Sadrˇzaj. Sadrˇzaj MATEMATIČKA STATISTIKA DESKRIPTIVNA STATISTIKA Ponovimo... 15

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Sadrˇzaj. Sadrˇzaj MATEMATIČKA STATISTIKA DESKRIPTIVNA STATISTIKA Ponovimo... 15"

Transcript

1 Sadrˇzaj Sadrˇzaj 1 11 MATEMATIČKA STATISTIKA DESKRIPTIVNA STATISTIKA Poovimo

2 Radi materijal

3 Poglavlje 11 MATEMATIČKA STATISTIKA Matematička statistika je zastvea disciplia koja provjerava matematičke modele slučajog pokusa u realosti. Proučava svojstva slučajog uzoraka i doosi zaključke o populaciji iz koje je uzet slučaji uzorak. Statističke metode daju zaključke s ekom vjerojatošću pa se temelje a teoriji vjerojatosti. Deskriptiva statistika bavi se uredivajem prikupljeih, empirijskih podataka, jihovim grafičkim prikazivajem i opisivajem pomoću umeričkih vrijedosti: prosjek, stadarda devijacija, korelacijski koeficijet,... Iduktiva statistika (Iferecijala statistika )bavi se metodama koje se zasivaju a teoriji vjerojatosti i koje omogućavaju da se doose zaključci o populaciji pomoću uzoraka iz populacije. Tri pravca u matematčkoj statistici (iduktivoj statististici) su: teorija procjee, teorija testiraja statističkih hipoteza, teorija plairaja eksperimeata. U teoriji procjee osvut ćemo se a: točkaste procjeitelje, metodu max vjerojatosti za odredivaje procjeitelja,tko želi zati više itervale povjereja za procjeitelje za parametre ormale razdiobe. U teoriji testiraja osvut ćemo se a: test hipoteze o parametrima ormale razdiobe, 3

4 Teorija plairaja eksperimeta razvija metodu sekvecijale aalize, broj promatraja je slučaja, pa se provjera statstičkih hipoteza ovom metodom izvodi postepeo, u etapama. Hipoteza se može prihhvatiti, odbiti ili produžiti eksperimet. Radi materijal 4

5 11. MATEMATIČKA STATISTIKA 11.1 DESKRIPTIVNA STATISTIKA Defiicija 11.1 (POPULACIJA) Populacija (osovi skup, statistički skup) je skup svih elemeata od kojih bismo mogli uzeti podatke o odredeim veličiama. Populacija može biti koača ili beskoača. PRIMJER 11.1 Populacija - sve obitelji u jedoj zgradi. Veličie koje možemo razmatrati: broj djece, mjeseči dohodak.. Defiicija 11. (STATISTIČKA VARIJABLA-OBILJEŽJE) Statističko obilježje (vaijabla) je umeričko svojstvo elemeata statističkog skupa. Ako je skup vrijedosti R(X) statističkog obilježja diskreta oda za X kažemo da je diskreto obilježje, a ako je R(X) R kažemo da je kotiuirao obilježje. Uzorak je podskup populacije koji uzimamo a uaprijed odrede ači. Defiicija 11.3 (FREKVENCIJA, RELATIVNA FREKVENCIJA, KUMULATIVNA RELATIVNA FREKVENCIJA, ARITMETIČKA SREDINA, VARIJANCA, STANDARDNA DEVIJACIJA) Neka je X statističko obilježje i eka se mjereje poovi, koačo mogo puta (ezaviso) i dobije statističkih podataka x i, i = 1,..,. Slika R(X)={x, k = 1,.., r} k sadrži r različitih statističkih podataka. Ako se x k pojavi f k puta oda kažemo da x k pripada frekvecija f k i relativa frekvecija f k, za k = 1,.., r. f Vrijedi: f k =, k = 1. k=1 k=1 Za x R kažemo da ima kumulativu relativu frekveciju F (x)= Aritmetička redia statističkih podataka x i, i = 1,.., : x = 1 x i, x = 1 x k f k. Varijaca statističkih podataka x i, i = 1,.., : σ = 1 (x i x) = 1 σ = 1 Stadarda devijacija je σ. (x k x) f k = 1 k=1 k=1 x i x, (x k ) f k x. k=1 k, x k x f k. 5 Radi materijal

6 11.1. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Statističke podatke koji se dobiju mjerejem statističkog obilježja X možemo prikazati: tabličo: tablicom frekvecija i tablicom relativih frekvecija, grafički: grafikoom frekvecija, relativih frekvecija, kumulativih frekvecija, histogramom (ad dobiveim podacima x acrtai su pravokutici visie jed- k ake frekveciji f k ili relativoj frekveciji f k ), poligoom (izlomljea liija koja spaja točke (x k, f k)). Ako je veliki i skup vrijedosti ima veliki broj elemeata (posebo kod kotiuirae slučaje varijable-statističkog obilježja) formiramo r razreda. Prilikom tabličog i grafičkog prikazivaja vrijedosti slučajog uzorka a apscisu aosimo r poditervala (razreda), sa srediama razreda x, a a ordiatu sumu frekvecija f k elemeata iz tog ksr razreda. Broj razreda r poekad se račua po formulama: r =, r = 3. U praksi se koristi slijedeća shema za izbor broja razreda: r > PRIMJER 11. Mjerejem kotiuirae slučaje varijable X= prosječe težie studeata jedog turusa a uzorku veličie 100 dobivea je vrijedost slučajog uzorka (x 1, x,..., x 100 ) daa u tablici: razred x ksr f k f k F (x) ,05 0, ,18 0, ,4 0, ,7 0, ,08 1,00 ukupo =100 1,00 Relative frekvecije odgovaraju pojmu statističke vjerojatosti. P(66 < X < 68) 0, 4 Radi materijal 6

7 11. MATEMATIČKA STATISTIKA f_{i} f i ((f_{i})/) f i 45 0, ,4 35 0, ,3 5 0 f_{i} f i 0,5 0, f i/ ((f_{i})/) f i 15 0, ,1 0, Slika 11.1: Histogrami frekvecija i relativih frekvecija iz primjera , F (x) F_(x) 1 0,8 0,6 F(x) 0,4 0, Slika 11.: Graf kumulativih relativih frekvecija iz primjera 11.. Defiicija 11.4 (STATISTIČKA RAZDIOBA) Statističko obilježje (slučaja varijabla) X sa skupom vrijedosti R(X) opisao grafom relativih frekvecija ili grafom kumulativih relativih frekvecija ima statističku fukciju distribucije F (x). Slučaja varijabla X ima i teorijsku fukciju distribucije F(x). 7 Radi materijal

8 11.1. DESKRIPTIVNA STATISTIKA TEOREM 11.1 (GLIVENKO) oda je Ako su vrijedosti u uzorku slučaje varijable X (statističkog obilježja) ezavisi, P( sup F (x) F(x) 0) = 1, kad. <x< Kad je uzorak dovoljo velik, oda se s vjerojatošću skoro 1 statistička razdioba malo razlikuje od teorijske razdiobe. Defiicija 11.5 (Kvatil, medija, prvi kvartil, treći kvartil) Ako je F fukcija distribucije slučaje varijable X oda se rješeje jedadžbe F(x p ) = p zove kvatil reda p. Medija Me = x 0.5 ; F(Me) = 0.5 tj. P(X Me) = 0.5 Prvi kvartil Q 1 = x 0.5 ; F(Q 1 ) = 0.5 tj. P(X Q 1 ) = 0.5 Drugi kvartil Q = x 0.5 = Me Treći kvartil Q 3 = x 0.75 ; F(Q 3 ) = 0.75 tj. P(X Q 3 ) = 0.75 PRIMJER 11.3 Račuaje medijaa statističkog obilježja X: (A) Ako je iz statističkih podataka, vrijedosti ekog statističkog obilježja X rastući x 1 x... x, oda je Me = x +1, za epara; x + x +1, za para. PRIMJER 11.4 Odredite medija za zadai iz statističkih podataka , =9, epara. Me = x +1 = x 5 = 6. PRIMJER 11.5 Račuaje medijaa statističkog obilježja X: (B) Ako su vrijedosti statističkog obilježja date u razredima s odgovarajućim frekvecijama f i oda je gdje je k izabra tako da je Me = L Me + d ( f 1 + f f k ), F k = ( f 1 + f f k ) f 1 + f f k + = F k+1, L Me je lijevi rub k + 1 razreda, d je širia razreda. Radi materijal 8

9 11. MATEMATIČKA STATISTIKA PRIMJER 11.6 Račuaje prvog kvartila statističkog obilježja X: (A) Ako je iz statističkih podataka, vrijedosti ekog statističkog obilježja X rastući x 1 x... x, oda je x cijelo( 4 +1), za ije djeljiv s 4; Q 1 = x 4 + x 4 +1, za djeljiv s 4. PRIMJER 11.7 Odredite prvi kvartil za iz statističkih podataka , = 9, ije djeljiv s 4. Q 1 = x cijelo( 4 +1) = x 3 = 4. PRIMJER 11.8 Račuaje prvog kvartila statističkog obilježja X: (B) Ako su vrijedosti statističkog obilježja date u razredima s odgovarajućim frekvecijama f i oda je gdje je k izabra tako da je Q 1 = L Q1 + d 4 ( f 1 + f f k ), F k = ( f 1 + f f k ) 4 f 1 + f f k + = F k+1, L Q1 je lijevi rub k + 1 razreda, d je širia razreda. PRIMJER 11.9 Račuaje trećeg kvartila: (A) Ako je iz statističkih podataka, vrijedosti ekog statističkog obilježja X rastući x 1 x... x, oda je x cijelo( ), za ije djeljiv s 4; Q 3 = x 3 + x , za djeljiv s 4. PRIMJER Odredite treći kvartil iz statističkih podataka , = 9, ije djeljiv s 4. Q 3 = x cijelo( ) = x 7 = 8. PRIMJER Račuaje trećeg kvartila: (B) Ako su vrijedosti statističkog obilježja date u razredima s odgovarajućim frekvecijama f i oda je Q 3 = L Q3 + d 3 4 ( f 1 + f f k ), 9 Radi materijal

10 11.1. DESKRIPTIVNA STATISTIKA gdje je k izabra tako da je F k = ( f 1 + f f k ) 3 4 f 1 + f f k + = F k+1, L Q3 je lijevi rub k + 1 razreda, d je širia razreda. Defiicija 11.6 (MOD) Mod je vrijedost statističkog obilježja koja ima ajveću frekveciju. Može se dogoditi da mod e postoji ili da postoji više modova. PRIMJER 11.1 Odredite mod iza statističkih podataka x i f i x i = 8 ima maksimalu frekveciju f i = 3, Mo = 8. PRIMJER Račuaje moda: Ako su vrijedosti statističkog obilježja date u razredima s odgovarajućim frekvecijama f i oda je Mo = L Mo + d 1 1 +, gdje je k izabra tako da je f k maksimala, L Mo je lijevi rub k tog razreda, d je širia razreda, 1 = f k f k 1, = f k. Defiicija 11.7 (koeficijet varijacije) Koeficijet varijacije je relativa mjera stadarde devijacija i račua se a dva ačia K V = σ x 100 ili pomoću kvartila K V = Q 3 Q 1 Q 3 + Q 1. Defiicija 11.8 (koeficijet asimetrije-eg. skewess) Koeficijet asimetrije za slučaju varijablu X je broj K A koji karakterizira simetriju razdiobe i defiira se kao kvocijet trećeg cetralog mometa i kuba stadarde devijacije σ : K A = µ 3 σ 3. Radi materijal 10

11 11. MATEMATIČKA STATISTIKA Defiicija 11.9 Koeficijet asimetrije statističkog obilježja X, ako su vrijedosti statističkog obilježja date kao iz x i s frekvecijama f i, i = 1,..., r, defiira se kao gdje je µ 3 = 1 σ = 1 K A = µ 3 σ 3, (x isr x)3 f i, ( f i = ); (x isr x) f i, ( f i = ). NAPOMENA 11.1 Ako je K A = 0 oda je razdioba frekvecija simetriča u odosu a pravac x = x oda se poklapaju x = Me = Mo. (Normala razdioba ima K A = 0) i _ x=me=mo i Ako je K A > 0 oda je razdioba frekvecija asimetriča u odosu a pravac x = x, asimetrija je pozitiva i vrijedi x > Me > Mo. Ako je K A < 0 oda je razdioba frekvecija asimetriča u odosu a pravac x = x, asimetrija je egativa i vrijedi x < Me < Mo. Defiicija (koeficijet spljošteosti (eksces)-egl. kurtosis) Koeficijet spljošteosti slučaje varijable X je broj K E koji karakterizira zaobljeost razdiobe i defiira se kao pomoću kvocijeta četvrtog cetralog mometa i četvrte potecije stadarde devijacije σ : K E = µ 4 σ 4 3. Defiicija Koeficijet spljošteosti statističkog obilježja X, ako su vrijedosti statističkog obilježja date kao iz x i s frekvecijama f i, i = 1,..., r, defiira se kao K E = µ 4 σ 4 3, 11 Radi materijal

12 11.1. DESKRIPTIVNA STATISTIKA i i _ < Me< Mo _ > Me > Mo Mo Me _ i _ Me Mo i gdje je µ 4 = 1 σ = 1 (x isr x)4 f i, ( f i = ); (x isr x) f i, ( f i = ). NAPOMENA 11. Ako je K E = 0 oda je razdioba frekvecija ormala razdioba. (Normala razdioba ima K E = 0) Ako je K E > 0 oda je graf fukcije razdiobe frekvecija uži od grafa ormale razdiobe (spljošteost je maja). Ako je K E < 0 oda je graf fukcije razdioba frekvecija širi od ormale razdiobe (spljošteost je veća). K >0 E K =0 E K <0 E Slika 11.3: Spljošteost Radi materijal 1

13 11. MATEMATIČKA STATISTIKA PRIMJER Mjerejem kotiuirae slučaje varijable X= prosječe težie studeata jedog turusa a uzorku veličie 100 dobivea je vrijedost slučajog uzorka (x 1, x,..., x 100 ) daa u tablici: razred x isr f i F i F (x) ,05 0, ,18 0, ,4 0, ,7 0, ,08 1,00 f i ukupo =100 1,00 Odrediti očekivaje, varjacu, stadardu devijaciju, mod, medija, prvi kvartil, treći kvartil, koeficijet varijacije, koeficijet asimetrije, koeficijet spljošteosti. NAPOMENA: Razredi su u tablici dati smboličo pr. razred 60 6 je razred tako da je širia razreda d = 3. Rješeje: očekivaje x = 1 5 x 100 isr f i = varijaca σ = 1 (x isr x) f i = 8.57 medija Me = L Me + d ( f 1 + f f k ), gdje je k + 1 = 3 izabra tako da je F k = f 1 + f = 3 = 50 f 1 + f + f 3 = 65 = F k+1, L Me = 65.5 je lijevi rub k + 1 = 3. razreda, d = 3 je širia razreda. Me = L Me + d ( f 1 + f f k ) 50 3 = = prvi kvartil Q 1 = L Q1 + d ( f 1 + f f k ), gdje je k + 1 = 3 izabra tako da je F k = f 1 + f = 3 4 = 5 f 1 + f + f 3 = 65 = F k+1, L Q1 = 65.5 je lijevi rub k + 1 = 3. razreda, d = 3 je širia razreda. Q 1 = L Q1 + d 4 ( f 1 + f f k ) 5 3 = = treći kvartil Q 3 = L Q3 + d 3 4 ( f 1 + f f k ), gdje je k + 1 = 4 izabra tako da 13 Radi materijal

14 11.1. DESKRIPTIVNA STATISTIKA je F k = f 1 + f + f 3 = = 75 f 1 + f + f + f 4 = 9 = F k+1, L Q3 = 68.5 je lijevi rub k + 1 = 4. razreda, d = 3 je širia razreda. Q 3 = L Q3 + d 3 4 ( f 1 + f f k ) = = mod Mo = L Mo + d, gdje je k = 3 izabra tako da je f k = 4 maksimala, 1 + L Mo = 65.5 je lijevi rub k = 3. razreda, d = 3 je širia razreda, 1 = f k f k 1 = f 3 f = 4 18, = f k = f 3 f 4 = 4 7. Mo = L Mo + d 1 4 = = koeficijet varijacije K V = σ 8.57 x 100% = 100% = 4.3% K V = Q 3 Q = = Q 3 + Q koeficijet asimetrije i spljošteosti µ 3 = 1 (x isr x)3 f i =.93 µ 4 = 1 (x isr x)4 f i = K A = µ 3 σ 3 = 0.14, K E = µ 4 σ 4 3 = 0.6 Radi materijal 14

15 11. MATEMATIČKA STATISTIKA 11. Poovimo STATISTIČKO OBILJEŽJE statističko obilježje vrijedosti stat. obilježja r različitih vrijedosti frkvecije relative frkvecije kumulative rel. frkvecije statistička razdioba za X st. obilj. teorijska razdioba za sl. var.x F (x) F(x) X x 1, x,..., x x 1, x,..., x r f 1, f,..., f r f 1, f,..., f r F (x) = f 1 + f f j j takav da je x x j F (x) F(x) po vjerojatosti kad MJERE POLOŽAJA vrijedosti stat. obilj. ARITMETIČKA SREDINA x 1, x,..., x x = 1 (x 1 + x x ) x 1, x,..., x r x = 1 r j=1 x j f j r razreda [L j, D j ], j = 1,...r; x jsr x = 1 r j=1 x jsr f j vrijedosti stat. obilj. MOD x 1, x,..., x x k ako je je f k max x 1, x,..., x r x k ako je je f k max x 1sr, x sr,..., x rsr x ksr ako je je f k max r razreda [L j, D j ], j = 1,...r Mo = L Mo + d k ako je f k max 1 1 +, L Mo lijevi rub k razreda L k, d širia razreda 1 f k f k 1 f k 15 Radi materijal

16 11.. Poovimo vrijedosti stat. obilj. MEDIJAN x 1, x,..., x uzlaza iz Me = x +1, za epara; x 1, x,..., x uzlaza iz Me = 1 (x + x +1 ), za para; 1 r razreda [L j, D j ], j = 1,...r Me = L Me + d ( ( f 1 + f f k ) ) k f 1 + f f k f 1 + f f k + L Me lijevi rub k + 1 razreda L k+1, d širia razreda. KVANTILI kvatil reda p x p takav da je F(x p ) = p prvi kvartil Q 1 = x 1 4 drugi kvartil= MEDIJAN Me = x 1 treći kvartil Q 3 = x 3 4 vrijedosti stat. obilj. Q 1 x 1, x,..., x uzlaza iz Q 1 = x cijelo( 4 +1), za ije djeljiv s 4; x 1, x,..., x uzlaza iz Me = 1 (x + x 4 +1 ), za djeljiv s 4; 1 r razreda [L j, D j ], j = 1,...r Q 1 = L Q1 + d ( 4 ( f 1 + f f k ) ) k f 1 + f f k 4 f 1 + f f k + L Q1 lijevi rub k + 1 razreda L k+1, d širia razreda. vrijedosti stat. obilj. Q 3 x 1, x,..., x uzlaza iz Q 3 = x cijelo( ), za ije djeljiv s 4; x 1, x,..., x uzlaza iz Me = 1 (x 3 + x ), za djeljiv s 4; 1 r razreda [L j, D j ], j = 1,...r Q 3 = L Q3 + d ( 3 4 ( f 1 + f f k ) ) k f 1 + f f k 3 4 f 1 + f f k + L Q3 lijevi rub k + 1 razreda L k+1, d širia razreda. MJERE RASIPANJA vrijedosti stat. obilj. VARIJANCA x 1, x,..., x σ = 1 (x 1 + x x ) x x 1, x,..., x r σ = 1 r j=1 (x j ) f x j r razreda [L j, D j ], j = 1,...r; x jsr σ = 1 r j=1 (x jsr ) f x j Radi materijal 16

17 11. MATEMATIČKA STATISTIKA vrijedosti stat. obilj. µ 3 x 1, x,..., x r µ 3 = 1 r j=1 (x j x ) 3 f j r razreda [L j, D j ], j = 1,...r; x jsr µ 3 = 1 r j=1 (x jsr x ) 3 f j vrijedosti stat. obilj. µ 4 x 1, x,..., x r µ 4 = 1 r j=1 (x j x ) 4 f j r razreda [L j, D j ], j = 1,...r; x jsr µ 4 = 1 r j=1 (x jsr x ) 4 f j MJERE OBLIKA koeficijet asimetrije K A = µ 3 σ 3 koeficijet spljošteosti K E = µ 4 σ Radi materijal

Procjena parametara. Zadatak 4.1 Neka je X 1, X 2,..., X n slučajni uzorak iz populacije s konačnim očekivanjem µ i varijancom σ 2.

Procjena parametara. Zadatak 4.1 Neka je X 1, X 2,..., X n slučajni uzorak iz populacije s konačnim očekivanjem µ i varijancom σ 2. 4 Procjea parametara Neka je X slučaja varijabla čiju distribuciju proučavamo. Defiicija: Slučaji uzorak duljie za X je iz od ezavisih i jedako distribuiraih slučajih varijabli X 1, X,..., X koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

3 Populacija i uzorak

3 Populacija i uzorak 3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

(Hi-kvadrat test) r (f i f ti ) 2 H = f ti. i=1

(Hi-kvadrat test) r (f i f ti ) 2 H = f ti. i=1 χ 2 test (Hi-kvadrat test) Jedan od prvih statističkih testova je χ 2 -test. Predložio ga je K. Pearson 900. godine, pa je poznat i pod nazivom Pearsonov test. χ 2 test je neparametarski test. Pomoću χ

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

UVOD DEFINICIJA: Statistika planiranje i provođenje pokusa skupljanje podataka interpretacija

UVOD DEFINICIJA: Statistika planiranje i provođenje pokusa skupljanje podataka interpretacija OSNOVE STATISTIKE UVOD DEFINICIJA: Statistika je grana matematike koja obuhvaća sakupljanje, analizu, interpretaciju i prezentaciju podataka te izradu predviđanja koja se temelje na tim podacima. Smatra

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA STATISTIKA

MATEMATIČKA STATISTIKA MATEMATIČKA STATISTIKA Bilješke s predavaja (prof. dr. sc. Miljeko Huzak akademske godie 04./05. Natipkao i uredio: Kristija Kilassa Kvaterik Ova skripta služi samo kao pomoć u praćeju predavaja iz istoimeog

Διαβάστε περισσότερα

Slučajne varijable. Diskretna slučajna varijabla X je promjenjiva veličina koja poprima vrijednosti iz skupa

Slučajne varijable. Diskretna slučajna varijabla X je promjenjiva veličina koja poprima vrijednosti iz skupa Slučajne varijable Statistički podaci su distribuirani po odredenoj zakonitosti. Za matematičko (apstraktno) opisivanje te zakonitosti potrebno je definirati slučajnu varijablu kojoj pripada odredena razdioba

Διαβάστε περισσότερα

STATISTIKA I OSNOVE FIZIKALNIH MJERENJA

STATISTIKA I OSNOVE FIZIKALNIH MJERENJA STATISTIKA I OSNOVE FIZIKALNIH MJERENJA ŽELJKO SKOKO PREDAVANJA: ČETVRTAK, 12-14 h, F25 VJEŽBE: ČETVRTAK, 14-15 h, F25 MIRKO BAĆANI KONZULTACIJE: PETAK, 11-12.30 h ili prema dogovoru e-mail: zskoko@phy.hr

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Integral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007.

Integral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007. Itegral i mjera Braslav Rabar 13. lipja 2007. Def 1 Neka je X skup tada familiju F podskupova od X zovemo σ-algebra a X ako je X uutra te je zatvorea a komplemetiraje i prebrojive uije tada urede par (X,

Διαβάστε περισσότερα

Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 1 Slučajna varijabla Slučajna varijabla je funkcija X koja elementarnim dogadajima pridružuje

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Statistička obrada podataka

Statistička obrada podataka Statistička obrada podataka Ana Anušić Ervin Duraković Hrvoje Maltarić Ivan Pažin Sažetak U ovom članku provodimo statističko istraživanje koje se bazira na zavisnosti uspjeha na prijamnom ispitu i prve

Διαβάστε περισσότερα

(BIO)STATISTIKA. seminari. smjer: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija. pripremila: dr.sc. Iva Franjić

(BIO)STATISTIKA. seminari. smjer: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija. pripremila: dr.sc. Iva Franjić (BIO)STATISTIKA seminari smjer: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija pripremila: dr.sc. Iva Franjić Sadržaj DESKRIPTIVNA STATISTIKA 4. Grafički prikaz podataka..................... 4. Srednje vrijednosti

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

1 ELEMENTI KOMBINATORIKE

1 ELEMENTI KOMBINATORIKE Sadrˇzaj Sadrˇzaj 1 1 ELEMENTI KOMBINATORIKE 3 1.1 UVOD................................... 3 1.2 PRINCIPI PREBROJAVANJA...................... 8 1.3 PERMUTACIJE BEZ PONAVLJANJA................. 10 1.3.1

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupo 8 bodova) MJERA I INTEGRAL završi ispit 4. srpja 216. (Kjige, bilježice, dodati papiri i kalkulatori isu dozvoljei!) (a) (2 boda) Defiirajte p za ekspoete p [1, +. (b) (6 bodova) Dokažite da

Διαβάστε περισσότερα

Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI

Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI Sadrˇzaj Sadrˇzaj DVODIMENZIONALNI. DISKRETNI DVODIMENZIONALNI............................ KONTINUIRANI -dim tko želi znati više.............................. 5. KOVARIJANCA, KORELACIJA, PRAVCI REGRESIJE........

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

4 Testiranje statističkih hipoteza

4 Testiranje statističkih hipoteza 4 Testiranje statističkih hipoteza 1 4.1. Statistička hipoteza Promatramo statističko obilježje X. Statistička hipoteza je (bilo koja) pretpostavka o (populacijskoj) razdiobi od X. Kažemo da je statistička

Διαβάστε περισσότερα

Str. 454;139;91.

Str. 454;139;91. Str. 454;39;9 Metod uzorka Predavač: Dr Mirko Savić avicmirko@eccf.u.ac.yu www.eccf.u.ac.yu Statitička maa može da e pomatra a jeda od ledeća dva ačia: potpuo pomatraje, delimičo pomatraje (metod uzorka).

Διαβάστε περισσότερα

Izrada Domaće zadaće 4

Izrada Domaće zadaće 4 Uiverzitet u Sarajevu Elektrotehički fakultet Predmet: Ižejerska matematika I Daa: 76006 Izrada Domaće zadaće Zadatak : Izračuajte : si( ) (cos( )) L 0 a) primjeom L'Hospitalovog pravila; b) izravom upotrebom

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Testiranje statističkih hipoteza Materijali za nastavu iz Statistike

Testiranje statističkih hipoteza Materijali za nastavu iz Statistike Testiranje statističkih hipoteza Materijali za nastavu iz Statistike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 39 Uvod Osnovna zadaća Statistike je na temelju uzorka ocijeniti kakvu razdiobu

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

1 Neprekidne funkcije na kompaktima

1 Neprekidne funkcije na kompaktima Neprekide fukcije a kompaktima.. Teorem. Neka je K kompakta podskup metričkog prostora X, a f : X Y eprekido preslikavaje u metrički prostor Y. Tada je slika f(k) kompakta skup u Y..2. Zadatak. Neka su

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u neparametarske testove

Uvod u neparametarske testove Str. 148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Hi-kvadrat testovi c Str. 149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste c testa:

Διαβάστε περισσότερα

MODEL JEDNOSTAVNE LINEARNE REGRESIJE

MODEL JEDNOSTAVNE LINEARNE REGRESIJE SVEUČILIŠTE U RIJECI GRAĐEVINSKI FAKULTET U RIJECI Specijalistički diplomski stručni studij građevinarstva Odabrana poglavlja inženjerske matematike MODEL JEDNOSTAVNE LINEARNE REGRESIJE Studenti: Sara

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i statistika idealni model i pojavni oblici

Verovatnoća i statistika idealni model i pojavni oblici Verovatoća i statistika ideali model i pojavi oblici Dr Biljaa Popović, redovi profesor Prirodo matematički fakultet u Nišu 3. april 2004. godie Matematička statistika je primejea matematička disciplia

Διαβάστε περισσότερα

REALNA FUNKCIJA realnom funkcijom n realnih nezavisno-promjenljivih

REALNA FUNKCIJA realnom funkcijom n realnih nezavisno-promjenljivih REALNA FUNKCIJA Fukciju f čiji je skup vrijedosti V podskup skupa R realih brojeva zovemo realom fukcijom. Ako je, pritom, oblast defiisaosti D eki podskup skupa R uređeih -torki realih brojeva, kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD. Ivan Lulić. Zagreb, 2014.

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD. Ivan Lulić. Zagreb, 2014. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD Iva Lulić Zagreb, 2014. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD Metori: Prof. dr. sc. Nedeljko Štefaić,

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

1 Osnovni pojmovi Tipovi varijabli Skale mjerenja... 3

1 Osnovni pojmovi Tipovi varijabli Skale mjerenja... 3 Sadržaj Predgovor iii 1 Osnovni pojmovi 1 1.1 Tipovi varijabli............................ 2 1.2 Skale mjerenja............................ 3 2 Organizacija i prikazivanje podataka 5 2.1 Sirovi podatci.............................

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije 9 1. Trigoometrijske fukcije 1.1. Ako je α + β π,izračuaj 1 + tg α)1 + tg β). 4 1.. Izračuaj zbroj log a tg 1 + log a tg +...+ log a tg 89. 1.3. Izračuaj 40 0 si 0 bez uporabe tablica ili račuala. 1.4.

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL. Bilješke s predavanja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godina 2010./2011. Natipkao i uredio: Ivan Krijan

MJERA I INTEGRAL. Bilješke s predavanja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godina 2010./2011. Natipkao i uredio: Ivan Krijan MJERA I INTEGRAL Bilješke s predavaja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godia 2010./2011. Natipkao i uredio: Iva Krija Zagreb, 23. 05. 2011. Sadržaj Sadržaj 1 UVOD 3 2 PRSTEN SKUPOVA 8 3 MJERE NA

Διαβάστε περισσότερα

Analiza i prikazivanje podataka prof.dr.sc. Sanja Varošanec

Analiza i prikazivanje podataka prof.dr.sc. Sanja Varošanec Analiza i prikazivanje podataka prof.dr.sc. Sanja Varošanec 23.9.2012. 1 HNOS (iz 2006.) Ključni pojmovi: obilježje skupa podataka, frekvencija i relativna frekvencija, tablični prikaz, stupčasti dijagram,

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Statistika. primjeri i zadaci. Ante Mimica, Marina Ninčević. 30. kolovoza 2010.

Statistika. primjeri i zadaci. Ante Mimica, Marina Ninčević. 30. kolovoza 2010. Statistika primjeri i zadaci Ante Mimica, Marina Ninčević 3. kolovoza. Sadržaj Opisna statistika 5. Zadaci za vježbu................................ 4 Neprekidne slučajne varijable 47. Normalna distribucija..............................

Διαβάστε περισσότερα

U teoriji vjerojatnosti razmatraju se događaji koji se mogu, ali ne moraju dogoditi. Takvi se događaji zovu slučajnim događajima.

U teoriji vjerojatnosti razmatraju se događaji koji se mogu, ali ne moraju dogoditi. Takvi se događaji zovu slučajnim događajima. Sažetak vjerojatnost Skup ishoda U teoriji vjerojatnosti razmatraju se događaji koji se mogu, ali ne moraju dogoditi. Takvi se događaji zovu slučajnim događajima. Jednostavne događaje u nekom pokusu zvat

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u vjerojatnost i matematičku statistiku

Uvod u vjerojatnost i matematičku statistiku Uvod u vjerojatnost i matematičku statistiku - vježbe - Danijel Krizmanić 28. rujna 2007. Sadržaj Osnove vjerojatnosti 2 2 Kombinatorika i vjerojatnost 5 3 Uvjetna vjerojatnost. Nezavisnost 9 4 Geometrijske

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Sintaksa i semantika u logici

Sintaksa i semantika u logici Sintaksa i semantika u logici PMF Matematički odsjek Sveučilište u Zagrebu 13. listopad 2012., Zadar Sintaksa i semantika u logici 1 / 51 1. Logika sudova 1.1. Sintaksa jezik 1.2. Semantika logike sudova

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA

RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA PRIBLIŽNI BROJ I GREŠKA tača vredost ekog broja X prblža vredost ekog broja X apsoluta greška Δ = X X graca apsolute greške (gorja graca) relatva greška X X

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika. II deo. Osnovi Statistike. Beleške Prof. Aleksandra Ivića

Verovatnoća i Statistika. II deo. Osnovi Statistike. Beleške Prof. Aleksandra Ivića Verovatoća i Statistika II deo. Osovi Statistike Beleške Prof. Aleksadra Ivića 0.1 Osove statističke veličie Osovi zadatak matematičke statistike sastoji se u tome da se iz jedog dela eke geerale kolekcije

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

BILJEŠKE ZA PREDAVANJA (za internu uporabu)

BILJEŠKE ZA PREDAVANJA (za internu uporabu) 1. Statistika - Nazivlje... 2 2. Statistika podjela statističkih analiza... 2 3. Objekti, varijable, mjerne skale... 3 4. Ekstremne i nedostajuće vrijednosti podaci... 4 5. Ciljevi statističke analize...

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA II

MATEMATIČKA ANALIZA II MATEMATIČKA ANALIZA II primjeri i zadaci Ilja Gogić, Ate Mimica 6. siječja. Sadržaj Derivacija 5. Tehika deriviraja............................... 5. Derivacija iverzih i implicito zadaih fukcija..............

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetička sredina Medijan Mod. Harmonijska sredina

Aritmetička sredina Medijan Mod. Harmonijska sredina MJERE CENTRALNE TENDENCIJE Aritmetička sredina Medijan Mod Geometrijska sredina Harmonijska sredina MJERA CENTRALNE TENDENCIJE ili središnja vrijednost jest brojčana vrijednost koja reprezentira skupinu

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

Program za tablično računanje Microsoft Excel

Program za tablično računanje Microsoft Excel Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

STATISTIKA. KONCEPTI : POPULACIJA i UZORAK. Primjer: svi glasači, samo neki glasači

STATISTIKA. KONCEPTI : POPULACIJA i UZORAK. Primjer: svi glasači, samo neki glasači STATISTIKA KONCEPTI : POPULACIJA i UZORAK Primjer: svi glasači, samo neki glasači populacija uključuje sve podatke, a uzorak samo dio, slučajno izabranih kako procjeniti reprezentativni element? MJERE

Διαβάστε περισσότερα

Populacija Ciljna/uzoračka populacija

Populacija Ciljna/uzoračka populacija Populacija i uzorak Sadržaj predavanja Šta je populacija, šta je uzorak a šta uzorkovanje? Statističko zaključivanje Klasifikacija uzoraka: sa i bez verovatnoće, sa i bez zamenjivanja Uzoračke raspodele

Διαβάστε περισσότερα

34457 Informacijske mreže

34457 Informacijske mreže 34457 1. predavaje: Osovo o redovima čekaja Prof.dr.sc. Mlade Kos Ak. god. 2016./2017. Teme Uvodi primjeri Uvod u Teoriju redova čekaja Littleov teorem Dokaz i ituitivo objašjeje Primjeri Dodatak Pregled

Διαβάστε περισσότερα

Statističko zaključivanje jedna varijabla

Statističko zaključivanje jedna varijabla Poglavlje 5 Statističko zaključivanje jedna varijabla 5.1 Procjena distribucije, očekivanja i varijance U prethodnim poglavljima naučili smo da se veličine promatrane na jedinkama obuhvaćenim nekim istraživanjem

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Vjerojatnost i matematička statistika

Vjerojatnost i matematička statistika Vjerojatnost i matematička statistika Ante Mimica Poslijediplomski specijalistički studij aktuarske matematike 29. siječnja 2016. Sadržaj kolegija 1. Opisna analiza podataka 2. Slučajne varijable 3. Funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Obrada empirijskih podataka

Obrada empirijskih podataka Obrada emprjskh podataka deskrptva statstka opsvaje podataka z uzorka l populacje u form osovh parametara osove vrste podataka po astaku varjable (upotreba razlčth mjerh ljestvca) se mogu klasfcrat a:.

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα