Analiza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi

Transcript

1 Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte Rolul derivtei întâi Virgil-Mihil Zhri DefiniŃie: Punctele critice le unei funcńii derivile sunt rădăcinile (zerourile) derivtei întâi DefiniŃie: Fie f:i R, cu IfR, intervl 1 Spunem că punctul I este un punct de mim locl strict pentru f, dcă eistă o vecinătte U lui, stfel încât: f ( ) < f ( ), U ( I \{ } ) Spunem că punctul I este un punct de minim locl strict pentru f, dcă eistă o f ( ) > f ( ), U I \{ } vecinătte U lui, stfel încât: ( ) Teorem lui Fermt: Fie f:i R derivilă pe I În orice punct etrem locl din interiorul lui I, f este nulă OservŃii: Reciproc teoremei lui Fermt nu este devrtă: dcă f ( ) =, nu rezultă că este punct de etrem O funcńie pote ve puncte de etrem în cre nu este derivilă Teorem lui Rolle: Dcă funcńi continuă f:[,] R este derivilă pe (,) şi f() = f() tunci eistă c (,) stfel încât f (c) = Teorem lui Lgrnge: Dcă funcńi continuă f:[,] R este derivilă pe (,), tunci eistă c (,) stfel încât f ( ) f ( ) = f ( c) Corolr: Fie f:i R, IfR intervl şi I Dcă: 1 f este continuă pe I ; lim f R, f este derivilă pe I \ { } şi eistă ( ) tunci eistă derivt f ( ) şi f ( ) lim f ( ) = ConsecinŃe le teoremei lui Lgrnge: 1 Fie f:e R o funcńie derivilă şi IfR un intervl - Dcă I, vem f ()>, tunci funcńi este strict crescătore pe I - Dcă I, vem f ()<, tunci funcńi este strict descrescătore pe I Fie f:(,) R o funcńi derivilă şi c (,) Dcă f se nuleză în c schimându-şi semnul, tunci c este un punct de etrem locl pentru f OservŃie: Cu jutorul primei derivte se stilesc intervlele de monotonie le unei funcńii derivile si se determin punctele de etrem locl Utilizre primei derivte (etpe): Fie f : I R, I intervl, f derivilă pe I Se clculeză f ( ), I ; Se rezolvă ecuńi f ( ) = Se stileşte semnul derivtei f Se determină vlorile funcńiei în punctele critice (zerourile derivtei) şi eventul limitele funcńiei l cpetele intervlului intervl I f () rădăcini, semn f() vlori, monotonie, limite (eventul) OservŃii: Dcă funcńi este derivilă pe o reuniune de intervle, se lcătuieşte cest tel pentru fiecre intervl Alte utilizri le telului de monotonie: determinre mulńimii vlorilor funcńiei (Imf); Determinre semnului funcńiei; eistenń şi loclizre rădăcinilor; demonstrre unor ineglităńi 1

2 Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte Proleme rezolvte Virgil-Mihil Zhri 1 Se consideră funcńi f:(,) R derivilă pe intervlul deschis (,) PrecizŃi vlore de devăr propozińiei: Dcă c (,) şi f (c), tunci c este punct de etrem l funcńiei f JustificŃi răspunsul Rezolvre: PropoziŃi este flsă Contreemplu: funcńi constntă Se consideră funcńi f:(,) R, f ( ) ( 1) = ) Să se stilescă domeniul de derivilitte şi să se clculeze derivt funcńiei ) Să se determine punctele de etrem locl le funcńiei f Rezolvre: ) Din ( ) = = = = pentru orice se pune prolem derivilităńii funcńiei în = Clculăm derivtele lterle: ( ) ( ) ( ) f f lim = lim = lim = =+ şi < < < ( ) ( ) ( ) f f lim = lim = lim = = Limitele lterle sunt + > > < infinite şi tunci f nu este derivilă în origine OŃinem D =(,)\{} f ( ) = ( 1 ) + ( 1 )( ) = + = = f = 5 = = 5 5 f() f() ) Telul de vrińie l funcńiei ( ) f ( ) = ( 1) 4= 4, f ()=, f = =, f = 1 9= 9 ( ) ( ) Din telul de vrińie vem: = punct de minim, = punct de mim, = 5 punct de minim şi = punct de mim Să se rte că dcă m,m sunt vlori etreme le funcńiei f : R R, f ( ) = (, R, < ) tunci m M = + 7

3 Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte Virgil-Mihil Zhri Rezolvre: Punctele de etrem se determină din punctele critice le funcńiei f ( ) = + Din f ( ) = + = = 1, =± Atunci m f = = + = + = + 7 şi M f = = + + = + + = m M = = = ) ) 9) = + + = + = = 4 Fie,,c (,+4) cu propriette că + + c, R Să se rte că c= 1 Rezolvre: FuncŃi f : R R, f ( ) = + + c re în = vlore minimă f()=, dică = punct de minim Conform teoremei lui Fermt vem f ()= Clculăm derivt: f ln ln c ln c f = ln + ln+ ln c= ln c Se ońine ( ) = + + ( ) ( ) ( c) = c=, cee ce treui demonstrt ln 1 Generlizre: n n 1 n = 1, œn N * * Fie, R + cu propriette că, R ArătŃi că = Rezolvre: FuncŃi f : R R, f ( ) = re în =1 punct de mim + 1+ f ( ) f ( 1) =, tunci f (1)= Clculăm f (): 1+ + ( + ) + f ( ) = =, + + ( ) ( ) ( ) f 1 = = 1 + = = + 1 ( 1+ ) ( 1+ ) e 1, < 6 Fie f : R R, f ( ) Să se determine domeniul de derivilitte şi +, derivt funcńiei pe cest domeniu

4 Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte Virgil-Mihil Zhri Rezolvre: Determinăm derivilitte funcńiei în punctul = utilizând corolrul teoremei lui Lgrnge Continuitte în = ls( ) = lim f ( ) = lim( e 1) = e 1= < < f este continuă în = ls( ) = lim f ( ) = lim( + ) = + = = f ( ) > > e, < FuncŃi f este derivilă pe R\{} şi f ( ) + 1, > fs( ) = lim f ( ) = lime = 1 < < e, < ( ) 1 f = şi tunci f ( ) fd( ) = lim f ( ) = lim( + 1) = 1 + 1, > > 7 Să se studieze derivilitte funcńiei f : Rezolvre: Eplicităm funcńi: f ( ) f = 4 R R, ( ) ( ] [ ) 4,,, + 4, (,) Proleme derivilităńii în punctele şi Continuitte în punctul = ls( ) = lim f ( ) = lim 4= = f ( ) < < f este continuă în = Anlog l = lim f = lim 4 = d ( ) ( ) > > funcńi este continuă în = R \ ±, Clculăm derivt funcńiei pe { }, (, ) (, + ) 4 f ( ), (,) 4 lim f ( ) = lim = = < < 4 + f nu este derivilă în = Anlog funcńi lim f ( ) = lim = =+ > > 4 + R \ ± nu este derivilă nici în punctul = Se ońine D = { } 4

5 Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte,,, + 4 f ( ), (,) 4 întorcere (puncte de minim) ( ) ( ) 8 Să se rte că sin 1 sin 1, R Rezolvre: Fie 1, sin :, Virgil-Mihil Zhri Punctele = şi = sunt puncte de R fite şi funcńi [ 1 ] R continuă pe [ 1, ] derivilă pe ( 1, ) Conform teoremei lui Lgrnge c (, ) stfel încât sin sin 1 = sin c sin sin 1 = ( 1) cosc 1 sin sin = cosc Deorece cos c 1 se ońine: 1 1 sin sin = şi 1 n+ 1 1 * 9 Să se demonstreze ineglitte: < ln <, n N n+ 1 n n Rezolvre: Considerăm funcńi f :(, + ) R, f ( ) = ln continuă pe [n, n+1] şi derivilă pe (n, n+1) Aplicăm teorem lui Lgrnge: ln( n+ 1) ln n n+ 1 1 = ( ln c), c ( n, n+ 1) ln = Cum c (n, n+1) n+ 1 n n c n+ 1 1 * n< c< n+ 1 < < < ln <, n N n+ 1 c n n+ 1 n n 1 Să se demonstreze ineglitte: ctg ctg π < <, < < < sin sin π π Rezolvre: Fie funcńi ctg :, R continuă pe, şi derivilă pe, π, ctg ctg plicăm teorem lui Lgrnge: = ( ctg c), < c< ctg ctg 1 ctg ctg 1 π = ( 1) = Din <<c<< şi funcńi sin c sin c π sin :, R crescătore se ońine sin < sin c< sin( ) sin < sin c< sin sin < sin c < sin şi tunci vem 1 ctg ctg 1 ( ) ctg ctg π < < < <, < < < sin sin sin sin > 5

6 Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte 11 Să se demonstreze ineglitte: ( ) ( ) 1 1 Virgil-Mihil Zhri e < < e, < < e 1 Rezolvre: FuncŃi f :, + R, f ( ) = ln este continuă pe [,] şi derivilă e 1 pe (,), [, ], + Aplicăm teorem lui Lgrnge: e ln ln = f ( c), c (, ) Clculăm derivt funcńiei f : 1 ln ln f ( ) = ln + ( ln ) = ln + = ln + 1 = ln c+ 1 Din < c< ln<lnc<ln +1 ln+<lnc+1<ln+1 ln funcńie crescătore ln(e)<lnc+1<ln(e) Se ońine din cele două relńii: ln ln ln( e) < < ln( e) ( ) < < Din ( ) ln( e) ln < ln < ( ) ln( e) ln( e) ln ln( e) ijectivitte funcńiei logritmice ońinem: ( ) ( ) 1 1 e < < e, < < e 1 Să se rezolve ecuńi: = 6 + Rezolvre: Putem scrie ecuńi echivlentă: 6 5 = 4 Considerăm funcńi f :(, + ) R, f ( t) = t cre verifică ipotezele teoremei lui Lgrnge Aplicăm teorem pe intervlele [;4] şi [5;6]: 4 1 = ( c), c ( ;4) ( ) ( ) c = d cre re o soluńie 1 = = ( d ), d ( 5;6) 6 5 Pentru, prin simplificre cu ońinem ( c ) ( d ) S ={;1} 1 1 = 1= =1 6