σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k."

Transcript

1 Ασκήσεις από το Διανυσματικός Λογισμός των Marsden - romba και από το alculus του Apostol. 1. Βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και την εξίσωση της εφαπτομένης για κάθε μία από τις παρακάτω καμπύλες και για την τιμή του t που δίνεται κάθε φορά. (a) r(t) = cos t i + sin(2t) j, t =. (b) σ(t) = (t sin t, t cos t, 3t), t =. (c) r(t) = 2t i + e t j + e t k, t =. (d) σ(t) = t i + t j t 3 2 k, t = 9. Λύση: (a) Είναι r (t) = sin t i + 2 cos(2t) j, για κάθε t, οπότε r () = 2 j, Η εξίσωση της εφαπτομένης στο r() είναι r (t) = cos t i 4 sin(2t) j r () = i. r() + h r () = i + 2h j, < h < +. (b) Είναι σ (t) = (sin t + t cos t, cos t t sin t, 3), σ (t) = (2 cos t t sin t, 2 sin t t cos t, ) για κάθε t, οπότε σ () = (, 1, 3), σ () = (2,, ). Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σ() είναι σ() + h σ () = (,, ) + h(, 1, 3), < h < +. (c) Είναι r (t) = 2 i + e t j e t k, r (t) = e t j + e t k για κάθε t, οπότε r () = 2 i + j k, r () = j + k. Η εξίσωση της εφαπτομένης στο r() είναι r() + h r () = j + k + h( 2 i + j k), < h < +. (d) Είναι σ (t) = i + j + t 1 2 k, σ (t) = 1 2 t 1 2 k για κάθε t, οπότε σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k. Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σ(9) είναι σ(9) + h σ (9) = (9 i + 9 j + 18 k) + h( i + j + 3 k), < h < +. 1

2 2. Βρείτε την καμπύλη σ αν σ() = (, 5, 1) και σ (t) = (t, e t, t 2 ). Λύση: Αν σ(t) = (x(t), y(t), z(t)), τότε x (t) = t, y (t) = e t, z (t) = t 2 και x() =, y() = 5, z() = 1. Με ολοκλήρωση βρίσκουμε x(t) = t2 2, y(t) = et 6, z(t) = t οπότε για κάθε t. ( t 2 σ(t) = 2, et 6, t3 ) Βρείτε καμπύλες σ(t) που να περιγράφουν τις παρακάτω τροχιές. (a) {(x, y) y = e x }. (b) {(x, y) 4x 2 + y 2 = 1}. (c) Μια ευθεία στον R 3 που περνάει από την αρχή των αξόνων και από το σημείο (a, b, c). (d) {(x, y) 9x y 2 = 4}. Λύση: (a) σ(t) = (t, e t ), < t < +. (b) σ(t) = ( 1 2 cos t, sin t), t 2π. (c) σ(t) = t(a, b, c) = (at, bt, ct), < t < +. (d) σ(t) = ( 2 3 cos t, 1 2 sin t), t 2π. 4. Υποθέτουμε ότι ένα σωματίδιο ακολουθεί την καμπύλη σ(t) = (t 2, t 3 4t, ) την οποία εγκαταλείπει στη διεύθυνση της εφαπτομένης όταν t = 2. Πού βρίσκεται την χρονική στιγμή t = 3; Λύση: Είναι για κάθε t 2, οπότε σ (t) = (2t, 3t 2 4, ) σ (2) = (4, 8, ). Για t 2 το σωματίδιο διαγράφει ευθεία κίνηση με σταθερή διανυσματική ταχύτητα ίση με (4, 8, ) ξεκινώντας από το σημείο σ(2) = (4,, ). Άρα η κίνησή του για t 2 έχει παραμετρική αναπαράσταση r(t) = (4,, ) + (t 2)(4, 8, ), t 2. Άρα όταν t = 3 η θέση του σωματιδίου θα είναι r(3) = (8, 8, ). 5. Έστω f(t) = 2t 1+t 2 i + 1 t2 1+t 2 j + k για κάθε t R. Αποδείξτε ότι η γωνία ανάμεσα στα f(t) και f (t) είναι σταθερή (ανεξάρτητη του t). Ποιά είναι η τιμή της; Λύση: Είναι f (t) = 2(1 t2 ) (1 + t 2 ) 4t 2 i (1 + t 2 ) 2 j, 2

3 οπότε f(t) f (t) = 4t(1 t2 ) (1 + t 2 ) 3 4t(1 t2 ) (1 + t 2 ) 3 = για κάθε t R. Άρα η γωνία ανάμεσα στα f(t) και f (t) είναι σταθερή π Έστω σταθερό u R n, u, και δυο φορές παραγωγίσιμη f : I R n ώστε f (t) για κάθε t στο διάστημα I. Αν f(t) u = t για κάθε t I και η γωνία ανάμεσα στα u και f (t) είναι σταθερή, αποδείξτε ότι τα f (t) και f (t) είναι ορθογώνια. Λύση: Από το ότι f(t) u = t για κάθε t I συνεπάγεται με παραγώγιση ότι για κάθε t I. f (t) u = 1 Η γωνία ανάμεσα στα u και f (t) είναι σταθερή, οπότε και το συνημίτονο της γωνίας είναι σταθερό. Άρα υπάρχει σταθερά c [ 1, 1] ώστε να ισχύει f (t) u f (t) u = c για κάθε t I. Συνεπάγεται για κάθε t I, οπότε c και 1 f (t) u = c f (t) f (t) = f (t) 2 = 1 c 2 u 2 για κάθε t I. Παραγωγίζουμε: f (t) f (t) + f (t) f (t) = οπότε για κάθε t I. Άρα τα f (t) και f (t) είναι κάθετα. 2 f (t) f (t) = 7. Έστω f : I R 3 δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα I. Αν g = f f, αποδείξτε ότι g = f f. Λύση: Είναι g = f f + f f = + f f = f f. 8. Έστω f : I R 3 τρεις φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα I. Αν g = f ( f f ), αποδείξτε ότι g = f ( f f ). Λύση: Είναι g = f ( f f ) + f ( f f ) = + f ( f f + f f ) = f ( + f f ) = f ( f f ). 3

4 9. (i) Αν f (t) = για κάθε t σε κάποιο διάστημα I, αποδείξτε ότι υπάρχει σταθερό u ώστε f(t) = u για κάθε t I. (ii) Αν f (t) = t u + v για κάθε t στο διάστημα I με I και f() = A, f () = B, βρείτε τον τύπο του f(t). Λύση: (i) Έστω Τότε για κάθε t I, οπότε για κάθε t I και κάθε k = 1,..., n. Άρα υπάρχουν σταθερές u k R ώστε για κάθε t I και κάθε k = 1,..., n. Αν ορίσουμε u = (u 1,..., u k ), τότε f(t) = (f 1 (t),..., f n (t)), t I. (f 1 (t),..., f n (t)) = f (t) = = (,..., ) f k (t) = f k (t) = u k f(t) = (f 1 (t),..., f n (t)) = (u 1,..., u k ) = u για κάθε t I. (ii) Είναι ( f (t) t2 2 u t v ) = f (t) t u v = για κάθε t I. Από το (i) συνεπάγεται ότι υπάρχει c R n ώστε f (t) t2 2 u t v = c για κάθε t I. Με t = βρίσκουμε c = B, οπότε f (t) = t2 2 u + t v + B για κάθε t I. Τώρα ( f(t) t 3 6 u t2 2 v t B ) = f (t) t2 2 u t v B = για κάθε t I. Από το (i) συνεπάγεται ότι υπάρχει d R n ώστε f(t) t3 6 u t2 2 v t B = d για κάθε t I. Με t = βρίσκουμε d = A, οπότε f(t) = t3 6 u + t2 2 v + t B + A για κάθε t I. 4

5 1. Έστω οποιαδήποτε παραμετρική αναπαράσταση r : [a, b] R n καμπύλης η οποία είναι δυο φορές παραγωγίσιμη. Αποδείξτε ότι: το εσωτερικό γινόμενο της διανυσματικής ταχύτητας και της διανυσματικής επιτάχυνσης είναι ίσο με το μισό του ρυθμού μεταβολής του τετραγώνου της αριθμητικής ταχύτητας. Δηλαδή για κάθε t [a, b]. (v(t) = v(t).) Λύση: Είναι 1 2 d dt v2 (t) = 1 2 v(t) a(t) = 1 2 d dt v2 (t) d dt ( v(t) v(t)) = 1 ( a(t) v(t) + v(t) a(t)) = v(t) a(t) Έστω ότι η f : I R n έχει συνεχή παράγωγο στο διάστημα I, ότι f(t), f (t) και ότι τα f(t) και f (t) είναι παράλληλα για κάθε t I. Αποδείξτε ότι υπάρχει u R n, u, και αριθμητική συνάρτηση h : I R ώστε h(t) > για κάθε t I και f(t) = h(t) u για κάθε t I. Επομένως, το f(t) βρίσκεται πάνω σε μια σταθερή ημιευθεία με κορυφή το. Λύση: Επειδή τα f(t) και f (t) είναι παράλληλα για κάθε t I, υπάρχει συνάρτηση g : I R ώστε f (t) = g(t) f(t) για κάθε t I. Συνεπάγεται f (t) f(t) = g(t) f(t) f(t) = g(t) f(t) 2 οπότε για κάθε t I. Άρα η g είναι συνεχής στο I. g(t) = f (t) f(t) f(t) 2 Θεωρούμε οποιαδήποτε αντιπαράγωγο g(t) dt της g στο I και ορίζουμε την h : I R με τύπο h(t) = e g(t) dt, t I. Προφανώς για κάθε t I και h(t) > ( 1 f(t) h(t) ) h (t) = h(t) 2 f(t) + 1 f h(t) (t) = g(t) f(t) h(t) + 1 h(t) g(t) f(t) = για κάθε t I. Άρα υπάρχει u R n, u ώστε 1 h(t) f(t) = u και, επομένως, f(t) = h(t) u για κάθε t I. 5

6 12. Έστω r(t) = f(t) A + B για κάθε t [a, b], όπου A, B R n, A και η f : [a, b] R είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο [a, b]. Τότε η τροχιά της καμπύλης με παραμετρική αναπαράσταση r βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία και αποδείξτε ότι η διανυσματική επιτάχυνση a(t) = r (t) είναι παράλληλη με την διανυσματική ταχύτητα v(t) = r (t) για κάθε t [a, b]. Λύση: Είναι σαφές ότι για κάθε t [a, b] το σημείο r(t) βρίσκεται πάνω στην ευθεία με εξίσωση s A + B, < s < +. Είναι v(t) = f (t) A, a(t) = f (t) A. Άρα τα v(t) και a(t) είναι πολλαπλάσια του ίδιου A, οπότε είναι το ένα πολλαπλάσιο του άλλου. 13. Έστω r(t) = r cos(ωt) i + r sin(ωt) j (r >, ω > ) για κάθε t [a, b]. Τότε η τροχιά της καμπύλης με παραμετρική αναπαράσταση r βρίσκεται πάνω στον κύκλο με κέντρο (, ) και ακτίνα r. Αποδείξτε για την διανυσματική επιτάχυνση a(t) ότι a(t) = ω 2 r(t) για κάθε t [a, b]. Λύση: Είναι (r cos(ωt)) 2 + (r sin(ωt)) 2 = r 2, οπότε η τροχιά της καμπύλης βρίσκεται πάνω στον κύκλο με εξίσωση x 2 + y 2 = r 2. Επίσης, και για κάθε t [a, b]. v(t) = r (t) = ωr sin(ωt) i + ωr cos(ωt) j a(t) = r (t) = ω 2 r cos(ωt) i ω 2 r sin(ωt) j = ω 2 r(t) 14. Έστω r(t) = κ cos(ωt) i + λ sin(ωt) j (κ >, λ >, ω > ) για κάθε t [a, b]. Τότε η τροχιά της καμπύλης με παραμετρική αναπαράσταση r βρίσκεται πάνω στην έλλειψη με εξίσωση x2 + y2 = 1. Αποδείξτε για την διανυσματική επιτάχυνση a(t) ότι a(t) = ω 2 r(t) κ 2 λ 2 για κάθε t [a, b]. Λύση: Είναι (κ cos(ωt)) 2 + κ 2 (λ sin(ωt))2 λ 2 = 1, οπότε η τροχιά της καμπύλης βρίσκεται πάνω στην έλλειψη με εξίσωση x2 κ 2 + y2 λ 2 = 1. Επίσης, v(t) = r (t) = ωκ sin(ωt) i + ωλ cos(ωt) j και για κάθε t [a, b]. a(t) = r (t) = ω 2 κ cos(ωt) i ω 2 λ sin(ωt) j = ω 2 r(t) 15. Έστω r(t) = κ cosh(ωt) i + λ sinh(ωt) j (κ >, λ >, ω > ) για κάθε t [a, b]. Τότε η τροχιά της καμπύλης με παραμετρική αναπαράσταση r βρίσκεται πάνω στον δεξιό κλάδο της υπερβολής με εξίσωση x2 y2 = 1. Αποδείξτε για την διανυσματική επιτάχυνση a(t) κ 2 λ 2 ότι a(t) = ω 2 r(t) για κάθε t [a, b]. (Θυμηθείτε: cosh x = 1 2 (ex + e x ) και sinh x = 1 2 (ex e x ).) 6

7 Λύση: Είναι και (κ cosh(ωt)) 2 κ 2 (λ sinh(ωt))2 λ 2 = 1, κ cosh(ωt) > οπότε η τροχιά της καμπύλης βρίσκεται πάνω στον δεξιό κλάδο της υπερβολής με εξίσωση x 2 y2 = 1. κ 2 λ 2 Επίσης, v(t) = r (t) = ωκ sinh(ωt) i + ωλ cosh(ωt) j και για κάθε t [a, b]. a(t) = r (t) = ω 2 κ cosh(ωt) i + ω 2 λ sinh(ωt) j = ω 2 r(t) 16. Έστω r(t) = r cos(ωt) i + r sin(ωt) j + κωt k (r >, κ >, ω > ) για κάθε t [a, b]. Τότε η τροχιά της καμπύλης με παραμετρική αναπαράσταση r βρίσκεται πάνω σε μια έλικα στον R 3. Αποδείξτε ότι: (i) σε κάθε σημείο της τροχιάς η εφαπτόμενη ευθεία σχηματίζει σταθερή γωνία με τον z- κ άξονα το συνημίτονο της οποίας είναι ίσο με. r 2 +κ 2 (ii) η διανυσματική ταχύτητα v(t) και η διανυσματική επιτάχυνση a(t) έχουν σταθερά μήκη και v(t) a(t) = r για κάθε t [a, b]. v(t) 3 r 2 +κ 2 (iii) Αν u(t) = sin(ωt) i cos(ωt) j, αποδείξτε ότι v(t) a(t) = A u(t) + B k για κάθε t [a, b] και βρείτε τις σταθερές A, B συναρτήσει των r, κ, ω. Λύση: (i) Σε κάθε σημείο r(t) η εφαπτόμενη ευθεία είναι παράλληλη στο v(t) = r (t) = ωr sin(ωt) i + ωr cos(ωt) j + κω k, οπότε η γωνία της με τον z-άξονα είναι ίδια με την γωνία ανάμεσα στα v(t) και k. Το συνημίτονο της γωνίας αυτής είναι ίσο με (ii) Είναι οπότε Τώρα, v(t) k v(t) k = κω ω r 2 + κ 2 = κ r 2 + κ 2. a(t) = r (t) = ω 2 r cos(ωt) i ω 2 r sin(ωt) j, v(t) = ω r 2 + κ 2, a(t) = ω 2 r. v(t) a(t) = ω 3 r ( r sin(ωt) i r cos(ωt) j κ k ) ( cos(ωt) i + sin(ωt) j ) = ω 3 r ( r sin(ωt) cos(ωt) i i + r sin 2 (ωt) i j r cos 2 (ωt) j i r cos(ωt) sin(ωt) j j κ cos(ωt) k i κ sin(ωt) k j ) = ω 3 r ( r sin 2 (ωt) k + r cos 2 (ωt) k κ cos(ωt) j + κ sin(ωt) i ) = ω 3 r ( κ sin(ωt) i κ cos(ωt) j + r k ). Άρα v(t) a(t) v(t) 3 = ω 3 r r 2 + κ 2 ω 3 r 2 + κ 2 (r 2 + κ 2 ) = r r 2 + κ 2 7

8 για κάθε t [a, b]. (iii) Από τον προηγούμενο υπολογισμό, οπότε A = ω 3 rκ και B = ω 3 r 2. v(t) a(t) = ω 3 rκ u(t) + ω 3 r 2 k 17. Έστω r : [a, b] R 3 παραμετρική αναπαράσταση μιας καμπύλης στον R 3. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις είτε δώστε απόδειξη είτε βρείτε αντιπαράδειγμα. (i) Αν η διανυσματική ταχύτητα είναι σταθερή, τότε η τροχιά της βρίσκεται πάνω σε ένα επίπεδο. (ii) Αν η αριθμητική ταχύτητα είναι σταθερή, τότε η τροχιά της βρίσκεται πάνω σε ένα επίπεδο. (iii) Αν η διανυσματική επιτάχυνση είναι σταθερή, τότε η τροχιά της βρίσκεται πάνω σε ένα επίπεδο. (iv) Αν η διανυσματική ταχύτητα και η διανυσματική επιτάχυνση είναι κάθετες, τότε η τροχιά της βρίσκεται πάνω σε ένα επίπεδο. Λύση: Το να βρίσκεται ένα σύνολο σημείων - για παράδειγμα η τροχιά μιας καμπύλης - του R 3 πάνω σε κάποιο επίπεδο σημαίνει ότι υπάρχουν αριθμοί a, b, c, d με (a, b, c) (,, ) ώστε να ισχύει ax + by + cz = d για κάθε (x, y, z) που ανήκει στο εν λόγω σύνολο. Αυτό μπορεί να γραφτεί και στην μορφή (a, b, c) (x, y, z) = d, οπότε μπορούμε ισοδύναμα να πούμε ότι υπάρχει p R 3, p και αριθμός d ώστε να ισχύει p u = d για κάθε u στο σύνολο. (i) Έστω r : [a, b] R 3 η παραμετρική αναπαράσταση της καμπύλης. Υποθέτουμε ότι για κάθε t [a, b]. Συνεπάγεται v(t) = r (t) = k ( r(t) t k) = r (t) k = για κάθε t [a, b], οπότε υπάρχει A R 3 ώστε και επομένως για κάθε t [a, b]. r(t) t k = A r(t) = t k + A Τώρα μπορούμε να βρούμε ένα p R 3, p έτσι ώστε οπότε θα ισχύει για κάθε t [a, b]. p k =, p r(t) = t p k + p A = p A Άρα η τροχιά της βρίσκεται στο επίπεδο που καθορίζεται από το p και από το d = p A. (ii) Αυτό δεν είναι πάντα σωστό. Ας θεωρήσουμε την έλικα με παραμετρική αναπαράσταση r(t) = cos t i + sin t j + t k, t [, 2π]. 8

9 Είναι οπότε για κάθε t [, 2π]. v(t) = r (t) = sin t i + cos t j + k v(t) = v(t) = 2 Αν η τροχιά της έλικας βρισκόταν πάνω σε ένα επίπεδο, θα υπήρχαν p R 3, p και αριθμός d ώστε να ισχύει p r(t) = d για κάθε t [, 2π]. Παραγωγίζουμε δυο φορές, οπότε p v(t) = p a(t) = για κάθε t [, 2π]. Από την δεύτερη ισότητα με t = και t = π 2 βρίσκουμε p i = και p j =. Άρα p = λ k για κάποιο λ. Από την p v(t) = συνεπάγεται δηλαδή άτοπο. λ =, (iii) Έστω r : [a, b] R 3 η παραμετρική αναπαράσταση της καμπύλης. Υποθέτουμε ότι a(t) = r (t) = k για κάθε t [a, b]. Συνεπάγεται ( r (t) t k) = r (t) k = για κάθε t [a, b], οπότε υπάρχει A R 3 ώστε r (t) t k = A για κάθε t [a, b]. Συνεπάγεται ( r(t) t2 2 k t A) = r (t) t k A = για κάθε t [a, b], οπότε υπάρχει B R 3 ώστε r(t) t2 2 k t A = B και επομένως r(t) = t2 2 k + t A + B για κάθε t [a, b]. Τώρα μπορούμε να βρούμε ένα p R 3, p έτσι ώστε p k =, p A = οπότε θα ισχύει p r(t) = t2 2 p k + t p A + p B = p B 9

10 για κάθε t [a, b]. Άρα η τροχιά της βρίσκεται στο επίπεδο που καθορίζεται από το p και από το d = p B. (iv) Θεωρούμε πάλι την έλικα του (ii). Αποδείξαμε ότι η τροχιά της έλικας δεν βρίσκεται σε ένα επίπεδο. Όμως v(t) = r (t) = sin t i + cos t j + k οπότε για κάθε t [, 2π]. a(t) = v (t) = cos t i sin t j v(t) a(t) = 18. Έστω r : [a, b] R 3 παραμετρική αναπαράσταση μιας καμπύλης στον R 3. Έστω v η διανυσματική ταχύτητα και a η διανυσματική επιτάχυνση του σημείου r. (i) Αν r(t) a(t) = για κάθε t [a, b], αποδείξτε ότι υπάρχει σταθερό c ώστε r(t) v(t) = c για κάθε t [a, b]. (ii) Αν r(t) v(t) = c για κάθε t [a, b], αποδείξτε ότι η τροχιά της βρίσκεται πάνω σε κάποιο επίπεδο. (Διακρίνατε περιπτώσεις: c και c =.) (iii) Αν για κάθε t [a, b] η a(t) είναι αρνητικό πολλαπλάσιο του r(t), αποδείξτε ότι η τροχιά της βρίσκεται πάνω σε κάποιο επίπεδο. Λύση: (i) Είναι ( r(t) v(t)) = v(t) v(t) + r(t) a(t) = r(t) a(t) = για κάθε t [a, b], οπότε υπάρχει σταθερό c ώστε για κάθε t [a, b]. (ii) Έστω c. Τότε r(t) v(t) = c c r(t) = ( r(t) v(t)) r(t) = για κάθε t [a, b], οπότε η τροχιά της βρίσκεται πάνω σε επίπεδο. (Δείτε την αρχή της λύσης της άσκησης 17.) Έστω c =. Τότε, επειδή r(t) και v(t), από την r(t) v(t) = συνεπάγεται ότι τα r(t) και v(t) είναι το ένα πολλαπλάσιο του άλλου. Από την άσκηση 11 συνεπάγεται ότι η τροχιά της βρίσκεται πάνω σε μια ημιευθεία, οπότε βρίσκεται πάνω σε ένα επίπεδο. (iii) Άμεση συνέπεια των (i) και (ii). 19. Έστω r(t) = x(t) i + y(t) j η παραμετρική αναπαράσταση μιας καμπύλης στον R 2 η οποία βρίσκεται πάνω στην έλλειψη με εξίσωση 3x 2 + y 2 = 3. Υποθέτουμε ότι για κάθε t [a, b] η οριζόντια συνιστώσα της διανυσματικής ταχύτητας είναι ίση με y(t). (i) Το σημείο r(t) κινείται πάνω στην έλλειψη με την φορά των δεικτών του ρολογιού ή με την αντίθετη φορά; (ii) Αποδείξτε ότι για κάθε t [a, b] η κατακόρυφη συνιστώσα της διανυσματικής ταχύτητας είναι σταθερό πολλαπλάσιο του x(t). (iii) Πόσος χρόνος απαιτείται για να κάνει το r(t) μια πλήρη περιστροφή της έλλειψης; Λύση: (i) Είναι x (t) = y(t). Άρα, αν y(t) >, τότε το x(t) ελλαττώνεται και, αν 1

11 y(t) <, τότε το x(t) αυξάνεται. Άρα το r(t) κινείται πάνω στην έλλειψη με την αντίθετη φορά των δεικτών του ρολογιού. (ii) Από την 3x 2 (t) + y 2 (t) = 3 με παραγώγιση βρίσκουμε οπότε για κάθε t [a, b]. Αν y(t), τότε 3x(t)x (t) + y(t)y (t) =, y(t)( 3x(t) + y (t)) = y (t) = 3x(t). Λόγω συνέχειας, η σχέση αυτή ισχύει για κάθε t [a, b]. (iii) Έστω ότι r() = (1, ), δηλαδή x() = 1 και y() =. Θεωρούμε την και βρίσκουμε f(t) = 3 ( x(t) cos( 3t) ) 2 + ( y(t) 3 sin( 3t) ) 2 f (t) = 6 ( x(t) cos( 3t) )( y(t) + 3 sin( 3t) ) + 2 ( y(t) 3 sin( 3t) )( 3x(t) 3 cos( 3t) ) =. Άρα υπάρχει αριθμός c ώστε f(t) = c για κάθε t [a, b] και από τις x() = 1 και y() = βρίσκουμε ότι c = f() =. Άρα για κάθε t [a, b]. x(t) = cos( 3t), y(t) = 3 sin( 3t) Είναι σαφές ότι χρειάζεται χρόνος 2π 3 για να ολοκληρωθεί μια περιστροφή της έλλειψης. 2. Έστω r : [a, b] R 2 παραμετρική αναπαράσταση μιας καμπύλης στον R 2. Υποθέτουμε ότι η τροχιά της βρίσκεται μέσα στο πρώτο τεταρτημόριο του R 2, ότι η τροχιά περιέχει το σημείο ( 3 2, 1) και ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα σε κάθε σημείο r(t) έχει αρνητική κλίση. Έστω θ(t) η γωνία ανάμεσα στο r(t) και στον x-άξονα και ϕ(t) η γωνία ανάμεσα στο εφαπτόμενο διάνυσμα στο σημείο r(t) και στον x-άξονα. Αν 3 tan ϕ(t) = 4 cot θ(t) για κάθε t [a, b], βρείτε την εξίσωση της τροχιάς της και σχεδιάστε την. Λύση: Έστω r(t) = x(t) i + y(t) j για κάθε t [a, b]. Το ότι η τροχιά της βρίσκεται μέσα στο πρώτο τεταρτημόριο του R 2 σημαίνει ότι για κάθε t [a, b]. x(t) >, y(t) > Το ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα σε κάθε σημείο r(t) έχει αρνητική κλίση και το ότι ϕ(t) είναι η γωνία ανάμεσα στο εφαπτόμενο διάνυσμα στο σημείο r(t) και στον x-άξονα σημαίνει ότι για κάθε t [a, b]. tan ϕ(t) = y (t) x (t) < 11

12 Τέλος, το ότι θ(t) είναι η γωνία ανάμεσα στο r(t) και στον x-άξονα σημαίνει ότι για κάθε t [a, b]. Από την 3 tan ϕ(t) = 4 cot θ(t) συνεπάγεται tan θ(t) = y(t) x(t) 3 y (t) x (t) = 4 x(t) y(t) ή ισοδύναμα ή ισοδύναμα 4x(t)x (t) 3y(t)y (t) = ( 4x 2 (t) 3y 2 (t) ) = για κάθε t [a, b]. Άρα υπάρχει σταθερά c ώστε για κάθε t [a, b]. 4x 2 (t) 3y 2 (t) = c Για κάποια τιμή του t ισχύει x(t) = 3 2, y(t) = 1. Άρα για κάθε t [a, b]. Άρα η εξίσωση της τροχιάς της είναι 4x 2 (t) 3y 2 (t) = 6 4x 2 3y 2 = 6, x, y >. 21. Έστω A, B R 3 \ { } με γωνία θ ανάμεσά τους ( < θ < π) και r : [a, b] R 3 παραμετρική αναπαράσταση μιας καμπύλης στον R 3 η οποία είναι δυο φορές παραγωγίσιμη. Υποθέτουμε ότι r (t) = A r(t) για κάθε t [a, b] και r() = B. (i) Αποδείξτε ότι η διανυσματική επιτάχυνση είναι κάθετη στο A. (ii) Αποδείξτε ότι η αριθμητική ταχύτητα είναι σταθερή και υπολογίστε την σταθερή τιμή της συναρτήσει των A, B, θ. (iii) Περιγράψτε την τροχιά της σε σχέση με τα A, B. Λύση: (i) Είναι οπότε a(t) = r (t) = A r (t) a(t) A = ( A r (t)) A = και επομένως η διανυσματική επιτάχυνση είναι κάθετη στο A για κάθε t [a, b]. (ii) Είναι d dt v2 (t) = d dt v(t) v(t) = 2 v (t) v(t) = 2 a(t) v(t) = 2( A r (t)) r (t) =. Άρα υπάρχει σταθερά c ώστε για κάθε t [a, b]. v(t) = c 12

13 Τώρα (iii) Είναι c = v() = v() = r () = A r() = A B = A B sin θ. d dt r(t) 2 = d dt r(t) r(t) = 2 r (t) r(t) = 2( A r(t)) r(t) = για κάθε t [a, b]. Άρα υπάρχει σταθερά κ ώστε για κάθε t [a, b]. Με t = βρίσκουμε για κάθε t [a, b]. Επίσης, είναι οπότε r(t) = κ r(t) = B r (t) A = ( A r(t)) A = ( r(t) A) = για κάθε t [a, b]. Άρα υπάρχει σταθερά λ ώστε για κάθε t [a, b]. Με t = βρίσκουμε οπότε για κάθε t [a, b]. r(t) A = λ r(t) A = B A ( r(t) B) A = Θεωρούμε την προβολή του B στο A, δηλαδή το Τότε = B A A 2 A. ( r(t) ) = ( r(t) B) + ( B ) = + = για κάθε t [a, b]. Επομένως οπότε οπότε για κάθε t [a, b]. r(t) = ( r(t) ) + 2 = r(t) 2 = B 2 r(t) 2 = B 2 2 = B 2 sin 2 θ r(t) = B sin θ Επειδή r(t) = ( r(t) ) +, συνεπάγεται ότι η τροχιά της βρίσκεται πάνω στον κύκλο με κέντρο ο οποίος περιέχεται στο επίπεδο που είναι κάθετο στο A στο σημείο και ο οποίος διέρχεται από το σημείο B. 13

14 22. Υπολογίστε το μήκος τόξου της κάθε καμπύλης στο διάστημα που υποδεικνύεται. (a) σ(t) = (t sin t, t cos t, 3 t), [, 1]. (b) r(t) = 2t i + e t j + e t k, [ 1, 1]. (c) σ(t) = t i + t j t 3 2 k, [t, t 1 ]. Λύση: (a) Είναι σ (t) = (sin t + t cos t, cos t t sin t, 3) οπότε και το μήκος είναι ίσο με 1 σ (t) = (sin t + t cos t) 2 + (cos t t sin t) = t ( t σ (t) dt = t dt = t log(t + t )) 5 = log (b) Είναι r (t) = 2 i + e t j e t k οπότε και το μήκος είναι ίσο με 1 1 r (t) dt = r (t) = 2 + e 2t + e 2t = e t + e t 1 1 (c) Είναι σ (t) = i + j + t 1 2 k οπότε και το μήκος είναι ίσο με t1 t σ (t) dt = t1 (e t + e t ) dt = (e t e t ) 1 1 = 2e 2e 1. σ (t) = t = t + 2 ( 2 ) t + 2 dt = t 3 (t + 2) 3 2 t 1 = 2 t 3 (t 1 + 2) (t + 2) Η συνάρτηση μήκους τόξου s(t) για μια καμπύλη σ(t) δίνεται από την s(t) = t a σ (τ) dτ και παριστάνει την απόσταση που θα έχει διανύσει ένα σωματίδιο τη χρονική στιγμή t αν ξεκινήσει τη χρονική στιγμή a και ακολουθεί την τροχιά της σ. Δηλαδή, δίνει το μήκος της σ ανάμεσα στο σ(a) και σ(t). Βρείτε τις συναρτήσεις μήκους τόξου για τις καμπύλες α(t) = (cosh t, sinh t, t) και β(t) = (cos t, sin t, t) με a =. Λύση: Είναι α (t) = (sinh t, cosh t, 1) οπότε α (t) = sinh 2 t + cosh 2 t + 1 = 1 (e t + e t ). 2 Η συνάρτηση μήκους είναι s(t) = t α (τ) dτ = 1 t (e τ + e τ ) dτ = 1 (e t e t ). 2 2 Ομοίως, είναι β (t) = ( sin t, cos t, 1) οπότε β (t) = 2. Η συνάρτηση μήκους είναι s(t) = t β (τ) dτ = 2 14 t 1 dτ = 2 t.

15 24. Έστω σ η καμπύλη σ(t) = (2t, t 2, log t) ορισμένη για t >. Βρείτε το μήκος τόξου της σ ανάμεσα στα σημεία (2, 1, ) και (4, 4, log 2). Λύση: Είναι σ (t) = (2, 2t, 1 t ) οπότε και το μήκος είναι ίσο με 2 1 σ (t) dt = σ (t) = t t 2 = 2t + 1 t ( 2t + 1 ) ( ) dt = t log t = 3 + log 2. t Έστω F (x, y, z) = x i +y j +z k. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα του F κατά μήκος καθεμιάς από τις καμπύλες που ακολουθούν. (a) σ(t) = (sin t,, cos t), t 2π. (b) σ(t) = (t 2, 3t, 2t 3 ), 1 t 2. Λύση: (a) (b) F d σ = F d σ = 2 1 2π (sin t,, cos t) (cos t,, sin t) dt = (t 2, 3t, 2t 3 ) (2t, 3, 6t 2 ) dt = 26. Υπολογίστε τα παρακάτω ολοκληρώματα π dt =. (2t 3 + 9t + 12t 5 ) dt = 147. (a) σ x dy y dx, σ(t) = (cos t, sin t, ), t 2π. (b) σ x2 dx xy dy + dz, όπου η σ είναι η παραβολή z = x 2, y = από το ( 1,, 1) ως το (1,, 1). Λύση: (a) σ x dy y dx = 2π (cos t cos t sin t( sin t)) dt = 2π (b) Παραμετρική αναπαράσταση: σ(x) = (x,, x 2 ) ( 1 x 1). 1 x 2 dx xy dy + dz = (x 2 1 x + 2x) dx = 2 3. σ 1 dt = 2π. 27. Θεωρούμε τη δύναμη F (x, y, z) = x i + y j + z k. Υπολογίστε το έργο που παράγει για να μετακινήσει ένα σωματίδιο κατά μήκος της παραβολής y = x 2, z = από x = 1 ως x = 2. Λύση: Παραμετρική αναπαράσταση: r(x) = (x, x 2, ) ( 1 x 2). 2 2 F d r = (x1 + x 2 2x + ) dx = (x + 2x 3 ) dx = Υποθέτουμε ότι η σ έχει μήκος l και F M. Αποδείξτε ότι F d s Ml. σ 15 1

16 Λύση: Αν s : [a, b] R n είναι η παραμετρική αναπαράσταση της καμπύλης, τότε σ F d s = b a b = M a b F ( s(t)) s (t) dt F ( s(t)) s (t) dt a s (t) dt = Ml. b a b a F ( s(t)) s (t) dt M s (t) dt 29. Έστω σ(t) μια καμπύλη και το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα. Ποιό είναι το σ d s; Λύση: Αν s : [a, b] R n είναι η παραμετρική αναπαράσταση της καμπύλης, τότε το εφαπτόμενο διάνυσμα είναι το s (t) οπότε το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα είναι το (t) = s (t) s (t). Άρα σ d s = b δηλαδή το μήκος της καμπύλης. a s (t) s (t) s (t) dt = b a s (t) dt = L, 3. Μια μη αρνητική αύξουσα συνάρτηση f ορισμένη σε κάποιο διάστημα [a, b] με συνεχή παράγωγο στο [a, b] έχει την εξής ιδιότητα: για κάθε [c, d] [a, b] το εμβαδόν του χωρίου κάτω από το γράφημά της και πάνω από το [c, d] είναι ίσο με το μήκος του γραφήματός της πάνω από το [c, d]. Βρείτε την f. Λύση: Μια παραμετρική αναπαράσταση του γραφήματος της f είναι η r(x) = (x, f(x)), x [a, b]. Τότε r (x) = (1, f (x)) οπότε το μήκος του γραφήματος πάνω από το [c, d] είναι ίσο με d c r (x) dx = d c 1 + (f (x)) 2 dx. Το εμβαδόν του χωρίου κάτω από το γράφημα και πάνω από το [c, d] είναι ίσο με Η υπόθεση είναι ότι για κάθε [c, d] [a, b]. d d c f(x) dx. d 1 + (f (x)) 2 dx = f(x) dx c c Συνεπάγεται ότι για κάθε x [a, b] ισχύει x a 1 + (f (t)) 2 dt = x Παραγωγίζοντας, βρίσκουμε 1 + (f (x)) 2 = f(x) a f(t) dt. 16

17 για κάθε x [a, b]. Επειδή η f είναι αύξουσα, συνεπάγεται f (x) για κάθε x [a, b], οπότε f (x) f 2 (x) 1 = 1 για κάθε x [a, b]. Συνεπάγεται d dx log ( f(x) + f 2 (x) 1 ) = 1 για κάθε x [a, b]. Συνεπάγεται ότι υπάρχει σταθερά c ώστε και επομένως για κάθε x [a, b]. Συνεπάγεται log ( f(x) + f 2 (x) 1 ) = x + c f(x) + f 2 (x) 1 = e x+c f(x) = sinh(x + c) για κάθε x [a, b]. Η σταθερά c προσδιορίζεται από την ισότητα (με x = a) f(a) = sinh(a + c). 31. Υπολογίστε το (x 2 2xy) dx + (y 2 2xy) dy, όπου είναι η καμπύλη από το σημείο ( 2, 4) στο σημείο (1, 1) πάνω στην παραβολή y = x 2. Λύση: Η έχει παραμετρική αναπαράσταση την r(x) = (x, x 2 ) ( 2 x 1). Άρα (x 2 2xy)dx + (y 2 2xy)dy = = ( (x 2 2xx 2 )1 + (x 4 2xx 2 )2x ) dx (x 2 2x 3 + 2x 5 4x 4 )dx = Υπολογίστε το (x + y) dx (x y) dy x 2 + y 2, όπου είναι ο κύκλος x 2 + y 2 = a 2 (a > ) με την θετική φορά διαγραφής. Λύση: Η έχει παραμετρική αναπαράσταση την r(t) = (a cos t, a sin t) ( t 2π). Άρα (x + y) dx (x y) dy x 2 + y 2 = = 2π 2π (a cos t + a sin t)( a sin t) (a cos t a sin t)(a cos t) dt dt = 2π. a 2 17

18 33. Υπολογίστε το dx + dy x + y, όπου είναι το τετράγωνο με κορυφές (1, ), (, 1), ( 1, ), (, 1) με την θετική φορά διαγραφής. Λύση: Η είναι άθροισμα = , όπου 1 είναι το ευθύγραμμο τμήμα από το (1, ) μέχρι το (, 1), 2 είναι το ευθύγραμμο τμήμα από το (, 1) μέχρι το ( 1, ), 3 είναι το ευθύγραμμο τμήμα από το ( 1, ) μέχρι το (, 1) και 4 είναι το ευθύγραμμο τμήμα από το (, 1) μέχρι το (1, ). Επομένως, dx + dy x + y = dx + dy 1 x + y + dx + dy 2 x + y + dx + dy 3 x + y + dx + dy 4 x + y, οπότε πρέπει να υπολογίσουμε καθένα από τα τέσσερα επικαμπύλια ολοκληρώματα. Η παραμετρική αναπαράσταση της 1 είναι η r 1 (t) = (1 t, t) (t [, 1]). Άρα dx + dy 1 1 x + y = dt =. 1 Η παραμετρική αναπαράσταση της 2 είναι η r 2 (t) = ( t, 1 t) (t [, 1]). Άρα dx + dy 1 2 x + y = 1 1 dt = 2. 1 Η παραμετρική αναπαράσταση της 3 είναι η r 3 (t) = (t 1, t) (t [, 1]). Άρα dx + dy 1 3 x + y = 1 1 dt =. 1 Η παραμετρική αναπαράσταση της 4 είναι η r 4 (t) = (t, t 1) (t [, 1]). Άρα dx + dy 1 4 x + y = dt = 2. 1 Άρα 34. Υπολογίστε το όπου dx + dy x + y = =. y dx + z dy + x dz, (a) είναι η τομή των επιφανειών x+y = 2 και x 2 +y 2 +z 2 = 2(x+y). Η διαγράφεται μια φορά στην κατεύθυνση περιστροφής των δεικτών του ρολογιού όταν την βλέπουμε από την αρχή των αξόνων (,, ). (b) είναι η τομή των επιφανειών z = xy και x 2 + y 2 = 1. Η διαγράφεται μια φορά στην αντίθετη κατεύθυνση περιστροφής των δεικτών του ρολογιού όταν την βλέπουμε από πολύ πάνω από το xy-επίπεδο. Λύση: (a) Αν θέσουμε x = x 1, y = y 1, z = z, τότε οι δυο σχέσεις που περιγράφουν την γράφονται ισοδύναμα x + y =, (x ) 2 + (y ) 2 + (z ) 2 = 2. 18

19 Δηλαδή το σημείο (x, y, z ) κινείται πάνω στο επίπεδο με εξίσωση x + y = και η απόστασή του από το (,, ) είναι σταθερή 2. Επομένως το ίδιο σημείο περιγράφει έναν κύκλο πάνω στο ίδιο επίπεδο με κέντρο το (,, ) (που κι αυτό είναι πάνω στο ίδιο επίπεδο) και ακτίνα 2. Τώρα, και (x, y, z) = (x, y, z ) + (1, 1, ) (x, y, z ) (1, 1, ) =. Άρα η καμπύλη την οποία περιγράφει το σημείο (x, y, z) είναι απλή μεταφορά του προηγούμενου κύκλου κατά το διάνυσμα (1, 1, ). Κατά την περιστροφή του το (x, y, z ) περνάει από το ανώτατο σημείο (,, 2) του κύκλου και μετά πέφτει στο σημείο (1, 1, ) πάνω στο xy-επίπεδο. Άρα μια παραμετρική αναπαράσταση του είναι η (x (t), y (t), z (t)) = cos t(,, 2) + sin t(1, 1, ) = (sin t, sin t, 2 cos t) t [, 2π] και επομένως μια παραμετρική αναπαράσταση της είναι η (x(t), y(t), z(t)) = (sin t + 1, sin t + 1, 2 cos t) t [, 2π]. Άρα 2π ( y dx + z dy + x dz = ( sin t + 1) cos t + 2 cos t( cos t) + (sin t + 1)( 2 sin t) ) dt 2π = ( 2 sin t cos t + cos t 2 sin t) dt = 2 2π. (b) Είναι σαφές ότι το σημείο (x, y, ) διαγράφει πάνω στο xy-επίπεδο τον κύκλο με κέντρο (,, ) και ακτίνα 1 με την θετική φορά περιστροφής. Άρα η παραμετρική αναπαράσταση της είναι (x(t), y(t), z(t)) = (cos t, sin t, cos t sin t), t [, 2π]. Άρα y dx + z dy + x dz = 2π ( sin t( sin t) + cos t sin t cos t + cos t( sin t sin t + cos t cos t) ) dt = π. 35. Θεωρούμε το πεδίο δυνάμεων f(x, y, z) = x i + y j + (xz y) k. Υπολογίστε το έργο που θα παραχθεί από αυτό το πεδίο όταν μετακινήσει ένα σωματίδιο από το σημείο (,, ) στο σημείο (1, 2, 4) πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει αυτά τα σημεία. Λύση: Το ευθύγραμμο τμήμα έχει παραμετρική αναπαράσταση Άρα το έργο είναι ίσο με f(x, y, z) d r = r(t) = (t, 2t, 4t) t [, 1]. 1 (t1 + 2t2 + (t4t 2t)4) dt =

20 36. Υπολογίστε το έργο που θα παραχθεί από το πεδίο δυνάμεων f(x, y, z) = y 2 i+z 2 j +x 2 k κατά μήκος της καμπύλης η οποία είναι η τομή του ημισφαιρίου x 2 + y 2 + z 2 = a 2, z και του κυλίνδρου x 2 + y 2 = ax, όπου a >. Η διαγράφεται στην κατεύθυνση των δεικτών του ρολογιού όταν την βλέπουμε από πολύ πάνω από το xy-επίπεδο. Λύση: Η περιγράφεται ισοδύναμα από τις σχέσεις ( x a ) 2 + y 2 = a2 2 4, z = a 2 x 2 y 2. Άρα μια παραμετρική αναπαράσταση της είναι ( a r(t) = 2 cos t + a 2, a 2 sin t, a ) 2 1 cos t, t [, 2π]. Άρα το έργο είναι ίσο με f d r = 2π ( a 2 ( 4 sin2 t a ) 2 sin t + a2 ( 2 (1 cos t) a ) 2 cos t + a2 4 (cos t + a sin t ) 1)2 2 2 dt 1 cos t = πa Υπολογίστε τα ακόλουθα επικαμπύλια ολοκληρώματα σ f(x, y, z) ds, όπου (a) f(x, y, z) = cos z και σ(t) = (sin t, cos t, t), t [, 2π]. (b) f(x, y, z) = x cos z και σ(t) = t i + t 2 j, t [, 1]. Λύση: (a) σ (t) = (cos t, sin t, 1), οπότε σ (t) = 2 και σ f(x, y, z) ds = 2π 2 cos t dt =. (b) σ (t) = i + 2t j, οπότε σ (t) = 1 + 4t 2 και σ f(x, y, z) ds = 1 t cos 1 + 4t 2 dt = u du = Δείξτε ότι το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της f(x, y) κατά μήκος της καμπύλης που δίνεται σε πολικές συντεταγμένες από την r = r(θ), θ 1 θ θ 2, είναι θ2 θ 1 f(r cos θ, r sin θ) r 2 + Λύση: Η παραμετρική αναπαράσταση της καμπύλης είναι Τότε ( dr ) 2 dθ. dθ r(θ) = (r(θ) cos θ, r(θ) sin θ) (θ 1 θ θ 2 ). r (θ) = (r (θ) cos θ r(θ) sin θ, r (θ) sin θ + r(θ) cos θ), οπότε r (θ) = (r(θ)) 2 + (r (θ)) 2 και f(x, y) ds = θ2 θ 1 f(r(θ) cos θ, r(θ) sin θ) (r(θ)) 2 + (r (θ)) 2 dθ. 2

21 39. Υπολογίστε το 2xyz dx + x2 z dy + x 2 y dz, όπου είναι μια προσανατολισμένη απλή καμπύλη που ενώνει το (1, 1, 1) με το (1, 2, 4). Λύση: Επειδή δεν μας λένε ποια ακριβώς είναι η συγκεκριμένη καμπύλη, αλλά μας λένε μόνο τα άκρα της, υποψιαζόμαστε ότι το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από την καμπύλη αλλά μόνο από τα άκρα της. Με άλλα λόγια υποψιαζόμαστε ότι το διανυσματικό πεδίο f(x, y, z) = (2xyz, x 2 z, x 2 y) είναι συντηρητικό. Ένας επιπλέον λόγος είναι ότι το f ικανοποιεί την γνωστή αναγκαία συνθήκη για να προέρχεται από πεδίο δυναμικού, δηλαδή τις σχέσεις (2xyz) = (x2 z) x, (2xyz) = (x2 y) z x, (x 2 z) z = (x2 y). Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει μεγάλη πιθανότητα να προέρχεται από πεδίο δυναμικού. Αν καταφέρουμε να βρούμε μια αριθμητική συνάρτηση ϕ(x, y, z) έτσι ώστε ϕ(x, y, z) = f(x, y, z), δηλαδή (ισοδύναμα) ϕ ϕ (x, y, z) = 2xyz, x (x, y, z) = x2 z, ϕ z (x, y, z) = x2 y, τότε ο υπολογισμός του ολοκληρώματος θα είναι στοιχειώδης. Μπορούμε με λίγη σκέψη να μαντέψουμε την συνάρτηση η οποία ικανοποιεί τις παραπάνω ισότητες. ϕ(x, y, z) = x 2 yz Ένας μεθοδικός τρόπος να βρούμε μια ϕ είναι ο εξής. Θεωρώντας τα y, z σταθερά, ολοκληρώνουμε την πρώτη ισότητα ως προς x για να απαλείψουμε την παράγωγο ως προς την μεταβλητή x και βρίσκουμε ϕ(x, y, z) = 2xyz dx = 2yz x dx = x 2 yz + c. Αυτή η ισότητα δεν είναι ακριβώς σωστή διότι πρέπει να λάβουμε υπόψη μας ότι η σταθερά ολοκλήρωσης c δεν εξαρτάται από την μεταβλητή x της ολοκλήρωσης, μπορεί, όμως, να εξαρτάται από τις άλλες δυο μεταβλητές y, z τις οποίες θεωρήσαμε προσωρινά σταθερές. Άρα το σωστό είναι να γράψουμε ϕ(x, y, z) = 2xyz dx = x 2 yz + ψ(y, z), όπου ψ(y, z) είναι συνάρτηση μόνο των y, z. Τώρα η δεύτερη ισότητα γράφεται ή, ισοδύναμα, x 2 z + ψ (y, z) = x2 z ψ (y, z) =. Τώρα ολοκληρώνουμε ως προς y για να απαλείψουμε την παράγωγο ως προς y και βρίσκουμε ψ(y, z) = dy = χ(z), 21

22 όπου και πάλι, αντί να κάνουμε το λάθος να γράψουμε dy = c, γράφουμε την σταθερά (ως προς y) ως συνάρτηση της μεταβλητής z. Τώρα, αφού σκεφτούμε ότι η τρίτη ισότητα γράφεται ή, ισοδύναμα, ϕ(x, y, z) = x 2 yz + ψ(y, z) = x 2 yz + χ(z), x 2 y + χ (z) = x 2 y χ (z) =. Άρα η χ(z) είναι σταθερή συνάρτηση: χ(z) = c. Επομένως ϕ(x, y, z) = x 2 yz + c είναι τα πεδία δυναμικού από τα οποία προέρχεται το διανυσματικό πεδίο f(x, y, z) = (2xyz, x 2 z, x 2 y). Η σταθερά c είναι αυθαίρετη και επιλέγουμε ϕ(x, y, z) = x 2 yz. Τώρα 2xyz dx + x 2 z dy + x 2 y dz = ϕ(1, 2, 4) ϕ(1, 1, 1) = Υποθέτουμε ότι f(x, y, z) = 2xyze x2 i + ze x2 j + ye x2 k. Αν f(,, ) = 5, βρείτε το f(1, 1, 2). Λύση: Πρώτος τρόπος. Βρίσκουμε την αριθμητική συνάρτηση f(x, y, z) ώστε να ικανοποιεί τις ισότητες f x (x, y, z) = 2xyzex2, f (x, y, z) = zex2, f z (x, y, z) = yex2. Ακολουθούμε την μέθοδο που περιγράφτηκε στην προηγούμενη άσκηση. Ολοκληρώνουμε την πρώτη ισότητα ως προς x και βρίσκουμε f(x, y, z) = 2xyze x2 dx = yze x2 + g(y, z). Τώρα η δεύτερη ισότητα γράφεται ή, ισοδύναμα, Ολοκληρώνουμε ως προς y και βρίσκουμε g(y, z) = οπότε Τέλος, η τρίτη ισότητα γράφεται ze x2 + g (y, z) = zex2 g (y, z) =. dy = h(z), f(x, y, z) = yze x2 + g(y, z) = yze x2 + h(z). ye x2 + h (z) = ye x2 22

23 ή, ισοδύναμα, οπότε η h(z) είναι σταθερή συνάρτηση. Άρα Βρίσκουμε την c από την Άρα h (z) =, f(x, y, z) = yze x2 + h(z) = yze x2 + c. 5 = f(,, ) = e 2 + c = c. f(1, 1, 2) = 1 2 e = 2e + 5. Δεύτερος τρόπος. Θεωρούμε μια οποιαδήποτε καμπύλη με αρχή το σημείο (,, ) και τέλος το σημείο (1, 1, 2). Η απλούστερη τέτοια καμπύλη είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα δυο σημεία με παραμετρική αναπαράσταση Τώρα είναι f(1, 1, 2) f(,, ) = Άρα r(t) = (t, t, 2t) ( t 1). = = 1 1 f d r = ( 2tt2te t te t2 1 + te t2 2 (4t 3 + 4t)e t2 dt = 2 2xyze x2 dx + ze x2 dy + ye x2 dz 1 f(1, 1, 2) = 2e + f(,, ) = 2e + 5. ) dt (u + 1)e u du = 2e. 41. Θεωρούμε μια καμπύλη η οποία βρίσκεται πάνω στην επιφάνεια x 2 + y 2 + z = 2π, η οποία έχει σταθερή κλίση και η οποία ενώνει το σημείο ( 2π,, ) της επιφάνειας με την κορυφή (,, 2π) της επιφάνειας. Σε κάθε σημείο της καμπύλης ασκείται μια δύναμη που περιγράφεται από το διανυσματικό πεδίο F (x, y, z) = z 2 i + 3y 2 j + 2xz k. Πόσο έργο παράγει η δύναμη κατά μήκος της καμπύλης; Λύση: Ελέγχουμε αν το διανυσματικό πεδίο F (x, y, z) = z 2 i + 3y 2 j + 2xz k ικανοποιεί την αναγκαία συνθήκη για να προέρχεται από πεδίο δυναμικού, δηλαδή τις σχέσεις (z 2 ) = (3y2 ) x, (z 2 ) = (2xz) z x, (3y 2 ) z = (2xz). Αυτές είναι σωστές, οπότε βρίσκουμε πεδίο δυναμικού ϕ(x, y, z) ώστε να ισχύουν οι ισότητες ϕ x (x, y, z) = ϕ z2, (x, y, z) = ϕ 3y2, (x, y, z) = 2xz, z εφαρμόζοντας την μέθοδο των δυο προηγούμενων ασκήσεων. Ολοκληρώνουμε την πρώτη ισότητα ως προς x και βρίσκουμε ϕ(x, y, z) = z 2 dx = xz 2 + ψ(y, z). 23

24 Τώρα η δεύτερη ισότητα γράφεται ψ (y, z) = 3y2. Ολοκληρώνουμε ως προς y και βρίσκουμε ψ(y, z) = 3y 2 dy = y 3 + χ(z), οπότε Τέλος, η τρίτη ισότητα γράφεται ή, ισοδύναμα, ϕ(x, y, z) = xz 2 + ψ(y, z) = xz 2 + y 3 + χ(z). οπότε η χ(z) είναι σταθερή συνάρτηση. Άρα Άρα το έργο είναι ίσο με 2xz + χ (z) = 2xz χ (z) =, ϕ(x, y, z) = xz 2 + y 3 + χ(z) = xz 2 + y 3 + c. F d r = ϕ(,, 2π) ϕ( 2π,, ) =. Παρατηρήστε ότι το σχήμα της καμπύλης δεν έπαιξε κανένα ρόλο. 42. Υπολογίστε το (x + y) ds, όπου είναι το τρίγωνο με κορυφές (, ), (1, ) και (, 1) με την θετική φορά περιστροφής. Λύση: Είναι = , όπου 1 είναι το ευθύγραμμο τμήμα από το (, ) στο (1, ), 2 είναι το ευθύγραμμο τμήμα από το (1, ) στο (, 1) και 3 είναι το ευθύγραμμο τμήμα από το (, 1) στο (, ). Το 1 έχει παραμετρική αναπαράσταση r 1 (t) = (t, ) ( t 1), το 2 έχει παραμετρική αναπαράσταση r 2 (t) = (1 t, t) ( t 1) και το 3 έχει παραμετρική αναπαράσταση r 3 (t) = (, 1 t) ( t 1). Είναι r 1 (t) = 1, r 2 (t) = 2 και r 3 (t) = 1. Άρα (x + y) ds = (x + y) ds + 1 (x + y) ds + 2 (x + y) ds 3 = 1 = (t + )1 dt Υπολογίστε το 1 (1 t + t) 2 dt + z ds, 1 ( + 1 t)1 dt όπου η έχει παραμετρική αναπαράσταση r(t) = t cos t i + t sin t j + t k, ( t t ). Λύση: Είναι r (t) = (cos t t sin t) i + (sin t + t cos t) j + k, οπότε r (t) = t Άρα z ds = t t t dt = 1 2 t ) u du = ((t 2 + 2)

25 44. Ποιά από τα παρακάτω ανοικτά υποσύνολα Ω του R 2 είναι συνεκτικά; Για καθένα από τα Ω που είναι συνεκτικά, πάρτε δυο τυχαία σημεία του Ω και περιγράψτε καμπύλη με τροχιά μέσα στο Ω που να ενώνει τα δυο σημεία. (a) Ω = R 2. (b) Ω = {(x, y) x 2 + y 2 < 1}. (c) Ω = {(x, y) x 2 + y 2 > }. (d) Ω = {(x, y) 1 < x 2 + y 2 < 2}. (e) Ω = {(x, y) x 2 + y 2 > 1 και (x 3) 2 + y 2 > 1}. (f) Ω = {(x, y) x 2 + y 2 < 1 ή (x 3) 2 + y 2 < 1}. Λύση: (a) Το Ω = R 2 είναι συνεκτικό. Για οποιαδήποτε σημεία A, B του Ω το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα σημεία αυτά περιέχεται στο Ω. (b) Το Ω = {(x, y) x 2 + y 2 < 1} είναι συνεκτικό. Για οποιαδήποτε σημεία A, B του Ω το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα σημεία αυτά περιέχεται στο Ω. (c) Το Ω = {(x, y) x 2 + y 2 > } είναι συνεκτικό. Θεωρούμε οποιαδήποτε σημεία A, B στο Ω. Αν το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα A, B δεν περιέχει το (, ), τότε αυτό είναι μια καμπύλη στο Ω που ενώνει τα A, B. Αν το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα A, B περιέχει το (, ), τότε θεωρούμε ένα τρίτο σημείο έτσι ώστε τα ευθύγραμμα τμήματα με άκρα τα A, και με άκρα τα, B να μην περιέχουν το (, ), οπότε μια καμπύλη στο Ω που ενώνει τα A, B είναι το άθροισμα των παραπάνω διαδοχικών ευθυγράμμων τμημάτων. (d) Το Ω = {(x, y) 1 < x 2 +y 2 < 2} είναι συνεκτικό. Θεωρούμε οποιαδήποτε σημεία A, B στο Ω. Αν τα A, B ανήκουν στην ίδια ημιευθεία με κορυφή το (, ), τότε το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα A, B είναι μια καμπύλη στο Ω που ενώνει τα A, B. Αν τα A, B δεν ανήκουν στην ίδια ημιευθεία με κορυφή το (, ), τότε θεωρούμε τον κύκλο με κέντρο το (, ) ο οποίος διέρχεται από το A και το σημείο τομής αυτού του κύκλου με την ημιευθεία με κορυφή το (, ) η οποία περιέχει το B. Μια καμπύλη στο Ω που ενώνει τα A, B είναι το άθροισμα ενός από τα τόξα του παραπάνω κύκλου με άκρα τα A, και του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα, B. (e) Το Ω = {(x, y) x 2 + y 2 > 1 και (x 3) 2 + y 2 > 1} είναι συνεκτικό. Θεωρούμε οποιαδήποτε σημεία A, B στο Ω. Έστω ότι ο κύκλος με κέντρο (, ) που διέρχεται από το A τέμνει τον αρνητικό x-άξονα στο σημείο A και ο κύκλος με κέντρο (, ) που διέρχεται από το B τέμνει τον αρνητικό x-άξονα στο σημείο B. Τουλάχιστον ένα από τα δυο τόξα του πρώτου κύκλου με άκρα A, A περιέχεται στο Ω. Ομοίως, τουλάχιστον ένα από τα δυο τόξα του δεύτερου κύκλου με άκρα B, B περιέχεται στο Ω. Μια καμπύλη στο Ω που ενώνει τα A, B είναι το άθροισμα του τόξου από το A στο A, του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα A, B και του τόξου από το B στο B. (f) Το Ω = {(x, y) x 2 + y 2 < 1 ή (x 3) 2 + y 2 < 1} δεν είναι συνεκτικό. Ένα σημείο του πρώτου δίσκου με ένα σημείο του δεύτερου δίσκου δεν μπορούν να ενωθούν με καμπύλη στο Ω. 45. Αποδείξτε ότι καθένα από τα διανυσματικά πεδία f(x, y) = (y, xy x) στον R 2 και f(x, y, z) = (xy, x 2 + 1, z 2 ) στον R 3 δεν είναι συντηρητικό, ελέγχοντας αν ικανοποιούν την γνωστή κατάλληλη αναγκαία συνθήκη. Λύση: Η αναγκαία συνθήκη για το πρώτο διανυσματικό πεδίο είναι η και είναι λάθος. (xy x) =, x 25

26 Η αναγκαία συνθήκη για το δεύτερο διανυσματικό πεδίο είναι η (xy) = (x2 + 1), x (xy) z = (z2 ) x, (x 2 + 1) = (z2 ) z και είναι, επίσης, λάθος. (Δεν ικανοποιείται η πρώτη ισότητα.) 46. Αποδείξτε ότι το διανυσματικό πεδίο f(x, y) = (x + y, x y) στον R 2 ικανοποιεί την αναγκαία συνθήκη για να είναι συντηρητικό. Μπορείτε να αποδείξετε ότι το f είναι συντηρητικό βρίσκοντας συγκεκριμένο πεδίο δυναμικού γι αυτό; Λύση: Η αναγκαία συνθήκη είναι η και είναι σωστή. Θα βρούμε την ϕ(x, y) ώστε να είναι (x + y) = (x y), x ϕ ϕ (x, y) = x + y, x (x, y) = x y. Ολοκληρώνουμε την πρώτη ισότητα ως προς x και βρίσκουμε ϕ(x, y) = (x + y) dx = 1 2 x2 + xy + ψ(y). Τώρα η δεύτερη ισότητα γράφεται x + ψ (y) = x y ή, ισοδύναμα, ψ (y) = y. Ολοκληρώνουμε ως προς y και βρίσκουμε ψ(y) = y dy = 1 2 y2 + c, οπότε ϕ(x, y) = 1 2 x2 + xy + ψ(y) = 1 2 x2 + xy 1 2 y2 + c. Η c είναι αυθαίρετη σταθερά (οπότε έχουμε άπειρες λύσεις). 47. Όπως στην προηγούμενη άσκηση, για το f(x, y, z) = (x + z, y z, x y) στον R 3. Λύση: Η αναγκαία συνθήκη είναι η (x + z) = ( y z), x (x + z) z = (x y), x ( y z) z = (x y) και είναι σωστή. Θα βρούμε ϕ(x, y, z) ώστε να ισχύουν οι ισότητες ϕ ϕ (x, y, z) = x + z, x ϕ (x, y, z) = y z, (x, y, z) = x y. z Ολοκληρώνουμε την πρώτη ισότητα ως προς x και βρίσκουμε ϕ(x, y, z) = (x + z) dx = 1 2 x2 + xz + ψ(y, z). 26

27 Τώρα η δεύτερη ισότητα γράφεται ψ (y, z) = y z. Ολοκληρώνουμε ως προς y και βρίσκουμε ψ(y, z) = ( y z) dy = 1 2 y2 yz + χ(z), οπότε ϕ(x, y, z) = 1 2 x2 + xz + ψ(y, z) = 1 2 x2 + xz 1 2 y2 yz + χ(z). Τέλος, η τρίτη ισότητα γράφεται ή, ισοδύναμα, οπότε η χ(z) είναι σταθερή συνάρτηση. Άρα x y + χ (z) = x y χ (z) =, ϕ(x, y, z) = 1 2 x2 + xz 1 2 y2 yz + χ(z) = 1 2 x2 + xz 1 2 y2 yz + c. Η c είναι αυθαίρετη σταθερά (οπότε έχουμε άπειρες λύσεις). 48. Αν τα αριθμητικά πεδία ϕ και ψ είναι πεδία δυναμικού για το ίδιο διανυσματικό πεδίο f σε ένα ανοικτό, συνεκτικό Ω R n, αποδείξτε ότι η αριθμητική συνάρτηση ϕ ψ είναι σταθερή στο Ω. Λύση: Έστω οποιαδήποτε σημεία A, B στο Ω. Θεωρούμε οποιαδήποτε καμπύλη με τροχιά στο Ω με αρχή A και τέλος B. Τότε ϕ(b) ϕ(a) = f d r = ψ(b) ψ(a). Συνεπάγεται ϕ(b) ψ(b) = ϕ(a) ψ(a), οπότε η συνάρτηση ϕ ψ έχει ίδιες τιμές σε οποιαδήποτε δυο σημεία του Ω και, επομένως, είναι σταθερή στο Ω. 49. Υπολογίστε το y dx x dy, όπου είναι το σύνορο του τετραγώνου [ 1, 1] [ 1, 1] προσανατολισμένο κατά την φορά την αντίθετη των δεικτών του ρολογιού. (Χρησιμοποιήστε το Θεώρημα του Green.) Λύση: Εφαρμόζουμε τον τύπο του Green στο τετράγωνο U = [ 1, 1] [ 1, 1]. Η καμπύλη (η συνοριακή καμπύλη του U) είναι καμπύλη Jordan με την θετική φορά διαγραφής και το U είναι το εσωτερικό της. Οι συναρτήσεις Q(x, y) = y και P (x, y) = x έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους στο R 2 το οποίο είναι ανοικτό, συνεκτικό και περιέχει την καμπύλη και το εσωτερικό της U. Άρα y dx x dy = Τώρα, είτε σκεφτόμαστε ότι το είτε υπολογίζουμε U U U dxdy = ( ( x) x ) dxdy = 2 U dxdy. dxdy είναι ίσο με το εμβαδό του U, δηλαδή ίσο με 4, 1 1 ( ) 1 dy dx = 1 2 dx = 4.

28 Άρα y dx x dy = Επαληθεύστε το Θεώρημα του Green για τον δίσκο D με κέντρο το (, ) και ακτίνα R και τις συναρτήσεις P (x, y) = xy 2 και Q(x, y) = yx 2. Λύση: Ο δίσκος D περιγράφεται από την ανισότητα x 2 + y 2 R 2. Η συνοριακή του καμπύλη περιγράφεται από την x 2 + y 2 = R 2. Η είναι καμπύλη Jordan και το εσωτερικό της είναι ο δίσκος D. Οι συναρτήσεις P (x, y) = xy 2 και Q(x, y) = yx 2 έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους στο R 2 το οποίο είναι ανοικτό, συνεκτικό και περιέχει την καμπύλη και το εσωτερικό της D. Άρα ο τύπος του Green είναι ο D ( (xy 2 ) x ( yx2 ) ) dxdy = yx 2 dx + xy 2 dy. Θα επαληθεύσουμε τον τύπο υπολογίζοντας χωριστά τα δυο ολοκληρώματα. Ο απλούστερος τρόπος να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωμα είναι με αλλαγή από καρτεσιανές σε πολικές συντεταγμένες: γράφουμε x = r cos θ και y = r sin θ, όπου το r μεταβάλλεται στο διάστημα [, R] και το θ στο διάστημα [, 2π]. Τότε x 2 +y 2 = r 2 και dxdy = rdrdθ, οπότε το διπλό ολοκλήρωμα είναι ίσο με D (y 2 + x 2 ) dxdy = R ( 2π ) r 2 dθ rdr = 2π R r 3 dr = πr4 2. Η συνηθισμένη παραμετρική αναπαράσταση της με την θετική φορά διαγραφής της είναι η r(t) = (R cos t, R sin t) ( t 2π). Άρα το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα είναι ίσο με 2π ( R sin tr 2 cos 2 t( R sin t) + R cos tr 2 sin 2 tr cos t) dt = 2R 4 2π sin 2 t cos 2 t dt = πr Έστω D ένα χωρίο για το οποίο ισχύει το Θεώρημα του Green. Υποθέτουμε ότι η f είναι αρμονική, δηλαδή 2 f x f 2 = στο D. Αποδείξτε ότι D f f dx dy =. x Λύση: Εφαρμόζουμε τον τύπο του Green με τις συναρτήσεις Q = f βρίσκουμε: D f f dx x dy = D = D ( ( x f ) x ( f )) dxdy ( 2 f x f ) 2 dxdy = 28 D και P = f x και dxdy =.

29 52. Χρησιμοποιήστε το θεώρημα του Green για να υπολογίσετε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα y dx + x dy, όπου η έχει παραμετρική αναπαράσταση r(t) = 2 cos 3 t i + 2 sin 3 t j ( t 2π). Λύση: Παρατηρώντας πώς μεταβάλλονται οι συναρτήσεις x = x(t) = 2 cos 3 t και y = y(t) = 2 sin 3 t στο διάστημα [, 2π], συμπεραίνουμε ότι η καμπύλη είναι καμπύλη Jordan και ότι το r(t) = x(t) i + y(t) j την διαγράφει με την θετική φορά. Οι συντεταγμένες x = x(t) και y = y(t) ικανοποιούν την ισότητα x y 2 3 = 2 2 3, οπότε το εσωτερικό U της καθορίζεται από την ανισότητα x y Οι συναρτήσεις Q(x, y) = y και P (x, y) = x έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους στο R 2 το οποίο είναι ανοικτό, συνεκτικό και περιέχει την καμπύλη και το εσωτερικό της U. Άρα ( x y dx + x dy = x ) dxdy = dxdy =. U 53. Αν Q(x, y) = xe y2 και P (x, y) = x 2 ye y2 + 1, υπολογίστε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα x 2 +y 2 Q dx + P dy, όπου είναι ο κύκλος με κέντρο (, ) και ακτίνα r > (με την θετική φορά διαγραφής). Λύση: Η είναι καμπύλη Jordan και το εσωτερικό της είναι ο δίσκος D με κέντρο (, ) και ακτίνα r >. Η συνάρτηση Q(x, y) = xe y2 έχει συνεχείς μερικές παραγώγους στο R 2 το οποίο είναι ανοικτό, συνεκτικό και περιέχει την και το εσωτερικό της. Όμως, η συνάρτηση P (x, y) = x 2 ye y2 + 1 δεν έχει συνεχείς μερικές παραγώγους σε κάποιο x 2 +y 2 ανοικτό, συνεκτικό σύνολο το οποίο περιέχει την και το εσωτερικό της. Πράγματι, η P (x, y) απειρίζεται στο σημείο (, ) το οποίο βρίσκεται στο εσωτερικό της. Μπορούμε, όμως, να γράψουμε P (x, y) = R(x, y) + U 1 x 2 + y 2, όπου η συνάρτηση R(x, y) = x 2 ye y2 έχει συνεχείς μερικές παραγώγους στο R 2 το οποίο είναι ανοικτό, συνεκτικό και περιέχει την και το εσωτερικό της. Τότε 1 Q dx + P dy = Q dx + R dy + x 2 + y 2 dy, και στο πρώτο επικαμπύλιο ολοκλήρωμα εφαρμόζουμε το θεώρημα του Green: ( ( x 2 ye y2 ) Q dx + R dy = + ( xe y2 ) ) dxdy = dxdy =. x Κατόπιν, υπολογίζουμε κατ ευθείαν το δεύτερο επικαμπύλιο ολοκλήρωμα με την παραμετρική αναπαράσταση r(t) = (r cos t, r sin t) ( t 2π) της : 1 2π x 2 + y 2 dy = 1 r 2 r cos t dt = 1 r 29 2π cos t dt =.

30 Άρα Q dx + P dy =. 54. Έστω αριθμητικά πεδία u και v συνεχώς παραγωγίσιμα σε ένα ανοικτό υποσύνολο του R 2 το οποίο περιέχει τον δίσκο U που καθορίζεται από την x 2 + y 2 1. Θεωρούμε τα διανυσματικά πεδία που ορίζονται από τις ( u f(x, y) = v(x, y) i + u(x, y) j, g(x, y) = x u ) ( v i + x v ) j. Βρείτε την τιμή του διπλού ολοκληρώματος f g dxdy αν γνωρίζετε ότι στο σύνορο του U ισχύει u(x, y) = 1 και v(x, y) = y. Λύση: Είναι U f g = v u x v u + u v x u v = (uv) x (uv). Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Green και βρίσκουμε ( (uv) f g dxdy = x (uv) ) dxdy = U U = y dx + y dy, uv dx + uv dy όπου είναι ο κύκλος x 2 + y 2 = 1 με την θετική φορά διαγραφής. Με την παραμετρική αναπαράσταση r(t) = (cos t, sin t) υπολογίζουμε Άρα 2π y dx + y dy = (sin t( sin t) + sin t cos t) dt = π. f g dxdy = π. U 55. Βρείτε το εμβαδό του δίσκου D ακτίνας R, χρησιμοποιώντας το Θεώρημα του Green. Λύση: Εφαρμόζουμε τον τύπο του Green στον δίσκο D με κέντρο (, ) και ακτίνα R > με συνοριακή καμπύλη τον κύκλο με εξίσωση x 2 + y 2 = R 2 και με το πεδίο ( y, x). Τότε y dx + x dy = D ( x x + ) dxdy = 2 D dxdy = 2 εμβ(d). Άρα εμβ(d) = 1 2 2π (( R sin t)( R sin t) + (R cos t)(r cos t)) dt = πr 2. 3

31 56. Επαληθεύστε το Θεώρημα του Green για τις P (x, y) = 2x 3 y 3 και Q(x, y) = x 3 + y 3 και τον δακτύλιο D που περιγράφεται από τις ανισότητες a x 2 + y 2 b. Λύση: Ονομάζουμε τον κύκλο κέντρου (, ) και ακτίνας b με την θετική φορά του και 1 τον κύκλο κέντρου (, ) και ακτίνας a με την αρνητική φορά του. Τότε ο γενικός τύπος του Green γράφεται D ( (x 3 + y 3 ) x Το αριστερό μέρος είναι ίσο με 3 D (2x3 y 3 ) ) dxdy = (x 2 + y 2 ) dxdy = 3 2π b (2x 3 y 3 ) dx + (x 3 + y 3 ) dy + Το πρώτο ολοκλήρωμα του δεξιού μέρους είναι ίσο με 2π b 2 1 (2x 3 y 3 ) dx + (x 3 + y 3 ) dy. ( ) r 3 dr dθ = 3π 2 (b2 a 2 ). a ( (2 cos 3 t sin 3 t) sin t + (cos 3 t + sin 3 t) cos t ) dt = 3π 2 b2. Ομοίως, το δεύτερο υπολογίζεται ίσο με 3π 2 a2. (Το προκύπτει λόγω αντίθετης φοράς.) 57. Βρείτε μια εξίσωση για το εφαπτόμενο επίπεδο στην επιφάνεια x = 2u, y = u 2 + v, z = v 2 στο σημείο (, 1, 1). Λύση: Το βασικό εξωτερικό γινόμενο είναι ίσο με i j k 2 2u = (4uv, 4v, 2). 1 2v Στο σημείο (x, y, z) = (, 1, 1) αντιστοιχεί το (u, v) = (, 1). Άρα στο σημείο (, 1, 1) της επιφάνειας το βασικό εξωτερικό γινόμενο είναι το (, 4, 2). Άρα η εξίσωση του εφαπτόμενου επιπέδου είναι η ή, ισοδύναμα, 2y z = 1. (x ) + ( 4) (y 1) + 2 (z 1) = 58. (a) Βρείτε έναν τύπο για το εφαπτόμενο επίπεδο στην επιφάνεια x = h(y, z). (b) Βρείτε ανάλογο τύπο για την y = k(x, z). Λύση: (a) Οι παράμετροι είναι τα y, z. Το βασικό εξωτερικό γινόμενο στο σημείο (h(y, z ), y, z ) είναι ίσο με i j k ( h (y, z ) 1 = 1, h h z (y (y, z ), h ) z (y, z )., z ) 1 31

32 Άρα η εξίσωση του εφαπτόμενου επιπέδου στο ίδιο σημείο είναι η ( 1 (x h(y, z )) + h ) ( (y, z ) (y y ) + h ) z (y, z ) (z z ) =. (b) Ομοίως. 59. Έστω Φ(u, v) = (u v, u + v, u) και D ο μοναδιαίος δίσκος στο uv-επίπεδο. Βρείτε το εμβαδό της Φ(D). Λύση: Το (u, v) διατρέχει τον δίσκο D που καθορίζεται από την u 2 + v 2 1. Το βασικό εξωτερικό γινόμενο είναι ίσο με i j k = ( 1, 1, 2). 1 1 Άρα το εμβαδό είναι ίσο με 6 D dudv = π Βρείτε το εμβαδό της επιφάνειας που ορίζεται από τις x + y + z = 1, x 2 + 2y 2 1. Λύση: Το z εκφράζεται συναρτήσει των x, y ως z = f(x, y) = 1 x y και το (x, y) διατρέχει το ελλειπτικό χωρίο D που καθορίζεται από την x 2 + 2y 2 1. Το βασικό εξωτερικό γινόμενο είναι ίσο με i j k 1 = (1, 1, 1). 1 1 Άρα το εμβαδό είναι ίσο με 3 D 3 dxdy = π Αν Q(x, y) = y y 1 και P (x, y) = x 2 +y 2 (x 3) 2 +(y 1) 2 τις πιθανές τιμές του επικαμπυλίου ολοκληρώματος Q dx + P dy, x x 2 +y 2 + (x 3) (x 3) 2 +(y 1) 2, βρείτε όλες όπου είναι καμπύλη Jordan της οποίας η τροχιά περιέχεται στο R 2 \ {(, ), (3, 1)}. Λύση: Έστω ότι η έχει την θετική φορά της. Θεωρούμε τις και τις Q 1 (x, y) = y x 2 + y 2, P 1(x, y) = y 1 Q 2 (x, y) = (x 3) 2 + (y 1) 2, P 2(x, y) = Τότε, προφανώς, Q = Q 1 + Q 2 και P = P 1 + P x x 2 + y 2 (x 3) (x 3) 2 + (y 1) 2.

33 Γνωρίζουμε ότι Q 1 = P 1 x στο σύνολο R 2 \ {(, )} και, ομοίως, αποδεικνύεται ότι στο σύνολο R 2 \ {(3, 1)}. Q 2 = P 2 x Έχουμε αποδείξει ότι, αν η περιέχει το (, ) στο εσωτερικό της, τότε Q 1 dx + P 1 dy = 2π και, αν δεν περιέχει το (, ) στο εσωτερικό της, τότε Q 1 dx + P 1 dy =. Ομοίως αποδεικνύεται ότι, αν η περιέχει το (3, 1) στο εσωτερικό της, τότε Q 2 dx + P 2 dy = 2π και, αν δεν περιέχει το (3, 1) στο εσωτερικό της, τότε Q 2 dx + P 2 dy =. Άρα, αν η περιέχει και τα δυο σημεία στο εσωτερικό της, τότε Q dx + P dy = Q 1 dx + P 1 dy + Q 2 dx + P 2 dy = 2π + 2π = 4π, αν περιέχει ένα μόνο από τα δυο σημεία στο εσωτερικό της, τότε Q dx + P dy = Q 1 dx + P 1 dy + Q 2 dx + P 2 dy = 2π και αν δεν περιέχει κανένα από τα δυο σημεία στο εσωτερικό της, τότε Q dx + P dy = Q 1 dx + P 1 dy + Q 2 dx + P 2 dy =. Άρα οι πιθανές τιμές του ολοκληρώματος είναι οι, 2π, 4π και οι αντίθετές τους (όταν η αλλάξει φορά). 62. Έστω μια επίπεδη επιφάνεια στον R 3 έτσι ώστε το επίπεδο που την περιέχει να μην είναι παράλληλο με κανέναν από τους τρεις άξονες συντεταγμένων. Έστω z, x και y οι κάθετες προβολές της στο xy-επίπεδο, στο yz-επίπεδο και στο xz-επίπεδο αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι εμβ() = (εμβ( z )) 2 + (εμβ( x )) 2 + (εμβ( y )) 2. Λύση: Έστω ax + by + cz = d η εξίσωση του επιπέδου. Επειδή δεν είναι παράλληλο με κανέναν από τους άξονες συντεταγμένων, είναι a, b και c. Γνωρίζουμε ότι a εμβ() = 2 + b 2 + c 2 εμβ( z ). c Θεωρώντας και τις άλλες δυο παρόμοιες ισότητες, υψώνοντάς τες στο τετράγωνο και αθροίζοντας, βρίσκουμε τον ζητούμενο τύπο. 33

cos t dt = 0. t cos t 2 dt = 1 8 f(x, y, z) = (2xyz, x 2 z, x 2 y) (2xyz) = (x2 z) (x 2 z) = (x2 y) 1 u du =

cos t dt = 0. t cos t 2 dt = 1 8 f(x, y, z) = (2xyz, x 2 z, x 2 y) (2xyz) = (x2 z) (x 2 z) = (x2 y) 1 u du = ΛΥΣΕΙΣ. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - Tromba. 1. 7.1.()(b) σ (t) (cos t sin t 1) οπότε σ (t) και σ f(x y z) ds π (c) σ (t) i + tj οπότε σ (t) 1 + 4t και σ f(x y z) ds 1 t cos 1 + 4t dt 1 8 cos

Διαβάστε περισσότερα

< h < +. σ (t) = (sin t + t cos t, cos t t sin t, 3), σ (t) = (2 cos t t sin t, 2 sin t t cos t, 0) r (t) = e t j + e t k. σ (t) = 1 2 t 1 2 k

< h < +. σ (t) = (sin t + t cos t, cos t t sin t, 3), σ (t) = (2 cos t t sin t, 2 sin t t cos t, 0) r (t) = e t j + e t k. σ (t) = 1 2 t 1 2 k ΛΥΣΕΙΣ 1. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - Tromba. 1. 3.1(3)(a) Είναι r (t) = sin ti + 2 cos(2t)j, r (t) = cos ti 4 sin(2t)j για κάθε t, r (0) = 2j, r (0) = i. Η εξίσωση της εφαπτομένης στο r(0)

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y

ΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y ΛΥΣΕΙΣ 6. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - romba. 7.5. Θεωρούμε την παραμετρικοποίηση rx, y = x, y, a 2 x 2 y 2, όπου το x, y διατρέχει τον δίσκο στο xy-επίπεδο που ορίζεται από την x 2 +y 2 a 2.

Διαβάστε περισσότερα

σ (t) = (sin t + t cos t) 2 + (cos t t sin t) = t )) 5 = log 1 + r (t) = 2 + e 2t + e 2t = e t + e t

σ (t) = (sin t + t cos t) 2 + (cos t t sin t) = t )) 5 = log 1 + r (t) = 2 + e 2t + e 2t = e t + e t ΛΥΣΕΙΣ. Οι ακήεις από το βιβλίο των Mrsden - Tromb.. 3.)e) Είναι t) sin t + t os t, os t t sin t, 3) οπότε t) sin t + t os t) + os t t sin t) + 3 t + 4 και το μήκος είναι ίο με t t) dt t + 4 dt t + 4 +

Διαβάστε περισσότερα

< F ( σ(h(t))), σ (h(t)) > h (t)dt.

< F ( σ(h(t))), σ (h(t)) > h (t)dt. ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ IV, /6/9 Θέμα 1. Εστω : a 1, β 1 ] R μια C 1 καμπύλη. Μια C 1 καμπύλη ρ : a, β] R λέγεται αναπαραμετρικοποίηση της αν υπάρχει h : a, β] a 1, β 1 ], 1 1 επί και

Διαβάστε περισσότερα

b proj a b είναι κάθετο στο

b proj a b είναι κάθετο στο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα I = x ds, όπου c το δεξιό ημικύκλιο x + = 6 α) κινούνοι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 5/9/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να δειχθεί ότι το πεδίο F( x, y) = y cos x + y,sin x

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Προσανατολισμένο Ευθύγραμμο Τμήμα (π.ε.τ.) είναι το ευθύγραμμο τμήμα PQ στο οποίο ορίζουμε το άκρο Ρ αυτού να είναι η αρχή του π.ε.τ. και το άκρο Q αυτού να είναι το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γράφημα μιας πραγματικής συνάρτησης : ή ( )/ σύνολο: f Οι θέσεις του κινητού σημείου G ( x, y)/ y f( x), xa. f A y f x A είναι το M x, y, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Διανυσματικής Ανάλυσης

Ασκήσεις Διανυσματικής Ανάλυσης Ασκήσεις Διανυσματικής Ανάλυσης ) Το ύψος h σε χιλιόμετρα ενός βουνού δίνεται από την σχέση h 4 == 4. α) Ένας πεζοπόρος βρίσκεται στο σημείο (,,) και κινείται προς την διεύθυνση της μεγίστης κατάβασης.

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ολοκληρώματα. τεχνικές. 108 ασκήσεις. εκδόσεις.

Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ολοκληρώματα. τεχνικές. 108 ασκήσεις. εκδόσεις. Ολοκληρώματα Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Ολοκληρώματα τεχνικές 08 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglkos.gr / / 0 7 εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας : 0-60.78

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος (Λύσεις) Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος (Λύσεις) Ι. Λυχναρόπουλος 3/4/6 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος (Λύσεις) Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες.5) Έστω το ολοκλήρωμα: I da {(, ) :, } 3 ( + 3 ) Να εκφράσετε το ολοκλήρωμα σε νέες συντεταγμένες, οι οποίες ορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης.

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο 2016-17. Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. 1. Για καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις ελέγξτε βάσει του ορισμού της παραγωγισιμότητας αν είναι παραγωγίσιμη στο αντίστοιχο

Διαβάστε περισσότερα

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y f(x), όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 2ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 2ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Ποιες από τις επόμενες καμπύλες παριστάνουν ευθείες γραμμές; r ( ) 8,, ˆ ˆ r ˆ () i 7 j+ k r ( )

Διαβάστε περισσότερα

(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ

(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ (ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ) 6 Νοεμβρίου 07 Αναλυτικές συναρτήσεις Άσκηση (i) Δείξτε ότι η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική σε χωρίο D του μιγαδικού επιπέδου εάν και μόνο εάν η if(z) είναι αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Ακτίνα καμπυλότητας - Ανάλυση επιτάχυνσης σε εφαπτομενική και κεντρομόλο συνιστώσα

Ακτίνα καμπυλότητας - Ανάλυση επιτάχυνσης σε εφαπτομενική και κεντρομόλο συνιστώσα Ακτίνα καμπυλότητας - Ανάλυση επιτάχυνσης σε εφαπτομενική και κεντρομόλο συνιστώσα Εξ ορισμού, ένας κύκλος έχει συγκεκριμένη και σταθερή καμπυλότητα σε όλα τα σημεία του ίση με 1/R όπου R η ακτίνα του.

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών

Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών Πρόχειρες σημειώσεις Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Τα στοιχεία του R n είναι όλα τα n-διάστατα διανύσματα ή, ισοδύναμα,

Διαβάστε περισσότερα

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1. 1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος a) Να βρεθεί η ευθεία που διέρχεται από το σημείο P (5,,3) και είναι παράλληλη προς το διάνυσμα iˆ+ 4ˆj kˆ

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

γ /ω=0.2 γ /ω=1 γ /ω= (ω /g) v. (ω 2 /g)(x-l 0 ) ωt. 2m.

γ /ω=0.2 γ /ω=1 γ /ω= (ω /g) v. (ω 2 /g)(x-l 0 ) ωt. 2m. Μηχανική Ι Εργασία #7 Χειμερινό εξάμηνο 015-016 Ν. Βλαχάκης 1. Σώμα μάζας m και φορτίου q κινείται σε κατακόρυφο άξονα x, δεμένο σε ελατήριο σταθεράς k = mω του οποίου το άλλο άκρο είναι σταθερό. Το σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

2. Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f(x, y, z) έχει f(x 0, y 0, z 0 ) (0, 0, 0) και μηδενικό στιγμιαίο

2. Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f(x, y, z) έχει f(x 0, y 0, z 0 ) (0, 0, 0) και μηδενικό στιγμιαίο 1. Έστω E το εφαπτόμενο επίπεδο στο γράφημα της f(x, y) = x 2 + 3xy στο σημείο (1, 1, 4). Σε ποιά σημεία της η επιφάνεια με καρτεσιανή εξίσωση 5x 2 + 3y 2 + z 2 = 9 έχει μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός.

1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός. 1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός. ( Καρτεσιανή ) επιλέχθηκε για το σχήµα. Ο αριθµός a δεν επιρρεάζει

Διαβάστε περισσότερα

Τα θεωρήματα Green, Stokes και Gauss

Τα θεωρήματα Green, Stokes και Gauss Τα θεωρήματα των Green, Stokes και Guss Αντώνης Τσολομύτης Σάμος, 2012 curl F div S F Επειδή αναϕέρθηκε στο μάθημα... Ενεργητική ϕωνή Ενεστώτας παράγω παρέχω Ενεστώτας-υποτακτική να παράγω να παρέχω Ενεστώτας-προστακτική

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε τις βασικές έννοιες και ορισμούς των Διαφορικών Εξισώσεων. Στο εδάφιο 1.1 παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες και ορισμοί των διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

8. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. Φυσική ΙΙ Δ. Κουζούδης. Πρόβλημα 8.6.

8. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. Φυσική ΙΙ Δ. Κουζούδης. Πρόβλημα 8.6. 1 8. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Πρόβλημα 8.6. Το σύρμα του παρακάτω σχήματος έχει άπειρο μήκος και διαρρέεται από ρεύμα I. Υπολογίστε με τη βοήθεια του νόμου του Biot-Savart με ολοκλήρωση το μέτρο και την κατεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 4 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε µε σαφήνεια και συντοµία. Η ορθή πλήρης απάντηση θέµατος εκτιµάται περισσότερο από τη

Διαβάστε περισσότερα

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y)

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εστω f : R R η συνάρτηση με τύπο y + x sin 1, για y 0, f(x, y) = y 0, για y = 0. (α) Να αποδειχθεί οτι lim f(x, y) = 0. (x,y) (0,0) (β) Να αποδειχθεί οτι το lim(lim f(x, y)) δεν

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου

Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου 1. Μία ράβδος ΟΑ έχει μήκος l και περιστρέφεται γύρω από τον κατακόρυφο άξονα Οz, που είναι κάθετος στο άκρο της Ο με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί r η επαγώμενη ΗΕΔ στη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Μιχάλης Παπαδημητράκης Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Περιεχόμενα 1 Γενικά. 1 1.1 Μερικές διαφορικές εξισώσεις............................ 1 1.2 Διαφορικοί τελεστές................................. 2 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Έστω r rx, y, z, I a, b συνάρτηση C τάξης και r r r x y z Nα αποδείξετε ότι: d dr r (α) r r, I r r r d dr d r (β) r r, I dr (γ) Αν r 0, για κάθε I κάθε I d (δ)

Διαβάστε περισσότερα

lim Δt Δt 0 da da da dt dt dt dt Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει Εξετάζουμε την παράσταση

lim Δt Δt 0 da da da dt dt dt dt Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει Εξετάζουμε την παράσταση Έστω διάνυσμα a( t a ( t i a ( t j a ( t k Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει a( t Δt a ( t Δt i a ( t Δt j a ( t Δt k Εξετάζουμε την παράσταση z z a( t Δt - a( t Δa a ( t Δt - a ( t lim

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (/7/ 203) ΘΕΜΑ. (α) Δίνεται η συνάρτηση f : R 2 R με f(x, y) = xy x + y, αν (x, y) (0, 0) και f(0, 0) = 0. Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο (0, 0). (β) Εξετάστε αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή στην Κινητική

1. Εισαγωγή στην Κινητική 1. Εισαγωγή στην Κινητική Σύνοψη Στο κεφάλαιο γίνεται εισαγωγή στις βασικές αρχές της Κινητικής θεωρίας. Αρχικά εισάγονται οι έννοιες των διανυσματικών και βαθμωτών μεγεθών στη Φυσική. Έπειτα εισάγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισμός. Αν τα και είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων και αντίστοιχα η συνάρτηση που ορίζεται από τη σχέση όπου (συνιστώσες) είναι

Διαβάστε περισσότερα

= 1. z n 1 = z z n = 1. f(z) = x 0. (0, 0) = lim

= 1. z n 1 = z z n = 1. f(z) = x 0. (0, 0) = lim ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 1η Σειρά Ασκήσεων στη Μιγαδική Ανάλυση 1. Να λυθεί η εξίσωση: 4 1 + 3i. Λύση. Επειδή 1 + 3i e πi/3, οι λύσεις της εξίσωσης 4 1 + 3i

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

10. Παραγώγιση διανυσµάτων

10. Παραγώγιση διανυσµάτων Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 51 10 Παραγώγιση διανυσµάτων 101 Παράγωγος διανυσµατικής συνάρτησης Αν οι συνιστώσες ενός διανύσµατος = είναι συνεχείς συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων και συμμετρίες. 1α. Στροφές στο επίπεδο. Θεωρείστε δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο, στραμμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ. 1. ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Εισαγωγή.

ΚΕΦ. 1. ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Εισαγωγή. 1 ΚΕΦ. 1. ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1.1. Εισαγωγή. Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών. Σε

Διαβάστε περισσότερα

( () () ()) () () ()

( () () ()) () () () ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /011 1 Έστω r = r( t = ( x( t ( t z( t t I = [ a b] συνάρτηση C τάξης και r = r( t = r ( t = x ( t + ( t z ( t είναι μία διανυσματική + Nα αποδείξετε ότι: d 1 1

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής Μαθηματικός Λογισμός Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παναγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 25 Μαΐου 211 2 Περιεχόμενα 1 Ο χώρος R n 1 1.1 Ο Ευκλείδιος n-χώρος..................................

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Δυο κάθετοι μεταξύ τους προσανατολισμένοι και βαθμονομημένοι άξονες A Α Έστω σημείο Α στο επίπεδο Η θέση του προσδιορίζεται από τις προβολές στους άξονες A, A 0 A Η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 2015-16. Λύσεις του έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Λύστε την παρακάτω δ.ε. με τη δοσμένη αρχική συνθήκη. Σχεδιάστε τις χαρακτηριστικές καθώς και το γράφημα της λύσης

Διαβάστε περισσότερα

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Βιβλιογραφία C Kittel, W D Knight, A Rudeman, A C Helmholz και B J oye, Μηχανική (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 1998) Κεφ, 3 R Spiegel, Θεωρητική

Διαβάστε περισσότερα

EPIKAMPULIA KAI EPIFANEIAKA OLOKLHRWMATA

EPIKAMPULIA KAI EPIFANEIAKA OLOKLHRWMATA Kefˆlaio 9 EPIKAMPULIA KAI EPIFANEIAKA OLOKLHRWMATA Σημειώσεις Γ. Γεωργίου, ΜΑΣ 1. 9.1 EpikampÔlia oloklhr mata Ορισμός Εστω f : R R βαθμωτό πεδίο συνεχές στη 1 καμπύλη σ : [a, b] R. ολοκλήρωμα α είδους

Διαβάστε περισσότερα

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q)

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q) Κεφάλαιο 2 Κανονικές επιφάνειες Σύνοψη Προκειμένου να ορίσουμε την έννοια της επιφάνειας στον R 3, έχουμε δύο δυνατές προσεγγίσεις. Με την πρώτη μπορούμε να ορίσουμε μια επιφάνεια ως ένα υποσύνολο του

Διαβάστε περισσότερα

α) f(x(t), y(t)) = 0,

α) f(x(t), y(t)) = 0, Ρητές καμπύλες Μια επίπεδη αλγεβρική καμπύλη V (f) είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου K 2 που μηδενίζουν κάποιο συγκεκριμένο ανάγωγο πολυώνυμο f K[x, y], δηλαδή V (f) = {(x 0, y 0 ) K 2 f(x

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 4ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 4ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Προσεγγίστε τo ολοκλήρωμα ( + ) I d d με αθροίσματα iemann χωρίζοντας το πεδίο ολοκλήρωσης σε ίσα ορθογώνια.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 6 Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Υπάρχουν διαφόρων ειδών ολοκληρώµατα διανυσµάτων, ανάλογα µε τη µορφή που έχει η ολοκληρωτέα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 0/04/018 ΕΩΣ 14/04/018 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη 1 Απριλίου 018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη ε του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο ευθύγραμμα με την

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2)

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2) 8 Κανόνας της αλυσίδας Από τον Απειροστικό Λογισμό για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι: Αν g : I R R και f : J R R είναι συναρτήσεις ( όπου I, J ανοικτά διαστήματα ώστε, g( τότε η : I g I J

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διπλά Ολοκληρώματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Ορθογώνια Χωρία Ορισμός n f( x, y) da lim f( x, y ) = Α Α 0 k

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος /8/5 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες.5) Υπολογίστε το διπλό ολοκλήρωμα / I y dyd συντεταγμένες. Επίσης σχεδιάστε το χωρίο ολοκλήρωσης. Λύση: Το

Διαβάστε περισσότερα

β) Από τον νόμο του Νεύτωνα για την μεταφορική κίνηση του κέντρου μάζας έχουμε: Επομένως το κέντρο μάζας αποκτάει αρνητική επιτάχυνση σταθερού μέτρου

β) Από τον νόμο του Νεύτωνα για την μεταφορική κίνηση του κέντρου μάζας έχουμε: Επομένως το κέντρο μάζας αποκτάει αρνητική επιτάχυνση σταθερού μέτρου ΣΥΝΘΕΤΗ ΚΙΝΗΣΗ 1) Συμπαγής κύλινδρος μάζας m και ακτίνας R δέχεται μια αρχική μεγάλη και στιγμιαία ώθηση προς τα πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας θ και μετά αφήνεται ελεύθερος. Κατά την παύση της ώθησης,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΔΩΔΕΚΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα I. Λέμε ότι η F είναι αντιπαράγωγος της f στο I αν ισχύει F = f στο I. ΠΡΟΤΑΣΗ. Αν η F είναι αντιπαράγωγος της f στο

Διαβάστε περισσότερα

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς 1. Εξισώσεις Euler -Lagrange x 0 φ θ z F l 0 y r m B Το ελαστικό κωνικό εκκρεμές αποτελείται από ένα ελατήριο με σταθερά επαναφοράς k, το οποίο αναρτάται από ένα σταθερό σημείο,

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Μηχανική Εικόνα: Στην εκτέλεση πέναλτι, ο ποδοσφαιριστής κτυπά ακίνητη μπάλα, με σκοπό να της δώσει ταχύτητα και κατεύθυνση ώστε να σκοράρει. Υπό προϋποθέσεις, η εκτέλεση μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 1, Στρόβολος 3, Λευκωσία Τηλ. 357-37811 Φαξ: 357-3791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ημερομηνία: Δευτέρα,

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ 1 .1 ΤΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ Ας θεωρούμε το μαγνητικό πεδίο ενός κινούμενου σημειακού φορτίου q. Ονομάζουμε τη θέση του φορτίου σημείο πηγής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 1

Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Αναλυτική Γεωμετρία Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 4 Αναλυτική Γεωμετρία 4.1 Εξίσωση Καμπύλης Έστω C μια καμπύλη στο R. H C αποτελείται από άπειρα σημεία Μ(x,y). Έξίσωση μιας

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/011 ΚΕΦ. 9 1 ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Περιστροφική κινηματική: περιγράφει την περιστροφική κίνηση. Στερεό Σώμα: Ιδανικό μοντέλο σώματος που έχει τελείως ορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 0 Κεφάλαιο Περιέχει: Αναλυτική Θεωρία Ερωτήσεις Θεωρίας Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Ερωτήσεις Σωστού - λάθους Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ 4- ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations)

ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 1 Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) Λογισμός μεταβολών - εισαγωγικά ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 q Εύρεση του ελάχιστου ή μέγιστου μιας ποσότητας που εκφράζεται με τη μορφή ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΙΔΗΣ Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Τι ονομάζουμε κίνηση; Τι ονομάζουμε τροχιά; Ποια είδη τροχιών γνωρίζετε; Κίνηση ενός αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα