TURINGOVI STROJEVI = 4... Tablica 1. Traka Turingovog stroja
|
|
- Ἡλί Κορνάρος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 TURINGOVI STROJEVI VEDRAN ŠEGO Turingov stroj jedan je od najvažnijih objekata teorijskog računarstva. Riječ je o teorijskom konceptu pomoću kojeg se definiraju mnogi važni pojmovi: klase složenosti algoritama, izračunljivost,... Definicija 1 (Turingov stroj). Turingov stroj je uredena sedmorka (Q, S, T, b, q 0, F, δ), pri čemu je Q = {q 0, q 1,...,q N } konačan skup stanja, S konačan skup znakova s kojima stroj radi (abeceda trake), T konačan skup znakova koji se mogu naći na traci prije početka rada stroja (ulazna abeceda); T S, b S \ T tzv. prazan simbol; oznaka da je polje prazno, q 0 Q početno stanje rada stroja, F Q skup završnih stanja i δ : Q S Q S {S, L, D}, gdje S označava stani, L lijevo, a D desno. Iako formalna definicija djeluje zastrašujuće, interpretacija samog stroja je jednostavna i jako nalikuje na današnja računala. Stroj ima = 4... Tablica 1. Traka Turingovog stroja beskonačnu traku i glavu koja se po toj traci kreće (za jedno mjesto lijevo ili desno) dok ne stane, te čita podatke s trake i zapisuje nove. Traka predstavlja hard disk (kojeg, praktički, na današnjim računalima imamo neograničeno jer je lako nadogradiv/zamjenjiv i relativno jeftin, a postoje i razni sistemi distribuiranog pristupa ogromnom broju diskova odjednom 1 ). Stanja (kojih ima proizvoljno, ali konačno mnogo) predstavljaju radnu memoriju. Stanja (broj i ulogu) moramo odrediti prilikom sastavljanja stroja, dok se po traci možemo kretati koliko god želimo, bez da smo unaprijed predvidjeli koliko je duga u bilo kojem smjeru (zato jer je beskonačna). Izmedu stanja možemo skakati po potrebi (tj. iz svakog stanja možemo prijeći u svako drugo stanje ili ostati u istom stanju), što 1 Primjer distribuiranog računala je opće poznati Google, koji prema procjenama ima oko pola milijuna računala u tzv. računalnoj farmi; više možete naći na Wikipediji: 1
2 2 VEDRAN ŠEGO pokazuje pristupačnost radne memorije. Traku moramo čitati po redu, tj. ne postoji način da odjednom skočimo na neko mjesto, nego glavu treba pozicionirati (što je u skladu s osnovnim ponašanjem diskova; oni samo imaju nešto više slobode prilikom kretanja glave, no to ne donosi nikakve konceptualne razlike). Na početku rada stroja, na traci se nalazi nekakav zapis analogon ulaznim podacima programa. Ti znakovi opisani su ulaznom abecedom, koja je očiti pandan tipova ulaznih podataka algoritma. Analizirajmo definiciju funkcije: δ : Q S Q S {S, L, D}. Turingov stroj nalazi se u stanju q Q, na nekoj poziciji na traci, odakle je pročitao znak s S. U ovisnosti o ta dva parametra (i samo ta dva parametra!), on prelazi u novo stanje q Q, zapisuje novi znak s S na traku (na istu poziciju na kojoj se nalazi), te pomiče glavu za jedno mjesto u lijevo ili u desno (ili ostane stajati na istom mjestu), tj. obavi pomak iz skupa {S, L, D}. Jedan korak rada Turingovog stroja možemo opisati petorkom (q, s, q, s, m), q, q Q, s, s S, m {S, L, D} koja u potpunosti opisuje jedno pridruživanje funkcije δ: (q, s) δ (q, s, m), q, q Q, s, s S, m {S, L, D} Proces rada Turingovog stroja (tj. funkcija δ) u potpunosti je odreden konačnim skupom petorki opisanog oblika. Definiramo da stroj staje s radom kada dode u završno stanje i napravi pomak S, tj. kad funkcija δ izvrši preslikavanje (q i, x) δ (q p, y, S), x, y S, q i Q, q p F. Postoji više ekvivalentnih modela Turingovih strojeva: nedeterministički: δ nije funkcija, nego samo relacija, višetračni: stroj u svakom trenutku operira na više traka, s poluograničenom trakom: traka stroja ograničena je s jedne strane. Mi ćemo raditi s gore opisanim, determinističkim jednotračnim Turingovim strojem s (obostrano) beskonačnom trakom. Napomena 1 (Početna pozicija glave). Ako u zadatku nije eksplicitno zadana početna pozicija glave stroja, morate ju sami odrediti (i napisati (opisno) koja je). Zadatak 1. Konstruirajte Turingov stroj koji na praznu traku zapisuje X+X=2X. Rješenje. Traka je na početku prazna, pa je potpuno svejedno gdje se glava nalazi. Zato, iznimno, preskačemo odredivanje početnog položaja glave.
3 TURINGOVI STROJEVI 3 Napišimo prvo rješenje u skladu s definicijom 1: Q = {q 0, q 1, q 2, q 3, q 4, q 5, q f }, S = {, X, +, =, 2}, T =, b =, q 0 = q 0, F = {q f }, Potrebno je definirati i funkciju δ, što ćemo napraviti popisivanjem svih stanja u koja stroj može doći i svih znakova koje može pročitati, te definiranjem novih stanja i zapisanih znakova za sve takve situacije (s desne strane je nacrtano stanje trake nakon svakog koraka): početno stanje δ(q 0, ) = (q 1, X, D), δ(q 1, ) = (q 2, +, D), δ(q 2, ) = (q 3, X, D), δ(q 3, ) = (q 4, =, D), δ(q 4, ) = (q 5, 2, D), δ(q 5, ) = (q f, X, S) X X X + X X + X = X + X = X + X = 2 X... U ovom zadatku potrebno je samo zapisati nekakve podatke na traku, bez obzira na to što na traci već piše. Zbog toga su sve definicije funkcije δ oblika δ(q, ) =... (jer znamo da je traka prazna), što općenito neće biti slučaj. Stanja nam ovdje služe samo da upamtimo koji znak idući treba zapisati. Funkciju prijelaza zapisali smo eksplicitno, funkcijski. Postoje i drugačiji načini zapisivanja istog Turingovog stroja: tablično: Q S q 0 q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 1, X, D q 2, +, D q 3, X, D q 4, =, D q 5, 2, D q f, X, S
4 4 VEDRAN ŠEGO tj. općenito: Q S... q i..... a j... δ(q i, a j ).. automatno : : X, D : +, D : X, D q 0 q 1 q 2 q 3 Početno stanje Završno stanje q f : X, S q 5 : 2, D q 4 : =, D pri čemu je: a j : a k, m q i q l δ(q i, a j ) = (q k, a l, m) Na ispitu smijete koristiti bilo koji od opisanih zapisa (jer su medusobno ekvivalentni). Dapače, izbor zapisa ponekad može ovisiti i o samom zadatku (kao što ćemo vidjeti u zadacima). Zadatak 2. Na inače praznoj traci zapisan je n-teroznamenkasti broj, n > 0, u sustavu s bazom 3. Konstruirajte Turingov stroj koji tom broju dodaje 1. Glava stroja nalazi se na krajnjoj lijevoj znamenci broja, a sam broj ne može započinjati znamenkom 0. Rješenje. Ideja: prvo trebamo glavu pomaknuti na najdesniju znamenku (pomicanjem na desno do prvog razmaka i onda jedno mjesto lijevo), a zatim zadnjoj znamenci treba dodati 1. Pri tome, ako je zadnja znamenka bila 2, pišemo 0, pomičemo glavu jedno mjesto u lijevo i ponavljamo postupak povećavanja znamenke. Ako u tom pomicanju na lijevo dodemo do razmaka, na njegovo mjesto treba zapisati jedinicu, jer to znači da je početni broj bio oblika (22...2) 3. Ako želimo čitati traku, tj. proći po nekom dijelu trake bez pisanja, to radimo tako da čitamo i pišemo isti znak. 2 : 2,D :,L 1 : 2, S q 1 : 1,D 0 q 1 q 0 : 1, S 2 q f : 1, S 2 : 2,D 1 : 1,D 0 : 0,D 2 : 0, L
5 Objašnjenja stanja: TURINGOVI STROJEVI 5 q 0 čitanje prve znamenke (smije se maknuti, tj. možemo uredno početi i od stanja q 1 ), q 1 pomicanje iza najdesnije znamke (pri prelasku u stanje q 2 vraćamo se za jedno mjesto lijevo), q 2 nadodajemo 1. Općenito, dobro je napisati objašnjenja stanja, jer to pomaže u čitljivosti stroja. Umjesto pobrajanja svih znakova, smijemo zapisati i simbolički: i 2 : 2, D 1 : 1, D 0 : 0, D 1 : 2, S 0 : 1, S : 1, S x : x, D, x {0, 1, 2} x : x + 1, S, x {0, 1} : 1, S Pri takvoj pokrati mora biti jednoznačno odredeno što se čita i što se piše. Izmedu ostalog, to znači da je nužno navesti iz kojeg skupa su eventualno korištene varijable (u prikazanom primjeru x {0, 1, 2} i x {0, 1}). Pazite da ne obuhvatite preveliki raspon varijabli, jer greškom možete dobiti nedeterministički Turingov stroj! Takoder, nemojte koristiti varijable čiji naziv upada u neku od abeceda (stroja ili trake), jer se time gubi jednoznačnost oznake. Ako niste potpuno sigurni da je neka pokrata u redu, napišite cjelokupno rješenje, bez pokrata! Zadatak 3. Konstruirajte Turingov stroj koji prepoznaje da li je na traci zapisano aa }{{...a} bb...b }{{}, m+2 n+1 za neke m, n N 0, odnosno riječ jezika L = {a m+2 b n+1, m, n N 0 }. Poznato je da je na traci zapisana točno jedna riječ. Rješenje. Potrebno je provjeriti nalazi li se na traci riječ koja se sastoji samo od slova a i b, s time da su svi a ispred svih b, te ima barem dva slova a i barem jedno b. Kada stroj treba pružiti neku informaciju (npr. je li zapisana riječ nekakava ili ne), to se radi tako da se kreira više završnih stanja. Pri tome treba zapisati koje stanje označava koju informaciju. Mi ćemo stanje riječ je traženog oblika zvati q DA, a stanje riječ nije traženog oblika ćemo zvati q NE. U ovakvim zadacima je nužno navesti objašnjenja završnih stanja!
6 6 VEDRAN ŠEGO U zadatku nije zadano gdje se nalazi glava stroja, pa za početni položaj glave odredujemo krajnji lijevi znak zapisane riječi, ako je riječ uopće zapisana (tj. ako pročitamo razmak, znači da na traci nije zapisano ništa). a : a,d a : a,d a : a,d q 0 q 1 q 2 :,S b : b,s :,S b : b,s :,S b : b,d b : b,d q NE a : a,s q 3 q DA :,S Stanje q 0 je početno. Ako u njemu pročitamo išta osim slova a, riječ nije oblika kakav tražimo (jer smo pročitali ili razmak, što znači praznu riječ, ili slovo b, što znači da ispred svih slova b nema niti jednog a ). U stanju q 1 smo pročitali jedno slovo a, što nije dovoljno, pa je logika jednaka kao za stanje q 0. U stanju q 2 nalazimo se ako smo od početka riječi pročitali barem dva slova a. Svako iduće slovo a vraća nas u isto stanje, jer je nebitno koliko ima slova a dok god ih ima barem dva i sva su prije slova b. Pročitamo li razmak u stanju q 2, znači da smo došli do kraja riječi bez i jednog pročitanog slova b, što opet znači da riječ nije dobra. Stanje q 3 označava stanje u kojem smo pročitali barem dva slova a i barem jedno slovo b. Nakon toga, svako čitanje slova b vraća nas u isto stanje. Čitanje slova a nas šalje u stanje q NE jer to znači da postoji slovo a koje se nalazi iza slova b. Ako u stanju q 3 pročitamo prazan znak, to znači da smo došli do kraja riječi i da je ona točno onakva kakva se traži, pa stroj odlazi u stanje q DA. Zadatak 4. Riješite prethodni zadatak: a) uz početni položaj glave na krajnjem desnom znaku zapisane riječi i b) uz dodatni zahtjev da glava stroja mora završiti iza zadnjeg znaka riječi, bez obzira zadovoljava li ta riječ uvjet zadatka ili ne. Uputa. Zadatak a) možete riješiti na dva načina: invertiranjem prethodnog rješenja (tj. provjerom da prvo idu slova b, pa tek onda slova a, uz micanje na lijevo) ili pomicanjem glave na krajnji lijevi znak i primjenom prethodnog rješenja. Probajte riješiti na oba načina!
7 TURINGOVI STROJEVI 7 Zadatak b) rješava se dodavanjem još jednog stanja koje će biti zamjena za stanje q NE. To dodatno stanje služi za slanje glave iza riječi, te se tek nakon dolaska do kraja riječi ide u stanje q NE. Stanje q DA ne treba mijenjati jer u njemu završavamo isključivo iza zadnjeg znaka riječi. Zadatak 5. Konstruirajte Turingov stroj koji pronalazi ostatak pri dijeljenju sa 7 broja zapisanog na traci u sustavu s bazom 8. Glava stroja je pozicionirana na najdesnijoj znamenci broja. Ostatak treba zapisati negdje na traci. Rješenje. U zadatku se traži da rješenje bude zapisano negdje na traci, što znači da možemo sami odabrati gdje će to biti, ali je potrebno napisati gdje se rezultat nalazi. Kako s čitanjem broja krećemo s najdesnije znamenke, mi ćemo rezultat zapisati lijevo od najlijevije znamenke. Poznato je (v. vježbe iz Programiranja 1) da je ostatak dijeljenja sa 7 broja zapisanog u bazi 8 jednak ostatku pri dijeljenju sumi znamenaka broja sa 7. Induktivno, na tu sumu možemo primijeniti isti kriterij. To znači da računamo sumu znamenaka modulo 7. Uvest ćemo stanja kojima ćemo pamtiti trenutni ostatak sume znamenaka početnog broja pri dijeljenju sa 7: (( k ) ) q i = a j mod 7 = i, i {0, 1,..., 6} j=0 pri čemu je k {0, 1,..., n} korak u kojem se stroj nalazi (tj. indeks zadnje pročitane znamenke), (a n a n 1...a 0 ) 8 je broj koji je bio zapisan na traci, a s x mod y označavamo ostatak pri dijeljenju x s y. Ako se stroj nalazi u stanju q i i pročita znamenku z, on odlazi u stanje q (i+z) mod 7. Kad pročitamo razmak, znači da smo pročitali cijeli broj, pa je potrebno samo zapisati rezultat (tj. index stanja u kojem se nalazimo). Primijetite: u svakom stanju (njih 7) možemo pročitati bilo koju znamenku (njih 8) ili razmak, što je ukupno 7 9 = 63 mogućnosti. Tablični i automatni prikaz su očito nepraktični, ali zbog pravilnosti u formulama možemo pribjeći funkcijskom zapisu: ili δ(q i, z) = (q (i+z) mod 7, z, L), i {0, 1,..., 6}, z {0, 1,..., 7}, δ(q i, ) = (q f, i, S), i {0, 1,..., 6}, δ(q i, z) = { (q (i+z) mod 7, z, L), z {0, 1,..., 7} (q f, i, S), z =, i {0, 1,..., 6}. Zadatak 6. Na traci Turingovog stroja zapisan je broj u sustavu s bazom 6. Konstruirajte Turingov stroj koji dani broj množi s (216) 10.
8 8 VEDRAN ŠEGO Rješenje. Primijetite: (216) 10 = ((6) 10 ) 3 = ((10) 6 ) 3 = (1000) 6. To znači da je množenje broja zapisanog u bazi 6 brojem (216) 10 ekvivalentno dopisivanju tri nule na kraj broja, tj. (a n a n 1...a 0 ) 6 (216) 10 = (a n a n 1...a 0 ) 6 (1000) 6 = (a n a n 1...a 0 000) 6. Početni položaj glave na traci nije zadan, pa ga odredujemo sami: krajnja desna znamenka broja. x {0, 1,..., 5} x : x, D : 0, D q 0 q 1 q 2 : 0,S : 0, D q f q 3 Zadatak 7. Na inače praznoj traci Turingovog stroja nalazi se zapisan simbol x. Konstruirajte Turingov stroj koji pronalazi simbol x na traci, odnosno pozicionira glavu stroja na njega. Pozicija glave stroja na početku nije poznata (ali ju ne smijete sami zadati). Uputa. Dodajte pomoćni simbol, pa šećite s glavom lijevo-desno (u svakom prolazu za jedno mjesto dalje nego u prošlom prolazu, a dodatnim simbolom označite kuda ste prošli) dok ne pronadete simbol. Česta greška u ovakvim zadacima je pomaknimo glavu skroz lijevo/desno, što je besmisleno jer je traka beskonačna! Zadatak 8. Na traci Turingovog stroja nalazi se broj zapisan u sustavu s bazom 7. Konstruirajte Turingov stroj koji dani broj na traci množi sa (49) 10 ako a) na početku rada stroja sami pozicioniramo glavu i b) stroj mora raditi neovisno o početnom položaju glave. Uputa. Primijetite: (49) 10 = (100) 7. Zadatak b) kombinira množenje s b k i prethodni zadatak. Zadatak 9. Na traci Turingovog stroja nalazi se broj zapisan u sustavu s bazom 4. Konstruirajte Turingov stroj koji dani broj na traci množi sa (64) 10, te mu dodaje broj (101) 2. Uputa. Kako je (64) 10 = (1000) 4 i (101) 2 = (11) 4, zadatak se svodi na dopisivanje znakova 011 na kraj broja.
9 TURINGOVI STROJEVI 9 Zadatak 10. Na inače praznoj traci Turingovog stroja nalaze se dva znaka x odvojena barem jednim praznim poljem. Konstruirajte Turingov stroj koji prostor izmedu ta dva znaka popunjava znakovima y. Stroj mora raditi za svaki početni položaj glave. Zadatak 11. Na traci Turingovog stroja nalazi se broj zapisan u sustavu s bazom 5. Konstruirajte Turingov stroj koji broju dodaje (22) 5. Uputa. Za početni položaj glave uzmite krajnju desnu znamenku, te pomoću stanja pamtite jedan dalje (odnosno nula dalje ). Zadatak 12. Na traci Turingovog stroja nalazi se broj zapisan u sustavu s bazom 3. Konstruirajte Turingov stroj koji broju dodaje (22) 3. Uputa. Uz realizaciju zbrajanja (kao u prethodnom zadatku), ovaj zadatk možete riješiti kombiniranjem dodavanja i oduzimanja jedinice, jer je (22) 3 = (100) 3 (1) 3. Zadatak 13. Na traci Turingovog stroja nalazi se niz znakova iz skupa S = {a, b, c}, pri čemu se svaki znak može pojaviti nula ili više puta. Konstruirajte Turingov stroj koji ispred najlijevijeg znaka b dodaje znak x. Pri tome, originalne znakove treba pomaknuti (tj. niti jedan ne smije biti izbrisan). Rješenje. Sami biramo položaj glave stroja. Kako nas zanima najlijeviji znak b, za početni položaj glave biramo prvi (s lijeva) znak u zapisanom nizu. Najprije je potrebno pronaći prvi znak b, što radimo čitanjem i micanjem u desno (slično pozicioniranju glave na najdesniji kraj riječi, samo što ovdje tražimo b, a ne razmak). To radimo u početnom stanju (q t ), koje nam označava traženje prvog znaka b. Nakon što pronademo znak b, na njegovo mjesto upisujemo znak x, te odlazimo u stanje q b. Dalje čitamo znakove (pomičući glavu prema desno) dok ne dodemo do razmaka. Pri tome, u stanju q z zapisujemo znak z (što označava prethodni pročitani znak), te prelazimo u stanje z, pri čemu je z znak koji se nalazio na traci prije zapisivanja znaka z. Drugim riječima, taj dio rada Turingovog stroja opisuje funkcija: δ(q z, z) = (q z, z, (D)), z, z S. Kad pročitamo razmak (tj. dodemo do kraja niza znakova), na njegovo mjesto zapisujemo znak koji odgovara stanju stroja. Ako znak b uopće ne nademo, tj. dodemo do razmaka u (početnom) stanju q t, riječ ostaje nepromijenjena (tj. zapisujemo razmak i zaustavljamo stroj).
10 10 VEDRAN ŠEGO Funkcijski, stroj možemo zapisati ovako: (q t, z, D), q = q t i z {a, c} (q b, x, D), q = q t i z = b δ(q, z) = (q F,, S), q = q t i z = (q z, z, D), q = q z i z, z S (q F, z, S), q = q z, z = i z S pri čemu je početno stanje stroja q t, a završno stanje stroja q F. Primijetimo da postoji skok izmedu svaka dva stanja q a, q b i q a, što znači da su ta stanja povezana s 3 3 = 9 strelica, pa slika može djelovati nezgrapnije od funkcijskog zapisa: :,S, a : a,d q a : a,s q t b : x,d a : b,d b : a,d c : a,d b : b,d q b a : c,d : b,s q f a : a,d c : c,d b : c,d c : b,d q c : c,s c : c,d Zadatak 14. Riješite prethodni zadatak tako da znakove pomaknete u lijevo, a ne u desno, tj. da početno stanje trake umjesto u... a b a c... stroj pretvori u... a x b a c a x b a c...
11 TURINGOVI STROJEVI 11 Zadatak 15. Riješite zadatak 13 tako da stroj ispred svakog znaka b ubaci znak x. Uputa. Zadatak je najlakše riješiti modificiranjem rješenja originalnog zadatka na način da se nakon stanja q F glava stroja vraća na najdesniji x, te se pomiče dva mjesta udesno (iza pripadajućeg b ), jer je svim znakovima b lijevo od najdesnijeg x već dodan x. Nakon toga se postupak dodavanja znaka x ispred najljevijeg znaka b ponavlja. Dodatno, treba uvesti novo završno stanje (jer stari q F više nije završno stanje), u koje će stroj doći isključivo onda kad u stanju q t naide na razmak. Zadatak 16. Na traci Turingovog stroja nalazi se niz znakova iz skupa S = {a, b, c}, pri čemu se svaki znak može pojaviti nula ili više puta. Konstruirajte Turingov stroj koji briše najlijeviji znak b. Pri tome, originalne znakove treba pomaknuti (tj. u nizu ne smije ostati rupa ). Uputa. Kopiranje rješenja zadatka 13 neće polučiti dobar rezultat (zašto?). To rješenje je moguće donekle prilagoditi, ali je poprilično komplicirano. Jednostavniji pristup je: 1. Stroj pronalazi znak b. 2. Znak b zamjenjuje se praznim znakom. 3. Glava stroja pomiče se na krajnji lijevi ili desni kraj niza znakova (svejedno). 4. Niz znakova se pomiče za jedno mjesto u željenom smjeru do prvog razmaka (to je onaj na čijem mjestu je bio znak b ), na način na kojem je to napravljeno u rješenju zadatka 13. Zadatak 17. Riješite prethodni zadatak na način da stroj obriše sva pojavljivanja znaka b. Uputa. Ovdje je moguće rješenje originalnog zadatka modificirati kao i u slučaju zadatka 15, dakle ponavljanjem postupka za sve znakove b. Drugi način je da stroj lijevo ili desno od niza znakova zapiše neki znak kojeg nema na traci (npr. znak x ), te sve b zamijeni praznim znakom. Nakon toga, preostali komadići niza pomiču se za jedno mjesto jedan po jedan (svako pomicanje će spojiti dva susjedna niza) dok glava stroja ne dode do znaka x (koji predstavlja početak/kraj originalnog niza znakova). Pomoćni znak je nužan da bi smo razlikovali kraj jednog djelića niza (tj. mjesto gdje je obrisan znak b ) od kraja originalnog niza ( pravo prazno mjesto). Treći način je jednostavno pomicanje komadića niza do prvog b (njega se prepiše zadnjim pomaknutim znakom). To ponavljamo dok god ne dodemo do praznog znaka. Takvo rješenje rezultirat će pomicanjem svakog znaka barem za jedno mjesto.
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραKazimir Majorinc. Povijest Lispa 12. Razmjena vještina Hacklab u mami 10. studeni 2012.
Kazimir Majorinc Povijest Lispa 12. j Razmjena vještina Hacklab u mami 10. studeni 2012. MIT Research Laboratory of Electronics, Quarterly Progress Report, 15. travnja, 1959. Sadrži jednu od bar četiri
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραSortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραNOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραSignali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan
Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II tjedan Periodičnost signala Koji su od sljedećih kontinuiranih signala periodički? Za one koji jesu, izračunajte temeljni period a cos ( t ), b cos( π μ(, c j t
Διαβάστε περισσότεραSKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραPoglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi
Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.
Διαβάστε περισσότερα4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραSkup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }
VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότερα