Σημειωματάριο Δευτέρας 4 Δεκ. 2017
|
|
- Ανυβις Παπαστεφάνου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Σημειωματάριο Δευτέρας 4 Δεκ Ο αλγόριθμος Floyd-Warshall για την έυρεση όλων των αποστάσεων σε ένα γράφημα με βάρη στις ακμές Συνεχίσαμε σήμερα το θέμα της προηγούμενης Τετάρτης. Έχουμε ένα γράφημα στο οποίο οι ακμές έχουν κάποια βάρη επάνω τους (κάποιους μη αρνητικούς αριθμούς). Στο παράδειγμά μας έχουμε ένα γράφημα όπου κορυφές είναι κάποιες πόλεις της Κρήτης και τα βάρη πάνω σε ένα δρόμο (ακμή) από πόλη σε πόλη παριστάνουν την απόσταση σε χιλιόμετρα. Το γράφημα αυτό αναπαριστάμε όπως φαίνεται παρακάτω, σε ένα λεξικό όπου κλειδιά είναι οι πόλεις και η τιμή κάθε πόλης είναι επίσης ένα λεξικό. Στο λεξικό της κάθε πόλης κλειδιά είναι μόνο οι πόλεις που συνδέονται με αυτήν και τιμές αυτών είναι οι αποστάσεις τους.
2 In [3]: Graph = { 'ΧΣ': {'Χ': 60}, 'Χ': {'ΧΣ': 60, 'Ρ': 60}, 'Ρ': {'Χ': 60, 'Μ': 90, 'Η': 75}, 'Μ': {'Ρ': 90, 'Η': 50}, 'Η': {'Ρ': 75, 'Μ': 50, 'ΑΝ': 60}, 'ΑΝ': {'Η': 60, 'ΠΑ': 20}, 'ΠΑ': {'ΑΝ': 20, 'Ι': 20, 'Σ': 40}, 'Ι': {'ΠΑ': 20}, 'Σ': {'ΠΑ': 40}, }
3 Σκοπός μας είναι να βρούμε την απόσταση κάθε πόλης του γραφήματος από κάθε άλλη. Η απόσταση ανάμεσα σε δύο πόλεις είναι, εξ' ορισμού, το ελάχιστο μήκος μονοπατιού ξεκινά από τη μια πόλη και καταλήγει στην άλλη. Το να προσπαθήσει κανείς να βρει την απόσταση ανάμεσα σε δύο πόλεις ελέγχοντας όλα τα μονοπάτια που πάνε από τη μια στην άλλη μπορεί να είναι εξαιρετικά χρονοβόρο μια και μπορεί να υπάρχουν πάρα πολλοί τρόποι να κινηθεί κανείς ώστε να πάει από τη μια πόλη στην άλλη. Είναι φανερό λοιπόν ότι χρειαζόμαστε κάποιον ειδικό αλγόριθμο για αυτό το πρόβλημα. Ο αλγόριθμος που θα δούμε εδώ λέγεται αλγόριθμος Floyd-Warshall. Εδώ θα περιγράψουμε ένα αλγόριθμο που βρίσκει όλες τις αποστάσεις ανάμεσα σε όλα τα ζευγάρια κορυφών, σε ένα γράφημα G με (μη αρνητικά) βάρη στις ακμές του. Πρέπει να τονίσουμε ότι το πρόβλημα που λύνουμε εδώ αλγοριθμικά είναι το πρόβλημα των αποστάσεων από <<οποιαδήποτε σε οποιαδήποτε>> κορυφή. Στο τέλος του αλγορίθμου δηλ.\ θα μπορούμε να απαντήσουμε άμεσα (σε σταθερό χρόνο, όπως λέμε) σε κάθε ερώτημα <<ποια είναι η απόσταση ανάμεσα στις κορυφές i και j του γραφήματος;>>. Αν δε μας ενδιέφερε αυτή η γενικότητα αλλά θέλαμε, π.χ., να γνωρίζουμε, μετά το πέρας του αλγορίθμου, όλες τις αποστάσεις από την κορυφή προς όλες τις άλλες, τότε θα χρησιμοποιούσαμε διαφορετικό αλγόριθμο. Ο αλγόριθμος που δίνουμε σε αυτή την παράγραφο θα αποτελούσε <> για ένα τέτοιο ερώτημα: υπολογίζει πολλά αδιάφορα πράγματα. Θεωρούμε, ως συνήθως, το σύνολο κορυφών του γραφήματος να είναι το και γράφουμε για το βάρος της ακμής (το οποίο συμφωνούμε να θεωρούμε αν η ακμή αυτή δεν υπάρχει). Ο παρακάτω αλγόριθμος τροποποιεί σε κάθε επανάληψή του τον n n πίνακα A ο οποίος παίρνει αρχικές τιμές στο βήμα 1 και ενημερώνεται n φορές στο βήμα 3. Με w(i, j) συμβολίζουμε το βάρος της ακμής από το i στο j. Αν δεν υπάρχει ακμή από το i στο j τότε θέτουμε w(i, j) = + ή έστω κάποια τεράστια (σε σχέση με το πρόβλημά μας) τιμή που η ύπαρξή της θα εξασφαλίσει ότι η (μη υπαρκτή) ακμή από το i στο j δε θα χρησιμοποιηθεί σε κανένα μονοπάτι μια και μας ενδιαφέρουν τα μονοπάτια μικρού μήκους. Αλγόριθμος Floyd-Warshall + = w(i, j) i, j = 1,, n k = 1, 2,, n = min{, + } 1. Θέτουμε A (0), για. 2. Επαναλαμβάνουμε για το παρακάτω βήμα. 3. A (k) A (k 1) A (k 1) A (k 1), για. ik kj i, j = 1,, n [n] = {1, 2,, n} w(i, j) (i, j) Θεώρημα Στο τέλος του προηγούμενου αλγορίθμου η απόσταση ανάμεσα στις κορυφές i και j είναι ίση με A (n). Απόδειξη: Θα δείξουμε με επαγωγή ως προς το k ότι A (k) ισούται με L (k) = το μήκος του ελάχιστου μονοπατιού από το i στο j το οποίο όμως χρησιμοποιεί ενδιάμεσες κορυφές μόνο από το σύνολο. [k] = {1,, k} 1
4 k = 0 A (0) (i, j) i j (i, j) k = 0 Για το παραπάνω σύνολο είναι κενό και ο ισχυρισμός σημαίνει ότι ισούται με το βάρος της πλευράς μια και το σύνολο των μονοπατιών από το στο που {\em δε} χρησιμοποιούν καμία ενδιάμεση κορυφή αποτελείται από την ακμή και μόνο. Άρα ο ισχυρισμός είναι αληθής για. Υποθέτουμε τώρα ότι ο ισχυρισμός ισχύει μέχρι και για, θεωρούμε ένα ελάχιστο μονοπάτι από το στο που χρησιμοποιεί ενδιάμεσες κορυφές μόνο από το σύνολο, και ξεχωρίζουμε δύο περιπτώσεις. {1,, k} (α) Το ελάχιστο αυτό μονοπάτι δε χρησιμοποιεί την κορυφή k. (β) Χρησιμοποιεί την κορυφή k. Στην πρώτη περίπτωση έχουμε φυσικά L (k) L (k 1). Εστω ότι ισχύει το (β). Μπορούμε εύκολα να δείξουμε ότι όποιο και να είναι το ελάχιστο μονοπάτι από το i στο j περιέχει το k ακριβώς μια φορά (αν το περιέχει δυο ή παραπάνω μπορούμε να το μικρύνουμε το μονοπάτι παραλείποντας ένα κομμάτι ανάμεσα σε δύο εμφανίσεις του k). Επίσης, το κομμάτι του μονοπατιού από το i στο k είναι ένα ελάχιστο μονοπάτι από το i στο k που χρησιμοποιεί ενδιάμεσες κορυφές από το σύνολο {1,, k 1}. Αρα το μήκος του είναι L (k 1) και, ομοίως, το μήκος του μονοπατιού από το k στο j είναι L (k 1). Το συνολικό μήκος του μονοπατιού είναι λοιπόν σ'αυτή την περίπτωση ik kj L (k) = L (k 1) + L (k 1). ik kj Επίσης, σε κάθε περίπτωση, έχουμε τις ανισότητες L (k) L (k 1) και L (k) L (k 1) + L (k 1), ik kj η πρώτη από τον ορισμό του του συμβόλου L και μόνο και η δεύτερη παρατηρώντας ότι μπορούμε να πάμε από το i στο j (με ενδιάμεσους από το [k]) ακολουθώντας πρώτα ένα ελάχιστο μονοπάτι από το στο και μετά ένα ελάχιστο μονοπάτι από το στο (με ενδιάμεσους από το ). Από τα παραπάνω προκύπτει ότι L (k) = min{ L (k 1), L (k 1) + L (k 1) } ik kj και άρα, από τον τρόπο υπολογισμού των πινάκων A (k), έχουμε A (k) = L (k), για κάθε i, j = 1,, n, k = 0,, n. Υλοποίηση του αλγορίθμου Πρέπει κατ' αρχην να δούμε πώς μπορούμε να αποθηκεύουμε και να επεξαργαζόμαστε διδιάστατους πίνακες με την Python. Ο απλούστερος τρόπος είναι ο εξής. Για να αποθηκεύσουμε ένα πίνακα m n (με m γραμμές δηλ. και n στήλες) χρησιμοποιούμε μια λίστα που περιέχει m στοιχεία (τις γραμμές του πίνακα). Κάθε στοιχείο αυτής της λίστας είναι μια λίστα που περιέχει n στοιχεία, τα στοιχεία του πίνακα. Αν θέλουμε π.χ. να αποθηκεύσουμε τον = 2 3 πίνακα k 1 i j i k k j [k 1]
5 μπορούμε να το κάνουμε ως εξής: M = In [1]: M = [ [3, 3.1, 2], [1.5, -3, 3] ] Για να αναφερθούμε στο στοιχείο M1,1 του πίνακα (η αρίθμησή μας από το 0 ως συνήθως) γράφουμε απλά M[1][1]. Πρώτη μας δουλειά λοιπόν είναι να μετατρέψουμε τα ονόματα των κορυφών μας από strings που είναι τώρα σε αριθμούς από 0 έως N-1, όπου N ο αριθμός όλων των κορυφών. Το κάνουμε αυτό φτιάχνοντας δύο λεξικά (με N κλειδιά το καθένα). Το λεξικό number έχει ως κλειδιά τα ονόματα των πόλεων ως strings και ως τιμή κάθε πόλης είναι το όνομά της ως αριθμός από 0 έως N-1. Το λεξικό name κάνει ακριβώς την αντίστροφη δουλειά. In [4]: N = len(graph.keys()) number = {} # Πρώτα υπολογίζουμε το λεξικό name count = 0 for s in Graph.keys(): number[s] = count count += 1 name = {} # και από το name υπολογίζουμε το λεξικό number for s in number.keys(): name[number[s]] = s print("λεξικό name: ", name) print("λεξικό number: ", number) Λεξικό name: {0: 'Χ', 1: 'ΧΣ', 2: 'Η', 3: 'Μ', 4: 'Σ', 5: 'ΑΝ', 6: 'Ι', 7: 'Ρ', 8: 'ΠΑ'} Λεξικό number: {'Χ': 0, 'ΧΣ': 1, 'Ρ': 7, 'Η': 2, 'Μ': 3, 'Σ': 4, 'ΠΑ': 8, 'ΑΝ': 5, 'Ι': 6}
6 Κατά τη διάρκεια του αλγορίθμου Floyd-Warshall θα χρειαστεί να υπολογίσουμε διαφορετικούς N N πίνακες, τους Κάθε ένας τέτοιος πίνακας A (k) χρειάζεται μόνο τον προηγούμενο πίνακα A (k 1) για να υπολογιστεί, οπότε δε χρειάζεται να τους αποθηκεύουμε όλους και αρκεί να κρατάμε κάθε φορά τον τελευταίο πίνακα που έχουμε υπολογίσει. Τον κρατάμε στη μεταβλητή A και υπολογίζουμε το νέο πίνακα (επόμενο k) στη μεταβλητή B. Έπειτα αντιγράφουμε τον πίνακα B στη μεταβλητή A και συνεχίζουμε έως ότου υπολογίσουμε τον τελευταίο πίνακα, ο οποίος αποτελεί και τη λύση στο πρόβλημά μας. Αρχικοποιούμε τις μεταβλητές A και B παρακάτω. Η τιμή 1e6 (δηλ. ) που χρησιμοποιούμε για να γεμίσουμε αρχικά τον πίνακα A παίζει το ρόλο του. Σε θέσεις όπου υπάρχει ακμή στο γράφημα αυτή η τιμή αντικαθίσταται από το πραγματικό μήκος της ακμής. i, j N + 1 A (k), για k = 0, 1,, N. i,j In [5]: A = []; B = [] row = N*[1e6] # Αυτή θα είναι μια γραμμή του πίνακα for i in range(n): # Την αντιγράφουμε N φορές A.append(row[:]) # προσοχή να δημιουργούμε νέο αντίγραφο κάθε φορά. αν γράφαμε row αντί για row[:] δε δουλεύει B.append(row[:]) A[i][i] = 0 # τα στοιχεία της διαγωνίου είναι 0 αφού δεν κοστίζει τίποτα να πάμε από το i στο i for s in Graph.keys(): # εδώ δίνουμε αρχικές τιμές στις θέσεις του πίνακα που αντιστοιχούν σε υπάρχουσες ακμές for t in Graph[s].keys(): A[number[s]][number[t]] = Graph[s][t] # προσέξτε ότι χρησιμοποιούμε number[s] αντί για το όνομα s Η επανάληψη είναι στο επόμενο. In [7]: for k in range(n): for i in range(n): for j in range(n): B[i][j] = min(a[i][j], A[i][k]+A[k][j]) # αυτή είναι η βασική επανάληψη for i in range(n): # εδώ αντιγράφουμε τον πίνακα B στον πίνακα A for j in range(n): A[i][j] = B[i][j]
7 Και εκτυπώνουμε τον πίνακα αποστάσεων παρακάτω. In [8]: for i in range(len(b)): for j in range(len(b[0])): print("{:4} ".format(b[i][j]), end='') print() Ποια είναι η απόσταση Χώρας Σφακίων ('ΧΣ') -- Μοίρες ('Μ'); In [9]: B[number['ΧΣ']][number['Μ']] Out[9]: 210 Ακολουθεί ολόκληρο το πρόγραμμα στο επόμενο.
8 In [26]: Graph = { 'ΧΣ': {'Χ': 60}, 'Χ': {'ΧΣ': 60, 'Ρ': 60}, 'Ρ': {'Χ': 60, 'Μ': 90, 'Η': 75}, 'Μ': {'Ρ': 90, 'Η': 50}, 'Η': {'Ρ': 75, 'Μ': 50, 'ΑΝ': 60}, 'ΑΝ': {'Η': 60, 'ΠΑ': 20}, 'ΠΑ': {'ΑΝ': 20, 'Ι': 20, 'Σ': 40}, 'Ι': {'ΠΑ': 20}, 'Σ': {'ΠΑ': 40}, }
9 N = len(graph.keys()) number = {} count = 0 for s in Graph.keys(): number[s] = count count += 1 name = {} for s in number.keys(): name[number[s]] = s A = []; B = [] row = N*[1e6] for i in range(n): A.append(row[:]) B.append(row[:]) A[i][i] = 0 for s in Graph.keys(): for t in Graph[s].keys(): A[number[s]][number[t]] = Graph[s][t] for k in range(n): for i in range(n): for j in range(n): B[i][j] = min(a[i][j], A[i][k]+A[k][j]) for i in range(n): for j in range(n): A[i][j] = B[i][j] for i in range(len(b)): for j in range(len(b[0])): print("{:4} ".format(b[i][j]), end='') print()
Σημειωματάριο Τετάρτης 29 Νοε. 2017
Σημειωματάριο Τετάρτης 29 Νοε. 2017 Γραφήματα (γράφοι), η αναπαράστασή τους στον υπολογιστή και μερικά προβλήματα σε αυτά Είδαμε σήμερα λίγα πράγματα για γραφήματα (ή γράφους). Γράφημα είναι, στην απλούστερή
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 4: Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός
Διάλεξη 4: 20.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 4.1 2-συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός γραφήματος G μοιράζονται το πολύ μία κορυφή. Απόδειξη:
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε
Διάλεξη 4: 20.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 4.1 2-συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός γραφήματος G μοιράζονται το πολύ μία κορυφή. Απόδειξη:
Διαβάστε περισσότεραf(t) = (1 t)a + tb. f(n) =
Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #: Εύρεση Ελαχίστων Μονοπατιών σε Γραφήματα που Περιλαμβάνουν και Αρνητικά Βάρη: Αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX 3.1 Εισαγωγή Ο αλγόριθμος Simplex θεωρείται πλέον ως ένας κλασικός αλγόριθμος για την επίλυση γραμμικών προβλημάτων. Η πρακτική αποτελεσματικότητά του έχει
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραu v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4
Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι για αυτόματα
Κεφάλαιο 8 Αλγόριθμοι για αυτόματα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 8.1 Πότε ένα DFA αναγνωρίζει κενή ή άπειρη γλώσσα Δοθέντος ενός DFA M καλούμαστε
Διαβάστε περισσότεραΤο πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem)
Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα Σχετίζεται με τη διαχείριση της κίνησης οχημάτων στους δρόμους Αν δεν υπήρχαν καθυστερήσεις στην κίνηση στις πόλεις Αποφυγή σπατάλης ενέργειας
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση 2 ης Άσκησης:
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ. και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Υπολογιστικών Συστημάτων Παρουσίαση 2 ης Άσκησης: Ανάπτυξη παράλληλου κώδικα και μελέτη επίδοσης του αλγόριθμου
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 13: Αλγόριθμοι-Μεγάλων ακεραίων- Εκθετοποίηση- Πολλαπλασιασμός πινάκων -Strassen Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 1 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΣημειωματάριο Τετάρτης 4 Οκτ. 2017
Σημειωματάριο Τετάρτης 4 Οκτ. 2017 Strings (λέξεις) Ένας από τους κύριους τύπους δεδομένων στην Python είναι τα strings (κείμενα, λέξεις). Όταν γράφουμε ένα κείμενο σε απλά ή διπλά εισαγωγικά τότε αυτό
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΠεριληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:
Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να
Διαβάστε περισσότεραΤομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα
Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1. Ψευδοκώδικας Kruskal. Παρακάτω βλέπουμε την εφαρμογή του στο παρακάτω συνδεδεμένο γράφημα.
Άσκηση 1 Ψευδοκώδικας Kruskal Παρακάτω βλέπουμε την εφαρμογή του στο παρακάτω συνδεδεμένο γράφημα. Αντιστοιχίζω τους κόμβους με αριθμούς από το 0 έως το 4. 2Η ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ - MAY 2018
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότερα3. α) Να λύσετε την εξίσωση x 2 = 3. β) Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες, τις ρίζες της εξίσωσης του α) ερωτήματος.
. Δίνεται η εξίσωση λ + 4(λ ) = 0, με παράμετρο λ R α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης. β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ R. γ) Αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 11 Ένωση Ξένων Συνόλων
Κεφάλαιο 11 Ένωση Ξένων Συνόλων Περιεχόμενα 11.1 Εισαγωγή... 227 11.2 Εφαρμογή στο Πρόβλημα της Συνεκτικότητας... 228 11.3 Δομή Ξένων Συνόλων με Συνδεδεμένες Λίστες... 229 11.4 Δομή Ξένων Συνόλων με Ανοδικά
Διαβάστε περισσότεραΣημειωματάριο Δευτέρας 30 Οκτ. 2017
Σημειωματάριο Δευτέρας 30 Οκτ. 2017 Συναρτήσεις (functions) Μια συνάρτηση στην Python είναι κομμάτι κώδικα που φέρει το δικό του όνομα (ακολουθεί τη λέξη κλειδί def στον ορισμό της συνάρτησης, έχει τα
Διαβάστε περισσότερα2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Γραφήματα. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο
Δομές Δεδομένων Γραφήματα Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Γραφήματα Κατευθυνόμενο Γράφημα Ένα κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζευγάρι (V, E) όπου V είναι ένα
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΔιαίρει και Βασίλευε. πρόβλημα μεγέθους Ν. διάσπαση. πρόβλημα μεγέθους k. πρόβλημα μεγέθους Ν-k
Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα μεγέθους Ν-k Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση επιλύουμε αναδρομικά τα υποπροβλήματα πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραq(g \ S ) = q(g \ S) S + d = S.
Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος & Σ. Κ. Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n
Διαβάστε περισσότεραΣυντομότερες Διαδρομές
Συντομότερες Διαδρομές Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συντομότερη Διαδρομή Κατευθυνόμενο G(V, E, w) με μήκη Μήκος διαδρομής
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση 1 ης Άσκησης:
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ. και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Υπολογιστικών Συστημάτων Παρουσίαση 1 ης Άσκησης: Ανάπτυξη παράλληλου κώδικα σε πολυπύρηνες αρχιτεκτονικές κοινής
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά υπολογιστών Εργαστήριο 4 Εισαγωγή στις λίστες
Γραφικά υπολογιστών Εργαστήριο 4 Εισαγωγή στις λίστες Σκοπός της 3ης άσκησης είναι να μάθουμε να φτιάχνουμε και να προσπελαύνουμε λίστες, να δούμε τι διαφορά έχουν από τα tuples και επίσης πώς μπορούμε
Διαβάστε περισσότεραΗ ΔΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Εντολές Επανάληψης REPEAT UNTIL, FOR, WHILE
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 7 Ο Η ΔΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Εντολές Επανάληψης REPEAT UNTIL, FOR, WHILE Βασικές Έννοιες: Δομή Επανάληψης, Εντολές Επανάληψης (For, While do, Repeat until), Αλγόριθμος, Αθροιστής, Μετρητής, Παράσταση
Διαβάστε περισσότεραΠροβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks)
Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο Ορισμοί Παραδείγματα Δικτυακή Simplex (προβλήματα με και χωρίς φραγμούς). Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum ost Flow Networks) Ένα δίκτυο μεταφόρτωσης αποτελείται
Διαβάστε περισσότεραx < y ή x = y ή y < x.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εαρινό Εξάμηνο 011-1 Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Χ.Κουρουνιώτης Μ8 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Φυλλάδιο 1 Ανισότητες Οι πραγματικοί αριθμοί είναι διατεταγμένοι. Ενισχύουμε αυτήν την ιδέα με
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Bέλτιστος σχεδιασμός με αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμούς
Διαβάστε περισσότεραΣχέδια μαθημάτων για την δημιουργία συναρτήσεων υπολογισμού του ΜΚΔ και του ΕΚΠ στην MSWLogo
Σχέδια μαθημάτων για την δημιουργία συναρτήσεων υπολογισμού του Μέγιστου Κοινού Διαιρέτη (ΜΚΔ) και του Ελάχιστου Κοινού Πολλαπλασίου (ΕΚΠ) δύο αριθμών, με την γλώσσα προγραμματισμού Logo Κογχυλάκης Σ.
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία
Διαβάστε περισσότεραΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας
Διαβάστε περισσότεραGraph Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Καούρη Γεωργία Μήτσου Βάλια
Graph Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Καούρη Γεωργία Μήτσου Βάλια Περιεχόμενα Μεταβατικό Κλείσιμο Συνεκτικές συνιστώσες Συντομότερα μονοπάτια Breadth First Spanning
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί Ο αλγόριθμος Simplex για τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, βλέπε Dntzig (1963), αποδίδει αρκετά καλά στην πράξη, ιδιαίτερα σε προβλήματα
Διαβάστε περισσότεραΈστω ένας πίνακας με όνομα Α δέκα θέσεων : 1 η 2 η 3 η 4 η 5 η 6 η 7 η 8 η 9 η 10 η
Μονοδιάστατοι Πίνακες Τι είναι ο πίνακας γενικά : Πίνακας είναι μια Στατική Δομή Δεδομένων. Δηλαδή συνεχόμενες θέσεις μνήμης, όπου το πλήθος των θέσεων είναι συγκεκριμένο. Στις θέσεις αυτές καταχωρούμε
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 21: Γράφοι IV - Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους
Διάλεξη 2: Γράφοι IV - Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Βραχύτερα Μονοπάτια σε γράφους - Ο αλγόριθμος Dijkstra για εύρεση της βραχύτερης απόστασης
Διαβάστε περισσότεραιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 3η Θεωρία Γραφηµάτων
ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ α σ ί α η Θεωρία Γραφηµάτων Α π α ν τ ή σ ε ι ς Ε ρ ω τ η µ ά τ ω ν Ερώτηµα. Στο παρακάτω γράφηµα µε βάρη, να βρεθεί το µήκος του µικρότερου µονοπατιού
Διαβάστε περισσότεραd(v) = 3 S. q(g \ S) S
Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε S υποσύνολο
Διαβάστε περισσότερα12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.
Διαβάστε περισσότεραe 2 S F = [V (H), V (H)]. 3-1 e 1 e 3
Διάλεξη 3: 19.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Λίβανος & Σ. Κ. 3.1 Ακμοδιαχωριστές, Τομές, Δεσμοί Ορισμός 3.1 Ακμοδιαχωριστής (edge-separator) ενός γραφήματος =
Διαβάστε περισσότεραΣημειωματάαριο Δευτέρας 16 Οκτ. 2017
Σημειωματάαριο Δευτέρας 16 Οκτ. 2017 Λίστες και ανακύκλωση for Είδαμε στην αρχή (ξανά) μερικά βασικά πράγματα για λίστες. Λίστα είναι μια πεπερασμένη ακολουθία από αντικείμενα (αριθμούς, strings, άλλες
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος
Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr
Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας
Διαβάστε περισσότεραΤαιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του
Ταιριάσματα Γράφημα Ταίριασμα (matching) Σύνολο ακμών τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Θέλουμε να βρούμε ένα μέγιστο ταίριασμα (δηλαδή με μέγιστο αριθμό ακμών) Ταιριάσματα
Διαβάστε περισσότεραΣυντομότερα Μονοπάτια για Όλα τα Ζεύγη Κορυφών
Συντομότερα Μονοπάτια για Όλα τα Ζεύγη Κορυφών Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Στάθης Ζάχος, Δημήτρης Φωτάκης Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΔυναμικός προγραμματισμός για δέντρα
ΘΕ5 Ιδιότητες Δέντρων και Αναδρομή για Δέντρα Δυναμικός προγραμματισμός για δέντρα Έστω ότι, για k=1,..., m, το γράφημα Γ k = (V k, E k ) είναι δέντρο. Έστω w V 1... V m, z k V k, για k=1,..., m. Συμβολίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΔοµές Δεδοµένων & Ανάλυση Αλγορίθµων 3ο Εξάµηνο. Γραφήµατα. (Graphs)
Δοµές Δεδοµένων & Ανάλυση Αλγορίθµων 3ο Εξάµηνο Γραφήµατα (Grphs) http://tos.it.tith.gr/~mos/thing_gr.html Δηµοσθένης Σταµάτης Τµήµα Πληροφορικής ATEI ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Γράφημα (Grph) Oρισμός 1: Έστω το µη
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο , Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: 2 ώρες 18 Νοεμβρίου, 2017
ΜΑΣ: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο 07-08, Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: ώρες 8 Νοεμβρίου, 07 Δίνονται 4 προβλήματα που αντιστοιχούν σε 0 μονάδες με άριστα το 00! ΟΝΟΜΑ: Αρ.
Διαβάστε περισσότερα2ο ΓΕΛ ΑΓ.ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΑΕΠΠ ΘΕΟΔΟΣΙΟΥ ΔΙΟΝ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΑ ΠΑΡΑΚΑΤΩ
ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΑ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΣΤΑΘΕΡΕΣ είναι τα μεγέθη που δεν μεταβάλλονται κατά την εκτέλεση ενός αλγόριθμου. Εκτός από τις αριθμητικές σταθερές (7, 4, 3.5, 100 κλπ), τις λογικές σταθερές (αληθής και ψευδής)
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τμήμα Πληροφορικής Δομές Δεδομένων [ΠΛΥ302] Χειμερινό Εξάμηνο 2012
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τμήμα Πληροφορικής Δομές Δεδομένων [ΠΛΥ302] Χειμερινό Εξάμηνο 2012 Ενδεικτικές απαντήσεις 1 ου σετ ασκήσεων. Άσκηση 1 Πραγματοποιήσαμε μια σειρά μετρήσεων του χρόνου εκτέλεσης τριών
Διαβάστε περισσότεραΣυντομότερες ιαδρομές
Συντομότερες ιαδρομές ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συντομότερη ιαδρομή Κατευθυνόμενο G(V, E, w) με μήκη Μήκος διαδρομής Απόσταση d(u,
Διαβάστε περισσότερα1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;
1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι
Διαβάστε περισσότεραΕιδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων
Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Άσκηση 1 α) Η δομή σταθμισμένης ένωσης με συμπίεση διαδρομής μπορεί να τροποποιηθεί πολύ εύκολα ώστε να υποστηρίζει τις
Διαβάστε περισσότεραEukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata
EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata Εστω f : X Y μια εμφύτευση του μετρικού χώρου (X, ρ) στο χώρο με νόρμα (Y, ). Η παραμόρφωση της f ορίζεται ως εξής: f(x) f(y) ρ(x, y) dist(f) = sup sup x y ρ(x, y)
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή Πολυταινιακές Μηχανές Turing (3.2.1) Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)
Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΣκοπός. Εργαστήριο 6 Εντολές Επανάληψης
Εργαστήριο 6 Εντολές Επανάληψης Η δομή Επιλογής στη PASCAL H δομή Επανάληψης στη PASCAL. Ρεύμα Εισόδου / Εξόδου.. Ρεύμα Εισόδου / Εξόδου. To πρόγραμμα γραφικών gnuplot. Γραφικά στη PASCAL. Σκοπός 6.1 ΕΠΙΔΙΩΞΗ
Διαβάστε περισσότεραΔιμερή γραφήματα και ταιριάσματα
Κεφάλαιο 6 Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι C. L. Liu and C. Liu 1985, Cameron 1994, Diestel 2005 και Stanley 1986. 6.1 Διμερή γραφήματα Η κλάση
Διαβάστε περισσότεραβ) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1
Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU
Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα x y Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x+ y 6 Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x y
Διαβάστε περισσότεραΤυχαίοι γράφοι Η διάμετρος του G(n, 2 ln n/n) Ioannis Giotis
Τυχαίοι γράφοι Η διάμετρος του G(n, 2 ln n/n) Ioannis Giotis Θεώρημα για σφαίρες Θα δείξουμε ότι το γράφημα G(n, 2 ln n n 1 ) έχει μικρή διάμετρο Θα ξεκινήσουμε με ένα θεώρημα για το μέγεθος μιας σφαίρας
Διαβάστε περισσότεραΣυνδετικότητα γραφήματος (graph connectivity)
Συνδετικότητα γραφήματος (graph connectivity) Συνδετικότητα γραφήματος (graph connectivity) Υπάρχει μονοπάτι μεταξύ α και β; α Παραδείγματα: υπολογιστές ενός δικτύου ιστοσελίδες ισοδύναμες μεταβλητές ενός
Διαβάστε περισσότεραΣυντομότερες Διαδρομές
Συντομότερη Διαδρομή Συντομότερες Διαδρομές Διδάσκοντες: Σ Ζάχος, Δ Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Κατευθυνόμενο G(V, E, w) με μήκη Μήκος
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1
ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1 Θέματα μελέτης Πρόβλημα αναζήτησης σε γραφήματα Αναζήτηση κατά βάθος (Depth-first search DFS) Αναζήτηση κατά πλάτος (Breadth-first search BFS) 2 Γράφημα (graph) Αναπαράσταση συνόλου
Διαβάστε περισσότεραΚατανεμημένα Συστήματα Ι
Κατανεμημένα Συστήματα Ι Εκλογή αρχηγού και κατασκευή BFS δένδρου σε σύγχρονο γενικό δίκτυο Παναγιώτα Παναγοπούλου Περίληψη Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Ορισμός του προβλήματος Ο αλγόριθμος FloodMax
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π.
Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων CO.RE.LAB. ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Άσκηση 1 η : Παιχνίδι επιλογής ακμών Έχουμε ένα ακυκλικό κατευθυνόμενο γράφο, μια αρχική κορυφή και δυο παίκτες. Οι παίκτες διαδοχικά
Διαβάστε περισσότεραΠ Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων
Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων Πρ. Η f : [0, ] R είναι συνεχής στο [0, ]. Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Bolzao- Weierstraß δείξτε ότι η f είναι φραγμένη στο [0, ]. Μην επικαλεστείτε κάποιο άλλο θεώρημα.
Διαβάστε περισσότεραΤο πρόβλημα του σταθερού γάμου
Το πρόβλημα του σταθερού γάμου Γάμος και Θεωρία Γραφημάτων Γάμος πρόβλημα ταιριάσματος Θα δούμε έναν αλγόριθμο ταιριάσματος (matching algorithm) που χρησιμοποιείται σε πολλές εφαρμογές Γνωριμίες (γραφεία,
Διαβάστε περισσότεραΘεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:
Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η
Διαβάστε περισσότεραΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Εύρεση ελάχιστων μονοπατιών Αλγόριθμος του ijkstra Θέματα μελέτης Πρόβλημα εύρεσης ελάχιστων μονοπατιών σε γραφήματα (shortest path problem) Αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΘέματα Εφαρμογών Βάσεων Δεδομένων: Ιδιωτικότητα Δεδομένων
Θέματα Εφαρμογών Βάσεων Δεδομένων: Ιδιωτικότητα Δεδομένων 3. Δυναμικός Προγραμματισμός Ζαγορίσιος Παναγώτης Παπαοικονόμου Χριστίνα Δυναμικός Προγραμματισμός Μέθοδος επίλυσης σύνθετων προβλημάτων. Όπως
Διαβάστε περισσότεραΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ
Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί
Διαβάστε περισσότεραΑντίστροφη & Ιδιάζουσα μήτρα. Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας
Αντίστροφη & Ιδιάζουσα μήτρα Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Γιατί όμως μελετάμε τις μήτρες Συνήθως τα επιστημονικά δεδομένα (παρατηρήσεις, αποτελέσματα πειραμάτων κ.λπ.) οργανώνονται σε γραμμές και σε στήλες,
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα (2 ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Παραδείγματα ( ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω ο υποχώρος W του R 5 που παράγεται από τα διανύσματα v=(,,-,,), v=(,,-,6,8), v=(,,,,6), v=(,,5,,8), v5=(,7,,,9). a)
Διαβάστε περισσότερα2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΣυνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.
4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές Στρατηγικές. διαδρομής (1)
Στοχαστικές Στρατηγικές η ενότητα: Το γενικό πρόβλημα ελάχιστης διαδρομής () Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 08-09 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα δομικής επαγωγής Ορισμός δομικής επαγωγής Συμβολοσειρές Γλώσσες Δυαδικά δένδρα Μαθηματικά Πληροφορικής 3ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλ
Μαθηματικά Πληροφορικής 3ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Δομική επαγωγή Η ιδέα της μαθηματικής επαγωγής μπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δομές εκτός από το σύνολο N
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ
Συνεκτικότητα Γραφημάτων 123 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 4.1 Τοπική και Ολική Συνεκτικότητα Γραφημάτων 4.2 Συνεκτικότητα Μη-κατευθυνόμενων Γραφημάτων 4.3 Συνεκτικότητα Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
Διαβάστε περισσότεραΣχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση
Διμελής Σχέση Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατεταγμένο ζεύγος (α, β): Δύο αντικείμενα
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 7: X Y Σχήμα 7.2: Παράδειγμα για το Πόρισμα 7.2, όπου: 1 = {1, 2, 5}, 2 = {1, 2, 3}, 3 = {4}, 4 = {1, 3, 4}. Θ
Διάλεξη 7: 2.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Μαργώνης & Σ. Κ. 7.1 Εφαρμογές του Θεωρήματος του Hall Πόρισμα 7.1 (Ελλειματική εκδοχή Θεωρήματος Hall) Δίνεται διμερές
Διαβάστε περισσότεραΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ, Sanjoy Dasgupta, Christos Papadimitriou, Umesh Vazirani, Κεφάλαιο 4 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ, Jon Kleinberg, Eva Tardos, Κεφάλαιο 4) 1 Θέματα
Διαβάστε περισσότεραΣυντομότερες ιαδρομές
Συντομότερες ιαδρομές ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΔώστε έναν επαγωγικό ορισμό για το παραπάνω σύνολο παραστάσεων.
Εισαγωγή στη Λογική Α Τάξης Σ. Κοσμαδάκης Συντακτικό τύπων Α τάξης Α Θεωρούμε δεδομένο ένα λεξιλόγιο Λ, αποτελούμενο από (1) ένα σύνολο συμβόλων για σχέσεις, { R, S,... } (2) ένα σύνολο συμβόλων για συναρτήσεις,
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα
Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.
Διαβάστε περισσότεραΙδιάζουσες τιμές πίνακα. y έχουμε αντίστοιχα τις σχέσεις : Αυτές οι παρατηρήσεις συμβάλλουν στην παραγοντοποίηση ενός πίνακα
Ιδιάζουσες τιμές πίνακα Επειδή οι πίνακες που παρουσιάζονται στις εφαρμογές είναι μη τετραγωνικοί, υπάρχει ανάγκη να βρεθεί μία μέθοδος που να «μελετά» τους μη τετραγωνικούς με «μεθόδους και ποσά» που
Διαβάστε περισσότεραB = F i. (X \ F i ) = i I
Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετρικών χώρων Ομάδα Α 3.1. Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το G \ F είναι
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4.0 Επιλογή Αλγόριθμοι Επιλογής Select και Quick-Select Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2016-17 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros
Διαβάστε περισσότερα