 6 β) Για να σχηματίζουν τρία σημεία του επιπέδου τρίγωνο, πρέπει να μην είναι συνευθειακά, όμως, 3 det AB, B ( 6) ( 3) άρα, οπότε τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά, επομένως δεν σχηματίζουν τρίγωνο. ΑΣΚΗΣΗ (048) B Δίνονται τα διανύσματα i j, i 5 j και 7, 3. α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα,, είναι μη συγγραμμικά ανά δύο. Μονάδες 0 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4)

13 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα β) Να γραφεί το διάνυσμα ως γραμμικός συνδυασμός των και. Μονάδες 5 Μεθοδολογία Για να δείξουμε ότι δύο διανύσματα α, β δεν είναι παράλληλα αρκεί να δείξουμε ότι det α,β 0 με την προϋπόθεση πως γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των α, β Έχουμε i j, και i 5 j, 5 α) Έχουμε det, det, det, β) Μεθοδολογία Αν θέλουμε να γράψουμε ένα διάνυσμα α ως γραμμικό συνδυασμό δύο διανυσμάτων β και γ τότε πρέπει το α να γραφεί στην παρακάτω μορφή α κβ λγ με κ,λ Το διάνυσμα γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων,, αν και μόνο αν, υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί λ, μ τέτοιοι ώστε:,, Έχουμε, 7,3,, 5 7,3, άρα 4 7 είναι ο γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων, ΑΣΚΗΣΗ 3 (006) B Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α(,), Γ(4, 3) και Δ(, 3). α) Να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του ΑΒΓΔ. Μονάδες 9 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4)

14 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα β) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Κ των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ, καθώς και τις συντεταγμένες της κορυφής Β. Μονάδες 6 Έχουμε, ΑΔ xδ x Α, yδ yα,3 ΒΓ,, αφού ΑΒΓΔ, άρα και παραλληλόγραμμο. Επίσης, ΔΓ xγ x Δ, yγ yδ 4,3 3, 0 ΑΒ,0. άρα και α) Τα μήκη των πλευρών του ΑΒΓΔ είναι τα μέτρα των διανυσμάτων. Έχουμε λοιπόν: AB ΑΒ 0 4 ΔΓ και AΔ ΑΔ 4 5 ΒΓ β) Επειδή οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου ΒΔ, ΑΓ διχοτομούνται, το Κ είναι μέσον του ΑΓ. xα xγ 4 5 yα yγ 3 4 Οπότε: xκ και yκ. 5 Άρα: Κ,. Το Κ είναι μέσον και της ΒΔ οπότε για τον υπολογισμό της κορυφής Β έχουμε: Άρα: Β3, x y Κ Κ x y Β Β x y Δ Δ 5 xβ 5 xβ xβ 3. yβ 3 4 y Β 3 yβ ΑΣΚΗΣΗ 4 (0055) B Α α,3,β α, 4 α) Να βρείτε τα διανύσματα ΑΒ, ΒΓ. Θεωρούμε τα σημεία και Γ 4,5α 4,α. β) Να βρείτε για ποια τιμή του α, τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 8 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 3

15 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα γ) Αν α, να βρείτε τον αριθμό λ ώστε ΑΓ λαβ. Μονάδες 0 Μονάδες 7 παρόμοια με εφαρμογή σελ. 38 α) Έχουμε, και ΑΒ α α, 4 3 α α,, ΒΓ 4 α,5α 4 4 α 4,5α β) Για να είναι συνευθειακά τα Α, Β, Γ αρκεί ΑΒ / /ΒΓ, δηλαδή ΑΒ / /ΒΓ det ΑΒ, ΑΓ 0 0 α 4 5α γ) Για α Επομένως, 5α α 4 0 5α α 4 0 5α α 4 4α 4 α έχουμε Α,3, Β, 4, Γ4,9 και ΑΓ 4,9 3 6, 6, ΑΒ, 4 3, ΑΓ λαβ 6, 6 λ, 6, 6 λ, λ 6 λ λ 6 6 λ ΑΣΚΗΣΗ 5 (007) B,4 5,, α) Να γράψετε το συναρτήσει του α και να βρείτε το α ώστε 0 Θεωρούμε τα σημεία (Μονάδες ) β) Έστω α =. Να βρείτε σημείο Μ του άξονα x x ώστε το τρίγωνο ΜΑΒ να είναι ισοσκελές με βάση την ΑΒ. (Μονάδες 3) Μεθοδολογία Αν Αx Α, y Α και Β Β ΑΒ x x, y y Β x, y τότε B Α B Α B Α B Α ΑΒ x x y y παρόμοια με 8 Α ομάδα σελ. 40 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 4

16 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα α) Έχουμε : x x, y y 5 ), 4 B A B A 5, 4 3, 5 και Οπότε, Λύνουμε το τριώνυμο Έχουμε Οπότε Δ β Δ α α , απορρίπτεται αφού α Έτσι καταλήξαμε ότι α =. β) Για α = τα σημεία είναι Α(5, 6) και Β(, - ). Το σημείο Μ ανήκει στον άξονα x x οπότε η τεταγμένη του θα είναι 0 και θα έχει την μορφή Μ(x M,0). Επειδή το τρίγωνο ΜΑΒ είναι ισοσκελές με βάση την ΑΒ θα ισχύει ότι (ΜΑ) = (ΜΒ). Έτσι έχουμε, (MA) x x y y 5 x 6 0 A M A M M 5 5x x x x 36 x 0x 6 M M M M M M (MB) x x y y x 0 άρα B M B M M x x 4 x x 4 x x 5 M M M M M M M M M M M M M M x 0x 6 x x 5 x 0x 6 x x 5 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 5

17 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα x 0x 6 x x 5 x 0x 5 6 x 64 M M M M M M M x 64 6 M x M 3 Έτσι λοιπόν το σημείο είναι το 6 M,0 3 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 6

18 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα.5 ΑΣΚΗΣΗ (8556) Β Δίνονται τα διανύσματα α και β π με α, β = 3 και α =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα α β και κα β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος α β. Μονάδες 8 Μονάδες 0 Μονάδες 7 παρόμοια με 5 και 7 Α ομάδα σελ. 47 Μεθοδολογία Για να βρούμε το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων που γνωρίζουμε τα μέτρα τους και τη γωνία τους χρησιμοποιούμε τον τύπο α β α β συν α, β Για να βρούμε το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων α x, y β x, y που γνωρίζουμε τις συντεταγμένες τους χρησιμοποιούμε τον τύπο α β xx yy Για να βρούμε το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων που γνωρίζουμε τα μέτρα τους καθώς και μια σχέση μεταξύ των διανυσμάτων τους, απομονώνουμε στο ένα μέλος τα δυο διανύσματα και υψώνουμε στο τετράγωνο ώστε να «δημιουργήσουμε» το εσωτερικό γινόμενο που ψάχνουμε. και α) Έχουμε, β) π α β α β συν α,β α β συν 3 Μεθοδολογία Αν θέλουμε να δείξουμε ότι δύο διανύσματα α και β είναι κάθετα αρκεί να δείξουμε ότι α β 0 Αφού α β κα β έχουμε, Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 7

19 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα γ) α β κα β 0 κ α α β κα β β 0 κ α κ αβ β 0 κ κ 0 4κ 4 κ 8 0 6κ κ Μεθοδολογία Αν γνωρίζουμε τα μέτρα δύο διανυσμάτων α,β και την γωνία τους α, β μπορούμε να υπολογίσουμε το μέτρο οποιουδήποτε διανύσματος της μορφής u λα μβ υπολογίζοντας το u u λα μβ λα λαμβ μβ λ α λαμβ μ β λ α λμ α β μ β. ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Στο τέλος πρέπει να θυμόμαστε να παίρνουμε τη ρίζα της ποσότητας που έχουμε υπολογίσει. Έχουμε, α β (α β) 4 α 4α β β 4 α 4α β β άρα α β 4 6 τότε ΑΣΚΗΣΗ (858) Β Έστω τα διανύσματα α και β για τα οποία : α β και α) Να αποδείξετε ότι α β β) Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων α β και α β α,β 60 Μονάδες 0 Μονάδες 5 α) Είναι α α, οπότε β) Έχουμε παρόμοια με 7 Α ομάδα σελ. 47 και θέμα 8556 α β α β συν α,β α β συν60 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 8

20 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα Άρα Επίσης Άρα α β α β α β α β α β α β 8 4 α β 4. α β α β α β α β α β α β 8 6 α β 6. ΑΣΚΗΣΗ 3 (0056) Β 5π Έστω α,β δύο διανύσματα με α, β, α,β και u α β. 6 α) Να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα α β και α u. Μονάδες 6 β) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος u. Μονάδες 9 παρόμοια με 7 Α ομάδα σελ. 47 και θέματα 8556, 858 α) Έχουμε, 5π 3 α β α β συν α,β συν 6. 6 και β u β α β β α β 6 β β) Έχουμε, u α β α β α 4α β 4 β άρα, u ΑΣΚΗΣΗ 4 (8598) Β Δίνονται τα διανύσματα ΑΒ κ 6κ 9, κ 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο ΑΒ ΑΓ και ΑΓ,6, όπου κ β) Να βρείτε τις τιμές του κ, ώστε τα διανύσματα ΑΒ και ΑΓ να είναι κάθετα. γ) Για κ να βρείτε το διάνυσμα ΒΓ Μονάδες 8 Μονάδες 9 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 9

21 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα Μονάδες 8 παρόμοια με 3, Α ομάδα σελ. 47 α) Το εσωτερικό γινόμενο ΑΒ ΑΓ ισούται με, ΑΒ ΑΓ κ 6κ 9 κ 3 6 κ 6κ 9 6κ 8 κ 9 β) Έχουμε, ΑΒ ΑΓ ΑΒ ΑΓ 0 κ 9 0 κ 3 κ 3 0 κ 3 0 ή κ 3 0 κ 3 ή κ 3 γ) Για κ έχουμε ΑΒ 4,. Επομένως, ΒΓ ΑΓ ΑB, 6 4, 3,8 ΑΣΚΗΣΗ 5 (0059) Β Δίνονται τα διανύσματα α,3 και β,. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος u α β Μονάδες 0 β) Να βρείτε το θετικό αριθμό x για τον οποίον τα διανύσματα u και v x, x είναι κάθετα Μονάδες 5 παρόμοια με 3 Α ομάδα σελ. 47 και θέμα 8598 α) Έχουμε, u α β,3,,3 4, 3, 4 β) Έχουμε u v u v 0 3x 4 x 0 3x 4x 4 0 Η () είναι εξίσωση δευτέρου βαθμού με Δ β 4αγ Οπότε έχει λύσεις : x Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 0

22 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα Επειδή x > 0 δεκτή είναι μόνο η x 3 ΑΣΚΗΣΗ 6 (0070) Β Έστω, δυο διανύσματα του επιπέδου για τα οποία ισχύουν 3 9,, 3 α) Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων, και το εσωτερικό γινόμενο β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u 3 Μονάδες Μονάδες 3 παρόμοια με 7 Α ομάδα σελ. 47 και θέματα 8556, 858, 0056, 0057 α) Έχουμε τις σχέσεις 3 9 () και (). Προσθέτουμε τις () και () κατά μέλη : Πάμε στην σχέση () και αντικαθιστούμε το. Οπότε έχουμε, 3 β 9 6 β 9 β 9 6 β 3. Για το εσωτερικό γινόμενο έχουμε : π α β α β συν α, β 3συν β) Για να βρούμε το μέτρο ενός διανύσματος θεωρούμε το τετράγωνο του μέτρου. Έτσι έχουμε : u α 3β α 3β α α 3β 3β 4α αβ 9β 4 α αβ 9 β Άρα u 6 ΑΣΚΗΣΗ 7 (8558) Β ΑΒ 4, 6 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι:, ΑΓ, 8 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4).

23 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΑΜ, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ. Μονάδες 7 β) Να αποδείξετε ότι η γωνία Α είναι οξεία. Μονάδες 0 γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Μονάδες 8 α) Έχουμε, Άρα ΑΜ (ΑΒ ΑΓ), όμως ΑΒ ΑΓ ( 4 6) ( 8) ( 4). ΑΜ ( 4) ( 7) β) Έχουμε, οπότε, ΑΒ ΑΓ 4 ( 6) ( 8) ΑΒ ΑΓ 40 ΑΒ ΑΓ συν Α 40 συν Α 0 ΑΒ ΑΓ άρα συνα 0 δηλαδή Α 90 γ) Έστω Β(x Β, y Β), τότε ΑΒ (xβ 3, yβ ) άρα, xβ 3 4 xβ ΑΒ 4, 6 (x Β 3, yβ ) 4, 6 και και yβ 6 yβ 5 Επομένως, Β(, 5). Επίσης, αν Γ(x Γ, y Γ) τότε ΑΓ (xγ 3, yγ ) άρα xγ 3 xγ 5 ΑΓ, 8 (xγ 3, yγ ), 8 και και yγ 8 yγ 7 ΑΣΚΗΣΗ 8 (0053) Β Δίνονται τα διανύσματα α,β με β α 4 και α β 8. Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4)

24 α) Να υπολογίσετε τη γωνία α,β β) Να αποδείξετε ότι β α 0.. Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα Μονάδες 0 Μονάδες 5 παρόμοια με 4 Β ομάδα σελ. 49 α) Έχουμε, β 4 Άρα και α, επομένως α β 8 8 συν α,β. α β 4 8 α,β 80 ή π rad. β) Από το (α) ερώτημα έχουμε ότι α,β 80 οπότε α β κι αφού β α, β α β α 0 ΑΣΚΗΣΗ 9 (0057) Β π Δίνονται τα διανύσματα α,β με α, β και α,β. Να υπολογίσετε τα 3 εξής: α) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων α,β και κατόπιν της παράστασης α α β β) το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων α β και β α Μονάδες 0 Μονάδες 5 α) Είναι οπότε, παρόμοια με 7 Α ομάδα σελ. 47 και θέματα 8556, 858, 0056 α β α β συν α,β α α β α α β 3 β) Σύμφωνα με τη θεωρία, έχουμε : Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 3

25 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα α ββ α συν α β,β α α β β α Έχουμε : α β β α αβ α β 4αβ 3αβ α β 3 9 α β α β α 4αβ 4β α 4αβ 4 β Οπότε, α β 3 β α β α β 4αβ 4α β 4αβ 4 α 4 4 Οπότε, β α 3 Αντικαθιστούμε τα αποτελέσματα που βρήκαμε στη σχέση () και έχουμε : α ββ α συν α β,β α = α β β α ΑΣΚΗΣΗ 0 (0058) Β Δίνονται τα διανύσματα α, 3 α) τη γωνία α,β β) το διάνυσμα u α β α β α και β 3,3. Να υπολογίσετε Μονάδες 0 Μονάδες 5 α) Είναι συν α,β Επειδή είναι 0 α,β π, τότε β) Έχουμε, Επίσης οπότε, παρόμοια με, 6 Α ομάδα σελ. 47 α β α β α,β π 3 α α α β u α β α β α 4 β 3 α 4 3,3, 3 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 4

26 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα 4 3,, 3 4 3, 3 ΑΣΚΗΣΗ (005) Β Δίνονται τα διανύσματα α,β α) Να υπολογίσετε τα α, α β β 7 και α β. με α και β. β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος α β. β) Να βρείτε την προβολή του α β στο διάνυσμα β. α) Έχουμε, Άρα β) Έχουμε, α α α β β 7 α β β 7 β 7 α β α β α α β 4β α 4α β 4 β Άρα γ) Ισχύει ότι β α β 3., Μονάδες 6 Μονάδες 9 Μονάδες 0 παρόμοια με Α ομάδα σελ. 47 β 4 β προβ α β / /β δηλαδή υπάρχει λ τέτοιο ώστε: προβ α β λ β β Όμως 7 α β β β προβ β α β 7 β λβ 7 λβ 7 λ λ 4 Άρα 7 προβ β α β β. 4 ΑΣΚΗΣΗ (0050) Β Δίνονται τα διανύσματα α (,7) και β (, 4). α) Να βρεθεί η προβολή του α πάνω στο β. Μονάδες 0 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 5

27 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα β) Να αναλύσετε το α σε δύο κάθετες συνιστώσες, από τις οποίες, η μία να είναι παράλληλη στο β. Μονάδες 5 α) Γνωρίζουμε ότι, προβ α / /β β δηλαδή υπάρχει λ τέτοιο ώστε: προβα λ β λ (, 4) (λ, 4λ) β παρόμοια με Α ομάδα σελ. 48 Όμως: α β β προβ α (,7) (,4) (,4) (λ,4λ) 7 4 λ 4 4λ β λ 6λ 30 0λ λ λ προβ α, 4 3,6 β. Άρα Μεθοδολογία Για να αναλύσουμε ένα διάνυσμα β σε δυο κάθετες συνιστώσες ώστε η μια να είναι παράλληλη σε ένα α ακολουθούμε την εξής διαδικασία. Έστω β και β οι κάθετες συνιστώσες του β, oπότε β β β () Έστω β / /α β λα με λ και β α β α 0 Έχουμε, α β α β β α β α β α β α λ α λ α λ α α β από όπου βρίσκουμε λ επομένως λ = γνωστός αριθμός. α Στη συνέχεια από τον τύπο β λα υπολογίζουμε το β, τέλος από τη σχέση β β β υπολογίζουμε το β β) Έστω α α α με α α και α / /β α προβ α 3,6 β από α) ερώτημα α α α α α, 7 3, 6 3, 7 6, α β ΑΣΚΗΣΗ 3 (0069) Β Δίνονται τα διανύσματα, 3, Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 6

28 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα α) Να βρείτε την προβολή του πάνω στο Μονάδες 0 β) Να αναλύσετε το σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη με το Μονάδες 5 παρόμοια με Α ομάδα σελ. 48 και θέμα 0050 α) Επειδή προβα / /β είναι προβα λβ, λ, τότε: β β 3 α β β προβ α β (λβ) λ β β 5 αλλά β, άρα 5 λ λ, οπότε προβα λβ,, β β) Έστω α α α με α α και α / /β, άρα α προβα, β από το α) ερώτημα, τότε α α α (, 3),, , α β α α ΑΣΚΗΣΗ 4 (8606) Δ Δίνονται τα διανύσματα ΟΑ (4, ) και ΟΒ (, ) όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων. α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα ΟΑ και ΟΒ είναι κάθετα. Μονάδες 4 β) Αν Γ(α,β) είναι σημείο της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A και Β τότε: i) να αποδείξετε ότι: AΒ ( 3, 4) και AΓ (α 4,β ) ii) να αποδείξετε ότι: 4α 3β 0 Μονάδες 5 Μονάδες 6 iii) αν επιπλέον τα διανύσματα ΟΓ και ΑΒ είναι κάθετα, να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ Μονάδες 0 α) Έχουμε, ΟΑ ΟΒ 4 ( ) 0, άρα ΟΑ ΟΒ. Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 7

29 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα β) i) Είναι ΟΓ (α,β) και AΒ ΟΒ ΟΑ (, ) (4, ) ( 3, 4) AΓ ΟΓ ΟΑ (α,β) (4, ) (α 4,β ) ii) Τα Α, Β, Γ συνευθειακά αν, και μόνο αν, 3 4 AΒ / /AΓ det(aβ, AΓ) 0 α 4 β 0 3(β ) 4(α 4) 0 3β 6 4α 6 0 4α 3β 0 0 4α 3β 0 () iii) Είναι ΟΓ ΑΒ ΟΓΑΒ 0 3α 4β 0 () Από το σύστημα των (), () έχουμε 30 6 β β 4α 3β 0 α 9β 30 5β α 4β 0 α 6β 0 3α 4β 0 4β 8 α α άρα Γ, 5 5 ΑΣΚΗΣΗ 5 (866) Δ Δίνονται τα διανύσματα, και για τα οποία ισχύουν:,,, 60 και, όπου. α) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο. β) Αν ισχύει, τότε: i) να αποδείξετε ότι: Μονάδες 3 Μονάδες 6 ii) να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος Μονάδες 8 iii) να αποδείξετε ότι τα διανύσματα 3 και είναι κάθετα. Μονάδες 8 παρόμοια με 5, 7 Α ομάδα σελ. 47 και θέματα 8556, 858, 0056, 0057, 0070 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 8

30 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα α) Το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και είναι ίσο με:, 60. β) Έχουμε, i). ii) Για είναι άρα 7 άρα 7. iii) Έχουμε, , δηλαδή 3 0 3, Άρα πράγματι τα διανύσματα 3 και είναι κάθετα. ΑΣΚΗΣΗ 6 (868) Δ α) Να εξετάσετε πότε ισχύει καθεμιά από τις ισότητες: u v u v και u v u v β) Δίνονται τα διανύσματα,, για τα οποία ισχύουν: 0 και i) Να αποδείξετε ότι: και Μονάδες 0 Μονάδες 8 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 9

31 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα ii) Να αποδείξετε ότι: Μονάδες 7 α) Έχουμε, u v u v παρόμοια με 5 Α ομάδα, 4 Β ομάδα σελ και θέμα 0053 u v u v u v uv u v u v uv u v u v u v u v u v. u v uv u v Ομοίως: u v u v u v u v u v u v u v u v u v uv u v u v uv u v u v u v u v u v. u v uv u v β) Έστω ότι τότε 3, 4 και 7. Για να δείξουμε ότι, από α ερώτημα αρκεί να δείξουμε ότι. Από τη σχέση 0 ισοδύναμα έχουμε ότι, οπότε ( ) και επειδή 7 είναι 7. Επιπλέον είναι 3 4 7,άρα και από το α ερώτημα έχουμε ότι. Για να δείξουμε ότι, από α ερώτημα αρκεί να δείξουμε ότι. Από τη σχέση 0 ισοδύναμα έχουμε ότι, οπότε ( ) Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 30

32 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα και επειδή 3 είναι 3. Επιπλέον είναι , αφού 0 Άρα και από το α ερώτημα έχουμε. ii) Α τρόπος (Σδράκας Βασίλης από τη Λάρισα) Αρκεί να δείξουμε ότι 7α 3γ 0 Έχουμε, άρα, 7α 3γ 7α 3γ 49α 4α γ 9γ 49 α 4 α γ συν α, γ 9 γ 49 9λ 4 3λ 7λ 9 49λ 0 7α 3γ 0 7α 3γ 0 Β τρόπος: Βρήκαμε ότι ώστε k. και άρα και, οπότε υπάρχει k, με k 0, Όμως k Εδώ διακρίνουμε τις περιπτώσεις: 3 k 7. Αν 0, τότε προφανώς και η σχέση k που ισχύει. γίνεται ισοδύναμα k 0 0, οπότε το ζητούμενο Αν 0 0, τότε από τη σχέση 3 k 7 7 έπεται ότι 3 k 7 k 3 7 και αφού k 0, άρα k, τότε 3 7 k Άρα σε κάθε περίπτωση ισχύει ότι Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 3

33 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Κεφάλαιο ο: Ευθεία Παράλληλες;; Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 3

34 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία ΑΣΚΗΣΗ (8575) Β Δίνονται τα σημεία Α, και Β5,6..-. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και B. (Μονάδες 0) β) Να αποδείξετε ότι η μεσοκάθετος ε του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ έχει εξίσωση την y x 7 (Μονάδες 5) Μεθοδολογία : Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθεία που διέρχεται από δύο γνωστά σημεία δίνεται από τον τύπο λ ΑΒ y x B B y x διεύθυνσης έχει τη μορφή y yo λ ε (x x o). A A. Επίσης μια ευθεία (ε) της οποίας ορίζεται ο συντελεστής 6 α) Θα έχουμε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης της ΑΒ είναι λαβ, άρα η 5 ευθεία ΑΒ θα έχει εξίσωση ε ΑΒ : y (x ) Μεθοδολογία : Για να βρούμε την μεσοκάθετο ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ;έχουμε 3 τρόπους: xa xb Α τρόπος:, Βρίσκουμε το μέσο Μ ( χρησιμοποιώντας τους τύπους xm και y M y A y B ) και με δεδομένο ότι η ευθεία είναι κάθετη στο ευθύγραμμο τμήμα θα έχουμε το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσης τους ισούται με Β τρόπος: Ξέρουμε ότι κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ισαπέχει από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος επομένως απαιτούμε (ΜΑ)=(ΜΒ) β) Α τρόπος 5 6 Το μέσο Μ του τμήματος ΑΒ θα έχει συντεταγμένες: Μ, 3,4. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΑΒ είναι,άρα ο συντελεστής διεύθυνσης της μεσοκάθετης (ε) θα είναι λε, αφού η (ε) είναι κάθετη στην ευθεία ΑΒ. Τότε η μεσοκάθετη ευθεία (ε) του τμήματος ΑΒ θα έχει εξίσωση: ε : y 4 (x 3) y x 7 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 33

35 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία Β τρόπος [Έστω Μ(x, y) σημείο της μεσοκαθέτου του ΑΒ τότε ισχύει (ΜΑ) (ΜΒ) (x ) (y ) (x 5) (y 6) x x y 4y 4 x 0x 5 y y 36 8x 8y 56 0 y x 7 ] Παρόμοιες Ασκήσεις Σχολικού : Παράγραφος. / Εφαρμογή, Παράγραφος. / Α Ομάδα / Άσκηση 4 Παρόμοιες Ασκήσεις Τράπεζας : 0063 Άσκηση (860) Β Δίνεται η ευθεία (ε) : y x και το σημείο Α(, 4). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α και είναι κάθετη στην (ε). Μονάδες 0 β) Να βρείτε την προβολή του σημείου Α πάνω στην (ε) Μονάδες 5 α) Ο τύπος της εξίσωσης ευθείας που διέρχεται από δοσμένο σημείο Α(x o, y o ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι: y y λ x x o Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας Ax By Γ 0 δίνεται από τον τύπο: Α λ Β Οπότε για την ευθεία (ε) : y x είναι λε λε Αν ονομάσουμε (ε ) την ευθεία που αναζητούμε, τότε είναι: (ε) (ε ) λε λε άρα, ε λ λ ε y y λ (x x ) y ( 4) (x ) y 4 x y x 6 (ε ) o ε o o β) Η προβολή του Α στην ευθεία (ε) είναι το σημείο τομής των (ε), (ε ). Οπότε λύνοντας το σύστημα των εξισώσεών τους, έχουμε: Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 34

36 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία άρα y x (x 6) x y x 6 y x B, 7 x x 7 y x y 6 Επομένως η προβολή του Α πάνω στην (ε) είναι το σημείο 7 5 B, Παρόμοιες Ασκήσεις Σχολικού : Παράγραφος. / Α Ομάδα / Άσκηση 3 Άσκηση 3 (0066) Β Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(3,), Β(,) και Γ(,4). α) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΓ. (Μονάδες 7) β) Να βρείτε τις εξισώσεις του ύψους ΒΔ και της διαμέσου ΑΜ. (Μονάδες 8) α) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ΑΓ είναι 4 3 λ 3 3 Άρα η εξίσωση της ΑΓ είναι: y - = - 3(x - 3) ή y = - 3x + 0. Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 35

37 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία β) Επειδή ΒΔ ΑΓ είναι λβδ λαγ ή 3 λβδ ή λβδ. 3 Άρα η εξίσωση του ύψους ΒΔ είναι: y (x ) ή 3y - 3 = x + ή x 3y + 4 = 0. 3 Οι συντεταγμένες του μέσου Μ της ΒΓ είναι x και y, δηλαδή Μ,. Οπότε ο συντελεστής διεύθυνσης της διαμέσου ΑΜ είναι: λ Άρα η εξίσωση της ΑΜ είναι: 3 y (x 3) ή 5y 5 = - 3x + 9 ή 3x + 5y 4 = 0. 5 Παρόμοιες Ασκήσεις Σχολικού : Παράγραφος. / Α Ομάδα / Εφαρμογή, Παράγραφος. / Α Ομάδα / Άσκηση Παρόμοιες Ασκήσεις Τράπεζας: 040 ΑΣΚΗΣΗ 4 (007) Β Θεωρούμε μια ευθεία (ε) και ένα σημείο Α(6, -) εκτός της (ε). Έστω Μ(, ) η προβολή του Α στην (ε). Να βρείτε: α) Την εξίσωση της ευθείας (ε). (Μονάδες 3) β) Το συμμετρικό του Α ως προς την (ε). (Μονάδες ) α) Αρχικά έχουμε, λ y y ( ). x x 6 4 M A ΑΜ M A Εφόσον το Μ είναι η προβολή του Α στην (ε) η ΑΜ θα είναι κάθετη στην (ε) και θα ισχύει ότι AM (ε) λαμ λε λε λε. Η ευθεία (ε) έχει τη μορφή y yo λ ε (x x o ). Όμως λε και το Μ(, ) ανήκει στην (ε), άρα y (x ) y x 4 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 36

38 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία Οπότε (ε) : y x 3 β) Έστω Α το συμμετρικό του Α ως προς την (ε). Το σημείο Μ θα είναι μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΑ. Οπότε : xa xa 6 xa xm 4 6 x x και A A y y y ym y y 3 A A A A A Άρα το συμμετρικό του Α ως προς την (ε) είναι το Α ( -, 3) Παρόμοιες Ασκήσεις Σχολικού: Παράγραφος. / Εφαρμογή, Παράγραφος. / Β Ομάδας / Άσκηση 6 Παρόμοιες Ασκήσεις Τράπεζας : 860 Άσκηση 5 (0073) Β Δίνονται τα σημεία Α(, 3), Β(-, 5) και Γ(-, -4). α) Να αποδείξετε ότι σχηματίζουν τρίγωνο. β) Να βρείτε το συμμετρικό Δ του Β ως προς το μέσο Μ της ΑΓ. γ) Τι σχήμα είναι το ΑΒΓΔ; Να αιτιολογήσετε τον ισχυρισμό σας. (Μονάδες 8) (Μονάδες 0) (Μονάδες 7) α) Έχουμε, AB xb x A, yb ya,5 3 ( 3, ) και BΓ x x, y y ( ), 4 5 (, 9) (, 9). Γ Β Γ Β Παρατηρούμε ότι : 3 det AB, BΓ 3 ( 9) ( ) Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 37

39 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία Οπότε τα διανύσματα AB και BΓ είναι μη συγγραμμικά, δηλαδή τα Α, Β, Γ είναι μη συνευθειακά, άρα σχηματίζουν κορυφές τριγώνου. β) Το σημείο Μ είναι μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΓ. Έτσι έχουμε : xa xγ xm 0 ya yγ 3 4 ym Άρα έχουμε το μέσο Μ 0, της ΑΓ. Το σημείο Μ θα είναι μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΔ. Έτσι έχουμε : xβ xδ xδ xm 0 0 x x και Δ y y 5 y ym 5 y y 6 Β Δ Δ Δ Δ Δ Οπότε το συμμετρικό του σημείου Β ως προς το Μ είναι το Δ(, - 6) γ) Παρατηρούμε ότι το σημείο Μ διχοτομεί τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΓ και ΒΔ, οπότε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Παρόμοιες Ασκήσεις Σχολικού: Παράγραφος. / Εφαρμογή, Παράγραφος. / Α Ομάδας / Άσκηση 6, Παράγραφος. / Β Ομάδας / Άσκηση 6 ΑΣΚΗΣΗ 6 (8584) Β Δίνονται οι παράλληλες ευθείες ε : x y 8 0, ε : x 4y 0 0 και το σημείο Α της ε που έχει τετμημένη το 4. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α Μονάδες 5 β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε η οποία διέρχεται από το σημείο Α και είναι κάθετη στην ευθεία ε Μονάδες 0 γ) Αν Β είναι το σημείο τομής των ευθειών ε και ε, τότε να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β Μονάδες 0 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 38

(Έκδοση: )

(Έκδοση: ) (Έκδοση: 0 03 05) Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των συνεργατών του δικτυακού τόπου http://lisari.blogspot.gr 4η έκδοση: 0 03 05 (συνεχής ανανέωση) Το βιβλίο διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Τετάρτη 20 05 15 10:15 πμ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ LISARI TEAM. ΘΕΜΑΤΑ Α + Β Βελαώρας Γιάννης Κάκανος Γιάννης ΘΕΜΑ Γ

ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Τετάρτη 20 05 15 10:15 πμ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ LISARI TEAM. ΘΕΜΑΤΑ Α + Β Βελαώρας Γιάννης Κάκανος Γιάννης ΘΕΜΑ Γ ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Τετάρτη 0 0 0: πμ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ LISARI TEAM ΘΕΜΑΤΑ Α + Β Βελαώρας Γιάννης Κάκανος Γιάννης ΘΕΜΑ Γ Βοσκάκης Σήφης Σπλήνης Νίκος ΘΕΜΑ Δ Παπαμικρούλης Δ. Σίσκας Χρήστος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04) Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7)

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Άσκηση Δίνονται τα διανύσματα a και με a, = 3 και a =, =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a. β) Αν τα διανύσματα a + και κ a + είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Τετάρτη 10 06 15 20:10. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ LISARI TEAM ΘΕΜΑ Α Μαρία Παπαδομανωλάκη ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Γ

ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Τετάρτη 10 06 15 20:10. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ LISARI TEAM ΘΕΜΑ Α Μαρία Παπαδομανωλάκη ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Γ ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Τετάρτη 10 06 15 0:10 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ LISARI TEAM ΘΕΜΑ Α Μαρία Παπαδομανωλάκη ΘΕΜΑ Β ΑΝΔΡΕΑΣ ΜΑΝΩΛΗΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ ΘΕΜΑ Γ Θεόδωρος Παγώνης Χαράλαμπος Φιλιππίδης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Παρασκευή 12 06 15 20:30. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ LISARI TEAM ΘΕΜΑ Α Σήφης Βοσκάκης ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Γ

ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Παρασκευή 12 06 15 20:30. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ LISARI TEAM ΘΕΜΑ Α Σήφης Βοσκάκης ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Γ ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Παρασκευή 06 5 0:0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ LISARI TEAM ΘΕΜΑ Α Σήφης Βοσκάκης ΘΕΜΑ Β Ανδρέας Μανώλης Θανάσης Νικολόπουλος Σταύρος Χαραλάμπους ΘΕΜΑ Γ Πάνος Γκριμπαβιώτης

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 5 Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός 867 (Αναρτήθηκε 8 4 ) ίνονται τα διανύσµατα a και b µε µέτρα, 6 αντίστοιχα και ϕ [, π] a b+ x+ a b y 5= () δίνεται η εξίσωση ( ) ( ) α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Να δίνει τον ορισμό του διανύσματος και των εννοιών που είναι κλειδιά όπως: κατεύθυνση φορά ή διεύθυνση, μηδενικό διάνυσμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ε, που σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία: π 3 α) ω = β) ω = γ) ω = π 3. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1.

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1. Ασκήσεις στην ευθεία 1. Να βρείτε τα σηµεία τοµής των γραµµών µε εξισώσεις : α) 7x-11y+1=0, x+y-=0 β) y-3x-=0, x +y =4 γ) x +y =α, 3x+y+α=0. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x +y -x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ 1.1.. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΜΑ ΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση γραµµής C Μια εξίσωση µε δύο αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µιας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C, και µόνον αυτές, την επαληθεύουν..

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

8 Σίσκας Χρήστος Φακόπουλος Επαμεινώνδας. Η έννοια του Διανύσματος

8 Σίσκας Χρήστος Φακόπουλος Επαμεινώνδας. Η έννοια του Διανύσματος ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ - ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ.3 ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 8 Σίσκας Χρήστος Φακόπουλος Επαμεινώνδας Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ!

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! - Κύριε, πόσο μας χρειάζονται αυτά που μάθαμε πέρσι στα μαθηματικά της κατεύθυνσης; - Σοφία, αν όχι όλα, αρκετά από αυτά. - Για πείτε

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία 1 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Εξίσωση Γραμμής Μια εξίσωση με δύο αγνώστους, λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

1.. Απόσταση σημείου από ευθεία. Αν έχουμε την ευθεία (ε) με εξίσωση:

1.. Απόσταση σημείου από ευθεία. Αν έχουμε την ευθεία (ε) με εξίσωση: .. Απόσταση σημείου από ευθεία Αν έχουμε την ευθεία (ε) με εξίσωση: Ax+Βψ+Γ=0 με A 0 ή Β 0 και το σημείο Μ (xo, ψο), τότε η απόσταση d του Μ από την ευθεία (ε) δίνεται από τον τύπο: d = d(m,ε) = Αx o +

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ 8. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής με κορυφή το (0, 0) στις παρακάτω περιπτώσεις: α) είναι συμμετρική ως προς το θετικό ημιάξονα Οx και έχει παράμετρο p = 5 β)

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

2 1 1+ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ:2 ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ: 2.1 2.2. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός

2 1 1+ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ:2 ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ: 2.1 2.2. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ:.. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 4 5 Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός 8575 Β (Αναρτήθηκ 8 4 ) ίνονται τα σηµία Α(,) και Β(5,6). α) Να βρίτ την ξίσωση της υθίας που διέρχται από τα σηµία Α και B.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. 1. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 3 4 3 7

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. 1. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 3 4 3 7 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 4 7. Αν ισχύουν να αποδείξετε ότι. Αν ισχύει ότι 5 5 να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α ( μ ε Α λ φ α β η τ ι κ ή σ ε ι ρ ά ) :

Ε π ι μ έ λ ε ι α ( μ ε Α λ φ α β η τ ι κ ή σ ε ι ρ ά ) : Ε π ι μ έ λ ε ι α ( μ ε Α λ φ α β η τ ι κ ή σ ε ι ρ ά ) : Ανδριοπούλου Τασιάννα Ανδρονίκου Γιώργος Βασσάλου Γιάννα Βελλίκης Γιώργος Καρατσιώλης Δημήτρης Κασλής Κώστας Λαλούμης Νίκος Μπέκας Χρήστος Μπίτζας

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004 Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999.......................................... 3 Θέµατα 000..........................................

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Óõíåéñìüò ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Óõíåéñìüò ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 011 1 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ο α. I. Σχολικό βιβλίο σελ. 41. ΙΙ. Σχολικό βιβλίο σελ. 89. β. Σχολικό βιβλίο σελ. 71. γ. Σχολικό βιβλίο σελ.60. δ. Σ, Λ,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ν περνά από σταθερό σημείο. ν περνά από το σταθερό μέσο του επίσης σταθερού ΚΛ. Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ν περνά από σταθερό σημείο. ν περνά από το σταθερό μέσο του επίσης σταθερού ΚΛ. Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται: Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται: f Μ = x ΜΑ+ x ΜΑ+ΑΒ + x ΜΑ+ΑΓ = ΜΑ + ΜΑ + ΜΑ + ΑΒ + ΑΓ ( x) ( x) ( x ) ( x) ( x ) = ( x + x + x ) ΜΑ + ( x) ΑΒ + ( x ) ΑΓ = ( x 4x+ ) ΜΑ+ ( x) ΑΒ+ ( x ) Α Γ f Μ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 1ο κεφάλαιο: Διανύσματα Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Μαθηµατικά Προσανατολισµού Β Λυκείου Αποστόλου Γιώργος Μαθηµατικός Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΘΗΝΑ 001 Ομάδα Σύνταξης Εποπτεία:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Θέµα 1 Α. Να υπολογίσετε την πλευρά λ και το απόστηµα α τετραγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο (Ο, R) συναρτήσει της ακτίνας R (10 Μονάδες) Β. Να χαρακτηρίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 Θέμα 1 ο A. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: Ρ(Α Β) = Ρ(Α) +

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου- Μαθηματικά Κατεύθυνσης. Μέρος Α Θεωρία. (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις)

Β Λυκείου- Μαθηματικά Κατεύθυνσης. Μέρος Α Θεωρία. (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις) 1 Μέρος Α Θεωρία (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις) Η έννοια του διανύσματος Ορισμός του Διανύσματος Διάνυσμα ονομάζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα του

Διαβάστε περισσότερα

(Έκδοση: 05 03 2015)

(Έκδοση: 05 03 2015) (Έκδοση: 05 03 05) Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των συνεργατών του δικτυακού τόπου http://lisari.blogspot.gr 4η έκδοση: 05 03 05 (συνεχής ανανέωση) Το βιβλίο διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 4. α) Να βρεθεί η απόσταση του σημείου

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2001

Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2001 Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 00 Ζήτηµα ο Α.. Έστω α, β, γ ακέραιοι αριθµοί. Να δείξετε ότι ισχύουν οι επόµενες ιδιότητες: α. Αν α β, τότε α λβ για κάθε ακέραιο λ. β. Αν α β και α

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Ε_.ΒΜλΘ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ηµεροµηνία: Κυριακή 6 Απριλίου 05 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελίδα.

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο; 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 0.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με εμβαδά Ε και Ε αντίστοιχα. Τότε είναι:

Διαβάστε περισσότερα