FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo"

Transcript

1 FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo

2 Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f} nazivamo inverznom korespondencijom korespondencije f. A f B A f 1 B DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrree 2 Funkcije - II deo

3 Inverzna funkcija Ako funkciju f : A B posmatramo kao korespondenciju iz A u B, onda možemo govoriti o njenoj inverznoj korespondenciji f 1. U opštem slučaju, to f 1 može, ali ne mora, da bude funkcija. Ako je f 1 funkcija, onda bi smo mogli reći da je to inverzna funkcija za f. Med utim, pojam inverzne funkcije definisaćemo na drugačiji način, a potom ćemo dokazati da funkcija f ima inverznu funkciju ako i samo ako inverzna korespondencija f 1 jeste funkcija, u tom slučaju je baš to f 1 inverzna funkcija od f. DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrree 3 Funkcije - II deo

4 Inverzna funkcija Pre no što definišemo pojam inverzne funkcije, dokazujemo sledeće: Tvrd enje 5: Za svaku funkciju f : A B postoji najviše jedna funkcija g : B A za koju važi f g = I A i g f = I B. Dokaz: Pretpostavimo da su g 1, g 2 : B A dve funkcije sa navedenim osobinama, tj. funkcije za koja važi f g 1 = I A, g 1 f = I B i f g 2 = I A, g 2 f = I B. Tada je, na osnovu asocijativnosti kompozicije funkcija, g 1 = g 1 I A = g 1 (f g 2 ) = (g 1 f) g 2 = I B g 2 = g 2. 4 Funkcije - II deo

5 Inverzna funkcija Dakle, ako za funkciju f : A B postoji funkcija g : B A takva da važi f g = I A i g f = I B, tada je takva funkcija g jedinstvena i nazivamo je inverznom funkcijom funkcije f. Jasno, za svaku funkciju ne mora da postoji inverzna funkcija. DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurreee 5 Funkcije - II deo

6 Značenje uslova f g = I A i g f = I B Razmotrimo značenje uslova f g = I A i g f = I B. On znači da za svaki x A i svaki y B važi g(f(x)) = x i f(g(y)) = y, što je prikazano na sledećoj slici: A B A B x f f(x) g(y) f y g g Drugim rečima, svaka od funkcija f i g poništava onu drugu, tj., vraća nas na stanje pre primene prve funkcije. DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurreee 6 Funkcije - II deo

7 Inverzna korespondencija i funkcija Prirodno se nameće pitanje: U kakvoj su vezi pojmovi inverzne korespondencije i inverznog preslika-vanja (funkcije)? Odgovor na to pitanje daje sledeće tvrd enje: Tvrd enje 6: Neka je data funkcija f : A B i neka je f 1 njena inverzna korespondencija. Tada f ima inverznu funkciju ako i samo ako je f 1 funkcija. U tom slučaju je upravo f 1 inverzna funkcija za f. DiskretneDiskretneDiskretne strukturestrukturestruktue 7 Funkcije - II deo

8 Inverzna korespondencija i funkcija Dokaz: Pretpostavimo da f ima inverzno preslikavanje g, tj. da je f g = I A i g f = I B. (a1) f 1 zadovoljava uslov (i) iz definicije funkcije: Neka je y B. Tada za x = g(y) imamo da je f(x) = f(g(y)) = g f(y) = I B (y) = y, pa je (x, y) f, tj. (y, x) f 1. Dakle, pr 1 f 1 = B, pa f 1 zadovoljava uslov (i) definicije funkcije. 8 Funkcije - II deo

9 Inverzna korespondencija i funkcija (a2) f 1 zadovoljava uslov jednoznačnosti: Dokažimo sada da iz (y, x 1 ) f 1 i (y, x 2 ) f 1 sledi x 1 = x 2. Zaista, odatle dobijamo da je (x 1, y) f i (x 2, y) f, tj. f(x 1 ) = y = f(x 2 ), odakle je x 1 = I A (x 1 ) = f g(x 1 ) = g(f(x 1 )) = = g(f(x 2 )) = f g(x 2 ) = I A (x 2 ) = x 2. Prema tome, f 1 zadovoljava uslov jednoznačnosti. Konačno, iz (a1) i (a2) sledi da je f 1 funkcija. 9 Funkcije - II deo

10 Inverzna korespondencija i funkcija Obratno, neka je f 1 funkcija. Dokazaćemo da je f f 1 = I A f 1 f = I B. i Zaista, neka je x A. Tada za y = f(x) B imamo da je (x, y) f, odakle je (y, x) f 1, tj. f 1 (y) = x. Prema tome, f f 1 (x) = f 1 (f(x)) = f 1 (y) = x = I A (x), čime smo dokazali da je f f 1 = I A. Na potpuno isti način dokazujemo da je f 1 f = I B. Dakle, f 1 je inverzna funkcija funkcije f. U skladu sa prethodnim tvrd enjem, ako funkcija f : A B ima inverznu funkciju, onda je označavamo upravo sa f Funkcije - II deo

11 Inverzna funkcija i bijektivnost Dakle, prema Tvrd enju 6., funkcija f ima inverznu funkciju ako i samo ako njena inverzna korespondencija f 1 jeste funkcija, tj. zadovoljava uslove (i) i (ii) iz definicije funkcije. Uslovi pod kojima f 1 zadovoljava (i) i (ii) iz definicije funkcije dati su sledećim tvrd enjem: Tvrd enje 7: Neka je data funkcija f : A B. Tada a) Inverzna korespondencija f 1 zadovoljava uslov (i) iz definicije funkcije ako i samo ako f jeste sirjekcija. b) Inverzna korespondencija f 1 zadovoljava uslov (ii) iz definicije funkcije ako i samo ako f jeste injekcija. 11 Funkcije - II deo

12 Inverzna funkcija i bijektivnost Dokaz: a) Korespondencija f 1 zadovoljava uslov (i) iz definicije funkcije, tj. pr 1 f 1 = B, ako i samo ako za svaki y B postoji x B tako da je (y, x) f 1. To je dalje ekvivalentno sa tim da je f sirjekcija, jer je (y, x) f 1 ekvivalentno sa (x, y) f, odnosno sa f(x) = y. b) Korespondencija f 1 zadovoljava uslov (ii) iz definicije funkcije, tj. (y, x 1 ) f 1 i (y, x 2 ) f 1 povlači x 1 = x 2, ako i samo ako f(x 1 ) = y i f(x 2 ) = y povlači x 1 = x 2. To je, jasno, ekvivalentno sa tim da je f injekcija. 12 Funkcije - II deo

13 Inverzna funkcija i bijektivnost Konačno, uslovi pod kojima funkcija ima inverznu funkciju dati su sledećim tvrd enjem: Tvrd enje 8: Funkcija f : A B ima inverznu funkciju ako i samo ako je f bijekcija. Dokaz: Dokaz sledi neposredno iz prethodna dva tvrd enja. DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrruuukkktttuuurrreee 13 Funkcije - II deo

14 Svojstva inverzne funkcije Tvrd enje 9: Neka funkcija f : A B ima inverznu funkciju f 1. Tada: (a) f 1 je bijekcija; (b) (f 1 ) 1 = f. Dokaz: S obzirom na Tvrd enje 8., dovoljno je dokazati (b). Tvrd enje (b) sledi neposredno iz Tvrd enja 5, koje kaže da, pošto je f 1 inverzna funkcija za f, važi f f 1 = I A i f 1 f = I B. Zbog simetričnosti ovog uslova sledi da je f inverzna funkcija za f 1. Diskretne strukture 14 Funkcije - II deo

15 Inverzna funkcija primer Primer 1.1. Neka je A = {1, 2, 3, 4} i neka je f : A A funkcija zadata sa ( ) f = (a) Dokazati da je f bijekcija (tj. permutacija skupa A); (b) Odrediti inverznu funkciju f 1. Rešenje: (a) Kako su svi elementi u drugoj vrsti različiti, to na osnovu ranije dokazanog imamo da je f bijekcija, odnosno permutacija. DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruukkktttuuurrreee 15 Funkcije - II deo

16 Inverzna funkcija primer Postupak za odred ivanje inverzne funkcije f 1 prikazan je sledećom animacijom: f = f 1 = DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukktttuuurrreee 16 Funkcije - II deo

17 Inverzna funkcija primer Postupak za odred ivanje inverzne funkcije f 1 prikazan je sledećom animacijom: f = f 1 = Biramo argument 1 u tabeli funkcije f 1 DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrree 16 Funkcije - II deo

18 Inverzna funkcija primer Postupak za odred ivanje inverzne funkcije f 1 prikazan je sledećom animacijom: f = f 1 = Pronalazimo taj isti argument med u slikama u tabeli funkcije f 16 Funkcije - II deo

19 Inverzna funkcija primer Postupak za odred ivanje inverzne funkcije f 1 prikazan je sledećom animacijom: f = f 1 = U tabeli funkcije f nalazimo element 3 koji se slika u f(1) DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrree 16 Funkcije - II deo

20 Inverzna funkcija primer Postupak za odred ivanje inverzne funkcije f 1 prikazan je sledećom animacijom: f = f 1 = Vrednost 3 = f 1 (1) zapisujemo na odgovarajuće mesto u tabeli funkcije f 1 16 Funkcije - II deo

21 Inverzna funkcija primer Postupak za odred ivanje inverzne funkcije f 1 prikazan je sledećom animacijom: f = f 1 = Isti postupak ponavljamo za argument 2 tabeli funkcije f Funkcije - II deo

22 Inverzna funkcija primer Postupak za odred ivanje inverzne funkcije f 1 prikazan je sledećom animacijom: f = f 1 = Funkcije - II deo

23 Inverzna funkcija primer Postupak za odred ivanje inverzne funkcije f 1 prikazan je sledećom animacijom: f = f 1 = Funkcije - II deo

24 Inverzna funkcija primer Postupak za odred ivanje inverzne funkcije f 1 prikazan je sledećom animacijom: f = f 1 = Funkcije - II deo

25 Inverzna funkcija primer Postupak za odred ivanje inverzne funkcije f 1 prikazan je sledećom animacijom: f = f 1 = Funkcije - II deo

26 Inverzna funkcija primer Postupak za odred ivanje inverzne funkcije f 1 prikazan je sledećom animacijom: f = f 1 = Funkcije - II deo

27 Inverzna funkcija primer Postupak za odred ivanje inverzne funkcije f 1 prikazan je sledećom animacijom: f = f 1 = Funkcije - II deo

28 Inverzna funkcija primer Postupak za odred ivanje inverzne funkcije f 1 prikazan je sledećom animacijom: f = f 1 = Funkcije - II deo

29 Inverzna funkcija primer Postupak za odred ivanje inverzne funkcije f 1 prikazan je sledećom animacijom: f = f 1 = Funkcije - II deo

30 Inverzna funkcija primer Postupak za odred ivanje inverzne funkcije f 1 prikazan je sledećom animacijom: f = f 1 = Funkcije - II deo

31 Inverzna funkcija primer Postupak za odred ivanje inverzne funkcije f 1 prikazan je sledećom animacijom: f = f 1 = Funkcije - II deo

32 Inverzna funkcija primer Postupak za odred ivanje inverzne funkcije f 1 prikazan je sledećom animacijom: f = f 1 = Funkcije - II deo

33 Inverzna funkcija primer Postupak za odred ivanje inverzne funkcije f 1 prikazan je sledećom animacijom: f = f 1 = Funkcije - II deo

34 Kombinovani zadatak Primer 1.2. Neka su date funkcije ( ) ( ) f =, g =, h = Odrediti funkciju F = g h 1 f. ( ) Rešenje: Primetimo najpre da je funkcija h bijekcija, jer se u drugoj vrsti njenog matričnog predstavljanja pojavljuju svi elementi iz skupa {1, 2, 3, 4, 5}, pa h zaista ima inverznu funkciju h 1 koja je data sa: ( ) h 1 = Funkcije - II deo

35 Kombinovani zadatak Dalje je ( ) ( ) g h 1 = ( ) =, ( ) ( ) F = (g h 1 ) f = ( ) = DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrree 18 Funkcije - II deo

36 Jezgro funkcije Jezgrom funkcije f : A B (engl. kernel) nazivamo relaciju ker f definisanu na skupu A na sledeći način: (x 1, x 2 ) ker f def f(x 1 ) = f(x 2 ). Tvrd enje 10: Jezgro funkcije f : A B je relacija ekvivalencije na A. Na slici desno vidi se da jednu klasu relacije ker f čine svi oni elementi iz A koji se slikaju i jedan isti element iz B. A f B 19 Funkcije - II deo

37 Jezgro funkcije Važi i obratno tvrd enje: Tvrd enje 11: Za svaku relaciju ekvivalencije na skupu A postoji skup B i funkcija f : A B, tako da je jezgro funkcije f baš to relacija. Dokaz: Neka je ρ relacija ekvivalencije na A i B = A/ odgovarajući faktor skup. Definišimo funkciju f : A A/ tako da se svaki element iz A slika u svoju -klasu, tj. f(x) = [x], za svaki x A. Kako svaki element x A jednoznačno odred uje klasu [x], funkcija f je dobro definisana. DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrree 20 Funkcije - II deo

38 Jezgro funkcije Dalje, imamo da je (x 1, x 2 ) ker f f(x 1 ) = f(x 2 ) (definicija jezgra funkcije) [x 1 ] = [x 2 ] (definicija funkcije f) (x 1, x 2 ) odakle je ker f =. (svojstvo jednakosti klasa), Funkcija f definisana kao u dokazu prethodne teoreme naziva se prirodno preslikavanje relacije ekvivalencije i označava se sa. Jasno, ova funkcija je uvek sirjektivna. DDDiiissskkkrrreeetttnnneee sstttrrruuukkktttuuurrreee 21 Funkcije - II deo

39 Jezgro funkcije Tvrd enje 12: Neka je f : A B proizvoljna funkcija, = ker f je njeno jezgro i ϕ = : A A/ je prirodno preslikavanje relacije ekvivalencije. Tada je sa ψ : [x] ρ f(x) tj. ψ([x] ρ ) = f(x) definisana funkcija iz A/ u B za koju važi: (a) ψ je injektivna funkcija; (b) f = ϕ ψ; (c) ako je f sirjektivna funkcija, onda je ψ bijekcija. 22 Funkcije - II deo

40 Jezgro funkcije Drugim rečima, ovo tvrd enje kaže da postoji funkcija ψ : A/ B takva da sledeći dijagram komutira: A ϕ = A/ f B ψ Pri tome je ψ i injektivna funkcija. Osim toga, važi i sledeće: (d) ψ je jedinstvena injektivna funkcija takva da gornji dijagram komutira. 23 Funkcije - II deo

41 Jezgro funkcije Dokaz: Funkcija ψ je dobro definisana, jer za svaku klasu [x] postoji tačno jedan elemenat iz B u koji se svi elementi te klase preslikavaju funkcijom f to je element f(x). Dakle, definicija ove funkcije ne zavisi od izbora predstavnika klase. (a) Za proizvoljne klase [x 1 ], [x 2 ] A/ važi ψ([x 1 ] ) = ψ([x 2 ] ) f(x 1 ) = f(x 2 ) (definicija funkcije ψ) (x 1, x 2 ) [x 1 ] = [x 2 ] odakle sledi da je funkcija ψ injektivna. (definicija jezgra funkcije) (svojstvo jednakosti klasa), Diskretne strukture 24 Funkcije - II deo

42 Jezgro funkcije (b) Neka je x A. Tada je Dakle, ϕ ψ = f. ϕ ψ(x) = ψ(ϕ(x)) = ψ([x] ) = f(x). (c) Ako je f sirjekcija, onda je ψ i sirjekcija iz A/ na B, što sledi neposredno iz Tvrd enja 4 (b), pa je, dakle, ψ bijekcija. (d) Dokazujemo da je ψ jedinstvena injektivna funkcija takva da gornji dijagram komutira. Pretpostavimo suprotno, da postoji i neka druga injektivna funkcija χ : A/ B, takva da taj dijagram komutira, tj. da je ϕ χ = f. 25 Funkcije - II deo

43 Jezgro funkcije U tom slučaju za proizvoljnu klasu [x] A/ važi: χ([x] ) = χ(ϕ(x)) (jer je ϕ = ) = ϕ χ(x) (definicija kompozicije funkcija) = f(x) (pretpostavka da je ϕ χ = f) = ϕ ψ(x) (jer je ϕ ψ = f) = ψ(ϕ(x)) (definicija kompozicije funkcija) = ψ([x] ) (jer je ϕ = ). Kako ovo važi za proizvoljnu klasu iz A/, to sledi da je χ = ψ. DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkkttuuurrreee 26 Funkcije - II deo

44 Operacije Neka je A neprazan skup i n N 0 je proizvoljan prirodan broj. Proizvoljnu funkciju f : A n A koja slika Dekartov n-ti stepen A n skupa A u sam skup A nazivamo n-arnom operacijom na skupu A. Broj n zovemo arnost ili dužina operacije f. Operacije dužine 2 nazivamo binarne operacije. Operacije dužine 1 nazivamo unarne operacije. Jasno, unarne operacije su obične funkcije iz A u A. Operacije dužine 0 nazivamo nularne operacije. 27 Funkcije - II deo

45 Nularne operacije Nularne operacije su karakteristične, pa ćemo se nešto više zadržati na njima da bi pojasnili njihovo dejstvo. Naime, nularna operacija je preslikavanje f : A 0 A. Kako se skup A 0 sastoji iz samo jednog elementa, to se tim preslikavanjem zapravo fiksira jedan element konstanta f( ) A. A 0 f f( ) A Zato umesto o nularnim operacijama na skupu A često radije govorimo o izboru i fiksiranju izvesnih konstanti u tom skupu. 28 Funkcije - II deo

46 Binarne operacije Binarne operacije su operacije koje se najviše koriste u matematici. Kako najčešće radimo upravo sa njima, to ih obično nazivamo samo operacije, ako je iz konteksta jasno da se radi o binarnim operacijama. Ako je f binarna operacija na skupu A, proizvod f(a, b) elemenata a i b iz A, tj. rezultat primene operacije f na te elemente, radije označavamo sa a f b. Takod e, za označavanje binarnih operacija najčešće koristimo simbole, +,, i slično. Rezultat primene te operacije na elemente a, b A označavamo sa a b, a + b, a b ili a b. Umesto a b obično pišemo samo ab, tj. izostavljamo tačku. 29 Funkcije - II deo

47 Primeri operacija (a) Sabiranje i množenje prirodnih, celih, racionalnih, realnih i kompleksnih brojeva su binarne operacije na skupovima N, Z, Q, R i C (ovo poslednje je oznaka za skup kompleksnih brojeva). Sabiranje označavamo znakom + a množenje znakom, pri čemu, kao što smo rekli, tačku obično izostavljamo. (b) Unija, presek, razlika i simetrična razlika skupova su binarne operacije, dok je komplement unarna operacija na partitivnom skupu P(U) skupa U. 30 Funkcije - II deo

48 Predstavljanje operacija Ako je A = {a 1, a 2,..., a n } konačan skup, onda operaciju na tom skupu možemo predstaviti takozvanom Kejlijevom tablicom, kod koje vrste i kolone tabele su označene elementima iz skupa A; u ćeliji tabele koja pripada vrsti elementa a i i koloni elementa a j ubeležen je njihov proizvod a i a j. a 1 a 2 a j a n a 1 a 1 a 1 a 1 a 2 a 1 a j a 1 a n a 2 a 2 a 1 a 2 a 2 a 2 a j a 2 a n a i a i a 1 a i a 2 a i a j a i a n a n a n a 1 a n a 2 a n a j a n a n 31 Funkcije - II deo

49 Predstavljanje operacija Što se tiče unarnih operacija na skupu A = {a 1, a 2,..., a n }, i njih možemo predstaviti tablicom. Naime, ako je f : A A unarna operacija, tada se ona predstavlja tablicom sledećeg oblika: f a 1 f(a 1 ) a 2 f(a 2 ).. a i f(a i ).... a n f(a n ) 32 Funkcije - II deo

50 Primer Bulove operacije Na skupu B = {0, 1} definišimo unarnu operaciju i četiri binarne operacije,, i pomoću sledećih tablica: Iz tablica se jasno vidi da su 1 i 0 samo drugačije oznake logičkih vrednosti (tačno) i (netačno), tim redom; da su negacija, konjunkcija, disjunkcija, implikacija, i ekvivalencija, standardne logičke operacije. 33 Funkcije - II deo

51 Primer Bulove operacije Ove operacije nazivamo i Bulovim operacijama, u čast Džordža Bula (George Boole), britanskog matematičara iz 19. veka, tvorca matematičke logike i savremene algebre. Kao što već znamo, ured ena šestorka (B,,,,, ) naziva se iskazna algebra. 34 Funkcije - II deo

52 Svojstva operacija Navešćemo samo neka osnovna svojstva koja mogu imati binarne i unarne operacije. Neka je binarna operacija na skupu A. Operacija je asocijativna ako za sve a, b, c A važi (a b) c = a (b c); komutativna ako za sve a, b A važi a b = b a; idempotentna ako za svaki a A važi a a = a. 35 Funkcije - II deo

53 Svojstva operacija Neka su i + binarne operacija na skupu A. Operacija je distributivna u odnosu na + ako za sve a, b, c A važi: a (b + c) = (a b) + (a c) i (b + c) a = (b a) + (c a). Neka je : a a unarna operacija, a je binarna operacija na skupu A. Operacija je involutivna u odnosu na ako za proizvoljne a, b A važi i za proizvoljan a A važi (a b) = b a, (a ) = a 36 Funkcije - II deo

54 Još primera operacija (a) Operacije + sabiranja i množenja prirodnih, celih, racionalnih, realnih ili kompleksnih brojeva su komutativne i asocijativne. Operacija množenja je distributivna u odnosu na sabiranje, ali ne važi obratno sabiranje nije distributivno u odnosu na množenje, jer je, na primer, 2 + (3 4) = = 14, (2 + 3) (2 + 4) = 5 6 = 30. (b) Operacija kompozicije relacija je distributivna u odnosu na uniju, ali nije u odnosu na presek (Videti Tvrd enje 3. iz dela o relacijama). (c) Operacija preseka skupova je distributivna u odnosu na uniju, a važi i obratno, unija je distributivna u odnosu na presek. DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrree 37 Funkcije - II deo

55 Još primera operacija (b) Operacija 1 : 1 inverzije relacija je involutivna u odnosu na kompoziciju relacija, tj. ( θ) 1 = θ 1 1, ( 1 ) 1 =, za proizvoljne relacije i θ na datom skupu A. Isto to važi i za inverziju i kompoziciju korespondencija i funkcija. Pitanje: Da li je inverzija matrica involutivna i u odnosu na presek i uniju relacija? 38 Funkcije - II deo

56 Nizovi Neka je A proizvoljan neprazan skup. Niz elemenata iz skupa A formalno matematički definišemo kao funkciju f : N A iz skupa N prirodnih brojeva u A. Niz se najčešće navodi samo skupom vrednosti. Naime, za svaki i N stavljamo da je f(i) = a i, i u tom slučaju niz predstavljamo kao a 1, a 2,..., a n,... ili (a i ) i N Za ovakav niz kažemo i da je indeksiran skupom prirodnih brojeva N, jer se pri označavanju elemenata niza kao indeksi koriste prirodni brojevi. DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurreee 39 Funkcije - II deo

57 Obostrano beskonačni nizovi Pored skupova indeksiranih skupom prirodnih brojeva, u matematici se izučavaju i skupovi indeksirani skupom Z celih brojeva. To su takozvani obostrano beskonačni nizovi, koji se definišu kao funkcije f : Z A, i predstavljaju kao (a i ) i Z ili..., a n,..., a 2, a 1, a 0, a 1, a 2,..., a n,... gde je a i = f(i), za svaki i Z. Razlog zbog čega se ovi nizovi nazivaju obostrano beskonačnim je očigledan. U tom pogledu, nizovi indeksirani prirodnim brojevima su beskonačni samo sa jedne strane. DDDiiissskkkrrreeetttnnneee ssstttrrruuukkktttuuurrree 40 Funkcije - II deo

58 Konačni nizovi Dakle, nizove elemenata iz skupa A smo definisali kao funkcije iz skupa prirodnih brojeva u skup A. Na isti način konačan niz elemenata iz A možemo definisati kao funkciju f : N n A, gde je n N i N n = {1, 2,..., n} je skup prvih n prirodnih brojeva. Takve nizove označavamo sa (a i ) i Nn, (a i ) n i=1, (a 1, a 2,..., a n ) ili a 1, a 2,..., a n Broj n je broj elemenata u nizu ili dužina niza. Jasno, konačan niz dužine n nije ništa drugo do ured ena n-torka elemenata iz A. 41 Funkcije - II deo

59 Konačni nizovi Konačan niz dužine n u nekim prilikama zovemo i vektor dužine n. U nekim primenama, konačan niz dužine n elemenata iz skupa A predstavljamo i bez pisanja zagrada i zapeta, na sledeći način: x 1 x 2... x n Konačne nizove koje predstavljamo na ovaj način zovemo rečima ili stringovima elemenata iz skupa A. U tom slučaju, uobičajeno je da se skup A naziva alfabet, a njegovi elementi slova. Kada kažemo niz mislimo na beskonačan niz, a kada radimo sa konačnim nizovima, onda uvek govorimo konačan niz. 42 Funkcije - II deo

60 Jednakost nizova Potsetimo se da su dve funkcije f : A B i g : C D jednake ako i samo ako je A = C, B = D, i za svaki x A je f(x) = g(x). Budući da su i nizovi definisani kao funkcije, to znači da su dva niza f : N A i g : N A jednaka ako i samo ako je f(i) = g(i), za svaki i N, odnosno, dva niza (a i ) i N i (b i ) i N elemenata iz skupa A su jednaka ako i samo ako je a i = b i, za svaki i N. Slično važi i za nizove indeksirane skupom celih brojeva. 43 Funkcije - II deo

61 Jednakost nizova Ako definiciju jednakosti funkcija primenimo na konačne nizove, onda su dva konačna niza f : N m A i g : N n A (gde su m, n N) jednaka ako i samo ako je m = n i f(i) = g(i), za svaki i N n. Drugim rečima, dva konačna niza a 1, a 2,..., a m i b 1, b 2,..., b n su jednaka ako i samo ako je m = n i a i = b i, za svaki i N n. Drugim rečima, jednakost konačnih nizova se svodi na jednakost ured enih n-torki. 44 Funkcije - II deo

62 Višedimenzionalni nizovi Funkciju f : N N A, koja slika Dekartov kvadrat N N skupa prirodnih brojeva u dati skup A nazivamo dvodimenzionalnim nizom elemenata iz skupa A. Ako za proizvoljan par (i, j) N N stavimo da je f(i, j) = a i,j ili f(i, j) = a ij, onda dvodimenzionalni niz predstavljamo kao (a i,j ) i,j N, ili kao dvodimenzionalnu pravougaonu šemu a 1,1 a 1,2... a 1,j... a 2,1 a 2,2... a 2,j a i,1 a i,2... a i,j Funkcije - II deo

63 Višedimenzionalni nizovi Na isti način definišemo i obostrano beskonačni dvodimenzionalni niz, tj. dvodimenzionalni niz indeksiran skupom celih brojeva. Takod e, za proizvoljan prirodan broj n, n-dimenzionalni niz elemenata iz skupa A možemo definisati kao funkciju f : N n A, koja slika Dekartov n-ti stepen skupa N prirodnih brojeva u skup A. 46 Funkcije - II deo

64 Matrice Konačan dvodimenzionalni niz ili matricu elemenata iz skupa A definišemo kao funkciju f : N m N n A, gde su m i n neki prirodni brojevi. Za tu matricu kažemo da je formata m n (čitamo m puta n ), ili da je m n-matrica. Ako za proizvoljan par (i, j) N m N n stavimo da je f(i, j) = a i,j ili f(i, j) = a ij, onda matricu predstavljamo kao pravougaonu šemu a 1,1 a 1,2... a 1,n a 2,1 a 2,2... a 2,n a m,1 a m,2... a m,n 47 Funkcije - II deo

65 Dekartov proizvod familije skupova Familija skupova {A i i I} indeksirana skupom I, koju smo ranije definisali, zapravo je funkcija koja svakom indeksu i I pridružuje jedan skup A i. Specijalno, za I = N, govorimo o nizu skupova A 1, A 2,..., A n,.... Neka je {A i i I} familija skupova. Dekartov proizvod ili direktan proizvod familije skupova {A i i I}, u oznaci i I A i, definiše se kao skup svih preslikavanja f : I i I A i takvih da je f(i) A i, za svaki i I, tj. def A i = {f f : I A i, f(i) A i za svaki i I}. i I i I 48 Funkcije - II deo

66 Dekartov proizvod familije skupova U slučaju kada je I = N n, dobijamo uobičajenu definiciju Dekartovog proizvoda n skupova A 1, A 2,..., A n. Zbog analogije sa ured enim n-torkama i nizovima, element f i I A i def često označavamo sa (a i ) i I, gde je a i = f(i), za svaki i I. Pri tome a i nazivamo i-tom koordinatom od f. Funkciju π i : i I A i A i definisanu sa π i (f) def = f(i), odnosno sa π i ((a i ) i I ) def = a i, nazivamo i-ta projekcija ili i-ta projekciona funkcija. 49 Funkcije - II deo

67 Dekartov proizvod familije skupova Da li svaka neprazna familija nepraznih skupova ima neprazan Dekartov proizvod? Postojanje Dekartovog proizvoda proizvoljne familije skupova ekvivalentno je sa tzv. Aksiomom izbora, koja glasi: Za proizvoljnu familiju nepraznih skupova {A i i I} postoji skup koji se sastoji od po jednog elementa svakog skupa iz te familije. 50 Funkcije - II deo

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Relacije poretka ure denja

Relacije poretka ure denja Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia. Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić

Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić Diskretna matematika Prof. dr Olivera Nikolić onikolic@singidunum.ac.rs 1 OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE 2 1. Diskretna matematika 2. Kontinualna matematika 3 Pojam diskretne matematike Diskretna matematika

Διαβάστε περισσότερα

1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja...

1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja... Sadržaj 1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA 3 1.1 Zadaci............................... 6 1.2 Rešenja.............................. 8 2 SKUPOVI 13 2.1 Zadaci............................... 16 2.2 Rešenja..............................

Διαβάστε περισσότερα

Matematička logika. novembar 2012

Matematička logika. novembar 2012 Predikatska logika 1 Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia novembar 2012 1 različiti nazivi: predikatska logika, logika prvog

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

KURS IZ MATEMATIKE I

KURS IZ MATEMATIKE I UČITELJSKI FAKULTET U SOMBORU dr Aleksandar Petojević KURS IZ MATEMATIKE I TEORIJA I REŠENI ZADACI Sombor, 2003. Glava 1 Matematička logika 1.1 Teorija Definicija 1. Iskazi su one rečenice o kojima ima

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

Elementarna matematika - predavanja -

Elementarna matematika - predavanja - Elementarna matematika - predavanja - February 11, 2013 2 Sadržaj I Zasnivanje brojeva 5 I.1 Peanove aksiome............................. 5 I.2 Celi brojevi................................ 13 I.3 Racionalni

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Osnovno svojstvo iskaza, ma kako složen bio, jeste da je on ili tačan, ili netačan.

Osnovno svojstvo iskaza, ma kako složen bio, jeste da je on ili tačan, ili netačan. Iskazna algebra Osnovno svojstvo iskaza, ma kako složen bio, jeste da je on ili tačan, ili netačan. Da bi se pravila za odred ivanje istinitosti precizno formalizovala, uvodi se sledeća matematička struktura.

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Iskazni (propozicioni) račun

1.1 Iskazni (propozicioni) račun 1 Osnovi matematičke logike i teorije skupova 3 1 Osnovi matematičke logike i teorije skupova 1.1 Iskazni (propozicioni) račun Osnovni elementi iskaznog računa su iskazi (rečenice) i veznici. Iskaz ili

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama

Διαβάστε περισσότερα

(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t)

(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t) Izvodi Definicija. Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke a. Prvi izvod funkcije f u tački a je Prvi izvod funkcije f u tački : f f fa a lim. a a f lim 0 Izvodi višeg reda funkcije

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

Aksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0.

Aksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0. Aksioma zamene Aksioma zamene opisuje sledeće: ako je P (x, y) neko svojstvo parova skupova (x, y) takvo da za svaki skup x postoji tačno jedan skup y takav da par (x, y) ima svojstvo P, tada za svaki

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003. Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je

Διαβάστε περισσότερα

4 Matrice i determinante

4 Matrice i determinante 4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Dragan S. Djordjević Niš, 2009. 0 Sadržaj Predgovor 3 1 Metrički prostori 5 1.1 Primeri metričkih prostora................. 5 1.2 Konvergencija nizova i osobine

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe,

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, O SKUPOVIM Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, skupine, mnoštva neke vrste objekata, stvari, živih bića i dr. Tako imamo skup stanovnika nekog grada, skup

Διαβάστε περισσότερα

Norme vektora i matrica

Norme vektora i matrica 2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIONALNO GUSTE RELACIONE ALGEBRE

FUNKCIONALNO GUSTE RELACIONE ALGEBRE UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ivan Prokić FUNKCIONALNO GUSTE RELACIONE ALGEBRE -master teza- Novi Sad, 2014 Sadržaj Predgovor 1 1 Uvod 3 1.1

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

1. Funkcije više promenljivih

1. Funkcije više promenljivih 1. Funkcije više promenljivih 1. Granične vrednosti funkcija više promenljivih Definicija 1. Funkcija f : D( R n R ima graničnu vrednost u tački (x 0 1, x 0 2,..., x 0 n D i jednaka je broju α R ako važi

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 { fiziqka hemija

Matematika 1 { fiziqka hemija UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

O Šturmovim rečima i njihovim primenama u teoriji brojeva

O Šturmovim rečima i njihovim primenama u teoriji brojeva UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Kristina Ago O Šturmovim rečima i njihovim primenama u teoriji brojeva - Master rad- Mentor: dr Bojan Bašić

Διαβάστε περισσότερα

Predavanje 7. Napredna poglavlja teorije skupova; Booleove algebre višeg reda; Digitalne i analogne veličine. Dinko Osmanković

Predavanje 7. Napredna poglavlja teorije skupova; Booleove algebre višeg reda; Digitalne i analogne veličine. Dinko Osmanković Predavanje 7 Napredna poglavlja teorije skupova; Booleove algebre višeg reda; Digitalne i analogne veličine Dinko Osmanković Kurs: Matematička logika i teorija izračunljivosti Sadržaj predavanja 1 Prirodni

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. skripta. Januar 2013.

Linearna algebra. skripta. Januar 2013. Linearna algebra skripta Januar 3 Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNO PROGRAMIRANJE

KONVEKSNO PROGRAMIRANJE KONVEKSNO PROGRAMIRANJE 1 Sadržaj Konveksni skupovi Konveksne funkcije Optimalnost Dualnost Neke metode u (KP) Rješenja Osnovni pojmovi Simboli Uvod Neka je f realna funkcija sa domenom D(f) R n, i neka

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja 2016. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je I kolekcija svih ograničenih jednodimenzionalnih intervala

Διαβάστε περισσότερα

Sintaksa i semantika u logici

Sintaksa i semantika u logici Sintaksa i semantika u logici PMF Matematički odsjek Sveučilište u Zagrebu 13. listopad 2012., Zadar Sintaksa i semantika u logici 1 / 51 1. Logika sudova 1.1. Sintaksa jezik 1.2. Semantika logike sudova

Διαβάστε περισσότερα

DELJIVOST CELIH BROJEVA

DELJIVOST CELIH BROJEVA DELJIVOST CELIH BROJEVA 1 Osnovne osobine Definicija 1.1 Nea su a 0 i b celi brojevi. Ao postoji ceo broj m taav da je b = ma, onda ažemo da je a delitelj ili fator broja b, b je sadržalac, višeratni ili

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Prsteni neprekidnih funkcija

Prsteni neprekidnih funkcija 0 Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Prsteni neprekidnih funkcija Master rad Student: Damjan Kocić Mentor: Prof. dr Vladimir Pavlović Niš, Oktobar 2013. Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA

PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA 1. Prvo predavanje - funkcije i prirodni brojevi Cilj predavanja u prvoj sedmici je podsećanje na skupove brojeva koji su se koristili u prethodnom školovanju,

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα