Astronomija i astrofizika Predavanje 5 Temeljne astrofizičke veličine: Zvjezdani spektri i temperatura zvijezda
|
|
|
- Ἄρτεμις Βαρνακιώτης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Astroomija i astrofizika Prdavaj 5 Tmlj astrofizičk vliči: vjzdai spktri i tmpratura zvijzda Astroomija i astrofizika 005 Astroomija i astrofizika 005
2 Spktri zvijzda i fktiv tmpratur zvijzda Astroomija i astrofizika 005 Josf Frauhofr (83) Astroomija i astrofizika 005
3 H H Mg F Ca Si X Astroomija i astrofizika 005 Kotiuirai spktar apsorpcijski spktar misijski spktar Astroomija i astrofizika 005 3
4 Sučv spktar Astroomija i astrofizika 005 Plackova fukcija Kvatizacija rgij dovla j do objašjja spktra zračja crog tijla. B ( T ) c E π ( T ) hc hc 5 kt a vlikim valim duljiama: hc kt hc kt ckt B ( T )
5 5 Stfa-Boltzma zako aima as ukupa rgija zračja crog tijla; Dakl, trba itgrirati Plackovu fukciju za dau tmpraturu po svim valim duljiama kt hc d hc A d B A L π π j gdj, ) ( ) ( T R T A du u c h k AT kt hc u du u hc kt c h A d hc A d B A L u u kt hc σ π σ π π π π σ j Stfa-Boltzmaova kostata za sfru
6 Wiov zako a kojoj valoj duljii cro tijlo zrači ajviš rgij? Polazći od: c B ( T ) E π hc ( T ) hc 5 kt Difrciraj po t izjdačavajm s ulom dobivamo: max T 0.90 cm K išta u Svmiru ij kao prfkto cro tijlo (uvijk k val dulji s apsorbiraju fikasij od drugih) ipak prko svojstava zračja crog tijla možmo stći uvid u radijativa svojstva vći objkta.. Ljudsko tijlo ima tmpraturu 37 C, ili 30 K. Koristći Wiov zako Vala duljia ajvć rgij zračja j: max T 0.90 cm K 0.90 max cm 9.35μm 30 Što pada u ifracrvi dio lktromagtskog spktra. ahvaljujući tomu svjtlimo u mraku, ali možmo biti vidljivi ifracrvim dtktorima. 6
7 Saga zračja j Primjri zračuajmo ukupu sagu zračja ljudskog tijla: korištjm: L Aσ (.) ( 30) L σ 733W T Površia tijla prosjč ljudsk osob j oko. m. Prtpostavimo da osoba sjdi u sobi a tmpraturi 0 stup. C (93 K). Prma istom pravilu apsorbiraa rgija ć biti: (.) ( 93) L σ 585W Prma tom ć gubitak rgij izositi: W Primjri Sučv lumiozitt izosi L W. Sučv j polumjr R m. Efktiva j tmpratura Suca, dakl: T L π R σ 5770 K / Prma Wiovom zakou ć vala duljia maksimuma raspodjl rgij zračja biti a 50 m, što j vala duljia zl svjtlosti. max T 0.90 cm K L πr σt 7
8 Primjr Spica j jda od ajtoplijih zvijzda a bu s fktivom tmpraturom 500 K. bog toga maksimum u raspojdli zračja pada a m, u dalko ultraljubičasti dio spktra koj oko viš mož rgistrirati. Spicu ipak vidimo a bu jr u vidljivom dijlu spktra zrači takođr zata dio rgij. Kozmičko pozadisko zračj: ajbolj cro tijlo u Svmiru ajbolj cro tijlo u Svmiru j difuzo mikrovalo pozadisko zračj. Mjrja, aročito sa satlita COBE pokazala su da rgtska raspodjla zračja odgovara Plackovoj fukciji a tmpraturi.73 K; vrh misij j a.06 mm Ovo j zračj ostatak zračja koj j prostalo iz Vlikog praska (astaka Svmira prd milijardi godia). 8
9 vijzd zrač kao cro tijlo U vidljivom dijlu spktrazračj vrućih zvijzda mož s priličo dobro opisati zračjm crog tijla. Hladij zvijzd u spktrima imaju puo viš liija i vrpci t a kraćim valim duljiama priličo odstupaju od zračja crog tijla. Harvardska klasifikacija zvjzdaih spktara (Edward C. Pickrig i suradici; ) Astroomija i astrofizika 005 9
10 Karaktristik spktralih razrda Spktrali Boja tip O Plavobijl B Plavobijl A Bijl F Žutobijl G Žut K aračast M Crv Tmpratura Glav karaktristik >5000 Jak liij H H liij, slab Balmrov liij ajjač Balmrlis (A0) Ca liij jačaju Spktar Sučvog tipa Jak liij mtala <3500 Molkula vrpc (TiO) Primjr 0 Lacrta Rigl Sirius Procyo Su Arcturus Btlgus O B A F G K M Oh, B A Fi Girl Kiss M Astroomija i astrofizika 005 0
11 Galaktički koordiati sustav Astroomija i astrofizika 005 Astroomija i astrofizika 005
12 Ai Jump Cao (863-9) Th Hry Drapr Catalogu (98-9): spktrala klasifikacija zvijzda Astroomija i astrofizika 005 Astroomija i astrofizika 005
13 Spktrali tipovi zvijzda. Jakost j liija povzaa s kmijskom građom zvijzda Mđutim, zvijzd imaju uglavom sliču kmijsku građu. ašto s oda jihovi spktri tako razlikuju? Vga Suc Astroomija i astrofizika 005 3
14 Kvatizacija kutog momta dovodi do slijdćg izraza za rgiju vodikovog atoma: E μ h 3.6 V Gdj j glavi kvati broj. Razlika rgij izmđu dviju orbitala i vodika j: E μ ΔE h E Astroomija i astrofizika 005
15 5 Atomska torija (vrlo skraćo) Δ E E E h μ Promja rgij u apsorpciji ili misiji fotoa. Ergija fotoa izosi: π ν c h E h Dakl, vala duljia fotoa bit ć: 3 c πh μ Astroomija i astrofizika 005
16 6 Primjr. Vala duljia Hα ( prijlaz) j m. zračuati valu duljiu Lymaovog prijlza ( )? R H c μ π h 0.5 m Lyma R H β R H j Rydbrg kostata astaak spktralih liija Prijlaz lktroa iz jdog vzaog staja u drugo poprać j misijom ili apsorpcijom fotoa (kvata rgij).
17 aposjdaj orbitala Apsorpcijska ili misijska liija ć astati kada lktro promiji rgtsko staj (raziu), u. To ć ovisiti o tom koliko j lktroa u počtku bilo u počtom staju (razii) To pak ovisi o:. icijaloj rgiji atoma (povza s tmpraturom). Broju lktroa pridružih atomu U vrućm pliu, lktroi s mogu aći u višim rgijskim raziama Ako j a raspoloagaju dovoljo rgij, lktroi s mogu potpuo osloboditi atoma čim povćavaju stupaj ioizacij atoma Boltzmaova jdadžba Boltzmaova jdadžba daj omjr broja atoma u pojdiim stajima: ( Eb Ea ) b g b kt g a a a vodikov atom g 3.6 E V 3.6 ( / / ) kt k8.67x0-5 V/K T 0000K 5.8 T 7
18 8 Primjr zračuajmo omjr broja lktroa u staju prma broju atoma u osovom staju za pli utralih vodikovih atoma a soboj tmpraturi T Praktički, gotovo ma lktroa u prvom pobuđom staju () u pliu vodika a soboj tmpraturi / T K T Primjr OK, a kojoj tmpraturi bismo mogli imati začaja broj, rcimo 0%, lktroa u staju sa (za utrali vodikov pli)? [ ] K T T T 3, / l.85 l
19 agotka... oizacija Do sada smo s bavili samo s utralim atomima. Mđutim, ako tmpratura plia sv viš rast, lktroi s mogu osloboditi privlačog djlovaja jzgr atoma. ka j χ i t potrba da bsimo lktro oslobodili atoma Atom ć promijiti svoj ioizacijsko staj iz i u i+. oizacijska s staja običo obiljžavaju rimskim brojvima. Tako j utrali vodikov atom H, a prvo ioizacijsko staj vodika H, i tako dalj. Potrba j rgija 3.6 V da bi oslobodili lktro iz osovog staja atoma vodika. Dakl, χ 3.6 V. 9
20 Particio fukcij Žlimo izračuati broja atoma u stupju ioizacij i+ prma broju u stupju ioizacij i. Da bismo to mogli izračuati moramo sumirati prko svih mogućih raspodjla orbita svakog staja. broj broja kofiguracija, uravotž s vjrojatošću svak pojdi kofiguracij, j particioa fukcija: g + j g j ( E E ) j kt Sahia jdadžba 3/ i i i πmkt χ + + kt i i h Godi 90, Mghad Saha j izvo jdadžbu za proraču rlativog broja atoma u svakom stupju ioizacij. : 3/ i i kti πmkt χ + + kt i P i h ili koristći P kt 0
21 Sahia jdadžba prpisaa u zgodijim jdiicama i+ i i+ i 0 0 m 3 T 0000K 3/.6χi ( T /0000) Primjr: tipiča vodikova atmosfra χ 3.6 V 0 0 m 3 i+ i i+ i 0 0 m 3.6χi 3/ T T Trbaju am particijsk fukcij Vodik ima samo jda lktro, imamo samo H (utrali) i H (ioizirai). H j ustvari proto: postoji samo jdo moguć staj, tako j Vidjli smo, za T<0 000 K, vćia j lktroa utralih vodikovih atoma u osovom staju. Dakl, ~g
22 χ 3.6 V i 0 0 m 3 i+ i i+ i 0 0 m 3.6χi 3/ T T a tmpraturi T0,000K: Udio ioiziraih atoma vodika j: / +.6 ( 3.6) + x( T ) T x() T 3/ x( T ) 3.T 3/ / () ( / T ) ( / T ) ( / T ) x ( T ) i + i i + i 0 0 m gdj j T T/(0,000K) 3 T.6 χ i 3 / T T(K) T T (-/T ) (/T ) / /( + )
23 Udio ioiziraih atoma vodika u fukciji lktrosk gustoć.: 0 m m m -3 Balmrov liij Jačia (itzitt) Balmrovih liija ovisi o rlativom broju vodikovih atoma u staju (prvo pobuđo staj). total + ( + / ) total total ( + ) ( + ) ( / ( + / ) ( + / ) + ) ( + / ) 3
24 total ( / + ) ( + / ) Jačia Balmrovih liija ovisi o rlativom broju atoma u prvom pobuđom staju, staj T.833/ T T /.6x0.x0 9.x ( T ) 3/ 5.777( / T ). 03T ( T ) /.3x0 -.6x x0 / total 6.x0-3.3x x0-6.3x0-6.x0-7 To pokazuj zašto su Balmrov liij ajjač a ~9000 K. Vrlo brzo slab kako tmpratura rast jr s udio ioiziraih vrlo brzo povćava s porastom tmpratur.
25 Kalcijv liij u Sučvom spktru Ca H+K Hα Kalcijv apsorpcijsk liij su ~00 puta jač od vodikovih liija. Koliko ima kalcija prma vodiku u Sučvoj atmosfri? Prtpostavimo.88x0 9 i T5770 K Prvo, pogldajmo vodik. Balmr liij astaju prijlzima s drug rgijsk razi utralog atoma vodika H / T T 0 m Prma tom, gotovo j sav vodik u Sucu utrala. Ca H+K Hα T Samo a svakih ~00 milijua H atoma j u prvom pobuđom staju (i prma tom sposoba stvoriti Balmrovu apsorpcijsku liiju). 5
26 Uzmimo sada kalcij, za koji j χ 6. V Kalcijva liija a m u Sučvopm spktru astaj prijlazom kod jdostruko ioiziraog kalcija. Particio fukcij j puo tž izračuati, tako da ćmo ih uzti iz tablica:.3 i χ T 0 0 m.6χ 3/ T T To su jdi vliči koj ovisi o samom atomu, ostal su vliči jdak kao i za slučaj H χ 6.V.6 ( ) χ T Calcium Ca.6 ( χ ) T Hydrog H.6 [( ) ( ) χ Ca χ ] H Ca T H (.3/.3).0( 6.3.6) (/ ) Ca H Prij smo ašli: H t imamo: 906 Ca Kalcijvi su atomi prtžo u ioiziraom staju 6
27 a jdostruko ioizirai kalcij statistič tži osovog i prvog pobuđog staju su: g i g Možmo izračuati rgijsku razliku tih staja iz opaž val dulji apsorpcijsk liij: hc ΔE J m m J Ca g g ( E E ) kt 3.5V Vlika vćia jdostruk oioiziraih atoma kalcija alazi s u osovom staju. Prma tom j broj kalcijvih atoma koji su jdostruko ioizirai i u osovom staju (za uvjt koji vladaju u Sučvoj atmosfri):: [ ] Ca total + Ca + [ / ] + + / Ca / % svih kalcijvih atoma alazi s u tom staju i prma tom mož dopriosti astaku promatra apsorpcijsk liij.. 7
28 Prij smo izračuali da j samo.8x0-9 H atoma u prvom pobuđom staju (oi koji stvaraju Balmrov liij), dok j 99.5% of Ca atoma u osovom staju jdostruko ioiziraih atoma klacija, (koji stvaraju H i K liij u Sučvom spktru). Jr su Ca liij ~00 puta jač, zači: 0.995Ca Ca a svaki atom Ca dolazi 50,000 atoma H. H H Razlika: Ca j puo lakš ioizirati od H atoma (χ 6. V umjsto 3.6 V), i Ca ima viš od lktroa, t mož mitirati zračj u jdostruko ioiziraom staju! vodik vodik kalcij hlij vodik kalcij žljzo Ccilia Pay Gaposhki ( ) Astroomija i astrofizika 005 8
29 Astroomija i astrofizika 005 Astroomija i astrofizika 005 9
30 Astroomija i astrofizika 005 Astroomija i astrofizika
31 Slijdć prdavaj: Dvoj zvijzd: mas zvijzda 3
SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK
SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu.
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
H/m) električna i magnetna permeabilnost (propustljivost), koje su povezane sa brzinom elektromagnetnog talasa u
. INTERAKCIJA LASERSKOG ZRAČENJA SA MATERIJOM.1 Torija zračja crog tijla U oo odjljku lktroagto polj opisiaćo klasiči Maxwlloi [J. C. Maxwll (Maksl), 181-1878] jdačiaa i pokazaćo da s hipotza kata sjtlosti
10.1. Bit Error Rate Test
.. Bt Error Rat Tst.. Bt Error Rat Tst Zadata. Izračuat otrba broj rth formacoh bta u BER tstu za,, ogršo dttovaa bta a rjmu, tao da s u sstmu sa brzoom sgalzacj od Mbs mož tvrdt da j vrovatoća grš rosa
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.
ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Dekompozicija DFT. Brzi algoritmi na bazi radix-2. Brza Furijeova transofrmacija. Tačnost izračunavanja. Kompleksna FFT OASDSP 1: 7 FFT
OASDSP : 7 FFT Dkompozicija DFT Brzi algoritmi a bazi radix- Brza Furijova trasofrmacija Tačost izračuavaja Komplksa FFT ovi Sad, Oktobar 5 straa OASDSP : 7 FFT Brza trasformacija : itrativa dkompozicija
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Granične vrednosti realnih nizova
Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Polarizacija. Procesi nastajanja polarizirane svjetlosti: a) refleksija b) raspršenje c) dvolom d) dikroizam
Polarzacja Proces asajaja polarzrae svjelos: a refleksja b raspršeje c dvolom d dkrozam Freselove jedadžbe Svjelos prelaz z opčkog sredsva deksa loma 1 u sredsvo deksa loma, dolaz do: refleksje (prema
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Specijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji.
Mt Vijug: Rijsni zdci iz vis mtmti 9. NEPRAVI INTEGRALI 9. Opcnito o nprvim intgrlim Intgrl oli f d s nziv nprviln o: ) jdn ili oj grnic intgrcij nisu oncn vc soncn:, ) pod intgrln funcij f j prinut u
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Sistem sučeljnih sila
Sistm sučljnih sila Gomtrijski i analitički način slaganja sila, projkcija sil na osu i na ravan, uslovi ravnotž Sistm sučljnih sila Za sistm sila s kaž da j sučljni ukoliko sil imaju zajdničku napadnu
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
6.2. ROTORNI KOMPRESORI (KOMPRESORI S ROTIRAJUĆIM STAPOVIMA)
6.. ROTORNI KOMPRESORI (KOMPRESORI S ROTIRAJUĆIM STAPOVIMA) Rotori komprsori (koristi s i izraz komprsori s rotirajućim stapovima) spadaju u komprsor koji rad a volumtrijskom pricipu rada, dakl svojim
Teoremi srednje vrijednosti
Fakultativi kolgij Studtska atjcaja iz matmatik, ak. god. 06./07. http://wb.math.pmf.uizg.hr/astava/studatj/ Tma br. 3: Tormi srdj vrijdosti Vjkoslav Kovač, 4. 3. 07. Torm Rollov torm srdj vrijdosti. Nka
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
ZI. NEODREðENI INTEGRALI
ZI. Nodrđni intgrali 7 ZI. NEODREðENI INTEGRALI. Antidrvacij. Pronañi tri antidrivacij funkcij.. Odrdi sv antidrivacij funkcij.. Pronañi dvij antidrivacij funkcij.. Pronañi antidrivaciju funkcij za koju
3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1
Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3
PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
![PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).](/thumbs/74/70316766.jpg "PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).")
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. NLITIČK GEMETRIJ RSTR I. I (Točka. Ravia.) d. sc. Mia Rodić Lipaović 9./. Točka u postou ( ; i, j, k ) Kateijev pavokuti koodiati sustav k i j T T (,, ) oložaj točke u postou je jedoačo odeñe jeim
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Vanr. prof. dr Abdulah Akšamović, dip.ing.el.
ANALOGNA ELEKTONKA Trć prdavanj Vanr. prof. dr Abdulah Akšamović, dip.ing.l. 1 adna tačka i radna prava tranzistora u pojačavaču u spoju ZE E 1 C g C p g stosmjrni ržim 1 E E = + 1 1 1 = U + = + + = =
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Izrada Domaće zadaće 4
Uiverzitet u Sarajevu Elektrotehički fakultet Predmet: Ižejerska matematika I Daa: 76006 Izrada Domaće zadaće Zadatak : Izračuajte : si( ) (cos( )) L 0 a) primjeom L'Hospitalovog pravila; b) izravom upotrebom
p 1 ENTROPIJSKI ZAKON
ENROPIJSKI ZAKON REERZIBILNA srememba: moža je obrjea srememba reko eakih vmesih staj kot rvota srememba. Po obeh sremembah e sme biti obeih trajih srememb v bližji i dalji okolici. IREERZIBILNA srememba:
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
LINEARNE TRANSFORMACIJE. predavanje str. 1.
INENE TNSFOMCIJE. prdavaj 7..6. sr.. FUNKCIJE, TNSFOMCIJE S U, OPETOI N Fukija j pravilo f koj svako lu skupa pridružuj jda i sao jda l skupa B. ko f lu a pridružuj l b, oda s piš f ( a) b i kaž s da j
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Niz i podniz. Definicija Svaku funkciju a : N S zovemo niz u S. Za n N pišemo a(n) = a n i nazivamo n-tim članom niza.
2. NIZOVI 1 / 78 Niz i podiz 2 / 78 Niz i podiz Defiicija Svaku fukciju a : N S zovemo iz u S. Za N pišemo a() = a i azivamo -tim člaom iza. Ozaka za iz je (a ) N ili (a ) ili samo (a ). Kodomea iza može
ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza
Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 16.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnčk fakultet unverzteta u Beogradu 6.maj 8. Odsek za Softversko nžnjerstvo Performanse računarskh sstema Drug kolokvjum Predmetn nastavnk: dr Jelca Protć (35) a) () Posmatra se segment od N uzastonh
Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Elementarne čestice Elementarne ili osnovne ili fundamentalne čestice = Najmanji dijelovi od kojih je sastavljena tvar. Do 1950: Elektron, proton,
Elementarne čestice Elementarne ili osnovne ili fundamentalne čestice = Najmanji dijelovi od kojih je sastavljena tvar. Do 1950: Elektron, proton, neutron Građa atoma Pozitron, neutrino, antineutrino Beta
Slika :Prikaz dvodimenzionalne rešetke atoma silicija ili germanija
UOD U POLUODIČ U pojdinom atomu ltroni imaju odrđnu nrgiju s obzirom na jzgru atoma (nalaz s na odrđnim nrgtsim razinama. U jdnoj nrgtsoj razini mogu s nalaziti samo dva ltrona, ali različitih spinova
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
METODA SEČICE I REGULA FALSI
METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)