Physical Chemistry 2 תילקיזיפ הימיכ אספוקב קיקלח

Transcript

1 כימיה פיזיקלית, שו"ת, Pysicl Ceistry 7 חלקיק בקופסא כשמדרים על חלקיק בקופסא מתכוונים לחלקיק שיכול לנוע בתוך תחום מוגדר. הקופסא היא קופסא חד מימדית. V V. גודל הקופסא הוא בין ל-. V בקצוות הקופסא והלאה הפוטנציאל צריך להיות אינסוף על מנת שהחלקיק לא יצא מהקופסא. חלקיק קוונטי יכול לעבור מחסום אינסופי אם העובי שלו שווה לאפס, ולכן כל התחום מהגבול של הקופסא 3 חייב להיות. פונקציית הגל של הבעיה שלנו היא סופית ונגזרותיה גם כן סופיות. אם הפוטנציאל מחוץ לקופסא הוא תתקיים היא שהפונקציה תתאפס באזורים אלו: נרשום את משוואת שרדינגר עבור האזור השני: ונניח פיתרון מהצורה: הדרך היחידה שמשוואת שרדינגר 3 si si α B α iα iα α e e i iα iα α e e α si α α α Bα α נציב את הפתרון שהנחנו במשוואת שרידינגר:

2 כימיה פיזיקלית, שו"ת, Pysicl Ceistry 7 α si si B B si B ונקבל: את הקבועים, B נמצא עפ"י תנאי השפה: מכאן נובע: אם אזי פונקציית הגל כולה מתאפסת. זהו פתרון לא פיזיקלי, היות והמשמעות של פתרון זה הוא שהסיכוי למצוא את החלקיק בתוך הקופסא מתאפס, אולם החלקיק נמצא בתוך הקופסא! מנת לקיים את תנאי השפה צריך אם כך להתקיים: על כלומר האנרגיה יכולה לקבל רק ערבים בדידים: Ν קיבלנו אנרגיה מקוונטטת. פונקציה לא רציפה. היות ו- הוא מספר שלם וחיובי והאנרגיה מגיעה בכפולות של, קיבלנו מסקנות: קיבלנו משוואת גל כפי שציפינו, עם הרבה פתרונות וערכי אנרגיה בדידים. הקוונטיזציה נבעה מתנאי השפה בלבד!..

3 Pysicl Ceistry הימיכ תילקיזיפ,ת"וש, 7 :היצקנופה לומרנמ אצמנ םדקמה לש וכרע תא d d d si si * :תטטנווקמ היגרנא םע דמוע לג תייצקנופ ונלביק יכ רמאנו םכסנ 8 si רובע לגה תייצקנופ תא רייצנ םינוש, תאיצמל תורבתסהה תופיפצ תאו :קיקלחה לודגה יוכיסה יכ רויצה י"פע תוארל ןתינ אספוקב קיקלחה תא אוצמל רתויב יטנווק קיקלח.אספוקה זכרמב אוה.הריזג י"ע תאז חיכוהל ןתינ תופיפצ :לגה תייצקנופ עוביר י"ע הנותנ תורבתסהה P si :םומיסקמה תא אוצמל ידכ תורבתסהה תופיפצ תא רוזגנ si P הכומנ יכה היגרנאה תמרב -אספוק ךותב יטנווק קיקלח ונמש תילקיזיפ הניחבמ, יכה יוכיסה ךומנ יכה יוכיסהו אספוקה זכרמב אוה קיקלחה תא אוצמל לודג.אספוקה תווצקב אוה P הימיכב תודמוצמ תוכרעמ רואיתל אוה אספוקה קיקלח לש לדומה לש םיירקיעה םישומישהמ דחא.םיקיקלח וננ לש תכרעמה איה הז לדומ תרזעב סג בורקב ראתל ןתינש תפסונ תכרעמ.תינגרוא ןתינ.הז לדומב םיירטמוננ םישיבג לש ינורטקלאה הנבמה תא ראתל יולת אספוקב קיקלח לש היגרנאה ψ....

4 כימיה פיזיקלית, שו"ת, Pysicl Ceistry 7 במימדי הקופסא, כלומר האנרגיה הולכת וקטנה כמימד הקופסא בריבוע. במצב היסוד של המערכת תארנו את פונקציית הגל וראינו כי הסיכוי הגבוה ביותר למציאת החלקיק הוא במרכז הקופסא. ברמה ניתן לראות כי הפונקציה חוצה את ציר ה- של האנרגיה ומחליפה סימן. לנקודה זו קוראים צומת. לאנרגיית האפס אין צומת, במצב המעורר הראשון יש צומת אחת, ובמצב הבא 3 יש צמתים. במצב האנרגיה הסיכוי המקסימלי למצוא את החלקיק הוא: P si P si, 3 לפונקצית הגל יש סימטריה מסויימת ביחס למרכז הקופסא. עלינו בחישוב ממוצעים שונים. בהמשך ננצל סימטריה זו כדי להקל מספר הערות: א כאשר יש - צמתים וצפיפות ההסתברות P נראת כמעט כמו קו ישר, ומתקבלת תמונה דומה מאוד לגבול הקלאסי. לעקרון זה קוראים עקרון ההתאמה של בור. כאשר מאוד גדול האנרגיה גם כן מאוד גדולה, ובאנרגיות כ"כ גדולות או בטמפרטורות מאוד גבוהות אנו חוזרים לגבול הקלאסי. ב שכן אם אז פונקציית הגל שלנו מתאפסת ואז אין לנו חלקיק, וזה לא פיתרון פיזיקאלי. ג כאשר אנו מקבלים את האנרגיה המינימלית וזו נקראת אנרגיית האפס, 8 כלומר האנרגיה המינימלית שיכולה להיות לחלקיק במערכת. לחלקיק קלאסי לעומת זאת אנרגיה מינימלית אפס. אנרגיה של חלקיק קוונטי היא סופית ולא אפס וזה נובע מכך שהגבלנו את החלקיק לנוע במרחב מסויים. כאשר אנו חוזרים לגבול הקלאסי שכן האנרגיה תשאף לאפס גם כן. במילים אחרות ניתן לומר כי כאשר אנו לוקחים חלקיק מאוד קטן בקופסא מאוד גדולה אנו חוזרים לפתור בעיה בגבול הקלאסי. נפתור מספר תרגילים בשימוש במודל זה: אלקטרון בקופסא. מימדי הקופסא,Å נשאלת השאלה מה היא אנרגיית מצב היסוד. גודל הקופסא בבעיה זו הוא כגודל של אטום, נרצה אם כל לראות האם מודל זה מתאים לתאור של אלקטרון באטום..

5 כימיה פיזיקלית, שו"ת, Pysicl Ceistry J sec 3 3 kg J 9eV J.5 7 J זה נותן לנו הערכה של קישור אלקטרון באטום. -3 פרוטון בתוך קופסא הגודל של. c זה למעשה גודל של גרעין ולכן השאלה היא מהי אנרגיה גרעינית J sec kg 8 ev MeV אטום הליום He בטמפרטורת החדר, 3T k נמצא בתוך כלי שמימדו הוא.c מהו המספר הקוונטי הממוצע, ומהי האנרגיה kt..3 8 kt kt.7 8 כשלוקחים הליום בטמפרטורת החדר בתוך מיכל שניתן לראות בעין המספר הקוונטי הממוצע הוא, 8 כלומר הליום בטמפרטורת החדר נמצא בגבול הקלאסי ואין צורך לתארו בצורה קוונטית.. p נחשב כעת את עקרון אי הודאות עבור מודל זה, כלומר מהו? נניח כי ונחשב את. p pˆ > pˆ > מהשונות: נחשב תחילה את ערך התנע הממוצע: p pˆ > i pˆ > si i si d i i si d si d נחשב את הערך הממצוע של הצנע בריבוע: pˆ > si si d ולכן: pˆ > ננצל את העובדה ש-

6 Pysicl Ceistry הימיכ תילקיזיפ,ת"וש, 7 P p p > ˆ :גרבנזייא לש תואדווה יא ןורקע י"פע P.תואדוה יא ןורקע תא םייקמ הז לדומ יכ קיסהל ןתינ ןאכמו יא היגרנאב םילוע ונאש לככ ןכ ומכ,הלדגו תכלוה תואדוה,יסאלקה לובגל הריתסב הרואכל הארנה רבד רשאכ רהזיהל ךירצ םלוא!יסאלקה לובגה תא םיחקול :רמולכ,תוילנוגותוא ןה ונלביקש תוימצעה תויצקנופהש הארנ d δ * רשאכ δ.רקינורק לש אתלד תייצקנופ איה si : si si : si si d d