Θλιβόµενες οκοί Μεταβλητής ιατοµής Μέρος 3: Κρίσιµα Φορτία και Ισοδύναµα Μήκη Λυγισµού

Transcript

1 Θλιβόµενες οκοί Μεταβλητής ιατοµής Μέρος 3: Κρίσιµα Φορτία και Ισούναµα Μήκη Λυγισµού Ε. Κ. Λαζαρίου Πολ. Μηχανικός, Μεταπτυχιακή φοιτήτρια Ε.Μ.Π. Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εργαστήριο Μεταλλικών Κατασκευών Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 57 8 Αήνα, Ελλάα eflazar@otenet.gr Ι. Χ. Ερµόπουλος Καηγητής Ε.Μ.Π. Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εργαστήριο Μεταλλικών Κατασκευών Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 57 8 Αήνα, Ελλάα jermop@central.ntua.gr. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή µελετώνται αξονικά λιβόµενες οκοί ιαφόρων µορφών, οι οποίες αποτελούνται από ύο ή τρία επιµέρους τµήµατα, µεταβλητής ή σταερής ιατοµής. ιατυπώνονται οι εξισώσεις ισορροπίας λιβοµένων µελών των παραπάνω οκών στην παραµορφωµένη κατάσταση, µε βάση τη µέοο γωνιών-στροφής όπως αυτή ισχύει για τις οκούς αυτές. Η προσοµοίωση είναι η ίια µε αυτή που εισάγεται για µέλη σταερής ιατοµής από τον Ευρωκώικα 3. Οι εξισώσεις αυτές επιλύονται, και υπολογίζονται τα κρίσιµα φορτία λυγισµού και οι αντίστοιχοι συντελεστές ισούναµου µήκους λυγισµού αυτών, για ιάφορες τιµές των χαρακτηριστικών παραµέτρων που υπεισέρχονται στο πρόβληµα. Στο τέλος, παρατίενται ενεικτικά ιαγράµµατα µε τη βοήεια των οποίων καίσταται εύκολος και ταχύς ο προσιορισµός της φέρουσας ικανότητας των παραπάνω σύνετων οκών µεταβλητής ιατοµής.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Κατά το σχειασµό και την ανάλυση των κατασκευών, ένας βασικός έλεγχος που πρέπει να πραγµατοποιείται είναι ο έλεγχος της ευστάειας αυτών. Στις µεταλλικές κατασκευές ιιαίτερα, όπου λόγω της µεγάλης αντοχής τους χρησιµοποιούνται εύκαµπτα στοιχεία ως µέλη, ο έλεγχος της ευστάειας των µελών κατά τη ιαστασιολόγηση είναι πολλές φορές ο κρισιµότερος. Για την ακριβή ιεξαγωγή του ελέγχου ευστάειας ενός φορέα, πρέπει να λαµβάνεται υπόψη και η επιρροή των αξονικών υνάµεων των ιαφόρων µελών του. Η ιαικασία αυτή ανάλυσης είναι πολύπλοκη και χρονοβόρα και συνεπώς µη επιυµητή στην καηµερινή πράξη. 364

2 Προκειµένου να γίνει απλοποίηση της ιαικασίας αυτής, προτάηκαν κατά το παρελόν από ιαφόρους ερευνητές, ορισµένες προσεγγιστικές µέοοι, βάσει των οποίων επιτυγχάνεται µε ικανοποιητική ακρίβεια και συντοµία ο έλεγχος αυτός. Στις µεόους αυτές, προσιορίζονται, συναρτήσει των γεωµετρικών µεγεών του φορέα, οι συντελεστές ισούναµου µήκους λυγισµού των µελών του και στη συνέχεια η αντίστοιχη φέρουσα ικανότητα αυτών. Οι προσεγγιστικές αυτές µέοοι αναφέρονται κυρίως σε µέλη µε σταερή ιατοµή και η πλέον εν χρήσει είναι αυτή του Wood [ και ], µέσω ιαγραµµάτων, τα οποία αναφέρονται σε µέλη µε αµετάετα ή µεταετά άκρα. Η µέοος αυτή έχει υιοετηεί από ιάφορους σύγχρονους κανονισµούς, όπως ο EC3 [3], ο S 595 [4], το DIN88 [5] κλπ, ενώ έχει προταεί και µέοος υπολογισµού µέσω νοµογραφηµάτων. Ο Ευρωκώικας 3 [3], ο οποίος αναφέρεται στο σχειασµό οµικών έργων από χάλυβα, σχετικά µε το έµα αυτό ορίζει: «Θα πρέπει να χρησιµοποιείται ένα ισούναµο µήκος λυγισµού, προκειµένου να συσχετίσει την αντοχή σε λυγισµό ενός µέλους µεταβλητής ιατοµής µε αυτήν ενός µέλους σταερής ιατοµής, για τις ίιες συνήκες φόρτισης και συγκεκριµένης µεοολογίας». Στην εργασία αυτή µελετώνται αξονικά λιβόµενες οκοί µεταβλητής ιατοµής ιαφόρων µορφών. Οι υπό µελέτη οκοί, έξι στο σύνολό τους (Σχ. ), αποτελούνται από ύο ή τρία επιµέρους τµήµατα, µεταβλητής ή σταερής ιατοµής, τα οποία ιέπονται από τον ακόλουο νόµο µεταβολής της ροπής αρανείας: «Η ροπή αρανείας I X σε τυχούσα έση ενός µέλους, µεταβάλλεται ανάλογα µε το τετράγωνο της απόστασης της έσης αυτής από την αρχή των αξόνων (που συµπίπτει µε το σηµείο τοµής των αξόνων του άνω και κάτω πέλµατος της ιατοµής)».τα επιµέρους τµήµατα της κάε οκού εωρούνται κατά την επίλυση, ιαφορετικού µήκους και ιαφορετικής µεταβλητότητας. Ο νόµος αυτός αντιστοιχεί είτε σε πολυµελείς µεταλλικές ιατοµές (ικτυωτή ή πλαισιακή µορφή), µε σταερό εµβαό κατά µήκος του άξονά τους, όπου όλο το υλικό είναι συγκεντρωµένο στις τέσσερις γωνίες ή στις ύο πλευρές της ιατοµής, είτε, µε ικανοποιητική ακρίβεια, σε µονοµελείς ιατοµές (π.χ. ιπλά ταυ) όπου η συµµετοχή του κορµού στη ροπή αρανείας είναι κατά κανόνα πολύ µικρή (Σχ. ). Τα επιµέρους τµήµατα της κάε οκού εωρούνται κατά την επίλυση, ιαφορετικού µήκους και ιαφορετικής µεταβλητότητας. Για τις οκούς αυτές, ιατυπώνονται οι εξισώσεις ισορροπίας στην παραµορφωµένη κατάσταση µε βάση τη µέοο γωνιών στροφής. Η προσοµοίωση είναι ίια µε αυτή που εισάγεται για µέλη σταερής ιατοµής από τον Ευρωκώικα 3. Οι εξισώσεις ισορροπίας επιλύονται, και υπολογίζονται τα κρίσιµα φορτία, καώς και οι αντίστοιχοι συντελεστές ισούναµου µήκους λυγισµού αυτών. Παρατίενται τέλος, ιαγράµµατα σε παρόµοια µορφή µε τον EC3, µε τη βοήεια των οποίων καίσταται εύκολος και ταχύς ο προσιορισµός της φέρουσας ικανότητας ράβου µεταβλητής ιατοµής. 3. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ E g, g, g, g Μέτρο ελαστικότητας Συντελεστές µεόου γωνιών-στροφής ράβων µεταβλητής ιατοµής I, I x, I, I Ροπές αρανείας i ci ai i Σχετικές ακαµψίες (i 4) 365

3 k π Συντελεστής ισούναµου µήκους λυγισµού βm,,, Μήκη ράβων c c c3 c4 M, V n,n P P cr R c c u,u,u,u Καµπτική ροπή και τέµνουσα ύναµη Συντελεστές κατανοµής Αξονική λιπτική ύναµη Κρίσιµο φορτίο ράβου ΑΒ Συντελεστές µεόου γωνιών-στροφής ράβων µεταβλητής ιατοµής απόσταση a ββ,, P EI ci αιάστατο αξονικό φορτίο µέλους σταερής ιατοµής o Υποχωρήσεις και γωνίες στροφής Σχ. : Οι έξι υπό µελέτη περιπτώσεις και τυπική µορφή µελών 4. ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Ενεικτικά και για να κατανοηεί η ιαικασία ανάλυσης, περιγράφεται στη συνέχεια η Περίπτωση. Στο Σχ. φαίνεται η αντίστοιχη υπό µελέτη αξονικά λιβόµενη οκός µεταβλητής ιατοµής (βλέπε Σχ. ) που αποτελείται από ύο επιµέρους τµήµατα, τα ΑΕ και ΕΒ, µεταβλητής ακαµψίας. Ο νόµος µεταβολής της ροπής αρανείας για κάε τµήµα περιγράφεται από τη σχέση: x I Χ I a () σύµφωνα µε την οποία η ροπή αρανείας σε απόσταση x από την αρχή των αξόνων Ο, είναι ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης αυτής. 366

4 Σχ. : Θλιβόµενη ράβος Περίπτωσης µε αµετάετα και µεταετά άκρα Η µεταβλητότητα των επιµέρους τµηµάτων ΑΕ και ΕΒ της οκού ΑΒ περιγράφεται από τους συντελεστές c και a c, η σχέση µεταξύ των µηκών τους καορίζεται από a τη µεταβλητή R ( ) I Io c και οι ροπές αρανείας στα άκρα τους είναι I I ( ) c αντίστοιχα. o και Σύµφωνα µε τη µέοο γωνιών-στροφής, για τις οκούς του Σχήµατος ισχύουν οι ακόλουες σχέσεις: M G M F 4EI 4EI () (3) M C 4EI 3 3 (4) M D 4EI 4 4 (5) EI M u u u u c ( ) c (6) EI M g g ( g g ) c c ( ) ( ) ( ) EI V V u g u g u u g g P c c c (7) (8) όπου 367

5 β EI β EI c β EI P ( R) (9) c c c c Το εκφράζει τη σχετική µετατόπιση των άκρων Α και Β. Οι συντελεστές u i και g i των σχέσεων της µεόου γωνιών-στροφής για τη ράβο ΑΒ έχουν υπολογισεί σε προηγούµενη εργασία, συναρτήσει των γεωµετρικών χαρακτηριστικών της και του αξονικού φορτίου P. Τέλος οι συντελεστές κατανοµής n και n ίνονται από τις σχέσεις: n () n 3 4 όπου I I ( ) c c και () () i I i (3) i είναι η σχετική ακαµψία αναφοράς της οκού ΑΒ. Η εξίσωση λυγισµού για αµετάετα άκρα προκύπτει ως εξής: Από την ισορροπία στους κόµβους Α και Β λαµβάνουµε: Σ M (4) Σ M (5) Επίσης στην περίπτωση των αµετάετων άκρων ισχύει (6) Η εξίσωση (4) συναρτήσει των σχέσεων (4) (6), (6) και (3) γίνεται, µετά τις πράξεις: Α ( ) ( ) u u 3 4 Αντίστοιχα, η εξίσωση (5) συναρτήσει των (), (3), (7), (6) και (3) γίνεται Α [ ( ) g ] [ ( ) g ] (8) Προκειµένου το σύστηµα των εξισώσεων (7) και (8) να έχει λύση, πρέπει η ορίζουσά του να είναι ίση µε το µηέν. ηλαή u 3 4 g ( ) ( ) u g ( ) ( ) (7) (9) 368

6 Από την παραπάνω, µετά από πράξεις και συναρτήσει των σχέσεων () και () προκύπτει η ακόλουη εξίσωση λυγισµού για τη οκό ΑΒ ( ) ( ) u u g n n Η εξίσωση λυγισµού για µεταετά άκρα προκύπτει µε αντίστοιχη ιαικασία από τις εξισώσεις () (5) και µε τους παρακάτω πρόσετους περιορισµούς: () V () και είναι η ακόλουη: ( )( ) u u g g ( u u) u ( ) u β ( R) n β ( ) ( R) u u g g ( u u g g) ( g ) ( ) g g n β ( R) ( u u g g) Με βάση τις εξισώσεις λυγισµού, και χρησιµοποιώντας επαναληπτική ιαικασία, υπολογίζονται για ιάφορες τιµές των χαρακτηριστικών παραµέτρων του προβλήµατος της κάε περίπτωσης τα αντίστοιχα κρίσιµα φορτία για αµετάετα και µεταετά άκρα. Κατόπιν, από την εξίσωση του Euler: π EI P cr ( k ) (4) c σε συνυασµό µε τη σχέση που ιέπει κατά περίπτωση το αιάστατο αξονικό φορτίο, προκύπτει ο συντελεστής ισούναµου µήκους λυγισµού k της οκού ΑΒ: k π β (5) Με ανάλογο τρόπο αντιµετωπίζονται και οι υπόλοιπες περιπτώσεις του Σχ., για τις οποίες υπολογίζονται οι αντίστοιχες εξισώσεις λυγισµού. Καταρτίζεται τέλος πρόγραµµα στον Η/Υ, µε τη βοήεια του οποίου συντάσσονται τα ιαγράµµατα των συντελεστών του ισούναµου µήκους λυγισµού της κάε ράβου, για αµετάετα και µεταετά άκρα, συναρτήσει των συντελεστών κατανοµής n και n και ανάλογα µε τις τιµές των λόγων R c, c c a και c. a Ενεικτικά ιαγράµµατα φαίνονται στο Σχ. 3. Από τα ιαγράµµατα προκύπτει, όπως εξάλλου αναµενόταν, ότι η επιρροή της µεταβλητότητας της ιατοµής επί του µήκους λυγισµού των υπό µελέτη οκών είναι σηµαντική και πρέπει να λαµβάνεται υπόψη. () (3) 369

7 R,, n.5.9 n n n R,, n.5.45 n n (Α) n (Β) Σχ.3: Συντελεστές ισούναµου µήκους λυγισµού για αµετάετα (Α) και µεταετά (Β) άκρα ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. Wood R.H, Effective lengths of columns in multi-storey building, Structural Engineer, 5, 974, pp35-44, 95-3, Wood R.H. and Robert E.H., graphical method of preventing sideways in the design of multistory buildings, Proc. Inst. Civil Engrs, 59, 975, pp Eurocode 3, Design of Steel Structures, Part., Commission of the European Communities, DDENV 993--:99 4. ritish Standards Institution, Structural Use of Steelwork in uilding, S 595: Part, SI, ondon, DIN88, TEI, Stabilitasfalle, nicken von Staben und Stabwerken, euth, erlin, Ermopoulos., Equivalent uckling ength of Non-Uniform Members, ournal of Cinstructional Steel Research, Vol 4, No, pp.4-58,

8 Tapered beam-columns under compression Part 3: Critical oads and Equivalent uckling engths E.. azaridou Civil Engineer, Postgraduate student at N.T. University of thens School of Civil Engineering, aboratory of Metal Structures 9 Iroon Politechneiou str., 57 8 thens, Greece eflazar@otenet.gr. Ch. Ermopoulos Professor N.T. University of thens School of Civil Engineering, aboratory of Metal Structures 9 Iroon Politechneiou str., 57 8 thens, Greece jermop@central.ntua.gr SUMMRY In this paper, axially compressed tapered bars of various shapes, which consinst of two or three parts of varying or constant cross-section, are studied. The law of moment of inertia variation that has been used applies mainly to members of steel structures. The non-linear equilibrium equations of those bars are established for non-sway and sway mode. The models considered are similar to those proposed by EC3 nnex E for uniform members. Using an iteration procedure the critical loads and the corresponding equivalent buckling lengths are calculated, while results are presented in graphical form, to make direct use from practicing engineers easy. 37