Analog Communications Systems, 4th ed., Oxford Univ. Press, Univ. of California, Berkeley:

Transcript

1 Στοχαστικά συστήματα & επικοινωνίες 28 Νοεμβρίου 203 /94 Οργανωτικά θέματα στην επικοινωνία Ταξινόμηση των σημάτων Θεματικό παράδειγμα: Ασύρματες επικοινωνίες Ανάλυση περιοδικού σήματος σε (συν)ημιτονική σειρά Ανάλυση περιοδικού σήματος σε εκθετική σειρά Χρονική απόκριση Μέτρο και φάση, εύρος ζώνης 2/94

2 Είδη και ορολογία φίλτρων Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο Η επικοινωνιακή ζεύξη ως φίλτρο 3/94 Οργανωτικά θέματα στην επικοινωνία Ταξινόμηση των σημάτων Θεματικό παράδειγμα: Ασύρματες επικοινωνίες Οργανωτικά θέματα Τρία παράλληλα τμήματα με διαφορά φάσης, βλ. πρόγραμμα στην ιστοσελίδα. Διδάσκοντες: Μιλτιάδης Αναγνώστου, Συμεών Παπαβασιλείου, Ιωάννα Ρουσσάκη Ολοι διδάσκουν σε όλα τα τμήματα. Ασκήσεις προς παράδοση (E), μετρούν προσθετικά με ποσοστό 0% στον τελικό βαθμό. Ενδιάμεσο διαγώνισμα (A), τελικό διαγώνισμα (B). Για περισσότερες πληροφορίες, βιβλιογραφία, διαφάνειες κ.λπ. βλ. ιστοσελίδα μαθήματος: Βαθμός = min{0, max{c A + c 2 B, B} + 0.E}, (c + c 2 = ) 4/94

3 Οργανωτικά θέματα στην επικοινωνία Ταξινόμηση των σημάτων Θεματικό παράδειγμα: Ασύρματες επικοινωνίες Σχετικές περιοχές 5/94 Οργανωτικά θέματα στην επικοινωνία Ταξινόμηση των σημάτων Θεματικό παράδειγμα: Ασύρματες επικοινωνίες Παρόμοια μαθήματα αλλού Stanford: Introduction to Communications (ΕΕ79), Prof. John Gill, βασικό βιβλίο: B. P. Lathi and Zhi Ding, Modern Digital and Analog Communications Systems, 4th ed., Oxford Univ. Press, Univ. of California, Berkeley: Random Processes in Systems (ΕΕ226), Prof. Michael Gastpar, βιβλία: R.G. Gallager, Stochastic Processes: A conceptual approach, Rick Durrett, Essentials of Stochastic Processes, Springer, 999. Rice University: Introduction to Probability and Random Signals (ELEC303), Assistant Prof. Farinaz Koushanfar, βιβλίο: D. Bertsekas, J. Tsitsiklis, Introduction to Probability, Athena Scientific, /94

4 Οργανωτικά θέματα στην επικοινωνία Ταξινόμηση των σημάτων Θεματικό παράδειγμα: Ασύρματες επικοινωνίες «Επικοινωνία» ή «τηλεπικοινωνία»; Παλιότερα χρησιμοποιούσαμε τον όρο τηλεπικοινωνίες, που υπονοεί αρκετή απόσταση. Σήμερα όμως μελετάμε την ανταλλαγή πληροφορίας σε μικρές (bluetooth, NFC) και μεγάλες αποστάσεις. Οι επικοινωνίες είναι μέρος της καθημερινής ζωής μας τόσο πολύ, που συχνά περνάει απαρατήρητη. 7/94 Οργανωτικά θέματα στην επικοινωνία Ταξινόμηση των σημάτων Θεματικό παράδειγμα: Ασύρματες επικοινωνίες Η επικοινωνία είναι μια διεπιστημονική υπόθεση... Κι εμείς εξετάζουμε μόνο ένα μικρό της μέρος. 8/94

5 Οργανωτικά θέματα στην επικοινωνία Ταξινόμηση των σημάτων Θεματικό παράδειγμα: Ασύρματες επικοινωνίες Η διαστρωματωμένη προσέγγιση: Οι βασικές αρχές 9/94 Οργανωτικά θέματα στην επικοινωνία Ταξινόμηση των σημάτων Θεματικό παράδειγμα: Ασύρματες επικοινωνίες Η διαστρωματωμένη προσέγγιση Το μάθημα αυτό περιορίζεται στο φυσικό επίπεδο, που αναλύεται στα τρία κεντρικά κουτιά της επόμενης διαφάνειας. 0/94

6 Οργανωτικά θέματα στην επικοινωνία Ταξινόμηση των σημάτων Θεματικό παράδειγμα: Ασύρματες επικοινωνίες Δομή των επικοινωνιακών συστημάτων Πηγή και αποδέκτης πληροφορίας. Πομπός - δέκτης: Σημεία επεξεργασίας της πληροφορίας ώστε να έχει μορφή κατάλληλη για να περάσει μέσα από τον δίαυλο. Επίπεδα δικτύου και ελέγχου: Εξασφαλίζουν την αξιόπιστη και αποτελεσματική χρήση των διαύλων και άλλων μέσων του δικτύου. /94 Οργανωτικά θέματα στην επικοινωνία Ταξινόμηση των σημάτων Θεματικό παράδειγμα: Ασύρματες επικοινωνίες Περιοδικά και μη περιοδικά σήματα (αααα...) (αυγό) 2/94

7 Οργανωτικά θέματα στην επικοινωνία Ταξινόμηση των σημάτων Θεματικό παράδειγμα: Ασύρματες επικοινωνίες Αιτιοκρατικά - τυχαία σήματα (DTMF n ) (λευκός θόρυβος) Dual-tone multi-frequency signaling 3/94 Οργανωτικά θέματα στην επικοινωνία Ταξινόμηση των σημάτων Θεματικό παράδειγμα: Ασύρματες επικοινωνίες Σήματα ενέργειας - σήματα ισχύος 0 < E g(t) 2 dt < 0 < P lim T 2T T T g(t) 2 dt < 4/94

8 Οργανωτικά θέματα στην επικοινωνία Ταξινόμηση των σημάτων Θεματικό παράδειγμα: Ασύρματες επικοινωνίες Ψηφιακό σήμα Ψηφιακό σήμα: Αποτελείται από σύμβολα ενός πεπερασμένου αλφαβήτου. Αν ένα σήμα περιοριστεί σε δείγματα που λαμβάνονται σε διακριτές χρονικές στιγμές και τα δείγματα ανήκουν σε διακριτές στάθμες, μπορεί να σταλεί ως ψηφιακό σήμα. 5/94 Οργανωτικά θέματα στην επικοινωνία Ταξινόμηση των σημάτων Θεματικό παράδειγμα: Ασύρματες επικοινωνίες Αναλογικά & ψηφιακά σήματα - όγκος πληροφορίας Αναλογικό σήμα: Συνεχής συνάρτηση του χρόνου, g : R R Σήμα διακριτού χρόνου: Ορίζεται σε διακεκριμένες στιγμές, g : I R (I αριθμήσιμο σύνολο) Σήμα διακριτού χρόνου με διακριτές στάθμες, g : I K (I, K αριθμήσιμα σύνολα). Σήμα διακριτού χρόνου με διακριτές στάθμες και κατόπιν κωδικοποιημένο μπορεί να παρασταθεί ως ψηφιακό σήμα, δηλαδη σήμα κατασκευασμένο από πεπερασμένο αλφάβητο. 6/94

9 Οργανωτικά θέματα στην επικοινωνία Ταξινόμηση των σημάτων Θεματικό παράδειγμα: Ασύρματες επικοινωνίες Γιατί μελετάμε τα αναλογικά σήματα... αφού ο κόσμος σήμερα γίνεται ψηφιακός; Αναλογικά συστήματα αναπτύσσονται και σήμερα. Για να καταλάβουμε τα υπάρχοντα και παλιότερα συστήματα. Για να καταλάβουμε καλύτερα τις ψηφιακές τεχνικές, που έλκουν την καταγωγή τους από τις αναλογικές. Επειδή πολλές παραμορφώσεις των αναλογικών σημάτων είναι αναλογικής φύσης. Επειδή η επικοινωνία γίνεται εν τέλει με συνεχή σήματα, που είναι αναλογικής φύσης. 7/94 Οργανωτικά θέματα στην επικοινωνία Ταξινόμηση των σημάτων Θεματικό παράδειγμα: Ασύρματες επικοινωνίες Απλοποιημένο δομικό διάγραμμα πομπού αλλαγή συχνότητας & φίλτρο 8/94

10 Οργανωτικά θέματα στην επικοινωνία Ταξινόμηση των σημάτων Θεματικό παράδειγμα: Ασύρματες επικοινωνίες Ιδιότητες του διαύλου Απώλεια διάδοσης, επιλεκτικότητα συχνοτήτων, χρονική διακύμανση, μη γραμμικότητα, από κοινού χρήση, πολυπλεξία, αλληλοπαρεμβολή, θόρυβος. 9/94 Οργανωτικά θέματα στην επικοινωνία Ταξινόμηση των σημάτων Θεματικό παράδειγμα: Ασύρματες επικοινωνίες Απλοποιημένο δομικό διάγραμμα δέκτη 20/94

11 Μαθηματικά εργαλεία: g(t) = G(f ) = G(f )e j2πft df g(t)e j2πft dt Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) 2/94 Συνθήκες Dirichlet Για να μπορεί να μετασχηματισθεί κατά Fourier μια συνάρτηση g(t) πρέπει να ικανοποιούνται οι εξής συνθήκες: Η g(t) πρέπει να είναι έχει πεπερασμένο πλήθος μέγιστων και ελάχιστων και πεπερασμένο πλήθος ασυνεχειών σε κάθε πεπερασμένο διάστημα. Πρέπει να είναι απολύτως ολοκληρώσιμη. Ολα τα σήματα ενέργειας ικανοποιούν τις παραπάνω συνθήκες. 22/94

12 Μέτρο και φάση της μετασχηματισμένης Η μετασχηματισμένη Fourier G(f ) μιας συνάρτησης g(t) είναι μιγαδική συνάρτηση που μπορεί να γραφεί με μέτρο και φάση: G(f ) = G(f ) e jθ(f ) όπου G(f ) είναι το συνεχές πλάτος του φάσματος της g(t) και θ(f ) η συνεχής φάση του φάσματος. Για πραγματικό σήμα g(t) η μετασχηματισμένη έχει την ιδιότητα G(f ) = G ( f ) οπότε το μέτρο είναι άρτια συνάρτηση, G(f ) = G( f ) και η φάση είναι περιττή συνάρτηση, θ( f ) = θ(f ). 23/94 Παράδειγμα: Ορθογώνιος παλμός Αν g(t) = rect(t/t ) (όπου rect(t) είναι ορθογώνιος παλμός πλάτους στο διάστημα ( /2, /2)), η μετασχηματισμένη Fourier είναι ίση με G(f ) = T 2 T 2 e j2πft dt = T sin(πft ) πft Παρατήρηση: Με τη μείωση της διάρκειας του παλμού πλαταίνει το αντίστοιχο φάσμα, π.χ. ο πρώτος μηδενισμός συμβαίνει στο /T. 24/94

13 Η συνάρτηση sinc(λ) της συνάρτησης sinc: sinc(λ) = sin πλ πλ Άρα το ζευγάρι μετασχηματισμού του προηγούμενου παραδείγματος γράφεται: rect ( t T ) F EGGGGG GGGGGC T sinc(ft ) sinc(λ) λ /94 Παράδειγμα: Εκθετικός παλμός στο θετικό ημιάξονα Εστω ο εκθετικός παλμός g(t) = u(t)e t Η μετασχηματισμένη του είναι η Άρα G(f ) = G(f ) = g(t)e j2πft dt = 0 e t e j2πft dt [e (+j2πf )t] ( + j2πf ) = 0 + j2πf 0.8 g(t) t 26/94

14 Παράδειγμα: Εκθετικός παλμός στον αρνητικό ημιάξονα Εστω ο εκθετικός παλμός g(t) = u( t)e t Η μετασχηματισμένη του είναι η Άρα G(f ) = G(f ) = + j2πf g(t)e j2πft dt = 0 [e ( +j2πf )t] e t e j2πft dt 0 = j2πf g(t) t 27/94 Παράδειγμα: Διπλός εκθετικός παλμός Εστω ο εκθετικός παλμός g(t) = u(t)e t + u( t)e t Με βάση τα δύο προηγούμενα παραδείγματα, η μετασχηματισμένη του g(t) με την ιδιότητα της γραμμικότητας είναι η G(f ) = + j2πf + j2πf = 2 + (2πf ) g(t) 2.5 G(f) t f 28/94

15 Γραμμικότητα: ag (t) + bg 2 (t) ag (f ) + bg 2 (f ) Εστω g(t) = ag (t) + bg 2 (t) Η μετασχηματισμένη είναι G(f ) = F{ag (t) + bg 2 (t)} = Άρα G(f ) = a g (t)e j2πft dt+b [ag (t) + bg 2 (t)]e j2πft dt g 2 (t)e j2πft dt = ag (f )+bg 2 (f )... και αντιστρόφως, δηλαδή F {ag (f ) + bg 2 (f )} = ag (t) + bg 2 (t) 29/94 Παράδειγμα: Διπλός εκθετικός παλμός Εστω ο εκθετικός παλμός g(t) = u( t)e t + u( t)e t Με βάση τα δύο προηγούμενα παραδείγματα, η μετασχηματισμένη του g(t) με την ιδιότητα της γραμμικότητας είναι η G(f ) = + j2πf + j2πf = 2 + (2πf ) g(t) 2.5 G(f) t f 30/94

16 Αλλαγή κλίμακας χρόνου: g(at) a G ( f a ) F{g(at)} = Εστω a > 0, θέτουμε τ = at: F{g(at)} = Για a < 0 προκύπτει ομοίως F{g(at)} = g(τ)e j2πf τ a g(τ)e j2πf τ a g(at)e j2πft dt a dτ = a G a dτ = a G ( ) f a ( ) f a 3/94 Παράδειγμα: Εκθετικός παλμός Εστω ο εκθετικός παλμός (a > 0) Επειδή g a (t) = u(t)e at g a (t) = u(t)e at = u(at)e at = g (t) η μετασχηματισμένη του είναι η G a (f ) = ( ) f a G = a a + j2π f a = a + j2πf 32/94

17 Δυϊσμός: G(t) g( f ) Από τη σχέση αντίστροφου μετασχηματισμού g( t) = G(f )e j2πft df Αν θέσουμε όπου t το f και αντιστρόφως: g( f ) = G(t)e j2πft dt Επομένως από τη βασική σχέση μετασχηματισμού Fourier η μετασχηματισμένη της G(t) είναι η g( f ). 33/94 Παράδειγμα: Παλμός sinc Εστω g(t) = sinc(2wt) Σε προηγούμενο παράδειγμα είδαμε ότι rect(t/t ) T sin(πft ) πft άρα με την προηγούμενη ιδιότητα T sinc(tt ) rect και αλλάζοντας το T με το 2W 2W sinc(2wt) rect = T sinc(ft ) ( f ) T ( f ) ( ) f = rect 2W 2W 34/94

18 Παράδειγμα: Αντιστροφή της G(f ) = u(f )e f Ποιο είναι το σήμα που στο πεδίο της συχνότητας δίνει την G(f ) = u(f )e f ; Με την ιδιότητα του δυϊσμού και πάλι: g(t) = j2πt = + (2πt) 2 + j2πt + (2πt) 2 Μπορείτε να παρατηρήσετε ότι αυτή τη φορά το σήμα στο πεδίο του χρόνου είναι μιγαδικό. 35/94 Ολίσθηση στο πεδίο του χρόνου οπότε g(t t 0 ) = G(f )e j2πf (t t 0) df g(t t 0 ) = e j2πft 0 G(f )e j2πft df e j2πft 0 G(f ) 36/94

19 Παράδειγμα: Ορθογώνιος παλμός μη συμμετρικός g(t) T t Ο ορθογώνιος παλμός του σχήματος έχει τον τύπο ( ) t T 2 g(t) = rect T Με βάση την προηγούμενη ιδιότητα και το προηγούμενο αποτέλεσμα ότι η μετασχηματισμένη του συμμετρικού ορθογ. παλμού πλάτους T είναι T sinc(ft ) G(f ) = e j2πf T 2 T sinc(ft ) = T sinc(ft )e jπft 37/94 Ολίσθηση συχνότητας ή θεώρημα της διαμόρφωσης G(f ) = F{g(t)e j2πf ct } = g(t)e j2π(f f c)t dt = G(f f c ) Το αποτέλεσμα αυτό λέγεται θεώρημα της διαμόρφωσης επειδή η μετάθεση στο πεδίο της συχνότητας επιτυγχάνεται με τη χρήση διαμόρφωσης. 38/94

20 Παράδειγμα: Παλμός ραδιοσυχνότητας Δίνεται ο παλμός ραδιοσυχνότητας με τύπο ( t ) g(t) = rect cos(2πf c t) T Με την παρατήρηση ότι cos(2πf c t) = 2 (ej2πf ct + e j2πf ct ) και την ιδιότητα της μετάθεσης στο πεδίο της συχνότητας: G(f ) = T 2 {sinc[t (f f c)] + sinc[t (f + f c )]} g(t) /fc t - 39/94 Παράδειγμα: Αποσβεννύμενο ημιτονοειδές κύμα g(t) /fc g(t) = e t sin(2πf c t)u(t) t - Με την παρατήρηση ότι sin(2πf c t) = 2j (ej2πf c t e j2πf c t ) και την ιδιότητα της μετάθεσης στο πεδίο της συχνότητας: G(f ) = [ ] 2j + j2π(f f c ) + j2π(f + f c ) 2πf c G(f ) = ( + j2πf ) 2 + (2πf c ) 2 Ποιο είναι το σχήμα αυτής της συνάρτησης; 40/94

21 G(f) f -fc fc 4/94 Εμβαδό κάτω από τη g(t): g(t)dt = G(0) Στη σχέση μετασχηματισμού G(f ) = g(t)e j2πft dt θέτουμε f = 0 και προκύπτει g(t)dt = G(0) 42/94

22 Παράδειγμα: Εφαρμογή στον ορθογωνικό παλμό Είδαμε σε προηγούμενο παράδειγμα ότι g(t) = rect(t/t ) T sin(πft ) πft Προφανώς g(t)dt = T = G(0) 43/94 Παράδειγμα: Ολοκλήρωμα της συνάρτησης sinc(t) 0.8 sinc(λ) λ Απο προηγούμενο παράδειγμα sinc(2wt) rect ( f 2W ) οπότε sinc(t) rect(f ) Εφαρμόζοντας την τελευταία ιδιότητα: sinc(t)dt = rect(0) = 44/94

23 Παραγώγιση στο πεδίο του χρόνου: dg(t) dt j2πfg(f ) Από τη σχέση g(t) = G(f )e j2πft df παίρνοντας την παράγωγο και στα δύο μέλη και εναλλάσσοντας την παράγωγο με το ολοκλήρωμα dg(t) dt = G(f ) d dt ej2πft df και τελικά dg(t) dt = j2πfg(f )e j2πft df 45/94 Παλμός Gauss Πρόβλημα: Υπάρχει συνάρτηση g(t) που να έχει την ίδια μορφή στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο της συχνότητας, δηλαδή F{g(t)} = g(f ); Είδαμε προηγουμένως ότι dg(t) dt j2πfg(f ) Ομοίως αποδεικνύεται ότι j2πtg(t) dg(f ) df Επομένως αν ισχύει η ιδιότητα dg(t) dt = 2πtg(t) μετασχηματίζοντας αμφότερα τα μέλη κατά Fourier θα πάρουμε j2πfg(f ) = dg(f ) df 46/94

24 Επομένως η g(t) και η G(f ) θα ικανοποιούν την ίδια διαφορική εξίσωση στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο της συχνότητας. Λύνοντας τη μία εξ αυτών, π.χ. αυτήν που περιγράφει το g(t), παίρνουμε g(t) = e πt2 και τελικά e πt2 e πf 2 Πόσο είναι το e πt2 dt; 47/94 Ολοκλήρωση στο πεδίο του χρόνου: Αν G(0) = 0, ισχύει t g(τ)dτ j2πf G(f ) Στη σχέση g(t) = d dt [ ] tg(τ)dτ μετασχηματίζουμε αμφότερα τα μέλη και παίρνουμε { } G(f ) = j2πf F tg(τ)dτ από την οποία προκύπτει η { F } tg(τ)dτ = G(f ) j2πf 48/94

25 Παράδειγμα: Τριγωνικός παλμός Να υπολογισθεί η μετασχηματισμένη του τριγωνικού παλμού g(t) του σχήματος Η συνάρτηση αυτή μπορεί να θεωρηθεί ολοκλήρωμα της παρακάτω συνάρτησης p(t) 49/94 Ομως p(t) = rect με μετασχηματισμένη ( t + T 2 T ) + rect ( t T 2 T P(f ) = T sinc(ft )e jπft +T sinc(ft )e jπft = 2jT sinc(ft ) sin(πft ) και P(0) = 0, οπότε τελικά G(f ) = j2πf P(f ) = T sinc(ft )sin(πft ) πf ) = T 2 2 sinc(ft ) 50/94

26 Μετασχηματισμένη της συζυγούς συνάρτησης: g (t) G ( f ) Στη σχέση αντίστροφου μετασχηματισμού g(t) = G(f )ej2πft df παίρνουμε τους συζυγείς και στα δύο μέλη: g (t) = και αντικαθιστώντας το f με f G (f )e j2πft df g (t) = G ( f )e j2πft df που σημαίνει ότι αντίστροφη της G ( f ) είναι η g (t). 5/94 Μετασχηματισμένες του πραγματικού και φανταστικού μέρους ενός σήματος Δεδομένου ότι g(t) = R[g(t)] + ji[g(t)] και g (t) = R[g(t)] ji[g(t)] προκύπτουν αμέσως τα εξής: R[g(t)] = 2 [g(t) + g (t)] R[g(t)] 2 [G(f ) + G ( f )] I[g(t)] = 2j [g(t) g (t)] R[g(t)] 2j [G(f ) G ( f )] Στη περίπτωση που το σήμα g(t) είναι πραγματικό θα ισχύει (από την τελευταία) G(f ) = G ( f ) 52/94

27 Πολλαπλασιασμός στο χρόνο: g (t) g 2 (t) G (f ) G 2 (f ) Εστω G 2 (f ) = F{g (t) g 2 (t)} = g (t)g 2 (t)e j2πft dt Την g 2 (t) αντικαθιστούμε με G 2(φ)e j2πφt dφ: G 2 (f ) = Θέτουμε λ = f φ G 2 (f ) = g (t)g 2 (φ)e j2π(f φ)t dφdt g (t)g 2 (f λ)e j2πλt dλdt 53/94... και αντιστρέφουμε τη σειρά της ολοκλήρωσης [ ] G 2 (f ) = G 2 (f λ) g (t)e j2πλt dt dλ Το εσωτερικό ολοκλήρωμα είναι η G (λ), οπότε G 2 (f ) = G 2 (f λ)g (λ)dλ Επομένως ο πολλαπλασιασμός αντιστοιχεί σε συνέλιξη: g (t) g 2 (t) G (f ) G 2 (f ) 54/94

28 Περικεκομμένος παλμός sinc Είναι γνωστό ότι sinc(2wt) 2W rect ( ) f 2W Τι θα γίνει όμως αν περικοπεί ο παλμός sinc ώστε να έχει πεπερασμένο μήκος T ; g(t) T/2 t Δηλαδή, έστω ότι ( t ) g(t) = sinc(2wt) rect T 55/94 G(f ) = T 2W G(f ) = Αν τεθεί Si(u) = u 0 sin x x ( ) λ rect sinc[(f λ)t ]dλ 2W T 2W dx W W sinc[(f λ)t ]dλ G(f ) = [Si(πWT πft ) + Si(πWT + πft )] 2πW 2W G(f) W f 56/94

29 Ανάλυση περιοδικού σήματος σε (συν)ημιτονική σειρά Ανάλυση περιοδικού σήματος σε εκθετική σειρά Ανάλυση Fourier περιοδικού σήματος σε σειρά αρμονικών όρων ( ) 2πnt g p (t) = a a n cos + 2 n= T 0 /2 T 0 ( ) 2πnt b n sin n= όπου a n = T0 /2 ( ) 2πnt g p (t) cos dt n =, 2,... T 0 b n = T 0 T0 /2 T 0 /2 T 0 T 0 ( ) 2πnt g p (t) sin dt n =, 2,... T 0 57/94 Ανάλυση περιοδικού σήματος σε (συν)ημιτονική σειρά Ανάλυση περιοδικού σήματος σε εκθετική σειρά Ορθογώνιες συναρτήσεις T0 /2 T 0 /2 ( ) ( ) 2πmt 2πnt cos cos dt = T 0 T 0 { T0 /2 (m = n) 0 (m n) T0 /2 T 0 /2 ( ) ( ) 2πmt 2πnt sin sin dt = T 0 T0 /2 T 0 /2 T 0 { T0 /2 (m = n) 0 (m n) ( ) ( ) 2πmt 2πnt sin cos dt = 0 T 0 T 0 58/94

30 Ανάλυση περιοδικού σήματος σε (συν)ημιτονική σειρά Ανάλυση περιοδικού σήματος σε εκθετική σειρά Γενίκευση: Διανυσματικοί χώροι Η ανάλυση κατά Fourier είναι γενικά της μορφής g p (t) = i a i f i (t) που είναι ειδική περίπτωση διανυσματικού χώρου. Συγκρίνετε με το παράδειγμα 3-διάστατου χώρου: 59/94 Ανάλυση περιοδικού σήματος σε (συν)ημιτονική σειρά Ανάλυση περιοδικού σήματος σε εκθετική σειρά Γενίκευση: Ανάλυση Fourier σε διανυσματικούς χώρους Για κάθε ζεύγος διανυσμάτων f, g ορίζουμε το εσωτερικό γινόμενο f, g, που έχει τις εξής ιδιότητες (αν c, c 2 είναι μιγαδικοί εν γένει συντελεστές): f, c g + c 2 g 2 = c f, g + c 2 f, g 2 (γραμμική) c f + c 2 f 2, g = c f, g + c 2 f, g 2 (αντιγραμμική) Δύο διανύσματα με την ιδιότητα λέγονται ορθογώνια. f, g = 0 60/94

31 Ανάλυση περιοδικού σήματος σε (συν)ημιτονική σειρά Ανάλυση περιοδικού σήματος σε εκθετική σειρά Ορθοκανονική βάση Μια βάση της οποίας τα διανύσματα e i έχουν την ιδιότητα e i, e j = δ ij λέγεται ορθοκανονική ( ) Εν προκειμένω οι αρμονικές συναρτήσεις 2 T cos 2πnt 0 T ( ) 0 και 2 T sin 2πnt 0 T 0 που είδαμε με το εσωτερικό γινόμενο f (t), g(t) = T0 /2 T 0 /2 f (t)g(t)dt αποτελούν ορθοκανονική βάση. 6/94 Ανάλυση περιοδικού σήματος σε (συν)ημιτονική σειρά Ανάλυση περιοδικού σήματος σε εκθετική σειρά Προσδιορισμός των συντελεστών Fourier Εστω ότι ένα διάνυσμα f προσδιορίζεται από τη βάση ως f = i a i e i Πώς υπολογίζονται οι συντελεστές a i ; Σχηματίζουμε το εξής εσωτερικό γινόμενο e j, f = e j, i a i e i = i a i e j, e i = i a i δ ji = a j Επομένως a j = e j, f 62/94

32 Ανάλυση περιοδικού σήματος σε (συν)ημιτονική σειρά Ανάλυση περιοδικού σήματος σε εκθετική σειρά Μέσο τετραγωνικό σφάλμα σε προσέγγιση N όρων Εστω ότι η συνάρτηση f προσεγγίζεται μόνο με N όρους, δηλαδή μέσω της συνάρτησης ˆf = N a i e i i= Να δείξετε ότι το μέσο τετραγωνικό σφάλμα ισχύει f (t) ˆf (t) 2 dt f ˆf, f ˆf = a i 2 i=n+ 63/94 Ανάλυση περιοδικού σήματος σε (συν)ημιτονική σειρά Ανάλυση περιοδικού σήματος σε εκθετική σειρά Παράδειγμα Να αναλυθεί σε σειρά Fourier το περιοδικό σήμα Λύση: b n = ( )n+ πn n =, 2,... x(t) = 2 n= ( ) n+ πn sin(πnt) 64/94

33 = 2 π sin(πt) π sin(2πt) 65/94 Ανάλυση περιοδικού σήματος σε (συν)ημιτονική σειρά Ανάλυση περιοδικού σήματος σε εκθετική σειρά Στο ίδιο παράδειγμα: Η επίδραση του πλήθους των όρων x(t) 2 n= ( ) n+ πn sin(πnt) = 2 π sin(πt) x(t) 2 2 n= ( ) n+ πn sin(πnt) Ανάλυση περιοδικού σήματος σε (συν)ημιτονική σειρά Ανάλυση περιοδικού σήματος σε εκθετική σειρά Στο ίδιο παράδειγμα: Η επίδραση του πλήθους των όρων x(t) 2 3 n= ( ) n+ πn sin(πnt) = 2 π sin(πt) π sin(2πt) + 2 3π sin(3πt) x(t) 4 n= ( ) n+ πn sin(2πnt) = 2 π sin(πt) π sin(2πt) + 2 3π sin(3πt) 8π sin(4πt) 66/94

34 Ανάλυση περιοδικού σήματος σε (συν)ημιτονική σειρά Ανάλυση περιοδικού σήματος σε εκθετική σειρά Παράδειγμα: Ανάλυση ορθογωνικού παλμού Λύση: a n = /0 /0 cos(2πnt)dt = sin ( ) πn 5 πn 67/94 Ανάλυση περιοδικού σήματος σε (συν)ημιτονική σειρά Ανάλυση περιοδικού σήματος σε εκθετική σειρά Στο ίδιο παράδειγμα: Προσέγγιση με N όρους x(t) N n= sin ( ) πn 5 πn 68/94

35 Ανάλυση περιοδικού σήματος σε (συν)ημιτονική σειρά Ανάλυση περιοδικού σήματος σε εκθετική σειρά Ανάλυση περιοδικού σήματος σε εκθετική σειρά T 0 /2 ( ) j2πnt g p (t) = c n exp n= όπου c n = T0 /2 ( ) j2πnt g p (t) exp dt (n =...,, 0,,...) T 0 T 0 T 0 69/94 Ανάλυση περιοδικού σήματος σε (συν)ημιτονική σειρά Ανάλυση περιοδικού σήματος σε εκθετική σειρά Ιδιότητες των μιγαδικών συντελεστών c n Για πραγματικό σήμα g p (t) c n = c n ή αλλιώς c n = c n arg(c n ) = arg(c n ) 70/94

36 Ανάλυση περιοδικού σήματος σε (συν)ημιτονική σειρά Ανάλυση περιοδικού σήματος σε εκθετική σειρά Παράδειγμα: Ορθογώνιος περιοδικός παλμός Ανάλυση σε εκθετική σειρά: T 0 c n = T /2 T /2 exp( j2πnf 0 t)dt = j2πnf 0 [exp( j2πnf 0 t)] T /2 T /2 = ej2πnf 0T /2 e j2πnf 0T /2 j2πnf 0 ( ) Άρα c n = T T 0 sinc nt T 0, όπου sinc(λ) = = sin πnf 0T πnf 0 = T sinc(nf 0 T ) sin πλ πλ 7/94 Ανάλυση περιοδικού σήματος σε (συν)ημιτονική σειρά Ανάλυση περιοδικού σήματος σε εκθετική σειρά Παράδειγμα: Η επίδραση του πλήθους των όρων Αναπαράσταση ενός τετραγωνικού παλμού με πεπερασμένη σειρά Fourier με τις πρώτες N =, 2, 3,... αρμονικές (δηλαδή με τους όρους της σειράς για n ως,2,3,...) Σημείωση: Στο σχήμα παραπάνω σχήμα περιλαμβάνεται μόνο το μέρος του σήματος στο διάστημα ( T /2, T /2). Ο υπολογισμός έχει γίνει με MATLAB. 72/94

37 Ανάλυση περιοδικού σήματος σε (συν)ημιτονική σειρά Ανάλυση περιοδικού σήματος σε εκθετική σειρά Παράδειγμα: Η επίδραση του πλήθους των όρων Αναπαράσταση ενός τετραγωνικού παλμού με πεπερασμένη σειρά Fourier με τις πρώτες N =, 2,..., 25 αρμονικές Σημείωση: Στο σχήμα παραπάνω σχήμα περιλαμβάνεται μόνο το μέρος του σήματος στο διάστημα ( T /2, T /2). Ο υπολογισμός έχει γίνει με MATLAB. 73/94 Χρονική απόκριση Μέτρο και φάση, εύρος ζώνης Σύστημα Σύστημα: Φυσική διάταξη που παράγει ένα σήμα εξόδου σε απόκριση ενός σήματος εισόδου. διέγερση Σύστημα απόκριση 74/94

38 Χρονική απόκριση Μέτρο και φάση, εύρος ζώνης Γραμμικό Σύστημα Ισχύουν οι εξής δύο αρχές: Η αρχή της κλιμάκωσης: Αν για την είσοδο x(t) εμφανίζεται η απόκριση y(t), για την είσοδο λx(t) θα εμφανισθεί η έξοδος λy(t). Η αρχή της υπέρθεσης: Αν για την είσοδο x (t) εμφανίζεται η απόκριση y (t) και για την είσοδο x 2 (t) εμφανίζεται η απόκριση y 2 (t), για την είσοδο x (t) + x 2 (t) θα εμφανισθεί η έξοδος y (t) + y 2 (t). 75/94 Χρονική απόκριση Μέτρο και φάση, εύρος ζώνης Χρονική απόκριση Κάθε χρονικά αμετάβλητο σύστημα έχει μια μοναδική κρουστική απόκριση: Γραμμικό σύστημα Η απόκριση σε οποιαδήποτε είσοδο μπορεί να υπολογιστεί με βάση την κρουστική απόκριση και με την αρχή της υπέρθεσης: 76/94

39 Χρονική απόκριση Μέτρο και φάση, εύρος ζώνης Προσέγγιση του εισερχομένου σήματος Το αρχικό σήμα x(t) προσεγγίζεται σε πρώτη φάση από τμηματικά σταθερό σήμα, δηλαδή στο διάστημα [k τ, (k + ) τ) θεωρείται ότι παραμένει ίσο με την τιμή του στην αρχή του διαστήματος, δηλαδη x(k τ) (ή εναλλακτικά σε οποιοδήποτε άλλο σημείο, π.χ. στο μέσο). Στη συνέχεια «προσεγγίζεται» από την x(k τ)δ(t k τ) τ k=0 77/94 Χρονική απόκριση Μέτρο και φάση, εύρος ζώνης Προσέγγιση του εξερχομένου σήματος Εφόσον το εισερχόμενο σήμα είναι k= x(k τ)δ(t k τ) τ το εξερχόμενο σήμα είναι, επειδή στο γραμμικό σύστημα ισχύει η επαλληλία, x(k τ)h(t k τ) τ k= που για τ 0 τείνει στο x(τ)h(t τ)dτ 78/94

40 Χρονική απόκριση Μέτρο και φάση, εύρος ζώνης Παράδειγμα: Φίλτρο απομαστευμένης γραμμής καθυστέρησης (tapped delay line filter) Εστω ότι η κρουστική απόκριση φίλτρου είναι μηδενική για t < 0 και για t T f. Η έξοδος y(t) για είσοδο x(t) είναι y(t) = x(τ)h(t τ)dτ = h(τ)x(t τ)dτ = Tf 0 h(τ)x(t τ)dτ Θέτοντας t = n τ, τ = k τ και N = T f / τ, η έξοδος προσεγγίζεται από την y(n τ) = N k=0 h(k τ)x(n τ k τ) τ = N k=0 w k x(n τ k τ) όπου w k = h(k τ) τ. 79/94 Χρονική απόκριση Μέτρο και φάση, εύρος ζώνης Η σχέση εισόδου εξόδου y(n τ) = N k=0 w k x(n τ k τ) μπορεί να υλοποιηθεί με το παρακάτω φίλτρο: 80/94

41 Χρονική απόκριση Μέτρο και φάση, εύρος ζώνης Αιτιότητα και ευστάθεια Ενα γραμμικό, χρονικά αμετάβλητο σύστημα είναι αιτιατό αν η κρουστική του απόκριση h(t) μηδενίζεται για t < 0. Ενα σύστημα ονομάζεται ευσταθές όταν το σήμα εξόδου είναι φραγμένο για κάθε φραγμένο σήμα εισόδου (BIBO Bounded Input Bounded Output): Αν x(t) M, y(t) = M : x(t) M N : y(t) N h(τ)x(t τ)dτ M h(τ) dτ οπότε αναγκαία και ικανή συνθήκη για ΒΙΒΟ είναι h(τ) dτ < 8/94 Χρονική απόκριση Μέτρο και φάση, εύρος ζώνης Απόκριση σε εκθετική συνάρτηση Αν x(t) = exp(j2πf 0 t) y(t) = = exp(j2πf 0 t) h(τ)x(t τ)dτ = h(τ) exp[j2πf 0 (t τ)]dτ h(τ) exp( j2πf 0 τ)dτ = H(f 0 ) exp(j2πf 0 t) Άσκηση: Να υπολογίσετε αντίστοιχα την έξοδο όταν είσοδος είναι x(t) = cos(2πf 0 t) και όταν x(t) = sin(2πf 0 t). 82/94

42 Χρονική απόκριση Μέτρο και φάση, εύρος ζώνης Απόκριση σε οποιαδήποτε είσοδο Εστω ότι εισέρχεται σήμα x(t). Μέσω του μετασχ. Fourier μπορεί να γραφεί ως ή σε οριακή μορφή x(t) = x(t) = lim f 0 οπότε η έξοδος είναι y(t) = lim f 0 = k= k= Y (f ) = H(f )X (f ) X (f ) exp(j2πft)df X (k f ) exp(j2πk f t) f H(k f )X (k f ) exp(j2πk f t) f H(f )X (f ) exp(j2πft)df Χρονική απόκριση Μέτρο και φάση, εύρος ζώνης 83/94 Μέτρο και φάση της συνάρτησης μεταφοράς Αν H(f ) = H(f ) exp[jβ(f )] και η κρουστική απόκριση είναι πραγματικό σήμα: H(f ) = H( f ) και β(f ) = β( f ) Ορισμένες φορές χρησιμοποιείται αντί της H(f ) ο λογάριθμός της: ln H(f ) = ln H(f ) + jβ(f ) = α(f ) + jβ(f ) Η συνάρτηση α(f ) λέγεται κέρδος και μετράται σε nepers, η φάση β(f ) μετράται σε ακτίνια. Χρησιμοποιείται επίσης ο δεκαδικός λογάριθμος μέσω της συνάρτησης α (f ) που μετράται σε decibel (db). α ln H(f ) (f ) = 20 log 0 H(f ) = 20 ln 0 Άρα neper = 8,69 db. 8,69 ln H(f ) = 8,69 α(f ) 84/94

43 Χρονική απόκριση Μέτρο και φάση, εύρος ζώνης Εύρος ζώνης 3 db Εύρος ζώνης 3 db είναι η περιοχή συχνοτήτων που το κέρδος δεν αλλάζει πάνω από 3 db. Απόκριση συχνότητας ενισχυτή ακουστικών συχνοτήτων, 934. db Hz Στάθμη ήχου παραγόμενου από προσωπικό υπολογιστή. 85/94 Χρονική απόκριση Μέτρο και φάση, εύρος ζώνης Εύρος ζώνης 3 db α (f ) α (f 2 ) = 3 20 log 0 H(f ) 20 log 0 H(f 2 ) = 3 H(f ) 20 log 0 H(f 2 ) = 3 H(f ) H(f 2 ) = 03/20, /94

44 Χρονική απόκριση Μέτρο και φάση, εύρος ζώνης Κριτήριο Paley-Wiener Ενα φίλτρο είναι αιτιατό αν και μόνον αν α(f ) + f 2 df < 87/94 Είδη και ορολογία φίλτρων Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο Η επικοινωνιακή ζεύξη ως φίλτρο Είδη και ορολογία φίλτρων Βαθυπερατό φίλτρο Ζωνοπερατό φίλτρο 88/94

45 Είδη και ορολογία φίλτρων Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο Η επικοινωνιακή ζεύξη ως φίλτρο Παράδειγμα: Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο Η συνάρτηση μεταφοράς του ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου ορίζεται ως: H(f ) = { K exp( j2πft0 ), B f B 0, f > B 89/94 Είδη και ορολογία φίλτρων Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο Η επικοινωνιακή ζεύξη ως φίλτρο Παράδειγμα: Κρουστική απόκριση ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου h(t) = F {H(f )} = B B exp[j2πf (t t 0 )]df = sin[2πb(t t 0)] π(t t 0 ) h(t) 0 για t < 0, οπότε δεν είναι αιτιατό. 90/94

46 Είδη και ορολογία φίλτρων Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο Η επικοινωνιακή ζεύξη ως φίλτρο Παράδειγμα: Απόκριση ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου σε ορθογώνιο παλμό Ορθογώνιος παλμός διάρκειας T εισάγεται σε ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο εύρους ζώνης B. Ζητείται η απόκριση. Αμελώντας την καθυστέρηση, η κρουστική απόκριση του φίλτρου είναι h(t) = 2B sinc(2bt) και η απόκριση είναι y(t) = x(τ)h(t τ)dτ = 2B T /2 T /2 sin[2πb(t τ)] dτ 2πB(t τ) 9/94 Είδη και ορολογία φίλτρων Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο Η επικοινωνιακή ζεύξη ως φίλτρο Απόκριση ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου σε ορθογώνιο παλμό 92/94

47 Είδη και ορολογία φίλτρων Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο Η επικοινωνιακή ζεύξη ως φίλτρο Σχεδιασμός φίλτρων Ο σχεδιασμός γίνεται συνήθως σε δύο φάσεις:. Προσέγγιση της επιθυμητής απόκρισης με μια υλοποιήσιμη συνάρτηση μεταφοράς. 2. Υλοποίηση της συνάρτησης μεταφοράς από μια φυσική διάταξη. Η προσεγγιστική συνάρτηση μεταφοράς είναι της μορφής G(s) = H(f ) j2πf =s = K (s z )(s z 2 )... (s z m ) (s p )(s p 2 )... (s p n ) Για βαθυπερατά & ζωνοπερατά φίλτρα m > n. Αν το σύστημα είναι αιτιατό, η συνθήκη ΒΙΒΟ ικανοποιείται εφόσον i : R[p i ] < 0 93/94 Είδη και ορολογία φίλτρων Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο Η επικοινωνιακή ζεύξη ως φίλτρο Η επικοινωνιακή ζεύξη ως φίλτρο Εκτός των φίλτρων που είναι μέρος ενός τηλεπικοινωνιακού συστήματος, ο ίδιος ο δίαυλος λειτουργεί ως φίλτρο. Παράδειγμα: Ραδιομετάδοση με διπλή διόδευση: Η κρουστική απόκριση π.χ. είναι της μορφής h(t) = δ(t) + ae jφ δ(t τ) H(f ) = + ae jφ e j2πf τ = + ae φ j2πf τ H(f ) = [ + a cos(φ j2πf τ)] 2 + a 2 sin 2 (φ j2πf τ) H(f ) = + a 2 + 2a cos(φ j2πf τ) 94/94