Έλεγχος Αποθεμάτων υπό Αβέβαιη Ζήτηση
|
|
- Τασούλα Κορομηλάς
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Έλεγχος Αποθεμάτων υπό Αβέβαιη Ζήτηση Γιώργος Λυμπερόπουλος 1
2 Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Υποθέσεις/Συμβολισμός Ορίζοντας μίας περιόδου Αβέβαιη ζήτηση περιόδου: DD (μονάδες). Υπόθεση: DD συνεχής τυχαία μεταβλητή Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και αθροιστική συνάρτηση κατανομής της DD: ff xx και FF(xx) aa FF aa PP DD aa dddd(xx) = ff xx dddd ff aa = dddd xx=0 xx=aa Άπειρος ρυθμός παραγωγής/αναπλήρωσης αποθέματος (στιγμιαία αναπλήρωση αποθέματος) Μηδενικός χρόνος αναπλήρωσης αποθέματος Μοναδιαίο κόστος πλεονάσματος: κόστος ανά μονάδα θετικού αποθέματος που απομένει στο τέλος της περιόδου: cc oo ( ανά εναπομένουσα μονάδα) Μοναδιαίο κόστος ελλείμματος: κόστος ανά μονάδα ανικανοποίητης ζήτησης (αρνητικό εναπομένον απόθεμα) στο τέλος της περιόδου: cc uu ( ανά μονάδα έλλειψης ή ανικανοποίητης ζήτησης) Δεν υπάρχει σταθερό κόστος ετοιμασίας παραγωγής/παραγγελίας Απόφαση Ποσότητα παραγγελίας στην αρχή της περιόδου: (μονάδες) 2
3 Ορισμοί Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Θετικό απόθεμα που απομένει στο τέλος της περιόδου: II + Ανικανοποίητη ζήτηση (αρνητικό απόθεμα) στο τέλος της περιόδου: II II + = DD + max DD, 0 II = DD + max DD, 0 Συνολικό κόστος πλεονάσματος και ελλείμματος στο τέλος της περιόδου: GG(, DD) GG, DD = cc oo II + + cc uu II = cc oo DD + + cc uu DD + Προσδοκώμενο κόστος: GG() GG = EE DD GG(, DD) = = cc oo xx=0 = cc oo xx=0 xx=0 xx + ff xx dddd + cc uu xx ff xx dddd + cc uu GG, xx ff xx dddd xx=0 xx= xx + ff xx dddd xx ff xx dddd 3
4 Πρότυπο Εφημεριδοπώλη II + = DD + max DD, 0 ff xx II = DD + max DD, 0 cc oo xx ff xx dddd cc uu xx= xx ff xx dddd xx=0 μμ = EE DD DD 4
5 Πρόβλημα Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Minimize G ( ) Πρώτη παράγωγος της συνάρτησης κόστους dg( ) d d = co ( x) f ( x) dx cu ( x ) f ( x) dx d + x= 0 x= d = c ( x) f ( x) dx + 1( x) f( x) 0( x) f( x) + x= x= 0 d o x= 0 d cu ( x ) f ( x) dx + 0( x ) f( x) 1( x ) f( x) x d x= = c 1 f ( x) dx + c ( 1) f ( x) dx o u x= 0 x= = cf ( ) c [ 1 F ( )] o u = x= 5
6 Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Δεύτερη παράγωγος 2 dg ( ) d 2 [ cf o c u F ] c o c u f d = ( ) [1 ( )] = ( + ) ( ) 0 d Συνθήκη πρώτης τάξης για ελαχιστοποίηση dg( ) d = 0 = 0 cf ( ) c[1 F ( )] = 0 ( c+ c) F ( ) = c o u o u u c * * u * 1 u : F ( ) = = F co + cu co + cu Σημείωση: Το FF είναι ο ρυθμός πλήρωσης, δηλαδή η πιθανότητα ότι μια ζήτηση θα ικανοποιηθεί Υπενθύμιση: Πρότυπο ΟΠΠ με εκκρεμείς παραγγελίες: FF = bb c h+bb 6
7 Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Ειδική περίπτωση: DD~Κανονική μμ, σσ D µ µ µ F( ) = P( D ) = P = Φ σ σ σ Normal(0,1) µ F ( ) =Φ ( z), z= σ Το Φ ( z) αθροιστική συνάρτηση τυποποιημένης Κανονικής κατανομής και συνεπώς το F ( ) μπορούν αν υπολογιστούν από τους πίνακες της τυποποιημένης Κανονικής κατανομής z Φ( z) Φ( z)
8 Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Ειδική περίπτωση: DD~Κανονική μμ, σσ συνέχεια * * * * cu µ cu µ 1 cu : F ( ) = Φ = =Φ co + cu σ co + cu σ co + cu * z = µ + σ z cu ( co+ cu ) c ( c + c ) cu 80 = = 0.80 z0.80 = 0.85 c + c o u µ σ u o u Παράδειγμα DD~Κανονική 120,45 τιμή αγοράς cc = 30 cu = S c= = 80 τιμή πώλησης SS = 110 co = c s = = 20 τιμή διάσωσης ss = * = + z0.80 = + = + = 8
9 Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Επέκταση: Διακριτή ζήτηση Αβέβαιη ζήτηση περιόδου: DD (μονάδες). Υπόθεση: DD διακριτήτυχαία μεταβλητή Συνάρτηση μάζας πιθανότητας και αθροιστική συνάρτηση κατανομής της DD: pp xx και FF(xx) FF aa PP DD aa = pp xx pp aa FF aa FF(aa 1) Προσδοκώμενο κόστος: GG() GG xx aa = EE DD GG(, DD) = GG, xx pp xx Πρόβλημα: Minimize Διαφορά πρώτης τάξης GG + 1 GG xx GG() 1 = cc oo = cc oo pp xx cc uu xx=0 Συνθήκη πρώτης τάξης για ελαχιστοποίηση xx=0 xx=+1 xx pp xx + cc uu xx= xx pp xx pp xx = cc oo FF cc uu 1 FF() : ελάχιστο τέτοιο ώστε GG + 1 GG 0 cc oo FF cc uu 1 FF() 0 : ελάχιστο τέτοιο ώστε FF() cc uu cc oo +cc uu 9
10 Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Επέκταση: Αρχικό απόθεμα: yy > 0 Εξακολουθούμε να θέλουμε να βρισκόμαστε στο μετά την παραγγελία διότι το ελαχιστοποιεί το GG Ποσότητα παραγγελίας: UU Τώρα η βέλτιστη πολιτική εξαρτάται από το αρχικό απόθεμα: UU (yy) = yy, αν yy < 0, αν yy Σημείωση: UU βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας βέλτιστο σημείο «έως το οποίο δίνεται παραγγελία» ζητούμενο επίπεδο αποθέματος επίπεδο αποθέματος βάσης 10
11 Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Ερμηνεία των cc oo και cc uu για το πρότυπο μίας περιόδου SS = τιμή πώλησης ( ανά μονάδα) cc = μεταβλητό κόστος ( ανά μονάδα) h = κόστος διατήρησης αποθέματος ( ανά μονάδα προϊόντος ανά μονάδα χρόνου) pp = κόστος απώλειας καλής πίστης ( ανά μονάδα έλλειψης ανά μονάδα χρόνου) + + G(, D) = c + h( D) + p( D ) Smin(, D) κόστος παραγγελίας κόστος εναπομένοντος αποθέματος κόστος ελλείμματος πωλήσεις p+ S c = = + = + p+ S + h * : F ( ) cu p S c, co h c έσοδα πωλήσεων G( ) = E[ G(, D)] = c + h ( x) f ( x) dx + p ( x ) f ( x) dx S[ xf ( x) dx + f ( x) dx] D 0 0 = c + h ( x) f ( x) dx + ( p + S) ( x ) f ( x) dx Sµ µ xf ( x) dx 0 dg( ) = 0 c+ hf ( ) ( p+ S)(1 F ( )) = 0 µ ( x ) f ( x) dx d 11
12 Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Επέκταση: άπειρες περίοδοι (άπειρος ορίζοντας) με εκκρεμείς παραγγελίες Ίδιες υποθέσεις όπως στο πρότυπο της μιας περιόδου εκτός του ότι: DD tt = ζήτηση την περίοδο tt. Οι DD 1, DD 2, DD 3, είναι ανεξάρτητες και πανομοιότυπα κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές με κατανομή ff xx, FF(xx) UU tt = ποσότητα παραγγελίας την περίοδο tt Η βέλτιστη πολιτική παραγγελίας σε κάθε περίοδο είναι «παραγγελία έως το» Μακροχρόνια, το απόθεμα δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο από το Στην μόνιμη κατάσταση (μακροχρόνια): UU tt = DD tt 1 Απόθεμα / Εκκρεμείς παραγγελίες Μεταβατική κατάσταση Μόνιμη κατάσταση UU tt = DD tt 1 Χρόνος tt 12
13 Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Επέκταση: άπειρες περίοδοι (άπειρος ορίζοντας) με εκκρεμείς παραγγελίες (συνέχεια) Συνολικό κόστος σε μία περίοδο με ζήτηση DD + + GD (, ) = ( c S) D + h ( D) + pd ( ) κόστος παραγγελίας έσοδα πωλήσεων κόστος διατήρησης αποθέματος κόστος εκκρεμών παραγγελειών Προσδοκώμενο μέσο κόστος ανά περίοδο + + G( ) = E[ G(, D)] = ( c S) µ + he[( D) ] + pe[( D ) ] Συνθήκη πρώτης τάξης για την ελαχιστοποίηση του GG() dg( ) d D = 0 hf ( ) p(1 F ( )) = 0 p = = = p+ h * * : F ( ) τύπος του "εφημεριδοπώλη" με cu p, co h Σημείωση: Τα cc και SS δεν παίζουν κανέναν ρόλο στον καθορισμό του, επειδή μακροχρόνια όλες οι ζητήσεις θα ικανοποιηθούν ανεξάρτητα από την τιμή του. Συνεπώς, το προσδοκώμενο μέσο κόστος παραγγελίας μείον τα έσοδα ανά περίοδο θα είναι cc SS μμ ανεξάρτητα από την τιμή του. 13
14 Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Επέκταση: άπειρες περίοδοι (άπειρος ορίζοντας) με χαμένες πωλήσεις Ίδιες υποθέσεις όπως στο πρότυπο του απείρου ορίζοντα με εκκρεμείς παραγγελίες με τη διαφορά ότι: Η ανικανοποίητη ζήτηση δεν μπαίνει σε εκκρεμότητα αλλά χάνεται Στην μόνιμη κατάσταση (μακροχρόνια): UU tt = min(, DD tt 1 ) Απόθεμα / χαμένες πωλήσεις Μεταβατική κατάσταση UU tt = min(, DD tt 1 ) Χρόνος tt 14
15 Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Επέκταση: άπειρες περίοδοι (άπειρος ορίζοντας) με χαμένες πωλήσεις (συνέχεια) Συνολικό κόστος σε μία περίοδο με ζήτηση DD Προσδοκώμενο μέσο κόστος ανά περίοδο Συνθήκη πρώτης τάξης για την ελαχιστοποίηση του GG() dg( ) d GD (, ) = ( c S) min( D, ) + h ( D) + pd ( ) * * F cu p S c co h Σημείωση: G( ) = E[ G(, D)] = ( c S) µ E[( D ) ] + he[( D) ] + pe[( D ) ] D = 0 hf ( ) ( p+ S c)(1 F ( )) = 0 p+ S c : ( ) = τύπος του "εφημεριδοπώλη" με = +, = p+ S c+ h Τώρα, τα cc και SS παίζουν ρόλο στον καθορισμό του, επειδή μακροχρόνια οι ζητήσεις που ικανοποιούνται και οι παραγγελίες ανά περίοδο θα είναι min(, DD), άρα εξαρτώνται από την τιμή του. Συνεπώς, το προσδοκώμενο μέσο κόστος παραγγελίας μείον τα έσοδα ανά περίοδο θα είναι cc SS EE[min, DD ]. 15
16 Πρότυπο ποσότητας & σημείου παραγγελίας (, R) Υποθέσεις Άπειρος ορίζοντας Συνεχής επιθεώρηση (αντί για περιοδική επιθεώρηση) DD tt : τυχαία στάσιμη ζήτηση ανά μονάδα χρόνου (π.χ., ημερήσια ζήτηση) Μέση τιμή λλ EE[DD tt ], διασπορά σσ tt 2 EE DD tt λλ 2 Η ανικανοποίητη ζήτηση μπαίνει σε εκκρεμότητα ή χάνεται ττ: Σταθερό χρόνος αναπλήρωσης αποθέματος Κόστη: Μεταβλητό μοναδιαίο κόστος παραγωγής/παραγγελίας: cc ( ανά μονάδα προϊόντος) Σταθερό κόστος ετοιμασίας παραγωγής/παραγγελίας: KK ( ανά κύκλο παραγωγής/παραγγελίας) Κόστος διατήρησης αποθέματος: h ( ανά μονάδα προϊόντος ανά μονάδα χρόνου) Κόστος έλλειψης προϊόντων (2 περιπτώσεις/ 4 παραλλαγές: βλέπε στη συνέχεια) Πολιτική παραγγελίας Πολιτική, RR : Παράγγειλε ποσότητα όταν η θέση του αποθέματος πέσει κάτω από το σημείο RR Μεταβλητές απόφασης : ποσότητα παραγγελίας RR: σημείο παραγγελίας 16
17 Πρότυπο (, R) Υποθέσεις για τις ελλείψεις και το μοναδιαίο κόστος έλλειψης Περίπτωση 1: Εκκρεμείς παραγγελίες pp 1 ( ανά περίσταση έλλειψης ανεξάρτητα από την ποσότητα και τον χρόνο έλλειψης) Σε αυτό το μάθημα ασχολούμαστε pp 2 ( ανά μονάδα προϊόντος) μόνο με το pp 2 pp 3 ( ανά μονάδα προϊόντος ανά μονάδα χρόνου) Περίπτωση 2: Χαμένες πωλήσεις pp LL ( ανά χαμένη πώληση) 17
18 Πρότυπο (, R): Εκκρεμείς παραγγελίες R+ Θέση αποθέματος R Απόθεμα τ Εκκρεμείς παραγγελίες χρόνος 18
19 Πρότυπο (, R): Εκκρεμείς παραγγελίες Ανάλυση DD: ζήτηση κατά τη διάρκεια του χρόνου αναπλήρωσης αποθέματος ττ Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και αθροιστική συνάρτηση κατανομής της DD: ff xx και FF(xx) DD = DD 1 + DD DD ττ Μέση τιμή: μμ EE DD = EE DD 1 + DD DD ττ = ττee D tt = ττλλ Διασπορά: σσ 2 Var DD EE DD μμ 2 = Var DD 1 + DD DD ττ = ττvar D tt = ττσσ tt 2 Απόθεμα / Εκκρεμείς παραγγελίες R τ μ f(x) x χρόνος 19
20 Πρότυπο (, R): Εκκρεμείς παραγγελίες Κόστος διατήρησης αποθέματος Απόθεμα ασφαλείας ssss RR μμ = RR λλλλ Προσδοκώμενο μέσο απόθεμα (κατά προσέγγιση) II ssss + 2 = RR λλλλ + 2 (υποεκτιμά την πραγματική τιμή) Προσδοκώμενο μέσο κόστος διατήρησης αποθέματος hii = h RR λλλλ + 2 Απόθεμα / Εκκρεμείς παραγγελίες ss + = R λ τ + R ss = R λ τ τ λ μ = λ τ χρόνος 20
21 Πρότυπο (, R): Εκκρεμείς παραγγελίες Κόστος ετοιμασίας Προσδοκώμενη μέση συχνότητα παραγγελιών = λλ Προσδοκώμενο μέσο κόστος ετοιμασίας παραγγελιών = KK λλ Κόστος έλλειψης Υπόθεση: ττ λλ οι ελλείψεις ανά κύκλο εξαρτώνται μόνο από το RR BB(RR): Προσδοκώμενο κόστος έλλειψης ανά κύκλο (εξαρτάται από τον ορισμό του μοναδιαίου κόστους έλλειψης) Προσδοκώμενο κόστος έλλειψης ανά μονάδα χρόνου = BB(RR) λλ Συνολικό Προσδοκώμενο κόστος ανά μονάδα χρόνου λ λ G(, R) = h + R λτ + K + B( R) 2 21
22 Πρότυπο (, R): Εκκρεμείς παραγγελίες Πρόβλημα βελτιστοποίησης λ λ Minimize G(, R) = h + R λτ + K + B( R), R 2 Συνθήκες βελτιστότητας G(, R) h Kλ λbr ( ) 2 2 λ[ K+ BR ( )] = = 0 = h = 2 λ[ K+ BR ( )] (1) h G(, R) λ db( R) = h + = R dr db( R) h = (2) dr λ 0 22
23 Πρότυπο (, R): Εκκρεμείς παραγγελίες Συνθήκη βελτιστότητας (2): Παραλλαγή 2: Μοναδιαίο κόστος έλλειψης pp 2 ανά μονάδα προϊόντος + db( R) dr n( R) προσδοκώμενος x= R αριθμός ελλείψεων ανά κύκλο n( R) B( R) = p E[( D R) ] = p ( x R) f ( x) dx = p [1 F( R)] h Συνθήκη (2) : p2[1 F( R)] = F( R) = 1 λ h p λ 2 23
24 Πρότυπο (, R): Εκκρεμείς παραγγελίες Ταυτόχρονη επίλυση των συνθηκών (1) και (2) Επίλυση με επαναλήψεις σταθερού σημείου: 1. Με δεδομένο R, λύνεται η (1) για να βρεθεί το 2. Με δεδομένο, λύνεται η (2) για να βρεθεί το R 3. Επανάληψη μέχρι τη σύγκλιση 24
25 Πρότυπο (, R): Εκκρεμείς παραγγελίες Εξειδίκευση για την παραλλαγή 2: Μοναδιαίο κόστος έλλειψης pp 2 ανά μονάδα προϊόντος Συνθήκες βελτιστότητας για την παραλλαγή 2 2 λ[ + 2nR ( )] (1 = K p ) F( R) = 1 h (2) h p λ Υπόθεση: DD~Κανονική(μμ, σσ) Χρήση της τυποποιημένης αθροιστικής συνάρτησης κατανομής Φ(zz) για τον υπολογισμό της FF(RR) D µ R µ R µ F( R) = P( D R) = P σ σ =Φ σ Κανονική(0,1) ( ) F( R) =Φ z, z = R µ σ Η Φ(zz) και συνεπώς η FF(RR) μπορούν να υπολογιστούν από τους πίνακες της τυποποιημένης αθροιστικής συνάρτησης κατανομής 2 25
26 Πρότυπο (, R): Εκκρεμείς παραγγελίες Χρήση της τυποποιημένης συνάρτησης απώλειας LL(zz) για να υπολογισθεί η nn(rr) + Y ~ Κανονική(0,1) L( z) E[( Y z) ] = ( y z) ϕ( y) dy Η LL(zz) και συνεπώς η nn(rr) μπορούν να υπολογιστούν από τους πίνακες της τυποποιημένης συνάρτησης απώλειας Μπορεί να δειχτεί ότι Lz ( ) = ϕ( z) z[1 Φ( z)] y= z + nr ( ) = σ Lz ( ) = σϕ ( z) + ( µ R)[1 Φ ( z)], z= Κανονική(0,1) συνάρτηση πυκνότητας + D µ R µ R µ nr ( ) = E[( D R) ] = E σ = σl σ σ σ Κανονική(0,1) nr ( ) = σ Lz ( ), z= R µ σ R µ σ 26
27 Πρότυπο (, R): Εκκρεμείς παραγγελίες Κάτω από την υπόθεση DD~Κανονική(μμ, σσ) οι συνθήκες βελτιστότητας γίνονται = 2 λ[ K+ pσlz ( )] h h Φ ( z) = 1 (2) p λ 2 2 (1) z = R µ (3) σ 27
28 Πρότυπο (, R): Εκκρεμείς παραγγελίες Αλγόριθμος επίλυσης με επαναλήψεις σταθερού σημείου κάτω υπό την υπόθεση DD~Κανονική(μμ, σσ) 2λK 1 h 0 0 =, z0 =Φ 1, R0 = µ + σz0, n = 1 h pλ Step 1: Ste 1 p 2: zn 1 Step 3: R n n = 2 λ[ K+ pσlz ( )] =Φ = µ + σz n 2 n 1 Step 4: ε OR R R ε n n+ 1, GOTO Step 1 n n 1 n n 1 h h n p2λ 28
29 Πρότυπο (, R): Επίπεδα εξυπηρέτησης Επίπεδα εξυπηρέτησης σε συστήματα (, RR) Εξυπηρέτηση Τύπου 1 (αντικαθιστά το μοναδιαίο κόστος έλλειψης pp 1 ανά περίσταση έλλειψης) SS 1 Πιθανότητα να μην υπάρχει έλλειψη κατά τη διάρκεια του χρόνου αναπλήρωσης S 1 = P(D R) = F(R) Πρόβλημα βελτιστοποίησης λ Minimize G(, R) = h + R λτ + K, R 2 υπό τον περιορισμό F( R) α (δηλαδή, S α) Λύση * 2Kλ = = ΟΠΠ h * R R F R = το ελάχιστο τέτοιο ώστε ( ) α D R F * 1 συνεχής τυχαία μεταβλητή = ( α) 1 29
30 Πρότυπο (, R): Επίπεδα εξυπηρέτησης Εξυπηρέτηση Τύπου 2 (αντικαθιστά το μοναδιαίο κόστος έλλειψης pp 2 ανά μονάδα έλλειψης) S 2 Ποσοστό των ζητήσεων που ικανοποιούνται από το απόθεμα S 2 = 1 n(r)/ Πρόβλημα βελτιστοποίησης λ Minimize G(, R) = h + R λτ + K, R 2 n( R) υπό τον περιορισμό 1 β (δηλαδή, S2 β) Σημείωση: Τώρα, ο περιορισμός εξαρτάται από το R και το 30
31 Πρότυπο (, R): Επίπεδα εξυπηρέτησης Εξυπηρέτηση Τύπου 2 (συνέχεια) Προσεγγιστική λύση * 2Kλ = ΟΠΠ h * * R= ελάχιστο Rτέτοιο ώστε nr ( ) (1 β ) D nr = * * συνεχής τυχαία μεταβλητή ( ) (1 β ) D µσ nr σlz β * * * ~ Κανονική(, ) ( ) ( ) = (1 ) (1 β ) σ * * * * 1 R = µ + σz, z = L 31
32 Πρότυπο (, R): Επίπεδα εξυπηρέτησης Εξυπηρέτηση Τύπου 2 (συνέχεια) Πιο ακριβής λύση Θεωρείστε τις συνθήκες βελτιστότητας (1) και (2) για την παραλλαγή 2 2 λ[ K+ pnr ( )] h (1), F( R) 1 (2) h p λ 2 = = h (2) p2 = τεκμαρτό μοναδιαίο κόστος έλλειψης [1 F( R)] λ 2 λ{ K + hn( R) [1 F( R)] λ} (1) = τετραγωνική συνάρτηση του h nr ( ) 2 Kλ n( R) θετική ρίζα: = + + (3) 1 F( R) h 1 F( R) (1 β ) nr ( ) = ( 1 β ) (4) Lz ( ) = σ
33 Πρότυπο (, R): Παράδειγμα Μια αποθήκη ανταλλακτικών αυτοκινήτων αποθηκεύει διαφορά εξαρτήματα που πωλούνται σε γειτονικά καταστήματα. Η αποθήκη αγοράζει ένα συγκεκριμένο εξάρτημα, που είναι μια γνωστή μάρκα φίλτρου λαδιού, προς 1,50 ανά μονάδα. Εκτιμάται ότι το σταθερό κόστος επεξεργασίας και παραλαβής μιας παραγγελίας ανέρχεται σε 100 ανά παραγγελία. Η αποθήκη χρησιμοποιεί κόστος διατήρησης αποθέματος που βασίζεται σε ετήσιο επιτόκιο 28 τοις εκατό. Η μηνιαία ζήτηση για το φίλτρο ακολουθεί Κανονική κατανομή με μέση τιμή 280 και τυπική απόκλιση 77. Ο χρόνος ικανοποίησης μιας παραγγελίας (αναπλήρωσης αποθέματος) είναι 5 μήνες. Αν ζητηθεί μια μονάδα φίλτρου και δεν υπάρχει στην αποθήκη, η ζήτηση μπαίνει σε εκκρεμότητα. Εκτιμάται ότι το κόστος κάθε παραγγελίας σε εκκρεμότητα είναι 12,80. 33
34 Πρότυπο (, R): Παράδειγμα Να υπολογιστούν οι κάτωθι ποσότητες: (α) Οι βέλτιστες τιμές της ποσότητας και του σημείου παραγγελίας. (β) Το προσδοκώμενο μέσο κόστος ετοιμασίας, διατήρησης αποθέματος και ελλείψεων που αντιστοιχεί στην βέλτιστη πολιτική παραγγελίας (, RR). (γ) Το κόστος της αβεβαιότητας για αυτή τη διαδικασία, δηλαδή συγκρίνετε το προσδοκώμενο μέσο κόστος που υπολογίσατε στο ερώτημα β με το προσδοκώμενο μέσο κόστος που θα ηγείρετο αν η ζήτηση είχε μηδενική διασπορά. (δ) Υποθέστε ότι το μοναδιαίο κόστος έλλειψης αντικαθίσταται με ένα επίπεδο εξυπηρέτησης 95% Τύπου 2. Βρείτε τις βέλτιστες τιμές των και RR που αντιστοιχούν. Επίσης, ποιο είναι το τεκμαρτό μοναδιαίο κόστος έλλειψης σε αυτή την περίπτωση; (ε) Η αποθήκη εξετάζει τη δυνατότητα να χρησιμοποιεί μια πολιτική παραγγελιών περιοδικής επιθεώρησης «παραγγελία έως το» για την περίπτωση όπου δεν έχει σταθερό κόστος επεξεργασίας και παραλαβής και όπου ο προμηθευτής της παρέχει μηδενικό χρόνο αναπλήρωσης του αποθέματος με την απαίτηση όμως οι παραγγελίες να γίνονται στο τέλος κάθε διμήνου. Βρείτε το βέλτιστο σημείο «έως το οποίο δίνεται παραγγελία»,, υποθέτοντας ότι το γραφειοκρατικό κόστος και το κόστος απώλειας καλής πίστης ανέρχεται στο 1 10 της τιμής του προϊόντος ανά εκκρεμή μονάδα προϊόντος ανά μήνα. Ποιο είναι το συνεπαγόμενο προσδοκώμενο μέσο κόστος διατήρησης αποθέματος και ελλείψεων ανά μήνα; 34
35 Λύση Πρότυπο (, R): Παράδειγμα h = 1,5 0,28 = 0,42 ανά μονάδα ανά έτος KK = 100 ανά παραγγελία pp = 12,80 ανά εκκρεμή παραγγελία Μηνιαία ζήτηση: DD tt ~Κανονική 280, 77 λλ = = 3360 μονάδες ανά έτος μμ = = 1400 μονάδες ανά χρόνο αναπλήρωσης αποθέματος σσ = 77 5 = 172,18 μονάδες ανά χρόνο αναπλήρωσης αποθέματος (α) 0 = ΟΠΠ = 2KKλλ = (2)(100)(3360) = 1264, h 0,42 zz 0 = Φ 1 1 0h = Φ 1 1 (1265)(0,42) = Φ 1 0,9876 = 2,24 ppλλ (12,8)(3360) LL zz 0 = 0,0044 nn RR 0 = σσll zz 0 = 172,18 0,0044 = 0,
36 Πρότυπο (, R): Παράδειγμα 1 = 2λλ KK + pppp(rr 0) h zz 1 = Φ 1 2 = 2λλ KK + pppp(rr 1) h zz 2 = Φ 1 = (2)(3360) (12,8)(0,7576) 0,42 = 1324, h = Φ 1 1 (1325)(0,42) = Φ 1 0,9871 = 2,23 ppλλ (12,8)(3360) LL zz 1 = 0,0045 nn RR 1 = σσll zz 1 = 172,18 0,0045 = 0, h ppλλ = (2)(3360) (12,8)(0,7748) 0,42 = Φ 1 1 (1326)(0,42) (12,8)(3360) = 1326, = Φ 1 0,9871 = 2,23 STOP = 1326 zz = 2,23 RR = μμ + σσzz = (172,18)(2,23) = 1783,
37 Πρότυπο (, R): Παράδειγμα (β) GG, RR = KK λλ + h 2 + RR μμ + pp 2 nn(rr ) λλ = (0,42) (12,8)(0,7748) = 253, , ,13 = 718,26 ανά έτος (γ) σσ = 0 Λύση ΟΠΠ = EO = 2KKλλ h = (2)(100)(3360) = 1264, TT = λλ = = 0,3765 RR = λλ ττ mod TT = mod 0,3765 = ,0402 = 135, GG, RR = 2KKλλh = (2)(100)(3360)(0,42) = 532,26 ανά έτος Κόστος αβεβαιότητας = 718,26 532,26 = 186 ανά έτος 37
38 Πρότυπο (, R): Παράδειγμα (δ) 0 = ΟΠΠ 1265 nn RR 0 = 1 ββ 0 = 1 0, = 63,25 LL zz 0 = nn RR 0 σσ zz 0 = 0,065 1 FF RR 0 = 1 Φ zz 0 = 1 0,526 = 0,474 = 63,25 172,18 = 0, = nn(rr 0) 1 FF RR 0 + ΟΠΠ 2 + nn(rr 0 ) 2 = 63,25 0, ,25 0,474 1 FF RR 0 = 1405, nn RR 1 = 1 ββ 1 = 1 0, = 70,25 = 70,25 172,18 = 0,4080 LL zz 1 = nn RR 1 σσ zz 1 = 0,02 1 FF RR 1 = 1 Φ zz 1 = 1 0,492 = 0,
39 Πρότυπο (, R): Παράδειγμα 2 = nn(rr 1) 1 FF RR 1 + ΟΠΠ 2 + nn(rr 1 ) 2 = 70,25 0, ,25 0,508 1 FF RR 1 = 1410, nn RR 2 = 1 ββ 2 = 1 0, = 70,55 LL zz 2 = nn RR 2 σσ zz 2 = 0,02 = 70,55 172,18 = 0,4097 STOP = 1411 zz = 0,02 RR = μμ + σσzz = (172,18)( 0,02) = 1396, Τεκμαρτό μοναδιαίο κόστος έλλειψης pp 2 = = (1411)(0,42) λλ(1 FF RR ) (3360)(0,508) = 0,3472 = 0,35 39
40 Πρότυπο (, R): Παράδειγμα (ε) Πρόκειται για την επέκταση του προτύπου του εφημεριδοπώλη σε άπειρες περιόδους και με εκκρεμείς παραγγελίες Το μήκος κάθε περιόδου είναι ττ = 2 μήνες. Η ζήτηση σε κάθε περίοδο είναι DD~Κανονική μμ, σσ, όπου μμ = ττττ = (2)(280)=560 μονάδες ανά 2-μηνο σσ = σσ tt ττ = 77 2 = 108,89 ανά 2-μηνο h = cccc = 1,5 0,28 12 (2) = 0,07 ανά μονάδα αποθέματος ανά 2-μηνο pp = 1,5 ( 1 10) 2 = 0,3 ανά μονάδα ελλείμματος ανά 2-μηνο zz = Φ 1 pp h + pp = 0,3 Φ 1 0,07 + 0,3 = 0,3 Φ 1 0,07 + 0,3 = Φ 1 0,8108 = 0,88 = μμ + σσzz = ,89 0,88 = 655, μονάδες 40
41 Πρότυπο (, R): Τυχαίοι χρόνοι αναπλήρωσης αποθέματος Επέκταση: Τυχαίος χρόνος αναπλήρωσης αποθέματος L: τυχαίος χρόνος αναπλήρωσης Μέση τιμή: τ Ε[L], Διασπορά σ L2 Ε[(L τ) 2 ] D: ζήτηση κατά τη διάρκεια του χρόνου L Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και αθροιστική συνάρτηση κατανομής της DD: ff xx και FF(xx) D = D 1 + D D L, όπου L είναι τυχαία μεταβλητή Μπορεί να δειχτεί (βλέπε επόμενη σελίδα) ότι: Μέση τιμή: μ E[D] = τ λ Διασπορά: σ 2 Var[D] = Ε[(D μ) 2 ] = τ σ t2 + λ 2 σ 2 L Όλα τα υπόλοιπα ισχύουν!! 41
42 Πρότυπο (, R): Τυχαίοι χρόνοι αναπλήρωσης αποθέματος Εύρεση των μ και σ 2 Μέση τιμή: µ ED [ ] = EED [ [ L]] = EL [ λ] = τλ L DL L Διασπορά: [ ] [( ) ] [ 2 ] [ ] 2 [ ] [ ] DL = EED [ [ L]] 2µ + µ = τσ + λ σ + λ τ µ = τσ + λ σ + λ τ τ λ DL t L όπου χρησιμοποιήσαμε: ED [ σ VarD = E D µ = ED µ D+ µ = ED µ ED+ Eµ L = τσ + λ σ t L t L L] = E[ Var[ D L] + E[ D L] ] = Lσ + Lλ t DL E[ E[ D L]] = E[ Lσ + L λ ] = τσ + λ ( Var[ L] + τ ) = τσ + λ ( σ + τ ) = τσ + λ σ + λ τ t t t L t L L DL L 42
43 Table A-4: Normal Probability distribution and Partial Expectations z standard variate φ (z ) probability density function Φ (z ) cumulative distribution function L (z ) standardized loss function z φ (z ) Φ (z ) 1 - Φ (z ) L (z ) L (-z ) z φ (z ) Φ (z ) 1 - Φ (z ) L (z ) L (-z ) z φ (z ) Φ (z ) 1 - Φ (z ) L (z ) L (-z ) z φ (z ) Φ (z ) 1 - Φ (z ) L (z ) L (-z ) z φ (z ) Φ (z ) 1 - Φ (z ) L (z ) L (-z ) z φ (z ) Φ (z ) 1 - Φ (z ) L (z ) L (-z ) 0,00 0,3989 0,5000 0,5000 0,3989 0,3989-0,50 0,3521 0,3085 0,6915 0,6978 0,1978-1,00 0,2420 0,1587 0,8413 1,0833 0,0833-1,50 0,1295 0,0668 0,9332 1,5293 0,0293-2,00 0,0540 0,0228 0,9772 2,0085 0,0085-2,50 0,0175 0,0062 0,9938 2,5020 0,0020-0,01 0,3989 0,4960 0,5040 0,4040 0,3940-0,51 0,3503 0,3050 0,6950 0,7047 0,1947-1,01 0,2396 0,1562 0,8438 1,0917 0,0817-1,51 0,1276 0,0655 0,9345 1,5386 0,0286-2,01 0,0529 0,0222 0,9778 2,0183 0,0083-2,51 0,0171 0,0060 0,9940 2,5119 0,0019-0,02 0,3989 0,4920 0,5080 0,4090 0,3890-0,52 0,3485 0,3015 0,6985 0,7117 0,1917-1,02 0,2371 0,1539 0,8461 1,1002 0,0802-1,52 0,1257 0,0643 0,9357 1,5480 0,0280-2,02 0,0519 0,0217 0,9783 2,0280 0,0080-2,52 0,0167 0,0059 0,9941 2,5219 0,0019-0,03 0,3988 0,4880 0,5120 0,4141 0,3841-0,53 0,3467 0,2981 0,7019 0,7187 0,1887-1,03 0,2347 0,1515 0,8485 1,1087 0,0787-1,53 0,1238 0,0630 0,9370 1,5574 0,0274-2,03 0,0508 0,0212 0,9788 2,0378 0,0078-2,53 0,0163 0,0057 0,9943 2,5318 0,0018-0,04 0,3986 0,4840 0,5160 0,4193 0,3793-0,54 0,3448 0,2946 0,7054 0,7257 0,1857-1,04 0,2323 0,1492 0,8508 1,1172 0,0772-1,54 0,1219 0,0618 0,9382 1,5667 0,0267-2,04 0,0498 0,0207 0,9793 2,0476 0,0076-2,54 0,0158 0,0055 0,9945 2,5418 0,0018-0,05 0,3984 0,4801 0,5199 0,4244 0,3744-0,55 0,3429 0,2912 0,7088 0,7328 0,1828-1,05 0,2299 0,1469 0,8531 1,1257 0,0757-1,55 0,1200 0,0606 0,9394 1,5761 0,0261-2,05 0,0488 0,0202 0,9798 2,0574 0,0074-2,55 0,0154 0,0054 0,9946 2,5517 0,0017-0,06 0,3982 0,4761 0,5239 0,4297 0,3697-0,56 0,3410 0,2877 0,7123 0,7399 0,1799-1,06 0,2275 0,1446 0,8554 1,1342 0,0742-1,56 0,1182 0,0594 0,9406 1,5855 0,0255-2,06 0,0478 0,0197 0,9803 2,0672 0,0072-2,56 0,0151 0,0052 0,9948 2,5617 0,0017-0,07 0,3980 0,4721 0,5279 0,4349 0,3649-0,57 0,3391 0,2843 0,7157 0,7471 0,1771-1,07 0,2251 0,1423 0,8577 1,1428 0,0728-1,57 0,1163 0,0582 0,9418 1,5949 0,0249-2,07 0,0468 0,0192 0,9808 2,0770 0,0070-2,57 0,0147 0,0051 0,9949 2,5716 0,0016-0,08 0,3977 0,4681 0,5319 0,4402 0,3602-0,58 0,3372 0,2810 0,7190 0,7542 0,1742-1,08 0,2227 0,1401 0,8599 1,1514 0,0714-1,58 0,1145 0,0571 0,9429 1,6044 0,0244-2,08 0,0459 0,0188 0,9812 2,0868 0,0068-2,58 0,0143 0,0049 0,9951 2,5816 0,0016-0,09 0,3973 0,4641 0,5359 0,4456 0,3556-0,59 0,3352 0,2776 0,7224 0,7614 0,1714-1,09 0,2203 0,1379 0,8621 1,1600 0,0700-1,59 0,1127 0,0559 0,9441 1,6138 0,0238-2,09 0,0449 0,0183 0,9817 2,0966 0,0066-2,59 0,0139 0,0048 0,9952 2,5915 0,0015-0,10 0,3970 0,4602 0,5398 0,4509 0,3509-0,60 0,3332 0,2743 0,7257 0,7687 0,1687-1,10 0,2179 0,1357 0,8643 1,1686 0,0686-1,60 0,1109 0,0548 0,9452 1,6232 0,0232-2,10 0,0440 0,0179 0,9821 2,1065 0,0065-2,60 0,0136 0,0047 0,9953 2,6015 0,0015-0,11 0,3965 0,4562 0,5438 0,4564 0,3464-0,61 0,3312 0,2709 0,7291 0,7759 0,1659-1,11 0,2155 0,1335 0,8665 1,1773 0,0673-1,61 0,1092 0,0537 0,9463 1,6327 0,0227-2,11 0,0431 0,0174 0,9826 2,1163 0,0063-2,61 0,0132 0,0045 0,9955 2,6114 0,0014-0,12 0,3961 0,4522 0,5478 0,4618 0,3418-0,62 0,3292 0,2676 0,7324 0,7833 0,1633-1,12 0,2131 0,1314 0,8686 1,1859 0,0659-1,62 0,1074 0,0526 0,9474 1,6422 0,0222-2,12 0,0422 0,0170 0,9830 2,1261 0,0061-2,62 0,0129 0,0044 0,9956 2,6214 0,0014-0,13 0,3956 0,4483 0,5517 0,4673 0,3373-0,63 0,3271 0,2643 0,7357 0,7906 0,1606-1,13 0,2107 0,1292 0,8708 1,1946 0,0646-1,63 0,1057 0,0516 0,9484 1,6516 0,0216-2,13 0,0413 0,0166 0,9834 2,1360 0,0060-2,63 0,0126 0,0043 0,9957 2,6313 0,0013-0,14 0,3951 0,4443 0,5557 0,4728 0,3328-0,64 0,3251 0,2611 0,7389 0,7980 0,1580-1,14 0,2083 0,1271 0,8729 1,2034 0,0634-1,64 0,1040 0,0505 0,9495 1,6611 0,0211-2,14 0,0404 0,0162 0,9838 2,1458 0,0058-2,64 0,0122 0,0041 0,9959 2,6413 0,0013-0,15 0,3945 0,4404 0,5596 0,4784 0,3284-0,65 0,3230 0,2578 0,7422 0,8054 0,1554-1,15 0,2059 0,1251 0,8749 1,2121 0,0621-1,65 0,1023 0,0495 0,9505 1,6706 0,0206-2,15 0,0396 0,0158 0,9842 2,1556 0,0056-2,65 0,0119 0,0040 0,9960 2,6512 0,0012-0,16 0,3939 0,4364 0,5636 0,4840 0,3240-0,66 0,3209 0,2546 0,7454 0,8128 0,1528-1,16 0,2036 0,1230 0,8770 1,2209 0,0609-1,66 0,1006 0,0485 0,9515 1,6801 0,0201-2,16 0,0387 0,0154 0,9846 2,1655 0,0055-2,66 0,0116 0,0039 0,9961 2,6612 0,0012-0,17 0,3932 0,4325 0,5675 0,4897 0,3197-0,67 0,3187 0,2514 0,7486 0,8203 0,1503-1,17 0,2012 0,1210 0,8790 1,2296 0,0596-1,67 0,0989 0,0475 0,9525 1,6897 0,0197-2,17 0,0379 0,0150 0,9850 2,1753 0,0053-2,67 0,0113 0,0038 0,9962 2,6712 0,0012-0,18 0,3925 0,4286 0,5714 0,4954 0,3154-0,68 0,3166 0,2483 0,7517 0,8278 0,1478-1,18 0,1989 0,1190 0,8810 1,2384 0,0584-1,68 0,0973 0,0465 0,9535 1,6992 0,0192-2,18 0,0371 0,0146 0,9854 2,1852 0,0052-2,68 0,0110 0,0037 0,9963 2,6811 0,0011-0,19 0,3918 0,4247 0,5753 0,5011 0,3111-0,69 0,3144 0,2451 0,7549 0,8353 0,1453-1,19 0,1965 0,1170 0,8830 1,2473 0,0573-1,69 0,0957 0,0455 0,9545 1,7087 0,0187-2,19 0,0363 0,0143 0,9857 2,1950 0,0050-2,69 0,0107 0,0036 0,9964 2,6911 0,0011-0,20 0,3910 0,4207 0,5793 0,5069 0,3069-0,70 0,3123 0,2420 0,7580 0,8429 0,1429-1,20 0,1942 0,1151 0,8849 1,2561 0,0561-1,70 0,0940 0,0446 0,9554 1,7183 0,0183-2,20 0,0355 0,0139 0,9861 2,2049 0,0049-2,70 0,0104 0,0035 0,9965 2,7011 0,0011-0,21 0,3902 0,4168 0,5832 0,5127 0,3027-0,71 0,3101 0,2389 0,7611 0,8505 0,1405-1,21 0,1919 0,1131 0,8869 1,2650 0,0550-1,71 0,0925 0,0436 0,9564 1,7278 0,0178-2,21 0,0347 0,0136 0,9864 2,2147 0,0047-2,71 0,0101 0,0034 0,9966 2,7110 0,0010-0,22 0,3894 0,4129 0,5871 0,5186 0,2986-0,72 0,3079 0,2358 0,7642 0,8581 0,1381-1,22 0,1895 0,1112 0,8888 1,2738 0,0538-1,72 0,0909 0,0427 0,9573 1,7374 0,0174-2,22 0,0339 0,0132 0,9868 2,2246 0,0046-2,72 0,0099 0,0033 0,9967 2,7210 0,0010-0,23 0,3885 0,4090 0,5910 0,5244 0,2944-0,73 0,3056 0,2327 0,7673 0,8658 0,1358-1,23 0,1872 0,1093 0,8907 1,2827 0,0527-1,73 0,0893 0,0418 0,9582 1,7470 0,0170-2,23 0,0332 0,0129 0,9871 2,2345 0,0045-2,73 0,0096 0,0032 0,9968 2,7310 0,0010-0,24 0,3876 0,4052 0,5948 0,5304 0,2904-0,74 0,3034 0,2296 0,7704 0,8734 0,1334-1,24 0,1849 0,1075 0,8925 1,2917 0,0517-1,74 0,0878 0,0409 0,9591 1,7566 0,0166-2,24 0,0325 0,0125 0,9875 2,2444 0,0044-2,74 0,0093 0,0031 0,9969 2,7409 0,0009-0,25 0,3867 0,4013 0,5987 0,5363 0,2863-0,75 0,3011 0,2266 0,7734 0,8812 0,1312-1,25 0,1826 0,1056 0,8944 1,3006 0,0506-1,75 0,0863 0,0401 0,9599 1,7662 0,0162-2,25 0,0317 0,0122 0,9878 2,2542 0,0042-2,75 0,0091 0,0030 0,9970 2,7509 0,0009-0,26 0,3857 0,3974 0,6026 0,5424 0,2824-0,76 0,2989 0,2236 0,7764 0,8889 0,1289-1,26 0,1804 0,1038 0,8962 1,3095 0,0495-1,76 0,0848 0,0392 0,9608 1,7758 0,0158-2,26 0,0310 0,0119 0,9881 2,2641 0,0041-2,76 0,0088 0,0029 0,9971 2,7609 0,0009-0,27 0,3847 0,3936 0,6064 0,5484 0,2784-0,77 0,2966 0,2206 0,7794 0,8967 0,1267-1,27 0,1781 0,1020 0,8980 1,3185 0,0485-1,77 0,0833 0,0384 0,9616 1,7854 0,0154-2,27 0,0303 0,0116 0,9884 2,2740 0,0040-2,77 0,0086 0,0028 0,9972 2,7708 0,0008-0,28 0,3836 0,3897 0,6103 0,5545 0,2745-0,78 0,2943 0,2177 0,7823 0,9045 0,1245-1,28 0,1758 0,1003 0,8997 1,3275 0,0475-1,78 0,0818 0,0375 0,9625 1,7950 0,0150-2,28 0,0297 0,0113 0,9887 2,2839 0,0039-2,78 0,0084 0,0027 0,9973 2,7808 0,0008-0,29 0,3825 0,3859 0,6141 0,5606 0,2706-0,79 0,2920 0,2148 0,7852 0,9123 0,1223-1,29 0,1736 0,0985 0,9015 1,3365 0,0465-1,79 0,0804 0,0367 0,9633 1,8046 0,0146-2,29 0,0290 0,0110 0,9890 2,2938 0,0038-2,79 0,0081 0,0026 0,9974 2,7908 0,0008-0,30 0,3814 0,3821 0,6179 0,5668 0,2668-0,80 0,2897 0,2119 0,7881 0,9202 0,1202-1,30 0,1714 0,0968 0,9032 1,3455 0,0455-1,80 0,0790 0,0359 0,9641 1,8143 0,0143-2,30 0,0283 0,0107 0,9893 2,3037 0,0037-2,80 0,0079 0,0026 0,9974 2,8008 0,0008-0,31 0,3802 0,3783 0,6217 0,5730 0,2630-0,81 0,2874 0,2090 0,7910 0,9281 0,1181-1,31 0,1691 0,0951 0,9049 1,3546 0,0446-1,81 0,0775 0,0351 0,9649 1,8239 0,0139-2,31 0,0277 0,0104 0,9896 2,3136 0,0036-2,81 0,0077 0,0025 0,9975 2,8107 0,0007-0,32 0,3790 0,3745 0,6255 0,5792 0,2592-0,82 0,2850 0,2061 0,7939 0,9360 0,1160-1,32 0,1669 0,0934 0,9066 1,3636 0,0436-1,82 0,0761 0,0344 0,9656 1,8336 0,0136-2,32 0,0270 0,0102 0,9898 2,3235 0,0035-2,82 0,0075 0,0024 0,9976 2,8207 0,0007-0,33 0,3778 0,3707 0,6293 0,5855 0,2555-0,83 0,2827 0,2033 0,7967 0,9440 0,1140-1,33 0,1647 0,0918 0,9082 1,3727 0,0427-1,83 0,0748 0,0336 0,9664 1,8432 0,0132-2,33 0,0264 0,0099 0,9901 2,3334 0,0034-2,83 0,0073 0,0023 0,9977 2,8307 0,0007-0,34 0,3765 0,3669 0,6331 0,5918 0,2518-0,84 0,2803 0,2005 0,7995 0,9520 0,1120-1,34 0,1626 0,0901 0,9099 1,3818 0,0418-1,84 0,0734 0,0329 0,9671 1,8529 0,0129-2,34 0,0258 0,0096 0,9904 2,3433 0,0033-2,84 0,0071 0,0023 0,9977 2,8407 0,0007-0,35 0,3752 0,3632 0,6368 0,5981 0,2481-0,85 0,2780 0,1977 0,8023 0,9600 0,1100-1,35 0,1604 0,0885 0,9115 1,3909 0,0409-1,85 0,0721 0,0322 0,9678 1,8626 0,0126-2,35 0,0252 0,0094 0,9906 2,3532 0,0032-2,85 0,0069 0,0022 0,9978 2,8506 0,0006-0,36 0,3739 0,3594 0,6406 0,6045 0,2445-0,86 0,2756 0,1949 0,8051 0,9680 0,1080-1,36 0,1582 0,0869 0,9131 1,4000 0,0400-1,86 0,0707 0,0314 0,9686 1,8723 0,0123-2,36 0,0246 0,0091 0,9909 2,3631 0,0031-2,86 0,0067 0,0021 0,9979 2,8606 0,0006-0,37 0,3725 0,3557 0,6443 0,6109 0,2409-0,87 0,2732 0,1922 0,8078 0,9761 0,1061-1,37 0,1561 0,0853 0,9147 1,4092 0,0392-1,87 0,0694 0,0307 0,9693 1,8819 0,0119-2,37 0,0241 0,0089 0,9911 2,3730 0,0030-2,87 0,0065 0,0021 0,9979 2,8706 0,0006-0,38 0,3712 0,3520 0,6480 0,6174 0,2374-0,88 0,2709 0,1894 0,8106 0,9842 0,1042-1,38 0,1539 0,0838 0,9162 1,4183 0,0383-1,88 0,0681 0,0301 0,9699 1,8916 0,0116-2,38 0,0235 0,0087 0,9913 2,3829 0,0029-2,88 0,0063 0,0020 0,9980 2,8806 0,0006-0,39 0,3697 0,3483 0,6517 0,6239 0,2339-0,89 0,2685 0,1867 0,8133 0,9923 0,1023-1,39 0,1518 0,0823 0,9177 1,4275 0,0375-1,89 0,0669 0,0294 0,9706 1,9013 0,0113-2,39 0,0229 0,0084 0,9916 2,3928 0,0028-2,89 0,0061 0,0019 0,9981 2,8906 0,0006-0,40 0,3683 0,3446 0,6554 0,6304 0,2304-0,90 0,2661 0,1841 0,8159 1,0004 0,1004-1,40 0,1497 0,0808 0,9192 1,4367 0,0367-1,90 0,0656 0,0287 0,9713 1,9111 0,0111-2,40 0,0224 0,0082 0,9918 2,4027 0,0027-2,90 0,0060 0,0019 0,9981 2,9005 0,0005-0,41 0,3668 0,3409 0,6591 0,6370 0,2270-0,91 0,2637 0,1814 0,8186 1,0086 0,0986-1,41 0,1476 0,0793 0,9207 1,4459 0,0359-1,91 0,0644 0,0281 0,9719 1,9208 0,0108-2,41 0,0219 0,0080 0,9920 2,4126 0,0026-2,91 0,0058 0,0018 0,9982 2,9105 0,0005-0,42 0,3653 0,3372 0,6628 0,6436 0,2236-0,92 0,2613 0,1788 0,8212 1,0168 0,0968-1,42 0,1456 0,0778 0,9222 1,4551 0,0351-1,92 0,0632 0,0274 0,9726 1,9305 0,0105-2,42 0,0213 0,0078 0,9922 2,4226 0,0026-2,92 0,0056 0,0018 0,9982 2,9205 0,0005-0,43 0,3637 0,3336 0,6664 0,6503 0,2203-0,93 0,2589 0,1762 0,8238 1,0250 0,0950-1,43 0,1435 0,0764 0,9236 1,4643 0,0343-1,93 0,0620 0,0268 0,9732 1,9402 0,0102-2,43 0,0208 0,0075 0,9925 2,4325 0,0025-2,93 0,0055 0,0017 0,9983 2,9305 0,0005-0,44 0,3621 0,3300 0,6700 0,6569 0,2169-0,94 0,2565 0,1736 0,8264 1,0333 0,0933-1,44 0,1415 0,0749 0,9251 1,4736 0,0336-1,94 0,0608 0,0262 0,9738 1,9500 0,0100-2,44 0,0203 0,0073 0,9927 2,4424 0,0024-2,94 0,0053 0,0016 0,9984 2,9405 0,0005-0,45 0,3605 0,3264 0,6736 0,6637 0,2137-0,95 0,2541 0,1711 0,8289 1,0416 0,0916-1,45 0,1394 0,0735 0,9265 1,4828 0,0328-1,95 0,0596 0,0256 0,9744 1,9597 0,0097-2,45 0,0198 0,0071 0,9929 2,4523 0,0023-2,95 0,0051 0,0016 0,9984 2,9505 0,0005-0,46 0,3589 0,3228 0,6772 0,6704 0,2104-0,96 0,2516 0,1685 0,8315 1,0499 0,0899-1,46 0,1374 0,0721 0,9279 1,4921 0,0321-1,96 0,0584 0,0250 0,9750 1,9694 0,0094-2,46 0,0194 0,0069 0,9931 2,4623 0,0023-2,96 0,0050 0,0015 0,9985 2,9604 0,0004-0,47 0,3572 0,3192 0,6808 0,6772 0,2072-0,97 0,2492 0,1660 0,8340 1,0582 0,0882-1,47 0,1354 0,0708 0,9292 1,5014 0,0314-1,97 0,0573 0,0244 0,9756 1,9792 0,0092-2,47 0,0189 0,0068 0,9932 2,4722 0,0022-2,97 0,0048 0,0015 0,9985 2,9704 0,0004-0,48 0,3555 0,3156 0,6844 0,6840 0,2040-0,98 0,2468 0,1635 0,8365 1,0665 0,0865-1,48 0,1334 0,0694 0,9306 1,5107 0,0307-1,98 0,0562 0,0239 0,9761 1,9890 0,0090-2,48 0,0184 0,0066 0,9934 2,4821 0,0021-2,98 0,0047 0,0014 0,9986 2,9804 0,0004-0,49 0,3538 0,3121 0,6879 0,6909 0,2009-0,99 0,2444 0,1611 0,8389 1,0749 0,0849-1,49 0,1315 0,0681 0,9319 1,5200 0,0300-1,99 0,0551 0,0233 0,9767 1,9987 0,0087-2,49 0,0180 0,0064 0,9936 2,4921 0,0021-2,99 0,0046 0,0014 0,9986 2,9904 0,0004
44 Table A-4: Normal Probability distribution and Partial Expectations z standard variate φ (z ) probability density function Φ (z ) cumulative distribution function L (z ) standardized loss function z φ (z ) Φ (z ) 1 - Φ (z ) L (z ) L (-z ) z φ (z ) Φ (z ) 1 - Φ (z ) L (z ) L (-z ) z φ (z ) Φ (z ) 1 - Φ (z ) L (z ) L (-z ) z φ (z ) Φ (z ) 1 - Φ (z ) L (z ) L (-z ) z φ (z ) Φ (z ) 1 - Φ (z ) L (z ) L (-z ) z φ (z ) Φ (z ) 1 - Φ (z ) L (z ) L (-z ) 0,00 0,3989 0,5000 0,5000 0,3989 0,3989 0,50 0,3521 0,6915 0,3085 0,1978 0,6978 1,00 0,2420 0,8413 0,1587 0,0833 1,0833 1,50 0,1295 0,9332 0,0668 0,0293 1,5293 2,00 0,0540 0,9772 0,0228 0,0085 2,0085 2,50 0,0175 0,9938 0,0062 0,0020 2,5020 0,01 0,3989 0,5040 0,4960 0,3940 0,4040 0,51 0,3503 0,6950 0,3050 0,1947 0,7047 1,01 0,2396 0,8438 0,1562 0,0817 1,0917 1,51 0,1276 0,9345 0,0655 0,0286 1,5386 2,01 0,0529 0,9778 0,0222 0,0083 2,0183 2,51 0,0171 0,9940 0,0060 0,0019 2,5119 0,02 0,3989 0,5080 0,4920 0,3890 0,4090 0,52 0,3485 0,6985 0,3015 0,1917 0,7117 1,02 0,2371 0,8461 0,1539 0,0802 1,1002 1,52 0,1257 0,9357 0,0643 0,0280 1,5480 2,02 0,0519 0,9783 0,0217 0,0080 2,0280 2,52 0,0167 0,9941 0,0059 0,0019 2,5219 0,03 0,3988 0,5120 0,4880 0,3841 0,4141 0,53 0,3467 0,7019 0,2981 0,1887 0,7187 1,03 0,2347 0,8485 0,1515 0,0787 1,1087 1,53 0,1238 0,9370 0,0630 0,0274 1,5574 2,03 0,0508 0,9788 0,0212 0,0078 2,0378 2,53 0,0163 0,9943 0,0057 0,0018 2,5318 0,04 0,3986 0,5160 0,4840 0,3793 0,4193 0,54 0,3448 0,7054 0,2946 0,1857 0,7257 1,04 0,2323 0,8508 0,1492 0,0772 1,1172 1,54 0,1219 0,9382 0,0618 0,0267 1,5667 2,04 0,0498 0,9793 0,0207 0,0076 2,0476 2,54 0,0158 0,9945 0,0055 0,0018 2,5418 0,05 0,3984 0,5199 0,4801 0,3744 0,4244 0,55 0,3429 0,7088 0,2912 0,1828 0,7328 1,05 0,2299 0,8531 0,1469 0,0757 1,1257 1,55 0,1200 0,9394 0,0606 0,0261 1,5761 2,05 0,0488 0,9798 0,0202 0,0074 2,0574 2,55 0,0154 0,9946 0,0054 0,0017 2,5517 0,06 0,3982 0,5239 0,4761 0,3697 0,4297 0,56 0,3410 0,7123 0,2877 0,1799 0,7399 1,06 0,2275 0,8554 0,1446 0,0742 1,1342 1,56 0,1182 0,9406 0,0594 0,0255 1,5855 2,06 0,0478 0,9803 0,0197 0,0072 2,0672 2,56 0,0151 0,9948 0,0052 0,0017 2,5617 0,07 0,3980 0,5279 0,4721 0,3649 0,4349 0,57 0,3391 0,7157 0,2843 0,1771 0,7471 1,07 0,2251 0,8577 0,1423 0,0728 1,1428 1,57 0,1163 0,9418 0,0582 0,0249 1,5949 2,07 0,0468 0,9808 0,0192 0,0070 2,0770 2,57 0,0147 0,9949 0,0051 0,0016 2,5716 0,08 0,3977 0,5319 0,4681 0,3602 0,4402 0,58 0,3372 0,7190 0,2810 0,1742 0,7542 1,08 0,2227 0,8599 0,1401 0,0714 1,1514 1,58 0,1145 0,9429 0,0571 0,0244 1,6044 2,08 0,0459 0,9812 0,0188 0,0068 2,0868 2,58 0,0143 0,9951 0,0049 0,0016 2,5816 0,09 0,3973 0,5359 0,4641 0,3556 0,4456 0,59 0,3352 0,7224 0,2776 0,1714 0,7614 1,09 0,2203 0,8621 0,1379 0,0700 1,1600 1,59 0,1127 0,9441 0,0559 0,0238 1,6138 2,09 0,0449 0,9817 0,0183 0,0066 2,0966 2,59 0,0139 0,9952 0,0048 0,0015 2,5915 0,10 0,3970 0,5398 0,4602 0,3509 0,4509 0,60 0,3332 0,7257 0,2743 0,1687 0,7687 1,10 0,2179 0,8643 0,1357 0,0686 1,1686 1,60 0,1109 0,9452 0,0548 0,0232 1,6232 2,10 0,0440 0,9821 0,0179 0,0065 2,1065 2,60 0,0136 0,9953 0,0047 0,0015 2,6015 0,11 0,3965 0,5438 0,4562 0,3464 0,4564 0,61 0,3312 0,7291 0,2709 0,1659 0,7759 1,11 0,2155 0,8665 0,1335 0,0673 1,1773 1,61 0,1092 0,9463 0,0537 0,0227 1,6327 2,11 0,0431 0,9826 0,0174 0,0063 2,1163 2,61 0,0132 0,9955 0,0045 0,0014 2,6114 0,12 0,3961 0,5478 0,4522 0,3418 0,4618 0,62 0,3292 0,7324 0,2676 0,1633 0,7833 1,12 0,2131 0,8686 0,1314 0,0659 1,1859 1,62 0,1074 0,9474 0,0526 0,0222 1,6422 2,12 0,0422 0,9830 0,0170 0,0061 2,1261 2,62 0,0129 0,9956 0,0044 0,0014 2,6214 0,13 0,3956 0,5517 0,4483 0,3373 0,4673 0,63 0,3271 0,7357 0,2643 0,1606 0,7906 1,13 0,2107 0,8708 0,1292 0,0646 1,1946 1,63 0,1057 0,9484 0,0516 0,0216 1,6516 2,13 0,0413 0,9834 0,0166 0,0060 2,1360 2,63 0,0126 0,9957 0,0043 0,0013 2,6313 0,14 0,3951 0,5557 0,4443 0,3328 0,4728 0,64 0,3251 0,7389 0,2611 0,1580 0,7980 1,14 0,2083 0,8729 0,1271 0,0634 1,2034 1,64 0,1040 0,9495 0,0505 0,0211 1,6611 2,14 0,0404 0,9838 0,0162 0,0058 2,1458 2,64 0,0122 0,9959 0,0041 0,0013 2,6413 0,15 0,3945 0,5596 0,4404 0,3284 0,4784 0,65 0,3230 0,7422 0,2578 0,1554 0,8054 1,15 0,2059 0,8749 0,1251 0,0621 1,2121 1,65 0,1023 0,9505 0,0495 0,0206 1,6706 2,15 0,0396 0,9842 0,0158 0,0056 2,1556 2,65 0,0119 0,9960 0,0040 0,0012 2,6512 0,16 0,3939 0,5636 0,4364 0,3240 0,4840 0,66 0,3209 0,7454 0,2546 0,1528 0,8128 1,16 0,2036 0,8770 0,1230 0,0609 1,2209 1,66 0,1006 0,9515 0,0485 0,0201 1,6801 2,16 0,0387 0,9846 0,0154 0,0055 2,1655 2,66 0,0116 0,9961 0,0039 0,0012 2,6612 0,17 0,3932 0,5675 0,4325 0,3197 0,4897 0,67 0,3187 0,7486 0,2514 0,1503 0,8203 1,17 0,2012 0,8790 0,1210 0,0596 1,2296 1,67 0,0989 0,9525 0,0475 0,0197 1,6897 2,17 0,0379 0,9850 0,0150 0,0053 2,1753 2,67 0,0113 0,9962 0,0038 0,0012 2,6712 0,18 0,3925 0,5714 0,4286 0,3154 0,4954 0,68 0,3166 0,7517 0,2483 0,1478 0,8278 1,18 0,1989 0,8810 0,1190 0,0584 1,2384 1,68 0,0973 0,9535 0,0465 0,0192 1,6992 2,18 0,0371 0,9854 0,0146 0,0052 2,1852 2,68 0,0110 0,9963 0,0037 0,0011 2,6811 0,19 0,3918 0,5753 0,4247 0,3111 0,5011 0,69 0,3144 0,7549 0,2451 0,1453 0,8353 1,19 0,1965 0,8830 0,1170 0,0573 1,2473 1,69 0,0957 0,9545 0,0455 0,0187 1,7087 2,19 0,0363 0,9857 0,0143 0,0050 2,1950 2,69 0,0107 0,9964 0,0036 0,0011 2,6911 0,20 0,3910 0,5793 0,4207 0,3069 0,5069 0,70 0,3123 0,7580 0,2420 0,1429 0,8429 1,20 0,1942 0,8849 0,1151 0,0561 1,2561 1,70 0,0940 0,9554 0,0446 0,0183 1,7183 2,20 0,0355 0,9861 0,0139 0,0049 2,2049 2,70 0,0104 0,9965 0,0035 0,0011 2,7011 0,21 0,3902 0,5832 0,4168 0,3027 0,5127 0,71 0,3101 0,7611 0,2389 0,1405 0,8505 1,21 0,1919 0,8869 0,1131 0,0550 1,2650 1,71 0,0925 0,9564 0,0436 0,0178 1,7278 2,21 0,0347 0,9864 0,0136 0,0047 2,2147 2,71 0,0101 0,9966 0,0034 0,0010 2,7110 0,22 0,3894 0,5871 0,4129 0,2986 0,5186 0,72 0,3079 0,7642 0,2358 0,1381 0,8581 1,22 0,1895 0,8888 0,1112 0,0538 1,2738 1,72 0,0909 0,9573 0,0427 0,0174 1,7374 2,22 0,0339 0,9868 0,0132 0,0046 2,2246 2,72 0,0099 0,9967 0,0033 0,0010 2,7210 0,23 0,3885 0,5910 0,4090 0,2944 0,5244 0,73 0,3056 0,7673 0,2327 0,1358 0,8658 1,23 0,1872 0,8907 0,1093 0,0527 1,2827 1,73 0,0893 0,9582 0,0418 0,0170 1,7470 2,23 0,0332 0,9871 0,0129 0,0045 2,2345 2,73 0,0096 0,9968 0,0032 0,0010 2,7310 0,24 0,3876 0,5948 0,4052 0,2904 0,5304 0,74 0,3034 0,7704 0,2296 0,1334 0,8734 1,24 0,1849 0,8925 0,1075 0,0517 1,2917 1,74 0,0878 0,9591 0,0409 0,0166 1,7566 2,24 0,0325 0,9875 0,0125 0,0044 2,2444 2,74 0,0093 0,9969 0,0031 0,0009 2,7409 0,25 0,3867 0,5987 0,4013 0,2863 0,5363 0,75 0,3011 0,7734 0,2266 0,1312 0,8812 1,25 0,1826 0,8944 0,1056 0,0506 1,3006 1,75 0,0863 0,9599 0,0401 0,0162 1,7662 2,25 0,0317 0,9878 0,0122 0,0042 2,2542 2,75 0,0091 0,9970 0,0030 0,0009 2,7509 0,26 0,3857 0,6026 0,3974 0,2824 0,5424 0,76 0,2989 0,7764 0,2236 0,1289 0,8889 1,26 0,1804 0,8962 0,1038 0,0495 1,3095 1,76 0,0848 0,9608 0,0392 0,0158 1,7758 2,26 0,0310 0,9881 0,0119 0,0041 2,2641 2,76 0,0088 0,9971 0,0029 0,0009 2,7609 0,27 0,3847 0,6064 0,3936 0,2784 0,5484 0,77 0,2966 0,7794 0,2206 0,1267 0,8967 1,27 0,1781 0,8980 0,1020 0,0485 1,3185 1,77 0,0833 0,9616 0,0384 0,0154 1,7854 2,27 0,0303 0,9884 0,0116 0,0040 2,2740 2,77 0,0086 0,9972 0,0028 0,0008 2,7708 0,28 0,3836 0,6103 0,3897 0,2745 0,5545 0,78 0,2943 0,7823 0,2177 0,1245 0,9045 1,28 0,1758 0,8997 0,1003 0,0475 1,3275 1,78 0,0818 0,9625 0,0375 0,0150 1,7950 2,28 0,0297 0,9887 0,0113 0,0039 2,2839 2,78 0,0084 0,9973 0,0027 0,0008 2,7808 0,29 0,3825 0,6141 0,3859 0,2706 0,5606 0,79 0,2920 0,7852 0,2148 0,1223 0,9123 1,29 0,1736 0,9015 0,0985 0,0465 1,3365 1,79 0,0804 0,9633 0,0367 0,0146 1,8046 2,29 0,0290 0,9890 0,0110 0,0038 2,2938 2,79 0,0081 0,9974 0,0026 0,0008 2,7908 0,30 0,3814 0,6179 0,3821 0,2668 0,5668 0,80 0,2897 0,7881 0,2119 0,1202 0,9202 1,30 0,1714 0,9032 0,0968 0,0455 1,3455 1,80 0,0790 0,9641 0,0359 0,0143 1,8143 2,30 0,0283 0,9893 0,0107 0,0037 2,3037 2,80 0,0079 0,9974 0,0026 0,0008 2,8008 0,31 0,3802 0,6217 0,3783 0,2630 0,5730 0,81 0,2874 0,7910 0,2090 0,1181 0,9281 1,31 0,1691 0,9049 0,0951 0,0446 1,3546 1,81 0,0775 0,9649 0,0351 0,0139 1,8239 2,31 0,0277 0,9896 0,0104 0,0036 2,3136 2,81 0,0077 0,9975 0,0025 0,0007 2,8107 0,32 0,3790 0,6255 0,3745 0,2592 0,5792 0,82 0,2850 0,7939 0,2061 0,1160 0,9360 1,32 0,1669 0,9066 0,0934 0,0436 1,3636 1,82 0,0761 0,9656 0,0344 0,0136 1,8336 2,32 0,0270 0,9898 0,0102 0,0035 2,3235 2,82 0,0075 0,9976 0,0024 0,0007 2,8207 0,33 0,3778 0,6293 0,3707 0,2555 0,5855 0,83 0,2827 0,7967 0,2033 0,1140 0,9440 1,33 0,1647 0,9082 0,0918 0,0427 1,3727 1,83 0,0748 0,9664 0,0336 0,0132 1,8432 2,33 0,0264 0,9901 0,0099 0,0034 2,3334 2,83 0,0073 0,9977 0,0023 0,0007 2,8307 0,34 0,3765 0,6331 0,3669 0,2518 0,5918 0,84 0,2803 0,7995 0,2005 0,1120 0,9520 1,34 0,1626 0,9099 0,0901 0,0418 1,3818 1,84 0,0734 0,9671 0,0329 0,0129 1,8529 2,34 0,0258 0,9904 0,0096 0,0033 2,3433 2,84 0,0071 0,9977 0,0023 0,0007 2,8407 0,35 0,3752 0,6368 0,3632 0,2481 0,5981 0,85 0,2780 0,8023 0,1977 0,1100 0,9600 1,35 0,1604 0,9115 0,0885 0,0409 1,3909 1,85 0,0721 0,9678 0,0322 0,0126 1,8626 2,35 0,0252 0,9906 0,0094 0,0032 2,3532 2,85 0,0069 0,9978 0,0022 0,0006 2,8506 0,36 0,3739 0,6406 0,3594 0,2445 0,6045 0,86 0,2756 0,8051 0,1949 0,1080 0,9680 1,36 0,1582 0,9131 0,0869 0,0400 1,4000 1,86 0,0707 0,9686 0,0314 0,0123 1,8723 2,36 0,0246 0,9909 0,0091 0,0031 2,3631 2,86 0,0067 0,9979 0,0021 0,0006 2,8606 0,37 0,3725 0,6443 0,3557 0,2409 0,6109 0,87 0,2732 0,8078 0,1922 0,1061 0,9761 1,37 0,1561 0,9147 0,0853 0,0392 1,4092 1,87 0,0694 0,9693 0,0307 0,0119 1,8819 2,37 0,0241 0,9911 0,0089 0,0030 2,3730 2,87 0,0065 0,9979 0,0021 0,0006 2,8706 0,38 0,3712 0,6480 0,3520 0,2374 0,6174 0,88 0,2709 0,8106 0,1894 0,1042 0,9842 1,38 0,1539 0,9162 0,0838 0,0383 1,4183 1,88 0,0681 0,9699 0,0301 0,0116 1,8916 2,38 0,0235 0,9913 0,0087 0,0029 2,3829 2,88 0,0063 0,9980 0,0020 0,0006 2,8806 0,39 0,3697 0,6517 0,3483 0,2339 0,6239 0,89 0,2685 0,8133 0,1867 0,1023 0,9923 1,39 0,1518 0,9177 0,0823 0,0375 1,4275 1,89 0,0669 0,9706 0,0294 0,0113 1,9013 2,39 0,0229 0,9916 0,0084 0,0028 2,3928 2,89 0,0061 0,9981 0,0019 0,0006 2,8906 0,40 0,3683 0,6554 0,3446 0,2304 0,6304 0,90 0,2661 0,8159 0,1841 0,1004 1,0004 1,40 0,1497 0,9192 0,0808 0,0367 1,4367 1,90 0,0656 0,9713 0,0287 0,0111 1,9111 2,40 0,0224 0,9918 0,0082 0,0027 2,4027 2,90 0,0060 0,9981 0,0019 0,0005 2,9005 0,41 0,3668 0,6591 0,3409 0,2270 0,6370 0,91 0,2637 0,8186 0,1814 0,0986 1,0086 1,41 0,1476 0,9207 0,0793 0,0359 1,4459 1,91 0,0644 0,9719 0,0281 0,0108 1,9208 2,41 0,0219 0,9920 0,0080 0,0026 2,4126 2,91 0,0058 0,9982 0,0018 0,0005 2,9105 0,42 0,3653 0,6628 0,3372 0,2236 0,6436 0,92 0,2613 0,8212 0,1788 0,0968 1,0168 1,42 0,1456 0,9222 0,0778 0,0351 1,4551 1,92 0,0632 0,9726 0,0274 0,0105 1,9305 2,42 0,0213 0,9922 0,0078 0,0026 2,4226 2,92 0,0056 0,9982 0,0018 0,0005 2,9205 0,43 0,3637 0,6664 0,3336 0,2203 0,6503 0,93 0,2589 0,8238 0,1762 0,0950 1,0250 1,43 0,1435 0,9236 0,0764 0,0343 1,4643 1,93 0,0620 0,9732 0,0268 0,0102 1,9402 2,43 0,0208 0,9925 0,0075 0,0025 2,4325 2,93 0,0055 0,9983 0,0017 0,0005 2,9305 0,44 0,3621 0,6700 0,3300 0,2169 0,6569 0,94 0,2565 0,8264 0,1736 0,0933 1,0333 1,44 0,1415 0,9251 0,0749 0,0336 1,4736 1,94 0,0608 0,9738 0,0262 0,0100 1,9500 2,44 0,0203 0,9927 0,0073 0,0024 2,4424 2,94 0,0053 0,9984 0,0016 0,0005 2,9405 0,45 0,3605 0,6736 0,3264 0,2137 0,6637 0,95 0,2541 0,8289 0,1711 0,0916 1,0416 1,45 0,1394 0,9265 0,0735 0,0328 1,4828 1,95 0,0596 0,9744 0,0256 0,0097 1,9597 2,45 0,0198 0,9929 0,0071 0,0023 2,4523 2,95 0,0051 0,9984 0,0016 0,0005 2,9505 0,46 0,3589 0,6772 0,3228 0,2104 0,6704 0,96 0,2516 0,8315 0,1685 0,0899 1,0499 1,46 0,1374 0,9279 0,0721 0,0321 1,4921 1,96 0,0584 0,9750 0,0250 0,0094 1,9694 2,46 0,0194 0,9931 0,0069 0,0023 2,4623 2,96 0,0050 0,9985 0,0015 0,0004 2,9604 0,47 0,3572 0,6808 0,3192 0,2072 0,6772 0,97 0,2492 0,8340 0,1660 0,0882 1,0582 1,47 0,1354 0,9292 0,0708 0,0314 1,5014 1,97 0,0573 0,9756 0,0244 0,0092 1,9792 2,47 0,0189 0,9932 0,0068 0,0022 2,4722 2,97 0,0048 0,9985 0,0015 0,0004 2,9704 0,48 0,3555 0,6844 0,3156 0,2040 0,6840 0,98 0,2468 0,8365 0,1635 0,0865 1,0665 1,48 0,1334 0,9306 0,0694 0,0307 1,5107 1,98 0,0562 0,9761 0,0239 0,0090 1,9890 2,48 0,0184 0,9934 0,0066 0,0021 2,4821 2,98 0,0047 0,9986 0,0014 0,0004 2,9804 0,49 0,3538 0,6879 0,3121 0,2009 0,6909 0,99 0,2444 0,8389 0,1611 0,0849 1,0749 1,49 0,1315 0,9319 0,0681 0,0300 1,5200 1,99 0,0551 0,9767 0,0233 0,0087 1,9987 2,49 0,0180 0,9936 0,0064 0,0021 2,4921 2,99 0,0046 0,9986 0,0014 0,0004 2,9904
Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη:
4. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΑ ΖΗΤΗΣΗ Στις περισσότερες περιπτώσεις η ζήτηση είναι αβέβαια. Οι περιπτώσεις αυτές διαφέρουν ως προς το μέγεθος της αβεβαιότητας. Δηλαδή εάν η αβεβαιότητα είναι περιορισμένη
Διαβάστε περισσότεραΈλεγχος Αποθεμάτων. Γιώργος Λυμπερόπουλος. Γ. Λυμπερόπουλος - Διoίκηση Παραγωγής
Έλεγχος Αποθεμάτων Γιώργος Λυμπερόπουλος 1 Σημασία Ελέγχου Αποθεμάτων Η συνολική επένδυση σε αποθέματα σε μία χώρα είναι τεράστια (20-25% του ΑΕΠ). Τομείς οικονομίας με αποθέματα: Βιομηχανική παραγωγή
Διαβάστε περισσότεραΈλεγχος Αποθεμάτων υπό Σταθερή Ζήτηση
Έλεγχος Αποθεμάτων υπό Σταθερή Ζήτηση Γιώργος Λυμπερόπουλος 1 Οικονομική Ποσότητα Παραγγελίας (ΟΠΠ): βασικό μοντέλο 1 2 3 4 απόθεμα λ λ Σταθερός ρυθμός ζήτησης λ λ λ 2 ΟΠΠ: Βασικό πρότυπο Υποθέσεις Σταθερός
Διαβάστε περισσότεραΈλεγχος Αποθεμάτων υπό γνωστή χρονικά μεταβαλλόμενη ζήτηση
Έλεγχος Αποθεμάτων υπό γνωστή χρονικά μεταβαλλόμενη ζήτηση Γιώργος Λυμπερόπουλος Δυναμική Επιλογή Μεγέθους Παρτίδας (Dynamic Lo Sizing) Υποθέσεις/συμβολισμός Ο χρόνος είναι διαιρεμένος σε διακριτές χρονικές
Διαβάστε περισσότερα1 Έλεγχος Αποθεμάτων υπό Σταθερή Ζήτηση
1 Έλεγχος Αποθεμάτων υπό Σταθερή Ζήτηση 1.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό αναλύονται πρότυπα ελέγχου αποθεμάτων για προϊόντα με σταθερή ζήτηση. Παρότι η υπόθεση της σταθερής ζήτησης είναι περιοριστική, τα
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΠΡΟΓΡΑΜ- ΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Συνοπτικός (Συγκεντρωτικός) Προγραμματισμός Παραγωγής
ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΠΡΟΓΡΑΜ- ΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Συνοπτικός (Συγκεντρωτικός) Προγραμματισμός Παραγωγής Γιώργος Λυμπερόπουλος Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 17/3/2017 Γ. Λυμπερόπουλος - Διοίκηση
Διαβάστε περισσότεραΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Ενότητα #8: Βελτιστοποίηση Συστημάτων Ασαφούς Λογικής. Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ενότητα #8: Βελτιστοποίηση Συστημάτων Ασαφούς Λογικής Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΔιοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών
Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Διαχείριση Αποθεμάτων Ειδικά Μοντέλα Γιώργος Ιωάννου, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Σύνοψη διάλεξης Μοντέλο μη αυτόματου εφοδιασμού (Economic Lot size) Αλγόριθμος Wagner-Whitin
Διαβάστε περισσότεραΠρόλογος Κατανόηση της εφοδιαστικής αλυσίδας Σχεδιασμός δικτύου εφοδιαστικής αλυσίδας...41
Περιεχόμενα Πρόλογος...7 1 Κατανόηση της εφοδιαστικής αλυσίδας...9 2 Σχεδιασμός δικτύου εφοδιαστικής αλυσίδας...41 3 Πρόβλεψη της ζήτησης σε μια εφοδιαστική αλυσίδα...109 4 Συγκεντρωτικός προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. αλλού
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Η τυχαία μεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας που δίνεται από τον πίνακα: x f(x) / / / / / Να βρεθεί η μέση τιμή και η διασπορά.. Η τυχαία μεταβλητή
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ (MSc)
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ (MSc) ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΣΕ60 Ακαδημαϊκό Έτος: 207-208 η Γραπτή Εργασία Επιβλέπων
Διαβάστε περισσότεραΠροβλέψεις. Γιώργος Λυμπερόπουλος. Γ. Λυμπερόπουλος - Διοίκηση Παραγωγής
Προβλέψεις Γιώργος Λυμπερόπουλος 1 Προβλέψεις: Εισαγωγή Γιατί προβλέψεις; Έγκαιρος προγραμματισμός και λήψη αποφάσεων Προβλέψεις τίνος; Τμήμα πωλήσεων (μάρκετινγκ) Ζήτηση νέων και υφιστάμενων σειρών προϊόντων
Διαβάστε περισσότεραΠροσομoίωση Απόκρισης Συστήματος στο MATLAB
Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Προσομoίωση Απόκρισης Συστήματος στο MATLAB Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Προσομoίωση Απόκρισης Συστήματος στο MATLAB του καθ. Ιωάννη
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω μια συνάρτηση ff που έχει πεδίο ορισμού το ΔΔ. 1. Πότε η ffλέγεται συνεχής στο xx 0 ΔΔ ; 2. Πότε η ff λέγεται συνεχής; (Μονάδες
Διαβάστε περισσότεραΤρίτο πακέτο ασκήσεων
ΕΚΠΑ Ακαδημαϊκό έτος 018-019 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μάθημα: Μικροοικονομική Θεωρία Ι Τρίτο πακέτο ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης Παρασκευή 18 Ιανουαρίου (στο μάθημα της κ. Κουραντή, του κ. Παπανδρέου
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών Ι. Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης. Απόκριση Συστημάτων 1 ου Βαθμού Ελευθερίας, που περιγράφονται από Σ.Δ.Ε.
Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Απόκριση Συστημάτων 1 ου Βαθμού Ελευθερίας, που περιγράφονται από Σ.Δ.Ε. 1 ης τάξης Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Απόκριση Συστημάτων
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ενότητα #9: Σύστημα ης τάξης: Χρονική Απόκριση και Χαρακτηριστικά Μεγέθη (Φυσικοί Συντελεστές) Δημήτριος
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ I
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ I Άσκηση 1 Ερώτημα (i) HH 0 : μμ 1 = μμ = μμ 3 = μμ 4 = μμ HH 1 : τουλάχιστον
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 B ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: 3 η ΤΑΞΗ ΕΠΑ.Λ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Ημερομηνία: Σάββατο 11 Μαΐου 2019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Έστω tt 1, tt 2,, tt νν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ
ΤΑΞΗ: A ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Ημερομηνία: Σάββατο 11 Μαΐου 019 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α Α1. Θεωρία. Σχολικό βιβλίο σελίδα 90 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α. (αα 1) β. (ββ 3) γ. (γγ ) δ. (δδ 5) Α3. α.
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Σε αντίθεση με την διακριτή τυχαία μεταβλητή, μία συνεχής τυχαία μεταβλητή παίρνει μη-αριθμήσιμο (συνεχές) πλήθος τιμών. Δεν μπορούμε να καταγράψουμε το σύνολο των τιμών
Διαβάστε περισσότεραΠίνακες Ορίζουσες. Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες.
1 Πίνακες Ορίζουσες Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες. Παράδειγμα (χορήγηση Βαλασικλοβιρης (αντιυπερτασικό) σε νήπια) Ηλικία (μήνες) Μέσο Cmax (μg/ml) Μέσο βάρος
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Αποθεµάτων. Υποθέστε ότι την στιγμή αυτή υπάρχει στην αποθήκη απόθεμα για 5 μήνες.
Ασκήσεις Αποθεµάτων 1. Το πρόγραμμα παραγωγής μιας βιομηχανίας προβλέπει την κατανάλωση 810.000 μονάδων πρώτης ύλης το χρόνο, με ρυθμό πρακτικά σταθερό, σε όλη τη διάρκεια του έτους. Η βιομηχανία εισάγει
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση Δυναμικών Εξισώσεων
Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Επίλυση Δυναμικών Εξισώσεων Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Επίλυση Δυναμικών Εξισώσεων του καθ. Ιωάννη Αντωνιάδη και υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΑπόκριση σε Αρμονική Διέγερση
Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση του καθ. Ιωάννη Αντωνιάδη και υπόκειται
Διαβάστε περισσότερα3. Κατανομές πιθανότητας
3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.
Διαβάστε περισσότεραΔιοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών
Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Διαχείριση Αποθεμάτων Συστήματα Συνεχούς και Περιοδικής Αναθεώρησης Γιώργος Ιωάννου, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Σύνοψη διάλεξης Συστήματα ελέγχου αποθεμάτων Σύστημα συνεχούς
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδοι Βελτιστοποίησης
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # 7: Έλεγχος Αποθεμάτων Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ. Από το βιβλίο: Κώστογλου, Β. (2015). Επιχειρησιακή Έρευνα. Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Τζιόλα
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ 1 Εισαγωγικά Απόθεμα εννοείται κάθε είδους αγαθό, το οποίο μπορεί να αποθηκευτεί με στόχο την τρέχουσα ή μελλοντική χρησιμοποίησή του. Αποθέματα συναντώνται σε κάθε
Διαβάστε περισσότεραΜοντέλα Διαχείρισης Αποθεμάτων
Μοντέλα Διαχείρισης Αποθεμάτων 2 Εισαγωγή (1) Ο όρος απόθεμα αναφέρεται σε προϊόντα και υλικά που αποθηκεύονται από την επιχείρηση για μελλοντική χρήση Τα αποθέματα μπορεί να περιλαμβάνουν Πρώτες ύλες
Διαβάστε περισσότεραΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Ενότητα #3: Αρχή της Επέκτασης - Ασαφείς Σχέσεις. Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ενότητα #3: Αρχή της Επέκτασης - Ασαφείς Σχέσεις Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΠρογραμματισμός και έλεγχος αποθεμάτων. Source: Corbis
Προγραμματισμός και έλεγχος αποθεμάτων Source: Corbis Προγραμματισμός και έλεγχος αποθεμάτων Προγραμματισμός και έλεγχος αποθεμάτων Στρατηγική παραγωγής Η αγορά απαιτεί μια ποσότητα προϊόντων και υπηρεσιών
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ
ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Ημερομηνία: Σάββατο 4 Μαΐου 09 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α Α. β Α. γ Α3. γ Α4. γ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α5. α. Σωστό β. Λάθος γ. Λάθος δ. Λάθος ε. Λάθος ΘΕΜΑ Β Β. β. Άπο τη
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΑ Χ Ρ ΗΜ ΑΤ ΙΣ Τ ΗΡ ΙΑ CISCO EXPO 2009 G. V a s s i l i o u - E. K o n t a k i s g.vassiliou@helex.gr - e.k on t ak is@helex.gr 29 Α π ρ ι λ ί ο υ 20 0 9 Financial Services H E L E X N O C A g e
Διαβάστε περισσότεραx, x γνησίως μονότονη. (σελ. 35 σχολικό βιβλίο)
ΘΕΜΑ Α: A.. Σχολικό Βιβλίο σελ. 99 A.. α) Ψ, β) Η συνάρτηση f ( ) = είναι - αλλά δεν είναι, > γνησίως μονότονη. (σελ. 5 σχολικό βιβλίο) A.. Σχολικό Βιβλίο σελ. 6 A.4 α)λάθος β)λάθος γ) Σωστό δ) Σωστό ε)
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ (ECΟ465) ΥΛΙΣΜΙΚΟ/ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΕΙΚΟΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ (ECΟ465) ΥΛΙΣΜΙΚΟ/ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΕΙΚΟΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ 1 ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΤΗΤΕΣ ΔΙΚΤΥΟΥ o Μια μεγάλη πλειοψηφία προϊόντων χαρακτηρίζεται από εξωτερικότητες δικτύου. ΟΡΙΣΜΟΣ. Ένα
Διαβάστε περισσότεραCase 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)
Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραΤεχνο-οικονοµικά Συστήµατα ιοίκηση Παραγωγής & Συστηµάτων Υπηρεσιών
Τεχνο-οικονοµικά Συστήµατα ιοίκηση Παραγωγής & Συστηµάτων Υπηρεσιών 9. ιαχείριση αποθεµάτων Μοντέλα διαχείρισης Η αβεβαιότητα στη διαχείριση αποθεµάτων Συστήµατα Kanban/Just In Time (JIT) Εισηγητής: Θοδωρής
Διαβάστε περισσότεραΠίνακες Γραμμικά Συστήματα
Πίνακες Γραμμικά Συστήματα 1. Είδη Πινάκων Οι πίνακες είναι ένα χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο, με εφαρμογές και διασυνδέσεις σε πολλές επιστήμες. Η σημαντικότερη εφαρμογή των πινάκων είναι στην επίλυση συστημάτων
Διαβάστε περισσότεραHMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι)
HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Χρόνου (Ι) Στοχαστικά σήματα Στα προηγούμενα: Ντετερμινιστικά
Διαβάστε περισσότεραΕπώνυµη ονοµασία. Ενότητα 13 η Σχεδίαση,Επιλογή, ιανοµή Προϊόντων 1
Επώνυµη ονοµασία Η επώνυµη ονοµασία είναι αυτή η ονοµασία που ξεχωρίζει τα προϊόντα και τις υπηρεσίες µας από αυτές των ανταγωνιστών. Οι σχετικές αποφάσεις θα επηρεαστούν από τις εξής ερωτήσεις: 1. Χρειάζεται
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 4 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.
Διαβάστε περισσότεραΗ άριστη ποσότητα παραγγελίας υπολογίζεται άμεσα από τη κλασική σχέση (5.5): = 1000 μονάδες
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Η ετήσια ζήτηση ενός σημαντικού εξαρτήματος που χρησιμοποιείται στη μνήμη υπολογιστών desktops εκτιμήθηκε σε 10.000 τεμάχια. Η αξία κάθε μονάδας είναι 8, το κόστος παραγγελίας κάθε παρτίδας
Διαβάστε περισσότερα1 x-μ - 2 σ. e σ 2π. f(x) =
Κανονική κατανομή Η πιο σημαντική κατανομή πιθανοτήτων της στατιστικής είναι η κανονική κατανομή. Η κανονική κατανομή είναι συνεχής κατανομή, σε αντίθεση με την διωνυμική που είναι διακριτή κατανομή. Τα
Διαβάστε περισσότεραΤυχαία μεταβλητή (τ.μ.)
Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200
ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ. Ι. Προσδιοριστικά Μοντέλα αποθεµάτων
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ Οι αποφάσεις σχετικά µε την διαχείριση ή «πολιτική» των αποθεµάτων που πρέπει να πάρει κάποιος, ασχολείται µε το «πόσο» πρέπει να παραγγείλει (ή να παράγει) και «πότε» να παραγγείλει
Διαβάστε περισσότεραΣε βιομηχανικό περιβάλλον η αποθεματοποίηση γίνεται στις εξής μορφές
3. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΟΣ 3. Τι Είναι Απόθεμα Σε βιομηχανικό περιβάλλον η αποθεματοποίηση γίνεται στις εξής μορφές. Απόθεμα Α, Β υλών και υλικών συσκευασίας: Είναι το απόθεμα των υλικών που χρησιμοποιούνται
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων
Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Copyright 2009 Cengage Learning 8.1 Συναρτήσεις Πυκνότητας Πιθανοτήτων Αντίθετα με τη διακριτή τυχαία μεταβλητή που μελετήσαμε στο Κεφάλαιο 7, μια συνεχής τυχαία
Διαβάστε περισσότεραWhat happens when two or more waves overlap in a certain region of space at the same time?
Wave Superposition What happens when two or more waves overlap in a certain region of space at the same time? To find the resulting wave according to the principle of superposition we should sum the fields
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ενότητα #4: Μαθηματική εξομοίωση συστημάτων στο επίπεδο της συχνότητας Μετασχηματισμός Laplace και
Διαβάστε περισσότεραΤι είναι απόθεµα (Inventory) ;
Τι είναι απόθεµα (Inventory) ; κάθε αδρανές οικονοµικό µέσο ή πόρος που διατηρείται για την ικανοποίηση µελλοντικής ζήτησης γι αυτό. 1995 Corel Corp. 1984-1994 T/Maker Co. 1984-1994 T/Maker Co. 3 Απόθεµα
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Ενότητα #7: Σύστημα Ασαφούς Λογικής Μαθηματικές Εκφράσεις
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ενότητα #7: Σύστημα Ασαφούς Λογικής Μαθηματικές Εκφράσεις Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.
Διαβάστε περισσότεραΑπό τις (1) και (2) έχουμε:
ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ 3 ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ, ΟΠΤΙΚΕΣ, ΜΑΓΝΗΤΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ» ΤΟΥ ΠΑΤΡΙΚ ΑΣΕΝΟΒ (OR STEVE HARRIS FOR MY FRIENDS FROM THE SHMMY FORUM) Θέμα ον : Έχουμε ιοντικό
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ακρότατα συναρτήσεων δύο μεταβλητών Συνάρτηση παραγωγής Ελαστικότητα Μακροοικονομικό μοντέλο Μεγιστοποίηση κερδών ακρότατα Για να βρούμε τα ακρότατα μίας συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραP(200 X 232) = =
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Το μέγεθος ενός αναλογικού σήματος, που λαμβάνεται από έναν ανιχνευτή και μετράται σε microvolts, είναι τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την Κανονική κατανομή Ν(00, 6) σε συγκεκριμένη
Διαβάστε περισσότεραΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις
ΔΕΟ - Επαναληπτικές Εξετάσεις Λύσεις ΘΕΜΑ () Το Διάγραμμα Διασποράς εμφανίζεται στο επόμενο σχήμα. Από αυτό προκύπτει καταρχήν μία θετική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Επίσης, από το διάγραμμα φαίνεται
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ενότητα #7: Άλγεβρα Βαθμίδων (μπλόκ) Ολική Συνάρτηση Μεταφοράς Δημήτριος Δημογιαννόπουλος Τμήματος
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός
Γραμμικός Προγραμματισμός Εφαρμογή σε Άλλα Προβλήματα Διαχείρισης Έργων Π. Γ. Υψηλάντης ΓΠ στη Διοίκηση Έργων Προβλήματα μεταφοράς και δρομολόγησης Αναθέσεις προσωπικού Επιλογή προμηθευτών Καθορισμός τοποθεσίας
Διαβάστε περισσότεραΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ
ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 34 Ν. ΠΑΝΤΕΛΗ ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ & ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2012 1 ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 34 ΚΟΣΤΗ Ν.
Διαβάστε περισσότεραΔιαχείριση Υδατικών Πόρων
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Διαχείριση Υδατικών Πόρων Θέμα εξαμήνου: Διαχείριση ταμιευτήρων πολλαπλού σκοπού Χ. Μακρόπουλος, Αναπ. Καθηγητής
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΜοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Πολλών Βαθμών Ελευθερίας
Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Πολλών Βαθμών Ελευθερίας Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Πολλών
Διαβάστε περισσότεραIII.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE
III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE 1.Ισοτικός περιορισμός.περιορισμένη στασιμότητα 3.Πολλαπλασιαστής Lagrange 4.Συνάρτηση Lagrange 5.Ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange 6.Περιορισμένη τετραγωνική μορφή 7.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 12. Στοιχεία του Λογισμού των Μεταβολών
Κεφάλαιο 12. Στοιχεία του Λογισμού των Μεταβολών 1. Εισαγωγή Στα τελευταία χρόνια υπήρξε μια μεγάλη ποικιλία εφαρμογών των μεταβολικών μεθόδων σε πολλά πεδία της επιστήμης και της τεχνολογίας. Για το λόγο
Διαβάστε περισσότεραIII.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE
III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE 1.Ισοτικός περιορισμός.περιορισμένη στασιμότητα 3.Πολλαπλασιαστής Lagrange 4.Συνάρτηση Lagrange 5.Ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange 6.Περιορισμένη τετραγωνική μορφή 7.
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ
ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ημερομηνία: Σάββατο 4 Μαΐου 2019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Α.1 α) ΣΩΣΤΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΟΜΑΔΑ ΠΡΩΤΗ
Διαβάστε περισσότεραΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
- - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικοί Διαγωνισμοί για Μαθητές Λυκείου Α ΤΕΥΧΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ
Μαθηματικοί Διαγωνισμοί για Μαθητές Λυκείου Α ΤΕΥΧΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Δάτης Καλάλη Αγαπητέ αναγνώστη, Πρόλογος Η ιδέα για τη συγγραφή αυτού του βιβλίου προέκυψε από τη διαπίστωση ότι πολλοί μαθητές λαμβάνουν μέρος
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ενότητα #6: Συστήματα Ασαφούς Λογικής Ασαφοποιητές - Αποασαφοποιητές Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Πελοποννήσου
Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο
Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Μια κατασκευαστική εταιρία κατασκευάζει εξοχικές κατοικίες κοντά σε γνωστά θέρετρα της Εύβοιας Η
Διαβάστε περισσότεραΑνταγωνισμός για την Καλή Θέληση Πελατών βάσει της Διαθεσιμότητας Προϊόντων *
Ανταγωνισμός για την Καλή Θέληση Πελατών βάσει της Διαθεσιμότητας Προϊόντων Ισίδωρος Τσικής και Γιώργος Λυμπερόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιομηχανίας, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας, sks@me.uh.gr Περίληψη
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:
Άσκηση 1: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν στατιστικές μέσες τιμές 0 και διασπορές 25 και 36 αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης των 2 τυχαίων μεταβλητών είναι 0.4. Να υπολογισθούν η διασπορά του
Διαβάστε περισσότεραAssociate. Prof. M. Krokida School of Chemical Engineering National Technical University of Athens. ΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗ ΑΕΡΙΩΝ Gas Absorption
Associate. Prof. M. Krokida School of Chemical Engineering National Technical University of Athens ΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗ ΑΕΡΙΩΝ Gas Absorption Παράγοντες που Επηρεάζουν Διεργασία Απορρόφησης Συνήθως δίνονται: Ρυθμός
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδοι Βελτιστοποίησης
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # 7: Ασκήσεις - Παραδείγματα Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις. ΘΕΜΑ Α A1. Απόδειξη σελ. 144 Α2. Α. ii. B. iv A3. Ορισμός σελ. 162 Α4. i. Λ ii. Σ iii. Λ iv. Σ v. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
ΑΡΧΗ ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΡΕΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Απόδειξη σελ. 44 Α. Α. ii. B. iv A3. Ορισμός σελ. 6 Α4. i. Λ ii. Σ iii.
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (11/05/2011, 9:00)
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών Θεματική Ενότητα Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών ΔΕΟ 3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος 00-0 ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (/05/0, 9:00) Να απαντηθούν 4 από τα 5
Διαβάστε περισσότεραΚατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Y=g(X) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ13 ( 1 )
Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής =() Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( ) Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Έστω τ.μ. Χ με γνωστή κατανομή. Δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραΔυναμικότητα (GWh) A B C Ζήτηση (GWh) W X Y Z
Άσκηση Η εταιρία ηλεκτρισμού ELECTRON έχει τρείς μονάδες ηλεκτροπαραγωγής Α, Β, C και θέλει να καλύψει τη ζήτηση σε τέσσερις πόλεις W, Χ, Υ, Ζ. Η μέγιστη παραγωγή, η απαιτούμενη ζήτηση και το κόστος μεταφοράς
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,
Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση
Διαβάστε περισσότεραΛυμένες ασκήσεις στα πλαίσια του μαθήματος «Διοίκηση Εφοδιαστικής Αλυσίδας»
Λυμένες ασκήσεις στα πλαίσια του μαθήματος «Διοίκηση Εφοδιαστικής Αλυσίδας» Άσκηση 1. Έστω ότι μια επιχείρηση αντιμετωπίζει ετήσια ζήτηση = 00 μονάδων για ένα συγκεκριμένο προϊόν, σταθερό κόστος παραγγελίας
Διαβάστε περισσότεραΘεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας
Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ
Διαβάστε περισσότερα7.1. Εισαγωγή Τύποι Αποθεμάτων Βασικοί Τύποι αποθεμάτων Μέθοδοι Μείωσης παραγγελιών Ταξινόμηση ΑΒC...
Κεφάλαιο 7: ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ Περιεχόμενα 7.1. Εισαγωγή... 2 7.2. Το Πρόβλημα Διαχείρισης Αποθεμάτων... 4 7.2.1 Σκοπός Διατήρησης Αποθεμάτων... 4 7.2.2 Στοιχεία Κόστους Αποθεμάτων... 4 7.2.3 Εξαρτημένη
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ενότητα #10: Σύστηματα και Απόκριση Συχνότητας - Λογαριθμικά Διαγράμματα BODE Δημήτριος Δημογιαννόπουλος
Διαβάστε περισσότερα3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex
3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x
Διαβάστε περισσότεραΜ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ.
Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ. π.χ. Βαθμολογία διαγωνίσματος σε τμήματα: Α : 7, 11,16, 16,,. Β : 11, 13, 16, 16, 17, 17. Παρατήρηση : Για τέτοιους λόγους χρειάζεται και η εξέταση κάποιων μέτρων διασποράς
Διαβάστε περισσότεραCase 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ
Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Η «OutBoard Motors Co» παράγει τέσσερα διαφορετικά είδη εξωλέμβιων (προϊόντα 1 4) Ο γενικός διευθυντής κ. Σχοινάς, ενδιαφέρεται
Διαβάστε περισσότεραΠροβλήματα Μαρκοβιανών Αλυσίδων
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Προβλήματα Μαρκοβιανών Αλυσίδων Γιώργος Λυμπερόπουλος 2009 1. Να βρεθούν οι κλάσεις καταστάσεων στις παρακάτω Μαρκοβιανές αλυσίδες και να σημειωθεί αν
Διαβάστε περισσότερα«ΤΟ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ EOQ ΣΤΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ»
Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΤΟ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ EOQ ΣΤΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ» Του σπουδαστή ΜΑΧΑΙΡΟΥΔΗ KΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ Επιβλέπων Δρ. ΓΕΡΟΝΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Αναπληρωτής
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 12 Προγραµµατισµός και έλεγχος αποθεµάτων
Κεφάλαιο 12 Προγραµµατισµός και έλεγχος αποθεµάτων Source: Corbis Προγραµµατισµός και έλεγχος αποθεµάτων Προγραµµατισµός και έλεγχος αποθεµάτων Στρατηγική παραγωγής Η αγορά απαιτεί µια ποσότητα προϊόντων
Διαβάστε περισσότεραΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ
ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΝ ΠΑΡΑΓΓΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ` ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΝ ΕΞΙΣΣΕΝ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΓΟΥΣ ΔΙΠΛΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Μ.Δ.Ε. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΙΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΝ ΟΛΓΑ
Διαβάστε περισσότεραP (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B)
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (4η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραίκτυα Επικοινωνίας Υπολογιστών
ίκτυα Επικοινωνίας Υπολογιστών Ενότητα: Ασκήσεις για την ενότητα 5 (Στοιχεία Θεωρίας Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης) Ιωάννης Μοσχολιός Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σελίδα 2 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραHMY 795: Αναγνώριση Προτύπων
HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 6 Κατανομές πιθανότητας και εκτίμηση παραμέτρων Κατανομές πιθανότητας και εκτίμηση παραμέτρων κανονικές τυχαίες μεταβλητές Εκτίμηση παραμέτρων δυαδικές τυχαίες μεταβλητές
Διαβάστε περισσότερασυγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό;
Γραπτή Εξέταση Περιόδου Ιουνίου 008 στο Μάθημα Στατιστική /07/08. Η πιθανότητα να υπάρχει στο υπέδαφος μιας συγκεκριμένης περιοχής εκμεταλλεύσιμο κοίτασμα πετρελαίου είναι 50%. Μια εταιρεία, που πρόκειται
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Θεωρία Ρυθμού Παραμόρφωσης
Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Θεωρία Ρυθμού Παραμόρφωσης Θεωρία Ρυθμού-Παραμόρφωσης Θεώρημα Κωδικοποίησης Πηγής: αν έχω αρκετά μεγάλο μπλοκ δεδομένων, μπορώ να φτάσω κοντά στην εντροπία Πιθανά Προβλήματα: >
Διαβάστε περισσότερα