, όπου x = 0,1,..., Έτσι, για την πιθανότητα σε ένα έτος να μην υπάρξουν θάνατοι ζώων από τον εμβολιασμό έχουμε, 2! !

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ", όπου x = 0,1,...,300000. Έτσι, για την πιθανότητα σε ένα έτος να μην υπάρξουν θάνατοι ζώων από τον εμβολιασμό έχουμε, 2! 299998!"

Transcript

1 Η Κατανομή Poisso Ας δούμε ένα πρόβημα: Σε μια κτηνοτροφική περιοχή υπάρχουν 3 αιγοπρόβατα. Κάθε χρόνο όα τα αιγοπρόβατα εμβοιάζονται για προστασία από κάποια ασθένεια. Σύμφωνα με την άδεια χρήσης του εμβοίου, υπάρχει πού μικρή πιθανότητα, ίση με, το εμβόιο να προκαέσει μια πού σοβαρή παρενέργεια που οδηγεί στο θάνατο του ζώου που εμβοιάζεται. Μας ενδιαφέρει να βρούμε την πιθανότητα, στη συγκεκριμένη περιοχή, να πεθάνουν σε ένα έτος ζώα από την παρενέργεια που προκαεί ο εμβοιασμός. Είναι προφανές ότι ο αριθμός Χ των ζώων που πεθαίνουν από τον εμβοιασμό στη συγκεκριμένη περιοχή σε ένα έτος είναι διωνυμική τυχαία μεταβητή με ~ B(3, ). Ενδιαφερόμαστε για τις πιθανότητες P ( ), όπου,,...,3. Έτσι, για την πιθανότητα σε ένα έτος να μην υπάρξουν θάνατοι ζώων από τον εμβοιασμό έχουμε, P ( ) ( ) ( ) (.99998).478 και για την πιθανότητα σε ένα έτος να υπάρξουν ακριβώς θάνατοι από τον εμβοιασμό έχουμε, 3 5 P( ) ( ) ( ) 3 (.) (.99998) ! (.)! 99998! (.99998) Ήδη από αυτά τα δύο αριθμητικά παραδείγματα φαίνεται ότι για τιμές των παραμέτρων της διωνυμικής κατανομής όπως αυτές του προβήματός μας (κυρίως για πού μεγάο ), ο τύπος της συνάρτησης πιθανότητάς της δεν είναι πού πρακτικός για τον υποογισμό πιθανοτήτων (ιδιαίτερα χωρίς υποογιστική μηχανή). Μάιστα, για τιμές που δεν είναι κοντά στο ή το το πρόβημα γίνεται μεγάο. Η πιθανότητα, για παράδειγμα, σε ένα έτος να υπάρξουν ακριβώς 5 θάνατοι από τον εμβοιασμό είναι ! 5 P( 5) ( ) ( ) (.) (.99998) 5 5! 99985! (.) (.99998) Οι δυσκοίες αυτές, αναγνωρίσθηκαν από πού νωρίς. Ο Γάος μαθηματικός Simeo Deis Poisso (78-84) αναζήτησε τρόπο αντιμετώπισης του προβήματος και το 837, σε βιβίο του με εφαρμογές της θεωρίας πιθανοτήτων σε θέματα δικαστικών υποθέσεων, δημοσίευσε το παρακάτω εντυπωσιακό για την εποχή του οριακό θεώρημα. Έστω ότι η τυχαία μεταβητή Χ ακοουθεί τη διωνυμική κατανομή B (, με συνάρτηση πιθανότητας P( ) p (,,,,...,. Αν, για, το p έτσι ώστε η μέση τιμή της Χ να συγκίνει προς μια θετική σταθερά, δηαδή, να ισχύει p, τότε lim p ( e,,,,...! Με την υπόθεση ότι κάθε ζώο έχει την ίδια πιθανότητα να πεθάνει από τον εμβοιασμό σε ένα έτος. Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής/ Γ. Παπαδόπουος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 75

2 Πού αργότερα διαπιστώθηκε ότι η συνάρτηση e,,,,..., που εισάγεται! με το οριακό θεώρημα του Poisso, έχει όες τις ιδιότητες μιας συνάρτησης πιθανότητας. Έτσι ορίσθηκε η κατανομή Poisso. Ορισμός Έστω Χ μια διακριτή τυχαία μεταβητή με συνάρτηση πιθανότητας f ( ) P( ) e,,,,...! όπου >. Η κατανομή της τυχαίας μεταβητής Χ ονομάζεται κατανομή Poisso με παράμετρο και συμβοίζεται με P (). Δηαδή, η κατανομή Poisso ορίσθηκε ως οριακή κατανομή της διωνυμικής, έτσι: H Διωνυμική κατανομή προσεγγίζεται από την κατανομή Poisso aν για μεγάο (θεωρητικά ), η πιθανότητα επιτυχίας p συγκίνει στο ( p ) έτσι ώστε η μέση τιμή της κατανομής να συγκίνει σε μια θετική σταθερά ( p ). Πρακτικά, όμως, πόσο μεγάο πρέπει να είναι το και πόσο μικρό το p για να είναι ικανοποιητική η προσέγγιση; Έχει παρατηρηθεί ότι αν και p ώστε η μέση τιμή p να παίρνει μέτριες τιμές (στην πράξη, μικρότερες του ), η ακρίβεια της προσέγγισης είναι ικανοποιητική. Στα σχήματα που ακοουθούν φαίνεται γραφικά η σύγκιση της διωνυμικής κατανομής B (, στην κατανομή Poisso με p 3 όταν,3,, 3 και p.3,.,.3,. αντίστοιχα. Παρατηρείστε ότι για 3 και p. η προσέγγιση είναι τέεια. Το 889, από τον Ρωσο-Γερμανό μαθηματικό L.V. Borriewicz. Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής/ Γ. Παπαδόπουος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 7

3 Ως παράδειγμα εφαρμογής των παραπάνω ας δούμε πάι το εισαγωγικό πρόβημα. Επειδή 3 και p.. 3 μπορούμε να 3 υποογίσουμε πού πιο εύκοα τις ζητούμενες πιθανότητες αν χρησιμοποιήσουμε την προσέγγιση της διωνυμικής κατανομής B (3,.) από την κατανομή Poisso με παράμετρο p 3.. Έτσι έχουμε: Άρα: P ( P ( ) e ) e P ( 5) e P(.4788!.447! ! ) e Αποδεικνύεται ότι, αν ~ P( ) τότε,,!,,,... μ E ( ) και σ V ( ). Στην πράξη, η παράμετρος, συνήθως δεν υποογίζεται από τα και p αά εκτιμάται εμπειρικά (από στατιστικά στοιχεία). Ερώτηση: Είναι άραγε αναμενόμενο (ογικό) η μέση τιμή της κατανομής Poisso να είναι ίση με τη διασπορά της 3 ; Η κατανομή Poisso ως οριακή κατανομή της διωνυμικής κατανομής έχει, όπως και η διωνυμική, μεγάο εύρος εφαρμογών σε διάφορες επιστημονικές περιοχές. Πιο συγκεκριμένα, χρησιμοποιείται για τη μοντεοποίηση «διωνυμικών καταστάσεων» όπου ενδιαφέρει ο αριθμός εμφανίσεων σπάνιων ενδεχομένων σε μεγάους πηθυσμούς (δη. όταν σε κάθε επανάηψη, η πιθανότητα επιτυχίας p είναι πού μικρή και ο αριθμός επαναήψεων πού μεγάος). Γι αυτό το όγο, στη βιβιογραφία αναφέρεται και ως κατανομή των σπάνιων ενδεχομένων (disribuio of rare eves 4 ). Ας δούμε μερικά χαρακτηριστικά παραδείγματα τυχαίων μεταβητών που ακοουθούν την κατανομή Poisso.. Ο αριθμός Χ των τροχαίων ατυχημάτων σε ένα τμήμα (με μεγάη κυκοφορία) του οδικού δικτύου μιας χώρας στη διάρκεια ενός Σαββατοκύριακου (ή μιας ημέρας, ή μιας εβδομάδας, ή ενός μήνα κτ.). Με την υπόθεση ότι κάθε αυτοκίνητο που περνάει από το συγκεκριμένο σημείο έχει την ίδια πιθανότητα p να εμπακεί σε τροχαίο ατύχημα, η Χ ακοουθεί την B (,. Επειδή ο αριθμός των αυτοκινήτων που διέρχονται από το συγκεκριμένο σημείο τη συγκεκριμένη χρονική περίοδο είναι μεγάος και η πιθανότητα ατυχήματος (επιτυχίας!) p είναι πού μικρή 5, η κατανομή της Χ προσεγγίζεται ικανοποιητικά από την κατανομή Poisso με p. Η παράμετρος εκφράζει τον μέσο αριθμό ατυχημάτων στο 3 Είναι. Θυμηθείτε τη μέση τιμή και τη διασπορά της διωνυμικής και παρατηρείστε ότι όταν συγκίνει στην Poisso το -p είναι περίπου. 4 Αναφέρεται επίσης ως νόμος των μικρών αριθμών. 5 Φοβάμαι ότι θιβερή εξαίρεση αποτεεί η Εάδα (με τους οδηγούς της και τους δρόμους της!!). Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής/ Γ. Παπαδόπουος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 77

4 συγκεκριμένο σημείο τη συγκεκριμένη χρονική περίοδο και όπως αναφέραμε, στην πράξη, συνήθως εκτιμάται εμπειρικά (από στατιστικά στοιχεία).. Ο αριθμός Χ των τυπογραφικών αθών σε μια δακτυογραφημένη σείδα (ή σε ένα σύνοο σείδων). Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα πρόκειται για διωνυμική κατανομή B (,. Επειδή το είναι μεγάο (ποά γράμματα στο κείμενο) και η πιθανότητα τυπογραφικού άθους (επιτυχίας!) p είναι μικρή η κατανομή του αριθμού των τυπογραφικών αθών/σείδα προσεγγίζεται ικανοποιητικά από την κατανομή Poisso με p. Η παράμετρος εκφράζει τον μέσο αριθμό τυπογραφικών αθών/σείδα και όπως αναφέραμε και στο προηγούμενο παράδειγμα, στην πράξη, συνήθως εκτιμάται εμπειρικά (από στατιστικά στοιχεία). 3. Ο αριθμός Χ των κήσεων στο help desk ενός μεγάου Iere provider σε μια ημέρα (ή σε μια ώρα, ή σε μια εβδομάδα κτ.). 4. Ο αριθμός Χ των βαβών μιας μηχανής σε μια ημέρα (ή σε μια εβδομάδα κτ.). 5. Ο αριθμός Χ των ατόμων ενός πηθυσμού που ζουν περισσότερα από χρόνια.. Ο αριθμός Χ των παιδιών ενός πηθυσμού που θα γίνουν ψηότερα από.95μέτρα. 7. Ο αριθμός Χ των βακτηριδίων σε cm μιας πάκας Peri. 8. Ο αριθμός Χ των πεατών ενός super marke σε μια ημέρα, που θα αγοράσουν σοκοατάκια για σκύους. 9. Ο αριθμός Χ των εαττωματικών προϊόντων που παράγονται από μια συγκεκριμένη γραμμή παραγωγής σε ένα ορισμένο χρονικό διάστημα.. Ο αριθμός Χ των ανθασμένων τηεφωνικών κήσεων (άος αριθμός πηκτροογείται και άος καείται) σε μια ημέρα. Επίσης, ο αριθμός Χ των τηεφωνικών κήσεων που φθάνουν σε ένα τηεφωνικό κέντρο σε μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο.. Ο αριθμός Χ των φυσαίδων σε υαοπίνακα συγκεκριμένης επιφάνειας.. Ο αριθμός Χ των θανάτων σε μια πόη από μια σπάνια ασθένεια σε ένα μήνα. 3. Ο αριθμός Χ των πεατών που φθάνουν σε ένα κέντρο εξυπηρέτησης (τράπεζα, ταχυδρομικό γραφείο, κατάστημα κτ.) σε μια ημέρα (ή σε μια ώρα, ή σε μια εβδομάδα, κτ.). 4. Ο αριθμός Χ των επιβατών μιας αεροπορικής πτήσης που ενώ έχουν κάνει κράτηση θέσης δεν εμφανίζονται την ώρα αναχώρησης. 5. Ο αριθμός Χ των α-σωματίων που εκπέμπονται από ραδιενεργό υικό σε συγκεκριμένο χρονικό διάστημα.. Ο αριθμός Χ των σεισμών μεγέθους περισσότερο των 5 βαθμών της κίμακας Richer που πήττουν μια σεισμογόνο περιοχή σε ένα έτος. 7. Ο αριθμός Χ των εαττωματικών σημείων που υπάρχουν σε συγκεκριμένο μήκος καωδίου. 8. Ο αριθμός Χ των βακτηριδίων σε διάυμα συγκεκριμένου όγκου. 9. Ο αριθμός Χ των αστεριών σε μια γααξιακή περιοχή συγκεκριμένου όγκου.. Ο αριθμός Χ των προβημάτων (ρωγμές και ακκούβες) στο οδόστρωμα ενός εθνικού δρόμου ανά Km.. Ως τεευταίο παράδειγμα αναφέρουμε εφαρμογές στη χωροδιάταξη (spaial paer) φυτών, ζώων κτ που είναι τυχαία διασκορπισμένα σε μια μεγάη έκταση ώστε κάθε δειγματοηπτική μονάδα (τετράγωνο «μικρού» εμβαδού) να έχει πού μικρή πιθανότητα να «φιοξενήσει» ένα φυτό ή ζώο. Όπως φαίνεται από τα παραπάνω παραδείγματα, η κατανομή Poisso βρίσκει εφαρμογή και σε περιπτώσεις όπου σε ένα τυχαίο πείραμα μας ενδιαφέρει πόσες φορές εμφανίζεται ένα ενδεχόμενο σε χρονικό διάστημα ή σε μήκος ή σε Εκτός αν η δακτυογράφος έχει πρόβημα. Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής/ Γ. Παπαδόπουος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 78

5 επιφάνεια ή σε όγκο. Αυτό συμβαίνει διότι, όταν ικανοποιούνται τρεις συνθήκες 7, τότε και οι περιπτώσεις αυτές είναι «διωνυμικές καταστάσεις» με πού μεγάο και p πού μικρό. Οι συνθήκες αυτές για την περίπτωση χρονικού διαστήματος είναι οι εξής 8 : Σ. Η πιθανότητα να εμφανισθεί το ενδεχόμενο σε ένα μικρό χρονικό διάστημα μια φορά είναι ανάογη του μήκους του. Σ. Η πιθανότητα να εμφανισθεί το ενδεχόμενο δύο ή περισσότερες φορές σε ένα μικρό χρονικό διάστημα είναι αμεητέα. Σ3. Οι εμφανίσεις του ενδεχομένου σε δύο ξένα χρονικά διαστήματα είναι ανεξάρτητα ενδεχόμενα. Υποθέτουμε επίσης ότι οι συνθήκες του πειράματος παραμένουν αμετάβητες (στο χρόνο, το χώρο, κτ.). Η εξήγηση, διαισθητικά, γιατί υπό τις συνθήκες Σ, Σ και Σ3, οι περιπτώσεις αυτές είναι «διωνυμικές καταστάσεις» με πού μεγάο και p πού μικρό είναι σχετικά απή 9. Με βάση τα προηγούμενα, είναι φανερό ότι για κάθε έχουμε μια τυχαία μεταβητή που εκφράζει πόσες φορές εμφανίσθηκε το ενδεχόμενο σε διάστημα. Πρόκειται δηαδή για μια οικογένεια τυχαίων μεταβητών {, } η οποία ονομάζεται στοχαστική διαδικασία (ανέιξη) Poisso. Για τη συνάρτηση πιθανότητας της, όπως αναφέραμε προηγουμένως, αποδεικνύεται ότι: Αν ένα ενδεχόμενο εμφανίζεται σε χρονικό διάστημα (ή σε μήκος ή σε επιφάνεια ή σε όγκο ) έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι συνθήκες Σ, Σ και Σ3, τότε υπάρχει ένας θετικός αριθμός τέτοιος ώστε η κατανομή του αριθμού των εμφανίσεων του ενδεχομένου σε χρονικό διάστημα (ή σε μήκος ή σε επιφάνεια ή σε όγκο ), να δίνεται από τον τύπο ( ) P( ) e,,,,...! Δηαδή, η ακοουθεί την κατανομή Poiso με μέση τιμή. Το εκφράζει τον μέσο αριθμό εμφανίσεων του ενδεχομένου στη μονάδα του χρόνου (ή μήκους ή επιφάνειας ή όγκου) ή αιώς τον ρυθμό εμφάνισης του ενδεχομένου. Στην πράξη, το εκτιμάται εμπειρικά (από στατιστικά στοιχεία). Ας δούμε ένα παράδειγμα. Στο help desk ενός μεγάου Iere provider φθάνουν αιτήματα πεατών με ρυθμό 3 αιτήματα ανά επτό. Ποια είναι η πιθανότητα α) σε ένα επτό να φθάσουν το πού αιτήματα β) σε μισό επτό να φθάσουν το πού αιτήματα γ) σε επτά να φθάσουν το πού 4 αιτήματα και δ) σε 3 διαφορετικά χρονικά διαστήματα του ενός επτού να βρεθούν τουάχιστον δύο τέτοια διαστήματα σε καθένα από τα οποία να έχουν φθάσει το πού αιτήματα. Απάντηση 7 που είναι αρκετά απές και φυσιοογικές-ογικές 8 Ανάογα διατυπώνονται για μήκος, επιφάνεια ή όγκο. 9 Αν χωρίσουμε το διάστημα [, ) σε υποδιαστήματα ίδιου πάτους (όπου πού μεγάο ώστε ), η συνθήκη Σ εξασφαίζει ότι πρόκειται για δοκιμές Beroulli και οι Σ, Σ3 ότι είναι ανεξάρτητες με σταθερή πιθανότητα επιτυχίας, όπου ο αναμενόμενος αριθμός εμφανίσεων στη μονάδα χρόνου, χώρου, κτ. Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής/ Γ. Παπαδόπουος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 79

6 Ο αριθμός των αιτημάτων που φθάνουν στο help desk σε διάστημα επτών ακοουθεί κατανομή Poisso με 3 (3) P( ) e,,,,...! Επομένως έχουμε: 3 3 α) P ( ) P( ) + P( ) + P( ) e. 43!.5.5 β) P ( / ) P( / ) + P( / ) + P( / ) e. 888! 4 γ) P ( 4) e. 85! δ) Τα τρία χρονικά διαστήματα του ενός επτού μπορούν να θεωρηθούν ως τρεις ανεξάρτητες δοκιμές Beroulli στις οποίες επιτυχία σημαίνει: σε ένα επτό φθάνουν το πού δύο αιτήματα. Έτσι αν συμβοίσουμε με Υ τον αριθμό των επιτυχιών στις 3 δοκιμές είναι προφανές ότι Y ~ B(3,.43) δηαδή 3 y 3 y P( Y y) (.43) (.578), y,,,3 y και επομένως η ζητούμενη πιθανότητα είναι: P ( Y ) (.43) (.578) + (.43) (.578) Παρατηρήσεις. Όπως και στη διωνυμική κατανομή, εύκοα αποδεικνύεται ο παρακάτω αναδρομικός τύπος υποογισμού των πιθανοτήτων P ( ),,,... μιας Poisso τυχαίας μεταβητής Χ. Για τις πιθανότητες P ( ),,,..., της τυχαίας μεταβητής ~ P( ) ισχύει, P( ) P( ) με αρχική συνθήκη,: P ( ) e.. Όπως και στη διωνυμική κατανομή, εύκοα αποδεικνύεται ότι η πιο πιθανή τιμή της ~ P( ) είναι η [ ] όταν ο θετικός αριθμός δεν είναι ακέραιος, ενώ όταν είναι ακέραιος οι τιμές της Χ με τη μεγαύτερη πιθανότητα είναι δύο: η και η. Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής/ Γ. Παπαδόπουος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 8

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών . Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών - Αναμενόμενη ή μέση τιμή μιας διακριτής τυχαίας μεταβητής. Θα ήταν αρκετά χρήσιμο να γνωρίζουμε γύρω από ποια τιμή «κυμαίνεται» η τ.μ. Χ. γύρω από την οποία «απώνεται»

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Προσομοίωση Βασικών Στοχαστικών Ανελίξεων : Ανέλιξη Poisson και Κίνηση Brown

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Προσομοίωση Βασικών Στοχαστικών Ανελίξεων : Ανέλιξη Poisson και Κίνηση Brown ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Προσομοίωση Βασικών Στοχαστικών Ανείξεων : Ανέιξη Pi και Κίνηση Bw Είναι γνωστό ότι, αν το αποτέεσμα ενός τυχαίου πειράματος είναι ένας αριθμός στο R, τότε αυτό να μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4.. Η ομοιόμορφη διακριτή κατανομή. Εμφανίζεται τις περιπτώεις όπου η υπό εξέταη τ.μ. Χ παίρνει πεπεραμένο πήθος τιμών π.χ. Χ {,,...,} και όες οι πιθανότητες P

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Πιθανοτήτων και Θεωρίας Ουρών

Στοιχεία Πιθανοτήτων και Θεωρίας Ουρών ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Στοιχεία Πιθανοτήτων και Θεωρίας Ουρών Χρήστου Νικοαΐδη Φεβρουάριος 5 Χρήστος Νικοαΐδης Διδάκτωρ του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης Στοιχεία Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ˆ Αποτελείται από σωµατίδια, τα οποία πληρούν το µέσο χωρίς διάκενα. ˆ Τα σωµατίδια αυτά συνδέονται µεταξύ τους µε ελαστικές δυνάµεις.

ˆ Αποτελείται από σωµατίδια, τα οποία πληρούν το µέσο χωρίς διάκενα. ˆ Τα σωµατίδια αυτά συνδέονται µεταξύ τους µε ελαστικές δυνάµεις. 6 Κύµατα 6.1 Ορισµός του κύµατος Κύµα ονοµάζεται η διάδοση µιας διαταραχής που µεταφέρει ενέργεια και ορµή µε στα- ϑερή ταχύτητα. Εαστικό µέσο ονοµάζεται κάθε υικό µέσο που, για όγους απότητας, δεχόµαστε

Διαβάστε περισσότερα

εξυπηρετητής Σχήµα 1 - Γενικό σύστηµα αναµονής

εξυπηρετητής Σχήµα 1 - Γενικό σύστηµα αναµονής Κεφάαιο. Εισαγωγή στη Θεωρία Αναµονής Η θεωρία αναµονής (Quuig hory) εξετάζει τα φαινόµενα, τα οποία παρατηρούνται σε ουρές, που σχηµατίζονται οποτεδήποτε φθάνουν πεάτες σε ένα σταθµό εξυπηρέτησης. Στην

Διαβάστε περισσότερα

Έστω η πραγµατική συνάρτηση f(t) της πραγµατικής µεταβλητής t (π.χ χρόνος). Ο µετασχηµατισµός Laplace της συνάρτησης f(t) δίνεται από τη σχέση:

Έστω η πραγµατική συνάρτηση f(t) της πραγµατικής µεταβλητής t (π.χ χρόνος). Ο µετασχηµατισµός Laplace της συνάρτησης f(t) δίνεται από τη σχέση: ΜΑΘΗΜΑ : Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE. Εισαγωγή Ο µετασχηµατισµός pl και ο µετασχηµατισµός Z είναι δύο πού χρήσιµα µαθηµατικά εργαεία για την ανάυση και σχεδίαση συστηµάτων αυτοµάτου και ιδιαίτερα ΓΧΑ Γραµµικών

Διαβάστε περισσότερα

Κύμα ονομάζουμε τη διάδοση μιας διαταραχής από σημείο σε σημείο του χώρου με ορισμένη ταχύτητα.

Κύμα ονομάζουμε τη διάδοση μιας διαταραχής από σημείο σε σημείο του χώρου με ορισμένη ταχύτητα. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ Τι ονομάζουμε κύμα; Κύμα ονομάζουμε τη διάδοση μιας διαταραχής από σημείο σε σημείο του χώρου με ορισμένη ταχύτητα. Η διαταραχή μπορεί να είναι α. Η ταάντωση των μορίων του

Διαβάστε περισσότερα

6.8 Συµβολή Κυµάτων. y = y 1 + y 2 +... http : //perif ysikhs.wordpress.com 55 Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου

6.8 Συµβολή Κυµάτων. y = y 1 + y 2 +... http : //perif ysikhs.wordpress.com 55 Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου 6.8 Συµβοή Κυµάτων Οταν δύο ή περισσότερα κύµατα διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο εαστικό µέσο έµε ότι συµβάουν. Εχει διαπιστωθεί ότι για την κίνηση των σωµατιδίων του µέσου τα κύµατα ακοουθούν την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ ος ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

4. Όρια ανάλυσης οπτικών οργάνων

4. Όρια ανάλυσης οπτικών οργάνων 4. Όρια ανάυσης οπτικών οργάνων 29 Μαΐου 2013 1 Περίθαση Οι αρχές ειτουργίας των οπτικών οργάνων που περιγράψαμε μέχρι στιγμής βασίζονται στη γεωμετρική οπτική, δηαδή την περιγραφή του φωτός ως ακτίνες

Διαβάστε περισσότερα

Κατανομές Τυχαίων Μεταβλητών Προβλήματα και Ασκήσεις

Κατανομές Τυχαίων Μεταβλητών Προβλήματα και Ασκήσεις Κατανομές Τυχαίων Μεταβλητών Προβλήματα και Ασκήσεις 1. Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας 0 1 2 3 4 f () 1/16 4/16 6/16 c 1/16 Να βρεθούν α) η τιμή της σταθεράς c β) η πιθανότητα

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Συνάρτηση Γάμμα: Ιδιότητες o d Γ(α+)=αΓ(α) - αναδρομική συνάρτηση Γ(α+) = α! αν α ακέραιος. Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΟΤΗΤΑΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΟΤΗΤΑΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΟΤΗΤΑ = ΠΑΡΑΓΟΜΕΝΟ ΠΡΟΪΟΝ / ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΜΕΝΕΣ ΕΙΣΡΟΕΣ, ΔΙΑΤΗΡΩΝΤΑΣ ΣΤΑΘΕΡΗ ΤΗΝ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΠΡΟΪΟΝΤΟΣ (ορισμός κατά Grönroos, 200) Ο ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΟΡΙΣΜΟΣ ΙΣΧΥΕΙ ΤΟΣΟ ΓΙΑ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2001 Τρίτη, 12 Ιουνίου 2001 ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ

ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2001 Τρίτη, 12 Ιουνίου 2001 ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 Τρίτη, Ιουνίου 00 ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ Στις ερωτήσεις - να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση..

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ. ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΟΥ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ. ΤΟΜΟΣ 2 ΟΣ ΒΙΒΛΙΟ 1 ο

ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ. ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΟΥ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ. ΤΟΜΟΣ 2 ΟΣ ΒΙΒΛΙΟ 1 ο ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ. ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΟΥ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ ΤΟΜΟΣ ΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ο ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΑΜΥΝΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ www.rmscotrol.fo

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Δοκιμές Bernoulli Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία (σειρά) πειραμάτων στην οποία ισχύουν τα επόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Χ 2 (καλής προσαρμογής, ανεξαρτησίας και ομογένειας) Προβλήματα και Ασκήσεις

Έλεγχος Χ 2 (καλής προσαρμογής, ανεξαρτησίας και ομογένειας) Προβλήματα και Ασκήσεις Έλεγχος Χ -Προβλήματα και Ασκήσεις Έλεγχος Χ (καλής προσαρμογής, ανεξαρτησίας και ομογένειας) Προβλήματα και Ασκήσεις 1. Στη βιβλιογραφία αναφέρεται ότι τα ποσοστά των ομάδων αίματος Α, Β, ΑΒ και Ο σε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ. Τυχαίες µεταβητές Ποές φορές ε ένα πείραµα τύχης δεν µας ενδιαφέρει ο δειγµατοχώρος του ο οποίος όπως είδαµε µπορεί να είναι και µη-αριθµητικό ύνοο αά

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εξαιτίας της συμβολής δύο κυμάτων του ίδιου πλάτους και της ίδιας συχνότητας. που διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσο

Εξαιτίας της συμβολής δύο κυμάτων του ίδιου πλάτους και της ίδιας συχνότητας. που διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσο ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ Τι ονομάζουμε στάσιμο κύμα f()=0.5sin() Εξαιτίας της συμβοής δύο κυμάτων του ίδιου πάτους και της ίδιας συχνότητας που διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο γραμμικό εαστικό μέσο με αντίθετη φορά,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΦΩΣ ΛΑΜΠΤΗΡΑ ΠΥΡΑΚΤΩΣΕΩΣ ΚΑΙ Η ΣΤΑΘΕΡΑ ΤΟΥ PLANK

ΤΟ ΦΩΣ ΛΑΜΠΤΗΡΑ ΠΥΡΑΚΤΩΣΕΩΣ ΚΑΙ Η ΣΤΑΘΕΡΑ ΤΟΥ PLANK ΤΟ ΦΩΣ ΛΑΜΠΤΗΡΑ ΠΥΡΑΚΤΩΣΕΩΣ ΚΑΙ Η ΣΤΑΘΕΡΑ ΤΟΥ PLANK To 1900 o Plank εισήγαγε την υπόθεση ότι το φως εκπέμπεται από την ύη με τη μορφή κβάντων ενέργειας hν. Το 190 ο Einstein επέκτεινε αυτή την ιδέα προτείνοντας

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη:

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη: 4. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΑ ΖΗΤΗΣΗ Στις περισσότερες περιπτώσεις η ζήτηση είναι αβέβαια. Οι περιπτώσεις αυτές διαφέρουν ως προς το μέγεθος της αβεβαιότητας. Δηλαδή εάν η αβεβαιότητα είναι περιορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Σεµινάριο Αυτοµάτου Εέγχου Μάθηµα 9 Ευστάθεια κατά Lyaunv Η έννοια της ευστάθειας κατά Lyaunv Γενικό κριτήριο ευστάθειας Παραδείγµατα Καιγερόπουος 9 Ευστάθεια κατά Lyaunv Εισαγωγή Η έννοια της ευστάθειας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και, δίπα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία συμπηρώνει σωστά

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Στο κεφάλαιο αυτό, θα μελετήσουμε μερικές ειδικές διακριτές κατανομές που παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον λόγω, κυρίως των πολλών εφαρμογών τους. Πριν όμως

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ-ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Σηµειώσεις για το µάθηµα ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΙΙ Θεοδόσης ηµητράκος E-mal: dmtheo@aegeagr Σάµος 7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

force acting on the particles of the medium is proportional to the displacement of the particles, we can

force acting on the particles of the medium is proportional to the displacement of the particles, we can 1 Ανοικτή Επιστοή Προς την Επιτροπή Θεμάτων της Φυσικής Κατεύθυνσης Επειδή αμβάνουμε ποά παράπονα από συναδέϕους διορθωτές σύμϕωνα με τα οποία η επιτροπή των θεμάτων του υπουργείου απορρίπτει απόυτα τη

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

2. ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2. ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Ας θεωρήσουμε ότι είναι γνωστό από στοιχεία της Παγκόσμιας Οργάνωσης Υγείας ότι οι τιμές χοληστερίνης στον πληθυσμό έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Αντικείμενο της Στατιστικής

Εισαγωγή. Αντικείμενο της Στατιστικής Εισαγωγή Οι κυνικοί λένε σαρκαστικά πως μπορείς να αποδείξεις οτιδήποτε με τη Στατιστική. Άλλοι πάλι υποστηρίζουν πως δεν μπορείς να κάνεις τίποτα με τη Στατιστική. Κάποιοι θυμίζουν ότι η Στατιστική είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. Δ. Α. Γεωργίου. Μάθημα 1ο

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. Δ. Α. Γεωργίου. Μάθημα 1ο ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Δ. Α. Γεωργίου 1 Εισαγωγή Μαθηματική Θεωρία Μέτρου Εισάγει το μέτρο της αβεβαιότητας για την εξέλιξη των φυσικών φαινομένων Διαισθητική αντίληψη της έννοιας. Τι εννοεί ο μη ειδήμων όταν

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 1. Ένα αυτοκίνητο κινείται με κατεύθυνση από το Νότο προς το Βορρά. Κάποια στιγμή ο οδηγός αντιαμβάνεται ένα εμπόδιο και φρενἀρει. Εάν το αυτοκίνητο διαθέτει Α.Β.S.,

Διαβάστε περισσότερα

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Πιθανότητες 1.1 Πιθανότητες και Στατιστική... 5 1.2 ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 7 1.3 Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων... 10 1.4 εσμευμένη πιθανότητα Ολική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

γ. είναι η απόσταση που διανύει το κύμα σε χρόνο T, όπου Τ η περίοδος του κύματος.

γ. είναι η απόσταση που διανύει το κύμα σε χρόνο T, όπου Τ η περίοδος του κύματος. ΕΥΤΕΡΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΥΜΑΤΑ Ερωτήσεις ποαπής επιογής Οδηγία: Για να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις ποαπής επιογής αρκεί να γράψετε στο φύο απαντήσεων τον αριθμό της ερώτησης και δεξιά από αυτόν το γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Το 1965, από τον Conover και πάλι προτάθηκε ένας άλλος έλεγχος τύπου Smirnov για k ανεξάρτητα δείγματα. Ο έλεγχος αυτός διαφέρει από τον προηγούμενο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Απόβλητα. Ασκήσεις. ίνεται η σχέση (Camp) :

Απόβλητα. Ασκήσεις. ίνεται η σχέση (Camp) : ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΩΝ ΠΟΡΩΝ Τομέας Περιβάοντος και Χρήσης Ενέργειας Εργαστήριο Τεχνοογίας Περιβάοντος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ (3 ο ΕΞΑΜΗΝΟ)

Διαβάστε περισσότερα

Πέµπτη, 22 Μαΐου 2008 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ

Πέµπτη, 22 Μαΐου 2008 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Πέµπτη, Μαΐου Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ Στις ερωτσεις -4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπα το γράµµα, που αντιστοιχεί στη σωστ απάντηση.. Ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2010 ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2010 ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 00 ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α-Α3 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία συμπηρώνει σωστά την

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τα χαρακτηριστικά του κύματος

Τα χαρακτηριστικά του κύματος Τα χαρακτηριστικά του κύματος 1. Στην ήρεμη επιφάνεια μιας δεξαμενής με νερό αφήνουμε να πέφτουν μικρές σταγόνες νερού (από κάποια βρύση) με ρυθμό 4 σταγόνες το επτό. Αν η οριζόντια απόσταση δύο διαδοχικών

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΕ ΧΟΡΔΗ ΣΤΕΡΕΩΜΕΝΗ ΣΤΑ ΑΚΡΑ ΤΗΣ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΕ ΧΟΡΔΗ ΣΤΕΡΕΩΜΕΝΗ ΣΤΑ ΑΚΡΑ ΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ &ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΕ ΧΟΡΔΗ ΣΤΕΡΕΩΜΕΝΗ ΣΤΑ ΑΚΡΑ ΤΗΣ ΒΑΡΗ 2010 Κωνσταντίνος Μπίιας

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ (5-9-2005) ΟΜΑΔΑ Α ( 40% ) ΛΥΣΗ: ( 2 ) μόνο για αυτή την τιμή ισχύει

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ (5-9-2005) ΟΜΑΔΑ Α ( 40% ) ΛΥΣΗ: ( 2 ) μόνο για αυτή την τιμή ισχύει ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 5-9-5 ΟΜΑΔΑ Α 4% Αν τα ενδεχόμενα Α, Β, Γ ενός δειγματικού χώρου Ω είναι ανεξάρτητα μπορούμε να πούμε το ίδιο για τα α A B, Γ β Α,Β Γ

Διαβάστε περισσότερα

Μαρκοβιανές Αλυσίδες

Μαρκοβιανές Αλυσίδες Μαρκοβιανές Αλυσίδες { θ * } Στοχαστική Ανέλιξη είναι μια συλλογή τ.μ. Ο χώρος Τ (συνήθως είναι χρόνος) μπορεί να είναι είτε διακριτός είτε συνεχής και καλείται παραμετρικός χώρος. Το σύνολο των δυνατών

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα Περιεχόμενα Κεφάλαιο - Ενότητα σελ 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac 1.3 Συνάρτηση του Heaviside 1.4 Οι συναρτήσεις Β, Γ και

Διαβάστε περισσότερα

6η Διάλεξη Οπτικές ίνες

6η Διάλεξη Οπτικές ίνες 6η Διάεξη Οπτικές ίνες Γ. Έηνας, Διάεξη 6, σε. Χρματική Διασπορά Γ. Έηνας, Διάεξη 6, σε. Pae Χρματική Διασπορά Οι οπτικές πηγές δεν είναι μονοχρματικές: Οπτική Ισχύς Μήκος κύματος Χρόνος Ώστε πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 6: Kατανομή Poisson. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 6: Kατανομή Poisson. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 6: Kατανομή Poisson Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ

Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 12 Δεκεμβρίου 2012 Περιγραφή 1 Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Περιγραφή 1 Θεωρητικές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 2-2 2 Πιθανότητες Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Βασικοί ορισμοί: Ενδεχόμενα, Δειγματικός χώρος και Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

0 1 0 0 0 1 p q 0 P =

0 1 0 0 0 1 p q 0 P = Στοχαστικές Ανελίξεις - Σεπτέμβριος 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ (1) Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Τα θέματα είναι ισοδύναμα. (2) Οι απαντήσεις να είναι αιτιολογημένες. Απαντήσεις χωρίς να φαίνεται η απαιτούμενη εργασία

Διαβάστε περισσότερα

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού 1 2 Τα θεωρήματα του Green, Stokes και Gauss 211 9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού Ήδη στην παράγραφο 5.7 ασχοληθήκαμε με την ύπαρξη συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1, Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1, Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1, Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η κανονική κατανομή ανακαλύφθηκε γύρω στο 720 από τον Abraham De Moivre στην προσπάθειά του να διαμορφώσει Μαθηματικά που να εξηγούν την τυχαιότητα. Γύρω στο 870, ο Βέλγος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα