REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR DIFERENŢIALE

Transcript

1 REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR DIFERENŢIALE Itroducere Acest tp de prolee prove d cdrul vst l le ucţole. Ecuţle dereţle su cu dervte prţle costtue odelele tetce petru ortte proleelor gereşt: studul eorturlor l cre sut supuse eleetele de resteţă: re gr plăc suţr grose coducte; studul proleelor de câp electrc î delectrc câp getc câp terc propgre udelor curgere ludelor etc. Odtă stlt eoeul co-tec ş ecuţle dereţle cre îl guvereă c oră coeceţ codţ l ltă pe roteră răâe de reolvt ult proleă: reolvre cestu odel tetc. D dverse otve: eoogetăţle ce rotere cu geoetre dclă uăr de ecuoscute etc. reolvre o vo ce căutâd o soluţe protvă cu utorul uu cod uerc olosd clcultorul. O ecuţe dereţlă este o ecuţe î cre ecuoscut este o ucţîe ş î cre terve ucţ ecuoscută dervtele e de dverse orde ş vrle depedete de cre depd ceste ucţ. I cul î cre ucţ ecuoscută depde de o sgură vrlă depedetă ecuţ se ueşte ecuţe dereţlă ordră r î stuţ î cre ucţ ecuoscută depde de ulte vrle depedete ecuţ se ueşte cu dervte prţle. Ordul ue ecuţ dereţle este cel îlt ord dervte ucţe ecuoscute ce gureă î ecuţ respectvă. Epres geerlă ue ecuţ dereţle su oră plctă este: d d d F... d d d ude. For eplctă se pote scre: d d d d d d d d... Prvtor l codţle l ltă estă două tpur:. Codţ Cuc: se cuosc îtr-u puct tât vlore ucţe ecuoscute cât ş vlorle dervtelor pâă l ordul cel re ce gureă î ecuţe;. Codţ l ltă: se cuosc vlorle ucţe ecuoscută î pucte derte. Reolvre uercă ue prolee socte ue ecuţ dereţle pote prvtă su două specte:. deterre ue ucţ ~ ~ prţâd ue ute clse de ucţ î geerl poloe dtă d portţ lor teoretcă udetlă ş cre proeă sucet de e soluţ ectă ;. deterre vlorlor protve le soluţe ecte îtr-o ulţe de pucte dte.... Vo epue î coture prcplele etode uerce l căror lgort re u cost de clcul redus ş se preteă l pleetre pe clcultor petru reolvre uercă ecuţlor dereţle. Petru ecuţ dereţle ordre ceste se pot clsc î două r tpur: - etode ups de tp Euler Ruge-Kutt î cre deterre vlor protve soluţe î ecre puct se v oţe drect pe orţlor d puctul precedet;

2 - etode ultps î cre vlore soluţe ecte î ecre puct este protă olosd orţle d ulte pucte terore. Evdet este vor de soluţ protve pe cre u ve cu să le copră cu o soluţe ectă deorece prctc cest este posl de găst. De cee î prctcă treue să procedă cu teţe petru legere lgortlor ce potrvţ petru prole cocretă de reolvt.. METODE DE TIP EULER.. Metod Euler Se cosderă ecuţ dereţlă: ƒ cu codţ ţlă: ude ucţ ƒ este detă îtr-u doeu D d plul O. Perece costtue o proleă Cuc. Presupue sgurte esteţ ş uctte soluţe. Se deeşte u câp de drecţ î D dcă î ecre puct M D se drecţ α rctg ƒ α d ugul ort de drecţe cu sesul potv l e O. Acest câp de drecţ re urătore terpretre: grcul soluţe ecuţe cu codţ trece pr puctul M ş este tget î orce puct l său drecţlor câpulu. Metod lu Euler propue prore soluţe prtr-o le polgolă î cre ecre seget este colr cu drecţ câpulu detă de etrette s stâgă. Astel se cosderă odurle ecdstte. Î puctul M se clculeă drecţ câpulu detă de M ş se scre ecuţ drepte deterte de M ş de cestă drecţe: ƒ Fucţ se propue c protă soluţe prolee pe [ ]. Vlore protvă soluţe î este dtă de: ƒ ƒ o Repetă procedeul ş presupuâd că î s- clcult vlore protvă tuc pe tervlul [ ] se proeă soluţ cu: ƒ ƒ r î puctul se oţe vlore protvă: ƒ. Aprore este ustctă ş de urătore teoreă: Teoreă. Dcă: C [ ] tuc ξ cu proprette ' '' ξ Dcă C [ ] tuc ξ cu proprette ' '' ξ Deostrţe. D orul lu Tlor ve: ' ' ' ξ ξ ' ' ' ξ ξ ' ' ' ξ

3 ' ' ' ξ Dec ' ε ; ' ε Cosderâd cuoscută prore soluţe prolee î procedeul de prore Euler pote cu reut stel:... Oservţ:.Neglre terelor de ord superor î ce c etod să e coodă î clcul dr puţ precsă erorle cuulâdu-se l ecre ps..metod se pote plc ş dcă odurle u sut ecdstte vâd l ecre terţe lt ps î cest c. I geerl o etodă ups pote scrsă su or: Γ ; Petru soluţe prolee Cuc ş petru orce {... } cosderă: τ Γ ; Cttte de sus se ueşte erore de cossteţă etode î ş repretă o ăsură cltăţ etode de prore. Petru etod Euler ţâd cot de lgortul ceste de epres eror de cossteţă ş de ptul că Γ ; oţe că τ '' ξ ξ O I cosecţă erore de cossteţă este de ordul.. Eeplul Se cosderă prole Cuc: ' [ ] Ne propue să deteră o soluţe protvă ceste prolee olosd etod Euler cu psul Reolvre Folosd orulele petru ; ; ; ; 8; 5 ş oţe: ;. Dec.

4 87 7. Oţe î l urătorul tel ult coloă repreetâd vlorle ecte le soluţe prolee propuse. Euler ect Î coture vor preette câtev vrte îuătăţte le lgortulu Euler... Metod Euler odctă Cosderă pe [ ] c drecţe segetulu M M drecţ detă de puctul de l locul segetulu u de etrette stâgă c î orul ţlă se oţe etod Euler odctă. Dcă sut vlor clculte procesul tertv este urătorul: ; ; ; ; ; Petru cestă etodă τ este de ordul O. Eeplul Vo plc etod Euler odctă î reolvre celeş prolee de l eeplul petru pute ce o coprţe rpdă prvd eceţ sportă etode. Dec: ' [ ] Reolvre ; ; ; ; 8; 5 ; / ; / / / 98 / / 98 8 Cotuâd î celş od oţe telul: Euler odct ect 8 8 ;

5 Metod Euler Cuc Itroducâd c o ouă vrlă se pote îlocu ecuţ dereţlă cu urătorul sste de ecuţ: d ' d '. Itegrâd pr ecuţe ssteulu de l l ude se oţe: 'd; ' Folosd etod dreptugulu petru prore tegrle d pr ecuţe oţe: ƒ. 5 Dcă plcă etod trpeulu petru prore celeş tegrle se oţe: ' '. Ecuţ pote reolvtă tertv reltv l ecuoscut. Dcă se lege c proţe ţlă dtă de 5 oţe petru vlore:. 7 Dec petru costrure le polgole cre proeă soluţ prolee este dt lgortul Euler Cuc: ; ; ;.... Petru cestă etodă τ este de ordul O. Oservţe: I scopul elorăr proţlor se pot utl etodele preette de o eră tertvă. Astel etode euler-cuc e coduce l urătorul lgort de clcul: ; cu Se deostreă că dcă ucţ este lpsctă î de costtă L ş dcă este sucet de c cu L < tuc petru.

6 Î prctcă se cotuă terţle după dcele pâă câd u crteru de erore pus de eeplu: < ε ε pus este stsăcut. Eeplul Să se găsescă soluţ protvă prolee Cuc: ' [ ] olosd etod Euler-Cuc ş o prece de -. Reolvre Vo olos psul 5; ; 5; ; ; Dec d stle prele ecle reultă: 55. Slr cu oţe: 77 ;. Dec. Soluţ ectă d e oţe î vlore: erore d de... Metod Euler Heu Vo îce trecere î revstă vrtelor Euler petru reolvre ecuţlor de tpul preetâd o ultă vrtă de ordul do etode lu Euler ş ue cee propusă de Heu []. Presupuâd clcultă vlore l psul se propue petru clculre soluţe l psul epres:.. Metode de tp Ruge-Kutt Metodele de tp Euler preette sut eplcte ş u ecestă vlor de strt. Fptul că u u ord scăut l eror de cossteţă coduce l o plcltte lttă. I scopul oţer uor etode de ord rdct treue reuţt e l proprette de ups ş pstrtă lrtte e vcevers. Metodele de tp Ruge- Kutt sut elre ş coservă crcterstcle etodelor ups vâd u ord rdct. Ele u tre propretăţ prcple:

7 . Sut etode drecte dcă petru deterre proăr soluţe l psul ve evoe de orţle estete î puctul precedet.. Sut detce cu serle Tlor pâă l tere ude este psul curet r este dert petru etode derte d cestă le ş deeşte ordul etode.. î procesul de clcul u ecestă decât evlure ucţe d eerul drept petru dverse vlor ş. Nu este evoe de clculul dervtelor ceste. Metodele de tp Euler pot ş ele cluse î l Ruge-Kutt ş pute stel oserv că etod Euler este o etodă R-K de ordul îtâ r etodele Euler-Cuc ş Euler-Heu sut etode R-K de ordul... Costrure orulelor Ruge-Kutt Ne ocupă î specl de reolvre ecuţlor dereţle ordre cu codţ ţle. Adcă petru ecuţ dereţle ordre de ordul îtâ e tereseă reolvre prolee Cuc: ' [ ] 8 Metodele Ruge-Kutt costu î prore soluţe prolee 8 stel: c ude... ş c c urâd deterţ ; c Oservţe: Petru cossete etodele Ruge-Kutt treue să stscă codţ:. Notă ε erore de prore. Vo deter pretr c c d codţle: p ε ε'... ε petru orce ucţe ş p ε petru o ută ucţe D orul lu Tlor î ve: p p p ε ε ε ξ! p! p p ε ε ξ < ξ < 9 p!

8 eprese ce dcă ordul de ăre l eror de prore dec O p ; Cur prtculre Dcă tuc: ε c c Se vercă uşor că ε petru orce ucţe. ε c Oţe ε c c. Se oservă că petru c ε petru orce ucţe. ε dec ε Se oservă că ε petru o ută ucţe. De eeplu petru se oţe ε. Dec p. Astel petru c se oţe orul: cre este orul d etod Euler. Erore este de ordul lu. Dcă tuc: ε c c c c Se vercă uşor că ε petru orce ucţe. ε c c -c [ ] / Notă cu: epres clusă î prteele drepte. Oţe: ε c c c c. ε c [ ] c [ ]. Oţe: ε c [ ] c c c ε c [ ] [ ] c Oţe: ε c c c c c c Dcă: c c c c c su c c tuc ε ε ε petru orce ucţe. Ssteul este coptl edetert. De seee ε u este detc ulă petru orce ucţe. De eeplu petru ucţ se oţe ε. Dec p. Petru p se pot oţe orcâte orule dor legâd pretr c c stel îcât să verce. D 9 reultă că erore î ceste orule este de ordul lu.

9 Astel o soluţe ssteulu este: c c ş petru cestă soluţe se oţe orul Ruge-Kutt splă: Oservţe. Dcă u depde de oţe: [ ] Pe de ltă prte: 'tdt tdt D cele două relţ de sus reultă orul trpeulu ve 5... tdt [ ] O ltă orulă Ruge-Kutt de ordul se oţe petru c c ş ue: cuoscută c orul Euler-Heu. Petru clculul protv l soluţe ue prolee Cuc 8 pe u tervl [ ] de odur ecdstte de ps procedă stel : - presupue cuoscute vlorle de eeplu petru cuoşte d 8 ; - clculă olosd de eeplu ude. Eeplul ' Se cosderă prole Cuc: Folosd o orulă Ruge-Kutt de ordul să se proee soluţ prolee dte î. Reolvre ; ; ;. Se oservă că soluţ ectă este / e. Dec

10 5 7 Vo îtoc urătorul tel: I / Petru ve: ε c c c ude: ; ; Eectuâd clcule seăătore c î cul se costtă că ε ε ε ε dcă: ;c ; c ;c c ;c c c c cre este de seee u sste coptl edetert cu o tte de soluţ. O soluţe cestu sste este: c ; c ; c ; - oţâdu-se urătore orulă Ruge-Kutt de ordul : O ltă orulă tot de ordul este urătore:

11 Ş î cest c se costtă că u estă orule Ruge-Kutt cu ş p deorece ε IV u este detc ulă petru orce ucţe. Îtr-devăr petru se oţe ε IV. Oservţ.. D 9 reultă că erore î ceste orule este de ordul lu..dcă ucţ u depde de tuc tdt 'tdt dcă orul de tegrre uercă Spso.. Rţoete ş clcule seăătore celor terore coduc l costrure ue ulţ de orule Ruge-Kutt de ordul d cre cuoscute sut: orul propru-să Ruge-Kutt ş 8 5 orul Kutt-Spso Oservţe. Aceste orule sut de ordul ptru.. Petru clculul protv l soluţe ue prolee Cuc 8 pe u tervl [ ] cu psul procedă stel: N cu N dec N cuoscâd petru vlorle de eeplu petru cuoşte. Clculă:

12 Eeplul 5 ' Se cosderă prole Cuc:. Să proă soluţ ceste ecuţ î puctele 9. olosd o etodă Ruge-Kutt de ord. vlore soluţe ecte / e Metodă de tp Ruge-Kutt plct Metodele de tp Ruge-Kutt epuse teror sut eplcte. Petru elor propretăţle de stltte le cestor etode se cosderă cele de tp plct. Pr propretăţ de stltte e reer l restrcţle puse supr psulu de tegrre î stuţ utlăr etode respectve. For geerlă ue stel de etode Ruge-Kutt plctă de tp este: Φ ; Φ ; c s s... s s s...

13 Coprtv cu etodele eplcte ucţle u sut dete eplct c prtr-u set de ecuţ plcte î geerl elre. Î prctcă se oloseşte cul etodelor Ruge-Kutt plcte cu Astel: Cosderâd devoltle su or A B C D O pe devoltăr î sere Tlor î rport cu lu se oţe pr detcre puterlor lu : ± ; ; ; Oservţe. Pr setre se oservă ptul că vlorle dte pr lterre seelor î relţle coduc l ceeş etodă. Î coclue o etodă Ruge-Kutt plctă de ordul ptru este dtă de orulele: 7 Rercă. Este porttă precre esteţe ue etode Ruge-Kutt de tp se-eplct de ordul ptru descrsă de relţle de os:

14 8. Metode uerce ultps Fe prole Cuc 9 ] [ ] [ ' ş dvue tervlulu dtă de: ] [ < < <.... For geerlă ue etode ultps este dtă prtr-o relţe de recureţă ce epră vlore î rport cu vlorle lu ş î ş î puctele precedete: ' * N Oservte: Dcă u etod eplctă; ltel o u plctă. Se ueşte erore de cossteţă etode î cttte:..... τ Prtre etodele eplcte ultps cele utlte sut cele de tp Ads-Bsort:. de ordul tre cu tre pş: de ordul ptru cu ptru pş:

15 Cele cuoscute etode plcte ultps sut cele de tp Ads-Moulto:. de ordul tre cu do pş: de ordul ptru cu tre pş: Metode uerce de tp predctor-corector O etodă ercă de tp predctor-corector este o coţe ître o etodă uercă eplctă ş o etodă uercă plctă. Metod eplctă perte predcţ ue vlor protve ş ce plctă corecteă odtă su de ulte or cestă predcţe. Metodele predctor-corector oeră o prece superoră ţă de etodele preette î prgrele terore ără plc sporr le uărulu de operţ rtetce. Î cee ce prveşte coportre etodelor de tp predctor-corector ceste u erore de procedeu că dr sut puterc ectte de evetulele eror le vlorlor de porre ecesre lgortulu. Ce splă etodă de cest tp este ce preettă su uele de Euler-Cuc. Astel petru predctorul e dă vlore ş corectorul o corecteă cu orul Crterul de oprre este: ε su ε cu... ş ε prec de clcul pusă.. Metod lu Mle Algortul de clcul este urătorul:

16 ude. Oservt:. este o etodă de ordul ; O. I scopul elorăr reulttelor pute plc orulele de clcul de eră tertvă:.... Metod Ads-Bsort-Moulto de ordul ptru Petru prole Cuc ] [ ] [ ' predctorul este represett de etod Ads-Bsort de ordul ptru: Rercă: Petru deterre vlorlor utlă o etodă de ordul ptru. Corectă prore geertă sus pr teredul corectorulu dt de etod Ads-Moulto de ordul ptru:

17 BIBLIOGRAFIE. R. Burde J. Fres Nuercl Alss PWS-Ket.. C. Crsso Alse Nuérque Ldec Cd 97.. B. Dedovtc. I. Mro Éléets de Clcul Nuérque Mr Moscow 97.. D. Eâcă Metode de Clcul Nuerc Edtur Stec Crov R. Mltru Métodes Nuérques. Téore et Applctos Ed. Stec 8. J.P. Nouger Métodes de Clcul Nuérque Heres Sceces Pulcto Prs. 7. M. Pop R. Mltru Metode Nuerce lgort s plc Ed. Stec Crov M. Pop R. Mltru Ală uercă ote de curs Edtur Stec Crov.

18 . REZOLVAREA NUMERICA A SISTEMELOR DE ECUATII DIFERENTIALE Metodele uerce ulte petru o sgură ecuţe dereţlă teror preette se pot etde ş î cul ssteelor de ecuţ dereţle. Cosderă stuţ etodelor uerce de tp Ruge-Kutt. Metodele Ruge-Kutt preette petru ecuţ dereţle pot plcte cu uşurţă ş l sstee de ecuţ dereţle. Fe ssteul de ecuţ dereţle: ş urăr să deteră soluţ cre stsce codţle ţle: Presupuâd că dspue de soluţ prolee l psul :... etod Ruge-Kutt de ordul clculeă soluţ î psul cu orulele: Δ... Δ Corecţle: Δ Δ... Δ cre terv î orulele precedete se clculeă cu utorul relţlor: Δ ;... Δ ; r coeceţ u urătore oră:... ;... ;... ;... ; Eeple Folosd o orulă Ruge-Kutt de ordul să se reolve prole Cuc: / / petru [ ]. Reolvre Cosderă odur ecdstte pe [ ] de ps.. D petru ecre 9 ve :

19 ude: ; ; ; ; Oţe urătorele vlor:. ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; soluţ ectă d petru dec ; ; ; 9 ; ; 5 5 ; ; ; ; 9 ;

20 . REZOLVAREA NUMERICA A ECUATIILOR DIFERENTIALE DE ORDIN SUPERIOR Fe ecuţ dereţlă de ordul scrsă su oră eplctă... ' cu codţle socte 5... ' t t t Itroduce otţle.. Rercă:.. ' Tâd cot de 5 ş ve: ' ' ' ' respectv: 8... t t t I coclue 7 ş 8 repretă u sste vâd ecuţ dereţle ordre cu codţ ţle. Pute stel să îl reolvă cu tec preettă sus. 7. Folosd o orulă Ruge-Kutt de ordul să se reolve prole Cuc: ' ' ' ' petru [ ]. Reolvre Trsoră ecuţ dereţlă de ordul do î ssteul de ordul îtâ:

21 ' ; ' ; Cosderă odur ecdstte pe [] de ps.. D petru ecre 9 ve: - vrle ulre ude ; ; ; ; Oţe urătorele vlor :..998; ;..789; ; ;..789; ; ; ;.79599;. METODE NUMERICE CU PAS VARIABIL PENTRU REZOLVAREA NUMERICA A ECUATIILOR DIFERENTIALE Sut tec utlte petru cotrolul eror ue etode uerce petru reolvre uercă ue prolee de tp Cuc: ' [ ] ăcâd pel l o eră ecetă de legere ulţ de pucte î cre se v pro soluţ ectă. Idee de ă este utlre uor etode uerce de orde derte î scopul crcterăr eror de cossteţă şî leger psulu de tegrre stel îcât erore glolă să e eroră ue ute prec ε puse. Cosderă î coture două etode uerce cre coduc l proţle urătore le soluţe ecte î : Φ > ~ ~ ~ Φ > Presupue că ~ ş că ş sut oţute cu celş ps.

22 Atuc: Φ Φ τ Tâd cot că ş că O τ ~ O τ reultă ~ τ c de ude d τ costtă ce u depde de. I cosecţă petru u ou ps de tegrre : q q q τ τ Ipuâd ε τ q oţe: q / ~ ε U eeplu de etodă uercă de cest tp este etod Ruge-Kutt-Felerg. E costă î utlre ue etode Ruge-Kutt de ord 5: ~ î scopul estăr eror de cossteţă petru o etodă Ruge-Kutt de ord : ~ ude

23 . ECUATII DIFERENTIAL-ALGEBRICE Su oră plctă ceste se scru: ude ucţ ecuoscută F ' este o ucţe sclră su vectorlă. Vo ord î coture cul ecuţlor dereţl-lgerce cre su oră eplctă dev: Eeplu: M ' A u' 7u v Dâdu-se ecuţ dereţl-lgercă v' u v cest se pote eplct su or u v w 7 M ' A ude M A 9 Ecuţle dereţl-lgerce se clscă î ucţîe de dverş pretr: -uărul de codţ de tp lgerc: d ecuţ dereţl-lgercă; -uărul de codţ de tp dereţl: d d ecuţ dereţl-lgercă; -deul dereţl: îtr-u sste de ecuţ dereţle. d - uărul de operţ de dereţere ecesre covertr ecuţîe dereţl-lgerce Estă o re dereţă ître ecuţle dereţl-lgerce ş ecuţle dereţle î prvţ codţlor l ţle tşte petru sgurre uctăţ soluţe: stel petru o ecuţe dereţlă şt precs câte codţ ţle sut ecesre pe câd petru o ecuţe dereţl-lgercă stuţ deve eclră. De eeplu petru ecuţ e trvlă prvd-o dor c ecuţe elră u ecestă c o codţe ţlă soctă. Petru reolvre uercă ecuţe dereţl-lgercă F ' presupuâd cuoscute vlorle protve le soluţe ecte î puctele... petru deterre vlor protve î puctul utlâd o etodă uercă de reolvre ecuţlor dereţle vo îlocu prtr-o relţe de or c. Astel ecuţ ţlă petru ' deve: F α α c α α

24 dcă o ecuţe elră î rport cu. Reolvre ceste se v eectu pr teredul etode Newto su etode proţlor succesve su orcăre etode specce cestu tp de ecuţ. 5. METODA DIFERENTELOR FINITE PENTRU PROBLEMA STURM-LIOUVIILLE Cosderă prole loclă Stur-Louvlle dtă de: P '' p ' q r α β [ ] Teoreă: Dcă:. p q r sut cotue pe [ ] ;. q > [ ] tuc prole P dtt o soluţe ucă. Fe Δ o dvue ecdsttă de ps lu [ ] cu. Teoreă Fe C [ ] > stel îcât. Atuc ξ stel îcât: ' ''' ξ Fe C [ ] > stel îcât. Atuc ξ stel îcât: IV '' ξ Deostrţe. Se oloseşte orul devoltăr î sere Tlor ş Teore de ede Petru ce proărle: ' * '' ** Dcă î ecuţ P cosderă ş olos * ş ** ve p q r r codţle 5 dev α β

25 Oţe î l sce: S α β - p - q r ude p p q q r r cre repretă u sste lr de - ecuţ ş - ecuoscute... - trce ssteulu d trdgolă dot dgolă. Eeplu: Fe prole II I e [] Să se proee vlorle soluţe î puctele / cu utorul etode dereţelor te. Soluţe: Sce S e coduce l ssteul urător: e Folosd o etodă uercă petru / reultă: BIBLIOGRAFIE ş Weogre:. Berete C. Mtr S. Zcu S. Metode Nuerce Edtur Tecă Bucureşt 997. R. Burde J. Fres Nuercl Alss PWS-Ket 5.. C. Crsso Alse Nuérque Ldec Cd 97.. P.Crlet J.Los Fte Derece Metods Nort-Holld Asterd B. Dedovtc. I. Mro Éléets de Clcul Nuérque Mr Moscow 97.. D. Eâcă Metode de Clcul Nuerc Edtur Stec Crov Kd D. Cee W. Nuercl Alss Mtetcs o Scetc Coputg

26 Aerc Mtetcl Socet R. Mltru Métodes Nuérques. Téore et Applctos Ed. Stec 8 9. J.P. Nouger Métodes de Clcul Nuérque Heres Sceces Pulcto Prs.. M. Pop R. Mltru Metode Nuerce î pseudocod plc Ed. Stec Crov.. M. Pop R. Mltru Ală uercă ote de curs Edtur Stec Crov 9. ttp:// ttp:// ttp://t.tw.tudelt.l/w/users/vu/w/dssters.tl