(Έκδοση: )

Transcript

1 (Έκδοση: )

2 Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των συνεργατών του δικτυακού τόπου Έκδοση: (συνεχής ανανέωση) Το βιβλίο διατίθεται αποκλειστικά από το μαθηματικό ιστότοπο

3 Περιεχόμενα Σελίδες Πρόλογος: Η ομάδα εργασιών... 6 Κεφάλαιο ο: Πιθανότητες... 7 Κεφάλαιο ο: Οι πραγματικοί αριθμοί. 4 Κεφάλαιο 3ο: Εξισώσεις Κεφάλαιο 4ο: Ανισώσεις... Κεφάλαιο 5ο: Πρόοδοι Κεφάλαιο 6ο: Βασικές έννοιες των Συναρτήσεων Συνδυαστικές ασκήσεις

4 Πρόλογος Στο παρόν αρχείο δίνονται όλες οι ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων που αφορούν στην Άλγεβρα της A Λυκείου μαζί με τις λύσεις τους. Η παρουσίαση των λύσεων είναι κατά το δυνατόν αναλυτική έτσι, ώστε το αρχείο να μπορεί να διαβαστεί και να μελετηθεί εύκολα από τους μαθητές. Σε αρκετές περιπτώσεις οι λύσεις συνοδεύονται με αναφορές σε παρόμοιες ασκήσεις του σχολικού βιβλίου ή της τράπεζας θεμάτων καθώς και με κάποια στοιχεία θεωρίας ή ακόμα και μεθοδολογίας. Η εργασία αυτή εκπονήθηκε από μια διαδικτυακή (και όχι μόνο) ομάδα μαθηματικών από διάφορα μέρη της Ελλάδος. Η ομάδα συγκροτήθηκε από τους μαθηματικούς που ανταποκρίθηκαν στο κάλεσμα που απεύθυνε μέσα από το blog ο ακούραστος Μάκης Χατζόπουλος. Εργάστηκε με μεράκι, κάτω από πίεση χρόνου, για να προσφέρει στην εκπαιδευτική κοινότητα, μαθητές και καθηγητές, το συγκεκριμένο υλικό. Επιθυμία όλων μας είναι να συμβάλλουμε, έστω και ελάχιστα, στην βελτίωση της διδασκαλίας των μαθηματικών στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, μέσα από την παροχή υποστηρικτικού υλικού στην ελληνική εκπαιδευτική κοινότητα. Μετά την αρχική συγγραφή των λύσεων έγιναν ενδελεχείς έλεγχοι, διορθώσεις και βελτιώσεις για την όσο το δυνατό ποιοτικότερη παρουσίαση. Ζητούμε συγνώμη για τυχόν παραλείψεις, λάθη ή αστοχίες οι οποίες ενδεχομένως θα έχουν διαλάθει της προσοχής μας, κάτι αναπόδραστο στην εκπόνηση μιας εργασίας τέτοιας έκτασης σε τόσο στενά περιθώρια χρόνου. Θα ακολουθήσουν επόμενες εκδόσεις, όπου το υλικό θα βελτιωθεί. Οποιαδήποτε σχόλια, παρατηρήσεις, διορθώσεις και βελτιώσεις των λύσεων είναι ευπρόσδεκτα στην ηλεκτρονική διεύθυνση lisari.blogspot@gmail.com. Με εκτίμηση Η ομάδα του lisari

5 lisari team Αντωνόπουλος Νίκος (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίου Κατεύθυνση - Άργος) Αυγερινός Βασίλης (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίου ΔΙΑΤΑΞΗ - Ν. Σμύρνη και Νίκαια) Βελαώρας Γιάννης (Φροντιστήριο ΒΕΛΑΩΡΑΣ - Λιβαδειά Βοιωτίας) Βοσκάκης Σήφης (Φροντιστήριο Ευθύνη - Ρέθυμνο) Γιαννόπουλος Μιχάλης (Αμερικάνικη Γεωργική Σχολή) Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης (Φροντιστήριο Αστρολάβος - Άρτα) Δούδης Δημήτρης (3 ο Λύκειο Αλεξανδρούπολης) Ζαμπέλης Γιάννης (Φροντιστήρια Πουκαμισάς Γλυφάδας) Κακαβάς Βασίλης (Φροντιστήριο Ώθηση - Αργυρούπολη) Κάκανος Γιάννης (Φροντιστήριο Παπαπαναγιώτου Παπαπαύλου - Σέρρες) Κανάβης Χρήστος (Διδακτορικό στο ΕΜΠ ο ΣΔΕ φυλακών Κορυδαλλού) Καρδαμίτσης Σπύρος (Πρότυπο Λύκειο Αναβρύτων) Κοπάδης Θανάσης (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίων 9+ - Πολύγωνο) Κουλούρης Αντρέας (3 ο ΓΕΛ Γαλατσίου) Κουστέρης Χρήστος (Φροντιστήριο Στόχος - Περιστέρι) Μανώλης Ανδρέας (Φροντιστήριο Ρηγάκης - Κοζάνη) Μαρούγκας Χρήστος (3 ο ΓΕΛ Κηφισιάς) Νάννος Μιχάλης ( ο Γυμνάσιο Σαλαμίνας) Νικολόπουλος Θανάσης (Λύκειο Κατασταρίου, Ζάκυνθος) Παγώνης Θεόδωρος (Φροντιστήριο Φάσμα - Αγρίνιο) Παντούλας Περικλής (Φροντιστήρια Γούλα-Δημολένη - Ιωάννινα) Παπαδομανωλάκη Μαρία (Ιδιοκτήτρια Πρότυπου Κέντρου Μάθησης ΔΙΑΚΡΙΣΙΣ - Ρέθυμνο) Παπαμικρούλης Δημήτρης (Εκπαιδευτικός Οργανισμός Ρόμβος) Πορίχης Λευτέρης (Γυμνάσιο Λιθακιάς Ζάκυνθος) Ράπτης Γιώργος (6 ο ΓΕΛ Βόλου) Σίσκας Χρήστος (Φροντιστήριο Μπαχαράκης - Θεσσαλονίκη) Σκομπρής Νίκος (Συγγραφέας ο Λύκειο Χαλκίδας) Σπλήνης Νίκος (Φροντιστήριο ΟΡΙΖΟΝΤΕΣ - Ηράκλειο Κρήτης) Σπυριδάκης Αντώνης (Γυμνάσιο Βιάννου - Λασίθι) Σταυρόπουλος Παύλος (Ιδιωτικά Εκπαιδευτήρια Δούκα) Σταυρόπουλος Σταύρος (Γραμματέας Ε.Μ.Ε Κορινθίας - Γυμνάσιο Λ.Τ. Λέχαιου Κορινθίας) Τηλέγραφος Κώστας (Φροντιστήριο Θεμέλιο - Αλεξανδρούπολη) Τρύφων Παύλος ( ο Εσπερινό ΕΠΑΛ Περιστερίου) Φιλιππίδης Χαράλαμπος (Ελληνογαλλική Σχολή Καλαμαρί) Χαραλάμπους Σταύρος (Μουσικό Σχολείο Λαμίας) Χατζόπουλος Μάκης (Υπουργείο Παιδείας και Θρησκευμάτων) 5

6 Λύτες Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α τάξης 30 Νοεμβρίου 04 Επιμελητής Νίκος Αντωνόπουλος Βασίλης Αυγερινός Σήφης Βοσκάκης Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης Δημήτρης Δούδης Γιάννης Ζαμπέλης Βασίλης Κακαβάς Γιάννης Κάκανος Θανάσης Κοπάδης Ανδρέας Μανώλης Περικλής Παντούλας Μαρία Παπαδομανωλάκη Δημήτρης Παπαμικρούλης Λευτέρης Πορίχης Γιώργος Ράπτης Νίκος Σπλήνης Σταύρος Χαραλάμπους Μάκης Χατζόπουλος Έλεγχος Χρήστος Μαρούγκας Συντονιστής Μάκης Χατζόπουλος Εξώφυλλο Μιχάλης Νάννος Πρόλογος Ανδρέας Κουλούρης Μάκης Χατζόπουλος lisari team η καλύτερη ομάδα λόγω teαm_ής!

7 Κεφάλαιο ο: Πιθανότητες Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο ο : Πιθανότητες 7

8 Κεφάλαιο ο: Πιθανότητες.: Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα.: Έννοια της Πιθανότητας ΑΣΚΗΣΗ (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο Μιχάλης (Μ) και γυναίκες: η Ειρήνη (Ε) και η Ζωή (Ζ). Επιλέγονται στην τύχη ένας άντρας και μια γυναίκα για να διαγωνιστούν και καταγράφονται τα ονόματά τους. α) Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος. Μονάδες 0 β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων: Α : Να διαγωνίστηκαν ο Κώστας ή ο Μιχάλης. Β : Να διαγωνίστηκε η Ζωή. Γ: Να μη διαγωνίστηκε ούτε ο Κώστας ούτε ο Δημήτρης Μονάδες 5 α) Θα βρούμε το δειγματικό χώρο Ω με δεντροδιάγραμμα Άντρας Γυναίκα Ζ Δ Ε Επομένως: Ω ΔΖ,ΔΕ,ΚΖ,ΚΕ,ΜΕ,ΜΖ Κ Μ και Ν(Ω) 6 Ζ Ε Ζ Ε β) Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Τότε: Άρα: Κ: διαγωνίστηκε ο Κώστας, με Κ ΚΖ, ΚΕ Μ: διαγωνίστηκε ο Μιχάλης, με Μ ΜΕ, ΜΖ Δ: διαγωνίστηκε ο Δημήτρης, με Δ ΔΖ,ΔΕ Β : διαγωνίστηκε η Ζωή, με Β ΔΖ,ΚΖ,ΜΖ και Ν(Κ) και Ν(Μ) και Ν(Δ) και Ν(Β) 3 Κ Μ ΚΖ,ΚΕ,ΜΕ,ΜΖ με Ν(Κ Μ) 4, και Κ Δ ΚΖ, ΚΕ,ΔΕ,ΔΖ με Ν(Κ Δ) 4 Ν(Κ Μ) 4 Ν(Β) 3 Ρ(Α) Ρ(Κ Μ), Ρ(Β) Ν(Ω) 6 3 Ν(Ω) 6 Ν(Κ Δ) Ρ(Γ) Ρ(Κ Δ) Ρ(Κ Δ) Ν(Ω) 3 3 8

9 Κεφάλαιο ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ (_499) Από τους μαθητές ενός Λυκείου, το 5% συμμετέχει στη θεατρική ομάδα, το 30% συμμετέχει στην ομάδα ποδοσφαίρου και το 5% των μαθητών συμμετέχει και στις δύο ομάδες. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή. Αν ονομάσουμε τα ενδεχόμενα: Α: «ο μαθητής να συμμετέχει στη θεατρική ομάδα» και Β: «ο μαθητής να συμμετέχει στην ομάδα ποδοσφαίρου» α) να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόμενα i) Α Β ii) Α Β iii) Β Α iv) Α Μονάδες β) να υπολογίσετε τις πιθανότητες πραγματοποίησης των ενδεχομένων i) ο μαθητής που επιλέχθηκε να συμμετέχει μόνο στην ομάδα ποδοσφαίρου ii) ο μαθητής που επιλέχθηκε να μη συμμετέχει σε καμία ομάδα. Μονάδες 3 α) i) Α Β : Ο μαθητής να συμμετέχει στην θεατρική ομάδα ή την ποδοσφαιρική ομάδα. ii) Α Β : Ο μαθητής συμμετέχει στην θεατρική ομάδα και στην ποδοσφαιρική ομάδα iii) Β Α : Ο μαθητής να συμμετέχει στην ποδοσφαιρική ομάδα αλλά όχι στην θεατρική ομάδα. iv) Α : Ο μαθητής να μην συμμετέχει στην θεατρική ομάδα. Γνωρίζουμε ότι: 5 ΡA 5% Ρ B 30% 00,, 5 Ρ A B 5% Ρ B A Ρ B Ρ B A 5% β) i) Ρ Α Β Ρ Α Β Ρ A Ρ B Ρ A B ii) % ΑΣΚΗΣΗ 3 (_999) Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες είναι μαζί 6. Επιλέγουμε μια μπάλα στην τύχη. Δίνονται τα παρακάτω ενδεχόμενα: Α: η μπάλα που επιλέγουμε είναι ΑΣΠΡΗ Κ: η μπάλα που επιλέγουμε είναι ΚΟΚΚΙΝΗ Π: η μπάλα που επιλέγουμε είναι ΠΡΑΣΙΝΗ α. Χρησιμοποιώντας τα Α, Κ και Π να γράψετε στη γλώσσα των συνόλων τα ενδεχόμενα:. Η μπάλα που επιλέγουμε δεν είναι άσπρη.. Η μπάλα που επιλέγουμε είναι κόκκινη ή πράσινη. Μονάδες 3 9

10 Κεφάλαιο ο: Πιθανότητες β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). Μονάδες ' α.. Α : Η μπάλα που επιλέγουμε δεν είναι άσπρη.. Κ Π : Η μπάλα που επιλέγουμε είναι κόκκινη ή πράσινη. β. Ο συνολικός αριθμός των μπάλων είναι: Ο αριθμός των μπάλων που δεν είναι άσπρες είναι: , οπότε 5 5 P A Έχουμε, P Κ Π 30 5 ΑΣΚΗΣΗ 4 (_0) Δίνονται δύο ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω και οι πιθανότητες 3 5 P(A), P(A B) και P(B) α) Να υπολογίσετε την P(A B) Μονάδες 9 β) i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και να γράψετε στη γλώσσα των συνόλων το ενδεχόμενο : «Α ή Β». Μονάδες 7 ii) Να υπολογίσετε την πιθανότητα πραγματοποίησης του παραπάνω ενδεχομένου. Μονάδες 9 α) Έχουμε P(A Β) P(A) P(A B) P(A B) P(A B) P(A B) P(A B) β) i) Το ενδεχόμενο «Α ή Β» πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β, συμβολίζεται με A B και παριστάνεται με διάγραμμα Venn όπως το παρακάτω σχήμα : 0

11 Κεφάλαιο ο: Πιθανότητες ii) Από τον προσθετικό νόμο των πιθανοτήτων έχουμε ότι: 3 6 P(A B) P(A) P(B) P(A B) P(A B) P(A B) P(A B) P(A B) 8 8 Παρόμοιες Ασκήσεις Η παραπάνω άσκηση μοιάζει με τις ασκήσεις 7, 8, 9, 0 (Α Ομάδας) της παραγράφου. του σχολικού βιβλίου. ΑΣΚΗΣΗ 5 (_87) Δίνεται ο πίνακας: Επιλέγουμε τυχαία έναν από τους 9 διψήφιους αριθμούς του παραπάνω πίνακα. Να βρείτε την πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων: Α: ο διψήφιος να είναι άρτιος Μονάδες 7 Β: ο διψήφιος να είναι άρτιος και πολλαπλάσιο του 3 Μονάδες 9 Γ: ο διψήφιος να είναι άρτιος ή πολλαπλάσιο του 3 Μονάδες 9 Είναι: Ω = {,, 3,,, 3, 3, 3, 33}με Ν(Ω) 9 Οπότε Α = {,, 3} με Ν(Α) 3 Β = {} με Ν(Β) Γ = {,,, 3, 33} με Ν(Γ) 5 Ρ(Α) = Ν(Α) 3 Ν(Ω) 9 Ρ(Α) 3 Ρ(Β) = Ν(Β) Ρ(Β) Ν(Ω) 9 Ρ(Γ) = Ν(Γ) Ρ(Γ) 5 Ν(Ω) 9 ΑΣΚΗΣΗ 6 (_506) Δίνεται το σύνολο Ω = {,, 3, 4, 5, 6} και τα υποσύνολα Α = {,, 4, 5} και Β = {, 4, 6}. α) Να παραστήσετε στο ίδιο διάγραμμα Venn, με βασικό σύνολο Ω, τα σύνολα Α και Β. Κατόπιν, να προσδιορίσετε τα σύνολα Α Β, Α Β, Α και Β. Μονάδες 3

12 β) Επιλέγουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: (i) Να μην πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α. (ii) Να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα ενδεχόμενα Α και Β. (iii) Να μην πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α Κεφάλαιο ο: Πιθανότητες Μονάδες 4 Μονάδες 4 Μονάδες 4 α) Έχουμε, Α Β {,, 4, 5, 6}, Α Β {, 4}, Α {3, 6}, Β {, 3, 5} β. i) Το ενδεχόμενο να μην πραγματοποιηθεί το Α είναι το Α Ν(Ω) 6, Ν(Α ) οπότε Ρ(Α ) = Ν(Α ) Ρ(Α ) Ν(Ω) 6 Ρ(Α ) 3 ii) Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα ενδεχόμενα Α και Β είναι το Α Β. Είναι: Ν(Α Β) οπότε Ν(Α Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) Ν(Ω) 6 Ρ(Α Β) 3 iii) Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α, Β είναι το Α Β. Είναι: Ν(Α Β) 5 οπότε

13 Κεφάλαιο ο: Πιθανότητες Ν(Α Β) 5 Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) Ν(Ω) 6 ΑΣΚΗΣΗ 7 (_50) Από τους σπουδαστές ενός ωδείου, το 50% μαθαίνει πιάνο, το 40% μαθαίνει κιθάρα, ενώ το 0% των σπουδαστών μαθαίνει και τα δύο αυτά όργανα. Επιλέγουμε τυχαία ένα σπουδαστή του Ωδείου. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α: ο σπουδαστής αυτός μαθαίνει πιάνο Β: ο σπουδαστής αυτός μαθαίνει κιθάρα Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης του ενδεχομένου: α) Ο σπουδαστής αυτός να μαθαίνει ένα τουλάχιστον από τα δύο παραπάνω όργανα. Μονάδες β) Ο σπουδαστής αυτός να μην μαθαίνει κανένα από τα δύο παραπάνω όργανα. Μονάδες 3 Από τα δεδομένα έχουμε ότι: PΑ 50%,P B 40% και P A B 0%. α) Το ενδεχόμενο ο σπουδαστής να μαθαίνει ένα τουλάχιστον από τα δύο παραπάνω όργανα στη γλώσσα των συνόλων είναι Α Β. Από τον προσθετικό νόμο των πιθανοτήτων έχουμε: PΑ Β PΑ PB PA B PΑ Β 50% 40% 0% Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι 80%. P Α Β 80% β) Το ενδεχόμενο ο σπουδαστής να μην μαθαίνει κανένα από τα δύο παραπάνω όργανα στη γλώσσα των συνόλων είναι Α Β '. Επομένως: ' P Α Β P Α Β 80% 0% Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι 0%. ΑΣΚΗΣΗ 8 (_3383) Το 70% των κατοίκων μιας πόλης έχει αυτοκίνητο, το 40% έχει μηχανάκι και το 0% έχει και αυτοκίνητο και μηχανάκι. Επιλέγουμε τυχαία έναν κάτοικο αυτής της πόλης. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: A : ο κάτοικος να έχει αυτοκίνητο Μ : ο κάτοικος να έχει μηχανάκι. α. Να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόμενα: i. Α Μ ii. Μ Α iii. Μ Μονάδες 9 3

14 β. Να βρείτε τη πιθανότητα ο κάτοικος που επιλέχθηκε: i. Να μην έχει μηχανάκι. Κεφάλαιο ο: Πιθανότητες Μονάδες 7 ii. Να μην έχει ούτε μηχανάκι ούτε αυτοκίνητο. (Μονάδες 9) Μονάδες 8 Έχουμε 70 P A 0, , PM 0, 4, 0 P A M 0, 00 α. i. A M : Ο κάτοικος της πόλης να έχει αυτοκίνητο ή μηχανάκι. ii. M A : Ο κάτοικος της πόλης να έχει μόνο μηχανάκι. iii. M : Ο κάτοικος της πόλης δεν έχει μηχανάκι. β. i. PM PM 0,4 0,6 ii. P A M PA M PA PM PA M 0,7 0, 4 0, 0, ΑΣΚΗΣΗ 9 (_3384) Από τους 80 μαθητές ενός λυκείου, 0 μαθητές συμμετέχουν στη θεατρική ομάδα, 30 συμμετέχουν στην ομάδα στίβου, ενώ 0 συμμετέχουν και στις δύο ομάδες. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή του λυκείου. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α : ο μαθητής συμμετέχει στη θεατρική ομάδα Β : ο μαθητής συμμετέχει στην ομάδα στίβου α. Να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόμενα: i. Α Β ii. Β Α iii. Α Μονάδες 9 β. Να βρείτε τη πιθανότητα ο μαθητής που επιλέχθηκε: i. Να μη συμμετέχει σε καμία ομάδα. ii. Να συμμετέχει μόνο στην ομάδα στίβου. Μονάδες 9 Μονάδες 7 Ισχύει NΩ 80, NA 0, NΒ 30, Έχουμε, P A NA 0, PB NΩ 80 9 N A B 0. N B 30 N Ω

15 και PA B N A B 0 N Ω 80 8 Κεφάλαιο ο: Πιθανότητες α. i. Α Β : Ο μαθητής συμμετέχει στην θεατρική ομάδα ή στην ομάδα στίβου ii. Β Α : Ο μαθητής συμμετέχει μόνο στην ομάδα στίβου iii. Α : Ο μαθητής δεν συμμετέχει στην θεατρική ομάδα β. i. Η πιθανότητα, ο μαθητής που επιλέχθηκε, να μη συμμετέχει σε καμία ομάδα είναι 4 7 P A B PA B PA PB PA B ii. Η πιθανότητα, ο μαθητής που επιλέχθηκε, να συμμετέχει μόνο στην ομάδα στίβου είναι 3 PB A PB PA B ΑΣΚΗΣΗ 0 (_3878) Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: α. Το πλήθος των μαθητών της Γ τάξης Μονάδες 0 β. Το πλήθος των μαθητών της Β τάξης. γ. Την πιθανότητα ο μαθητής που επιλέξαμε να είναι της Β τάξης. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα A : ο μαθητής να είναι της A τάξης B : ο μαθητής να είναι της B τάξης Γ : ο μαθητής να είναι της Γ τάξης και Ω : το σύνολο των μαθητών του σχολείου α. Έχουμε ΝΩ 400 και ΝΑ 00, άρα PΓ 0% ΝΓ 0, ΝΩ Ν Γ 0, 400 Μονάδες 5 Μονάδες0 N Γ 0, μαθητές. β. Έχουμε ΝΒ ΝΩ ΝΑ ΝΓ μαθητές. γ. Η ζητούμενη πιθανότητα είναι η Ν Β 0 30 PΒ 30%. Ν Ω Δηλαδή η πιθανότητα ο μαθητής που επιλέξαμε να είναι της Β τάξης, είναι 30% 5

16 Κεφάλαιο ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ (4_868) Σε ένα τμήμα της Α Λυκείου κάποιοι μαθητές παρακολουθούν μαθήματα Αγγλικών και κάποιοι Γαλλικών. Η πιθανότητα ένας μαθητής να μην παρακολουθεί Γαλλικά είναι 0,8. Η πιθανότητα ένας μαθητής να παρακολουθεί Αγγλικά είναι τετραπλάσια από την πιθανότητα να παρακολουθεί Γαλλικά. Τέλος, η πιθανότητα ένας μαθητής να παρακολουθεί μαθήματα τουλάχιστον μιας από τις δύο γλώσσες είναι 0,9. α) Επιλέγουμε ένα μαθητή στην τύχη. i) Ποια είναι η πιθανότητα αυτός να παρακολουθεί μαθήματα και των δύο γλωσσών; (Μονάδες 9) ii) Ποια είναι η πιθανότητα αυτός να παρακολουθεί μαθήματα μόνο μιας από τις δύο γλώσσες; (Μονάδες 9) β) Αν 4 μαθητές παρακολουθούν μόνο Αγγλικά, πόσοι είναι οι μαθητές του τμήματος; (Μονάδες 7) α) Ορίζουμε τα ενδεχόμενα Α και B, όπου: Α το ενδεχόμενο ο μαθητής να παρακολουθεί Αγγλικά και Γ το ενδεχόμενο ο μαθητής να παρακολουθεί Γαλλικά. Τότε, το ενδεχόμενο ο μαθητής να παρακολουθεί μαθήματα τουλάχιστον μιας από τις δύο γλώσσες, είναι η ένωση A Γ. Από τα δεδομένα έχουμε: Ρ Γ 0,8 Ρ Γ Ρ Γ 0,8 0, ΡΑ 4ΡΓ 40, 0,8 και Ρ A Γ 0,9. i. Το ενδεχόμενο ένας μαθητής που επιλέγεται τυχαία να παρακολουθεί μαθήματα και των δύο γλωσσών είναι το Α Γ και η ζητούμενη πιθανότητα είναι: ΡΑ Γ ΡΑ ΡΓ ΡΑ Γ 0,8 0, 0,9 0, Δηλαδή η πιθανότητα ένας μαθητής που επιλέγεται τυχαία να παρακολουθεί και Αγγλικά και Γαλλικά είναι 0. ο ο ii. Το ενδεχόμενο ο μαθητής που επιλέγεται τυχαία να παρακολουθεί μαθήματα μόνο μιας από τις δύο γλώσσες είναι το Α Γ Γ Α και η ζητούμενη πιθανότητα είναι. Επιπλέον, επειδή τα ενδεχόμενα Α Γ, Γ Α είναι ασυμβίβαστα, για την πιθανότητα η Ρ Α Γ Γ Α της ένωσής τους θα χρησιμοποιήσουμε τον απλό προσθετικό νόμο. Έχουμε: 6

17 Κεφάλαιο ο: Πιθανότητες Ρ Γ ΡΑ Γ ΡΑ ΡΑ Γ Ρ Γ ΡΑ ΡΑ Γ Ρ Α Γ Γ Α Ρ Γ Α Ρ Α Γ 0, 0,8 0, 0,8 β) Το ενδεχόμενο ο μαθητής που επιλέγεται τυχαία να παρακολουθεί μόνο Αγγλικά είναι το Α Γ και η αντίστοιχη πιθανότητα είναι PΑ Γ. Τότε: ΡΑ Γ ΡA ΡΑ Γ 0,8 0, 0,7 Από τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας έχουμε: ΡΑ Γ Ν Α Γ 0, 7 4 ΝΩ 4 0 Ν Ω Ν Ω 0, 7 Δηλαδή το τμήμα έχει 0 μαθητές. ΑΣΚΗΣΗ (4_936) Η εξέταση σε έναν διαγωνισμό των Μαθηματικών περιλάμβανε δύο θέματα τα οποία έπρεπε να απαντήσουν οι εξεταζόμενοι. Για να βαθμολογηθούν με άριστα έπρεπε να απαντήσουν και στα δύο θέματα, ενώ για να περάσουν την εξέταση έπρεπε να απαντήσουν σε ένα τουλάχιστον από τα δύο θέματα. Στο διαγωνισμό εξετάσθηκαν 00 μαθητές. Στο πρώτο θέμα απάντησαν σωστά 60 μαθητές. Στο δεύτερο θέμα απάντησαν σωστά 50 μαθητές, ενώ και στα δύο θέματα απάντησαν σωστά 30 μαθητές. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή. α) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και με χρήση της γλώσσας των συνόλων (ορίζοντας τα κατάλληλα ενδεχόμενα) τα παραπάνω δεδομένα. (Μονάδες 3) β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα ο μαθητής: i. Να απάντησε σωστά μόνο στο δεύτερο θέμα. ii. Να βαθμολογηθεί με άριστα. iii. Να μην απάντησε σωστά σε κανένα θέμα. iv. Να πέρασε την εξέταση. (Μονάδες ) α) Έστω τα ενδεχόμενα Α,Β, όπου A : οι μαθητές απάντησαν σωστά στο πρώτο θέμα και Β : οι μαθητές απάντησαν σωστά στο δεύτερο θέμα, τότε: ΝΑ 60, ΝΒ 50, ΝΑ Β 30. β) Από τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας έχουμε: και Ν Α 60 3 Ν Β 50 ΡΑ, ΡΒ Ν Ω

18 Κεφάλαιο ο: Πιθανότητες Ν Α Β 30 3 ΡΑ Β Ν Ω 00 0 i. Το ενδεχόμενο ο μαθητής που επιλέχθηκε τυχαία να απάντησε σωστά μόνο στο δεύτερο θέμα είναι το ενδεχόμενο B A και η αντίστοιχη πιθανότητα είναι: Ρ Β Α Ρ Β Ρ Α Β ii. Ένας μαθητής βαθμολογείται με άριστα όταν απαντά σωστά και στα δύο θέματα. Το ενδεχόμενο ο μαθητής που επιλέγεται τυχαία να απάντησε σωστά και στα δύο θέματα είναι το Α Β και η αντίστοιχη πιθανότητα είναι: 3 ΡΑ Β 0 iii. Το ενδεχόμενο ο μαθητής που επιλέγεται τυχαία να μην απάντησε σωστά σε κανένα θέμα είναι το Α Β και η αντίστοιχη πιθανότητα είναι: Ρ Α Β Ρ Α Β Ρ Α Ρ Β Ρ Α Β ΡΑ ΡΒ ΡΑ Β iv. Περνάει την εξέταση όταν απαντά σωστά σε ένα τουλάχιστον από τα δύο, άρα αναζητούμε την πιθανότητα του ενδεχομένου A B, δηλαδή PA B PA P B PA B ΑΣΚΗΣΗ 3 (4_064) Σε μια ομάδα που αποτελείται από 7 άνδρες και 3 γυναίκες, 4 από τους άνδρες και από τις γυναίκες παίζουν σκάκι. Επιλέγουμε τυχαία ένα από τα άτομα αυτά. α) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και με χρήση της γλώσσας των συνόλων το ενδεχόμενο το άτομο που επιλέχθηκε: i) να είναι άνδρας ή να παίζει σκάκι. Μονάδες 6 ii) να μην είναι άνδρας και να παίζει σκάκι. Μονάδες 6 β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα το άτομο που επιλέχθηκε να είναι γυναίκα και να παίζει σκάκι. Μονάδες 3 Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α: «το άτομο που επιλέγουμε να είναι Άντρας» και Β: «το άτομο που επιλέγουμε να παίζει σκάκι» α) i) Το ενδεχόμενο να είναι άνδρας ή να παίζει σκάκι είναι το Α Β. Επομένως το διάγραμμα Venn είναι: 8

19 Κεφάλαιο ο: Πιθανότητες ii) Το ενδεχόμενο να μην είναι άνδρας και να παίζει σκάκι είναι το Α Β Β Α. Επομένως το διάγραμμα Venn είναι: β) Το ενδεχόμενο Α: «το άτομο που επιλέγουμε να μην είναι άνδρας» είναι το ενδεχόμενο το άτομο που επιλέγουμε να είναι γυναίκα. Από τα 0 άτομα, οι γυναίκες που παίζουν σκάκι είναι δύο. Επομένως η ζητούμενη πιθανότητα ισούται με: PΑ Β PΒ Α 0 0 ΑΣΚΗΣΗ 4 (4_073) Οι δράστες μιας κλοπής διέφυγαν μ ένα αυτοκίνητο και μετά από την κατάθεση διαφόρων μαρτύρων έγινε γνωστό ότι ο τετραψήφιος αριθμός της πινακίδας του αυτοκίνητου είχε πρώτο και τέταρτο ψηφίο το. Το δεύτερο ψηφίο ήταν 6 ή 8 ή 9 και το τρίτο ψηφίο του ήταν 4 ή 7. α) Με χρήση δενδροδιαγράμματος, να προσδιορίσετε το σύνολο των δυνατών αριθμών της πινακίδας του αυτοκινήτου Μονάδες 3 β) Να υπολογίσατε της πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων: Α: Το τρίτο ψηφίο του αριθμού της πινακίδας είναι το 7. Β: Το δεύτερο ψηφίο του αριθμού της πινακίδας είναι 6 ή 8. Γ: Το δεύτερο ψηφίο του αριθμού της πινακίδας δεν είναι ούτε 8 ούτε 9. Μονάδες Το δενδροδιάγραμμα είναι: 9

20 Κεφάλαιο ο: Πιθανότητες α) Το σύνολο των δυνατών αριθμών της πινακίδας (ο δειγματικός χώρος) είναι: Ω 64, 67, 84, 87, 94, 97 Ν Ω 6. και το πλήθος των στοιχείων του δειγματικού χώρου Ω είναι β) Έστω το ενδεχόμενο Α: «Το τρίτο ψηφίο του αριθμού της πινακίδας είναι το 7» Επιλέγουμε στην τύχη μία από τις 6 (ισοπίθανες) πινακίδες. Τότε, η πιθανότητα να ανήκει στο ενδεχόμενο Α είναι: ΝΑ 3 PA Ν Ω 6 Έστω το ενδεχόμενο: Β: «Το δεύτερο ψηφίο του αριθμού της πινακίδας είναι 6 ή 8». τότε Β 64, 67, 84, 87, οπότε το πλήθος των στοιχείων του Β είναι Ν Β 4. Επιλέγουμε στην τύχη μία από τις 6 (ισοπίθανες) πινακίδες. Τότε, η πιθανότητα να ανήκει στο ενδεχόμενο Β είναι: ΝΒ 4 PΒ. Ν Ω 6 3 Έστω το ενδεχόμενο: Γ: «Το δεύτερο ψηφίο του αριθμού της πινακίδας δεν είναι ούτε 8, ούτε 9». Άρα να είναι 6 οπότε Γ 64, 67, οπότε το πλήθος των στοιχείων του Γ είναι Ν Γ., οπότε το πλήθος των στοιχείων του Α είναι τότε Α 67, 87, 97, οπότε το πλήθος των στοιχείων του Α είναι Ν Α 3. Επιλέγουμε στην τύχη μία από τις 6 (ισοπίθανες) πινακίδες. 0

21 Τότε, η πιθανότητα να ανήκει στο ενδεχόμενο Γ είναι: ΝΓ PΓ Ν Ω 6 3 Κεφάλαιο ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 5 (4_080) Από μια έρευνα μεταξύ μαθητών ενός Λυκείου της χώρας, προέκυψε ότι το 80% των μαθητών πίνει γάλα ή τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι στο σπίτι το πρωί. Επιλέγουμε ένα μαθητή στην τύχη και ορίζουμε τα ενδεχόμενα : Α: ο μαθητής πίνει γάλα Β: ο μαθητής τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι Αν από το σύνολο των μαθητών το 60% πίνει γάλα και το 45% τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι. α) Να ορίσετε με χρήση της γλώσσας των συνόλων τα ενδεχόμενα: i) Ο μαθητής ούτε να πίνει γάλα ούτε να τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι ii) Ο μαθητής να πίνει γάλα και να τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι. iii) Ο μαθητής να πίνει μόνο γάλα. (Μονάδες ) β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα πραγματοποίησης των ενδεχομένων του α) ερωτήματος. (Μονάδες 3) α) i) Έστω Γ το ενδεχόμενο: «ο μαθητής ούτε να πίνει γάλα, ούτε να τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι» δηλ. δεν πραγματοποιείται κανένα από τα ενδεχόμενα Α και Β οπότε: Γ Α Β με αντίστοιχο διάγραμμα Venn : ii) Έστω Δ είναι το ενδεχόμενο: «ο μαθητής να πίνει γάλα και να τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι» δηλ. πραγματοποιούνται αμφότερα τα ενδεχόμενα Α και Β οπότε: Δ Α Β με αντίστοιχο διάγραμμα Venn : iii) Έστω Ε είναι το ενδεχόμενο: «ο μαθητής να πίνει μόνο γάλα» δηλ. πραγματοποιείται μόνο το ενδεχόμενο Α οπότε: Ε Α Β Α Β με αντίστοιχο διάγραμμα Venn : β) Από υπόθεση έχουμε: το 80% των μαθητών πίνει γάλα ή τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι στο σπίτι το πρωί άρα: PA B 0,8.

22 Κεφάλαιο ο: Πιθανότητες Το 60% πίνει γάλα άρα, PA 0,6,ενώ το 45% τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι, άρα, PB 0, 45. Οπότε: P Γ P A B P A B 0,8 0, PΔ PA B PA PB PA B 0, 6 0, 45 0,8 0, 5 PE PA B PA PA B 0, 6 0, 5 0,35. ΑΣΚΗΣΗ 6 (4_644) Μια ημέρα, στο τμήμα Α ενός Λυκείου, το 4 των μαθητών δεν έχει διαβάσει ούτε Άλγεβρα ούτε Γεωμετρία, ενώ το 3 των μαθητών έχει διαβάσει και τα δύο αυτά μαθήματα. Η καθηγήτρια των μαθηματικών επιλέγει τυχαία ένα μαθητή για να τον εξετάσει. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α: ο μαθητής να έχει διαβάσει Άλγεβρα Γ: ο μαθητής να έχει διαβάσει Γεωμετρία α) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και με χρήση της γλώσσας των συνόλων τα δεδομένα του προβλήματος. Μονάδες 9 β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα ο μαθητής: i) να έχει διαβάσει ένα τουλάχιστον από τα δύο μαθήματα ii) να έχει διαβάσει ένα μόνο από τα δυο μαθήματα. Μονάδες 8 γ) Αν γνωρίζουμε επιπλέον ότι οι μισοί από τους μαθητές έχουν διαβάσει Γεωμετρία, να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής: i) να έχει διαβάσει Γεωμετρία ii) να έχει διαβάσει Άλγεβρα. Μονάδες 8 α) Το ενδεχόμενο ο μαθητής να μην έχει διαβάσει ούτε Άλγεβρα ούτε Γεωμετρία είναι το: Ω Α Γ (Α Γ) το οποίο φαίνεται στο διπλανό διάγραμμα Venn (Α Γ) Το ενδεχόμενο ο μαθητής να έχει διαβάσει και τα δύο μαθήματα είναι το: Α Γ το οποίο φαίνεται στο Ω Α Β διπλανό διάγραμμα Venn Α Β

23 Κεφάλαιο ο: Πιθανότητες β) Αφού το 4 των μαθητών δεν έχει διαβάσει ούτε Άλγεβρα ούτε Γεωμετρία ισχύει: 3 P[(Α Γ) ] P(Α Γ) P(Α Γ) P(Α Γ) Αφού το 3 των μαθητών έχει διαβάσει και τα δύο αυτά μαθήματα ισχύει: P(Α Γ) 3 i) Η πιθανότητα ο μαθητής να έχει διαβάσει ένα τουλάχιστον από τα δύο μαθήματα είναι: 3 P(Α Γ) 4 ii) Η πιθανότητα ο μαθητής να έχει διαβάσει ένα μόνο από τα δύο μαθήματα είναι: P[(Α Γ) (Γ Α)] P(Α Γ) P(Γ Α) P(Α) P(Α Γ) P(Γ) P(Α Γ) [P(Α) P(Γ) P(Α Γ)] P(Α Γ) P(Α Γ) P(Α Γ) 4 3 γ) Αφού οι μισοί από τους μαθητές έχουν διαβάσει Γεωμετρία ισχύει: Ν(Γ) Ν(Ω) Ν(Γ) Ν(Ω) i) Η πιθανότητα ο μαθητής να έχει διαβάσει Γεωμετρία είναι: Ν(Γ) Ν(Γ) P(Γ) Ν(Ω) Ν(Γ) ii) Ισχύει P(Α Γ) P(Α) P(Γ) P(Α Γ) P(Α Γ) P(Γ) P(Α Γ) P(Α) 3 P(Α) P(Α) P(Α) 4 3 Η πιθανότητα ο μαθητής να έχει διαβάσει Άλγεβρα είναι: Ρ(Α) = 7 3

24 Κεφάλαιο ο: Οι πραγματικοί αριθμοί Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο ο : Οι πραγματικοί αριθμοί 4

25 Κεφάλαιο ο: Οι πραγματικοί αριθμοί.: Οι Πράξεις και οι ιδιότητές τους ΑΣΚΗΣΗ (_487) i. Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς, y ισχύει: ii. Να βρείτε τους αριθμούς, y ώστε: y 3 y 6y 0. y 6y 0 0. i. Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς, y έχουμε: (Μονάδες ) (Μονάδες 3) y 3 y y 3 3 y 6y 0 ii. Είναι, y 6y 0 0 α 0 και y 3 0 και y 3 y 3 0 ΑΣΚΗΣΗ (_070) Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α, β, γ, δ με β 0 και δ γ ώστε να ισχύουν : α) Να αποδείξετε ότι α) Από τις δοθείσες σχέσεις έχουμε: α β 4 α β 4β α 3β β και α 3β και δ 5γ α β γ 4 και β δ γ 4 β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης : αγ βγ Π βδ βγ γ 4γ δ γ δ 5γ δ γ 4 α αγ βγ γ α β γ 3β β 4βγ β) Έχουμε Π. βδ βγ β δ γ β 5γ γ 4βγ (Μονάδες 0) (Μονάδες 5) 5

26 Κεφάλαιο ο: Οι πραγματικοί αριθμοί ΑΣΚΗΣΗ 3 (_080) Έστω, y πραγματικοί αριθμοί ώστε να ισχύει : 4 5y 4y α) Να αποδείξετε ότι : y β) Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης : A 3y y y (Μονάδες ) (Μονάδες 3) α) Αρχικά πρέπει και αρκεί 4y 0 4y Οπότε, 4 5y 4 5y 4y 4y 4 5y 8y 4 8y 5y 6 3y y β) Χρησιμοποιώντας το πρώτο ερώτημα βρίσκουμε: 3y y 3 6 A 8 y ΑΣΚΗΣΗ 4 (_3874) Δίνονται οι μη μηδενικοί αριθμοί α,β, με α β για τους οποίους ισχύει α. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α και β είναι αντίστροφοι. β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης α. Έχουμε α α β β α β 3 Κ α αβ α β β α 8 5 α β β β α α αβα β α β 0 α β β β α α 0 και εφόσον α α β αβ 0 β α β 0, αναγκαία έπεται ότι αβ 0 αβ Άρα οι αριθμοί α και β είναι αντίστροφοι. α α β β Μονάδες 3 Μονάδες β. Έχουμε 6

27 Κεφάλαιο ο: Οι πραγματικοί αριθμοί 3 8 α β 4 4 α β α β Κ α αβ α α β α β α β 7

28 Κεφάλαιο ο: Οι πραγματικοί αριθμοί.: Διάταξη Πραγματικών αριθμών ΑΣΚΗΣΗ (_486) Αν 0 α, τότε: 3 i. Να αποδείξετε ότι: α α. (Μονάδες 3) 3 ii. Να διατάξετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους αριθμούς: 0,α,,α, α (Μονάδες ) i. Είναι α0 0 α α α α α α α α 0 3 α α α α α Άρα: 0 α 0 α α 3 και α α α α α ii. Είναι 0 α άρα 3 0 α α. 3 0 α και από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε 3 α α, επομένως Από την υπόθεση ισχύει α και τα μέλη της ανισότητας είναι θετικά, άρα α. Συνεπώς: 0 α α α 3 ΑΣΚΗΣΗ (_506) Αν 3 και y, να βρείτε μεταξύ ποιών ορίων βρίσκεται η τιμή καθεμιάς από τις παρακάτω παραστάσεις: α) y β) 3y γ) y Μονάδες 5 Μονάδες 0 Μονάδες 0 α) Προσπαθώ να δημιουργήσω την παράσταση : y. Μπορώ να προσθέσω ανισότητες κατά μέλη αρκεί να είναι της ίδιας φοράς οπότε θέτοντας τη μια κάτω από την άλλη έχουμε: 8

29 Κεφάλαιο ο: Οι πραγματικοί αριθμοί 3 y 3 y 5 β) Προσπαθώ να δημιουργήσω την παράσταση : 3y Για το πολλαπλασιάζω όλους τους όρους της 3 με το και έχω : 3 δηλ: 4 6 Επειδή δεν επιτρέπεται να αφαιρέσω ανισότητες κατά μέλη για να δημιουργήσω το 3y πολλαπλασιάζω όλους τους όρους της y με το 3 και έχω : 3 3y 3 που αλλάζει φορά αφού πολλαπλασιάζω με αρνητικό. Οπότε: 3 3y 6 ή επειδή θέλω να προσθέσω κατά μέλη τη γράφω : 6 3y 3 ώστε να είναι ίδιας φοράς. Βάζω τις ανισότητες () και () τη μια κάτω από την άλλη και προσθέτω κατά μέλη: y 3 3y 3 γ) Επειδή δεν επιτρέπεται να διαιρέσω ανισότητες κατά μέλη, αρχικά θα βρούμε το y Από την εφαρμογή του σχ. βιβλίου σελ. 58 είναι γνωστό ότι: Αν α, β ομόσημοι τότε: α β α β Έχουμε, y y y Μπορώ να πολ/σω ανισότητες κατά μέλη αρκεί να είναι ίδιας φοράς και όλοι θετικοί 3 y οπότε: 3 y Άρα: 3 y Εδώ προβληματιζόμαστε Η έκφραση, που χρησιμοποιείται σε πολλές ασκήσεις, συμπεριλαμβανομένου και του σχολικού βιβλίου (Α6/ σελ. 67), «μεταξύ ποιων ορίων βρίσκεται μια παράσταση», δεν είναι η καλύτερη, όπως υποστηρίζει ο αγαπητό μας δάσκαλος Αντώνης Κυριακόπουλος. Γιατί; Η απάντηση σε τέτοιου είδους ερωτήσεις μπορεί να είναι μεταξύ του μείον ένα εκατομμύριο και του (συν) ένα εκατομμύριο και θα είμαστε πάντα σωστή! 9

30 Κεφάλαιο ο: Οι πραγματικοί αριθμοί Επομένως σε αυτές τις ασκήσεις, προτείνουμε να δίνετε η σχέση που επιθυμούμε να αποδείξουμε, πχ. να αποδείξετε ότι 3. y ΑΣΚΗΣΗ 3 (_09) Από το ορθογώνιο ΑΒΖΗ αφαιρέθηκε το τετράγωνο ΓΔΕΗ πλευράς y. α) Να αποδείξετε ότι η περίμετρος του γραμμοσκιασμένου σχήματος ΕΖΒΑΓΔ που απέμεινε δίνετε από τη σχέση : Π = + 4y Μονάδες 0 β) Αν ισχύει 5 < < 8 και < y <, να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών βρίσκεται η τιμή της περιμέτρου του παραπάνω γραμμοσκιασμένου σχήματος. Μονάδες 5 α) Θέλουμε να βρούμε την περίμετρο του ΑΒΖΕ συναρτήσει του y και. Αρχικά έχουμε Π = ΑΒ + ΒΖ + ΖΗ + ΗΑ. Ξέρω ότι ΑΒ =, οπότε αρκεί να προσδιορίσουμε τις πλευρές ΒΖ, ΖΗ και ΗΑ. Το ΓΔΕΗ είναι τετράγωνο οπότε έχει όλες τις πλευρές του ίσες, δηλαδή ΗΕ = ΕΔ = ΔΓ = ΓΗ = y. To ABZH είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο άρα έχει τις απέναντι πλευρές του ίσες, δηλαδή ΒΖ = ΑΗ και ΑΒ = ΗΖ. Οπότε από τα παραπάνω έχουμε ότι ΒΖ = ΑΗ = ΑΓ + ΓΗ = y + y = y ΖΗ = ΑΒ = και ΗΑ = ΗΓ + ΓΑ = y + y = y Άρα Π = ΑΒ + ΒΖ + ΖΗ + ΗΑ = + y + + y = + 4y β) Αρκεί να βρούμε μεταξύ ποιών αριθμών βρίσκεται το άθροισμα + 4y. Έχουμε, () () (4) y 4 4y 8 Προσθέτουμε κατά μέλη τις () και () και έχουμε : < + 4y < < Π < 4 Παρόμοιες ασκήσεις : Το α ερώτημα μοιάζει με την ΑΣΚΗΣΗ 5 (Β Ομάδας) της παραγράφου.3 του σχολικού βιβλίου. (4) y 4 4y 8 () 30

31 Κεφάλαιο ο: Οι πραγματικοί αριθμοί Το β ερώτημα μοιάζει με την ΑΣΚΗΣΗ 4 (Α Ομάδας) της παραγράφου. του σχολικού βιβλίου. Σημείωση: Δείτε τον προβληματισμό στην άσκηση _506. ΑΣΚΗΣΗ 4 (_54) Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει μήκος εκατοστά και πλάτος y εκατοστά, αντίστοιχα. Αν για τα μήκη και y ισχύει: 4 7 και y 3 τότε : α) Να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή της περιμέτρου του ορθογωνίου παραλληλογράμμου. Μονάδες 0 β) Αν το μειωθεί κατά και το y τριπλασιαστεί, να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή της περιμέτρου του νέου ορθογωνίου παραλληλογράμμου. Μονάδες 5 Λύση α) Η περίμετρος ενός ορθογωνίου με μήκος και πλάτος y δίνεται από την σχέση: Π y y Π y y 3 y 3 4 y 6 Από την πρόσθεση κατά μέλη των ανισοτήτων και προκύπτει ότι: 8 4 y 4 6 Π 0 Άρα η ανίσωση που ικανοποιεί η περίμετρος του ορθογωνίου είναι η: Π 0 β) Αν είναι το μήκος και y το πλάτος του νέου ορθογωνίου, τότε η περίμετρος του νέου ορθογωνίου θα δίνεται από την σχέση: Π y y Π y y 3 3 3y 33 6 y 9 6 y 9 y 8 4 Από την πρόσθεση κατά μέλη των ανισοτήτων 3 και 4 προκύπτει ότι: 6 y 8 8 Π 30 Άρα η ανίσωση που ικανοποιεί η περίμετρος του νέου ορθογωνίου είναι η: 8 Π 30 3

32 Σημείωση: Δείτε τον προβληματισμό στην άσκηση _506. Κεφάλαιο ο: Οι πραγματικοί αριθμοί ΑΣΚΗΣΗ 5 (_385) Για τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύουν: α 4 και 4 β 3 Να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή καθεμιάς από τις παραστάσεις: α. α β β. α αβ Μονάδες Μονάδες 3 α. Έχουμε α 4 α 4 α 4 4 β 3 8 β 6 6 β 8 8 α β β. Έχουμε Επίσης από τις σχέσεις Συνεπώς α 4 τότε α 4 6 β 8 4 α 6 αβ 3 4 α 6 6 α αβ 48 αβ 3 Σημείωση: Δείτε τον προβληματισμό στην άσκηση _506. ΑΣΚΗΣΗ 6 (_3870) Δίνονται οι παραστάσεις: α. Να δείξετε ότι: Κ Λ και Λ α3 β Κ α β 9 α αβ β α 6α 9 β. Να δείξετε ότι Κ Λ, για κάθε τιμή των α,β. γ. Για ποιες τιμές των α,β ισχύει η ισότητα Κ Λ σας., όπου α, β R Μονάδες 3 Μονάδες 0 ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή Μονάδες α. Έχουμε Κ Λ α β 9 α3 β α α β 9 6α αβ α αβ β α 6α 9 3

33 β. Για κάθε α, β R έχουμε Κ Λ α αβ β α 6α 9 Κ Λ Κεφάλαιο ο: Οι πραγματικοί αριθμοί α β α 3 0 K Λ 0 γ. Έχουμε Κ Λ Κ Λ 0 β α β α 3 0 Εφόσον α β 0 και α 3 0, η ισότητα ισχύει για α β 0 β 3 α 3 0 α 3 ΑΣΚΗΣΗ 7 (_499) Αν για τους πραγματικούς αριθμούς και y ισχύουν: 3 5 και y, να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων βρίσκονται οι τιμές των παραστάσεων: α. y β. y α. Είναι y () και (). Με πρόσθεση κατά μέλη των σχέσεων () και () [μπορώ να προσθέσω κατά μέλη ανισότητες της ίδιας φοράς] έχουμε : 7 y ( ) 4 7 y 4, άρα y 7, 4. (Μονάδες ) (Μονάδες 3) y y y y y 4 () β. Είναι και (). [μπορώ να υψώσω σε οποιαδήποτε θετικό ακέραιο τα μέλη μιας ανισότητας, αρκεί αυτά να είναι θετικοί αριθμοί και αντιστρόφως] Με πρόσθεση κατά μέλη των σχέσεων () και () έχουμε : 0 y 9, άρα y 0, 9. Σχόλια: Τα ερωτήματα α) και β) αντιστοιχούν στην ΑΣΚΗΣΗ Α Ομάδας 4) περιπτώσεις ii) και iv) της. Σημείωση: Δείτε τον προβληματισμό στην άσκηση _506. ΑΣΚΗΣΗ 8 (_759) Δίνονται πραγματικοί αριθμοί α, β με α 0 και β 0. Να αποδείξετε ότι: α. 4 α 4 α 33

34 4 4 β. α β 6 α β Κεφάλαιο ο: Οι πραγματικοί αριθμοί (Μονάδες ) (Μονάδες 3) α) Είναι α 0, άρα: 4 4 α 4 α α 4α α 4 4α α 4α 4 0 α 0 α α που ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό α. β) Από το πρώτο ερώτημα έχουμε ότι: 4 α 4 α α β 4 4 α β 6 4 α β α β β 4 β 34

35 Κεφάλαιο ο: Οι πραγματικοί αριθμοί.3: Απόλυτη τιμή Πραγματικών Αριθμών ΑΣΚΗΣΗ (_504) α) Αν α 0, να αποδειχθεί ότι: β) Αν α 0, να αποδειχθεί ότι: α. α α α Μονάδες 5 Μονάδες 0 α) Έχουμε : α0 α α α α α 0 α 0 α που ισχύει αφού κάθε αριθμός υψωμένος στο τετράγωνο είναι μη αρνητικός. β) Αν α 0 τότε α α, συνεπώς α0,που ισχύει λόγω του ερωτήματος (α). α α α α α α ΑΣΚΗΣΗ (_509) α) Αν α,β 0, να αποδειχθεί ότι: α β β α β) Πότε ισχύει η ισότητα στην ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 5 Μονάδες 0 α) Για α,β 0 α β α β α β α β α β β α β α α β α β α β 0 α β 0 που ισχύει. β) Η ισότητα στην ισχύει αν και μόνο αν: α β α β α β β α β α α β α β α β α β α β 0 α β 0 α β α β 35

36 Κεφάλαιο ο: Οι πραγματικοί αριθμοί ΑΣΚΗΣΗ 3 (_996) Δίνεται η παράσταση Α y 3, με, y πραγματικούς αριθμούς, για τους οποίους ισχύει 4 και y 3. Να αποδείξετε ότι: α. Α y. β. 0 A 4. α. Έχουμε: και y 3 y 3 0 y 3 0 y 3 y 3. Άρα Α y 3 y 3 y. Μονάδες Μονάδες 3 β. Έχουμε: Οπότε προκύπτει: 0 A 4 ΑΣΚΗΣΗ 4 (_009) y 4 y 3 3 y y 0 y 4 Δίνεται η παράσταση A 3 6, όπου ο είναι πραγματικός αριθμός. α. Να αποδείξετε ότι:. Για κάθε, A 3 4. για κάθε, A 8 3 β. Αν για τον ισχύει να αποδείξετε ότι: α.. Αν , οπότε Άρα: A Μονάδες Μονάδες 3. Αν , οπότε Άρα: 36

37 Κεφάλαιο ο: Οι πραγματικοί αριθμοί A β. Για κάθε είδαμε στ α.ερώτημα ότι οπότε : ΑΣΚΗΣΗ 5 (_089) Για κάθε πραγματικό αριθμό με την ιδιότητα 5 < < 0, α) να γράψετε τις παραστάσεις 5 και 0 χωρίς απόλυτες τιμές. β) να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : 5 0 Α 5 0 Μονάδες 0 Μονάδες 5 α) Έχουμε 5 < < 0, άρα οπότε 5 = 5 και οπότε 0 = +0. β) Για να ορίζεται η Α πρέπει να ισχύει 5 0 και 0 0, τα οποία ισχύουν αφού 5 < < 0. Έχουμε, ( 0) A Παρόμοια Άσκηση : Το α ερώτημα μοιάζει με την άσκηση ( Α ομάδας) της παραγράφου.3 του σχολικού βιβλίου. ΑΣΚΗΣΗ 6 (_09) Δίνεται η παράσταση : Α = α) Για < < να δείξετε ότι : Α = 3 Μονάδες 3 β) Για < να δείξετε ότι η παράσταση Α έχει σταθερή τιμή (ανεξάρτητη του ), την οποία και να προσδιορίσετε Μονάδες α) Έχουμε < <, άρα 0 οπότε =. Επίσης, 0 άρα = +. Επομένως, Α = ( + ) = + = 3 β) Αν < τότε θα είναι και <. 37

38 Άρα 0 οπότε = + και 0 οπότε = + Έχουμε, Α = + ( + ) = + + = Κεφάλαιο ο: Οι πραγματικοί αριθμοί Παρόμοιες Ασκήσεις : Το α ερώτημα μοιάζει με την ΑΣΚΗΣΗ (A Ομάδας) της παραγράφου.3 του σχολικού βιβλίου. Το β ερώτημα μοιάζει με την ΑΣΚΗΣΗ 3(A Ομάδας) της παραγράφου.3 του σχολικού βιβλίου. ΑΣΚΗΣΗ 7 (_73) (δείτε σημείωση) Δίνονται δύο τμήματα με μήκη και y, για τα οποία ισχύουν : 3 και y 6 4. α) Να δείξετε ότι 5 και y 0 Μονάδες β) Να βρεθεί η μικρότερη και η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει η περίμετρος ενός ορθογωνίου με διαστάσεις και y Μονάδες 3 α) Έχουμε : και y y y y 0 β) Η περίμετρος του ορθογωνίου με διαστάσεις και y είναι Π = + y + + y = 4 + y. Οπότε αρκεί να βρω τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή του 4 + y. Έχουμε : (4) () () y 0 4 y 0 () Προσθέτοντας κατά μέλη τις () και () έχουμε : y y 40 8 Π 40 Άρα η μικρότερη τιμή της περιμέτρου είναι 8 και πραγματοποιείτε (;) για = και y = (δείτε σημείωση), ενώ μεγαλύτερη τιμή είναι 40 και πραγματοποιείτε (;) για = 5 και y = 0 (δείτε σημείωση). Παρόμοια ΑΣΚΗΣΗ Η παραπάνω άσκηση μοιάζει με την άσκηση 5 (Β Ομάδας) της παραγράφου.3 του σχολικού βιβλίου, με διαφορετική εκφώνηση. Εδώ προβληματιζόμαστε. 38

39 Κεφάλαιο ο: Οι πραγματικοί αριθμοί Μετά από τον προβληματισμό στην άσκηση _506, εδώ έχουμε μια διαφορετική εκφώνηση. Να βρεθεί «η μικρότερη και η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει η παράσταση». Είναι σωστή; Αν έχουμε α β, είναι σωστό να γράφουμε min α και ma β ; Φυσικά ισχύει και είναι μια ισοδύναμη έκφραση που πρέπει να χρησιμοποιούν οι ασκήσεις. ΑΣΚΗΣΗ 8 (_305) α) Να λύσετε την ανίσωση: 4 3 β) Αν α, να γράψετε την παράσταση Α α 4 3 χωρίς απόλυτες τιμές. Να αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας. α) Με τη βοήθεια της ιδιότητας ρ ρ ή ρ έχουμε: ή ή ή Μονάδες Μονάδες 3 β) Από (α) ερώτημα, όταν α, είναι αλλά άρα, οπότε: α 4 3 α Α α 4 3 α 4 3 α α 4 4 α οπότε α 4 α 4 Α α 4 3 α 4 3 α Α α ΑΣΚΗΣΗ 9 (_70) Δίνονται οι παραστάσεις: Α 4 και Β 3 όπου ο είναι πραγματικός αριθμός. α) Για κάθε 3 να αποδείξετε ότι Α Β. Μονάδες 6 β) Υπάρχει,3 ώστε να ισχύει Α Β ; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. Λύση α) Επειδή Μονάδες 9 39

40 Κεφάλαιο ο: Οι πραγματικοί αριθμοί 3 και , οπότε , οπότε Επομένως β) Αν,3, τότε: Α Β 3 Α Β 4 3, απορρίπτεται αφού 3,3 Άρα δεν υπάρχει,3 ώστε Α Β.. ΑΣΚΗΣΗ 0 (_3884) Για τον πραγματικό αριθμό ισχύει: d,3 3 3 α. Να αποδείξετε ότι Μονάδες 3 β. Αν, να αποδείξετε ότι η παράσταση: K 3 3 είναι ανεξάρτητη του Μονάδες 3 α. Έχουμε, d,3 3, άρα d, β. Έχουμε Επίσης οπότε 3 3 Συνεπώς K , δηλαδή η παράσταση K είναι ανεξάρτητη του. ΑΣΚΗΣΗ (_490) Δίνεται πραγματικός αριθμός για τον οποίο ισχύει: 3. 40

41 α. Να αποδείξετε ότι: 5. β. Να απλοποιήσετε την παράσταση: Κεφάλαιο ο: Οι πραγματικοί αριθμοί (Μονάδες ) 5 K. (Μονάδες 3) α. Ισχύει 0 0 0, όπου 0 R και 0. Οπότε έχουμε: β. Έχουμε: 0 () ( 5) 5 5 () Συνεπώς η παράσταση γίνεται: 5 (),() 5 K , δηλαδή K. 3 3 Σχόλια: ) Το α) ερώτημα αντιστοιχεί σε τμήμα της ΑΣΚΗΣΗς Α Ομάδας 7) της.3. Ο μαθητής καλείται να κατανοεί τις τρεις διαφορετικές μορφές του πίνακα της ΑΣΚΗΣΗς ( i) ανισοτική έκφραση με απόλυτη τιμή ii) απόσταση δυο αριθμών, iii) διάστημα ή ένωση διαστημάτων) [στην συγκεκριμένη ΑΣΚΗΣΗ μας ενδιαφέρουν οι περιπτώσεις i) και iii)] και να μπορεί να μετατρέπει την μία μορφή στην άλλη ) Το β) ερώτημα αντιστοιχεί στις ασκήσεις: Α Ομάδας 3) και Β Ομάδας ) της.3, όπου για να απλοποιήσει ο μαθητής τη εκάστοτε παράσταση με απόλυτες τιμές, πρέπει να γνωρίζει τον ορισμό της απόλυτης τιμής και να χρησιμοποιήσει γνωστές ανισοτικές σχέσεις. 3) Είναι ίδια με την _495 ΑΣΚΗΣΗ (_495) Δίνονται πραγματικοί αριθμοί y, για τους οποίους ισχύει y. α. Να αποδείξετε ότι: y,3. β. Να απλοποιήσετε την παράσταση: y y 3 K. (Μονάδες ) (Μονάδες 3) α. Ισχύει 0 0 0, όπου 0 και 0. Οπότε έχουμε: 4

42 y y y 3 Κεφάλαιο ο: Οι πραγματικοί αριθμοί, άρα y,3 β. Επειδή y,3 ισοδύναμα θα έχουμε:. y y 0 y y y y () y 3 y 3 y 3 0 y 3 (y 3) y 3 y 3 () Άρα η δοθείσα παράσταση απλοποιείται ως εξής: y y 3 (),() y 3 y K, δηλαδή K. Σχόλια: ) Το α) ερώτημα αντιστοιχεί σε τμήμα της ΑΣΚΗΣΗς Α Ομάδας 7) της.3. Ο μαθητής καλείται να κατανοεί τις τρεις διαφορετικές μορφές του πίνακα της ΑΣΚΗΣΗς ( i) ανισοτική έκφραση με απόλυτη τιμή ii) απόσταση δυο αριθμών, iii) διάστημα ή ένωση διαστημάτων) [στην συγκεκριμένη ΑΣΚΗΣΗ μας ενδιαφέρουν οι περιπτώσεις i) και iii)] και να μπορεί να μετατρέπει την μία μορφή στην άλλη ) Το β) ερώτημα αντιστοιχεί στις ασκήσεις: Α Ομάδας 3) και Β Ομάδας ) της.3, όπου για να απλοποιήσει ο μαθητής τη εκάστοτε παράσταση με απόλυτες τιμές, πρέπει να γνωρίζει τον ορισμό της απόλυτης τιμής και να χρησιμοποιήσει γνωστές ανισοτικές σχέσεις. 3) Είναι ίδια με την _490 ΑΣΚΗΣΗ 3 (_438) Αν για τον πραγματικό αριθμό ισχύει τότε: α. Να αποδείξετε ότι 0 β. Να διατάξετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους αριθμούς Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Λύση α) Έχουμε,,, (Μονάδες 5) (Μονάδες 0) 0 0 β) Από την υπόθεση είναι 0 και πολλαπλασιάζοντας με 0 έχουμε ότι:. Τελικά είναι. ΑΣΚΗΣΗ 4 (4_87) Δίνεται ένας πραγματικός αριθμός που ικανοποιεί τη σχέση: d, 5 9. α) Να αποδώσετε την παραπάνω σχέση λεκτικά. Μονάδες 5 β) Με χρήση του άξονα των πραγματικών αριθμών, να παραστήσετε σε μορφή διαστήματος το σύνολο των δυνατών τιμών του. 4

43 Κεφάλαιο ο: Οι πραγματικοί αριθμοί Μονάδες 5 γ) Να γράψετε τη σχέση με το σύμβολο της απόλυτης τιμής και να επιβεβαιώσετε με αλγεβρικό τρόπο το συμπέρασμα του ερωτήματος (β). Μονάδες 0 δ) Να χρησιμοποιήσετε το συμπέρασμα του ερωτήματος (γ) για να δείξετε ότι: Μονάδες 5 α) Η ανίσωση d(,5) 9 είναι ισοδύναμη με την πρόταση: «Η απόσταση του από το 5 είναι το πολύ 9». β) Το σύνολο των δυνατών τιμών του παριστάνεται στον παρακάτω άξονα: γ) Για θ>0 ισχύει: Έχουμε d(,5) θ θ ή θ δ) Είναι: και Συνεπώς, άρα άρα ΑΣΚΗΣΗ 5 (4_30) Δίνονται τα σημεία Α, Β και Μ που παριστάνουν στον άξονα των πραγματικών αριθμών τους αριθμούς -, 7 και αντίστοιχα, με - < < 7. α) Να διατυπώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία των παραστάσεων. i) + Μονάδες 4 ii) -7 Μονάδες 4 β) Με τη βοήθεια του άξονα να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία το αθροίσματος: Μονάδες 5 γ) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Κ= γεωμετρικά. 43

44 Κεφάλαιο ο: Οι πραγματικοί αριθμοί Μονάδες 5 δ) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά το προηγούμενο συμπέρασμα. Μονάδες 7 α) Τα σημεία είναι Α(-,0), Β(7,0) και Μ(,0) με - < < 7 (i) Η παράσταση συμβολίζει την απόσταση του Μ από το σημείο Α (ii) Η παράσταση 7 συμβολίζει την απόσταση του Μ από το Β β) Τα σημεία Α, Β και Μ όπως αυτά δίνονται, παριστάνονται στον παρακάτω άξονα: Το άθροισμα 7 είναι το άθροισμα των αποστάσεων του Μ από τα Α,Β. Δηλαδή MA MB AB, άρα το μήκος του ΑΒ. γ) Έχουμε, δ) Έχουμε, άρα Άρα τελικά, K 7 AB d, και 7 0 και -7<0 και 7 7 Κ ΑΣΚΗΣΗ 6 (4_30) Σε έναν άξονα τα σημεία Α, Β και Μ αντιστοιχούν στους αριθμούς 5, 9 και αντίστοιχα. α) Να διατυπώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία των παραστάσεων -5 και -9. Μονάδες 0 β) Αν ισχύει -5 = -9, i) Ποια γεωμετρική ιδιότητα του σημείου Μ αναγνωρίζετε; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 7 ii) Με χρήση του άξονα, να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό που παριστάνει το σημείο Μ. Να επιβεβαιώσετε με αλγεβρικό τρόπο την απάντησή σας. Μονάδες 8 44

45 Κεφάλαιο ο: Οι πραγματικοί αριθμοί α) Η παράσταση 5 συμβολίζει την απόσταση του σημείου Μ από το Α. Η παράσταση 9 συμβολίζει την απόσταση του σημείου Μ από το Β. β) i) Έχουμε, 5 9 (MA) (MB) Τα Α, Β, Μ είναι συνευθειακά και το Μ ισαπέχει από τα Α, Β άρα το Μ είναι μέσον του τμήματος ΑΒ. ii) Τα σημεία Α, Β και Μ όπως αυτά δίνονται, παριστάνονται στον παρακάτω άξονα: Το σημείο Μ παριστάνεται από τον αριθμό 7. Ισχύει α α ή = -α Οπότε έχουμε: ή 5 9 αδύνατη ή =4 =7 ΑΣΚΗΣΗ 7 (4_4946) α) Να λύσετε την ανίσωση -3 5 (Μονάδες 7) β) Να απεικονίσετε το σύνολο των λύσεων της ανίσωσης αυτής πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών και να ερμηνεύσετε το αποτέλεσμα, με βάση τη γεωμετρική σημασία της παράστασης -3 (Μονάδες 5) γ) Να βρείτε όλους τους ακέραιους αριθμούς που ικανοποιούν την ανίσωση -3 5 (Μονάδες 5) δ) Να βρείτε το πλήθος των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν την ανίσωση Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. (Μονάδες 8) α) Έχουμε, β) Η παράσταση 3 γεωμετρικά παριστάνει την απόσταση των αριθμών, 3 (και συμβολίζεται με d,3) Οπότε η ανίσωση 3 5 παριστάνει το σύνολο των πραγματικών αριθμών που απέχουν από το 3 απόσταση μικρότερη ή ίση του 5. 45

46 Δηλαδή Κεφάλαιο ο: Οι πραγματικοί αριθμοί γ) Στο ερώτημα α) βρήκαμε ότι λύση της ανίσωσης 3 5 είναι η 8 Από το προηγούμενο σχήμα που απεικονίζει το σύνολο αυτών των λύσεων πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών παρατηρούμε ότι οι ακέραιοι που ικανοποιούν την παραπάνω ανίσωση είναι οι:,, 0,,,3, 4, 5, 6, 7,8 δ) Έχουμε, , που ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό και Το πλήθος των ακεραίων που βρίσκονται στο παραπάνω διάστημα είναι 8 αρνητικοί ακέραιοι, 8 θετικοί ακέραιοι και το μηδέν, σύνολο: ΑΣΚΗΣΗ 8 (4_779) Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α και β για τους οποίους ισχύει η ανίσωση: α β 0 α) Να αποδείξετε ότι το είναι μεταξύ των α, β. β) Αν επιπλέον β α 4, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Κ α β Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας είτε γεωμετρικά είτε αλγεβρικά. α) Θα δείξουμε ότι: α β ή β α Μονάδες 3 Μονάδες Ένα γινόμενο δύο παραγόντων είναι θετικό όταν οι δύο παράγοντες του γινομένου είναι ομόσημοι δηλαδή ή και οι δύο είναι θετικοί ή και οι δύο είναι αρνητικοί. Οπότε: α 0 και β 0 α και β β α α β 0 ή ή α 0 και β 0 α και β α β Σε κάθε περίπτωση το βρίσκεται ανάμεσα στους αριθμούς α, β. 46

47 Κεφάλαιο ο: Οι πραγματικοί αριθμοί β) Διακρίνοντας περιπτώσεις, η παράσταση Κ γράφεται: Αν β α τότε αβ0 Κ α β α β α β α β β α 4 Αν α β τότε άρα Κ 4. Κ α β α β β α β α 4 β α Γεωμετρική και αλγεβρική ερμηνεία Γνωρίζουμε ότι η απόλυτη τιμή της διαφοράς δύο αριθμών α, β, γεωμετρικά εκφράζει την μεταξύ τους απόσταση και δίνεται από τον τύπο dα,β α β. Όμως οι αριθμοί α, β βρίσκονται εκατέρωθεν του, άρα το άθροισμα α β εκφράζει το άθροισμα των αποστάσεων των αριθμών α, β από τον αριθμό, άρα το άθροισμά τους μας δίνει την απόσταση του α από το β, δηλαδή 4! Αλγεβρικά φαίνεται και ως εξής: α β dα, dβ, dα,β β α 4 Γενίκευση: Αν ο β είναι εκατέρωθεν των α, γ, τότε dα,β dβ,γ dα,γ ΑΣΚΗΣΗ 9 (4_8443) α) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει 4. Μονάδες 0 β) Θεωρούμε πραγματικό αριθμό που η απόστασή του από το 4 στον άξονα των πραγματικών αριθμών είναι μικρότερη από. i) Να αποδείξετε ότι η απόσταση του τριπλασίου του αριθμού αυτού από το 4 είναι μεγαλύτερη του και μικρότερη του 4. Μονάδες 5 ii) Να βρείτε μεταξύ ποιων ορίων περιέχεται η τιμή της απόστασης του 3 από το 9. Μονάδες 0 α) Έχουμε, β) Έχουμε, 4 4 6, άρα,6 α d, i) Θα δείξουμε ότι: d 3, 4 4 Από το υποερώτημα (α) έχουμε, d 3,

48 Κεφάλαιο ο: Οι πραγματικοί αριθμοί ii) Έχουμε, Όμως, d3, αφού Επομένως η απόσταση του 3 από το 9 είναι μεγαλύτερη από και μικρότερη από 3. ΑΣΚΗΣΗ 0 (4_8453) Για τους πραγματικούς αριθμούς α,β ισχύει ότι α β 3 α) Να αποδειχθεί ότι α 3 β) Να βρεθεί μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται ο β. γ) Να βρεθεί μεταξύ ποιών αριθμών βρίσκεται η παράσταση α 3β. Μονάδες 4 Μονάδες 5 Μονάδες 7 δ) Να βρεθεί μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται η παράσταση α β. Μονάδες 9 α) Είναι, β) Είναι, α α α 3 β 3 β 3 β 5 γ) Έχουμε, α 3 α 6 Επίσης β 5 3 3β 5 5 3β 3 Με πρόσθεση κατά μέλη των ανισώσεων και δ) Έχουμε, 3 α 3β 3 παίρνουμε β 5, β 5 5 β αφού είναι ομόσημοι αριθμοί. Έχουμε, α 3, άρα με πολλαπλασιασμό κατά μέλη οι δύο τελευταίες ανισότητες (επιτρέπεται αφού έχουμε θετικά μέλη και την ίδια φορά), γίνονται α 3 5 β 48

49 Κεφάλαιο ο: Οι πραγματικοί αριθμοί Σημείωση: Δείτε τον προβληματισμό στην άσκηση _506.4: Ρίζες Πραγματικών Αριθμών ΑΣΚΗΣΗ (_936) Δίνεται η παράσταση: A 4 4 α) Για ποιες τιμές του ορίζεται η παράσταση A ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες β) Να αποδείξετε ότι η παράσταση A είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του. Μονάδες 3 α) Για να ορίζεται η παράσταση Α επειδή έχει ριζικά πρέπει: 0 και οπότε από τη συναλήθευση των ανισοτήτων έχουμε: 4, - 4 β) Για 4, δηλ. 4 έχουμε: 4 4 και A Παρατηρούμε ότι η παράσταση Α είναι ανεξάρτητη του ΑΣΚΗΣΗ (_938) 3 α. Να δείξετε ότι: β. Να συγκρίνετε τους αριθμούς και Μονάδες Μονάδες 3 α. Έχουμε: ( 30) , που ισχύει. β. Από το α ερώτημα έχουμε ότι: Άρα καταλήγουμε ότι: Οπότε ισχύει: και

50 Κεφάλαιο ο: Οι πραγματικοί αριθμοί ΑΣΚΗΣΗ 3 (_944) Δίνεται η παράσταση: Α 4 6. α. Για ποιες τιμές του ορίζεται η παράσταση Α; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιμών του σε μορφή διαστήματος. β. Για 5, να αποδείξετε ότι: Α Α 6 0. Μονάδες 3 Μονάδες α. Η παράσταση Α ορίζεται για εκείνα τα για τα οποία ισχύει: 4 0 και 6 0 ή ισοδύναμα 4 και 6 οπότε 4,6 β. Για 5 έχουμε ότι: Οπότε: Α Α. Α Α 6 6 Α Α 6 0 ΑΣΚΗΣΗ 4 (_947) Δίνεται η παράσταση: Α 4 4. α. Για ποιες τιμές του ορίζεται η παράσταση Α; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιμών του σε μορφή διαστήματος. β. Αν 4, να αποδείξετε ότι: Α Α 0 5 Μονάδες Μονάδες 3 α. Η παράσταση Α ορίζεται για εκείνα τα για τα οποία ισχύει: 4 0 R, αφού 4 0 για κάθε R Οπότε 4, β. Για 4 έχουμε ότι: Α Α 0 Α 45 Α 5. 50

51 Κεφάλαιο ο: Οι πραγματικοί αριθμοί Οπότε: ΑΣΚΗΣΗ 5 (_950) Α Α Δίνεται η παράσταση: Α. α. Για ποιες τιμές του ορίζεται η παράσταση Α; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιμών του σε μορφή διαστήματος. β. Αν 3, να αποδείξετε ότι: 3 A Α Α 0 Μονάδες 3 Μονάδες α. Η παράσταση Α ορίζεται για εκείνα τα για τα οποία ισχύει: Οπότε, R, αφού 0 για κάθε R β. Για 3 έχουμε ότι: Οπότε: 4 4 Α 3 3 A 4 3 A. 3 3 A Α Α 0 ΑΣΚΗΣΗ 6 (_95) 5 Δίνεται η παράσταση: 5 Β α. Για ποιες τιμές του ορίζεται η παράσταση Β; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιμών του σε μορφή διαστήματος. β. Αν 4, να αποδείξετε ότι: 4 Β 6Β Β Μονάδες 3 Μονάδες α. Η παράσταση Β ορίζεται για εκείνα τα για τα οποία ισχύει: Οπότε, β. Για 4 έχουμε ότι: B 4 5

52 Οπότε: Άρα: ΑΣΚΗΣΗ 7 (_955) Β 6Β και 4 Β 6Β Β Δίνονται οι αριθμοί: Α 6 3 και Β 6 α. Να δείξετε ότι: Α Β 4 Κεφάλαιο ο: Οι πραγματικοί αριθμοί 4 4 Β 6. β. Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς: 3,, α. ος τρόπος: Α Β 4 ος τρόπος: Α Β 4 και οπότε Α Β και οπότε Α Β Μονάδες 3 Μονάδες β. Από το α ερώτημα έχουμε: Οπότε: , 4 και ΑΣΚΗΣΗ 8 (_76) Δίνεται η παράσταση K 3 α) Να βρεθούν οι τιμές που πρέπει να πάρει το, ώστε η παράσταση Κ να έχει νόημα πραγματικού αριθμού Μονάδες β) Αν 3, να αποδείξετε ότι η παράσταση Κ είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του 5