5.1.1 מבוא. .(process X X רציף). n n 1 0.5

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "5.1.1 מבוא. .(process X X רציף). n n 1 0.5"

Transcript

1 09 פרק הה' תהליכים מקריים 5. תהליכים מקריים 5.. מבוא בפרקים הקודמים עסקנו במשתנים מקריים בודדים או בקבוצות קטנות של משתנים מקריים. בפרק הנוכחי נרחיב את הדיון לטיפול בסדרות של משתנים מקריים, סדרה כזאת נקראת תהליך מקרי או תהליך סטוכסטי ) sochasic.(process X { X הוא סדרה של משתנים מקריים, דהיינו לכל אינדקס תהליך מקרי T}, ב- X T, הוא משתנה מקרי. פעמים רבות נתייחס לאינדקס כמציין זמן ונכנה את הערך ש- X מקבל בשם המצב של התהליך בזמן. האינדקס יכול להתאים ליחידות בדידות של זמן (תהליך מקרי בזמן בדיד coiuous-ime או לזמן רציף (תהליך מקרי בזמן רציף (discree-ime process,(process וגם כל אחד מהמשתנים המקריים X עצמם יכולים להיות בדידים (שאז נאמר כי מרחב המצבים הוא בדיד space) (discree sae או רציפים. תהליכים מקריים בזמן בדיד מתאימים בין השאר לתיאור של סדרת תוצאות ניסויים ודוגמא לתהליך מקרי כזה היא למשל שערי מדד המניות בסופו של כל יום מסחר (משתנה מקרי בדיד) או הטמפרטורה היומית המקסימלית (משתנה מקרי רציף). תהליכים מקריים בזמן רציף מתאימים לתיאור של משתנים שנמדדים באופן רציף, למשל מתח הממברנה של תא כפונקציה של הזמן (משתנה מקרי רציף), או קיום פוטנציאל פעולה בתא כפונקציה של הזמן (משתנה מקרי בדיד בתהליך מקרי רציף). X + X X דוגמא: הילוך מקרי המשתנה המקרי + X מתפלג על פי ההמחשה המקובלת לתהליך כזה היא אדם היוצא מבית המרזח בהיותו מבוסם כיאות ומתנדנד צעד לימין וצעד לשמאל בהסתברויות שוות. לעתים קל יותר לחשוב

2 0 על סדרת ההפרשים של התהליך השקולה לסדרה של ניסויי ברנולי במטבע. X + הוגנת({ +, U({ X ~ תהליך סטציונרי תהליך מקרי סטציונרי הוא תהליך בו ההתפלגות של המשתנה המקרי אינה תלויה מפורשות בזמן. באופן פורמלי תהליך הוא סטציונרי אם ההתפלגות המשותפת של ( PX, לכל h ולכל, X2,..., X) זהה להתפלגות של PX ( + h, X2+ h,..., X+ h) בחירה של אינדקסים.,, 5..2 תהליכים פואסוניים התהליך הפואסוני הוא אחת הדוגמאות הפשוטות ביותר לתהליך מקרי, אך גם שימושי ביותר. באופן בלתי פורמלי נספר כי תהליך מקרי פואסוני הוא תהליך מקרי בזמן רציף בו המשתנה המקרי X סופר את מספר הפעמים שאירוע מסויים קרה עד לזמן, ואירועים כאלו מתרחשים בקצב קבוע ובאופן בלתי תלוי זה בזה. באופן לא מפתיע התפלגות המשתנה המקרי בזמן היא התפלגות פואסונית. לצורך הגדרה פורמלית יותר, נאמר כי תהליך X נקרא תהליך ספירה process) (couig אם X מייצג את מספר האירועים מסוג מסוים שקרו עד לזמן. סדרת הערכים המתקבלת בתהליך כזה היא סדרה עולה עם הזמן, המתחילה בדרך כלל בערך 0 0 X וקופצת בערך של יחידה בכל פעם שארוע התרחש. תהליך ספירה הוא בהכרח א-סטציונרי, היות ונקודת ההתחלה שלו מוגדרת באופן ייחודי. נאמר שתהליך ספירה הוא תהליך בעל idepede icremes אם מספר האירועים שקורים בשני פרקי זמן לא חופפים הוא בלתי תלוי. נאמר שתהליך ספירה הוא בעל saioary icremes אם התפלגות מספר האירועים שקורים בכל פרק זמן אינו תלוי בזמן האבסולוטי אלא רק במשך פרק הזמן. לבסוף, נזכיר כי פונקציה f(h) נקראת o(h) אם מתקיים f( h) lim 0 h 0 h כעת נוכל להגדיר פורמלית h קטן) הגדרה: תהליך פואסוני X תהליך ספירה X 0 0. לתהליך יש 2. λ.3 נקרא פואסוני עם קצב λ אם הוא מקיים (בגבול של idepede ad saioary icremes PX ( ) h+ oh PX ( 2) oh.4

3 טענה: משתנה מקרי X T בתהליך פואסוני מתפלג פואסונית ( T ) k λ λ T (5.) PX ( T k) e k! כדי להוכיח טענה זו, נחלק את הזמן [T..0] ל- פרקי זמן קצרים באורך.T/ כאשר פרקי זמן אלו קצרים מספיק, אזי לפי תכונה 3 ו- 4 בכל פרק זמן קצר מתרחש לכל היותר אירוע בודד, וההסתברות כי אירוע כזה יתרחש היא.λT/ מספר האירועים עד לזמן T הוא לכן סכום של ניסויי ברנולי (לפי תכונה 2) ולכן הוא מתפלג בינומית. עם זאת, אנחנו מתעניינים בהתפלגות המשתנה המקרי בזמן רציף שהוא הגבול של ההתפלגות הבינומית עבור שואף לאינסוף והראנו בפרק כי בגבול זה ההתפלגות הבינומית שואפת להתפלגות הפואסונית כנדרש. זמן בין מאורעות Ier Eves Iervals יהי X תהליך מקרי פואסוני ונסמן ב- Y את הזמן בו התרחש המאורע הראשון, וכן נסמן ב- Y את הפרש הזמנים בין התרחשות המאורע ה- - והמאורע ה-. Ier-Eve-Iervals היא סדרת המרווחים בין ארועים { Y הסדרה },..., Y המכונה גם זמני המתנה waiig imes (וכאשר האירועים הם פטנציאלי פעולה בתאי עצב אז מרווחים אלו נקראים.(Ier-Spikes Iervals טענה: זמני המתנה בתהליך פואסוני זמני ההמתנה בתהליך פואסוני עם קצב λ הם בעלי התפלגות אקספוננציאלית עם ממוצע. λ הוכחה עבור המשתנה הראשון, מתקיים Y < רק אם לא התרחש שום אירוע בפרק הזמן () (כאשר PY ( > ) P ( 0) e λ ומתוך משוואה (5.) נובע כי [0,] הוא מספר האירועים עד לזמן ). מתוך דרישת הנרמול לסכום הסתברויות אחת נובע כי Y מתפלג אקספוננציאלית עם פרמטר λ. כעת עבור המשתנה השני (5.2) PY ( 2 > Y s) P{o eve occured i he ierval (s,s + ] Y s} P{o eve occured i he ierval (s,s + ]} e λ כאשר המעבר הראשון נובע מתכונת האי תלות icremes) (idepede והמעבר השני מהסטציונריות icremes).(saioary ובאופן דומה ניתן להמשיך לכל Y,וקיבלנו כי Y מתפלג אקספוננציאלית עם פרמטר λ כנדרש. נעיר כי ניתן להוכיח את הפילוג האקספוננציאלי של זמני ההמתנה באופן דומה להוכחת הטענה הקודמת על ידי חלוקת הקטע לקטעים אינפיטיסימליים.

4 2 5.2 שרשרות ירי עצביות כתהליכים מקריים תאי עצב מגיבים באופן סטוכסטי לקלטים שהם מקבלים. לא נוכל להכנס כאן למגבלות שהתנהגות מקרית כזאת כופה על ביצוע חישובים על ידי תאי עצב, אך נתאר בקצרה מודל נפוץ, אם כי בהחלט לא מדוייק של שרשרות ירי עצביות כתהליכים מקריים. ראשית נשים לב כי שרשרות ירי של תאי עצב הם תהליכים מקריים בזמן רציף, שניתן למדל אותם כתהליכים נקודתיים, דהיינו סדרה של מאורעות נקודתיים בזמן (זאת אם נבחר עבור כל פוטנציאל פעולה רגע אחד שבו הוא מתרחש, למשל הרגע בו מתח הממברנה הוא מקסימלי). האיור הבא (שמאל) מתאר את מתח הממברנה במשך זמן בו הוסרק לתא זרם שגרם לפוטנציאלי פעולה. קל לראות כיצד ניתן לתרגם תהליך זה לתהליך נקודתי. האיור שמימין מתאר תגובות של תא עצב במערכת השמיעה לגירוי שהוצג עשרים פעמים. התגובה לכל אחת מהצגות הגירוי מוצגת בשורה נפרדת כתהליך נקודתי plo).(raser רישום תוך תאי באפליזיה. נתונים של Chechik, Globerso ad Jacobso 999 הקצב שבו פוטנציאלי הפעולה בתא עצב מתרחשים אינו קבוע אלא תלוי בקלטים שהתא מקבל. נכליל אם כן את התהליך הפואסוני שהגדרנו לעיל לתהליך בו אנו ונגדיר תהליך,λ() λ להשתנות כפונקציה של הזמן מרשים לפרמטר הקצב פואסוני לא הומוגני בזמן. הגדרה: תהליך פואסוני לא הומוגני Poisso) (Ihomogeeous בדומה להגדרת תהליך פואסוני נאמר כי תהליך ספירה X הוא פואסוני לא הומוגני עם קצב λ() אם הוא מקיים X 0 0. לתהליך יש idepede icremes.2 PX ( ) λ( h ) + oh.3 PX ( 2) oh.4 תהליך פואסוני לא הומוגני מתאים אם כן לתיאור התפלגות מספר פוטנציאלי פעולה שהתרחשו כפונקציה של הזמן, אם פוטנציאלי הפעולה מתרחשים באופן שאנו תלוי זה בזה, אך בקצב שיכול להשתנות בזמן. כמו במקרה ההומוגני, ניתן להראות כי התפלגות זמני ההמתנה של משתנה מקרי פואסוני לא הומוגני אף היא אקספוננציאלית, אך עם תוחלת התלויה באינטגרל על הקצב λ().

5 3 תהליך מתחדש process) (reewal ראינו כי זמני ההמתנה בתהליך פואסוני הם בלתי תלויים ומתפלגים התפלגות אקספוננציאלית. הרחבה מתבקשת של מודל זה הם תהליכים שבהם זמני ההמתנה בלתי תלויים אבל מתפלגים לפי פילוג כלשהו. תהליכים כאלה נקראים.reewal processes למשל, בקירוב לא רע, תעלות היונים בתא בעקבות פוטנציאל פעולה עוברות rese כך שהתא "שוכח" את המצב בו הוא היה לפני פוטנציאל הפעולה, ולכן זמני ההמתנה יהיו בלתי תלויים. מצד שני תאי עצב אינם נוטים לירות מספר פוטנציאלי פעולה סמוכים מאוד (תופעה הנובעת מהתקופה הרפרקטורית היחסית), ולכן תהליך שבו התפלגות זמני ההמתנה היא אקספוננציאלית אינה מתאימה לתיאור התנהגות של תאים בעלי תקופה רפקטורית משמעותית. תיאור טוב יותר ניתן להשיג למשל אם זמני ההמתנה מתפלגים התפלגות גאמא.

6 4 5.3 תהליכים מרקוביים 5.3. מבוא נטפל כעת בתהליך מקרי X שיכול לקבל מספר סופי m של ערכים בכל צעד זמן, שאותם נסמן בפשטות ב- {m,,,2}, ואם X i אז נאמר שהתהליך נמצא במצב i בזמן. נניח כי בכל פעם שהמערכת נמצאת במצב i אז ישנה הסתברות קבועה לכך שהמערכת תמצא במצב בצעד הזמן הבא (5.3) i ( rasiio from sae o sae ) ( ) a P i P X X i נשים לב כי הסתברות זו קבועה ואינה תלויה במצבים בהם היתה המערכת לפני זמן -. כלומר באופן פורמלי נוכל לרשום (5.4) ( ) P( X X i, X i,..., X i ) P X X i נדגיש כי תכונה זו היא אי-תלות מותנית: אמנם קיימת תלות בין מצב המערכת בזמן לשרשרת המצבים בזמנים הקודמים -,, אבל אם ידוע לנו מצב המערכת בזמן - אז המצב בזמן כבר אינו תלוי במצב בזמנים 2-,,. תכונה זאת של אי תלות מותנית נקראת התכונה המרקובית, ותהליך המקיים תכונה זאת נקרא שרשרת מרקוב Chai).(Markov במקרה הכללי שרשרות מרקוב מוגדרות גם למערכת בעלת מספר אינסופי (אך בן מניה) של מצבים אפשריים, כך שמטריצת הסתברויות המעבר היא מטריצה ממימד אינסופי. בנוסף לכך מגדירים תהליך מרקובי מסדר K, אם מצב המערכת אינו תלוי בהסטוריה בהנתן K המצבים הקודמים. תכונות מטריצת הסתברויות המעבר נשים לב כי היות וישנה הסתברות של לצאת ממצב i בכל צעד הרי שמתקיים (5.5) a i ואם נרשום את הסתברויות המעבר כמטריצה } i A a} אזי הסכום של כל עמודה יסתכם לאחת. מתכונה זו נובע כי למטריצה A יש וקטור עצמי שמאלי שהערך העצמי שלו הוא, זאת היות ואם נסמן את וקטור האחדות (,...,,) אז מתקיים A (,,...,)

7 5 היות והערכים העצמיים השמאליים שווים לערכים העצמיים הימניים, אז קיים גם וקטור עצמי ימני (שאותו נסמן v) שלו מתאים ערך עצמי, וניתן להראות כי שאר הערכים העצמיים של A קטנים מ סוגי מצבים נאמר שניתן להגיע ממצב i אל מצב אם קיימת הסתברות גדולה ממש מאפס לרצף מעברים בין מצבים שמתחיל במצב i ומסתיים במצב. לדוגמא, במטריצת המעברים הבאה ניתן להגיע ממצב למצב 4 דרך מעבר במצב 2 ו- 3 אך לא ניתן להגיע למצב 5. לעומת זאת ניתן להגיע בצעד אחד בהסתברות 0.5 למצב אחת מתוך מצב A נשים לב כי למעשה לא ניתן להגיע למצב 5 בתהליך זה משום מצב אחר, כך שאם נתחיל ממצב 5 לא נוכל לחזור אליו. תהליך נקרא recurre אם לא קיימים בו מצבים מסוג זה, כלומר אם לכל מצב ההסתברות כי נחזור אליו בזמן סופי היא אחת. שני מצבים i ו- נקראים מתקשרים, אם ניתן להגיע ממצב אחד למשנהו וגם להפך (למשל מצבים ו- 2 במטריצה לעיל). וניתן להראות בקלות כי יחס ההתקשרות (irreducible) אם קיימת בו אי-פריק תהליך מרקובי נקרא הינו יחס שקילות. מחלקת שקילות אחת בלבד, דהיינו אם ניתן להגיע מכל מצב לכל מצב במספר נביט לדוגמה כדי להבהיר רעיון זה, הסתברות חיובית. סופי של צעדים בעלי במטריצת המעברים הבאה המתארת תהליך מרקובי שבו שתי מחלקות שקילות A בתהליך זה ישנן בברור שתי קבוצות של מצבים, שלא ניתן לעבור ביניהן: אם במקרה התחלנו במצב מבין שלושת המצבים הראשונים, הרי שבהכרח נשאר בקבוצה זאת, וכך גם אם התחלנו בשני המצבים האחרונים. בדוגמא זאת, סדרת המצבים של המערכת תלויה באופן חזק במצב ההתחלתי של המערכת. דוגמא

8 6 נוספת לתהליך בו סדרת המצבים תלויה במצב ההתחלתי, מחזורי, כפי שמוצג במטריצה הבאה: היא של תהליך 0 0 A סדרת המצבים של תהליך זה היא בהכרח מהצורה,,2,3,,2,3, אך הפאזה ההגדרה הפורמלית של תהליך שאיננו של התהליך תלויה במצב ההתחלתי. מחזורי (a-periodic) מייגעת מעט, ולכן נסתפק כאן באינטואיציה הקובעת כי לא קיימים מחזורים בסדרת המצבים של התהליך. בניגוד לדוגמאות לעיל בהן המצב ההתחלתי קובע באופן קריטי את סדרת מצבי המערכת, נראה כעת כי בתהליכים אי-פריקים ולא מחזוריים המערכת שוכחת את תנאי ההתחלה שלה לאחר זמן מספיק התפלגות במצב שווי משקל נטפל בתהליך מרקובי בלתי פריק, שאינו מחזורי והוא recurre ובו נסמן את התפלגות המשתנה המקרי X על ידי הוקטור m). P P( X ), P( X 2),..., P( X נביט על התפלגות המצבים בצעד [ ] הזמן הבא. הסיכוי להיות במצב בצעד הזמן הבא תלוי רק בצעד הזמן הקודם, ולכן m m PX ( ) APX ( i) AP ובכתיב מטריציוני ובאינדוקציה נקבל P i i i i i A P P AP AAP... A P 2 0 כדי לתאר את תוצאת ההפעלה החוזרת של המטריצה A על וקטור התפלגות התחלתי, קל יותר לעבור לבסיס הוקטורים העצמיים של המטריצה. A כאשר מטריצת המעברים A ניתנת ללכסון, אזי ניתן לרשום אותה כמכפלת מטריצות מהצורה, A T T כאשר היא מטריצה אלכסונית ובה הערכים העצמיים של A שאותם נסמן.,λ,...,λ2 λm כשנעלה את המטריצה בחזקת נוכל לרשום, λ, λ2 וביניהם,..., λ m A T T ומכאן שהערכים העצמיים של A הם הערך העצמי הגדול ביותר הוא, ושאר הערכים העצמיים שואפים לאפס בקצב אקספוננציאלי כפונקציה של. נרשום שוב את ההתפלגות לאחר צעדים P A P T T P 0 0

9 7 ומאלגברה בסיסית ידוע כי משמעות ביטוי זה היא כי הוקטור P, 0 מוטל לבסיס הוקטורים העצמיים של, A וכל רכיב בו מוכפל בערך העצמי המתאים של. A היות וקיים רק ערך עצמי יחיד של A שאינו שואף לאפס, אזי (5.6) lim P v כאשר v הוא הוקטור העצמי בעל הערך העצמי של המטריצה. A ההתפלגות P בגבול נקראת ההתפלגות הסטציונרית של התהליך המרקובי.

10 8 5.4 מודלים מרקובים חבויים 5.4. הקדמה מודלים מרקובים חבויים Hidde Markov Models מהווים טכניקה סטטיסטית ללימוד של סדרות זמניות. המודלים הללו מאפשרים לעבוד עם רוב ההסתברויות הקלאסיות, מחיר המימוש שלהם הוא נמוך יחסית (לינארי באורך הנתונים) תכונות אלו ואחרות הפכו את המודלים מן הסוג הזה למושכים במיוחד עבור בעיות של זיהוי שפה ודיבור, מודלים של רצפי DA בתחום הביואינפורמטיקה ועיבוד אותות באופן כללי. למרות שהמודלים הללו הוצגו כבר בסוף שנות השישים ובתחילת שנות השבעים, הם נעשו פופולרים במיוחד בתחילת שנות השמונים ובעזרתם הושגו תוצאות מן הטובות בתחום. בדומה למודלים המרקוביים, גם במודלים המרקוביים החבויים המערכת יכולה להיות באחד מבין כמה מצבים, אך בניגוד למודלים המרקוביים המצב בו נמצאת המערכת בכל צעד זמן אינו ידוע לנו, ועלינו לנחש אותו מתוך תצפיות המקושרות באופן לא דטרמיניסטי למצב המערכת הגדרות התיאור הבסיסי של המודלים המרקובים החבויים הוא כלהלן: נתונה מערכת אשר ניתנת לתיאור כאוסף של מצבים.,s,...,s2 s בכל רגע נתון המערכת נמצאת. q ביחידות זמן קבועות באחד (בדיוק) ממצבים אלו - נסמן מצב מסוים זה ב- מראש המערכת עוברת שינוי מצב (כאשר קיימת גם האפשרות להשאר במצב הקודם), כאשר שינוי זה הוא על פי הסתברויות קבועות מראש הקשורות לכל מצב.,i a ומציינות את ההסתברות למעבר ההסתברויות מסומנות בדרך כלל בצורה. s ההסתברויות מקיימות את ההנחה המרקובית, דהיינו שהן s i למצב ממצב תלויות אך ורק במצב האחרון i (ולא במצבים קודמים אשר המערכת עברה דרכם), והן אינן תלויות בזמן. המערכת מופעלת על ציר זמן המתחיל מ- ומסתיים ב-.T נוסף להסתברויות המעבר, קיימות גם הסתברויות התחלתיות, דהיינו ההסתברות להיות בזמן במצב i היא π. i המצבים המתוארים לעיל אינם נצפים בצורה ישירה במודל זה (הם חבויים), אלא דרך התפלגות נוספת. בכל מצב ניתן לראות תצפיות (אשר יכולות להיות סקלריות או ווקטוריות, בדידות או רציפות) מספר את לסמן נהוג והבדיד הסקלרי המקרה עבור המצב. את המאפיינות.,v,...,v2 vm נסמן ב- התצפיות האפשרי ב-, M ולסמן את התצפיות השונות ב-. s i בכל v כאשר נמצאים במצב ), ( bi את ההסתברות לצפות בתצפית בדידה. o רגע נתון המערכת מוציאה תצפית מסוימת, שאותה נסמן ב- מחמישה מרכיבים מוגדר באופן פורמלי כמורכב Λ מודל מרקובי חבוי π ( S, V, A, B, Λ). s, s2,..., s מצבים היא קבוצה של S.

11 9.2.3.,v,...,v2 vm ערכים אפשריים לתצפיות M היא קבוצה של V A היא מטריצה בגודל x הכוללת את הסתברויות המעבר בין מצבים.,i a היא ההסתברות לעבור ממצב למצב s s i B היא מטריצה בגודל xm המכילה את ההסתברויות ליצירה של תצפית מסוימת במצב מסוים., bi היא ההסתברות לצפות בתצפית בדידה v s i k.4 כאשר נמצאים במצב. 5. ווקטור הסתברויות מעבר התחלתיות: π בעל אורך. לרוב, שני המרכיבים הראשונים הם קבועים וידועים, ולכן נסמן לרוב את המודל על.π ( A, B, ידי (Λ שימוש במודל ליצור תצפיות: בהנתן מודל מרקובי חבוי ניתן להפעיל אותו בצורה הבאה על מנת לקבל סדרת תצפיות O o, o2,..., ot וסדרת מצבים : Q q, q2,..., qt. בחר מצב התחלתי q si על פי הסתברות המעבר ההתחלתית π. () i וקבע את הזמן לנקודת ההתחלה. 2. בחר תצפית לזמן o v, לפי הסתברות לקבלת תצפית במצב v k bik (, ) q + s. s i הנכחי 3. עבור למצב חדש על פי הסתברות המעבר a( i, ) s i ממצב. את האינדקס של צעד הזמן הנוכחי+.הגדל s.4 אם עבר כל הזמן (T) אשר בו פועל המודל הפסק, אחרת חזור לשלב 2. למצב

12 20 התיאור דלעיל מתאר הן כיצד המודל פולט תצפיות והן כיצד סדרת תצפיות מסוימת יוצרה על ידי המודל.שימוש חישובי במודל המרקובי החבוי מצריך את היכולת לפתור מספר בעיות הקשורות בו בעיית הנראות: בהנתן סדרת תצפיות ומודל ),, ABπ, Λ ( ) ( POΛ (מה O o, o2,..., ot ההסתברות שהסדרה נוצרה על ידי המודל התצפיות לפי המודל)? בעיית הפענוח: בהנתן סדרת תצפיות O o, o2,..., ot ומודל המצבים (המסלול),q,...,q2 qt הסבירה ביותר התצפיות? בעיית הלמידה: בהנתן סדרת תצפיות O,o,...,o2 ot מהו המודל ביותר אשר יצר אותן? פתרוןבעיית הנראות פתרון נאיבי לבעיה זו הוא Λ ( ABπ,, ) שיצרה מה הנראות של מהי סדרת את Λ ( ABπ,, ) סדרת הסביר (5.7) ( Λ ) (, Λ) ( Λ) PO POQ PQ q, q2,..., qt allq ( q ) b( q, o ) a( q, q ) b( q, o ) a( q, q ) b( q, o ) π T T T T כאשר הסכום על Q הוא כל הפרמוטציות של סדרת המצבים החבויים (כל המסלולים האפשריים). במצב זה קל לחשב את ההסתברות של כל מסלול (כפי T שכתוב בביטוי לעיל). פתרון זה דורש מספר פעולות בסדר גודל של T עובדה אשר הופכת את כל התהליך לבלתי ניתן למימוש אפילו עבור מספר קטן של מצבים ואורך סדרה T קצר יחסית. נתאר כעת פתרון בעל סיבוכיות זמן ריצה שהיא לינארי באורך הסדרה. T הפתרון מתבסס על עקרונות האופטימליות של מכונת מצבים מרקובית מסדר ראשון. על פי עקרון זה אין חשיבות לסדרת המצבים אשר הובילה לפתרון אופטימלי אלא רק למצב האחרון בשרשרת המצבים האופטימלים. נגדיר לכן תחת השם "משתנים קדמיים" Variables) (Forward (5.8) α ( i) P( oo o q s Λ ) i 2,. s i בזמן בתלות כלומר, ההסתברות לקבל את סדרת התצפיות ולהגיע למצב a בצורה יעילה הרי שהפתרון לבעיית הנראות (על במודל. אם נוכל לחשב את (i ( פי ההגדרה) ניתן על ידי סכום המשתנים הקדמיים בזמן T ( ) α ( i) PO Λ i T

13 2 a האלגוריתם לחישוב (i ( הוא כדלקמן. אתחול α( i) πib( i, o) i 2. אינדוקציה α+ α ( i) a( i, ) b(, o+ ) i T, 3. סיום ( ) α ( i) PO Λ i T שלב האינדוקציה משתמש בצורה ישירה בעקרון המרקוביות. מספר הפעולות 2 הדרושות על מנת לממש אלגוריתם זה הוא T אשר מהווה מספר סביר של פעולות. אלגוריתם זה הוא מקרה פרטי של אלגוריתם תכנות דינמי Dyamic.Programig (Backward Variables) בצורה להגדיר גם ניתן דומה "משתנים אחוריים" β + + T i (5.9) ( i) P( o o o q S Λ ) 2, ולבצע חישוב דומה הסוף "מן להתחלה". לכתוב ניתן כללי באופן (5.0) PO ( Λ ) α () iβ () i i פתרון בעיית הפענוח על מנת לפתור את בעיית הפענוח יש להגדיר בצורה טובה את המשמעות של סדרת המצבים הסבירה ביותר (מסלול). הגדרה אפשרית היא המסלול אשר מכיל בכל רגע נתון את המצב הסביר ביותר. מסלול זה הוא בעייתי משום שהוא יכול si, { q אבל q+ להיות מסלול בלתי אפשרי לפי המודל (לדוגמא, כאשר{ s.( a( i, ) 0 הגדרה מקובלת למסלול אופטימלי היא המסלול אשר הסתברותו הכוללת היא הגבוהה ביותר, כלומר המסלול המביא למקסימום את ), ( PQOΛ. פתרון הבעיה תחת הגדרה זו דומה מאד לפתרון בעיית הנראות אך שונה ממנו בשני אלמנטים. ראשית, בכל רגע נתון בחישוב אנו מעוניינים במסלול הסביר ביותר ולא בכל המסלולים. שנית, יש צורך לשמור מידע על המסלול הסביר ביותר במהלך החישוב. האלגוריתם הבא (הידוע בשם אלגוריתם (Vierbi נותן פתרון לבעיית הפענוח.

14 22 (5.) δ ( i) max P[ q q q i, oo o Λ ] 2 2 q, q2,..., q s k נגדיר את המשתנה הבא (בדומה למשתנה הקדמי) ואת משתנה העזר ( ψ ( אשר מכיל מצביע למצב ביותר (בזמן -) שממנו ניתן להגיע בזמן למצב אשר הוא המצב הסביר. s δ i π b o, ψ i 0 i i i. אתחול 2. רקורסיה δ max δ ( i) a( i, ) b(, o), i 2 T ψ arg max δ ( i) a( i, ), i 2 T 3. סיום P* max δ T () i i. 4 שחזור סדרת המצבים הסבירה ביותר q * q*, T, T 2,..., ψ פתרוןבעיית הלימוד לא ידוע פתרון אופטימלי (בזמן סביר) לבעיית הלימוד. ניתן למצוא פתרון אשר מהווה אופטימום מקומי במרחב הפרמטרים של המודל. על מנת לחשב אופטימום זה יש לקבוע מודל התחלתי ולשפר אותו. נתאר כאן את טכניקת Baum-Welch אשר מתבססת על רעיונות של Maximizaio) EM (Expecaio אשר כבר הוזכרו בכיתה. קיימת גם שיטה תת-אופטימלית אשר זמני הריצה שלה הם קצרים בהרבה הקרויה,Segmeal K-meas אך לא נתאר אותה כאן. הפתרון האופטימלי על פי אלגוריתם EM הוא לנחש אוסף פרמטרים לבעיה (נסמן ( Λ 0 וכעת להפעיל אלגוריתם איטרטיבי על האוסף. על פי אלגוריתם זה אותם ב- בכל שלב יבוצע שיפור של הנראות של התצפיות עד הגעה להתכנסות. בסעיף זה נראה תחילה פתרון אפשרי לבעיית הלימוד ונראה את האינטואיציה שמאחוריו, לאחר מכן נראה כיצד פתרון זה נגזר מתוך הוכחת אלגוריתם ה-.EM

15 23,(HMM Λ ( ABπ,, ) בהנתן אוסף פרמטרים (המגדירים מודל לחשב נרצה ˆΛ. אומד מקסימום נראות לחישוב ˆπ יתקבל על ידי ספירת אוסף חדש ˆ ˆ ˆ A,B,π s i בזמן, שהוא נקודת הזמן הראשונה. מספר הפעמים בהם התקבל המצב באופן דומה נחשב את Â על ידי ספירת מספר המעברים ממצב ל- וחלוקת s s i ˆB לבסוף נחשב את. s i והתצפית היתה תוצאה זו במספר הפעמים בו שהתה המערכת במצב על v k s i ידי ספירת מספר הפעמים בהם שהתה המערכת במצב. s i כל הספירות המוזכרות לעיל וחלוקה במספר הפעמים בהם היה המצב מתבצעות על פני כל המסלולים האפשריים,כאשר כל מסלול מוכפל בהסתברותו. הסתברות זו תלויה בסדרת התצפיות O, ובמודל של השלב הקודם. Λ על מנת לבצע את החישוב האמור נגדיר תחילה את המשתנה הבא (5.2) ξ ( i, ) P( q si, q+ s O, ) (, i, + Λ) POq s q s Λ PO ( Λ) בזמן + s s i משתנה זה מגדיר את ההסתברות להיות במצב בזמן ובמצב בהנתן כל סדרת התצפיות והפרמטרים מן השלב הקודם - Λ. ניתן לחשב משתנה זה באמצעות המשתנים הקדמיים והאחוריים בצורה הבאה ξ ( i, ) α () i a( i, ) b(, o + ) β + PO ( Λ) () i a( i, ) b(, o + ) β + α () i a( i, ) b(, o ) β α α i + + () i a( i, ) b(, o + ) β + α () i β () i i משתנה נוסף שבו נעזר בו יהיה (5.3) γ () i P( q s O, ) () i β() i α () i β () i i (, Λ) PO ( Λ) β ( Λ) POq si α i i Λ PO i α

16 s i 24 משמעות משתנה זה היא ההסתברות להיות במצב בזמן בהנתן כל סדרת התצפיות והפרמטרים מן השלב הקודם - Λ. המשתנה מקושר למשתנה γ γ () i () i ξ ( i, ) γ ( i) i, ξ ( בצורה הבאה ) סכימה של שמבקרים במצב המשתנה הזמנים כל פני על מספר את נותנת הפעמים (כמו גם את מספר הפעמים בהו יוצאים מאותו מצב). סכימה. s s i,i ξ ( נותנת את מספר המעברים הצפוי ממצב ) s i של המשתנה למצב Λ ( ABπ,, ) πˆ i γ aˆ i, Λˆ ( A,B,π ˆ ˆ ˆ) בהתחשב על ידי מוגדר אלו בעובדות של השערוך בהנתן () i ξ T T γ ( i, ) () i T ˆ, o vk b(, k) T γ γ היינו שמחים לקבל כי הנראות של הפרמטרים Λˆ על פי כלל העדכון שהצענו כאן גבוהה או שווה לנראות של הפרמטרים בצעד הקודם. Λ כדי להוכיח עובדה זו נשתמש בפונקצית העזר שבה השתמשנו להוכחת ההתכנסות של אלגוריתמי,EM ונסמן אותה כאן ב- J ( ˆ def Λ, Λ ) (, Λ) log (, Λˆ ) J P Q O P O Q Q נראה כי אותן משוואות עדכון מתקבלות מתוך ביצוע מקסימיזציה של פונקציית העזר (J) על Λˆ. המקסימיזציה מסתמכת על הטענה שהוכחנו עבור אלגוריתם ה-,EM כי מתקיים ( ΛΛˆ ) ( Λˆ ) ( Λ) max J, P O P O Λ. הגזירה על מנת למצוא את נקודת המקסימום של הפונקציה J נגזור אותה על פי Λˆ מתבצעת על פי השלבים הבאים:

17 25 שלב א': כתיבה מחדש של פונקציה העזר נכתוב תחילה את הפונקציה J בצורה נוחה יותר (על פי נוסחת הסתברות מותנה) PQO (, Λ) log POQ (, Λ ˆ ) Q משום שהוא Q (, Λ) POQ Λ PO ( Λ) log POQ (, ˆ ) ( Λ) POQΛ Λˆ PO POΛ ( ) Q (, ) log POQ (, ) ונשים לב שלצורך הגזירה ניתן להתעלם מן הגורם הראשון - קבוע עבור גזירה ב- Λˆ. ( ˆ ) log POQ, Λ נרשום כעת בצורה מפורטת יותר את הביטוי התלוי ב- Λˆ T T log ˆ ( 0) ˆ (, ) ˆ π q a q q+ b( q, o) T T ˆ ˆ log πˆ q + log a q, q + log b q, o 0 + שלב ב': שימוש בתכנות דינמי נשתמש בעובדה כי אנו יודעים למצע על כל המסלולים האפשריים בצורה יעילה (על ידי אלגוריתם של תכנות דינמי). ונכתוב את שלושת הסכומים בצורה שונה ( ΛΛ, ˆ ) (, ˆ) (, ˆ ) (, ˆ Λ π + a Λ ) i i + b Λ i i J J J a J b ( s ),..., ( s ) (, ),..., (, ) ˆ π ˆ π ˆ π i i כאשר aˆi aˆ si s aˆ si s bˆ ˆ i b( si, v ),..., aˆ ( si, vm ) ו-

18 26 Jπ ( Λ, ˆ π) P( O, q0 si Λ) log ˆ π( si) i T J a ( Λ, aˆ ) (,, ) log ˆ(, ) i i P O q si q+ s Λ a si s T J (, ˆ ) (, ) log ˆ b Λ b (, ) i i p O q si Λ b si o M T POq (, ) δ (, ) log ˆ si Λ o vk bs ( i, vk) k ˆ ( J הכנסנו את פונקצית δ אשר b Λ, יש לשים לב שבביטוי האחרון עבור ) b i i מאפשרת לנו להתייחס לווקטור התצפיות בצורה כללית ולא לתצפית v k. אשר הופיעה בזמן o הספציפית שלב ג': ביצוע אופטימיזציה תחת אילוצים קיבלנו אם כן סכום של שלושה ביטויים אשר יש תחת האילוצים הנובעים מדרישות ההסתברות לבצע עבורו אופטימיזציה, וזאת M ˆ π aˆ i, i bi ˆ, i נשים לב כי אין תלות בין הסכומים ולכן ניתן לבצע אופטימיזציה לכל סכום בנפרד. נשתמש בכופלי לגרנג' ונראה באופן כללי איך נראית האופטימיזציה של ביטוי. נרשום את הלגרנג'יאן y ω log תחת האילוץ y מהצורה ω log y λ y k k y וכאשר נשווה את נגזרת הלגרנג'יאן ביחס לכל אחד מן המשתנים לאפס נקבל ω λ 0 y y ω λ או

19 27 ω y λ λ y ω. ω ω נחשב את λ בצורה הבאה ולסיכום נקבל כי הפתרון הוא ˆ π ( s ) aˆ s, s bˆ s, v i שלב ד': פתרון עבור הבעיה של הפרמטרים למודל החדש נקבל כי ( i ) POq (, s Λ) ( i ) PO ( Λ) POq, s Λ POq, s Λ 0 0 i 0 i (,, Λ) POq (, s, q s Λ) T i + i T i + i k POq s q s T T i + T i T POq (, s i Λ) δ ( o, vk) M T k POq, si Λ δ o, vk () POq, s, q s ξ i, POq s γ i ( Λ) T (, Λ) (, Λ) δ (, ) T (, Λ) T T i k, o vk T i γ γ () i POq s o v γ POq s מסקנה קיבלנו בדיוק את אותן נוסחאות עדכון שהצענו האינטואיטיבית. נשים לב כי בפתרונות עבור ˆa s, s ו- ˆb s, s צמצמנו גורם משותף מן המונה והמכנה ( i ) ( i ). POΛ ( )

20 28 תרגילים. בניסוי אלקטרופיזיולוגי רשמו את הפעילות העצבית של תא עצב במשך תקופה ארוכה. נניח כי ידוע לנו ששרשרת הירי נוצרת על ידי תהליך מקרי פואסוני, שהקצב שלו הוא λ או, λ 2 ואנחנו רוצים להכריע בין שני מצבי עולם אלו. אנו מעוניינים להשוות שתי אסטרטגיות החלטה לבעית ההכרעה הזו. על פי האסטרטגיה הראשונה, נעריך את ההתפלגות של המרווחים בין פוטנציאלי פעולה,(ISI) ונשווה אותה להתפלגות הצפויה על פי כל אחד מקצבי הירי. על פי האסטרטגיה השניה נעריך את התפלגות מספר הספייקים בחלונות באורך שניה אחת. א. ב. ג. ד. ה. חשב את המרחק הסטטיסטי בין התפלגויות מספרי פוטנציאלי הפעולה עבור שני קצבי הירי. חשב את המרחק הסטטיסטי בין התפלגויות המרווחים בין פה"פ עבור שני קצבי הירי. בפרק 2 הראנו כי המרחק הסטטיסטי מאפשר להעריך את כמות הדגימה הדרושה כדי להכריע בין שני מצבי העולם. איזו מבין שתי האסטרטגיות תדרוש זמן רישום קצר יותר? האם מספר פה"פ מספק את כל האינפורמציה על שרשרות הירי? האם התפלגות המרווחים מספקת את כל האינפורמציה? האם תשתנה התשובה אם השרשרות נוצרו על ידי תהליך שאיננו תהליך פואסוני? נתונות לנו שרשות ירי שנלקחו מתוך תהליך בהמשך לשאלה הקודמת, התחדשות שבו התפלגות המרווחים בין פוטנציאלי הפעולה היא התפלגות גאמא עם פרמטרים α ו-. β מצא סטטיסטים מספיקים במשותף עבור הפרמטרים. א. האם מספר פה"פ מספק את כל האינפורמציה על שרשרות הירי? האם ב. התפלגות המרווחים מספקת את כל האינפורמציה? תיארנו אלגוריתם מסוג של תכנות דינמי לבעית מציאת השרשרת הטובה ביותר. הרחב את האלגוריתם לבעית מציאת 2 השרשרות הטובות ביותר. מהי הסיבוכיות כעת? בניסוי אלקטרופיזיולוגי רשמו את הפעילות של מספר קטן של תאי עצב בזמן ניסוי שבו החולדה מחפשת את בקליפת המוח הקדמית של חולדה, דרכה במבוך. מהסתכלות על התנהגות החיה, נראה כי היא נמצאת במספר התלבטות ריצה במסדרון, מצבים התנהגותיים נפרדים ומובחנים היטב: בנקודות התפצלות, ואכילה נמרצת של הגבינה שבקצהו של המבוך. תאר כיצד ניתן לבנות מודל מרקובי חבוי שיתאר את הפעילות העצבית של התאים, הפעילות העצבית נובעת ממספר מצבים המבוסס על ההנחה כי גם (שים לב שאלו אינם בהכרח מקבילים בדיוק קוגניטיביים מובחנים היטב למצבים ההתנהגותיים). תאר במפורט מה יהיו התצפיות במודל, וכיצד תאמן את המודל. אילו מסקנות מדעיות ניתן להסיק ממודל כזה?.2.3.4

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשעד פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה

Διαβάστε περισσότερα

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A )

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A ) הסתברות למתמטיקאים c ארזים 3 במאי 2017 1 תוחלת מותנה הגדרה 1.1 לכל משתנה מקרי X אינטגרבילית ותת סיגמא אלגברה G F קיים משתנה מקרי G) Y := E (X המקיים: E (X1 A ) = E (Y 1 A ).G מדיד לפי Y.1.E Y

Διαβάστε περισσότερα

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון

Διαβάστε περισσότερα

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת

Διαβάστε περισσότερα

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה. α α פלוני, וכדומה. הזוויות α ל- β שווה ל-

הרצאה. α α פלוני, וכדומה. הזוויות α ל- β שווה ל- מ'' ל'' Deprmen of Applied Mhemics Holon Acdemic Insiue of Technology PROBABILITY AND STATISTICS Eugene Knzieper All righs reserved 4/5 חומר לימוד בקורס "הסתברות וסטטיסטיקה" מאת יוג'ין קנציפר כל הזכויות

Διαβάστε περισσότερα

{ : Halts on every input}

{ : Halts on every input} אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.

Διαβάστε περισσότερα

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים והגדרות

רשימת משפטים והגדרות רשימת משפטים והגדרות חשבון אינפיניטיסימאלי ב' מרצה : למברג דן 1 פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים הגדרה 1.1. (פונקציה קדומה) יהי f :,] [b R פונקציה. פונקציה F נקראת פונקציה קדומה של f אם.[, b] גזירה ב F

Διαβάστε περισσότερα

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חח"ע ועל מכיוון שהיא מוגדרת ע"י. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חח"ע אז ועל פי הגדרת

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חחע ועל מכיוון שהיא מוגדרת עי. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חחע אז ועל פי הגדרת הרצאה 7 יהיו :, : C פונקציות, אז : C חח"ע ו חח"ע,אז א אם על ו על,אז ב אם ( על פי הגדרת ההרכבה )( x ) = ( )( x x, כךש ) x א יהיו = ( x ) x חח"ע נקבל ש מכיוון ש חח"ע נקבל ש מכיוון ש ( b) = c כך ש b ( ) (

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,

Διαβάστε περισσότερα

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא

Διαβάστε περισσότερα

Logic and Set Theory for Comp. Sci.

Logic and Set Theory for Comp. Sci. 234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R תרגילים בתורת החשמל כתה יג שאלה א. חשב את המתח AB לפי משפט מילמן. חשב את הזרם בכל נגד לפי המתח שקיבלת בסעיף א. A 60 0 8 0 0.A B 8 60 0 0. AB 5. v 60 AB 0 0 ( 5.) 0.55A 60 א. פתרון 0 AB 0 ( 5.) 0 0.776A

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 נושאי התרגול: פונקציות 1 פונקציות הגדרה 1.1 פונקציה f מ A (התחום) ל B (הטווח) היא קבוצה חלקית של A B המקיימת שלכל a A קיים b B יחיד כך ש. a, b f a A.f (a) = ιb B. a, b f או, בסימון

Διαβάστε περισσότερα

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012)

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 6 נושא: תחשיב הפסוקים: הפונקציה,val גרירה לוגית, שקילות לוגית 1. כיתבו טבלאות אמת לפסוקים הבאים: (ג) r)).((p q) r) ((p r) (q p q r (p

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשעו (2016) לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר

Διαβάστε περισσότερα

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)

Διαβάστε περισσότερα

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012 אינפי - תרגול 4 3 בינואר 0 רציפות במידה שווה הגדרה. נאמר שפונקציה f : D R היא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים. f(x) f(y) < ε אז x y < δ אם,x, y D כך שלכל δ > 0 נביט במקרה בו D הוא קטע (חסום או לא חסום,

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה פרק 12: שקילות מצבים וצמצום מכונות לעי תים קרובות, תכנון המכונה מתוך סיפור המעשה מביא להגדרת מצבים יתי רים states) :(redundant הפונקציה שהם ממלאים ניתנת להשגה באמצעו ת מצבים א חרים. כיוון שמספר רכיבי הזיכרון

Διαβάστε περισσότερα

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V )

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V ) הצגות של חבורות סופיות c ארזים 6 בינואר 017 1 משפט ברנסייד משפט 1.1 ברנסייד) יהיו p, q ראשוניים. תהי G חבורה מסדר.a, b 0,p a q b אזי G פתירה. הוכחה: באינדוקציה על G. אפשר להניח כי > 1 G. נבחר תת חבורה

Διαβάστε περισσότερα

אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה:

אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר עי החמישייה: 2 תרגול אוטומט סופי דטרמיניסטי אוטומטים ושפות פורמליות בר אילן תשעז 2017 עקיבא קליינרמן הגדרה אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה: (,, 0,, ) כאשר: א= "ב שפת הקלט = קבוצה סופית לא ריקה של מצבים מצב

Διαβάστε περισσότερα

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות 1 מוטיבציה למשפט הקיום והיחידות אנו יודעים לפתור משוואות דיפרנציאליות ממחלקות מסוימות, כמו משוואות פרידות או משוואות לינאריות. עם זאת, קל לכתוב משוואה דיפרנציאלית

Διαβάστε περισσότερα

תרגול פעולות מומצאות 3

תרגול פעולות מומצאות 3 תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לרשתות - תרגול מס 5 תורת התורים

מבוא לרשתות - תרגול מס 5 תורת התורים מ( מבוא לרשתות - תרגול מס 5 תורת התורים M / M / תאור המערכת: תור שרת שירות פואסוני הגעה פואסונית הערות: במערכת M/M/ יש חוצץ אינסופי ולכן יכולים להיות בה אינסוף לקוחות, כאשר מקבל שירות והשאר ממתינים. קצב

Διαβάστε περισσότερα

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1 1 טורים כלליים 1. 1 התכנסות בהחלט מתכנס. מתכנס בהחלט אם n a הגדרה.1 אומרים שהטור a n משפט 1. טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס. הוכחה. נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ- 0, אז אנחנו יודעים ש- n N n>m>n

Διαβάστε περισσότερα

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יחל סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות אלגוריתמים חמדניים אלגוריתם חמדן, הוא כזה שבכל צעד עושה את הבחירה הטובה ביותר האפשרית, ולא מתחרט בהמשך גישה זו נראית פשטנית מדי, וכמובן שלא תמיד היא נכונה, אך במקרים רבים היא מוצאת פתרון אופטימאלי בתרגול

Διαβάστε περισσότερα

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות מינימיזציה של DFA L. הוא אוטמומט מינימלי עבור L של שפה רגולרית A ראינו בסוף הסעיף הקודם שהאוטומט הקנוני קיים A DFA בכך הוכחנו שלכל שפה רגולרית קיים אוטומט מינמלי המזהה אותה. זה אומר שלכל נקרא A A לאוטומט

Διαβάστε περισσότερα

gcd 24,15 = 3 3 =

gcd 24,15 = 3 3 = מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים

אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים לכסון מטריצות יהי F שדה ו N n נאמר שמטריצה (F) A M n היא לכסינה אם היא דומה למטריצה אלכסונית כלומר, אם קיימת מטריצה הפיכה (F) P M n כך ש D P AP = כאשר λ λ 2 D = λ n

Διαβάστε περισσότερα

חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד.

חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד. חידה לחימום ( M ש- N > (כך מספרים טבעיים Mו- N שappleי appleתוappleים בעלי אותה הזוגיות (שappleיהם זוגיים או שappleיהם אי - זוגיים). המספרים הטבעיים מ- Mעד Nמסודרים בשורה, ושappleי שחקappleים משחקים במשחק.

Διαβάστε περισσότερα

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח.

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח. 1 תשע'א תירגול 8 אלגברה לינארית 1 טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של וקטור אם הוכחה: חד חד ערכית ויהי כך ש מכיוון שגם נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח

Διαβάστε περισσότερα

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק יום א 14 : 00 15 : 00 בניין 605 חדר 103 http://u.cs.biu.ac.il/ brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק 29/11/2017 1 הגדרת קבוצת הנוסחאות הבנויות היטב באינדוקציה הגדרה : קבוצת הנוסחאות הבנויות

Διαβάστε περισσότερα

תורת ההסתברות 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס "תורת ההסתברות 1" (80420) באוניברסיטה העברית,

תורת ההסתברות 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס תורת ההסתברות 1 (80420) באוניברסיטה העברית, תורת ההסתברות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס "תורת ההסתברות " (80420) באוניברסיטה העברית, 8 2007. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות λ = 0 A. F n n ערך עצמי של A אם ורק אם A לא הפיכה..det(λ I ערך עצמי של λ F.A F n n n A) = 0 אם ורק אם: A v וקטור עצמי של Tהמתאים יהי T: V V אופרטור לינארי. אם λ F ערך עצמי של,T לערך העצמי λ, אזי λ הוא

Διαβάστε περισσότερα

אם לא דברנו בסוף מספיק על שרשראות עם מספר מצבים אינסופי פשוט תתעלמו מהתרגילים המתאימים.

אם לא דברנו בסוף מספיק על שרשראות עם מספר מצבים אינסופי פשוט תתעלמו מהתרגילים המתאימים. תרגילים בשרשראות מרקוב. + תרגילים מבחינות עבר אם לא דברנו בסוף מספיק על שרשראות עם מספר מצבים אינסופי פשוט תתעלמו מהתרגילים המתאימים..תהי Xn שרשרת מרקוב סופית עם מטריצת מעבר דו-סטוכסטית )סכום של כל עמודה

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2 אלגברה ליניארית א' פתרון 3 4 3 3 7 9 3. נשתמש בכתיבה בעזרת מטריצה בכל הסעיפים. א. פתרון: 3 3 3 3 3 3 9 אז ישנו פתרון יחיד והוא = 3.x =, x =, x 3 3 הערה: אפשר גם לפתור בדרך קצת יותר ארוכה, אבל מבלי להתעסק

Διαβάστε περισσότερα

1 סכום ישר של תת מרחבים

1 סכום ישר של תת מרחבים אלמה רופיסה :הצירטמ לש ןדרו'ג תרוצ O O O O O O ןאבצ זעוב סכום ישר של תת מרחבים פרק זה כולל טענות אלמנטריות, שהוכחתן מושארת לקורא כתרגיל הגדרה: יהיו V מרחב וקטורי, U,, U k V תת מרחבים הסכום W U + U 2 +

Διαβάστε περισσότερα

3-9 - a < x < a, a < x < a

3-9 - a < x < a, a < x < a 1 עמוד 59, שאלהמס', 4 סעיףג' תיקוני הקלדה שאלון 806 צריך להיות : ג. מצאאתמקומושלאיברבסדרהזו, שקטןב- 5 מסכוםכלהאיבריםשלפניו. עמוד 147, שאלהמס' 45 ישלמחוקאתהשאלה (מופיעהפעמיים) עמוד 184, שאלהמס', 9 סעיףב',תשובה.

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעב (2012) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

תצפיות } n X={x 1,,x העולם.

תצפיות } n X={x 1,,x העולם. 9 פרק ב הסקה סטטיסטית. על בעיית ההסקה הסטטיסטית הסקה סטטיסטית iferece (statistical מטפלת במצב בו יש לנו נתונים שנוצרו מתוך התפלגות שאינה ידועה לנו, ועלינו לנתח אותם ולהסיק מסקנות לגביהם ולגבי ההתפלגות

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לרשתות - תרגול מס 5 תורת התורים

מבוא לרשתות - תרגול מס 5 תורת התורים מבוא לרשתות - תרגול מס 5 תורת התורים תאור המערכת: תור / M M / ( ) שרת שירות פואסוני הגעה פואסונית הערות: במערכת M/M/ יש חוצץ אינסופי ולכן יכולים להיות בה אינסוף לקוחות, כאשר מקבל שירות והשאר ממתינים. זמן

Διαβάστε περισσότερα

תכנון אלגוריתמים 2016 עבודה 1 שאלה 1 פתרון נתונות שתי בעיות. יש למצוא: אורך מסלול קצר ביותר המתחיל באחד מן הקודקודים s 1,..., s k ומסתיים ב t.

תכנון אלגוריתמים 2016 עבודה 1 שאלה 1 פתרון נתונות שתי בעיות. יש למצוא: אורך מסלול קצר ביותר המתחיל באחד מן הקודקודים s 1,..., s k ומסתיים ב t. תכנון אלגוריתמים 2016 עבודה 1 פתרון שאלה 1 נזכר כי בגרף (E G, =,V) עבור שני קודקודים d(u, (v,u, v הוא אורך מסלול קצר ביותר מ u ל v. אם אין מסלול מ u ל.d(u, v) =,v נתונות שתי בעיות. בעיה א' מופע: גרף מכוון

Διαβάστε περισσότερα

הסתברות שבתחנה יש 0 מוניות ו- 0 נוסעים. הסתברות שבתחנה יש k-t נוסעים ו- 0 מוניות. λ λ λ λ λ λ λ λ P...

הסתברות שבתחנה יש 0 מוניות ו- 0 נוסעים. הסתברות שבתחנה יש k-t נוסעים ו- 0 מוניות. λ λ λ λ λ λ λ λ P... שאלה תורת התורים קצב הגעת נוסעים לתחנת מוניות מפולג פואסונית עם פרמטר λ. קצב הגעת המוניות מפולג פואסונית עם פרמטר µ. אם נוסע מגיע לתחנה כשיש בה מוניות, הוא מייד נוסע במונית. אם מונית מגיעה לתחנה כשיש בתחנה

Διαβάστε περισσότερα

אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר

אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר דקדוק חסר הקשר דקדוק חסר הקשר הנו רביעיה > S

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: נוסחאות נסיגה נוסחאות נסיגה באמצעות פונקציות יוצרות נוסחאות נסיגה באמצעות פולינום אופייני נוסחאות נסיגה לעתים מפורש לבעיה קומבינטורית אינו ידוע, אך יחסית קל להגיע

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה 5 הגדרה D5.1 בין 1 N . כלומר, t N

הרצאה 5 הגדרה D5.1 בין 1 N . כלומר, t N ROBABILITY A STATISTIS הסתברות וסטטיסטיקה יוג'ין מאת קנציפר ugee Kazieer All rights reserved 005/06 כל הזכויות שמורות 005/06 הרצאה 5 התפלגויות בדידות מיוחדות התפלגות אחידה ניסוי והתפלגות ברנולי התפלגות

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט

אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשסט 467 אלגברה א', סמסטר חורף תשס"ט, פתרונות לשיעורי הבית, עמוד מתוך 6 467 אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט תוכן עניינים : גליון שדות... גליון מרוכבים 7... גליון מטריצות... גליון 4 דירוג,

Διαβάστε περισσότερα

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.

Διαβάστε περισσότερα

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה.

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה. בחינת סיווג במתמטיקה.9.017 פתרונות.1 סדרת מספרים ממשיים } n {a נקראת מונוטונית עולה אם לכל n 1 מתקיים n+1.a n a האם הסדרה {n a} n = n היא מונוטונית עולה? הוכיחו תשובתכם. הסדרה } n a} היא אכן מונוטונית

Διαβάστε περισσότερα

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r ל' ' פונקציות פרימיטיביות רקורסיביות חישוביות הרצאה 4 האם כל פונקציה מלאה היא פרימיטיבית רקורסיבית? לא נראה שתי הוכחות: פונקציות רקורסיביות (המשך) זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה קיומית: קיימות פונקציות

Διαβάστε περισσότερα

נספח לפרק 10 דוגמא לאנליזה של מכונת מצבים ננסה להבין את פעולתה של מ כונת המצבים הבאה : Input X. q 0 q 1. output D FF-0 D FF-1. clk

נספח לפרק 10 דוגמא לאנליזה של מכונת מצבים ננסה להבין את פעולתה של מ כונת המצבים הבאה : Input X. q 0 q 1. output D FF-0 D FF-1. clk נספח לפרק 10 דוגמא לאנליזה של מכונת מצבים ננסה להבין את פעולתה של מ כונת המצבים הבאה : Input X D FF-0 q 0 q 1 Z D FF-1 output clk 424 מצב המכונה מוגדר על ידי יציאות רכיבי הזיכרון. נסמן את המצב הנוכחי q

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( )

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( ) 9. חשבון אינטגרלי. עד כה עסקנו בבעיות של מציאת הנגזרת של פונקציה נתונה. נשאלת השאלה בהינתן נגזרת האם נוכל למצוא את הפונקציה המקורית (הפונקציה שנגזרתה נתונה)? זוהי שאלה קשה יותר, חשבון אינטגרלי דן בבעיה

Διαβάστε περισσότερα

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון.

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון. Charles Augustin COULOMB (1736-1806) קולון חוק חוקקולון, אשרנקראעלשםהפיזיקאיהצרפתישארל-אוגוסטיןדהקולוןשהיהאחדהראשוניםשחקרבאופןכמותיאתהכוחותהפועלים ביןשניגופיםטעונים. מדידותיוהתבססועלמיתקןהנקראמאזניפיתול.

Διαβάστε περισσότερα

גמישויות. x p Δ p x נקודתית. 1,1

גמישויות. x p Δ p x נקודתית. 1,1 גמישויות הגמישות מודדת את רגישות הכמות המבוקשת ממצרך כלשהוא לשינויים במחירו, במחירי מצרכים אחרים ובהכנסה על-מנת לנטרל את השפעת יחידות המדידה, נשתמש באחוזים על-מנת למדוד את מידת השינויים בדרך כלל הגמישות

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות חיים שרגא רוזנר כ"ה בניסן, תשע"ה תזכורות תקציר איזומורפיזם סדר, רישא, טרנזיטיביות, סודרים, השוואת סודרים, סודר עוקב, סודר גבולי. 1. טרנזיטיבות וסודרים קבוצה A היא טרנזיטיבית

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשעא, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. בB בB תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: 035804 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1 מכונית נסעה מעיר A לעיר B על כביש ראשי

Διαβάστε περισσότερα

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 5 שנכתב על-ידי מאיר בכור. חקירת משוואה מהמעלה הראשונה עם נעלם אחד = הצורה הנורמלית של המשוואה, אליה יש להגיע, היא: b

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעד (2014) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

שפות פורמאליות אוטומטים

שפות פורמאליות אוטומטים הנושאים שנעבור שפות פורמאליות אוטומטים שפות פורמאליות מכונות/אוטומטים דקדוקים תורת הקומפילציה אהרון נץ מבוסס על השקפים של עומר ביהם שמבוססים על שקפי הרצאה מהקורס אוטומטים ושפות פורמאליות בטכניון, פרופ'

Διαβάστε περισσότερα

תורת התורים תור שרת יחיד, תורים במקביל ובטור, רשתות תורים

תורת התורים תור שרת יחיד, תורים במקביל ובטור, רשתות תורים הרצאה : תור תורת התורים תור שרת יחיד, תורים במקביל ובטור, רשתות תורים ) W t n t n : M/G/ נחשב את זמן השהיה הממוצע בתור צרכן שמגיע ברגע רואה לפניו את נניח שהשרות הוא שם אחר הוא FIFO first in first out אז

Διαβάστε περισσότερα

ביטויים רגולריים הפקולטה למדעי המחשב אוטומטים ושפות פורמליות (236353) הרצאה 5

ביטויים רגולריים הפקולטה למדעי המחשב אוטומטים ושפות פורמליות (236353) הרצאה 5 הפקולטה למדעי המחשב אוטומטים ושפות פורמליות (236353) ביטויים רגולריים הרצאה 5 המצגת מבוססת על ספרם של פרופ' נסים פרנסיז ופרופ' שמואל זקס, "אוטומטים ושפות פורמליות", האוניברסיטה הפתוחה, 1987. גרסה ראשונה

Διαβάστε περισσότερα

שפות פורמאליות אוטומטים

שפות פורמאליות אוטומטים שפות פורמאליות אוטומטים תורת הקומפילציה אהרון נץ מבוסס על השקפים של עומר ביהם שמבוססים על שקפי הרצאה מהקורס אוטומטים ושפות פורמאליות בטכניון, פרופ' שמואל זקס 1 הנושאים שנעבור שפות פורמאליות מכונות/אוטומטים

Διαβάστε περισσότερα

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 1 מערכת המספרים השלמים בשיעור הקרוב אנו נעסוק בקבוצת המספרים השלמים Z עם הפעולות (+) ו ( ), ויחס סדר (>) או ( ). כל התכונות הרגילות והידועות של השלמים מתקיימות: חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות),

Διαβάστε περισσότερα

הסקה סטטיסטית/תקציר/תלמה לויתן

הסקה סטטיסטית/תקציר/תלמה לויתן הסקה סטטיסטית/תקציר/תלמה לויתן בניסוי אקראי נמדד ערכו של משתנה כמותי משתנה המחקר ואולם התפלגות המשתנה אינה ידועה החוקר מעוניין לענות על שאלות הנוגעות לערכי הנחות: - משפחת ההתפלגות של ידועה (ניווכח שזה

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תש"ע מועד ב', מיום 14/7/2010 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תשע מועד ב', מיום 14/7/2010 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תש"ע מועד ב', מיום 14/7/2010 שאלון: 316, 035806 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 E נתון: 1 רוכב אופניים רכב מעיר A לעיר B

Διαβάστε περισσότερα

- הסקה סטטיסטית - מושגים

- הסקה סטטיסטית - מושגים - הסקה סטטיסטית - מושגים פרק נעסוק באכלוסיה שהתפלגותה המדויקת אינה ידועה. פרמטרים לא ידועים של ההתפלגות. מתקבלים מ"מ ב"ת ושווי התפלגות לשם כך,,..., סימון: התפלגות האכלוסיה תסומן בפרק זה המטרה לענות על

Διαβάστε περισσότερα

פרק 8: עצים. .(Tree) במשפטים הגדרה: גרף ללא מעגלים נקרא יער. דוגמה 8.1: תרגילים: הקודקודים 2 ו- 6 בדוגמה הוא ).

פרק 8: עצים. .(Tree) במשפטים הגדרה: גרף ללא מעגלים נקרא יער. דוגמה 8.1: תרגילים: הקודקודים 2 ו- 6 בדוגמה הוא ). מבוא לפרק: : עצים.(ree) עצים הם גרפים חסרי מעגלים. כך, כיוון פרק זה הוא מעין הפוך לשני הפרקים הקודמים. עץ יסומן לרב על ידי במשפטים 8.1-8.3 נפתח חלק מתכונותיו, ובהמשך נדון בהיבטים שונים של "עץ פורש" של

Διαβάστε περισσότερα

תורת ההסתברות (1) 80420

תורת ההסתברות (1) 80420 תורת ההסתברות (1) 80420 איתי שפירא 4 באוקטובר 2017 מתוך הרצאות מהאונברסיטה העברית 2017. i.j.shapira@gmail.com תוכן עניינים 0 מבוא והשלמות 6 0.1 נושאים מתורת הקבוצות.......................... 6 0.2 נושאים

Διαβάστε περισσότερα

logn) = nlog. log(2n

logn) = nlog. log(2n תכנוןוניתוחאלגוריתמים סיכוםהתרגולים n log O( g( n)) = Ω( g( n)) = θ ( g( n)) = תרגול.3.04 סיבוכיות { f ( n) c> 0, n0 > 0 n> n0 0 f ( n) c g( n) } { f ( n) c> 0, n0 > 0 n> n0 0 c g( n) f ( n) } { f ( n)

Διαβάστε περισσότερα

(2) מיונים השאלות. .0 left right n 1. void Sort(int A[], int left, int right) { int p;

(2) מיונים השאלות. .0 left right n 1. void Sort(int A[], int left, int right) { int p; מבני נתונים פתרונות לסט שאלות דומה לשאלות בנושאים () זמני ריצה של פונקציות רקורסיביות () מיונים השאלות פתרו את נוסחאות הנסיגה בסעיפים א-ג על ידי הצבה חוזרת T() כאשר = T() = T( ) + log T() = T() כאשר =

Διαβάστε περισσότερα

אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה

אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה Analytical Electromagnetism Fall Semester 202-3 אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה צפיפויות מטען וזרם צפיפות מטען נפחית ρ מוגדרת כך שאינטגרל נפחי עליה נותן את המטען הכולל Q dv ρ היחידות של ρ הן מטען

Διαβάστε περισσότερα

PDF created with pdffactory trial version

PDF created with pdffactory trial version הקשר בין שדה חשמלי לפוטנציאל חשמלי E נחקור את הקשר, עבור מקרה פרטי, בו יש לנו שדה חשמלי קבוע. נתון שדה חשמלי הקבוע במרחב שגודלו שווה ל. E נסמן שתי נקודות לאורך קו שדה ו המרחק בין הנקודות שווה ל x. המתח

Διαβάστε περισσότερα

Regular Expressions (RE)

Regular Expressions (RE) Regular Expressions (RE) ביטויים רגולריים עד כה דנו במספר מודלים חישוביים להצגת (או ליצור) שפות רגולריות וראינו שכל המודלים האלה הם שקולים מבחינת כוח החישובי שלהם. בסעיף זה נראה עוד דרך להצגת (או ליצור)

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים תרגולמס 5

מודלים חישוביים תרגולמס 5 מודלים חישוביים תרגולמס 5 30 במרץ 2016 נושאי התרגול: דקדוקים חסרי הקשר. למת הניפוח לשפות חסרות הקשר. פעולות סגור לשפות חסרות הקשר. 1 דקדוקים חסרי הקשר נזכיר כי דקדוק חסר הקשר הוא רביעיה =(V,Σ,R,S) G, כך

Διαβάστε περισσότερα

תורת ההסתברות 2: (או הסתברות ותהליכים סטוכסטים)

תורת ההסתברות 2: (או הסתברות ותהליכים סטוכסטים) תורת ההסתברות : או הסתברות ותהליכים סטוכסטים סוכם על ידי תום חן tomhen@gmail.com בדצמבר 04 שימו לב יתכנו שגיאות בטקסט עידכונים יתבצעו במהלך הסמסטר נא לדווח שגיאות ל gidi.amir@gmail.com או לחלופין שלשמור

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים פתרון תרגיל 5

מודלים חישוביים פתרון תרגיל 5 מודלים חישוביים פתרון תרגיל 5 כתוב אוטומט דטרמיניסטי לשפות הבאות מעל הא"ב.Σ={,} א. *Σ. q, ב. q, ג. {ε}, q, q ד. } = 3 {w w mod, q, q,, ה. ''} {w w does not contin the sustring q 4 q 3 q q כתוב אוטומט דטרמיניסטי

Διαβάστε περισσότερα

TECHNION Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 ציור 1: דיאגרמת הבלוקים

TECHNION Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 ציור 1: דיאגרמת הבלוקים TECHNION Iael Intitute of Technology, Faculty of Mechanical Engineeing מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 d e C() y P() - ציור : דיאגרמת הבלוקים? d(t) ו 0 (t) (t),c() 3 +,P() + ( )(+3) שאלה מס נתונה

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: כמתים והצרנות. משתנים קשורים וחופשיים. 1 כמתים והצרנות בתרגול הקודם עסקנו בתחשיב הפסוקים, שבו הנוסחאות שלנו היו מורכבות מפסוקים יסודיים (אשר קיבלו ערך T או F) וקשרים.

Διαβάστε περισσότερα

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,

Διαβάστε περισσότερα

גירסה liran Home Page:

גירסה liran   Home Page: גירסה 1.00 26.10.03 סיכום באלגברה א מסמך זה הורד מהאתר.hp://uderwar.liveds.co.il אין להפיץ מסמך זה במדיה כלשהי, ללא אישור מפורש מאת המחבר. מחבר המסמך איננו אחראי לכל נזק, ישיר או עקיף, שיגרם עקב השימוש

Διαβάστε περισσότερα

ניסוי מקרי: ניסוי שיש לו מספר תוצאות אפשריות ואי-אפשר לדעת מראש באיזה תוצאה יסתיים הניסוי.

ניסוי מקרי: ניסוי שיש לו מספר תוצאות אפשריות ואי-אפשר לדעת מראש באיזה תוצאה יסתיים הניסוי. 1 תורת ההסתברות מהי? העולם שבו אנחנו חיים הוא עולם של אי-ודאות. מכיוון שאין לנו דרך לקבוע בוודאות את תוצאותיו של תהליך אקראי, אנו מנסים לצמצם את אלמנט אי-הודאות ולהעריך את הסיכויים של התוצאות האפשריות

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1

חשבון אינפיניטסימלי 1 חשבון אינפיניטסימלי 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ צליל סלע בקורס "חשבון אינפיניטסימלי 1" (80131) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו.

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק ראשון

אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק ראשון גירסה 1. 11.11.22 אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק ראשון מסמך זה הינו הראשון בסדרת מסמכים אודות תורת הגרפים, והוא חופף בחלקו לקורס "אלגוריתמים בתורת הגרפים" בטכניון (שאינו מועבר יותר). ברצוני להודות תודה מיוחדת

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב 2011 2010 פרופ' יעקב ורשבסקי אסף כץ 15//11 1 סמל לזנדר יהי מספר שלם קבוע, ו K שדה גלובלי המכיל את חבורת שורשי היחידה מסדר µ. תהי S קבוצת הראשוניים הארכימדיים

Διαβάστε περισσότερα

תורת הגרפים - סימונים

תורת הגרפים - סימונים תורת הגרפים - סימונים.n = V,m = E בהינתן גרף,G = V,E נסמן: בתוך סימוני ה O,o,Ω,ω,Θ נרשה לעצמנו אף להיפטר מהערך המוחלט.. E V,O V + E כלומר, O V + E נכתוב במקום אם כי בכל מקרה אחר נכתוב או קשת של גרף לא

Διαβάστε περισσότερα

חלק 1 כלומר, פונקציה. האוטומט. ) אותיות, אלפבית, א"ב (.

חלק 1 כלומר, פונקציה. האוטומט. ) אותיות, אלפבית, אב (. תוכן עניינים תקציר מודלים חישוביים ערך יגאל הינדי 2 2 2 3 4 6 6 6 7 7 8 8 9 11 13 14 14 15 16 17 17 18 19 20 20 20 20 - האוטומט הסופי - אוטומט סופי דטרמניסטי 2 פרק - מושגים ומילות מפתח 2.1 - הגדרת אוטומט

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן אלגברה לינארית 1 יובל קפלן מחברת סיכום הרצאות ד"ר אלי בגנו בקורס "אלגברה לינארית 1" (80134) באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים תרגולמס 7

מודלים חישוביים תרגולמס 7 מודלים חישוביים תרגולמס 7 13 באפריל 2016 נושאי התרגול: מכונת טיורינג. 1 מכונת טיורינג נעבור לדבר על מודל חישוב חזק יותר (ובמובן מסוים, הוא מודל החישוב הסטנדרטי) מכונות טיורינג. בניגוד למודלים שראינו עד

Διαβάστε περισσότερα

פתרונות מלאים אלגברה 1 מ בחן אמצע חורף תשס"ג מטריצה הפיכה ב- הפיכה סקלרית, לכן A = αi

פתרונות מלאים אלגברה 1 מ בחן אמצע חורף תשסג מטריצה הפיכה ב- הפיכה סקלרית, לכן A = αi פתרונות מלאים אלגברה מ - 4 - בחן אמצע חורף תשס"ג -.. משך הבחינה :.5 שעות. שאלה מס' היא שאלת תרגילי בית. אין להשתמש בחומר עזר או מחשבונים. יש לענות על כל שאלה בדף נפרד ולנמק את התשובות. נא לרשום את השם

Διαβάστε περισσότερα

סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין

סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין סיכום אינפי 2 9 ביוני 200 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין אין המרצה או המתרגלים קשורים לסיכום זה בשום דרך. סוכם ע"י נגה רוטמן בשעות לא הגיוניות בעליל,

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות

אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות סוכם ע"פ הרצאות פרופ' מ.קריבלביץ' 1.2 אידאלים של פולינומים הגדרה 1.13 יהי F שדה. קבוצת פולינומים [x] I F נקראת אידיאל ב [ x ] F אם מתקיים:.0 I.1.2 לכל f 1, f 2 I מתקיים.f

Διαβάστε περισσότερα

תאריך עדכון אחרון: 27 בפברואר ניתוח לשיעורין analysis) (amortized הוא טכניקה לניתוח זמן ריצה לסדרת פעולות, אשר מאפשר קבלת

תאריך עדכון אחרון: 27 בפברואר ניתוח לשיעורין analysis) (amortized הוא טכניקה לניתוח זמן ריצה לסדרת פעולות, אשר מאפשר קבלת תרגול 3 ניתוח לשיעורין תאריך עדכון אחרון: 27 בפברואר 2011. ניתוח לשיעורין analysis) (amortized הוא טכניקה לניתוח זמן ריצה לסדרת פעולות, אשר מאפשר קבלת חסמי זמן ריצה נמוכים יותר מאשר חסמים המתקבלים כאשר

Διαβάστε περισσότερα