Molekularno-biološke metode u patologiji

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Molekularno-biološke metode u patologiji"

Transcript

1 Molekularno-biološke metode u patologiji Nukleinske kiseline Nukleinske kiseline otkrio je švicarski liječnik Friedrich Miescher još godine u leukocitima gnojnih rana, ali im je biološko značenje bilo nepoznato. Izolirani spoj nazvao je nuklein odakle potječe ime nukleinske kiseline. Godine američki znanstvenik Oswald Avery je prvi pokazao u eksperimentima na bakterijama, da se geni sastoje od nukleinskih kiselina., a James Watson i Francis Crick godine opisali su trodimenzionalnu strukturu molekule DNA i mogući mehanizam njezine replikacije. Analizirajući fotografije što su ih Rosalind Franklin i Maurice Wilkins snimali difrakcijom x-zraka na kristalima molekula DNA, predložili su strukturu molekule koji se u bitnim crtama pokazao uglavnom točnim. Glavne osobine tog modela su (slika 1): Dva su spiralna polinukleotidna lanca smotana oko zajedničke osi, a lanci se protežu u suprotnim smjerovima. Nukleotidi su purinske i pirimidinske baze smještene u unutrašnjosti uzvojnice, dok su fosfatne grupe i šećerne jedinice smještene u vanjskom dijelu molekule. Spiralna se struktura ponavlja nakon deset nukleotida u svakom lancu u intervalima od 3,4 nm. Dva lanca povezuju vodikove veze. Adenin je uvijek sparen s timidinom, a gvanin s citozinom i upravo ta specifičnost pri sparivanju baza je najvažniji funkcionalni čimbenik

2 dvostruke uzvojnice. Slijed baza duž polinukleotidnog lanca je nositelj genetičke informacije. Ovaj oblik restrikcije je temeljni za kopiranje DNA: DNA uzvojnica se prvo razvuče u dva duga lanca s okosnicom šečernih I fosfatnih grupa, dok slobodne baze strše iz njih poput zubaca na češlju. Slika 1. Kostur DNA molekule je građen s vanjske strane od šečera I fosfatnih grupa, dok se nukleotidne baze nalaze s unutrašnje strane. Svaki lanac uzvojnice postaje kalup za sintezu novog komplementarnog lanca. Biološka mašinerija unutar stanice dodaje odgovarajuće, komplementarne slobodne baze na podijeljenu molekulu i istovremeno provjerava ( proof-read ) rezultat, da bi pronašla i popravila greške. Nakon kopiranja, nastaju dvije identične kopije originalne molecule. Kodirajuće regije u lancu DNA, GENI, čine samo dio od ukupne količine DNA. Regije DNA koje su izvan kodirajućih regija nazivaju se INTRONI. Prije se smatralo da su nevažni, da predstavljaju genetsko smeće, no danas biolozi I genetičari smatraju da introni imaju važnu ulogu u aktivaciji i regulacija izražaja gena. Slika 1: Uzvojnica DNA Ovo otkriće jedno je od najvažnijih otkrića u povijesti biologije i pokazalo je put za razumijevanje funkcije gena na molekularnoj razini.

3 A B Fotografija 51, difrakcija X- zraka na DNA molekuli B Orginalni DNA model (J. Watson i F. Crick, 1952.) tipa. R. Franklin I M. Wilkins, C. James Watson Francis Crick Maurice Wilkins Rosalind Franklin Slika 2. James Watson i Francis Crick (A), Maurice Wilkins ( B) i Rosalind Franklin (C), znanstvenici zaslužni za otkriće strukture i funkcije DNA molekule (Nobelova nagrada godine za fiziologiju i medicinu).

4 Slika 3. Kemijska struktura molekule DNA Sastav i struktura nukleinskih kiselina Postoje dvije glavne vrste nukleinskih kiselina: DNA ( deoksiribonukleinska kiselina) i RNA (ribonukleinska kiselina). Obje su sastavljene od lanca podjedinica nazvanih nukleotidi, od kojih svaki sadrži dušične baze (purinske ili pirimidinske) šečer pentozu (ribozu ili deoksiribozu) i fosfatne grupe. U molekuli DNA pentoza je deoksiriboza, a u RNA je riboza. Obje nukleinske kiseline sadrže purinsku dušičnu bazu adenin (A) i gvanin (G) i pirimidinsku citozin (C). Druga pirimidinska baza u molekuli DNA je timin (T), a u molekuli RNA je uracil (U). Dušične baze međusobno su povezane vodikovim vezama. G-C nukleotidi povezani su s tri vodikove veze a A-T s dvije. Iako su vodikove veze relativno slabe, veliki broj veza u molekuli DNA osigurava stabilnost dvostruke uzvojnice. U Tablici 1 i na slici 3. su prikazani svi kemijski elementi nukleinskih kiselina. Purinske i pirimidinske baze u DNA nose genetičku informaciju, dok šećerne i fosfatne skupine imaju strukturnu ulogu.

5 Tablica 1. Kemijski elementi strukture DNA i RNA DNA RNA Purini Adenin Adenin Gvanin Gvanin Pirimidini Citozin Citozin Timin Uracil Pentoze 2-Deoksiriboza Riboza Fosfatna grupa (PO4 2- ) Fosfatna grupa (PO4 2- ) Pentoza svake nukleotidne jedinice vezana je preko svog prvog ugljikovog atoma na dušičnu bazu (stvarajući nukleozid), a istovremeno preko svog petog ugljikovog atoma na fosfatnu grupu. Nukleotidi u DNA i RNA spojeni su zajedno fosfodiesterskom vezom koja uključuje 5`-fosfatnu grupu jedne jedinice i 3`-hidroksilnu grupu novo nastale jedinice. Dva polinukleotidna lanca koji tvore molekulu DNA su antiparalelni. Počevši od jednog kraja molekule pa dalje, nukleotidi jednog lanca spojeni su zajedno 3`-5`fosfodiesterskim vezom, dok su komplementarni nukleotidi drugog lanca spojeni 5`-3`fosfodiesterskom vezom. Kostur molekule nukleinske kiseline se stvara ponavljanjem sekvenci pentoza i fosfatnih grupa koje su jednake u svim molekulama. Ono što razlikuje jednu molekulu DNA ili RNA od druge molekule je specifični redosljed purinskih i pirimidinskih baza prisutnih u lancu nukleotida, te ukupni broj nukleotida (veličina molekule).

6 Replikacija DNA Jedno od suštinskih svojstava genetskog materijala je njegova sposobnost replikacije, a dvostruka uzvojnica DNA predstavlja replikativni oblik svih poznatih gena. Način na koji molekula DNA zadovoljava zahtjeve replikacije proizlazi iz specifičnosti sparivanja dušičnih baza. Ako je poznat sljed baza u jednom lancu u paru, automatski se određuje sljed baza u drugom lancu, stoga je jasno da jedna polovina molekule (jedna od dvije uzvojnice) sadrži sve neophodne informacije za stvaranje cijele molekule. Na primjer, ako se zna da je sljed baza duž jednog polinukleotidnog lanca DNA - A G T A C G A T- tada komplementarni sljed u drugom lancu mora biti - T C A T G C T A-. Zato, ako se dvostruka uzvojnica odmota, svaki odvojeni polinukleotidni lanac može djelovati kao kalup za stvaranje novog komplementarnog lanca. Rezultat je uvijek isti: dvije identične dvostruke uzvojnice tamo gdje je prije bila jedna. Upravo to svojstvo komplementarnog vezanja odnosno sposobnost jednolančane molekule DNA da traži sebi komplementarnu jednolančanu DNA čini zapravo osnovu svih suvremenih metoda molekularne biologije. Izolacija DNA Primjena molekularno-bioloških metoda u analizi humanog genoma ili genoma bakterija i virusa ovisi o izolaciji kvalitetne (inaktne i pročišćene) DNA. Humana DNA se može izolirati iz pune krvi (leukocita), tkiva, urina, primarnih staničnih kultura, arhivskog materijala tkiva uklopljenog u parafin. Protokoli za izolaciju temelje se na sljedećim postupcima: 1. liziranje stanica 2. uklanjanje staničnih proteina, RNA i drugih makromolekula ( ugljikohidrati, lipidi, fosfolipidi), kemijskom ekstrakcijom ( fenol-kloroform) ili enzimskim reakcijama (proteinaza K, RNaza), 3. izdvajanje DNA taloženjem, pomoću alkohola ( aps. etanol)

7 4. otapanje DNA u TE (Tris-EDTA) puferu, ph 8,0 Ovo su osnovni klasični laboratorijski postupci, koji su temelj cijelog niza komercijalnih metoda, koje se mogu uspješno automatizirati. Izolacija RNA Temeljni uvjet za analize ekspresije gena i veličine transkripta (mrna) je izolacija i priprema RNA visote čistoće i integriteta.poteškoće u izolaciji intaktne RNA čini kontaminacija s ribonukleazama (RNase) vrlo aktivnim i stabilnim enzimima koji razgrađuju RNA. Zato je preduvjet za uspješnu izolaciju RNA inaktivacija ribonukleaza prisutnih na laboratorijskom priboru i u standardnim kemikalijama. Sav pribor, epruvete, nastavke za automatske pipete, potrebno je tretirati s 0,1% otopinom dietilpirokarbonata (DEPC) nekoliko sati i zatim DEPC ukloniti autoklaviranjem. Reagense i vodu također treba obraditi s otopinom DEPC i autoklavirati. Princip djelovanja DEPC je kovalentno vezanje i inaktiviranje Rnaza. Prvi korak u izolaciji RNA je liza stanica s reagensima koji u isto vrijeme inhibiraju RNaze ( 4M gvanidin tiocijanat). RNA se zatim odijeli od ostalih staničnih makromolekula (DNA i proteini) različitim postupcima, ovisno o primjenjenoj metodi (ultracentrifugiranje u gradijentu CsCl, ekstrakcija RNA s fenolom i kloroformom i precipitacija s izopropanolom). Klasična metoda za izolaciju RNA je izolacija s kiselim gvanidin-tiocijanatom i fenol-kloroform ekstrakcijom koju su preporučili Chomczynski i Sacchi 1987 god. I izolacija RNA je danas dostupna širokom krugu laboratorija ponudom manje i više složenih komercijalnih kitova.

8 PCR- polimerazna lančana reakcija PCR - polimerazna lančana reakcija (engleski: Polymerase Chain Reaction) je metoda kojom se relativno kratki dio DNA umnožava u veliki broj identičnih kopija. Godine Kary Mullis je otkrio i opisao metodu kojom se in vitro umnožava DNA bez kloniranja i to iz malih količina DNA. Za to otkriće je godine dobio Nobelovu nagradu za kemiju. Ova metoda je je izvršila presudni utjecaj na primjenu molekularnobioloških metoda u znanstvenim istraživanjima, a osobito u novom području molekularne dijagnostike, gdje su prepoznate sve prednosti ove metode u razvoju dijagnostičkih testova u mikrobiologiji, virusologiji, dijagnostici nasljednih bolesti, dijagnostici neoplastičnih i malignih bolesti, izboru usmjerenih «pametnih» ljekova, u praćenju terapija i odgovora na terapiju, u forenzičkim i identifikacijskim dokazivanjima. Metode je u osnovi vrlo jednostavna. Ciljni dio DNA molekule koju se želi umnožiti određuje se kratkim oligonukleotidnim sekvencama- primerima, koji su komplementarni krajevim ulomka DNA od interesa. Ovi primeri su pokretači serije reakcija pomoću enzima DNA polimeraze, koja na kalupu jednog lanca DNA sintetizira novi, komplementarni lanac, pri čemu veličina sintetiziranog dijela DNA molekule odgovara dužini koju omeđuju izabrani primeri. Na slici 4. prikazana je shema PCR metode.

9 PCR osnovne komponente Termostabilna DNA polimeraza PCR termoblok ciljna DNA primeri Taq Polimeraza Thermus aquaticus DNA polimeraza Enzim otporan na visoku temperaturu o optimum Slika 4. Dvostruki lanac DNA molekule se razdvoji zagrijavanjem na 94 C kroz 3 min. Tijekom hlađenja na C primeri se komplementarno vežu (annealing) i Taq polimeraza započinje sintezu komplementarnih lanaca (extension) dodavanjem komplementarnih baza. Prosječna PCR reakcija se odvija u 30 do 35 ciklusa.

10 Slika 5. Broj kopija DNA molekule u odnosu na broj ciklusa. Amplifikacija ciljne DNA molekule Ciklus Broj kopija 1 cycle = 2 Amplicon 2 cycle = 4 Amplicon 3 cycle = 8 Amplicon 4 cycle = 16 Amplicon 5 cycle = 32 Amplicon 6 cycle = 64 Amplicon 7 cycle = 128 Amplicon ,048, ,073,741,824 Slika 6. prosječan broj ciljnih kopija DNA molekule ovisi o broju amplifikacijskih ciklusa.

11 ) HPV M + 2) HPV M - 3) HPV M 4) HPV M + 5) HPV M + 6) MARKER Slika 7. Elektroforetska analiza PCR produkata na agaroznom gelu. Polimerazna lančana reakcija odvija se u uređaju koji automatski i precizno kontrolira promjene temperature tijekom ciklusa amplifikacije (PCR termoblok).taj uređaj zagrijava i hladi reakcijsku smjesu u epruvetama ( 0,2 ml) koje se nalaze u termobloku i osim kontrole temperature, termoblok kontrolira i dužinu trajanja pojedinih dijelova ciklusa amplifikacije.

12 Slika 8. Uređaja za PCR (PCR termoblok) Sve što je potrebno za PCR je: - Termostabilna DNA polimeraza - Uzorak DNA ( 50 do 100 nanograma u prosjeku) koja će biti kalup za kopiranje komplementarnog DNK lanca-niza; - Dva odgovarajuća oligonukleotidna primera - Reakcijski pufer - Nukleotidi: adenin, timin, citozin i gvanidin (A, T, C i G) - Osnovni parametri svih PCR protokola su: 1. Inicijalno denaturiranje DNA u trajanju od 3 od 5 minuta na temperaturi od 94 C. Pritom se razdvajaju spareni lanci DNA koji služe kao kalupi za amplifikaciju 2. Hibridizacija primera na komplementarne odjeljke DNA ( annealing). U tom procesu će temperatura biti snižena na prosječno 55 C ( C) da bi se oligonukleotidni primeri vezali na komplementarne razdvojene lance DNA. 3. Sinteza komplementarnog lanca ( extension) na temperaturi od 72 C. To je optimalna temperatura za djelovanje termostabilne Taq-polimeraze. Pritom će polimeraza ugrađivati nove komplementarne nukleotide sve dok ne stigne do drugog primera. Pošto se na obadva lanca odvija sinteza,u jednom ciklusu amplifikacije će se broj DNA molekula udvostručiti. Postupak možemo u cjelosti ponavljati i na taj način broj novonastalih molekula DNA će se uvećavati geometrijskom progresijom ( 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,...). Zbog dinamike odvijanja PCR reakcije, prosječni PCR protokol se odvija u 30 do 40 ciklusa. Nakon 40 ciklusa pojavljuje se tzv.»fenomen platoa», kada dolazi do zasićenja ( ili potroška reaktanata), tako da se gubi efikasnost reakcije ( Slika 9 i 10).

13 Slika 9. Na slici je prikazana dinamika PCR reakcije. Do 20. ciklusa koncentracija PCR produkta je vrlo niska. Između 20. i 28. ciklusa reakcija poprima linearni, pa logaritamski rast, da bi oko 35. ciklusa došlo do formiranja tzv. «platoa». U tom dijelu PCR reakcija nije više efikasna. Slika 10. Dinamika PCR reakcije

14 Osnovni program PCR reakcije izgleda ovako: Broj ciklusa : 30 DENATURIRANJE 94 C 2 do 5 min VEZANJE PRIMERA (ANNEALLING) 55 C s SINTEZA (ELONGACIJA DNA LANCA) 72 C s (ovisno o duljini PCR produkta) ZAVRŠNA SINTEZA. 72 C 5 7 min (završno djelovanje polimeraze ). HLAĐENJE: Reakcija će konačno biti ohlađena na 4 C. Laboratorijska iskustva rada sa PCR-om - napomene Denaturacija: Denaturiranje je vrlo brz proces koji počinje već na temperaturi od 70 C, međutim, sve komponente u PCR reakciji trpe zbog povećane temperature. Aktivnost polimerazea se može smanjiti, nukleotidi se mogu denaturirati, a primer se također djelomično mogu denaturirati. To su dovoljni razlozi da se postupak denaturacije dešava onoliko kratko koliko je to za postupak neophodno. Ustvari dovoljno je i vrijeme od desetak sekundi da se dva polinukleotidna lanca DNA duplog helixa razdvoje. Problem je tehničke prirode zbog nemogućnosti da se u klasičnim PCR uređajima postigne u kratkom vremenu precizno podešavanje temperature u termobloku. Temperatura vezanja primera: Ona se računa prema primeru koji ćemo upotrebljavati.. Za izračunavanje temperature vezanja primera postoje različite formule. Klasična formula se temelji na sadržaju nukleotida GC i AT. Tm = 4 X (broj G + broj C) + 2 X (broj A + broj T) Ova formula je primjenljiva samo za primere dužine do 30 baza. Kvaliteta DNA : Poželjno je da je izolirana DNA što kvalitetnija. Ipak, nekada PCR funkcionira optimalno iako nemamo «najoptimalniji» materijal u obradi. Faktor umnožavanja: U PCR postupku se teoretski DNA molekula iz ciklusa u ciklus udvostručuje. Međutim, realno je faktor umnožavanaja od ciklusa do ciklusa od 1,6 1,7, (znači faktor nije 2 sto se teoretski očekuje). Umnožavanjeje na početku PCR prilično

15 niske efikasnosti. Jedan od bitnih uzroka je početna mala koncentracija DNA. U središnjem dijelu procesa umnožavanja broj kopija DNA raste linearno, da bi pri kraju reakcije razina umnožavanja ponovno drastično pala («plato efekt» ) jer je umnožavanje u značajnoj mjeri inhibirano od strane nastalih pirofosfata, denaturiranih nukleotida i rehibridiziranog PCR produkta. Količina DNA : Teoretski dovoljna je jedna jedina molekula DNA. Ipak, u praksi je potrebno najmanje 100 do 1000 molekula DNA da bi PCR reakcija krenula. Izračunavanje broja molekula DNA u izolatu nije precizno. Pomoći će nam sljedeće okvirne proporcije: molekula DNA odgovara otprilike 0,5 pg plazmidne DNA, ili 300 ng humane genomske DNA. U većini slučajeva ove količine mogu biti bitno drugačije. Optimalna količina DNA je manja količina DNA. Pufer: Taq polimeraza ima maksimum aktivnosti pri ph vrijednosti iznad 8. U puferu se nalaze soli KCl (do 50 mm) ili pak (NH4) 2 SO 4 (do 20mM). Najznačajniji je MgCl 2 ; enzim treba za aktivnost slobodni Mg 2+. Optimalna koncentracija je između 0,5 i 2,5 mm. Koncentracija Mg 2+ utječe na vezanje primera, razdvajanje nizova pri denaturiranju, specifičnost produkta, stvaranje primer- dimera, te na vjernost kopiranja. Koncentracija nukleotida: U standardnim protokolima preporučena koncentracija nukleotida je 200 μm. Polimeraze: Klasična polimeraza za PCR je Taq DNA polimeraza izolirana iz bakterije Thermus aquaticus, koja živi u termalnim vodama, a stabilna je na visokim temperaturama od oko 70 C. Ovo «čudo» od enzima ima maksimalnu aktivnost (djelotvornost) pri temperaturi od 74 C i ph 8. Prosječna efikasnost sinteze DNA je oko 2800 nukleotida/min. Uobičajeno je da se u reakcijskoj smjesi (jedna epruveta) od 50 ul koristi jedna jedinica (unit) Taq polimeraze. Nested PCR PCR u dva stupnja U slučajevima kada raspolažemo s vrlo malim količinama DNA, može se desiti da efikasnost umnožavanja nije visoka i nakon 40 ciklusa provjerom na agaroznom gelu, ne možemo uočiti PCR produkt. Povečavanjem broja ciklusa ne možemo više povečati broj kopija i zato što nakon otprilike 40. ciklusa udio pogrešnih hibridiziranja (krivo sparenih fragmenata) naglo raste, tako da će rezultat biti jedna nejasna mrlja nekorisna za očitavanje. Znanstvenici su se dosjetili kako da poboljšaju ovu metodu na način da se i vrlo male količine DNA mogu uspješno umnožiti. Metoda se zove nested PCR.

16 Neobično ime za vrlo jednostavan postupak. Metoda se temelji na primjeni dvostrukog PCR-a. 1. Načini se prvi PCR postupak s malom količinom DNA. 2. PCR produkt iz prve PCR reakcije koristi se kao kalup za novi PCR. PCR reakcijska smjesa se ponovo načini na isti način kao i za prvi PCR, jedino primeri nisu isti. U odnosu na primere iz prvog PCR-a, novi primeri su smješteni unutar PCR produkta prve reakcije. Otuda i eng.naziv «nested» koji se može slobodnije prevesti i kao «ugnježdeni», unutarnji primeri ( slika 9). Ovom metodom moguće je dokazati vrlo male početne količine DNA, a najviše se koristi u analizama malih količina cdna ( transkribiranih RNA molekula) u dokazivanju niske ekspresije gena u ispitivanom tkivu. Slika 11. Princip «nested» PCR-a: Plavom bojom su označeni primeri prve PCR reakcije i prvi PCR produkt; crvenom bojom su označeni nested (unutrašnji) primeri i drugi, manji PCR produkt.

17 Multiplex PCR Ova aplikacija PCR-a predstavlja mogućnost da se načini istovremena analiza više segmenata istog uzorka DNA u jednoj epruveti, koristeći više parova primera Metoda je odgovor na pitanje- ako želimo u istom uzorku izolirane DNA učiniti vise amplifikacija, možemo li jednostavno u reakciju dodati više parova primera? Chamberlain je godine prvi pokazao da je to moguće koristio je šest parova primera i uspješno je načinjena multiplex amplifikacija. U slučaju manjeg broja fragmenata za uspješno očitavanje biti će nam dovoljna i njihova različita dužina koju uočavamo na običnom agaroznom gelu, metodom elektroforeze. U slučaju značajnijeg porasta broja fragmenata pomoci će nam označavanje primera različitim fluorescentnim bojama i razdvajanje PCR produkta metodom kapilarne elektroforeze (Slika 12.).Također, veliki broj amplificiranih fragmenata se može dokazati metodama hibridizacije na pločicama ili na specijalno pripremljenim hibridizacijskim membranama ( strip tehnologija). Kod ove metode najteže je načiniti optimizaciju uvjeta PCR reakcije. Jedan od osnovnih uvjeta je da primeri moraju imati slične optimalne temperature za vezanje (podjednaka dužina i GC sastav). Ova metoda, ako je dobro postavljena, je vrlo informativna i uglavnom se koristi u identifikaciji (identifikacija humanih ostataka, forenzika, dokazivanje očinstva) i tipizaciji sustava s multiplim alelima na lokusima (tipizacija HLA).

18 PRIMJER MULTIPLEX- PCR ANALIZE. Slika 12. Primjer multiplex (višestrukog) PCR-a. Umjesto na gelu, multipli PCR produkti prikazani su metodom kapilarne elektroforeze, kao niz pikova, jer je rezolucija ovom metodom puno veća ( na gelu bi se vidjela samo duža, kontinuirana mrlja, bez pravih vrpci). Primjena PCR metode Mogućnosti primjene PCR-a u ovom trenutku su neograničene. U svakom slučaju PCR će još dugo vremena biti u molekularnoj biologiji metoda izbora. PCR metoda se primjenjuju kao osnovna metoda ili kao metoda koja treba osigurati dovoljnu količinu DNA za daljnje analitičke postupke kao što su sekvenciranje, kloniranje, hibridiziranje. Posebno je propulzivno područje molekularne medicine, gdje se PCR koristi u dijagnostici nasljednih i stečenih bolesti, malignih bolesti, infektivnih bolesti, u prenatalnoj medicini, u praćenju efikasnosti molekularno usmjerene terapije, u farmakogenetici i forenzici.

19 Daljnji razvoj PCR tehnika Na osnovama PCR metode razvijeno je niz novih postupaka koji su prilagođeni potrebama eksperimentalnih zahtjeva i razinama osjetljivosti i specifičnosti samog eksperimentalnog ili analitičkog modela.najznačajnije inovacije su: RT- PCR (Reverse transcription -PCR) RT-PCR je metoda u kojoj je polazni genetski materijal molekula RNA. Budući se zbog svoje strukture ( uracil umjesto timina) ne može direktno amplificirati pomoću DNA polimeraze, u prvom koraku reakcije RNA se prepiše (transkribira) pomoću enzima reverzne transkriptaze u komplementarnu DNA (cdna) i zatim je cdna dovoljna da bude kalup za amplifikaciju segmenta RNA od interesa. Područje primjene je vrlo veliko. Na primjer, na ovaj način se može dokazati transkripcija jednog gena u točno određenom tkivu ili stanici. Eksponencijalna amplifikacija nakon reverzne transkripcije je metoda visoke osjetljivosti koja omogućuje da se vrlo mali broj RNA molekula uspješno detektira. RT-PCR je našao široku primjenu u dijagnostici genetskih bolesti, a posebno u analizama ekspresije gena u različitim tkivima. RT-PCR se koristi u postupcima kloniranja gena eukariota u prokariote. Budući geni eukariota sadrže introne koji su prisutni u intronima, ali ne i u vjesničkoj RNA (mrna), cdna koja se generira u RT- PCR postupku je identična DNA molekuli koja će biti, nakon transkripcije, prevedena u odgovarajući protein. Ovaj postupak se primjenjuje u proizvodnji specifičnih, visoko pročišćenih i rekombinantnih proteinskih molekula. RT-PCR se često koristi u dijagnostici neoplastičnih bolesti koje u podlozi imaju kromosomske translokacije. U tim slučajevima RT-PCR metoda je optimalni izbor za detekciju novonastalih hibridnih transkripata. U molekularnoj dijagnostici RT-PCR se koristi za dokazivanje RNA virusa ( virus hepatitisa C, HIV, virusi influece A).

20 . Real-time PCR Real- time PCR ( PCR u «realnom» vremenu) je postupak koji se temelji na standardnom PCR-u. Isti su neophodni uvjeti: dobro izolirana DNA, optimalno izabrani primeri za reakciju i optimizirani svi stupnjevi PCR reakcije ( denaturacija, izbor i uvjeti vezanje primera, sinteza DNA-elongacija komplementarnog DNA lanca). Osnovna razlike i veliko tehnološko unapređenje je uvođenje simultanog sustava za detekciju PCR produkta. Nekoliko je paralelnih pristupa: 1. Primjena kemijskog spoja ( npr. SYBER GREEN) koji se može ugraditi između nukleotida dvostruke uzvojnice DNA i pri tome emitira fluorescenciju. U slobodnoj formi spoj ne emitira svjetlo, tako da je taj efekt iskorišten za praćenje porasta fluorescencije u svakom ciklusu PCRa, što je indirektna mjera za količinu nastalog PCR produkta ( Slika 13). 2. Primjena primera obilježenih fluorescentnim spojevima, tako da se amplifikacija DNA prati preko ugradnje primera u PCR produkt, a zapravo se generira porast intenziteta fluorescencije. 3. Primjena standardnih primera i specijalnih proba koje su komplementarne segmentu ciljne regije DNA, a obilježene su različitim kombinacijama spojeva koji emitiraju svjetlosnu energiju i spojeva koji blokiraju takvo djelovanje.tijekom PCR reakcije dinamika odnosa ovih spojeva se mijenja, tako da se kao krajnji efekt mjeri porast energije zračenja u obliku fluorescentne svjetlosti. Primjeri za takav pristup su FRET sustav koji je razvila tvrtka ROCHE Diagnostics i TaqMan probe američke tvrtke Applied Biosystems.

21 Slika 13. Metoda detekcije nastalog PCR produkta ugradnjom fluprescentnog spoja SYBER Green. U tipičnoj reakciji, PCR produkt nastaje eksponencijalno. Budući da treba nekoliko ciklusa da bi se umnožilo dovoljno DNA kopija, krivulja odnosa intenziteta fluorescencije prema broju ciklusa pokazuje sigmoidalni oblik. U kasnim ciklusima supstrati reakcije (DNA, dinukleotidi, enzim) bivaju iscrpljeni, PCRprodukt se više ne udvostručuje i krivuljeprelazi u ravan oblik «plato». Točka na krivulji kada se intenzitet fluorescencije naglo povećava, obično nekoliko standardnih devijacija iznad bazne linije, naziva se granični ciklus (the threshold cycle (Ct value). ( Slika 14.)

22 Slika 14. Intenzitet fluorescencije u odnosu na broj ciklusa i granični ciklus (prag) Ct ( označen crvenom kružnicom). Grafički prikaz odnosa Ct vrijednosti prema koncentraciji DNA kalupa je linearan, tako da usporedba Ct vrijednosti između različitih reakcija (uzoraka) omogućava izračunavanje koncentracije određene ciljne nukleinske kiseline (DNA ili RNA). Nagib pravca predstavlja mjeru PCR učinkovitosti. ( Slika 15.) Slika 15. Grafički prikaz odnosa Ct vrijednosti prema koncentraciji DNA kalupa. Osnova za kvantifikaciju startne nukleinske kiseline.

23 Pojedini Real-time uređaji omogućuju korisnicima da nakon završetka PCR reakcije, u postupku koji se zove krivulja taljenje DNA ( melting curve ) generiraju dodatne podatke o specifičnosti PCR produkta i mogućoj pojavi primer-dimera. Primer-dimeri nastaju kada je količina DNA uzorka jako mala, primeri su u suvišku i zbog nespecifičnosti, vežu se jedni na druge generirajući nespecifični PCR produkt. ( Slika 16.) Slika 16. Krivulja taljenja pokazuje veliku specifičnost PCR reakcije. Svi analizirani uzorci svrstavaju se u okviru iste krivulje. Real Time PCR kvantifikacija PCR produkti mogu se apsolutno kvantificirati pomoću standarda ili relativno, usporedbom s kontrolnim genom. Za apsolutnu kvantifikaciju koja se temelji na standardnoj krivulji, za izradu krivulje mogu se koristiti plazmidna DNA ili drugi oblici DNA, uz uvjet da je apsolutna koncentracija svakog standarda poznata. Pri tome je važno napomenuti da učinkovitost PCR reakcije bude u istom rangu za standard i za testirani uzorak (Slika 17).

24 Slika 17. Standardna krivulja načinjena pomoću kontrolnog gena b-aktina. Učinkovitost PCR reakcije kod pročišćene DNA može biti veća u odnosu na kompleksni uzorak mješavine nukleinskih kiselina iz biološkog uzorka. U takvim slučajevima je relativna kvantifikacija pogodniji i jednostavniji model jer zahtjeva simultano mjerenje ekspresije houskeeping gena ili kontrolnog gena da bi se normalizirala vrijednost ekspresije ispitivanog gena. Ipak izbor odgovarajućeg kontrolnog gena može prouzročitit probleme jer ne mora biti ujednačeno eksprimiran u cijelom uzorku. Ovakvi problemi mogu se izbjeći izborom grupe housekeeping gena i normalizacijom u odnosu na sve njih, da bi se izbjegao efekt varijabilnosti.

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Imunofluorescencija. vizualizacija molekula protutijela obilježenih fluorokromom vezanih za antigene na stanicama ili tkivnim preparatima

Imunofluorescencija. vizualizacija molekula protutijela obilježenih fluorokromom vezanih za antigene na stanicama ili tkivnim preparatima Imunofluorescencija 1944. - Robert Coons protutijela se mogu označiti molekulama koje imaju sposobnost fluorescencije fluorokromi - apsorbiraju svjetlost jedna valne duljine (ekscitacija), a emitiraju

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Slabe kemijske veze, kemijski sastav stanice, DNA

Slabe kemijske veze, kemijski sastav stanice, DNA Slabe kemijske veze, kemijski sastav stanice, DNA Definicija i područje interesa molekularne biologije Funkcija Biokemija Genetika Proteini Geni Molekularna biologija Molekularna biologija sinteza genetike

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

Prostorni spojeni sistemi

Prostorni spojeni sistemi Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010. GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE 0 4 0 1 Lanci za vešanje tereta prema standardu MSZ EN 818-2 Lanci su izuzetno pogodni za obavljanje zahtevnih operacija prenošenja tereta. Opseg radne temperature se kreće

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija

PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju Referati za vježbe iz kolegija PRERADA GROŽðA Stručni studij kemijske tehnologije Smjer: Prehrambena

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Kolegij: Obrada industrijskih otpadnih voda Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Zadatak: Ispitati učinkovitost procesa koagulacije/flokulacije na obezbojavanje

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

TOLERANCIJE I DOSJEDI

TOLERANCIJE I DOSJEDI 11.2012. VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel OSNOVE STROJARSTVA TOLERANCIJE I DOSJEDI 1 Tolerancije dimenzija Nijednu dimenziju nije moguće izraditi savršeno točno, bez ikakvih odstupanja. Stoga, kada

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα