MATEMATIKA /2012.
|
|
|
- Μίδας Γιαννόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 MATEMATIKA /2012.
2 1 MATEMATIKA 2 1 MATEMATIKA 2 2 MATEMATIKA 2 3 MATEMATIKA 2 4
3 2 ρ O 0 1 ϕ T=(ϕ,ρ) MATEMATIKA 2 5 MATEMATIKA 2 6 z z T'' 1 O ϕ ρ T=(ϕ,ρ,z) T'=(ϕ,ρ) Π z z z0 T'' 0 z0=z0 ravnina T0=(ϕ0,ρ0,z0) ρ=ρ0 cilindar ρ0 ϕ0 T0' ϕ=ϕ0 poluravnina MATEMATIKA 2 7 MATEMATIKA 2 8
4 3 z z T'' k O i ϕ 1 θ ρ r T=(ϕ,θ,r) T'=(ϕ,ρ) Π MATEMATIKA 2 9 MATEMATIKA 2 10 z T0 θ0 ϕ=ϕ0 poluravnina θ=θ0 sto ac ϕ0 r=r0 sfera MATEMATIKA 2 11 MATEMATIKA 2 12
5 4 z O T1 r1 n0 r T MATEMATIKA 2 13 MATEMATIKA 2 14 z MATEMATIKA 2 15 MATEMATIKA 2 16
6 5 z z (a) (b) z (a) (b) z MATEMATIKA 2 17 MATEMATIKA 2 18 z z z z MATEMATIKA 2 19 MATEMATIKA 2 20
7 6 z z= z= MATEMATIKA 2 21 MATEMATIKA 2 22 MATEMATIKA 2 23 MATEMATIKA 2 24
8 7 MATEMATIKA 2 25 MATEMATIKA MATEMATIKA 2 27 MATEMATIKA 2 28
9 8 z z=z0 z0=f(,) z= z z=f(,) z= =1, z=1 MATEMATIKA 2 29 MATEMATIKA 2 30 z K(T0,ε) K(T0,ε) K(T0,ε) MATEMATIKA 2 31 MATEMATIKA 2 32
10 9 0 otvoren skup neotvoren skup MATEMATIKA 2 33 MATEMATIKA MATEMATIKA 2 35 MATEMATIKA 2 36
11 z z MATEMATIKA 2 37 MATEMATIKA 2 38 MATEMATIKA 2 39 MATEMATIKA 2 40
12 11 MATEMATIKA 2 41 MATEMATIKA 2 42 z f1(0)=f(0,0) z=f(0,)=f2() z=f(,) z=f(,0)=f1() D T=(0,0) D 0 D 0 MATEMATIKA 2 43 MATEMATIKA 2 44
13 12 MATEMATIKA 2 45 MATEMATIKA 2 46 z t 0 Γ 2 ( 0, 0) t 0 Γ1 z=f(,) α β MATEMATIKA 2 47 MATEMATIKA 2 48
14 13 MATEMATIKA 2 49 MATEMATIKA 2 50 MATEMATIKA 2 51 MATEMATIKA 2 52
15 14 MATEMATIKA 2 53 MATEMATIKA 2 54 z α t 0 Γ2 (0,0) t 0 Γ1 z=f(,) β MATEMATIKA 2 55 MATEMATIKA 2 56
16 15 z t 0 Γ2 t 0 Γ1 z=f(,) α ( 0, 0) β MATEMATIKA 2 57 MATEMATIKA 2 58 MATEMATIKA 2 59 MATEMATIKA 2 60
17 16 MATEMATIKA 2 61 MATEMATIKA 2 62 MATEMATIKA 2 63 MATEMATIKA 2 64
18 17 z (,) df(,) (+d,+d) Δf(,) MATEMATIKA 2 65 MATEMATIKA 2 66 MATEMATIKA 2 67 MATEMATIKA 2 68
19 18 MATEMATIKA 2 69 MATEMATIKA 2 70 MATEMATIKA 2 71 MATEMATIKA 2 72
20 19 u z vu v MATEMATIKA 2 73 MATEMATIKA 2 74 u v u w v u z vu u t v z r s t r s t r s t MATEMATIKA 2 75 MATEMATIKA 2 76
21 20 MATEMATIKA 2 77 MATEMATIKA 2 78 MATEMATIKA 2 79 MATEMATIKA 2 80
22 21 MATEMATIKA 2 81 MATEMATIKA 2 82 MATEMATIKA 2 83 MATEMATIKA 2 84
23 22 MATEMATIKA 2 85 MATEMATIKA 2 86 MATEMATIKA 2 87 MATEMATIKA 2 88
24 23 MATEMATIKA 2 89 MATEMATIKA 2 90 MATEMATIKA 2 91 MATEMATIKA 2 92
25 24 MATEMATIKA 2 93 MATEMATIKA 2 94 MATEMATIKA 2 95 MATEMATIKA 2 96
26 25 MATEMATIKA 2 97 MATEMATIKA 2 98 MATEMATIKA 2 99 MATEMATIKA 2 100
27 26 MATEMATIKA b a z c z=f(,) MATEMATIKA d b i i-1 a z Kij c (*,*) i j z=f(,) j-1 j d b a z c z=f(,) d b z z=f(,) d MATEMATIKA MATEMATIKA 2 104
28 27 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 108
29 28 z z=f(,) z z=f(,) d d b b Vi (a) Vj (b) MATEMATIKA MATEMATIKA b z (a) z=f(,) Vi d b z Vj (b) z=f(,) d MATEMATIKA MATEMATIKA 2 112
30 29 b K z 0 a 0 c D z=f(,) -1 d MATEMATIKA MATEMATIKA a =ϕ 2 () D =ϕ 1 () (a) b d c =ψ 1() D (b) =ψ 2() MATEMATIKA MATEMATIKA 2 116
31 30 2 =2- D2 1 D1 = 1 MATEMATIKA MATEMATIKA v Y (u,v) u Φ X Φ (u,v)=(=g(u,v),=h(u,v)) MATEMATIKA v 1 D C Y 0 A 1 B u 1_ = C' 2 _ X =1-4_ 1 2 B' -1 D' 0 A' 1 MATEMATIKA 2 120
32 31 v u 0 +Δv S Δv Δvr v' b R v 0 (u 0,v 0) Δu 0 a Δuru' u 0 u u 0 +Δu 0 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 124
33 32 MATEMATIKA v vj Y uj Sij u j X MATEMATIKA Rij j MATEMATIKA MATEMATIKA 2 128
34 33 X dϕ ϕ ρdϕ ρ1(ϕ) dp ρ dρ ρ+dρ ρ2(ϕ) MATEMATIKA MATEMATIKA = - 2 ρ 1 X ρ= cosϕ Y ρ=cosϕ π 2 ϕ MATEMATIKA MATEMATIKA 2 132
35 34 MATEMATIKA MATEMATIKA B 1-3 O ρ 1 = 2sinϕ ρ=1 ϕ ϕb ϕa A 5 polarna os MATEMATIKA MATEMATIKA 2 136
36 35 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 140
37 36 S1 S4 S3 S2 MATEMATIKA MATEMATIKA D S z MATEMATIKA MATEMATIKA 2 144
38 37 MATEMATIKA MATEMATIKA z D z=g2(,) a< _ <b _ ϕ1()< _ <ϕ2() _ g1(,)< _ z <g2(,) _ b a =ϕ1() z=g1(,) =ϕ2(,) MATEMATIKA MATEMATIKA 2 148
39 38 z D z=g2(,) c< _ <d _ ψ1()< _ < _ ψ2() g1(,)< _ z < _ g2(,) c z=g1(,) d =ψ1() =ψ2(,) MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 152
40 39 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 156
41 40 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 160
42 41 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 164
43 42 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 168
44 43 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 172
45 44 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 176
46 45 Definicija Za krivulju Γ... r (t) = (t) i + (t) j +z (t) k, t [a, b], kažemo da je jednostavna glatka krivulja ili Jordanov luk ako vrijedi: 1. r :[a, b] Γ je bijekcija, tj. surjekcija i injekcija ( t 1 t 2 r 1 (t) r 2 (t) ). 2. Derivacija r (t) postoji i neprekidna je za svako t [a, b], tj. r je klase C 1 (krivulja Γ je glatka). 3. r (t) 0, za svako t [a, b]. Točke A =( (a),(a),z(a)) i B =( (b),(b),z(b)) zovemo rubne točke krivulje Γ. Ako je A = B tj. r (a) = r (b), onda krivulju zovemo zatvorenom krivuljom. z a t b r(a) r(t) r(t) r(b) r '(t) MATEMATIKA MATEMATIKA r(b) r(t 1) r(t 2) Γ 1 Γ 2 Γ 3 Krivulja Γ je po dijelovima Jordanov luk (po dijelovima jednostavna glatka krivulja) ako se sastoji od Jordanovih lukova koji se nastavljaju jedan na drugi i nema presjecanja. Dakle postoji skup točaka A, T 1,T 2,...T n,b na krivulji Γ takav da su lukovi: ÂT 1, T 1 T 2,..., T n B Jordanovi lukovi. Primjer. Provjerite da li je krivulja r (t) =(a cos t) i +(a sin t) j +(bt) k, t [0, 2π] Jordanov luk. MATEMATIKA MATEMATIKA 2 179
47 46 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 184
48 47 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 188
49 48 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 192
50 49 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 196
51 50 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 200
52 51 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 204
53 52 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 208
54 53 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 212
55 54 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 216
56 55 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 220
57 56 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 224
58 57 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 228
59 58 MATEMATIKA MATEMATIKA Ova posljednja oznaka ima smisla jer za diferencijal d elementa luka krivulje vrijedi d = k 0 ()k d ds r'(t) dt Naime, ako su 0 bliske točke na luku krivulje s radijvektorima ( 0 ) i ( 0 + ) redom, pri čemu je dovoljno malen, onda duljinu dijela krivulje (luka) izme du 0 i možemo aproksimirati sa ( 0 ) Dakle imamo ( 0 )=k ( 0 + ) ( 0 )k k 0 ( 0 )k Napomena 1. Krivuljni integral prve vrste možemo interpretirati kao masu krivulje po kojoj je gustoća promjenjiva (nehomogene tanke žice). Ako skalarno polje predstavlja linijsku gustoću žice, onda djelić žice duljine ima masu ( ). MATEMATIKA MATEMATIKA 2 232
60 59 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 236
61 60 MATEMATIKA MATEMATIKA Pritom u slučaju ravninske krivulje R 2 dobivamo 0, pajetada Z Z d = ( ()) p1+ 0 () 2 d Primjer 2. Izračunajte R d ako je ( ) = 3 i krivulja koja je presjek ploha = =1 ( 0) z 1 = =1 ¾ ½ =cos = =1= 1 =sin = cos = = sin =1 [0] MATEMATIKA MATEMATIKA 2 239
62 61 Y (0,1) =-+1 O = (1,0) X MATEMATIKA MATEMATIKA r(b) 2 Ako je krivulja po dijelovima glatka, njezine sastavne glatke krivulje 1 dopuštaju po dvije orijentacije. r(t1) Reći ćemo da je orijentirana čim su 1 sukladno orijentirane, tj. kraj od jest početak od +1, = r(a) Ako je zatvorena po dijelovima glatka krivulja imamo negativnu i pozitivnu orijentaciju, tj. orijentaciju sukladnu gibanju satne kazaljke i orijentaciju suprotnu gibanju satne kazaljke. Orijentiranu krivulju označavat ćemo sa. U posebnom slučaju zatvorene ravninske krivulje, će označavati njezinu negativnu orijentaciju, a pozitivnu. MATEMATIKA MATEMATIKA 2 243
63 62 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 248
64 63 MATEMATIKA MATEMATIKA Primjer 6. Izračunajmo cirkulaciju ravninskoga vektorskog polja ( ) ={ } ) po središnjoj kružnici polumjera (orijentiranoj po volji); ) po rubu pozitivno orijentiranog trokuta s vrhovima =(2 0), =(1 1) i =(0 0). c O = c (a) 1 O 3 (1,1) 1 (b) 2 1 (2,0) ) Ovdje je zadana parametrizacijom = cos, = sin, [0 2], paje = Z 2 0 I = I + = [ cos ( sin )+ cos sin cos ] = Z 2 2 (cos cos 2 )( sin ) = =0; 0 MATEMATIKA MATEMATIKA 2 251
65 64 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 256
66 65 Primjer 7. Izračunajmo cirkulaciju I 2( ) +( + ) 2 po pozitivno orijentiranom rubu 4 trokuta 4, =(11), =(22), =(13). Y 3 2 C 2 B 1 O 3 A X Primijenit ćemo Greenovu formulu na ( ) =2( ) i ( ) =( + ) 2 I 2( ) +( + ) 2 = ZZ μ ( ) ( ) = ) ZZ Z 2 μz +4 = (2 2) =2 ( ) = = MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 260
67 66 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 264
68 67 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 268
69 68 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 272
70 69 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 276
71 70 MATEMATIKA MATEMATIKA S 3 S 1 S 2 S 1 S 2 S 4 S 3 MATEMATIKA MATEMATIKA 2 280
72 71 Z 1 X 1 Y MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 284
73 72 MATEMATIKA MATEMATIKA slika Primjer neorijentabilne plohe je Möbiusova vrpca. Promatrajmo pravokutnik pa mu zalijepimo stranicu sa stranicom itotakodasmo "preokrenuli" i identificirali s i s. Dobitćemo plohu, tzv. Möbiusovu vrpcu. Pokažimo da Möbiusova vrpca nije orijentabilna ploha! Odaberimobilokojunjezinutočku 0 i u njoj normalni vektor 0 pa krenimo kroz njezine normalne vektore u kontinuirani obilazak po naznačenoj (crtkanoj) jednostavno zatvorenoj krivulji. Vrativši se u polaznu točku 0 pojavit će se normalni vektor 0. Primijetimo da pritom nismo napuštali odabranu stranu te plohe (tj. nismo prelazili preko ruba),anakraju-početku smo se našli na drugoj strani. To, zapravo, znači da Möbiusova vrpca ima samo jednu stranu. (a) (b) MATEMATIKA MATEMATIKA 2 287
74 73 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 292
75 74 X a Z O a Y + - (n 0) 2 S 2 =S 2 + S 1 = S 1 (n 0) 1 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 296
76 75 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 300
77 76 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 304
78 77 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 308
79 78 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 312
80 79 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 316
81 80 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 320
82 81 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 324
83 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 328
84 t 0 k>0 k<0 0 t MATEMATIKA MATEMATIKA <K, k>0 t 0 0>K, k>0 t MATEMATIKA MATEMATIKA 2 332
85 84 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 336
86 85 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 340
87 86 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 344
88 87 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 348
89 88 10 f f0 f-5 f-5 f1 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 352
90 89 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 356
91 90 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 360
92 91 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 364
93 92 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 368
94 93 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 372
95 94 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 376
96 95 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 380
97 96 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 384
98 97 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 388
99 98 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 392
100 99 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 396
101 100 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 400
102 101 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 404
103 102 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 408
104 103 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 412
105 104 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 416
106 105 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 420
107 106 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 424
108 107 MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA 2 428
109 MATEMATIKA MATEMATIKA T2 1 0 T0 h h hg(0,0) T1 hg(1,1) MATEMATIKA 2 431
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Gauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),
Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
6. Redovi potencija. a 0 + a 1 (z z 0 ) + a 2 (z z 0 ) a n (z z 0 ) n +, (6.0.1)
REDOVI POTENCIJA 3 6. Redovi potencija Rekli smo da je funkcija f analitička na nekom skupu R ako ona ima derivaciju u svakoj točki R i ako je ta derivacija neprekidna funkcija. Tipične primjere analitičkih
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
SVEUČILIŠTE J. J. STROSSMAYERA U OSIJEKU Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike. Zrinka Bertić GREENOV TEOREM I PRIMJENE
SEUČILIŠTE J. J. STROSSMAYERA U OSIJEKU Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Zrinka Bertić GREENO TEOREM I PRIMJENE Završni rad Osijek, godina 2012. SEUČILIŠTE J. J. STROSSMAYERA
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
8 Tangencijalna ravnina plohe
8 Tangencijalna ravnina plohe Sferu kao plohu pokrili smo sa šest, odnosno sa dvije karte u Primjeru 2. Dakle, općenito, neka točka sfere ležat će u slikama od više karata. Proučimo stoga što se dogada
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
6. Poopćenja Newton Leibnizove formule
STOKES 5 6. oopćenja Newton Leibnizove formule 6.. Još neki važni operatori Doasad smo naučili operator ili grad, koji od skalarnog polja radi vektorsko polje: ( U gradu U(x, y, z) x,, ). z Sada ćemo upoznati
1. Vektorske i skalarne funkcije
VEKTORSKE I SKALARNE FUNKCIJE 1 1. Vektorske i skalarne funkcije 1.1. Što su to skalarne i vektorske funkcije? Ako svakoj točki u nekom dijelu prostora pridružimo broj, ili drugim riječima skalar zadali
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Ivan Slapničar MATEMATIKA 3. Radna verzija. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje. Split, 2016.
Ivan Slapničar MATEMATIKA 3 Radna verzija http://www.fesb.unist.hr/mat3 Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split, 216. Ova skripta nastala su na osnovi suradnje Ministarstva znanosti
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Analitička geometrija i linearna algebra
1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se:
4. FUNKCIJE DVIJU ILI VISE PROMJENJIVIH 4. Ekstremi funkcija dviju promjenjivih z = f y ( y) ( y) z ( y) ( ) ( ) (, ) (, ) Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Diferencijalni račun
ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Integrali Materijali za nastavu iz Matematike 1
Integrali Materijali za nastavu iz Matematike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 202/3 / 44 Definicija primitivne funkcije i neodredenog integrala Funkcija F je primitivna funkcija (antiderivacija)
! R. f : D. (x 1 ; x 2 ; :::; x m ) 2 D f! u = f (x 1 ; x 2 ; :::; x m ) 2 R. f pridruen je jedan i samo jedan realan broj u 2 R:) (x; y) 2 D
3.3 Funkcije više varijabli Denicija 3.1 Neka je D R m R R: Funkciju f : D! R nazivamo realnom funkcijom od m realnih varijabla. (x 1 ; x 2 ; :::; x m ) 2 D f! u = f (x 1 ; x 2 ; :::; x m ) 2 R (Svakoj
PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
![PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).](/thumbs/74/70316766.jpg "PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).")
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.
Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =
Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA
Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
F (t) F (t) F (t) OGLEDNI PRIMJER SVEUČILIŠTE J.J.STROSSMAYERA U OSIJEKU ZADATAK
OGLEDNI PRIMJER ZADAAK Odredte dnamčke karakterstke odzv armranobetonskog okvra C-C prkazanog na slc s prpadajućom tlorsnom površnom, na zadanu uzbudu tjekom prve tr sekunde, ako je konstrukcja prje djelovanja
9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije
4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
PLOHE KONSTANTNE SREDNJE ZAKRIVLJENOSTI U MINKOWSKIJEVOM PROSTORU
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Davor Devald PLOHE KONSTANTNE SREDNJE ZAKRIVLJENOSTI U MINKOWSKIJEVOM PROSTORU Diplomski rad Zagreb, 017. Voditelj rada: prof.
Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor
I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto
I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
VVR,EF Zagreb. November 24, 2009
November 24, 2009 Homogena funkcija Parcijalna elastičnost Eulerov teorem Druge parcijalne derivacije Interpretacija Lagrangeovog množitelja Ako je (x, y) R 2 uredjeni par realnih brojeva, onda je s (x,
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda