Στοιχεία Πιθανοτήτων και Θεωρίας Ουρών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Στοιχεία Πιθανοτήτων και Θεωρίας Ουρών"

Transcript

1 ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Στοιχεία Πιθανοτήτων και Θεωρίας Ουρών Χρήστου Νικοαΐδη Φεβρουάριος 5

2 Χρήστος Νικοαΐδης Διδάκτωρ του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης Στοιχεία Πιθανοτήτων και Θεωρίας Ουρών Θεωρία & Ασκήσεις Φεβρουάριος 5

3

4 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στο σύγγραμμα αυτό επιχειρώ μια σύντομη διαδρομή Σε βασικά στοιχεία Συνδυαστικής Σε βασικά στοιχεία της Θεωρίας Πιθανοτήτων Στην περιγραφή των Τυχαίων Μεταβητών και στις πιο χαρακτηριστικές Κατανομές τους Σε μια εισαγωγή στη Θεωρία Ουρών Δεν πραγματεύομαι πήρως (και δεν είχα σκοπό να το κάνω) κανέναν από τους χώρους αυτούς ξεχωριστά. Για τον κάθε χώρο υπάρχει πούσια βιβιογραφία, άοτε περισσότερο και άοτε ιγότερο αναυτική, όπου μπορεί να ανατρέξει ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης. Για τις ανάγκες μιας αυτοτεούς παρουσίασης, στα παίσια ενός εξαμηνιαίου μαθήματος προπτυχιακού επιπέδου, προσπάθησα να σταθώ στα σημαντικότερα σημεία που απαιτούνται για την ανάπτυξη του θέματος. Τα «Στοχαστικά Μοντέα Ουρών Αναμονής» είναι ένα σχετικά δύσκοο θέμα που απαιτεί προηγούμενες γνώσεις από το χώρο των Πιθανοτήτων. Ο στόχος μου στο σύγγραμμα αυτό είναι η κατανόηση των βασικών εργαείων που απαιτούνται από τον χώρο των Πιθανοτήτων και μια «πρώτη γνωριμία» με τη μεέτη των Ουρών Αναμονής. Η περιπάνηση σε θεωρητικές αποδείξεις και παράπευρες επτομέρειες θα αποπροσανατόιζε τον σπουδαστή από το στόχο αυτό. Στην έκδοση αυτή έαβα υπόψη αρκετές παρατηρήσεις των σπουδαστών μου στο ΤΕΙ Λάρισας, κατά τη διάρκεια των 4 τεευταίων χρόνων που δίδαξα το μάθημα. Προσπάθησα να εμπουτίσω το σύγγραμμα με απά και κατανοητά παραδείγματα και να χρησιμοποιήσω, όσο είναι δυνατό, κατανοητή γώσσα. Επίζω να το πέτυχα. Δρ Χρήστος Νικοαΐδης Φεβρουάριος 5 i

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μαθηματικά Μοντέα Στοχαστικά Μοντέα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ. Απαρίθμηση 5. Συνδυασμοί και Διατάξεις: Επιογές r αντικειμένων από 7. Προβήματα συνδυαστικής 4.4 Διανομή r αντικειμένων σε κουτιά 5 Ασκήσεις 9 Σύντομες Απαντήσεις των Ασκήσεων ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. Σύνοα. Δειγματοχώρος και Ενδεχόμενα 5. Η Πιθανότητα ενός Ενδεχομένου 8.4 Πεπερασμένοι Δειγματοχώροι 9.5 Δεσμευμένη Πιθανότητα Ανεξάρτητα Ενδεχόμενα Ασκήσεις 8 Σύντομες Απαντήσεις των Ασκήσεων 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ. Τυχαίες Μεταβητές 4. Κατανομή μιας Διακριτής Τυχαίας Μεταβητής 4. Κατανομή μιας Συνεχούς Τυχαίας Μεταβητής 44.4 (Αθροιστική) Συνάρτηση Κατανομής (cdf) 46.5 Η Μέση Τιμή Ε(Χ)μ 49.6 Η Διασπορά V(X) 5 Ασκήσεις 56 Σύντομες Απαντήσεις των Ασκήσεων 59 ii

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 4. Η Διωνυμική Κατανομή 6 4. Η Ομοιόμορφη Κατανομή Η Κανονική Κατανομή (Gauss) Η Κατανομή Poisso Η Εκθετική Κατανομή 76 Ασκήσεις 79 Σύντομες Απαντήσεις των Ασκήσεων 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΟΥΡΕΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 5. Εισαγωγή 8 5. Χαρακτηριστικά ενός μοντέου Ουρών Αναμονής Ο Συμβοισμός Α/Β/c Το Μοντέο Μ/Μ/ Το Μοντέο Μ/Μ/ με περιορισμένο μήκος Ουράς Το Μοντέο Μ/Μ/ με πεπερασμένο πήθος Αντικειμένων Το Μοντέο Μ/Μ/c Ουρές και Λήψη Αποφάσεων 97 Ασκήσεις Σύντομες Απαντήσεις των Ασκήσεων ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ-ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ 5 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΟΥΡΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 7 iii

7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Για να μεετήσουμε ένα φαινόμενο που παρατηρούμε στη φύση συνήθως χτίζουμε ένα μαθηματικό μοντέο που περιγράφει το φαινόμενο αυτό. Το μοντέο οφείει να αποποιεί τα πράγματα και να αγνοεί τις ασήμαντες επτομέρειες. ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΜΟΝΤΕΛΟ Για να εξετάσουμε την εγκυρότητα του μοντέου, μπορούμε να συγκρίνουμε τα αποτεέσματα που προβέψαμε με βάση το μοντέο με τις πραγματικές παρατηρήσεις του φαινομένου. Συμπίπτουν? ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Φαινόμενο: Στη φύση, αναπτύσσονται δυνάμεις μεταξύ των σωμάτων (βαρύτητα, κπ) Μοντέο: Ο Newto υποογίζει τη δύναμη μεταξύ δύο σωμάτων ως m m F g r Εγκυρότητα: Μετά από πειράματα φαίνεται ότι ο νόμος του Newto περιγράφει αρκετά καά την πραγματικότητα. Αργότερα, ο Αϊνστάιν θα δείξει ότι δεν ισχύει πάντοτε ο νόμος αυτός, μπορούμε ωστόσο να τον

8 χρησιμοποιούμε καθώς είναι εύχρηστος και αποτεεί πού καή προσέγγιση των πραγματικών φαινομένων. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Οι νόμοι του Kepler αποτεούν ένα καό μοντέο για την περιγραφή της κίνησης των πανητών.. ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Στα ντετερμινιστικά μοντέα οι συνθήκες ενός πειράματος καθορίζουν πήρως τα αποτεέσματα. Π.χ. στο νόμο του Newto που είδαμε προηγουμένως, εάν γνωρίζουμε τα μεγέθη m,m και την απόσταση r, μπορούμε να υποογίσουμε επακριβώς την δύναμη F. Στα στοχαστικά μοντέα οι συνθήκες ενός πειράματος τύχης καθορίζουν μόνο την πιθανοτική συμπεριφορά του αποτεέσματος. Π.χ. εάν ρίξουμε ένα νόμισμα, δεν γνωρίζουμε το αποτέεσμα, μπορούμε ωστόσο να περιγράψουμε το αποτέεσμα με το εξής μοντέο: 5% πιθανότητα να έρθει ΚΕΦΑΛΗ 5% πιθανότητα να έρθει ΓΡΑΜΜΑ (Στο δεύτερο πείραμα θα μπορούσαμε να κατασκευάσουμε ένα κάπικο νόμισμα με δύο κεφαές για να κερδίζουμε τα στοιχήματα, οπότε το μοντέο μας θα είναι ντετερμινιστικό!!!).

9 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (στη σεισμοογία) Εάν καταφέρουμε να ανακαύψουμε ένα μοντέο που υποογίζει την εστία, το χρόνο και το μέγεθος ενός σεισμού θα πρόκειται για ένα ντετερμινιστικό μοντέο (κάτι σαν και αυτό που ισχυρίζεται η ομάδα VAN). Προς το παρόν, αρκούμαστε σε στοχαστικά μοντέα που αμβάνουν υπόψη στατιστικά στοιχεία του παρεθόντος, μεέτες του υπεδάφους και άες μετρήσεις και αποφαίνονται κάπως έτσι υπάρχει μια πιθανότητα 5% να συμβεί ένας σεισμός στη Θεσσαία μέσα στα επόμενα τρία χρόνια. Μπορεί βέβαια να μη μας ικανοποιεί όσο ένα ντετερμινιστικό μοντέο, έχει όμως μια αξία καθώς μας προειδοποιεί να πάρουμε προηπτικά μέτρα.

10 4

11 . ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ. ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗ Θα δούμε αργότερα ότι για να βρούμε την πιθανότητα να συμβεί κάποιο γεγονός χρειάζεται ποές φορές να μετράμε όες τις δυνατές επιογές που υπάρχουν για το γεγονός σε σχέση με το σύνοο των επιογών που έχουμε στη διάθεσή μας. Σαν από παράδειγμα αναφέρουμε την ρίψη δύο ζαριών. Ρωτάμε πόσο πιθανό είναι να φέρουμε τουάχιστον ένα εξάρι. Το σύνοο των επιογών μας περιέχει 6 δυνατότητες Από αυτές οι «βοικές» περιπτώσεις που περιέχουν τουάχιστον ένα εξάρι είναι, συγκεκριμένα αυτές που σημειώνονται έντονα στον παραπάνω πίνακα. Άρα έμε ότι η ζητούμενη πιθανότητα είναι στις 6 ή αιώς. 6 Η απαρίθμηση των επιογών σε ένα «πείραμα» δεν είναι πάντοτε εύκοη υπόθεση και χρειάζεται προσοχή. Ξεκινάμε με δύο απούς κανόνες: Ας υποθέσουμε ότι μια ενέργεια Α μπορεί να πραγματοποιηθεί με m τρόπους ενώ μια δεύτερη ενέργεια Β με τρόπους. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει είτε η μία είτε η άη ενέργεια; Προφανώς με m+ τρόπους Η αρχή αυτή είναι γνωστή ως κανόνας του αθροίσματος και θα φανεί χρήσιμη όταν θα «τεμαχίζουμε» ένα πρόβημα σε μικρότερα «επιμέρους» προβήματα και θα αθροίζουμε τα αποτεέσματα. 5

12 Έστω ότι κάθε επιογή για την ενέργεια Α μπορεί να συνδυαστεί με οποιαδήποτε επιογή της ενέργειας Β. Τότε ο συνδυασμός των δύο ενεργειών μπορεί να πραγματοποιηθεί με m τρόπους Η αρχή αυτή είναι γνωστή ως κανόνας του γινομένου. Μπορεί να φαίνεται τετριμμένη αά και θα φανεί εξαιρετικά χρήσιμη στη συνέχεια. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Στις εκογές ενός συμβουίου, υπάρχουν υποψήφιοι για τη θέση του προέδρου και 4 για τη θέση του γραμματέα. Με πόσους τρόπους μπορεί να καυφθεί κάποια θέση (είτε η μία είτε ή άη); Με +47 τρόπους (κανόνας αθροίσματος) Με πόσους τρόπους μπορούν να καυφθούν και οι δύο θέσεις; Με x4 τρόπους (κανόνας γινομένου). Πράγματι, (Π,Γ), (Π,Γ), (Π,Γ), (Π,Γ4), (Π,Γ), (Π,Γ), (Π,Γ), (Π,Γ4), (Π,Γ), (Π,Γ), (Π,Γ), (Π,Γ4) Πριν προχωρήσουμε στις βασικές περιπτώσεις απαριθμήσεων στη συνδυαστική, ας ξεκαθαρίσουμε κάποιους συμβοισμούς Το παραγοντικό ορίζεται ως εξής! L Δηαδή!xx6, καθώς και 4!4,!. Συμφωνούμε επίσης ότι! Παρατηρούμε ότι όταν έχουμε πηίκο με παραγοντικά, γίνονται εύκοα αποποιήσεις, πχ 7! ! ! 4 5 5! Ένα σύμβοο που θα χρειαστούμε συχνά είναι το, το οποίο ορίζεται ως εξής r 6

13 Έτσι! r r!( r)! 7 7!!4! Αν αποποιήσουμε με τον μεγαύτερο παράγοντα στον παρονομαστή έχουμε Ομοίως !!4!! 99!! ! L99 L99 Τώρα είμαστε σε θέση να μεετήσουμε τα βασικά προβήματα της απαρίθμησης. ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ: ΕΠΙΛΟΓΕΣ r ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ ΑΠΟ Το πρόβημα που μεετάμε εδώ είναι να επιέξουμε r αντικείμενα από ένα σύνοο αντικειμένων Υπάρχουν όμως διάφοροι τρόποι να κάνουμε αυτή την επιογή. Αν ενδιαφερόμαστε για τη σειρά με την οποία εμφανίζονται τα επιεγμένα αντικείμενα μιάμε για ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ. Αν δεν ενδιαφερόμαστε για τη σειρά με την οποία εμφανίζονται τα επιεγμένα αντικείμενα μιάμε για ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΥΣ. Υπάρχει και ένας άος διαχωρισμός. Επιέγουμε αρχικά ένα αντικείμενο. Πριν επιέξουμε το δεύτερο, το αρχικό θα ξαναμπεί στην «κηρωτίδα» ή όχι; Έτσι μιάμε για επιογές ΜΕ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ και ΧΩΡΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Ας τα δούμε αναυτικά στη συνέχεια. 7

14 Α. ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ r αντικειμένων από (παίζει ρόο η σειρά) Έχουμε αντικείμενα. Πόσοι τρόποι υπάρχουν να επιέξουμε r αντικείμενα από αυτά και να τα βάουμε σε μια σειρά; Η απάντηση συμβοίζεται P(,r) και ισούται με! ( r)! δηαδή, με αποποίηση ( )( ) L ( r + ) Πράγματι, ας σκεφτούμε για παράδειγμα ότι από άτομα θέουμε να επιέξουμε 4 για να μπουν με τη σειρά στις παρακάτω θέσεις Παρατηρούμε ότι: Για την η θέση έχουμε επιογές (ένα από τα άτομα) Για την η θέση έχουμε 9 επιογές (ένα από τα 9 άτομα που περίσσεψαν) Για την η θέση έχουμε 8 επιογές Για την 4η θέση έχουμε 7 επιογές Συνοικά έχουμε οιπόν επιογές, ή με άα όγια παραπάνω τύπος.! όπως έει και ο 6! Β. ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ r αντικειμένων από (δεν παίζει ρόο η σειρά) Έχουμε αντικείμενα. Πόσοι τρόποι υπάρχουν να επιέξουμε μια ομάδα r αντικειμένων από αυτά; Η απάντηση συμβοίζεται C(,r), είτε με το σύμβοο που συναντήσαμε πιο πάνω r και διαβάζεται «ανά r». Όπως είδαμε αυτό ισούται με! r!( r)! 8

15 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Θέουμε να επιέξουμε γράμματα από τα Α,Β,Γ,Δ,Ε. Υπάρχουν 5 5! 4 5 τρόποι!! (Πράγματι, πρόκειται για τα ζευγάρια ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ, ΑΕ, ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ, ΓΔ, ΓΕ, ΔΕ. Προσέξτε ότι δεν άβαμε υπόψη τη σειρά, δηαδή θεωρήσαμε ότι ΑΒ και ΒΑ είναι ίδια) Αξίζει να σημειωθεί ότι για να επιέξουμε γράμματα από τα 5 υπάρχουν επίσης 5 5!!! τρόποι. (ήταν αναμενόμενο καθώς, όταν επιέγουμε αντικείμενα από τα 5, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι κάποιος άος επιέγει τα υπόοιπα αντικείμενα, άρα όσοι τρόποι υπάρχουν για την επιογή αντικειμένων τόσοι ακριβώς τρόποι υπάρχουν και για την επιογή αντικειμένων). Γενικά, r r διότι και οι δύο αριθμοί ισούνται με!. r!( r)! Εύκοα επίσης διαπιστώνουμε ότι, (υπάρχει μόνο τρόπος να επιέξουμε αντικείμενα από τα : να μην επιέξουμε κανένα!), (υπάρχει μόνο τρόπος να διαέξουμε αντικείμενα από τα : να τα επιέξουμε όα!), (υπάρχουν τρόποι να επιέξουμε αντικείμενο από τα ), (υπάρχουν τρόποι να μην επιέξουμε ένα αντικείμενο από τα ) 9

16 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (χαρακτηριστικό) ΛΟΤΤΟ. Πόσοι τρόποι υπάρχουν να επιέξουμε 6 νούμερα από το ως το 49; (όπως είναι γνωστό, δεν χρειάζεται να τα πετύχουμε με τη σειρά που κηρώνονται). Υπάρχουν οιπόν ! 6!4! δυνατότητες δηαδή, περίπου 4 εκατομμύρια συνδυασμοί εξάδων. Εάν παίξουμε 4 στήες έχουμε πιθανότητα μια στο εκατομμύριο να κερδίσουμε! ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Στο Τζόκερ, επιέγουμε 5 αριθμούς από μια ομάδα 45 αριθμών και ταυτόχρονα αριθμό από μια ομάδα αριθμών. Πόσες δυνατότητες υπάρχουν συνοικά; Εάν παίξουμε 4 στήες ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσουμε; Υπάρχουν συνοικά υπάρχουν 45 επιογές για την πρώτη ομάδα και 5 για τη δεύτερη. Άρα ! !(4)! 4 5 δυνατότητες δηαδή, περίπου 4,5 εκατομμύρια συνδυασμοί. Εάν παίξουμε 4 στήες έχουμε πιθανότητα περίπου μια στο εκατομμύριο να κερδίσουμε! Γ. ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ r αντικειμένων από ΜΕ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Δηαδή κάθε φορά που επιέγουμε ένα αντικείμενο, το ξαναβάζουμε στην «κηρωτίδα». Η απάντηση είναι r

17 Σκεπτόμενοι όπως στην περίπτωση Α, ας πούμε ότι από άτομα έχουμε να επιέξουμε 4, αά αυτή τη φορά κάθε άτομο μπορεί να ξαναεπιεγεί. Τα ονόματα τους θα τα γράψω σε μια σειρά Για την η θέση έχουμε επιογές (ένα από τα άτομα) Για την η θέση έχουμε επιογές (αφού έχουμε ξανά και τα δέκα άτομα) Για την η θέση έχουμε επιογές Για την 4η θέση έχουμε επιογές 4 Συνοικά έχουμε οιπόν επιογές, ή με άα όγια όπως έει και ο παραπάνω τύπος. Δ. ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ r αντικειμένων από ΜΕ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Δίνουμε απευθείας την απάντηση. Είναι + r r ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Ρίχνουμε δύο ζάρια. Πόσες ζαριές υπάρχουν; Σκεφτόμαστε ότι έχουμε 6 αριθμούς, τους,,,4,5,6, και ρωτάμε πόσοι τρόποι υπάρχουν να επιέξουμε r. Έχουμε ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΥΣ, διότι δεν μας ενδιαφέρει η σειρά. Π.χ η ζαριά -4 δεν είναι διαφορετική από την 4-. Έχουμε ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ, διότι π,χ η ζαριά - επιτρέπεται. Υπάρχουν οιπόν ζαριές Συνοψίζοντας έχουμε,

18 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΧΩΡΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΕ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ! ( ) L ( r + ) ( r)! r ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ r + r r Παρουσιάζουμε δύο ακόμη ειδικές υποπεριπτώσεις του σκιασμένου κειού: των διατάξεων χωρίς επανάηψη. Α. Διατάξεις (ή μεταθέσεις) αντικειμένων Με πόσους τρόπους μπορούμε να διατάξουμε στη σειρά διαφορετικά αντικείμενα; (ουσιαστικά διατάσσουμε αντικείμενα από ) Για την πρώτη θέση έχουμε επιογές. Αφού διαέξουμε το πρώτο αντικείμενο, για τη δεύτερη θέση έχουμε - επιογές κ.ο.κ. Συνοικά έχουμε οιπόν ( ) ( ) L! Επιογές ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 Ο Αέξης, ο Βασίης και ο Γιώργος μπορούν να μπουν σε μια διάταξη με!6 τρόπους. Πράγματι, οι διατάξεις αυτές είναι ΑΒΓ ΑΓΒ ΒΑΓ ΒΓΑ ΓΑΒ ΓΒΑ Α. Διατάξεις αντικειμένων όταν υπάρχουν ίδια αντικείμενα. Έστω ότι έχουμε αντικείμενα: - από τα οποία είναι ίδια, του ου είδους - από τα οποία είναι ίδια, του ου είδους... - k από τα οποία είναι ίδια, του κ -στού είδους (οπότε + + L+ k ).

19 Το πήθος των διατάξεων των αντικειμένων δίνεται από τον τύπο!!!! k L ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 α) Με πόσους τρόπους μπορούμε να διατάξουμε τα γράμματα Α,Β,Γ,Δ,Ε; β) Με πόσους τρόπους μπορούμε να διατάξουμε τα γράμματα Α,Α,Α,Β,Β; α) Έχουμε διάταξη 5 αντικειμένων, άρα υπάρχουν 5! τρόποι. β) Σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο, έχουμε 6,, και υπάρχουν!!! 5 τρόποι Πράγματι, πρόκειται για τις διατάξεις ΑΑΑΒΒ ΑΑΒΑΒ ΑΒΑΑΒ ΒΑΑΑΒ ΑΑΒΒΑ ΑΒΑΒΑ ΒΑΑΒΑ ΑΒΒΑΑ ΒΑΒΑΑ ΒΒΑΑΑ Σημείωση: Οι αριθμοί r εμφανίζονται και στην ανάπτυξη του διωνύμου b a ) ( + : r r b a b a r b a b a b a ) ( L L Π.χ. ) ( b ab a b a b a b a b a ) ( b ab b a a b a b a b a b a b a

20 . ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ Σε ένα πρόβημα συνδυαστικής, αρχικά προσπαθούμε να καταάβουμε σε ποια περίπτωση εμπίπτει το πρόβημά μας. Ποές φορές είναι απαραίτητο να χωρίσουμε το πρόβημά μας σε περιπτώσεις και να αθροίσουμε (με τον κανόνα του αθροίσματος) τα αποτεέσματα. Επίσης, ποές φορές υπάρχουν περιορισμοί που επιβάουν μικρές τροποποιήσεις στο σκεπτικό της ύσης μας. Ας δούμε ορισμένα προβήματα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8 Έχουμε τα 4 κεφααία γράμματα του εηνικού αφαβήτου. Πόσες έξεις τριών γραμμάτων μπορούμε να σχηματίσουμε; (όχι απαραίτητα με νόημα!) Έχουμε 4 γράμματα και επιέγουμε r. Έχουμε ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ διότι σε μια «έξη» παίζει ρόο η σειρά των γραμμάτων (άο ΣΟΙ και άο ΙΟΣ) ΜΕ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ διότι το ίδιο γράμμα μπορεί να επαναηφθεί σε μια έξη (πχ στη έξη ΑΡΑ) Άρα σύμφωνα με το τυποόγιο υπάρχουν 4 έξεις. Μπορούμε βέβαια να σκεφτούμε και με τον τρόπο που δουέψαμε στην σχετική παράγραφο. Δηαδή, για το πρώτο γράμμα έχουμε 4 επιογές, για το δεύτερο 4 επιογές, για το τρίτο 4 επιογές, άρα συνοικά 4 επιογές (συνδυασμούς). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9 Έχουμε τα ψηφία,,,,4,5,6,7,8,9. Πόσους τριψήφιους αριθμούς μπορούμε να δημιουργήσουμε; Δουεύοντας όπως πιο πάνω θα έγαμε αριθμοί. Εδώ όμως υπάρχει ένας περιορισμός. Το πρώτο ψηφίο δεν μπορεί να είναι εφόσον μιάμε για τριψήφιους αριθμούς. Άρα έχουμε 9 επιογές για τον πρώτο ψηφίο, για το δεύτερο, για το τρίτο, άρα συνοικά, 9xx9 επιογές. 4

21 Πού συχνά είναι πιο βοικό να υποογίζουμε όχι ακριβώς τις περιπτώσεις που ρωτάει η άσκηση αά τις υπόοιπες που εξαιρούνται. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Στο Παράδειγμα 8 προηγουμένως, σε πόσες έξεις (τριάδες) υπάρχουν επαναήψεις γραμμάτων; ος τρόπος. Θα τις μετρήσουμε ευθέως αν και είναι πιο περίποκο. Αν μπερδευτείτε προχωρήστε απευθείας στον ο τρόπο. Αν έχουμε επανάηψη στην η και η θέση, δηαδή έχουμε τη μορφή ΧΧΥ, υπάρχουν 4 κοινές επιογές για τις θέσεις αυτές και απομένουν επιογές για την τρίτη θέση. Άρα υπάρχουν 4x55 επιογές αυτής της μορφής. Όμοια, υπάρχουν 55 τριάδες της μορφής ΧΥΧ και 55 της μορφής ΥΧΧ. Επίσης υπάρχουν 4 τριάδες της μορφής ΧΧΧ Συνοικά οιπόν υπάρχουν τριάδες με επανάηψη. ος τρόπος. Σκεφτόμαστε πιο πονηρά. Συνοικά είδαμε ότι υπάρχουν 4 τριάδες. Πόσες τριάδες από αυτές δεν έχουν επαναήψεις; Δηαδή πόσες ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΧΩΡΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ, r γραμμάτων από 4 υπάρχουν; Ο συνοπτικός πίνακας έει 4xx 44 Άρα οι ζητούμενες περιπτώσεις είναι ΔΙΑΝΟΜΗ r ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ ΣΕ ΚΟΥΤΙΑ Εδώ θα εξετάσουμε ένα διαφορετικό πρόβημα συνδυαστικής. Δεν έχει να κάνει με επιογή από ένα σύνοο αντικειμένων όπως μέχρι τώρα, αά με τοποθέτηση διαφόρων αντικειμένων σε ένα ορισμένο σύνοο από κουτιά. Θέουμε να τοποθετήσουμε r αντικείμενα μέσα σε κουτιά 5

22 Υπάρχουν και εδώ περιπτώσεις. Μπορεί να αντικείμενα να είναι ΔΙΑΚΕΚΡΙΜΕΝΑ (πχ γράμματα, αριθμοί, φάκεοι που ξεχωρίζουν μεταξύ τους) ή ΜΗ ΔΙΑΚΕΚΡΙΜΕΝΑ (πχ κόκκινες μπάες οι οποίες είναι όες όμοιες). Επίσης μπορεί να ΠΑΙΖΕΙ ΡΟΛΟ Η ΣΕΙΡΑ των αντικειμένων όπως τοποθετούνται στα κουτιά είτε ΝΑ ΜΗΝ ΠΑΙΖΕΙ ΡΟΛΟ Η ΣΕΙΡΑ. Δίνουμε απευθείας το τυποόγιο Διακεκριμένα αντικείμενα όπου δεν παίζει ρόο η σειρά Διακεκριμένα αντικείμενα όπου ( + r )! παίζει ρόο η σειρά ( )! Μη διακεκριμένα αντικείμενα r + r r Ας δούμε την εφαρμογή τους σε απά παραδείγματα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έχουμε κουτιά και θέουμε να τοποθετήσουμε μέσα διαφορετικούς φακέους (δεν παίζει ρόο η σειρά με την οποία τοποθετούνται) Σύμφωνα με τον πρώτο τύπο υπάρχουν 9 τρόποι. Πράγματι, για να το δούμε στην πράξη, αν ονομάσουμε τους φακέους Α,Β,Γ οι 9 τρόποι είναι: Α και Β Α και Β Α και Β Α Β Α Β Β Α Β Α Α Β Β Β 6

23 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έχουμε κουτιά και θέουμε να τοποθετήσουμε τα γράμματα Α και Β ενώ παίζει ρόο η σειρά με την οποία τοποθετούνται σε ένα κουτί. Σύμφωνα με τον δεύτερο τύπο υπάρχουν ( + r )! 4! 4 τρόποι. ( )!! Προσέξτε ότι εδώ είναι διαφορετική η τοποθέτηση Α,Β από την τοποθέτηση Β,Α σε ένα κουτί εφόσον παίζει ρόο η σειρά. Πέρα οιπόν από τις 9 παραπάνω περιπτώσεις έχουμε και τις περιπτώσεις Β-Α Β-Α Β-Α ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έχουμε κουτιά και θέουμε να τοποθετήσουμε κόκκινες μπάες. Σύμφωνα με τον τρίτο τύπο υπάρχουν Πράγματι, οι περιπτώσεις είναι + r 4 r 4!!! 6 τρόποι. Κ-Κ Κ-Κ Κ-Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ 7

24 Εδώ βεβαία είχαμε μικρό αριθμό κουτιών και αντικειμένων και η καταγραφή των περιπτώσεων ήταν εύκοη. Ας δούμε τα ίδια παραδείγματα και με ίγο μεγαύτερα νούμερα όπου δεν είναι δυνατόν να περιγράψουμε ρητά τις περιπτώσεις και η συνδυαστική μας ύνει τα χέρια. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 α) Έχουμε κουτιά και θέουμε να τοποθετήσουμε μέσα 4 διαφορετικούς φακέους: υπάρχουν 4 τρόποι. β) Έχουμε κουτιά και θέουμε να τοποθετήσουμε τους αριθμούς,,,4. Παίζει ρόο η σειρά με την οποία τοποθετούνται: ( + r )! υπάρχουν! 76 τρόποι. ( )! 9! [Η διαφορά εδώ με το προηγούμενο παράδειγμα είναι ότι για να μπουν πχ οι πρώτοι φάκεοι στο πρώτο κουτί υπάρχει τρόπος, ενώ για να μπουν οι αριθμοί,, στο πρώτο κουτί υπάρχουν αρκετοί τρόποι: --, --, --, κπ. Γι αυτό έχουμε περισσότερους τρόπους στο δεύτερο παράδειγμα] γ) Έχουμε κουτιά και θέουμε να τοποθετήσουμε 4 κόκκινες μπάες: + r! υπάρχουν 75 τρόποι. r 4 4!9! 8

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Στο παιχνίδι του ΟΠΑΠ «Extra 5» ο παίκτης επιέγει 5 αριθμούς από έως 5. α) Πόσοι συνδυασμοί 5άδων μπορούν να σχηματιστούν; Άρα, αν παίξουμε μόνο μια στήη (δη. μια 5άδα), ποια είναι η πιθανότητα να πετύχουμε 5άρι; β) Εάν επιέξουμε 8 αριθμούς, πόσες στήες (δη. 5άδες) παίζουμε ουσιαστικά;. Μια πιτσαρία χρησιμοποιεί στην κατασκευή της πίτσας της μέχρι 9 διαφορετικά υικά (μπορεί να μην περιέχει κανένα, να περιέχει μερικά ή ακόμη και τα 9 υικά) α) Πόσες πίτσες έχουν ακριβώς τρία είδη; β) Πόσες πίτσες έχουν το πού τρία είδη; γ) Πόσα είδη πίτσας προσφέρει;. Θεωρήστε όες τις εηνικές έξεις των 5 γραμμάτων (με κεφααία και όχι απαραίτητα με νόημα) που μπορούν να σχηματιστούν. Απαντήστε στα παρακάτω ερωτήματα: α) Πόσες είναι οι έξεις αυτές; β) Πόσες από τις παραπάνω έξεις ξεκινούν από Α; γ) Πόσες από τις παραπάνω έξεις αρχίζουν και καταήγουν στο ίδιο γράμμα; δ) Πόσες από τις παραπάνω έξεις έχουν όα τα γράμματα διαφορετικά; ε) Πόσες από τις παραπάνω έξεις έχουν τουάχιστον δύο ίδια γράμματα;.4 Απαντήστε στα παρακάτω ερωτήματα: α) Με πόσους τρόπους μπορούμε να διατάξουμε τα γράμματα Α,Β,Γ,Δ,Ε,Ζ; β) Με πόσους τρόπους μπορούμε να διατάξουμε τα γράμματα Α,Α,Α,Β,Γ,Γ; γ) Με πόσους τρόπους μπορούμε να διατάξουμε τα γράμματα Α,Α,Α,Α,Α,Β και ποιοι είναι οι τρόποι αυτοί;.5 Έχουμε άτομα και θέουμε να τα χωρίσουμε σε δύο ομάδες των 5 και των 7 ατόμων αντίστοιχα. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό α) αν δεν υπάρχει κανένας άος περιορισμός; β) αν δύο συγκεκριμένα άτομα δεν πρέπει να βρίσκονται στην ίδια ομάδα;.6 Ο αριθμός μιας πινακίδας αυτοκινήτου σχηματίζεται από τρία γράμματα μεταξύ των 4 που εμφανίζονται τόσο στο εηνικό όσο και στο ατινικό αφάβητο καθώς επίσης και από έναν τετραψήφιο αριθμό. Να υποογίσετε 9

26 α) Πόσες πινακίδες αυτοκινήτων μπορούν να υπάρξουν; β) Πόσες πινακίδες έχουν τρία κοινά γράμματα γ) Πόσες πινακίδες έχουν τέσσερις ίδιους αριθμούς δ) Πόσες πινακίδες έχουν τρία κοινά γράμματα και τέσσερις ίδιους αριθμούς ε) Πόσες πινακίδες δεν περιέχουν το ψηφίο.7 Πόσες δυαδικές κωδικές έξεις των bits μπορούν να σχηματιστούν; Στα δίκτυα, μια διεύθυνση IP αποτεείται από δυαδικά bits. Διευθύνσεις που έχουν σαν πρώτο bit το χαρακτηρίζονται ως διευθύνσεις κάσης Α και αφιερώνουν τα 8 πρώτα bit για τη διεύθυνση του δικτύου και τα υπόοιπα 4 bit για τη διεύθυνση του υποογιστή. Έχουν δηαδή τη μορφή Έτσι για παράδειγμα η IP διεύθυνση --- (που με μορφή δεκαδικών ψηφίων γράφεται ) αναφέρεται στο δίκτυο 7 με διεύθυνση υποογιστή.8.4 Δεδομένου ότι τα 8 πρώτα ψηφία δε μπορεί να είναι ή (το πρώτο χρησιμοποιείται για εσωτερικές ειτουργίες του ίδιου του δικτύου ενώ το δεύτερο για broadcast σε όα τα δίκτυα) α) Πόσα δίκτυα μπορούν να εξυπηρετηθούν από διευθύνσεις κάσης Α; β) Πόσοι υποογιστές μπορούν να εξυπηρετηθούν σε κάθε δίκτυο κάσης Α; γ) Πόσες είναι συνοικά οι IP διευθύνσεις υποογιστών κάσης Α;.8 Έχω τρεις φίους, τον Αγησίαο, το Βασίη και το Γιάννη. α) Διαθέτω 8 διαφορετικά δώρα. Με πόσους τρόπους μπορώ να τους τα μοιράσω; (ένας φίος μπορεί να πάρει από κανένα μέχρι και τα 8 δώρα!) β) Διαθέτω 8 καρτέες με νούμερα:,,,4,5,6,7,8. Τα μοιράζω στους φίους μου ώστε να σχηματίσει ο καθένας έναν αριθμό (η να έχει κενό αριθμό) Πχ δύο από τις δυνατές μοιρασιές είναι οι εξής Α:5, Β:7, Γ: 648 Α:47 Β:- Γ:85 Πόσες τέτοιες μοιρασιές υπάρχουν; γ) Διαθέτω 8 ευρώ σε χαρτονομίσματα των ευρώ. Με πόσους τρόπους μπορώ να μοιράσω το ποσό αυτό στους φίους μου; δ) Ποια είναι η απάντηση σε καθεμιά από τις παραπάνω περιπτώσεις αν κάθε φίος μου πρέπει να πάρει υποχρεωτικά τουάχιστον ένα αντικείμενο;

27 ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. α) 46 β) 56. α) 84 β) γ) 5. α) β) γ) δ) P(4,5)548 ε) α) 7 β) 6 γ) 6.5 α) 79 β) 54.6 α) 4 x β) 6 γ) 4696 δ) 6 ε) 4 x α) β) 6 γ) 4 δ) 6 x 4.8 α) 656 β) 844 γ) 45 δ) 656 x , P(8,)x(7!/!)8467,

28

29 . ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. ΣΥΝΟΛΑ Δεχόμαστε σαν σύνοο μια συογή από αντικείμενα (δεν μπαίνουμε στη διαδικασία να το ορίσουμε αυστηρά γιατί δε χρειάζεται για το σκοπό μας). Συνήθως συμβοίζεται με ένα κεφααίο γράμμα, Α,Β κπ. Μπορούμε να το περιγράψουμε με διάφορους τρόπους: α) καταγράφοντας τα στοιχεία του: Α{,5,8,} β) με όγια: Το σύνοο Β αποτεείται από όες τις πόεις της Εάδας γ) με μια γενική περιγραφή: C{x <x<}, δηαδή το σύνοο όων των αριθμών x με την ιδιότητα το x να βρίσκεται ανάμεσα στο και το. Υπενθυμίζουμε κάποιους βασικούς συμβοισμούς: a A : το α ανήκει στο σύνοο Α A B : το Α είναι υποσύνοο του Β, δηαδή κάθε στοιχείο του Α ανήκει και στο Β A B : το Α και το Β περιέχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία A B : το Α είναι γνήσιο υποσύνοο του Β, δηαδή ισχύει A B αά όχι A B Σημειώστε ότι A B ισοδυναμεί με ( A B και B A ) Επίσης μια πάγια γραμμή πάνω στο σύμβοο της σχέσης ακυρώνει τη σχέση, π.χ. a A σημαίνει ότι το α δεν ανήκει στο σύνοο Α. Όμοια και για τα υπόοιπα σύμβοα. Ορίζουμε επίσης τα σύνοα Ø : το κενό σύνοο, το οποίο δεν περιέχει κανένα στοιχείο. Το θεωρούμε υποσύνοο κάθε συνόου

30 A B : Η ένωση των Α και Β που περιέχει τα στοιχεία που ανήκουν στο Α είτε στο Β (ή και στα δύο) A B : Η τομή των Α και Β που περιέχει τα στοιχεία που ανήκουν στο Α και στο Β ταυτόχρονα. A \ B : Η μερική διαφορά του Β από το Α που περιέχει τα στοιχεία που ανήκουν στο Α αά όχι στο Β Συνήθως, θεωρούμε ένα αρχικό σύνοο S που περιέχει όα τα στοιχεία που μας ενδιαφέρουν και κατόπιν χρησιμοποιούμε διάφορα υποσύνοά του. Έτσι αν το Α είναι υποσύνοο του S, ορίζουμε A : Το συμπήρωμα του Α που περιέχει τα στοιχεία του S που δεν ανήκουν στο Α. Δηαδή A S \ A Τα νέα σύνοα που ορίσαμε περιγράφονται πιο παραστατικά (ως σκιασμένες περιοχές) με διαγράμματα Ve: S A B S A B A B A B S A B S A A \ B A ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αν S {,,,4,5,6,7,8,9,} και A {,,,4 }, B {,4,5,6,7 }, τότε A B {,,,4,5,6,7 } A B {,4} 4

31 A \ B {, } και B \ A {5,6,7} A {5,6,7,8,9,} και B {,,8,9,} ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Χρησιμοποιώντας διαγράμματα Ve μπορείτε να δείξετε ότι i) ( A B) C A ( B C) ii) A ( B C) ( A B) ( A C) iii) A ( B C) ( A B) ( A C) iv) A B A B v) A B A B Π.χ. για το iii), αν παρατηρήσουμε και τα δύο μέη ξεχωριστά, μας δίνουν το ίδιο αποτέεσμα: S A B C. ΔΕΙΓΜΑΤΟΧΩΡΟΣ ΚΑΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Όα τα δυνατά αποτεέσματα ενός πειράματος τύχης θα αποτεούν το δειγματοχώρο μας, ενώ με τον όρο ενδεχόμενο (ή γεγονός) θα εννοούμε κάθε σύνοο που αποτεείται από ορισμένα δυνατά αποτεέσματα. Στη γώσσα των συνόων ο δειγματοχώρος θα είναι ένα αρχικό σύνοο S, και κάθε υποσύνοο του S θα ονομάζεται ενδεχόμενο. Αν το υποσύνοο περιέχει μόνο ένα στοιχείο του δειγματοχώρου θα ονομάζεται από ενδεχόμενο (ή από γεγονός). Σημειώνουμε ότι τόσο το κενό σύνοο Ø, όσο και το ίδιο το S αποτεούν ενδεχόμενα. 5

32 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ρίχνουμε ένα ζάρι (αυτό είναι το πείραμα τύχης!) και παρατηρούμε τον αριθμό που φέρνουμε. Ο δειγματοχώρος είναι S {,,,4,5,6} Δίνουμε ορισμένα ενδεχόμενα: - Να φέρουμε άρτιο αριθμό: A {,4,6 }. - Να φέρουμε αριθμό μικρότερο ή ίσο του : A {, } - A {,4,5,6 } - A { 4 } (πρόκειται για ένα από ενδεχόμενο) - Ø - S {,,,4,5,6 } ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Ρίχνουμε ένα νόμισμα 4 φορές και παρατηρούμε το συνοικό αριθμό ΚΕΦΑΛΩΝ που φέρνουμε. Εδώ, S {,,,,4} Δίνουμε και δύο ενδεχόμενα: - να μη φέρουμε καμία ΚΕΦΑΛΗ: A { }, - να φέρουμε δύο ή τρεις ΚΕΦΑΛΕΣ: A {, } ΠΡΟΣΟΧΗ: Το ενδεχόμενο Ø είναι διαφορετικό από το ενδεχόμενο { }. Το τεευταίο περιέχει ένα δυνατό αποτέεσμα, είναι δηαδή ένα από ενδεχόμενο. Το πρώτο δεν περιέχει κανένα δυνατό αποτέεσμα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 [Για να βρούμε το δειγματοχώρο πρέπει να έχουμε μια καθαρή εικόνα για το τι παρατηρούμε. Ας αάξουμε π.χ. εαφρώς το προηγούμενο παράδειγμα] 6

33 Ρίχνουμε ένα νόμισμα 4 φορές και παρατηρούμε την σειρά ΚΕΦΑΛΩΝ και ΓΡΑΜΜΑΤΩΝ που φέρνουμε. Τώρα ο δειγματοχώρος είναι S { ΚΚΚΚ, ΚΚΚΓ, ΚΚΓΚ, ΚΚΓΓ, ΚΓΚΚ, ΚΓΚΓ, ΚΓΓΚ, ΚΓΓΓ, ΓΚΚΚ, ΓΚΚΓ, ΓΚΓΚ, ΓΚΓΓ, ΓΓΚΚ, ΓΓΚΓ, ΓΓΓΚ, ΓΓΓΓ}. Μπορούμε οιπόν να εκφράσουμε το ενδεχόμενο να φέρουμε περισσότερες ΚΕΦΑΛΕΣ από ΓΡΑΜΜΑΤΑ με το υποσύνοο του δειγματοχώρου: A { ΚΚΚΚ, ΚΚΚΓ, ΚΚΓΚ, ΚΓΚΚ, ΓΚΚΚ} ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 [Ο δειγματοχώρος δεν είναι πάντοτε πεπερασμένος. Μπορεί κάιστα να είναι ένα άπειρο σύνοο] Μια μηχανή κατασκευάζει ένα συγκεκριμένο προϊόν. Κάποια προϊόντα βγαίνουν εαττωματικά. Η μηχανή συνεχίζει να κατασκευάζει ωσότου συγκεντρωθούν δέκα μη εαττωματικά προϊόντα. Πόσα προϊόντα είναι δυνατό να κατασκευαστούν συνοικά; Προφανώς πρέπει να κατασκευαστούν τουάχιστον δέκα προϊόντα. Ο δειγματοχώρος είναι S {,,,,4, K} Έστω S ο δειγματοχώρος μας και A, B δύο ενδεχόμενα, δηαδή A, B S. Μπορούμε με τις πράξεις των συνόων που αναφέραμε νωρίτερα να ορίσουμε τα εξής νέα ενδεχόμενα: - A B : να συμβεί το ενδεχόμενο A ή το ενδεχόμενο B - A B : να συμβούν τα ενδεχόμενα Α και Β ταυτόχρονα. - A \ B : να συμβεί το ενδεχόμενο Α αά όχι το ενδεχόμενο Β. - A : να μη συμβεί το ενδεχόμενο Α Δύο ενδεχόμενα Α και Β θα έγονται ξένα μεταξύ τους αν δεν μπορούν να συμβούν ταυτόχρονα, δηαδή αν A B / 7

34 . Η ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΟΥ Στην προσπάθειά μας να ορίσουμε την έννοια της πιθανότητας θα χρησιμοποιήσουμε σαν πείραμα το παράδειγμα του ζαριού. Έστω οιπόν ότι ρίχνουμε ένα ζάρι και με Α συμβοίζουμε το ενδεχόμενο να φέρουμε την ένδειξη, δηαδή S {,,,4,5,6} και A {} Διαισθητικά κατααβαίνουμε ότι υπάρχει μια πιθανότητα στις 6 να συμβεί το ενδεχόμενο Α. Αν επαναάβουμε το πείραμα αρκετές φορές αναμένουμε περίπου στο /6 των επαναήψεων να «πετύχουμε». Όσο αυξάνουμε τον αριθμό των επαναήψεων τόσο πιο κοντά στο /6 θα βρίσκεται η σχετική συχνότητα αριθμός επαναήψεων ενδεχομένου Α p A συνοικός αριθμός επαναήψεων Για σχετική συχνότητα παρατηρούμε γενικά ότι. p A. για το ενδεχόμενο S, το οποίο συμβαίνει πάντοτε, είναι p.. για το ενδεχόμενο /, το οποίο δεν συμβαίνει ποτέ, p. / 4. αν τα Α και Β είναι ξένα μεταξύ τους, τότε p A B pa + pb S Τέος, όταν ο αριθμός των επαναήψεων πησιάζει στο άπειρο, η σχετική συχνότητα p πησιάζει σε έναν συγκεκριμένο αριθμό P (A), ο οποίος θα A αποτεεί την πιθανότητα του Α. Ο εμπειρικός αυτός ορισμός της πιθανότητας οδηγεί στον παρακάτω αυστηρότερο ορισμό. ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω S ο δειγματοχώρος ενός πειράματος. Σε κάθε ενδεχόμενο Α αντιστοιχίζουμε έναν αριθμό P (A), που τον ονομάζουμε πιθανότητα του Α, με τις εξής ιδιότητες: 8

35 . P ( A). P ( S). P ( ) / 4. Αν A B /, τότε P ( A B) P( A) + P( B) [Κανονικά η ιδιότητα είναι περιττή καθώς προκύπτει από τις ιδιότητες και 4 για A S και B / ] Άες ιδιότητες που προκύπτουν από τον ορισμό είναι οι εξής: P( A) P( A) P( A B) P( A) + P( B) P( A B), για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α και Β P( A B C) P( A) + P( B) + P( C) P( A B) P( B C) P( C A) + P( A B C) Αν A B τότε P( A) P( B)..4 ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΙ ΔΕΙΓΜΑΤΟΧΩΡΟΙ Έστω S a, a. K, a } ένας πεπερασμένος δειγματοχώρος και ότι τα απά { ενδεχόμενα { a }, a },..., a } { { έχουν αντίστοιχες πιθανότητες p, p,..., Ισχύουν α) p για κάθε i,, K, i β) p p + L + p + p Επίσης, για ένα ενδεχόμενο Α, η αντίστοιχη πιθανότητα P (A) βρίσκεται εύκοα αθροίζοντας τις επιμέρους πιθανότητες, π.χ. αν A a, a, }, τότε { 4 a5 P ( A) p + p + p 4 5 9

36 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 Δίνεται ο δειγματοχώρος S a, a, } και οι εξής προϋποθέσεις: { a Το a έχει διπάσια πιθανότητα να συμβεί απ ότι το a Το a έχει διπάσια πιθανότητα να συμβεί απ ότι το a Να βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχομένου A a, a }. { Οι προϋποθέσεις μας δίνουν ότι p p και p p (Άρα, p 4 p ) Όμως, p + p + p οπότε 4 p + p + p 7 p p 7 Κατά συνέπεια, p 4, 7 p και τεικά 7 P ( A) Συνήθως όα τα δυνατά αποτεέσματα του δειγματοχώρου έχουν την ίδια πιθανότητα να συμβούν. Έτσι αν S { a, a. K, a } έχουμε p p L p Σε μια τέτοια περίπτωση, αν το ενδεχόμενο Α που μεετάμε περιέχει r δυνατά αποτεέσματα, ισχύει r P ( A) πήθος ζητούμενων αποτεεσμάτων πήθος δυνατών αποτεεσμάτων

, όπου x = 0,1,...,300000. Έτσι, για την πιθανότητα σε ένα έτος να μην υπάρξουν θάνατοι ζώων από τον εμβολιασμό έχουμε, 2! 299998!

, όπου x = 0,1,...,300000. Έτσι, για την πιθανότητα σε ένα έτος να μην υπάρξουν θάνατοι ζώων από τον εμβολιασμό έχουμε, 2! 299998! Η Κατανομή Poisso Ας δούμε ένα πρόβημα: Σε μια κτηνοτροφική περιοχή υπάρχουν 3 αιγοπρόβατα. Κάθε χρόνο όα τα αιγοπρόβατα εμβοιάζονται για προστασία από κάποια ασθένεια. Σύμφωνα με την άδεια χρήσης του

Διαβάστε περισσότερα

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών . Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών - Αναμενόμενη ή μέση τιμή μιας διακριτής τυχαίας μεταβητής. Θα ήταν αρκετά χρήσιμο να γνωρίζουμε γύρω από ποια τιμή «κυμαίνεται» η τ.μ. Χ. γύρω από την οποία «απώνεται»

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Προσομοίωση Βασικών Στοχαστικών Ανελίξεων : Ανέλιξη Poisson και Κίνηση Brown

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Προσομοίωση Βασικών Στοχαστικών Ανελίξεων : Ανέλιξη Poisson και Κίνηση Brown ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Προσομοίωση Βασικών Στοχαστικών Ανείξεων : Ανέιξη Pi και Κίνηση Bw Είναι γνωστό ότι, αν το αποτέεσμα ενός τυχαίου πειράματος είναι ένας αριθμός στο R, τότε αυτό να μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1 Συνδυαστική ανάλυση Η συνδυαστική ανάλυση είναι οι διάφοροι μέθοδοι και τύποι που χρησιμοποιούνται στη λύση προβλημάτων εκτίμησης του πλήθους των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Κύμα ονομάζουμε τη διάδοση μιας διαταραχής από σημείο σε σημείο του χώρου με ορισμένη ταχύτητα.

Κύμα ονομάζουμε τη διάδοση μιας διαταραχής από σημείο σε σημείο του χώρου με ορισμένη ταχύτητα. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ Τι ονομάζουμε κύμα; Κύμα ονομάζουμε τη διάδοση μιας διαταραχής από σημείο σε σημείο του χώρου με ορισμένη ταχύτητα. Η διαταραχή μπορεί να είναι α. Η ταάντωση των μορίων του

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων «πειράματος» ή «γεγονότος» (με συνδυαστικά επιχειρήματα). «Πείραμα» ή «γεγονός»: διαδικασία με συγκεκριμένο (πεπερασμένο) σύνολο παρατηρήσιμων

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ. ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΟΥ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ. ΤΟΜΟΣ 2 ΟΣ ΒΙΒΛΙΟ 1 ο

ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ. ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΟΥ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ. ΤΟΜΟΣ 2 ΟΣ ΒΙΒΛΙΟ 1 ο ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ. ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΟΥ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ ΤΟΜΟΣ ΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ο ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΑΜΥΝΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ www.rmscotrol.fo

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 4.1: Πιθανότητα Δεσμευμένη Πιθανότητα- Όρια (Ι). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α 1. (2.5 μονάδες) Ο κ. Ζούπας παρέλαβε μία μυστηριώδη τσάντα από το ταχυδρομείο. Όταν

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις:

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ Στέλιιος Μιιχαήλογλου-Δημήτρης Πατσιιμάς Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν

Διαβάστε περισσότερα

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4.. Η ομοιόμορφη διακριτή κατανομή. Εμφανίζεται τις περιπτώεις όπου η υπό εξέταη τ.μ. Χ παίρνει πεπεραμένο πήθος τιμών π.χ. Χ {,,...,} και όες οι πιθανότητες P

Διαβάστε περισσότερα

Εξαιτίας της συμβολής δύο κυμάτων του ίδιου πλάτους και της ίδιας συχνότητας. που διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσο

Εξαιτίας της συμβολής δύο κυμάτων του ίδιου πλάτους και της ίδιας συχνότητας. που διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσο ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ Τι ονομάζουμε στάσιμο κύμα f()=0.5sin() Εξαιτίας της συμβοής δύο κυμάτων του ίδιου πάτους και της ίδιας συχνότητας που διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο γραμμικό εαστικό μέσο με αντίθετη φορά,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

ˆ Αποτελείται από σωµατίδια, τα οποία πληρούν το µέσο χωρίς διάκενα. ˆ Τα σωµατίδια αυτά συνδέονται µεταξύ τους µε ελαστικές δυνάµεις.

ˆ Αποτελείται από σωµατίδια, τα οποία πληρούν το µέσο χωρίς διάκενα. ˆ Τα σωµατίδια αυτά συνδέονται µεταξύ τους µε ελαστικές δυνάµεις. 6 Κύµατα 6.1 Ορισµός του κύµατος Κύµα ονοµάζεται η διάδοση µιας διαταραχής που µεταφέρει ενέργεια και ορµή µε στα- ϑερή ταχύτητα. Εαστικό µέσο ονοµάζεται κάθε υικό µέσο που, για όγους απότητας, δεχόµαστε

Διαβάστε περισσότερα

εξυπηρετητής Σχήµα 1 - Γενικό σύστηµα αναµονής

εξυπηρετητής Σχήµα 1 - Γενικό σύστηµα αναµονής Κεφάαιο. Εισαγωγή στη Θεωρία Αναµονής Η θεωρία αναµονής (Quuig hory) εξετάζει τα φαινόµενα, τα οποία παρατηρούνται σε ουρές, που σχηµατίζονται οποτεδήποτε φθάνουν πεάτες σε ένα σταθµό εξυπηρέτησης. Στην

Διαβάστε περισσότερα

4. Όρια ανάλυσης οπτικών οργάνων

4. Όρια ανάλυσης οπτικών οργάνων 4. Όρια ανάυσης οπτικών οργάνων 29 Μαΐου 2013 1 Περίθαση Οι αρχές ειτουργίας των οπτικών οργάνων που περιγράψαμε μέχρι στιγμής βασίζονται στη γεωμετρική οπτική, δηαδή την περιγραφή του φωτός ως ακτίνες

Διαβάστε περισσότερα

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). 1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ ος ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 6o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Η καταληκτική ημερομηνία για την παραλαβή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ )

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια εταιρεία ταχυμεταφορών διατηρεί μια αποθήκη εισερχομένων. Τα δέματα φθάνουν με βάση τη διαδικασία Poion με μέσο ρυθμό 40 δέματα ανά ώρα. Ένας υπάλληλος

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Έστω η πραγµατική συνάρτηση f(t) της πραγµατικής µεταβλητής t (π.χ χρόνος). Ο µετασχηµατισµός Laplace της συνάρτησης f(t) δίνεται από τη σχέση:

Έστω η πραγµατική συνάρτηση f(t) της πραγµατικής µεταβλητής t (π.χ χρόνος). Ο µετασχηµατισµός Laplace της συνάρτησης f(t) δίνεται από τη σχέση: ΜΑΘΗΜΑ : Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE. Εισαγωγή Ο µετασχηµατισµός pl και ο µετασχηµατισµός Z είναι δύο πού χρήσιµα µαθηµατικά εργαεία για την ανάυση και σχεδίαση συστηµάτων αυτοµάτου και ιδιαίτερα ΓΧΑ Γραµµικών

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Κατανομές χρόνου αναμονής (... μέχρι να συμβεί ηπρώτη επιτυχία) 3 Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

γ. είναι η απόσταση που διανύει το κύμα σε χρόνο T, όπου Τ η περίοδος του κύματος.

γ. είναι η απόσταση που διανύει το κύμα σε χρόνο T, όπου Τ η περίοδος του κύματος. ΕΥΤΕΡΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΥΜΑΤΑ Ερωτήσεις ποαπής επιογής Οδηγία: Για να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις ποαπής επιογής αρκεί να γράψετε στο φύο απαντήσεων τον αριθμό της ερώτησης και δεξιά από αυτόν το γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ www.askisopolis.gr 3 4 .5381 Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 0, οι κόκκινες είναι 7, ενώ όλες οι μπάλες μαζί είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Διεύθυνση: Προξένου Κορομηλά 51 Τ.Κ. 54622, Θεσσαλονίκη Τηλέφωνο και Fax 2310 285377 e-mail: emethes@otenet.gr http://www.emethes.gr ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 12) 6Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ - ΕΝΗΜΕΡΩΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Ημερομηνία Αποστολής της εργασίας στον Φοιτητή 5 Μαϊου 2014

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Συνδυαστική

Διακριτά Μαθηματικά Συνδυαστική Διακριτά Μαθηματικά Γεώργιος Χρ. Μακρής http://users.sch.gr/gmakris 7 Αυγούστου 2012 Η είναι ένα κομμάτι των Μαθηματικών που επικεντρώνεται στη "μέτρηση" του πλήθους των αντικειμένων ενός συνόλου. Η ασχολείται

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ-ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Σηµειώσεις για το µάθηµα ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΙΙ Θεοδόσης ηµητράκος E-mal: dmtheo@aegeagr Σάµος 7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

6.8 Συµβολή Κυµάτων. y = y 1 + y 2 +... http : //perif ysikhs.wordpress.com 55 Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου

6.8 Συµβολή Κυµάτων. y = y 1 + y 2 +... http : //perif ysikhs.wordpress.com 55 Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου 6.8 Συµβοή Κυµάτων Οταν δύο ή περισσότερα κύµατα διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο εαστικό µέσο έµε ότι συµβάουν. Εχει διαπιστωθεί ότι για την κίνηση των σωµατιδίων του µέσου τα κύµατα ακοουθούν την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Συνδυαστική ανάλυση μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση:

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 3.2 : Απαρίθμηση Συνδυαστική (ΙΙ). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΕ ΧΟΡΔΗ ΣΤΕΡΕΩΜΕΝΗ ΣΤΑ ΑΚΡΑ ΤΗΣ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΕ ΧΟΡΔΗ ΣΤΕΡΕΩΜΕΝΗ ΣΤΑ ΑΚΡΑ ΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ &ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΕ ΧΟΡΔΗ ΣΤΕΡΕΩΜΕΝΗ ΣΤΑ ΑΚΡΑ ΤΗΣ ΒΑΡΗ 2010 Κωνσταντίνος Μπίιας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ. Τυχαίες µεταβητές Ποές φορές ε ένα πείραµα τύχης δεν µας ενδιαφέρει ο δειγµατοχώρος του ο οποίος όπως είδαµε µπορεί να είναι και µη-αριθµητικό ύνοο αά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1.ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Σε ένα σχολείο με 00 μαθητές, οι 90 έχουν ποδήλατο, 36 έχουν «παπί», ενώ 84 άτομα δεν έχουν ούτε ποδήλατο ούτε παπί. Διαλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΦΩΣ ΛΑΜΠΤΗΡΑ ΠΥΡΑΚΤΩΣΕΩΣ ΚΑΙ Η ΣΤΑΘΕΡΑ ΤΟΥ PLANK

ΤΟ ΦΩΣ ΛΑΜΠΤΗΡΑ ΠΥΡΑΚΤΩΣΕΩΣ ΚΑΙ Η ΣΤΑΘΕΡΑ ΤΟΥ PLANK ΤΟ ΦΩΣ ΛΑΜΠΤΗΡΑ ΠΥΡΑΚΤΩΣΕΩΣ ΚΑΙ Η ΣΤΑΘΕΡΑ ΤΟΥ PLANK To 1900 o Plank εισήγαγε την υπόθεση ότι το φως εκπέμπεται από την ύη με τη μορφή κβάντων ενέργειας hν. Το 190 ο Einstein επέκτεινε αυτή την ιδέα προτείνοντας

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ.Ένα κουτί περιέχει τέσσερις λαχνούς αριθμημένους από το εώς το 4. Εκλέγουμε έναν λαχνό στην τύχη,σημειώνουμε το αποτέλεσμα και δεν ξανατοποθετούμε τον λαχνό στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου

ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 4ο Λύκειο Περιστερίου Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν ααννάά εεννόόττηητταα ΑΛΓΕΒΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την πρώτη εργασία της ενότητας ΔΙΠ50

Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την πρώτη εργασία της ενότητας ΔΙΠ50 Άσκηση 1 η 1 η Εργασία ΔΙΠ50 Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την πρώτη εργασία της ενότητας ΔΙΠ50 Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ τράπεζαθεμάτων θέμαδεύτεροκαιτέταρτο Επιμέλεια: ΕμμανουήλΚ.Σκαλίδης ΑντώνηςΚ.Αποστόλου ΚόμβοςΑτσιποπούλου014-15 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Ένα κουτί περιέχει 5 άσπρες,

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 69 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα τύχης- Δειγματικός χώρος Ένα πείραμα το οποίο όσες φορές και αν το επαναλάβουμε, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3.

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3. ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω Χ = (Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ. Χ την: F(x) = P(X 1 x 1,, X x ), x = (x 1,,x ) T 1. 0 F(x) 1, x.. Η F είναι μη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις και ενδεχόμενα. Πληθυσμοί και δείγματα

Παρατηρήσεις και ενδεχόμενα. Πληθυσμοί και δείγματα Ενότητα 0 Εισαγωγή Βασικές Έννοιες. Παρατηρήσεις και ενδεχόμενα. Πληθυσμοί και δείγματα Τα δεδομένα με τα οποία ασχολείται η Στατιστική προέρχονται από παρατηρήσεις και πειράματα που εμπίπτουν σε οποιονδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ΧΗΜΕΙΑ Ι ΘΕΜΑΤΑ B Σεπτέμβριος 2008

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ΧΗΜΕΙΑ Ι ΘΕΜΑΤΑ B Σεπτέμβριος 2008 ΘΕΜΑΤΑ B Σεπτέμβριος 8. Να προσδιοριστούν με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων οι συντελεστές a και b της εξίσωσης y = be a, ώστε να περιγράφει τα πειραματικά σημεία ( i, y i ), i =,,, N.. Να υπολογιστούν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () είναι παραγωγίσιμη στο R με f () Α Αν είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος παρατηρήσεων μεγέθους ν ( ) να ορίσετε την

Διαβάστε περισσότερα

Συμπληρωματικές Ασκήσεις

Συμπληρωματικές Ασκήσεις Συμπληρωματικές Ασκήσεις Ασκήσεις Στατιστικής ΙΙ Αν για ένα ενδεχόμενο ισχύει Α, να ρείτε την πιθανότητα εμφάνισης του Έστω, τα ενδεχόμενα ότι ένας συγκεκριμένος γιατρός ρίσκεται στις πμ στο ιατρείο του

Διαβάστε περισσότερα

και η εκλογή του ενός αποκλείει την ταυτόχρονη εκλογή του άλλου, ΤΟΤΕ

και η εκλογή του ενός αποκλείει την ταυτόχρονη εκλογή του άλλου, ΤΟΤΕ 7/10/010 ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΑΝ ένα αντιείμενο A1 μπορεί να επιλεγεί με k1 αι ένα αντιείμενο A μπορεί να επιλεγεί με k αι η ελογή του ενός απολείει την ταυτόχρονη ελογή του άλλου, ΤΟΤΕ ένα οποιοδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕΡΟΣ A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 1, Στρόβολος 3, Λευκωσία Τηλ. 357-37811 Φαξ: 357-3791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Πέμτη, 3/5/13

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) o ΘΕΜΑ A. Aν n

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άσκηση 1 Από τους µαθητές ενός Λυκείου, το 25% συµµετέχει στη οµάδα, το 30% συµµετέχει στη θεατρική οµάδα ποδοσφαίρου και το 15% των µαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Στόχοι- Υποστόχοι- Δραστηριότητες Ασημίνα Ασβεστά, Κωνσταντίνα Ζαχαροπούλου, Σοφία Αιζενμπαχ Πείραμα Τύχης Πιθανότητα Ενδεχομένου ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΥΧΗΣ Α Β Γ Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα