Προβλέψεις. Γιώργος Λυμπερόπουλος. Γ. Λυμπερόπουλος - Διοίκηση Παραγωγής

Transcript

1 Προβλέψεις Γιώργος Λυμπερόπουλος 1

2 Προβλέψεις: Εισαγωγή Γιατί προβλέψεις; Έγκαιρος προγραμματισμός και λήψη αποφάσεων Προβλέψεις τίνος; Τμήμα πωλήσεων (μάρκετινγκ) Ζήτηση νέων και υφιστάμενων σειρών προϊόντων Τμήμα παραγωγής Ζήτηση ανταλλακτικών για αποκατάσταση βλαβών και προληπτική/προβλεπτική συντήρηση εξοπλισμού Ζήτηση προϊόντων σε επίπεδο κωδικών τελικών ειδών με βάση τη ζήτηση ομάδων ή οικογενειών προϊόντων Ποια χαρακτηριστικά; Ποσότητα, τιμή, ποιότητα, 2

3 Προβλέψεις: Εισαγωγή Ορίζοντας προβλέψεων Μακρύς (μήνες/έτη) Μακροχρόνιες απαιτήσεις σε παραγωγική δυναμικότητα (capacity) εξοπλισμό Μακροχρόνια μοτίβα πωλήσεων Τάσεις ανάπτυξης Ενδιάμεσος (εβδομάδες/μήνες) Μοτίβα πωλήσεων οικογενειών προϊόντων Ανάγκες σε εργατικό δυναμικό Απαιτήσεις πόρων Βραχύς (ημέρες/εβδομάδες) Βραχυπρόθεσμες πωλήσεις διαχείριση αποθεμάτων Χρονοπρογραμματισμός βαρδιών Απαιτήσεις πόρων 3

4 Προβλέψεις: Εισαγωγή Χαρακτηριστικά προβλέψεων Συνήθως είναι λάθος Μια καλή πρόβλεψη είναι περισσότερο από ένας αριθμός Οι συνολικές (συγκεντρωτικές) προβλέψεις είναι πιο ακριβείς Όσο μεγαλύτερος ο ορίζοντας, τόσο μικρότερη η ακρίβεια της πρόβλεψης Οι προβλέψεις δεν πρέπει να χρησιμοποιούνται ερήμην γνωστών πληροφοριών 4

5 Προβλέψεις: Μέθοδοι Υποκειμενικές (Ποιοτικές) Μέθοδοι Προβλέψεων Σύνθεση δυναμικού πωλήσεων Άμεση επικοινωνία πωλητών με πελάτες Οι πωλητές υποβάλουν προβλέψεις (πιθανότερο/χειρότερο/καλύτερο σενάριο) Ο διευθυντής πωλήσεων συνθέτει τις προβλέψεις Έρευνα Αγοράς Υποβολή ερωτηματολογίων σε υφιστάμενους/ υποψήφιους πελάτες Επιτροπή Ειδικών (ειδικά για νέα προϊόντα ή όταν δεν υπάρχουν ιστορικά δεδομένα) Συνέντευξη με κάθε ειδικό ξεχωριστά Ομαδική συζήτηση όλων των ειδικών ταυτόχρονα Μέθοδος Δελφών Διατύπωση άποψης κάθε ειδικού ξεχωριστά Επιστροφή της σύνοψης όλων των απόψεων σε όλους τους ειδικούς με επισήμανση των σημαντικά διαφορετικών απόψεων Δικαίωμα αναθεώρησης των ατομικών απόψεων ενόψει της ομαδικής απόκρισης 5

6 Προβλέψεις: Μέθοδοι Αντικειμενικές (Ποσοτικές) Μέθοδοι Προβλέψεων Αιτιακές Μέθοδοι YY: Φαινόμενο προς πρόβλεψη και XX 1, XX 2,, XX nn : Μεταβλητές που πιστεύεται ότι επηρεάζουν το YY Η πρόβλεψη του YY είναι κάποια συνάρτηση YY = ff XX 1, XX 2,, XX nn Οικονομετρικά μοντέλα: Οι συνάρτηση είναι γραμμική YY = αα 0 + αα 1 XX 1 + αα 2 XX 2,, αα nn XX nn Χρησιμοποιούνται συνήθως για την πρόβλεψη μακροοικονομικών μεγεθών (ΑΕΠ, πληθωρισμός, κτλ) 6

7 Προβλέψεις: Μέθοδοι Μέθοδοι Χρονοσειρών (Προεκβολής) DD 1, DD 2,, DD tt 2, DD tt 1, DD tt : Γνωστές ζητήσεις προηγούμενων περιόδων 1,2, tt 2, tt 1, tt FF tt,tt+ττ : Πρόβλεψη ττ περιόδων μπροστά: Πρόβλεψη που γίνεται στην περίοδο tt για την ζήτηση της περιόδου tt + ττ FF tt,tt+ττ = ff DD tt, DD tt 1, DD tt 2, FF tt+1 FF tt,tt+1 : Πρόβλεψη μίας περιόδου μπροστά Γίνεται προσπάθεια εντοπισμού ντετερμινιστικών μοτίβων/στοιχείων της ζήτησης: Τάση Εποχικότητα Κύκλοι Τυχαιότητα 7

8 Προβλέψεις: Αποτίμηση ee tt ττ,tt : Σφάλμα πρόβλεψης ττ περιόδων ee tt ττ,tt = FF tt ττ,tt DD tt ee tt ee tt 1,tt : Σφάλμα πρόβλεψης μιας περιόδου ee tt = FF tt DD tt ee 1, ee 2,, ee nn : Σφάλματα nn περιόδων 8

9 Προβλέψεις: Αποτίμηση Μέτρα αποτίμησης προβλέψεων Μέση απόλυτη απόκλιση (ΜΑΑ) nn ΜΑΑ = 1 nn ii=1 ee ii Μέσο τετραγωνικό σφάλμα (ΜΤΣ) ΜΤΣ = 1 nn ii=1 Μέσο απόλυτο ποσοστιαίο σφάλμα (ΜΑΠΣ) ΜΑΠΣ = nn 1 nn ii=1 nn ee ii 2 ee ii D ii 100 9

10 Προβλέψεις: Αποτίμηση F(1) F(2) D e1=d-f1 e2=d-f2 2 e 1 e1 e2 ( e1 /D)*100 ( e2 /D)* ,89 17, ,92 7, ,48 5, ,38 0, ,67 29, ,77 13, , ,17 37,17 32,17 14,52 12,57 (ΜΤΣ) (ΜΤΣ) (ΜΑΑ) (ΜΑΑ) (ΜΑΠΣ) (ΜΑΠΣ) e F1 F2 D

11 Προβλέψεις: Στάσιμες χρονοσειρές Υπόθεση DD tt = μμ + εε tt μμ: άγνωστη σταθερά που αντιστοιχεί στο οριζόντιο στοιχείο (μέσος όρος) εε tt : τυχαίο σφάλμα με μέσο μηδέν και διασπορά σσ 2 Μέθοδος Κινούμενου Μέσου (ΚΜ) όρου των τελευταίων NN παρατηρήσεων tt 1 FF tt = 1 NN ii=tt NN DD ii = DD tt 1 + DD tt DD tt NN+1 + DD tt NN NN 11

12 Προβλέψεις: Στάσιμες χρονοσειρές Σημείωση FF tt+1 = 1 NN tt 1+1 ii=tt NN+1 DD ii = DD tt + DD tt 1 + DD tt DD tt NN+1 + DD tt NN NN = FF tt + DD tt DD tt NN NN Συνεπώς για το FF tt+1 πρέπει να θυμόμαστε το DD tt NN. Αν αντικαθιστούσαμε το DD tt NN με FF tt, τότε FF tt+1 = 1 NN DD tt + NN 1 NN FF tt 12

13 Προβλέψεις: Στάσιμες χρονοσειρές Παράδειγμα t D t ΚΜ(3) ε t ε t 2 ε t 100 ε t /D t ΚΜ(3) ε t ε t 2 ε t 100 ε t /D t ,67-27,33 27,33 747,11 11, ,00-125,00 125, ,00 36, ,67-118,33 118, ,78 31, ,33 53,33 53, ,44 19,75 270,50 0,50 0,50 0,25 0, ,67 111,67 111, ,44 50,76 275,83 55,83 55, ,36 25, ,00 10,00 10,00 100,00 3,57 275,83-4,17 4,17 17,36 1, ,67 136,67 136, ,78 113,89 290,00 170,00 170, ,00 141, ,67 96,67 96, ,44 87,88 269,17 159,17 159, ,03 144, ,00 85,00 85, ,00 100,00 230,00 145,00 145, ,00 170, ,00-30,00 30,00 900,00 22,22 180,83 45,83 45, ,69 33, ,00-35,00 35, ,00 24,14 158,33 13,33 13,33 177,78 9, ,67-63,33 63, ,11 34,23 145,83-39,17 39, ,03 21, ,00-64,00 64, ,00 29,22 130,00-89,00 89, ,00 40, ,00-57,00 57, ,00 23,75 146,50-93,50 93, ,25 38, ,67-205,33 205, ,78 48,89 168,17-251,83 251, ,03 59, ,00-227,00 227, ,00 43,65 224,00-296,00 296, ,00 56, ,33-16,67 16,67 277,78 4,07 288,17-121,83 121, ,36 29, ,00 70,00 70, ,00 18,42 332,33-47,67 47, ,11 12, ,67 116,67 116, ,11 36,46 364,83 44,83 44, ,03 14, ,00 80,00 80, ,00 27,59 381,67 91,67 91, ,78 31, ,00 90,00 90, ,00 37,50 390,00 150,00 150, ,00 62,50 86, ,47 38,31 101, ,00 49,73 MAD MSE MAPE MAD MSE MAPE Sales Forecast MA(3) Forecast MA(6) 13

14 Προβλέψεις: Στάσιμες χρονοσειρές Μέθοδος Εκθετικής Εξομάλυνσης (ΕΕ) FF tt+1 = ααdd tt + 1 αα FF tt, 0 αα 1 αα: Σταθερά εκθετικής εξομάλυνσης, π.χ. αα = 0,15 Εναλλακτικά: FF tt+1 = FF tt αα FF tt DD tt = FF tt ααee tt 14

15 Προβλέψεις: Στάσιμες χρονοσειρές FF tt+1 = ααdd tt + 1 αα FF tt, 0 αα 1 DD tt FF tt+1 = ααdd tt + 1 αα FF tt FF tt tt tt+1 15

16 Προβλέψεις: Στάσιμες χρονοσειρές Σημείωση: FF tt+1 = ααdd tt + 1 αα FF tt = ααdd tt + 1 αα ααdd tt αα FF tt 1 = ααdd tt + 1 αα ααdd tt αα ααdd tt αα FF tt 2 = ααdd tt + αα 1 αα DD tt 1 + αα 1 αα 2 DD tt 2 + αα 1 αα 3 FF tt 2 = αα 1 αα ii DD tt ii 1 = aa ii DD tt ii 1 ii=0 ii=0 aa ii = αα 1 αα ii : συντελεστές βαρύτητας, όπου ii=0 aa ii = ii=0 αα 1 αα ii = αα ii=0 1 αα ii = αα 1 1 αα = 1 16

17 Προβλέψεις: Στάσιμες χρονοσειρές α = 0,3 i a i 0 0,3 1 0,21 2 0, , , ,05 6 0, , , , , , , , ,002 a i 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 Συντελεστές βαρύτητας i 17

18 Προβλέψεις: Στάσιμες χρονοσειρές Σύγκριση ΚΜ NN και ΕΕ αα Ε: Ποια τιμή του αα είναι συνεπής (συγκρίσιμη) με την τιμή του NN; Α(1): Τα αα και NN είναι συνεπή όταν οδηγούν στην ίδια μέση ηλικία δεδομένων (ΜΗΔ) που χρησιμοποιούνται για να γίνει η πρόβλεψη. ΜΗ ΚΜ = NN = NN NN NN + 1 2NN ΜΗ ΕΕ = iiαα 1 αα ii 1 = 1 αα ii=1 = NN ΜΗ ΚΜ = ΜΗ ΚΜ NN + 1 = 1 2 αα αα = 2 NN + 1 NN = 2 αα αα Α(2): Τα αα και NN είναι συνεπή όταν οδηγούν στην ίδια μέση τιμή και διασπορά του σφάλματος πρόβλεψης. Και με αυτόν τον ορισμό τα αα και NN είναι συνεπή όταν NN+1 2 = 1 αα 18

19 Προβλέψεις: Στάσιμες χρονοσειρές Ομοιότητες ΚΜ NN και ΕΕ αα Υποθέτουν στάσιμη χρονοσειρά Προσαρμόζοντας τα NN και αα μπορούμε να κάνουμε τις δύο μεθόδους να αποκρίνονται καλύτερα σε αλλαγές στο μοτίβο της ζήτησης Εξαρτώνται από μία παράμετρο Μικρές τιμές του NN και μεγάλες τιμές του αα δίνουν μεγαλύτερη έμφαση στα πιο πρόσφατα δεδομένα Οδηγούν σε υποεκτίμηση αν υπάρχει θετική τάση στα δεδομένα Όταν αα = 2, οι δύο μέθοδοι έχουν παρόμοια κατανομή NN+1 του σφάλματος πρόβλεψης Αυτό δεν σημαίνει ότι δίνουν την ίδια πρόβλεψη. 19

20 Προβλέψεις: Στάσιμες χρονοσειρές Διαφορές ΚΜ NN και ΕΕ αα Η πρόβλεψη με ΕΕ είναι ένας σταθμισμένος μέσος όρος όλων των προηγούμενων δεδομένων (εφόσον αα < 1). Η πρόβλεψη με ΚΜ είναι ένας σταθμισμένος μέσος όρος των NN πρόσφατων δεδομένων. Η επίδραση μιας ακραίας τιμή εξαλείφεται μετά από κάποιο διάστημα. Στην ΕΕ, η στάθμιση των πιο πρόσφατων δεδομένων είναι μεγαλύτερη. Στον ΚΜ, η στάθμιση όλων των δεδομένων είναι ίδια. Στην ΕΕ πρέπει να αποθηκεύεται μόνο η τελευταία πρόβλεψη. Στον ΚΜ πρέπει να αποθηκεύονται όλες οι τελευταίες NN τιμές των δεδομένων. 20

21 Προβλέψεις: Στάσιμες χρονοσειρές μ = 10 απόκλ 4 τάση 0 F t (α) e t (α)/d t x100 t D t 0,2 0,5 0,8 0,2 0,5 0, ,7 16,7 16, , ,3 83,3 93, ,52 8,5 7, ,4 1, ,02 7, ,6 44,6 49, , ,9 81, ,21 8,44 7,3 16,3 23,3 33, ,57 9, , , ,1 10, ,2 9,51 2, ,4 11,4 12 5,06 3,91 8, ,6 11,2 11 5,55 12,1 11, ,4 10,6 10 5,06 3,57 6, ,6 10,8 11 4,04 1,78 1, ,6 10,9 11 3,24 0,89 0, , ,59 0,45 0, , ,1 15,6 15, , ,6 33, ,8 10,5 9,7 10,2 12, , ,2 12,5 15, ,8 10, ,3 77,1 71, ,85 8,31 6,9 17,9 30,7 42,8 23,4 25,2 27, Εκθετική Εξομάλυνση Dt α=0,2 α=0,5 α=0,8 21

22 Προβλέψεις: Στάσιμες χρονοσειρές μ = 10 απόκλ 4 τάση 0 F t (Ν) e t (N)/D t x100 t D t , ,5 9, , , , , ,22 33,3 33, ,5 10, ,23 20,5 13, , , ,5 10, , , , ,5 10, , ,5 10, ,33 2, , ,67 13,9 14, , ,22 18,5 19, ,5 10, ,25 29,2 28, ,5 9,67 9,8 15 3,33 2, ,8 18,18 18,2 11, ,5 9,67 9, , ,5 11, ,71 16,7 23, ,27 18,2 11,4 17,9 15, Κινούμενος μέσος Dt Ν=2 Ν=3 Ν=4 22

23 Προβλέψεις: Στάσιμες χρονοσειρές μ = 10 απόκλ 2 τάση 0 F t (α) Ft(Ν) e t /D t x100 t D t 0,5 3 0, , , ,5 10,3 31, ,5 9,67 22, ,5 9,33 13, , ,5 11,3 43, ,3 0 3, ,2 9, ,5 9,67 12, ,5 11 4, ,5 11,3 4,17 5, ,5 11,7 4,17 2, ,7 9,09 6, ,5 11,7 4,55 6, ,3 37, , , , ,33 11,1 3,7 15, ΚM - EE Dt EE(α=0,5) ΚΜ(Ν=3) 23

24 Προβλέψεις: Χρονοσειρές με τάση Υπόθεση DD tt = μμ + GG tt + εε tt μμ: άγνωστη σταθερά που αντιστοιχεί στο οριζόντιο στοιχείο (τέμνουσα) την περίοδο 0 GG: στοιχείο τάσης (κλίση) εε tt : τυχαίο σφάλμα με μέσο μηδέν και διασπορά σσ 2 24

25 Προβλέψεις: Χρονοσειρές με τάση Μέθοδος (γραμμικής) παλινδρόμισης xx 1, yy 1, xx 2, yy 2,, xx nn, yy nn : Ζεύγη δεδομένων των τυχαίων μεταβλητών XX, YY XX: ανεξάρτητη μεταβλητή (π.χ. έξοδα διαφήμισης) YY: εξαρτημένη μεταβλητή (π.χ. πωλήσεις) Υπόθεση: YY = aa + bbbb YY: προβλεπόμενη τιμή του YY aa: τέμνουσα bb: κλίση Σημείωση: Μια σχέση που δεν είναι γραμμική μπορεί να γραμμικοποιηθεί YY = aa + bb YY = aa + bbbb, ZZ = 1 XX XX YY = aa + bbxx cc log( YY aa) = log(bb) + cclog(xx) 25

26 Προβλέψεις: Χρονοσειρές με τάση Ε: Ποιες οι βέλτιστες τιμές των aa και bb; Α: Ελαχιστοποίηση αθροίσματος των τετραγώνων των αποστάσεων των σημείων yy 1, yy 2,, yy nn από τα προβλεπόμενα από την ευθεία σημεία aa + bbxx 1, aa + bbxx 2,, aa + bbxx nn Y gg aa, bb nn = ii=1 yy ii aa + bbxx ii 2 YY = aa + bbbb xx 1, yy 1 bb aa xx 1, aa + bbxx 1 X 26

27 Προβλέψεις: Χρονοσειρές με τάση Οι βέλτιστες τιμές aa και bb προκύπτουν από την επίλυση των συνθηκών βελτιστότητας πρώτης τάξης: gg = aa ii=1 nn 2 yy ii aa + bbxx ii = 0 = bb ii=1 nn 2xx ii yy ii aa + bbxx ii = 0 Λύση: bb = SS xxxx και aa = yy bb xx, όπου SS xxxx SS xxxx = nn xx ii yy ii xx ii yy ii SS xxxx = nn xx 2 ii 2 xx ii yy = 1 yy nn ii, xx = 1 xx nn ii RR 2 : Συντελεστής προσδιορισμού: Ποσοστό της διακύμανσης του YY που είναι προβλέψιμο από την τάση της γραμμικής σχέση ως προς το XX RR 2 = 1 yy 2 ii yy ii yy ii yy 2 ΤΣΣ: Τυπικό σφάλμα συσχέτισης: Μέτρο μεγέθους διασποράς σημείων γύρω από την ευθεία, κατά συνέπεια και της αξιοπιστίας της πρόβλεψης ΤΣΣ = yy ii yy ii 2 nn 2 27

28 Προβλέψεις: Χρονοσειρές με τάση Ειδική περίπτωση δεδομένων χρονοσειράς: 1, DD 1, 2, DD 2,, nn, DD nn : xx ii = ii, yy ii = DD ii xx ii = nn = nn(nn+1) 2 xx ii 2 = nn 2 = nn(nn+1)(2nn+1) 6 SS xxxx = nn iidd ii nn nn+1 SS xxxx = nn2 (nn+1)(2nn+1) 6 bb = SS xxxx SS xxxx 2 DD ii nn2 (nn+1) 2 4 και aa = DD bb (nn+1) 2 28

29 Προβλέψεις: Χρονοσειρές με τάση μ = 100 αποκλ 40 G = 2 p = 1 i Di Σχέση DD tt = μμ + GGtt p + εε tt y = 3,2887x + 93,668 R² = 0,

30 Προβλέψεις: Χρονοσειρές με τάση Διπλή Εκθετική Εξομάλυνση (Μέθοδος Holt) (Υπόθεση: DD tt = μμ + GG tt + εε tt ) SS tt : Οριζόντιο στοιχείο στο χρόνο tt. Τρέχουσα εκτιμήτρια του μμ + GG tt GG tt : Στοιχείο τάσης στο χρόνο tt. Νέα εκτιμήτρια του GG SS tt = ααdd tt + 1 αα SS tt 1 + GG tt 1 GG tt = ββ SS tt SS tt ββ GG tt 1 FF tt+1 = SS tt + GG tt FF tt,tt+ττ = SS tt + GG tt ττ αα: Σταθερά εξομάλυνσης οριζοντίου στοιχείου ββ: Σταθερά εξομάλυνσης στοιχείου τάσης FF tt 30

31 Προβλέψεις: Χρονοσειρές με τάση DD tt FF tt,tt+2 = SS tt +2GG tt GG tt FF tt+1 = SS tt +GG tt SS tt SS tt 1 SS tt = ααdd tt + 1 αα FF tt GG tt = ββ SS tt SS tt ββ GG tt 1 SS tt 1 GG tt 1 FF tt = SS tt 1 +GG tt 1 tt 1 tt tt+1 tt+2 31

32 Προβλέψεις: Χρονοσειρές με τάση μ = 10 απόκλ 3 G = 1 α = 0,3 β = 0,3 Διπλή ΕκθετικήΕξομάλυνση t D t S t (α) G t (β) F t (α) e t (α)/d t x , ,1 0, , ,9 0, , ,3 0, , ,2 0, , ,5 0, , ,9 0, , ,3 0, , ,9 0, , ,7 1, , ,9 1, , ,7 1, , ,2 1, , ,9 1, , ,7 0, , ,7 1, , ,6 1, , ,1 1, , ,5 1, , ,2 1, , ,1 1, ,33 Dt St Gt Ft 32

33 Προβλέψεις: Χρονοσειρές με εποχικότητα Χρονοσειρά με μοτίβο που επαναλαβάνεται κάθε NN περιόδους NN: μήκος εποχής (π.χ. έτος, τρίμηνο, μήνας, εβδομάδα) cc tt : πολλαπλασιαστής (συντελεστής) εποχικότητας της περιόδου tt, 1 tt NN NN cc tt = NN tt=1 Π.χ. cc 3 = 1,25: DD 3 είναι 25% μεγαλύτερη από την μέση ζήτηση μιας εποχής cc 6 = 0,6: DD 6 είναι 40% μικρότερη από την μέση ζήτηση μιας εποχής 33

34 Προβλέψεις: Χρονοσειρές με εποχικότητα Υπολογισμός συντελεστών εποχικότητας για στάσιμες χρονοσειρές με βάση δεδομένα 2 τουλάχιστον εποχών (π.χ. ετών) 1. Υπολογίστε τον δειγματικό μέσο όρο όλων των δεδομένων. 2. Διαιρέστε κάθε δεδομένο με τον δειγματικό μέσο. Αυτό δίνει συντελεστές εποχικότητας για κάθε περίοδο (π.χ. τρίμηνο). 3. Υπολογίστε το μέσο όρο των ομοειδών περιόδων όλων των εποχών (π.χ. το 1 ο τρίμηνο όλων των ετών, το 2 ο τρίμηνο όλων των ετών, ). Οι μέσοι όροι είναι οι NN συντελεστές εποχικότητας. 34

35 Μήνας t Προβλέψεις: Χρονοσειρές με εποχικότητα Πωλήσεις 1ου έτους D t Πωλήσεις 2ου έτους D t+12 Συντ. Εποχ. c t (1) Συντ. Εποχ. c t (2) Μέσοι συντ. Εποχ. c t ,20 0,27 0, ,31 0,24 0, ,61 0,78 0, ,90 0,81 0, ,34 1,49 1, ,27 2,71 2, ,90 2,20 2, ,53 1,41 1, ,12 0,88 1, ,76 0,83 0, ,39 0,24 0, ,36 0,44 0,40 ΣΥΝ ,69 12,31 12 Μέσες μηνιάιες πωλήσεις = 58, ,5 2 1,5 1 0, Πωήσεις 1 Πωλήσεις 1 ct(1) ct(2) μέσο ct 35

36 Προβλέψεις: Χρονοσειρές με τάση και εποχικότητα Τριπλή Εκθετική Εξομάλυνση (Μέθοδος Winters) Υπόθεση: DD tt = μμ + GG tt cc tt + εε tt SS tt : «Αποεποχικοποιημένο» οριζόντιο στοιχείο στο χρόνο tt. Τρέχουσα εκτιμήτρια του μμ + GG tt. GG tt : Στοιχείο τάσης στο χρόνο tt. Νέα εκτιμήτρια του GG. cc tt : Συντελεστής εποχικότητας περιόδου tt. SS tt = αα DD tt + 1 αα SS cc tt 1 + GG tt 1 tt NN GG tt = ββ SS tt SS tt ββ GG tt 1 cc tt = γγ DD tt S tt + 1 γγ cc tt NN FF tt+1 = SS tt + GG tt cc tt+1 NN FF tt,tt+ττ = SS tt + GG tt ττ cc tt+ττ NN αα: Σταθερά εξομάλυνσης οριζοντίου στοιχείου ββ: Σταθερά εξομάλυνσης στοιχείου τάσης γγ: Σταθερά εξομάλυνσης συντελεστή εποχικότητας *cc mmmmmm(tt+ττ NN,NN) : cc tt+ττ NN αν ττ NN, cc tt+ττ 2NN αν NN < ττ 2NN, cc tt+ττ 3NN αν 2NN < ττ 3NN, 36

37 Προβλέψεις: Χρονοσειρές με τάση και εποχικότητα Παράδειγμα Ένα χειμερινό τουριστικό κατάλυμα χρησιμοποιεί τη μέθοδο του Winters για να προβλέψει τις τριμηνιαίες κρατήσεις του Χρησιμοποιεί τις σταθερές εξομάλυνσης α = β = γ = Στο τέλος του 2 ου τριμήνου του 2016, έχει υπολογίσει τις κάτωθι τιμές για την τέμνουσα, κλίση και τους συντελεστές εποχικότητας: S 2 = 320, G 2 = 8, c 2 = 0.9, c 1 = 1.2, c 0 = 1.1, and c -1 = Υπολογίστε τις προβλέψεις για τις κρατήσεις του 3 ου τριμήνου 2016 και του 1 ου τριμήνου Έστω ότι οι πραγματικές κρατήσεις του 3 ου τριμήνου 2016 προκύπτει ότι είναι 265. Υπολογίστε το S 3 και G 3, και τις ενημερωμένες τιμές των συντελεστών εποχικότητας. Επίσης, υπολογίστε την πρόβλεψη που μπορεί να γίνει στο τέλος του 3 ου τριμήνου 2016 για τις κρατήσεις του 1 ου τριμήνου 2017 και του 1 ου τριμήνου

38 Προβλέψεις: Χρονοσειρές με τάση και εποχικότητα Λύση tt cc tt S 2 = 320, G 2 = 8, c 2 = 0.9, c 1 = 1.2, c 0 = 1.1, and c -1 = 0.8 FF 2,3 = SS 2 + GG 2 cc 3 4 = SS 2 + GG 2 cc 1 = (0.8) = FF 2,5 = SS 2 + 3GG 2 cc 5 4 = SS 2 + 3GG 2 cc 1 = (1.2) =

39 Προβλέψεις: Χρονοσειρές με τάση και εποχικότητα Λύση 2 D 3 = 265 SS 3 = αα DD 3 cc αα SS 2 + GG 2 = αα DD 3 cc αα SS 2 + GG 2 = (320 39

40 Προβλέψεις: Χρονοσειρές με τάση και εποχικότητα 3 tt=0 cc tt = Οι συντελεστές κανονικοποιούνται πολλαπλασιαζόμενοι με = cc 3 = = , cc 2 = = , cc 1 = = , cc 0 = = FF 3,5 = SS 3 + 2GG 3 cc 5 4 = SS 3 + 2GG 3 cc 1 = (

41 Προβλέψεις: Χρονοσειρές με τάση και εποχικότητα Διαδικασία Αρχικοποίησης για τον προσδιορισμό των αρχικών τιμών SS 00, GG 00, cc NN+11,, cc 00 Πρέπει να υπάρχουν δεδομένα 2 τουλάχιστον εποχών (2NN δεδομένα): DD 2NN+1,, DD NN, DD NN+1,, DD 0 Υπολογίστε του δειγματικούς όρους των 2 εποχών V 1 = 1 NN V 2 = 1 NN NN DD jj jj= 2NN+1 0 DD jj jj= NN+1 Υπολογίστε την εκτιμήτρια του στοιχείου τάσης G 0 = VV 2 VV 1 NN Υπολογίστε την εκτιμήτρια του οριζοντίου στοιχείου την περίοδο 0 SS 0 = VV 2 + GG 0 NN

42 Προβλέψεις: Χρονοσειρές με τάση και εποχικότητα Υπολογίστε την εκτιμήτρια του οριζοντίου στοιχείου όλες τις υπόλοιπες περιόδους tt = 2NN + 1,, 1 SS tt = SS 0 + GG 0 tt Υπολογίστε την εκτιμήτρια των συντελεστών εποχικότητας για όλες τις περιόδους tt = 2NN + 1,, 0 cc tt = DD tt, tt = 2NN + 1,, 0 SS tt Υπολογίστε την εκτιμήτρια των συντελεστών εποχικότητας για τις NN τελευταίες περιόδους tt = NN + 1,, 0 cc tt = cc tt + cc tt NN, tt = NN + 1,, 0 2 Κανονικοποιήστε την εκτιμήτρια των συντελεστών εποχικότητας για τις NN τελευταίες περιόδους tt = NN + 1,, 0 cc tt = cc tt N 0, tt = NN + 1,, 0 tt= NN+1 cc tt 42

43 Προβλέψεις: Χρονοσειρές με τάση και εποχικότητα α β γ 0,2 0,1 0,1 35 N = 4 30 t D t Vi S t (α) G t (β) ct(γ) ct(γ) ,94 0, ,81 1, ,69 1, ,56 0, ,44 0,587 0,5888 0, ,31 1,079 1,101 1, ,19 1,352 1,3717 1, ,06 0,875 0,954 0,9115 0, ,57 0,939 0,655 4,065 14, ,36 1,023 1,235 4,19 28, ,83 0,968 1,507 4,317 37, ,89 0,977 1,013 4,41 25,575 Dt St Τριπλή ΕκθετικήΕξομάλυνση 43

44 Προβλέψεις: Παρακολούθηση Επιλέγεται ένα μοντέλο πρόβλεψης. Καλό είναι να παρακολουθούμε τακτικά τις προβλέψεις για να επιβεβαιώνουμε ότι το μοντέλο είναι κατάλληλο. Για να είναι κατάλληλο έναν μοντέλο θα πρέπει οι προβλέψεις που παράγει να μην είναι μεροληπτικές. Δηλαδή η αναμενόμενη τιμή του σφάλματος πρόβλεψης θα πρέπει να είναι μηδέν. 44

45 Προβλέψεις: Παρακολούθηση Ένας τρόπος παρακολούθησης της μεροληψίας είναι το σήμα παρακολούθησης Trigg που χρησιμοποιεί τις εξομαλυμένες τιμές των σφαλμάτων και των απόλυτων σφαλμάτων. EE tt = ββee tt + 1 ββ EE tt 1 MM tt = ββ ee tt + 1 ββ MM tt 1 Σήμα παρακολούθησης: TT tt = EE tt MM tt Αν οι προβλέψεις είναι αμερόληπτες, το TT tt θα έπρεπε να είναι μικρό. Ο Trigg λέει ότι αν TT tt > 0,51, για ββ = 0,1, τότε τα σφάλματα δεν είναι τυχαία. 45

46 Προβλέψεις: Παρακολούθηση μ = 10 απόκλ 4 τάση 0 F t (α) et(α) et(α) Et(β) Mt(β) Tt(β) t D t 0,5 0,1 0, ,2 0, ,5-0,5 0,5 0,13 0,23 0, ,52 0,61 0, ,5-3,5 3,5 0,12 0,9 0, ,4 1,31 0, ,14 1,68 0, ,23 1,61 0, ,3 1,95 0, ,3 1,75 0, ,3 1,68 0, ,3 1,51 0, ,5 4,5 4,5 0,18 1,81 0, ,66 2,13 0, ,5-4,5 4,5 0,14 2,37 0, ,03 2,23 0, ,43 2,41 0, ,5 0,5 0,5 0,43 2,22 0, ,5-6,5 6,5-0,3 2,64 0, ,07 2,68 0, ,9 EE Dt Ft Tt 46