DISKRETNA MATEMATIKA KOMBINATORIKA, TEORIJA GRAFOVA I ALGORITMI. Dragan Stevanović Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Nišu

Transcript

1 DISKRETNA MATEMATIKA KOMBINATORIKA, TEORIJA GRAFOVA I ALGORITMI Dragan Stevanović Prirodno-matematiči faultet, Univerzitet u Nišu February 17, 2003

2 2

3 Sadržaj 1 Uvod Supovi Funcije Relacije Matematiča inducija Kombinatoria Principi prebrojavanja Uredjeni izbori elemenata Permutacije Neuredjeni izbori elemenata Binomni oeficijenti Binomni identiteti Multinomijalni oeficijenti Princip uljučenja-isljučenja Funcije generatrise Funcije generatrise Nalaženje funcija generatrise Reurentne jednačine Particije prirodnih brojeva Catalan-ovi brojevi Metod zmijsog ulja Teorija grafova Šta je graf? Stabla Prebrojavanje razapinjućih stabala Ojlerovi i Hamiltonovi grafovi Sparivanja u bipartitnim grafovima Jača povezanost Spetar grafa

4 4 SADRŽAJ 5 Algoritmi na grafovima Obilaza čvorova grafa DFS i povezanost BFS i najraći putevi Nalaženje bloova grafa Orijentisani grafovi Tranzitivno zatvorenje Topološo sortiranje Jae omponente povezanosti Težinsi grafovi Najraći putevi Najmanja razapinjuća stabla

5 Predgovor Ova njiga je namenjena studentima Odsea za matematiu Prirodno-matematičog faulteta u Nišu oji slušaju predmet Disretna matematia. Pod disretnom matematiom se podrazumevaju oblasti matematie, ao što su logia, algebra, ombinatoria, teorija grafova ili odredjeni delovi verovatnoće; u opštem slučaju, to su sve oblasti matematie čiji se predmet proučavanja ne može opisati pomoću nepreidnosti funcija, odnosno pojmova izvoda i integrala. U ovom udžbeniu se oncentrišemo na ombinatoriu i teoriju grafova, s obzirom da na Prirodno-matematičom faultetu u Nišu postoje posebni predmeti u ojima se izučavaju preostale oblasti. Kombinatoria razmatra tri vrste problema: probleme egzistencije, probleme prebrojavanja i probleme onstrucija raznih objeata. U ovoj njizi najviše se oncentrišemo na problem prebrojavanja. Knjiga od čitaoca traži minimalno prethodno znanje iz logie i algebre, a na neolio mesta i iz linearne algebre. Za svai slučaj, u uvodnom poglavlju su date nee osnovne matematiče definicije i tehnie. U prvom delu njige bavimo se ombinatoriom, odnosno, načinima prebrojavanja onačnih supova. U poglavlju Teorija grafova iznosimo nee od značajnih teorema iz teorije grafova, a pored toga priazujemo i način za povezivanje teorije grafova sa linearnom algebrom, tzv. spetralnu teoriju grafova. A ao se pomoću grafova mogu matematiči modelirati brojni pratični problemi, u poglavlju Algoritmi predstavljamo osnovne algoritme oji rešavaju nee od tih pratičnih problema. Dragan Stevanović Niš, otobar

6 6 SADRZ AJ

7 Glava 1 Uvod U ovoj glavi opisujemo osnovne matematiče pojmove oji će nam trebati u daljem radu. Polazimo od samih osnova, tao da ova glava sadrži četiri secije posvećene supovima, funcijama, relacijama i matematičoj induciji. 1.1 Supovi Osnovni matematiči objeat je sup. Sup se zapisuje navodjenjem njegovih elemenata izmedju vitičastih zagrada { i }. Sup oji sadrži brojeve 1, 3 i 5 (i nijedan više) zapisuje se ao {1, 3, 5}. Ovaj sup se može zapisati i ao {3, 1, 5}, ali i ao {1, 3, 5, 3, 1}, jer se višestruo ponavljanje istog elementa ne uzima u obzir. Tri tače (... ) u {2, 4, 6, 8,...} znače i tao dalje, po istom obrascu, tj. ovaj zapis označava sup svih parnih prirodnih brojeva. Odgovarajući obrazac treba da bude očigledan. Na primer, {2 1, 2 2, 2 3,...} je lao razumljivo ao sup svih stepena broja 2, do je zapis {2, 4, 8,...} manje očigledan. Supovi se obično označavaju veliim slovom, s tim što je za najvažniji sup matematie i čovečanstva uopšte, sup prirodnih brojeva {1, 2, 3,...}, rezervisano slovo N. Još jedan važan sup je sup bez elemenata. Postoji samo jedan taav sup, označava se sa i naziva prazan sup. Primetimo da prazan sup može da bude element drugog supa. Na primer, { } je sup oji sadrži prazan sup ao svoj element, pa nije isto što i! Činjenica da sup X sadrži element x zapisuje se pomoću simbola. Zapis x X se čita ao x je element X, x pripada X, X sadrži x, itd. U slučaju da element x ne pripada supu X pišemo x / X. Složeniji i interesantniji supovi obično se dobijaju od poznatih supova pomoću neih pravila ili osobina. Tavi supovi se zapisuju u sledećem obliu A {x: x ima osobinu P }. Na primer, sup svih vadrata prirodnih brojeva može da se zapiše ao {n N: postoji N tao da je n 2 }. 7

8 8 GLAVA 1. UVOD ili raće ao { 2 : N}. Napomena Pogrešno je misliti da svaa osobina P definiše sup. Do ovavog zaljuča je došao Bertrand Russell godine. Posmatrajmo sledeću situaciju: vojni frizer treba da šiša sve vojnie oji se ne šišaju sami treba li on, ao jedan od vojnia, da šiša samog sebe? Do istog paradosa se dolazi i ao definišemo sledeći sup: A {X: X je sup oji ne sadrži samog sebe}. Da li sup A sadrži samog sebe? Ao pretpostavimo da A sadrži samog sebe, tada po osobini elemenata supa A važi da A ne sadrži samog sebe. S druge strane, ao pretpostavimo da A ne sadrži samog sebe, tada on zadovoljava osobinu elemenata supa A, pa mora da pripada samom sebi. U svaom slučaju dolazimo do ontradicije. Jedini izlaz je reći da A nije sup! Objete ao što je sup A, matematičari obično zovu familije supova. Koristeći pojam pripadanja supu,, možemo da definišemo mnoge relacije izmedju supova i operacije na supovima. Na primer, dva supa X i Y su jednaa ao imaju iste elemente. U tom slučaju pišemo X Y. Ao su X, Y supovi, zapis X Y (rečima: X je podsup Y ) znači da svai element X pripada supu Y. Primetimo da je X Y ao i samo ao je X Y i Y X. Ao je X Y, ali je X Y, tada Y sadrži bar jedan element oji ne pripada X. U tom slučaju se aže da je X pravi podsup Y i piše X Y. Ao X Y i Y X, tada se aže da su supovi X i Y neuporedivi. Za supove X i Y se aže da su disjuntni ao nemaju zajedničih elemenata. Supovi {1, 3, 5} i {2, 4, 6} su disjuntni, do supovi {1, 3, 5} i {2, 3, 4} nisu disjuntni. Za niz supova X 1, X 2, X 3,... se aže da su uzajamno disjuntni, ao su svaa dva od njih disjuntna. Prema tome, {1, 2}, {3, 4}, {5, 6} su uzajamno disjuntni {1, 2}, {3, 4}, {1, 6} nisu uzajamno disjuntni Sup oji se sastoji od svih mogućih podsupova supa X naziva se partitivni supa supa X i označava sa P (X). Na primer, za X {a, b, c} imamo da je P (X) {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. Primetimo da važi P (X) i X P (X). (ali da nije X P (X)!) Operacije sa supovima Najvažnije i najčešće operacije sa supovima su unija, prese, razlia, simetrična razlia i omplement. Za supove X i Y ove operacije se definišu na sledeći način: Unija: X Y {z: z X ili z Y } Prese: X Y {z: z X i z Y } Razlia: X \ Y {z: z X i z / Y } Simetrična razlia: X Y (X \ Y ) (Y \ X)

9 1.1. SKUPOVI 9 Komplement X supa X sadrži sve elemente oji ne pripadaju supu X. Da bi ova definicija imala smisla (i da X ne bi sadržao i suvišne elemente ao što su ljudi, životinje, bilje,... ) svi supovi sa ojima radimo moraju da budu podsupovi neog većeg supa, tzv. univerzuma U. Tada je Komplement: X {z U: z / X}. Zgodno sliovno predstavljanje operacija sa supovima je pomoću Venovih dijagrama. Pogledajte sliu 1.1. Ao zamislimo supove X i Y ao unutrašnjosti odgovarajućih rugova, tada osenčene površine na sliama 1.1a,b,c,d,e redom predstavljaju supove X Y, X Y, X \ Y, X Y i X. Ovde idu Venovi dijagrami. Slia 1.1: Operacije sa supovima Za ove operacije sa supovima važe odredjeni zaoni. Najvažniji od njih su navedeni u sledećoj teoremi. Teorema Nea su X, Y i Z supovi. Tada važi: (a) Asocijativnost: (b) Komutativnost: (c) Apsorptivnost: (d) Distributivnost: (e) De Morganovi zaoni: X (Y Z) (X Y ) Z X (Y Z) (X Y ) Z X Y Y X X Y Y X X (X Y ) X X (X Y ) X X (Y Z) (X Y ) (X Z) X (Y Z) (X Y ) (X Z) X \ (Y Z) (X \ Y ) (X \ Z) X \ (Y Z) (X \ Y ) (X \ Z)

10 10 GLAVA 1. UVOD Doaz Doazaćemo samo prvi de Morganov zaon. Doazivanje ostalih zaona može poslužiti čitaocu za vežbu. Nea je x X \ (Y Z). To znači da x X, ali da x / Y Z. Iz x / Y Z sledi da x / Y i x / Z. Dalje, iz x X i x / Y sledi da x X \ Y i slično iz x X i x / Z sledi da x X \ Z, pa važi da x (X \ Y ) (X \ Z). Kao ovo važi za svai element supa X \ (Y Z), zaljučujemo da je (1.1) X \ (Y Z) (X \ Y ) (X \ Z). Nea je sada x (X \ Y ) (X \ Z). Ovo znači da x X \ Y i x X \ Z. Odavde dobijamo da je x X, x / Y i x / Z. Iz x / Y i x / Z sledi da x / Y Z, pa dobijamo da x X \ (Y Z). Ovo taodje važi za svai element supa (X \ Y ) (X \ Z), pa zaljučujemo da je (1.2) (X \ Y ) (X \ Z) X \ (Y Z). Iz (1.1) i (1.2) sledi da je X \ (Y Z) (X \ Y ) (X \ Z). Ao su X 1, X 2,..., X n supovi, njihova unija X 1 X 2... X n može raće da se zapiše ao n X i. i1 Slično se prese X 1 X 2... X n raće zapisuje ao n X i. i1 Zaoni iz teoreme važe i u slučaju ada imamo više supova, i oristeći sraćeni zapis, oni glase: Distributivnost: ( n ) X Y i i1 ( n ) X Y i i1 n (X Y i ) i1 n (X Y i ) i1 De Morganovi zaoni: ( n ) X \ Y i i1 ( n ) X \ Y i i1 n (X \ Y i ) i1 n (X \ Y i ) i1

11 1.1. SKUPOVI 11 Proizvod supova Kao što već znamo, {x, y} označava sup oji sadrži elemente x i y. Sup {x, y} se ponead naziva i neuredjeni par x i y. Primetimo da je {x, y} isto što i {y, x}, ao i da {x, y} ima samo jedan element ao je x y. U primenama se često nameće potreba za razliovanjem elemenata u paru. Stoga uvedimo notaciju (x, y) za uredjeni par x i y. Pritom važi: (x, y) (z, t) ao i samo ao x z i y t. Napomena Zanimljivo je da uredjeni par može da se definiše pomoću neuredjenog para na sledeći način: (x, y) {{x}, {x, y}}. Slično se definiše i uredjena n-tora (x 1, x 2,..., x n ) oja se sastoji od elemenata x 1, x 2,..., x n. Pritom važi: (x 1, x 2,..., x n ) (y 1, y 2,..., y n ) ao i samo ao je x i y i za i 1, 2,..., n. Poslednja operacija oju spominjemo je proizvod X Y supova X i Y. Proizvod supova X i Y je sup svih uredjenih parova (x, y), gde x X i y Y, ili preciznije, X Y {(x, y): x X, y Y }. Na primer, za X {1, 2, 3} i Y {a, b} imamo da je X Y {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}, Y X {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}. Primetimo da u opštem slučaju X Y nije isto što i Y X, tj. proizvod supova nije omutativan. Slično proizvodu dva supa, proizvod X 1 X 2... X n supova X 1, X 2,...,X n, ili raće n X n, i1 definiše se ao sup svih uredjenih n-tori (x 1, x 2,..., x n ) tao da za i 1, 2,..., n važi x i X i. Proizvod supa X sa samim sobom raće se označava stepenom uz X, tj. X X X 2, X X X X 3, X X X X X 4,... Zadaci

12 12 GLAVA 1. UVOD 1.2 Funcije Sa funcijama ili presliavanjima, ao se drugačije zovu, sreli smo se već u srednjošolsoj matematici. Tada smo naučili da se funcija definiše pravilom presliavanja oje elementima jednog supa dodeljuje elemente drugog supa. Na primer, jedna moguća funcija je f 1 (n) 2n 1, gde je n N. Isto tao se može zadati i funcija f 2 (x) 2x 1, gde je x R. Ovavo predstavljanje funcija naglašava samo pravilo presliavanja. Pri tome se obično aže om supu pripadaju argumenti funcije (s tim što se ponead oristimo logiom da n označava prirodan broj, do x označava realan broj), medjutim soro niad se ne aže om supu pripadaju vrednosti funcija. Zbog toga je ovo intuitivno predstavljanje funcija. Matematiča definicija funcija Definicija Pod funcijom se podrazumeva uredjena troja (A, B, f), gde je f A B, pri čemu za svao x A postoji tačno jedno y B tao da (x, y) f. Sup A se naziva domen, sup B se naziva odomen, a f je pravilo presliavanja. Činjenica da funcija presliava elemente domena A u elemente odomena B pomoću pravila presliavanja f se zapisuje pomoću f : A B, a za (x, y) f ravnopravno (i češće) pišemo f(x) y. Samo pravilo presliavanja f se zadaje formulom ili navodjenjem parova elemenata (x, y) oji pripadaju f. Definicija Sup f(a) {f(x) x A} se naziva slia funcije f. Primer Funcija f 1 (n) 2n 1 se pravilno zapisuje na sledeći način: f 1 : N N, f 1 (n) 2n 1, do se funcija f 2 (x) 2x 1 zapisuje pomoću f 2 : R R, f 2 (x) 2x 1. Primer Ao je A {1, 2, 3}, a B {1, 3, 5}, tada možemo definisati funciju f 3 pomoću f 3 : A B, f 3 (a) 2a 1, ili drugačije f 3 : A B, f 3 {(1, 1), (2, 3), (3, 5)}. U poslednjem slučaju smo funciju definisali pomoću navodjenja svih parova elemenata oji joj pripadaju. Vrste funcija Važni i najčešće orišćeni tipovi funcija u matematici su dati u sledećoj definiciji.

13 1.2. FUNKCIJE 13 Definicija Funcija f : A B naziva se 1-1 uolio važi ( x 1, x 2 A) x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). Funcija f : A B naziva se na uolio važi ( y B) ( x A) f(x) y. Funcija f : A B naziva se bijecija ili obostrano jednoznačno presliavanje ao je funcija istovremeno i 1-1 i na. Primer Funcija a : {1, 2} {1, 3, 5} data pravilom presliavanja a(x) 2x 1 je 1-1, ali nije na, jer se nijedan element domena ne presliava u element 5 iz odomena. Funcija b : {1, 2, 3} {1, 3} data pravilom presliavanja b {(1, 1), (2, 3), (3, 1)} jeste na, ali nije 1-1, jer se elementi 1 i 3 domena presliavaju u isti element odomena. Na raju, funcija c : {1, 2, 3} {1, 3, 5} data pravilom presliavanja c(x) 2x 1 jeste i 1-1 i na, pa zaljučujemo da je to bijecija. Funcija f : A B se može sliovno predstaviti tao što najpre predstave domen A i odomen B funcije, a onda se usmerenim linijama svai element x A poveže sa vrednošću f(x) B. Na sl. 1.2 su predstavljene funcije a, b i c iz gornjeg primera. Sliovno predstavljanje funcija a, b i c. Slia 1.2: Sliovno predstavljanje funcija Operacije sa funcijama S obzirom da su funcije u stvari supovi parova elemenata, sa njima možemo da vršimo sve operacije ao i sa supovima. Medjutim, pored njih, postoje i operacije oje su namenjene samo funcijama. Definicija Ao su date funcije f : A B i g : B C, tada se pod slaganjem funcija f i g podrazumeva funcija g f : A C data pravilom presliavanja g f(x) g(f(x)), x A. Definicija Ao su dati funcija f : A B i podsup A A, tada se pod reducijom funcije f na poddomen A, u oznaci f A, podrazumeva funcija f : A B data pravilom presliavanja f A (x) f(x), x A. Definicija Za proizvoljan sup A, funcija i A : A A data pravilom presliavanja i A (x) x, x A naziva se identiča funcija na supu A.

14 14 GLAVA 1. UVOD Definicija Ao je data funciju f : A B, tada se za funciju g : B A aže da je inverzna funcija za funciju f ao važi tj. ao važi g(f(x)) x, x A, f(g(y)) y, y B, g f i A i f g i B. Inverzna funcija za funciju f se obično obeležava sa f 1. Inverzna funcija ne postoji za svau funciju. To možemo videti i iz sledeće teoreme. Teorema Za funciju f : A B postoji inverzna funcija ao i samo ao je f bijecija. Doaz Pretpostavimo da funcija f : A B ima inverznu funciju f 1 : B A i doažimo da je f bijecija. Funcija f je 1-1, jer ao je f(x 1 ) f(x 2 ) y za x 1 x 2, tada iz definicije inverzne funcije sledi da je f 1 (y) f 1 (f(x 1 )) x 1 i f 1 (y) f 1 (f(x 2 )) x 2, što je ontraditorno činjenici da je f 1 funcija i da, prema tome, može da ima samo jednu vrednost za datu vrednostargumenta. S druge strane, funcija f je na, jer za svao y B važi f(f 1 (y)) y. Pretpostavimo sada da je f bijecija i doažimo da onda postoji funcija h oja je njena inverzna funcija. Funciju h ćemo definisati na sledeći način: h B A, (y, x) h ao i samo ao je f(x) y. Primetimo da smo ovim, u stvari, samo definisali jedan podsup h B A, pa stoga moramo te da poažemo da je h zaista funcija, tj. da za svao y B postoji tačno jedno x A tao da je h(y) x. Najpre, pošto je funcija f na, to za y B postoji x A tao da je f(x) y, pa po definiciji h važi i (y, x) h. Dalje, pošto je funcija f i 1-1, ovavo x je jedinstveno, pa smo se zaista uverili da je h funcija i možemo slobodno da pišemo h : B A, h(y) x ao i samo ao je f(x) y. Sada je jasno da važi h(f(x)) x i f(h(y)) y, pa je h inverzna funcija za f. Permutacije Pod permutacijom supa A se podrazumeva svaa bijecija f : A A supa A na samog sebe. Sup svih permutacija supa A obično se obeležava sa Sym (A). Za sup Sym (A) svih permutacija supa A važi sledeća teorema, oju ćemo doazati asnije. Ona ilustruje algebarsu struturu supa Sym (A). Teorema Ao je dat sup A, tada za sup Sym (A) važe sledeće osobine:

15 1.3. RELACIJE 15 (i) (zatvorenost) (ii) (asocijativnost) ( f, g Sym (A)) f g Sym (A); ( f, g, h Sym (A)) f (g h) (f g) h; (iii) (postojanje neutralnog elementa) ( i A Sym (A)) ( x A) i A (x) x; (iv) (postojanje inverznog elementa) ( f Sym (A)) ( f 1 Sym (A)) f f 1 f 1 f i A. Zadaci 1.3 Relacije Relacija, u najraćem, predstavlja odnos izmedju elemenata neih supova. Stroga matematiča definicija je sledeća. Definicija Ao su dati supovi A 1, A 2,..., A, N, tada se pod relacijom dužine izmedju elemenata supova A 1, A 2,..., A podrazumeva podsup ρ A 1 A 2... A. Ao (x 1, x 2,..., x ) ρ, tada ažemo da su elementi x 1, x 2,..., x u relaciji ρ. S druge strane, ao je A 1 A 2... A A, tada ažemo da je ρ relacija dužine na supu A. Primer Razmotrimo sledeće supove: A { Ćira, Dragan, Maro }, B { logia, algebra, disretna matematia }, C { ponedelja, utora, sreda, četvrta, peta }. Tada ρ {(Ćira, logia, utora), (Dragan, algebra, utora), (Dragan, disretna matematia, četvrta), (Maro, disretna matematia, peta)} predstavlja relaciju dužine 3, oja može da predstavlja obaveze profesora i asistenata u pogledu predmeta i datuma.

16 16 GLAVA 1. UVOD Definicija Relacija ρ A B dužine 2 se naziva binarna relacija. Uobičajeno je da se za elemente x A i y B oji su u relaciji ρ umesto (x, y) ρ piše x ρ y. Sup {a A a ρ b za neo b B} se naziva domen relacije ρ, a sup {b B a ρ b za neo a A} se naziva odomen relacije ρ. Napomena Primetimo da je svaa funcija f : A B, taodje binarna relacija, jer je f A B. Primer Na supu {1, 2, 3, 4, 6} možemo da definišemo binarnu relaciju ρ tao što ćemo da je x ρ y ao je x manje od y i x deli y. Relaciju ρ tada čine sledeći parovi elemenata ρ {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (2, 4), (2, 6), (3, 6)}. Ova relacija je sliovno predstavljena na sl. 1.3a slično načinu na oji se predstavljaju funcije, tao što se usmerenim linijama povežu parovi elemenata oji su u relaciji. Načini predstavljanja relacije ρ. Slia 1.3: Načini predstavljanja relacija Medjutim, binarna relacija ρ na onačnom supu A može se predstaviti još na dva načina: tablično - tao što se nacrta tablica čije vrste i olone predstavljaju elemente A, a zatim se u preseu vrste x i olone y stavlja 1 uolio je x ρ y, a 0 uolio nije x ρ y. pomoću orijentisanih grafova - tao što se svai element supa A predstavi čvorom, a zatim se čvorovi x i y povežu usmerenom linijom od x a y ao je x ρ y. Ova dva načina predstavljanja su priazana na sl. 1.3b i sl. 1.3c. Kao i funcije, i relacije se mogu slagati. Definicija Nea su date relacije ρ A B i σ B C. Tada se pod slaganjem relacija ρ i σ podrazumeva relacija ρ σ A C odredjena sa ρ σ {(a, c) postoji b B tao da je a ρ b i b σ c}. Napomena S obzirom da su funcije poseban slučaj relacija, i slaganje funcija je poseban slučaj slaganja relacija. Medjutim, primetimo veoma bitnu razliu: slaganje funcija f : A B i g : B C označava se sa g f, do se slaganje relacija ρ A B i σ B C označava sa ρ σ. Znači, od slaganja funcija prvu funciju stavljamo iza, do od slaganja relacija prvu relaciju stavljamo ispred.

17 1.3. RELACIJE 17 Nadalje ćemo posmatrati samo binarne relacije od ojih se domen i odomen polapaju i pritom posvetiti pažnju važnim vrstama relacija relacijama evivalencije i relacijama poreta. Relacije evivalencija Definicija Relacija ρ na supu A je: (i) reflesivna, ao (ii) simetrična, ao ( x A) x ρ x; ( x, y A) x ρ y y ρ x; (iii) tranzitivna, ao ( x, y, z A) x ρ y y ρ z x ρ z. Definicija Relacija ρ na supu A je relacija evivalencije ao je reflesivna, simetrična i tranzitivna. Primer Definišimo relaciju na supu prirodnih brojeva, tao da su dva prirodna broja u relaciji ao i samo ao su jednai. Ova relacija je reflesivna, jer je svai broj jedna samom sebi, simetrična, jer iz x y sigurno sledi da je y x, i tranzitivna, jer iz x y i y z sledi da je x z. Relacija jednaosti je svaao najjednostavniji primer relacije evivalencije i njena svojstva su služila ao inspiracija za definiciju relacije evivalencije. Primer Relacija ρ na supu prirodnih brojeva, tao da su dva prirodna broja u relaciji ρ ao je njihova razlia deljiva sa 4 (tj. ao daju isti ostata pri deljenju sa 4) je taodje relacije evivalencije. Naime, ova relacija je reflesivna, jer 4 x x 0, simetrična, jer iz 4 x y sledi da 4 y x, i tranzitivna, jer iz 4 x y i 4 y z sledi da 4 (x y) + (y z) x z. Primer Nea su dati sup A {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} i njegovi uzajamno disjuntni podsupovi B 1 {1, 2, 3}, B 2 {4, 5} i B 3 {6, 7}. Na supu A možemo da definišemo relaciju ρ na sledeći način: x ρ y x i y pripadaju istom podsupu B i. Ova relacija je očigledno reflesivna i simetrična, a tranzitivnost sledi iz činjenice da ao je x ρ y i y ρ z tada x i z pripadaju istom podsupu ome pripada i y, a ao y pripada tačno jednom podsupu B i, jer su oni uzajamno disjuntni, to i x i z pripadaju ovom istom podsupu B i, pa zaljučujemo da je x ρ z. Predstavljanje ove relacije pomoću orijentisanih grafova dato je na sl Poslednji primer ujedno ilustruje i sledeću definiciju.

18 18 GLAVA 1. UVOD Predstavljanje relacije evivalencije pomoću orijentisanih grafova Slia 1.4: Primer relacije evivalencije Definicija Nea je ρ relacija evivalencije na supu A i nea je x A. Sup C x {y A x ρ y} naziva se lasa evivalencije elementa x. Teorema Nea je ρ relacija evivalencije na supu A. Tada važi: (i) ( x, y A) C x C y C x C y. (ii) A x A C x. Doaz (i) Pretpostavimo da je C x C y i nea z C x C y. Tada je x ρ z i y ρ z, pa ao je relacija ρ simetrična i tranzitivna, dobijamo da je x ρ y. Sada iz w C x sledi da je w ρ x i x ρ y, pa iz tranzitivnosti imamo w ρ y, tj. w C y. Taodje važi i obrnuto, tj. iz w C y sledi da je w ρ y i y ρ x, pa imamo i w ρ x, tj. w C x. Ovo poazuje da je sada C x C y. (ii) Kao za svao x A važi da je C x A, to sledi i da je x A C x A. S druge strane, za svao y A važi da je y C y x A C x, pa zaljučujemo da je A x A C x. Iz prethodne teoreme vidimo da su različite lase evivalencije uzajamno disjuntne, a da unija svih lasa evivalencije daje ceo sup. Podela supa na podsupove sa ovavim svojstvima drugačije se naziva particija supa, tačnije Definicija Nea je A proizvoljan sup i C P (A). Uolio važi ( X, Y C) X Y X Y i A X C X, tada se C naziva particija supa A. Iz teoreme vidimo da lase evivalencije obrazuju particiju supa. Medjutim, važi i obratno: svaoj particiji supa odgovara relacija evivalencije na tom supu čije su lase evivalencije upravo elementi particije. Teorema Nea je C particija supa A. Definišimo relaciju ρ na supu A pomoću x ρ y x i y pripadaju istom elementu particije C. Tada je ρ relacija evivalencije čije su lase evivalencije upravo elementi particije C.

19 1.3. RELACIJE 19 Doaz Relacija ρ je reflesivna i simetrična po svojoj definiciji. Nea je sada x ρ y i y ρ z. Pošto je C particija supa A, postoji tačno jedan podsup C C tao da y C (u suprotnom, ao bi postojala dva različita podsupa oji sadrže y onda bi oni imali neprazan prese, što je nemoguće). Sada iz x ρ y sledi da x C i iz y ρ z sledi i da z C, tao da zaljučujemo da važi x ρ z, jer pripadaju istom elementu C particije C. Prema tome, ρ je relacija evivalencije. S druge strane, ao što smo već videli, za svao x A postoji tačno jedan podsup C C tao da x C. Klasu evivalencije C x elementa x po definiciji čine svi oni elementi y A oji taodje pripadaju C, odale vidimo da je C x C, tj. lase evivalencije su upravo elementi particije C. Relacije poreta Definicija Relacija ρ na supu A je antisimetrična ao važi ( x, y A) x ρ y y ρ x x y. Definicija Relacija ρ na supu A je relacija poreta ao je reflesivna, antisimetrična i tranzitivna. Relacija poreta se taodje naziva i parcijalno uredjenje. Definicija Uredjeni par (A, ρ), gde je ρ relacija poreta na supu A, naziva se parcijalno uredjen sup. Primer Relacija manje ili jednao na supu N je relacija poreta, jer je ( x N) x x, ( x, y N) x y y x x y, ( x, y, z N) x y y z x z. Kao i od jednaosti, i u ovom slučaju su svojstva relacije vodila a definiciji relacije poreta. Primer Primer jer je Relacija deliti na supu N je relacija poreta, jer je ( x N) x x, ( x, y N) x y y x x y, ( x, y, z N) x y y z x z. Za proizvoljan sup A relacija na supu P (A) je relacija poreta, ( X P (A)) X X, ( X, Y P (A)) X Y Y X X Y, ( X, Y, Z P (A)) X Y Y Z X Z. S obzirom na gornje primere relacija i u matematici je postalo uobičajeno da se relacija poreta označava simbolom. Sada ćemo definisati neolio često sretanih pojmova od parcijalnih uredjenja.

20 20 GLAVA 1. UVOD Definicija Nea je (A, ) parcijalno uredjenje i nea je B A. Za element a A se aže da je donja granica za B ao je ( x B) a x. Element a A je najmanji element u B ao je a B i a je donja granica za B. Za element a A se aže da je gornja granica za B ao je ( x B) x a. Element a A je najveći element u B ao je a B i a je gornja granica za B. Primetimo da od parcijalnog uredjenja mogu da postoje elementi oji nisu uporedivi, pa stoga mogu da postoje i podsupovi oji nemaju najmanji element, odnosno najveći element. Na primer, ao posmatramo relaciju poreta na supu P ({1, 2, 3}), tada sup {{1}, {2}, {3}} nema niti najmanji, niti najveći element. Svojstva relacije poreta na supu N su poslužila ao inspiracija za još dve važne vrste uredjenja. Definicija Relacija poreta na supu A je linearno uredjenje ao za svaa dva elementa x, y A važi x y ili y x. Definicija Linearno uredjenje na supu A je dobro uredjenje ao svai onačan podsup od A ima najmanji element u odnosu na uredjenje. Za sliovno predstavljanje relacija poreta na onačnom supu mogu se isoristiti tzv. Haseovi dijagrami. Da bismo mogli da opišemo onstruciju Haseovog dijagrama potrebna nam je sledeća pomoćna definicija. Definicija Nea je ρ relacija poreta na onačnom supu A i nea je x A proizvoljni element supa A. Za element y A se aže da je neposredni prethodni elementa x ao je y ρ x, y x i važi ( z A) y ρ z z ρ x z y z x. Drugim rečima, y je neposredni prethodni od x ao nijedan drugi element supa A ne može da se smesti izmedju y i x. Kada je data relacija poreta ρ na onačnom supu A, tada za svai element supa A možemo da odredimo nivo u odnosu na relaciju ρ. Naime, element x A je na nivou 0 ao nema neposrednog prethodnia. U suprotnom, element x je na nivou, > 0, ao ima bar jednog neposrednog prethodnia na nivou 1, do se svi ostali neposredni prethodnici nalaze na nivoima najviše 1. Sada se Haseov dijagram relacije ρ dobija na sledeći način: elementi supa A se poredjaju po nivoima počev od nivoa 0 na dnu, do najvećeg nivoa na vrhu i svai element se spaja linijom sa svim svojim neposrednim prethodnicima. Na sl. 1.5 su priazani Haseovi dijagrami za relacije na supu P ({1, 2, 3}) i na supu {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

21 1.4. MATEMATIČKA INDUKCIJA 21 Haseov dijagram za dve relacije poreta Slia 1.5: Haseov dijagram relacije poreta Iz načina onstrucije Haseovog dijagrama možemo da vidimo da su elementi na istom nivou neuporedivi. Iz ovoga zaljučujemo da od linearnog uredjenja, od oga su svaa dva elementa uporediva, na svaom nivou postoji tačno jedan element. Stoga je Haseov dijagram linearnog uredjenja veoma jednostavan: on predstavlja niz elemenata supa poredjanih jedan iznad drugog. 1.4 Matematiča inducija Matematiča inducija je jedan od najčešćih načina doazivanja matematičih tvrdjenja u disretnoj matematici, ali se često sreće i u drugim granama matematie. S obzirom na njenu toliu rasprostranjenost, važno je da se sa njom što bolje upoznamo. Nea je S(n) neo tvrdjenje oje zavisi od prirodnog broja n; na primer, S(n) može da bude tvrdjenje zbir prvih n neparnih brojeva jedna je n 2. Računajući ove zbirove možemo da proverimo da tvrdjenje važi za nee male vrednosti n. Na primer, 1 1 2, , , , Ča i ao tvrdjenje proverimo pomoću računara za prvih milion vrednosti n, to još uve nije doaz. Ko zna, milion i prvi broj i dalje može da bude ontraprimer. Ispravnost ovog tvrdjenja doazujemo pomoću principa matematiče inducije, oji se sastoji u sledećem: (i) Doazati da je S(1) tačno; (ii) Doazati da važi ao je S(n) tačno, tada je i S(n + 1) tačno ; pritom, doaz mora da važi za proizvoljan prirodan broj n. Doaz pod (i) se zove baza inducije, do se doaz pod (ii) zove indutivni ora. U našem primeru, tvrdjenje S(n) je (2n 1) n 2. Doaz ovog tvrdjenja matematičom inducijom odvija se na sledeći način: (i) S(1) je tačno, jer je ; (ii) Ao je za nei broj n tvrdjenje S(n) tačno, tada važi (2n 1) n 2.

22 22 GLAVA 1. UVOD Dodajući sa obe strane 2n + 1 dobijamo da važi (2n 1) + (2n + 1) n 2 + 2n + 1 (n + 1) 2, što poazuje da je i S(n + 1) tačno. Ovim je doaz završen. Deluje jednostavno, zar ne? Da vidimo sada zbog čega je ovo zaista doaz da tvrdjenje S(n) važi za svai prirodan broj n. U bazi inducije najpre doazujemo da je S(1) tačno. Ao zatim stavimo vrednost n 1 u indutivni ora tada dobijamo da je S(2) taodje tačno. Ao sada novu vrednost n 2 stavimo u indutivni ora, tada dobijamo da je S(3) taodje tačno. Ponavljajući ovaj postupa, redom dobijamo da su tačna tvrdjenja S(4), S(5), S(6),... i vidimo da na ovaj način možemo da doažemo da je tvrdjenje S(n) tačno za svai prirodan broj n. Tačnije, indutivni ora nam daje sledeći besonačan niz impliacija: S(1) S(2) S(3) S(4) S(5) S(6)... S(n)... do baza inducije služi da započnemo retanje po ovom nizu tao što doazuje tačnost prvog tvrdjenja u njemu. Primer Doazati da za svai prirodan broj n važi n n(n+1) 2. Doaz Najpre doazujemo bazu inducije. Za n 1 tvrdjenje se svodi na 1 1(1+1) 2, što je tačno. Zatim prelazimo na doaz indutivnog oraa. Stoga pretpostavimo da je tvrdjenje n n(n + 1) 2 tačno za nei prirodan broj n. Dodajući n + 1 na obe strane dobijamo da važi n+(n+1) n(n + 1) ( n ) +(n+1) (n+1) (n + 1)(n + 2), 2 što doazuje da je tvrdjenje tačno i za broj n + 1. Po principu matematiče inducije, doaz je završen. Primer Doazati da je za svai prirodan broj n vrednost izraza 5 n 4n 1 deljiva sa 16. Doaz Za n 1 imamo da je , pa je svaao deljivo sa 16. Ao sada pretpostavimo da je tvrdjenje tačno za nei prirodan broj n, tada je 5 n 4n 1 deljivo sa 16. Šta se dešava sa ovim izrazom za n + 1? Imamo da je 5 n+1 4(n + 1) 1 5(5 n ) 4n 5 5(5 n 4n 1) + 20n + 5 4n 5 5(5 n 4n 1) + 16n. Sada vidimo da je broj 5 n+1 4(n + 1) 1 zbir dva broja, od ojih je svai deljiv sa 16, pa je i on sam deljiv sa 16. Znači, tvrdjenje je tačno i za broj n + 1, pa je po principu matematiče inducije doaz završen.

23 1.4. MATEMATIČKA INDUKCIJA 23 Pri radu sa matematičom inducijom treba paziti da baza inducije obezbedi važnost prvog tvrdjenja u besonačnom nizu impliacija oji se dobija ponavljanjem indutivnog oraa. Možete li naći grešu u sledećem primeru? Primer Nea su l 1, l 2,..., l n, n 2, različite prave u ravni, tao da nioje dve nisu paralelne. Doazati da se sve prave seu u istoj tači. Lažni doaz Za n 2 tvrdjenje je tačno, jer se svae dve neparalelne prave seu. Pretpostavimo zato da tvrdjenje važi za nei prirodan broj n i posmatrajmo tvrdjenje za n+1. Ao su date prave l 1, l 2,..., l n, l n+1, tada po inducijsoj pretpostavci sve prave osim poslednje (tj. prave l 1, l 2,..., l n 1, l n ) imaju zajedniču taču; označimo je sa A. Taodje, sve prave osim pretposlednje (tj. prave l 1, l 2,..., l n 1, l n+1 ) imaju zajedniču taču; označimo je sa B. Prava l 1 se nalazi u obe grupe, pa sadrži obe tače A i B. Slično se i prava l n 1 nalazi u obe grupe pa i ona sadrži obe tače A i B. Kao se l 1 i l n 1 seu samo u jednoj tači, to mora da bude A B. Prema tome, sve prave l 1, l 2,..., l n, l n+1 imaju zajedniču taču A. Rešenje Iao u prethodnom doazu sve izgleda u redu, tvrdjenje je očigledno netačno. U čemu je onda problem? Označimo tvrdjenje sa S(n). Očigledno je da je S(2) tačno, pa je baza inducije u redu. Indutivni ora na prvi pogled deluje tačno. Ali ada ga malo bolje pogledamo, vidimo da je moguće zaljučiti da se tače A i B polapaju samo ao su prave l 1 i l n 1 različite, tj. ao je n 2. To znači da indutivni ora generiše niz impliacija S(3) S(4) S(5) S(6)... S(n)... ali baza inducije ne doazuje prvo tvrdjenje iz ovog niza, tao da doaz inducijom nije oretan. Kada bi mogli da doažemo da je S(3) tačno, tada bi tvrdjenje važilo za sve prirodne brojeve. Medjutim, jasno je da tri različite prave u ravni ne moraju da se seu u jednoj tači, pa ni S(3) ne može da bude tačno. U neim slučajevima za doaz tačnosti tvrdjenja S(n+1) u indutivnom orau jednostavnije je zameniti pretpostavu da je S(n) tačno tvrdjenje pomoću jače pretpostave da su sva prethodna tvrdjenja S(1), S(2),..., S(n) tačna. Ovaav modifiovani princip se naziva jaa inducija, a oristi se na sledeći način: (i) Doazati da je S(1) tačno tvrdjenje; (ii) Doazati da važi ao su sva tvrdjenja S(1), S(2),..., S(n) tačna, tada je i S(n + 1) tačno tvrdjenje. Lao je videti da i ovaj princip garantuje tačnost tvrdjenja S(n) za svai prirodan broj n. Štaviše, postoji još mnogo drugih varijanti inducije oje se sve sastoje iz baze inducije i indutivnog oraa. Njihova glavna odlia je da

24 24 GLAVA 1. UVOD indutivni ora generiše besonačan niz impliacija oje služe da se dodje do tvrdjenja S(n) za proizvoljan prirodni broj n, a baza inducije služi da poaže tačnost uslova u prvoj impliaciji tavog besonačnog niza. Primer Definišimo Fibonačijeve brojeve F 1, F 2, F 3,... tao da je F 1 1 i F 2 1, do je svai sledeći član niza jedna zbiru dva prethodna člana, tj. F n F n 1 + F n 2, n 3. Prema tome, prvih neolio Fibonačijevih brojeva je 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... Doazati da važi nejednaost F n ( 1 + ) n Doaz Označimo broj (1 + 5)/2 sa φ, a tvrdjenje F n φ n 1 pomoću S(n). U ovom slučaju, baza inducije će se sastojati od doaza dva posebna tvrdjenja S(1) i S(2), do će indutivni ora imati obli ao su tvrdjenja S(n 1) i S(n) tačna, tada je tačno i tvrdjenje S(n + 1). Razlog za ovavu varijantu matematiče inducije je način definisanja Fibonačijevih brojeva i jedno interesantno svojstvo broja φ. Ao je n 1, tada je F 1 1 φ 0 φ n 1, pa je tvrdjenje S(1) tačno. Ao je n 2, tada je F 2 1 < 1, 6 < φ 1 phi n 1, pa je i tvrdjenje S(2) tačno. Pretpostavimo sada da su za nei prirodan broj n tačna tvrdjenja S(n 1) i S(n). Tada je F n 1 φ n 2 i F n φ n 1, pa je F n+1 F n + F n 1 φ n 1 + φ n 2 φ n 2 (φ + 1). Važno svojstvo broja φ, zbog oga smo i izabrali ovavu varijantu inducije, je da važi φ 2 φ + 1. Sada je F n+1 φ n 2 (φ + 1) φ n, pa je i tvrdjenje S(n + 1) tačno. Ovim smo završili doaz indutivnog oraa i samim tim doazali da tvrdjenje S(n) važi za sve prirodne brojeve n. Napomena Princip matematiče inducije je evivalentan činjenici da je sup prirodnih brojeva dobro uredjen. Ova evivalencija se stoga može isoristiti za nešto drugačije doazivanje tvrdjenja oja važe za prirodne brojeve. Pretpostavimo da imamo tvrdjenje S(n) za oje važi da su tačna tvrdjenja S(1) i tvrdjenje ao je S(n) tačno, tada je i S(n + 1) tačno. Drugačiji način da se doaže da u tom slučaju S(n) važi za sve prirodne brojeve n je sledeći: Pretpostavimo da postoji n tao da tvrdjenje S(n) nije tačno i nea X označava sup svih prirodnih brojeva n za oje tvrdjenje S(n) nije tačno. Kao je sup prirodnih brojeva dobro uredjen, to znači da ao je sup X neprazan, tada on ima najmanji element n 0. Kao je S(1) tačno, imamo da je n 0 > 1. Pošto je n 0 najmanji element supa X, to je n 0

25 1.4. MATEMATIČKA INDUKCIJA 25 1 / X i tvrdjenje S(n 0 1) je tačno. Sada iz indutivnog oraa za n n 0 1 dobijamo da je tvrdjenje S(n 0 ) tačno, tj. da je n 0 / X, što je ontradicija. Ova ontradicija poazuje da je sup X prazan, tj. da je tvrdjenje S(n) tačno za sve prirodne brojeve n. Način doazivanja gde počinjemo rečenicom Nea je n 0 najmanji broj oji ne zadovoljava tvrdjenje oje želimo da doažemo i završavamo ontradicijom ponead zamenjuje matematiču induciju. Oba načina u suštini rade isto, a stvar je oolnosti ili ličnog uusa oji će se način oristiti. Zadaci

26 26 GLAVA 1. UVOD

27 Glava 2 Kombinatoria Glavna tema u ovom poglavlju je razvijanje efiasnih metoda za prebrojavanje onačnog supa X. Kada se X pojavi u složenom problemu, njegovi elementi obično imaju struturu oju je lao opisati matematičim jeziom, ali su za njihovo prebrojavanje potrebni mnogo delotvorniji metodi od puog nabrajanja svih elemenata. U ovom poglavlju počinjemo da razvijamo tave metode. Prvi odelja se bavi definicijom i osnovnim principima prebrojavanja, na oje smo se svi tolio navili da reto obraćamo pažnju na njih. Zbog toga će prvih par teorema iz ovog odelja možda biti dosadne, ali su neophodne za strogo zasnivanje ombinatorie. Posle prvog odelja stvari postaju mnogo zanimljivije. U drugom i trećem odelju posmatramo uredjene i neuredjene izbore elemanata supa. U četvrtom odelju izučavamo identitete sa binomnim oeficijentima, a u poslednjem odelju se bavimo još jednim principom prebrojavanja principom uljučenja i isljučenja. Priča o prebrojavanju se nastavlja u sledećem poglavlju, gde ćemo proučavati metod funcije generatrise, oji će predstavljati naše najjače orudje medju metodima prebrojavanja. 2.1 Principi prebrojavanja Matematiča definicija prebrojavanja Šta mislimo ada ažemo da sup ima n elemenata? Podsetimo se, najpre, ao prebrojavamo jednostavne supove. To radimo tao što redom poazujemo na elemente supa i izgovaramo reči jedan, dva, tri,.... Kada svai element dobije svoj broj, stajemo i poslednji izgovoreni broj predstavlja broj elemenata u supu. 27

28 28 GLAVA 2. KOMBINATORIKA Da bismo ovu aži-i-poaži tehniu preveli na jezi matematie, moramo da, za svai prirodan broj n, definišemo sup N n {1, 2, 3,..., n}. Kaži-i-poaži tehnia svaom elementu supa N n pridružuje element supa X oga prebrojavamo; drugim rečima, ona odredjuje funciju f iz N n u X (sl. 2.1). Jasno je da je funcija f bijecija, jer uolio nismo pogrešili pri brojanju, svai element X dobija tačno jedan broj. Znači, ao je X sup i n prirodan broj i postoji bijecija iz N n u X, tada ažemo da X ima n elemenata. Slia 2.1: Prebrojavanje studenata Primetimo odmah da naša definicija prebrojavanja ne isljučuje mogućnost da sup može istovremeno imati i m elemenata i n elemenata za m n. U suštini, svi smo već isusili situaciju ada smo brojali nei dosta velii sup, recimo broj automobila na paringu, i stalno dobijali različite odgovore. Sledeća teorema je glavni ora u doazu da je ovo moguće samo zbog greše u brojanju, i da je broj elemenata supa jedinstven. Teorema Ao su m i n prirodni brojevi tao da je m < n, tada ne postoji injecija iz N n u N m. Doaz Nea S označava sup prirodnih brojeva n za oje postoji injecija iz N n u N m za neo m < n. Ao S nije prazan sup, onda postoji njegov najmanji element, a pošto je u S, tada postoji injecija i iz N u N l za neo l <. Ne može da bude l 1, pošto svaa funcija iz N u N 1 može da uzme jedino vrednost 1 i stoga ne može da bude injecija definisana na N za > 1. Prema tome l 1 je prirodan broj i situacija može da se priaže ao na sl Slia 2.2: Pretpostavljena injecija i: N N l. Ao nijedna od vrednosti i(1), i(2),..., i( 1) nije jednaa l, tada restricija i na sup N 1 daje injeciju iz N 1 u N l 1. S druge strane, ao je i(b) l za neo b za oje je 1 b 1, tada mora biti i() c l, pošto je i injecija. U ovom slučaju možemo da onstruišemo injeciju i iz N 1 u N l 1 ao što je priazano na sl. 2.3, tj. i (b) c, i (r) i(r) (r b). U svaom slučaju, postojanje injecije iz N 1 u N l 1 je u ontradiciji sa izborom ao najmanjeg elementa u S. Prema tome, S je prazan sup i tvrdjenje je doazano.

29 2.1. PRINCIPI PREBROJAVANJA 29 Slia 2.3: Konstrucija injecije i ada je i(b) l. Pretpostavimo da postoji sup X oji ima n elemenata, a taodje i m elemenata za neo m < n. Zaljučujemo da postoje bijecije β: N n X, γ: N m X, pa su i γ 1 i γ 1 β taodje bijecije. Posebno, γ 1 β je injecija iz N n u N m, što je suprotno teoremi Prema tome, tvrdjenje X ima n elemenata može da važi za najviše jedan prirodan broj n. Princip jednaosti Kada X ima n elemenata pišemo X n i ažemo da je ardinalnost (ili veličina) supa X jednaa n. Za prazan sup posebno usvajamo da je 0. Kada je X n, često je pogodno pisati X {x 1, x 2,..., x n }, što je samo drugi način da se aže da postoji bijecija β iz N n u X tao da je β(i) x i (1 i n). Sup X je onačan ao je prazan ili je X n za nei prirodan broj n. Sup je besonačan ao nije onačan. Taav je, na primer, sup svih prirodnih brojeva N. Sada dolazimo do prvog principa prebrojavanja principa jednaosti. Teorema (Princip jednaosti) Ao izmedju dva onačna supa A i B postoji bijecija, tada je A B. Doaz Zbog postojanja bijecije izmedju A i B, iz A sledi da je B, a taodje iz B sledi da je A, pa u svaom slučaju važi A B 0. U suprotnom, nea je A n, B m za nee prirodne brojeve n i m i nea su α: N n A, β: N m B i γ: A B bijecije. Tada je β 1 γα bijecija iz N n u N m. Ao je m < n, tada je β 1 γα ujedno i injecija iz N n u N m, što je u ontradiciji sa teoremom Ao je m > n, tada je α 1 γ 1 β injecija iz N m u N n, što je opet u ontradiciji sa teoremom Prema tome, mora da važi m n. Princip zbira Sledeći princip je taodje veoma jednostavan i orišćen je pri prebrojavanju još od pradavnih vremena.

30 30 GLAVA 2. KOMBINATORIKA Teorema (Princip zbira) Ao su A i B neprazni i disjuntni onačni supovi (tj. A B ), tada je A B A + B. Doaz Pošto su A i B neprazni i onačni supovi, možemo da ih zapišemo u standardnom obliu: A {a 1, a 2,..., a r }, B {b 1, b 2,..., b s }. Pošto su A i B disjuntni, unija A B može da se zapiše u sličnom obliu: gde je A B {c 1, c 2,..., c r, c r+1, c r+2,..., c r+s }, c i a i (1 i r) i c r+i b i (1 i s). Prema tome, A B r + s A + B. Jasno je da princip zbira i dalje važi ao je jedan od supova A i B prazan (ili ča i oba). Ovaj princip se na očigledan način može proširiti na uniju proizvoljnog broja disjuntnih onačnih supova A 1, A 2,..., A n : A 1 A 2... A n A 1 + A A n. Doaz ove činjenice je laa vežba za orišćenje matematiče inducije. Princip proizvoda Često smo u situaciji da brojimo stvari oje se laše predstavljaju ao parovi objeata, nego ao pojedinačni objeti. Pretpostavimo, na primer, da je studentsa služba na Odseu za matematiu sredjivala prijave studenata za otobarsi ispitni ro. Pritom su došli do situacije ao u tabeli 2.1. Algebra Disretna mat. Mat. analiza Ana Brano Ceca Zlato Tabela 2.1: Ispiti prijavljeni u otobarsom rou. U tabeli, svaa vrsta odgovara jednom studentu, svaa olona jednom predmetu, a ao je student x prijavio ispit y tada je na odgovarajućoj poziciji (x, y) u tabeli postavljen zna. Uupan broj ovih znaova je ujedno i broj ispitnih prijava. Drugim rečima, problem je prebrojati sup S parova (x, y) tao da je

31 2.1. PRINCIPI PREBROJAVANJA 31 student x prijavio ispit y. U opštem obliu, ao su X i Y dati supovi, problem je prebrojati podsup S supa X Y. Jasno je da postoje dva načina prebrojavanja ispitnih prijava iz tabele 2.1. S jedne strane, možemo da prebrojavamo predmete oje je prijavio svai student ponaosob i saberemo rezultate, do s druge strane, možemo da prebrojavamo studente oji su prijavili svai predmet ponaosob i saberemo rezultate. Naravno, za očeivati je da će oba načina dati isti broj. Ova razmatranja možemo da preciziramo na sledeći način. Pretpostavimo da je podsup S supa X Y (gde su X i Y onačni supovi) dat pomoću znaova u opštem obliu tabele 2.2 iz studentse službe. y Zbir u vrsti x r x (S) Zbir u oloni c y (S) S Tabela 2.2: Ispiti prijavljeni u otobarsom rou. Prvi način prebrojavanja je da izbrojimo olio se puta zna pojavljuje u vrsti x i dobijemo vrednost r x (S), za svao x u X (tj. r x (S) S {(x, y): y Y } ). Uupan zbir se dobija sabiranjem svih zbirova po vrstama: S x X r x (S). Drugi način je da izbrojimo olio se puta zna pojavljuje u oloni y i dobijemo vrednost c y (S), za svao y u Y (tj. c y (S) S {(x, y): x X} ). U ovom slučaju uupan zbir se dobija sabiranjem svih zbirova po olonama: S y Y c y (S). Činjenica da imamo dva različita izraza za S često se oristi u prasi za proveru rezultata računanja. Ona taodje ima veliu važnost i u teoriji, zato što ponead možemo da dobijemo veoma neočeivane rezultate izjednačavanjem dva izraza od ojih svai prebrojava isti sup samo na drugačiji način. Ovim dolazimo i do sledećeg principa prebrojavanja. Teorema Nea su X i Y onačni neprazni supovi, i nea je S podsup X Y. Tada važi: (i) Broj elemenata supa S je dat sa S x X r x (S) y Y c y (S),

32 32 GLAVA 2. KOMBINATORIKA gde su r x (S) i c y (S) zbirovi po vrstama i olonama ao su ranije navedeni. (ii) Ao je r x (S) r za svao x i c y (S) c za svao y, tada je r X c Y. (iii) (Princip proizvoda) Broj elemenata supa X Y jedna je X Y X Y. Doaz (i) Sup znaova u vrsti x može se formalno definisati ao sup parova iz S čija je prva oordinata jednaa x, tao da je r x (S) ardinalnost ovog supa. Pošto su ovi supovi disjuntni, iz principa sabiranja sledi da je S jednao zbiru brojeva r x (S). Slično se doazuje i rezultat za c y (S). (ii) Ao je r x (S) r za sve x S, tada u prvom izrazu za S ima X sabiraa jednaih r, pa je S r X. Slično je S c Y i rezultat sledi. (iii) U ovom slučaju je S X Y, pa je r x (S) Y za svao x iz X. Iz dela (ii) sada sledi da je X Y X Y. Primer Pretpostavimo da je Odse za matematiu odlučio da svai student mora da prijavi tri ispita u otobarsom rou. Pošto su ispiti održani, asistenti su prijavili da su brojevi studenata oji su izašli na ispite jednai 32, 28, 14, 10, 9, 5. Šta zaljučujemo iz ovoga? Rešenje Nea je n uupan broj studenata. Pošto se pretpostavlja da je svai student izašao na tri ispita, po metodu zbira po vrstama uupan broj studenata oji su izašli na ispite je 3n. S druge strane, asistenti su prijavili zbirove po olonama, pa treba da važi 3n Medjutim, ovo je nemoguće, jer 98 nije deljivo sa 3. Kao odbacujemo mogućnost da su asistenti dali pogrešne brojeve, jedini zaljuča je da nei studenti nisu izašli na prijavljene ispite. Ali to ionao više nioga ne začudjuje! Dirihleov princip Teorema 2.1.1, oju smo doazali da bi opravdali definiciju ardinalnosti, može da se upotrebi na još neolio načina. Pretpostavimo da imamo sup X, čije ćemo elemente zvati loptice, i sup Y, čije ćemo elemente zvati utije. Distribucija loptica u utije je jednostavno funcija f iz X u Y : ao loptica x ide u utiju y, tada je f(x) y. Za primer, distribucija na sl. 2.4 odgovara funciji priazanoj na desnoj strani. U ovom modelu, funcija je surjecija ao se u svaoj utiji nalazi bar jedna loptica, a injecija je ao se u svaoj utiji nalazi najviše jedna loptica. Sada

33 2.1. PRINCIPI PREBROJAVANJA 33 Slia 2.4: Distribucija i odgovarajuća funcija. je jasno da ao ima više loptica nego utija tada se u neoj utiji moraju naći bar dve loptice; drugim rečima funcija ne može da bude injecija. Formalno, ovo je posledica teoreme Pretpostavimo da je X m i Y n, gde je m > n; tada injecija iz X u Y daje injeciju iz N m u N n, što je u suprotnosti sa teoremom. Ovo zapažanje je poznato ao Dirihleov princip: ao je m loptica smešteno u n utija i m > n, tada se bar u jednoj utiji nalaze bar dve loptice. Ima mnogo očiglednih primena Dirihleovog principa, ao što su: (i) U svaom supu od 13 ili više osoba, postoje bar dve oje su rodjene istog meseca. (ii) U svaom supu od 367 ili više osoba, postoje bar dve oje su rodjene istog dana. (iii) U svaom supu od milion osoba, postoje bar dve oje imaju isti broj dlaa na glavi. Naravno, postoje i nešto umesnije primene. Primer Doazati da ao je X sup osoba, tada postoje dve osobe u X oje imaju isti broj prijatelja u X. (Pretpostavlja se da ao je x prijatelj y, tada je i y prijatelj x.) Rešenje iz X, Posmatrajmo funciju f definisanu na X tao da je za svau osobu x f(x) broj prijatelja x u X. Ao je X m, moguće vrednosti f(x) su 0, 1,..., m 1, pošto prijatelj x može da bude svaa osoba iz X izuzev x. Prema tome, f je funcija iz X u Y {0, 1,..., m 1}. U ovom trenutu ne možemo odmah da primenimo Dirihleov princip, pošto supovi X i Y imaju isti broj elemenata. Medjutim, ao postoji osoba x oja ima m 1 prijatelja, onda je svaa osoba prijatelj x, pa prema tome ne postoji osoba oja nema prijatelja. Drugim rečima, brojevi m 1 i 0 ne mogu istovremeno biti vrednosti funcije f. To znači da je f funcija iz supa veličine m na sup veličine m 1 (ili manje), pa nam Dirihleov princip aže da postoje dve osobe x 1 i x 2, za oje je f(x 1 ) f(x 2 ), ao što se i tvrdilo. Primenom principa zbira dobija se nešto opštiji obli Dirihleovog principa. Pretpostavimo da je odredjeni broj loptica smešten u n utija i nea A i označava sup loptica u utiji i (1 i n). Pošto su supovi A i disjuntni, uupan

34 34 GLAVA 2. KOMBINATORIKA broj loptica je A 1 + A A n, i ao se u svaoj utiji nalazi najviše r loptica, uupan broj loptica je najviše Drugim rečima: r + r r nr. ao je m loptica smešteno u n utija i m > nr, tada se bar u jednoj utiji nalazi bar r + 1 loptica. Primer Doazati da u svaom supu od šest osoba postoje tri osobe tao da se one uzajamno poznaju ili se uzajamno ne poznaju. Rešenje Nea je a proizvoljna osoba iz ovog supa i smestimo preostalih pet osoba u dve utije: utija 1 sadrži osobe oje poznaju a, a utija 2 sadrži osobe oje ne poznaju a. Pošto je 5 > 2 2, jedna od ovih utija sadrži bar tri osobe. Pretpostavimo da utija 1 sadrži osobe b, c i d (a možda i još nee). Ao se bilo oje dve od osoba b, c i d poznaju, recimo b i c, tada je {a, b, c} sup od tri osobe oje se uzajamno poznaju. U suprotnom, nioje dve osobe iz supa {b, c, d} se ne poznaju, pa taj sup taodje zadovoljava uslove tvrdjenja. U slučaju da utija 2 sadrži tri ili više osoba, sličnim razmatranjem se dolazi do istog zaljuča. Primer Ovde treba staviti nei žešći primer upotrebe Dirihleovog principa. Tao nešto bi trebalo da se nadje u njizi Proofs from THE BOOK. Zadaci 1. Predavanju iz Disretne matematie prisustvuje 26 studenata. Svai mladić poznaje tačno 8 devojaa na predavanju, a svaa devoja poznaje tačno 5 mladića. Kolio devojaa ima na predavanju? 2. Dato je neolio različitih podsupova supa {1, 2,..., 8}, tao da svai od njih ima četiri elementa i da se svai element supa {1, 2,..., 8} nalazi u tačno tri od datih podsupova. Kolio ima podsupova? Nadjite bar jednu familiju podsupova sa tavim osobinama. 3. Da li je moguće naći familiju podsupova supa {1, 2,..., 8} tao da svai od njih ima tačno tri elementa i da se svai element supa {1, 2,..., 8} nalazi u tačno pet podsupova? 4. Slepi čove ima hrpu od 10 sivih i 10 crnih čarapa. Kolio čarapa treba da izabere da bi bio siguran da ima par iste boje? Kolio njih treba da izabere da bi bio siguran da ima par sive boje? 5. U vadratu stranice 2 dato je 5 tačaa. a) Doazati da postoje dve tače tao da je njihovo rastojanje najviše 2. b) Kolio tačaa mora da bude izabrano tao da postoji bar jedan par tačaa na rastojanju najviše 2 za n N? n