Έλεγχος Αποθεμάτων υπό Αβέβαιη Ζήτηση

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Έλεγχος Αποθεμάτων υπό Αβέβαιη Ζήτηση"

Transcript

1 Έλεγχος Αποθεμάτων υπό Αβέβαιη Ζήτηση Γιώργος Λυμπερόπουλος 1

2 Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Υποθέσεις/Συμβολισμός Ορίζοντας μίας περιόδου Αβέβαιη ζήτηση περιόδου: DD (μονάδες). Υπόθεση: DD συνεχής τυχαία μεταβλητή Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και αθροιστική συνάρτηση κατανομής της DD: ff xx και FF(xx) aa FF aa PP DD aa dddd(xx) = ff xx dddd ff aa = dddd xx=0 xx=aa Άπειρος ρυθμός παραγωγής/αναπλήρωσης αποθέματος (στιγμιαία αναπλήρωση αποθέματος) Μηδενικός χρόνος αναπλήρωσης αποθέματος Μοναδιαίο κόστος πλεονάσματος: κόστος ανά μονάδα θετικού αποθέματος που απομένει στο τέλος της περιόδου: cc oo ( ανά εναπομένουσα μονάδα) Μοναδιαίο κόστος ελλείμματος: κόστος ανά μονάδα ανικανοποίητης ζήτησης (αρνητικό εναπομένον απόθεμα) στο τέλος της περιόδου: cc uu ( ανά μονάδα έλλειψης ή ανικανοποίητης ζήτησης) Δεν υπάρχει σταθερό κόστος ετοιμασίας παραγωγής/παραγγελίας Απόφαση Ποσότητα παραγγελίας στην αρχή της περιόδου: (μονάδες) 2

3 Ορισμοί Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Θετικό απόθεμα που απομένει στο τέλος της περιόδου: II + Ανικανοποίητη ζήτηση (αρνητικό απόθεμα) στο τέλος της περιόδου: II II + = DD + max DD, 0 II = DD + max DD, 0 Συνολικό κόστος πλεονάσματος και ελλείμματος στο τέλος της περιόδου: GG(, DD) GG, DD = cc oo II + + cc uu II = cc oo DD + + cc uu DD + Προσδοκώμενο κόστος: GG() GG = EE DD GG(, DD) = = cc oo xx=0 = cc oo xx=0 xx=0 xx + ff xx dddd + cc uu xx ff xx dddd + cc uu GG, xx ff xx dddd xx=0 xx= xx + ff xx dddd xx ff xx dddd 3

4 Πρότυπο Εφημεριδοπώλη II + = DD + max DD, 0 ff xx II = DD + max DD, 0 cc oo xx ff xx dddd cc uu xx= xx ff xx dddd xx=0 μμ = EE DD DD 4

5 Πρόβλημα Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Minimize G ( ) Πρώτη παράγωγος της συνάρτησης κόστους dg( ) d d = co ( x) f ( x) dx cu ( x ) f ( x) dx d + x= 0 x= d = c ( x) f ( x) dx + 1( x) f( x) 0( x) f( x) + x= x= 0 d o x= 0 d cu ( x ) f ( x) dx + 0( x ) f( x) 1( x ) f( x) x d x= = c 1 f ( x) dx + c ( 1) f ( x) dx o u x= 0 x= = cf ( ) c [ 1 F ( )] o u = x= 5

6 Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Δεύτερη παράγωγος 2 dg ( ) d 2 [ cf o c u F ] c o c u f d = ( ) [1 ( )] = ( + ) ( ) 0 d Συνθήκη πρώτης τάξης για ελαχιστοποίηση dg( ) d = 0 = 0 cf ( ) c[1 F ( )] = 0 ( c+ c) F ( ) = c o u o u u c * * u * 1 u : F ( ) = = F co + cu co + cu Σημείωση: Το FF είναι ο ρυθμός πλήρωσης, δηλαδή η πιθανότητα ότι μια ζήτηση θα ικανοποιηθεί Υπενθύμιση: Πρότυπο ΟΠΠ με εκκρεμείς παραγγελίες: FF = bb c h+bb 6

7 Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Ειδική περίπτωση: DD~Κανονική μμ, σσ D µ µ µ F( ) = P( D ) = P = Φ σ σ σ Normal(0,1) µ F ( ) =Φ ( z), z= σ Το Φ ( z) αθροιστική συνάρτηση τυποποιημένης Κανονικής κατανομής και συνεπώς το F ( ) μπορούν αν υπολογιστούν από τους πίνακες της τυποποιημένης Κανονικής κατανομής z Φ( z) Φ( z)

8 Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Ειδική περίπτωση: DD~Κανονική μμ, σσ συνέχεια * * * * cu µ cu µ 1 cu : F ( ) = Φ = =Φ co + cu σ co + cu σ co + cu * z = µ + σ z cu ( co+ cu ) c ( c + c ) cu 80 = = 0.80 z0.80 = 0.85 c + c o u µ σ u o u Παράδειγμα DD~Κανονική 120,45 τιμή αγοράς cc = 30 cu = S c= = 80 τιμή πώλησης SS = 110 co = c s = = 20 τιμή διάσωσης ss = * = + z0.80 = + = + = 8

9 Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Επέκταση: Διακριτή ζήτηση Αβέβαιη ζήτηση περιόδου: DD (μονάδες). Υπόθεση: DD διακριτήτυχαία μεταβλητή Συνάρτηση μάζας πιθανότητας και αθροιστική συνάρτηση κατανομής της DD: pp xx και FF(xx) FF aa PP DD aa = pp xx pp aa FF aa FF(aa 1) Προσδοκώμενο κόστος: GG() GG xx aa = EE DD GG(, DD) = GG, xx pp xx Πρόβλημα: Minimize Διαφορά πρώτης τάξης GG + 1 GG xx GG() 1 = cc oo = cc oo pp xx cc uu xx=0 Συνθήκη πρώτης τάξης για ελαχιστοποίηση xx=0 xx=+1 xx pp xx + cc uu xx= xx pp xx pp xx = cc oo FF cc uu 1 FF() : ελάχιστο τέτοιο ώστε GG + 1 GG 0 cc oo FF cc uu 1 FF() 0 : ελάχιστο τέτοιο ώστε FF() cc uu cc oo +cc uu 9

10 Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Επέκταση: Αρχικό απόθεμα: yy > 0 Εξακολουθούμε να θέλουμε να βρισκόμαστε στο μετά την παραγγελία διότι το ελαχιστοποιεί το GG Ποσότητα παραγγελίας: UU Τώρα η βέλτιστη πολιτική εξαρτάται από το αρχικό απόθεμα: UU (yy) = yy, αν yy < 0, αν yy Σημείωση: UU βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας βέλτιστο σημείο «έως το οποίο δίνεται παραγγελία» ζητούμενο επίπεδο αποθέματος επίπεδο αποθέματος βάσης 10

11 Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Ερμηνεία των cc oo και cc uu για το πρότυπο μίας περιόδου SS = τιμή πώλησης ( ανά μονάδα) cc = μεταβλητό κόστος ( ανά μονάδα) h = κόστος διατήρησης αποθέματος ( ανά μονάδα προϊόντος ανά μονάδα χρόνου) pp = κόστος απώλειας καλής πίστης ( ανά μονάδα έλλειψης ανά μονάδα χρόνου) + + G(, D) = c + h( D) + p( D ) Smin(, D) κόστος παραγγελίας κόστος εναπομένοντος αποθέματος κόστος ελλείμματος πωλήσεις p+ S c = = + = + p+ S + h * : F ( ) cu p S c, co h c έσοδα πωλήσεων G( ) = E[ G(, D)] = c + h ( x) f ( x) dx + p ( x ) f ( x) dx S[ xf ( x) dx + f ( x) dx] D 0 0 = c + h ( x) f ( x) dx + ( p + S) ( x ) f ( x) dx Sµ µ xf ( x) dx 0 dg( ) = 0 c+ hf ( ) ( p+ S)(1 F ( )) = 0 µ ( x ) f ( x) dx d 11

12 Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Επέκταση: άπειρες περίοδοι (άπειρος ορίζοντας) με εκκρεμείς παραγγελίες Ίδιες υποθέσεις όπως στο πρότυπο της μιας περιόδου εκτός του ότι: DD tt = ζήτηση την περίοδο tt. Οι DD 1, DD 2, DD 3, είναι ανεξάρτητες και πανομοιότυπα κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές με κατανομή ff xx, FF(xx) UU tt = ποσότητα παραγγελίας την περίοδο tt Η βέλτιστη πολιτική παραγγελίας σε κάθε περίοδο είναι «παραγγελία έως το» Μακροχρόνια, το απόθεμα δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο από το Στην μόνιμη κατάσταση (μακροχρόνια): UU tt = DD tt 1 Απόθεμα / Εκκρεμείς παραγγελίες Μεταβατική κατάσταση Μόνιμη κατάσταση UU tt = DD tt 1 Χρόνος tt 12

13 Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Επέκταση: άπειρες περίοδοι (άπειρος ορίζοντας) με εκκρεμείς παραγγελίες (συνέχεια) Συνολικό κόστος σε μία περίοδο με ζήτηση DD + + GD (, ) = ( c S) D + h ( D) + pd ( ) κόστος παραγγελίας έσοδα πωλήσεων κόστος διατήρησης αποθέματος κόστος εκκρεμών παραγγελειών Προσδοκώμενο μέσο κόστος ανά περίοδο + + G( ) = E[ G(, D)] = ( c S) µ + he[( D) ] + pe[( D ) ] Συνθήκη πρώτης τάξης για την ελαχιστοποίηση του GG() dg( ) d D = 0 hf ( ) p(1 F ( )) = 0 p = = = p+ h * * : F ( ) τύπος του "εφημεριδοπώλη" με cu p, co h Σημείωση: Τα cc και SS δεν παίζουν κανέναν ρόλο στον καθορισμό του, επειδή μακροχρόνια όλες οι ζητήσεις θα ικανοποιηθούν ανεξάρτητα από την τιμή του. Συνεπώς, το προσδοκώμενο μέσο κόστος παραγγελίας μείον τα έσοδα ανά περίοδο θα είναι cc SS μμ ανεξάρτητα από την τιμή του. 13

14 Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Επέκταση: άπειρες περίοδοι (άπειρος ορίζοντας) με χαμένες πωλήσεις Ίδιες υποθέσεις όπως στο πρότυπο του απείρου ορίζοντα με εκκρεμείς παραγγελίες με τη διαφορά ότι: Η ανικανοποίητη ζήτηση δεν μπαίνει σε εκκρεμότητα αλλά χάνεται Στην μόνιμη κατάσταση (μακροχρόνια): UU tt = min(, DD tt 1 ) Απόθεμα / χαμένες πωλήσεις Μεταβατική κατάσταση UU tt = min(, DD tt 1 ) Χρόνος tt 14

15 Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Επέκταση: άπειρες περίοδοι (άπειρος ορίζοντας) με χαμένες πωλήσεις (συνέχεια) Συνολικό κόστος σε μία περίοδο με ζήτηση DD Προσδοκώμενο μέσο κόστος ανά περίοδο Συνθήκη πρώτης τάξης για την ελαχιστοποίηση του GG() dg( ) d GD (, ) = ( c S) min( D, ) + h ( D) + pd ( ) * * F cu p S c co h Σημείωση: G( ) = E[ G(, D)] = ( c S) µ E[( D ) ] + he[( D) ] + pe[( D ) ] D = 0 hf ( ) ( p+ S c)(1 F ( )) = 0 p+ S c : ( ) = τύπος του "εφημεριδοπώλη" με = +, = p+ S c+ h Τώρα, τα cc και SS παίζουν ρόλο στον καθορισμό του, επειδή μακροχρόνια οι ζητήσεις που ικανοποιούνται και οι παραγγελίες ανά περίοδο θα είναι min(, DD), άρα εξαρτώνται από την τιμή του. Συνεπώς, το προσδοκώμενο μέσο κόστος παραγγελίας μείον τα έσοδα ανά περίοδο θα είναι cc SS EE[min, DD ]. 15

16 Πρότυπο ποσότητας & σημείου παραγγελίας (, R) Υποθέσεις Άπειρος ορίζοντας Συνεχής επιθεώρηση (αντί για περιοδική επιθεώρηση) DD tt : τυχαία στάσιμη ζήτηση ανά μονάδα χρόνου (π.χ., ημερήσια ζήτηση) Μέση τιμή λλ EE[DD tt ], διασπορά σσ tt 2 EE DD tt λλ 2 Η ανικανοποίητη ζήτηση μπαίνει σε εκκρεμότητα ή χάνεται ττ: Σταθερό χρόνος αναπλήρωσης αποθέματος Κόστη: Μεταβλητό μοναδιαίο κόστος παραγωγής/παραγγελίας: cc ( ανά μονάδα προϊόντος) Σταθερό κόστος ετοιμασίας παραγωγής/παραγγελίας: KK ( ανά κύκλο παραγωγής/παραγγελίας) Κόστος διατήρησης αποθέματος: h ( ανά μονάδα προϊόντος ανά μονάδα χρόνου) Κόστος έλλειψης προϊόντων (2 περιπτώσεις/ 4 παραλλαγές: βλέπε στη συνέχεια) Πολιτική παραγγελίας Πολιτική, RR : Παράγγειλε ποσότητα όταν η θέση του αποθέματος πέσει κάτω από το σημείο RR Μεταβλητές απόφασης : ποσότητα παραγγελίας RR: σημείο παραγγελίας 16

17 Πρότυπο (, R) Υποθέσεις για τις ελλείψεις και το μοναδιαίο κόστος έλλειψης Περίπτωση 1: Εκκρεμείς παραγγελίες pp 1 ( ανά περίσταση έλλειψης ανεξάρτητα από την ποσότητα και τον χρόνο έλλειψης) Σε αυτό το μάθημα ασχολούμαστε pp 2 ( ανά μονάδα προϊόντος) μόνο με το pp 2 pp 3 ( ανά μονάδα προϊόντος ανά μονάδα χρόνου) Περίπτωση 2: Χαμένες πωλήσεις pp LL ( ανά χαμένη πώληση) 17

18 Πρότυπο (, R): Εκκρεμείς παραγγελίες R+ Θέση αποθέματος R Απόθεμα τ Εκκρεμείς παραγγελίες χρόνος 18

19 Πρότυπο (, R): Εκκρεμείς παραγγελίες Ανάλυση DD: ζήτηση κατά τη διάρκεια του χρόνου αναπλήρωσης αποθέματος ττ Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και αθροιστική συνάρτηση κατανομής της DD: ff xx και FF(xx) DD = DD 1 + DD DD ττ Μέση τιμή: μμ EE DD = EE DD 1 + DD DD ττ = ττee D tt = ττλλ Διασπορά: σσ 2 Var DD EE DD μμ 2 = Var DD 1 + DD DD ττ = ττvar D tt = ττσσ tt 2 Απόθεμα / Εκκρεμείς παραγγελίες R τ μ f(x) x χρόνος 19

20 Πρότυπο (, R): Εκκρεμείς παραγγελίες Κόστος διατήρησης αποθέματος Απόθεμα ασφαλείας ssss RR μμ = RR λλλλ Προσδοκώμενο μέσο απόθεμα (κατά προσέγγιση) II ssss + 2 = RR λλλλ + 2 (υποεκτιμά την πραγματική τιμή) Προσδοκώμενο μέσο κόστος διατήρησης αποθέματος hii = h RR λλλλ + 2 Απόθεμα / Εκκρεμείς παραγγελίες ss + = R λ τ + R ss = R λ τ τ λ μ = λ τ χρόνος 20

21 Πρότυπο (, R): Εκκρεμείς παραγγελίες Κόστος ετοιμασίας Προσδοκώμενη μέση συχνότητα παραγγελιών = λλ Προσδοκώμενο μέσο κόστος ετοιμασίας παραγγελιών = KK λλ Κόστος έλλειψης Υπόθεση: ττ λλ οι ελλείψεις ανά κύκλο εξαρτώνται μόνο από το RR BB(RR): Προσδοκώμενο κόστος έλλειψης ανά κύκλο (εξαρτάται από τον ορισμό του μοναδιαίου κόστους έλλειψης) Προσδοκώμενο κόστος έλλειψης ανά μονάδα χρόνου = BB(RR) λλ Συνολικό Προσδοκώμενο κόστος ανά μονάδα χρόνου λ λ G(, R) = h + R λτ + K + B( R) 2 21

22 Πρότυπο (, R): Εκκρεμείς παραγγελίες Πρόβλημα βελτιστοποίησης λ λ Minimize G(, R) = h + R λτ + K + B( R), R 2 Συνθήκες βελτιστότητας G(, R) h Kλ λbr ( ) 2 2 λ[ K+ BR ( )] = = 0 = h = 2 λ[ K+ BR ( )] (1) h G(, R) λ db( R) = h + = R dr db( R) h = (2) dr λ 0 22

23 Πρότυπο (, R): Εκκρεμείς παραγγελίες Συνθήκη βελτιστότητας (2): Παραλλαγή 2: Μοναδιαίο κόστος έλλειψης pp 2 ανά μονάδα προϊόντος + db( R) dr n( R) προσδοκώμενος x= R αριθμός ελλείψεων ανά κύκλο n( R) B( R) = p E[( D R) ] = p ( x R) f ( x) dx = p [1 F( R)] h Συνθήκη (2) : p2[1 F( R)] = F( R) = 1 λ h p λ 2 23

24 Πρότυπο (, R): Εκκρεμείς παραγγελίες Ταυτόχρονη επίλυση των συνθηκών (1) και (2) Επίλυση με επαναλήψεις σταθερού σημείου: 1. Με δεδομένο R, λύνεται η (1) για να βρεθεί το 2. Με δεδομένο, λύνεται η (2) για να βρεθεί το R 3. Επανάληψη μέχρι τη σύγκλιση 24

25 Πρότυπο (, R): Εκκρεμείς παραγγελίες Εξειδίκευση για την παραλλαγή 2: Μοναδιαίο κόστος έλλειψης pp 2 ανά μονάδα προϊόντος Συνθήκες βελτιστότητας για την παραλλαγή 2 2 λ[ + 2nR ( )] (1 = K p ) F( R) = 1 h (2) h p λ Υπόθεση: DD~Κανονική(μμ, σσ) Χρήση της τυποποιημένης αθροιστικής συνάρτησης κατανομής Φ(zz) για τον υπολογισμό της FF(RR) D µ R µ R µ F( R) = P( D R) = P σ σ =Φ σ Κανονική(0,1) ( ) F( R) =Φ z, z = R µ σ Η Φ(zz) και συνεπώς η FF(RR) μπορούν να υπολογιστούν από τους πίνακες της τυποποιημένης αθροιστικής συνάρτησης κατανομής 2 25

26 Πρότυπο (, R): Εκκρεμείς παραγγελίες Χρήση της τυποποιημένης συνάρτησης απώλειας LL(zz) για να υπολογισθεί η nn(rr) + Y ~ Κανονική(0,1) L( z) E[( Y z) ] = ( y z) ϕ( y) dy Η LL(zz) και συνεπώς η nn(rr) μπορούν να υπολογιστούν από τους πίνακες της τυποποιημένης συνάρτησης απώλειας Μπορεί να δειχτεί ότι Lz ( ) = ϕ( z) z[1 Φ( z)] y= z + nr ( ) = σ Lz ( ) = σϕ ( z) + ( µ R)[1 Φ ( z)], z= Κανονική(0,1) συνάρτηση πυκνότητας + D µ R µ R µ nr ( ) = E[( D R) ] = E σ = σl σ σ σ Κανονική(0,1) nr ( ) = σ Lz ( ), z= R µ σ R µ σ 26

27 Πρότυπο (, R): Εκκρεμείς παραγγελίες Κάτω από την υπόθεση DD~Κανονική(μμ, σσ) οι συνθήκες βελτιστότητας γίνονται = 2 λ[ K+ pσlz ( )] h h Φ ( z) = 1 (2) p λ 2 2 (1) z = R µ (3) σ 27

28 Πρότυπο (, R): Εκκρεμείς παραγγελίες Αλγόριθμος επίλυσης με επαναλήψεις σταθερού σημείου κάτω υπό την υπόθεση DD~Κανονική(μμ, σσ) 2λK 1 h 0 0 =, z0 =Φ 1, R0 = µ + σz0, n = 1 h pλ Step 1: Ste 1 p 2: zn 1 Step 3: R n n = 2 λ[ K+ pσlz ( )] =Φ = µ + σz n 2 n 1 Step 4: ε OR R R ε n n+ 1, GOTO Step 1 n n 1 n n 1 h h n p2λ 28

29 Πρότυπο (, R): Επίπεδα εξυπηρέτησης Επίπεδα εξυπηρέτησης σε συστήματα (, RR) Εξυπηρέτηση Τύπου 1 (αντικαθιστά το μοναδιαίο κόστος έλλειψης pp 1 ανά περίσταση έλλειψης) SS 1 Πιθανότητα να μην υπάρχει έλλειψη κατά τη διάρκεια του χρόνου αναπλήρωσης S 1 = P(D R) = F(R) Πρόβλημα βελτιστοποίησης λ Minimize G(, R) = h + R λτ + K, R 2 υπό τον περιορισμό F( R) α (δηλαδή, S α) Λύση * 2Kλ = = ΟΠΠ h * R R F R = το ελάχιστο τέτοιο ώστε ( ) α D R F * 1 συνεχής τυχαία μεταβλητή = ( α) 1 29

30 Πρότυπο (, R): Επίπεδα εξυπηρέτησης Εξυπηρέτηση Τύπου 2 (αντικαθιστά το μοναδιαίο κόστος έλλειψης pp 2 ανά μονάδα έλλειψης) S 2 Ποσοστό των ζητήσεων που ικανοποιούνται από το απόθεμα S 2 = 1 n(r)/ Πρόβλημα βελτιστοποίησης λ Minimize G(, R) = h + R λτ + K, R 2 n( R) υπό τον περιορισμό 1 β (δηλαδή, S2 β) Σημείωση: Τώρα, ο περιορισμός εξαρτάται από το R και το 30

31 Πρότυπο (, R): Επίπεδα εξυπηρέτησης Εξυπηρέτηση Τύπου 2 (συνέχεια) Προσεγγιστική λύση * 2Kλ = ΟΠΠ h * * R= ελάχιστο Rτέτοιο ώστε nr ( ) (1 β ) D nr = * * συνεχής τυχαία μεταβλητή ( ) (1 β ) D µσ nr σlz β * * * ~ Κανονική(, ) ( ) ( ) = (1 ) (1 β ) σ * * * * 1 R = µ + σz, z = L 31

32 Πρότυπο (, R): Επίπεδα εξυπηρέτησης Εξυπηρέτηση Τύπου 2 (συνέχεια) Πιο ακριβής λύση Θεωρείστε τις συνθήκες βελτιστότητας (1) και (2) για την παραλλαγή 2 2 λ[ K+ pnr ( )] h (1), F( R) 1 (2) h p λ 2 = = h (2) p2 = τεκμαρτό μοναδιαίο κόστος έλλειψης [1 F( R)] λ 2 λ{ K + hn( R) [1 F( R)] λ} (1) = τετραγωνική συνάρτηση του h nr ( ) 2 Kλ n( R) θετική ρίζα: = + + (3) 1 F( R) h 1 F( R) (1 β ) nr ( ) = ( 1 β ) (4) Lz ( ) = σ

33 Πρότυπο (, R): Παράδειγμα Μια αποθήκη ανταλλακτικών αυτοκινήτων αποθηκεύει διαφορά εξαρτήματα που πωλούνται σε γειτονικά καταστήματα. Η αποθήκη αγοράζει ένα συγκεκριμένο εξάρτημα, που είναι μια γνωστή μάρκα φίλτρου λαδιού, προς 1,50 ανά μονάδα. Εκτιμάται ότι το σταθερό κόστος επεξεργασίας και παραλαβής μιας παραγγελίας ανέρχεται σε 100 ανά παραγγελία. Η αποθήκη χρησιμοποιεί κόστος διατήρησης αποθέματος που βασίζεται σε ετήσιο επιτόκιο 28 τοις εκατό. Η μηνιαία ζήτηση για το φίλτρο ακολουθεί Κανονική κατανομή με μέση τιμή 280 και τυπική απόκλιση 77. Ο χρόνος ικανοποίησης μιας παραγγελίας (αναπλήρωσης αποθέματος) είναι 5 μήνες. Αν ζητηθεί μια μονάδα φίλτρου και δεν υπάρχει στην αποθήκη, η ζήτηση μπαίνει σε εκκρεμότητα. Εκτιμάται ότι το κόστος κάθε παραγγελίας σε εκκρεμότητα είναι 12,80. 33

34 Πρότυπο (, R): Παράδειγμα Να υπολογιστούν οι κάτωθι ποσότητες: (α) Οι βέλτιστες τιμές της ποσότητας και του σημείου παραγγελίας. (β) Το προσδοκώμενο μέσο κόστος ετοιμασίας, διατήρησης αποθέματος και ελλείψεων που αντιστοιχεί στην βέλτιστη πολιτική παραγγελίας (, RR). (γ) Το κόστος της αβεβαιότητας για αυτή τη διαδικασία, δηλαδή συγκρίνετε το προσδοκώμενο μέσο κόστος που υπολογίσατε στο ερώτημα β με το προσδοκώμενο μέσο κόστος που θα ηγείρετο αν η ζήτηση είχε μηδενική διασπορά. (δ) Υποθέστε ότι το μοναδιαίο κόστος έλλειψης αντικαθίσταται με ένα επίπεδο εξυπηρέτησης 95% Τύπου 2. Βρείτε τις βέλτιστες τιμές των και RR που αντιστοιχούν. Επίσης, ποιο είναι το τεκμαρτό μοναδιαίο κόστος έλλειψης σε αυτή την περίπτωση; (ε) Η αποθήκη εξετάζει τη δυνατότητα να χρησιμοποιεί μια πολιτική παραγγελιών περιοδικής επιθεώρησης «παραγγελία έως το» για την περίπτωση όπου δεν έχει σταθερό κόστος επεξεργασίας και παραλαβής και όπου ο προμηθευτής της παρέχει μηδενικό χρόνο αναπλήρωσης του αποθέματος με την απαίτηση όμως οι παραγγελίες να γίνονται στο τέλος κάθε διμήνου. Βρείτε το βέλτιστο σημείο «έως το οποίο δίνεται παραγγελία»,, υποθέτοντας ότι το γραφειοκρατικό κόστος και το κόστος απώλειας καλής πίστης ανέρχεται στο 1 10 της τιμής του προϊόντος ανά εκκρεμή μονάδα προϊόντος ανά μήνα. Ποιο είναι το συνεπαγόμενο προσδοκώμενο μέσο κόστος διατήρησης αποθέματος και ελλείψεων ανά μήνα; 34

35 Λύση Πρότυπο (, R): Παράδειγμα h = 1,5 0,28 = 0,42 ανά μονάδα ανά έτος KK = 100 ανά παραγγελία pp = 12,80 ανά εκκρεμή παραγγελία Μηνιαία ζήτηση: DD tt ~Κανονική 280, 77 λλ = = 3360 μονάδες ανά έτος μμ = = 1400 μονάδες ανά χρόνο αναπλήρωσης αποθέματος σσ = 77 5 = 172,18 μονάδες ανά χρόνο αναπλήρωσης αποθέματος (α) 0 = ΟΠΠ = 2KKλλ = (2)(100)(3360) = 1264, h 0,42 zz 0 = Φ 1 1 0h = Φ 1 1 (1265)(0,42) = Φ 1 0,9876 = 2,24 ppλλ (12,8)(3360) LL zz 0 = 0,0044 nn RR 0 = σσll zz 0 = 172,18 0,0044 = 0,

36 Πρότυπο (, R): Παράδειγμα 1 = 2λλ KK + pppp(rr 0) h zz 1 = Φ 1 2 = 2λλ KK + pppp(rr 1) h zz 2 = Φ 1 = (2)(3360) (12,8)(0,7576) 0,42 = 1324, h = Φ 1 1 (1325)(0,42) = Φ 1 0,9871 = 2,23 ppλλ (12,8)(3360) LL zz 1 = 0,0045 nn RR 1 = σσll zz 1 = 172,18 0,0045 = 0, h ppλλ = (2)(3360) (12,8)(0,7748) 0,42 = Φ 1 1 (1326)(0,42) (12,8)(3360) = 1326, = Φ 1 0,9871 = 2,23 STOP = 1326 zz = 2,23 RR = μμ + σσzz = (172,18)(2,23) = 1783,

37 Πρότυπο (, R): Παράδειγμα (β) GG, RR = KK λλ + h 2 + RR μμ + pp 2 nn(rr ) λλ = (0,42) (12,8)(0,7748) = 253, , ,13 = 718,26 ανά έτος (γ) σσ = 0 Λύση ΟΠΠ = EO = 2KKλλ h = (2)(100)(3360) = 1264, TT = λλ = = 0,3765 RR = λλ ττ mod TT = mod 0,3765 = ,0402 = 135, GG, RR = 2KKλλh = (2)(100)(3360)(0,42) = 532,26 ανά έτος Κόστος αβεβαιότητας = 718,26 532,26 = 186 ανά έτος 37

38 Πρότυπο (, R): Παράδειγμα (δ) 0 = ΟΠΠ 1265 nn RR 0 = 1 ββ 0 = 1 0, = 63,25 LL zz 0 = nn RR 0 σσ zz 0 = 0,065 1 FF RR 0 = 1 Φ zz 0 = 1 0,526 = 0,474 = 63,25 172,18 = 0, = nn(rr 0) 1 FF RR 0 + ΟΠΠ 2 + nn(rr 0 ) 2 = 63,25 0, ,25 0,474 1 FF RR 0 = 1405, nn RR 1 = 1 ββ 1 = 1 0, = 70,25 = 70,25 172,18 = 0,4080 LL zz 1 = nn RR 1 σσ zz 1 = 0,02 1 FF RR 1 = 1 Φ zz 1 = 1 0,492 = 0,

39 Πρότυπο (, R): Παράδειγμα 2 = nn(rr 1) 1 FF RR 1 + ΟΠΠ 2 + nn(rr 1 ) 2 = 70,25 0, ,25 0,508 1 FF RR 1 = 1410, nn RR 2 = 1 ββ 2 = 1 0, = 70,55 LL zz 2 = nn RR 2 σσ zz 2 = 0,02 = 70,55 172,18 = 0,4097 STOP = 1411 zz = 0,02 RR = μμ + σσzz = (172,18)( 0,02) = 1396, Τεκμαρτό μοναδιαίο κόστος έλλειψης pp 2 = = (1411)(0,42) λλ(1 FF RR ) (3360)(0,508) = 0,3472 = 0,35 39

40 Πρότυπο (, R): Παράδειγμα (ε) Πρόκειται για την επέκταση του προτύπου του εφημεριδοπώλη σε άπειρες περιόδους και με εκκρεμείς παραγγελίες Το μήκος κάθε περιόδου είναι ττ = 2 μήνες. Η ζήτηση σε κάθε περίοδο είναι DD~Κανονική μμ, σσ, όπου μμ = ττττ = (2)(280)=560 μονάδες ανά 2-μηνο σσ = σσ tt ττ = 77 2 = 108,89 ανά 2-μηνο h = cccc = 1,5 0,28 12 (2) = 0,07 ανά μονάδα αποθέματος ανά 2-μηνο pp = 1,5 ( 1 10) 2 = 0,3 ανά μονάδα ελλείμματος ανά 2-μηνο zz = Φ 1 pp h + pp = 0,3 Φ 1 0,07 + 0,3 = 0,3 Φ 1 0,07 + 0,3 = Φ 1 0,8108 = 0,88 = μμ + σσzz = ,89 0,88 = 655, μονάδες 40

41 Πρότυπο (, R): Τυχαίοι χρόνοι αναπλήρωσης αποθέματος Επέκταση: Τυχαίος χρόνος αναπλήρωσης αποθέματος L: τυχαίος χρόνος αναπλήρωσης Μέση τιμή: τ Ε[L], Διασπορά σ L2 Ε[(L τ) 2 ] D: ζήτηση κατά τη διάρκεια του χρόνου L Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και αθροιστική συνάρτηση κατανομής της DD: ff xx και FF(xx) D = D 1 + D D L, όπου L είναι τυχαία μεταβλητή Μπορεί να δειχτεί (βλέπε επόμενη σελίδα) ότι: Μέση τιμή: μ E[D] = τ λ Διασπορά: σ 2 Var[D] = Ε[(D μ) 2 ] = τ σ t2 + λ 2 σ 2 L Όλα τα υπόλοιπα ισχύουν!! 41

42 Πρότυπο (, R): Τυχαίοι χρόνοι αναπλήρωσης αποθέματος Εύρεση των μ και σ 2 Μέση τιμή: µ ED [ ] = EED [ [ L]] = EL [ λ] = τλ L DL L Διασπορά: [ ] [( ) ] [ 2 ] [ ] 2 [ ] [ ] DL = EED [ [ L]] 2µ + µ = τσ + λ σ + λ τ µ = τσ + λ σ + λ τ τ λ DL t L όπου χρησιμοποιήσαμε: ED [ σ VarD = E D µ = ED µ D+ µ = ED µ ED+ Eµ L = τσ + λ σ t L t L L] = E[ Var[ D L] + E[ D L] ] = Lσ + Lλ t DL E[ E[ D L]] = E[ Lσ + L λ ] = τσ + λ ( Var[ L] + τ ) = τσ + λ ( σ + τ ) = τσ + λ σ + λ τ t t t L t L L DL L 42

43 Table A-4: Normal Probability distribution and Partial Expectations z standard variate φ (z ) probability density function Φ (z ) cumulative distribution function L (z ) standardized loss function z φ (z ) Φ (z ) 1 - Φ (z ) L (z ) L (-z ) z φ (z ) Φ (z ) 1 - Φ (z ) L (z ) L (-z ) z φ (z ) Φ (z ) 1 - Φ (z ) L (z ) L (-z ) z φ (z ) Φ (z ) 1 - Φ (z ) L (z ) L (-z ) z φ (z ) Φ (z ) 1 - Φ (z ) L (z ) L (-z ) z φ (z ) Φ (z ) 1 - Φ (z ) L (z ) L (-z ) 0,00 0,3989 0,5000 0,5000 0,3989 0,3989-0,50 0,3521 0,3085 0,6915 0,6978 0,1978-1,00 0,2420 0,1587 0,8413 1,0833 0,0833-1,50 0,1295 0,0668 0,9332 1,5293 0,0293-2,00 0,0540 0,0228 0,9772 2,0085 0,0085-2,50 0,0175 0,0062 0,9938 2,5020 0,0020-0,01 0,3989 0,4960 0,5040 0,4040 0,3940-0,51 0,3503 0,3050 0,6950 0,7047 0,1947-1,01 0,2396 0,1562 0,8438 1,0917 0,0817-1,51 0,1276 0,0655 0,9345 1,5386 0,0286-2,01 0,0529 0,0222 0,9778 2,0183 0,0083-2,51 0,0171 0,0060 0,9940 2,5119 0,0019-0,02 0,3989 0,4920 0,5080 0,4090 0,3890-0,52 0,3485 0,3015 0,6985 0,7117 0,1917-1,02 0,2371 0,1539 0,8461 1,1002 0,0802-1,52 0,1257 0,0643 0,9357 1,5480 0,0280-2,02 0,0519 0,0217 0,9783 2,0280 0,0080-2,52 0,0167 0,0059 0,9941 2,5219 0,0019-0,03 0,3988 0,4880 0,5120 0,4141 0,3841-0,53 0,3467 0,2981 0,7019 0,7187 0,1887-1,03 0,2347 0,1515 0,8485 1,1087 0,0787-1,53 0,1238 0,0630 0,9370 1,5574 0,0274-2,03 0,0508 0,0212 0,9788 2,0378 0,0078-2,53 0,0163 0,0057 0,9943 2,5318 0,0018-0,04 0,3986 0,4840 0,5160 0,4193 0,3793-0,54 0,3448 0,2946 0,7054 0,7257 0,1857-1,04 0,2323 0,1492 0,8508 1,1172 0,0772-1,54 0,1219 0,0618 0,9382 1,5667 0,0267-2,04 0,0498 0,0207 0,9793 2,0476 0,0076-2,54 0,0158 0,0055 0,9945 2,5418 0,0018-0,05 0,3984 0,4801 0,5199 0,4244 0,3744-0,55 0,3429 0,2912 0,7088 0,7328 0,1828-1,05 0,2299 0,1469 0,8531 1,1257 0,0757-1,55 0,1200 0,0606 0,9394 1,5761 0,0261-2,05 0,0488 0,0202 0,9798 2,0574 0,0074-2,55 0,0154 0,0054 0,9946 2,5517 0,0017-0,06 0,3982 0,4761 0,5239 0,4297 0,3697-0,56 0,3410 0,2877 0,7123 0,7399 0,1799-1,06 0,2275 0,1446 0,8554 1,1342 0,0742-1,56 0,1182 0,0594 0,9406 1,5855 0,0255-2,06 0,0478 0,0197 0,9803 2,0672 0,0072-2,56 0,0151 0,0052 0,9948 2,5617 0,0017-0,07 0,3980 0,4721 0,5279 0,4349 0,3649-0,57 0,3391 0,2843 0,7157 0,7471 0,1771-1,07 0,2251 0,1423 0,8577 1,1428 0,0728-1,57 0,1163 0,0582 0,9418 1,5949 0,0249-2,07 0,0468 0,0192 0,9808 2,0770 0,0070-2,57 0,0147 0,0051 0,9949 2,5716 0,0016-0,08 0,3977 0,4681 0,5319 0,4402 0,3602-0,58 0,3372 0,2810 0,7190 0,7542 0,1742-1,08 0,2227 0,1401 0,8599 1,1514 0,0714-1,58 0,1145 0,0571 0,9429 1,6044 0,0244-2,08 0,0459 0,0188 0,9812 2,0868 0,0068-2,58 0,0143 0,0049 0,9951 2,5816 0,0016-0,09 0,3973 0,4641 0,5359 0,4456 0,3556-0,59 0,3352 0,2776 0,7224 0,7614 0,1714-1,09 0,2203 0,1379 0,8621 1,1600 0,0700-1,59 0,1127 0,0559 0,9441 1,6138 0,0238-2,09 0,0449 0,0183 0,9817 2,0966 0,0066-2,59 0,0139 0,0048 0,9952 2,5915 0,0015-0,10 0,3970 0,4602 0,5398 0,4509 0,3509-0,60 0,3332 0,2743 0,7257 0,7687 0,1687-1,10 0,2179 0,1357 0,8643 1,1686 0,0686-1,60 0,1109 0,0548 0,9452 1,6232 0,0232-2,10 0,0440 0,0179 0,9821 2,1065 0,0065-2,60 0,0136 0,0047 0,9953 2,6015 0,0015-0,11 0,3965 0,4562 0,5438 0,4564 0,3464-0,61 0,3312 0,2709 0,7291 0,7759 0,1659-1,11 0,2155 0,1335 0,8665 1,1773 0,0673-1,61 0,1092 0,0537 0,9463 1,6327 0,0227-2,11 0,0431 0,0174 0,9826 2,1163 0,0063-2,61 0,0132 0,0045 0,9955 2,6114 0,0014-0,12 0,3961 0,4522 0,5478 0,4618 0,3418-0,62 0,3292 0,2676 0,7324 0,7833 0,1633-1,12 0,2131 0,1314 0,8686 1,1859 0,0659-1,62 0,1074 0,0526 0,9474 1,6422 0,0222-2,12 0,0422 0,0170 0,9830 2,1261 0,0061-2,62 0,0129 0,0044 0,9956 2,6214 0,0014-0,13 0,3956 0,4483 0,5517 0,4673 0,3373-0,63 0,3271 0,2643 0,7357 0,7906 0,1606-1,13 0,2107 0,1292 0,8708 1,1946 0,0646-1,63 0,1057 0,0516 0,9484 1,6516 0,0216-2,13 0,0413 0,0166 0,9834 2,1360 0,0060-2,63 0,0126 0,0043 0,9957 2,6313 0,0013-0,14 0,3951 0,4443 0,5557 0,4728 0,3328-0,64 0,3251 0,2611 0,7389 0,7980 0,1580-1,14 0,2083 0,1271 0,8729 1,2034 0,0634-1,64 0,1040 0,0505 0,9495 1,6611 0,0211-2,14 0,0404 0,0162 0,9838 2,1458 0,0058-2,64 0,0122 0,0041 0,9959 2,6413 0,0013-0,15 0,3945 0,4404 0,5596 0,4784 0,3284-0,65 0,3230 0,2578 0,7422 0,8054 0,1554-1,15 0,2059 0,1251 0,8749 1,2121 0,0621-1,65 0,1023 0,0495 0,9505 1,6706 0,0206-2,15 0,0396 0,0158 0,9842 2,1556 0,0056-2,65 0,0119 0,0040 0,9960 2,6512 0,0012-0,16 0,3939 0,4364 0,5636 0,4840 0,3240-0,66 0,3209 0,2546 0,7454 0,8128 0,1528-1,16 0,2036 0,1230 0,8770 1,2209 0,0609-1,66 0,1006 0,0485 0,9515 1,6801 0,0201-2,16 0,0387 0,0154 0,9846 2,1655 0,0055-2,66 0,0116 0,0039 0,9961 2,6612 0,0012-0,17 0,3932 0,4325 0,5675 0,4897 0,3197-0,67 0,3187 0,2514 0,7486 0,8203 0,1503-1,17 0,2012 0,1210 0,8790 1,2296 0,0596-1,67 0,0989 0,0475 0,9525 1,6897 0,0197-2,17 0,0379 0,0150 0,9850 2,1753 0,0053-2,67 0,0113 0,0038 0,9962 2,6712 0,0012-0,18 0,3925 0,4286 0,5714 0,4954 0,3154-0,68 0,3166 0,2483 0,7517 0,8278 0,1478-1,18 0,1989 0,1190 0,8810 1,2384 0,0584-1,68 0,0973 0,0465 0,9535 1,6992 0,0192-2,18 0,0371 0,0146 0,9854 2,1852 0,0052-2,68 0,0110 0,0037 0,9963 2,6811 0,0011-0,19 0,3918 0,4247 0,5753 0,5011 0,3111-0,69 0,3144 0,2451 0,7549 0,8353 0,1453-1,19 0,1965 0,1170 0,8830 1,2473 0,0573-1,69 0,0957 0,0455 0,9545 1,7087 0,0187-2,19 0,0363 0,0143 0,9857 2,1950 0,0050-2,69 0,0107 0,0036 0,9964 2,6911 0,0011-0,20 0,3910 0,4207 0,5793 0,5069 0,3069-0,70 0,3123 0,2420 0,7580 0,8429 0,1429-1,20 0,1942 0,1151 0,8849 1,2561 0,0561-1,70 0,0940 0,0446 0,9554 1,7183 0,0183-2,20 0,0355 0,0139 0,9861 2,2049 0,0049-2,70 0,0104 0,0035 0,9965 2,7011 0,0011-0,21 0,3902 0,4168 0,5832 0,5127 0,3027-0,71 0,3101 0,2389 0,7611 0,8505 0,1405-1,21 0,1919 0,1131 0,8869 1,2650 0,0550-1,71 0,0925 0,0436 0,9564 1,7278 0,0178-2,21 0,0347 0,0136 0,9864 2,2147 0,0047-2,71 0,0101 0,0034 0,9966 2,7110 0,0010-0,22 0,3894 0,4129 0,5871 0,5186 0,2986-0,72 0,3079 0,2358 0,7642 0,8581 0,1381-1,22 0,1895 0,1112 0,8888 1,2738 0,0538-1,72 0,0909 0,0427 0,9573 1,7374 0,0174-2,22 0,0339 0,0132 0,9868 2,2246 0,0046-2,72 0,0099 0,0033 0,9967 2,7210 0,0010-0,23 0,3885 0,4090 0,5910 0,5244 0,2944-0,73 0,3056 0,2327 0,7673 0,8658 0,1358-1,23 0,1872 0,1093 0,8907 1,2827 0,0527-1,73 0,0893 0,0418 0,9582 1,7470 0,0170-2,23 0,0332 0,0129 0,9871 2,2345 0,0045-2,73 0,0096 0,0032 0,9968 2,7310 0,0010-0,24 0,3876 0,4052 0,5948 0,5304 0,2904-0,74 0,3034 0,2296 0,7704 0,8734 0,1334-1,24 0,1849 0,1075 0,8925 1,2917 0,0517-1,74 0,0878 0,0409 0,9591 1,7566 0,0166-2,24 0,0325 0,0125 0,9875 2,2444 0,0044-2,74 0,0093 0,0031 0,9969 2,7409 0,0009-0,25 0,3867 0,4013 0,5987 0,5363 0,2863-0,75 0,3011 0,2266 0,7734 0,8812 0,1312-1,25 0,1826 0,1056 0,8944 1,3006 0,0506-1,75 0,0863 0,0401 0,9599 1,7662 0,0162-2,25 0,0317 0,0122 0,9878 2,2542 0,0042-2,75 0,0091 0,0030 0,9970 2,7509 0,0009-0,26 0,3857 0,3974 0,6026 0,5424 0,2824-0,76 0,2989 0,2236 0,7764 0,8889 0,1289-1,26 0,1804 0,1038 0,8962 1,3095 0,0495-1,76 0,0848 0,0392 0,9608 1,7758 0,0158-2,26 0,0310 0,0119 0,9881 2,2641 0,0041-2,76 0,0088 0,0029 0,9971 2,7609 0,0009-0,27 0,3847 0,3936 0,6064 0,5484 0,2784-0,77 0,2966 0,2206 0,7794 0,8967 0,1267-1,27 0,1781 0,1020 0,8980 1,3185 0,0485-1,77 0,0833 0,0384 0,9616 1,7854 0,0154-2,27 0,0303 0,0116 0,9884 2,2740 0,0040-2,77 0,0086 0,0028 0,9972 2,7708 0,0008-0,28 0,3836 0,3897 0,6103 0,5545 0,2745-0,78 0,2943 0,2177 0,7823 0,9045 0,1245-1,28 0,1758 0,1003 0,8997 1,3275 0,0475-1,78 0,0818 0,0375 0,9625 1,7950 0,0150-2,28 0,0297 0,0113 0,9887 2,2839 0,0039-2,78 0,0084 0,0027 0,9973 2,7808 0,0008-0,29 0,3825 0,3859 0,6141 0,5606 0,2706-0,79 0,2920 0,2148 0,7852 0,9123 0,1223-1,29 0,1736 0,0985 0,9015 1,3365 0,0465-1,79 0,0804 0,0367 0,9633 1,8046 0,0146-2,29 0,0290 0,0110 0,9890 2,2938 0,0038-2,79 0,0081 0,0026 0,9974 2,7908 0,0008-0,30 0,3814 0,3821 0,6179 0,5668 0,2668-0,80 0,2897 0,2119 0,7881 0,9202 0,1202-1,30 0,1714 0,0968 0,9032 1,3455 0,0455-1,80 0,0790 0,0359 0,9641 1,8143 0,0143-2,30 0,0283 0,0107 0,9893 2,3037 0,0037-2,80 0,0079 0,0026 0,9974 2,8008 0,0008-0,31 0,3802 0,3783 0,6217 0,5730 0,2630-0,81 0,2874 0,2090 0,7910 0,9281 0,1181-1,31 0,1691 0,0951 0,9049 1,3546 0,0446-1,81 0,0775 0,0351 0,9649 1,8239 0,0139-2,31 0,0277 0,0104 0,9896 2,3136 0,0036-2,81 0,0077 0,0025 0,9975 2,8107 0,0007-0,32 0,3790 0,3745 0,6255 0,5792 0,2592-0,82 0,2850 0,2061 0,7939 0,9360 0,1160-1,32 0,1669 0,0934 0,9066 1,3636 0,0436-1,82 0,0761 0,0344 0,9656 1,8336 0,0136-2,32 0,0270 0,0102 0,9898 2,3235 0,0035-2,82 0,0075 0,0024 0,9976 2,8207 0,0007-0,33 0,3778 0,3707 0,6293 0,5855 0,2555-0,83 0,2827 0,2033 0,7967 0,9440 0,1140-1,33 0,1647 0,0918 0,9082 1,3727 0,0427-1,83 0,0748 0,0336 0,9664 1,8432 0,0132-2,33 0,0264 0,0099 0,9901 2,3334 0,0034-2,83 0,0073 0,0023 0,9977 2,8307 0,0007-0,34 0,3765 0,3669 0,6331 0,5918 0,2518-0,84 0,2803 0,2005 0,7995 0,9520 0,1120-1,34 0,1626 0,0901 0,9099 1,3818 0,0418-1,84 0,0734 0,0329 0,9671 1,8529 0,0129-2,34 0,0258 0,0096 0,9904 2,3433 0,0033-2,84 0,0071 0,0023 0,9977 2,8407 0,0007-0,35 0,3752 0,3632 0,6368 0,5981 0,2481-0,85 0,2780 0,1977 0,8023 0,9600 0,1100-1,35 0,1604 0,0885 0,9115 1,3909 0,0409-1,85 0,0721 0,0322 0,9678 1,8626 0,0126-2,35 0,0252 0,0094 0,9906 2,3532 0,0032-2,85 0,0069 0,0022 0,9978 2,8506 0,0006-0,36 0,3739 0,3594 0,6406 0,6045 0,2445-0,86 0,2756 0,1949 0,8051 0,9680 0,1080-1,36 0,1582 0,0869 0,9131 1,4000 0,0400-1,86 0,0707 0,0314 0,9686 1,8723 0,0123-2,36 0,0246 0,0091 0,9909 2,3631 0,0031-2,86 0,0067 0,0021 0,9979 2,8606 0,0006-0,37 0,3725 0,3557 0,6443 0,6109 0,2409-0,87 0,2732 0,1922 0,8078 0,9761 0,1061-1,37 0,1561 0,0853 0,9147 1,4092 0,0392-1,87 0,0694 0,0307 0,9693 1,8819 0,0119-2,37 0,0241 0,0089 0,9911 2,3730 0,0030-2,87 0,0065 0,0021 0,9979 2,8706 0,0006-0,38 0,3712 0,3520 0,6480 0,6174 0,2374-0,88 0,2709 0,1894 0,8106 0,9842 0,1042-1,38 0,1539 0,0838 0,9162 1,4183 0,0383-1,88 0,0681 0,0301 0,9699 1,8916 0,0116-2,38 0,0235 0,0087 0,9913 2,3829 0,0029-2,88 0,0063 0,0020 0,9980 2,8806 0,0006-0,39 0,3697 0,3483 0,6517 0,6239 0,2339-0,89 0,2685 0,1867 0,8133 0,9923 0,1023-1,39 0,1518 0,0823 0,9177 1,4275 0,0375-1,89 0,0669 0,0294 0,9706 1,9013 0,0113-2,39 0,0229 0,0084 0,9916 2,3928 0,0028-2,89 0,0061 0,0019 0,9981 2,8906 0,0006-0,40 0,3683 0,3446 0,6554 0,6304 0,2304-0,90 0,2661 0,1841 0,8159 1,0004 0,1004-1,40 0,1497 0,0808 0,9192 1,4367 0,0367-1,90 0,0656 0,0287 0,9713 1,9111 0,0111-2,40 0,0224 0,0082 0,9918 2,4027 0,0027-2,90 0,0060 0,0019 0,9981 2,9005 0,0005-0,41 0,3668 0,3409 0,6591 0,6370 0,2270-0,91 0,2637 0,1814 0,8186 1,0086 0,0986-1,41 0,1476 0,0793 0,9207 1,4459 0,0359-1,91 0,0644 0,0281 0,9719 1,9208 0,0108-2,41 0,0219 0,0080 0,9920 2,4126 0,0026-2,91 0,0058 0,0018 0,9982 2,9105 0,0005-0,42 0,3653 0,3372 0,6628 0,6436 0,2236-0,92 0,2613 0,1788 0,8212 1,0168 0,0968-1,42 0,1456 0,0778 0,9222 1,4551 0,0351-1,92 0,0632 0,0274 0,9726 1,9305 0,0105-2,42 0,0213 0,0078 0,9922 2,4226 0,0026-2,92 0,0056 0,0018 0,9982 2,9205 0,0005-0,43 0,3637 0,3336 0,6664 0,6503 0,2203-0,93 0,2589 0,1762 0,8238 1,0250 0,0950-1,43 0,1435 0,0764 0,9236 1,4643 0,0343-1,93 0,0620 0,0268 0,9732 1,9402 0,0102-2,43 0,0208 0,0075 0,9925 2,4325 0,0025-2,93 0,0055 0,0017 0,9983 2,9305 0,0005-0,44 0,3621 0,3300 0,6700 0,6569 0,2169-0,94 0,2565 0,1736 0,8264 1,0333 0,0933-1,44 0,1415 0,0749 0,9251 1,4736 0,0336-1,94 0,0608 0,0262 0,9738 1,9500 0,0100-2,44 0,0203 0,0073 0,9927 2,4424 0,0024-2,94 0,0053 0,0016 0,9984 2,9405 0,0005-0,45 0,3605 0,3264 0,6736 0,6637 0,2137-0,95 0,2541 0,1711 0,8289 1,0416 0,0916-1,45 0,1394 0,0735 0,9265 1,4828 0,0328-1,95 0,0596 0,0256 0,9744 1,9597 0,0097-2,45 0,0198 0,0071 0,9929 2,4523 0,0023-2,95 0,0051 0,0016 0,9984 2,9505 0,0005-0,46 0,3589 0,3228 0,6772 0,6704 0,2104-0,96 0,2516 0,1685 0,8315 1,0499 0,0899-1,46 0,1374 0,0721 0,9279 1,4921 0,0321-1,96 0,0584 0,0250 0,9750 1,9694 0,0094-2,46 0,0194 0,0069 0,9931 2,4623 0,0023-2,96 0,0050 0,0015 0,9985 2,9604 0,0004-0,47 0,3572 0,3192 0,6808 0,6772 0,2072-0,97 0,2492 0,1660 0,8340 1,0582 0,0882-1,47 0,1354 0,0708 0,9292 1,5014 0,0314-1,97 0,0573 0,0244 0,9756 1,9792 0,0092-2,47 0,0189 0,0068 0,9932 2,4722 0,0022-2,97 0,0048 0,0015 0,9985 2,9704 0,0004-0,48 0,3555 0,3156 0,6844 0,6840 0,2040-0,98 0,2468 0,1635 0,8365 1,0665 0,0865-1,48 0,1334 0,0694 0,9306 1,5107 0,0307-1,98 0,0562 0,0239 0,9761 1,9890 0,0090-2,48 0,0184 0,0066 0,9934 2,4821 0,0021-2,98 0,0047 0,0014 0,9986 2,9804 0,0004-0,49 0,3538 0,3121 0,6879 0,6909 0,2009-0,99 0,2444 0,1611 0,8389 1,0749 0,0849-1,49 0,1315 0,0681 0,9319 1,5200 0,0300-1,99 0,0551 0,0233 0,9767 1,9987 0,0087-2,49 0,0180 0,0064 0,9936 2,4921 0,0021-2,99 0,0046 0,0014 0,9986 2,9904 0,0004

44 Table A-4: Normal Probability distribution and Partial Expectations z standard variate φ (z ) probability density function Φ (z ) cumulative distribution function L (z ) standardized loss function z φ (z ) Φ (z ) 1 - Φ (z ) L (z ) L (-z ) z φ (z ) Φ (z ) 1 - Φ (z ) L (z ) L (-z ) z φ (z ) Φ (z ) 1 - Φ (z ) L (z ) L (-z ) z φ (z ) Φ (z ) 1 - Φ (z ) L (z ) L (-z ) z φ (z ) Φ (z ) 1 - Φ (z ) L (z ) L (-z ) z φ (z ) Φ (z ) 1 - Φ (z ) L (z ) L (-z ) 0,00 0,3989 0,5000 0,5000 0,3989 0,3989 0,50 0,3521 0,6915 0,3085 0,1978 0,6978 1,00 0,2420 0,8413 0,1587 0,0833 1,0833 1,50 0,1295 0,9332 0,0668 0,0293 1,5293 2,00 0,0540 0,9772 0,0228 0,0085 2,0085 2,50 0,0175 0,9938 0,0062 0,0020 2,5020 0,01 0,3989 0,5040 0,4960 0,3940 0,4040 0,51 0,3503 0,6950 0,3050 0,1947 0,7047 1,01 0,2396 0,8438 0,1562 0,0817 1,0917 1,51 0,1276 0,9345 0,0655 0,0286 1,5386 2,01 0,0529 0,9778 0,0222 0,0083 2,0183 2,51 0,0171 0,9940 0,0060 0,0019 2,5119 0,02 0,3989 0,5080 0,4920 0,3890 0,4090 0,52 0,3485 0,6985 0,3015 0,1917 0,7117 1,02 0,2371 0,8461 0,1539 0,0802 1,1002 1,52 0,1257 0,9357 0,0643 0,0280 1,5480 2,02 0,0519 0,9783 0,0217 0,0080 2,0280 2,52 0,0167 0,9941 0,0059 0,0019 2,5219 0,03 0,3988 0,5120 0,4880 0,3841 0,4141 0,53 0,3467 0,7019 0,2981 0,1887 0,7187 1,03 0,2347 0,8485 0,1515 0,0787 1,1087 1,53 0,1238 0,9370 0,0630 0,0274 1,5574 2,03 0,0508 0,9788 0,0212 0,0078 2,0378 2,53 0,0163 0,9943 0,0057 0,0018 2,5318 0,04 0,3986 0,5160 0,4840 0,3793 0,4193 0,54 0,3448 0,7054 0,2946 0,1857 0,7257 1,04 0,2323 0,8508 0,1492 0,0772 1,1172 1,54 0,1219 0,9382 0,0618 0,0267 1,5667 2,04 0,0498 0,9793 0,0207 0,0076 2,0476 2,54 0,0158 0,9945 0,0055 0,0018 2,5418 0,05 0,3984 0,5199 0,4801 0,3744 0,4244 0,55 0,3429 0,7088 0,2912 0,1828 0,7328 1,05 0,2299 0,8531 0,1469 0,0757 1,1257 1,55 0,1200 0,9394 0,0606 0,0261 1,5761 2,05 0,0488 0,9798 0,0202 0,0074 2,0574 2,55 0,0154 0,9946 0,0054 0,0017 2,5517 0,06 0,3982 0,5239 0,4761 0,3697 0,4297 0,56 0,3410 0,7123 0,2877 0,1799 0,7399 1,06 0,2275 0,8554 0,1446 0,0742 1,1342 1,56 0,1182 0,9406 0,0594 0,0255 1,5855 2,06 0,0478 0,9803 0,0197 0,0072 2,0672 2,56 0,0151 0,9948 0,0052 0,0017 2,5617 0,07 0,3980 0,5279 0,4721 0,3649 0,4349 0,57 0,3391 0,7157 0,2843 0,1771 0,7471 1,07 0,2251 0,8577 0,1423 0,0728 1,1428 1,57 0,1163 0,9418 0,0582 0,0249 1,5949 2,07 0,0468 0,9808 0,0192 0,0070 2,0770 2,57 0,0147 0,9949 0,0051 0,0016 2,5716 0,08 0,3977 0,5319 0,4681 0,3602 0,4402 0,58 0,3372 0,7190 0,2810 0,1742 0,7542 1,08 0,2227 0,8599 0,1401 0,0714 1,1514 1,58 0,1145 0,9429 0,0571 0,0244 1,6044 2,08 0,0459 0,9812 0,0188 0,0068 2,0868 2,58 0,0143 0,9951 0,0049 0,0016 2,5816 0,09 0,3973 0,5359 0,4641 0,3556 0,4456 0,59 0,3352 0,7224 0,2776 0,1714 0,7614 1,09 0,2203 0,8621 0,1379 0,0700 1,1600 1,59 0,1127 0,9441 0,0559 0,0238 1,6138 2,09 0,0449 0,9817 0,0183 0,0066 2,0966 2,59 0,0139 0,9952 0,0048 0,0015 2,5915 0,10 0,3970 0,5398 0,4602 0,3509 0,4509 0,60 0,3332 0,7257 0,2743 0,1687 0,7687 1,10 0,2179 0,8643 0,1357 0,0686 1,1686 1,60 0,1109 0,9452 0,0548 0,0232 1,6232 2,10 0,0440 0,9821 0,0179 0,0065 2,1065 2,60 0,0136 0,9953 0,0047 0,0015 2,6015 0,11 0,3965 0,5438 0,4562 0,3464 0,4564 0,61 0,3312 0,7291 0,2709 0,1659 0,7759 1,11 0,2155 0,8665 0,1335 0,0673 1,1773 1,61 0,1092 0,9463 0,0537 0,0227 1,6327 2,11 0,0431 0,9826 0,0174 0,0063 2,1163 2,61 0,0132 0,9955 0,0045 0,0014 2,6114 0,12 0,3961 0,5478 0,4522 0,3418 0,4618 0,62 0,3292 0,7324 0,2676 0,1633 0,7833 1,12 0,2131 0,8686 0,1314 0,0659 1,1859 1,62 0,1074 0,9474 0,0526 0,0222 1,6422 2,12 0,0422 0,9830 0,0170 0,0061 2,1261 2,62 0,0129 0,9956 0,0044 0,0014 2,6214 0,13 0,3956 0,5517 0,4483 0,3373 0,4673 0,63 0,3271 0,7357 0,2643 0,1606 0,7906 1,13 0,2107 0,8708 0,1292 0,0646 1,1946 1,63 0,1057 0,9484 0,0516 0,0216 1,6516 2,13 0,0413 0,9834 0,0166 0,0060 2,1360 2,63 0,0126 0,9957 0,0043 0,0013 2,6313 0,14 0,3951 0,5557 0,4443 0,3328 0,4728 0,64 0,3251 0,7389 0,2611 0,1580 0,7980 1,14 0,2083 0,8729 0,1271 0,0634 1,2034 1,64 0,1040 0,9495 0,0505 0,0211 1,6611 2,14 0,0404 0,9838 0,0162 0,0058 2,1458 2,64 0,0122 0,9959 0,0041 0,0013 2,6413 0,15 0,3945 0,5596 0,4404 0,3284 0,4784 0,65 0,3230 0,7422 0,2578 0,1554 0,8054 1,15 0,2059 0,8749 0,1251 0,0621 1,2121 1,65 0,1023 0,9505 0,0495 0,0206 1,6706 2,15 0,0396 0,9842 0,0158 0,0056 2,1556 2,65 0,0119 0,9960 0,0040 0,0012 2,6512 0,16 0,3939 0,5636 0,4364 0,3240 0,4840 0,66 0,3209 0,7454 0,2546 0,1528 0,8128 1,16 0,2036 0,8770 0,1230 0,0609 1,2209 1,66 0,1006 0,9515 0,0485 0,0201 1,6801 2,16 0,0387 0,9846 0,0154 0,0055 2,1655 2,66 0,0116 0,9961 0,0039 0,0012 2,6612 0,17 0,3932 0,5675 0,4325 0,3197 0,4897 0,67 0,3187 0,7486 0,2514 0,1503 0,8203 1,17 0,2012 0,8790 0,1210 0,0596 1,2296 1,67 0,0989 0,9525 0,0475 0,0197 1,6897 2,17 0,0379 0,9850 0,0150 0,0053 2,1753 2,67 0,0113 0,9962 0,0038 0,0012 2,6712 0,18 0,3925 0,5714 0,4286 0,3154 0,4954 0,68 0,3166 0,7517 0,2483 0,1478 0,8278 1,18 0,1989 0,8810 0,1190 0,0584 1,2384 1,68 0,0973 0,9535 0,0465 0,0192 1,6992 2,18 0,0371 0,9854 0,0146 0,0052 2,1852 2,68 0,0110 0,9963 0,0037 0,0011 2,6811 0,19 0,3918 0,5753 0,4247 0,3111 0,5011 0,69 0,3144 0,7549 0,2451 0,1453 0,8353 1,19 0,1965 0,8830 0,1170 0,0573 1,2473 1,69 0,0957 0,9545 0,0455 0,0187 1,7087 2,19 0,0363 0,9857 0,0143 0,0050 2,1950 2,69 0,0107 0,9964 0,0036 0,0011 2,6911 0,20 0,3910 0,5793 0,4207 0,3069 0,5069 0,70 0,3123 0,7580 0,2420 0,1429 0,8429 1,20 0,1942 0,8849 0,1151 0,0561 1,2561 1,70 0,0940 0,9554 0,0446 0,0183 1,7183 2,20 0,0355 0,9861 0,0139 0,0049 2,2049 2,70 0,0104 0,9965 0,0035 0,0011 2,7011 0,21 0,3902 0,5832 0,4168 0,3027 0,5127 0,71 0,3101 0,7611 0,2389 0,1405 0,8505 1,21 0,1919 0,8869 0,1131 0,0550 1,2650 1,71 0,0925 0,9564 0,0436 0,0178 1,7278 2,21 0,0347 0,9864 0,0136 0,0047 2,2147 2,71 0,0101 0,9966 0,0034 0,0010 2,7110 0,22 0,3894 0,5871 0,4129 0,2986 0,5186 0,72 0,3079 0,7642 0,2358 0,1381 0,8581 1,22 0,1895 0,8888 0,1112 0,0538 1,2738 1,72 0,0909 0,9573 0,0427 0,0174 1,7374 2,22 0,0339 0,9868 0,0132 0,0046 2,2246 2,72 0,0099 0,9967 0,0033 0,0010 2,7210 0,23 0,3885 0,5910 0,4090 0,2944 0,5244 0,73 0,3056 0,7673 0,2327 0,1358 0,8658 1,23 0,1872 0,8907 0,1093 0,0527 1,2827 1,73 0,0893 0,9582 0,0418 0,0170 1,7470 2,23 0,0332 0,9871 0,0129 0,0045 2,2345 2,73 0,0096 0,9968 0,0032 0,0010 2,7310 0,24 0,3876 0,5948 0,4052 0,2904 0,5304 0,74 0,3034 0,7704 0,2296 0,1334 0,8734 1,24 0,1849 0,8925 0,1075 0,0517 1,2917 1,74 0,0878 0,9591 0,0409 0,0166 1,7566 2,24 0,0325 0,9875 0,0125 0,0044 2,2444 2,74 0,0093 0,9969 0,0031 0,0009 2,7409 0,25 0,3867 0,5987 0,4013 0,2863 0,5363 0,75 0,3011 0,7734 0,2266 0,1312 0,8812 1,25 0,1826 0,8944 0,1056 0,0506 1,3006 1,75 0,0863 0,9599 0,0401 0,0162 1,7662 2,25 0,0317 0,9878 0,0122 0,0042 2,2542 2,75 0,0091 0,9970 0,0030 0,0009 2,7509 0,26 0,3857 0,6026 0,3974 0,2824 0,5424 0,76 0,2989 0,7764 0,2236 0,1289 0,8889 1,26 0,1804 0,8962 0,1038 0,0495 1,3095 1,76 0,0848 0,9608 0,0392 0,0158 1,7758 2,26 0,0310 0,9881 0,0119 0,0041 2,2641 2,76 0,0088 0,9971 0,0029 0,0009 2,7609 0,27 0,3847 0,6064 0,3936 0,2784 0,5484 0,77 0,2966 0,7794 0,2206 0,1267 0,8967 1,27 0,1781 0,8980 0,1020 0,0485 1,3185 1,77 0,0833 0,9616 0,0384 0,0154 1,7854 2,27 0,0303 0,9884 0,0116 0,0040 2,2740 2,77 0,0086 0,9972 0,0028 0,0008 2,7708 0,28 0,3836 0,6103 0,3897 0,2745 0,5545 0,78 0,2943 0,7823 0,2177 0,1245 0,9045 1,28 0,1758 0,8997 0,1003 0,0475 1,3275 1,78 0,0818 0,9625 0,0375 0,0150 1,7950 2,28 0,0297 0,9887 0,0113 0,0039 2,2839 2,78 0,0084 0,9973 0,0027 0,0008 2,7808 0,29 0,3825 0,6141 0,3859 0,2706 0,5606 0,79 0,2920 0,7852 0,2148 0,1223 0,9123 1,29 0,1736 0,9015 0,0985 0,0465 1,3365 1,79 0,0804 0,9633 0,0367 0,0146 1,8046 2,29 0,0290 0,9890 0,0110 0,0038 2,2938 2,79 0,0081 0,9974 0,0026 0,0008 2,7908 0,30 0,3814 0,6179 0,3821 0,2668 0,5668 0,80 0,2897 0,7881 0,2119 0,1202 0,9202 1,30 0,1714 0,9032 0,0968 0,0455 1,3455 1,80 0,0790 0,9641 0,0359 0,0143 1,8143 2,30 0,0283 0,9893 0,0107 0,0037 2,3037 2,80 0,0079 0,9974 0,0026 0,0008 2,8008 0,31 0,3802 0,6217 0,3783 0,2630 0,5730 0,81 0,2874 0,7910 0,2090 0,1181 0,9281 1,31 0,1691 0,9049 0,0951 0,0446 1,3546 1,81 0,0775 0,9649 0,0351 0,0139 1,8239 2,31 0,0277 0,9896 0,0104 0,0036 2,3136 2,81 0,0077 0,9975 0,0025 0,0007 2,8107 0,32 0,3790 0,6255 0,3745 0,2592 0,5792 0,82 0,2850 0,7939 0,2061 0,1160 0,9360 1,32 0,1669 0,9066 0,0934 0,0436 1,3636 1,82 0,0761 0,9656 0,0344 0,0136 1,8336 2,32 0,0270 0,9898 0,0102 0,0035 2,3235 2,82 0,0075 0,9976 0,0024 0,0007 2,8207 0,33 0,3778 0,6293 0,3707 0,2555 0,5855 0,83 0,2827 0,7967 0,2033 0,1140 0,9440 1,33 0,1647 0,9082 0,0918 0,0427 1,3727 1,83 0,0748 0,9664 0,0336 0,0132 1,8432 2,33 0,0264 0,9901 0,0099 0,0034 2,3334 2,83 0,0073 0,9977 0,0023 0,0007 2,8307 0,34 0,3765 0,6331 0,3669 0,2518 0,5918 0,84 0,2803 0,7995 0,2005 0,1120 0,9520 1,34 0,1626 0,9099 0,0901 0,0418 1,3818 1,84 0,0734 0,9671 0,0329 0,0129 1,8529 2,34 0,0258 0,9904 0,0096 0,0033 2,3433 2,84 0,0071 0,9977 0,0023 0,0007 2,8407 0,35 0,3752 0,6368 0,3632 0,2481 0,5981 0,85 0,2780 0,8023 0,1977 0,1100 0,9600 1,35 0,1604 0,9115 0,0885 0,0409 1,3909 1,85 0,0721 0,9678 0,0322 0,0126 1,8626 2,35 0,0252 0,9906 0,0094 0,0032 2,3532 2,85 0,0069 0,9978 0,0022 0,0006 2,8506 0,36 0,3739 0,6406 0,3594 0,2445 0,6045 0,86 0,2756 0,8051 0,1949 0,1080 0,9680 1,36 0,1582 0,9131 0,0869 0,0400 1,4000 1,86 0,0707 0,9686 0,0314 0,0123 1,8723 2,36 0,0246 0,9909 0,0091 0,0031 2,3631 2,86 0,0067 0,9979 0,0021 0,0006 2,8606 0,37 0,3725 0,6443 0,3557 0,2409 0,6109 0,87 0,2732 0,8078 0,1922 0,1061 0,9761 1,37 0,1561 0,9147 0,0853 0,0392 1,4092 1,87 0,0694 0,9693 0,0307 0,0119 1,8819 2,37 0,0241 0,9911 0,0089 0,0030 2,3730 2,87 0,0065 0,9979 0,0021 0,0006 2,8706 0,38 0,3712 0,6480 0,3520 0,2374 0,6174 0,88 0,2709 0,8106 0,1894 0,1042 0,9842 1,38 0,1539 0,9162 0,0838 0,0383 1,4183 1,88 0,0681 0,9699 0,0301 0,0116 1,8916 2,38 0,0235 0,9913 0,0087 0,0029 2,3829 2,88 0,0063 0,9980 0,0020 0,0006 2,8806 0,39 0,3697 0,6517 0,3483 0,2339 0,6239 0,89 0,2685 0,8133 0,1867 0,1023 0,9923 1,39 0,1518 0,9177 0,0823 0,0375 1,4275 1,89 0,0669 0,9706 0,0294 0,0113 1,9013 2,39 0,0229 0,9916 0,0084 0,0028 2,3928 2,89 0,0061 0,9981 0,0019 0,0006 2,8906 0,40 0,3683 0,6554 0,3446 0,2304 0,6304 0,90 0,2661 0,8159 0,1841 0,1004 1,0004 1,40 0,1497 0,9192 0,0808 0,0367 1,4367 1,90 0,0656 0,9713 0,0287 0,0111 1,9111 2,40 0,0224 0,9918 0,0082 0,0027 2,4027 2,90 0,0060 0,9981 0,0019 0,0005 2,9005 0,41 0,3668 0,6591 0,3409 0,2270 0,6370 0,91 0,2637 0,8186 0,1814 0,0986 1,0086 1,41 0,1476 0,9207 0,0793 0,0359 1,4459 1,91 0,0644 0,9719 0,0281 0,0108 1,9208 2,41 0,0219 0,9920 0,0080 0,0026 2,4126 2,91 0,0058 0,9982 0,0018 0,0005 2,9105 0,42 0,3653 0,6628 0,3372 0,2236 0,6436 0,92 0,2613 0,8212 0,1788 0,0968 1,0168 1,42 0,1456 0,9222 0,0778 0,0351 1,4551 1,92 0,0632 0,9726 0,0274 0,0105 1,9305 2,42 0,0213 0,9922 0,0078 0,0026 2,4226 2,92 0,0056 0,9982 0,0018 0,0005 2,9205 0,43 0,3637 0,6664 0,3336 0,2203 0,6503 0,93 0,2589 0,8238 0,1762 0,0950 1,0250 1,43 0,1435 0,9236 0,0764 0,0343 1,4643 1,93 0,0620 0,9732 0,0268 0,0102 1,9402 2,43 0,0208 0,9925 0,0075 0,0025 2,4325 2,93 0,0055 0,9983 0,0017 0,0005 2,9305 0,44 0,3621 0,6700 0,3300 0,2169 0,6569 0,94 0,2565 0,8264 0,1736 0,0933 1,0333 1,44 0,1415 0,9251 0,0749 0,0336 1,4736 1,94 0,0608 0,9738 0,0262 0,0100 1,9500 2,44 0,0203 0,9927 0,0073 0,0024 2,4424 2,94 0,0053 0,9984 0,0016 0,0005 2,9405 0,45 0,3605 0,6736 0,3264 0,2137 0,6637 0,95 0,2541 0,8289 0,1711 0,0916 1,0416 1,45 0,1394 0,9265 0,0735 0,0328 1,4828 1,95 0,0596 0,9744 0,0256 0,0097 1,9597 2,45 0,0198 0,9929 0,0071 0,0023 2,4523 2,95 0,0051 0,9984 0,0016 0,0005 2,9505 0,46 0,3589 0,6772 0,3228 0,2104 0,6704 0,96 0,2516 0,8315 0,1685 0,0899 1,0499 1,46 0,1374 0,9279 0,0721 0,0321 1,4921 1,96 0,0584 0,9750 0,0250 0,0094 1,9694 2,46 0,0194 0,9931 0,0069 0,0023 2,4623 2,96 0,0050 0,9985 0,0015 0,0004 2,9604 0,47 0,3572 0,6808 0,3192 0,2072 0,6772 0,97 0,2492 0,8340 0,1660 0,0882 1,0582 1,47 0,1354 0,9292 0,0708 0,0314 1,5014 1,97 0,0573 0,9756 0,0244 0,0092 1,9792 2,47 0,0189 0,9932 0,0068 0,0022 2,4722 2,97 0,0048 0,9985 0,0015 0,0004 2,9704 0,48 0,3555 0,6844 0,3156 0,2040 0,6840 0,98 0,2468 0,8365 0,1635 0,0865 1,0665 1,48 0,1334 0,9306 0,0694 0,0307 1,5107 1,98 0,0562 0,9761 0,0239 0,0090 1,9890 2,48 0,0184 0,9934 0,0066 0,0021 2,4821 2,98 0,0047 0,9986 0,0014 0,0004 2,9804 0,49 0,3538 0,6879 0,3121 0,2009 0,6909 0,99 0,2444 0,8389 0,1611 0,0849 1,0749 1,49 0,1315 0,9319 0,0681 0,0300 1,5200 1,99 0,0551 0,9767 0,0233 0,0087 1,9987 2,49 0,0180 0,9936 0,0064 0,0021 2,4921 2,99 0,0046 0,9986 0,0014 0,0004 2,9904

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη:

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη: 4. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΑ ΖΗΤΗΣΗ Στις περισσότερες περιπτώσεις η ζήτηση είναι αβέβαια. Οι περιπτώσεις αυτές διαφέρουν ως προς το μέγεθος της αβεβαιότητας. Δηλαδή εάν η αβεβαιότητα είναι περιορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Αποθεμάτων υπό Σταθερή Ζήτηση

Έλεγχος Αποθεμάτων υπό Σταθερή Ζήτηση Έλεγχος Αποθεμάτων υπό Σταθερή Ζήτηση Γιώργος Λυμπερόπουλος 1 Οικονομική Ποσότητα Παραγγελίας (ΟΠΠ): βασικό μοντέλο 1 2 3 4 απόθεμα λ λ Σταθερός ρυθμός ζήτησης λ λ λ 2 ΟΠΠ: Βασικό πρότυπο Υποθέσεις Σταθερός

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Αποθεμάτων. Γιώργος Λυμπερόπουλος. Γ. Λυμπερόπουλος - Διoίκηση Παραγωγής

Έλεγχος Αποθεμάτων. Γιώργος Λυμπερόπουλος. Γ. Λυμπερόπουλος - Διoίκηση Παραγωγής Έλεγχος Αποθεμάτων Γιώργος Λυμπερόπουλος 1 Σημασία Ελέγχου Αποθεμάτων Η συνολική επένδυση σε αποθέματα σε μία χώρα είναι τεράστια (20-25% του ΑΕΠ). Τομείς οικονομίας με αποθέματα: Βιομηχανική παραγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Αποθεμάτων υπό γνωστή χρονικά μεταβαλλόμενη ζήτηση

Έλεγχος Αποθεμάτων υπό γνωστή χρονικά μεταβαλλόμενη ζήτηση Έλεγχος Αποθεμάτων υπό γνωστή χρονικά μεταβαλλόμενη ζήτηση Γιώργος Λυμπερόπουλος Δυναμική Επιλογή Μεγέθους Παρτίδας (Dynamic Lo Sizing) Υποθέσεις/συμβολισμός Ο χρόνος είναι διαιρεμένος σε διακριτές χρονικές

Διαβάστε περισσότερα

1 Έλεγχος Αποθεμάτων υπό Σταθερή Ζήτηση

1 Έλεγχος Αποθεμάτων υπό Σταθερή Ζήτηση 1 Έλεγχος Αποθεμάτων υπό Σταθερή Ζήτηση 1.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό αναλύονται πρότυπα ελέγχου αποθεμάτων για προϊόντα με σταθερή ζήτηση. Παρότι η υπόθεση της σταθερής ζήτησης είναι περιοριστική, τα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΠΡΟΓΡΑΜ- ΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Συνοπτικός (Συγκεντρωτικός) Προγραμματισμός Παραγωγής

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΠΡΟΓΡΑΜ- ΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Συνοπτικός (Συγκεντρωτικός) Προγραμματισμός Παραγωγής ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΠΡΟΓΡΑΜ- ΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Συνοπτικός (Συγκεντρωτικός) Προγραμματισμός Παραγωγής Γιώργος Λυμπερόπουλος Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 17/3/2017 Γ. Λυμπερόπουλος - Διοίκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Ενότητα #8: Βελτιστοποίηση Συστημάτων Ασαφούς Λογικής. Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.

ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Ενότητα #8: Βελτιστοποίηση Συστημάτων Ασαφούς Λογικής. Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ενότητα #8: Βελτιστοποίηση Συστημάτων Ασαφούς Λογικής Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. αλλού

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. αλλού ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Η τυχαία μεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας που δίνεται από τον πίνακα: x f(x) / / / / / Να βρεθεί η μέση τιμή και η διασπορά.. Η τυχαία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών

Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Διαχείριση Αποθεμάτων Ειδικά Μοντέλα Γιώργος Ιωάννου, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Σύνοψη διάλεξης Μοντέλο μη αυτόματου εφοδιασμού (Economic Lot size) Αλγόριθμος Wagner-Whitin

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος Κατανόηση της εφοδιαστικής αλυσίδας Σχεδιασμός δικτύου εφοδιαστικής αλυσίδας...41

Πρόλογος Κατανόηση της εφοδιαστικής αλυσίδας Σχεδιασμός δικτύου εφοδιαστικής αλυσίδας...41 Περιεχόμενα Πρόλογος...7 1 Κατανόηση της εφοδιαστικής αλυσίδας...9 2 Σχεδιασμός δικτύου εφοδιαστικής αλυσίδας...41 3 Πρόβλεψη της ζήτησης σε μια εφοδιαστική αλυσίδα...109 4 Συγκεντρωτικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Προσομoίωση Απόκρισης Συστήματος στο MATLAB

Προσομoίωση Απόκρισης Συστήματος στο MATLAB Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Προσομoίωση Απόκρισης Συστήματος στο MATLAB Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Προσομoίωση Απόκρισης Συστήματος στο MATLAB του καθ. Ιωάννη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω μια συνάρτηση ff που έχει πεδίο ορισμού το ΔΔ. 1. Πότε η ffλέγεται συνεχής στο xx 0 ΔΔ ; 2. Πότε η ff λέγεται συνεχής; (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών Ι. Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης. Απόκριση Συστημάτων 1 ου Βαθμού Ελευθερίας, που περιγράφονται από Σ.Δ.Ε.

Δυναμική Μηχανών Ι. Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης. Απόκριση Συστημάτων 1 ου Βαθμού Ελευθερίας, που περιγράφονται από Σ.Δ.Ε. Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Απόκριση Συστημάτων 1 ου Βαθμού Ελευθερίας, που περιγράφονται από Σ.Δ.Ε. 1 ης τάξης Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Απόκριση Συστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ I

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ I ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ I Άσκηση 1 Ερώτημα (i) HH 0 : μμ 1 = μμ = μμ 3 = μμ 4 = μμ HH 1 : τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ενότητα #9: Σύστημα ης τάξης: Χρονική Απόκριση και Χαρακτηριστικά Μεγέθη (Φυσικοί Συντελεστές) Δημήτριος

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες Ορίζουσες. Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες.

Πίνακες Ορίζουσες. Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες. 1 Πίνακες Ορίζουσες Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες. Παράδειγμα (χορήγηση Βαλασικλοβιρης (αντιυπερτασικό) σε νήπια) Ηλικία (μήνες) Μέσο Cmax (μg/ml) Μέσο βάρος

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Δυναμικών Εξισώσεων

Επίλυση Δυναμικών Εξισώσεων Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Επίλυση Δυναμικών Εξισώσεων Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Επίλυση Δυναμικών Εξισώσεων του καθ. Ιωάννη Αντωνιάδη και υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Σε αντίθεση με την διακριτή τυχαία μεταβλητή, μία συνεχής τυχαία μεταβλητή παίρνει μη-αριθμήσιμο (συνεχές) πλήθος τιμών. Δεν μπορούμε να καταγράψουμε το σύνολο των τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών

Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Διαχείριση Αποθεμάτων Συστήματα Συνεχούς και Περιοδικής Αναθεώρησης Γιώργος Ιωάννου, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Σύνοψη διάλεξης Συστήματα ελέγχου αποθεμάτων Σύστημα συνεχούς

Διαβάστε περισσότερα

Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση

Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση του καθ. Ιωάννη Αντωνιάδη και υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Ενότητα #3: Αρχή της Επέκτασης - Ασαφείς Σχέσεις. Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.

ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Ενότητα #3: Αρχή της Επέκτασης - Ασαφείς Σχέσεις. Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ενότητα #3: Αρχή της Επέκτασης - Ασαφείς Σχέσεις Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ. Από το βιβλίο: Κώστογλου, Β. (2015). Επιχειρησιακή Έρευνα. Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Τζιόλα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ. Από το βιβλίο: Κώστογλου, Β. (2015). Επιχειρησιακή Έρευνα. Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Τζιόλα ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ 1 Εισαγωγικά Απόθεμα εννοείται κάθε είδους αγαθό, το οποίο μπορεί να αποθηκευτεί με στόχο την τρέχουσα ή μελλοντική χρησιμοποίησή του. Αποθέματα συναντώνται σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Αποθεµάτων. Υποθέστε ότι την στιγμή αυτή υπάρχει στην αποθήκη απόθεμα για 5 μήνες.

Ασκήσεις Αποθεµάτων. Υποθέστε ότι την στιγμή αυτή υπάρχει στην αποθήκη απόθεμα για 5 μήνες. Ασκήσεις Αποθεµάτων 1. Το πρόγραμμα παραγωγής μιας βιομηχανίας προβλέπει την κατανάλωση 810.000 μονάδων πρώτης ύλης το χρόνο, με ρυθμό πρακτικά σταθερό, σε όλη τη διάρκεια του έτους. Η βιομηχανία εισάγει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΑ Χ Ρ ΗΜ ΑΤ ΙΣ Τ ΗΡ ΙΑ CISCO EXPO 2009 G. V a s s i l i o u - E. K o n t a k i s g.vassiliou@helex.gr - e.k on t ak is@helex.gr 29 Α π ρ ι λ ί ο υ 20 0 9 Financial Services H E L E X N O C A g e

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός και έλεγχος αποθεμάτων. Source: Corbis

Προγραμματισμός και έλεγχος αποθεμάτων. Source: Corbis Προγραμματισμός και έλεγχος αποθεμάτων Source: Corbis Προγραμματισμός και έλεγχος αποθεμάτων Προγραμματισμός και έλεγχος αποθεμάτων Στρατηγική παραγωγής Η αγορά απαιτεί μια ποσότητα προϊόντων και υπηρεσιών

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # 7: Έλεγχος Αποθεμάτων Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές

Διαβάστε περισσότερα

Σε βιομηχανικό περιβάλλον η αποθεματοποίηση γίνεται στις εξής μορφές

Σε βιομηχανικό περιβάλλον η αποθεματοποίηση γίνεται στις εξής μορφές 3. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΟΣ 3. Τι Είναι Απόθεμα Σε βιομηχανικό περιβάλλον η αποθεματοποίηση γίνεται στις εξής μορφές. Απόθεμα Α, Β υλών και υλικών συσκευασίας: Είναι το απόθεμα των υλικών που χρησιμοποιούνται

Διαβάστε περισσότερα

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Από τις (1) και (2) έχουμε:

Από τις (1) και (2) έχουμε: ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ 3 ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ, ΟΠΤΙΚΕΣ, ΜΑΓΝΗΤΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ» ΤΟΥ ΠΑΤΡΙΚ ΑΣΕΝΟΒ (OR STEVE HARRIS FOR MY FRIENDS FROM THE SHMMY FORUM) Θέμα ον : Έχουμε ιοντικό

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Διαχείρισης Αποθεμάτων

Μοντέλα Διαχείρισης Αποθεμάτων Μοντέλα Διαχείρισης Αποθεμάτων 2 Εισαγωγή (1) Ο όρος απόθεμα αναφέρεται σε προϊόντα και υλικά που αποθηκεύονται από την επιχείρηση για μελλοντική χρήση Τα αποθέματα μπορεί να περιλαμβάνουν Πρώτες ύλες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Ενότητα #7: Σύστημα Ασαφούς Λογικής Μαθηματικές Εκφράσεις

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Ενότητα #7: Σύστημα Ασαφούς Λογικής Μαθηματικές Εκφράσεις ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ενότητα #7: Σύστημα Ασαφούς Λογικής Μαθηματικές Εκφράσεις Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ενότητα #4: Μαθηματική εξομοίωση συστημάτων στο επίπεδο της συχνότητας Μετασχηματισμός Laplace και

Διαβάστε περισσότερα

Λυμένες ασκήσεις στα πλαίσια του μαθήματος «Διοίκηση Εφοδιαστικής Αλυσίδας»

Λυμένες ασκήσεις στα πλαίσια του μαθήματος «Διοίκηση Εφοδιαστικής Αλυσίδας» Λυμένες ασκήσεις στα πλαίσια του μαθήματος «Διοίκηση Εφοδιαστικής Αλυσίδας» Άσκηση 1. Έστω ότι μια επιχείρηση αντιμετωπίζει ετήσια ζήτηση = 00 μονάδων για ένα συγκεκριμένο προϊόν, σταθερό κόστος παραγγελίας

Διαβάστε περισσότερα

P(200 X 232) = =

P(200 X 232) = = ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Το μέγεθος ενός αναλογικού σήματος, που λαμβάνεται από έναν ανιχνευτή και μετράται σε microvolts, είναι τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την Κανονική κατανομή Ν(00, 6) σε συγκεκριμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ. Ι. Προσδιοριστικά Μοντέλα αποθεµάτων

ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ. Ι. Προσδιοριστικά Μοντέλα αποθεµάτων ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ Οι αποφάσεις σχετικά µε την διαχείριση ή «πολιτική» των αποθεµάτων που πρέπει να πάρει κάποιος, ασχολείται µε το «πόσο» πρέπει να παραγγείλει (ή να παράγει) και «πότε» να παραγγείλει

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνο-οικονοµικά Συστήµατα ιοίκηση Παραγωγής & Συστηµάτων Υπηρεσιών

Τεχνο-οικονοµικά Συστήµατα ιοίκηση Παραγωγής & Συστηµάτων Υπηρεσιών Τεχνο-οικονοµικά Συστήµατα ιοίκηση Παραγωγής & Συστηµάτων Υπηρεσιών 9. ιαχείριση αποθεµάτων Μοντέλα διαχείρισης Η αβεβαιότητα στη διαχείριση αποθεµάτων Συστήµατα Kanban/Just In Time (JIT) Εισηγητής: Θοδωρής

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ενότητα #7: Άλγεβρα Βαθμίδων (μπλόκ) Ολική Συνάρτηση Μεταφοράς Δημήτριος Δημογιαννόπουλος Τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

7.1. Εισαγωγή Τύποι Αποθεμάτων Βασικοί Τύποι αποθεμάτων Μέθοδοι Μείωσης παραγγελιών Ταξινόμηση ΑΒC...

7.1. Εισαγωγή Τύποι Αποθεμάτων Βασικοί Τύποι αποθεμάτων Μέθοδοι Μείωσης παραγγελιών Ταξινόμηση ΑΒC... Κεφάλαιο 7: ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ Περιεχόμενα 7.1. Εισαγωγή... 2 7.2. Το Πρόβλημα Διαχείρισης Αποθεμάτων... 4 7.2.1 Σκοπός Διατήρησης Αποθεμάτων... 4 7.2.2 Στοιχεία Κόστους Αποθεμάτων... 4 7.2.3 Εξαρτημένη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Copyright 2009 Cengage Learning 8.1 Συναρτήσεις Πυκνότητας Πιθανοτήτων Αντίθετα με τη διακριτή τυχαία μεταβλητή που μελετήσαμε στο Κεφάλαιο 7, μια συνεχής τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ.

Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ. Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ. π.χ. Βαθμολογία διαγωνίσματος σε τμήματα: Α : 7, 11,16, 16,,. Β : 11, 13, 16, 16, 17, 17. Παρατήρηση : Για τέτοιους λόγους χρειάζεται και η εξέταση κάποιων μέτρων διασποράς

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι)

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι) HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Χρόνου (Ι) Στοχαστικά σήματα Στα προηγούμενα: Ντετερμινιστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ενότητα #6: Συστήματα Ασαφούς Λογικής Ασαφοποιητές - Αποασαφοποιητές Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι απόθεµα (Inventory) ;

Τι είναι απόθεµα (Inventory) ; Τι είναι απόθεµα (Inventory) ; κάθε αδρανές οικονοµικό µέσο ή πόρος που διατηρείται για την ικανοποίηση µελλοντικής ζήτησης γι αυτό. 1995 Corel Corp. 1984-1994 T/Maker Co. 1984-1994 T/Maker Co. 3 Απόθεµα

Διαβάστε περισσότερα

Επώνυµη ονοµασία. Ενότητα 13 η Σχεδίαση,Επιλογή, ιανοµή Προϊόντων 1

Επώνυµη ονοµασία. Ενότητα 13 η Σχεδίαση,Επιλογή, ιανοµή Προϊόντων 1 Επώνυµη ονοµασία Η επώνυµη ονοµασία είναι αυτή η ονοµασία που ξεχωρίζει τα προϊόντα και τις υπηρεσίες µας από αυτές των ανταγωνιστών. Οι σχετικές αποφάσεις θα επηρεαστούν από τις εξής ερωτήσεις: 1. Χρειάζεται

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι: Άσκηση 1: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν στατιστικές μέσες τιμές 0 και διασπορές 25 και 36 αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης των 2 τυχαίων μεταβλητών είναι 0.4. Να υπολογισθούν η διασπορά του

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Μια κατασκευαστική εταιρία κατασκευάζει εξοχικές κατοικίες κοντά σε γνωστά θέρετρα της Εύβοιας Η

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις ΔΕΟ - Επαναληπτικές Εξετάσεις Λύσεις ΘΕΜΑ () Το Διάγραμμα Διασποράς εμφανίζεται στο επόμενο σχήμα. Από αυτό προκύπτει καταρχήν μία θετική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Επίσης, από το διάγραμμα φαίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 12. Στοιχεία του Λογισμού των Μεταβολών

Κεφάλαιο 12. Στοιχεία του Λογισμού των Μεταβολών Κεφάλαιο 12. Στοιχεία του Λογισμού των Μεταβολών 1. Εισαγωγή Στα τελευταία χρόνια υπήρξε μια μεγάλη ποικιλία εφαρμογών των μεταβολικών μεθόδων σε πολλά πεδία της επιστήμης και της τεχνολογίας. Για το λόγο

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Πολλών Βαθμών Ελευθερίας

Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Πολλών Βαθμών Ελευθερίας Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Πολλών Βαθμών Ελευθερίας Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Πολλών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 34 Ν. ΠΑΝΤΕΛΗ ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ & ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2012 1 ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 34 ΚΟΣΤΗ Ν.

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό;

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό; Γραπτή Εξέταση Περιόδου Ιουνίου 008 στο Μάθημα Στατιστική /07/08. Η πιθανότητα να υπάρχει στο υπέδαφος μιας συγκεκριμένης περιοχής εκμεταλλεύσιμο κοίτασμα πετρελαίου είναι 50%. Μια εταιρεία, που πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εφαρμογή σε Άλλα Προβλήματα Διαχείρισης Έργων Π. Γ. Υψηλάντης ΓΠ στη Διοίκηση Έργων Προβλήματα μεταφοράς και δρομολόγησης Αναθέσεις προσωπικού Επιλογή προμηθευτών Καθορισμός τοποθεσίας

Διαβάστε περισσότερα

Η άριστη ποσότητα παραγγελίας υπολογίζεται άμεσα από τη κλασική σχέση (5.5): = 1000 μονάδες

Η άριστη ποσότητα παραγγελίας υπολογίζεται άμεσα από τη κλασική σχέση (5.5): = 1000 μονάδες ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Η ετήσια ζήτηση ενός σημαντικού εξαρτήματος που χρησιμοποιείται στη μνήμη υπολογιστών desktops εκτιμήθηκε σε 10.000 τεμάχια. Η αξία κάθε μονάδας είναι 8, το κόστος παραγγελίας κάθε παρτίδας

Διαβάστε περισσότερα

Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Y=g(X) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ13 ( 1 )

Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Y=g(X) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ13 ( 1 ) Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής =() Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( ) Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Έστω τ.μ. Χ με γνωστή κατανομή. Δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Associate. Prof. M. Krokida School of Chemical Engineering National Technical University of Athens. ΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗ ΑΕΡΙΩΝ Gas Absorption

Associate. Prof. M. Krokida School of Chemical Engineering National Technical University of Athens. ΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗ ΑΕΡΙΩΝ Gas Absorption Associate. Prof. M. Krokida School of Chemical Engineering National Technical University of Athens ΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗ ΑΕΡΙΩΝ Gas Absorption Παράγοντες που Επηρεάζουν Διεργασία Απορρόφησης Συνήθως δίνονται: Ρυθμός

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ενότητα #10: Σύστηματα και Απόκριση Συχνότητας - Λογαριθμικά Διαγράμματα BODE Δημήτριος Δημογιαννόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

«ΤΟ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ EOQ ΣΤΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ»

«ΤΟ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ EOQ ΣΤΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ» Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΤΟ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ EOQ ΣΤΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ» Του σπουδαστή ΜΑΧΑΙΡΟΥΔΗ KΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ Επιβλέπων Δρ. ΓΕΡΟΝΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Αναπληρωτής

Διαβάστε περισσότερα

Ανταγωνισμός για την Καλή Θέληση Πελατών βάσει της Διαθεσιμότητας Προϊόντων *

Ανταγωνισμός για την Καλή Θέληση Πελατών βάσει της Διαθεσιμότητας Προϊόντων * Ανταγωνισμός για την Καλή Θέληση Πελατών βάσει της Διαθεσιμότητας Προϊόντων Ισίδωρος Τσικής και Γιώργος Λυμπερόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιομηχανίας, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας, sks@me.uh.gr Περίληψη

Διαβάστε περισσότερα

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Η «OutBoard Motors Co» παράγει τέσσερα διαφορετικά είδη εξωλέμβιων (προϊόντα 1 4) Ο γενικός διευθυντής κ. Σχοινάς, ενδιαφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Μαρκοβιανών Αλυσίδων

Προβλήματα Μαρκοβιανών Αλυσίδων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Προβλήματα Μαρκοβιανών Αλυσίδων Γιώργος Λυμπερόπουλος 2009 1. Να βρεθούν οι κλάσεις καταστάσεων στις παρακάτω Μαρκοβιανές αλυσίδες και να σημειωθεί αν

Διαβάστε περισσότερα

min f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) +

min f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) + KΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ανισότητες 4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ Ασκήσεις Αθήνα, Ιανουάριος 2010 Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων & Διοίκησης ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 6 Κατανομές πιθανότητας και εκτίμηση παραμέτρων Κατανομές πιθανότητας και εκτίμηση παραμέτρων κανονικές τυχαίες μεταβλητές Εκτίμηση παραμέτρων δυαδικές τυχαίες μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (11/05/2011, 9:00)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (11/05/2011, 9:00) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών Θεματική Ενότητα Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών ΔΕΟ 3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος 00-0 ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (/05/0, 9:00) Να απαντηθούν 4 από τα 5

Διαβάστε περισσότερα

min f(x) x R n (1) x g (2)

min f(x) x R n (1) x g (2) KΕΦΑΛΑΙΟ Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ισότητες. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση κάτω από

Διαβάστε περισσότερα

B5. ΠΛΑΙΣΙΩΜΕΝΟΣ ΕΣΣΙΑΝΟΣ

B5. ΠΛΑΙΣΙΩΜΕΝΟΣ ΕΣΣΙΑΝΟΣ B5. ΠΛΑΙΣΙΩΜΕΝΟΣ ΕΣΣΙΑΝΟΣ 1.Περιορισμένη τετραγωνική μορφή. Χαρακτηρισμός πλαισιωμένων συμμετρικών πινάκων 3.Συνθήκες για περιορισμένα τοπικά ακρότατα 4.Περισσότερες μεταβλητές και περιορισμοί 5.Περιορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

Ήπιες Μορφές Ενέργειας

Ήπιες Μορφές Ενέργειας ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ήπιες Μορφές Ενέργειας Ενότητα 4: Ενεργειακή Απόδοση Αιολικών Εγκαταστάσεων Καββαδίας Κ.Α. Τμήμα Μηχανολογίας Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική IΙ. Ενότητα 4: Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Φυσική IΙ. Ενότητα 4: Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Φυσική IΙ Ενότητα 4: Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Ορισμός της ηλεκτρική δυναμικής ενέργειας. Σύγκριση με τη βαρυτική ενέργεια

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # 7: Ασκήσεις - Παραδείγματα Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Ι. Ενότητα 6: Έργο και κινητική ενέργεια. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Φυσική Ι. Ενότητα 6: Έργο και κινητική ενέργεια. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Φυσική Ι Ενότητα 6: Έργο και κινητική ενέργεια Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Κατανόηση και ορισμός της έννοιας του έργου Κατανόηση της κινητικής ενέργειας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ (8,33% ΑΝΑ ΘΕΜΑ) ΘΕΜΑ A.1 Αν η συνάρτηση του οριακού κόστους μιας επιχείρησης είναι

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων. Διάλεξη 2

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων. Διάλεξη 2 HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Θεωρία πιθανοτήτων Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (αντίθετα με τις ντετερμινιστικές μεταβλητές)

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΗΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 7η

ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΗΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 7η ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΗΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 7η ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ Τι ορίζεται ως απόθεμα;

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων & Διοίκησης ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων & Διοίκησης ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Αθήνα, Ιανουάριος 2015 Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων & Διοίκησης

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ 1 η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Προβλήματα Αδιαστατοποίησης - Δυναμικής Πληθυσμών Άσκηση 3.3, σελίδα 32 από

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις. Μοντέλα ανταγωνισμού και συνεργασίας σε εφοδιαστικές αλυσίδες

Σημειώσεις. Μοντέλα ανταγωνισμού και συνεργασίας σε εφοδιαστικές αλυσίδες Σημειώσεις Μοντέλα ανταγωνισμού και συνεργασίας σε εφοδιαστικές αλυσίδες Απόστολος Μπουρνέτας, Πανεπιστήμιο Αθηνών 1 Προβλήματα Παραγωγής μιας Περιόδου Το πρόβλημα του εφημεριδοπώλη. Σ αυτές τις σημειώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 4-4-1 Εισαγωγή Όσο το n αυξάνει, η διωνυμική κατανομή προσεγγίζει... n = 6 n = 1 n = 14 Binomial Distribution:

Διαβάστε περισσότερα

ίκτυα Επικοινωνίας Υπολογιστών

ίκτυα Επικοινωνίας Υπολογιστών ίκτυα Επικοινωνίας Υπολογιστών Ενότητα: Ασκήσεις για την ενότητα 5 (Στοιχεία Θεωρίας Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης) Ιωάννης Μοσχολιός Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σελίδα 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤHΜΑΤΑ ΑΠΟΦAΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓH

ΣΥΣΤHΜΑΤΑ ΑΠΟΦAΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓH ΣΥΣΤHΜΑΤΑ ΑΠΟΦAΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓH Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Διοίκηση Παραγωγής & Συστημάτων Υπηρεσιών ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ι ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ι ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ Μαθηματικά για Οικονομολόγους Ι Εργασία - ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ι ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ - ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ Παρακάτω δίνονται συνολικά ασκήσεις με πολλαπλά ερωτήματα τις οποίες θα επιλύσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Ενότητα #13: Εξαγωγή Γνώσης από Δεδομένα. Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.

ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Ενότητα #13: Εξαγωγή Γνώσης από Δεδομένα. Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ενότητα #13: Εξαγωγή Γνώσης από Δεδομένα Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων. 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητικά χαρακτηριστικά µιάς τυχαίας µεταβλητής

Αριθµητικά χαρακτηριστικά µιάς τυχαίας µεταβλητής Αριθµητικά χαρακτηριστικά µιάς τυχαίας µεταβητής (Α) Mέση τιµή Ορισµός Η µέση τιµή ή µαθηµατική επίδα µιας τ.µ. Χ µε πυκνότητα πιθανότητας f (x) είναι ο αριθµός: µ E() + xf (x) xf (x)dx διακριτή συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 12 Προγραµµατισµός και έλεγχος αποθεµάτων

Κεφάλαιο 12 Προγραµµατισµός και έλεγχος αποθεµάτων Κεφάλαιο 12 Προγραµµατισµός και έλεγχος αποθεµάτων Source: Corbis Προγραµµατισµός και έλεγχος αποθεµάτων Προγραµµατισµός και έλεγχος αποθεµάτων Στρατηγική παραγωγής Η αγορά απαιτεί µια ποσότητα προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

που αντιστοιχεί στον τυχαίο αριθμό 0.6 δίνει ισχύ P Y Να βρεθεί η μεταβλητή k 2.

που αντιστοιχεί στον τυχαίο αριθμό 0.6 δίνει ισχύ P Y Να βρεθεί η μεταβλητή k 2. (μονάδα παραγωγής ενέργειας) Έχουμε μια απομακρυσμένη μονάδα παραγωγής ενέργειας. Η ζήτηση σε ενέργεια καλύπτεται από διάφορες πηγές. Η ισχύς εξόδου της ανεμογεννήτριας εξαρτάται από την ταχύτητα ανέμου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Μοντέλα Ουρών Markov και Εφαρμογές:

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Μοντέλα Ουρών Markov και Εφαρμογές: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Μοντέλα Ουρών Markov και Εφαρμογές: Ουρά Μ/Μ/2 Σύστημα Μ/Μ/Ν/Κ, Erlang-C Σύστημα Μ/Μ/c/c, Erlang-B Ανάλυση & Σχεδιασμός Τηλεφωνικών Κέντρων Βελτιστοποίηση Μέσου Μήκους

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Θεωρία Ρυθμού Παραμόρφωσης

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Θεωρία Ρυθμού Παραμόρφωσης Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Θεωρία Ρυθμού Παραμόρφωσης Θεωρία Ρυθμού-Παραμόρφωσης Θεώρημα Κωδικοποίησης Πηγής: αν έχω αρκετά μεγάλο μπλοκ δεδομένων, μπορώ να φτάσω κοντά στην εντροπία Πιθανά Προβλήματα: >

Διαβάστε περισσότερα