Sadrˇzaj Sadrˇzaj 12 TEORIJA PROCJENA
|
|
- ŌΘωμᾶς Ακρίδας
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Sadrˇzaj Sadrˇzaj 2 TEORIJA PROCJENA 3 2. TOČKASTE PROCJENE REGRESIJSKA ANALIZA ML-PROCJENITELJI tko želi zati više Poovimo
2 Radi materijal 2
3 Poglavlje 2 TEORIJA PROCJENA Teorija procjee sastoji se u kostrukciji metoda za ocjeu vrijedosti jedog ili više parametara pozate distribucije slučaje varijable. U prethodom poglavlju smo za slučaju varijablu X (statističko obilježje) promatrali vrijedosti x, x 2,..., x kao uzorak veličia. U ovom poglavlju ćemo vrijedosti x, x 2,..., x promatrati kao pojediače vrijedosti iza od ezavisih slučajih varijabli X, X 2,..., X koje imaju istu distribuciju kao i slučaja varijable X. Defiicija 2. (SLUČAJNI UZORAK veličie ) Neka je X slučaja varijabla (statističko obilježje populacije) s fukcijom distribucije F(x). Slučaji uzorak veličie za slučaju varijablu X je slučaji vektor (X, X 2,..., X ), gdje su sve slučaje varijable X i,,...,, ezavise sa zajedičkom fukcijom distribucije vjerojatosti F(x). Vrijedost slučajog uzorka je uredea -torka (x, x 2,..., x ) ako je izmjerea vrijedost slučajih varijabli X i jedaka x i R(X),,...,. Ako je X diskreta slučaja varijabla (R(X) je koača ili prebrojiv), oda je (X, X 2,..., X ) diskreti slučaji uzorak, a ako je X kotiuiraa slučaja varijabla (R(X) R), oda je (X, X 2,..., X ) kotiuirai slučaji uzorak. Defiicija 2.2 (STATISTIKA) Ako je Y = h(x, X 2,..., X ), gdje je h fukcija od varijabli, oda se slučaja varijabla Y aziva statistika. NAPOMENA 2. Odabrai elemeti uzorka veličie iz populacije trebaju biti izabrai slučajo. Trebamo koristiti tablicu slučajih brojeva za izbor slučajih brojeva ili program za geeriraje slučajih brojeva. 3
4 PRIMJER 2. Zadaa je diskreta slučaja varijabla X s fukcijom vjerojatosti x i 0 2 p i 2 Što je uzorak veličie 2 za ovu slučaju varijablu? Odredi sve moguće vrijedosti slučajog uzorka veličie 2 za X. 3 6 Rješeje: Slučaji uzorak veličie 2 za slučaju varijablu X je slučaji vektor (X, X 2 ), gdje su sve slučaje varijable X i X 2 ezavise i jedake fukcije distribucije kao i X. Slika slučaje varijable X je R(X) = {0,, 2}. Slučaje varijable X i X 2 mogu poprimiti iste vrijedosti kao i X. Vrijedost slučajog uzorka je uredea dvojka (x, x 2 ) elemeata iz R(X), tj. to je varijacija s poavljajem r = 2-og razreda od = 3 elemeata. Broj svih takvih varijacija je V (2) 3 = 3 2 = 9. Sve moguće vrijedosti slučajog uzorka veličie 2 za slučaju varijablu X: (0,0), (0,), (0,2), (,0), (,), (,2), (2,0), (2,), (2,2). Radi materijal 4
5 2. TEORIJA PROCJENA 2. TOČKASTE PROCJENE PARAMETARA MOTIV 2. Koliki uzorak iz ormale razdiobe s varijacom 8 treba biti da bi s vjerojatošću apsoluta razlika uzoračke aritmetičke sredie i očekivaja bila maja od 5.5? Slučaja varijabla je odredea svojom fukcijom distribucije. Moga statistička obilježja imaju zajedičku teorijsku fukciju distribucije pa govorimo o pozatim distribucijama (razdiobama): bioma, uiforma, ormala, Poissoova,... Svaka razdioba karakteriziraa je svojim parametrima, p, a, b, µ, σ 2, λ,...: X B(, p), X U(a, b), X N(µ, σ 2 ), X Po(λ),... Ako želimo odrediti vezu izmedu teorijske i statističke razdiobe postavljaju se dva zadatka:. parametarske procjee, kada pretpostavimo teorijsku razdiobu i moramo odrediti (procijeiti) parametre te razdiobe. 2. eparametaske procjee, kada moramo odabrati razdiobu. Defiicija 2.3 (PROCJENITELJ ILI ESTIMATOR) Procjeitelj epzatog parametra t je fukcija slučajog uzorka T = h(x, X 2,..., X ). Procjeitelj je statistika. Zadatak je odrediti procjeitelj T za parametar t koji će ajbolje procijeiti t. Za procjeu jedog parametra možemo izabirati raze procjeitelje (fukcije h). Defiicija 2.4 (NEPRISTRANI PROCJENITELJ) Procjeitelj T je epristra za parametar t ako je očekivaje od T jedako vrijedosti parametra t: E( T) = t. Defiicija 2.5 (ASIMPTOTSKI NORMALAN PROCJENITELJ) T t Procjeitelj T je asimptotski ormala za parametar t ako slučajoj varijabli Var( T) asimptotski, kad, pripada stadarda ormala razdioba (distribucija) N(0,). 5 Radi materijal
6 2.. TOČKASTE PROCJENE Defiicija 2.6 (UZORAČKA ARITMETIČKA SREDINA) Statistika X = h(x, X 2,..., X ) = X i zove se uzoračka aritmetička sredia. Vrijedost uzoračke aritmetičke sredie račua pomoću r x = h(x, x 2,..., x ) = x i, x = x k f k. TEOREM 2. (Svojstva uzoračke aritmetičke sredie) (i) Neka je X slučaja varijabla s teorijskim očekivajem µ, i varijacom σ 2, 0 < σ 2 <, koju ispitujemo pomoću slučajog uzorka (X, X 2,..., X ). Uzoračka aritmetička sredia X je pouzda procjeitelj za µ: E(X) = µ. (ii) Var(X) = σ2. (iii) X N(µ, σ2 ) ako je ormala distribucija. (iv) Uzoračka aritmetička srediax je asimptotski ormala procjeitelj za µ: X = X µ N(0, ). Var(X) Dokaz:tko želi zati više (i) E(X) = E( X i ) = (ii) (iii) prema (i) i (ii). E(X i ) = Var(X) = Var( µ = µ. X i ) = 2 Var( X i ) = 2 Var( X i ) = 2 Var(X i ) = 2 Var(X i) = σ2. (iv) Prisjetimo se cetralog graičog teorema: Neka je S = X + X X,tada slučaja varijabla S µ σ kovergira k N(0, ). X = X µ = Var(X) S µ S µ = σ σ2 kovergira ( ) k N(0, ). Radi materijal 6
7 2. TEORIJA PROCJENA PRIMJER 2.2 Izračuati P(69 < X < 75), ako je X uzoračka aritmetička sredia uzorka veličie =36 iz ormale razdiobe X N(70, 44). Rješeje: Ako je X N(70, 44) i = 36, oda je X N(70, 4), X = X µ σ = X 70 2 N(0, ). P(69 < X < 75) = F ( 75 µ ) F ( 59 µ ) σ σ = F ( ) F ( ) = F (2.5) F ( 0.5) = Prisjetimo se motivacijskog primjera: PRIMJER 2.3 motiv Koliki uzorak iz ormale razdiobe s varijacom 8 treba biti da bi s vjerojatošću apsoluta razlika uzoračke aritmetičke sredie i očekivaja bila maja od 5.5? Rješeje: Neka je X N(µ, 8) i P( X µ < 5.5) Trebamo odrediti veličiu uzorka. Zamo da je X N(µ, 8 ), a X = X µ σ = X µ 9 N(0, ). P( X µ < 5.5) = P( X µ σ < 5.5 σ ) = P( X 5.5 σ ) = 2F ( 5.5 σ ). Iz zadae vjerojatosti dobivamo: 2F ( 5.5 σ ) , F ( 5.5 σ ) σ 2. Defiicija 2.7 (UZORAČKA VARIJANCA) Statistika Σ 2 = (X i X) 2 zove se uzoračka varijaca. Σ 2 = X 2 i X 2 Vrijedost uzoračke varijace račua se formulom σ 2 = (x i x) 2 = x 2 i x 2. 7 Radi materijal
8 2.. TOČKASTE PROCJENE σ 2 = r (x k x)2 f k = r (x k )2 f k x 2. TEOREM 2.2 (Svojstva uzoračke varijace) Neka je X slučaja varijabla s teorijskim očekivajem µ i varijacom σ 2, koju ispitujemo pomoću slučajog uzorka (X, X 2,..., X ). procjeitelj za σ 2 : E( Σ 2 ) = σ2. Dokaz:tko želi zati više Prisjetimo se da je Var(X)=E(X 2 ) E(X) 2 i Var(X) = σ2. E( Σ 2 ) = E( = X 2 i X 2 ) = Uzoračka varijaca Σ 2 ije pouzda E(X 2 i ) E(X2 ) [Var(X i ) + E(X i ) 2 ] [Var(X) + E(X) 2 ] = [Var(X i ) + E(X i ) 2 ] [Var(X) + E(X) 2 ] = [σ 2 + µ 2 ] [ σ2 + µ 2 ] = σ2. Defiicija 2.8 (KORIGIRANA UZORAČKA VARIJANCA) Statistika Ŝ2 = (X i X) 2 zove se korigiraa uzoračka varijaca. Ŝ 2 = Σ 2 = ( X 2 i X 2 ). Vrijedost korigirae uzoračke varijace račua se formulom ŝ 2 = ŝ 2 = (x i x) 2 = ( x 2 i x 2 ). r (x k x)2 f k = r ( (x k )2 f k x 2 ). TEOREM 2.3 (Svojstva korigirae uzoračke varijace) Neka je X slučaja varijabla s teorijskim očekivajem µ i varijacom σ 2, koju ispitujemo pomoću slučajog uzorka (X, X 2,..., X ). Korigiraa uzoračka varijaca Ŝ2 je pouzda procjeitelj za σ 2 : E(Ŝ2 ) = σ 2. Radi materijal 8
9 2. TEORIJA PROCJENA Dokaz: Prisjetimo se da je E( Σ 2 ) = σ2. E(Ŝ2 ) = E( Σ 2 ) = E( Σ 2 ) = σ2 = σ 2. TEOREM 2.4 (O VEZI Ŝ2, Σ 2 I DISTRIBUCIJA χ 2 ( ), t( )) Neka su X, Ŝ2, Σ 2 statistike slučajog uzorka (X, X 2,..., X ) iz ormale razdiobe X N(µ, σ 2 ). Tada vrijedi: (i) Statistika σ 2 Ŝ2 = σ 2 Σ 2 χ 2 ( ), (ii) Statistika X µ Ŝ Dokaz: tko želi zati više = X µ Σ t( ). (i) Dokaz je slože i koristi svojstvo χ 2 () distribucije: Y χ 2 () ako je Y = Y 2 + Y Y2, Y i N(0, ). (ii) Koristimo svojstvo Studetove distribucije s stupjeva slobode t() : Z t() ako je Z = Y U, za Y N(0, ), U χ2 (). Račuamo za X N(µ, σ 2 ), X N(µ, σ2 ), X = X µ σ N(0, ) : X µ Ŝ = X µ σ = X µ σ σ. σ 2 Ŝ2 Ŝ2 = X µ σ σ 2 Ŝ2 Prema tvrdji (i) zaključujemo X µ t( ). Koristeći Ŝ2 = Ŝ Σ 2 možemo dobiti i tvrdju X µ t( ). Σ PRIMJER 2.4 Izračuati uzoračku aritmetičku srediu, uzoračku varijacu i korigirau uzoračku varijacu u primjeru težia studeata. x ksr f k =00 9 Radi materijal
10 2.. TOČKASTE PROCJENE Rješeje: x = x = r x k f k. r = x ksr f k = ( ) 00 = 67, 45 ŝ 2 = ( r (x k )2 f k x 2 ) ŝ 2 = r ( (x ksr )2 f k x 2 ) = = 8, 636 σ 2 = r (x k )2 f k x 2. σ 2 = r (x ksr )2 f k x 2 = = 8, 5275 Radi materijal 0
11 2. TEORIJA PROCJENA 2.2 REGRESIJSKA ANALIZA MOTIV 2.2 Deformacije x [mm] i Briellova tvrdoća y [ kg mm 2 ] za eki tip čelika dai su tablicom x y Odredite pravce regresije, uzorački koeficijet regresije i uzorački koeficijet korelacoje. Jesu li deformacija i Briellova tvrdoća jako korelirae? Defiicija 2.9 (UZORAČKA KOVARIJANCA. UZORAČKI KOEFICIJENT KORELACIJE) Neka je za zadai slučaji 2-dim vektor (X, Y) dobive slučaji uzorak (x, y ), (x 2, y 2 ),..., (x, y ). Statistika µ XY = (X i X)(Y i Y) zove se uzoračka kovarijaca. Vrijedost korigirae uzoračke kovarijace račua se formulom µ xy = (x i x)(y i y) Neka su σ i σ 2 uzoračke stadarde devijacije od X i Y. Uzorački koeficijet korelacije kompoeti X i Y slučajog vektora je defiira s ρ xy = µ xy σ σ 2. ρ xy = x y ( x) ( y) x 2 ( x) 2 y 2 ( y) 2. NAPOMENA 2.2 (regresijska aaliza) Regresijska aaliza (egl. regressio aalysis) je statistička metoda za odedivaje veze medu slučajim varijablama. Promatramo u slučajom vektoru (X, Y) jedu slučaju varijablu (pr. X) kao ezavisu-kotrolirau (jee vrijedosti zadajemo). Druga varijabla Y je slučaja varijabla i zaima as kako oa ovisi o X. Prema Napomei?? u poglavlju Dvodimezioali slučaji vektor račuamo uzoračke pravce regresije. Ako je X ezavisa varijabla i Y = ax + b, parametre a i b možemo odrediti metodom ajmajih kvadrata tako da E((Y (ax + b)) 2 ) ima miimalu vrijedost. Radi materijal
12 2.2. REGRESIJSKA ANALIZA a = ρ xy σ 2 = µ XY σ σ 2 je uzorački koeficijet regresije Y po X. b = y ρ xy σ 2 x = y µ xy σ σ 2 x y y = µ xy σ 2 (x x), y y = ρ XY σ2 σ (x x) je pravac regresije Y po X. Aalogo, ako je X=aY+b a = ρ xy σ = µ XY σ 2 σ 2 je uzorački koeficijet regresije X po Y 2 x x = µ xy σ 2 (Y y) 2 x x = ρ xy σ σ 2 (y y) je pravac regresije X po Y. PRIMJER 2.5 U tablici su zapisai uzorci visia x i y od 2 mama i jihovih kćeri. x y Oderedite uzorački pravac regresije Y u odosu a X i uzorački pravac regresije X u odosu a Y. Odredite uzorački koeficijet korelacije i uzorački koeficijet regresije Y po X. Jesu li visie mama i kćeri jako korelirae? Rješeje: Trebamo odrediti a i b u jedadžbi y = ax + b : a = µ xy σ 2 = x y ( x) ( y) x 2 ( x) 2 b = y µ xy σ 2 x = ( y) ( x 2 ) ( x) ( x y) x 2 ( x) 2 Račuamo: x = 2033, y = 206, x 2 = , x y = , y 2 = Uzorački koeficijet regresije Y po X je a = 0.48, b = 90.9 pa je pravac regresije Y Radi materijal 2
13 2. TEORIJA PROCJENA po X y = 0.48x Trebamo odrediti a i b u jedadžbi x = a y + b : a = µ xy σ 2 2 = x y ( x) ( y) y 2 ( y) 2 b = x µ xy σ 2 y = ( x) ( y 2 ) ( y) ( x y) y 2 ( y) 2 Uzorački koeficijet regresije X po Y je a =.02, b = 5.2 pa je pravac regresije X po Y x =.02x 5.2. Uzorački koeficijet korelacije je ρ xy = µ xy σ σ 2. ρ xy = x y ( x) ( y) x 2 ( x) 2 y 2 ( y) 2 = Prisjetimo se motivacijskog primjera: PRIMJER 2.6 motiv Deformacije x [mm] i Briellova tvrdoća y [ kg mm 2 ] za eki tip čelika dai su tablicom x y Odredite pravce regresije, uzorački koeficijet korelacije i uzorački koeficijet regresije. Jesu li deformacije i Brieellova tvrdoća jako korelirae? Rješeje: Trebamo odrediti a i b u jedadžbi y = ax + b : a = µ xy σ 2 = x y ( x) ( y) x 2 ( x) 2 b = y µ xy σ 2 x = ( y) ( x 2 ) ( x) ( x y) x 2 ( x) 2 Račuamo: x = 83, y = 440, x 2 = 4665, x y = 770, y 2 = Uzorački koeficijet regresije Y po X je a =.32, b = pa je pravac regresije 3 Radi materijal
14 2.2. REGRESIJSKA ANALIZA Y po X y =.32x Trebamo odrediti a i b u jedadžbi x = a y + b : a = µ xy σ 2 2 = x y ( x) ( y) y 2 ( y) 2 b = x µ xy σ 2 y = ( x) ( y 2 ) ( y) ( x y) y 2 ( y) 2 Uzorački koeficijet regresije X po Y je a = 0.72, b = pa je pravac regresije X po Y x = 0.72x Uzorački koeficijet korelacije je ρ xy = x y ( x) ( y) x 2 ( x) 2 y 2 ( y) 2 = 0.97 Budući je ρ xy slučaje varijable su liearoj vezi, jako korelirae. Radi materijal 4
15 2. TEORIJA PROCJENA 2.3 METODA NAJVEĆE VJEROJATNOSTI (ML) tko želi zati više U ovom poglavlju istakuli smo primjere s ozakom važo u kojima su dai procjeitelji za parametre osovih distribucija u smislu ajveće vjerojatosti. MOTIV 2.3 U četiri mjereja Rockwellove tvrdoće jede ploče radici du dobili sljedeće vrijedosti: 64.9, 64., 63.8, (a) Izračuajte vrijedost procjeitelja (u smislu ajveće vjerojatosti) za očekivaje i varijacu tvrdoće ako pretpostavimo ormalu distribuciju. (b) Izračuajte vrijedost epristraih procjeitelja za očekivaje i varijacu tvrdoće ako pretpostavimo ormalu distribuciju. Defiicija 2.0 (FUNKCIJA VJERODOSTOJNOSTI) Neka je X slučaja varijabla (statističko obilježje) sa teorijskom fukcijom distribucije F(x,t) s epozatim parametrom t i sa fukcijom vjerojatosti za diskretu razdiobu i fukcijom gustoće vjerojatosti za kotiuirau f(x,t). Neka je (x, x 2,..., x ) vrijedost slučajog uzorka (X, X 2,..., X ) za promatrau varijablu. Za diskretu razdiobu fukcija vjerodostojosti L(t) defiira se kao fukcija vjerojatosti slučajog uzorka (slučajog vektora): L(t) = P(X = x, t) P(X = x 2, t)... P(X = x, t). Za kotiuirau razdiobu fukcija vjerodostojosti L(t) defiira se kao fukcija gustoće vjerojatosti slučajog uzorka (slučajog vektora): L(t) = f (x, t) f (x 2, t)... f (x, t). Metoda ajveće vjerojatosti (ML = maximum likelihood method), za odredivaje procjeitelja T = h(x, X 2,..., X ) za epozati parametar t sastoji se u izboru oe fukcije h takve da fukcija vjerodostojosti L(t) (ili ll(t)) dostiže ajveću vrijedost za t = h(x, x 2,..., x ). PRIMJER 2.7 važo d dt L(t) = 0 t = h(x, x 2,..., x ) T = h(x, X 2,..., X ). Metodom ajveće vjerojatosti pokažite da je procjeitelj za parametar λ u populaciji s Poisoovom razdiobom Po(λ) jedak T = X. 5 Radi materijal
16 2.3. ML-PROCJENITELJI tko želi zati više Rješeje: Neka je X Po(λ). Teorijska fukcija vjerojatosti je f (x, λ)=p(x = x, λ) = λx x! eλ. Trebamo aći ML-procjeitelj za λ. Fukcija vjerodostojosti je L(λ) = P(X = x, λ) P(X = x 2, λ)... P(X = x, λ) = λx x! eλ λx2 x 2! eλ... λx x! eλ = λ x i x!x 2!...x! e λ. Tražimo maksimum fukcije vjerodostojosti l L(λ): l L(λ) = λ + x i l λ l(x i!), λ = h(x, x 2,..., x ) = d dλ l L(λ) = + x i. λ d dλ l L(λ) = 0 λ = x i = x. x i T = h(x, X 2,..., X ) = X i. ML-procjeitelj za λ u Poisoovoj razdiobi je T = X. Možemo pokazati da je T epristrai procjeitelj E( T) = λ. Prisjetimo se da je E(X)=λ i da je X epristrai procjeitelj za očekivaje. E( T) = E(X) = E(X) = λ. PRIMJER 2.8 važo Metodom ajveće vjerojatosti pokažite da je procjeitelj (a) za parametar µ jedak T = X u populaciji s Normalom razdiobom N(µ, σ 2 ) ako je σ 2 pozato (b) za parametar σ 2 u populaciji s Normalom razdiobom N(µ, σ 2 ) ako je µ pozato jedak T = Σ 2. Rješeje: Neka je X N(µ, σ 2 ). Teorijska fukcija gustoće vjerojatosti je f (x, µ, σ 2 ) = (x µ) 2 σ 2π e 2σ 2. Trebamo aći ML-procjeitelje za µ i σ 2. Fukcija vjerodostojosti je: L(µ, σ 2 ) = f (x, t) f (x 2, t)... f (x, t) = ( σ 2π ) e Radi materijal 6 2σ 2 (xi µ) 2.
17 2. TEORIJA PROCJENA l L(µ, σ 2 ) = 2σ 2 (x i µ) 2 l σ l 2π. (a) d dµ l L(µ, σ2 ) = (x σ 2 i µ) = 0, d dµ l L(µ, σ2 ) = 0 µ = x i = x, ML-procjeitelj za očekivaje u ormaloj razdiobi je T = X. To je epristrai procjeitelj za µ jer je E( T)=µ. (b) d dσ l L(µ, σ2 ) = (x σ 3 i µ) 2 σ = 0, d dσ l L(µ, σ2 ) = 0 σ 2 = (x i µ) 2 = σ, uzoračka varijaca. ML-procjeitelj za varijacu u ormaloj razdiobi je T = Σ 2. To ije epristrai procjeitelj za σ 2 jer je E( T)= σ2. Prisjetimo se motivacijskog primjera: PRIMJER 2.9 motiv U četiri mjereja Rockwellove tvrdoće jede ploče radici du dobili sljedeće vrijedosti: 64.9, 64., 63.8, (a) Izračuajte vrijedost procjeitelja (u smislu ajveće vjerojatosti- ML-procjeitelj ) za očekivaje i varijacu tvrdoće ako pretpostavimo ormalu distribuciju. (b) Izračuajte vrijedost epristraih procjeitelja za očekivaje i varijacu tvrdoće ako pretpostavimo ormalu distribuciju. Rješeje: (a) ML-procjeitelj za očekivaje µ je uzoračka aritmetička sredia X. x = x i = 64.2 ML-procjeitelj za varijacu σ 2 je uzoračka varijaca Σ 2. σ 2 = (x i x) 2 = 0.75 (b)nepristrai procjeitelj za očekivaje µ je uzoračka aritmetička sredia X. x = x i = 64.2 Nepristrai procjeitelj za varijacu σ 2 je korigiraa uzoračka varijaca Ŝ2. ŝ 2 = (x i x) 2 = Radi materijal
18 2.3. ML-PROCJENITELJI tko želi zati više PRIMJER 2.0 važo Metodom ajveće vjerojatosti pokažite da je procjeitelj za parametar p u populaciji s Biomom razdiobom B(m, p) uz pretpostavku da je m pozato jedak T = X m Rješeje: Neka je X B(m, p). Teorijska fukcija vjerojatosti je f (x, m, p)=p(x = x, m, p) = ( ) m x ( p) m x p x. Trebamo aći ML-procjeitelj za p. Fukcija vjerodostojosti je L(p) = P(X = x, m, p) P(X = x 2, m, p)... P(X = x, m, p) = ( ) m ( p) m x i p x i xi Tražimo maksimum fukcije vjerodostojosti l L(p): ( ) m l L(p) = [l + (m x i ) l( p) + x i l p], xi p = h(x, x 2,..., x ) = m d l L(p) = (m x i ) + x i dp p p d dλ l L(λ) = 0 p = m x i = m x T = h(x, X 2,..., X ) = m X i = m X. x i = m x. ML-procjeitelj za p u Biomoj razdiobi B(m, p) s pozatim m je T = m X. Možemo pokazati da je T epristrai procjeitelj E( T) = p. Prisjetimo se da je E(X)=mp i da je X epristrai procjeitelj za očekivaje. E( T) = E( m X) = m E(X) = m E(X) = mp = p. m Radi materijal 8
19 2. TEORIJA PROCJENA 2.4 Poovimo PROCJENITELJI PARAMETARA ZADANE DISTRIBUCIJE s očekivajem µ i varijacom σ 2 slučaji uzorak statistika (X, X 2,..., X ) : Ω R T = h(x, X 2,..., X ), T : Ω R procjeitelj T = h(x, X 2,..., X ) epristrai procjeitelj za parametar t E( T) = t uzoračka aritm. sredia X = (X + X X ) uzoračka varijaca uzoračka stad. devijacija E(X) = µ, Var(X) = σ2 X µ N(0, ) σ Σ 2 = i(x i X) 2 σ 2 = i(x i x) 2 korigiraa uzoračka varijaca E( Σ 2 ) = σ2 Ŝ 2 = i(x i X) 2 ŝ 2 = i(x i x) 2 korigiraa uz. stad. devijacija ŝ σ E(Ŝ2 ) = σ 2 PROCJENITELJI PARAMETARA ZADANE DISTRIBUCIJE (ML) distribucija ; parametar Po(λ); λ N(µ, σ 2 ); µ procjeitelj T = X T = X N(µ, σ 2 ); σ 2 T = Σ 2 (B(m, p); p T = m X STATISTIKE PARAMETARA NORMALNE DISTRIBUCIJE N(µ, σ 2 ) slučaji uzorak za X statistika T = h(x, X 2,..., X ) (X, X 2,..., X ) : Ω R distribucija σ X N(µ, ) X µ σ N(0, ) X µ t( ) Ŝ σ 2 Ŝ2 χ 2 ( ) 9 Radi materijal
20 2.4. Poovimo REGRESIJSKA ANALIZA slučaji uzorak za (X, Y) (x, y ), (x 2, y 2 ),..., (x, y ) uzoračka kovarijaca µ xy = i(x i x)(y i y) uzorački koef. korelacije ρ xy = µ xy σ σ 2 x y ( x) ( y) x 2 ( x) 2 y 2 ( y) 2 Y = ax + b a- uzorački koef. regresije a b pravac regresije Y po X pravac regresije X po Y µ xy σ 2 = x y ( x) ( y) x 2 ( x) 2 y µ xy σ 2 x = ( y) ( x 2 ) ( x) ( x y) x 2 ( x) 2 y y = µ xy σ 2 (x x) x x = µ xy σ 2 (y y) 2 Radi materijal 20
Procjena parametara. Zadatak 4.1 Neka je X 1, X 2,..., X n slučajni uzorak iz populacije s konačnim očekivanjem µ i varijancom σ 2.
4 Procjea parametara Neka je X slučaja varijabla čiju distribuciju proučavamo. Defiicija: Slučaji uzorak duljie za X je iz od ezavisih i jedako distribuiraih slučajih varijabli X 1, X,..., X koje imaju
Διαβάστε περισσότεραSadrˇzaj. Sadrˇzaj MATEMATIČKA STATISTIKA DESKRIPTIVNA STATISTIKA Ponovimo... 15
Sadrˇzaj Sadrˇzaj 1 11 MATEMATIČKA STATISTIKA 3 11.1 DESKRIPTIVNA STATISTIKA..................... 5 11. Poovimo................................. 15 1 Radi materijal Poglavlje 11 MATEMATIČKA STATISTIKA
Διαβάστε περισσότερα3 Populacija i uzorak
3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραSadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI
Sadrˇzaj Sadrˇzaj DVODIMENZIONALNI. DISKRETNI DVODIMENZIONALNI............................ KONTINUIRANI -dim tko želi znati više.............................. 5. KOVARIJANCA, KORELACIJA, PRAVCI REGRESIJE........
Διαβάστε περισσότεραCentralni granični teorem i zakoni velikih brojeva
Poglavlje 8 Cetrali graiči teorem i zakoi velikih brojeva 8.1 Cetrali graiči teorem Lema 8.1 Za 1/ x 1 vrijedi Dokaz: Stavimo log1 + x x x. fx := log1 + x x, x [ 1/, 1]. Očito f0 = 0. Nadalje, po teoremu
Διαβάστε περισσότεραTESTIRANJE ZNAČAJNOSTI RAZLIKE
//0 TESTIRANJE ZNAČAJNOSTI RAZLIKE Z-TEST I T-TEST Beograd, 0 Ass. dr Zora Bukumirić Z-TEST I T-TEST z-testom i Studetovim t-testom testiramo razliku: jede aritmetičke sredie i pretpostavljee vredosti
Διαβάστε περισσότεραnepoznati parametar θ jednak broju θ 0, u oznaci H 0 (θ =θ 0 ), je primer proste hipoteze. Ako hipoteza nije prosta, onda je složena.
Testiraje parametarskih hipoteza Pretpostavka (hipoteza) o parametru raspodele se zove parametarska hipoteza. Postupak jeog potvrđivaja ili odbacivaja a osovu podataka iz uzorka je parametarski test. t
Διαβάστε περισσότεραPROCJENE PARAMETARA POPULACIJE
PROCJENE PARAMETARA POPULACIJE Iferecijala statistika je skup postupaka kojima se a osovi rezultata iz uzorka doose zaključci o populaciji. INFERENCIJALNA STATISTIKA Procjee parametara Testiraje hipoteza
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραOsnove teorije uzoraka
Oove teorije uzoraka Oove teorije uzoraka UZORAK: lučaji, reprezetativi dio oovog kupa populacije Uzorci: 1.uzorak:,, 1 1.uzorak:,, i.uzorak:,, i i Razdioba aritmetičke redie uzorka f ( ) f ( ) razdioba
Διαβάστε περισσότεραVJEROVATNOĆA-POJAM. Definicija vjerovatnoće Σ = f x f. f f. f x f. f f ... = Σ = Σ. i...
VJEROVATNOĆA-OJAM Defiicija vjerovatoće f f f f f f f m X i i... ) + + + Σ p p p p f f f f f i i i i i i i ) )... ) )... + + + Σ + + Σ + Σ Σ Σ µ µ Aditivo i multiplikativo pravilo. Ako su E i E slučaji
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČKA STATISTIKA
MATEMATIČKA STATISTIKA Bilješke s predavaja (prof. dr. sc. Miljeko Huzak akademske godie 04./05. Natipkao i uredio: Kristija Kilassa Kvaterik Ova skripta služi samo kao pomoć u praćeju predavaja iz istoimeog
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα(Hi-kvadrat test) r (f i f ti ) 2 H = f ti. i=1
χ 2 test (Hi-kvadrat test) Jedan od prvih statističkih testova je χ 2 -test. Predložio ga je K. Pearson 900. godine, pa je poznat i pod nazivom Pearsonov test. χ 2 test je neparametarski test. Pomoću χ
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραTAČNE I ASIMPTOTSKE RASPODJELE NEKIH UZORAČKIH STATISTIKA
Matematički kolokvijum (Baja Luka) MAT-KOL (Baja Luka) XIV()(2008), 59-83 TAČNE I ASIMPTOTSKE RASPODJELE NEKIH UZORAČKIH STATISTIKA Uvod Aleksadra Vasilić Prirodo-matematički fakultet Baja Luka, Mladea
Διαβάστε περισσότεραOPISNA STATISTIKA GRAFIČKE METODE. Pravila kolokvija PROMJENE RASPOREDA: Dozvoljene formule s weba (M. Grbić) HISTOGRAMI
PROMJENE RASPOREDA: Kolegij SOM (prvi kolokvij) Opća fizika (predavaje) Numerička matematika Stari termi. ožujka -h. ožujka -h. ožujka -h Novi termi. ožujka -h. ožujka -h. travja - Pravila kolokvija Dozvoljee
Διαβάστε περισσότερα2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραNizovi. Definicija. Niz je funkcija. a: R. Oznake: (a n ) ili a n } Zadatak 2.1 Napišite prvih nekoliko članova nizova zadanih općim članom:
Nizovi Defiicija Niz je fukcija Ozake: (a ) ili a } a: R Zadatak Napišite prvih ekoliko člaova izova zadaih općim člaom: a = a = ( ) (c) a = Zadatak Odredite opće člaove izova: 3 5 7 9 ; 3 7 5 3 ; (c)
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραUVOD U STATISTIČKO ZAKLJUČIVANJE
STROJNO UČENJE Uvod u statističko zaključivaje 1/22 STROJNO UČENJE Uvod u statističko zaključivaje 2/22 UVOD U STATISTIČKO ZAKLJUČIVANJE riječ STATISTIKA (lat. status = staje) Statistika deskriptiva iferecijala
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Sarajevu Građevinski fakultet Katedra za matematiku, programiranje, nacrtnu geometriju i fiziku
Uiverzitet u Sarajevu Građeviski fakultet Katedra za matematiku, programiraje, acrtu geometriju i fiziku Ispita pitaja za drugi parc. ispit iz teor. osova predmeta «VJEROVATNOĆA I STATISTIKA» Akademska
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA 2. kolokvij lipnja 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 0 min Ukupan broj bodova: 50 Zadatak.. kolokvij - 0. lipnja 0. (a Ako su X i Y diskretne slučajne varijable, dokažite da vrijedi formula E [X + Y ] = E [X] + E [Y ].
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
1. (ukupo 8 bodova) MJERA I INTEGRAL završi ispit 4. srpja 216. (Kjige, bilježice, dodati papiri i kalkulatori isu dozvoljei!) (a) (2 boda) Defiirajte p za ekspoete p [1, +. (b) (6 bodova) Dokažite da
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραTačkaste ocene parametara raspodele
Tačkaste ocee parametara raspodele Na osovu uzorka treba da se odredi kakva je raspodela obeležja a populaciji Ako je tip raspodele pozat, treba da se odrede parametri raspodele Pošto je realizovaa vredost
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραSlučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike
Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 1 Slučajna varijabla Slučajna varijabla je funkcija X koja elementarnim dogadajima pridružuje
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1
Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραMETODA SEČICE I REGULA FALSI
METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)
Διαβάστε περισσότεραNiz i podniz. Definicija Svaku funkciju a : N S zovemo niz u S. Za n N pišemo a(n) = a n i nazivamo n-tim članom niza.
2. NIZOVI 1 / 78 Niz i podiz 2 / 78 Niz i podiz Defiicija Svaku fukciju a : N S zovemo iz u S. Za N pišemo a() = a i azivamo -tim člaom iza. Ozaka za iz je (a ) N ili (a ) ili samo (a ). Kodomea iza može
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραSlučajne varijable. Diskretna slučajna varijabla X je promjenjiva veličina koja poprima vrijednosti iz skupa
Slučajne varijable Statistički podaci su distribuirani po odredenoj zakonitosti. Za matematičko (apstraktno) opisivanje te zakonitosti potrebno je definirati slučajnu varijablu kojoj pripada odredena razdioba
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Skica rješenja 1. kolokvija (16. studenog 2015.)
DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Skica rješeja 1. kolokvija (16. studeog 2015.) Zadatak 1 (20 bodova) Neka je fukcija d: R 2 R 2 R daa formulom { x 1 + y d(x, y) = 1, ako je x y, 0, ako je
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότερα1 ELEMENTI KOMBINATORIKE
Sadrˇzaj Sadrˇzaj 1 1 ELEMENTI KOMBINATORIKE 3 1.1 UVOD................................... 3 1.2 PRINCIPI PREBROJAVANJA...................... 8 1.3 PERMUTACIJE BEZ PONAVLJANJA................. 10 1.3.1
Διαβάστε περισσότεραSlučajni procesi Prvi kolokvij travnja 2015.
Zadatak Prvi kolokvij - 20. travnja 205. (a) (3 boda) Neka je (Ω,F,P) vjerojatnosni prostor, neka je G σ-podalgebra od F te neka je X slučajna varijabla na (Ω,F,P) takva da je X 0 g.s. s konačnim očekivanjem.
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραPISMENI ISPIT IZ STATISTIKE
1. a) Trgovina odjeće prodaje odjeću u tri različite veličine: 32% veličine S, 44% veličine M i ostatak veličine L. Pokazalo se da je postotak odjeće s greškom redom 1%, 5% i 2%. Ako je trgovina ustanovila
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST popravni kolokvij veljače 2017.
Zadatak 1. (20 bodova) (a) (4 boda) Precizno definirajte pojam σ-algebre događaja na nepraznom skupu Ω. (b) (6 bodova) Neka je (Ω, F, P) vjerojatnosni prostor i A, B F događaji. Pomoću aksioma vjerojatnosti
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih nizova
Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραDiskretan slučajni vektor
Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mia Ćurić Diskretan slučajni vektor Završni rad Osijek, 206 Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku
Διαβάστε περισσότεραStatistika. Statističke metode služe nam da uočimo pravilnosti i zakonitosti po kojima se vlada cijeli kolektiv, a ne jedna odredena jedinka.
Statistika Statistika je zastvea disciplia koja se bavi prikupljajem podataka, jihovim orgaizirajem (sistematizirajem) i aalizirajem, te iiterpretacijom dobiveih rezultata Sami podaci mogu biti umeričke
Διαβάστε περισσότεραOptimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - ekasnost Konzistentnost. Vjeºbe - Statistika II.
Vjeºbe - Statistika II. dio Optimalnost u procjeni Procjenitelja ima puno, pa treba imati kriterije za usporedbu izmežu njih. Radi jednostavnosti promatramo samo jednodimenzionalne parametre θ Θ R Funkcija
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske funkcije
9 1. Trigoometrijske fukcije 1.1. Ako je α + β π,izračuaj 1 + tg α)1 + tg β). 4 1.. Izračuaj zbroj log a tg 1 + log a tg +...+ log a tg 89. 1.3. Izračuaj 40 0 si 0 bez uporabe tablica ili račuala. 1.4.
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότερα1 Neprekidne funkcije na kompaktima
Neprekide fukcije a kompaktima.. Teorem. Neka je K kompakta podskup metričkog prostora X, a f : X Y eprekido preslikavaje u metrički prostor Y. Tada je slika f(k) kompakta skup u Y..2. Zadatak. Neka su
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότερα4 Testiranje statističkih hipoteza
4 Testiranje statističkih hipoteza 1 4.1. Statistička hipoteza Promatramo statističko obilježje X. Statistička hipoteza je (bilo koja) pretpostavka o (populacijskoj) razdiobi od X. Kažemo da je statistička
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραSTATISTIKA S M E I M N I AR R 7 : METODE UZORKA
Fakultet za menadžment u turizmu i ugotiteljtvu, Opatija Sveučilišni preddiplomki tudij Polovna ekonomija u turizmu i ugotiteljtvu Noitelj kolegija: Prof. dr. c. Suzana Marković Aitentica: Jelena Komšić
Διαβάστε περισσότεραTeorem o prostim brojevima
Sveučilište u Rijeci - Odjel za matematiku Preddiplomski sveučiliši studij Matematika Zlatko Durmiš Teorem o prostim brojevima Završi rad Rijeka, 22. Sveučilište u Rijeci - Odjel za matematiku Preddiplomski
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότεραGeodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA
Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog
Διαβάστε περισσότεραGRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTE U RIJECI. Specijalistički diplomski stručni studij građevinarstva NORMALNA RAZDIOBA.
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTE U RIJECI Specijalistički diplomski stručni studij građevinarstva NORMALNA RAZDIOBA Seminarski rad KOLEGIJ: Odabrana poglavlja inženjerske matematike AKADEMSKA GODINA: 2016/2017
Διαβάστε περισσότεραIzrada Domaće zadaće 4
Uiverzitet u Sarajevu Elektrotehički fakultet Predmet: Ižejerska matematika I Daa: 76006 Izrada Domaće zadaće Zadatak : Izračuajte : si( ) (cos( )) L 0 a) primjeom L'Hospitalovog pravila; b) izravom upotrebom
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραDefinicija: Beskonačni niz realnih brojeva je funkcija a : N R. Umjesto zapisa a(1), a(2),,a(n), može se koristiti zapis a 1,
Defiicija: Beskoači iz realih brojeva je fukcija a : N R i Umjesto zapisa a(), a(),,a(), može se koristiti zapis a, a,,a, Broj a zove se opći čla iza, a cijeli iz se kratko ozačuje (a ). Niz je : -rastući
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραCentralni granični teorem. Završni rad
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeu Odjel za matematiu Sveučiliši preddiplomsi studij matematie Daria Solić Cetrali graiči teorem Završi rad Osije, 2017. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeu Odjel
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότερα