Θλιβόµενες οκοί Μεταβλητής ιατοµής Μέρος 1: Μέθοδος Γωνιών-Στροφής

Transcript

1 Θλιβόµενες οκοί Μεταβλητής ιατοµής Μέρος : Μέοδος Γωνιών-Στροφής Ε. Κ. Λαζαρίδου Πολ. Μηχανικός, Μεταπτυχιακή φοιτήτρια Ε.Μ.Π. Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εργαστήριο Μεταλλικών Κατασκευών Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 57 8 Αήνα, Ελλάδα e-mil: eflzr@otenet.gr Ι. Χ. Ερµόπουλος Καηγητής Ε.Μ.Π. Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εργαστήριο Μεταλλικών Κατασκευών Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 57 8 Αήνα, Ελλάδα e-mil: jermop@centrl.ntu.gr. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή µελετώνται αξονικά λιβόµενες δοκοί διαφόρων µορφών, οι οποίες αποτελούνται από δύο ή τρία επιµέρους τµήµατα, µεταβλητής ή σταερής διατοµής. Για τις παραπάνω δοκούς διατυπώνονται οι εξισώσεις της µεόδου γωνιών-στροφής που συνδέουν τα εντατικά µεγέη των άκρων µε τις αντίστοιχες υποχωρήσεις και γωνίες στροφής αυτών, µορφώνονται οι εκφράσεις των συντελεστών των εξισώσεων αυτών συναρτήσει των γεωµετρικών χαρακτηριστικών της κάε δοκού, και συντάσσονται, τέλος, τα διαγράµµατα των συντελεστών αυτών συναρτήσει χαρακτηριστικών παραµέτρων. Ο νόµος µεταβολής της ροπής αδρανείας της διατοµής των µεταβλητών τµηµάτων των δοκών καλύπτει το σύνολο σχεδών των συνήων απαντώµενων στην πράξη περιπτώσεων µεταλλικών φορέων.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η χρήση του χάλυβα σε εµπορικά πολυώροφα κτίρια ανταγωνίζεται, τα τελευταία χρόνια, τη χρήση του οπλισµένου σκυροδέµατος. Λόγοι που οδήγησαν στην εξέλιξη αυτή, ήταν, µεταξύ άλλων, το πλεονέκτηµα της ταχείας ανέγερσης ενός κτιρίου από χάλυβα, ότι οι αρχιτέκτονες δεν διστάζουν πλέον να προτείνουν λύσεις αξιόποιώντας τα πλεονεκτήµατα του χάλυβα, και τέλος, ότι οι ερευνητές εισήγαγαν νέους και λεπτοµερείς τρόπους µελέτης της αντοχής και ευστάειας των κατασκευών αυτών, αλλά και απλές, αξιόπιστες και εύκολες συνδέσεις των µελών τους. Η αλµατώδης εξέλιξη της τεχνολογίας σε όλους τους τοµείς, είχε ως αποτέλεσµα την εµφάνιση νέων απαιτήσεων και προδιαγραφών για τα σύγχρονα τεχνικά έργα. Βασική απαίτηση µεταξύ άλλων, ήταν η στέγαση κτιρίων µεγάλης επιφάνειας και µεγάλου ύψους 6

2 χωρίς την ύπαρξη ενδιάµεσων στηρίξεων. Οι νέοι φορείς έπρεπε να ικανοποιούν την παραπάνω απαίτηση µε το µικρότερο δυνατό κόστος. Τη λύση έδωσε ο σχεδιασµός φερόντων στοιχείων µεταβλητής διατοµής που συνδυάζουν αυξηµένη φέρουσα ικανότητα µε ελάχιστο κατά το δυνατό βάρος. Οι παραπάνω φορείς ωστόσο, συνδέονται µε προβλήµατα ανάλυσης, ιδιαίτερα σε ευστάεια, που γίνονται εντονότερα, όσο τα µέλη γίνονται λεπτότερα και ελαφρότερα. Η µελέτη αξονικά λιβοµένων ράβδων µεταβλητής διατοµής είχε αρχίσει από την αρχή του ου αιώνα και δόηκαν ακριβείς ή προσεγγιστικές λύσεις για ορισµένες απλές µορφές και συνεχίζεται µέχρι σήµερα [-8]. Στην εργασία αυτή µελετώνται αξονικά λιβόµενες δοκοί µεταβλητής διατοµής διαφόρων µορφών. Οι υπό µελέτη δοκοί, έξι στο σύνολό τους (Σχ. ), αποτελούνται από δύο ή τρία επιµέρους τµήµατα, µεταβλητής ή σταερής διατοµής, τα οποία διέπονται από τον ακόλουο νόµο µεταβολής της ροπής αδρανείας: «Η ροπή αδρανείας I X σε τυχούσα έση ενός µέλους, µεταβάλλεται ανάλογα µε το τετράγωνο της απόστασης της έσης αυτής από την αρχή των αξόνων (που συµπίπτει µε το σηµείο τοµής των αξόνων του άνω και κάτω πέλµατος της διατοµής)». Ο νόµος αυτός αντιστοιχεί είτε σε πολυµελείς µεταλλικές διατοµές (δικτυωτή ή πλαισιακή µορφή), µε σταερό εµβαδό κατά µήκος του άξονά τους, όπου όλο το υλικό είναι συγκεντρωµένο στις τέσσερις γωνίες ή στις δύο πλευρές της διατοµής, είτε, µε ικανοποιητική ακρίβεια, σε µονοµελείς διατοµές (π.χ. διπλά ταυ) όπου η συµµετοχή του κορµού στη ροπή αδρανείας είναι κατά κανόνα πολύ µικρή. Τα επιµέρους τµήµατα της κάε δοκού εωρούνται κατά την επίλυση, διαφορετικού µήκους και διαφορετικής µεταβλητότητας. Για τις δοκούς, που υπόκεινται σε αξονικό λιπτικό φορτίο, διατυπώνονται οι εξισώσεις της µεόδου γωνιών-στροφής οι οποίες συνδέουν τα εντατικά µεγέη των άκρων µε τις αντίστοιχες υποχωρήσεις και γωνίες στροφής αυτών, υπολογίζονται οι αντίστοιχοι συντελεστές συναρτήσει των γεωµετρικών χαρακτηριστικών της δοκού, και συντάσσονται διαγράµµατα των υπολογισέντων συντελεστών της µεόδου γωνιών-στροφής για διάφορες τιµές των χαρακτηριστικών παραµέτρων. Με τα διαγράµµατα αυτά αφ ενός γίνεται σαφής η επιρροή των παραµέτρων στους συντελεστές της µεόδου, και αφ ετέρου γίνεται εύκολα ο προσδιορισµός των τιµών των συντελεστών της µεόδου για τις αναλυόµενες ράβδους.. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ Μέτρο ελαστικότητας f i παράµετροι ( i ) i J i g, g, g, g x Συντελεστές µεόδου γωνιών-στροφής ράβδων µεταβλητής διατοµής I, I, I, I Ροπές αδρανείας J i ci i,,, Μήκη ράβδων c c c c, V P c c u,u,u,u Καµπτική ροπή και τέµνουσα δύναµη Αξονική λιπτική δύναµη Συντελεστές µεόδου γωνιών-στροφής ράβδων µεταβλητής διατοµής απόσταση 7

3 , i i Συντελεστές µεόδου γωνιών-στροφής ράβδων µεταβλητής διατοµής f, n Συντελεστές µεόδου γωνιών-στροφής για ράβδους σταερής διατοµής ββ, δ, µ ι P I ci αδιάστατο αξονικό φορτίο µέλους σταερής διατοµής o Υποχωρήσεις και γωνίες στροφής i P I o φ, φ Παράµετροι µεόδου γωνιών-στροφής ράβδων σταερής διατοµής f n Σχ. Οι έξι υπό µελέτη περιπτώσεις και τυπική µορφή µελών. ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Ενδεικτικά και για να κατανοηεί η διαδικασία ανάλυσης, περιγράφεται στη συνέχεια η Περίπτωση. Στο Σχ. φαίνεται η αντίστοιχη υπό µελέτη αξονικά λιβόµενη δοκός µεταβλητής διατοµής (βλέπε Σχ. ), υποκείµενη σε υποχωρήσεις και στροφές κατά τα δύο άκρα της Α και Β. Αποτελείται από τα επιµέρους τµήµατα ΑΕ και ΕΒ, τα οποία είναι µεταβλητής διατοµής (όπως στην Περίπτωση ). Ο νόµος µεταβολής της ροπής αδρανείας για κάε τµήµα περιγράφεται από τη σχέση: x I Χ I () σύµφωνα µε την οποία η ροπή αδρανείας σε απόσταση x από την αρχή των αξόνων Ο, είναι ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης αυτής. Κατά τη µελέτη, τα επιµέρους τµήµατα ΑΕ και ΕΒ εωρούνται, χάριν γενικότητος, διαφορετικού µήκους και διαφορετικής µεταβλητότητας. Για τα τµήµατα αυτά, ισχύουν οι ακόλουες σχέσεις της µεόδου γωνιών-στροφής [7]: 8

4 Σχ. Θλιβόµενη δοκός Περίπτωσης Τµήµα ΑΕ I ( ) δ Α c c I ( l ) δ Α c c ( ) I l δ V Α c c όπου, οι συντελεστές i (i ) δίνονται από τη βιβλιογραφία [7]. β I c ( δ ) () () () Τµήµα ΕΒ ( ) I r δ δ c c ( ) I δ c c ( ) ( ) ( ) I r δ β I V δ c c c ( ) (5) (6) (7) όπου, οι συντελεστές i (i ) προκύπτουν µέσω αντικατάστασης των i µε i. Οι συνήκες ισορροπίας στο σηµείο Ε είναι: l r (8) V l V (9) r Από τις εξ. (8) και (9), βάσει των προηγούµενων, προκύπτουν τα µεγέη,δ, τα οποία τίενται στις σχέσεις () και (6), οπότε, µετά τις πράξεις, προκύπτουν τελικώς οι σχέσεις της µεόδου γωνιών στροφής για τη ράβδο ΑΒ της Περίπτωσης, ως ακολούως: I δ u Α u ( u u ) c c () 9

5 I δ g Α g ( g g ) c c όπου ( ) ( ) u ( ) ( ) u ( ) ( ) g ( ) ( ) g () () () () (5) c (6) c Οι µεταβλητές και δίνονται από τις ακόλουες σχέσεις: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) β ( ) ( ) ( ) (7) (8) (9) () () () () 5

6 ( ) Με ανάλογο τρόπο αντιµετωπίζονται και οι υπόλοιπες περιπτώσεις του Σχ., για τις οποίες υπολογίζονται οι αντίστοιχες εξισώσεις. Βάσει των σχέσεων που διατυπώηκαν στις προηγούµενες παραγράφους, καταρτίζεται πρόγραµµα στον Η/Υ, µε τη βοήεια του οποίου συντάσσονται τα διαγράµµατα των συντελεστών της µεόδου γωνιών-στροφής για τις διάφορες περιπτώσεις δοκών και για συγκεκριµένες τιµές των παραµέτρων που υπεισέρχονται στις εξισώσεις των συντελεστών.,5 J /J,,5 J /J, (),5 u (J,) u g (J,) g (J,) u (J,5) u g (J,5) g (J,5),5 u (J,5) u g (J,) g (J,) u (J,5) u g (J,5) g (J,5),5,5,5,5,5,5,5 -,5 u (J,) -,5 u g (J,) - g (J,) - β β,5,5,5 u (J,) u g (J,) g (J,), J /J,, J /J,,5 u (J,) u g (J,5) g (J,),5 u (J,) u g (J,) g (J,),5 u (J,5) u g (J,5) g (J,),5 u (J,5) u g (J,5) g (J,5),5,5 β,5,5,5 -,5 u (J,) -,5 u g (J,) g (J,) - - β,5,5,5 u (J,) u g (J,) g (J,) Σχ. Συντελεστές u, u g και g για τη δοκό της Περίπτωσης συναρτήσει του αδιάστατου αξονικού φορτίου β, για διάφορες τιµές των παραµέτρων c c, J /J, J c Ενδεικτικά διαγράµµατα φαίνονται στο Σχ.. Σηµειώνεται τέλος, ότι οι σχέσεις της µεόδου γωνιών-στροφής που διατυπώηκαν εδώ, είναι παρόµοιας µορφής µε τις γνωστές σχέσεις, οι οποίες αναφέρονται σε ράβδους σταερής διατοµής. Όπως προκύπτει από τα 5

7 διαγράµµατα αυτά, η µεταβλητότητα των διατοµών επηρεάζει σηµαντικά τους αντίστοιχους συντελεστές της µεόδου γωνιών-στροφής, και πρέπει εποµένως να λαµβάνεται υπόψη κατά τη µελέτη τους. 5. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. Timoshenko.P nd ere J. Theory of lstic tbility, crw-hill ook Co, New York, 96.. Horne. nd erchnt W., The tbility of Frmes, Pengmon Press, Oxford, Krynicki.J nd zurkiewicz Z.., Frmes of olid rs of Vrying Cross ections, J. of tr. Division, C, N O T, ug. 96, pp Just D.J., Plne Frmeworks of Tpering ox nd I-section, J. of tr. Division, C, TI, Jn. 977, pp le Y., Flmbement des Poteux inertie vrible, Construction etllique, No, 98, pp Krblis D.. nd eskos D.., ttic, Dynmic nd tbility nlysis of tructures Composed of Tpered ems, Computers nd tructures, Vol. 6, No 6, 98, pp rmopoulos J., lope-deflection method nd bending of tpered brs under stepped lods, J. of Constr. teel eserch,, 988, pp Ι.Χ.Ερµόπουλος, Μέοδος Γωνιών-Στροφής και Θεµελιώδεις Ροπές σε Θλιβόµενες Ράβδους Μεταβλητής ιατοµής, Τεχν. Χρον.Επιστ. Εκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχος 996, σελ mir Z. l-dder, xct expressions for stbility functions of generl nonprismtic bem-column member, J. of Constr. teel eserch,vol 6, No, pp

8 Tpered bem-columns under compression Prt : lope-deflection method. K. zridou Civil ngineer, Postgrdute student t N.T. University of thens chool of Civil ngineering, bortory of etl tructures 9 Iroon Politechneiou str., 57 8 thens, reece e-mil: eflzr@otenet.gr J. Ch. rmopoulos Professor N.T. University of thens chool of Civil ngineering, bortory of etl tructures 9 Iroon Politechneiou str., 57 8 thens, reece e-mil: jermop@centrl.ntu.gr UY In this pper, xilly compressed tpered brs of vrious shpes, which consinst of two or three prts of vrying or constnt cross-section, re studied. The lw of moment of inerti vrition tht hs been used, pplies minly to members of steel structures. The slopedeflection method equtions for these brs, nd their fctors expressions, s function of vrious geometricl chrcteristics of ech br re derived. The results re lso presented in grphic form, in order to mke the use of this kind of members esier. 5