11 NAPREZANJA OD POPREČNE SILE

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "11 NAPREZANJA OD POPREČNE SILE"

Transcript

1 11 NAPREZANJA OD POPREČNE SILE 11.1 Uvod U poglavlju o ponašanju PB nosača pod rastućim opterećenjem razmotrili smo i djelovanje poprečne sile. Prisjetimo se da smo utvrdili kako pod djelovanjem poprečne sile nastaje ravninsko stanje naprezanja, za razliku od savijanja koje je jednoosno. Na slici 11.1 predočene su silnice glavnih naprezanja pravokutne AB grede prije raspucavanja. vlačne silnice tlačne silnice Slika 11.1: Silnice glavnih naprezanja pravokutne AB grede prije raspucavanja 1

2 11.1 Uvod Kako je vlačna čvrstoća betona općenito znatno manja od tlačne (oko 10 puta), u betonu se javljaju pukotine u smjeru okomitu na smjer glavnih vlačnih naprezanja već pri razmjerno niskoj razini opterećenja (slika 11.2). vlačne silnice tlačne silnice Slika 11.2: Silnice glavnih vlačnih naprezanja u stanju raspucalosti ispod neutralne osi sve do armature Na ovoj slici valja uočiti kako tzv. posmična naprezanja, τ, ostaju nepromijenjena po veličini ispod razine neutralne osi sve do razine armature. 2

3 11.1 Uvod Još je nešto važno uočiti: ne postoji odsječak nosača konačne duljine, na kojem bi se očitovalo djelovanje čiste poprečne sile: poprečna je sila uvijek u sprezi s momentom savijanja. Čista poprečna sila može djelovati samo u točki, npr. u ništištu ( nul-točki ) momenata savijanja (slika 11.3). tijek tijek Slika 11.3: Učinak poprečne sile na uzdužnu armaturu Na slici su predočene i granice (isprekidanim crtama) do kojih sežu vlačne sile od pripadnih momenata savijanja (to su tzv. dijagrami pokrivanja momenata savijanja). Taj pomak granica vlačnih sila posljedak je djelovanja poprečnih sila. 3

4 11.1 Uvod Zbog raspucavanja AB bi se greda bez poprečne armature (stremenova) pod jednoliko rasprostrtim opterećenjem zapravo ponašala poput plitkoga luka sa zategom (slika 11.4). Slika 11.4: Tlačni članci u betonu i glavna uzdužna armatura kao luk sa zategom Ovdje se valja osvrnuti na jedan strukovni izraz: stremen. Ovaj komad poprečne armature, što prenosi poprečnu silu (te vlačnu silu od momenta torzije) ovako se naziva u gotovo svim jezicima: engl. stirrup; franc. étrier; njem. Bügel; mađ. kengyel; rus. xomyτ; polj. strzemię itd. Zato ga i mi trebamo tako zvati, a ne spona ili (još gore) vilica. 4

5 11.1 Uvod Djelovanje sile prednapinjanja unosi dvojaku promjenu u ponašanje AB nosača: unošenjem uzdužne sile i unošenjem dodatne poprečne sile. Kao što smo vidjeli u poglavlju o djelovanje sile prednapinjanja na AB nosač, djelovanje natege očituje se na dvama istaknutim mjestima: na mjestu uvođenja sile (sidrenja natege) i na mjestu skretanja osi natege. Na sljedećim ćemo trima slikama prikazati tijek poprečnih sila u trima tipičnim slučajevima. Slika 11.5 predočuje slučaj kada os natege skreće u jednoj točki (protudjelovanje jakoj pojedinačnoj sili). Slika 11.5: Tijek poprečne sile od natege s jedostrukim skretanjem 5

6 11.1 Uvod Na slici pak 11.6 prikazano je stanje kada os natege skreće u dvjema točkama simetrično položenima u odnosu na polovište raspona (protudjelovanje dvjema jakim pojedinačnim silama). Kao i u predhodnomu slučaju, te jake pojedinačne sile nadomještaju djelovanje kakve poprečne grede i sl. Na kraju, slika 11.7 predočuje slučaj jednoliko zakrivljene (parabolaste) osi natege (protudjelovanje jednoliko rasprostrtom opterećenju). Slika 11.6: Tijek popr. sila dvostruko skretanje Slika 11.7: Tijek poprečnih sila od jednoliko zakrivljene zatege 6

7 11.1 Uvod Dakle PB nosač izvrgnut je djelovanju poprečnih sila od vanjskog opterećenja i onih od skretanja osi natege. Postupak proračuna na djelovanja ovih sila potpuno je jednak kao u slučaju AB nosača. Jedina je razlika u tomu što je u PB nosača dulje područje A, tj. dio nosača u kojem nema pukotina ni pri dosegnuću granične nosivosti (slika 11.8). Slika 11.8: Pukotine na PB nosaču neposredno prije dosezanja granične nosivosti 7

8 11.1 Uvod Za djelovanje poprečne sile treba promatrati najmanje tri granična stanja kroz koja nosač prolazi: stanje kada se napinju natege; uporabno stanje i granično stanje nosivosti. U prvomu slučaju djeluju od opterećenjā samo vlastita težina nosača i sila prednapinjanja. Dakle ovo je najniža razina vanjskog opterećenja i najviši iznos sile prednapinjanja (nema vremenskih gubitaka). U drugom je pak slučaju obrnuto: djeluje najviša razina vanjskog opterećenja i najniži iznos sile prednapinjanja (pun iznos vremenskih gubitaka). Granično stanje nosivosti provjerava se na način analogan onomu za slučaj savijanja. 8

9 11.1 Uvod U prvom i drugom stanju mogu nastupiti dva različita slučaja: nosač biva raspucao već pri nižim razinama sila kojima je podvrgnut; nosač biva raspucao tek pri višim razinama sila kojima je podvrgnut. U obama slučajevima vrijede izrazi iz Otpornosti gradiva: računamo glavna vlačna i glavna tlačna naprezanja i uspoređujemo ih s dopustivima. U pravilu nije potrebna poprečna armatura dostatna je ona najnužnija (konstrukcijska). Ako iznimno glavna vlačna naprezanja premaše dopustiva, postupa se kao u AB sklopova. Za treće stanje vrijedi isti postupak kao i u AB sklopova, s tim što sila prednapinjanja povećava udio betona u povećanju nosivosti na poprečnu silu. 9

10 11.2 Stanje neraspucalosti To je ono stanje pri kojemu glavna vlačna naprezanja ne premašuju dopustiva, pa se, susljedno, ne mogu ni pojaviti pukotine. Sada ćemo razmotriti kako se oblikom osi natege može utjecati na to kolika će ukupna poprečna sila djelovati na nosač. Ukupna poprečna sila sastoji se od udjela djelujućeg opterećenja i udjela skretnih sila izazvanih silom prednapinjanja. Na slici 11.9 predočeni su tijekovi poprečnih sila duž polovice nosača od ovih pojedinačnih udjela i pripadne ukupne poprečne sile za dva spomenuta stanja: stanje pri napinjanju natega i uporabno stanje. Uzet je slučaj jednoliko zakrivljene natege. 10

11 11.2 Stanje neraspucalosti Slika 11.9: Ukupna poprečna sila u stanju napinjanja (gore) i u uporabnom stanju (dolje) 11

12 11.2 Stanje neraspucalosti Sa slike je očito kako treba nastojati da ukupna poprečna sila u dvama stanjima bude približno podjednaka: V R1 V R2 (11.1) Do prije 20-ak godina uzimalo se je kako i očvrsli uštrcni mort sudjeluje u prenošenju poprečne sile. Naime, bjelodano je jasno kako se u stanju napinjanja natega oslabljuje hrbat (slika 11.10). Slika 11.10: Djelotvorna širina hrpta Upravo je radi prenošenja poprečne sile nastala potreba da širina hrpta bude najmanje jednaka dvostrukomu promjeru zaštitne cijevi natege. Dakle u stanju je napinjanja djelotvorna širina hrpta neupitno: b w = b w Ø c (11.2) 12

13 11.2 Stanje neraspucalosti Kako je već rečeno, za uporabno je stanje do prije 20-ak godina vrijedilo: b w = b w 0,5Ø c (11.3) Međutim, i iskustvo i pokusi nedvosmisleno pokazuju kako se ne može računati na udio očvrsloga uštrcnog morta, pa dakle vrijedi izraz (11.2). A sada ćemo pokazati kako su tzv. posmična naprezanja, τ xy, samo jedna pomoćna računska veličina s pomoću koje se izračunavaju glavna posmična naprezanja τ okomita naprezanja σ Σσ Στ Slika 11.11: Naprezanja i rezne sile u kosom presjeku prizme N naprezanja, a ne nešto što stvarno djeluje u AB (ili PB) sklopu. Na slici predočena je betonska prizma podvrgnuta djelovanju osne sile. 13

14 11.2 Stanje neraspucalosti Ako zamislimo da smo prizmu presjekli ravninom pod kutom 45 prema osi prizme, očito je da i gornji i donji dio prizme moraju biti u ravnoteži. Promatrat ćemo gornji dio (srednji dio slike 11.11). Duž presječnice djeluju okomita (normalna) i posmična (tangencijalna) naprezanja. Na desnom su dijelu slike predočene rezultante tih naprezanja. Iz uvjeta ravnoteže slijedi da su one jednake po veličini, iz čega proizlazi kako i pripadna naprezanja moraju biti jednaka. Okomita naprezanja od, primjerice, 10 N/mm 2 nisu ništa neobično u betonskim sklopovima. Međutim, posmično naprezanje te veličine nijedan beton ne bi mogao podnijeti. 14

15 11.2 Stanje neraspucalosti Iz ovoga je razmatranja očito, kako je već rečeno, da su posmična naprezanja samo pomoćna veličina što služi za izračunavanje glavnih naprezanja, te da je nužno izračunati glavna naprezanja. Za neraspucale nosače ona se računaju po pravilima znanosti o otpornosti gradiva: σ 2 σx σx 2 1,2 = ± + τxy, ( ) U daljim ćemo izrazima izostaviti indekse uz oznaku posmičnog naprezanja, pa ćemo pisati samo τ. Osno (normalno) naprezanje računa se iz izraza: Ako drugi član u ovom izrazu pomnožimo i podijelimo s ploštinom presjeka, dobit ćemo: P P e y Mq y σ x = A I I ( 11.5) 15

16 11.2 Stanje neraspucalosti P e y Mq y σ x = ( 11.6) A i I S druge strane, posmično se naprezanje računa iz poznatog izraza iz Otpornosti gradiva (slika 11.12): V S τ = I b ( 11.7) U ovom su izrazu: V poprečna sila u promatranomu presjeku; S statički moment dijela ploštine presjeka iznad razine za koju računamo posmično naprezanje: S = A s y s (11.8) I moment tromosti presjeka; b djelotvorna debljina hrpta. Slika 11.12: Računanje posmičnoga naprezanja u presjeku razvedena oblika 16

17 11.2 Stanje neraspucalosti Iz Otpornosti je gradiva također poznato kako se ravninsko stanje naprezanja može predočiti u obliku Mohrove kružnice (slika 11.13). 2α Slika 11.13: Mohrova kružnica za ravninsko stanje naprezanja Ako u koordinatnom sustavu σ x, τ nanesemo izračunana naprezanja, σ x i τ,mogu se na osnovi geometrijskih odnosa predočenih na slici izračunati glavna naprezanja, σ 1 i σ 2, te kut α pod kojim tlačno naprezanje, σ 1, djeluje u odnosu na uzdužnu os. Naime, iz slike se vidi kako je polumjer kružnice: σ x 2 R = + τ 2 2 ( 11.9) 17

18 11.2 Stanje neraspucalosti S druge strane vidimo kako je središte kružnice na apscisi σ x /2. Iz ovih se odnosa lako dobiju veličine glavnih naprezanja: σ σ 2 σx σx 2 1 = + + τ ( ) 2 σx σx 2 2 = + τ ( ) Iz Mohrove se kružnice jasno vidi kako se ne mogu izbjeći glavna vlačna naprezanja, σ 2. Naime, kako god neznatno bilo posmično naprezanje, vrijednost korijena uvijek je veća od vrijednosti pred njim (σ x /2)u jedn. (11.11), pa su dakle vlačna naprezanja neizbježiva. Zbog toga je uvijek nužno predvidjeti stanovitu najmanju količinu poprečne armature (tzv. minimalnu armaturu). 18

19 11.2 Stanje neraspucalosti Za glavno vlačno naprezanje, σ 2, postoje dvije granične vrijednosti: donja i gornja. Ako donja nije premašena, nije potrebno proračunavati poprečnu armaturu. Ako je pak gornja premašena, nužna je i kosa poprečna armatura. Međutim, iz praktičnih se razloga gotovo nikada ne poseže za ovim drugim rješenjem, nego se radije podebljava hrbat. Iznimkom su visoki sandučasti nosači mostova u kojih ima mjesta i za dva sloja poprečne armature, koja nerijetko zna biti i većega promjera (Ø 20, pa i Ø 25 mm). 19

20 11.2 Stanje neraspucalosti Pogledajmo sada kako izgledaju tijekovi računskih i glavnih naprezanja po presjeku PB nosača (slika 11.14). Slika 11.14: Glavna naprezanja u presjeku PB nosača Predočeni tijekovi naprezanja odnose se na presjek prikazan pojednostavnjeno na slici Poprečni se presjek sastoji od triju dijelova nepromjenjive širine i dvaju poteza s postupno promjenjivom širinom. To se odražava na tijek posmičnih naprezanja. Slika 11.15: Presjek za koji su izračunana glavna naprezanja 20

21 11.2 Stanje neraspucalosti Naime, pogledamo li izraz za posmično naprezanje (11.7), vidimo da je u njemu samo statički moment promjenjiv, te da se mijenja po zakonu parabole. Stoga je i tijek posmičnih naprezanja takva oblika. Na potezima postupne promjene širine presjeka taj tijek slijedi parabolu trećega reda, ali je ona toliko ispružena da se može pojednostavnjeno uzeti pravčasta raspodjelba. S druge strane, uzdužna naprezanja pravčaste (linearne) su raspodjelbe po presjeku i razmjerno malo odstupaju od težišnog naprezanja. Na rubovima presjeka (gornjem i donjemu) posmično naprezanje uvijek iščezava, pa iz izrazā (11.10) i (11.11) slijedi da je na tim rubovima: σ 1 = σ x (11.12) i σ 2 = 0 (11.13) 21

22 11.2 Stanje neraspucalosti Između rubova glavna su naprezanja raspodijeljena po krivuljama što u dobroj mjeri slijede krivulju raspodjelbe posmičnih naprezanja (slika 11.14). U slučaju poprečnoga prednapinjanja izrazi se posložnjavaju utoliko što ulazi u igru i σ y : σ σ + σ σ σ = ± + τ 2 2 ( ) x y x y 2 1,2 xy To ima odraza i na raspodjelbu glavnih naprezanja, pa tako na rubu σ 2 biva jednako σ y. 2 22

23 11.3 Stanje raspucalosti Ako se premaši donja dopustiva granica glavnoga vlačnog naprezanja, treba predvidjeti poprečnu armaturu. U tu svrhu valja prvo odrediti kut glavnih naprezanja, α. 2τ tan 2 α = σ ( ) Prisjetimo se kako je u savijanih AB nosača najveće posmično naprezanje u razini težišta presjeka, a kako je u toj razini σ x = 0, ono je ujedno i glavno naprezanje. Naime, za σ x = 0 tg2α =, pa je 2α = 90 ili α = 45. x Međutim, u PB je nosača uvijek σ x 0, pa je uvijek α < 45. Dobro je što su tlačni članci, a onda i pukotine, položitiji iz dvaju razloga (slika 11.16): pri položitijoj pukotini veći broj stremenova preuzima istu poprečnu silu i mjerodavna je manja poprečna sila. 23

24 11.3 Stanje raspucalosti natega betonski tlačni članak tlačni pojas nenapeta armatura Slika 11.16: Prednosti položitih pukotina Naime, vrh je pukotine jače odmaknut od ležaja, pa se na nj odnosi manja poprečna sila. Valja još naglasiti kako se općenito PB nosači ponašaju pod djelovanjem poprečne sile bliže Mörschovoj analogiji rešetke (slika 11.17) nego AB nosači. To je zato što su u PB nosača u pravilu hrptovi tanji, a upravo se je omjer širina hrpta i gornje pojasnice pokazao mjerodavnim u ocjeni valjanosti Mörschove analogije (slika 11.18). jače otvorena pukotina Slika 11.17: Povećanje pojasne sile u nosača s okomitim stremenovima 24

25 11.3 Stanje raspucalosti uporabno opterećenje Slika 11.18: Naprezanja u stremenovima u zavisnosti od debljine hrpta Slika predočuje glavne nalaze znamenitih Stuttgartskih pokusā do kojih je došlo zbog jedne omaške. Naime, u jednu je AB gredu omaškom ugrađeno svega 40 % potrebne poprečne armature, a ipak nije uočeno ništa neželjeno u njezinu kasnijem ponašanju. Slika jasno pokazuje kako je ponašanje to bliže Mörschovu pravcu što je hrbat tanji. 25

26 11.3 Stanje raspucalosti Kako je već rečeno, PB nosači mogu se s više opravdanja računati na djelovanje poprečne sile po Mörschovoj analogiji rešetke. Prijeđimo na proračun potrebne armature. Ako je σ 2 > σ 2dop, to znači da u smjeru glavnih tlačnih naprezanja treba očekivati pukotine. Kao i inače u AB sklopova, ne računa se s vlačnom čvrstoćom betona, nego ukupnu vlačnu silu treba prenijeti armatura. τ Izdvojimo trostranu prizmu s najduljom pobočkom jedinične duljine iz hrpta nosača (slika 11.19). Na položitiju pobočku djeluju glavna vlačna naprezanja. Slika 11.19: Trostrana prizma isječena iz hrpta nosača 26

27 11.3 Stanje raspucalosti Rezultante glavnih naprezanja u ravnoteži su s rezultantom posmičnih naprezanja po oplošju najdulje pobočke. Rezultanta je glavnih vlačnih naprezanja: T = σ 2 cosα b w (11.16) Ovdje se pojavljuje b w zato što je i σ 2 izračunan uz pretpostavku te širine hrpta. Ova se sila razlaže u trokut sila (slika 11.20): u vlačnu silu u smjeru armature i u tlačnu silu u smjeru betonskih tlačnih članaka. Vlačna je sila u smjeru armature: T sw T = = σ 2 bw ' ( ) Slika 11.20: Trokut sila u raspucalu hrptu cosα Ovo je sila po 1 m duljine nosača; ona nije jednoliko raspodijeljena nego sukladno tijeku poprečne sile. 27

28 11.3 Stanje raspucalosti Ovu silu treba izračunati u najmanje dvama presjecima. Prvi je presjek na početku proširenja hrpta nosača (slika 11.21). Slika 11.21: Presjeci što se provjeravaju Naime, lijevo od ovoga presjeka hrbat se razmjerno naglo širi, pa nema bojazni od premašenja dopustivog naprezanja σ 2dop. Drugi se presjek odabire nasumce. Ploština je presjeka potrebne poprečne armature: A sw = T f sw swy ( 11.18) Obično se odabire razmak šipaka, pa se odredi njihov promjer. 28

29 11.3 Stanje raspucalosti Naravno, može se postupiti i obrnuto. Zgodno je vlačnu silu u poprečnoj armaturi izraziti u [kn], a dopustivo naprezanje u armaturi podijeliti sa 10. Tako se ploština armature dobije u [cm 2 ]: A sw T [ kn ] 2 sw = = cm 2 1 fswy N / mm 10 29

30 11.4 Granično stanje nosivosti Prije nego što prijeđemo na određivanje potrebne ploštine poprečne armature pogledajmo moguće tipove sloma PB nosača pod djelovanjem poprečne sile. Općenito razlikujemo dva glavna tipa sloma: vlačni slom hrpta; tlačni slom hrpta. Prvi nastaje kada je poprečna armatura hrpta preslaba (poddimenzionirana), pa kose pukotine zadiru duboko u tlačni pojas nosača, zbog čega on trpi slom (slika 11.22) drobljenje betona razvlačenje stremenova iskrivljenje armature i natega Slika 11.22: Posmično-savojni slom nosača Kadšto se ovaj tip sloma naziva i posmično-savojnim slomom (njem. Schubbiegebruch). U svakom slučaju, radi se o vrlo opasnu tipu sloma i treba ga svakako izbjeći. 30

31 11.4 Granično stanje nosivosti Ako je pak hrbat tanak i jako armiran, može se dogoditi da betonski tlačni članci pretrpe slom pri višim razinama opterećenja. Slom se očituje u drobljenju betona hrpta (slika 11.23). drobljenje betona Slika 11.23: Slom nosača zbog drobljenja betona u hrptu Ovaj se slom naziva i slomom tlačnih članaka (Druckstrebenbruch). I on je opasan tip sloma, a može se izbjeći ograničavanjem glavnoga tlačnog naprezanja, što se najjednostavnije postiže podebljavanjem hrpta. Uz ove tipove kadšto se javljaju i tipovi sloma uzrokovani nepomnjivom obradbom pojedinosti (detalja): zbog proklizavanja vlačne armature (premala dulj. sidrenja) i zbog popuštanja zazubljenja zrna puniva (preširoke pukotine). 31

32 11.4 Granično stanje nosivosti Sada definirajmo pojam mjerodavne poprečne sile u trima stanjima (slika 11.24): pri napinjanju: V mp = V g0x P 0x sinα px (11.20) pravac parabola pravac u uporabi: Slika 11.24: Presjek u kojem se računa mjerodavna poprečna sila u graničnomu stanju nosivosti: V ms = V q ηp x sinα px (11.21) V mu = γ g V g + γ q V q - γ p P u sinα p (11.22) Ovdje se susrećemo s istim onim faktorima sigurnosti koje smo susreli pri razmatranju graničnoga stanja nosivosti pri savijanju. Novost je jedino faktor γ p, koji se uzima u obzir zavisno od toga djeluje li sila prednapinjanja povoljno ili nepovoljno. 32

33 11.4 Granično stanje nosivosti Ako dakle sila prednapinjanja djeluje povoljno, uzima se da je γ p < 1 (obično = 0,9), a ako djeluje nepovoljno, uzima se da je γ p > 1 (obično = 1,1). Međutim, ovdje je mnogo važnije utvrditi ili, točnije, procijeniti kolika može biti sila prednapinjanja pri dosegnuću granične nosivosti pod djelovanjem poprečne sile. Naime, vidjeli smo kako pri dosegnuću granične nosivosti pri savijanju ona potpuno iščezava. Ovdje pak tomu ne mora biti tako; dapače, gotovo nikada i nije tako. Zato se općenito uzima da je: P u = A p f py (11.23) Ovo je računski najveća sila što se može pojaviti u natezi. Sada pošto smo odredili V mu postupamo na potpuno jednak način kao u slučaju AB sklopova. 33

34 11.4 Granično stanje nosivosti Prvo računamo tzv. nazivno posmično naprezanje: Vmu τ n = b ' z ( 11.24) Ono se zatim uspoređuje s trima dopustivim vrijednostima: τ r, 3τ r i 5τ r Ako je τ n < τ r, nije potrebna dodatna (proračunska) armatura dostatna je najnužnija (konstrukcijska). S druge strane, mora biti ispunjen uvjet: w τ n 5τ r (11.25) Gornja se granica, 5τ r, nipošto ne smije premašiti pokaže li račun da je premašena, mora se podebljavati hrbat. Imamo dakle dva različita područja vrijednosti nazivnoga posmičnog naprezanja: 3τ r τ n τ r (11.26) 34

35 11.4 Granično stanje nosivosti 3τ r τ n 5τ r (11.27) Vrijednosti τ r propisane su normama. U prvom slučaju dio poprečne sile prenosi beton, a na armaturu otpada: V su = V mu V cu (11.28) pri čemu je V cu dio poprečne sile što ju prenosi beton. U drugom pak slučaju cjelokupnu poprečnu silu preuzima armatura, pa je dakle V cu = 0. Mehanizam prenošenja poprečne sile armaturom predočen je na slici Radni je presjek nagnut za kut α < 45. Slika 11.25: Proračunska shema za sile u stremenovima 35

36 11.4 Granično stanje nosivosti Dio poprečne sile što ju prenosi beton dobije se iz izraza: M Dx Vcu = 2,5 τ r bw ' z M sux ( ) Vidimo kako se on razlikuje od odgovarajućeg izraza što vrijedi za AB sklopove samo za množitelj u zagradi. S pomoću njega uzima se u obzir da u PB sklopova postoji veći dio nosača što nije raspucao, pa dakle nije isključen iz nosivosti. U brojniku je izraza u zagradi: M Dx moment rubnoga rastlačenja u promatranomu presjeku pojam s kojim smo se susreli u poglavlju o stupnjevima prednapinjanja. U nazivniku je pak: M sux granični moment savijanja od vanjskih opterećenja u istomu presjeku. 36

37 11.4 Granično stanje nosivosti Na slici lijevo predočeno je stanje naprezanja u promatranomu presjeku pod djelovanjem sile prednapinjanja. Slika 11.26: Moment rubnoga rastlačenja Moment rubnoga rastlačenja možemo izračunati izjednačivanjem rubnog naprezanja od sile prednapinjanja i od momenta savijanja: σ Odavde je izravno: d M d P e = = Wd A j g M D ( ) PW D e = A j g ( ) U množitelju pred zagradom prepoznajemo izraz za gornji odsječak obične jezgre presjeka: W d /A = j g (11.32) 37

38 11.4 Granično stanje nosivosti Uzmemo li to u obzir, dobit ćemo vrlo jednostavan izraz za M D : M D = P(e + j g ) (11.32) Granični pak moment savijanja od vanjskih opterećenja u ovomu presjeku dobije se na način prikazan u poglavlju o graničnoj nosivosti pri savijanju: M sux = γ g M g + γ q M q (11.33) Ipak, valja imati na umu kako se radi o momentu u promatranomu, a ne u najjače napregnutomu presjeku. Sada znamo koji dio poprečne sile prenosi armatura, pa lako izračunamo njezinu potrebnu ploštinu: A sw = V f ru swy ( 11.34) pri čemu je f wsy granica popuštanja čelika stremenova. 38

39 11.4 Granično stanje nosivosti Opet postupamo kao i u slučaju odabira armature za granično stanje uporabe: za odabrani promjer računamo razmak stremenova ili obrnuto. Preporučljivo je da promjer šipaka stremenova bude što tanji, ali ne smije biti tanji od 8 mm. Najčešće se rabi: Ø 8 12 mm (u visokogradnji) i Ø mm (u mostogradnji). 39

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami

BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami Izv. prof. dr.. Tomilav Kišiček dipl. ing. građ. 0.10.014. Betonke kontrukije III 1 NBK1.147 Slika 5.4 Proračunki dijagrami betona razreda od C1/15 do C90/105, lijevo:

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET

SVEUČILIŠTE U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTE U MOSTRU GRĐEVINSKI FKULTET Kolegij: Osnove betonskih konstrukcija k. 013/014 god. 8. pismeni (dodatni) ispit - 10.10.014. god. Zadatak 1 Dimenzionirati i prikazati raspored usvojene armature

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

7. Proračun nosača naprezanih poprečnim silama

7. Proračun nosača naprezanih poprečnim silama 5. ožujka 2018. 7. Proračun nosača naprezanih poprečnim silama Primjer sloma zbog djelovanja poprečne sile SLIKA 1. T- nosač slomljen djelovanjem poprečne sile Do sloma armirano-betonske grede uslijed

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE. Program

BETONSKE KONSTRUKCIJE. Program BETONSKE KONSTRUKCIJE Program Zagreb, 017. Ime i prezime 50 60 (h) 16 (h0) () () 600 (B) 600 (B) 500 () 500 () SDRŽJ 1. Tehnički opis.... Proračun ploče POZ 01-01... 3.1. naliza opterećenja ploče POZ 01-01...

Διαβάστε περισσότερα

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA) ROS GRED (ROSO OSONJEN GRED) oprečna sila i moment savijanja u gredi y a b c d e a) Zadana greda s opterećenjem l b) Sile opterećenja na gredu c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku a) Unutrašnje

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 5. VJEŽBE DIMENZIONIRANJE - GSN Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. GRANIČNO STANJE NOSIVOSTI DIMENZIONIRANJE - GSN 1. Sila prednapinjanja 2. Provjera

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA

4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA JBG 4. STTIČKI PRORČUN STUBIŠT PROGR IZ KOLEGIJ BETONSKE I ZIDNE KONSTRUKCIJE 9 6 5 5 SVEUČILIŠTE U ZGREBU JBG 4. Statiči proračun stubišta 4.. Stubišni ra 4... naliza opterećenja 5 5 4 6 8 0 Slia 4..

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

6. Plan armature prednapetog nosača

6. Plan armature prednapetog nosača 6. Plan armature prednapetog nosača 6.1. Rekapitulacija odabrane armature Prednapeta armatura odabrano:3 natege 6812 Uzdužna nenapeta armatura. u polju donji rub nosača (mjerodavna je provjera nosivosti

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA

4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA JBAG 4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA PROGRA IZ KOLEGIJA BETONSKE I ZIDANE KONSTRUKCIJE 9 5 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU JBAG 4. Statiči proračun stubišta 4.. Stubišni ra 4... Analiza opterećenja 5 5 4 6 8 5 6 0

Διαβάστε περισσότερα

SPREGNUTE KONSTRUKCIJE

SPREGNUTE KONSTRUKCIJE SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Prof. dr. sc. Ivica Džeba Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu SPREGNUTI NOSAČI 1B. DIO PRIJENJIVO NA SVE KLASE POPREČNIH PRESJEKA OBAVEZNA PRIJENA ZA KLASE PRESJEKA 3 i 4

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE. Program

BETONSKE KONSTRUKCIJE. Program BETONSKE KONSTRUKCIJE Program Zagreb, 009. Ime i prezime 50 60 (h) 16 (h0) (A) (A) 600 (B) 600 (B) 500 (A) 500 (A) SADRŽAJ 1. Tehnički opis.... Proračun ploče POZ 01-01...3.1. Analiza opterećenja ploče

Διαβάστε περισσότερα

4 Ponašanje PB nosača pod rastućim opt.

4 Ponašanje PB nosača pod rastućim opt. 4.1 Savijanje 4.1.1 Utjecaj prianjanja Čimbenik koji najviše utječe na to hoće li se i u kolikoj mjeri ponašanje PB nosača razlikovati pod rastućim opterećenjem od ponašanja neprednapetih nosača jest prianjanje

Διαβάστε περισσότερα

12 STATIČKI NEODREĐENI NOSAČI

12 STATIČKI NEODREĐENI NOSAČI 12 STATIČKI NEODREĐENI NOSAČI 12.1 Uvod Prvo se valja prisjetiti općih prednosti što ih statički neodređeni nosači imaju u odnosu na statički određene: Manji su momenti savijanja pri jednaku rasponu i

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET ZAVRŠNI RAD

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET ZAVRŠNI RAD SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET ZAVRŠNI RAD Osijek, 15. rujan 2017. Ivan Kovačević SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET ZAVRŠNI RAD

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21,

Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21, Kolegij: Konstrukcije 017. Rješenje zadatka. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu 1. ULAZNI PARAETRI. RAČUNSKE VRIJEDNOSTI PARAETARA ATERIJALA.1. Karakteristične vrijednosti parametara tla Efektivna Sloj

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II

TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICA 1: PARCIJALNI KOEFICIJENTI SIGURNOSTI ZA DJELOVANJA Parcijalni koeficijenti sigurnosti γf Vrsta djelovanja Djelovanje Stalno Promjenjivo

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 BETONSE ONSTRUCIJE 2 vježbe, 31.10.2017. 31.10.2017. DATUM SATI TEMATSA CJELINA 10.- 11.10.2017. 2 17.-18.10.2017. 2 24.-25.10.2017. 2 31.10.- 1.11.2017. uvod ponljanje poznatih postupaka dimenzioniranja

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

PRORAČUN AB STUPA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL

PRORAČUN AB STUPA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL PRORAČUN AB STUPA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Materijal: Beton: C25/30 C f ck /f ck,cube valjak/kocka f ck 25 N/mm 2 karakteristična tlačna čvrstoća fcd proračunska tlačna

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek, 15. rujan 2015. Marija Vidović SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJE

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Teorija betonskih konstrukcija 1. Vežbe br. 4. GF Beograd

Teorija betonskih konstrukcija 1. Vežbe br. 4. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 Vežbe br. 4 GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 1 "T" preseci - VEZANO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji (M G,Q ) sračunato kvalitet materijala (f cd, f

Διαβάστε περισσότερα

Natege, s pomoću kojih se ostvaruje sila prednapinjanja, imaju najmanje dvije uloge: suprotstaviti se djelovanju momenta savijanja; ublažiti

Natege, s pomoću kojih se ostvaruje sila prednapinjanja, imaju najmanje dvije uloge: suprotstaviti se djelovanju momenta savijanja; ublažiti 9 GUBITCI SILE PREDNAPINJANJA 9.1 Vođenje osi natega Natege, s pomoću kojih se ostvaruje sila prednapinjanja, imaju najmanje dvije uloge: suprotstaviti se djelovanju momenta savijanja; ublažiti djelovanje

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1 Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:

Διαβάστε περισσότερα

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5 Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

( ) p a. poklopac. Rješenje:

( ) p a. poklopac. Rješenje: 5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 1 PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET ODREĐIVANJE MOMENTA LOMA - "T" PRESEK Na skici dole su prikazane sve potrene geometrijske veličine, dijagrami dilatacija i napona,

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Proračunski model - pravougaoni presek

Proračunski model - pravougaoni presek Proračunski model - pravougaoni presek 1 ε b 3.5 σ b f B "" ηx M u y b x D bu G b h N u z d y b1 a1 "1" b ε a1 10 Z au a 1 Složeno savijanje - VEZNO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji za (M i, N

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Rožnjača je statičkog sistema kontinualnog nosača raspona L= 5x6,0m. Usvaja se hladnooblikovani šuplji profil pravougaonog poprečnog preseka. Raster rožnjača: λ r 2.5m

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI STTIČKI ODREĐENI SUSTVI STTIČKI ODREĐENI SUSTVI SVOJSTV SUSTV Kod statički određenih nosača rješenja za reakcije i unutrašnje sile su jednoznačna. F C 1. F x =0 C 2. M =0 3. F y =0 Jednoznačno rješenje

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Prostorni spojeni sistemi

Prostorni spojeni sistemi Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka

Διαβάστε περισσότερα

NOSIVI DIJELOVI MEHATRONIČKIH KONSTRUKCIJA

NOSIVI DIJELOVI MEHATRONIČKIH KONSTRUKCIJA NOSIVI DIJELOVI MEHATRONIČKIH KONSTRUKCIJA Zavareni spojevi - I. dio 1 ZAVARENI SPOJEVI Nerastavljivi spojevi Upotrebljavaju se prije svega za spajanje nosivih mehatroničkih dijelova i konstrukcija 2 ŠTO

Διαβάστε περισσότερα

Metalne konstrukcije I Proračun otpornosti elementa s nesimetričnim poprečnim presjekom klase 4 izloženog savijanju i tlačnoj sili

Metalne konstrukcije I Proračun otpornosti elementa s nesimetričnim poprečnim presjekom klase 4 izloženog savijanju i tlačnoj sili Sadržaj 1. Uvod... 1 2. Potrebni dokazi nosivosti za elemente izložene tlaku i savijanju prema EN 1993 za poprečne presjeke klase 4... 2 2.1. Klasifikacija poprečnog presjeka... 2 2.2 Djelotvorna širina

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα