CAPITOLUL II. 1. Corpul numerelor complexe. Construcţia şi reprezentarea numerelor complexe.
|
|
- Δάμαλις Ιωαννίδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 APITOLUL II FUNŢII OMPLEXE orpl merelor complee ostrcţ ş repreetre merelor complee Imposbltte reolvăr or ecţ lgebrce î corpl merelor rele R cos pe lgebrşt tle î secoll XVI să trocă o epres e orm b b R mte mere mgre Nmerele "mgre" pr petr prm oră î lcrărle l r sec XVI Demre e mere mgre ost trbtă tortă ptl că î epoc respectvă s- ptt o repreetre ttvă cestor mere Î 763 Eler îtrepre petr prm oră st sstemtc l cestor mere trocâ ş smboll " " Î 797 Gss ă terpretre geometrcă merelor complee c pcte le pl Fe R prosl crte l perechlor orote e mere rele Dem pe R operţle e re ş îmlţre pr : '' ' ' ; '' '- ' '' Pr eţe mlţme merelor complee este mlţme R ottă c operţle e re ş îmlţre R; mlţme îestrtă c cele oă operţ re o strctră e corp comttv Elemetele corpl se mesc mere complee Fe A mlţme merelor complee e orm ec A{ R} A ş A este sbcorp l l eorece: A ş A Să em plcţ : R A pr R Acestă plcţe este o bjecţe ş coservă operţle e re ş îmlţre : ş Reltă că este omorsm e corpr e l R pe A Acest lcr permte etcre mlţm A c R Astel vom ot mărl comple c ec Î prtclr erol ş tte corpl merelor complee se etcă c mărl rel ş tte relă Î cosecţă ptem scre ş 34
2 Fe B { R } Observăm că B se pote etc c pctele R stte pe O Observăm că : ' ' B ş ' -' B Acest rtă că B este sbcorp l corpl merelor complee Î prtclr - - Vom ot ş stel - R Nmărl comple se m meşte ş tte mgră r merele complee e orm R mere pr mgre Dcă este măr comple orecre tc : cre repretă epres lgebrcă merelor complee Î cestă screre Re ş Im repretă respectv prte relă ş prte mgră mărl comple Pr moll mărl comple se îţelege mărl eegtv et pr relţ : Pr cojgtl măr comple se îţelege mărl - Î ră e cestă repreetre geometrcă pctlă m este cosctă ş repreetre vectorlă merelor complee Astel mărl comple se tşeă vectorl lber le căr compoete pe ele e coorote st ş Î cest el se releă o bjecţe ître corpl ş mlţme vectorlor lber Screre merelor complee sb ormă trgoometrcă Operţ c mere complee Î clcll c mere complee este orte tlă screre cestor sb ormă trgoometrcă Nmărl comple se pote scre sb ormă trgoometrcă : ρcosθ sθ e ρ tgθ ρ cos θ ρ sθ Ughl ăct e vectorl corespător l c sesl potv l e O se meşte rgmet ş se oteă : θ rg 35
3 M ρ θ Acelş măr comple î coresp o tte e etermăr le rgmetl cre eră ître ele prtr- mltpl e π Vom m etermre prcplă rgmetl l ottă rg ce etermre cre vercă egltăţle : - π < rg π Are respectv scăere merelor complee ş se eesc pr : ± ± ± Aceste operţ c semcţe geometrcă re respectv scăere vectorlor corespător : Se observă că repretă stţ tre pctele ş Fe ρcosθ sθ ş ρ cosθ sθ Îmlţre merelor complee ş se eeşte stel : 36
4 3 ρ ρ [cos θ θ s θ θ ] Observăm că ş rg rg rg Dcă ρ cosθ sθ { tc : 4 ρ ρ ρ [cos θ θ θ s θ θ θ ] Dcă ρcosθ sθ tc : 5 ρ cos θ s θ Dcă lăm pe ρ se obţe orml l Movre : 6 cosθ sθ cos θ s θ Împărţre merelor complee se eecteă pă regl : ρ 7 [cos θ θ s θ θ ] ρ Observăm că : ş rg rg rg Răăc e orl se eeşte stel : 8 θ π θ π ρ cos s { } D pct e veere geometrc cele răăc le l st vârrle polgo reglt c ltr îscrs î cercl c cetrl î orge ş e ră ρ O ormă mporttă e repreetre merelor complee se θ toreă l Eler Notâ cos θ sθ e orml l Eler mărl comple se pote scre sb orm: ρe θ ρ θ rg mtă orm epoeţlă merelor complee Elemete e topologe î corpl merelor compleeproecţ stereogrcă Fe mlţme merelor complee Aplcţ : X R etă pr : se meşte metrcă s stţă pe mlţme Î cotre vom ce eosebre ître mărl comple ş pctl M mge l geometrcă pll Gss Deţ Vom m sc eschs c cetrl î pctl ş e ră r > mlţme : r { <r} 37
5 Pr sc îchs c cetrl î ş e ră r > vom îţelege mlţme : 3 r { r} Deţ Nmm cerc c cetrl î ş e ră r > mlţme : 4 Sr { r} M jos st repreette cele tre mlţm: * * * * * * * * * * * * * * * * * * r * * r * * * r r * * * * r * * S r 38
6 Mlţme pe cre s- et metrc este spţ metrc Pe mlţme reltv l stţ vom troce topolog τ mtă topolog soctă stţe Mlţme e părţ τ spţl metrc etă pr : 5 τ { U Ρ ; U r > r U} e Ρ repretă mlţme ttror părţlor mlţm este o topologe pe mtă topolog soctă stţe r r V Deţ 3 Sbmlţme V se meşte vecătte pct că estă scl r V gr e m ss` Dcă V este o vecătte l tc pctl se meşte pct teror l V Mlţme pctelor terore le e mlţm V se meşte terorl l V ş se oteă c V s ItV Pctl este pct e cmlre petr mlţme V că orce sc r coţe pct stel îcât : V r \{ } Mlţme pctelor e cmlre o vom ot c V' ş o vom m mlţme ervtă l V Dcă V ş estă r stel îcât r V { } tc pctl este pct olt l mlţm V Îchere mlţm V repretă mlţme V V V O mlţme V este eschsă că V V Mlţme V este îchsă că V V Se pote răt că V este îchsă V V 39
7 Mlţme V este o mlţme mărgtă că estă scl r stel îcât V r O mlţme mărgtă ş îchsă se meşte compctă U pct se meşte pct roteră petr mlţme A că orce vecătte V pctl coţe pcte tât mlţme A cât ş complemetr s A Mlţme pctelor roteră mlţm A se oteă Fr A ş se meşte roter l A Dcă cel pţ l merele Re Im este t vom scre ş vom spe că repretă pctl e l t l pll comple Deţ 4 Nmm vecătte pctl eterorl cerc c cetrl î orge că mlţme : 6 V { > r} Petr obţe mge geometrcă pctl l pll comple vom e proecţ stereogrcă cre stbleşte o corespoeţă bvocă ître pctele e sere ş pctele pll comple l l Gss Acestă corespoeţă ost ctă e B Rem Să coserăm o seră S e metr tgetă î pctl O l pll ecl rportt l ssteml e e rectglre O î cre m repreett merele complee Fe N pctl e pe ser S metrl ops l O Vom coser spţl ecl trmesol rportt l ssteml e e rectglre O ξης e O ξ ş O η coc c O respectv c O r O ς se sprpe peste metrl ON N Fe M pct orecre pll O e ş să otăm c P P ξ η ς pctl ert e N e rept MN te ser S : N P* O M 4
8 Î cest el ecăr pct M pl s ecăr măr comple î v corespe pct c P l sere S P N Ivers â-se pct P P S P N rept cre trece pr N ş P v tersect pll O îtr- pct c M Vom spe că pctl M este proecţ stereogrcă N l pctl P Relţle tre coorotele pctl P ξ η ς ş coorotele pctl M st : 7 ξ ; η ; ς â tc P N ec proecţ stereogrcă poll or N este pctl e l t l pll comple ξ Mlţme merelor complee împreă c pctl repretă îchere l ec { } Deţ 5 Mlţme E este coveă că petr orce escompere î oă mlţm sjcte ş eve A ş B cel pţ ceste mlţm re pct e cmlre î celltă mlţme ec : A B E A B A B s A B Dcă o mlţme este eschsă ş coveă vom spe că ce mlţme este ome O mlţme eschsă este coveă că ş m că orcre oă pcte le sle pot te prtr-o le polgolă coţtă î ce mlţme Deţ 6 U ome D este smpl coecă orce crbă smplă îchsă Γ coţtă î D elmteă ome mărgt vâ roter Γ este cls î Dcă D : D Γ 4
9 U ome cre este smpl coe vom spe că este mltpl coe Pr trocere or tăetr că o rotere omel pote eve smpl coe Orl e coee se obţe ăgâ o tte l mărl mm e tăetr petr c omel respectv să evă smpl coe Eempl Domel D gr e m jos este trpl coe : D 3 A B B * A T T Pr tăetrle T ş T el eve ome smpl coe vâ c roteră mlţme : Γ 3 A B B A A B B A 3 Şrr ş ser e mere complee A Şrr e mere complee Deţ Nmm şr e mere complee plcţ * : N R R Vom ot : * s smpl N Spem că şrl este mărgt că c R stel îcât : c N* Deţ c vecătăţ Spem că şrl este coverget că estă stel îcât î r orcăre vecătăţ V l se lă măr t e terme şrl Notăm lm s Deţ 3 c ε Spem că este coverget că estă stel îcât petr orce ε > estă rg ε N c proprette că petr orce N să vem : ε 4
10 < ε Geometrc eţ 3 re rmătore terpretre : toţ terme c ε se lă î terorl cercl c cetrl î ş e r ε Teorem U şr este coverget că ş m că ş st covergete; î pls lm lm lm Demostrţe Dcă este coverget tc stel îcât petr ε > ε N stel îcât ε să vem < ε Dr < ε ş < ε e e rmeă că ş st covergete către ş respectv ş ec Recproc că ş obţem Deţ 4 Şrl e mere complee se meşte şr ch metl că petr orce ε > estă măr trl ε stel îcât petr orce > ε ş orce p N să vem : < ε p Are loc: Teorem oţ ecesră ş scetă c şr să e şr ch este c şrrle ş să e şrr ch Necestte coţe reltă egltăţle : r sceţ egltte : p p ş p p p p p B Ser e mere complee Pr sere e mere complee îţelegem sm termelor şr w e mere complee ş se oteă : w w w w Sere e mere complee w se socă şrl smelor prţle S et stel : S w w w {3} 43
11 Dcă şrl smelor prţle S este coverget ş re lmt S spem că ser w este covergetă ş re sm S că: şrl S este verget spem că ser w este vergetă O sere e mere complee pote scrsă : Are loc : w v e v R w S Dcă Teorem O sere e mere complee w este covergetă că ş m că ş v st covergete Demostrţe Notăm S w w w s ş τ v v v Avem S s τ Dr w este covergetă că ş m că şrl S este coverget cee ce re loc că ş m că şrrle s ş τ st covergete că că ş m că serle ş v st covergete Deţ Ser w se meşte bsolt covergetă că ser w este covergetă Deţ Dcă ser w este covergetă r w este vergetă ser w se meşte sem-covergetă Observţe O sere bsolt covergetă este covergetă r recproc este î geerl vlblă O sere e mere complee este bsolt covergetă că ş m că tât ser părţlor rele cât ş ser părţlor mgre st bsolt covergete 44
12 Observţe Petr stl covergeţe bsolte serlor e mere complee se tleă crterle e covergeţă petr ser c terme potv Petr stl tr serlor e mere complee pot tlte crterle e covergeţă petr serle e mere rele 4 Fcţ complee e o vrblă relă Lmt îtr- pct ottte Dervt ş ereţl Itegrl Rem Prmtvă Fe E R Deţ Nmm cţe compleă e vrblă relă plcţ : : E R s t t t t R e t Re t ş t Im t Reltă că o cţe compleă e vrblă relă este etermtă e o pereche orotă t ş t t E e cţ rele e vrblă relă Deţ Spem că măr comple l este lmt cţe t î pctl t E' că petr orce ε > estă măr η ε > stel îcât orcre r t E t t că t t < η ε tc t l < ε Se scre lm t l t t Are loc: Propoţ lm t l lm t Rel t t t t ş lm t Iml Deţ 3 Spem că cţ compleă t este cotă î pctl t E R că petr orce ε > estă η ε > stel îcât petr t t < η t E să vem : t t < ε t ε Dcă t E E tc cţ compleă t este cotă î pctl lm t t t t Propoţ oţ ecesră ş scetă petr c cţ compleă t t t să e cotă î pctl t E R este c cţle rele tş t să e cote î t t Fe : E R ş t E E Deţ 4 Spem că cţ compleă este ervblă î pctl t că estă ş este tă lmt : 3 t t lm t t t t t t 45
13 Vlore ceste lmte se oteă t s t ş se meşte ervt cţe î pctl t E Propoţ 3 oţ ecesră ş scetă c o cţe compleă să e ervblă îtr- pct este c cţle rele t ş t să e ervble î cel pct Se pote scre : t t t t t t t E \{ t} e e t t t t t t trecâ l lmtă câ t t obţem egltte : 4 t t t Meţoăm că reglle e ervre petr cţle rele se păstreă ş î cl cţlor complee e vrblă relă Fe o cţe compleă ervblă pe E R Pr ereţl l î pctl t E vom îţelege mărl comple: 5 t t t t t t Eplctâ relţ 5 pote scrsă ş stel : 6 t t t e t t t ş t t t Reglle e ereţere coscte petr smă pros ş cât se păstreă ş petr cţle complee Deţ tegrle Rem petr cţle complee e vrblă relă este logă c ce tă petr cţle rele Fe cţ compleă t t [ b] R Să coserăm o ve l [ b] pr pctele: ottă t < t < t < < t < t < < t b t { 3 : Notăm δ [ t ] e } Pr orm v γ se îţelege mărl rel : 7 γ m t t Fcţe complee ş v compctl [ b] l se socă mărl comple τ mt smă tegrlă Rem vâ epres : 8 τ ξ t t e pctele ξ [ t t ] { 3 } se mesc pcte termere le v l [ b] Deţ 5 Fcţ compleă t t [ b] este tegrblă pe [ b] că estă măr comple I c proprette rmătore : petr orce t 46
14 ε > estă măr ε > η stel îcât orcre r ve c ş orcre r legere pctelor termereξ să vem : 9 I τ < ε υ < η ε b Nmărl I se oteă t t ş se meşte tegrl cţe t pe tervll [ b] Î cl câ tegrl estă vom scre : b I t t lm τ υ Propoţ 4 Fcţ compleă t este tegrblă pe [ b] că ş m că cţle rele t ş t st tegrble pe [ b]acest reltă met egltăţle : Re I τ t I τ Re I τ t Im I τ t eorece Im I τ t τ τ t τ t D egltte e m ss găsm orml : b b t t t t t t b Propretăţle tegrle Rem loc ş petr cţle complee Deţ 6 Spem că cţ compleă Ft t [ b] este prmtv l t t [ b] că Ft este ervblă pe [ b] ş F tt t [ b] Dcă o cţe re o prmtvă F tc re o tte e prmtve me mlţme: Ft t [ b] Acestă mlţme prmtvelor l se meşte tegrl eetă cţe cre se oteă : 9 t t F t Î prtclr că cţ este cotă pe [ b] tc cţ t compleă τ τ este prmtvă petr cţ pe [ b] ş F t t t [ b] ş î cl cţlor rele se rtă că : b b t t F b F F t cre costte orml Leb-Newto petr tegrl etă e cţ complee 5 Fcţ moogee Dervt e cţ complee oţle e moogeette l ch-rem Propretăţ 47
15 Deţ Spem că cţ compleă etă î omel D este ervblă î pctl D că estă ş este că: lm Vlore ceste lmte se oteă ş se meşte ervt cţe î pctl D O cţe ervblă îtr- pct se meşte moogeă î cel pct O cţe moogeă î ecre pct l omel D se meşte olomoră pe omel D s moogeă moos l geos ştere pe omel D Propoţ oţle e moogeette l ch-rem Petr c cţ compleă v etă î omel D să e moogeă î pctl D este ecesr c cţle ş v să mtă ervte prţle e orl îtâ î pctl ş să stscă relţle: v v mte coţle e moogeette le l ch-rem Demostrţe Petr D ptem scre: [ ] [ v v ] 3 Să prespem că pe rm prlel c O: ş D 3 obţem: v v 4 lm Dr esteţ ervte ' mplcă esteţ lmtelor: 48
16 49 5 lm ş 6 lm v v v D relţle 4 5 ş 6 obţem: 7 v Prespâ că pe rm prlel c mgră O tc ş D 3 obţem: 8 lm v v cre mplcă esteţ lmtelor: 9 lm ş lm v v v D 8 9 ş găsm: v omprâ relţle7 ş reltă ecestte coţlor ş stel propoţ este emostrtă Propoţ Fe v olomoră î omel D se oteă HD Dcă ş v mt ervte prţle e orl o cote î D tc cţle ş v st rmoce că: v e repretă opertorl l Lplce 6 Determre e cţ olomore pe ome câ se coşte prte relă s prte mgră Eempl Să prespem că v este o cţe moogeă pe ome D Fcţle ş v vercă coţle l ch- Rem:
17 v ş v Să prespem că se coşte cţ Fcţ prte relă cţe moogee este o cţe rmocă î D oscâ cţ vom clcl ervtele cţe v: v v ş ereţl s: v Î prte reptă egltăţ vem o ereţlă totlă ectă eorece cţe rmocă Fcţ v se pote eprm prtr-o tegrlă crble epeetă e rm v AM A pct r M pct rbtrr D Drml e l A l M se prcrge e obce pe oă segmete e reptă prlele c ele e coorote gr că ceste st cprse î omel D M D A B lclâ tegrl pe rml ABM se obţe: v t r că se lege rml AM t t t 5
18 v t t t t Itegrl etermă cţ v î r e costte tve ec cţ v v etermtă î r e costte tve Se observă şor că stel etermtă este moogeă Îtrevăr eorece sb seml e tegrlă este o ereţlă ectă vem: v v v e e reltă Î mo log se rtă că tă o cţe v rmocă î D estă o cţe v moogeă pe D Fcţ este etermtă î r e costte tve pr tegrl crble epeetă e rm: v v AM ş c cest este etermtă î r e costte tve Eempl Se ă v e s Să se eterme cţ moogeă v şt că Se vercă şor că v este rmocă D coţle e moogeette obţem: v v e cos e s Dec: e cos e s ş e cos e s AM Itegrâ pe rml ABM gr e m ss obţem: o e cos e s e cos e cos e cos e cos ş ec: e cos - costtă rbtrră e cos Reltă că: e cos e s D coţ găsm Obţem cţ moogeă: e cos e s 5
19 s ş ec: e cos s e e e e 7 Iterpretre geometrcă ervte Trsormre coormă Eempl Fe v o cţe etă î omel D Prespem că este moogeă î pctl D ş Vom ot w ş w Fcţ etermă trsormre: v v ître plele ş w Î pll l vrble se coseră rc e crbă cre re o etremtte î M gr Γ w v Nw U M T α α β β M N w Vom ot c Γ mge crbe pr trsormre pctlă ître plele complee ş w Deorece ptem scre: w w w w lm ; lm s w w lm rg rg 5
20 Trsormtele pctelor M ş M e pe crb st respectv pctele N ş N e pe crb Γ Fe α ş α ghrle ormte e sect M M ş tget M T î M l crb c O Imgle cestor pr trsormre vor ghrle β ş β le secte N N ş le tgete N U î N l crb mge Γ pll w c O Observăm că: ' ' 3 N M e α w w N N e β ş otâ c s rcl e crbă M M pe ş S rcl N N e pe crb Γ obţem: N M β α ' N M β ' α ' β α 4 lm lm s S S e lm e e M M S M M s s M N N M eorece lm ş lm M M s N N S D relţle ş 4 obţem: S 5 lm s ş 6 rg β α Am obţt : Propoţ O cţe moogeă îtr- pct vâ ervt ertă e ero trsormă elemetele e rc vecătte pctl M î elemete e rc proporţole c moll ervte î pctl Argmetl ervte cţe î este ghl c cre trebe rottă î ses rect tget M T petr eve prlelă c tget N U l crb Γ [Se mte că ele e coorote plele ş w st prlele] Deţ Trsormre pctlă ître plele ş w se meşte trsormre coormă că păstreă ghrle Propoţ O cţe olomoră îtr- ome D vâ ervt ertă e ero î D eeşte o trsormre coormă Demostrţe Fe oă crbe pll ce trec pr pctl M D ş Imgle cestor crbe î pll w vor Γ ş Γ 53
21 rbele mge Γ Γ trec pr pctl N w w gr v U T T U ω Γ w ω Γ α α β β M N w Fe α α ghrle pe cre le ormeă tgetele M T ş M T î pctl M l crbele ş c O ş β β ghrle pe cre le ormeă tgetele mge N U N U î pctl N l crbele Γ Γ c O Ughrle ω α α ş ω β β repretă ghrle sb cre se te respectv perechle e crbe ş Γ Γ Obţem: 7 rg β α β α e e: 8 ω β β α α ω s ω ω ec crbele ş se te sb celş gh c ş crbele mge Γ ş Γ cest propoţ este emostrtă Eempl oserăm cţ w Deorece că reltă că releă o trsormre coormă î tot pll comple c ecepţ org Observăm că v ş că este olomoră î Imgle reptelor ş pll vor prbolele: Γ v R ş Γ v R : Γ vω 9 Γ N ' ω 9 - M - 54
22 Imge repte este prbol Γ vâ ecţ v 4 r mge repte este prbol Γ e ecţe v 4 Aceste oă prbole st ortogole ş trec pr N pll w mge pctl M pll Observăm că se păstreă ghrle pr trsormre coormă ω ω 9 8 Itegrl crble î pll comple Eempl Deţe Prcpl e clcl Propretăţ Fe AB rc e crbă î pll comple et prmetrc pr ecţle: t t t [ b] Vom prespe că cţle t ş t st cote împreă c ervtele e orl îtâ pe [b] : D M * B M M * * P M * A M Să coserăm o ve tervll [b] pr pctele e ve t < t < t < < t < t < t b Deorece ecţ î comple rcl e crbă AB este t t t [ b] ve ce pe rcl AB o ve ' pr pctele e ve: A M M M M B 55
23 e t { } Norm v tervll [b] este mărl v m t t Î ecre sbtervl t t ] legem pct [ rbtrr υ Acest pct î corespe pr t t [ b] pe rcl M M pct termer P α υ α corespător mărl comple Arcl AB ş corespător v tervll [b] î socem c jtorl cţe mărl comple σ AB Deţ Fcţ D este tegrblă pe rcl D că estă măr comple I c proprette că petr orce ε > estă măr η ε > stel îcât orcre r ve c v < η ε ş orcre r legere pctelor termere υ să vem: 3 σ I < ε Î cest c vom scre: I lm σ v AB ş vom spe că I este tegrl crble pe rcl cţe Propoţ Dcă cţ compleă v D este cotă pe rcl e crbă AB ete pe porţ tc tegrl crble cţe pe rcl AB estă ş re epres: 4 v v AB AB Demostrţe Notăm t t ş ξ η υ { } Deorece: υ AB α ξ η v ξ η obţem petr sm σ epres: 5 σ σ σ e: ş σ [ ξ η v ξ η ] σ [ v ξ η ξ η ] 56
24 Ţâ sem e eţ tegrle crbl ş e ptl că cţle ş v st cote pe AB r t t ervte cote c ecepţ măr t e pcte reltă: ş b { [ t t] t v[ t t] t } lm σ v t v lm σ v AB b { v[ t t] t [ t t] t } v AB Propretăţ le tegrle crbl : ; ; AB BA β [ α βg ] α β g α ; AB 3 AB AB AB A B AB AB ; 4 M L e M sp ş L este lgme rcl AB AB Observţe Itegrlele crbl pe cotrr îchse lte î ses rect se oteă Eempl Să se clclee tegrl: I e este cerc c cetrl î pctl ş e ră r gr cre este prcrs î ses rect: t r θ M 57
25 θ Pâ re θ [π ] obţem: θ θ e re θ r ş π I r 9 Teorem l ch π θ θ e re θ θ π Petr e tegrl crble e cţ pe o crbă m presps că este cotă pe ără lte potee reertore l esteţ s comportre cţe î pcte cre prţ crbe Î cele ce rmeă vom prespe că este olomoră îtr- ome D ş că este coţtă î D Itegrlele crbl propretăţ cre ep e orl e coee l omel Vom coser m îtâ cl omel smpl coe Teorem l ch Dcă este olomoră îtr- ome smpl coe D tc: orcre r crb îchsă coţtă î D Demostrţe Vom prespe î pls că este cotă pe D eş cestă poteă este ecesră pt ovet e EGorst Fe v ; vem: v v Să prespem că este o crbă smplă ş să otăm c omel cre re roter D gr : D 58
26 Itegrlelor membrl rept l relţe l se pote plc orml l Gree: Q P P Q Q P î pote că ş st cote pe ottte l v v mplcă cottte ervtelor ş plcâ orml l Gree obţem: v v 3 ş v v Dr este olomoră î D Deorece D î tote pctele omel st stsăcte coţle e moogeette ch- v v Rem: ş ; ec cele oă tegrle 3 st le ş pe b relţe găsm ş teorem este emostrtă Teorem l ch pote etsă ş î cl câ omel este mltpl coe Astel e o cţe olomoră î omel bl coe elmtt e crbele îchse ş coorm gr: D B A 59
27 Eectâ tăetr AB obţem omel smpl coe D \ { AB} vâ c roteră crb Γ AB BA e este prcrs î ses rect r î ses vers Aplcâ teorem l ch petr omel smpl coe D elmtt e crb Γ obţem: 4 m AB ş AB orml 4 e ă: BA 5 BA Pr m ott ptl că ş se prcrg î ses rect Î cl ome mltpl coe elmtt e crbele e st eterore ître ele ş terore e crbe gr vem: că este olomoră î omel î mo log pr prctcre or tăetr ître ş crbele obţem orml l ch petr ome mltple coee: c 3 6 crbele st prcrse î ses rect 6
28 Forml tegrlă l ch Fe o cţe olomoră îtr- ome smpl coe D ş o crbă smplă îchsă coţtă î D Notăm c omel mărgt cre re roter gr D D γ r * Teorem Dcă se vlorle cţe pe crb tc cţ este complet etermtă î ş me: π Demostrţe Fe γ cerc c cetrl î pctl ş e ră r teror l gr Fcţ este olomoră î omel bl coe elmtt e crb ş cercl γ oorm teoreme l ch petr omele bl coee vem: Observăm că π γ γ γ Fcţ moogeă î pctl este cotă î cest pct ş stel ptem scre evlre 3 < ε petr < η ε D oserâ r < ηε petr γ vem < ηε ş pe b propretăţ moll tegrle ptem scre: s γ γ γ ε r γ πε 6
29 e s repretă elemetl ereţl e crbă pe rcl γ m ε > este rbtrr ăcâ ε obţem: Ţâ sem e relţle ş e cele e m ss obţem orml mtă orml tegrlă l ch Forml tegrlă l ch pote scrsă ş petr ome mltpl coe Astel î b ormle l ch petr ome mltpl coee că este pct omel e olomore l cţe vem orml tegrlă l ch petr ome mltpl coee: 4 π π γ K Are loc ş: Teorem Fe o cţe olomoră î omel smpl coe D elmtt e crb îchsă eteă pe porţ Atc cţ este et ervblă î D ş:! 5 π e este pct orecre stt î terorl l Forml 5 se obţe şor pr cţe ervâ î rport c sb seml tegrle egltte: Acest jstcă ptl că o cţe π olomoră este et ervblă ş este olomoră { } Ser e pter Teorem l Abel Devoltăr î sere Tlor Fe şrl e cţ D D Spem că şrl e cţ cosert este coverget î pctl D că şrl e mere complee este coverget Deţ Şrl e cţ D este orm coverget pe mlţme A D către cţ A că petr orce măr ε > estă măr trl ε stel îcât petr > ε să vem: < ε A 6
30 Fe ser e cţ Spem că ser este covergetă î D că ser este covergetă Mlţme pctelor e covergeţă le sere le mm mlţme e covergeţă Deţ Ser e cţ este orm covergetă pe mlţme A D ş re sm cţ S A că şrl smelor prţle S l sere e: S D coverge orm pe mlţme A către S Are loc: Propoţ Fe sere covergetă Dcă petr orce ser e cţ Dcă c Are loc: D o sere e cţ ş > o A D ş N tc este orm covergetă pe mlţme A D c s c c ş obţem serle e pter: c s Teorem l Abel Petr orce sere e pter c estă măr R mt ră e covergeţă căr î corespe î pll comple cercl ΙΙR mt cerc e covergeţă vâ rmătorele propretăţ: Î terorl cercl e covergeţă < R ser e pter este bsolt covergetă; Î eterorl cercl e covergeţă > R ser este vergetă; 3 Î orce sc teror cercl e covergeţă r < R ser este orm covergetă ş î cl serlor e pter rele r e covergeţă se etermă coorm teoreme ch - Hmr 63
31 64 c R lm ω ω s c c R lm ω ω Devoltăr î sere Tlor Fe o cţe olomoră îtr- ome D ş pct teror l D oserăm cerc c cetrl î pctl ş e ră r stt î omel e olomore gr D r ρ Vom ot c pct teror cercl ş ş c pct orecre e pe r oorm ormle l ch ptem scre: π Observăm că : 3 Îloc relţ 3 î vom obţe: 4 R π π π e 5 R ] [ π
32 Ţâ sem e epres ervtelor e cţ olomore! egltte 4 eve: π 6 R!! Notâ M sp obţem petr termel complemetr R : că R R π Mr ρ r ρ r M ρ r ρ π r ρ m < r r ρ lm reltă R ş 6 obţem: 7! cre repretă evoltre î sere Tlor cţe olomore Ser l Lret Pcte sglre D r : Fe o cţe olomoră îtr-o coroă crclră { } γ D r * * γ *v r r Vom ot c γ ş γ cercrle ce elmteă coro crclră D Ne propem să găsm petr cţ o repreetre sb ormă e sere pă pterle l - Devoltre găstă se v m evoltre cţe î sere Lret î coro crclră D Acest e v coce l o geerlre serlor e pter jgâ-se l ser blterle c oc căror se v troce ş oţe e re Fe pct teror coroe D Atc coorm ormle tegrle l ch petr omele bl coee petr vlore cţe vem epres: v v π v π γ γ 65
33 66 Pctl teror cercl γ proceâ c ş î cl sere Tlor prm tegrlă se pote scre sb orm e ser Tlor: c v v v γ π e: 3 } { v v v c γ π A o tegrlă se pote scre sb orm γ γ γ π π π Notâ c pct orecre e pe cercl γ ş ρ vem < ρ r Dec: 4 γ γ π π R e 5 R γ π Aplcâ proprette moll tegrle î comple ş otâ sp M γ obţem: r r r M R ρ ρ Deorece < ρ r reltă lm R ş stel relţ 4 eve: c π γ e 6 c γ π Îloc epresle ş 6 î obţem petr cţ î coro
34 crclră D rmătore evoltre: e 7 c c c 8 c Z π γ r γ este cerc orecre c cetrl î pctl ş e ră r r < r < Serle c c r se mesc respectv prte prcplă ş prte tloră sere Lret Pcte sglre Deţ Fe o cţe etă î omel D ş pct prţâ omel D Spem că pctl D este pct orr l cţe că estă o vecătte V pctl clsă î D e se pote evolt î sere Tlor ec ptem scre: 9 c V D U pct cre este pct orr petr cţ se meşte pct sglr U pct D este ero mltpl e orl m l cţe că estă cerc c cetrl î pctl cls î D stel îcât: m [ cm cm ] cm Propoţ Zerorle e cţ olomore îtr- ome st pcte olte Deţ U pct D este pol l cţe că estă cerc c cetrl î pctl cls î omel D î cre cţ pote scrsă sb orm e ser Lret c măr t e pter egtve l - că: c m c c m Nmărl m repretă orl poll l cţe U pct sglr cre este pol petr o cţe se meşte pct sglr eseţl Observăm că că este pct sglr olt petr cţ tc estă coro crclră {<Ι- Ι r } î cre re o evoltre î sere Lret c o tte e terme c pter egtve le l - Dec î cest c ptem scre ser Lret: 67
35 c prte prcplă sere Lret vâ măr t e terme O cţe cre îtr- ome D re ecât pcte orre s pol se meşte cţe meromoră î D P Propoţ Dcă este o cţe rţolă rectblă Q tc erorle e orl m l Q st pol e orl m petr cţ 3 Re Teorem rerlor Eempl Fe pol s pct sglr eseţl olt l cţe Î coro crclră ε < < R c ε > rbtrr e mc cţ este olomoră Fe Γ cerc c cetrl î ş e ră ρ coţt î cestă coroă crclră ε < ρ < R gr R ε ρ Γ O crbă îchsă smplă coţtă î coro crclră pote îcojr s pctl Î prml c este echvletă c Γ ş vem: Γ Î l ole c tegrl pe este lă Deţe Pr rel cţe reltv l poll s pctl sglr eseţl olt ott re îţelegem: re π Γ Rel e cţ reltv l se pote obţe îtote evoltre î ser Lret î jrl pctl Obţem : 68
36 re c e c este coecetl l cţe î jrl pctl evoltre î sere Lret Metoe e clcl rel e cţ Fe pol l cţe ş p orl să e mltplctte Atc cţ p ϕ re î pct orr ş ϕ Ţâ sem e cest eve: ϕ re p π Γ s ţâ sem e mol e clcl ervtelor: p re ϕ p > p! Îloc pe ϕ c epres s obţem rmătorele ormle e clcl rel: că este pol mltpl e orl p l cţe tc: Dcă c: p p 3 re [ ] ; p! că este pol smpl 4 re [ ] 5 g ş că re pe pol smpl tc h Î cest h g re h Teorem rerlor Eempl Fe o cţe olomoră îtr- ome D ş o crbă îchsă smplă coţtă î D Să otăm c omel mărgt cre re roter 69
37 Dcă D că că î estă sglrtăţ le cţe î vrtte teoreme l ch Să prespem cm că î se lă măr t e sglrtăţ le cţe pol s pcte sglre eseţle gr Γ D Γ Γ Γ O Aceste sglrtăţ st evet olte Petr ecre pct vom coser cerc Γ c cetrl î ş c r ρ scet e mcă stel c î terorl l să m este o ltă sglrtte cţe ertă e Dcă ρ ρ ρ st scet e mc cercrle Γ Γ Γ pcte come ş st coţte î Aplcâ teorem l ch petr ome mltpl coee Γ Γ Γ Ţâ sem că π re { } obţem o teoremă Γ mporttă pr plcţle sle: Teorem rerlor ch Dcă î terorl omel mărgt e crb cţ re măr t e sglrtăţ pol s pcte sglre eseţle tc: 6 π re 7
38 Observăm că î o teorem rerlor este o trcere coveblă teoreme l ch petr ome mltpl coee olos oţe e re Utltte s costă î ptl că petr clcll rerlor vem mjloce reltv smple Eempl Să se clclee tegrl: π s I e este elps 4 9 Î terorl omel mărgt e st oă sglrtăţ le π s cţe ş me pol smpl ş pct sglr eseţl olt Folos teorem rerlor vem: I π [ re re ] Observăm că: π re [ ] s Petr clcl rel reltv l pctl sglr eseţl vom evolt pe î sere Lret î jrl cest pct: 3 π 3 s 3 π π! 3! vlblă petr < < D prosl celor oă ser reţem m coecetl l : 3 5 π π re c π sπ 3! 5! Reltă I π Rel e cţ reltv l pctl e l t Să prespem că pctl e l t este pol s pct sglr eseţl l cţe Notâ c reltă că este pol; î vecătte org ptem scre ser Lret: cm c c c c m că c c 7 cm c c R < vlblă î coro crclră { } Pr eţe coecetl c 7 se meşte rel cţe reltv l pctl e l : c re[ ] 7
39 Notâ c o crbă îchsă ce coţe orge ş prcrsă î ses rect obţem ţâ sem e oţe e re 8 re[ ] π D 6 ş 8 ecem şor egltte: 9 re re[ ] 4 Aplcţ le teoreme rerlor Teorem semrerlor Eemple Î cele ce rmeă vom câtev clse e tegrle ce pot clclte olos teorem rerlor Î cl câ tegrl cre trebe clcltă este o tegrlă pe o crbă îchsă rcl e crbă pe cre se tegreă trebe complett prtr lt rc e crbă covebl les De obce cestă completre se ce pr rce e cerc s repte Itegrlele cre pr se clcleă olos rmătore Lemă Jor lm Dcă R stel îcât α rg β tc Dcă lm R lm R lm R tc I lcll tegrlelor e orm: ş este rc e cerc e pe cercl P Q e P Q este rectblă Petr c tegrl să este ş să e covergetă vom prespe că poloml Q re m răăc complee ş că grl poloml Q este m mre ecât grl l P c cel pţ oă tăţ oserăm 7
40 P cţ compleă e răăcle le poloml Q Q stte î pll comple espr e rele vor pol petr cţ Dcem semcerc Γ e ră R ş c cetrl î orge stt espr e rele gr cre cpre toţ pol cţe : Γ * R * * -R R Notăm c Γ [ R R] prcrsă î ses rect Aplcâ teorem rerlor obţem: P Q R P Q π Γ R lm Deorece lmtă câ vem R î obţem: re lm R Γ K P ceste trecâ l Q P π re Q e membrl rept repretă sm rerlor cţe PQ reltv l pol stţ espr e rele II lcll tegrlelor e orm: R sθ cosθ θ e R este θ rţolă Dcă se ce schmbre e vrblă e câ θ prcrge tervll [ π ] escre cercl o tă ş m o tă î ses rect π 73
41 Folosm ormlele l Eler: sθ cosθ D relţ e θ θ reltă θ Itegrl eve: I R pă cre plcăm teorem rerlor petr clcll tegrle pe θ Eempl Să se clclee: I 5 4sθ θ sbsttţ e tegrl eve: I ; I 5 5 π Fcţ e sb seml tegrlă re pol smpl tre cre m prml este terorl cercl Rel reltv l cest pct este: re π ş ec I Teorem semrerlor Eempl Fe o crbă îchsă eteă pe porţ ce cpre î teror măr t e pcte sglre olte le cţe : D * * Q β B α A Γ * P Dcă pe crb se lă pctl pol l cţe ş î crb re tgetă că tc: 3 π re π re[ ] 74
42 Demostrţe Fe Γ cerc c cetrl î pctl ş e ră R oorm teoreme rerlor ptem scre relţle: 4 π \ QP PAQ re π re π re \ QP PBQ c c c c Observăm că: 5 lm lm c π c π R PAQ PBQ R PAQ PBQ Petr R tegrlele ser Tloră st le Aâ relţle 4 ş trecâ l lmtă R î b relţe 5 obţem orml 3 Observţe Î geerl teorem semrerlor pote scrsă sb orm: p re K re π π e p ş α j j m repretă respectv pctele sglre terorl l ş e pe crb le cţe Eempl Să se clclee tegrl: I m j j Fcţ re pol smpl ş ercl Γ e ecţe trece pr poll Aplcâ teorem semrerlor obţem: I π re π re 75
43 Avem: re ş re [ ] Dec: I π lm 5 Fcţ elemetre Fcţ rcl: lm θ Fe ρ e ; obţem petr oă vlor: θ θ ρ e ρ e Dec cţ rcl este o cţe mltormă Fcţle ş se mesc rmrle cţe Fe M ş M oă pcte pll comple w gr vâ respectv rgmetele θ ş θ Dcă pctl escre rcl M M ără să îcojore orge tc rgmetl l vră e l θ l θ r vlorle cţlor ş î pctl M vor : θ ρ e θ ρ e M D M θ θ 76
44 Dcă pctl escre rc ce eşte pe M c M îcojrâ orge tc rgmetl l vră e l θ l θ π Vlorle cţlor ş î pctl M vor : θ * θ π ρ e ρ e θ * θ π ρ e ρ e Dec vlorle cţlor ş se schmbă câ pctl escre rc ce îcojoră orge D cest motv pctl se meşte pct e rmcţe s pct crtc l cţe mltorme Dcă î pll comple eectăm o tăetră pă o semreptă ce plecă orge tc rgmetl pctl pote l vlor m ître ş π eorece m pote escre rcl cre să îcojore orge Pr tăetr ăctă cţle mltorme ş ev cţ orme Fcţ este o cţe mltormă vâ rmr: θ π ρ e { } Pctl este pctl e rmcţe s pct crtc l cţe Pr eectre e tăetr î pll comple prtr-o semreptă ce plecă orge cţle ev orme b Fcţ epoeţlă ş cţ logrtmcă Dem cţ epoeţlă e pr: 3 e lm e cos s Acest este o cţe olomoră î tot pll Fcţ e orce vlore pll comple î ră e Fe θ θ w ρ e ρ Să etermăm pe stel îcât: e w ρ e Scr θ obţem e ρ e e e e: 4 l ρ ş θ π Z Solţ geerlă ecţe e w se meşte logrtml l w se oteă L w ş re epres: 5 L w l ρ θ π s 6 L w l w rg w π 77
45 e rg w este rgmetl prcpl l l w Petr obţem Lw l w rg w cre se meşte vlore prcplă l L w ş se oteă l w Dec: 7 l w l w rg w oserâ pe w vrbl pâ î 6 î locl l w pe obţem cţ logrtmcă: 8 L l rg π r petr vlore prcplă 9 l l rg Fcţ logrtmcă este o cţe mltormă vâ o tte e rmr Aceste rmr ev cţ orme că eectăm o tăetră pă o semreptă ce plecă orge α c Fcţ Dcă tc: α αl α l π α e e e Î rport c α stgem tre cr: π α α Z ecem e ş α α l e este o cţe ormă î tot pll comple p α Q α q pq îtreg prme ître ele q Obţem cţ q p mltormă α cre re q rmr ş pct e rmcţe α 3 α cţ este o cţe mltormă c o tte e rmr Fcţ crclre ş versele lor Fcţ hperbolce Fcţle crclre s cos pr eţe st te e relţle: e e e e s cos Deorece e re pero π s ş cos pero π Devoltre î sere e pter este: 3 s 3! s cos!!! Fcţ tg se eeşte stel: s e 3 tg cos e 78
46 ş re pero π Fcţ w etă e 4 cosw se meşte rccos ş se oteă:w Arccos D ş 4 obţem: e w ± ş ec: 5 Arc cos L ± Fcţ 6 rccos l ± se meşte etermre prcplă cţe mltorme Arccos Fcţ 5 re o tte e rmr ş oă pcte crtce ± Aceste rmr ev cţ orme că eectăm î pll comple oă tăetr e orm: - Fcţ w Arcs este etă e ecţ s w Obţem: 7 Arc s L ± Fcţ 8 Arc s l ± se meşte etermre prcplă l Arcs Ptem scre: 9 π rcs Arc s π rcs 79
47 Fcţ w Arctg se eeşte pr ecţ tg w e e e w ± ec Arctg l cre este o cţe mltormă vâ o tte e rmr ş c pcte crtce pe ± Determre prcplă l Arctg este : rctg l Fcţle hperbolce sh ş ch se eesc pr ormlele: e e sh ch e e De c observăm că: cos ch s sh ch -sh Aceste cţ hperbolce c ş e st cţ peroce e peroă π 6 Probleme propse Să se stee serle rmătore: ; b cos ; Să se clclee: c e 3 3 t t t 3 Să se eterme cţ olomoră v câ: l ; R : l ; 8
48 sh π b v ; R : tg ; cos ch 4 c ϕ ;ϕ ervblă R : 4 Să se stee trsormre coormă: w ş să se le mge cercl pll 5 Să se evolte î sere Lret cţ: 3 î omele: < ; b < < ; c > 3 π e 6 Să se clclee : e : Folos teorem rerlor să se clclee: e ; b e : ; 8
49 c e : Să se clclee tegrlele: 6 ; b e cosb > b R tegrl l Posso; c s I 6 3 ş cos I 6 3 ; π θ 5 4cosθ ; π cos θ * e θ > N cosθ 9 Să se clclee : Să se reolve ecţle: s ; ; b sh b 3 tg ; 5 c sh ch 8
CAPITOLUL 2 SERII FOURIER. discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f ( x 0 există şi sunt finite.
CAPITOLUL SERII FOURIER Ser trgoometrce Ser Fourer Fe fucţ f :[, Remtm că puctu [, ] se umeşte puct de b dscotutte de prm speţă fucţe f dcă mtee tere f ( ş f ( + estă ş sut fte y Defţ Fucţ f :[, se umeşte
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât
Cp 2 INTEGRALA RIEMANN 9 CAPITOLUL 2 INTEGRALA RIEMANN 2 SUME DARBOUX CRITERIUL DE INTEGRABILITATE DARBOUX Defţ 2 Se umeşte dvzue tervlulu [, ] orce sumulţme,, K,, K, [, ] stfel îcât = { } = < < K< <
Διαβάστε περισσότεραPROBLEME (toate problemele se pot rezolva cu ajutorul teoriei din sinteze)
Uverstte Spru Hret Fcultte de Stte Jurdce Ecoome s Admstrtve Crov Progrmul de lcet Cotbltte ş Iormtcă de Gestue Dscpl Mtemtc Aplcte î Ecoome tulr dscplă Co uv dr Lur Ugureu SUBIECE ote subectele se regsesc
Διαβάστε περισσότερα2. Functii de mai multe variabile reale
. Fuct de m multe vrble rele.. Elemete de topologe R Fe u sptu lr (XK. Det. Se umeste produs sclr plct < > < < λ > λ < v < > < > ; XX K cu omele: > ( X < > ( X ( λ K >< > < > ( X ( Xs < > ; dc s um dc
Διαβάστε περισσότεραANALIZĂ MATEMATICĂ REPROGRAFIA UNIVERSITĂŢII "TRANSILVANIA" DIN BRAŞOV
Gheorghe ATANASIU oa TOFAN ANALIZĂ MATEMATICĂ REPROGRAFIA UNIVERSITĂŢII "TRANSILVANIA" IN BRAŞOV 8 Materall de aţă apare pr băvoţa l Provdr Ncolae Tţa ş a e Covdr oa Toa care c o deosebtă amabltate colegală
Διαβάστε περισσότερα6. VARIABILE ALEATOARE
6. VARIABILE ALEATOARE 6.. Vrble letore. Reprtţ de probbltte. Fucţ de reprtţe O vrblă letore este o cttte măsurtă î legătură cu u expermet letor, de exemplu, umărul de produse cu defecţu î producţ zlcă
Διαβάστε περισσότεραTema: şiruri de funcţii
Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..
Διαβάστε περισσότεραr t t r t t à ré ér t é r t st é é t r s s2stè s t rs ts t s
r t r r é té tr q tr t q t t q t r t t rrêté stér ût Prés té r ré ér ès r é r r st P t ré r t érô t 2r ré ré s r t r tr q t s s r t t s t r tr q tr t q t t q t r t t r t t r t t à ré ér t é r t st é é
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 Notite de curs NOTIUNI DE ALGEBRA BOOLEANA
Cpitoll 2 Notite de crs NOTIUNI DE ALGEBRA BOOLEANA B Pricipil plicrii lgerei oolee i stdil circitelor de comttie Cotct deschis, ecl stis B; Cotct ichis, ecl pris B; Becl este o ctie de poiti cotctli;
Διαβάστε περισσότεραdef def punctul ( x, y )0R 2 de coordonate x = b a
Cetrul de reutte rl-mhl Zhr CENTE E GEUTTE Î prtă este evoe să se luleze r plălor ple de ee vom det plăle ple u mulńm Ştm ă ms este o măsură ttăń de mtere dtr-u orp e ms repreztă o uńe m re soză eăre plă
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 5 E E} 5.1. ARIA UNEI MULŢIMI PLANE. D I D = pentru i j. Se ştie că aria unui dreptunghi este egală cu produsul
Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 87 CAPITOLUL 5 INTEGRALE MULTIPLE 5 ARIA UNEI MULŢIMI PLANE Î cele ce urmeză, pr mulţme plă polgolă, vom îţelege orce mulţme d pl mărgtă de u polgo Î prtculr, pr mulţme plă dreptughulră
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :
Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet
Διαβάστε περισσότεραPhysique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté
Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté Alexis Nuttin To cite this version: Alexis Nuttin. Physique des réacteurs
Διαβάστε περισσότεραSunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
Διαβάστε περισσότεραΤο άτομο του Υδρογόνου
Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότερα1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este
Διαβάστε περισσότεραCursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate
Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs
Διαβάστε περισσότεραRadio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes.
Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes. Diego Torres Machado To cite this version: Diego Torres Machado. Radio
Διαβάστε περισσότεραSeminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.
Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu
Διαβάστε περισσότεραINTEGRAREA ȘI DERIVAREA NUMERCĂ A FUNCȚIILOR REALE
Metode Numerce Lucrre r. 7 NTEGRAREA Ș DERVAREA NUMERCĂ A FUNCȚLOR REALE Modelul mtemtc ș metodele umerce utlzte Cudrtur este o procedură umercă pr cre vlore ue tegrle dete ( este promtă olosd ormț despre
Διαβάστε περισσότεραP r s r r t. tr t. r P
P r s r r t tr t r P r t s rés t t rs s r s r r t é ér s r q s t r r r r t str t q q s r s P rs t s r st r q r P P r s r r t t s rés t t r t s rés t t é ér s r q s t r r r r t r st r q rs s r s r r t str
Διαβάστε περισσότεραCouplage dans les applications interactives de grande taille
Couplage dans les applications interactives de grande taille Jean-Denis Lesage To cite this version: Jean-Denis Lesage. Couplage dans les applications interactives de grande taille. Réseaux et télécommunications
Διαβάστε περισσότεραCursul 10 T. rezultă V(x) < 0.
ursul uţol ătrtă V: X R V s lsă stl: ) V st oztv tă ă X u X rzultă V(). ) V st tv tă ă X u X rzultă V()
Διαβάστε περισσότεραCuprins. Prefaţă Metoda eliminării complete (Gauss Jordan) Spaţii vectoriale Noţiunea de spaţiu vectorial...
Cuprs Preţă Meod elmăr complee Guss Jord Spţ vecorle Noţue de spţu vecorl Depedeţ ş depedeţ lră ssemelor de vecor 8 Ssem de geeror Bă uu spţu vecorl Coordoele uu vecor îr-o bă dă Subspţul vecorl geer de
Διαβάστε περισσότεραJeux d inondation dans les graphes
Jeux d inondation dans les graphes Aurélie Lagoutte To cite this version: Aurélie Lagoutte. Jeux d inondation dans les graphes. 2010. HAL Id: hal-00509488 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00509488
Διαβάστε περισσότεραΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)
ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.
Διαβάστε περισσότεραITU-R P (2009/10)
ITU-R.45-4 (9/) % # GHz,!"# $$ # ITU-R.45-4.. (IR) (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC).ITU-R http://www.tu.t/itu-r/go/patets/e. (http://www.tu.t/publ/r-rec/e ) () ( ) BO BR BS BT F M RA S RS SA SF SM SNG TF V.ITU-R
Διαβάστε περισσότεραss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s
P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t
Διαβάστε περισσότεραAnnulations de la dette extérieure et croissance. Une application au cas des pays pauvres très endettés (PPTE)
Annulations de la dette extérieure et croissance. Une application au cas des pays pauvres très endettés (PPTE) Khadija Idlemouden To cite this version: Khadija Idlemouden. Annulations de la dette extérieure
Διαβάστε περισσότεραCURS 4 METODE NUMERICE PENTRU PROBLEMA DE VALORI PROPRII. Partea I
CURS 4 MEODE NUMERICE PENRU PROBLEM DE VLORI PROPRII ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Prte I. Defț, propretăț.. Metod puter ş
Διαβάστε περισσότερα4. Interpolarea funcţiilor
Iterpolre ucţlor 7 Iterpolre ucţlor Fe : [] R ş e pucte dstcte d tervlul [] umte odur Prolem terpolăr ucţe î odurle costă î determre ue ucţ g : [] R dtro clsă de ucţ cuoscută cu proprette g Pusă su cestă
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE CALCUL NUMERIC MATRICEAL
ELEMENTE DE CLCUL NUMERIC MTRICEL Metode de clcul l verse Metod reducer l mtrce utte / metod elmăr î versue Guss-Jord dgolzăr / metod elmăr vtj: Obţere vlor determtulu fără clcule suplmetre Se bzeză pe
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de ecuaţii neliniare
Ssteme de ecuaţ elare 9 Ssteme de ecuaţ elare Î acest catol abordăm roblema reolvăr umerce a sstemelor de ecuaţ alebrce elare Cosderăm următorul sstem de ecuaţ î care cel uţ ua d ucţle u este lară Sub
Διαβάστε περισσότεραÉmergence des représentations perceptives de la parole : Des transformations verbales sensorielles à des éléments de modélisation computationnelle
Émergence des représentations perceptives de la parole : Des transformations verbales sensorielles à des éléments de modélisation computationnelle Anahita Basirat To cite this version: Anahita Basirat.
Διαβάστε περισσότεραACI sécurité informatique KAA (Key Authentification Ambient)
ACI sécurité informatique KAA (Key Authentification Ambient) Samuel Galice, Veronique Legrand, Frédéric Le Mouël, Marine Minier, Stéphane Ubéda, Michel Morvan, Sylvain Sené, Laurent Guihéry, Agnès Rabagny,
Διαβάστε περισσότεραModèles de représentation multi-résolution pour le rendu photo-réaliste de matériaux complexes
Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu photo-réaliste de matériaux complexes Jérôme Baril To cite this version: Jérôme Baril. Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu
Διαβάστε περισσότερα4. Integrale improprii cu parametru real
4. Itegrle improprii cu prmetru rel Fie f: [ b, ) [ cd, ] y [, itegrl improprie R cu < b +, stfel îcât petru fiecre b cd ] f (, ) ydeste covergetă. Atuci eistă o fucţie defiită pritr-o itegrlă improprie
Διαβάστε περισσότεραTransfert sécurisé d Images par combinaison de techniques de compression, cryptage et de marquage
Transfert sécurisé d Images par combinaison de techniques de compression, cryptage et de marquage José Marconi Rodrigues To cite this version: José Marconi Rodrigues. Transfert sécurisé d Images par combinaison
Διαβάστε περισσότεραTransformations d Arbres XML avec des Modèles Probabilistes pour l Annotation
Transformations d Arbres XML avec des Modèles Probabilistes pour l Annotation Florent Jousse To cite this version: Florent Jousse. Transformations d Arbres XML avec des Modèles Probabilistes pour l Annotation.
Διαβάστε περισσότεραVII. Teorema lui Dirichlet
VII Teorem l Drclet Teorem 7 (l Drclet: Orce rogree rtmetcă nfntă c termen nmere ntrle ş c rţ rmă c rml termen conţne o nfntte de nmere rme [8] [7] Dcă notăm c r Ν * rţ rogree tnc teorem l Drclet e ennţă
Διαβάστε περισσότεραForêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications
Forêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications Robin Genuer To cite this version: Robin Genuer. Forêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications.
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE CALCUL NUMERIC MATRICEAL
ELEMENTE DE CLCUL NUMERIC MTRICEL. Metode de clcul l verse Metod reducer l mtrce utte / metod elmăr î versue Guss-Jord dgolzăr / metod elmăr. vtj: Obţere vlor determtulu fără clcule suplmetre. Se bzeză
Διαβάστε περισσότεραrs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â
rs r r â t át r st tíst P Ó P ã t r r r â ã t r r P Ó P r sã rs r s t à r çã rs r st tíst r q s t r r t çã r r st tíst r t r ú r s r ú r â rs r r â t át r çã rs r st tíst 1 r r 1 ss rt q çã st tr sã
Διαβάστε περισσότεραREZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita
REZUMAT CURS 3. Clse de uctii itegrbile Teorem.. Dc :, b] R este cotiu tuci este itegrbil pe, b]. Teorem.2. Dc :, b] R este mooto tuci este itegrbil pe, b]. 2. Sume Riem. Criteriul de itegrbilitte Riem
Διαβάστε περισσότεραΑλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη
Άσκηση 8 Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Δ. Φ. Αναγνωστόπουλος Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ιωάννινα 2013 Άσκηση 8 ii Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Πίνακας περιεχομένων
Διαβάστε περισσότεραΝόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.
Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα
Διαβάστε περισσότεραcele mai ok referate
Permur www.refereo.ro cele m o refere.noue de permure. Fe A o mulme f de elemee, dc A{,, 3,, }. O fuce becv σ:aàa e umee permure ubue de grdul. P:Numrul uuror permurlor de ord ee egl cu!..produul compuere
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ
ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Περίοδοι περιοδικού πίνακα Ο περιοδικός πίνακας αποτελείται από 7 περιόδους. Ο αριθμός των στοιχείων που περιλαμβάνει κάθε περίοδος δεν είναι σταθερός, δηλ. η περιοδικότητα
Διαβάστε περισσότεραRobust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis
Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis Daniel García-Lorenzo To cite this version: Daniel García-Lorenzo. Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence
Διαβάστε περισσότεραVers un assistant à la preuve en langue naturelle
Vers un assistant à la preuve en langue naturelle Thévenon Patrick To cite this version: Thévenon Patrick. Vers un assistant à la preuve en langue naturelle. Autre [cs.oh]. Université de Savoie, 2006.
Διαβάστε περισσότεραConsommation marchande et contraintes non monétaires au Canada ( )
Consommation marchande et contraintes non monétaires au Canada (1969-2008) Julien Boelaert, François Gardes To cite this version: Julien Boelaert, François Gardes. Consommation marchande et contraintes
Διαβάστε περισσότεραMETODE NUMERICE APLICAŢII
MARILENA POPA ROMULUS MILITARU METODE NUMERICE APLICAŢII 7 . Metod Guss cu pvotre prţlă l ecre etpă petru rezolvre sstemelor de ecuţ lre Prezetre proleme Se cosderă sstemul lr: () A t ude: A R mtrce sstemulu
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότερα3.6 Valori şi vectori proprii. Fie V un K-spaţiu vectorial n-dimensional şi A L K (V) un operator liniar.
Algebră lnră, geometre nltcă ş dferenţlă 6 Vlor ş vector propr Fe V un K-spţu vectorl n-dmensonl ş A L K (V) un opertor lnr Defnţ 6 Un vector x V, x se numeşte vector propru l opertorulu A dcă exstă K
Διαβάστε περισσότεραΠ Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α
Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ
Διαβάστε περισσότεραContribution à l évolution des méthodologies de caractérisation et d amélioration des voies ferrées
Contribution à l évolution des méthodologies de caractérisation et d amélioration des voies ferrées Noureddine Rhayma To cite this version: Noureddine Rhayma. Contribution à l évolution des méthodologies
Διαβάστε περισσότεραΙ ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΟΜΗ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Ατομική ακτίνα (r) : ½ της απόστασης μεταξύ δύο ομοιοπυρηνικών ατόμων, ενωμένων με απλό ομοιοπολικό δεσμό.
Διαβάστε περισσότεραCurs 3. Spaţii vectoriale
Lector uv dr Crsta Nartea Curs Spaţ vectorale Defţa Dacă este u îtreg, ş x, x,, x sut umere reale, x, x,, x este u vector -dmesoal Mulţmea acestor vector se otează cu U spaţu vectoral mplcă patru elemete:
Διαβάστε περισσότεραΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.
1. Ο ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι άνθρωποι από την φύση τους θέλουν να πετυχαίνουν σπουδαία αποτελέσµατα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό κόπο και χρόνο. Για το σκοπό αυτό προσπαθούν να οµαδοποιούν τα πράγµατα
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL VII ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL
CAPTOLUL V ELEMENTE E CALCUL VARAŢONAL Proleme geometrice şi mecice e clcl vriţiol cţiolă cţii misiile Clsificre etremelor fcţiolelor (etreme solte etreme reltive) Lemele fmetle le clclli vriţiol Vom efii
Διαβάστε περισσότεραr r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t
r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs
Διαβάστε περισσότεραΑ Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913
Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în regim dinamic a schemelor electronice cu reacţie Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 6 electronica.geniu.ro
nlz în regm dnmc scemelr electrnce c recţe Egene Psdărăsc - DCE EM 6 electrnc.gen.r emnr 6 6 NLI ÎN EGIM DINMIC CHEMELO ELECTONICE C ECŢIE 6. Nţn teretce generle de ter trprţlr H s ntrre eşre Fg. 6. În
Διαβάστε περισσότεραUNIVERSITE DE PERPIGNAN VIA DOMITIA
Délivré par UNIVERSITE DE PERPIGNAN VIA DOMITIA Préparée au sein de l école doctorale Energie et Environnement Et de l unité de recherche Procédés, Matériaux et Énergie Solaire (PROMES-CNRS, UPR 8521)
Διαβάστε περισσότεραLucrarea Nr. 6 Reacţia negativă paralel-paralel
Lucrre Nr. 6 ecţ netă prlel-prlel Crcutul electrc pentru studul AN pp: Schem de semnl mc AN pp: Fur. Schem electrcă pentru studul AN pp Fur 2. Schem de semnl mc crcutulu pentru studul AN pp Intern cudrpl:
Διαβάστε περισσότεραEvaluare : 1. Continuitatea funcţiilor definite pe diferite spaţii metrice. 2. Răspunsuri la problemele finale.
Modulul 4 APLICAŢII CONTINUE Subecte :. Cotutatea fucţlor defte pe spaţ metrce.. Uform cotutatate. 3. Lmte. Dscotutăţ lmte parţale lmte terate petru fucţ de ma multe varable reale. Evaluare :. Cotutatea
Διαβάστε περισσότεραAppendix B Table of Radionuclides Γ Container 1 Posting Level cm per (mci) mci
3 H 12.35 Y β Low 80 1 - - Betas: 19 (100%) 11 C 20.38 M β+, EC Low 400 1 5.97 13.7 13 N 9.97 M β+ Low 1 5.97 13.7 Positrons: 960 (99.7%) Gaas: 511 (199.5%) Positrons: 1,199 (99.8%) Gaas: 511 (199.6%)
Διαβάστε περισσότερατροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l)
ΑΤΟΜΙΚΑ ΤΡΟΧΙΑΚΑ Σχέση κβαντικών αριθµών µε στιβάδες υποστιβάδες - τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n,
Διαβάστε περισσότεραLaboraratorul 6. AJUSTAREA MATEMATICĂ A DATELOR EXPERIMENTALE
Lborrtorl 6. AJUSTAREA MATEMATICĂ A DATELOR EXPERIMETALE Bblogrfe:. G. Groz Anlz nmerc Ed. Mtr Rom Bcreşt 5.. I. Tom I. Itn Anlză nmercă. Crs plcţ lgortm în psedocod ş progrme de clcl Ed. Mtr Rom Bcreşt
Διαβάστε περισσότεραIntegrale cu parametru
1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul
Διαβάστε περισσότεραCurs 4. Metode Numerice de Rezolvare a Sistemelor de Ecuaţii Liniare
Curs 4 Metode Numerce de Rezolvre Sstemelor de Ecuţ Lre As. Dr. g. Levete CZUMBIL Lortorul de Cercetre î Metode Numerce Deprtmetul de Electrotehcă, Igere Electrcă E-ml: Levete.Czuml@ethm.utcluj.ro Notţ
Διαβάστε περισσότερα5. POZIŢIILE RELATIVE ALE ELEMENTELOR GEOMETRICE
ZIŢII RELATIVE 53 5. ZIŢIILE RELATIVE ALE ELEMENTELR GEMETRICE 5. oţle relte ouă plne Două plne pot f prlele su concurente în spţu. 5.. lne prlele ornn e l teore confor căre ouă plne prlele sunt ntersectte
Διαβάστε περισσότεραLiceul de Informatică Spiru-Haret Suceava. Elev : Alexevici Cătălin. Profesor coordonator: Oanea Călin. referat.clopotel.ro 1
Lel de Ifortă Spr-Hret Se Ele : lee Cătăl Profesor oordotor: Oe Căl refertlopotelro CUPRINS MTRICI pg Despre tr Operţ tr Egltte doă tr dre trlor Îlţre slr trlor Îlţre trlor DETERMINNŢI pg Defţ detertl
Διαβάστε περισσότεραREZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR DIFERENŢIALE
REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR DIFERENŢIALE Itroducere Acest tp de prolee prove d cdrul vst l le ucţole. Ecuţle dereţle su cu dervte prţle costtue odelele tetce petru ortte proleelor gereşt: studul eorturlor
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής
ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ04.01 5 ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής Όπως συμβαίνει στη φύση έτσι και ο άνθρωπος θέλει να πετυχαίνει σπουδαία αποτελέσματα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό
Διαβάστε περισσότεραP P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ
P P Ó P r r t r r r s 1 r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s Pr s t P r s rr r t r s s s é 3 ñ í sé 3 ñ 3 é1 r P P Ó P str r r r t é t r r r s 1 t r P r s rr 1 1 s t r r ó s r s st rr t s r t s rr s r q s
Διαβάστε περισσότεραITU-R P (2012/02)
ITU-R P.56- (0/0 P ITU-R P.56- ii.. (IPR (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC.ITU-R ttp://www.itu.int/itu-r/go/patents/en. (ttp://www.itu.int/publ/r-rec/en ( ( BO BR BS BT F M P RA RS S SA SF SM SNG TF V 0.ITU-R ITU 0..(ITU
Διαβάστε περισσότεραAPROXIMARE ÎN SENSUL CELOR MAI MICI PĂTRATE
APROXIMARE ÎN SENSUL CELOR MAI MICI PĂTRATE Ce ă rore îtr- sţ rehlert. Dere ş rterzre U sţ rehlert este dlet (F) î re F este sţ vetorl slr î orl R (s C) r rods slr dă o lţe: :F F R ( ) < > F vâd roretăţle:
Διαβάστε περισσότεραLogique et Interaction : une Étude Sémantique de la
Logique et Interaction : une Étude Sémantique de la Totalité Pierre Clairambault To cite this version: Pierre Clairambault. Logique et Interaction : une Étude Sémantique de la Totalité. Autre [cs.oh].
Διαβάστε περισσότερα9. UTILIZAREA TRANSFORMATELOR LAPLACE ŞI Z ÎN STUDIUL SEMNALELOR
9. UIIAREA RASFORMAEOR APACE ŞI Î SUDIU SEMAEOR rform Forr (ră ş vră) rlă o rformr rprăr ml oml mp î oml frvţă ( ω) ş vr. Grlâ vrbl mgră ω omplă: σ ω (frvţ omplă), obţ mol m grl rprr mllor, m rform pl.
Διαβάστε περισσότεραEstimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design
Supplemental Material for Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design By H. A. Murdoch and C.A. Schuh Miedema model RKM model ΔH mix ΔH seg ΔH
Διαβάστε περισσότεραLangages dédiés au développement de services de communications
Langages dédiés au développement de services de communications Nicolas Palix To cite this version: Nicolas Palix. Langages dédiés au développement de services de communications. Réseaux et télécommunications
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice
Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl
Διαβάστε περισσότεραStéphane Bancelin. Imagerie Quantitative du Collagène par Génération de Seconde Harmonique.
Imagerie Quantitative du Collagène par Génération de Seconde Harmonique Stéphane Bancelin To cite this version: Stéphane Bancelin. Imagerie Quantitative du Collagène par Génération de Seconde Harmonique.
Διαβάστε περισσότεραSolving an Air Conditioning System Problem in an Embodiment Design Context Using Constraint Satisfaction Techniques
Solving an Air Conditioning System Problem in an Embodiment Design Context Using Constraint Satisfaction Techniques Raphael Chenouard, Patrick Sébastian, Laurent Granvilliers To cite this version: Raphael
Διαβάστε περισσότεραCURS 3 METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAŢII LINIARE
CURS EODE NUERICE PENRU SISEE DE ECUAŢII LINIARE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ I etode drecte: Gss; LU; Choesy; Choesy mtrc
Διαβάστε περισσότεραITU-R P (2012/02) khz 150
(0/0) khz 0 P ii (IPR) (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC) ITU-R http://www.itu.int/itu-r/go/patents/en http://www.itu.int/publ/r-rec/en BO BR BS BT F M P RA RS S SA SF SM SNG TF V ITU-R 0 ITU 0 (ITU) khz 0 (0-009-00-003-00-994-990)
Διαβάστε περισσότεραIntegrale generalizate (improprii)
Integrle generlizte (improprii) Fie f : [, ] R, definită prin =, α > 0. Pentru u, funţi α f este integrilă pe intervlul [, u] şi u ln α+ α+ u u = ( α)u α α, α = ln u, α =. Dă treem l limită pentru u oţinem
Διαβάστε περισσότεραπ } R 4. ctg:r\{kπ} R FuncŃii trigonometrice 1. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic 2. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice 1.
Trigonometrie FuncŃii trigonometrice. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic b c b sin B, cos B, tgb c C c ctgb, sin B cosc, tgb ctgc b b. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice. sin:r [-,] A c B sin(-x)
Διαβάστε περισσότεραP P Ô. ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t
P P Ô P ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t FELIPE ANDRADE APOLÔNIO UM MODELO PARA DEFEITOS ESTRUTURAIS EM NANOMAGNETOS Dissertação apresentada à Universidade Federal
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora.
Cp PRIMITIVE 5 CAPITOLUL PRIMITIVE METOE GENERALE E CALCUL ALE PRIMITIVELOR Î cest prgrf vom remiti oţiue de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele geerle de clcul le cestor efiiţi Fie f : I,
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi
Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte Rolul derivtei întâi Virgil-Mihil Zhri DefiniŃie: Punctele critice le unei funcńii derivile sunt rădăcinile (zerourile) derivtei întâi DefiniŃie: Fie f:i R, cu
Διαβάστε περισσότεραCUPRINS. CAPITOLUL 1: Module şi spaţii vectoriale
PREFAŢĂ, După ce î lucrre [5] m prezett elemetele de bză le ş zse lgebre bstrcte (mulţm ordote, grupur, ele, corpur, ele de polome, elemete de teor ctegorlor) c o coture frescă cestor, î lucrre de fţă
Διαβάστε περισσότεραAnalysis of a discrete element method and coupling with a compressible fluid flow method
Analysis of a discrete element method and coupling with a compressible fluid flow method Laurent Monasse To cite this version: Laurent Monasse. Analysis of a discrete element method and coupling with a
Διαβάστε περισσότεραHygromécanique des panneaux en bois et conservation du patrimoine culturel. Des pathologies... aux outils pour la conservation
Hygromécanique des panneaux en bois et conservation du patrimoine culturel. Des pathologies... aux outils pour la conservation Bertrand Marcon To cite this version: Bertrand Marcon. Hygromécanique des
Διαβάστε περισσότεραο ο 3 α. 3"* > ω > d καΐ 'Ενορία όλις ή Χώρί ^ 3 < KN < ^ < 13 > ο_ Μ ^~~ > > > > > Ο to X Η > ο_ ο Ο,2 Σχέδι Γλεγμα Ο Σ Ο Ζ < o w *< Χ χ Χ Χ < < < Ο
18 ρ * -sf. NO 1 D... 1: - ( ΰ ΐ - ι- *- 2 - UN _ ί=. r t ' \0 y «. _,2. "* co Ι». =; F S " 5 D 0 g H ', ( co* 5. «ΰ ' δ". o θ * * "ΰ 2 Ι o * "- 1 W co o -o1= to»g ι. *ΰ * Ε fc ΰ Ι.. L j to. Ι Q_ " 'T
Διαβάστε περισσότεραCoupling strategies for compressible - low Mach number flows
Coupling strategies for compressible - low Mach number flows Yohan Penel, Stéphane Dellacherie, Bruno Després To cite this version: Yohan Penel, Stéphane Dellacherie, Bruno Després. Coupling strategies
Διαβάστε περισσότεραwww.absolualarme.com met la disposition du public, via www.docalarme.com, de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont
w. ww lua so ab me lar m.co t me la sit po dis ion du c, bli pu via lar ca do w. ww me.co m, de la ion nta t do cu me on t ed hn iqu tec les en ce s, rι fιr ma rq ue se t lo go s, so nt la pr op riι tι
Διαβάστε περισσότεραlim lim lim lim (criteriul cu şiruri); lim lim = lim ; Limite de funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct de acumulare a lui D;
Limit d fucńii Aliz mtmtică, cls XI- Limit d fucńii NotŃii: f :D R, D R, α - puct d cumulr lui D DfiiŃii l iti DfiiŃi f ( = l, l R, dcă ptru oric vciătt V lui l istă o vciătt α U lui α stfl îcât D U, α,
Διαβάστε περισσότερα