ΣΥΛΛΟΓΗ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΣΤΗ ΜΕΓΑΛΗ ΒΡΕΤΑΝΙΑ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙTIΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΛΛΟΓΗ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΣΤΗ ΜΕΓΑΛΗ ΒΡΕΤΑΝΙΑ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ Ε. ΠΕΡΔΙΟΣ ΠΑΤΡΑ ΙΟΥΛΙΟΣ 2017

2 Στη μνήμη της πολυαγαπημένης μου γιαγιάς Γεωργίας

3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα διατριβή διπλώματος ειδίκευσης εκπονήθηκε στο Εργαστήριο Υδραυλικής Μηχανικής του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών, υπό την επίβλεψη του επίκουρου καθηγητή κ. Ανδρέα Λαγγούση. Αρχικά θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον κ. Λαγγούση για τη βοήθεια, την καθοδήγηση και την παρότρυνση που μου προσέφερε καθ όλη τη διάρκεια της διατριβής διπλώματος ειδίκευσης. Επίσης ιδιαίτερες ευχαριστίες αποδίδονται στους καθηγητές κ. Βασίλειο Καλέρη και κ. Αλέξανδρο Δημητράκοπουλο για τη συμμετοχή τους στην τριμελή εξεταστική επιτροπή. Ένα μεγάλο ευχαριστώ στη Λένα για την αγάπη και τη στήριξη που έδειξε κατά τη διάρκεια της παρούσας διατριβής. Επίσης, άλλο ένα θερμό ευχαριστώ ανήκει στους φίλους μου για την ενθάρρυνση που μου προσέφεραν αυτό το διάστημα. Τέλος οι μεγαλύτερες ευχαριστίες ανήκουν στους γονείς μου, για την εμπιστοσύνη και την ενθάρρυνση που μου προσέφεραν όλα αυτά τα χρόνια. i

4 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα διατριβή διπλώματος ειδίκευσης πραγματοποιήθηκε συλλογή δεδομένων από σταθμούς μετρήσεων στη Μεγάλη Βρετανία (National River Flow Archive, NRFA, ) και δημιουργήθηκε βάση η οποία αποτελείται από ημερήσιες χρονοσειρές απορροών (daily flow data), δευτερογενείς πληροφορίες για τους σταθμούς μέτρησης (gauging station information) και πληροφορίες για τις λεκάνες απορροής που αυτοί εξυπηρετούν (catchment information). Μετά τη δημιουργία της βάσης έγινε στατιστική ανάλυση των δεδομένων, με σκοπό την καλύτερη κατανόηση της διαθέσιμης πληροφορίας. Τέλος, έγινε ανάλυση με τη μέθοδο των αρχικών ροπών ώστε να χαρακτηριστεί η εξάρτηση των στατιστικών χαρακτηριστικών των μέγιστων ετήσιων απορροών από την επιφάνεια της λεκάνης απορροής (statistical scaling). Ειδικότερα, στο πρώτο κεφάλαιο παρατίθενται οι εξισώσεις που αφορούν τη στατιστική συμπεριφορά των μέγιστων ετήσιων απορροών συναρτήσει της έκτασης της λεκάνης απορροής. Ακόμα, γίνεται βιβλιογραφική ανασκόπηση σε προγενέστερες εργασίες και αναλύσεις. Στο δεύτερο κεφάλαιο γίνεται εκτενής αναφορά στις ενέργειες που ακολουθήθηκαν ώστε να συγκεντρωθούν οι διαθέσιμες πληροφορίες και να δημιουργηθεί η βάση δεδομένων, και επεξηγούνται οι πληροφορίες που περιέχονται σε κάθε αρχείο της βάσης. Εν συνεχεία, στο τρίτο κεφάλαιο, παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της στατιστικής αναλύσεως των μέγιστων ετήσιων τιμών Q max,yr των ημερήσιων χρονοσειρών απορροής της δημιουργηθείσας βάσης δεδομένων. Από τα αποτελέσματα της παραπάνω αναλύσεως, προκύπτει εξάρτηση της μέσης τιμής των τυποποιημένων χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων απορροών ( Q' max, yr Qmax, yr / A, όπου A το εμβαδό της λεκάνης απορροής) από τρείς παραμέτρους: δύο φυσιογραφικές (έκταση και μέση κλίση λεκάνης απορροής) και μια κλιματολογική (κανονικό ετήσιο ύψος βροχόπτωσης τριακονταετίας). Σύμφωνα με τα ανωτέρω ευρήματα, μπορούμε να εκτιμήσουμε τη μέση τιμή των μέγιστων ετήσιων απορροών σε κάθε σταθμό συναρτήσει αυτών των παραμέτρων. Για την εύρεση του φυσικά συνεπέστερου μοντέλου εκτίμησης, έγινε προσαρμογή και έλεγχος σε τρία εναλλακτικά μοντέλα παλινδρόμησης: ένα αθροιστικό τριών παραμέτρων, ένα πολλαπλασιαστικό τριών παραμέτρων, και ένα πολλαπλασιαστικό δύο παραμέτρων. ii

5 Στο τέταρτο κεφάλαιο, αναλύεται μια μεθοδολογία που χρησιμοποιεί τον συντελεστή μεταβλητότητας CV για τον χαρακτηρισμό της στατιστικής συμπεριφοράς των μέγιστων ετήσιων απορροών συναρτήσει της έκτασης της λεκάνης απορροής (statistical scaling). Στο πέμπτο κεφάλαιο, πραγματοποιούνται τρείς εναλλακτικές αναλύσεις με τη μέθοδο των αρχικών ροπών, με σκοπό να εξετασθεί η επίδραση που έχουν οι κλιματολογικές και φυσιογραφικές παράμετροι στο χαρακτηρισμό της στατιστικής συμπεριφοράς των μέγιστων ετήσιων απορροών συναρτήσει του μεγέθους της λεκάνης απορροής (statistical scaling). Τέλος, στο έκτο κεφάλαιο, συνοψίζονται τα αποτελέσματα και τα συμπεράσματα που προέκυψαν από τη παρούσα διατριβή διπλώματος ειδίκευσης. Από την ανάλυση που πραγματοποιήθηκε αναδείχθηκε ο σημαντικός ρόλος που διαδραματίζουν οι φυσιογραφικές και κλιματολογικές παράμετροι στη παρατηρούμενη στατιστική συμπεριφορά των μέγιστων ετήσιων απορροών Q max,yr ως συνάρτηση του μεγέθους της λεκάνης απορροής A (statistical scaling). Επίσης, με χρήση των αποτελεσμάτων της παρούσας διατριβής διπλώματος ειδίκευσης, καθίσταται δυνατή η εκτίμηση των μέγιστων ετήσιων απορροών σε περιοχές της Μεγάλης Βρετανίας όπου απουσιάζουν μετρήσεις. iii

6 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... i ΠΕΡΙΛΗΨΗ... ii ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ... iv ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΙΚΟΝΩΝ... vii ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ... viii ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ... xii 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΣΥΛΛΟΓΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΒΑΣΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ Ο ΡΟΛΟΣ ΤΟΥ NRFA ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΒΑΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Συλλογή και επεξεργασία αρχείων απορροής Δημιουργία βάσης δεδομένων στο Matlab ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Διαγράμματα μέσων τιμών Διάγραμμα μέσων τιμών των τυποποιημένων χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων απορροών Q' max,yr = Q max,yr /A, ως συνάρτηση του εμβαδού της λεκάνης απορροής Διάγραμμα μέσων τιμών των τυποποιημένων χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων απορροών Q' max,yr = Q max,yr /A, ως συνάρτηση της μέσης κλίσεως της λεκάνης απορροής iv

7 Διάγραμμα μέσων τιμών των τυποποιημένων χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων απορροών Q' max,yr = Q max,yr /A, ως συνάρτηση του κανονικού ετήσιου ύψους βροχής τριακονταετίας στη λεκάνη απορροής Διαγράμματα τυπικών αποκλίσεων Διαγράμματα συντελεστών ασυμμετρίας Διαγράμματα μέσης κλίσεως και βροχόπτωσης στη λεκάνης απορροής συναρτήσει του εμβαδού αυτής ΜΟΝΤΕΛΑ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΕΓΙΣΤΩΝ ΑΠΟΡΡΟΩΝ Εισαγωγή Προσδιορισμός αθροιστικού μοντέλου Προσδιορισμός κατανομής σφάλματος Έλεγχος μοντέλου εκτίμησης Προσδιορισμός πολλαπλασιαστικού μοντέλου Προσδιορισμός κατανομής σφάλματος Έλεγχος μοντέλου εκτίμησης ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ ΜΕΓΙΣΤΩΝ ΑΠΟΡΡΟΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΟΥ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΗΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΗΣ ΛΕΚΑΝΗΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΜΕΓΙΣΤΩΝ ΕΤΗΣΙΩΝ ΑΠΟΡΡΟΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ ΤΗΣ ΛΕΚΑΝΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ Διάγραμμα συντελεστών μεταβλητότητας των τυποποιημένων χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων απορροών Q' max,yr = Q max,yr /A, ως συνάρτηση του εμβαδού της λεκάνης απορροής Διάγραμμα συντελεστών μεταβλητότητας των τυποποιημένων χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων απορροών Q' max,yr = Q max,yr /A, ως συνάρτηση της μέσης κλίσεως και του κανονικού ετήσιου ύψους βροχής τριακονταετίας της λεκάνης απορροής ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ v

8 5 ΕΞΑΡΤΗΣΗ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΤΩΝ ΜΕΓΙΣΤΩΝ ΕΤΗΣΙΩΝ ΑΠΟΡΡΟΩΝ ΑΠΟ ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΗΣ ΛΕΚΑΝΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΡΩΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΡΙΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ-ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Βιβλιογραφία ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β vi

9 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΙΚΟΝΩΝ Εικόνα 1.2 Διάγραμμα CV μέγιστων ετήσιων απορροών Q max στα κεντρικά Απαλάχια, ως συνάρτηση του εμβαδού Α της λεκάνης απορροής (Robinson and Sivapalan 1997) Εικόνα 2.1 Αρχείο csv με δεδομένα απορροής Εικόνα 2.2 Θέση σταθμού 2001 πάνω στο χάρτη Εικόνα 2.3 Ομαδοποιημένη πληροφορίας υπό την μορφή μεταβλητών, για τον σταθμό μέτρησης με α/α 2001 στη δημιουργηθείσα βάση δεδομένων Εικόνα 4.1 Μεταβολή του συντελεστή μεταβλητότητας CV συναρτήσει του μεγέθους της λεκάνης απορροής A vii

10 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήμα 1.1 Αυτό-όμοια και στοχαστικά αυτό-όμοια συμπεριφορά εμπειρικών δεδομένων. 3 Σχήμα 3.1 Ραβδόγραμμα του πλήθους των σταθμών μέτρησης σύμφωνα με το ποσοστό ημερών ελλιπών μετρήσεων Σχήμα 3.2 Διάγραμμα μέσων τιμών των τυποποιημένων χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων απορροών (Q' max,yr = Q max,yr /A) των σταθμών, συναρτήσει του εμβαδού των λεκανών απορροής τους Σχήμα 3.3 Διάγραμμα μέσων τιμών των τυποποιημένων χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων απορροών (Q' max,yr = Q max,yr /A) των σταθμών, συναρτήσει της μέσης κλίσεως των λεκανών απορροής τους Σχήμα 3.4 Διάγραμμα μέσων τιμών των τυποποιημένων χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων απορροών (Q' max,yr = Q max,yr /A) των σταθμών, συναρτήσει του κανονικού ετήσιου ύψους βροχόπτωσης τριακονταετίας στη λεκάνη Σχήμα 3.5 Διάγραμμα τυπικών αποκλίσεων των τυποποιημένων χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων απορροών (Q' max,yr = Q max,yr /A) των σταθμών, συναρτήσει του εμβαδού των λεκανών απορροής τους Σχήμα 3.6 Διάγραμμα τυπικών αποκλίσεων των τυποποιημένων χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων απορροών (Q' max,yr = Q max,yr /A) των σταθμών, συναρτήσει της μέσης κλίσεως των λεκανών απορροής τους Σχήμα 3.7 Διάγραμμα τυπικών αποκλίσεων των τυποποιημένων χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων απορροών (Q' max,yr = Q max,yr /A) των σταθμών, συναρτήσει του κανονικού ετήσιου ύψους βροχόπτωσης τριακονταετίας στη λεκάνη Σχήμα 3.8 Διάγραμμα συντελεστών ασυμμετρίας των τυποποιημένων χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων απορροών (Q' max,yr = Q max,yr /A) των σταθμών, συναρτήσει του εμβαδού των λεκανών απορροής τους Σχήμα 3.9 Διάγραμμα συντελεστών ασυμμετρίας των τυποποιημένων χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων απορροών (Q' max,yr = Q max,yr /A) των σταθμών, συναρτήσει της μέσης κλίσεως των λεκανών απορροής τους viii

11 Σχήμα 3.10 Διάγραμμα συντελεστών ασυμμετρίας των τυποποιημένων χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων απορροών (Q' max,yr = Q max,yr /A) των σταθμών, συναρτήσει του κανονικού ετήσιου ύψους βροχόπτωσης τριακονταετίας στη λεκάνη Σχήμα 3.11 Διάγραμμα της μέσης κλίσεως της λεκάνης απορροής συναρτήσει του εμβαδού της Σχήμα 3.12 Διάγραμμα του κανονικού ετήσιου ύψους βροχόπτωσης τριακονταετίας στη λεκάνης απορροής συναρτήσει του εμβαδού της Σχήμα 3.13 Εμπειρική κατανομή σφάλματος εκτίμησης αθροιστικού μοντέλου βάσει όλων των σταθμών Σχήμα 3.14 Εμπειρική κατανομή σφάλματος εκτίμησης αθροιστικού μοντέλου βάσει των μισών σταθμών Σχήμα 3.15 Εμπειρική κατανομή σφάλματος εκτίμησης πολλαπλασιαστικού μοντέλου βάσει όλων των σταθμών Σχήμα 3.16 Εμπειρική κατανομή σφάλματος εκτίμησης πολλαπλασιαστικού μοντέλου βάσει των μισών σταθμών Σχήμα 4.1 Διάγραμμα συντελεστών μεταβλητότητας των τυποποιημένων χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων απορροών (Q' max,yr = Q max,yr /A) των σταθμών, συναρτήσει του εμβαδού των λεκανών απορροής τους Σχήμα 4.2 Διάγραμμα συντελεστών μεταβλητότητας των τυποποιημένων χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων απορροών (Q' max,yr = Q max,yr /A) των σταθμών, συναρτήσει της μέσης κλίσεως των λεκανών απορροής τους Σχήμα 4.3 Διάγραμμα συντελεστών μεταβλητότητας των τυποποιημένων χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων απορροών (Q' max,yr = Q max,yr /A) των σταθμών, συναρτήσει του κανονικού ετήσιου ύψους βροχόπτωσης τριακονταετίας Σχήμα 4.4 Συγκεντρωτικό διάγραμμα συντελεστών μεταβλητότητας μέγιστων ετήσιων απορροών συναρτήσει του εμβαδού της λεκάνης απορροής ix

12 Σχήμα 5.1 Διάγραμμα ροπής της τυχαίας μεταβλητής Qmax, yr / A συναρτήσει του εμβαδού της λεκάνης απορροής για q= Σχήμα 5.2 Διάγραμμα ροπής της τυχαίας μεταβλητής Qmax, yr / A συναρτήσει του εμβαδού της λεκάνης απορροής για q= Σχήμα 5.3 Διάγραμμα ροπής της τυχαίας μεταβλητής Qmax, yr / A συναρτήσει του εμβαδού της λεκάνης απορροής για q= Σχήμα 5.4 Διάγραμμα ροπής της τυχαίας μεταβλητής Qmax, yr / A συναρτήσει του εμβαδού της λεκάνης απορροής για q= Σχήμα 5.5 Διάγραμμα ροπής της τυχαίας μεταβλητής Qmax, yr / A συναρτήσει του εμβαδού της λεκάνης απορροής για q= Σχήμα 5.6 Διάγραμμα ροπής της τυχαίας μεταβλητής Qmax, yr / A συναρτήσει του εμβαδού της λεκάνης απορροής για q= Σχήμα 5.7 Διάγραμμα μεταβολής της κλίσεως συναρτήσει της τάξεως της ροπής Σχήμα 5.8 Διάγραμμα ροπής της τυχαίας μεταβλητής ( Q / A) / m ' συναρτήσει του max, yr εμβαδού της λεκάνης απορροής για q= Σχήμα 5.9 Διάγραμμα ροπής της τυχαίας μεταβλητής ( Q / A) / m ' συναρτήσει του max, yr εμβαδού της λεκάνης απορροής για q= Σχήμα 5.10 Διάγραμμα ροπής της τυχαίας μεταβλητής ( Q / A) / m ' συναρτήσει του max, yr εμβαδού της λεκάνης απορροής για q= Σχήμα 5.11 Διάγραμμα ροπής της τυχαίας μεταβλητής ( Q / A) / m ' συναρτήσει του max, yr εμβαδού της λεκάνης απορροής για q= Σχήμα 5.12 Διάγραμμα ροπής της τυχαίας μεταβλητής ( Q / A) / m ' συναρτήσει του max, yr εμβαδού της λεκάνης απορροής για q= x

13 Σχήμα 5.13 Διάγραμμα ροπής της τυχαίας μεταβλητής ( Q / A) / m ' συναρτήσει του max, yr εμβαδού της λεκάνης απορροής για q= Σχήμα 5.14 Διάγραμμα μεταβολής της κλίσεως συναρτήσει της τάξεως της ροπής Σχήμα 5.15 Διάγραμμα ροπής της τυχαίας μεταβλητής max, yr ^ ( Q / A) / m ' συναρτήσει του εμβαδού της λεκάνης απορροής για q= Σχήμα 5.16 Διάγραμμα ροπής της τυχαίας μεταβλητής max, yr ^ ( Q / A) / m ' συναρτήσει του εμβαδού της λεκάνης απορροής για q= Σχήμα 5.17 Διάγραμμα ροπής της τυχαίας μεταβλητής max, yr ^ ( Q / A) / m ' συναρτήσει του εμβαδού της λεκάνης απορροής για q= Σχήμα 5.18 Διάγραμμα ροπής της τυχαίας μεταβλητής max, yr ^ ( Q / A) / m ' συναρτήσει του εμβαδού της λεκάνης απορροής για q= Σχήμα 5.19 Διάγραμμα ροπής της τυχαίας μεταβλητής max, yr ^ ( Q / A) / m ' συναρτήσει του εμβαδού της λεκάνης απορροής για q= Σχήμα 5.20 Διάγραμμα ροπής της τυχαίας μεταβλητής max, yr ^ ( Q / A) / m ' συναρτήσει του εμβαδού της λεκάνης απορροής για q= Σχήμα 5.21 Διάγραμμα μεταβολής της κλίσεως συναρτήσει της τάξεως της ροπής xi

14 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας 3.1 Αποτελέσματα στατιστικής ανάλυσης για τον εκάστοτε σταθμό μέτρησης. 18 Πίνακας 3.2 Στατιστικά αποτελέσματα των διαφορών (residuals) Πίνακας 3.3 Στατιστικά αποτελέσματα των διαφορών (residuals) Πίνακας 3.4 Στατιστικά αποτελέσματα των σφαλμάτων (residuals) Πίνακας 3.5 Στατιστικά αποτελέσματα των σφαλμάτων (residuals) Πίνακας 5.1 Τιμές της αρνητικής κλίσεως σύμφωνα με τη μέθοδο των ροπών Πίνακας 5.2 Τιμές της αρνητικής κλίσεως σύμφωνα με τη μέθοδο των ροπών Πίνακας 5.3 Τιμές της αρνητικής κλίσεως σύμφωνα με τη μέθοδο των ροπών xii

15 1 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Η εκτίμηση της απορροής σε περιοχές που δεν υφίστανται δεδομένα μετρήσεων, ήταν και συνεχίζει να είναι ένα πολύ σημαντικό πρόβλημα στην Υδρολογία (βλέπε π.χ. Smith 1992, Gupta et al. 1994, Bhatti 2000 και αναφορές εντός των εργασιών αυτών). Μέχρι σήμερα, υπάρχουν ενδείξεις ότι μετά από κατάλληλο μετασχηματισμό (renormalization) τα στατιστικά χαρακτηριστικά των χρονοσειρών των μέγιστων ετήσιων απορροών είναι ανεξάρτητα της κλίμακας παρατήρησης (scale invariance) (βλέπε π.χ. Bhatti 2000, Langousis and Koutsoyiannis 2006, Veneziano et al. 2007, Veneziano and Langousis 2010 και αναφορές εντός των εργασιών αυτών). Έτσι σε μια στατιστικά ομοιογενή περιοχή, μας δίνεται η δυνατότητα να συσχετίσουμε τις κατανομές των μέγιστων ετήσιων απορροών, μεταξύ θέσεων που υφίστανται δεδομένα απορροής και θέσεων όπου δεν υπάρχουν διαθέσιμες μετρήσεις (βλέπε π.χ. Gupta et al. 1994, Pandey 1998, Menabde and Sivapalan 2001, Veneziano and Langousis 2010). Οι δύο μορφές εξάρτησης των στατιστικών χαρακτηριστικών από τη κλίμακα παρατήρησης (statistical scaling) που θα μας απασχολήσουν είναι: η στοχαστική αυτόομοιότητα (stochastic self-similarity) και η απλή αυτό-ομοιότητα (self-similarity or simple scaling). Έστω στοχαστική ανέλιξη: Xt, () t 0. Τότε στην περίπτωση της στοχαστικής αυτό-ομοιότητας, για κάθε συντελεστή r 0 υπάρχει τυχαία μεταβλητή A r ανεξάρτητη από το Xt, () με παραμέτρους που εξαρτώνται από το r, ώστε να ισχύει (βλέπε π.χ. Veneziano and Langousis 2005, Langousis and Veneziano 2007, Langousis et al. 2013): d X ( rt) A X ( t) (1.1) r Όπου d δηλώνει την ισότητα στις κατανομές μεταξύ δεξιού και αριστερού μέλους. Στην περίπτωση της αυτό-ομοιότητας, για κάθε r 0 και για πραγματικό H ισχύει: Όπου H συντελεστής αυτό-ομοιότητας. d H X ( t) r X ( rt) (1.2)

16 2 Παρατηρούμε ότι στην περίπτωση της αυτό-ομοιότητας το H r είναι ντετερμινιστικός παράγοντας, σε αντίθεση με την περίπτωση της στοχαστικής αυτόομοιότητας όπου A r είναι τυχαία μεταβλητή. Συνεπώς, είναι φυσικό να πούμε ότι η αυτόομοιοτήτα (self-similarity) είναι μια υποπερίπτωση της στοχαστικής αυτό-ομοιότητας (stochastic self-similarity) (βλέπε π.χ. Veneziano and Langousis 2010). Συνήθης διαδικασία για να διαπιστώσουμε το είδος της εξάρτησης από τη κλίμακα παρατήρησης (scaling), είναι η μέθοδος των αρχικών ροπών (initial moment analysis). Στη συγκεκριμένη μέθοδο, σκοπός είναι να εξετάσουμε την εξάρτηση των αρχικών ροπών της q ανελίξεως X ( rt ) ( E[ X ( rt ) ] ) από τη κλίμακα παρατήρησης τ, η οποία είναι αντιστρόφως ανάλογη του συντελεστή r (βλέπε π.χ. Veneziano and Langousis 2005, Veneziano et al 2007, Veneziano and Langousis 2010). Για διαφορετικές τιμές της τάξεως της ροπής q και υπό την παραδοχή σταστιμότητας, κατασκευάζουμε σε διπλά λογαριθμική κλίμακα (log-log) τα διαγράμματα των αρχικών ροπών της τυχαίας μεταβλητής X t d 1 t X ( u) du συναρτήσει της κλίμακας συνάθροισης/παρατήρησης. Εφόσον οι ροπές της τυχαίας μεταβλητής X συνδέονται γραμμικά με τη κλίμακα παρατήρησης τ, υπολογίζουμε την αρνητική κλίση του κάθε διαγράμματος. Τέλος αναπαριστούμε γραφικά τις τιμές της κλίσεως σε συνάρτηση με τη τάξη της ροπής q. Εάν η συνάρτηση των κλίσεων Kq ( ) αυξάνεται γραμμικά με τη τάξη των ροπών, τότε έχουμε αυτό-ομοιότητα (self-similarity or simple scaling) (βλέπε π.χ. Bhatti 2000, Veneziano et al 2009, Langousis et al και αναφορές εντός των εργασιών αυτών). Αρκετοί συγγραφείς χρησιμοποιούν τη μη γραμμική εξάρτηση της Kq ( ) από την τάξη της ροπής q σαν ορισμό της στοχαστικής αυτό-ομοιότητας (stochastic self-similarity) (Veneziano and Langousis 2010).

17 3 Σχήμα 1.1 Αυτό-όμοια και στοχαστικά αυτό-όμοια συμπεριφορά εμπειρικών δεδομένων. Ας θεωρήσουμε τώρα σαν τυχαία μεταβλητή X την τυποποιημένη τιμή της μέγιστης απορροής Q' max Qmax / A, και σαν κλίμακα παρατήρησης τη λεκάνη απορροής A. Τότε για την περίπτωση της αυτό-ομοιότητας (self-similarity) για κάποιο θετικό ή αρνητικό H ' και για r 0 ισχύει: d H ' ' max ( ) ' max ( ) Q A r Q ra (1.3) Όπου H ' : συντελεστής αυτό-ομοιότητας Αντίστοιχα για τις αρχικές ροπές έχουμε: Με H 1 H' και q:τάξη ροπής ' { Qmax ( A)} q A q H q A Hq (1.4) Ενώ για τη περίπτωση της στοχαστικής αυτό-ομοιότητας (stochastic self-similarity) για κάθε r 1 υπάρχουν τυχαίες μεταβλητές B r ώστε : d Q' ( A) B Q' ( ra) ( στοχαστική αυτό-ομοιότητα υπό συστολή) ή (1.5) max r max d Q' ( A) B Q' ( A / r) (στοχαστική αυτό-ομοιότητα υπό διαστολή) (1.6) max r max Συνεπώς οι αρχικές ροπές του Q max εξαρτώνται από τη κλίμακα της λεκάνης απορροής ως:

18 4 ( Q ( A)) q A q K q ( ) max (στοχαστική αυτό-ομοιότητα υπό συστολή) (1.7) ( Q ( A)) q A q K q ( ) max (στοχαστική αυτό-ομοιότητα υπό διαστολή) (1.8) q Με K( q) log E[ B r ] να είναι κυρτή συνάρτηση. Έτσι συνολικά για όλες τις παραπάνω περιπτώσεις, η έκφραση των αρχικών ροπών είναι: max ^ q K ( q ) q [( Q ( A)) ] A (1.9) Στη περίπτωση της αυτό-ομοιότητας η συνάρτηση ^ Kq ( ) είναι ανάλογη με το q ^ ( K( q) H ' q). Για στοχαστική αυτό-ομοιότητα υπό συστολή η συνάρτηση K ^ ( q) K( q) είναι κυρτή, ενώ για στοχαστική αυτό-ομοιότητα υπό διαστολή είναι κοίλη (Veneziano and Langousis 2010). ^ K( q) K( q) Μια άλλη προτεινόμενη μεθοδολογία για να εξεταστεί η στατιστική συμπεριφορά των μέγιστων ετήσιων απορροών Q max,yr συναρτήσει της έκτασης της λεκάνης απορροής (statistical scaling) είναι η μεταβολή του συντελεστή μεταβλητότητας CV των μέγιστων ετήσιων απορροών Q max,yr συναρτήσει του εμβαδού της λεκάνης απορροής A (βλέπε π.χ. Bloschl and Sivapalan 1997, Robinson and Sivapalan 1997, Bhatti 2000, και επισκόπηση από Veneziano and Langousis 2010, καθώς και αναφορές εντός των εργασιών αυτών). Σύμφωνα με αυτή τη μεθοδολογία οι μέγιστες ετήσιες απορροές παρουσιάζουν: αυτό-όμοια συμπεριφορά (self-similarity, SS) αν συντελεστής μεταβλητότητας είναι ανεξάρτητος του A. στοχαστικά αυτό-όμοια συμπεριφορά υπό συστολή (stochastic self-similarity under contraction, SSS under contraction) αν ο συντελεστής μεταβλητότητας μειώνεται όσο αυξάνεται το A. στοχαστικά αυτό-όμοια συμπεριφορά υπό διαστολή (stochastic self-similarity under dilation, SSS under dilation) αν ο συντελεστής μεταβλητότητας αυξάνεται όσο αυξάνεται το A.

19 5 Εικόνα 1.2 Διάγραμμα CV μέγιστων ετήσιων απορροών Q max στα κεντρικά Απαλάχια, ως συνάρτηση του εμβαδού Α της λεκάνης απορροής (Robinson and Sivapalan 1997). Στη συνέχεια πραγματοποιείται βιβλιογραφική ανασκόπηση και παρουσιάζονται τα αποτελέσματα προγενέστερων αναλύσεων και εργασιών με θέμα το χαρακτηρισμό της στατιστικής συμπεριφοράς των μέγιστων ετήσιων απορροών συναρτήσει του μεγέθους της λεκάνης απορροής (statistical scaling). 1.2 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ Σε μια πρώτη μελέτη ο Cadavid (1988) ανέλυσε δεδομένα στιγμιαίων απορροών για 3 λεκάνες εμβαδού A (10-10 km 2 ), οι οποίες βρίσκονταν σε διαφορετικές περιοχές των Ηνωμένων Πολιτειών. Ο Cadavid (1988) διαπίστωσε ότι οι αρχικές ροπές του Q max είναι ανάλογες του q K ( q) A, με Kq ( ) κυρτή συνάρτηση, το οποίο είναι μια ένδειξη στοχαστικής αυτό-ομοιότητας υπό συστολή. Παρόλα αυτά, η υπολογιζόμενη συνάρτηση Kq ( ) είναι σχεδόν γραμμική, παρουσιάζοντας ελάχιστη κυρτότητα, με συνέπεια αυτόόμοια συμπεριφορά να μην μπορεί να αποκλεισθεί στατιστικά. Σε πιο πρόσφατη εργασία, ο Pandey (1998) χρησιμοποίησε αρχεία από 180 σταθμούς στο Καναδά για να μελετήσει πως η κατανομή του Q max μεταβάλλεται με την έκταση της λεκάνης απορροής A. Η έκταση των λεκανών απορροής κυμαινόταν από τα 0.8 μέχρι και τα 5 10 km 2. Η ανάλυση πραγματοποιήθηκε τόσο με συνήθεις ροπές, όσο και με πιθανοτικά ζυγισμένες. Το κύριο εύρημα ήταν ότι οι συνήθεις ροπές παρουσιάζουν αυτόόμοια συμπεριφορά, ενώ οι πιθανοτικά ζυγισμένες στοχαστική αυτό-ομοιότητα. Παρόλα αυτά, οι πιθανοτικά ζυγισμένες ροπές δεν εξαρτώνται από τη κλίμακα (scale) όταν υπάρχει

20 6 στοχαστική αυτό-ομοιότητα, ως εκ τούτου τα παραπάνω ευρήματα θα πρέπει να απορριφθούν (Veneziano and Langousis 2010). Οι Gupta et al. (1994) ασχολήθηκαν με ημερήσια δεδομένα απορροής από 270 λεκάνες στα Απαλάχια με μέγεθος από km και κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι εάν το μέγεθος της λεκάνης είναι μεγαλύτερο από μια κρίσιμη τιμή A c, η συνάρτηση μεταβολής των κλίσεων Kq ( ) είναι κυρτή, ενώ σε αντίθετη περίπτωση είναι κοίλη. Η κρίσιμη τιμή που υπολογίστηκε ήταν Ac 50 km 2. Παρόλα αυτά, παρατηρήθηκε σημαντική διασπορά στα διαγράμματα των αρχικών ροπών συναρτήσει του μεγέθους της λεκάνης απορροής, γεγονός που καθιστά δύσκολη τη διάκριση μεταξύ αυτό-όμοιας (selfsimilar) και στοχαστικά αυτό-όμοιας συμπεριφοράς (stochastic self-similar). Οι Robinson and Sivapalan (1997) χρησιμοποιώντας τα ίδια δεδομένα με τους Gupta et al. (1994) επικεντρώθηκαν στη συμπεριφορά του συντελεστή μεταβλητότητας CV. Παρατηρήθηκε ότι οι τιμές του συντελεστή μεταβλητότητας παρουσίαζαν πολύ μεγάλη διασπορά. Επίσης εκτιμήθηκε ότι για A km υπάρχει μια ελαφρώς ανοδική τάση, ενώ για μεγαλύτερες λεκάνες εμφανίστηκε μια ελαφρώς καθοδική τάση. Οι τάσεις αυτές θεωρήθηκαν ως στατιστικά μη-σημαντικές, και αποδόθηκαν στο σφάλμα που εισάγεται από το διαφορετικό μήκος των χρονοσειρών δεδομένων, και την ανομοιομορφία του δείγματος σε σχέση με το μέγεθος της λεκάνης απορροής. Σε μια άλλη μελέτη, ο Bhatti (2000) χρησιμοποίησε δεδομένα μέγιστων ετήσιων απορροών από 2150 λεκάνες με μέγεθος που κυμαινόταν από 2 km 2 μέχρι km 2. Τα δεδομένα προέρχονταν από το ινστιτούτο γεωλογικής έρευνας των Ηνωμένων Πολιτειών της Αμερικής (USGS) με τις λεκάνες απορροής να ανήκουν σε 15 υδρολογικές περιφέρειες. Ο Bhatti (2000) πραγματοποίησε ανάλυση με τη μέθοδο των αρχικών ροπών και το κύριο εύρημα ήταν ότι οι μέγιστες απορροές συμπεριφορά με τη λεκάνη απορροής A με H για Q max παρουσιάζουν αυτό-όμοια 3 A 10 km 2 και H για μεγαλύτερες λεκάνες. Οι αυξομειώσεις στην τιμή του H, αποδίδονται στις διαφορετικές κλιματολογικές συνθήκες των υδρολογικών περιφερειών. Σε ότι αφορά τώρα το συντελεστή μεταβλητότητας CV, οι τιμές του για διαφορετικό μέγεθος λεκάνης A είχαν μεγάλη διασπορά, ως εκ τούτου δεν υπήρχε κάποια στατιστικά σημαντική τάση.

21 7 Στο συμπέρασμα αυτό-όμοιας συμπεριφοράς κατέληξαν και οι Dodov and Foufoula- Georgiou (2005), οι οποίοι ανέλυσαν 99 ημερήσιες χρονοσειρές απορροών στις Ηνωμένες Πολιτείες της Αμερικής. Έπειτα από ανάλυση με τη μέθοδο των αρχικών ροπών, κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι τόσο οι ημερήσιες απορροές, όσο και οι μέγιστες ετήσιες παρουσιάζουν αυτό-ομοια συμπεριφορά με τη λεκάνη απορροής. Για τις ημερήσιες απορροές 0.8 για A 700 km 2 και 0.5 για A 700 km 2. Για τις μέγιστες ετήσιες απορροές οι αντίστοιχες τιμές είναι 0.7 για A 700 km 2 και 0.3 για A 700 km 2. Οι αυξομειώσεις στην τιμή του H αποδίδονται στη διαφορετικότητα των επικρατουσών συνθηκών ροής κατά τη διάρκεια πλημμυρικών γεγονότων (Dodov and Foufoula-Georgiou 2005). Τέλος, σε μια πρόσφατη ανάλυση με τη μέθοδο των αρχικών ροπών, οι Ishak et al. (2011) χρησιμοποίησαν δεδομένα μέγιστων ετήσιων απορροών από την περιφέρεια της Νέας Νότιας Ουαλίας (New South Wales) της Αυστραλίας. Τα δεδομένα αυτά χωρίστηκαν με βάση τη γεωγραφική τους θέση σε δύο υποπεριφέρειες: δυτική και ανατολική. Το κύριο εύρημα ήταν ότι και στις δυο περιπτώσεις οι μέγιστες ετήσιες απορροές Q max εμφανίζουν αυτό-όμοια συμπεριφορά με H 0.73 για τους σταθμούς στη δυτική υποπεριφέρεια, και H 0.55 για τους σταθμούς στην ανατολική. Εντούτοις στην ανατολική υποπεριφέρεια η αύξηση της συνάρτησης Kq ( ) με τη τάξη της ροπής δεν ήταν γραμμική συνεπώς δεν μπορούμε να ισχυριστούμε με βεβαιότητα την ύπαρξη αυτό-όμοιας συμπεριφοράς. Σύμφωνα με τα ευρήματα των παραπάνω αναλύσεων, θα μπορούσε κανείς να ισχυριστεί ότι οι μέγιστες ετήσιες απορροές παρουσιάζουν αυτό-όμοια συμπεριφορά με την έκταση της λεκάνης απορροής A. Εντούτοις, παρατηρείται διαφοροποίηση των αποτελεσμάτων του συντελεστή αυτό-όμοιας συμπεριφοράς H, σε σχέση με το μέγεθος της λεκάνης απορροής και σε σχέση με τις κλιματολογικές συνθήκες. Η εν λόγω παρατήρηση όμως οδηγεί σε απόρριψη της στατιστικής υποθέσεως της απλής αυτόομοιότητας (simple scaling), δεδομένου ότι το τελευταίο απαιτεί ο συντελεστής H να είναι σταθερός και ανεξάρτητος της κλίμακας παρατήρησης.

22 8 2 ΣΥΛΛΟΓΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΒΑΣΗΣ 2.1 ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ Ο ΡΟΛΟΣ ΤΟΥ NRFA Κατά τις δεκαετίες του 1930 και του 1940, η διαχείριση των υδρολογικών δεδομένων στην Μεγάλη Βρετανία πραγματοποιείτο μέσω ενός συνόλου ιδρυμάτων και αρμόδιων επιτροπών. Το 1964 οι αρμοδιότητες αυτές μεταβιβάστηκαν στο Διοικητικό Συμβούλιο Υδατικών Πόρων (Water Resources Board WRB), το οποίο καθίσταται υπεύθυνο για την ταχεία ανάπτυξη του δικτύου σταθμών μετρήσεων και για τη δημιουργία ενός ηλεκτρονικού αρχείου απορροών. Το 1974 το έργο συλλογής και ενημέρωσης πληροφοριών περνά στην νεοσυσταθείσα DOE (Data Unit of the Department of the Environment). Φθάνοντας στο σήμερα, η συλλογή και διάθεση δεδομένων απορροών, υπάγεται στη δικαιοδοσία του NRFA (National River Flow Archive, επιτρέποντας έτσι τη δημιουργία ενός εθνικού ηλεκτρονικού αρχείου δεδομένων, τόσο για μέγιστες τιμές απορροών όσο και για ημερήσιες και μηνιαίες τιμές. Το NRFA στηρίζει υδρολογικές έρευνες και προγράμματα διαχείρισης υδατικών πόρων στη Μεγάλη Βρετανία, παρέχοντας δεδομένα και μελέτες τόσο στη κυβέρνηση του Ηνωμένου Βασιλείου, όσο και σε διεθνείς οργανισμούς. Επιπροσθέτως, είναι η κυριότερη πηγή υδρομετρικών δεδομένων στη Μεγάλη Βρετανία, καθώς δίνει τη δυνατότητα ηλεκτρονικής πρόσβασης, σε ημερήσια και μηνιαία αρχεία απορροών περισσότερων από 1500 σταθμών. Μια ακόμη αρμοδιότητα του NRFA, είναι να διεξάγει ελέγχους ποιότητας και να αρχειοθετεί υδρομετρικά δεδομένα από σταθμούς μετρήσεων σε όλη τη Μεγάλη Βρετανία, συμπεριλαμβανομένων δικτύων συλλογής δεδομένων που λειτουργούν κάτω από την επίβλεψη της Environment Agency (Αγγλία), της Natural Resources Wales (Ουαλία), της Scottish Environment Protection (Σκωτία) και της Rivers Agency (Βόρειος Ιρλανδία). Το αρχείο δεδομένων του NRFA περιλαμβάνει επίσης επιπρόσθετες πληροφορίες για την εκάστοτε λεκάνη απορροής, όπως π.χ. ψηφιακά υψομετρικά δεδομένα, φυτοκάλυψη και δεδομένα για την βροχόπτωση. Τέλος, το NRFA έχει την δικαιοδοσία να συλλέγει δεδομένα από τις εκάστοτε υπηρεσίες μετρήσεων, επιτρέποντας την πρόσβαση σε ένα ολοκληρωμένο εθνικό αρχείο. Τα δεδομένα αυτά στηρίζουν σε μεγάλο βαθμό την ανάπτυξη υδρολογικής έρευνας, και τη διαχείριση υδατικών πόρων στη Μεγάλη Βρετανία.

23 9 Σε διεθνές επίπεδο η βάση δεδομένων του NRFA έχει παγκόσμια εμβέλεια, καθώς εκτός από την επιστημονική κοινότητα, απευθύνεται στα Μέσα Μαζικής Ενημέρωσης, σε διεθνείς οργανισμούς και σε κυβερνητικούς φορείς. Το NRFA παρέχει τακτικά ενημερώσεις δεδομένων και συνοπτικές πληροφορίες σε οργανισμούς όπως: η Eurostat, ο Ευρωπαϊκός Οργανισμός Περιβάλλοντος (European Environment Agency), η Επιτροπή OSPAR (επιτροπή για την προστασία του Βορειοανατολικού Ατλαντικού, τα αρχικά προέρχονται από το Όσλο (Oslo) και το Παρίσι (Paris), καθώς αυτές ήταν οι δύο πρώτες συμβάσεις που έγιναν) κ.α. Αυτό επιτρέπει στους χρήστες σε όλο τον κόσμο να έχουν πρόσβαση στις τελευταίες ενημερώσεις σχετικά με τη βάση δεδομένων. Σε εθνικό επίπεδο, το NRFA προσφέρει συμβουλευτικές υπηρεσίες σε διάφορους τομείς της κυβέρνησης του Ηνωμένου Βασιλείου, καλύπτοντας τις εθνικές και διεθνείς απαιτήσεις για την υποβολή εκθέσεων υδρολογικών στοιχείων. Επίσης, τα συλλεχθέντα δεδομένα αξιοποιούνται από τα εκάστοτε Κυβερνητικά Τμήματα, συμβάλλοντας στη προσπάθεια καλύτερης αξιοποίησης των διαθέσιμων υδατικών πόρων στο Ηνωμένο Βασίλειο. Τέλος το NRFA επιτρέπει στη Μεγάλη Βρετανία να συμμετέχει σε ανταλλαγές πληροφοριών και δεδομένων με άλλες διεθνείς βάσεις όπως το Global Runoff Data Center ( και το European Water Archive (

24 ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΒΑΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Συλλογή και επεξεργασία αρχείων απορροής Το αρχείο του NRFA αριθμεί πάνω από 1500 σταθμούς, οι οποίοι διαθέτουν δεδομένα τόσο για ημερήσιες όσο και για μηνιαίες απορροές. Για κάθε σταθμό μέτρησης, εκτός από τις προαναφερθείσες χρονοσειρές απορροών, παρέχονται στο χρήστη επιπρόσθετες πληροφορίες που σχετίζονται τόσο με το σταθμό μέτρησης, όσο και με τη λεκάνη απορροής. Το σύνολο της παρεχόμενης πληροφορίας του NRFA χωρίζεται σε έξι βασικές κατηγορίες: Daily Flow Data (Δεδομένα ημερήσιων απορροών). Peak River Flow Data (Δεδομένα μέγιστων απορροών). Long Hydrometric record (Αρχείο παλαιότερων δεδομένων). Gauging station information (Πληροφορίες για το σταθμό μέτρησης). Catchment information (Πληροφορίες για τη λεκάνη απορροής). Catchment rainfall data (Δεδομένα βροχόπτωσης για τη λεκάνη απορροής). Από τη συνολική πληροφορία που είναι διαθέσιμη στο site του NRFA επιλέξαμε να ασχοληθούμε με δεδομένα που αφορούν: ημερήσιες χρονοσειρές απορροών (daily flow data), δευτερογενείς πληροφορίες για το σταθμό μέτρησης (gauging station information) και πληροφορίες για τη λεκάνη απορροής (catchment information). Από το πλήθος των σταθμών μέτρησης, επιλέξαμε αυτούς που διαθέτουν τουλάχιστον 32 χρόνια δεδομένων, καταλήγοντας τελικά σε 810 σταθμούς μετρήσεων. Για κάθε έναν από τους παραπάνω σταθμούς, αποθηκεύσαμε τη χρονοσειρά ημερήσιων απορροών και όλες τις παρεχόμενες πληροφορίες για το σταθμό μέτρησης και τη λεκάνη απορροής που εξυπηρετεί, εντός φακέλου με το κωδικό όνομα του σταθμού, όπως αυτό δίδεται από το NRFA π.χ. (7001). Οι χρονοσειρές των ημερήσιων απορροών είναι διαθέσιμες στο διαδίκτυο στην ιστοσελίδα στην υποενότητα Search For Data. Η μορφή των αρχείων που παρέχει το NRFA είναι csv (comma separated values). Μέσα στο αρχείο csv του κάθε σταθμού, αρχικά περιέχονται γενικές πληροφορίες για το σταθμό μέτρησης και

25 11 στη συνέχεια οι ημερομηνίες συνοδευόμενες με τα αντίστοιχα δεδομένα απορροής. Οι μονάδες μέτρησης των δεδομένων είναι m 3 /s και η ακρίβειά τους είναι τρία δεκαδικά ψηφία, όπως φαίνεται και στην παρακάτω εικόνα. Εικόνα 2.1 Αρχείο csv με δεδομένα απορροής. Τα παραπάνω αρχεία csv συλλέχθηκαν ξεχωριστά για κάθε έναν από τους 810 σταθμούς και δημιουργήθηκε μια πρωτογενής βάση με τα ανεπεξέργαστα αρχεία. Κατά τη διάρκεια της ανάγνωσης των αρχείων προέκυψαν αρκετά προβλήματα τα οποία έπρεπε να αντιπαρέλθουμε. Οι δυσκολίες αυτές δημιουργήθηκαν επειδή τα csv αρχεία του NRFA δεν έχουν ομοιογενή μορφή, συνεπώς προέκυψαν σημαντικές δυσκολίες στη δημιουργία ενός ενιαίου κώδικα για την ανάγνωση όλων των αρχείων. Για να αντιμετωπιστούν οι παραπάνω δυσκολίες επιλέξαμε να φτιάξουμε μια δευτερογενή επεξεργασμένη βάση αρχείων csv, όπου πραγματοποιήθηκαν δύο βασικές τροποποιήσεις ώστε όλα τα αρχεία, να έχουν κοινή μορφή. Προσθήκη μίας ή περισσότερων σειρών σε όσα csv αρχεία τα δεδομένα απορροής δεν άρχιζαν από την 21 γραμμή. Τα ελλιπή δεδομένα απορροής που ήταν καταχωρημένα με τη μορφή Μ (missing), αντικαταστάθηκαν με ΝaΝ.

26 Δημιουργία βάσης δεδομένων στο Matlab Πρώτος στόχος ήταν η δημιουργία κώδικα στο Matlab, ο οποίος να παραλείπει τις αρχικές πληροφορίες στο επεξεργασμένο csv αρχείο και να πραγματοποιεί κατευθείαν την ανάγνωση των δεδομένων, αντιστοιχίζοντας την τιμή της ημερήσιας απορροής με την ημερομηνία της. Σκοπός αυτής της διαδικασίας ήταν να φέρουμε τα δεδομένα σε κατάλληλη μορφή για περαιτέρω στατιστική επεξεργασία μέσω του Matlab. Επόμενο βήμα ήταν η εύρεση και η συλλογή πληροφοριών για τον εκάστοτε σταθμό μέτρησης, τη λεκάνη απορροής που εξυπηρετεί, και τις κλιματολογικές συνθήκες στην περιοχή. Για το σκοπό αυτό δημιουργήθηκε ένα txt (text) αρχείο με το κωδικό όνομα του κάθε σταθμού π.χ. (7001), στο οποίο συγκεντρώθηκαν οι παρακάτω πληροφορίες: Name Reference number Longitude in deg Latitude in deg Catchment area in km 2 Station Level in meters AOD (minimum ) Maximum in meters Median in meters DPSBAR in m/km (measure of mean slope) SAAR(1) in millimeters ( ) SAAR(2) in millimeters ( ) Station open or close Ακολουθεί σύντομη επεξήγηση των παραπάνω όρων: Name: Το όνομα του κάθε σταθμού μέτρησης όπως αυτό αναγράφεται στην επίσημη ιστοσελίδα του NRFA. Reference number: Βρετανικό σύστημα συντεταγμένων, το οποίο αποτελείται από δυο γράμματα και έξι αριθμούς π.χ. (NC998181) και παρέχει τις γεωγραφικές συντεταγμένες του σταθμού. Longitude in deg: Γεωγραφικό μήκος της θέσης κάθε σταθμού, το οποίο υπολογίστηκε με κατάλληλη μετατροπή του Reference number μέσω του

27 13 Latitude in deg: Γεωγραφικό πλάτος της θέσης κάθε σταθμού, το οποίο υπολογίστηκε με κατάλληλη μετατροπή του Reference number μέσω του Catchment area in km 2 : Εμβαδόν της λεκάνης απορροής του εκάστοτε σταθμού μετρημένο σε τετραγωνικά χιλιόμετρα. Το συντριπτικό ποσοστό των δεδομένων για την έκταση των λεκανών απορροής παρέχεται από το Βρετανικό Κέντρο Οικολογίας και Υδρολογίας, καθιστώντας έτσι τις πληροφορίες πολύ αξιόπιστες. Station Level in meters AOD: Το μικρότερο υψόμετρο στη λεκάνη απορροής, στο οποίο είναι τοποθετημένος ο σταθμός μέτρησης. Τα ύψη είναι μετρημένα σύμφωνα με το Βρετανικό γεωδαιτικό σύστημα συντεταγμένων, το οποίο αναφέρεται σαν OD (Ordance Datum). Maximum in meters: Το μεγαλύτερο υψόμετρο εδάφους στη λεκάνη απορροής. Median in meters: Το υψόμετρο κάτω από το οποίο βρίσκεται το 50% των θέσεων της λεκάνης απορροής. DPSBAR in m/km: Δείκτης της μέσης κλίσεως της λεκάνης απορροής, που κυμαίνεται από 300 m/km σε ορεινές περιοχές μέχρι 25 m/km σε πεδινές περιοχές. SAAR (1) in millimeters: Κανονικό ετήσιο ύψος βροχής στη λεκάνη απορροής κατά την τριακονταετία SAAR (2) in millimeters: Κανονικό ετήσιο ύψος βροχής στη λεκάνη απορροής κατά την τριακονταετία Station open or close: Πληροφορία για το εάν ο σταθμός μέτρησης είναι ακόμα ανοιχτός ή όχι. Με 1 σημειώθηκαν οι σταθμοί που παραμένουν ανοιχτοί μέχρι και σήμερα, ενώ με 0 όσοι είναι κλειστοί.

28 14 Επόμενος στόχος μετά την ολοκλήρωση της καταχώρησης των παραπάνω πληροφοριών στα txt αρχεία των σταθμών, ήταν η ανάγνωσή τους μέσω του Matlab. Για αυτό το σκοπό δημιουργήθηκε κώδικας ο οποίος διαβάζει τα συγκεκριμένα αρχεία, καταχωρεί και αποθηκεύει τις πληροφορίες τους στο Matlab. Στη συνέχεια αυτός ο κώδικας ενοποιήθηκε με τον ήδη υπάρχοντα για τις ημερήσιες απορροές, επιτρέποντας τη δημιουργία δομής (structure) στο Matlab, στην οποία είναι αποθηκευμένες για κάθε σταθμό τόσο οι ημερήσιες απορροές, όσο και οι πληροφορίες για το σταθμό μέτρησης και τη λεκάνη απορροής του. Οι συγκεντρωτικοί πίνακες που περιέχουν τις πληροφορίες για τον εκάστοτε σταθμό μέτρησης και για τη λεκάνη απορροής του παρουσιάζονται στο Παράρτημα Α της παρούσας διατριβής. Συνεπώς, κατορθώσαμε με όλες τις παραπάνω ενέργειες να δημιουργήσουμε μια ενιαία βάση δεδομένων για τους σταθμούς, στην οποία συγκεντρώθηκαν όλες οι παραπάνω πληροφορίες, έχοντας κατάλληλη μορφή για στατιστική επεξεργασία. Συνολικά συγκεντρώθηκαν δεδομένα από 810 σταθμούς μέτρησης, τα οποία κάλυπταν λεκάνες απορροής με έκταση από 0.9 km 2 μέχρι 9948 km 2. Εν κατακλείδι, στη βάση δεδομένων που δημιουργήθηκε υπάρχει ομαδοποιημένη όλη η σχετική πληροφορία για τον εκάστοτε σταθμό μέτρησης. Ο χρήστης λοιπόν μπορεί με ευκολία να αναζητήσει και να ανακτήσει, τόσο δεδομένα ημερήσιων απορροών, όσο και πληροφορίες σχετικές με τον εκάστοτε σταθμό μέτρησης και τη λεκάνη απορροής που αυτός εξυπηρετεί. Στις παρακάτω εικόνες παρουσιάζονται η γεωγραφική θέση του σταθμού με α/α 2001 (Εικόνα 2.2) και η δομή της ομαδοποιημένης πληροφορίας υπό την μορφή μεταβλητών για το συγκεκριμένο σταθμό μέτρησης (Εικόνα 2.3). Εικόνα 2.2 Θέση σταθμού 2001 πάνω στο χάρτη.

29 15 Εικόνα 2.3 Ομαδοποιημένη πληροφορίας υπό την μορφή μεταβλητών, για τον σταθμό μέτρησης με α/α 2001 στη δημιουργηθείσα βάση δεδομένων.

30 16 3 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ 3.1 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται τα αποτελέσματα και τα διαγράμματα που προέκυψαν, από τη στατιστική ανάλυση των ημερήσιων τιμών απορροής της δημιουργηθείσας βάσης δεδομένων (βλέπε ενότητα 2.2). Υπενθυμίζουμε ότι τα δεδομένα από τα οποία αποτελείται το αρχείο του κάθε σταθμού είναι: ημερήσιες χρονοσειρές απορροών (daily flow data), δευτερογενείς πληροφορίες για το σταθμό μέτρησης (gauging station information) και πληροφορίες για τη λεκάνη απορροής (catchment information). Πέντε σταθμοί μέτρησης από το σύνολο των 810, εξαιρέθηκαν από τη στατιστική ανάλυση, λόγω απουσίας δευτερογενών πληροφοριών σχετικών με τη μέση κλίση της λεκάνης (DPSBAR) και με το κανονικό ετήσιο ύψος βροχόπτωσης τριακονταετίας (SAAR1,SAAR2). Κατόπιν της εξαίρεσης των παραπάνω σταθμών, τα αποτελέσματα της στατιστικής επεξεργασίας και τα διαγράμματα αφορούν 805 σταθμούς μέτρησης. Η ανάλυση πραγματοποιήθηκε για τις μέγιστες ετήσιες τιμές των απορροών κάθε σταθμού, Q max,yr, οι οποίες υπολογίστηκαν από τις υπάρχουσες ημερήσιες χρονοσειρές. Τόσο η στατιστική ανάλυση, όσο και το σύνολο των διαγραμμάτων, έγιναν με χρήση της γλώσσας προγραμματισμού Matlab. Τα στατιστικά μεγέθη (statistical measures) τα οποία χρησιμοποιήσαμε για την περιγραφή των μέγιστων ετήσιων απορροών είναι: Η μέση τιμή (mean value, m): H μέση τιμή προσδιορίζει το κέντρο βάρους της εμπειρικής κατανομής των παρατηρήσεων. Η τυπική απόκλιση (standard deviation, σ): Η τυπική απόκλιση είναι η θετική τετραγωνική ρίζα της διασποράς (variance), και ποσοτικοποιεί τη διακύμανση των παρατηρήσεων γύρω από τη μέση τιμή. Ο συντελεστής μεταβλητότητας (coefficient of variation, CV = σ/m): Είναι ο λόγος της τυπικής απόκλισης σ μίας τυχαίας μεταβλητής, προς τη μέση τιμή m αυτής, και αποτελεί ένα αδιάστατο στατιστικό μέτρο της σχετικής διακύμανσης των παρατηρήσεων (Κουτρουβέλης, 1999).

31 17 Ο συντελεστής ασυμμετρίας (coefficient of skewness, c E x m 3 3 [( ) ] / ): Στατιστικό μέτρο που αναπαριστά τη λοξότητα της εμπειρικής κατανομής των παρατηρήσεων (Κουτρουβέλης, 1999). Για κάθε σταθμό, εκτός από τα παραπάνω στατιστικά μέτρα, υπολογίστηκαν τα διαθέσιμα χρόνια δεδομένων (number of available calendar years), καθώς και το πλήθος των τιμών απορροής που λείπουν από τα ημερήσια δεδομένα (number of missing days). Όπως αναφέραμε και στο Κεφάλαιο 2, επιλέξαμε σταθμούς με τουλάχιστον 32 χρόνια διαθέσιμων δεδομένων. Η πλειοψηφία των σταθμών, για την ακρίβεια 528 έχουν περισσότερα από 45 χρόνια διαθέσιμων δεδομένων, ενώ υπάρχουν και δύο σταθμοί με περισσότερα από 100 χρόνια διαθέσιμων μετρήσεων. Σε ό,τι αφορά το ποσοστό των ελλιπών δεδομένων απορροής του εκάστοτε σταθμού, σε 225 σταθμούς δεν απουσιάζει καμία μέτρηση, ενώ σε 475 σταθμούς απουσιάζει μέχρι 10% των μετρήσεων. Τέλος σε 105 σταθμούς μέτρησης λείπει από 10,1% μέχρι 63,18%, με μόλις 4 σταθμούς να έχουν περισσότερο από 50% ελλιπών μετρήσεων (βλέπε Σχήμα 3.1). Σχήμα 3.1 Ραβδόγραμμα του πλήθους των σταθμών μέτρησης σύμφωνα με το ποσοστό ημερών ελλιπών μετρήσεων.

32 18 Τα συγκεντρωτικά αποτελέσματα της στατιστικής ανάλυσης για τον εκάστοτε σταθμό μέτρησης, παρουσιάζονται σε μορφή πινάκων στο Παράρτημα Β της παρούσας διατριβής και έχουν την παρακάτω μορφή. Πίνακας 3.1 Αποτελέσματα στατιστικής ανάλυσης για τον εκάστοτε σταθμό μέτρησης.

33 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Μετά την εκτίμηση των στατιστικών μεγεθών των μέγιστων ετήσιων τιμών Q max,yr των ημερήσιων χρονοσειρών απορροής, επόμενο βήμα είναι η δημιουργία διαγραμμάτων ώστε να κατανοήσουμε καλύτερα την υπάρχουσα πληροφορία στη βάση δεδομένων, δίνοντας ιδιαίτερη έμφαση στις τυχούσες εξαρτήσεις μεταξύ υδρολογικών, φυσιογραφικών, και κλιματολογικών μεταβλητών. Για να πραγματοποιηθεί κάτι τέτοιο, αρχικά τυποποιήσαμε τη χρονοσειρά ετήσιων μεγίστων Q max,yr του κάθε σταθμού μέτρησης διαιρώντας με το εμβαδόν της λεκάνης απορροής αυτού A. Η εν λόγω τυποποίηση έγινε με σκοπό να απαλειφθεί η επίδραση του μεγέθους της λεκάνης απορροής στα αποτελέσματα, αφού είναι προφανές ότι όσο μεγαλύτερο είναι το μέγεθος της λεκάνης απορροής, τόσο μεγαλύτερη αναμένεται να είναι η μετρηθείσα απορροή. Στη συνέχεια, υπολογίσαμε τη μέση τιμή m', τη τυπική απόκλιση σ' και το συντελεστή ασυμμετρίας c' της τυποποιημένης χρονοσειράς μέγιστων ετήσιων απορροών Q' max,yr = Q max,yr /A σε κάθε σταθμό μέτρησης. Τέλος, κατασκευάσαμε διαγράμματα των παραπάνω στατιστικών χαρακτηριστικών συναρτήσει: α) των διαθέσιμων φυσιογραφικών χαρακτηριστικών των λεκανών, όπως το εμβαδόν και η μέση κλίση (catchment area, DPSBAR), και β) του κανονικού ετήσιου ύψος βροχόπτωσης τριακονταετίας ( SAAR ) στην εκάστοτε λεκάνη. Το τελευταίο υπολογίστηκε ως το ημιάθροισμα των μεταβλητών SAAR1 και SAAR2 στη βάση δεδομένων (βλέπε ενότητα 2.2.2). Επίσης, απεικονίστηκε σε διάγραμμα το κανονικό ετήσιο ύψος βροχόπτωσης τριακονταετίας ( SAAR ) σε κάθε λεκάνη απορροής, συναρτήσει της εκτάσεώς της (catchment area), καθώς και η μέση κλίση της κάθε λεκάνης απορροής (DPSBAR) συναρτήσει του εμβαδού της. Στις επόμενες υποενότητες παρουσιάζονται τα εν λόγω διαγράμματα και διερευνώνται οι τυχούσες εξαρτήσεις μεταξύ υδρολογικών, φυσιογραφικών, και κλιματολογικών μεταβλητών.

34 Διαγράμματα μέσων τιμών Διάγραμμα μέσων τιμών των τυποποιημένων χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων απορροών Q' max,yr = Q max,yr /A, ως συνάρτηση του εμβαδού της λεκάνης απορροής Από απλή παρατήρηση του Σχήματος 3.2, όπου εμφανίζεται μεγάλη διασπορά των παρατηρήσεων, δεν αναδεικνύεται κάποια ισχυρή εξάρτηση μεταξύ των μέσων τιμών της τυποποιημένης μεταβλητής Q' max,yr = Q max,yr /A και του εμβαδού της λεκάνης απορροής A. Εντούτοις, με μια πιο προσεκτική ματιά, διαπιστώνουμε ότι παρουσιάζεται μια μικρή μείωση της μέσης τιμής των τυποποιημένων μεγίστων με την αύξηση του μεγέθους της λεκάνης, όπως φαίνεται και από την ευθεία στο Σχήμα 3.2, η οποία έχει πολύ μικρό συντελεστή προσδιορισμού 2 R Αυτή η απομείωση οφείλεται στις φυσικές διεργασίες μετατροπής της βροχόπτωσης σε απορροή, οι οποίες τείνουν να εξομαλύνουν τις παρατηρούμενες μέγιστες τιμές απορροών. Ο βαθμός εξομάλυνσης αυξάνεται με το μέγεθος της λεκάνης. Σχήμα 3.2 Διάγραμμα μέσων τιμών των τυποποιημένων χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων απορροών (Q' max,yr = Q max,yr /A) των σταθμών, συναρτήσει του εμβαδού των λεκανών απορροής τους.

35 Διάγραμμα μέσων τιμών των τυποποιημένων χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων απορροών Q' max,yr = Q max,yr /A, ως συνάρτηση της μέσης κλίσεως της λεκάνης απορροής Παρατηρώντας το Σχήμα 3.3, μπορούμε να ισχυριστούμε ότι οι μέσες τιμές εμφανίζουν γραμμική αύξηση με την μέση κλίση της λεκάνης απορροής (DPSBAR). Βασιζόμενοι σε αυτή τη παρατήρηση, προσαρμόσαμε με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων (ΜΕΤ) την ευθεία που απεικονίζεται με κόκκινο χρώμα στο διάγραμμα. Εν συνεχεία, υπολογίσαμε τη τιμή του συντελεστή προσδιορισμού 2 R (coefficient of determination), η οποία είναι Αυτό σημαίνει ότι η ευθεία ερμηνεύει το 47.5% της συνολικής μεταβλητότητας της εξαρτημένης μεταβλητής, και ότι υπάρχει γραμμική εξάρτηση της μέσης τιμής της τυποποιημένης μεταβλητής Q' max,yr = Q max,yr /A από την μέση κλίση της λεκάνης απορροής. Η αύξηση της κλίσης της λεκάνης έχει σαν αποτέλεσμα την εντατικοποίηση της απορροής, με συνέπεια να προσαυξάνονται οι παρατηρούμενες μέσες τιμές των τυποποιημένων ετήσιων μεγίστων. Σχήμα 3.3 Διάγραμμα μέσων τιμών των τυποποιημένων χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων απορροών (Q' max,yr = Q max,yr /A) των σταθμών, συναρτήσει της μέσης κλίσεως των λεκανών απορροής τους.

36 Διάγραμμα μέσων τιμών των τυποποιημένων χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων απορροών Q' max,yr = Q max,yr /A, ως συνάρτηση του κανονικού ετήσιου ύψους βροχής τριακονταετίας στη λεκάνη απορροής Στο Σχήμα 3.4, διαπιστώνουμε ότι οι μέσες τιμές των τυποποιημένων μέγιστων ετήσιων απορροών αυξάνονται καθώς μεγαλώνει η τιμή του κανονικού ετήσιου ύψους βροχόπτωσης τριακονταετίας ( SAAR ). Η εν λόγω παρατήρηση είναι απόλυτα λογική, αφού όσο μεγαλύτερο είναι το κανονικό ετήσιο ύψος βροχόπτωσης, τόσο μεγαλύτερες αναμένονται οι τιμές της απορροής. Βασιζόμενοι στα παραπάνω, χρησιμοποιήσαμε τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων (ΜΕΤ) για να προσαρμόσουμε την ευθεία που φαίνεται με κόκκινο χρώμα στο διάγραμμα. Έπειτα υπολογίσαμε τη τιμή του συντελεστή προσδιορισμού 2 R (coefficient of determination), η οποία ήταν Αυτό σημαίνει ότι η ευθεία μας ερμηνεύει το 75.32% της συνολικής μεταβλητότητας της εξαρτημένης μεταβλητής. Συνεπώς, είναι εύλογο να ισχυριστούμε ότι οι μέσες τιμές των τυποποιημένων μέγιστων ετήσιων απορροών είναι ισχυρά εξαρτημένες από το κανονικό ετήσιο ύψος βροχόπτωσης τριακονταετίας. Σχήμα 3.4 Διάγραμμα μέσων τιμών των τυποποιημένων χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων απορροών (Q' max,yr = Q max,yr /A) των σταθμών, συναρτήσει του κανονικού ετήσιου ύψους βροχόπτωσης τριακονταετίας στη λεκάνη.

37 Διαγράμματα τυπικών αποκλίσεων Η συμπεριφορά των τυπικών αποκλίσεων των τυποποιημένων μέγιστων ετήσιων απορροών είναι αρκετά κοντινή με τη συμπεριφορά των μέσων τιμών. Στα ακόλουθα διαγράμματα προκύπτει ότι οι τιμές των τυπικών αποκλίσεων εμφανίζουν μια μικρή μείωση με την αύξηση του μεγέθους της λεκάνης απορροής, ενώ όπως είναι λογικό οι τιμές της τυπικής απόκλισης αυξάνονται όσο μεγαλώνει το κανονικό ετήσιο ύψος βροχόπτωσης τριακονταετίας στην εκάστοτε λεκάνη. Τέλος όσο αφορά στη συμπεριφορά των τυπικών αποκλίσεων σε σχέση με τη κλίση της λεκάνης, παρατηρείται μια μικρή αύξηση με την αύξηση της μέσης κλίσης. Σχήμα 3.5 Διάγραμμα τυπικών αποκλίσεων των τυποποιημένων χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων απορροών (Q' max,yr = Q max,yr /A) των σταθμών, συναρτήσει του εμβαδού των λεκανών απορροής τους.

38 24 Σχήμα 3.6 Διάγραμμα τυπικών αποκλίσεων των τυποποιημένων χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων απορροών (Q' max,yr = Q max,yr /A) των σταθμών, συναρτήσει της μέσης κλίσεως των λεκανών απορροής τους. Σχήμα 3.7 Διάγραμμα τυπικών αποκλίσεων των τυποποιημένων χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων απορροών (Q' max,yr = Q max,yr /A) των σταθμών, συναρτήσει του κανονικού ετήσιου ύψους βροχόπτωσης τριακονταετίας στη λεκάνη.

39 Διαγράμματα συντελεστών ασυμμετρίας Από τα παρακάτω διαγράμματα του συντελεστή ασυμμετρίας των τυποποιημένων μέγιστων ετήσιων απορροών του κάθε σταθμού συναρτήσει των φυσιογραφικών και κλιματολογικών παραμέτρων, δεν διαφαίνεται κάποια εξάρτηση. Στο συμπέρασμα αυτό οδηγήθηκαμε αφού και στα τρία διαγράμματα, παρατηρήθηκε ένα ακανόνιστο νέφος σημείων σε σχέση με τις φυσιογραφικές παραμέτρους (catchment area, DPSBAR) και με το κανονικό ετήσιο ύψος βροχόπτωσης τριακονταετίας ( SAAR ). Σχήμα 3.8 Διάγραμμα συντελεστών ασυμμετρίας των τυποποιημένων χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων απορροών (Q' max,yr = Q max,yr /A) των σταθμών, συναρτήσει του εμβαδού των λεκανών απορροής τους.

40 26 Σχήμα 3.9 Διάγραμμα συντελεστών ασυμμετρίας των τυποποιημένων χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων απορροών (Q' max,yr = Q max,yr /A) των σταθμών, συναρτήσει της μέσης κλίσεως των λεκανών απορροής τους. Σχήμα 3.10 Διάγραμμα συντελεστών ασυμμετρίας των τυποποιημένων χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων απορροών (Q' max,yr = Q max,yr /A) των σταθμών, συναρτήσει του κανονικού ετήσιου ύψους βροχόπτωσης τριακονταετίας στη λεκάνη.

41 Διαγράμματα μέσης κλίσεως και βροχόπτωσης στη λεκάνης απορροής συναρτήσει του εμβαδού αυτής Τόσο για τη μέση κλίση της λεκάνης (DPSBAR), όσο και για το κανονικό ετήσιο ύψος βροχόπτωσης τριακονταετίας ( SAAR ), δεν αναδεικνύεται κάποια εξάρτησή τους από την έκταση της λεκάνης, αφού και στις δύο περιπτώσεις υπάρχει νέφος σημείων. Σχήμα 3.11 Διάγραμμα της μέσης κλίσεως της λεκάνης απορροής συναρτήσει του εμβαδού της. Σχήμα 3.12 Διάγραμμα του κανονικού ετήσιου ύψους βροχόπτωσης τριακονταετίας στη λεκάνης απορροής συναρτήσει του εμβαδού της.

42 ΜΟΝΤΕΛΑ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΕΓΙΣΤΩΝ ΑΠΟΡΡΟΩΝ Εισαγωγή Όπως προέκυψε από την ανάλυση των διαγραμμάτων της προηγούμενης ενότητας, υφίσταται εξάρτηση της μέσης τιμής των τυποποιημένων μέγιστων απορροών από τη μέση κλίση της λεκάνης (DPSBAR), το κανονικό ετήσιο ύψος βροχόπτωσης τριακονταετίας ( SAAR ) στη λεκάνη, και το μέγεθος της λεκάνης (A). Στην συνέχεια της υποενότητας εκτιμούμε τη μέση τιμή των μέγιστων ετήσιων απορροών σε κάθε σταθμό με τρία εναλλακτικά μοντέλα: ένα αθροιστικό τριών παραμέτρων (DPSBAR, SAAR, A) ένα πολλαπλασιαστικό τριών παραμέτρων (DPSBAR, SAAR, A) και ένα πολλαπλασιαστικό δύο παραμέτρων ( SAAR, A) Προσδιορισμός αθροιστικού μοντέλου Στην πρώτη περίπτωση εκτιμούμε τη μέση τιμή των τυποποιημένων μέγιστων ετήσιων απορροών μέσω του ακόλουθου γραμμικού αθροιστικού μοντέλου: ^ m' B * DPSBAR B * SAAR B * A B V (3.1) ( i) 1 ( i) 2 ( i) 3 ( i) 0 όπου Β 0 - Β 3 παράμετροι, και V είναι η τυχαία μεταβλητή του σφάλματος. Στην περίπτωση του αθροιστικού μοντέλου, η τυχαία μεταβλητή V ακολουθεί κανονική κατανομή: V N. 2 (0, v ) Οι παράμετροι B 1, B 2, B 3, B 0 εκτιμήθηκαν από τα δεδομένα με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και έχουν τιμές B *10 10, B *10 10 B *10 11 και B *10 7. Η εκτίμηση της μέσης τιμής που υπολογίζεται από την εξίσωση (3.1) έχει μονάδες (m/sec), η κλίση της λεκάνης (m/km), το κανονικό ετήσιο ύψος βροχόπτωσης τριακονταετίας (mm), και η έκταση της λεκάνης (km 2 ). Στη συνέχεια χρησιμοποιήθηκε η σχέση (3.1) για την εκτίμηση της μέσης τιμής των μέγιστων ετήσιων απορροών του κάθε σταθμού, και τον υπολογισμό του συντελεστή προσδιορισμού 2 R, ο οποίος δίνεται από τη σχέση:

43 29 R 2 1 ^ 2 ( i) m ( i) 2 ( i) m ( i) ( m' ' ) ( m' ' ) (3.2) Όπου m '() i είναι οι εμπειρικές μέσες τιμές των τυποποιημένων μέγιστων απορροών, ^ '() i m είναι οι εκτιμήσεις με βάση τη σχέση (3.1), και m '() i η μέση τιμή των εμπειρικών μέσων τιμών. Η τιμή για το συντελεστή προσδιορισμού υπολογίστηκε σε 2 R , άρα η εκτίμηση μας ερμηνεύει το 76.29% της διακύμανσης των εμπειρικών μέσων τιμών των τυποποιημένων μέγιστων απορροών. Όπως φαίνεται από το συντελεστή 2 R, η σχέση με την οποία γίνεται η εκτίμηση της μέσης τιμής δίνει αποτελέσματα τα οποία έχουν υψηλή συσχέτιση με τις εμπειρικές μέσες τιμές Προσδιορισμός κατανομής σφάλματος Για τον έλεγχο των αποτελεσμάτων της σχέσης (3.1) για την εκτίμηση της μέσης τιμής, εκτός από την εύρεση του συντελεστή προσδιορισμού 2 R, υπολογίστηκε για κάθε σταθμό η διαφορά της εκτιμούμενης μέσης τιμής από την εμπειρική μέση τιμή. Η παραπάνω διαφορά ονομάζεται residual (υπόλοιπο/σφάλμα) και συμβολίζεται ως: ^ e m' m' (3.3) ( i) ( i) ( i) Η θεωρητική μέση τιμή των σφαλμάτων είναι μηδέν, ώστε η εκτίμηση να είναι αμερόληπτη. Επίσης, η εμπειρική κατανομή του σφάλματος θα πρέπει να είναι αρκετά κοντά στην κανονική κατανομή, η οποία έχει παραμέτρους τη μέση τιμή και τη τυπική απόκλιση των παραπάνω σφαλμάτων. Με βάση τα παραπάνω, υπολογίστηκαν με τη βοήθεια του Matlab, η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση των πιο πάνω διαφορών. Τα αποτελέσματα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Πίνακας 3.2 Στατιστικά αποτελέσματα των διαφορών (residuals). Μέση τιμή m e Τυπική απόκλιση * *10 8

44 30 Όπως παρατηρούμε, η μέση τιμή των διαφορών είναι πρακτικά μηδέν, επομένως τα αποτελέσματα είναι αποδεκτά. Το τελευταίο βήμα είναι η κατασκευή της εμπειρικής κατανομής των σφαλμάτων και στη συνέχεια η προσαρμογή της κανονικής κατανομής με μέση τιμή και τυπική απόκλιση τις πιο πάνω τιμές. Όπως φαίνεται και στο Σχήμα 3.13, η κατανομή των σφαλμάτων πλησιάζει αρκετά την κανονική. Συνεπώς, οι εκτιμήσεις που παράγει το αθροιστικό μοντέλο της μέσης τιμής είναι ικανοποιητικές. Σχήμα 3.13 Εμπειρική κατανομή σφάλματος εκτίμησης αθροιστικού μοντέλου βάσει όλων των σταθμών Έλεγχος μοντέλου εκτίμησης Ο έλεγχος του αθροιστικού μοντέλου εκτίμησης της μέσης τιμής πραγματοποιήθηκε υπολογίζοντας εκ νέου τις παραμέτρους αυτού, αλλά αυτή τη φορά επιλέξαμε τυχαία τους μισούς σταθμούς μέτρησης για τον υπολογισμό των παραμέτρων. Στους εναπομείναντες σταθμούς, με χρήση των νέων παραμέτρων, υπολογίστηκε το διάνυσμα των εκτιμήσεων της μέσης τιμής και στη συνέχεια έγιναν όλοι οι έλεγχοι που αναφέρθηκαν προηγουμένως. Οι νέες τιμές των παραμέτρων B 1, B 2, B 3, B 0 είναι C *10 10 C *10 10 C *10 11 και C *10 7, τιμές που είναι αρκετά κοντά σε αυτές που προσδιορίστηκαν χρησιμοποιώντας το σύνολο των σταθμών (βλέπε ενότητα 3.3.2). Με βάση τις παραπάνω τιμές και τη σχέση (3.1), εκτιμήθηκε για τους υπόλοιπους σταθμούς η μέση τιμή των τυποποιημένων μέγιστων απορροών, καθώς και η

45 31 μέση τιμή, τυπική απόκλιση και εμπειρική κατανομή των διαφορών που προκύπτουν από την σχέση (3.3) (βλέπε πίνακα 3.3, και σχήμα 3.14). Πίνακας 3.3 Στατιστικά αποτελέσματα των διαφορών (residuals). Μέση τιμή m e Τυπική απόκλιση e * *10 8 Όπως διαφαίνεται στο Σχήμα 3.14, ακόμα και στην περίπτωση που χρησιμοποιείται η μισή υδρολογική πληροφορία για στάθμιση του γραμμικού μοντέλου της σχέσης (3.1) και το άλλο μισό αυτής για τον έλεγχό του, η κατανομή των σφαλμάτων εκτίμησης είναι κοντά στην κανονική κατανομή. Σχήμα 3.14 Εμπειρική κατανομή σφάλματος εκτίμησης αθροιστικού μοντέλου βάσει των μισών σταθμών.

46 Προσδιορισμός πολλαπλασιαστικού μοντέλου Αρχικά, στη δεύτερη περίπτωση η εκτίμηση της μέση τιμής των τυποποιημένων μέγιστων ετήσιων απορροών πραγματοποιείται μέσω του ακόλουθου πολλαπλασιαστικού μοντέλου: ^ m' ( DPSBAR ) *( SAAR ) *( A ) * U * W (3.4) () i F G K ( i) ( i) ( i) Όπου F, G, K, U παράμετροι, οι οποίες εκτιμώνται από τη διαθέσιμη υδρολογική πληροφορία και W είναι η τυχαία μεταβλητή του σφάλματος, η οποία στη περίπτωση του πολλαπλασιαστικού μοντέλου ακολουθεί λογαριθμοκανονική (lognormal) κατανομή: W m. 2 ( w 1, w ) Έπειτα από λογαρίθμηση της σχέσης (3.4), προκύπτει μια αθροιστική σχέση της μορφής: ^ ln( m ') F *ln( DPSBAR ) G *ln( SAAR ) K *ln( A ) lnu lnw (3.5) ( i) ( i) ( i) ( i) με τη τυχαία μεταβλητή lnw να ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση τιμή 2 ln w /2 2 και διασπορά ln w. Σε αυτό το σημείο πρέπει να επισημανθεί, ότι οι παράμετροι της σχέσης (3.5) δεν μπορούν να εκτιμηθούν απευθείας με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, επειδή η μέση τιμή της τυχαίας μεταβλητής lnw είναι διάφορη του μηδενός. Για να ξεπεραστεί το παραπάνω πρόβλημα κατασκευάστηκε ισοδύναμη μορφή της εξίσωσης (3.5) στην οποία προσθαφαιρείται η ποσότητα. 2 ln w /2 ^ 2 ( i) ln w ( i) ( i) ( i) ln( m ') (ln U / 2) F *ln( DPSBAR ) G *ln( SAAR ) K ln( A ) S (3.6) d S ln W / 2 N(0, ) (3.7) 2 2 ln w ln w Θέτοντας στο σημείο αυτό U U καταλήγουμε στη τελική ισοδύναμη 2 ' ln ln w / 2 μορφή της εξίσωσης, στην οποία πλέον μπορεί να εφαρμοστεί η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων για την εκτίμηση των παραμέτρων. ln( m ') U ' F *ln( DPSBAR ) G*ln( SAAR ) K *ln( A ) S (3.8) ( i) ( i) ( i) ( i) Οι παράμετροι της σχέσης (3.8) διαμορφώνονται ως: U ' , F G και K Επομένως, οι παράμετροι της σχέσης (3.4) έχουν τιμές

47 33 U *10, F G και K Στο σημείο αυτό πρέπει να επισημανθεί ότι η παράμετρος F λαμβάνει αρνητική τιμή, κάτι που έρχεται σε αντίθεση με τα ευρήματα του σχήματος (3.3), όπου η μέση τιμή των τυποποιημένων μέγιστων ετήσιων απορροών αυξάνει με την μέση κλίση της λεκάνης (DPSBAR). Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι, στο εν λόγω πολλαπλασιαστικό μοντέλο, η επίδραση του κανονικού ετήσιου ύψους βροχόπτωσης τριακονταετίας SAAR υπερκαλύπτει αυτήν της μέσης κλίσεως της λεκάνης (βλέπε τιμές των παραμέτρων F, G). Επίσης, η μικρή τιμή της παραμέτρου F, σε συνδυασμό με το εύρος τιμών του DPSBAR (18 έως 333 m/km), κάνουν τον όρο (DPSBAR) F της εξισώσεως (3.4) περίπου σταθερό σε σχέση με τους υπόλοιπους όρους. Συνεπώς, η εκτίμηση της μέσης τιμής των τυποποιημένων μέγιστων ετήσιων απορροών προτείνεται να γίνει μέσω του διπαραμετρικού μοντέλου: ^ D1 D2 ( i) ( i) ( i) 0 m' ( SAAR ) *( A ) * D * P (3.9) όπου D 0 - D 2 παράμετροι οι οποίες εκτιμώνται από τη διαθέσιμη υδρολογική πληροφορία και P είναι η τυχαία μεταβλητή του σφάλματος, η οποία ακολουθεί λογαριθμοκανονική κατανομή (lognormal). Οι παράμετροι της σχέσης (3.9) εκτιμήθηκαν σύμφωνα με τη διαδικασία που περιγράψαμε παραπάνω και έχουν τιμές D 1 = , D 2 = και D 0 = * Στη συνέχεια, με γνώστες τις παραμέτρους της σχέσης (3.9) και με χρήση της σχέσης (3.2) υπολογίστηκε η τιμή του συντελεστή προσδιορισμού 2 R Η τιμή του συντελεστή προσδιορισμού μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι το πολλαπλασιαστικό μοντέλο εκτίμησης της μέσης τιμής παράγει αποτελέσματα τα οποία έχουν αρκετά καλή συσχέτιση με τις εμπειρικές μέσες τιμές αφού η εκτίμηση μας ερμηνεύει το 56.88% της διακύμανσης των μέσων τιμών των τυποποιημένων μέγιστων απορροών Προσδιορισμός κατανομής σφάλματος Στη συγκεκριμένη περίπτωση το πολλαπλασιαστικό σφάλμα υπολογίζεται ως: ( i) ( i) ^ e m'( i) / m' (3.10) Τα αποτελέσματα για τη μέση τιμή και τη τυπική απόκλιση του διανύσματος των σφαλμάτων φαίνονται στο παρακάτω πίνακα:

48 34 Πίνακας 3.4 Στατιστικά αποτελέσματα των σφαλμάτων (residuals). Μέση τιμή m e Τυπική απόκλιση e Όπως βλέπουμε η μέση τιμή των σφαλμάτων είναι ίση με τη μονάδα και συνεπώς η εκτίμηση είναι πολλαπλασιαστικά αμερόληπτη. Στην ενότητα αναφέρθηκε ότι στο πολλαπλασιαστικό μοντέλο η κατανομή του σφάλματος θα πρέπει να είναι λογαριθμοκανονική με μέση τιμή μονάδα, επομένως η συμπεριφορά της εμπειρικής κατανομής σφάλματος θα πρέπει να είναι αρκετά κοντινή με τη προαναφερθείσα λογαριθμική κατανομή. Από απλή παρατήρηση του Σχήματος 3.15 προκύπτει ότι η εμπειρική κατανομή σφάλματος είναι αρκετά κοντά στη λογαριθμική κατανομή (κόκκινη καμπύλη). Συνεπώς τα αποτελέσματα που παράγει το πολλαπλασιαστικό μοντέλο εκτίμησης είναι ικανοποιητικά. Σχήμα 3.15 Εμπειρική κατανομή σφάλματος εκτίμησης πολλαπλασιαστικού μοντέλου βάσει όλων των σταθμών.

49 Έλεγχος μοντέλου εκτίμησης Όμοια με την ενότητα , για τον έλεγχο του διπαραμετρικού πολλαπλασιαστικού μοντέλου εκτίμησης της μέσης τιμής της σχέσης (3.9) χρησιμοποιήθηκε η μισή υδρολογική πληροφορία για την επανεκτίμηση των παραμέτρων D 0 - D 2. Οι τιμές των παραμέτρων D 0 - D 2 που προκύπτουν κατόπιν της εκ νέου στάθμισης του πολλαπλασιαστικού μοντέλου είναι D' D ' και D' * τιμές που είναι κοντά σε αυτές που προσδιορίστηκαν χρησιμοποιώντας το σύνολο των σταθμών (βλέπε ενότητα 3.3.3). Με βάση τις πιο πάνω τιμές και τη σχέση (3.9) υπολογίστηκε για τους υπόλοιπους σταθμούς η μέση τιμή των τυποποιημένων μέγιστων απορροών, καθώς και η μέση τιμή, τυπική απόκλιση και εμπειρική κατανομή των σφαλμάτων που προκύπτουν από τη σχέση (3.10). Πίνακας 3.5 Στατιστικά αποτελέσματα των σφαλμάτων (residuals). Μέση τιμή m e Τυπική απόκλιση e Παρατηρώντας το Σχήμα 3.16 και τις τιμές του πίνακα 3.5, προκύπτει ότι ακόμα και στη περίπτωση που χρησιμοποιείται μονό η μισή υδρολογική πληροφορία για τη στάθμιση του πολλαπλασιαστικού μοντέλου της σχέσης (3.9) και το άλλο μισό αυτής για τον έλεγχό του, τα αποτελέσματα είναι αρκετά ικανοποιητικά. Σχήμα 3.16 Εμπειρική κατανομή σφάλματος εκτίμησης πολλαπλασιαστικού μοντέλου βάσει των μισών σταθμών.

50 36 Ανακεφαλαιώνοντας, παρότι το αθροιστικό μοντέλο εμφανίζει ελαφρώς μεγαλύτερο συντελεστή προσδιορισμού από το πολλαπλασιαστικό μοντέλο των δύο παραμέτρων, προτείνεται η εκτίμηση της μέσης τιμής να γίνει μέσω του δεύτερου μοντέλου. Η πρόταση αυτή δικαιολογείται από το γεγονός ότι το αθροιστικό μοντέλο (βλέπε σχέση 3.1) δύναται να παράγει αρνητικές τιμές απορροής (βλέπε συντελεστές της σχέσης (3.1)), κάτι που δεν είναι φυσικά αποδεκτό, ενώ το πολλαπλασιαστικό μοντέλο (βλέπε σχέση (3.9)) δίνει αυστηρά θετικά αποτελέσματα, γεγονός που το καθιστά φυσικά συνεπές.

51 37 4 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ ΜΕΓΙΣΤΩΝ ΑΠΟΡΡΟΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΟΥ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΗΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΗΣ ΛΕΚΑΝΗΣ 4.1 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΜΕΓΙΣΤΩΝ ΕΤΗΣΙΩΝ ΑΠΟΡΡΟΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ ΤΗΣ ΛΕΚΑΝΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ Μια μεθοδολογία που χρησιμοποιείται αρκετά συχνά, για να χαρακτηριστεί η στατιστική συμπεριφορά των μέγιστων ετήσιων απορροών Q max,yr συναρτήσει της έκτασης της λεκάνης απορροής (statistical scaling), είναι η μεταβολή του συντελεστή μεταβλητότητας ( CV ) των μέγιστων ετήσιων απορροών της λεκάνης A (Veneziano and Langousis 2010). Q max,yr συναρτήσει του εμβαδού Όπως αναφέρθηκε και στην εισαγωγή (Κεφάλαιο 1) σύμφωνα με αυτή την προσέγγιση, οι μέγιστες ετήσιες απορροές χαρακτηρίζονται από: αυτό-όμοια συμπεριφορά (self-similarity, SS) αν συντελεστής μεταβλητότητας είναι ανεξάρτητος του A. στοχαστικά αυτό-όμοια συμπεριφορά υπό συστολή (stochastic self-similarity under contraction, SSS under contraction) αν ο συντελεστής μεταβλητότητας μειώνεται όσο αυξάνεται το A. στοχαστικά αυτό-όμοια συμπεριφορά υπό διαστολή (stochastic self-similarity under dilation, SSS under dilation) αν ο συντελεστής μεταβλητότητας αυξάνεται όσο αυξάνεται το A. Εικόνα 4.1 Μεταβολή του συντελεστή μεταβλητότητας CV συναρτήσει του μεγέθους της λεκάνης απορροής A.

52 38 Στο σημείο αυτό θα πρέπει να τονιστεί, ότι στην περίπτωση που ο συντελεστής μεταβλητότητας είναι ανεξάρτητος της έκτασης της λεκάνης Α, η υπόθεση της στοχαστικής αυτό-ομοιότητας (SSS) δεν μπορεί να απορριφθεί. Η εξήγηση για την πιο πάνω παρατήρηση, κρύβεται στο τρόπο που είναι ορισμένος ο συντελεστής μεταβλητότητας CV και στο γεγονός ότι τα SSS μοντέλα, είναι εξ ορισμού πολλαπλασιαστικά. Πιο συγκεκριμένα, ο συντελεστής μεταβλητότητας CV ορίζεται ως ο λόγος της τυπικής απόκλισης σ μίας τυχαίας μεταβλητής, προς τη μέση τιμή m αυτής. Δεδομένου ότι κατά τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης αφαιρείται η μέση τιμή, προκύπτει ότι η χρήση του συντελεστή μεταβλητότητας, ως στατιστικού μέτρου για την ποσοτικοποίηση της στατιστικής συμπεριφοράς κλίμακας (scaling), προϋποθέτει την υπόθεση αθροιστικότητας, η οποία χαρακτηρίζει τις ανελίξεις απλής ομοιοθεσίας (selfsimilar processes, SS). 4.2 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ Διάγραμμα συντελεστών μεταβλητότητας των τυποποιημένων χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων απορροών Q' max,yr = Q max,yr /A, ως συνάρτηση του εμβαδού της λεκάνης απορροής Σύμφωνα με την παραπάνω προσέγγιση, κατασκευάστηκε το διάγραμμα του συντελεστή μεταβλητότητας των τυποποιημένων μέγιστων ετήσιων απορροών του κάθε σταθμού συναρτήσει του εμβαδού της λεκάνης απορροής A. Στο Σχήμα 4.1 παρατηρήθηκε ένα νέφος σημείων χωρίς κάποια ιδιαίτερη στατιστική συμπεριφορά, η οποία να παραπέμπει σε κάποια από τις δύο προαναφερθείσες στατιστικές συμπεριφορές κλίμακας (self-similarity, SS stochastic self-similarity, SSS). Για να δείξουμε ότι τα σημεία δεν εμφανίζουν κάποια ιδιαίτερη στατιστική τάση, προσαρμόσαμε ένα γραμμικό μοντέλο με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων (ΜΕΤ) με δύο τρόπους. Στη πρώτη περίπτωση, προσαρμόστηκε ευθεία σε όλα τα δεδομένα του συντελεστή μεταβλητότητας, ενώ στη δεύτερη περίπτωση τα δεδομένα χωρίστηκαν σε δύο κατηγορίες με βάση την έκταση της λεκάνης απορροής, θεωρώντας σαν κρίσιμη τιμή A 100km 2. Σε αμφότερες τις περιπτώσεις, υπολογίστηκε ο συντελεστής προσδιορισμού c 2 R. Στην πρώτη περίπτωση, η ευθεία που απεικονίζεται με κόκκινο χρώμα έχει πολύ μικρό συντελεστή προσδιορισμού 2 R Στη δεύτερη περίπτωση η πράσινη ευθεία

53 39 περιγράφει τους συντελεστές μεταβλητότητας για λεκάνες με εμβαδό μικρότερο ίσο του A c, και εμφανίζει συντελεστή προσδιορισμού 2 R στα υπόλοιπα δεδομένα και έχει συντελεστή προσδιορισμού Η μωβ ευθεία προσαρμόστηκε 2 R Όπως φαίνεται από τους συντελεστές προσδιορισμού, οι εν λόγω ευθείες δεν μπορούν να περιγράψουν σε επαρκές βαθμό τη μεταβλητότητα των δεδομένων μας. Συνεπώς, και στις δυο παραπάνω περιπτώσεις, επιβεβαιώνεται ο ισχυρισμός για νέφος σημείων χωρίς κάποια σημαντική στατιστική τάση. Επομένως συμφώνα με τη μεθοδολογία του συντελεστή μεταβλητότητας, δεν υπάρχει κάποια ένδειξη για αυτό-όμοια (self-similar, SS) ή στοχαστικά αυτό-όμοια (stochastic self-similar, SSS) συμπεριφορά. Σχήμα 4.1 Διάγραμμα συντελεστών μεταβλητότητας των τυποποιημένων χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων απορροών (Q' max,yr = Q max,yr /A) των σταθμών, συναρτήσει του εμβαδού των λεκανών απορροής τους.

54 Διάγραμμα συντελεστών μεταβλητότητας των τυποποιημένων χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων απορροών Q' max,yr = Q max,yr /A, ως συνάρτηση της μέσης κλίσεως και του κανονικού ετήσιου ύψους βροχής τριακονταετίας της λεκάνης απορροής Από τα διαγράμματα του συντελεστή μεταβλητότητας των τυποποιημένων μέγιστων ετήσιων απορροών του κάθε σταθμού συναρτήσει των υπόλοιπων παραμέτρων (DPSBAR, SAAR) δεν προκύπτει κάποια ιδιαίτερη στατιστική συμπεριφορά ή κάποια εξάρτηση. Στο συμπέρασμα αυτό οδηγηθήκαμε αφού και στις δύο περιπτώσεις παρατηρήθηκε ακανόνιστο νέφος σημείων (βλέπε Σχήμα 4.2 και Σχήμα 4.3). Σχήμα 4.2 Διάγραμμα συντελεστών μεταβλητότητας των τυποποιημένων χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων απορροών (Q' max,yr = Q max,yr /A) των σταθμών, συναρτήσει της μέσης κλίσεως των λεκανών απορροής τους.

55 41 Σχήμα 4.3 Διάγραμμα συντελεστών μεταβλητότητας των τυποποιημένων χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων απορροών (Q' max,yr = Q max,yr /A) των σταθμών, συναρτήσει του κανονικού ετήσιου ύψους βροχόπτωσης τριακονταετίας. 4.3 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ Στη συγκεκριμένη υποενότητα παρουσιάζεται ένα συγκεντρωτικό διάγραμμα, το οποίο απεικονίζει τη συμπεριφορά των συντελεστών μεταβλητότητας συναρτήσει του εμβαδού της λεκάνης απορροής, από την παρούσα διατριβή και από άλλες τέσσερις αντίστοιχες επιστημονικές δημοσιεύσεις. Σε όλες τις εργασίες το σύνολο των τιμών των συντελεστών μεταβλητότητας προκύπτει από υδρολογικά δεδομένα μέγιστων ετήσιων απορροών. Με κόκκινο χρώμα παρουσιάζονται, οι τιμές του συντελεστή μεταβλητότητας από την εργασία του Bhatti (2000), οι οποίες αφορούν δεδομένα προερχόμενα από το ινστιτούτο γεωλογικής έρευνας των Ηνωμένων Πολιτειών της Αμερικής (USGS). Με πράσινο χρώμα παρουσιάζονται τα αποτελέσματα από τη μελέτη των Bloschl and Sivapalan (1997) τα οποία προκύπτουν από δεδομένα απορροής στην Αυστρία. Με μωβ σταυρούς απεικονίζονται οι συντελεστές μεταβλητότητας από την εργασία των Morrison and Smith (2001) και με μπλε κύκλους τα αποτελέσματα των Robinson and Sivapalan (1997). Οι δύο τελευταίες εργασίες έχουν επεξεργαστεί δεδομένα απορροής από τα Απαλάχια. Τέλος τα μπλε σημεία του διαγράμματος αφορούν τις τιμές του συντελεστή μεταβλητότητας της παρούσας διατριβής.

56 42 Από απλή παρατήρηση του διαγράμματος (βλέπε Σχήμα 4.4) διαπιστώνουμε ότι σε όλες τις περιπτώσεις υπάρχει μεγάλη διασπορά των παρατηρήσεων με συνέπεια την απουσία κάποιας στατιστικά σημαντικής τάσης. Σχήμα 4.4 Συγκεντρωτικό διάγραμμα συντελεστών μεταβλητότητας μέγιστων ετήσιων απορροών συναρτήσει του εμβαδού της λεκάνης απορροής. Συνεπώς, τα παρουσιασθέντα αποτελέσματα (βλέπε ενότητες 4.1, 4.2 και 4.3) μας οδηγούν στο συμπέρασμα ότι η μεταβολή του συντελεστή μεταβλητότητας CV των τυποποιημένων χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων απορροών Q' max, yr Qmax, yr / A συναρτήσει του εμβαδού της λεκάνης απορροής A, δεν δύναται να περιγράψει τη στατιστική συμπεριφορά κλίμακας (scaling) των ετήσιων μεγίστων. Στη συνέχεια θα πραγματοποιηθούν τρείς εναλλακτικές αναλύσεις με τη μέθοδο των αρχικών ροπών ώστε να διαπιστώσουμε εάν οι μέγιστες ετήσιες απορροές εμφανίζουν κάποια από τις προαναφερθείσες στατιστικές συμπεριφορές κλίμακας (self-similarity, SS stochastic self-similarity, SSS).

57 43 5 ΕΞΑΡΤΗΣΗ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΤΩΝ ΜΕΓΙΣΤΩΝ ΕΤΗΣΙΩΝ ΑΠΟΡΡΟΩΝ ΑΠΟ ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΗΣ ΛΕΚΑΝΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ 5.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Για να μελετηθεί η εξάρτηση των στατιστικών χαρακτηριστικών των μέγιστων ετήσιων απορροών από την επιφάνεια της λεκάνης απορροής A (statistical scaling), εξετάζουμε τον τρόπο που οι αρχικές ροπές των τυποποιημένων μέγιστων απορροών Qmax, yr / A εξαρτώνται από το A (initial moment method) (βλέπε π.χ. Bhatti 2000, Veneziano and Langousis 2005, Veneziano et al. 2007, Veneziano and Langousis 2010 και αναφορές εντός των εργασιών αυτών). Το είδος της εξάρτησης, καθώς και οι εξισώσεις που περιγράφουν την κάθε περίπτωση, έχουν αναπτυχθεί αναλυτικά στο Κεφάλαιο 1. Μέχρι σήμερα, οι περισσότερες αναλύσεις για τον χαρακτηρισμό της στατιστικής συμπεριφοράς των μέγιστων ετήσιων απορροών Q max,yr συναρτήσει της έκτασης της λεκάνης απορροής A (Bhatti 2000, Dodov and Foufoula-Georgiou 2005, Ishak et al. 2011) καταλήγουν στο συμπέρασμα αυτό-όμοιας συμπεριφοράς (self-similarity SS), με δείκτη αυτό-ομοιότητας Η οι οποίος κυμαίνεται από 0.6 έως 0.9. Όπως αναλύεται στη συνέχεια, το παραπάνω εύρημα οφείλεται στην εξάρτηση του Q max,yr από κλιματολογικές (βροχόπτωση) και φυσιογραφικές παραμέτρους (μέση κλίση και έκταση της λεκάνης απορροής). Για να εξακριβωθεί η παραπάνω επιρροή, μελετήθηκαν τρείς περιπτώσεις: Στη πρώτη περίπτωση, η τυχαία μεταβλητή που μελετάται είναι οι τυποποιημένες τιμές των μέγιστων ετήσιων απορροών κάθε σταθμού ( Qmax, yr / A )( i). Στη δεύτερη περίπτωση η τυχαία μεταβλητή που μελετήθηκε, προκύπτει έπειτα από διαίρεση των τυποποιημένων μέγιστων ετήσιων απορροών της εκάστοτε λεκάνης με την εμπειρική μέση τιμή αυτών, ( Qmax, yr / A) ( i) / m ' i. Στη τρίτη και τελευταία περίπτωση, η υπό μελέτη τυχαία μεταβλητή υπολογίζεται ως ο λόγος των τυποποιημένων μέγιστων απορροών προς τις εκτιμούμενες μέσες τιμές που προκύπτουν από το πολλαπλασιαστικό μοντέλο της σχέσης (3.9), ( Q / A) / m '. max, yr ( i) i ^

58 44 Στις αναλύσεις που ακολουθούν, οι αρχικές ροπές που υπολογίστηκαν ήταν έως και τρίτης τάξεως, καθώς λόγω του πεπερασμένου μεγέθους του δείγματος μεγαλύτερης τάξης ροπές υποεκτιμούνται (Langousis and Veneziano 2007, Langousis et al 2009, Veneziano and Langousis 2010). Οι κόκκινες ευθείες που απεικονίζονται στα διαγράμματα προσαρμόστηκαν με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, με σκοπό να υπολογιστεί η αρνητική κλίση για να κατασκευαστεί μετέπειτα το διάγραμμα της μεταβολής των κλίσεων ( K'( q ) ) συναρτήσει της τάξεως της ροπής q (βλέπε Κεφάλαιο 1). Στις επόμενες ενότητες, παρουσιάζονται τα αποτελέσματα και τα διαγράμματα που προκύπτουν, κατόπιν ανάλυσης με τη μέθοδο των αρχικών ροπών για τις προαναφερθείσες περιπτώσεις. Επίσης, συγκρίνονται τα αποτελέσματα και αιτιολογείται γιατί παρατηρείται διαφορετική συμπεριφορά σε κάθε ανάλυση ΠΡΩΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Η πρώτη ανάλυση πραγματοποιήθηκε με σκοπό να εξεταστεί η επίδραση που έχει η κανονικοποίηση των μέγιστων ετήσιων απορροών Q max,yr με το μέγεθος της λεκάνης A, στη συμπεριφορά των στατιστικών χαρακτηριστικών των μέγιστων ετήσιων απορροών συναρτήσει της έκτασης της λεκάνης απορροής (statistical scaling). Με απλή παρατήρηση των διαγραμμάτων (βλέπε Σχήμα 5.1 έως Σχήμα 5.6) των αρχικών ροπών, τάξεως q = [0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3] προκύπτει αρκετά μεγάλη σκέδαση των παρατηρήσεων συναρτήσει του μεγέθους της λεκάνης απορροής. Επίσης όπως είναι αναμενόμενο η σκέδαση μεγαλώνει όσο μεγαλώνει η τάξης της ροπής q. Η μεγάλη μεταβλητότητα των παρατηρήσεων, οφείλεται στις υφιστάμενες εξαρτήσεις των μέγιστων ετήσιων απορροών από κλιματολογικές και φυσιογραφικές παραμέτρους (βλέπε Κεφάλαιο 3). Μια προτεινόμενη λύση ώστε να εξομαλυνθεί (smoothing) η μεταβλητότητα που προκύπτει στα δεδομένα είναι η ομαδοποίηση σε κλάσεις ανάλογα με την έκταση της λεκάνης και τις επικρατούσες κλιματολογικές συνθήκες σε κάθε περιοχή, όπως στην μελέτη του Bhatti (2000). Με αυτό τον τρόπο περιορίζεται η μεταβλητότητα, αλλά δεν απομονώνεται η επίδραση των κλιματολογικών παραμέτρων και της έκτασης της λεκάνης στη στατιστική συμπεριφορά των μέγιστων ετήσιων απορροών Q max,yr. Οι τιμές της αρνητικής κλίσεως που προκύπτουν από τα ανωτέρω διαγράμματα παρουσιάζονται στον ακόλουθο πίνακα:

59 45 Πίνακας 5.1 Τιμές της αρνητικής κλίσεως σύμφωνα με τη μέθοδο των ροπών. q=0.5 q=1 q=1.5 q=2 q=2.5 q= Επιπροσθέτως, παρατηρώντας προσεκτικά το Σχήμα 5.7 μπορούμε να ισχυριστούμε ότι η μεταβολή της κλίσεως συναρτήσει της τάξεως της ροπής αποτελείται από δύο τμήματα, ένα γραμμικό που μας οδηγεί στο συμπέρασμα αυτό-όμοιας συμπεριφοράς (selfsimilar behavior) και ένα κυρτό το οποίο είναι ένδειξη στοχαστικά αυτό-όμοιας συμπεριφοράς υπό συστολή (stochastic self-similarity under contraction). Στην περίπτωση αυτή το μοντέλο που ισχύει, είναι ένα μοντέλο το οποίο είναι επαλληλία των δύο προηγούμενων μοντέλων (βλέπε Veneziano and Langousis 2010). Η σχέση για τις ροπές που ισχύει σε αυτή τη περίπτωση είναι: E[{ Q ( A)} q ] A max q H ' q K( q) (5.1) Όπου 2 K( q) c1 *( q q) και c 1: παράμετρος στοχαστικά αυτό-όμοιας συμπεριφοράς Θέτοντας: K q H q K q H q c q q η σχέση (5.1) γράφεται ως: 2 '( ) ' ( ) ' 1 *( ) q q K '( q) E[{ Q ( A)} / A ] A (5.2) max Με απλούς υπολογισμούς χρησιμοποιώντας τη τιμή K '(1) προκύπτει ότι H ' Στη συνέχεια με γνωστό το H ' και με τη τιμή K '(2) υπολογίζουμε τη τιμή της παραμέτρου c Από τη σχέση 5.1 και τη διαφορά στην τάξη μεγέθους των παραμέτρων H ' και c , διαπιστώνουμε ότι στη περίπτωση που οι τιμές των μέγιστων ετήσιων απορροών δεν κανονικοποιηθούν με την έκταση της λεκάνης απορροής, προκύπτει αυτό-ομοια συμπεριφορά. Συνεπώς η μη-κανονικοποιήση των μέγιστων ετήσιων απορροών με το μέγεθος της λεκάνης απορροής υπερκαλύπτει τη στοχαστικά αυτό-όμοια συμπεριφορά και οδηγεί σε αυτό-όμοια μοντέλα. Μάλιστα στην περίπτωση στην οποία οι τιμές των μέγιστων ετήσιων απορροών δεν κανονικοποιηθούν με την έκταση της λεκάνης απορροής, ο συντελεστής αυτό-ομοιότητας H λαμβάνει τη τιμή H 1 H' 0.94.

60 46 Σχήμα 5.1 Διάγραμμα ροπής της τυχαίας μεταβλητής Qmax, yr / εμβαδού της λεκάνης απορροής για q=0.5. A συναρτήσει του Σχήμα 5.2 Διάγραμμα ροπής της τυχαίας μεταβλητής Qmax, yr / εμβαδού της λεκάνης απορροής για q=1. A συναρτήσει του

61 47 Σχήμα 5.3 Διάγραμμα ροπής της τυχαίας μεταβλητής Qmax, yr / εμβαδού της λεκάνης απορροής για q=1.5. A συναρτήσει του Σχήμα 5.4 Διάγραμμα ροπής της τυχαίας μεταβλητής Qmax, yr / εμβαδού της λεκάνης απορροής για q=2. A συναρτήσει του

62 48 Σχήμα 5.5 Διάγραμμα ροπής της τυχαίας μεταβλητής Qmax, yr / εμβαδού της λεκάνης απορροής για q=2.5. A συναρτήσει του Σχήμα 5.6 Διάγραμμα ροπής της τυχαίας μεταβλητής Qmax, yr / εμβαδού της λεκάνης απορροής για q=3. A συναρτήσει του

63 49 Σχήμα 5.7 Διάγραμμα μεταβολής της κλίσεως συναρτήσει της τάξεως της ροπής. 5.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Η δεύτερη ανάλυση έχει ως στόχο να αναδείξει την επιρροή των κλιματολογικών και φυσιογραφικών παραμέτρων στη στατιστική συμπεριφορά των τυποποιημένων μέγιστων ετήσιων απορροών Qmax, yr / A συναρτήσει της έκτασης της λεκάνης απορροής A. Για αυτό το λόγο, η τυποποιημένη χρονοσειρά των μέγιστων ετήσιων απορροών Qmax, yr / A κάθε σταθμού διαιρέθηκε με την εμπειρική μέση τιμή του, η οποία εμπεριέχει κλιματολογικές και φυσιογραφικές εξαρτήσεις. Όπως φαίνεται από τα διαγράμματα (βλέπε Σχήμα 5.8 έως Σχήμα 5.13) των αρχικών ροπών, τάξεως q = [0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3] προκύπτει σημαντική μείωση της σκέδασης των παρατηρήσεων σε σχέση με τη πρώτη περίπτωση. Η μείωση της μεταβλητότητας των δεδομένων σε σχέση με την έκταση της λεκάνης απορροής οφείλεται στο γεγονός ότι σε αυτή τη περίπτωση έχουν αφαιρεθεί οι εξαρτήσεις που εμφανίζουν οι μέγιστες απορροές από κλιματολογικές και φυσιογραφικές παραμέτρους, με συνέπεια να μειώνεται και η αβεβαιότητα των εκτιμήσεων σε κάθε θέση. Οι τιμές της αρνητικής κλίσεως που υπολογίστηκαν από τα ανωτέρω διαγράμματα παρουσιάζονται στον επόμενο πίνακα: Πίνακας 5.2 Τιμές της αρνητικής κλίσεως σύμφωνα με τη μέθοδο των ροπών. q=0.5 q=1 q=1.5 q=2 q=2.5 q=

64 50 Επίσης παρατηρώντας το Σχήμα 5.14 διαπιστώνουμε ότι στη προκειμένη περίπτωση η συνάρτηση K(q) (μπλε χρώμα) εμφανίζει μη γραμμικότητα και κυρτότητα, συνεπώς σύμφωνα με τη μέθοδο των αρχικών ροπών οι μέγιστες ετήσιες απορροές χαρακτηρίζονται από στοχαστικά αυτό-όμοια συμπεριφορά υπό συστολή (SSS under contraction). Η κόκκινη καμπύλη του Σχήματος 5.14 περιγράφεται από την εξίσωση K q c q q 2 ( ) 1 *( ) με c Τέλος για q>2.5 διακρίνουμε μια υποεκτίμηση στη τιμή της κλίσεως Kq ( ) σε σχέση με τη κόκκινη καμπύλη, γεγονός που οφείλεται στο πεπερασμένο μέγεθος του δείγματος. απορροών Όπως διαπιστώνουμε, η κανονικοποίηση των χρονοσειρών μέγιστων ετήσιων Q max,yr και η αφαίρεση των εξαρτήσεων της απορροής από κλιματολογικές και φυσιογραφικές παραμέτρους οδηγεί σε στοχαστικά αυτό-όμοια συμπεριφορά. Από φυσικής απόψεως η ανωτέρω συμπεριφορά μπορεί να ερμηνευτεί εάν λάβουμε υπόψη μας ότι η βροχόπτωση παρουσιάζει στοχαστικά αυτό-όμοια συμπεριφορά (βλέπε π.χ. Bhatti 2000, Veneziano and Langousis 2010 και αναφορές εντός των εργασιών αυτών) και το γεγονός ότι οι μέγιστες ετήσιες απορροές παρατηρούνται συνήθως σε συνθήκες κορεσμού της υδρολογικής λεκάνης κατά το γεγονός της βροχής (άμεση απορροή). Σχήμα 5.8 Διάγραμμα ροπής της τυχαίας μεταβλητής ( Q / A) / m ' συναρτήσει max, yr του εμβαδού της λεκάνης απορροής για q=0.5.

65 51 Σχήμα 5.9 Διάγραμμα ροπής της τυχαίας μεταβλητής ( Q / A) / m ' συναρτήσει max, yr του εμβαδού της λεκάνης απορροής για q=1 Σχήμα 5.10 Διάγραμμα ροπής της τυχαίας μεταβλητής ( Q / A) / m ' συναρτήσει max, yr του εμβαδού της λεκάνης απορροής για q=1.5.

66 52 Σχήμα 5.11 Διάγραμμα ροπής της τυχαίας μεταβλητής ( Q / A) / m ' συναρτήσει max, yr του εμβαδού της λεκάνης απορροής για q=2. Σχήμα 5.12 Διάγραμμα ροπής της τυχαίας μεταβλητής ( Q / A) / m ' συναρτήσει max, yr του εμβαδού της λεκάνης απορροής για q=2.5.

67 53 Σχήμα 5.13 Διάγραμμα ροπής της τυχαίας μεταβλητής ( Q / A) / m ' συναρτήσει max, yr του εμβαδού της λεκάνης απορροής για q=3. Σχήμα 5.14 Διάγραμμα μεταβολής της κλίσεως συναρτήσει της τάξεως της ροπής.

68 ΤΡΙΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Η ανάλυση αυτή πραγματοποιήθηκε για να εξεταστεί η συμπεριφορά των στατιστικών χαρακτηριστικών των μέγιστων ετήσιων απορροών συναρτήσει της έκτασης της λεκάνης απορροής (statistical scaling), στη περίπτωση που η τυποποιημένη χρονοσειρά των μέγιστων ετήσιων απορροών Qmax, yr / A κάθε σταθμού διαιρεθεί με τη μέση τιμή που υπολογίζεται από το πολλαπλασιαστικό μοντέλο εκτίμησης της μέσης τιμής σχέση (3.9). Η παραπάνω προσέγγιση είναι χρήσιμη για την πραγματοποίηση υδρολογικών εκτιμήσεων σε περιοχές που δεν υπάρχουν διαθέσιμα δεδομένα μετρήσεων. Όπως διαφαίνεται από τα διαγράμματα (βλέπε Σχήμα 5.15 έως Σχήμα 5.20) των αρχικών ροπών, τάξεως q = [0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3] η σκέδαση των παρατηρήσεων είναι αισθητά μικρότερη σε σχέση με την πρώτη περίπτωση (βλέπε Σχήμα 5.1 έως Σχήμα 5.6) και πιο μεγάλη σε σχέση με τη δεύτερη περίπτωση ( βλέπε Σχήμα 5.8 έως Σχήμα 5.13). Η παρατηρούμενη μεταβλητότητα εμφανίζεται διότι η διαίρεση των παρατηρήσεων με τις εκτιμήσεις του πολλαπλασιαστικού μοντέλου ναι μεν αφαιρεί τις εξαρτήσεις που έχουν οι μέγιστες τιμές των απορροών, αλλά από την άλλη δεν μπορεί να προσομοιώσει επακριβώς τις εμπειρικές μέσες τιμές. Πίνακας 5.3 Τιμές της αρνητικής κλίσεως σύμφωνα με τη μέθοδο των ροπών. q=0.5 q=1 q=1.5 q=2 q=2.5 q= Επιπροσθέτως παρατηρώντας το Σχήμα 5.21 μπορούμε να ισχυριστούμε ότι και σε αυτή την περίπτωση η συνάρτηση K(q) (μπλε χρώμα) εμφανίζει μη γραμμικότητα και κυρτότητα, οπότε σύμφωνα με τη μέθοδο των αρχικών ροπών οι μέγιστες ετήσιες απορροές παρουσιάζουν στοχαστικά αυτό-όμοια συμπεριφορά υπό συστολή (SSS under contraction). Η κόκκινη καμπύλη του Σχήματος 5.21 περιγράφεται από την εξίσωση K q c q q με c Τέλος όπως και πριν για q>2.5 υποεκτιμάται η τιμή 2 ( ) 1 *( ) της κλίσεως Kqσυγκριτικά ( ) με τη κόκκινη καμπύλη.

69 55 Σχήμα 5.15 Διάγραμμα ροπής της τυχαίας μεταβλητής max, yr ^ ( Q / A) / m ' συναρτήσει του εμβαδού της λεκάνης απορροής για q=0.5. Σχήμα 5.16 Διάγραμμα ροπής της τυχαίας μεταβλητής max, yr ^ ( Q / A) / m ' συναρτήσει του εμβαδού της λεκάνης απορροής για q=1.

70 56 Σχήμα 5.17 Διάγραμμα ροπής της τυχαίας μεταβλητής max, yr ^ ( Q / A) / m ' συναρτήσει του εμβαδού της λεκάνης απορροής για q=1.5. Σχήμα 5.18 Διάγραμμα ροπής της τυχαίας μεταβλητής max, yr ^ ( Q / A) / m ' συναρτήσει του εμβαδού της λεκάνης απορροής για q=2.