Θλιβόµενες οκοί Μεταβλητής ιατοµής Μέρος 2: Θεµελιώδεις Ροπές

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θλιβόµενες οκοί Μεταβλητής ιατοµής Μέρος 2: Θεµελιώδεις Ροπές"

Ποδαργη Παπάζογλου
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Θλιβόµενες οκοί Μεταβλητής ιατοµής Μέρος : Θεµελιώδεις Ροπές Ε. Κ. Λαζαρίδου Πολ. Μηχανικός, Μεταπτυχιακή φοιτήτρια Ε.Μ.Π. Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εργαστήριο Μεταλλικών Κατασκευών Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 7 8 Αθήνα, Ελλάδα e-mil: elzr@otenet.gr Ι. Χ. Ερµόπουλος Καθηγητής Ε.Μ.Π. Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εργαστήριο Μεταλλικών Κατασκευών Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 7 8 Αθήνα, Ελλάδα e-mil: jermop@centrl.ntu.gr. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή µελετώνται αξονικά θλιβόµενες δοκοί διαφόρων µορφών, οι οποίες αποτελούνται από δύο ή τρία επιµέρους τµήµατα, µεταβλητής ή σταθερής διατοµής. Για τις δοκούς αυτές, διατυπώνονται οι εκφράσεις των θεµελιωδών ροπών αµφίπακτων και µονόπακτων θλιβοµένων δοκών που υπόκεινται ταυτόχρονα σε εγκάρσιο οµοιόµορφο φορτίο, υπολογίζονται οι αντίστοιχοι πολλαπλασιαστικοί συντελεστές και συντάσσονται τα διαγράµµατα των παραπάνω συντελεστών συναρτήσει της αξονικής θλιπτικής δύναµης για διάφορες τιµές των χαρακτηριστικών παραµέτρων.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η χρήση θλιβόµενων στοιχείων µεταβλητής διατοµής σε µεταλλικές πλαισιακές κατασκευές είναι πλέον συχνή, λόγω της προσπάθειας που γίνεται για να µειωθεί το συνολικό βάρος της κατασκευής. Για το σχεδιασµό τέτοιων µελών, απαραίτητη είναι η ανάλυση ολόκληρης της κατασκευής, που οδηγεί στο ακριβές µήκος λυγισµού του κάθε µέλους. Προκειµένου να µειωθεί ο υπολογιστικός φόρτος της ανάλυσης αυτής, υιοθετήθηκαν διάφορες προσεγγιστικές µέθοδοι, οι οποίες οδηγούν σε απλή και ακριβή εκτίµηση του µήκους λυγισµού µελών µεταβλητής διατοµής. Με το θέµα αυτό έχουν ασχοληθεί στο παρελθόν πολλοί ερευνητές [-8]. Στην εργασία αυτή µελετώνται αξονικά θλιβόµενες δοκοί µεταβλητής διατοµής διαφόρων µορφών. Οι υπό µελέτη δοκοί, έξι στο σύνολό τους (Σχ. ), αποτελούνται από δύο ή τρία επιµέρους τµήµατα, µεταβλητής ή σταθερής διατοµής, τα οποία διέπονται από τον ακόλουθο νόµο µεταβολής της ροπής αδρανείας: «Η ροπή αδρανείας I X σε τυχούσα θέση

2 ενός µέλους, µεταβάλλεται ανάλογα µε το τετράγωνο της απόστασης της θέσης αυτής από την αρχή των αξόνων, που συµπίπτει µε το σηµείο τοµής των αξόνων του άνω και κάτω πέλµατος της διατοµής». Ο νόµος αυτός αντιστοιχεί είτε σε πολυµελείς µεταλλικές διατοµές (δικτυωτή ή πλαισιακή µορφή), µε σταθερό εµβαδό κατά µήκος του άξονά τους, όπου όλο το υλικό είναι συγκεντρωµένο στις τέσσερις γωνίες ή στις δύο πλευρές της διατοµής, είτε, µε ικανοποιητική ακρίβεια, σε µονοµελείς διατοµές (π.χ. διπλά ταυ) όπου η συµµετοχή του κορµού στη ροπή αδρανείας είναι κατά κανόνα πολύ µικρή. Τα επιµέρους τµήµατα της κάθε δοκού θεωρούνται κατά την επίλυση διαφορετικού µήκους και διαφορετικής µεταβλητότητας. Για τις δοκούς, που υπόκεινται σε αξονικό θλιπτικό φορτίο, υπολογίζονται οι θεµελιώδεις ροπές και οι αντιδράσεις αµφίπακτων ή µονόπακτων δοκών µε σύγχρονη επιρροή θλιπτικής αξονικής δύναµης και οµοιόµορφου εγκάρσιου φορτίου και συντάσσονται τα διαγράµµατα των πολλαπλασιαστικών συντελεστών των θεµελιωδών ροπών για διάφορες τιµές των χαρακτηριστικών παραµέτρων, από τα οποία φαίνεται η επιρροή τόσο της αξονικής θλιπτικής δύναµης, όσο και των άλλων παραµέτρων επί αυτών.. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ Μέτρο ελαστικότητας i παράµετροι ( i ) i i +,, H A, A, H Q, R,S, i i i i i i Συντελεστές Συντελεστές θεµελιωδών ροπών ράβδων µεταβλητής διατοµής Συντελεστές θεµελιωδών ροπών ράβδων µεταβλητής διατοµής,,, I, I, I, I Ροπές αδρανείας g g g g Συντελεστές µεθόδου γωνιών-στροφής ράβδων µεταβλητής διατοµής x i ci i,,,, Μήκη ράβδων c c c c, V P q R c c,,, Θεµελιώδεις ροπές Καµπτική ροπή και τέµνουσα δύναµη Αξονική θλιπτική δύναµη Οµοιόµορφο εγκάρσιο φορτίο u u u u Συντελεστές µεθόδου γωνιών-στροφής ράβδων µεταβλητής διατοµής, Ai απόσταση i Συντελεστές µεθόδου γωνιών-στροφής απλών ράβδων µεταβλητής διατοµής

3 , n Συντελεστές µεθόδου γωνιών-στροφής για ράβδους σταθερής διατοµής ββ, δ, θ P I ci Αδιάστατο αξονικό φορτίο µέλους σταθερής διατοµής o Υποχωρήσεις και γωνίες στροφής µ ι i P I o φ, φ Παράµετροι µεθόδου γωνιών-στροφής n Σχ. Οι έξι υπό µελέτη περιπτώσεις και τυπική µορφή µελών. ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Ενδεικτικά και για να κατανοηθεί η διαδικασία ανάλυσης, περιγράφεται στη συνέχεια η Περίπτωση. Στο Σχ. φαίνεται η αντίστοιχη υπό µελέτη αξονικά θλιβόµενη δοκός µεταβλητής διατοµής (βλέπε Σχ. ). Αποτελείται από δύο επιµέρους τµήµατα, το ΑΕ και το ΕΒ, τα οποία είναι µεταβλητής διατοµής. Ο νόµος µεταβολής της ροπής αδρανείας για κάθε επιµέρους τµήµα περιγράφεται από τη σχέση: x I Χ I () σύµφωνα µε την οποία η ροπή αδρανείας σε απόσταση x από την αρχή των αξόνων Ο, είναι ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης αυτής. Η θλιβόµενη δοκός θεωρείται ότι είναι αµφίπακτη και ότι φορτίζεται ταυτόχρονα µε εγκάρσιο οµοιόµορφο φορτίο q. Κατά τη µελέτη, τα επιµέρους τµήµατα ΑΕ και ΕΒ θεωρούνται διαφορετικού µήκους και διαφορετικής µεταβλητότητας. Λόγω των πακτώσεων στα σηµεία Α και Β, είναι θ δ θ δ και για τα δύο επιµέρους τµήµατα ΑΕ και ΕΒ ισχύουν οι σχέσεις: Α A

4 Σχ. Θεµελιώδεις ροπές αµφίπακτης δοκού Περίπτωσης Τµήµα ΑΕ c c ( + ) I δ A θ + q c C c ( + ) δ c l I θ q c D ( + ) ( ) l l A + c δ I I V q P P q c + + θ δ + c( C D ) + q c c c c c () () () Τµήµα ΕΒ I c ( A + A ) r A δ ' θ + + q c R D R R c ( A + A ) I A δ ' θ + q c R C c R R c ( A + A ) A ( A + A + A + A ) δ r r r + δ c + c c c V P q P q c c c c c c c c ( ) I I c ' ' θ + P δ q R+ q c R D C R R c R c c όπου, για το τµήµα ΑΕ, οι συντελεστές i (i ) είναι οι παρακάτω: ( )( µ +,) (8) ( µ + ), (9) () () (7) 7

5 {( ) ( ( )) ( ) cos µ ln + + sin( µ ln( + ) )}( µ +,) + () { cos( µ ln( + ) ) sin( µ ln( + ) }( µ +,) + () και ο () { ( µ ( )) µ µ [ ] cos ln + sin ln +, + ( )} { ( ( )) ( ) µ cosµ ln + + sinµ ln + µ + ( )} () () µ ( ) () + cos ln +, µ ( ) µ () + sin ln + µε P µ µ β + > I (7) c (8) και για το τµήµα ΕΒ οι συντελεστές Ai (i ) δίνονται από τις σχέσεις (8) έως (7) µε αντικατάσταση των i µε Ai και µε: P + µ µ β R > I c () (9) Ισχύουν ακόµα: P c β () R I c () c Στο Σχήµα όπου φαίνεται η γεωµετρία της δοκού της Περίπτωσης, ορίζονται τα καθώς και η σχέση των µηκών των δύο επιµέρους τµηµάτων., Σχ. Γεωµετρία δοκού Περίπτωσης 8

6 Οι συνθήκες ισορροπίας στο σηµείο Ε είναι: l V l r () V () r Από τις παραπάνω συνθήκες ισορροπίας στο σηµείο Ε, µετά τις κατάλληλες αντικαταστάσεις, προκύπτουν τελικώς οι θεµελιώδεις ροπές της αµφίπακτης δοκού ΑΒ: A q c A () q c () όπου ( + ) C A (7) ( + R) ' A ( A + A ) C R (8) ( + R) R R Οι µεταβλητές 8 ( + ) ( + ) A A R δίνονται από τις ακόλουθες σχέσεις: ( ) ( ) A A A A + β + R R ( ) ( ) ' ' + C D + R D C A + R ( + ) ( + ) A A R ' D R D 7 8 (9) () () () () () () () 9

7 Οι συντελεστές C, D των σχέσων,, και είναι οι πολλαπλασιαστικοί συντελεστές των θεµελιωδών ροπών ράβδων απλής µεταβλητής διατοµής της Περίπτωσης του Σχ. και δίνονται από τις σχέσεις: Q Q C Q Q Q Q D Q Q (7) (8) µε µ Q cos( µ ln( + ) ) + sin( µ ln( + ) ) + + µ (9) µ + Q sin ln µ ( µ ( + )) () + ( µ ) ( µ + 9) Q µ ( ) µ [ ( ( )) ( ( )) ( ) cosµ ln + sin ln + + 8µ Q Q + Q () Q Q Q ( + ) cos( µ ln( + ) ) sin( µ ln( + ) ) + µ Q + Q Q + Q + () () () () ( µ ( )) ( µ ( )) cos ln sin ln µ ( µ + ) ( µ + ) ( ) ( ) ( µ ( )) + sin µ ln( + ) 9 µ + co s ln + + () (7) (8) (9) ( + ) + + και P C µ, () I ()

8 ,, R, /, R, /, A (,) (,),, A (,) (,),, β,,, -, -, -, -, A (,) (,),,,,, -, -, -, -, A (,) (,) β,,,, R, /, R, /, A (,) (,),,, A (,) (,),,, -, -, -, -, A (,) (,) β -, -, -,,,, A (,) (,) β Σχ. Συντελεστές A,, θεµελιωδών ροπών αµφίπακτης δοκού της Περίπτωσης υπό οµοιόµορφο φορτίο, συναρτήσει της αδιάστατης αξονικής δύναµης β, για διάφορες τιµές των παραµέτρων R c c, /, c. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ-ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Βάσει των σχέσεων που διατυπώθηκαν στις προηγούµενες παραγράφους, καταρτίζεται πρόγραµµα στον Η/Υ, µε τη βοήθεια του οποίου συντάσσονται τα διαγράµµατα των συντελεστών των θεµελιωδών ροπών, για τις διάφορες περιπτώσεις δοκών, και για συγκεκριµένες τιµές των παραµέτρων που υπεισέρχονται στις εξισώσεις των συντελεστών. Έτσι, στα διαγράµµατα του Σχ. παρουσιάζονται ενδεικτικά οι γραφικές παραστάσεις των συντελεστών A, των θεµελιωδών ροπών των αξονικά θλιβοµένων δοκών της Περίπτωσης, υποκείµενων σε εγκάρσια οµοιόµορφη φόρτιση, συναρτήσει του αδιάστατου αξονικού θλιπτικού φορτίου β, για διάφορες τιµές των παραµέτρων. Όπως προκύπτει από τα διαγράµµατα αυτά, η µεταβλητότητα των διατοµών επηρεάζει σηµαντικά τους αντίστοιχους συντελεστές των θεµελιωδών ροπών, και πρέπει εποµένως να λαµβάνεται υπόψη κατά τη µελέτη τους. Με ανάλογο τρόπο αντιµετωπίζονται και οι υπόλοιπες περιπτώσεις του Σχ..

9 . ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. imoshenko S.P nd ere. heory o lstic Stbility, crw-hill ook Co, New York, 9.. Horne.R nd erchnt W., he Stbility o Frmes, Pengmon Press, Oxord, 9.. Krynicki. nd zurkiewicz Z.., Frmes o Solid rs o Vrying Cross Sections,. o Str. Division, ASC, N O S, Aug. 9, pp.-7.. ust D.., Plne Frmeworks o pering ox nd I-section,. o Str. Division, ASC, SI, n. 977, pp le Y., Flmbement des Poteux inertie vrible, Construction etllique, No, 98, pp. -.. Krblis D.. nd eskos D.., Sttic, Dynmic nd Stbility Anlysis o Structures Composed o pered ems, Computers nd Structures, Vol., No, 98, pp rmopoulos., Slope-Delection method nd bending o tpered brs under stepped lods,. o Constr. Steel Reserch,, 988, pp Ι.Χ.Ερµόπουλος, Μέθοδος Γωνιών-Στροφής και Θεµελιώδεις Ροπές σε Θλιβόµενες Ράβδους Μεταβλητής ιατοµής, Τεχν. Χρον.Επιστ. Εκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχος 99.

10 pered bem-columns under compression Prt : Fundmentl bending moments. K. zridou Civil ngineer, Postgrdute student t N.. University o Athens School o Civil ngineering, bortory o etl Structures 9 Iroon Politechneiou str., 7 8 Athens, reece e-mil: elzr@otenet.gr. Ch. rmopoulos Proessor N.. University o Athens School o Civil ngineering, bortory o etl Structures 9 Iroon Politechneiou str., 7 8 Athens, reece e-mil: jermop@centrl.ntu.gr SUARY In this pper, xilly compressed tpered brs o vrious shpes, which consist o two or three prts o vrying or constnt cross-section, re studied. he lw o moment o inerti vrition tht hs been used, pplies minly to members o steel structures. Using the generl equtions o the slope-delection method or those brs, the undmentl bending moments or the sme brs re clculted, with both ends ixed or with one end ixed nd the other pinned, nd or simultneously cting uniorm lod. At the end o the pper, digrms o the bending moment multipliers re given, or vrious vlues o the min prmeters.

Σχετικά έγγραφα

Θλιβόµενες οκοί Μεταβλητής ιατοµής Μέρος 1: Μέθοδος Γωνιών-Στροφής

Θλιβόµενες οκοί Μεταβλητής ιατοµής Μέρος : Μέοδος Γωνιών-Στροφής Ε. Κ. Λαζαρίδου Πολ. Μηχανικός, Μεταπτυχιακή φοιτήτρια Ε.Μ.Π. Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εργαστήριο Μεταλλικών Κατασκευών Ηρώων Πολυτεχνείου